Ang artikulo ay nagpapakita ng konsepto ng perpendicularity ng isang tuwid na linya at isang eroplano, nagbibigay ng isang kahulugan ng isang tuwid na linya, isang eroplano, graphical na isinalarawan at nagpapakita ng pagtatalaga ng mga patayo na linya at isang eroplano. Bumuo tayo ng isang tanda ng perpendicularity ng isang tuwid na linya na may isang eroplano. Isaalang-alang ang mga kondisyon kung saan ang isang tuwid na linya at isang eroplano ay magiging patayo sa mga ibinigay na equation sa eroplano at tatlong-dimensional na espasyo. Ang lahat ay ipapakita na may mga halimbawa.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Depinisyon 1

Ang linya ay patayo sa eroplano kapag ito ay patayo sa anumang linya na nakahiga sa eroplanong ito.

Totoo na ang eroplano ay patayo sa linya, pati na rin ang linya sa eroplano.

Ang perpendicularity ay ipinahiwatig ng "⊥". Kung ang kundisyon ay tumutukoy na ang linya c ay patayo sa eroplanong γ , kung gayon ang notasyon ay c ⊥ γ .

Halimbawa, kung ang linya ay patayo sa eroplano, posible na gumuhit lamang ng isang linya, dahil kung saan ang dalawang katabing dingding ng silid ay magsalubong. Ang linya ay itinuturing na patayo sa eroplano ng kisame. Ang lubid na matatagpuan sa gym ay itinuturing bilang isang tuwid na linya ng segment na patayo sa eroplano, sa kasong ito semi.

Kung mayroong isang patayo na linya sa eroplano, ang anggulo sa pagitan ng linya at ng eroplano ay itinuturing na tama, iyon ay, katumbas ng 90 degrees.

Perpendicularity ng isang tuwid na linya at isang eroplano - isang tanda at kondisyon ng perpendicularity

Upang mahanap ang pagtuklas ng perpendicularity, kinakailangan na gumamit ng sapat na kondisyon para sa perpendicularity ng isang linya at isang eroplano. Tinitiyak nito na ang linya at ang eroplano ay patayo. Ang kundisyong ito ay itinuturing na sapat at tinatawag na tanda ng perpendicularity ng isang linya at isang eroplano.

Teorama 1

Para sa isang naibigay na linya na patayo sa isang eroplano, sapat na ang linya ay patayo sa dalawang intersecting na linya na nasa eroplanong ito.

Ang isang detalyadong patunay ay ibinibigay sa geometry textbook ng mga baitang 10-11. Ang theorem ay ginagamit upang malutas ang mga problema kung saan kinakailangan upang maitatag ang perpendicularity ng isang linya at isang eroplano.

Teorama 2

Sa kondisyon na hindi bababa sa isa sa mga linya ay parallel sa eroplano, ito ay itinuturing na ang pangalawang linya ay patayo din sa eroplanong ito.

Ang tanda ng perpendicularity ng isang tuwid na linya at isang eroplano ay isinasaalang-alang mula noong paaralan, kung kinakailangan upang malutas ang mga problema sa geometry. Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang isa pang kinakailangan at sapat na kondisyon kung saan ang linya at ang eroplano ay magiging patayo.

Teorama 3

Upang ang linya a ay patayo sa eroplanong γ, isang kinakailangan at sapat na kundisyon ay ang collinearity ng nagdidirekta na vector ng linya a at ang normal na vector ng eroplanong γ.

Patunay

Para sa isang → = (a x , a y, a z) na isang vector ng linya a , para sa n → = (n x , n y, n z) bilang isang normal na vector ng eroplanong γ upang matupad ang perpendicularity, kinakailangan na ang linya a at ang eroplano γ ay nabibilang sa katuparan ng kondisyon ng collinearity ng mga vectors a → = (a x, a y, a z) at n → = (n x, n y, n z) . Kaya't makuha natin na a → = t n → ⇔ a x = t n x a y = t n y a z = t n z , t ay isang tunay na numero.

Ang patunay na ito ay batay sa kinakailangan at sapat na kondisyon ng perpendicularity ng linya at ng eroplano, ang nagdidirekta na vector ng linya at ang normal na vector ng eroplano.

Ang kundisyong ito ay naaangkop upang patunayan ang perpendicularity ng isang tuwid na linya at isang eroplano, dahil ito ay sapat na upang mahanap ang mga coordinate ng nagdidirekta vector ng tuwid na linya at ang mga coordinate ng normal na vector sa tatlong-dimensional na espasyo, at pagkatapos ay magsagawa ng mga kalkulasyon. Ito ay ginagamit para sa mga kaso kapag ang isang tuwid na linya ay tinukoy ng isang equation ng isang tuwid na linya sa espasyo, at isang eroplano sa pamamagitan ng isang equation ng isang eroplano ng ilang uri.

Halimbawa 1

Patunayan na ang ibinigay na linya x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 ay patayo sa eroplano x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z .

Desisyon

Ang mga denominator ng mga canonical equation ay ang mga coordinate ng vector ng direksyon ng ibinigay na linya. Kaya't mayroon tayong a → = (2 - 1 , 2 , 2 - 7) ay ang nagdidirekta na vector ng linya x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 .

Sa pangkalahatang equation ng eroplano, ang mga coefficient sa harap ng mga variable na x, y, z ay ang mga coordinate ng normal na vector ng ibinigay na eroplano. Kasunod nito na ang n → = (1 , 2 (2 + 1) , - (5 + 6 2)) ay ang normal na vector ng eroplanong x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z - 4 = 0

Kinakailangang suriin ang katuparan ng kondisyon. Nakukuha namin iyon

2 - 1 \u003d t 1 2 \u003d t 2 (2 + 1) 2 \u003d t (- (5 + 6 2)) ⇔ t \u003d 2 - 1, pagkatapos ay ang mga vectors a → at n → ay nauugnay sa expression a → = ( ​​2 - 1) n → .

Ito ang collinearity ng mga vectors. sumusunod na ang linya x 2 - 1 \u003d y - 1 2 \u003d z + 2 2 - 7 ay patayo sa eroplano x + 2 (2 + 1) y - (5 + 6 2) z - 4 \u003d 0 .

Sagot: ang linya at eroplano ay patayo.

Halimbawa 2

Tukuyin kung ang linyang y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 at ang eroplanong x 1 2 + z - 1 2 = 1 ay patayo.

Desisyon

Upang masagot ang tanong ng perpendicularity, kinakailangan na masiyahan ang kinakailangan at sapat na kondisyon, iyon ay, kailangan mo munang hanapin ang vector ng ibinigay na linya at ang normal na vector ng eroplano.

Mula sa tuwid na linya y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0, makikita na ang direction vector a → ay produkto ng mga normal na vector ng eroplano y - 1 = 0 at x + 4 z - 2 = 0 .

Kaya nakuha natin na a → = i → j → k → 0 1 0 1 0 4 = 4 i → - k → .

Ang mga coordinate ng vector a → = (4 , 0 , - 1) .

Ang equation ng eroplano sa mga segment x 1 2 + z - 1 2 = 1 ay katumbas ng equation ng eroplano 2 x - 2 z - 1 = 0 , na ang normal na vector ay katumbas ng n → = (2 , 0 , - 2) .

Dapat mong suriin para sa collinearity ng mga vectors a → = (4 , 0 , - 1) at n → = (2 , 0 , - 2) .

Upang gawin ito, sumulat kami:

4 = t 2 0 = t 0 - 1 = t (- 2) ⇔ t = 2 t ∈ R ⇔ t ∈ ∅ t = 1 2

Mula dito napagpasyahan namin na ang nagdidirekta na vector ng tuwid na linya ay hindi collinear sa normal na vector ng eroplano. Kaya y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 ay isang tuwid na linya na hindi patayo sa eroplano x 1 2 + z - 1 2 .

Sagot: ang linya at eroplano ay hindi patayo.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Balangkas ng isang aralin sa geometry sa grade 10 sa paksang "Perpendicularity ng isang linya at isang eroplano"

Layunin ng Aralin:

pang-edukasyon

pagpapakilala ng isang tanda ng perpendicularity ng isang tuwid na linya at isang eroplano;

upang bumuo ng mga ideya ng mga mag-aaral tungkol sa perpendicularity ng isang tuwid na linya at isang eroplano, ang kanilang mga katangian;

upang mabuo ang kakayahan ng mga mag-aaral na malutas ang mga tipikal na problema sa paksa, ang kakayahang patunayan ang mga pahayag;

umuunlad

bumuo ng kalayaan, aktibidad ng nagbibigay-malay;

bumuo ng kakayahang mag-analisa, gumawa ng mga konklusyon, mag-systematize ng impormasyong natanggap,

bumuo ng lohikal na pag-iisip;

bumuo ng spatial na imahinasyon.

pang-edukasyon

edukasyon ng kultura ng pagsasalita ng mga mag-aaral, tiyaga;

itanim sa mga mag-aaral ang interes sa paksa.

Uri ng aralin: Aralin ng pag-aaral at pangunahing pagsasama-sama ng kaalaman.

Mga anyo ng gawain ng mag-aaral: front poll.

Kagamitan: computer, projector, screen.

Panitikan:"Geometry 10-11", Teksbuk. Atanasyan L.S. at iba pa.

(2009, 255p.)

Plano ng aralin:

sandali ng organisasyon (1 minuto);

Pag-update ng kaalaman (5 minuto);

Pag-aaral ng bagong materyal (15 minuto);

Pangunahing pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal (20 minuto);

Summing up (2 minuto);

Takdang-Aralin (2 minuto).

Sa panahon ng mga klase.

sandali ng organisasyon (1 minuto)

Pagbati ng mga mag-aaral. Pagsuri sa kahandaan ng mga mag-aaral para sa aralin: pagsuri sa pagkakaroon ng mga kuwaderno, mga aklat-aralin. Sinusuri ang pagliban.

Update ng kaalaman (5 minuto)

Guro. Aling linya ang tinatawag na patayo sa eroplano?

Mag-aaral. Ang isang linya na patayo sa anumang linya na nakahiga sa eroplanong ito ay tinatawag na isang linya na patayo sa eroplanong ito.

Guro. Paano gumagana ang lemma tungkol sa dalawang parallel na linya patayo sa isang ikatlong tunog?

Mag-aaral. Kung ang isa sa dalawang magkatulad na linya ay patayo sa ikatlong linya, ang kabilang linya ay patayo din sa linyang ito.

Guro. Theorem sa perpendicularity ng dalawang parallel na linya sa isang eroplano.

Mag-aaral. Kung ang isa sa dalawang magkatulad na linya ay patayo sa isang eroplano, ang kabilang linya ay patayo din sa eroplanong iyon.

Guro. Ano ang kabaligtaran ng teorama na ito?

Mag-aaral. Kung ang dalawang linya ay patayo sa parehong eroplano, kung gayon sila ay parallel.

Sinusuri ang takdang-aralin

Ang takdang-aralin ay sinusuri kung ang mga mag-aaral ay nahihirapang lutasin ito.

Pag-aaral ng bagong materyal (15 minuto)

Guro. Alam mo at ko na kung ang isang linya ay patayo sa isang eroplano, kung gayon ito ay magiging patayo sa anumang linya na nakahiga sa eroplanong ito, ngunit sa kahulugan, ang perpendicularity ng isang linya sa isang eroplano ay ibinigay bilang isang katotohanan. Sa pagsasagawa, madalas na kinakailangan upang matukoy kung ang linya ay magiging patayo sa eroplano o hindi. Ang ganitong mga halimbawa ay maaaring ibigay mula sa buhay: sa panahon ng pagtatayo ng mga gusali, ang mga tambak ay hinihimok nang patayo sa ibabaw ng lupa, kung hindi man ang istraktura ay maaaring gumuho. Ang kahulugan ng isang tuwid na linya na patayo sa eroplano ay hindi maaaring gamitin sa kasong ito. Bakit? Ilang linya ang maaaring iguhit sa isang eroplano?

Mag-aaral. Mayroong walang katapusang maraming mga tuwid na linya na maaaring iguhit sa isang eroplano.

Guro. Tama. At imposibleng suriin ang perpendicularity ng isang tuwid na linya sa bawat indibidwal na eroplano, dahil aabutin ito ng walang katapusang mahabang panahon. Upang maunawaan kung ang isang linya ay patayo sa isang eroplano, ipinakilala namin ang tanda ng perpendicularity ng isang linya at isang eroplano. Magsulat ka sa iyong kwaderno. Kung ang isang linya ay patayo sa dalawang intersecting na linya na nakahiga sa isang eroplano, kung gayon ito ay patayo sa eroplanong iyon.

Pagpasok sa notebook. Kung ang isang linya ay patayo sa dalawang intersecting na linya na nakahiga sa isang eroplano, kung gayon ito ay patayo sa eroplanong iyon.

Guro. Kaya, hindi natin kailangang suriin ang perpendicularity ng isang linya para sa bawat tuwid na eroplano, sapat na upang suriin ang perpendicularity para lamang sa dalawang linya ng eroplanong ito.

Guro. Patunayan natin ang sign na ito.

Ibinigay: p at q- tuwid, p ∩ q = O, a⊥ p, a⊥ q, p ϵ α, q ϵ α.

Patunayan: a⊥ α.

Guro. At gayon pa man, para sa patunay, ginagamit namin ang kahulugan ng isang tuwid na linya na patayo sa eroplano, paano ito tunog?

Mag-aaral. Kung ang isang linya ay patayo sa isang eroplano, kung gayon ito ay patayo sa anumang linya na nakahiga sa eroplanong iyon.

Guro. Tama. Gumuhit ng anumang linya m sa eroplanong α. Gumuhit ng linya l ║ m sa puntong O. Sa linya ay markahan ang A at B upang ang puntong O ay ang midpoint ng segment na AB. Gumuhit tayo ng linyang z sa paraang ito ay nagsalubong sa mga linyang p, q, l, ang mga punto ng intersection ng mga linyang ito ay ilalarawan ng P, Q, L, ayon sa pagkakabanggit. Ikonekta ang mga dulo ng segment AB na may mga puntos na P, Q at L.

Guro. Ano ang masasabi natin tungkol sa mga tatsulok na ∆APQ at ∆BPQ?

Mag-aaral. Magiging pantay ang mga tatsulok na ito (ayon sa ika-3 pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok).

Guro. Bakit?

Mag-aaral. kasi Ang mga linyang p at q ay mga perpendicular bisector, pagkatapos ay ang AP = BP , AQ = BQ , at side PQ ay karaniwan.

Guro. Tama. Ano ang masasabi natin tungkol sa mga tatsulok na ∆APL at ∆BPL ?

Mag-aaral. Magiging pantay din ang mga tatsulok na ito (ayon sa 1 tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok).

Guro. Bakit?

Mag-aaral. AP = BP, PL- karaniwang panig APL =  BPL(mula sa pagkakapantay-pantay ∆ APQ at ∆ BPQ)

Guro. Tama. Kaya AL = BL . Kaya ano ang magiging ∆ALB ?

Mag-aaral. Kaya ang ∆ALB ay magiging isosceles.

Guro. Ang LO ay ang median sa ∆ALB, kaya ano ito sa tatsulok na ito?

Mag-aaral. So LO din ang magiging height.

Guro. Kaya ang tuwid na linyalay magiging patayo sa linyaa. At dahil sa tuwid na linyalay anumang linya na kabilang sa eroplano α, pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan ang linyaa⊥ a. Q.E.D.

Napatunayan sa pagtatanghal

Guro. Ngunit paano kung ang linya a ay hindi nagsalubong sa puntong O, ngunit nananatiling patayo sa mga linyang p at q? Kung ang linyang a ay nag-intersect sa anumang iba pang punto ng ibinigay na eroplano?

Mag-aaral. Posible na bumuo ng isang linya 1 , na kung saan ay magiging parallel sa linya a, ay magsalubong sa punto O, at sa pamamagitan ng lemma sa dalawang parallel na linya patayo sa pangatlo, maaari nating patunayan naa 1 ⊥ p, a 1 ⊥ q.

Guro. Tama.

Pangunahing pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal (20 minuto)

Guro. Upang pagsamahin ang materyal na aming napag-aralan, malulutas namin ang bilang 126. Basahin ang gawain.

Mag-aaral. Ang linyang MB ay patayo sa mga gilid AB at BC ng tatsulok na ABC. Tukuyin ang uri ng tatsulok MBD, kung saan ang D ay isang arbitrary na punto ng tuwid na linyang AC.

Larawan.

Ibinigay: ∆ ABC, MB⊥ BA, MB⊥ BC, D ϵ AC.

Hanapin: ∆ MBD.

Desisyon.

Guro. Maaari ka bang gumuhit ng isang eroplano sa pamamagitan ng mga vertex ng isang tatsulok?

Mag-aaral. Oo kaya mo. Ang eroplano ay maaaring iguhit sa tatlong punto.

Guro. Paano matatagpuan ang mga linyang BA at CB na may kaugnayan sa eroplanong ito?

Mag-aaral. Ang mga linyang ito ay makikita sa eroplanong ito.

Guro. May eroplano pala kami, at may dalawang magkasalubong na linya dito. Paano nauugnay ang linyang MW sa mga linyang ito?

Mag-aaral. Direktang MV⊥ VA, MV ⊥ BC.

Pagsusulat sa pisara at sa kuwaderno. kasi MV⊥ VA, MV ⊥ VS

Guro. Kung ang isang linya ay patayo sa dalawang intersecting na linya na nakahiga sa isang eroplano, kung gayon ang linya ay kabilang sa eroplanong ito?

Mag-aaral. Ang tuwid na linyang MB ay magiging patayo sa eroplanong ABC.

⊥ ABC.

Guro. Ang punto D ay isang arbitrary na punto sa segment na AC, kaya paano maiuugnay ang linyang BD sa eroplanong ABC?

Mag-aaral. Kaya ang BD ay kabilang sa eroplanong ABC.

Pagsusulat sa pisara at sa kuwaderno. kasi BD ϵ ABC

Guro. Ano ang magiging mga linyang MB at BD na may kaugnayan sa isa't isa?

Mag-aaral. Ang mga linyang ito ay magiging patayo sa pamamagitan ng kahulugan ng isang linya na patayo sa eroplano.

Pagsusulat sa pisara at sa kuwaderno. ↔ MV⊥ BD

Guro. Kung ang MB ay patayo sa BD, ano ang magiging tatsulok na MBD?

Mag-aaral. Magiging right angled ang Triangle MBD.

Pagsusulat sa pisara at sa kuwaderno. ↔ ∆MBD – hugis-parihaba.

Guro. Tama. Lutasin natin ang bilang 127. Basahin ang gawain.

Mag-aaral. Sa isang tatsulokABC kabuuan ng mga anggulo A at Bkatumbas ng 90°. DiretsoBDpatayo sa eroplanoABC. Patunayan mo yan CD⊥ AC.

Pumunta ang estudyante sa pisara. Gumuguhit ng drawing.

Isulat sa pisara at sa kuwaderno.

Ibinigay: ∆ ABC,  A +  B= 90°, BD⊥ ABC.

Patunayan: CD⊥ AC.

Patunay:

Guro. Ano ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok?

Mag-aaral. Ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok ay 180°.

Guro. Ano ang anggulo C sa tatsulok na ABC?

Mag-aaral. Ang anggulo C sa tatsulok na ABC ay magiging 90°.

Pagsusulat sa pisara at sa kuwaderno. C = 180° - a- B= 90°

Guro. Kung ang anggulo C ay 90°, paano magkaugnay ang mga linyang AC at BC sa isa't isa?

Mag-aaral. Ang ibig sabihin ay AC⊥ Araw.

Pagsusulat sa pisara at sa kuwaderno. ↔ AC⊥ Araw

Guro. Ang linyang BD ay patayo sa eroplanong ABC. Ano ang kasunod nito?

Mag-aaral. Kaya ang BD ay patayo sa anumang linya mula sa ABC .

BD⊥ ABC ↔ BDpatayo sa anumang linyaABC(a-prioryo)

Guro. Alinsunod dito, paano maiuugnay ang direktang BD at AC?

Mag-aaral. Kaya ang mga linyang ito ay patayo.

BD⊥ AC

Guro. Ang AC ay patayo sa dalawang intersecting na linya na nakahiga sa eroplanong DBC, ngunit ang AC ay hindi dumadaan sa intersection point. Paano ito ayusin?

Mag-aaral. Gumuhit ng linya sa punto B at parallel AC. Dahil ang AC ay patayo sa BC at BD, ang a ay magiging patayo din sa BC at BD ng lemma.

Pagsusulat sa pisara at sa kuwaderno. Gumuhit ng linya sa punto B a ║AC ↔ a⊥ BC, at ⊥ BD

Guro. Kung ang linya a ay patayo sa BC at BD, kung gayon ano ang masasabi tungkol sa kamag-anak na posisyon ng linya a at ang eroplanong BDC?

Mag-aaral. Nangangahulugan ito na ang linya a ay magiging patayo sa eroplanong BDC, at samakatuwid ang linyang AC ay magiging patayo sa BDC.

Pagsusulat sa pisara at sa kuwaderno. ↔ a⊥ bdc↔ AC ⊥ bdc.

Guro. Kung ang AC ay patayo sa BDC, kung gayon paano matatagpuan ang mga linya ng AC at DC na may kaugnayan sa bawat isa?

Mag-aaral. Ang AC at DC ay magiging patayo sa pamamagitan ng kahulugan ng isang linya na patayo sa eroplano.

Pagsusulat sa pisara at sa kuwaderno. kasi AC⊥ bdc↔ AC ⊥ DC

Guro. Magaling. Solusyonan natin ang numero 129. Basahin ang takdang-aralin.

Mag-aaral. DiretsoAMpatayo sa eroplano ng parisukatA B C D, na ang mga dayagonal ay nagsalubong sa punto O. Patunayan na: a) ang linyaBDpatayo sa eroplanoAMO; b)MO⊥ BD.

Isang estudyante ang lumapit sa board. Gumuguhit ng drawing.

Isulat sa pisara at sa kuwaderno.

Ibinigay:A B C D- parisukat,AM⊥ A B C D, AC ∩ BD = O

Patunayan:BD⊥ AMO, MO⊥ BD

Patunay:

Guro. Kailangan nating patunayan na angBD⊥ AMO. Anong mga kondisyon ang dapat matugunan para mangyari ito?

Mag-aaral. Ito ay kinakailangan na ang direktang BD ay patayo sa hindi bababa sa dalawang intersecting na linya mula sa eroplano AMO.

Guro. Ang kondisyon ay nagsasabi na BD patayo sa dalawang magkasalubong na linya AMO?

Mag-aaral. Hindi.

Guro. Pero alam natin yun AM patayo A B C D . Anong konklusyon ang maaaring makuha mula dito?

Mag-aaral. Ibig sabihin ano AM patayo sa anumang linya mula sa eroplanong ito, i.e. AM patayo B.D.

AM⊥ A B C D ↔ AM⊥ BD(a-prioryo).

Guro. Ang isang linya ay patayo BD meron. Bigyang-pansin ang parisukat, kung paano matatagpuan ang mga linya na may kaugnayan sa bawat isa AC at BD?

Mag-aaral. AC magiging patayo BD sa pamamagitan ng pag-aari ng mga diagonal ng isang parisukat.

Isulat sa pisara at sa kuwaderno. kasiA B C D- parisukat, pagkataposAC⊥ BD(sa pamamagitan ng pag-aari ng mga diagonal ng isang parisukat)

Guro. Natagpuan namin ang dalawang intersecting na linya na nakahiga sa isang eroplano AMO patayo sa linya BD . Ano ang kasunod nito?

Mag-aaral. Ibig sabihin ano BD patayo sa eroplano AMO.

Pagsusulat sa pisara at sa kuwaderno. kasiAC⊥ BDatAM⊥ BD ↔ BD⊥ AMO(sa pamamagitan ng tanda)

Guro. Aling linya ang tinatawag na linyang patayo sa eroplano?

Mag-aaral. Ang isang linya ay sinasabing patayo sa isang eroplano kung ito ay patayo sa alinmang linya sa eroplanong iyon.

Guro. Paano nauugnay ang mga linya sa isa't isa? BD at OM?

Mag-aaral. Ibig sabihin BD patayo OM . Q.E.D.

Pagsusulat sa pisara at sa kuwaderno. ↔BD⊥ MO(a-prioryo). Q.E.D.

Debriefing (2 minuto)

Guro. Ngayon ay pinag-aralan namin ang tanda ng perpendicularity ng isang linya at isang eroplano. Paano ito tunog?

Mag-aaral. Kung ang isang linya ay patayo sa dalawang intersecting na linya na nakahiga sa isang eroplano, ang linyang ito ay patayo sa eroplanong iyon.

Guro. Tama. Natutunan naming ilapat ang feature na ito sa paglutas ng mga problema. Sino ang sumagot sa pisara at tumulong mula sa lugar, magaling.

Takdang-Aralin (2 minuto)

Guro. Paragraph 1, paragraphs 15-17, learn: lemma, definition and all theorems. No. 130, 131.

Upang ang isang tuwid na linya sa espasyo ay maging  ng eroplano, kinakailangan at sapat na sa diagram ang pahalang na projection ng tuwid na linya ay  ng pahalang na projection ng pahalang, at ang frontal projection sa frontal projection ng harap ng eroplanong ito.

Pagtukoy ng distansya mula sa isang punto hanggang sa isang eroplano(Larawan 19)

1. Mula sa punto, ibaba ang patayo sa eroplano (para dito, sa eroplano

hawakan ang h, f);

2. Hanapin ang punto ng intersection ng tuwid na linya sa eroplano (tingnan ang Fig. 18);

3.Hanapin ang n.v. perpendicular segment (tingnan ang Fig. 7).

Ang pangalawang seksyon Paraan para sa pagpapalit ng mga projection planes

(sa mga gawain 5, 6.7)

Ang geometric figure na ito ay naiwang hindi gumagalaw sa sistema ng projection planes. Ang mga bagong projection plane ay itinakda upang ang mga projection na nakuha sa mga ito ay makapagbigay ng makatwirang solusyon sa problemang isinasaalang-alang. Bukod dito, ang bawat bagong sistema ng projection planes ay dapat na isang orthogonal system. Pagkatapos i-project ang mga bagay sa eroplano, pinagsama ang mga ito sa isa sa pamamagitan ng pag-ikot sa mga ito sa mga karaniwang tuwid na linya (projection axes) ng bawat pares ng magkaparehong patayo na eroplano.

Halimbawa, hayaang maitakda ang punto A sa sistema ng dalawang eroplanong P 1 at P 2. Dagdagan natin ang sistema ng isa pang eroplanong P 4 (Larawan 20), P 1 P 4. Mayroon itong karaniwang linyang X 14 na may eroplanong P 1 . Binubuo namin ang projection A 4 sa P 4.

AA 1 \u003d A 2 A 12 \u003d A 4 A 14.

Sa fig. 21, kung saan ang mga eroplanong P 1, P 2 at P 4 ay dinadala sa pagkakahanay, ang katotohanang ito ay tinutukoy ng resulta A 1 A 4 X 14, at A 14 A 4 A 2 A 12.

Ang distansya ng bagong point projection sa bagong projection axis (A 4 A 14) ay katumbas ng distansya mula sa pinalitan na point projection hanggang sa pinalitan na axis (A 2 A 12).

Ang isang malaking bilang ng mga metric na problema ng descriptive geometry ay nalulutas batay sa sumusunod na apat na problema:

1. Pagbabago ng isang pangkalahatang linya ng posisyon sa isang linya ng antas (Larawan 22):

a) P 4 || AB (X-axis 14 || A 1 B 1);

b) A 1 A 4 X 14; B 1 B 4 X 14;

c) A 4 A 14 \u003d A 12 A 2;

V 4 V 14 = V 12 V 2 ;

A 4 B 4 - kasalukuyan

2. Pagbabago ng isang tuwid na linya sa pangkalahatang posisyon sa isang projecting (Larawan 23):

a) P 4 || AB (X 14 || A 1 B 1);

A 1 A 4 X 14;

B 1 B 4 X 14;

A 14 A 4 \u003d A 12 A 2;

14V 4 = 12V 2 ;

A 4 B 4 - n.v.;

b) P 5 AB (X 45 A 4 V 4);

A 4 A 5 X 45;

B 4 B 5 X 45;

A 45 A 5 \u003d B 45 B 5 \u003d A 14 A 1 \u003d B 14 B 1;

3. Pagbabago ng isang eroplano ng pangkalahatang posisyon sa isang projecting na posisyon (Larawan 24):

Ang isang eroplano ay maaaring dalhin sa isang projecting na posisyon kung ang isang tuwid na linya ng eroplano ay ginawa projecting. Gumuhit tayo ng pahalang na linya (h 2 ,h 1) sa ABC plane, na maaaring gawing projective sa isang pagbabago. Gumuhit tayo ng isang eroplano P 4 patayo sa pahalang; ito ay inaasahang papunta sa eroplanong ito sa pamamagitan ng isang punto, at ang eroplano ng tatsulok ay inaasahang sa pamamagitan ng isang tuwid na linya.

4. Pagbabago ng isang generic na eroplano sa isang antas ng eroplano (Larawan 25).

Gawing level plane ang eroplano gamit ang dalawang pagbabago. Una, ang eroplano ay dapat gawin projecting (tingnan ang Fig. 25), at pagkatapos ay P 5 || A 4 B 4 C 4, nakukuha natin ang A 5 B 5 C 5 - n.v.

Gawain #5

Tukuyin ang distansya mula sa punto C hanggang sa isang tuwid na linya sa pangkalahatang posisyon (Larawan 26).

Ang solusyon ay bumaba sa 2nd pangunahing problema. Pagkatapos ang distansya sa kahabaan ng diagram ay tinukoy bilang ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos

A 5  B 5  D 5 at C 5.

Projection С 4 D 4 || X 45.

Gawain #6

Tukuyin ang distansya mula sa ()D sa eroplano na ibinigay ng mga puntos A, B, C (Larawan 27).

Ang problema ay nalutas gamit ang 2nd pangunahing problema. Ang distansya (E 4 D 4), mula sa () D 4 hanggang sa tuwid na linya A 4 C 4 B 4, kung saan na-project ang eroplanong ABC, ay ang natural na halaga ng segment na ED.

Projection D 1 E 1 || X 14;

E 2 E X12 = E 4 E X14.

Bumuo ng sarili mong D 1 E 1.

Bumuo ng sarili mong D 2 E 2.

Gawain #7

Tukuyin ang aktwal na laki ng tatsulok na ABC (tingnan ang solusyon ng ika-4 na pangunahing problema) (Larawan 25)

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudisyal, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga dahilan ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

mga payong. Tinutukoy ng Segment KL ang direksyon ng mga projection ng linya ng intersection ng dalawang ibinigay na eroplano.

2.8 Perpendicularity ng isang linya at isang eroplano, dalawang eroplano

Ang kondisyon ng perpendicularity ng isang linya at isang eroplano at perpendicularity ng dalawang eroplano ay batay sa right angle projection theorem. Ang pag-aangkop ng theorem upang malutas ang mga problema sa panukat para sa pagtukoy ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano, pagtukoy ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang tuwid na linya, o para sa pagbuo ng isang eroplanong parallel sa isang ibinigay na isa sa isang tiyak na distansya, binubuo namin ang kondisyon ng perpendicularity ng isang linya at isang eroplano.

Ang linya l (l1 ,l2 ) ay patayo sa eroplano , kung ito ay patayo sa dalawang intersecting na linya ng antas (halimbawa, pahalang at pangharap) na kabilang sa ibinigay na eroplano.

l 1h 1

l 2f 2

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng paglutas ng mga karaniwang metric na problema sa paglalapat ng kondisyon ng perpendicularity ng isang tuwid na linya at isang eroplano.

Halimbawa 1. Tukuyin ang distansya mula sa puntong N hanggang sa eroplano Q(mIIn) (Figure 2.35).

Algorithm para sa paglutas ng problema:

1. Suriin ang kalagayan ng problema. (Ang pinakamaikling distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya ay tinutukoy ng patayo na bumaba mula sa punto N hanggang sa eroplano Q.)

2. Upang matupad ang kondisyon ng perpendicularity ng isang tuwid na linya at isang eroplano, kinakailangan muna na bumuo ng isang pahalang na h (h 1, h 2 ) at isang frontal f (f 1 , f 2 ) sa eroplano, at pagkatapos ay bumuo ng isang linya l (l 1, l 2) patayo sa eroplano Q ( figure 2.35).

Figure 2.35 - Linya na patayo sa eroplano

3. Hanapin ang base ng patayo, i.e. ang punto ng intersection ng itinayong linya l(l 1 , l 2 ) na may isang ibinigay na eroplano Q. Upang bumuo ng isang punto K, tapusin namin, halimbawa, ang frontal projection ng linya l 2 sa frontally projecting plane Σ. Tinutukoy namin ang mga projection ng linya ng intersection ng linya l na may kaukulang projection ng linya ng intersection ng dalawang eroplano (Q∩∑). Tinutukoy namin ang posisyon ng mga projection ng punto K1 at K2.

4. Tukuyin ang aktwal na laki ng segment na NK bilang hypotenuse ng isang right triangle (Figure 2.36).

Figure 2.36 - Mga projection ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano

Halimbawa 2. Tukuyin ang distansya mula sa punto A hanggang sa linya n. Algorithm para sa paglutas ng problema:

1. Pagsusuri ng mga kondisyon ng problema. Matapos suriin ang kondisyon ng problema, sinasabi namin na ang pinakamaikling distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya ay sinusukat sa pamamagitan ng isang patayo na bumaba mula sa punto A hanggang sa linya n. Dahil ang ibinigay na linya n (n 1 , n2 ) ay isang linya sa pangkalahatang posisyon, pagkatapos ay upang malutas ang problema ito ay kinakailangan upang magsagawa ng mga karagdagang constructions.

2. Sa pamamagitan ng mga projection ng point A(A 1 ,А2 ) bumuo kami ng isang eroplanong Σ (h ∩ f) patayo sa linya n (n1, n2).

3. Tukuyin ang punto ng intersection ng ibinigay na linya n(n 1 , n2 ) na may eroplanong Σ (h ∩ f) at hanapin ang mga projection ng line segment A1 B1 at A2 B2 bilang projection ng distansya mula sa punto A hanggang linya n.

4. Binubuo namin ang natural na halaga ng distansya mula sa punto A hanggang sa tuwid na linya n (Figure 2.37).

Figure 2.37 - Distansya mula sa punto A hanggang sa tuwid na linya n

Halimbawa 3. Bumuo ng eroplano Θ, parallel sa eroplano Σ (ΔABC), sa layo na 25 mm mula dito.

Algorithm para sa paglutas ng problema:

1. Pagsusuri ng mga kondisyon ng problema. Ang eroplano ay itatayo sa layong 25 mm mula sa eroplano Σ (ΔABC). Samakatuwid, kailangan mong bumuo ng isang patayo sa eroplano.

2. Upang makabuo ng isang linya na patayo sa eroplano, itinakda namin ang mga linya ng antas sa eroplano - ang pahalang na h(h 1 , h2 ) at frontal f(f1 , f2 ) at bumuo ng isang linya l(l 1, l 2 ) patayo sa eroplano Σ (ΔАВС) (Figure 2.38).

Figure 2.38 - Posisyon ng punto L

3. Hanapin ang base ng patayo, i.e. punto K (K1, K2) ng intersection ng linya l (l 1, l 2) sa eroplano Σ (ΔABS).

4. Pumili sa linya l(l 1 , l 2 ) arbitrary point N(N1 ,N2 ) at tukuyin ang distansya mula sa napiling punto patungo sa eroplano (N1 Kº).

5. Natagpuan namin sa isang tuwid na linya l(l 1 , l 2 ) ang posisyon ng puntong L(L1 , L2 ) na may distansya mula sa eroplano na 25 mm.

6. Sa pamamagitan ng puntong L(L 1 , L2 ) bumuo kami ng isang eroplanong Θ(m∩n) na kahanay sa ibinigay na eroplano Σ (ΔАВС) (Larawan 2.39)

Figure 2.39 - Plane parallel sa ibinigay na isa sa kinakailangang distansya

Mga tanong para sa pagpipigil sa sarili sa paksa 2:

1. Ano ang posisyon ng punto na may kaugnayan sa tuwid na linya?

2. Kailan nabibilang ang isang punto sa isang tuwid na linya?

3. Paano maisasaayos ang mga tuwid na linya na may kaugnayan sa bawat isa?

4. Anong mga puntos ang tinatawag na nakikipagkumpitensya?

5. Ipagpatuloy ang pangungusap: Ang isang tamang anggulo ay naka-project sa frontal projection plane nang walang distortion kung ito ay nabuo sa pamamagitan ng dalawang intersecting na tuwid na linya, ang isa ay isang tuwid na linya sa pangkalahatang posisyon, at ang pangalawa ...... ..

6. Paano matukoy ang natural na laki ng isang line segment sa pangkalahatang posisyon?

7. Ano ang kondisyon para sa isang tuwid na linya at isang eroplano na maging patayo?

8. Ano ang kondisyon para sa dalawang eroplano na patayo?

9. Kailan kahanay ang isang linya sa isang eroplano?

10. Kailan magkaparehas ang dalawang eroplano?

11. Ano ang kundisyon para sa isang tuwid na linya na kabilang sa isang eroplano?

12. Kailan nabibilang ang isang punto sa isang eroplano?

13. Ano ang algorithm para sa paghahanap ng punto ng intersection ng isang tuwid na linya na may isang eroplano?

14. Ano ang kakanyahan ng pamamaraan ng mga auxiliary na eroplano ng mga tagapamagitan kapag hinahanap ang linya ng intersection ng dalawang eroplano?

15. Ano ang projection plane?

3 PROJECTION CONVERSION

3.1 Kakanyahan at mga pangunahing paraan ng pag-convert ng isang guhit

Ang solusyon ng mga positional at metric na problema sa descriptive geometry ay lubos na pinasimple kung ang mga straight at flat figure ay sumasakop sa posisyon ng projecting straight lines at planes, o straight lines at level planes.

Ang isang kinakailangang kondisyon para sa pagpapasimple ng solusyon ng mga problema ay ang pagtatayo ng mga bagong karagdagang projection, na ginagawang posible upang makakuha ng alinman sa mga degenerate projection ng mga indibidwal na elemento, o ang mga elementong ito sa buong laki. Ang pagtatayo ng mga karagdagang projection ay tinatawag na drawing transformation.

Ang conversion ay maaaring gawin sa mga sumusunod na paraan:

1. Baguhin (pagpapalit) ng mga projection planes na may kondisyon na ang object na pinag-uusapan o ang mga elemento nito ay sasakupin ang isa sa mga partikular na posisyon na may kaugnayan sa bagong sistema ng projection planes;

2. Pag-ikot ng mga geometric na bagay sa espasyo sa paligid ng projecting axis upang sila ay sumakop anumang partikular na posisyon na nauugnay sa mga projection planes.

3. Plane-parallel na paggalaw ng bagay, kung saan, ang paraan ng pag-ikot sa paligid ng projecting axis at ang paggalaw ng bagay, ay nakakamit ng isang paglipat mula sa isang bagay ng pangkalahatang posisyon sa isang bagay ng partikular na posisyon;

4. Ang pag-ikot ng mga geometric na bagay sa espasyo sa paligid ng linya ng antas upang sakupin nila ang posisyon ng alinman sa isang linya ng antas o isang patag na eroplano.

3.2 Teorya at algorithm para sa paglutas ng mga pangunahing positional at metric na problema

Ang kakanyahan ng paraan ng pagbabago ng mga eroplano ng projection ay ang paglipat mula sa isang naibigay na sistema ng mga eroplano ng projection patungo sa isang bago. Sa kasong ito, ang mga segment ng linya at flat figure ay nagpapanatili ng kanilang posisyon, at ang kanilang mga bagong projection ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapakilala ng mga karagdagang projection plane.

Kapag pinapalitan ang mga projection plane, ang mutual perpendicularity ng dalawang projection plane - bago at hindi mapapalitan - ay kinakailangang mapangalagaan.

Isaalang-alang ang mekanismo para sa pagbabago ng mga projection planes gamit ang halimbawa ng isang pagbabagong-anyo na may isang punto (Larawan 3.1.).

Figure 3.1 - Ang mekanismo para sa pagbabago ng eroplano ng mga projection na P2 hanggang P4

Sa diagram, ang pagbabagong ito ay ipinapakita sa Figure 3.2. Nagtakda kami ng dalawang projection ng point A (A1, A2) sa system ng projection planes na P1 at P2. Ipakilala natin ang posisyon ng eroplano P4. Mula sa hindi maaaring palitan na projection ng punto A - A1

gumuhit kami ng linya ng komunikasyon patayo sa trace line ng eroplano P4. Dahil ang taas ng punto ay hindi nagbabago kapag lumilipat mula sa system ng projection planes P1 - P2 sa sistema ng mga eroplano P1 - P4, ang taas na ito ay sinusukat sa field P2 at idineposito sa field P4 mula sa linya ng intersection ng mga eroplano sa direksyon ng bagong linya ng komunikasyon.

Figure 3.2 - Ang mekanismo ng paglipat mula sa system P1 - P2 hanggang P1 - P4 sa diagram

Ang pagpapalit ng isa sa mga projection planes ay hindi palaging humahantong sa pangwakas na solusyon ng problema, samakatuwid, kami ay sunud-sunod na isasaalang-alang ang mekanismo ng paglipat mula sa system ng projection planes P1 - P2 hanggang P1 - P4, at pagkatapos ay sa P4 - P5. (Larawan 3. 3).

Upang makuha ang projection ng point A sa plane ng projections P5, kinakailangan na sunud-sunod na ilipat ang point sa plane P4, at pagkatapos ay sa plane P5. Upang maisagawa ang konstruksyon, pinapalitan namin ang eroplanong P2 ng eroplanong P4.

Figure 3.3 - Ang mekanismo ng paglipat mula sa system P1 - P2 hanggang P4 - P5 sa diagram

Ang projection ng point A4 ay nakuha tulad ng sumusunod: mula sa hindi maaaring palitan na projection ng point A1 gumuhit kami ng isang linya ng koneksyon patayo sa linya ng intersection ng mga eroplano P1 - P4 at itabi mula dito ang distansya na sinusukat mula sa pinalitan na projection ng punto sa linya ng intersection ng mga eroplano P1 - P2. Sa panahon ng paglipat sa sistema ng projection planes P4 - P5, ang eroplano P1 ay pinalitan ng P5. Mula sa hindi maaaring palitan na projection ng punto A4, gumuhit kami ng isang linya ng komunikasyon patayo sa linya ng intersection ng mga eroplano P4 - P5. Mula sa linyang ito ay ipinagpaliban namin ang distansya na sinusukat mula sa pinalitan na projection ng punto A1 hanggang sa linya ng intersection ng mga eroplano na P1 - P4. Bilang resulta, binubuo namin ang projection ng punto A5.

Ang isa pang paraan upang baguhin ang isang pagguhit ay ang paraan ng pag-ikot. Binubuo ito sa katotohanan na ang ibinigay na sistema ng mga projection plane ay nananatiling hindi nagbabago, at ang figure ay pinaikot sa paligid ng isang nakapirming axis hanggang sa ito ay kumuha ng isang partikular na posisyon na may kaugnayan sa projection planes, sa partikular, ito ay nagiging parallel o patayo sa isa sa mga projection plane .

tions. Ang pag-ikot ay ginagawa sa paligid ng mga palakol na patayo o kahanay sa mga projection plane.

Isaalang-alang natin ang mekanismo ng pag-ikot ng punto sa paligid ng projecting axis. Hayaang umikot ang point A sa isang pahalang na naka-project na axis i. Sa kasong ito, ilalarawan ng punto ang isang bilog na may sentrong dumadaan sa axis ng rotation i (i 1 ,i 2 ). Sa panahon ng pag-ikot, ang trajectory ng point A ay isang bilog, ang eroplano na kung saan ay parallel sa horizontal projection plane (Larawan 3. 4).

Figure 3. 4 - Pag-ikot sa paligid ng isang pahalang na projecting axis

Sa diagram, ang proseso ng pag-ikot ng punto ay inilalarawan bilang mga sumusunod. Piliin ang axis ng pag-ikot i (i1 , i2 ). Sa pahalang na eroplano ng mga projection, ang axis na ito ay inaasahang sa puntong i1. Mula sa gitnang i1, ang projection ng point A1 ay naglalarawan ng isang bilog, lumiliko sa anumang anggulo hanggang sa makuha nito ang mga posisyon A1 ". Ang frontal projection ng point A2 pagkatapos ay gumagalaw sa isang pahalang na tuwid na linya patungo sa bagong posisyon ng puntong A2 " .

Kaya, kapag umiikot sa pahalang

projecting axis, ang pahalang na projection ng punto ay gumagalaw sa isang bilog, at ang frontal projection ay gumagalaw sa isang tuwid na linya patayo sa projection ng axis ng pag-ikot (Figure 3.5).

Figure 3.5 - Algorithm ng pag-ikot sa paligid ng isang pahalang na projecting axis

Kapag ang isang punto ay umiikot sa paligid ng isang frontally projection axis, ang punto ay naglalarawan ng isang tilapon sa anyo ng isang bilog, ang eroplano na kung saan ay parallel sa frontal projection plane (Figure 3. 6).

Figure 3.6 - Pag-ikot sa paligid ng front projecting axis

Kapag umiikot sa paligid ng isang tuwid na linya na nakaharap sa harap, ang frontal na projection ng punto ay naglalarawan ng isang bilog, at ang pahalang na isa ay gumagalaw sa isang tuwid na linya na patayo sa axis ng pag-ikot. Ang algorithm para sa pag-ikot ng isang punto sa paligid ng isang frontally projecting axis ay ipinapakita sa Figure 3.7.

Figure 3.7 - Algorithm ng pag-ikot sa paligid ng front projecting axis

3.3. Ang paraan ng pagpapalit ng mga projection planes. Solusyon sa mga pangunahing gawain

Hindi mahalaga kung paano na-convert ang pagguhit, ang mga pangunahing gawain ng conversion ay maaaring bawasan sa mga sumusunod:

1. Isang pagbabagong-anyo kung saan ang isang generic na tuwid na linya ay nagiging isang antas na tuwid na linya.

2. Isang pagbabagong-anyo kung saan ang linya ng antas ay nagiging isang projecting line.

3. Isang pagbabagong-anyo kung saan ang isang generic na eroplano ay nagiging isang projection plane.

4. Isang pagbabagong-anyo kung saan ang projection plane ay nagiging level plane.

Isaalang-alang natin ang solusyon ng mga pangunahing gawain ng pag-convert ng isang guhit sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga projection plane.

Upang ang isang pangkalahatang linya ng posisyon ay maging isang linya ng antas, kinakailangan na magpakilala ng isang bagong projection plane П4 na magiging parallel dito. Palitan natin, halimbawa, ang eroplanong P2 ng eroplanong P4 (larawan 3.8).

Ang eroplanong P4 ay matatagpuan parallel sa hindi maaaring palitan na projection ng straight line segment A1 B1. Ang resultang projection ng line segment A4 B4 ay isang level line, samakatuwid, ang projection na ito ay ang natural na laki ng segment. Ang solusyon ng problemang ito ay nagpapahintulot sa iyo na matukoy ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya ng segment AB sa pahalang na projection plane -α.

Figure 3.8 - Pagbabago ng isang pangkalahatang linya ng posisyon sa isang linya ng antas

Upang ang isang tuwid na antas ng linya ay maging isang projecting (iyon ay, upang mai-project sa ilang projection plane sa pamamagitan ng isang punto), ang bagong projection plane ay dapat na patayo dito.

Ang perpendicularity sa kumplikadong pagguhit ay napanatili lamang sa antas ng linya. Samakatuwid, ang isang bagong projection plane P4 ay pinili patayo sa kaukulang projection ng linya ng antas, i.e. sa natural na sukat ng segment AB (Figure 3.9).

Figure 3.9 - Pag-convert ng isang direktang antas sa isang projecting

Upang ang isang eroplano sa pangkalahatang posisyon ay maging projective, kinakailangan na ang bagong sistema ng projection planes ay patayo dito. Ang isang eroplano ay magiging patayo sa isang partikular na eroplano kung ito ay patayo sa anumang antas ng linya ng eroplanong ito. Kaya naman, para mapili ang posisyon ng bagong eroplanong P4, kailangang magpasya kung alin sa mga projection planes ang papalitan. Halimbawa, palitan natin ang P2 plane ng P4 plane (Figure 3.10). Sa pahalang na projection plane, ang pahalang ay inaasahang walang pagbaluktot.

ang umbrella projection ng pahalang na h1, kaya itinatayo namin ang eroplanong P4 na patayo dito.

Sa eroplanong P4, ang tatsulok na ABC ay sumasakop sa isang projecting na posisyon

Figure 3.10 - Pagbabago ng isang pangkalahatang posisyon ng eroplano sa isang projecting plane

Upang ang ibinigay na eroplano ay maging isang antas ng eroplano, kinakailangan upang ilagay ang P4 na eroplano parallel dito (Larawan 3.11).

Figure 3.11 - Pagbabago ng projecting plane sa isang level plane

Upang ma-convert ang isang pangkalahatang posisyon ng eroplano sa isang antas ng eroplano, ito ay kinakailangan upang magsagawa ng dalawang pagbabagong-anyo: una, ibahin ang anyo ng pangkalahatang posisyon ng eroplano sa isang projecting, at pagkatapos, sa pamamagitan ng pagpapakilala ng isa pang eroplano П5, baguhin ang projecting eroplano sa isang antas ng eroplano. .

3.4 Paraan ng pag-ikot sa paligid ng projecting axis. Solusyon sa mga pangunahing gawain

Gawain 1. Ibahin ang isang pangkalahatang linya ng posisyon sa isang linya ng antas

Upang malutas ang problema, kinakailangan upang piliin ang posisyon ng axis ng pag-ikot. Pumili tayo, halimbawa, isang pahalang na naka-project na linya bilang axis ng pag-ikot. Sa kasong ito, ang pag-ikot ay isasagawa sa pahalang na projection plane. Ang anggulo ng pag-ikot ng tuwid na linya ay tinutukoy ng kondisyon ng problema: ang tuwid na linya ay dapat na paikutin sa posisyon ng linya ng antas, sa kasong ito, sa posisyon ng linya ng pangharap na antas (Figure 3.12).

Figure 3.12 - Pagbabago ng isang pangkalahatang linya ng posisyon sa isang linya ng antas sa pamamagitan ng pag-ikot

Gawain 2. Gawing projecting line ang level line.

Kapag nagsasagawa ng pag-ikot, dapat mong piliin ang posisyon ng axis ng pag-ikot. Sa kasong ito, dapat piliin ang isang pahalang na projecting axis bilang axis ng pag-ikot at ang anggulo ng pag-ikot ng tuwid na linya ay dapat matukoy. Ang anggulo ng pag-ikot ay tinutukoy ng kondisyon ng problema (Figure 3.13).

Figure 3.13 - Pagbabago ng linya ng antas sa isang projecting line sa pamamagitan ng paraan ng pag-ikot

Gawain 3. Ibahin ang eroplano ng pangkalahatang posisyon sa isang inaasahang

Ang solusyon ng problema ay nagsisimula sa pagpili ng axis ng pag-ikot. Pumili tayo, halimbawa, isang pahalang na naka-project na linya bilang axis ng pag-ikot. Sa kasong ito, ang pag-ikot ay dapat isagawa sa pahalang na projection plane. Ang anggulo ng pag-ikot ng eroplano ng tatsulok sa paligid ng pahalang na projecting axis ay magtatakda ng pahalang na projection ng pahalang na nakahiga sa ibinigay na eroplano (Figure 3.14).

Figure 3.14 - Pagbabago ng isang eroplano ng pangkalahatang posisyon sa isang projective sa pamamagitan ng paraan ng pag-ikot

Gawain 4. I-convert ang projecting plane sa level plane.

Piliin natin ang posisyon ng axis ng pag-ikot. Sa kasong ito, dapat kang pumili ng isang pahalang na projecting axis ng pag-ikot. Tinutukoy ng anggulo ng pag-ikot ng bagay ang pag-ikot ng tinukoy na eroplano sa posisyon ng frontal plane ng antas (Figure 3.15).

Figure 3.15 - Pagbabago ng projecting plane sa isang level plane sa pamamagitan ng paraan ng pag-ikot

3.5 Plane-parallel na paraan ng paggalaw

Ang paraan ng plane-parallel na paggalaw ay binubuo na ang projection planes ay nananatiling hindi nagbabago, at ang bagay ay iniikot sa paligid ng projecting axis hanggang sa ito ay kumuha ng isang partikular na posisyon na may kaugnayan sa projection planes at inilipat. Depende sa mga kondisyon ng mga gawain, ang bagay ay dapat na mabago upang ito ay matatagpuan patayo o parallel sa mga projection plane.

Gawain 1. I-transform ang generic plane sa level plane.

Figure 3.16 - Paraan ng plane-parallel na paggalaw

Mga tanong para sa pagpipigil sa sarili sa paksa 3:

1. Ano ang kakanyahan ng paraan ng pagpapalit ng mga projection planes?

2. Maaari bang gawing level line ang isang generic na linya gamit ang isang solong pagbabago?

3. Paano pinipili ang direksyon ng projection upang gawing isang projection plane ang isang generic na eroplano?

4. Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng paraan ng pagpapalit ng projection planes at ng paraan ng plane-parallel movement?

5. Ilang beses dapat baguhin ng isang linya sa pangkalahatang posisyon ang posisyon nito kaugnay ng mga projection planes П 1 , P2 para maging isang tuwid na linya sa harap?

6. Ano ang kakanyahan ng paraan ng pag-ikot sa paligid ng projecting line?

4 POLYHEDA

4.1 Pangkalahatang impormasyon tungkol sa polyhedra. Tinutukoy ang polyhedra sa isang multidrawing

Ang polyhedra, na kumakatawan sa pinakasimpleng mga geometric na hugis, ay pangunahing sa disenyo ng mga istrukturang pang-inhinyero. Ang mga polyhedral form ay malawakang ginagamit sa disenyo ng mga bahagi ng makina at mga mekanismo sa teknolohiya, gayundin sa iba't ibang istruktura ng arkitektura.

Sa pinakadakilang praktikal na interes ay prisms, pyramids at convex unipormeng polyhedra, ang lahat ng mga mukha ay regular at pantay na polygons - Plato's solids (tetrahedron - 4, octahedron - 8, icosahedron - 20 regular triangles; hexahedron (cube - 6 regular na parihaba); dodecahedron - 12 regular na pentagons). Ang polyhedron ay tinatawag na convex kung ito ay matatagpuan sa isang gilid ng eroplano ng alinman sa mga mukha nito.

Ang polyhedron ay isang katawan na napapalibutan ng mga flat polygon. Ang mga polygon na ito ay tinatawag mga gilid (Larawan 4.1).

Figure 4.1 - Mga halimbawa ng polyhedra

Ang kabuuan ng lahat ng mga mukha ng isang polyhedron ay tinatawag na ibabaw nito

Ang mga mukha ay nagsalubong sa mga tuwid na linya na tinatawag na mga gilid. Nagsalubong ang mga gilid sa mga puntong tinatawag na vertices.

Ang mga guhit ng polyhedra ay dapat na baligtarin. Ito ay maaaring makamit kung ang ilang mga kundisyon para sa lokasyon ng mga gilid ng polyhedron sa mga projection ay natutugunan.

Sa pagguhit, ang polyhedra ay inilalarawan bilang mga projection ng kanilang mga vertex at mga gilid. Sa Figure 4.2, isang tuwid na tetrahedral prism ABCDKLMN at isang trihedral pyramid SABC ang ibinigay. Ang isang prisma ay tinatawag na tuwid kung ang mga gilid na mukha at mga gilid nito ay patayo sa base. Ang tamang prisma ay tinatawag na regular kung ang base nito ay isang regular na polygon.

Figure 4.2 - Pagtukoy sa polyhedra sa plot

4.2 Intersection ng polyhedra sa pamamagitan ng isang eroplano at isang tuwid na linya

Ang linya ng intersection ng polyhedron sa eroplano ay isang flat polygon (Larawan 4.3).

Figure 4.3 - Intersection ng isang polyhedron sa pamamagitan ng isang eroplano

Ang cut line ng isang polyhedron sa pamamagitan ng isang eroplano ay maaaring itayo sa dalawang paraan.

Unang paraan. Hanapin ang mga vertices ng nais na polygon bilang isang resulta ng intersection ng mga gilid ng polyhedron sa cutting plane.

Ang pangalawang paraan. Hanapin ang mga gilid ng nais na polygon bilang isang resulta ng intersection ng mga mukha ng polyhedron sa cutting plane.

Sa unang kaso, ang isa ay kailangang paulit-ulit na lutasin ang problema ng pagbuo ng isang punto ng intersection ng isang tuwid na linya na may isang eroplano, sa pangalawang kaso, ng pagbuo ng isang linya ng intersection ng dalawang eroplano. Sa mga kaso kung saan ang cutting plane o surface ay nasa isang partikular na posisyon, ang gawain ay lubos na pinasimple, dahil sa isa sa mga projection plane ang projection ng section line ay magkasabay alinman sa projection ng cutting plane (Figure 4.4), o sa ang degenerate projection ng ibabaw ng polyhedron (Figure 4.5).

Upang makabuo ng isang linya ng intersection ng isang trihedral pyramid na may frontally projecting plane, kinakailangan upang mahanap ang mga intersection point ng bawat gilid ng SABC pyramid na may frontally projecting plane ∑. Bilang resulta ng pagtatayo, nakukuha namin ang tatsulok na DFE. Kung ang isang generic na ibabaw ay intersected ng isang frontal projection plane, ang frontal projection ng section line (triangle) ay mag-tutugma sa frontal projection ng cutting plane ∑2. Ang mga frontal projection ng vertices ng section line (D2 , F2 , E2 ) ay tinukoy bilang resulta ng intersection ng bawat gilid ng pyramid sa cutting plane. Sa pamamagitan ng pag-project ng mga punto na tumutukoy sa linya ng seksyon papunta sa pahalang na eroplano ng mga projection papunta sa mga projection ng kaukulang mga gilid, nakuha namin ang pahalang na projection ng nais na linya ng seksyon (D1, F1, E1).

Figure 4.4 - Intersection ng pyramid sa pamamagitan ng projecting plane

Upang makabuo ng isang seksyon ng isang tuwid na prisma ABCD sa pamamagitan ng isang generic na eroplano Q(a||b), kailangan mong bumuo ng mga gilid ng nais na polygon

KLMN bilang resulta ng intersection ng mga mukha ng polyhedron sa eroplano Q(a||b) (Figure 4.5). Upang gawin ito, gumuhit kami ng isang auxiliary cutting plane Θ sa pamamagitan ng projection ng mukha B1 C1. Ang eroplanong ito ay magsasalubong sa ibinigay na eroplano Q(a||b) kasama ang isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na 11 , 21 . Binubuo namin ang projection ng linya ng seksyon ng dalawang eroplano sa frontal plane ng mga projection (12, 22) at hanapin ang mga intersection point ng segment na ito na may mga gilid B at C - L at M. Katulad nito, itinatayo namin ang linya ng intersection ng ang mukha AD na may eroplanong Q - ang segment na KN. Sa frontal plane ng mga projection, ikinonekta namin ang mga projection ng mga segment ng polygon K2 L2 M2 N2, na isinasaalang-alang ang visibility ng mga mukha

– makikita ang projection ng segment kung nakikita ang mukha sa ibinigay na projection, hindi nakikita – kung hindi nakikita ang projection ng mukha. Bilang karagdagan, ito ay kinakailangan upang maitaguyod ang mutual visibility ng mga gilid ng prisma at ang cutting plane.

Figure 4.5 - Intersection ng projecting prism sa pamamagitan ng isang eroplano ng pangkalahatang posisyon

Isaalang-alang ang pagtatayo ng isang seksyon ng isang pyramid sa pangkalahatang posisyon ng isang eroplano sa pangkalahatang posisyon (Larawan 4.6).

Figure 4.6 - Intersection ng pyramid sa pamamagitan ng isang eroplano sa pangkalahatang posisyon

Upang bumuo ng linya ng intersection, tutukuyin namin ang mga vertices ng seksyon bilang resulta ng intersection ng bawat gilid ng pyramid na may eroplano ng pangkalahatang posisyon ∑(a||b). Upang mahanap ang punto ng intersection ng gilid SA sa eroplano ∑(a||b), kinakailangan upang ilakip ang gilid sa secant plane Q at hanapin ang linya ng intersection ng dalawang eroplano Q at ∑ - ang segment 12 22 ;11 21 . Ang vertex K ay itinayo bilang resulta ng mga intersection ng kaukulang projection ng mga projection ng gilid SA at ang segment 1,2. Ang mga vertices L at N ay matatagpuan ayon sa parehong algorithm bilang ang mga resulta ng mga intersection ng mga gilid SB at SC na may eroplano ∑(a||b).

Mga gawain sa kahulugan mga punto ng intersection ng isang polyhedron na may isang tuwid na linya nalutas sa batayan ng paraan ng auxiliary cutting planes. Sa kasong ito, ang isa sa mga projection ng isang ibinigay na tuwid na linya ay nakapaloob sa isang projecting secant plane. Hanapin ang linya ng intersection ng auxiliary

pagputol ng eroplano na may polyhedron. Ang mga projection ng mga punto ng intersection ng isang tuwid na linya na may polyhedron ay matatagpuan bilang isang resulta ng intersection ng constructed section line at isa pang projection ng isang naibigay na tuwid na linya at ang kasunod na pagpapasiya ng kanilang posisyon sa parehong projection planes. Hanapin ang mga punto ng intersection ng pyramid na may tuwid na linya sa pangkalahatang posisyon (Figure 4.7).

Figure 4.7 - Ang intersection ng isang tuwid na linya na may isang pyramid

Ipagpalagay natin, halimbawa, ang frontal projection ng ibinigay na tuwid na linya l 2 papunta sa frontally projecting plane Q2 at bumuo ng isang linya ng seksyon ng pyramid sa pamamagitan ng eroplanong ito. Binubuo namin ang mga punto ng intersection ng pyramid na may linya l bilang isang resulta ng intersection ng tatsulok ng seksyon muna na may pahalang na projection ng linya l 1 - K1 at L1, at pagkatapos ay makuha namin ang kanilang mga frontal projection (K2, L2).

Alamin natin ang mutual visibility ng linya l (l 1 ,l 2 ) kasama ang pyramid SABC. Ang mga gawain ng pagtukoy ng mga intersection point ng polyhedra na may mga linya ay pinasimple kung ang isa sa mga elemento ay nasa isang partikular na posisyon.

Halimbawa, kapag tinutukoy ang mga punto ng intersection ng isang linya sa pangkalahatang posisyon na may projecting prism, ang problema ay nabawasan sa pagtukoy ng mga punto ng intersection ng isang linya na may degenerate projection ng prism faces (Figure 4.8).

Figure 4.8 - Ang intersection ng isang tuwid na linya na may isang tuwid na prisma

Kapag nahanap ang mga intersection point ng pyramid na may projecting line, ang mga pahalang na projection ng mga intersection point (K1, N1) ay tinutukoy sa degenerate projection ng tuwid na linya, at pagkatapos ay ang kanilang mga frontal projection ay naka-line up (K2, N2) at ang kanilang kakayahang makita sa isa't isa ay itinatag (Figure 4.9).

Figure 4.9 - Ang intersection ng pyramid sa projecting line

4.3 Konstruksyon ng mga pagpapaunlad ng polyhedra

Kung ang mga ibabaw ay binibigyan ng mga katangian ng flexibility at inextensibility, kung gayon ang ilan sa mga ito ay maaaring isama sa eroplano nang walang pagbuo ng mga fold at break, ibig sabihin, upang makakuha ng isang pag-unlad sa ibabaw.

Ang pagbuo ng isang polyhedron ay isang flat figure na nakuha sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng lahat ng mga mukha ng isang polyhedron sa isang eroplano sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod.

Upang bumuo ng isang pag-unlad ng isang prisma o pyramid, kinakailangan upang matukoy ang aktwal na sukat ng kanilang mga gilid at base, at pagkatapos ay bumuo ng isang pag-unlad ng mga ibabaw (Mga Figure 4.10 at 4.11).

Ang pagtatayo ng pag-unlad ng pyramid ay nabawasan sa paulit-ulit na pagtatayo ng natural na sukat ng mga tatsulok na naglilimita sa ibabaw nito.

Bumuo tayo ng buong pagbuo ng isang trihedral pyramid (Figure 4.10). Upang gawin ito, tinutukoy namin ang aktwal na laki ng bawat gilid gamit ang right-angled triangle method. Ang gilid ng SC ay ang front line ng level, kaya natural ang projection na S2 C2 nito. Ang base ng pyramid ay isang pahalang na antas ng eroplano, kaya ang pahalang na projection ng tatsulok na ABC ay isang natural na halaga.

Figure 4.10 - Pag-unlad ng pyramid

Ang pagtatayo ng mga pag-scan ng mga hilig na prisma ay nabawasan sa pagtatayo ng mga likas na halaga ng mga mukha ng polyhedron. Ang mga build na ito ay maaaring gawin sa mga sumusunod na paraan:

1. Ang paraan ng normal na seksyon, kung saan ang lapad ng bawat mukha ay tinutukoy gamit ang isang cutting plane na patayo sa mga gilid ng prisma;

2. Ang paraan ng pag-roll, na batay sa sunud-sunod na kumbinasyon ng lahat ng mga mukha ng prisma sa eroplano, sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng linya ng antas;

3. Isang paraan ng triangulation batay sa paghahati ng mga rhombus sa pamamagitan ng mga diagonal sa mga tatsulok at pagtukoy sa mga natural na halaga ng mga gilid ng mga tatsulok.

Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang pagsasaalang-alang sa kakanyahan ng normal na paraan ng seksyon. Itakda natin ang posisyon ng prisma sa paraang ang mga gilid nito ay, halimbawa, sa posisyon ng mga harapan (Larawan 4.11).

Figure 4.11 - Pag-scan ng prism gamit ang normal na paraan ng seksyon

I-intersect natin ang ibinigay na prism sa isang auxiliary plane na patayo sa mga gilid ng prism, i.e. tukuyin ang lapad ng bawat mukha ng prisma. Tukuyin natin ang natural na halaga ng normal na seksyon na ito at bumuo ng isang pag-unlad ng ibabaw ng prisma. Ang pagtatayo ng pag-unlad ay nagsisimula sa pagbuo ng isang pahalang na linya, kung saan isinantabi namin ang mga segment na tumutukoy sa lapad ng bawat mukha kasama ang normal na seksyon nito.

Sa pamamagitan ng mga punto na tumutukoy sa mga haba ng mga segment, gumuhit kami ng mga linya na patayo sa kanila, kung saan inilalagay namin ang mga haba ng mga segment ng mga tadyang na nakapaloob sa pagitan ng linya ng seksyon at ng mga base ng prisma.

Ang pag-unlad ng lateral surface ng prism ay nakuha pagkatapos ikonekta ang mga dulo ng mga itinayo na mga segment na may mga tuwid na linya. Upang makabuo ng isang kumpletong pagwawalis ng prisma, kinakailangan upang makumpleto ang mga natural na halaga ng mga base ng prisma.

4.4 Mutual intersection ng polyhedra

Ang resulta ng intersection ng dalawang polyhedra ay isang spatial polygonal closed line na tumatakbo kasama ang lateral surface ng parehong polyhedra.

Ang mga link nito ay tinukoy bilang resulta ng intersection ng mga mukha ng isang polyhedron sa mga mukha ng isa pa, at ang mga vertices ay tinukoy bilang mga punto ng intersection ng mga gilid ng bawat polyhedron sa mga mukha ng isa pa. Kaya, ang problema ng pagbuo ng isang linya ng mutual intersection ng dalawang polyhedra ay maaaring mabawasan sa paglutas ng problema ng intersection ng dalawang eroplano, o sa intersection ng isang linya na may isang eroplano.

Ang linya ng intersection ng polyhedra ay maaaring mahati sa dalawa o higit pang mga sanga, na maaaring parehong saradong spatial polygonal na mga linya at flat polygon. Ang linya ng intersection ay maaaring nasa loob ng karaniwang bahagi ng mga projection ng parehong intersecting surface.

Bumuo tayo ng isang linya ng intersection ng KLMN prism kasama ang SABC pyramid.

Upang makabuo ng isang linya ng intersection, una nating mahanap ang mga intersection point, halimbawa, ang mga gilid ng isang prisma na may mga mukha ng isang pyramid (Larawan 4.12). Makikita mula sa pagguhit na ang mga gilid M, N, L ay nasa labas ng magkasanib na lugar ng dalawang polyhedra, samakatuwid, hindi sila sumasalubong sa pyramid. Ang gilid K ay matatagpuan sa lugar ng superposisyon ng mga projection ng dalawang mukha ng pyramid CSA at CSB (tinutukoy ng mga pahalang na projection ng mga mukha C1 S1 A1 at C1 S1 B1 at ang gilid K1 ), kaya tinutukoy namin ang mga punto ng intersection ng gilid K sa mga mukha na ito.

Figure 4.12 - Paghahanap ng mga intersection point ng mga gilid ng prism na may mga mukha ng pyramid

Para sa pagtatayo, gagamit kami ng mga pantulong na tuwid na linya (S1 11 , S1 21 ), na iginuhit namin sa mga mukha ng CSB at CSA sa pamamagitan ng mga projection ng mga intersection point ng gilid K na may mga mukha - mga puntos 3 at 4 (una naming matukoy ang kanilang pahalang na projection 31 at 41 ). Buuin natin ang mga frontal projection ng mga puntos 3 at 4 sa intersection ng mga projection ng gilid K2 na may mga projection ng mga auxiliary na linya S2 12 , S2 22 .

Natagpuan namin ang mga punto ng intersection ng mga gilid ng pyramid na may mga mukha ng prisma. Magsisimula kaming bumuo ng mga puntong ito mula sa pahalang na eroplano ng mga projection, dahil ang prisma ay sumasakop sa isang pahalang na posisyong naka-project. Ang projection ng gilid S1 A1 ay nag-intersect sa dalawang mukha ng prisma K1 L1 at L1 N1 sa mga puntos na 51 at 61 . I-project natin ang mga puntong ito sa frontal plane ng projection papunta sa projection ng gilid S2 B2 at bumuo ng projection 52 at 62 .

Sa parehong pagtatalo, nagtatayo kami ng mga projection ng mga intersection point ng mga gilid SA at SC na may mga mukha ng prisma KL, KN at KM (7,8, 9, 10) (Figure 4.13).

Figure 4.13 - Paghahanap ng mga intersection point ng mga gilid ng pyramid na may mga mukha ng prism

Ikonekta ang sunud-sunod na mga projection ng mga punto ng intersection sa pamamagitan ng mga segment ng mga tuwid na linya na sabay-sabay na nabibilang sa mga mukha ng prism at pyramid. Halimbawa, ang mga projection ng mga puntos 7- 5 - 4 - 9 - 3 - 7 ay konektado sa serye, na nagkokonekta sa mga segment ng linya ng intersection ng dalawang polyhedra sa entry area at mga puntos 8, 6 at 10 sa exit area ng dalawang polyhedra.

Ang huling yugto ng konstruksiyon ay upang matukoy ang visibility ng mga seksyon ng itinayong linya ng intersection. Ang projection ng intersection line segment ay itinuturing na nakikita kung ang segment ay nasa nakikitang projection ng pyramid face at prism face. Kung hindi nakikita ang kahit isa sa mga projection ng mga mukha, hindi makikita ang projection ng isinasaalang-alang na seksyon ng linya ng intersection. Ikonekta natin ang mga seksyon ng linya ng intersection at i-stroke ang pagguhit, na isinasaalang-alang ang visibility ng mga mukha (Larawan 4.14).

Figure 4.14 - Mutual intersection ng polyhedra

Mga tanong para sa pagpipigil sa sarili sa paksa 4:

1. Ano ang polyhedron?

2. Ano ang tumutukoy sa ibabaw ng isang polyhedron sa isang kumplikadong pagguhit?

3. Anong mga pamamaraan ang ginagamit upang bumuo ng isang seksyon ng isang polyhedron sa pamamagitan ng isang eroplano?

4. Paano nabuo ang mga entry at exit point kapag ang isang polyhedron ay nagsalubong sa isang tuwid na linya?

5. Ano ang kakanyahan ng normal na paraan ng seksyon kapag gumagawa ng isang sweep ng isang prisma?

6. Anong paraan ang ginagamit sa paggawa ng pyramid sweep?

5 CURVES AT SURFACES

5.1 Mga hubog na linya

Ang mga hubog na linya ay ginagamit sa disenyo ng iba't ibang mga ibabaw, sa teorya ng mga makina at mekanismo, sa pagmomodelo at pagmamarka ng negosyo, sa pagtatayo ng mga diagram ng estado ng mga multicomponent system.

Ang isang hubog na linya ay isang hanay ng mga sunud-sunod na posisyon ng isang punto na gumagalaw sa kalawakan.

Ang mga curved na linya, ang lahat ng mga punto ay kabilang sa parehong eroplano, ay tinatawag na flat, halimbawa, isang tuwid na linya, isang bilog, isang ellipse, isang parabola, isang hyperbola, isang sinusoid, mga graph ng mga function ng isang variable, mga graph ng mga equation na may dalawang hindi alam, iba pang mga hubog na linya - spatial, halimbawa, helical lines.

Ang bawat kurba ay kinabibilangan ng mga geometric na elemento na bumubuo sa determinant nito, i.e. isang set ng mga independiyenteng kundisyon na natatanging tumutukoy sa kurba na ito.

Mayroong mga sumusunod na paraan upang tukuyin ang mga kurba:

1. Analytical - ang kurba ay ibinibigay ng isang mathematical equation;

2. Graphical - ang curve ay nakatakda lamang sa graphically;

3. Tabular - ang kurba ay tinukoy ng mga coordinate ng sunud-sunod na serye ng mga punto nito.

Ang anumang hubog na linya ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paglipat ng isang punto sa espasyo, bilang isang resulta ng intersection ng mga hubog na ibabaw sa pamamagitan ng isang eroplano at bilang isang resulta ng mutual intersection ng mga ibabaw, hindi bababa sa isa sa mga ito ay isang curve.

Ang mga punto ng isang patag na hubog na linya ay nahahati sa ordinaryong (tangent point A) at espesyal (inflection point B - sa inflection point, ang curvature ay nagbabago ng sign - mula sa

sa isang bahagi ng puntong ito, ang kurba ay matambok, sa kabilang banda, malukong; cusps C - cusps ng 1st kind (point F ng cycloid ay tumutukoy sa cusps ng 1st kind), D - cusps ng 2nd kind; Ang point E ay isang double point ng strophoid, sa puntong ito ang curve ay may dalawang magkaibang tangents m1 at m2) (Figure 5.1).

Figure 5.1 - Ordinaryo at isahan na mga punto ng kurba

Ang mga regular na hubog na linya ay nahahati sa algebraic (bilog, parabola) at transendental (sinusoid).

Kapag nag-aaral ng isang patag na hubog na linya, madalas na kinakailangan upang matukoy ang pagkakasunud-sunod nito. Ang pagkakasunud-sunod ng isang patag na hubog na linya ay tinutukoy ng pinakamalaking bilang ng mga punto ng intersection nito sa isang tuwid na linya, o ang antas ng equation nito. Ang linya ng unang order ay isang tuwid na linya. Mga hubog na linya ng pangalawang pagkakasunud-sunod - isang ellipse (ang partikular na anyo nito ay isang bilog), isang parabola, isang hyperbola.

Ang bilog ay isang saradong kurba, ang lahat ng mga punto ay nasa parehong distansya mula sa ilang punto O nakahiga sa eroplanong ito, na tinatawag na sentro. Circle equation: x 2 +y 2 =R 2 .

Ang isang ellipse ay isang set ng lahat ng mga punto sa isang eroplano, ang kabuuan ng mga distansya sa dalawang ibinigay na mga punto F1 at F2, na tinatawag na foci, ay isang pare-parehong halaga (2a). Ellipse equation: x 2 / a 2 + y 2 / b 2 =1.

Figure 5.2 - Mga linya ng pangalawang pagkakasunud-sunod: bilog at ellipse

Ang parabola ay tinukoy ng equation na y 2 = 2px . Ang isang parabola ay may isang hindi wastong punto, may isang axis ng mahusay na proporsyon.

Ang hyperbola ay tinukoy ng equation na x2 /a2 – y2 /b2 =1. Ang hyperbola ay may sentro at dalawang axes ng simetriya, at may dalawang hindi tamang punto.

Figure 5.3 - Mga linya ng pangalawang order: parabola at hyperbola

Sa mga spatial na hubog na linya, ang mga cylindrical at conical na helical na linya ay ang pinakadakilang praktikal na interes.

Cylindrical helix - ito ay isang linya na inilalarawan ng isang punto na may pare-parehong paggalaw sa isang tuwid na linya, na may pare-parehong pag-ikot ng pag-ikot nito sa paligid ng isang axis na kahanay nito.

Larawan 5.4 - Helix

Ang taas kung saan tumaas ang punto A sa isang kumpletong rebolusyon ay tinatawag helix pitch.

Ang frontal projection ng isang cylindrical helical line ay isang sinusoid, ang pahalang na projection ay isang bilog.

5.2 Pagbubuo ng mga hubog na ibabaw

Ang isang hubog na ibabaw ay isang hanay ng mga sunud-sunod na posisyon ng isang tiyak na linya na gumagalaw sa espasyo ayon sa isang tiyak na batas.

Ang mga ibabaw ay maaaring tukuyin sa isang guhit sa mga sumusunod na paraan:

1. Kinematic - ang ibabaw ay itinuturing bilang isang tuluy-tuloy na hanay ng mga posisyon ng isang linya na gumagalaw sa kalawakan ayon sa isang tiyak na batas.

Ang gumagalaw na linya ay tinatawag na generatrix ng ibabaw, at ang linya

kung saan gumagalaw ang generatrix ay tinatawag na gabay (Figure 5.5).

Figure 5.5 - Kinematic na paraan ng pagtukoy ng mga ibabaw

2. Wireframe - kung imposibleng ilarawan nang mathematically, ang ibabaw ay itinakda ng isang sapat na siksik na network ng mga linya na kabilang sa mga ibabaw na ito. Ang surface skeleton ay maaaring binubuo ng mga three-dimensional na curve o mga pamilya ng mga seksyon ng eroplano (figure 5.6).

Figure 5.6 - Pagtukoy sa ibabaw gamit ang isang frame

3. Analytical - ang ibabaw ay itinuturing bilang isang tuluy-tuloy na dalawang-dimensional na hanay ng mga puntos. Ang mga coordinate ng mga punto ng set na ito ay nakakatugon sa ilang equation na F(x,y,z) = 0.

4. Ang determinant ay isang hanay ng mga kundisyon na kinakailangan at sapat para sa isang natatanging pagtatalaga ng isang ibabaw. Surface qualifier

binubuo ng mga geometric at algorithmic na bahagi D = [G] Λ [A] . Halimbawa, ang ibabaw ng isang silindro ng rebolusyon ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang tuwid na linya sa paligid ng isang nakapirming axis i gamit ang determinant: D = Λ [A]. Ang geometric na bahagi ng determinant ay kinakatawan ng mga frontal projection ng axis at generatrix. Sa algorithmic na bahagi, ang "ibabaw ng rebolusyon" ay dapat na nakasulat (Figure 5.7).

Figure 5.7 - Pagtukoy sa ibabaw na may determinant

5. Balangkas - ang hangganan ng nakikitang bahagi ng ibabaw sa kaukulang projection plane. Ang pamamaraang ito ay ang pinaka-visual sa paglutas ng mga problema ng descriptive geometry. Halimbawa, ang ibabaw ng isang kanang pabilog na silindro ay maaaring katawanin ng mga projection ng pahalang at pangharap na mga balangkas nito (Larawan 5.8).

Figure 5.8 - Pagtukoy sa ibabaw na may sketch

Ang isang malaking pagkakaiba-iba ng mga ibabaw, iba't ibang mga paraan ng kanilang pagbuo, ang pagiging kumplikado ng mga geometric na katangian ay lumikha ng mga paghihirap sa mga pagtatangka na pag-uri-uriin ang mga ibabaw.

Ang lahat ng mga hubog na ibabaw, depende sa uri ng mga generator, ay nahahati sa pinasiyahan na mga ibabaw, kung saan ang generatrix ay isang tuwid na linya, at hindi pinasiyahan, kung saan ang generatrix ay isang curve.

Ang mga hiwalay na pinamumunuan na ibabaw, kung bibigyan sila ng mga pisikal na katangian ng flexibility at inextensibility, ay maaaring palawakin upang magkasabay sa eroplano nang walang mga wrinkles o break. Ang ganitong mga ibabaw ay tinatawag deployable. Ang mga pinamumunuan na ibabaw na hindi nakakatugon sa mga tinukoy na kinakailangan, pati na rin ang mga hindi pinamunuan na ibabaw, ay tinatawag hindi ma-deploy.

5.3 Mga ibabaw: mga pag-ikot, pinasiyahan, helical, paikot

5.3.1 Ibabaw ng rebolusyon

Ang ibabaw ng rebolusyon ay isang ibabaw na inilalarawan ng isang kurba (o tuwid na linya) na generatrix kapag ito ay umiikot sa isang nakapirming axis.

Ang bawat punto ng generator ay naglalarawan sa panahon ng pag-ikot nito ng isang bilog na nakasentro sa axis. Ang mga bilog na ito ay tinatawag na parallel. Ang parallel ng pinakamalaking radius ay tinatawag na ekwador, ang pinakamaliit - ang lalamunan (Larawan 5.9).

Ang mga kurba na nakuha sa seksyon ng katawan ng rebolusyon sa pamamagitan ng mga eroplano na dumadaan sa axis ay tinatawag na meridian. Ang meridian na parallel sa frontal projection plane ay tinatawag na pangunahing.

Figure 5.9 - Ibabaw ng pag-ikot

Ang mga ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang tuwid na linya ay kinabibilangan ng mga sumusunod na ibabaw:

1. Cylinder of rotation - ay nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang tuwid na linya sa paligid ng i-axis na kahanay nito.

2. Cone ng pag-ikot - nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang tuwid na linya sa paligid ng i-axis na interseksyon dito.

3. Ang isang sheet na hyperboloid ng rebolusyon ay nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang tuwid na linya sa paligid ng i-axis na interseksyon dito.

Ang hyperboloid ng rebolusyon ay maaari ding makuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng hyperbola sa paligid ng haka-haka na axis nito.

Ang pinangalanang mga ibabaw ay pinasiyahan ding mga ibabaw (Figure 5.10).

Figure 5.10 - Mga ibabaw ng rebolusyon: cylinder, cone, hyperboloid

Ang mga ibabaw ng rebolusyon na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang bilog ay kinabibilangan ng:

1. Sphere - isang ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang bilog sa paligid ng diameter nito;

2. Torus - isang ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang bilog sa paligid ng isang axis na nakahiga sa eroplano ng bilog na ito, ngunit hindi dumadaan sa gitna nito;

3. Singsing - isang ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang bilog sa paligid ng isang axis na nakahiga sa labas ng bilog.

Ang torus ay isang ibabaw ng ikaapat na pagkakasunud-sunod.

Ang anumang ibabaw ay itinuturing na ibinigay kung posible upang matukoy ang posisyon ng anumang punto sa ibabaw nito. Upang bumuo ng mga punto sa ibabaw

ang globo o torus, kinakailangang gamitin ang mga parallel at meridian ng mga ibabaw na ito (Figure 5.11).

Figure 5.11 - Mga ibabaw ng rebolusyon: sphere, torus, ring

Ang mga ibabaw ng rebolusyon na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang ellipse, parabola at hyperbola ay tinatawag ayon sa pagkakabanggit: ellipsoid ng rebolusyon, paraboloid ng rebolusyon, isang-sheet na hyperboloid ng rebolusyon (Larawan 5.12).

Figure 5.12 - Mga ibabaw ng rebolusyon: ellipsoid, paraboloid, hyperboloid

5.3.2 Pinamunuan na mga ibabaw

Ang ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng paggalaw ng isang tuwid na linya ay tinatawag na isang pinasiyahan.

Ang isang pinamumunuan na ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng paggalaw ng isang rectilinear generatrix na patuloy na dumadaan sa ilang punto S at sa lahat ng pagkakataon ay nag-intersect sa ilang guide curve ay tinatawag na conic.

Ang isang pinamumunuan na ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng paggalaw ng isang generatrix na kahanay sa isang tiyak na direksyon at intersecting sa isang gabay ay tinatawag na isang cylindrical na ibabaw.

Kasama sa mga pinasiyahang ibabaw ibabaw na may cusp- ay nabuo sa pamamagitan ng paglipat ng isang tuwid na linya kasama ang isang tiyak na spatial curve, at ang generatrix ng tuwid na linya ay nananatili sa bawat punto na padaplis sa curvilinear guide (Figure 5.13).

Figure 5.13 - Mga pinamumunuan na ibabaw: korteng kono, cylindrical, ibabaw na may pabalik na gilid

5.3.3 Mga helical na ibabaw

Ang helical surface ay nabuo sa pamamagitan ng helical na paggalaw ng ilang generating line (Figure 5.14).

Ang mga helical na ibabaw na may bumubuo ng mga tuwid na linya ay tinatawag na helicoids.

Ang isang helicoid ay tinatawag na tuwid kung ang bumubuo ng tuwid na linya ay gumagawa ng isang tamang anggulo sa z-axis ng ibabaw. Sa ibang mga kaso, ang helicoid ay tinatawag na pahilig o pahilig.

Figure 5.14 - Straight at oblique helicoids

5.3.4 Mga paikot na ibabaw

Ang isang ibabaw ay tinatawag na cyclic kung ito ay inilalarawan ng isang bilog na may pare-pareho o variable na radius sa panahon ng arbitrary na paggalaw nito.

Ang isang halimbawa ng isang paikot na ibabaw ay maaaring maging anumang ibabaw ng rebolusyon. Bilang karagdagan, kasama nila ang mga channel at tubular na ibabaw.

Ang ibabaw ng channel ay nabuo sa pamamagitan ng paggalaw ng isang bilog na may variable na radius kasama ang isang hubog na gabay.

Ang isang tubular na ibabaw ay nabuo sa pamamagitan ng paggalaw ng isang bilog na pare-pareho ang radius kasama ang isang hubog na gabay (Larawan 5.15).

Figure 5.15 - Mga paikot na ibabaw: channel at tubular

5.4 Pangkalahatang mga problema sa posisyon

5.4.1 Intersection ng mga curved surface sa pamamagitan ng eroplano

Kapag ang isang hubog na ibabaw ay intersected ng isang eroplano, sa pangkalahatang kaso, isang eroplano curve (ellipse, bilog) ay nakuha. Kapag tumatawid sa pinamumunuan na mga ibabaw gamit ang isang eroplano, ang mga tuwid na linya ay maaari ding makuha, sa isang partikular na kaso, kung ang secant na eroplano ay nakadirekta sa kahabaan ng mga generator o dumadaan sa isang punto (silindro o kono).

Upang makabuo ng isang linya ng intersection ng isang hubog na ibabaw sa pamamagitan ng isang eroplano, ang paraan ng auxiliary cutting planes ay ginagamit. Ang auxiliary plane ay pinili upang ito ay intersects ang ibinigay na eroplano sa kahabaan ng isang tuwid na linya, at ang ibabaw kasama ang isang graphically simpleng linya (bilog o tuwid na linya). Ang mga intersection point ng mga linyang ito ay ang mga gustong punto na kabilang sa ibabaw at sa cutting plane.

Ang pagtatayo ng mga projection ng linya ng seksyon ng ibabaw sa pamamagitan ng eroplano ay lubos na pinasimple kung ang cutting plane ay sumasakop sa projecting na posisyon

zhenie. Sa kasong ito, ang isa sa mga projection ng linya ng seksyon ay nasa pagguhit: ito ay kasabay ng projection ng eroplano. Ang gawain ay nabawasan lamang sa pagbuo ng isa pang projection ng linyang ito.

Isaalang-alang ang pagtatayo ng isang seksyon na linya ng isang silindro sa pamamagitan ng isang projecting plane (Larawan 5. 16).

Figure 5.16 - Intersection ng cylinder sa pamamagitan ng projecting plane

Ang silindro ay intersected ng eroplano Σ kasama ang isang ellipse. Dahil ang silindro ay sumasakop sa isang pahalang na posisyong naka-project, ang ellipse ay bumababa papunta sa pahalang na projection plane sa isang bilog na tumutugma sa pahalang na balangkas ng silindro. Dahil ang cutting plane ∑ ay sumasakop sa isang frontal projection na posisyon, ang frontal projection ng ellipse ay bumababa sa isang straight line segment 12 22 .

Isaalang-alang ang pagtatayo ng isang linya ng seksyon ng isang kanang pabilog na silindro ng isang eroplano sa pangkalahatang posisyon (Larawan 5.17).

Algoritmo ng pagtatayo:

1. Pag-aralan ang kalagayan ng problema. Dahil ang silindro ay sumasakop sa isang pahalang na posisyong naka-project, ang pahalang na projection ng seksyong ellipse ay bumababa sa isang bilog, at ang front projection ay na-project sa isang ellipse.

Ang viewpoints A at B ay mga puntong naghahati sa frontal projection ng section ellipse sa nakikita at hindi nakikitang mga bahagi. Ang mga projection na A2 at B2 ay tinutukoy gamit ang auxiliary secant plane Q (ang antas ng frontal plane) na iginuhit sa pamamagitan ng projection A1 at B1.

Malapit at malayong mga punto Ang C at D ay tinutukoy gamit ang pagputol ng mga eroplano ng frontal level na iginuhit sa pamamagitan ng mga projection C1 at D1 at intersecting ang silindro kasama ang malapit at malayong mga generator, at ang ibinigay na eroplano - kasama ang kaukulang mga harapan. Ang mga projection ng mga puntos na C2 at D2 ay matatagpuan sa intersection ng kaukulang projection ng mga linya.

Figure 5.17 - Intersection ng cylinder sa pamamagitan ng isang eroplano ng pangkalahatang posisyon

Ang pinakamataas at pinakamababang punto ng seksyon Ang K at L ay nasa slope line na iginuhit sa pamamagitan ng axis ng cylinder na patayo sa pahalang ng isang naibigay na eroplano. Tinutukoy ng segment na KL ang posisyon ng pangunahing axis ng ellipse.

Minor axis ng ellipse Ang MN ay matatagpuan patayo sa pangunahing axis, patayo dito at dumadaan sa axis ng silindro.

3. Tukuyin ang posisyon ng mga random na puntos. Gumastos ng mga auxiliary secant na eroplano ng frontal level at tukuyin ang posisyon ng mga projection ng mga random na puntos sa pahalang at frontal na eroplano ng mga projection.

4. Itakda ang visibility ng ellipse sa frontal projection plane. Itakda sa mga projection ang mutual visibility ng cylinder at cutting plane.

AT bilang isang resulta ng intersection ng isang kanang pabilog na kono ng mga eroplano, ang mga linya ay maaaring makuha, ang likas na katangian nito ay maaaring mahulaan depende sa lokasyon ng kono at ang secant na eroplano. Ang mga linyang ito ay maaaring: isang bilog, isang ellipse, isang parabola, isang hyperbola, at kung ang cutting plane ay dumaan sa tuktok ng kono, isang pares ng mga tuwid na linya (Figure 5.18).

Bumuo tayo ng isang seksyon na linya ng isang kanang pabilog na kono sa pamamagitan ng isang projecting plane (Larawan 5.19).

Algoritmo ng pagtatayo:

1. Pag-aralan ang kalagayan ng problema.

Ang cutting plane ay nasa isang frontal projection na posisyon, samakatuwid, ang frontal projection ng section ellipse degenerate sa frontal projection sa isang straight line segment AB.

2. Tukuyin ang posisyon ng mga reference point: ang itaas at mas mababang mga punto ng seksyon A at B ay tumutukoy sa posisyon ng pangunahing axis ng ellipse. Ang posisyon ng malapit at malayong mga punto (C at D) ay tinutukoy sa minor axis ng ellipse, na patayo sa major axis at matatagpuan sa gitna ng segment AB.

3. Tukuyin ang posisyon ng mga random na puntos: K,L at M,N. Para sa kanilang pagtatayo, ginagamit ang mga auxiliary cutting planes ng antas, na kung saan

Ang rye ay bumalandra sa ibabaw ng kono sa kahabaan ng mga bilog ng kaukulang radii, at ang eroplano - sa kahabaan ng frontally projecting straight lines.

Figure 5. 18 - Mga conic na seksyon (conics)

Figure 5.19 - Intersection ng cone sa pamamagitan ng frontally projecting plane

5.4.2 Intersection ng isang hubog na ibabaw na may tuwid na linya

Ang resulta ng intersection ng isang hubog na ibabaw na may isang tuwid na linya ay isang pares ng mga puntos.

Ang isang pares ng mga punto ng intersection ng isang tuwid na linya na may hubog na ibabaw ay may kondisyong tinatawag na entry at exit point. Upang mabuo ang mga puntong ito, ginagamit ang paraan ng mga auxiliary cutting planes.

Algoritmo ng pagtatayo:

1. Ang anumang projection ng isang tuwid na linya ay nakapaloob sa isang cutting plane. (Karaniwan, ang mga projecting plane ay pinipili bilang auxiliary plane.)

2. Bumuo ng mga projection ng seksyon ng linya ng ibabaw sa pamamagitan ng isang eroplano.

3. Tukuyin ang mga intersection point ng resultang linya na may ibinigay na tuwid na linya

4. Tukuyin ang mutual visibility ng isang tuwid na linya at isang ibabaw. Isaalang-alang ang iba't ibang mga kaso ng pagbuo ng mga intersection point ng mga curve

mga ibabaw ng tuwid na linya.

Ang paglutas ng problema ay pinasimple kung ang isa sa mga elemento (isang linya o isang ibabaw) ay nasa isang partikular na posisyon (Larawan 5.20). Sa kasong ito, sa isa sa mga projection, ang posisyon ng mga projection ng mga punto ng intersection ng tuwid na linya na may hubog na ibabaw ay tinutukoy.

Sa pamamagitan ng paglalagay ng frontal projection ng ibinigay na tuwid na linya sa projecting secant plane sa seksyon ng cylinder, nakakakuha kami ng isang ellipse, na naka-project sa horizontal projection plane sa anyo ng isang bilog na tumutugma sa pahalang na balangkas ng ibabaw ng silindro. . Ang mga punto ng intersection ng projecting cylinder na may tuwid na linya ay tinutukoy sa horizontal projection plane sa intersection ng horizontal contour ng cylinder na may projection ng tuwid na linya. Naitatag ang mutual visibility ng isang tuwid na linya at isang silindro.

Kapag nahanap ang mga punto ng intersection ng isang linya ng partikular na posisyon na may ibabaw ng isang kono sa pangkalahatang posisyon, maaaring gamitin ng isa ang pagtatayo ng mga generator na kabilang sa ibabaw ng kono. Buuin ang mga intersection point ng M at N at itatag ang mutual visibility ng linya at cone.

Figure 5.20 - Mga partikular na kaso ng intersection ng mga ibabaw na may mga tuwid na linya

Isaalang-alang ang pangkalahatang kaso ng intersection ng isang hubog na ibabaw na may isang tuwid na linya sa pangkalahatang posisyon gamit ang halimbawa ng intersection ng isang kono na may isang tuwid na linya (Figure 5.21). Lutasin natin ang problemang ito sa dalawang paraan.

Sa unang kaso, ang frontal projection ng tuwid na linya AB ay nakapaloob sa isang eroplanong dumadaan sa tuktok ng kono (plane ABS). Ang eroplanong ito ay magsa-intersect sa kono sa mga linyang S1 at S2. Upang mabuo ang mga linyang ito, ang linya ng DC ng intersection ng eroplanong ABS na may eroplano ng base ng kono at mga punto 1 at 2 ng intersection nito sa bilog ng base ng kono ay matatagpuan. Ang mga intersection point K at N ng linya AB na may ibabaw ng kono ay matatagpuan bilang resulta ng intersection ng linya CD na may mga linya S1 at S2. Tukuyin ang mutual visibility ng isang tuwid na linya at isang kono.

Sa pangalawang kaso, ang linya AB ay nakapaloob sa isang frontal projecting plane na nagsa-intersect sa cone sa isang ellipse. Ang mga intersection point na K at N ay matatagpuan bilang resulta ng intersection ng itinayong ellipse na may tuwid na linya.

AB at tukuyin ang mutual visibility ng isang tuwid na linya at isang cutting plane.

Ang unang paraan upang malutas ang problema ay ang pinaka-makatuwiran.

Figure 5.21 - Intersection ng isang kono na may tuwid na linya sa pangkalahatang posisyon

Upang malutas ang problema sa pagtukoy ng mga punto ng intersection ng isang globo na may isang tuwid na linya sa pangkalahatang posisyon (Larawan 5.22), mas makatwiran na gamitin ang paraan ng pagbabago ng mga eroplano ng projection. Sa kasong ito, halimbawa, ang isang pahalang na projection ng isang ibinigay na tuwid na linya AB sa isang pahalang na projecting na eroplano ay natapos. Sa seksyon ng sphere sa pamamagitan ng eroplanong ito, ang isang bilog ay nakuha, na kung saan ay inaasahang papunta sa P4 na eroplano nang walang pagbaluktot sa anyo ng isang bilog,

at ang line segment A4 B4 - sa natural na laki nito. Ang mga intersection point C at D ay tinutukoy sa intersection ng bilog at ang tuwid na linya sa eroplano P4, at pagkatapos ay ang kanilang mga projection sa eroplano P1 at P2 ay tinutukoy. Itakda ang visibility ng mga projection ng isang tuwid na linya at isang globo alinsunod sa visibility ng itinayong linya ng seksyon.

Figure 5.22 - Intersection ng isang globo na may tuwid na linya sa pangkalahatang posisyon

5.4.3 Mga pamamaraan para sa pagbuo ng mga linya ng intersection ng mga hubog na ibabaw

Dalawang hubog na ibabaw ang nagsalubong sa pangkalahatang kaso kasama ang isang spatial na hubog na linya (Larawan 5.23).

Figure 5.23 - Mutual intersection ng curved surfaces

Ang linya ng intersection ng dalawang hubog na ibabaw ay itinayo sa mga indibidwal na punto nito. Ang mga puntong ito ay tinutukoy sa tulong ng mga auxiliary intermediary surface. Ang intersecting sa mga ibinigay na ibabaw na may ilang pandiwang pantulong na ibabaw, ang mga linya ng seksyon ay nakuha, sa intersection kung saan nahanap nila ang mga punto na sabay-sabay na nabibilang sa parehong mga ibabaw at, samakatuwid, sa nais na linya ng seksyon.

Ang mga eroplano o sphere ay kadalasang pinipili bilang intermediary surface. Ang paggamit ng mga ibabaw na ito ay tinutukoy ng uri at lokasyon ng mga tinukoy na ibabaw.

5.4.3.1 Auxiliary cutting plane na paraan

Ang paraan ng auxiliary cutting planes ay ginagamit kapag ang parehong ibabaw ay maaaring intersected sa mga graphically simple na linya (mga bilog o tuwid na linya) ng isang tiyak na hanay ng projecting planes o level planes (Figure 5.24).

Figure 5.24 - Intersection ng isang kono at isang silindro

Isaalang-alang ang aplikasyon ng paraan ng auxiliary cutting planes ng antas sa halimbawa ng problema ng pagbuo ng isang linya ng intersection ng isang silindro at isang kono (Larawan 5.25).

Figure 5.25 - Paraan ng pagputol ng eroplano: intersection ng isang silindro at isang kono

Simulan natin ang pagbuo sa pamamagitan ng pagtukoy ng mga reference point (itaas, ibaba, kanan at kaliwang punto ng seksyon at mga punto ng visibility). Dahil ang ibabaw ng circular cylinder ay nasa isang frontally projecting na posisyon, ang mga puntong ito ay matatagpuan sa frontal outline ng surface - ang bilog kung saan ang cylinder ay inaasahang.

Ang linya ng seksyon mismo sa frontal plane ng mga projection ay magkakasabay sa frontal outline ng cylinder at tinutukoy ng lugar ng superposition ng mga projection ng dalawang ibabaw.

Ang pagtatayo ng mga projection ng upper at lower point ng seksyon ay magsisimula sa kahulugan ng kanilang mga frontal projection 12 at 22 . Itayo natin sila sa mga bundok

ang umbrella plane ng mga projection papunta sa projections ng pangunahing meridian at hanapin ang horizontal projection ng mga puntos 11 at 21 .

Upang makabuo ng mga pahalang na projection ng pinakakanan at kaliwang punto ng seksyon, gagamitin namin ang paraan ng pagputol ng mga antas ng eroplano. Pinipili namin ang posisyon ng auxiliary plane sa paraang sabay na intersect ang parehong mga ibabaw kasama ang mga graphic na simpleng linya - kasama ang mga bilog o tuwid na linya. Ang isang auxiliary cutting plane - isang pahalang na antas ng eroplano - ay iguguhit sa pamamagitan ng mga frontal projection ng mga puntos 3 at 4. Sa kasong ito, ang ibabaw ng isang pabilog na silindro ay intersected nito sa mga tuwid na linya, at ang ibabaw ng isang pabilog na kono - sa isang bilog. Ang mga pahalang na projection ng mga punto 31 at 41 ay makukuha sa intersection ng mga pahalang na projection ng mga linya ng seksyon.

Ang mga punto 3 at 4 ay kasabay ng mga punto ng view para sa pahalang na projection ng linya ng seksyon, i.e. limitahan ang projection na ito sa nakikita at hindi nakikitang mga bahagi.

Ang lahat ng iba pang mga punto na kabilang sa linya ng seksyon ay magiging pantulong at ang kanilang pagpili ay random. Ang bilang ng mga random na puntos ay tinutukoy ng katumpakan ng konstruksyon: kung mas marami, mas tumpak ang solusyon na ginawa.

Isaalang-alang natin ang pagtatayo ng isang pares ng mga random na puntos 5 at 6. Upang gawin ito, pumili tayo ng isang pares ng mga nakikipagkumpitensyang puntos sa frontal projection plane at ginagamit ang auxiliary secant plane ng horizontal level upang matukoy ang kanilang mga pahalang na projection.

Ang pagkonekta sa mga itinayong projection ng mga punto na may makinis na hubog na linya, nakakakuha kami ng isang pahalang na projection ng linya ng seksyon ng dalawang ibabaw. Sa kasong ito, sa pahalang na projection plane, isasaalang-alang namin ang posisyon ng mga visibility point. Ang seksyon ng linya ng seksyon sa itaas ng mga punto 3 at 4,

ay makikita, at sa ibaba ng mga ito - hindi nakikita. Ang frontal projection ng linyang ito ay tumutugma sa frontal outline ng cylindrical na ibabaw, at, bilang simetriko, ay makikita.

Kaya, upang bumuo ng isang linya ng intersection ng mga ibabaw, kinakailangan:

1. Tukuyin kung aling mga ibabaw ang bumalandra at kung mayroong projection ng linya ng intersection sa kondisyon ng problema.

2. Tukuyin ang posisyon ng mga anchor point.

3. Piliin ang posisyon ng mga auxiliary cutting planes.

4. Hanapin ang posisyon ng natitirang sanggunian at mga random na puntos gamit ang mga napiling cutting planes.

5. Gumuhit ng mga projection ng nais na linya ng seksyon.

6. Tukuyin ang visibility.

Upang makabuo ng isang linya ng intersection ng mga ibabaw na walang karaniwang eroplano ng simetrya, gamitin ang paraan ng mga secant na eroplano (Larawan 5.26). Upang matukoy ang posisyon ng mga puntos 1 at 2, sa pamamagitan ng axis ng simetrya ng kono ay iginuhit namin ang pangharap na eroplano ng antas Σ, na nagsalubong sa kono kasama ang pangunahing meridian, at ang globo sa kahabaan ng circumference. Ang mga frontal projection ng mga puntos 12 at 22 ay tinutukoy, at pagkatapos ay ang mga projection 11, 21.

Ang posisyon ng pinakamataas at pinakamababang punto (3 at 4) ay tinutukoy gamit ang secant plane Q, na dumadaan sa mga sentro ng cone at sphere at pagiging eroplano ng simetrya ng dalawang ibabaw. Upang matukoy ang mga projection ng mga puntos 32 , 42 at 31 , 41, ang paraan ng pag-ikot ng nakuha na mga seksyon (meridians ng parehong mga ibabaw) sa paligid ng axis na dumadaan sa axis ng symmetry ng kono ay ginamit.

Figure 5.26 - Intersection ng isang kono at isang globo - ang paraan ng pagputol ng mga eroplano

Ang mga punto ng view para sa pahalang na eroplano ng mga projection (5.6) ay tinutukoy gamit ang eroplanong Θ na iginuhit sa pamamagitan ng ekwador ng globo.

Ang posisyon ng mga random na puntos ay tinutukoy gamit ang pagputol ng mga eroplano ng pahalang na antas.

Ang mga viewpoint para sa frontal projection plane ay nasa pangunahing meridian ng globo. Kung gumuhit kami ng isang cutting plane sa pamamagitan ng pangunahing meridian ng globo, pagkatapos ay sa seksyon ng globo magkakaroon ng isang bilog, at sa seksyon ng kono - isang hyperbola. Alamin natin ang tinatayang posisyon ng mga ito

puntos pagkatapos bumuo ng isang karaniwang linya ng seksyon ng mga ibabaw.

Ikinonekta namin ang mga projection ng mga constructed point, na isinasaalang-alang ang visibility sa kaukulang projection planes.

5.4.3.2 Paraan ng auxiliary cutting spheres

Ang paggamit ng auxiliary secant spheres na pamamaraan ay batay sa isang katangiang likas sa ibabaw ng rebolusyon. Binubuo ito sa dalawa

anumang coaxial na ibabaw ng rebolusyon ay bumalandra sa mga bilog na dumadaan sa mga punto ng intersection ng mga meridian ng mga ibabaw.

Sa kasong ito, ang mga eroplano ng mga bilog ng seksyon ay patayo sa axis ng pag-ikot, at ang mga sentro ng mga bilog ay nabibilang sa axis na ito. Samakatuwid, kung ang mga palakol ng mga ibabaw ng rebolusyon ay parallel sa eroplano ng mga projection, kung gayon sa eroplanong ito ang mga bilog ng seksyon ay inaasahang maging mga segment ng mga tuwid na linya na patayo sa mga projection ng mga axes ng mga ibabaw ng rebolusyon, at sa ibang eroplano - sa anyo ng mga bilog.

Bilang isang pantulong na secant na ibabaw ng rebolusyon, maginhawang gumamit ng isang spherical na ibabaw, na ang gitna ay dapat kabilang sa axis ng ibabaw ng rebolusyon (Larawan 5.27).

Figure 5.27 - Pag-aari ng pagputol ng mga sphere

AT Depende sa kamag-anak na posisyon ng mga ibabaw, mayroong dalawang posibleng opsyon para sa paglutas ng mga problema gamit ang paraan ng mga secant sphere:

1. Ang mga axes ng parehong ibabaw ay parallel sa projection plane.

2. Ang mga intersecting surface ay may karaniwang simbolo na eroplano

AT sa unang kaso, ang paraan ng concentric secant spheres ay ginagamit (Figure 5.28), sa pangalawang kaso, sira-sira secant spheres.

Figure 5.28 - Paraan ng concentric secant spheres: intersection ng cones

Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang paggamit ng paraan ng concentric secant spheres upang malutas ang problema ng pagbuo ng isang linya ng intersection ng dalawang cones (Figure 5.29).

Ang pagtatayo ng linya ng intersection ay nagsisimula sa pagtukoy sa posisyon ng mga projection ng mga reference point. Ang mga projection ng mga puntos 12 , 22 at 32 , 42 ay ang pinakamataas at pinakamababang punto sa lugar ng pagpasok ng mga ibabaw ng kono at sa lugar ng kanilang paglabas. Ang kanilang mga pahalang na projection 11 , 21 , 31 , 41 ay nakuha sa pamamagitan ng pag-project sa axis ng symmetry sa horizontal projection plane.

Upang makuha ang natitirang mga punto ng linya ng intersection ng mga ibabaw, ang paraan ng concentric secant spheres ay ginagamit. Ang gitna ng mga secant sphere ay pinili sa frontal projection plane sa intersection ng symmetry axes ng mga ibabaw. Ang konstruksiyon ay nagsisimula sa pagtukoy ng pinakamababang radius ng secant sphere - ang halaga ng mas malaki sa dalawang patayo, na ibinaba mula sa gitna ng mga sphere hanggang sa mga generatrix na ibabaw ng mga cones.

Figure 5.29 - Paraan ng concentric cutting spheres

Buuin natin ang mga punto na kabilang sa linya ng intersection ng mga ibabaw bilang resulta ng intersection ng dalawang chord (mga bilog na espasyo kung saan ang auxiliary sphere ay nagsalubong sa mga cone).

Bumuo tayo ng mga random na puntos na kabilang sa linya ng intersection - mga punto 5 at 6, gamit ang isang secant sphere, ang radius kung saan ay pinili mula sa hanay: mas malaki kaysa sa minimum at mas mababa sa maximum (mula sa gitna hanggang sa projection ng punto 22) .

Ikinonekta namin ang mga projection ng linya ng seksyon, isinasaalang-alang ang kanilang kakayahang makita sa kaukulang mga projection.

Isaalang-alang ang paggamit ng paraan ng eccentric cutting planes upang malutas ang problema sa pagtukoy ng intersection ng isang kono at isang globo na may isang karaniwang eroplano ng simetrya (Larawan 5.30).

Figure 5.30 - Coaxial cone at sphere

Sinimulan namin ang pagtatayo ng linya ng intersection sa pamamagitan ng pagtukoy sa posisyon ng itaas at mas mababang mga punto ng seksyon (12, 22) sa intersection ng mga frontal sketch ng mga ibabaw at matukoy ang kanilang mga pahalang na projection 11 at 21 (Figure 5.31). Ang natitirang mga punto ay tinutukoy gamit ang mga secant sphere na iginuhit mula sa isa o iba't ibang mga sentro na nakahiga sa axis ng symmetry ng kono.

Figure 5.31 - Intersection ng isang kono at isang sphere - ang paraan ng mga sphere

Ang mga pares ng mga puntos na 3.4 at 5.6 ay tinutukoy muna sa frontal plane ng mga projection sa intersection ng mga chord mula sa kaukulang mga seksyon ng auxiliary sphere ng mga ibinigay na ibabaw. Pagkatapos ay itinayo nila ang kanilang mga pahalang na projection. Ang kakayahang makita ng linya ng intersection ay tinutukoy sa pahalang na eroplano ng mga projection, gamit ang isang cutting plane na dumadaan sa ekwador ng globo. Sa frontal projection plane, ang linya ng seksyon, na simetriko, ay itinatakda sa isang nakikitang makinis na kurba.

Ang paraan ng eccentric secant spheres ay ginagamit kapag gumagawa ng linya ng intersection ng isang bukas na torus at isang pinutol na kono (Larawan 5.32). Ang itaas at mas mababang mga punto ng seksyon A at B ay nasa eroplano ng pangunahing meridian ng parehong mga ibabaw at samakatuwid ay tinutukoy ng kanilang mga frontal projection sa intersection ng mga balangkas ng mga ibabaw. Pagkatapos ay itinayo ang kanilang mga pahalang na projection na A1 at B1.

Figure 5.32 - Paraan ng sira-sira na mga sphere: intersection ng torus at cone

Ang natitirang mga punto ay itinayo gamit ang mga secant sphere na bumabagtas sa ibabaw ng singsing kasama ang mga meridional na bilog nito. Upang mahanap ang mga sentro ng mga secant sphere, ang mga secant na eroplano ay iginuhit na dumadaan sa gitna ng singsing. Ang isang tangent ay iginuhit sa pamamagitan ng intersection point ng eroplanong ito at ang axis ng torus hanggang sa mag-intersect ito sa axis ng cone - ang puntong ito ang magiging sentro ng secant sphere na karaniwan sa torus at cone. Ang mga projection ng point C2 at D2 ay tinutukoy sa intersection ng chords (space circles) sa ibabaw ng torus at cone. Ang posisyon ng mga generator ay tinutukoy at ang mga projection C1 at D1 ay binuo sa kaukulang mga projection ng generators ng torus.

Ang mga viewpoint para sa pahalang na projection ng linya ng seksyon ay tinutukoy sa axis ng symmetry ng truncated cone sa frontal plane ng mga projection (isang pahalang na antas ng eroplano ay iginuhit) at ang mga pahalang na projection ng mga viewpoints (L1 at N1) ay tinutukoy. . Sa frontal projection plane, ang linya ay inaasahang bilang isang nakikitang kurba.

5.5 Tangent na mga linya at eroplano sa ibabaw

Ang isang tuwid na linya na nakahiga sa parehong eroplano bilang isang kurba ay maaaring magsalubong dito sa dalawa o higit pang mga punto. Ang nasabing linya ay tinatawag na secant. Kung ang secant ay inilipat upang ang haba ng arko AB sa pagitan ng dalawang intersection point ay lumalapit sa zero, pagkatapos ay sa limitasyong posisyon ang secant ay kukuha ng posisyon t at tatawaging tangent (Larawan 5.33).

Ang tangent ay nagpapahiwatig ng direksyon ng paggalaw kasama ang curve sa bawat tangent point.

Ang isang eroplanong padaplis sa isang ibabaw ay may puntong kapareho sa ibabaw na ito, isang tuwid na linya o isang patag na hubog na linya. Maaaring hawakan ng eroplano ang isang ibabaw sa isang lugar at i-intersect ito sa isa pa. Ang linya ng contact ay maaaring sabay na ang linya ng intersection ng ibabaw sa eroplano.

Figure 5.33 - Tangent sa curve

Sa pangkalahatan, ang eroplanong padaplis sa ibabaw ay isang hanay ng mga tuwid na linyang padaplis sa anumang kurba na kinabibilangan

pagpindot sa ibabaw at pagdaan sa isang ibinigay na punto ng ibabaw na ito.

Upang itakda ang isang tangent plane sa anumang ibabaw, sapat na upang gumuhit ng mga kurba na kabilang sa ibabaw sa pamamagitan ng isang puntong ibinigay sa ibabaw at bumuo ng isang tangent na linya sa bawat isa sa kanila na dumadaan sa isang punto. Ang mga tuwid na linya ay tutukuyin ang tangent plane. Ang plane tangent sa ibabaw ay ang nililimitahan na posisyon ng secant plane.

Ang isang tuwid na linya na dumadaan sa tangent point at patayo sa tangent plane ay tinatawag na surface normal sa puntong iyon. Tinutukoy ng normal na ibabaw sa isang partikular na punto ang direksyon ng tangent ng eroplano sa ibabaw sa puntong iyon (Figure 5.34).

Hindi posibleng gumawa ng tangent plane sa bawat punto sa ibabaw. Sa ilang mga punto, ang tangent na eroplano ay hindi matukoy o hindi natatangi. Ang ganitong mga punto ay tinatawag na mga espesyal na punto ng mga ibabaw, halimbawa, ang mga punto ng gilid ng pagbabalik ng ibabaw ng katawan, ang vertex ng conical na ibabaw, ang mga punto ng ibabaw ng rebolusyon, kung saan ang meridian at ang axis ay hindi. bumalandra sa tamang mga anggulo, atbp.

Figure 5.34 - Tangent na eroplano

Ang gawain ng pagbuo ng mga tangent na eroplano na dumadaan sa isang naibigay na punto sa ibabaw ay nabawasan sa mga sumusunod:

1. Anumang dalawang secants ay iginuhit sa pamamagitan ng isang punto sa isang hubog na ibabaw

mga eroplano.

2. Hanapin ang mga linya ng seksyon ng ibabaw sa pamamagitan ng mga eroplanong ito.

3. Bumuo ng mga tangent sa isang naibigay na punto sa mga linya ng seksyon.

Tinutukoy ng dalawang tangent ang nais na eroplano. Kapag pumipili ng pagputol ng mga eroplano, malamang na makuha nila ang pinakasimpleng uri ng seksyon - isang tuwid na linya o isang bilog.

Isaalang-alang ang kaso ng paggawa ng tangent plane sa pamamagitan ng point A, na kabilang sa ibabaw ng kono ng rebolusyon (Larawan 5.35).

Upang makabuo ng dalawang kinakailangang seksyon, ang isang cutting plane ay iguguhit sa pamamagitan ng isang ibinigay na punto A at sa tuktok ng kono. Ang eroplanong ito ay magsa-intersect sa ibabaw ng kono sa kahabaan ng generatrix na nagsisilbing linya ng tangency, at samakatuwid ay isa sa mga tuwid na linya na tumutukoy sa tangent na eroplano. Ang ikalawang tuwid na linya m, padaplis sa circumference ng seksyon ng kono sa pamamagitan ng isang pahalang na antas ng eroplano na iginuhit sa punto A. Ang padaplis ay maaari ding iguguhit sa circumference ng base ng kono.

Figure 5.35 - Tangent na eroplano sa ibabaw ng kono

5.6 Mga pag-unlad sa ibabaw

Ang pag-unlad sa ibabaw ay isang patag na pigura na nabuo sa pamamagitan ng pagsasama ng isang ibabaw sa isang eroplano.

Mula sa mga geometric na katangian ng mga elemento sa ibabaw na napanatili sa panahon ng paglalahad, mapapansin na ang linya ng ibabaw ay pumasa sa hindi nakatiklop na linya at ang mga haba ng mga linya, ang mga halaga ng mga anggulo ng eroplano at mga lugar na napapalibutan ng mga saradong linya ay nananatiling hindi nagbabago.

Hindi lahat ng mga ibabaw ay maaaring eksaktong patagin. Samakatuwid, ang mga ibabaw ay nahahati sa nabubuo at hindi nabubuo. Ang mga developable surface ay kinabibilangan ng mga ruled surface: mga cylinder, cone at torsos, dahil ang mga katabing generator ay parallel o intersect, i.e. bumuo ng eroplano.

Upang bumuo ng isang sweep ng isang kanang pabilog na silindro, kailangan mong bumuo ng isang parihaba na may base na 2πR, kung saan ang R ay ang radius ng base na bilog. Ang taas ng rektanggulo ay katumbas ng taas ng silindro (Larawan 5.36).

2. Anong mga linya ang nakukuha kapag nag-intersect ang mga eroplano sa isang silindro ng rebolusyon?

3. Anong mga kurba ang nakukuha kapag nagsalubong ang mga eroplano sa kono ng rebolusyon?

4. Ano ang mga matinding punto ng hubog na linya ng seksyon?

5. Sa anong mga kaso inirerekomenda na gamitin ang paraan ng auxiliary cutting planes o ang paraan ng auxiliary cutting spheres upang bumuo ng isang linya ng intersection ng dalawang curved surface?

6 COMPUTER GRAPHICS

6.1 Computer graphics at ang lugar nito sa computer-aided na disenyo

Pinag-aaralan ng mga computer graphics ang mga pamamaraan at paraan ng paglikha at pagproseso ng mga imahe gamit ang software at hardware system.

Kasama sa mga computer graphics ang isang complex ng iba't ibang software tool na ginagamit upang bumuo, mag-convert at magpakita ng impormasyon sa visual na anyo sa mga display device (display, graph plotters).

Kabilang sa mga hardware ay mga espesyal na aparato at pangkalahatang layunin na mga aparato.

Ang una ay mga input tulad ng light pen, mga digital na tablet at ibig sabihin ng output - mga plotter(Larawan 6.1).

Figure 6.1 - Mga espesyal na device

Sa pangalawa - Mga Input Device- "mouse" at "joystick" manipulators, at mga aparatong output-bitmap graphic display, printer, keyboard(Larawan 6.2).

Ang software ay nakatuon sa mga sumusunod mga pangunahing uri ng graphics: negosyo, ilustrasyon, siyentipiko, disenyo (para sa CAD), kartograpiko (arkitektural at pamamahala ng lupa CAD), sining at advertising.

Ang mga computer graphics ay binuo alinsunod sa pangkalahatang pag-unlad ng teknolohiya at software ng computer. Sa una, ang mga programa ay nilikha para sa pagpapakita ng mga graph bilang bahagi ng mga pakete ng aplikasyon bilang bahagi ng mataas na antas ng mga wika. Halimbawa, ang GRAFOR package ay ginawa bilang bahagi ng FORTRAN language application packages.

Figure 6.2 - Pangkalahatang layunin na mga aparato

AT higit pa, ang paglikha ng mga graphic na programa ay namumukod-tangi bilang isang independiyenteng direksyon ng software.

AT Depende sa paraan ng pagbuo ng imahe, ang mga computer graphics ay nahahati sa:

∙ raster graphics;

∙ vector graphics;

∙ fractal graphics.

Ang elemento ng imahe sa mga editor ng raster ay isang tuldok. Ang isang punto ay maaaring magkaroon ng ilang mga parameter: mga coordinate, kulay, tono, transparency. Ang imahe ay ginawa sa pamamagitan ng systematization ng mga puntos. Sa kasong ito, mayroong isang tagapagpahiwatig ng resolusyon ng imahe - ang bilang ng mga tuldok sa bawat yunit ng lugar ng imahe. Nagbibigay-daan sa iyo ang mga modernong engineering graphics tool na lumikha ng mga larawang may resolusyon na 2540 dpi (mga tuldok bawat pulgada) o higit pa. Ang bawat punto ay nangangailangan ng pagtugon para sa imbakan sa media. Ang isang malaking halaga ng data na pinoproseso, pati na rin ang data na kinakailangan upang i-save ang mga imahe, ay isang makabuluhang disbentaha ng raster graphics.

Ang isang karaniwang kawalan ng mga editor ng raster ay kapag ang imahe ay pinalaki, ang mga puntos ay tumataas nang naaayon, kaya kapag ang imahe ay pinalaki, ang resolution nito at, bilang isang resulta, ang katumpakan ay nawala; kawalan ng kakayahan upang gumana sa mga elemento (pinalaki na mga imahe) - pixelation.

Dahil ang elemento ng imahe ay isang punto, ang linya ay mangangailangan na ng sistematisasyon ng mga puntos. Mula dito maaari nating tapusin na ang paglikha ng dalawang-dimensional at tatlong-dimensional na mga bagay ay makabuluhang kumplikado sa paglalarawan ng imahe, na nagdaragdag ng dami ng naproseso at nakaimbak na data.

Kasama sa mga editor ng raster ang Paint, Adobe Photoshop, atbp. Idinisenyo ang mga ito upang lumikha ng mga larawan tulad ng mga artistikong guhit, ilustrasyon, graphics (Larawan 6.3).

Figure 6.3 - Mga halimbawa ng paggamit ng raster graphics

Sa vector graphics, ang pangunahing elemento ay ang linya. Ang isang linya ay inilarawan sa matematika bilang isang solong bagay, at samakatuwid ang dami ng data para sa pagpapakita ng isang bagay sa vector graphics ay makabuluhang mas mababa kaysa sa raster graphics.

Ang lahat ng itinuturing na graphic editor ay alinman sa pinakasimpleng editor, halimbawa, Paint, o isang malawak na hanay ng mga editor.

Tatlong pangunahing bloke: isang simulator, isang bloke ng pagkalkula at isang sistema ng dalubhasa - isagawa ang lahat ng mga pangunahing pamamaraan na maaaring kinakailangan sa panahon ng gawaing disenyo.

Ang block ng pagkalkula ay maaaring magsagawa ng anumang programa mula sa package ng application, na naglalaman ng lahat ng kinakailangang mga programa na ginagamit ng mga developer. Ang tawag ng isang partikular na programa ay isinasagawa sa kahilingan ng alinman sa simulator o sistema ng dalubhasa, o ang tagabuo mismo.

Database

Bloke ng pagbuo ng gawain

Gumagamit

Figure 6.5 - Karaniwang diagram ng CAD B Bloke ng pagbuo ng gawain ipinakilala ng taga-disenyo ang teknikal

ang maikling disenyo, na tumutukoy sa lahat ng mga layunin na makakamit sa disenyo at lahat ng mga hadlang na hindi maaaring labagin.

Yunit para sa paghahanda ng teknikal na dokumentasyon nagbibigay-daan sa taga-disenyo na ihanda ang mga kinakailangang dokumento para sa huling dalawang yugto ng paglikha ng mga bagong produkto.

Maaaring lumihis ang mga partikular na sistema mula sa karaniwang pamamaraang ito.

Isaalang-alang ang mga partikular na halimbawa ng CAD at engineering graphic editor at CAD / CAM / CAE system

6.3 Functionality ng 2D-3D Modeling Module

Ang AutoCAD graphics system ay ang de facto standard sa engineering graphics system. Ang pinakabagong mga bersyon ng AutoCAD ay mga modernong 32-bit na Windows application para sa mga inhinyero at gumagamit ng CAD. Nagbibigay ang AutoCAD ng isang mahusay na kapaligiran sa trabaho at sa gayon ay nagbibigay-daan sa mga taga-disenyo na higit na tumutok sa mga proyekto at gumugol ng mas kaunting oras sa pagpasok ng mga parameter mula sa keyboard.

Ang mga tampok tulad ng Multiple Design Environment, AutoCAD DesignCenter, Intellimouse na suporta, at higit pa ay sumusuporta sa isang natural, intuitive, mahusay na kapaligiran sa trabaho.

Ang SOLIDCAM ay isang produkto ng CADTECH Ltd. - makapangyarihan

isang tool para sa pagkuha ng mga control program para sa mga CNC machine kapag nagpoproseso ng mga bahaging naglalaman ng complex

ibabaw o solidong geometry. Nagbibigay ang SOLIDCAM ng 2.5 at 3-axis milling na may garantisadong

pagod na kawalan ng "undercuts", pagliko

katawan ng rebolusyon, visualization ng proseso ng pagputol na may imitasyon ng pag-alis ng materyal.

Figure 6.6 - Gamit ang programa SOLIDCAM sa produksyon

Ang sistema ng bCAD ay binuo para sa isang malawak na hanay ng mga aplikasyon, kaya ang pag-andar nito ay lubos na pangkalahatan (Larawan 6.7).

Ang sistema ng bCAD ay idinisenyo at binuo bilang isang workstation ng unibersal na taga-disenyo, na nagbibigay-daan upang magsagawa ng isang malawak na hanay ng trabaho sa mode na "end-to-end" - mula sa isang pagguhit hanggang sa isang three-dimensional na modelo o, sa kabaligtaran, mula sa isang tatlong -dimensional na representasyon sa mga flat projection. Kasabay nito, posible na gumawa ng teknikal na dokumentasyon alinsunod sa mga kinakailangan ng mga pamantayan, makakuha ng makatotohanang mga imahe, at maghanda ng data para sa mga sistema ng pag-aayos.

Figure 6.7 - Window ng bCAD system

Ang mga larawang raster na inihanda sa bCAD ay maaaring isulat sa GIF, TGA, BMP, JPG, TIFF o PCX na mga format at ginagamit sa pag-publish o mga pakete ng paglalarawan.

Kamakailan lamang, kapag bumubuo ng dokumentasyon ng disenyo sa proseso ng edukasyon ng mga teknikal na unibersidad, ang sistema ng KOMPAS-3D na binuo ng kumpanya ng Russia na ASCON ay malawakang ginagamit.

Ang KOMPAS-3D na pagguhit at editor ng disenyo ay naglalaman ng sapat na mga tool sa pagguhit para sa paggawa ng mga guhit ng anumang kumplikado na may ganap na suporta para sa mga pamantayang Ruso. Ang simple at naiintindihan na interface ng program na ito ay matagumpay na pinagsama sa kakayahang umangkop ng isang propesyonal na sistema kapag nagtatayo, pumipili, nagtanggal ng mga bagay sa pagguhit, nag-type ayon sa GOST, nagtatakda ng mga sukat ng lahat ng uri, mga pagpapaubaya ng hugis at lokasyon ng mga ibabaw, posisyon, base, atbp. .

Ang KOMPAS-3D ay partikular na idinisenyo para sa operating environment ng MS Windows at ganap na ginagamit ang lahat ng mga feature at benepisyo nito, na nagbibigay sa user ng maximum na kahusayan at kaginhawahan sa trabaho.

Ang mga sumusunod na graphical na bagay ay sinusuportahan sa KOMPAS-3D.

Mga geometric na bagay:						segment ng tuwid na linya
	pabilog na arko,				polygon,		putol na linya,
bezier Curve,		NURBS curve,		pagpisa,		equidistant curve,
macronutrient.
		linear na laki,			laki ng anggulo,		laki ng radial
	diametric na sukat,			sukat ng taas.
Espesyal at teknolohikal na mga pagtatalaga:							multiline

inskripsiyon ng teksto, base na pagtatalaga, hugis at pagpapahintulot sa lokasyon,

Pagguhit ng mga bagay sa disenyo: mga teknikal na kinakailangan, pangunahing inskripsyon (stamp), pagtatalaga ng pagkamagaspang ng hindi natukoy na mga ibabaw.

Ang mga pangunahing dokumento sa KOMPAS-3D system ay:

pagguhit, fragment, dokumento ng teksto, detalye, pagpupulong at detalye.

Ang pangunahing gawain na nalutas sa tulong ng anumang sistema ng pagguhit ay ang paglikha at pagpapalabas ng iba't ibang mga graphic na dokumentasyon (Larawan 6.10).

Figure 6.10 - Fragment ng pagguhit ng detalye sa KOMPAS-3D

Ang pinakasimpleng at pinaka-naiintindihan na paraan ng pagbuo ay direktang pagturo sa input field gamit ang cursor. Halimbawa, kapag gumagawa ng isang segment, ang panimulang punto nito ay sunud-sunod na naayos, at pagkatapos ay ang punto ng pagtatapos.

Ang isa pang paraan ay upang tukuyin ang eksaktong mga halaga ng mga coordinate upang lumipat sa nais na punto at pagkatapos ay ayusin ito. Upang ipakita at ipasok ang mga coordinate, mayroong mga espesyal na X at Y na field, na ipinapakita sa kanang bahagi ng Current Status Bar.

At, sa wakas, pinapayagan ka ng Object Parameters Bar na ipatupad ang pinakamalawak na posibilidad para sa pamamahala ng mga drawing object.

Maaari mong ilipat ang mga drawing o fragment na bagay gamit ang mouse o gamit ang mga command ng menu.

Ang mga pangunahing pamamaraan ng trabaho ay: gumagalaw ng mga bagay gamit ang mouse; pagkopya ng mga bagay gamit ang mouse; simpleng pag-alis ng mga graphic na bagay; pag-edit ng mga katangian ng mga punto ng mga bagay; pag-edit ng mga parameter ng object.

Ang sistema ng KOMPAS-3D ay may kakayahang makabuo ng mga three-dimensional na modelo ng isang bahagi upang mailipat ang geometry sa iba't ibang mga parameter ng disenyo o sa mga pakete para sa pagbuo ng mga programa ng kontrol para sa kagamitan ng CNC, pati na rin upang lumikha ng dokumentasyon ng disenyo para sa mga binuo na bahagi (Larawan 6.11 ).

Larawan 6.11 Halimbawa ng trabaho sa KOMPAS-3D

Ang mga pangunahing gawain na nalulutas ng KOMPAS-3D ay ang pagbuo ng isang three-dimensional na modelo ng isang bahagi upang ilipat ang geometry sa iba't ibang mga pakete ng pagkalkula o sa mga pakete para sa pagbuo ng mga programa ng kontrol para sa

CNC ruding, pati na rin ang paglikha ng dokumentasyon ng disenyo para sa mga binuo na bahagi.

Ang karaniwang tinatanggap na pamamaraan para sa pagmomodelo ng isang matibay na katawan ay ang sunud-sunod na pagpapatupad ng mga operasyon ng Boolean (unyon, pagbabawas at intersection) sa mga solidong elemento (mga sphere, prisms, cylinders, cones, pyramids, atbp.). Ang isang halimbawa ng naturang mga operasyon ay ipinapakita sa Figure 6.12.

Figure 6.12 - Isang halimbawa ng pagsasagawa ng Boolean operations

Boolean operations sa solid elements: a) cylinder; b) kumbinasyon ng isang silindro at isang prisma; c) pagbabawas ng prisma; d) pagbabawas ng silindro.

Sa KOMPAS-3D, upang itakda ang hugis ng mga tatlong-dimensional na elemento, ang gayong pag-aalis ng isang patag na pigura sa espasyo ay ginaganap, ang bakas nito ay tumutukoy sa hugis ng elemento (halimbawa, ang pag-ikot ng isang pabilog na arko sa paligid ng isang axis bumubuo ng isang globo o isang torus, isang pag-aalis ng isang polygon - isang prisma, atbp.). Pagbuo ng mga volumetric na elemento: a) isang prisma, b) isang torus, c) isang kinematic na elemento (Figure 6.12).

Figure 6.12 - Pagbuo ng mga volumetric na elemento

Ang isang patag na pigura, batay sa kung saan nabuo ang isang katawan, ay tinatawag na sketch, at ang paghubog ng paggalaw ng isang sketch ay tinatawag na isang operasyon.

Mga tanong para sa pagpipigil sa sarili sa paksa 6:

1. Ano ang kasama sa terminong "computer graphics"?

2. Ano ang pag-aari ng computer graphics hardware?

3. Ilista ang mga pangunahing uri ng graphics.

4. Ayon sa paraan ng pagbuo ng imahe, ang mga computer graphics ay nahahati sa ……….. Ano ang kanilang pagkakaiba?

5. Ano ang pangunahing elemento ng fractal graphics?

6. Ano ang pangunahing elemento ng vector graphics?

7. Ano ang mga elemento ng isang tipikal na sistema ng CAD?

8. Pangalanan ang mga engineering graphic system na kilala mo.

9. Anong mga operasyon ang ginagamit upang magmodelo ng isang matibay na katawan?

Bibliograpiya

1. Rynin N.A. Descriptive geometry. Orthogonal projection. Petrograd, 1918.- 334 p.

2. Gordon V.O. Descriptive geometry course / V.O. Gordon, M.A. Sementsov-Ogievsky. - M: "Science", 2002. - 382 p.

3. Vinnitsky I.G. Descriptive geometry. Teksbuk para sa mataas na paaralan. - M .: "Higher School", 1975.- 280s., na may mga guhit.

4. Porsin Yu.A. Axonometric na mga larawan ng mga bahagi ng paggawa ng makina. 2nd edition, binago. at idagdag.-L .: "Engineering", 1976.- 232p., na may sakit.

5. Vinogradov V.N. Descriptive geometry. Minsk, "Pinakamataas. Paaralan", 1977.-308s., na may sakit.

6. Bubennikov A.V. Descriptive geometry. Teksbuk para sa mga unibersidad. - M .:

Mas mataas paaralan, 1985.-288s., may sakit.

7. Arustamov Kh.A. Koleksyon ng mga gawain sa mapaglarawang geometry

/ H.A. Arustamov. - M: "Engineering", 1981. - 446s.

8. Engineering Graphics: Pangkalahatang Kurso: Textbook / Ed. N.G. Ivantsivskaya at V.G. Burova - Ed. 2nd, binago. at idagdag.-M.: Logos, 2004.- 232p.: ill.

9. Peklich V.A. Descriptive Geometry / Educational Edition - M .: Publishing House ng Association of Construction Universities, 2007.-272s., na may mga ilustrasyon.