Kadalasan, ang numerator at denominator ng isang fraction ay mga algebraic na expression na dapat munang mabulok sa mga salik, at pagkatapos, kapag natagpuan ang pareho sa kanila, hatiin ang numerator at denominator sa kanila, iyon ay, bawasan ang fraction. Ang isang buong kabanata ng isang aklat-aralin sa algebra sa ika-7 baitang ay nakatuon sa mga gawain sa pagsasaliksik ng isang polynomial. Maaaring gawin ang pag-factor 3 paraan, pati na rin ang kumbinasyon ng mga pamamaraang ito.

1. Paglalapat ng mga pinaikling pormula ng pagpaparami

Tulad ng alam sa i-multiply ang isang polynomial sa isang polynomial, kailangan mong i-multiply ang bawat termino ng isang polynomial sa bawat termino ng iba pang polynomial at idagdag ang mga resultang produkto. Mayroong hindi bababa sa 7 (pitong) karaniwang mga kaso ng pagpaparami ng mga polynomial na kasama sa konsepto. Halimbawa,

Talahanayan 1. Factorization sa unang paraan

2. Pag-alis ng karaniwang salik sa bracket

Ang pamamaraang ito ay batay sa aplikasyon ng distributive law of multiplication. Halimbawa,

Hinahati namin ang bawat termino ng orihinal na expression sa pamamagitan ng salik na kinuha namin, at sa parehong oras ay nakukuha namin ang expression sa mga bracket (iyon ay, ang resulta ng paghahati sa kung ano ang kinuha namin ay nananatili sa mga bracket). Una sa lahat, kailangan mo matukoy nang tama ang multiplier, na dapat naka-bracket.

Ang polynomial sa mga bracket ay maaari ding maging karaniwang salik:

Kapag nagsasagawa ng "factorize" na gawain, ang isa ay dapat na maging maingat lalo na sa mga palatandaan kapag inaalis ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket. Upang baguhin ang tanda ng bawat termino sa isang panaklong (b - a), inaalis namin ang karaniwang kadahilanan -1 , habang ang bawat termino sa bracket ay nahahati sa -1: (b - a) = - (a - b) .

Kung sakaling ang expression sa mga bracket ay parisukat (o sa anumang kahit na kapangyarihan), kung gayon ang mga numero sa loob ng mga bracket ay maaaring palitan ganap na libre, dahil ang mga minus na kinuha mula sa mga bracket ay magiging plus kapag pinarami: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 atbp…

3. Paraan ng pagpapangkat

Minsan hindi lahat ng termino sa expression ay may karaniwang salik, ngunit ilan lamang. Pagkatapos ay maaari mong subukan mga tuntunin ng pangkat sa mga bracket upang ang ilang kadahilanan ay maaaring alisin sa bawat isa. Pamamaraan ng pagpapangkat ay double bracketing ng mga karaniwang salik.

4. Paggamit ng ilang pamamaraan nang sabay-sabay

Minsan kailangan mong mag-aplay hindi isa, ngunit ilang mga paraan upang i-factor ang isang polynomial sa mga kadahilanan nang sabay-sabay.

Ito ay isang buod sa paksa. "Factorization". Piliin ang mga susunod na hakbang:

• Pumunta sa susunod na abstract:

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala ang isang partikular na tao o makipag-ugnayan sa kanya.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at mensahe.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga dahilan ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Ang pagpapalawak ng mga polynomial upang makakuha ng isang produkto kung minsan ay tila nakakalito. Ngunit hindi ito napakahirap kung naiintindihan mo ang proseso nang hakbang-hakbang. Detalye ng artikulo kung paano i-factor ang isang square trinomial.

Maraming hindi naiintindihan kung paano i-factor ang isang square trinomial, at kung bakit ito ginagawa. Sa una ay tila ito ay isang walang kwentang ehersisyo. Pero sa mathematics, walang ginagawang ganyan. Ang pagbabago ay kinakailangan upang gawing simple ang expression at ang kaginhawaan ng pagkalkula.

Isang polynomial na may anyo - ax² + bx + c, ay tinatawag na square trinomial. Ang terminong "a" ay dapat na negatibo o positibo. Sa pagsasagawa, ang expression na ito ay tinatawag na isang quadratic equation. Samakatuwid, minsan iba ang sinasabi nila: kung paano palawakin ang isang quadratic equation.

Interesting! Ang isang square polynomial ay tinatawag dahil sa pinakamalaking antas nito - isang parisukat. At isang trinomial - dahil sa 3 component terms.

Ilang iba pang uri ng polynomial:

• linear binomial (6x+8);
• kubiko quadrilateral (x³+4x²-2x+9).

Factorization ng isang square trinomial

Una, ang expression ay katumbas ng zero, pagkatapos ay kailangan mong hanapin ang mga halaga ng mga ugat x1 at x2. Maaaring walang ugat, maaaring may isa o dalawang ugat. Ang pagkakaroon ng mga ugat ay tinutukoy ng discriminant. Ang formula nito ay dapat na kilala sa puso: D=b²-4ac.

Kung ang resulta ng D ay negatibo, walang mga ugat. Kung positibo, mayroong dalawang ugat. Kung ang resulta ay zero, ang ugat ay isa. Ang mga ugat ay kinakalkula din ng formula.

Kung ang pagkalkula ng discriminant ay magreresulta sa zero, maaari mong ilapat ang alinman sa mga formula. Sa pagsasagawa, ang formula ay pinaikli lamang: -b / 2a.

Ang mga formula para sa iba't ibang mga halaga ng discriminant ay iba.

Kung ang D ay positibo:

Kung ang D ay zero:

Mga online na calculator

Mayroong online na calculator sa Internet. Maaari itong magamit upang i-factorize. Ang ilang mga mapagkukunan ay nagbibigay ng pagkakataon na makita ang solusyon sa hakbang-hakbang. Nakakatulong ang mga ganitong serbisyo upang mas maunawaan ang paksa, ngunit kailangan mong subukang maunawaang mabuti.

Kapaki-pakinabang na video: Pag-factor ng square trinomial

Mga halimbawa

Iminumungkahi namin ang pagtingin sa mga simpleng halimbawa kung paano i-factorize ang isang quadratic equation.

Halimbawa 1

Dito malinaw na ipinakita na ang magiging resulta ay dalawang x, dahil ang D ay positibo. Kailangang mapalitan ang mga ito sa formula. Kung ang mga ugat ay negatibo, ang tanda sa formula ay baligtad.

Alam natin ang formula para sa pag-factor ng square trinomial: a(x-x1)(x-x2). Inilalagay namin ang mga halaga sa mga bracket: (x+3)(x+2/3). Walang numero bago ang termino sa exponent. Ibig sabihin may unit, ibinababa.

Halimbawa 2

Ang halimbawang ito ay malinaw na nagpapakita kung paano lutasin ang isang equation na may isang ugat.

Palitan ang nagresultang halaga:

Halimbawa 3

Ibinigay: 5x²+3x+7

Una, kinakalkula namin ang discriminant, tulad ng sa mga nakaraang kaso.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Ang discriminant ay negatibo, ibig sabihin ay walang mga ugat.

Matapos matanggap ang resulta, sulit na buksan ang mga bracket at suriin ang resulta. Dapat lumitaw ang orihinal na trinomial.

Alternatibong solusyon

Ang ilang mga tao ay hindi kailanman nagawang makipagkaibigan sa may diskriminasyon. May isa pang paraan upang i-factor ang isang square trinomial. Para sa kaginhawahan, ang pamamaraan ay ipinapakita sa isang halimbawa.

Ibinigay: x²+3x-10

Alam natin na dapat tayong magtapos sa 2 panaklong: (_)(_). Kapag ganito ang hitsura ng expression: x² + bx + c, inilalagay namin ang x sa simula ng bawat bracket: (x_) (x_). Ang natitirang dalawang numero ay ang produkto na nagbibigay ng "c", ibig sabihin, -10 sa kasong ito. Upang malaman kung ano ang mga numerong ito, maaari mo lamang gamitin ang paraan ng pagpili. Ang mga pinalit na numero ay dapat tumugma sa natitirang termino.

Halimbawa, ang pagpaparami ng mga sumusunod na numero ay nagbibigay ng -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Hindi.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Hindi.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Hindi.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Angkop.

Kaya, ang pagbabago ng expression na x2+3x-10 ay ganito ang hitsura: (x-2)(x+5).

Mahalaga! Dapat kang mag-ingat na huwag malito ang mga palatandaan.

Pagkabulok ng isang kumplikadong trinomial

Kung ang "a" ay mas malaki kaysa sa isa, magsisimula ang mga paghihirap. Ngunit ang lahat ay hindi kasing mahirap na tila.

Upang mag-factorize, kailangan munang tingnan kung posible bang i-factor ang isang bagay.

Halimbawa, ibinigay ang expression: 3x²+9x-30. Dito ang numero 3 ay inalis sa mga bracket:

3(x²+3x-10). Ang resulta ay ang kilala nang trinomial. Ang sagot ay ganito: 3(x-2)(x+5)

Paano mabulok kung negatibo ang term na naka-squad? AT kasong ito ang numero -1 ay inalis sa bracket. Halimbawa: -x²-10x-8. Ang expression ay magiging ganito:

Ang scheme ay naiiba nang kaunti mula sa nauna. Mayroon lamang ilang mga bagong bagay. Sabihin nating ang expression ay ibinigay: 2x²+7x+3. Ang sagot ay nakasulat din sa 2 bracket, na dapat punan ng (_) (_). X ay nakasulat sa 2nd bracket, at kung ano ang natitira sa 1st. Mukhang ganito: (2x_)(x_). Kung hindi, ang nakaraang scheme ay paulit-ulit.

Ang numero 3 ay nagbibigay ng mga numero:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Nilulutas namin ang mga equation sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga ibinigay na numero. Ang huling pagpipilian ay angkop. Kaya ang pagbabago ng expression na 2x²+7x+3 ay ganito ang hitsura: (2x+1)(x+3).

Iba pang mga kaso

Hindi laging posible na baguhin ang isang expression. Sa pangalawang paraan, hindi kinakailangan ang solusyon ng equation. Ngunit ang posibilidad ng pag-convert ng mga termino sa isang produkto ay sinusuri lamang sa pamamagitan ng discriminant.

Ito ay nagkakahalaga ng pagsasanay sa paglutas ng mga quadratic equation upang walang mga paghihirap kapag gumagamit ng mga formula.

Kapaki-pakinabang na video: factorization ng isang trinomial

Konklusyon

Magagamit mo ito sa anumang paraan. Ngunit ito ay mas mahusay na magtrabaho pareho sa automatism. Gayundin, ang mga taong magkokonekta sa kanilang buhay sa matematika ay kailangang matutunan kung paano lutasin nang maayos ang mga quadratic equation at i-decompose ang mga polynomial sa mga salik. Ang lahat ng mga sumusunod na paksa sa matematika ay binuo dito.

Ang pag-factor ng isang equation ay ang proseso ng paghahanap ng mga termino o expression na, kapag pinarami, hahantong sa paunang equation. Ang pag-factor ay isang kapaki-pakinabang na kasanayan para sa paglutas ng mga pangunahing problema sa algebraic, at nagiging isang praktikal na pangangailangan kapag nagtatrabaho sa mga quadratic equation at iba pang polynomial. Ang Factoring ay ginagamit upang pasimplehin ang mga algebraic equation upang gawing mas madaling malutas ang mga ito. Ang pag-factor ay makakatulong sa iyo na alisin ang ilang posibleng sagot nang mas mabilis kaysa sa magagawa mo sa pamamagitan ng manu-manong paglutas ng equation.

Mga hakbang

Factorization ng mga numero at pangunahing algebraic expression

1. Factorization ng mga numero. Ang konsepto ng factoring ay simple, ngunit ang factoring ay maaaring nakakalito sa pagsasanay (binigyan ng isang kumplikadong equation). Kaya magsimula tayo sa konsepto ng factoring gamit ang mga numero bilang isang halimbawa, magpatuloy sa mga simpleng equation, at pagkatapos ay lumipat sa mga kumplikadong equation. Ang mga kadahilanan ng isang ibinigay na numero ay ang mga numero na, kapag pinarami, ay nagbibigay ng orihinal na numero. Halimbawa, ang mga kadahilanan ng numero 12 ay ang mga numero: 1, 12, 2, 6, 3, 4, dahil 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Katulad nito, maaari mong isipin ang mga kadahilanan ng isang numero bilang mga divisors nito, iyon ay, ang mga numero kung saan ang ibinigay na numero ay nahahati.
   • Hanapin ang lahat ng mga salik ng numerong 60. Madalas nating ginagamit ang numerong 60 (halimbawa, 60 minuto sa isang oras, 60 segundo sa isang minuto, atbp.) at ang numerong ito ay may medyo malaking bilang ng mga kadahilanan.
     • 60 multiplier: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 at 60.

2. Tandaan: Ang mga termino ng isang expression na naglalaman ng isang koepisyent (numero) at isang variable ay maaari ding i-factor. Upang gawin ito, hanapin ang mga multiplier ng koepisyent sa variable. Ang pag-alam kung paano i-factor ang mga tuntunin ng mga equation, madali mong gawing simple ang equation na ito.

   • Halimbawa, ang terminong 12x ay maaaring isulat bilang produkto ng 12 at x. Maaari mo ring isulat ang 12x bilang 3(4x), 2(6x), atbp. sa pamamagitan ng pag-factor ng 12 sa mga salik na pinakamahusay na gumagana para sa iyo.
     • Maaari kang maglatag nang 12x nang maraming beses sa isang hilera. Sa madaling salita, hindi ka dapat huminto sa 3(4x) o 2(6x); ipagpatuloy ang pagpapalawak: 3(2(2x)) o 2(3(2x)) (malinaw naman, 3(4x)=3(2(2x)) atbp.)

3. Ilapat ang distributive property ng multiplication para i-factor ang algebraic equation. Alam kung paano i-factorize ang mga numero at termino ng isang expression (mga coefficient na may mga variable), maaari mong pasimplehin ang mga simpleng algebraic equation sa pamamagitan ng paghahanap ng common factor ng isang numero at isang term ng isang expression. Karaniwan, upang gawing simple ang equation, kailangan mong hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor (gcd). Ang ganitong pagpapasimple ay posible dahil sa distributive property ng multiplication: para sa anumang mga numero a, b, c, ang pagkakapantay-pantay a (b + c) = ab + ac ay totoo.

   • Halimbawa. I-factor ang equation na 12x + 6. Una, hanapin ang gcd ng 12x at 6. Ang 6 ay ang pinakamalaking bilang na naghahati sa parehong 12x at 6, kaya maaari mong i-factor ang equation na ito sa: 6(2x+1).
   • Ang prosesong ito ay totoo rin para sa mga equation na may negatibo at fractional na termino. Halimbawa, ang x/2+4 ay maaaring mabulok sa 1/2(x+8); halimbawa, -7x+(-21) ay maaaring mabulok sa -7(x+3).

   Factorization ng quadratic equation

   1. Siguraduhin na ang equation ay nasa quadratic form (ax 2 + bx + c = 0). Ang mga quadratic equation ay: ax 2 + bx + c = 0, kung saan ang a, b, c ay mga numerical coefficient maliban sa 0. Kung bibigyan ka ng equation na may isang variable (x) at ang equation na ito ay may isa o higit pang termino na may pangalawang order variable , maaari mong ilipat ang lahat ng mga termino ng equation sa isang gilid ng equation at i-equate ito sa zero.

      • Halimbawa, ibinigay ang equation: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. Maaari itong i-convert sa equation x 2 + 6x + 9 = 0, na isang quadratic equation.
      • Mga equation na may variable na x ng malalaking order, halimbawa, x 3 , x 4 , atbp. ay hindi mga quadratic equation. Ito ay mga cubic equation, fourth-order equation, at iba pa (kung ang mga naturang equation ay hindi maaaring pasimplehin sa quadratic equation na may variable na x sa kapangyarihan ng 2).

   2. Ang mga quadratic equation, kung saan ang isang \u003d 1, ay nabubulok sa (x + d) (x + e), kung saan ang d * e \u003d c at d + e \u003d b. Kung ang quadratic equation na ibinigay sa iyo ay may anyo: x 2 + bx + c \u003d 0 (iyon ay, ang coefficient sa x 2 ay katumbas ng 1), kung gayon ang gayong equation ay maaaring (ngunit hindi garantisadong) mabulok sa itaas mga kadahilanan. Upang gawin ito, kailangan mong makahanap ng dalawang numero na, kapag pinarami, bigyan ang "c", at kapag idinagdag - "b". Kapag nahanap mo na ang dalawang numerong ito (d at e), palitan ang mga ito sa sumusunod na expression: (x+d)(x+e), na, kapag binuksan ang mga bracket, humahantong sa orihinal na equation.

      • Halimbawa, ibinigay ang quadratic equation x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 at 3+2=5, para mapalawak mo ang equation sa (x+3)(x+2).
      • Para sa mga negatibong termino, gawin ang mga sumusunod na maliliit na pagbabago sa proseso ng factorization:
        • Kung ang quadratic equation ay may anyo na x 2 -bx + c, pagkatapos ito ay nabubulok sa: (x-_) (x-_).
        • Kung ang quadratic equation ay may anyo na x 2 -bx-c, pagkatapos ito ay nabubulok sa: (x + _) (x-_).
      • Tandaan: ang mga puwang ay maaaring palitan ng mga fraction o decimal. Halimbawa, ang equation na x 2 + (21/2)x + 5 = 0 ay nabubulok sa (x + 10) (x + 1/2).

   3. Factorization sa pamamagitan ng trial and error. Ang mga simpleng quadratic equation ay maaaring i-factor sa pamamagitan lamang ng pagpapalit ng mga numero sa mga posibleng solusyon hanggang sa mahanap mo ang tamang solusyon. Kung ang equation ay may anyo na ax 2 +bx+c, kung saan a>1, ang mga posibleng solusyon ay isinusulat bilang (dx +/- _)(ex +/- _), kung saan ang d at e ay mga numerical coefficients maliban sa zero, na, kapag pinarami ay bigyan ng a. Ang alinman sa d o e (o parehong mga coefficient) ay maaaring katumbas ng 1. Kung ang parehong mga coefficient ay katumbas ng 1, pagkatapos ay gamitin ang paraang inilarawan sa itaas.

      • Halimbawa, ibinigay ang equation na 3x 2 - 8x + 4. Dito, ang 3 ay may dalawang salik lamang (3 at 1), kaya ang mga posibleng solusyon ay nakasulat bilang (3x +/- _)(x +/- _). Sa kasong ito, palitan ang -2 para sa mga puwang, makikita mo ang tamang sagot: -2*3x=-6x at -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x at -2*-2=4, ibig sabihin, ang ganitong pagpapalawak kapag binubuksan ang mga bracket ay hahantong sa mga tuntunin ng orihinal na equation.

Sa artikulong ito makikita mo ang lahat ng kinakailangang impormasyon na sumasagot sa tanong, kung paano i-factorize ang isang numero. Una, ang isang pangkalahatang ideya ng agnas ng isang numero sa mga pangunahing kadahilanan ay ibinigay, ang mga halimbawa ng pagpapalawak ay ibinigay. Ang kanonikal na anyo ng pag-factor ng isang numero sa prime factor ay susunod na ipinapakita. Pagkatapos nito, ibibigay ang isang algorithm para sa pag-decompose ng mga arbitrary na numero sa prime factor, at ibibigay ang mga halimbawa ng mga nabubulok na numero gamit ang algorithm na ito. Isinasaalang-alang din ang mga alternatibong pamamaraan na nagbibigay-daan sa iyong mabilis na mabulok ang maliliit na integer sa mga pangunahing salik gamit ang pamantayan sa divisibility at ang multiplication table.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang ibig sabihin ng pag-factor ng isang numero sa prime factor?

Una, tingnan natin kung ano ang mga pangunahing kadahilanan.

Malinaw na dahil ang salitang "mga kadahilanan" ay naroroon sa pariralang ito, kung gayon ang produkto ng ilang mga numero ay nagaganap, at ang paglilinaw ng salitang "kalakasan" ay nangangahulugan na ang bawat kadahilanan ay isang pangunahing numero. Halimbawa, sa isang produkto ng anyong 2 7 7 23 mayroong apat na pangunahing salik: 2 , 7 , 7 at 23 .

Ano ang ibig sabihin ng pag-factor ng isang numero sa prime factor?

Nangangahulugan ito na ang ibinigay na numero ay dapat na kinakatawan bilang isang produkto ng mga pangunahing kadahilanan, at ang halaga ng produktong ito ay dapat na katumbas ng orihinal na numero. Bilang halimbawa, isaalang-alang ang produkto ng tatlong prime number 2 , 3 at 5 , ito ay katumbas ng 30 , kaya ang factorization ng numero 30 sa prime factor ay 2 3 5 . Karaniwan, ang pagkabulok ng isang numero sa mga pangunahing kadahilanan ay isinulat bilang isang pagkakapantay-pantay, sa aming halimbawa ay magiging ganito: 30=2 3 5 . Hiwalay, binibigyang-diin namin na ang mga pangunahing salik sa pagpapalawak ay maaaring maulit. Ito ay malinaw na inilalarawan ng sumusunod na halimbawa: 144=2 2 2 2 3 3 . Ngunit ang representasyon ng form na 45=3 15 ay hindi isang decomposition sa prime factors, dahil ang number 15 ay composite.

Ang sumusunod na tanong ay lumitaw: "At anong mga numero ang maaaring mabulok sa pangunahing mga kadahilanan"?

Sa paghahanap ng sagot dito, ipinakita namin ang sumusunod na pangangatwiran. Ang mga pangunahing numero, ayon sa kahulugan, ay kabilang sa mga higit sa isa. Dahil sa katotohanang ito at , maaari itong pagtalunan na ang produkto ng ilang pangunahing mga kadahilanan ay isang positibong integer na mas malaki kaysa sa isa. Samakatuwid, ang factorization ay nagaganap lamang para sa mga positive integer na mas malaki sa 1.

Ngunit lahat ba ng integer ay mas malaki sa isang salik sa pangunahing mga kadahilanan?

Malinaw na walang paraan upang mabulok ang mga simpleng integer sa pangunahing mga kadahilanan. Ito ay dahil ang mga prime number ay mayroon lamang dalawang positibong divisors, isa at ang sarili nito, kaya hindi sila maaaring katawanin bilang isang produkto ng dalawa o higit pang mga prime. Kung ang isang integer z ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng mga prime number a at b, kung gayon ang konsepto ng divisibility ay magbibigay-daan sa amin upang tapusin na ang z ay nahahati ng parehong a at b, na imposible dahil sa pagiging simple ng numerong z. Gayunpaman, pinaniniwalaan na ang anumang pangunahing numero ay ang mismong pagkabulok nito.

Paano naman ang mga composite number? Nabubulok ba ang mga composite number sa prime factors, at lahat ba ng composite numbers ay napapailalim sa naturang decomposition? Ang isang apirmatibong sagot sa isang bilang ng mga tanong na ito ay ibinibigay ng pangunahing teorama ng arithmetic. Ang pangunahing theorem ng arithmetic ay nagsasaad na ang anumang integer a na mas malaki sa 1 ay maaaring mabulok sa produkto ng prime factor p 1 , p 2 , ..., p n , habang ang expansion ay may anyo na a=p 1 p 2 .. p n , at ito ang agnas ay natatangi, kung hindi natin isasaalang-alang ang pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan

Canonical decomposition ng isang numero sa prime factor

Sa pagpapalawak ng isang numero, ang mga pangunahing kadahilanan ay maaaring ulitin. Ang pag-uulit ng mga pangunahing kadahilanan ay maaaring isulat nang mas compact gamit ang . Hayaang mangyari ang prime factor p 1 s 1 beses sa decomposition ng numero a, ang prime factor p 2 - s 2 beses, at iba pa, p n - s n beses. Kung gayon ang prime factorization ng numero a ay maaaring isulat bilang a=p 1 s 1 p 2 s 2 p n s n. Ang anyo ng pagsulat na ito ay ang tinatawag na canonical factorization ng isang numero sa prime factor.

Magbigay tayo ng isang halimbawa ng canonical decomposition ng isang numero sa prime factor. Ipaalam sa amin ang agnas 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, ang canonical form nito ay 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Ang canonical decomposition ng isang numero sa mga pangunahing kadahilanan ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang lahat ng mga divisors ng numero at ang bilang ng mga divisors ng numero.

Algorithm para sa pag-decompose ng isang numero sa mga pangunahing kadahilanan

Upang matagumpay na makayanan ang gawain ng pag-decomposing ng isang numero sa pangunahing mga kadahilanan, kailangan mong maging napakahusay sa impormasyon sa artikulong simple at pinagsama-samang mga numero.

Ang kakanyahan ng proseso ng pagpapalawak ng isang positibong integer at higit sa isang numero a ay malinaw mula sa patunay ng pangunahing teorama ng arithmetic. Ang kahulugan ay ang sunud-sunod na paghahanap ng pinakamaliit na prime divisors p 1 , p 2 , …,p n numbers a, a 1 , a 2 , …, a n-1 , na nagbibigay-daan sa iyong makakuha ng serye ng equalities a=p 1 a 1 , kung saan a 1 = a:p 1 , a=p 1 a 1 =p 1 p 2 a 2 , kung saan a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 p 2 …p n a n , kung saan a n =a n -1:p n . Kapag ang isang n =1 ay nakuha, ang pagkakapantay-pantay na a=p 1 ·p 2 ·…·p n ay magbibigay sa atin ng kinakailangang agnas ng numerong a sa prime factor. Dito ay dapat ding tandaan na p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Nananatili itong humarap sa paghahanap ng pinakamaliit na prime divisors sa bawat hakbang, at magkakaroon tayo ng algorithm para sa pag-decompose ng isang numero sa prime factor. Tutulungan tayo ng talahanayan ng prime number na makahanap ng mga prime divisors. Ipakita natin kung paano ito gamitin upang makuha ang pinakamaliit na prime divisor ng numerong z .

Sunud-sunod kaming kumukuha ng mga prime number mula sa talahanayan ng mga prime number (2 , 3 , 5 , 7 , 11 at iba pa) at hinahati ang ibinigay na numero z sa kanila. Ang unang prime number kung saan ang z ay pantay na nahahati ay ang pinakamaliit nitong prime divisor. Kung ang numerong z ay prime, ang pinakamaliit na prime divisor nito ay ang numerong z mismo. Dapat ding alalahanin dito na kung ang z ay hindi isang prime number, ang pinakamaliit na prime divisor nito ay hindi lalampas sa numero , kung saan - mula sa z . Kaya, kung kabilang sa mga prime number na hindi hihigit sa , walang isang solong divisor ng numerong z, pagkatapos ay maaari nating tapusin na ang z ay isang prime number (higit pa tungkol dito ay nakasulat sa seksyon ng teorya sa ilalim ng heading ang numerong ito ay prime o composite ).

Halimbawa, ipakita natin kung paano hanapin ang pinakamaliit na prime divisor ng numerong 87. Kinukuha namin ang numero 2. Hatiin ang 87 sa 2, makakakuha tayo ng 87:2=43 (pahinga. 1) (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo). Iyon ay, kapag hinahati ang 87 sa 2, ang natitira ay 1, kaya ang 2 ay hindi isang divisor ng numerong 87. Kinukuha namin ang susunod na prime number mula sa talahanayan ng mga prime number, ito ang numero 3 . Hinahati natin ang 87 sa 3, makakakuha tayo ng 87:3=29. Kaya ang 87 ay pantay na nahahati ng 3, kaya ang 3 ay ang pinakamaliit na prime divisor ng 87.

Tandaan na sa pangkalahatang kaso, upang ma-factorize ang numerong a, kailangan namin ng talahanayan ng mga prime number hanggang sa isang numero na hindi bababa sa . Kakailanganin nating sumangguni sa talahanayang ito sa bawat hakbang, kaya kailangan natin itong nasa kamay. Halimbawa, para ma-factor ang numerong 95, kakailanganin namin ng talahanayan ng mga prime number hanggang 10 (dahil ang 10 ay mas malaki kaysa sa ). At para mabulok ang numerong 846 653, kakailanganin mo na ng talahanayan ng mga prime number hanggang 1,000 (dahil ang 1,000 ay mas malaki kaysa).

Mayroon na tayong sapat na impormasyong maisusulat algorithm para sa pag-factor ng isang numero sa prime factor. Ang algorithm para sa pagpapalawak ng numero a ay ang mga sumusunod:

• Ang sunud-sunod na pag-uuri sa mga numero mula sa talahanayan ng mga prime number, makikita natin ang pinakamaliit na prime divisor p 1 ng numero a, pagkatapos ay kalkulahin natin ang isang 1 =a:p 1 . Kung ang a 1 =1 , kung gayon ang numero a ay prime, at ito mismo ang pagkabulok nito sa prime factor. Kung ang isang 1 ay katumbas ng 1, mayroon tayong a=p 1 ·a 1 at pumunta sa susunod na hakbang.
• Nahanap namin ang pinakamaliit na prime divisor p 2 ng numerong a 1 , para dito ay sunud-sunod naming inuri-uriin ang mga numero mula sa talahanayan ng mga prime number, simula sa p 1 , pagkatapos ay kinakalkula namin ang a 2 =a 1:p 2 . Kung a 2 =1, kung gayon ang nais na agnas ng bilang a sa prime factor ay may anyo na a=p 1 ·p 2 . Kung ang isang 2 ay katumbas ng 1, mayroon tayong a=p 1 ·p 2 ·a 2 at pumunta sa susunod na hakbang.
• Sa pamamagitan ng mga numero mula sa talahanayan ng mga primes, simula sa p 2 , makikita natin ang pinakamaliit na prime divisor p 3 ng numerong a 2 , pagkatapos ay kalkulahin natin ang isang 3 =a 2:p 3 . Kung a 3 =1, kung gayon ang nais na agnas ng numero a sa prime factor ay may anyo na a=p 1 ·p 2 ·p 3 . Kung ang isang 3 ay katumbas ng 1, mayroon tayong a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 at pumunta sa susunod na hakbang.
• Hanapin ang pinakamaliit na prime divisor p n ng numerong a n-1 sa pamamagitan ng pag-uuri sa mga primes, na nagsisimula sa p n-1 , pati na rin ang a n =a n-1:p n , at ang a n ay katumbas ng 1 . Ang hakbang na ito ay ang huling hakbang ng algorithm, dito natin nakukuha ang kinakailangang decomposition ng numero a sa prime factor: a=p 1 ·p 2 ·…·p n .

Ang lahat ng mga resulta na nakuha sa bawat hakbang ng algorithm para sa decomposing isang numero sa mga pangunahing kadahilanan ay ipinakita para sa kalinawan sa anyo ng sumusunod na talahanayan, kung saan ang mga numero a, a 1, a 2, ..., a n ay nakasulat nang sunud-sunod sa ang kaliwa ng vertical bar, at sa kanan ng bar - ang katumbas na pinakamaliit na prime divisors p 1 , p 2 , …, p n .

Ito ay nananatiling lamang upang isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng paglalapat ng nakuha na algorithm sa decomposing mga numero sa mga pangunahing kadahilanan.

Mga halimbawa ng pangunahing factorization

Ngayon ay susuriin namin nang detalyado mga halimbawa ng prime factorization. Kapag nabubulok, ilalapat namin ang algorithm mula sa nakaraang talata. Magsimula tayo sa mga simpleng kaso, at unti-unti nating gagawing kumplikado ang mga ito upang harapin ang lahat ng posibleng mga nuances na lumitaw kapag nabubulok ang mga numero sa mga pangunahing kadahilanan.

Halimbawa.

I-factor ang bilang na 78 sa prime factor.

Desisyon.

Nagsisimula kaming maghanap para sa unang pinakamaliit na prime divisor p 1 ng numero a=78 . Upang gawin ito, sisimulan namin ang sunud-sunod na pag-uri-uriin sa mga prime number mula sa talahanayan ng mga prime number. Kinukuha namin ang numero 2 at hinati namin ito ng 78, nakukuha namin ang 78:2=39. Ang numerong 78 ay hinati ng 2 nang walang natitira, kaya p 1 \u003d 2 ang unang natagpuang prime divisor ng numerong 78. Sa kasong ito a 1 =a:p 1 =78:2=39 . Kaya napunta tayo sa pagkakapantay-pantay a=p 1 ·a 1 na may anyong 78=2·39 . Malinaw, ang isang 1 =39 ay iba sa 1 , kaya pumunta tayo sa pangalawang hakbang ng algorithm.

Ngayon hinahanap namin ang pinakamaliit na prime divisor p 2 ng numero a 1 =39 . Sinisimulan natin ang pagbilang ng mga numero mula sa talahanayan ng mga primes, simula sa p 1 =2 . Hatiin ang 39 sa 2, makakakuha tayo ng 39:2=19 (natitirang 1). Dahil ang 39 ay hindi pantay na nahahati ng 2, ang 2 ay hindi ang divisor nito. Pagkatapos ay kukunin natin ang susunod na numero mula sa talahanayan ng mga prime number (ang numero 3) at hatiin ito ng 39, makakakuha tayo ng 39:3=13. Samakatuwid, ang p 2 \u003d 3 ay ang pinakamaliit na prime divisor ng numero 39, habang ang isang 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 39: 3=13. Mayroon tayong pagkakapantay-pantay a=p 1 p 2 a 2 sa anyong 78=2 3 13 . Dahil ang 2 =13 ay iba sa 1 , pupunta tayo sa susunod na hakbang ng algorithm.

Dito kailangan nating hanapin ang pinakamaliit na prime divisor ng numerong a 2 =13. Sa paghahanap ng pinakamaliit na prime divisor p 3 ng numero 13, sunod-sunod nating pag-uuri-uriin ang mga numero mula sa talahanayan ng mga prime number, simula sa p 2 =3 . Ang bilang na 13 ay hindi nahahati ng 3, dahil ang 13:3=4 (pahinga. 1), gayundin ang 13 ay hindi nahahati ng 5, 7 at 11, dahil ang 13:5=2 (pahinga. 3), 13:7=1 (res. 6) at 13:11=1 (res. 2) . Ang susunod na prime number ay 13, at 13 ay nahahati nito nang walang nalalabi, samakatuwid, ang pinakamaliit na prime divisor p 3 ng numero 13 ay ang numerong 13 mismo, at a 3 =a 2:p 3 =13:13=1 . Dahil ang isang 3 =1 , ang hakbang na ito ng algorithm ay ang huli, at ang nais na pagkabulok ng numero 78 sa prime factor ay may anyo na 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ) .

Sagot:

78=2 3 13 .

Halimbawa.

Ipahayag ang bilang na 83,006 bilang produkto ng mga pangunahing salik.

Desisyon.

Sa unang hakbang ng algorithm para sa pag-factor ng isang numero sa prime factor, makikita natin ang p 1 =2 at a 1 =a:p 1 =83 006:2=41 503 , kung saan 83 006=2 41 503 .

Sa pangalawang hakbang, nalaman natin na ang 2 , 3 at 5 ay hindi mga pangunahing divisors ng numerong a 1 =41 503 , at ang numerong 7 ay, dahil 41 503: 7=5 929 . Mayroon kaming p 2 =7 , a 2 =a 1:p 2 =41 503:7=5 929 . Kaya, 83 006=2 7 5 929 .

Ang pinakamaliit na prime divisor ng isang 2 =5 929 ay 7 , dahil 5 929:7=847 . Kaya, p 3 =7 , a 3 =a 2:p 3 =5 929:7=847 , kung saan 83 006=2 7 7 847 .

Sa karagdagang makikita natin na ang pinakamaliit na prime divisor p 4 ng numerong a 3 =847 ay katumbas ng 7 . Pagkatapos ay a 4 =a 3:p 4 =847:7=121 , kaya 83 006=2 7 7 7 121 .

Ngayon nakita natin ang pinakamaliit na prime divisor ng numerong a 4 =121, ito ay ang numerong p 5 =11 (dahil ang 121 ay nahahati ng 11 at hindi nahahati ng 7). Pagkatapos ay a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 , at 83 006=2 7 7 7 11 11 .

Sa wakas, ang pinakamaliit na prime divisor ng isang 5 =11 ay p 6 =11 . Pagkatapos ay isang 6 =a 5:p 6 =11:11=1 . Dahil ang isang 6 =1 , ang hakbang na ito ng algorithm para sa pag-decompose ng isang numero sa prime factor ay ang huli, at ang nais na decomposition ay may anyo na 83 006=2·7·7·7·11·11 .

Ang resultang nakuha ay maaaring isulat bilang isang canonical decomposition ng numero sa prime factor 83 006=2·7 3 ·11 2 .

Sagot:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 Ang 991 ay isang pangunahing numero. Sa katunayan, wala itong pangunahing divisor na hindi lalampas sa ( maaaring tinatayang bilang , dahil malinaw na 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Sagot:

897 924 289=937 967 991 .

Paggamit ng Divisibility Tests para sa Prime Factorization

Sa mga simpleng kaso, maaari mong i-decompose ang isang numero sa mga pangunahing kadahilanan nang hindi ginagamit ang algorithm ng decomposition mula sa unang talata ng artikulong ito. Kung ang mga numero ay hindi malaki, pagkatapos ay mabulok ang mga ito sa mga pangunahing kadahilanan, kadalasan ay sapat na upang malaman ang mga palatandaan ng divisibility. Nagbibigay kami ng mga halimbawa para sa paglilinaw.

Halimbawa, kailangan nating i-decompose ang numero 10 sa prime factor. Alam natin mula sa multiplication table na 2 5=10 , at ang mga numero 2 at 5 ay malinaw na prime, kaya ang prime factorization ng 10 ay 10=2 5 .

Isa pang halimbawa. Gamit ang multiplication table, nabubulok namin ang numero 48 sa prime factor. Alam natin na ang anim na walo ay apatnapu't walo, ibig sabihin, 48=6 8. Gayunpaman, hindi 6 o 8 ang mga pangunahing numero. Ngunit alam natin na dalawang beses tatlo ay anim, at dalawang beses apat ay walo, iyon ay, 6=2 3 at 8=2 4 . Pagkatapos ay 48=6 8=2 3 2 4 . Nananatiling tandaan na ang dalawang beses dalawa ay apat, pagkatapos ay makuha natin ang nais na agnas sa prime factor 48=2 3 2 2 2 . Isulat natin ang agnas na ito sa canonical form: 48=2 4 ·3 .

Ngunit kapag nabubulok ang numero 3400 sa mga pangunahing kadahilanan, maaari mong gamitin ang mga palatandaan ng divisibility. Ang mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng 10, 100 ay nagpapahintulot sa amin na igiit na ang 3400 ay nahahati ng 100, habang ang 3400=34 100, at 100 ay nahahati ng 10, habang ang 100=10 10, samakatuwid, 3400=34 10 10. At sa batayan ng pag-sign ng divisibility sa pamamagitan ng 2, maaari itong maitalo na ang bawat isa sa mga kadahilanan 34, 10 at 10 ay nahahati ng 2, nakukuha natin 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Ang lahat ng mga kadahilanan sa nagresultang pagpapalawak ay simple, kaya ang pagpapalawak na ito ang kinakailangan. Ito ay nananatili lamang upang muling ayusin ang mga kadahilanan upang ang mga ito ay pumunta sa pataas na pagkakasunud-sunod: 3 400=2 2 2 5 5 17 . Isinulat din namin ang canonical decomposition ng numerong ito sa prime factor: 3 400=2 3 5 2 17 .

Kapag nabubulok ang isang naibigay na numero sa mga pangunahing kadahilanan, maaari mong gamitin ang parehong mga palatandaan ng divisibility at ang multiplication table. Katawanin natin ang bilang na 75 bilang produkto ng mga pangunahing kadahilanan. Ang tanda ng divisibility ng 5 ay nagpapahintulot sa amin na igiit na ang 75 ay nahahati ng 5, habang nakuha namin na 75=5 15. At mula sa multiplication table alam natin na 15=3 5 , samakatuwid, 75=5 3 5 . Ito ang nais na pagkabulok ng numero 75 sa pangunahing mga kadahilanan.

Bibliograpiya.

• Vilenkin N.Ya. atbp. Matematika. Baitang 6: aklat-aralin para sa mga institusyong pang-edukasyon.
• Vinogradov I.M. Mga Batayan ng teorya ng numero.
• Mikhelovich Sh.Kh. Teorya ng numero.
• Kulikov L.Ya. at iba pa.Koleksyon ng mga suliranin sa algebra at teorya ng numero: Teksbuk para sa mga mag-aaral ng fiz.-mat. mga espesyalidad ng mga institusyong pedagogical.