Klase 10 . Mga kurba ng pangalawang pagkakasunud-sunod.
10.1. Ellipse. Canonical equation. Half shafts, eccentricity, graph.
10.2. Hyperbola. Canonical equation. Semiaxes, eccentricity, asymptotes, graph.
10.3. Parabola. Canonical equation. Parabola na parameter, graph.
Ang mga kurba ng pangalawang pagkakasunud-sunod sa eroplano ay tinatawag na mga linya, ang implicit na detalye kung saan ay may anyo:
saan 
- binigyan ng totoong mga numero, 
- mga coordinate ng mga curve point. Ang pinakamahalagang linya sa mga kurba ng pangalawang pagkakasunud-sunod ay ellipse, hyperbola, parabola.
10.1. Ellipse. Canonical equation. Half shafts, eccentricity, graph.
Kahulugan ng isang ellipse.Ang ellipse ay isang kurba ng eroplano na ang kabuuan ng mga distansya mula sa dalawang nakapirming punto 
eroplano sa anumang punto 
(mga.). puntos 
tinatawag na foci ng ellipse.
Canonical equation ng isang ellipse:
.
(2)
(o axis 
) dumadaan sa foci 
, at ang pinagmulan ay isang punto 
- matatagpuan sa gitna ng segment 
(Larawan 1). Ang Ellipse (2) ay simetriko na may paggalang sa mga coordinate axes at sa pinanggalingan (sa gitna ng ellipse). Permanente 
,
tinawag semi-axes ng isang ellipse.
Kung ang ellipse ay ibinigay ng equation (2), kung gayon ang foci ng ellipse ay matatagpuan tulad ng sumusunod.
1) Una, tinutukoy namin kung saan nakahiga ang foci: ang foci ay nasa coordinate axis kung saan matatagpuan ang mga pangunahing semiax.
2) Pagkatapos ay kinakalkula ang focal length 
(distansya mula sa foci hanggang sa pinanggalingan).
Sa 
nakatutok kasinungalingan sa axis 
;
;
.
Sa 
nakatutok kasinungalingan sa axis 
;
;
.
eccentricity ellipse ay tinatawag na halaga: 
(sa 
);
(sa 
).
Laging mayroon ang Ellipse 
. Ang eccentricity ay isang katangian ng compression ng ellipse.
Kung ang ellipse (2) ay inilipat upang ang gitna ng ellipse ay bumagsak sa punto 
,
, pagkatapos ay ang equation ng nagresultang ellipse ay may anyo
.
10.2. Hyperbola. Canonical equation. Semiaxes, eccentricity, asymptotes, graph.
Kahulugan ng hyperbola.Ang hyperbola ay isang kurba ng eroplano, kung saan ang ganap na halaga ng pagkakaiba sa mga distansya mula sa dalawang nakapirming punto 
eroplano sa anumang punto 
ang kurba na ito ay pare-parehong independyente sa punto 
(mga.). puntos 
tinatawag na foci ng hyperbola.
Canonical equation ng hyperbola:
o 
.
(3)
Ang ganitong equation ay nakuha kung ang coordinate axis 
(o axis 
) dumadaan sa foci 
, at ang pinagmulan ay isang punto 
- matatagpuan sa gitna ng segment 
. Ang mga hyperbola (3) ay simetriko na may kinalaman sa mga coordinate axes at pinagmulan. Permanente 
,
tinawag semiaxes ng hyperbola.
Ang foci ng hyperbola ay matatagpuan tulad ng sumusunod.
Sa hyperbole 
nakatutok kasinungalingan sa axis 
:
(Larawan 2.a).
Sa hyperbole 
nakatutok kasinungalingan sa axis 
:
(Larawan 2.b)
Dito 
- focal length (distansya mula sa foci hanggang sa pinanggalingan). Ito ay kinakalkula ng formula: 
.
eccentricity Ang hyperbola ay tinatawag na halaga:
(para sa 
);
(para sa 
).
Palaging meron ang hyperbole 
.
Asymptotes ng hyperbolas(3) ay dalawang tuwid na linya: 
. Ang parehong mga sangay ng hyperbola ay lumalapit sa mga asymptotes nang walang katiyakan bilang 
.
Ang pagbuo ng isang graph ng isang hyperbola ay dapat isagawa tulad ng sumusunod: una, kasama ang mga semiax 
bumuo kami ng isang auxiliary rectangle na may mga gilid na kahanay sa mga coordinate axes; pagkatapos ay gumuhit kami ng mga tuwid na linya sa kabaligtaran ng mga vertices ng parihaba na ito, ito ang mga asymptotes ng hyperbola; sa wakas, inilalarawan namin ang mga sanga ng hyperbola, hinawakan nila ang mga midpoint ng kaukulang panig ng auxiliary rectangle at lumapit sa paglaki 
sa mga asymptotes (Larawan 2).
Kung ang hyperbolas (3) ay inilipat upang ang kanilang sentro ay bumagsak sa punto 
, at ang mga semiax ay mananatiling parallel sa mga axes 
,
, kung gayon ang equation ng mga nagresultang hyperbola ay maaaring isulat sa anyo
,
.
10.3. Parabola. Canonical equation. Parabola na parameter, graph.
Kahulugan ng isang parabola.Ang parabola ay isang kurba ng eroplano kung saan para sa anumang punto 
ang kurba na ito ay ang distansya mula sa 
sa isang nakapirming punto 
ang eroplano (tinatawag na pokus ng parabola) ay katumbas ng distansya mula sa 
sa isang nakapirming linya sa eroplano(tinatawag na directrix ng parabola) .
Canonical parabola equation:
,
(4)
saan 
ay isang pare-parehong tinatawag parameter mga parabola.
Dot 
Ang parabola (4) ay tinatawag na vertex ng parabola. Aksis 
ay ang axis ng simetrya. Ang pokus ng parabola (4) ay nasa punto 
, directrix equation 
. Parabola plots (4) na may mga halaga 
at 
ipinapakita sa fig. 3.a at 3.b, ayon sa pagkakabanggit.
Ang equation 
Tinutukoy din ang isang parabola sa eroplano 
, na kung ihahambing sa parabola (4), ay may mga palakol 
,
lumipat ng lugar.
Kung ang parabola (4) ay ginalaw upang ang tuktok nito ay tumama sa punto 
, at ang axis ng symmetry ay mananatiling parallel sa axis 
, pagkatapos ay ang equation ng nagresultang parabola ay may anyo
.
Lumipat tayo sa mga halimbawa.
Halimbawa 1. Ang second order curve ay ibinibigay ng equation 
. Bigyan ng pangalan ang curve na ito. Hanapin ang foci at eccentricity nito. Gumuhit ng curve at ang foci nito sa isang eroplano 
.
Desisyon. Ang curve na ito ay isang ellipse na nakasentro sa punto 
at mga axle shaft 
. Madali itong ma-verify sa pamamagitan ng pagpapalit 
. Ang pagbabagong ito ay nangangahulugan ng paglipat mula sa isang ibinigay na Cartesian coordinate system 
sa bagong Cartesian coordinate system 
, na ang mga palakol 
parallel sa mga palakol 
,
. Ang pagbabagong ito ng coordinate ay tinatawag na system shift. 
eksakto 
. Sa bagong coordinate system 
ang equation ng curve ay na-convert sa canonical equation ng ellipse 
, ang graph nito ay ipinapakita sa Fig. 4.
Maghanap tayo ng mga trick. 
, kaya ang mga trick 
ellipse na matatagpuan sa axis 
.. Sa coordinate system 
:
. kasi 
, sa lumang coordinate system 
may mga coordinate ang mga focus.
Halimbawa 2. Ibigay ang pangalan ng curve ng pangalawang order at ibigay ang graph nito.
Desisyon. Pinipili namin ang mga buong parisukat ayon sa mga terminong naglalaman ng mga variable 
at 
.
Ngayon, ang curve equation ay maaaring muling isulat bilang:
Samakatuwid, ang ibinigay na curve ay isang ellipse na nakasentro sa punto 
at mga axle shaft 
. Ang impormasyong nakuha ay nagpapahintulot sa amin na gumuhit ng graph nito.
Halimbawa 3. Magbigay ng pangalan at gumuhit ng line graph 
.
Desisyon. . Ito ang canonical equation ng isang ellipse na nakasentro sa isang punto 
at mga axle shaft 
.
Sa abot ng, 
, nagtatapos kami: ang ibinigay na equation ay tumutukoy sa eroplano 
ang mas mababang kalahati ng ellipse (Larawan 5).
Halimbawa 4. Ibigay ang pangalan ng curve ng pangalawang order 
. Hanapin ang kanyang mga trick, eccentricity. Magbigay ng graph ng curve na ito.
- canonical equation ng isang hyperbola na may mga semiax 
.
Focal length.
Ang minus sign ay nasa harap ng term na may 
, kaya ang mga trick 
ang mga hyperbola ay nakahiga sa axis 
:. Ang mga sanga ng hyperbola ay matatagpuan sa itaas at ibaba ng axis 
.
ay ang eccentricity ng hyperbola.
Asymptotes ng hyperbola: .
Ang pagtatayo ng isang graph ng hyperbola na ito ay isinasagawa alinsunod sa pamamaraan sa itaas: nagtatayo kami ng isang pantulong na parihaba, gumuhit ng mga asymptotes ng hyperbola, gumuhit ng mga sanga ng hyperbola (tingnan ang Fig. 2.b).
Halimbawa 5. Alamin ang anyo ng kurba na ibinigay ng equation 
at i-plot ito.
- hyperbola na nakasentro sa isang punto 
at kalahating baras.
kasi , nagtatapos kami: tinutukoy ng ibinigay na equation ang bahagi ng hyperbola na nasa kanan ng linya 
. Mas mainam na gumuhit ng hyperbola sa isang auxiliary coordinate system 
nakuha mula sa coordinate system 
shift 
, at pagkatapos ay sa isang makapal na linya piliin ang nais na bahagi ng hyperbola
Halimbawa 6. Alamin ang uri ng kurba at iguhit ang graph nito.
Desisyon. Piliin ang buong parisukat ayon sa mga terminong may variable 
:
Isulat muli natin ang equation ng curve.
Ito ang equation ng isang parabola na may vertex sa punto 
. Sa pamamagitan ng pagbabagong-anyo, ang parabola equation ay nababawasan sa canonical form 
, kung saan makikita na iyon ang parameter ng parabola. Focus 
mga parabola sa system 
may mga coordinate 
,, at sa system 
(ayon sa pagbabago ng shift). Ang parabola graph ay ipinapakita sa fig. 7.
Takdang aralin.
1. Gumuhit ng mga ellipse na ibinigay ng mga equation: 
Hanapin ang kanilang mga semiax, focal length, eccentricity at ipahiwatig sa mga ellipse graph ang lokasyon ng kanilang foci.
2. Gumuhit ng mga hyperbola na ibinigay ng mga equation: 
Hanapin ang kanilang mga semi-axes, focal length, eccentricity at ipahiwatig sa mga graph ng hyperbolas ang lokasyon ng kanilang foci. Isulat ang mga equation para sa mga asymptotes ng ibinigay na hyperbolas.
3. Iguhit ang mga parabola na ibinigay ng mga equation: 
. Hanapin ang kanilang parameter, haba ng focal at ipahiwatig ang lokasyon ng focus sa mga parabola graph.
4. Equation 
tumutukoy sa isang bahagi ng kurba ng ika-2 order. Hanapin ang canonical equation ng curve na ito, isulat ang pangalan nito, buuin ang graph nito at i-highlight doon ang bahagi ng curve na tumutugma sa orihinal na equation.
Ang hyperbola ay isang locus ng mga punto sa isang eroplano, ang modulus ng pagkakaiba sa mga distansya mula sa bawat isa sa dalawang ibinigay na mga punto F_1 at F_2 ay isang pare-parehong halaga (2a), mas mababa kaysa sa distansya (2c) sa pagitan ng mga ibinigay na punto (Fig 3.40, a). Itong geometriko na kahulugan ay nagpapahayag focal property ng isang hyperbola.
Focal property ng isang hyperbola
Ang mga puntos na F_1 at F_2 ay tinatawag na foci ng hyperbola, ang distansya 2c=F_1F_2 sa pagitan ng mga ito ay ang focal length, ang midpoint O ng segment na F_1F_2 ay ang sentro ng hyperbola, ang numero 2a ay ang haba ng totoong axis ng ang hyperbola (ayon sa pagkakabanggit, ang a ay ang tunay na semiaxis ng hyperbola). Ang mga segment na F_1M at F_2M na nagkokonekta sa isang arbitrary na punto M ng hyperbola kasama ang foci nito ay tinatawag na focal radii ng punto M . Ang segment ng linya na nagkokonekta sa dalawang punto ng hyperbola ay tinatawag na chord ng hyperbola.
Ang kaugnayan e=\frac(c)(a) , kung saan c=\sqrt(a^2+b^2) , ay tinatawag hyperbolic eccentricity. Mula sa kahulugan (2a<2c) следует, что e>1 .
Geometric na kahulugan ng hyperbola, na nagpapahayag ng focal property nito, ay katumbas ng analytical definition nito - ang linyang ibinigay ng canonical equation ng hyperbola:
\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1.
Sa katunayan, ipakilala natin ang isang rectangular coordinate system (Larawan 3.40, b). Kinukuha namin ang sentro O ng hyperbola bilang pinagmulan ng sistema ng coordinate; ang tuwid na linya na dumadaan sa foci (focal axis), kukunin natin bilang abscissa axis (ang positibong direksyon dito mula sa puntong F_1 hanggang sa puntong F_2); ang isang tuwid na linya na patayo sa abscissa axis at dumadaan sa gitna ng hyperbola ay kinuha bilang ordinate axis (ang direksyon sa ordinate axis ay pinili upang ang rectangular coordinate system na Oxy ay tama).
Isulat natin ang equation ng hyperbola gamit ang geometric na kahulugan na nagpapahayag ng focal property. Sa napiling coordinate system, tinutukoy namin ang mga coordinate ng foci F_1(-c,0) at F_2(c,0) . Para sa isang arbitrary na puntong M(x,y) na kabilang sa isang hyperbola, mayroon tayong:
\left||\overrightarrow(F_1M)|-|\overrightarrow(F_2M)|\right|=2a.
Sa pagsulat ng equation na ito sa coordinate form, makukuha natin ang:
\sqrt((x+c)^2+y^2)-\sqrt((x-c)^2+y^2)=\pm2a.
Ang pagsasagawa ng mga pagbabagong katulad ng ginamit sa derivation ng ellipse equation (i.e. pag-alis ng irrationality), nakarating tayo sa canonical equation ng hyperbola:
\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1\,
kung saan b=\sqrt(c^2-a^2) , ibig sabihin. ang napiling coordinate system ay kanonikal.
Sa pamamagitan ng pangangatwiran pabalik, maipapakita na ang lahat ng mga punto na ang mga coordinate ay nakakatugon sa equation (3.50), at sila lamang, ay nabibilang sa locus ng mga puntos, na tinatawag na hyperbola. Kaya, ang analytic na kahulugan ng isang hyperbola ay katumbas ng geometric na kahulugan nito.
Pag-aari ng direktoryo ng hyperbola
Ang mga directtrix ng hyperbola ay tinatawag na dalawang tuwid na linya na dumadaan parallel sa y-axis ng canonical coordinate system sa parehong distansya a^2\!\!\not(\phantom(|))\,c mula dito (Larawan 3.41, a). Para sa a=0 , kapag ang hyperbola ay bumababa sa isang pares ng mga intersecting na linya, ang mga directrix ay nagtutugma.
Ang hyperbola na may eccentricity e=1 ay maaaring tukuyin bilang ang locus ng mga punto sa eroplano, para sa bawat isa kung saan ang ratio ng distansya sa isang partikular na punto F (focus) sa distansya sa isang naibigay na tuwid na linya d (directrix) na hindi pumasa sa isang naibigay na punto ay pare-pareho at katumbas ng eccentricity e ( pag-aari ng direktoryo ng isang hyperbola). Narito ang F at d ay isa sa mga foci ng hyperbola at isa sa mga directrix nito, na matatagpuan sa parehong bahagi ng y-axis ng canonical coordinate system.
Sa katunayan, halimbawa, para sa focus F_2 at ang directrix d_2 (Fig. 3.41, a) ang kundisyon \frac(r_2)(\rho_2)=e maaaring isulat sa coordinate form:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\left(x-\frac(a^2)(c)\right)
Pag-alis ng hindi makatwiran at pagpapalit e=\frac(c)(a),~c^2-a^2=b^2, dumating tayo sa canonical equation ng hyperbola (3.50). Ang katulad na pangangatwiran ay maaaring isagawa para sa focus F_1 at ang directrix d_1 :
\frac(r_1)(\rho_1)=e \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt((x+c)^2+y^2)= e\left(x+\frac(a^2)(c) \right ).
Hyperbola equation sa polar coordinates
Ang equation ng kanang sangay ng hyperbola sa polar coordinate system F_2r\varphi (Fig. 3.41, b) ay may anyo
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), kung saan p=\frac(p^2)(a) - hyperbola focal parameter.
Sa katunayan, piliin natin ang tamang focus F_2 ng hyperbola bilang pole ng polar coordinate system, at ang ray na may pinanggalingan sa punto F_2, na kabilang sa linya F_1F_2, ngunit hindi naglalaman ng point F_1 (Fig. 3.41, b) bilang polar axis. Pagkatapos para sa isang di-makatwirang punto M(r,\varphi) na kabilang sa kanang sangay ng hyperbola, ayon sa geometric na kahulugan (focal property) ng hyperbola, mayroon tayong F_1M-r=2a . Ipinapahayag namin ang distansya sa pagitan ng mga puntong M(r,\varphi) at F_1(2c,\pi) (tingnan ang punto 2 ng mga komento 2.8):
F_1M=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)^2\cdot r\cdot\cos(\varphi-\pi))=\sqrt(r^2+4\cdot c \cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).
Samakatuwid, sa coordinate form, ang equation ng hyperbola ay may anyo
\sqrt(r^2+4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)-r=2a.
Ihiwalay namin ang radical, parisukat sa magkabilang panig ng equation, hatiin sa 4 at magbigay ng mga katulad na termino:
r^2+4cr\cdot\cos\varphi+4c^2=4a^2+4ar+r^2 \quad \Leftrightarrow \quad a\left(1-\frac(c)(a)\cos\varphi\ kanan)r=c^2-a^2.
Ipinapahayag namin ang polar radius r at gumagawa ng mga pamalit e=\frac(c)(a),~b^2=c^2-a^2,~p=\frac(b^2)(a):
r=\frac(c^2-a^2)(a(1-e\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a(1-e\cos\varphi )) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cos\varphi),
Q.E.D. Tandaan na sa mga polar coordinates, ang hyperbola at ellipse equation ay nagtutugma, ngunit naglalarawan ng magkaibang linya, dahil sila ay naiiba sa mga eccentricities (e>1 para sa isang hyperbola, 0\leqslant e<1 для эллипса).
Ang geometric na kahulugan ng mga coefficient sa hyperbola equation
Hanapin natin ang mga intersection point ng hyperbola (Fig. 3.42, a) na may abscissa axis (vertices ng hyperbola). Ang pagpapalit ng y=0 sa equation, makikita natin ang abscissas ng mga intersection point: x=\pm a . Samakatuwid, ang mga vertex ay may mga coordinate (-a,0),\,(a,0) . Ang haba ng segment na nagkokonekta sa mga vertices ay 2a . Ang segment na ito ay tinatawag na tunay na axis ng hyperbola, at ang numero a ay ang tunay na semiaxis ng hyperbola. Ang pagpapalit ng x=0 , makuha natin ang y=\pm ib . Ang haba ng segment ng y-axis na kumukonekta sa mga punto (0,-b),\,(0,b) ay katumbas ng 2b . Ang segment na ito ay tinatawag na imaginary axis ng hyperbola, at ang bilang b ay tinatawag na imaginary semiaxis ng hyperbola. Ang hyperbola ay nag-intersect sa linyang naglalaman ng totoong axis at hindi nag-intersect sa linyang naglalaman ng haka-haka na axis.
Pangungusap 3.10.
1. Nililimitahan ng mga linyang x=\pm a,~y=\pm b ang pangunahing parihaba sa coordinate plane, sa labas kung saan matatagpuan ang hyperbola (Larawan 3.42, a).
2. Ang mga tuwid na linya na naglalaman ng mga dayagonal ng pangunahing parihaba ay tinatawag na mga asymptotes ng hyperbola (Larawan 3.42, a).
Para sa equilateral hyperbola, na inilarawan ng equation (i.e. na may a=b ), ang pangunahing parihaba ay isang parisukat, ang mga dayagonal nito ay patayo. Samakatuwid, ang mga asymptotes ng isang equilateral hyperbola ay patayo din, at maaari silang kunin bilang mga coordinate axes ng rectangular coordinate system Ox"y" (Fig. 3.42, b). Sa coordinate system na ito, ang hyperbola equation ay may anyo y"=\frac(a^2)(2x")(ang hyperbola ay tumutugma sa graph ng elementary function na nagpapahayag ng inversely proportional na relasyon).
Sa katunayan, paikutin natin ang canonical coordinate system sa pamamagitan ng anggulo \varphi=-\frac(\pi)(4)(Larawan 3.42, b). Sa kasong ito, ang mga coordinate ng punto sa luma at bagong coordinate system ay nauugnay sa mga pagkakapantay-pantay
\left\(\!\begin(aligned)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y",\\ y& =-\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y"\end(aligned)\right. \quad \Leftrightarrow \quad \ kaliwa\(\!\begin(aligned)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot(x"+y"),\\ y&=\frac(\sqrt(2))(2) \cdot(y"-x")\end(aligned)\right.
Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(a^2)=1 ng isang equilateral hyperbola at nagdadala ng mga katulad na termino, nakuha namin
\frac(\frac(1)(2)(x"+y")^2)(a^2)-\frac(\frac(1)(2)(y"-x")^2)(a ^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad 2\cdot x"\cdot y"=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad y"=\frac(a^2)(2\cdot x").
3. Ang mga coordinate axes (ng canonical coordinate system) ay ang mga axes ng symmetry ng hyperbola (tinatawag na pangunahing axes ng hyperbola), at ang sentro nito ay ang sentro ng simetrya.
Sa katunayan, kung ang puntong M(x,y) ay kabilang sa hyperbola . pagkatapos ay ang mga puntos na M"(x,y) at M""(-x,y) , simetriko sa puntong M na may paggalang sa mga coordinate axes, ay nabibilang din sa parehong hyperbola.
Ang axis ng symmetry, kung saan matatagpuan ang foci ng hyperbola, ay ang focal axis.
4. Mula sa hyperbola equation sa polar coordinates r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(tingnan ang Fig. 3.41, b) ang geometric na kahulugan ng focal parameter ay nilinaw - ito ay kalahati ng haba ng chord ng hyperbola na dumadaan sa pokus nito patayo sa focal axis (r = p sa \varphi=\frac(\pi)(2)).
5. Ang eccentricity e ay nagpapakilala sa hugis ng hyperbola. Kung mas maraming e, mas malawak ang mga sanga ng hyperbola, at mas malapit ang e sa isa, mas makitid ang mga sanga ng hyperbola (Fig. 3.43, a).
Sa katunayan, ang halaga \gamma ng anggulo sa pagitan ng mga asymptotes ng hyperbola na naglalaman ng sangay nito ay tinutukoy ng ratio ng mga gilid ng pangunahing parihaba: \operatorname(tg)\frac(\gamma)(2)=\frac(b)(2). Isinasaalang-alang na ang e=\frac(c)(a) at c^2=a^2+b^2 , nakukuha natin
e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2+b^2)(a^2)=1+(\kaliwa(\frac(b)(a)\kanan )\^2=1+\operatorname{tg}^2\frac{\gamma}{2}. !}
Ang mas malaki e , mas malaki ang \gamma angle. Para sa isang equilateral hyperbola (a=b) mayroon kaming e=\sqrt(2) at \gamma=\frac(\pi)(2). Para sa e>\sqrt(2) ang anggulo na \gamma ay malabo, ngunit para sa 1 6. Dalawang hyperbola ang tinukoy sa parehong coordinate system ng mga equation \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1 at tinatawag naka-link sa isa't isa. Ang conjugate hyperbolas ay may parehong asymptotes (Larawan 3.43, b). Conjugate Hyperbola Equation -\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 ay nabawasan sa canonical sa pamamagitan ng pagpapalit ng pangalan sa coordinate axes (3.38). 7. Equation \frac((x-x_0)^2)(a^2)-\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1 tumutukoy sa isang hyperbola na nakasentro sa puntong O "(x_0, y_0) , na ang mga axes ay parallel sa mga coordinate axes (Fig. 3.43, c). Ang equation na ito ay binawasan sa canonical na gamit gamit ang parallel translation (3.36). Equation -\frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1 tumutukoy sa isang conjugate hyperbola na nakasentro sa puntong O"(x_0,y_0) . Ang parametric equation ng isang hyperbola sa canonical coordinate system ay may anyo \begin(cases)x=a\cdot\operatorname(ch)t,\\y=b\cdot\operatorname(sh)t,\end(cases)t\in\mathbb(R), saan \operatorname(ch)t=\frac(e^t+e^(-t))(2)- hyperbolic cosine, a \operatorname(sh)t=\frac(e^t-e^(-t))(2) hyperbolic sine. Sa katunayan, ang pagpapalit ng mga coordinate expression sa equation (3.50), dumating tayo sa pangunahing hyperbolic identity \operatorname(ch)^2t-\operatorname(sh)^2t=1. Halimbawa 3.21. Gumuhit ng hyperbole \frac(x^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1 sa canonical coordinate system Oxy . Maghanap ng mga semiax, focal length, eccentricity, focal parameter, equation ng asymptotes at directrixes. Desisyon. Ang paghahambing ng ibinigay na equation sa canonical na isa, tinutukoy namin ang mga semiax: a=2 - tunay na semiaxis, b=3 - haka-haka na semiaxis ng hyperbola. Binubuo namin ang pangunahing parihaba na may mga gilid 2a=4,~2b=6 na nakasentro sa pinanggalingan (Fig.3.44). Gumuhit kami ng mga asymptotes sa pamamagitan ng pagpapalawak ng mga diagonal ng pangunahing rektanggulo. Bumubuo kami ng hyperbola, na isinasaalang-alang ang simetrya nito tungkol sa mga coordinate axes. Kung kinakailangan, tinutukoy namin ang mga coordinate ng ilang mga punto ng hyperbola. Halimbawa, ang pagpapalit ng x=4 sa hyperbola equation, nakukuha natin \frac(4^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=27 \quad \Leftrightarrow \quad y=\pm3\sqrt (3). Samakatuwid, ang mga puntos na may mga coordinate (4;3\sqrt(3)) at (4;-3\sqrt(3)) ay nabibilang sa hyperbola. Kinakalkula ang haba ng focal 2\cdot c=2\cdot\sqrt(a^2+b^2)=2\cdot\sqrt(2^2+3^2)=2\sqrt(13) eccentricity e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(13))(2); focal parameter p=\frac(b^2)(a)=\frac(3^2)(2)=4,\!5. Binubuo namin ang mga equation ng asymptotes y=\pm\frac(b)(a)\,x, ibig sabihin y=\pm\frac(3)(2)\,x, at mga directrix equation: x=\pm\frac(a^2)(c)=\frac(4)(\sqrt(13)). Para sa iba pang mga mambabasa, iminumungkahi kong dagdagan ang kanilang kaalaman sa paaralan tungkol sa parabola at hyperbola. Hyperbola at parabola - simple ba ito? … Huwag maghintay =) Ang pangkalahatang istraktura ng presentasyon ng materyal ay magiging katulad ng nakaraang talata. Magsimula tayo sa pangkalahatang konsepto ng hyperbola at ang problema sa pagbuo nito. Ang canonical equation ng isang hyperbola ay may anyo , kung saan ang mga positibong tunay na numero. Tandaan na, hindi katulad ellipse, ang kundisyon ay hindi ipinataw dito, ibig sabihin, ang halaga ng "a" ay maaaring mas mababa kaysa sa halaga ng "be". Dapat kong sabihin, medyo hindi inaasahan ... ang equation ng "paaralan" hyperbole ay hindi kahit na malapit na kahawig ng canonical record. Ngunit ang bugtong na ito ay kailangan pa ring maghintay para sa atin, ngunit sa ngayon ay magkamot tayo sa likod ng ating ulo at alalahanin kung anong mga katangian ang mayroon ang kurba na isinasaalang-alang? Ikalat natin ito sa screen ng ating imahinasyon function graph …. Ang hyperbola ay may dalawang simetriko na sanga. Magandang pag-unlad! Anumang hyperbole ay may mga katangiang ito, at ngayon ay titingnan natin nang may tunay na paghanga sa neckline ng linyang ito: Halimbawa 4 Bumuo ng hyperbola na ibinigay ng equation Desisyon: sa unang hakbang, dinadala namin ang equation na ito sa canonical form . Mangyaring tandaan ang karaniwang pamamaraan. Sa kanan, kailangan mong makakuha ng "isa", kaya hinati namin ang parehong bahagi ng orihinal na equation sa pamamagitan ng 20: Dito maaari mong bawasan ang parehong mga fraction, ngunit ito ay mas mahusay na gawin ang bawat isa sa kanila tatlong palapag: At pagkatapos lamang nito upang isagawa ang pagbawas: Pinipili namin ang mga parisukat sa mga denominador: Bakit mas mainam na magsagawa ng mga pagbabago sa ganitong paraan? Pagkatapos ng lahat, ang mga fraction ng kaliwang bahagi ay maaaring agad na bawasan at makuha. Ang katotohanan ay sa halimbawang isinasaalang-alang, kami ay medyo masuwerte: ang numero 20 ay nahahati sa parehong 4 at 5. Sa pangkalahatang kaso, ang naturang numero ay hindi gumagana. Isaalang-alang, halimbawa, ang equation . Dito, na may divisibility, ang lahat ay mas malungkot at wala tatlong palapag na fraction hindi na kailangan: Kaya, gamitin natin ang bunga ng ating mga paggawa - ang canonical equation: Mayroong dalawang diskarte sa pagbuo ng hyperbola - geometric at algebraic. Maipapayo na sumunod sa sumusunod na algorithm, una ang natapos na pagguhit, pagkatapos ay ang mga komento: Sa pagsasagawa, ang isang kumbinasyon ng pag-ikot sa pamamagitan ng isang arbitrary na anggulo at parallel na pagsasalin ng isang hyperbola ay madalas na nakatagpo. Ang sitwasyong ito ay tinalakay sa aralin. Pagbawas ng 2nd order line equation sa canonical form. Tapos na! Siya ang pinaka. Handa nang magbunyag ng maraming sikreto. Ang canonical equation ng isang parabola ay may anyo , kung saan ay isang tunay na numero. Madaling makita na sa karaniwang posisyon nito ang parabola ay "nakahiga sa gilid nito" at ang vertex nito ay nasa pinanggalingan. Sa kasong ito, itinatakda ng function ang itaas na sangay ng linyang ito, at itinatakda ng function ang mas mababang sangay. Malinaw, ang parabola ay simetriko tungkol sa axis. Sa totoo lang, ano ang paliligo: Halimbawa 6 Bumuo ng parabola Desisyon: kilala ang vertex, maghanap tayo ng karagdagang mga puntos. Ang equation Upang paikliin ang rekord, magsasagawa kami ng mga kalkulasyon "sa ilalim ng parehong brush": Para sa compact notation, ang mga resulta ay maaaring ibuod sa isang talahanayan. Bago magsagawa ng elementary point-by-point drawing, bumalangkas kami ng mahigpit Ang parabola ay ang hanay ng lahat ng mga punto sa isang eroplano na katumbas ng layo mula sa isang partikular na punto at isang ibinigay na linya na hindi dumadaan sa punto. Tinatawag ang punto focus parabola, tuwid na linya punong guro (isinulat ng isang "es") mga parabola. Ang pare-parehong "pe" ng canonical equation ay tinatawag focal parameter, na katumbas ng distansya mula sa focus hanggang sa directrix. AT kasong ito. Sa kasong ito, ang focus ay may mga coordinate , at ang directrix ay ibinibigay ng equation . Binabati kita! Marami sa inyo ang nakagawa ng tunay na pagtuklas ngayon. Lumalabas na ang hyperbola at parabola ay hindi lahat ng mga graph ng "ordinaryong" function, ngunit may binibigkas na geometric na pinagmulan. Malinaw, na may pagtaas sa focal parameter, ang mga sanga ng graph ay "kakalat" pataas at pababa, papalapit sa axis nang walang katapusan na malapit. Sa isang pagbawas sa halaga ng "pe", magsisimula silang lumiit at mag-abot sa kahabaan ng axis Ang eccentricity ng anumang parabola ay katumbas ng isa: Ang parabola ay isa sa mga pinakakaraniwang linya sa matematika, at kailangan mo itong gawin nang madalas. Samakatuwid, mangyaring bigyang-pansin ang huling talata ng aralin, kung saan susuriin ko ang mga tipikal na opsyon para sa lokasyon ng kurba na ito. ! Tandaan
: tulad ng mga kaso sa mga nakaraang kurba, mas tamang pag-usapan ang tungkol sa pag-ikot at parallel na pagsasalin ng mga coordinate axes, ngunit lilimitahan ng may-akda ang kanyang sarili sa isang pinasimpleng bersyon ng pagtatanghal upang ang mambabasa ay magkaroon ng elementarya na ideya ng ang mga pagbabagong ito. Kahulugan. Ang hyperbola ay ang locus ng mga punto sa eroplanong y, ang ganap na halaga ng pagkakaiba sa mga distansya ng bawat isa kung saan mula sa dalawang ibinigay na mga punto ng eroplanong ito, na tinatawag na foci, y ay may pare-parehong halaga, sa kondisyon na ang halagang ito ay hindi katumbas ng zero at mas mababa sa distansya sa pagitan ng foci. Tukuyin natin ang distansya sa pagitan ng foci bilang isang pare-parehong halaga na katumbas ng modulus ng pagkakaiba sa mga distansya mula sa bawat punto ng hyperbola hanggang sa foci, sa pamamagitan ng (ayon sa kondisyon ). Tulad ng sa kaso ng isang ellipse, iginuhit namin ang abscissa axis sa pamamagitan ng foci, at kinuha ang gitna ng segment bilang pinagmulan (tingnan ang Fig. 44). Ang foci sa naturang sistema ay magkakaroon ng mga coordinate. Kunin natin ang equation ng hyperbola sa napiling coordinate system. Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang hyperbola, para sa alinman sa mga punto nito na mayroon tayo o Pero . Samakatuwid, nakukuha namin Pagkatapos ng mga pagpapasimple na katulad ng ginawa kapag nagmula sa ellipse equation, nakukuha natin ang sumusunod na equation: na isang kinahinatnan ng equation (33). Madaling makita na ang equation na ito ay tumutugma sa equation (27) na nakuha para sa isang ellipse. Gayunpaman, sa equation (34) ang pagkakaiba , dahil para sa hyperbola . Samakatuwid, inilalagay namin Pagkatapos ang equation (34) ay binabawasan sa sumusunod na anyo: Ang equation na ito ay tinatawag na canonical equation ng hyperbola. Ang equation (36), bilang resulta ng equation (33), ay nasiyahan ng mga coordinate ng anumang punto ng hyperbola. Maaaring ipakita na ang mga coordinate ng mga puntos na hindi namamalagi sa hyperbola ay hindi nakakatugon sa equation (36). Itatag natin ang anyo ng hyperbola gamit ang canonical equation nito. Ang equation na ito ay naglalaman lamang ng kahit na mga kapangyarihan ng kasalukuyang mga coordinate. Dahil dito, ang hyperbola ay may dalawang axes ng symmetry, sa kasong ito ay tumutugma sa mga coordinate axes. Sa mga sumusunod, ang mga axes ng symmetry ng hyperbola ay tatawaging mga axes ng hyperbola, at ang punto ng kanilang intersection ay tatawaging sentro ng hyperbola. Ang axis ng hyperbola kung saan matatagpuan ang foci ay tinatawag na focal axis. Ginalugad namin ang hugis ng hyperbola sa unang quarter, kung saan Dito, dahil kung hindi y ay kukuha ng mga haka-haka na halaga. Habang ang x ay tumataas mula sa isang hanggang, ito ay tumataas mula 0 hanggang Ang bahagi ng hyperbola na nakahiga sa unang quarter ay ang arko na ipinapakita sa Fig. 47. Dahil ang hyperbola ay matatagpuan sa simetriko tungkol sa mga coordinate axes, ang curve na ito ay may anyo na ipinapakita sa Fig. 47. Ang mga intersection point ng hyperbola na may focal axis ay tinatawag na vertices nito. Kung ipagpalagay sa hyperbola equation, makikita natin ang abscissas ng vertices nito: . Kaya, ang hyperbola ay may dalawang vertex: . Ang hyperbola ay hindi sumasalubong sa y-axis. Sa katunayan, ang paglalagay sa hyperbola equation ay nakakakuha tayo ng mga haka-haka na halaga para sa y: . Samakatuwid, ang focal axis ng hyperbola ay tinatawag na real axis, at ang symmetry axis na patayo sa focal axis ay tinatawag na imaginary axis ng hyperbola. Ang totoong axis ay tinatawag ding segment na nagkokonekta sa mga vertices ng hyperbola, at ang haba nito ay 2a. Ang segment na nagkokonekta sa mga punto (tingnan ang Fig. 47), pati na rin ang haba nito, ay tinatawag na haka-haka na axis ng hyperbola. Ang mga numerong a at b ay ayon sa pagkakabanggit ay tinatawag na tunay at haka-haka na mga semiax ng hyperbola. Isaalang-alang ngayon ang isang hyperbola na matatagpuan sa unang kuwadrante at kung saan ay ang graph ng function Ipakita natin na ang mga punto ng graph na ito, na matatagpuan sa isang sapat na malaking distansya mula sa pinanggalingan, ay arbitraryong malapit sa tuwid na linya dumadaan sa pinanggalingan at pagkakaroon ng slope Sa layuning ito, isaalang-alang ang dalawang punto na may parehong abscissa at nakahiga ayon sa pagkakabanggit sa kurba (37) at tuwid na linya (38) (Fig. 48), at bumubuo sa pagkakaiba sa pagitan ng mga ordinate ng mga puntong ito. Ang numerator ng fraction na ito ay isang pare-parehong halaga, at ang denominator ay tumataas nang walang katiyakan na may walang limitasyong pagtaas. Samakatuwid, ang pagkakaiba ay may posibilidad na zero, ibig sabihin, ang mga puntos na M at N ay lumalapit nang walang katiyakan na may walang limitasyong pagtaas sa abscissa. Mula sa symmetry ng hyperbola na may paggalang sa mga coordinate axes, sumusunod na mayroong isa pang tuwid na linya , kung saan ang mga punto ng hyperbola ay arbitraryong malapit sa isang walang limitasyong distansya mula sa pinanggalingan. Direkta ay tinatawag na asymptotes ng hyperbola. Sa fig. Ipinapakita ng 49 ang relatibong posisyon ng hyperbola at ang mga asymptotes nito. Ipinapakita rin ng figure na ito kung paano bumuo ng mga asymptotes ng hyperbola. Upang gawin ito, bumuo ng isang parihaba na nakasentro sa pinanggalingan at may mga gilid na kahanay sa mga palakol at, ayon sa pagkakabanggit, katumbas ng . Ang parihaba na ito ay tinatawag na pangunahing parihaba. Ang bawat isa sa mga diagonal nito, na pinalawak nang walang katiyakan sa parehong direksyon, ay isang asymptote ng isang hyperbola. Bago bumuo ng hyperbola, inirerekumenda na bumuo ng mga asymptotes nito. Ang ratio ng kalahati ng distansya sa pagitan ng foci sa tunay na semiaxis ng hyperbola ay tinatawag na eccentricity ng hyperbola at karaniwang tinutukoy ng titik: Dahil para sa isang hyperbola, kung gayon ang eccentricity ng hyperbola ay mas malaki kaysa sa isa: Ang eccentricity ay nagpapakilala sa hugis ng hyperbola Sa katunayan, ito ay sumusunod mula sa formula (35) na . Ipinapakita nito na mas maliit ang eccentricity ng hyperbola, mas maliit ang ratio - ng mga semiaxes nito. Ngunit ang kaugnayan - tinutukoy ang hugis ng pangunahing parihaba ng hyperbola, at samakatuwid ang hugis ng hyperbola mismo. Kung mas maliit ang eccentricity ng hyperbola, mas pinalawak ang pangunahing parihaba nito (sa direksyon ng focal axis). Hyperbola at parabola Lumipat tayo sa ikalawang bahagi ng artikulo. tungkol sa mga linya ng pangalawang order, na nakatuon sa dalawa pang karaniwang kurba - hyperbole at parabola. Kung dumating ka sa pahinang ito mula sa isang search engine o wala pang oras upang mag-navigate sa paksa, pagkatapos ay inirerekumenda ko na pag-aralan mo muna ang unang seksyon ng aralin, kung saan sinuri namin hindi lamang ang mga pangunahing teoretikal na punto, ngunit nakilala din. kasama ellipse. Para sa iba pang mga mambabasa, iminumungkahi kong dagdagan ang kanilang kaalaman sa paaralan tungkol sa parabola at hyperbola. Hyperbola at parabola - simple ba ito? … Huwag maghintay =) Hyperbola at ang canonical equation nito Ang pangkalahatang istraktura ng presentasyon ng materyal ay magiging katulad ng nakaraang talata. Magsimula tayo sa pangkalahatang konsepto ng hyperbola at ang problema sa pagbuo nito. Ang canonical equation ng isang hyperbola ay may anyo , kung saan ang mga positibong tunay na numero. Tandaan na, hindi katulad ellipse, ang kundisyon ay hindi ipinataw dito, ibig sabihin, ang halaga ng "a" ay maaaring mas mababa kaysa sa halaga ng "be". Dapat kong sabihin, medyo hindi inaasahan ... ang equation ng "paaralan" hyperbole ay hindi kahit na malapit na kahawig ng canonical record. Ngunit ang bugtong na ito ay kailangan pa ring maghintay para sa atin, ngunit sa ngayon ay magkamot tayo sa likod ng ating ulo at alalahanin kung anong mga katangian ang mayroon ang kurba na isinasaalang-alang? Ikalat natin ito sa screen ng ating imahinasyon function graph …. Ang hyperbola ay may dalawang simetriko na sanga. Ang hyperbole ay may dalawa asymptotes. Magandang pag-unlad! Anumang hyperbole ay may mga katangiang ito, at ngayon ay titingnan natin nang may tunay na paghanga sa neckline ng linyang ito: Halimbawa 4 Bumuo ng hyperbola na ibinigay ng equation Desisyon: sa unang hakbang, dinadala namin ang equation na ito sa canonical form . Mangyaring tandaan ang karaniwang pamamaraan. Sa kanan, kailangan mong makakuha ng "isa", kaya hinati namin ang parehong bahagi ng orihinal na equation sa pamamagitan ng 20: Dito maaari mong bawasan ang parehong mga fraction, ngunit ito ay mas mahusay na gawin ang bawat isa sa kanila tatlong palapag: At pagkatapos lamang nito upang isagawa ang pagbawas: Pinipili namin ang mga parisukat sa mga denominador: Bakit mas mainam na magsagawa ng mga pagbabago sa ganitong paraan? Pagkatapos ng lahat, ang mga fraction ng kaliwang bahagi ay maaaring agad na bawasan at makuha. Ang katotohanan ay sa halimbawang isinasaalang-alang, kami ay medyo masuwerte: ang numero 20 ay nahahati sa parehong 4 at 5. Sa pangkalahatang kaso, ang naturang numero ay hindi gumagana. Isaalang-alang, halimbawa, ang equation . Dito, na may divisibility, ang lahat ay mas malungkot at wala tatlong palapag na fraction hindi na kailangan: Kaya, gamitin natin ang bunga ng ating mga paggawa - ang canonical equation: Paano bumuo ng isang hyperbole? Mayroong dalawang diskarte sa pagbuo ng hyperbola - geometric at algebraic. Maipapayo na sumunod sa sumusunod na algorithm, una ang natapos na pagguhit, pagkatapos ay ang mga komento: 1) Una sa lahat, nahanap namin asymptotes. Kung ang hyperbola ay ibinigay ng canonical equation , ang mga asymptotes nito ay tuwid 2) Ngayon nahanap namin dalawang vertex ng hyperbola, na matatagpuan sa x-axis sa mga punto 3) Naghahanap kami ng mga karagdagang puntos. Kadalasan ay sapat na ang 2-3. Sa canonical na posisyon, ang hyperbola ay simetriko tungkol sa pinagmulan at parehong coordinate axes, kaya sapat na upang magsagawa ng mga kalkulasyon para sa 1st coordinate quarter. Ang pamamaraan ay eksaktong kapareho ng para sa pagtatayo ellipse. Mula sa canonical equation sa draft, ipinapahayag namin: Iminumungkahi nito ang paghahanap ng mga puntos na may abscissas: 4) Iguhit ang mga asymptotes sa drawing Ang isang teknikal na kahirapan ay maaaring lumitaw sa isang hindi makatwiran slope factor, ngunit ito ay isang ganap na malulutas na problema. Segment ng linya tinawag totoong axis hyperbole, Sa aming halimbawa: Kahulugan ng hyperbola. Foci at eccentricity Sa isang hyperbole, sa parehong paraan tulad ng sa ellipse, mayroong dalawang isahan na punto , na tinatawag na mga trick. Hindi ko sinabi, ngunit kung sakali, biglang may hindi nauunawaan: ang sentro ng simetrya at ang mga punto ng pokus, siyempre, ay hindi kabilang sa mga kurba.. Ang pangkalahatang konsepto ng kahulugan ay katulad din: Hyperbole ay ang hanay ng lahat ng mga punto sa eroplano, ganap na halaga ang pagkakaiba sa mga distansya sa bawat isa kung saan mula sa dalawang ibinigay na mga punto ay isang pare-parehong halaga, ayon sa bilang na katumbas ng distansya sa pagitan ng mga vertex ng hyperbola na ito: . Sa kasong ito, ang distansya sa pagitan ng foci ay lumampas sa haba ng totoong axis: . Kung ang hyperbola ay ibinigay ng canonical equation, kung gayon distansya mula sa sentro ng simetrya hanggang sa bawat foci kinakalkula ng formula: . Para sa pinag-aralan na hyperbola: Balikan natin ang kahulugan. Tukuyin sa pamamagitan ng mga distansya mula sa foci hanggang sa isang arbitrary na punto ng hyperbola: Una, ilipat sa isip ang asul na tuldok sa kanang sangay ng hyperbola - nasaan man tayo, modyul(ganap na halaga) ang pagkakaiba sa pagitan ng mga haba ng mga segment ay magiging pareho: Kung ang punto ay "itinapon" sa kaliwang sangay, at inilipat doon, kung gayon ang halagang ito ay mananatiling hindi nagbabago. Ang tanda ng modulus ay kailangan para sa kadahilanang ang pagkakaiba sa mga haba ay maaaring maging positibo o negatibo. Sa pamamagitan ng paraan, para sa anumang punto sa kanang sangay Bukod dito, dahil sa halatang pag-aari ng modulus, hindi mahalaga kung ano ang ibawas sa kung ano. Siguraduhin natin na sa ating halimbawa ang modulus ng pagkakaibang ito ay talagang katumbas ng distansya sa pagitan ng mga vertex. Mentally maglagay ng point sa kanang vertex ng hyperbola. Pagkatapos: , na dapat suriin.Parametric equation ng isang hyperbola
Hyperbola at ang canonical equation nito
Paano bumuo ng isang hyperbole?
Mula sa isang praktikal na punto ng view, pagguhit gamit ang isang compass ... Gusto ko kahit na sabihin utopian, kaya ito ay mas kumikita upang dalhin ang mga simpleng kalkulasyon upang iligtas muli.
Parabola at ang canonical equation nito
tinutukoy ang itaas na arko ng parabola, tinutukoy ng equation ang mas mababang arko.
kahulugan ng parabola:
Sa aming halimbawa: 
Ang kahulugan ng isang parabola ay mas madaling maunawaan kaysa sa mga kahulugan ng isang ellipse at isang hyperbola. Para sa anumang punto ng parabola, ang haba ng segment (ang distansya mula sa focus hanggang sa punto) ay katumbas ng haba ng perpendicular (ang distansya mula sa punto hanggang sa directrix): Pag-ikot at pagsasalin ng isang parabola
Mula sa isang praktikal na punto ng view, pagguhit gamit ang isang compass ... Gusto ko kahit na sabihin utopian, kaya ito ay mas kumikita upang dalhin ang mga simpleng kalkulasyon upang iligtas muli.
. Sa kaso natin: 
. Ang item na ito ay kinakailangan! Ito ay isang pangunahing tampok ng pagguhit, at ito ay magiging isang malaking pagkakamali kung ang mga sanga ng hyperbola ay "gumapang palabas" na lampas sa kanilang mga asymptotes.
. Ito ay hinango elementarily: kung , pagkatapos ay ang canonical equation ay nagiging , kung saan ito ay sumusunod na . Ang itinuturing na hyperbola ay may mga vertex 
Ang equation ay nahahati sa dalawang function: 
- tumutukoy sa itaas na mga arko ng hyperbola (kung ano ang kailangan natin); 
- tumutukoy sa mas mababang mga arko ng hyperbola.
, mga vertex , karagdagang at simetriko na mga punto sa iba pang mga coordinate quarter. Maingat naming ikinonekta ang mga kaukulang punto sa bawat sangay ng hyperbola:
haba nito - ang distansya sa pagitan ng mga vertices;
numero 
tinawag tunay na semiaxis hyperbole;
numero – imaginary axis.
, at, malinaw naman, kung ang ibinigay na hyperbola ay iniikot sa paligid ng sentro ng simetriya at/o inilipat, kung gayon ang mga halagang ito hindi magbabago.
At, nang naaayon, ang mga focus ay may mga coordinate 
.
(dahil ang segment ay mas maikli kaysa sa segment ). Para sa anumang punto ng kaliwang sangay, ang sitwasyon ay eksaktong kabaligtaran at 
.
