"Geometric body prism" - Parihabang parallelepiped. Parihaba. Mga seksyon ng dayagonal. Pythagorean theorem. Ang dami ng mga lugar. Vertices. base ng prisma. Ano ang pangalan ng prisma na ipinapakita sa figure. Labanan sa Math. Desisyon. Prisma. Ano ang isang tuwid na prisma. Nakatanggap ng kaalaman. Diagonal ng isang regular na triangular prism.
"Figure prism" - Kahulugan ng isang prisma. Nakahilig at tuwid na prisma. Patunayan muna natin ang theorem para sa isang tatsulok na prisma. Mga uri ng prisma. Ang dami ng isang inclined prism. Prisma. Ang lugar ng lateral surface ng prisma. Ang kabuuang lugar ng ibabaw ng prisma. Patunayan natin ngayon ang teorama para sa isang di-makatwirang prisma. tamang prisma.
"Dami ng prisma" - Lugar S ng base ng orihinal na prisma. Ang solusyon sa problema. Mga layunin ng aralin. Ang dami ng orihinal na prisma ay katumbas ng produktong S · h. Ang dami ng isang tuwid na prisma. Maaaring hatiin ang prisma sa tuwid na tatsulok na prisma na may taas h. Ang konsepto ng isang prisma. Iguhit ang altitude ng tatsulok na ABC. Mga tanong. Pag-aaral ng prism volume theorem. Mga pangunahing hakbang sa pagpapatunay ng direktang prism theorem?
"Ang konsepto ng isang prisma" - Ang lugar ng kabuuang ibabaw ng isang prisma. direktang prisma. Ang lugar ng lateral surface ng prisma. Polygon. Mga seksyon ng prisma. tamang prisma. Mga prisma na nakatagpo sa buhay. tatsulok na prisma. Patunay. Ang dami ng isang inclined prism. Kahulugan ng isang prisma. Nakahilig at tuwid na prisma. Mga uri ng prisma. Prisma.
"Mga Katangian ng isang prisma" - Mayroon bang mga hilig na prisma kung saan maaaring isulat ang isang globo. mga katangian ng prisma. Ang kondisyong nabuo para sa isang tuwid na prisma. Silindro. Prisma. Cross section ng isang silindro. Formula ng tatlong cosine. Base. tatsulok na prisma. Ang sine theorem para sa isang trihedral na anggulo. Ang gilid ng isang tatsulok na prisma. Sa paligid kung alin sa mga uri ng prisms ang maaari mong palaging ilarawan ang isang globo.
"Ang konsepto ng isang prism polyhedron" - Ang isang paralelogram ay nabuo sa seksyon. Bunga. mga katangian ng prisma. Ang terminong "prisma" ay nagmula sa Griyego at literal na nangangahulugang "sawn off" (katawan). Ang ibabaw na lugar ng prisma at ang lateral surface area ng prisma. Ang nasabing seksyon ay tinatawag na diagonal na seksyon ng prisma. Given: Ang gilid ng base ng isang regular na tatsulok na prism ay 8 cm, ang gilid na gilid ay 6 cm.
"Dami ng mga katawan" - Ф (x). F(x1). Ang dami ng isang oblique prism, pyramid at cone. Ф(хi). F(x2). a x b x. Kapag ang a = x at b = x, ang isang punto ay maaaring bumagsak sa isang seksyon, halimbawa, sa x = a.
"Ang saklaw ng konsepto" - 1. Ang kabuuang lugar ng ibabaw ng kubo ay 6 m2. O ang dami ng isang parihabang parallelepiped ay katumbas ng produkto ng base area at ang taas. Ang dami ng isang silindro ay katumbas ng produkto ng lugar ng base at taas. Sa panahon ng aralin, ang isang differentiated test work ay isinasagawa gamit ang mga pagsusulit. Dami ng mga geometric na katawan.
"Mga Dami" - Pagsasanay 7. Pagsasanay 8 *. Ang mga tadyang sa gilid ay katumbas ng 3 at gumawa ng isang anggulo ng 45o sa base plane. Ang volume ng inclined prism ay 3. Ang mukha ng parallelepiped ay isang rhombus na may gilid na 1 at isang matinding anggulo na 60°. Ang dami ng isang inclined prism 1. Sagot: Isang eroplanong dumadaan sa mga sentro ng simetriya ng mga parallelepiped. Prinsipyo ng Cavalieri.
"Mga volume ng katawan" - Ang dami ng pyramid ay katumbas ng isang-katlo ng produkto ng base at ang taas. Ang dami ng pyramid. Ang dami ng silindro. 2010 h. V=1/3S*h. Dami ng magkatulad na katawan. V=a*b*c. Ang dami ng isang tuwid na prisma. Mga volume ng tel Bunga. Ang dami ng isang inclined prism. Ang dami ng isang hilig na prisma ay katumbas ng produkto ng lugar ng base at taas. Ang dami ng isang silindro ay katumbas ng produkto ng lugar ng base at taas.
TEKSTO NA PALIWANAG NG ARALIN:
Ngayon ay kukunin natin ang formula para sa dami ng isang hilig na prisma gamit ang integral.
Alalahanin kung ano ang prisma at anong uri ng prisma ang tinatawag na pahilig?
Ang PRISM ay isang polyhedron na ang dalawang mukha (mga base) ay magkaparehong mga polygon na matatagpuan sa magkatulad na mga eroplano, at ang iba pang mga mukha (mga gilid) ay parallelograms.
Kung ang mga gilid ng gilid ng prisma ay patayo sa eroplano ng base, kung gayon ang prisma ay tuwid, kung hindi man ang prisma ay tinatawag na pahilig.
Ang dami ng isang hilig na prisma ay katumbas ng produkto ng lugar ng base at taas.
1) Isaalang-alang ang isang triangular inclined prism VSEB2C2E2. Ang volume ng prism na ito ay V, ang base area ay S, at ang taas ay h.
Gamitin natin ang formula: ang volume ay katumbas ng integral mula 0 hanggang h S mula sa x de x.
V= , kung saan ang lugar ng seksyon ay patayo sa axis ng Ox. Pinipili namin ang Ox axis, at ang punto O ay ang pinagmulan ng mga coordinate at namamalagi sa LAHAT ng eroplano (ang mas mababang base ng inclined prism). Ang direksyon ng Ox axis ay patayo sa LAHAT ng eroplano. Pagkatapos ang axis ng Ox ay nag-intersect sa eroplano sa puntong h, at iginuhit namin ang E1 na eroplano na kahanay sa mga base ng inclined prism at patayo sa axis ng Ox. Dahil ang mga eroplano ay parallel at ang mga gilid na mukha ay parallelograms, pagkatapos BE=, CE=C1E1=C2E2; BC=B1C1=B2C2
Kung saan sumusunod na ang mga tatsulok ALL = E2 ay pantay sa tatlong panig. Kung ang mga tatsulok ay magkatugma, kung gayon ang kanilang mga lugar ay pantay. Ang lugar ng isang arbitrary na seksyon S (x) ay katumbas ng lugar ng batayang Anak.
AT kasong ito pare-pareho ang base area. Kinukuha namin ang 0 at h bilang mga limitasyon sa pagsasama. Nakukuha namin ang formula: ang volume ay katumbas ng integral mula 0 hanggang h S mula sa x de x o ang integral mula 0 hanggang h ng base area mula sa x de x, ang base area ay isang pare-pareho (constant value), maaari nating alisin ito sa integral sign at lumalabas na ang integral mula 0 hanggang h de x ay katumbas ng ash minus 0:
Ito ay lumalabas na ang dami ng isang hilig na prisma ay katumbas ng produkto ng lugar ng base at taas.
2) Patunayan natin ang formula na ito para sa isang di-makatwirang n-gonal inclined prism. Para patunayan ito, kumuha tayo ng pentagonal inclined prism. Hatiin natin ang hilig na prisma sa ilang tatsulok na prisma, sa kasong ito, sa tatlo (tulad ng sa patunay ng theorem sa dami ng isang tuwid na prisma). Tukuyin natin ang volume ng inclined prism bilang V. Pagkatapos ang volume ng inclined prism ay bubuuin ng kabuuan ng mga volume ng tatlong triangular prism (ayon sa ari-arian ng mga volume).
V \u003d V1 + V2 + V3, at hinahanap namin ang dami ng isang tatsulok na prism sa pamamagitan ng formula: ang dami ng isang hilig na prisma ay katumbas ng produkto ng lugar ng base at taas.
Nangangahulugan ito na ang dami ng isang hilig na prisma ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga lugar ng base at taas, inilalagay namin ang taas h sa labas ng mga bracket (dahil pareho ito para sa tatlong prisma) at nakukuha namin:
Ang teorama ay napatunayan.
Ang lateral edge ng inclined prism ay 4 cm, na gumagawa ng isang anggulo na 30 ° sa base plane. Ang mga gilid ng triangle na nasa base ay 12, 12, at 14 cm. Hanapin ang volume ng inclined prism.
Ibinigay: - inclined prism,
AB = 12 cm, BC = 12 cm, AC = 14 cm, B = 4 cm, BK = 30°.
Hanapin: V - ?
Karagdagang konstruksyon: Sa isang inclined prism, iginuhit namin ang taas H.
Alam namin na ang dami ng isang hilig na prisma ay katumbas ng produkto ng lugar ng base at taas.
Ang isang di-makatwirang tatsulok ay namamalagi sa base ng hilig na prisma, kung saan ang lahat ng panig ay kilala, na nangangahulugang inilalapat namin ang formula ng Heron: ang lugar ng tatsulok ay katumbas ng square root ng produkto ng pe times the pagkakaiba ng pe at a, ang pagkakaiba ng pe at be, ang pagkakaiba ng pe at ce, kung saan ang pe ay ang semiperimeter triangle, na hinahanap natin sa pamamagitan ng formula: kalahati ng kabuuan ng lahat ng panig a, b at c:
isaalang-alang ang semi-perimeter:
Palitan ang halaga ng semiperimeter sa formula para sa lugar ng base, pasimplehin at makuha ang sagot: pitong ugat ng 95.
Isaalang-alang ang ΔB H. Ito ay hugis-parihaba, dahil ang H ay ang taas ng inclined prism. Mula sa kahulugan ng sine, ang binti ay katumbas ng produkto ng hypotenuse at ang sine ng kabaligtaran na anggulo
ang halaga ng sine ng 30 ° ay katumbas ng isang segundo, na nangangahulugang
Natutunan namin yan
At ang taas H - ang taas ng inclined prism - ay katumbas ng 2.
Samakatuwid, ang dami ay
Ang kakayahang matukoy ang dami ng spatial figure ay mahalaga para sa paglutas ng mga geometriko at praktikal na problema. Ang isa sa mga figure na ito ay isang prisma. Isaalang-alang natin sa artikulo kung ano ito, at ipakita kung paano kalkulahin ang dami ng isang hilig na prisma.
Ano ang ibig sabihin ng prisma sa geometry?
Pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang regular na polyhedron (polyhedron), na nabuo sa pamamagitan ng dalawang magkatulad na base na matatagpuan sa magkatulad na mga eroplano, at ilang mga parallelogram na nagkokonekta sa mga markadong base.
Ang mga base ng isang prisma ay maaaring mga arbitrary na polygon, tulad ng tatsulok, may apat na gilid, heptagon, at iba pa. Bukod dito, tinutukoy ng bilang ng mga anggulo (gilid) ng polygon ang pangalan ng pigura.
Ang anumang prisma na may base na n-gon (n ang bilang ng mga gilid) ay binubuo ng n+2 mukha, 2 × n vertices, at 3 × n gilid. Mula sa ibinigay na mga numero makikita na ang bilang ng mga elemento ng prisma ay tumutugma sa teorama ni Euler:
3 x n = 2 x n + n + 2 - 2
Ipinapakita ng figure sa ibaba kung ano ang hitsura ng triangular at quadrangular prism na gawa sa salamin.
Mga uri ng figure. nakatagilid na prisma
Nasabi na sa itaas na ang pangalan ng prisma ay tinutukoy ng bilang ng mga gilid ng polygon sa base. Gayunpaman, may iba pang mga tampok sa istraktura nito na tumutukoy sa mga katangian ng figure. Kaya, kung ang lahat ng parallelograms na bumubuo sa lateral surface ng prism ay kinakatawan ng mga parihaba o parisukat, kung gayon ang nasabing figure ay tinatawag na isang tuwid na linya. Para sa distansya sa pagitan ng mga base ay katumbas ng haba ng gilid na gilid ng anumang parihaba.
Kung ang ilan o lahat ng mga panig ay parallelograms, kung gayon pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang hilig na prisma. Mas mababa na ang taas nito kaysa sa haba ng tadyang sa gilid.
Ang isa pang pamantayan kung saan isinasagawa ang pag-uuri ng mga figure na isinasaalang-alang ay ang haba ng mga gilid at ang mga anggulo ng polygon sa base. Kung sila ay pantay sa isa't isa, kung gayon ang polygon ay magiging tama. Ang isang tuwid na pigura na may regular na polygon sa mga base ay tinatawag na regular. Ito ay maginhawa upang gumana dito kapag tinutukoy ang ibabaw na lugar at dami. Ang isang hilig na prisma sa bagay na ito ay nagpapakita ng ilang mga paghihirap.
Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng dalawang prism na mayroong quadrangular na base. Ang 90° angle ay nagpapakita ng pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng isang tuwid at pahilig na prisma.
Formula para sa pagtukoy ng dami ng isang figure
Ang bahagi ng espasyo na napapaligiran ng mga gilid ng isang prisma ay tinatawag na dami nito. Para sa isinasaalang-alang na mga numero ng anumang uri, ang halagang ito ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng sumusunod na formula:
Dito, ang simbolo na h ay tumutukoy sa taas ng prisma, na isang sukatan ng distansya sa pagitan ng dalawang base. Simbolo S o - isang base area.
Ang base area ay madaling mahanap. Dahil sa katotohanan kung ang polygon ay regular o hindi, at alam ang bilang ng mga gilid nito, dapat mong ilapat ang naaangkop na formula at makuha ang S o . Halimbawa, para sa isang regular na n-gon na may haba ng gilid a, ang lugar ay magiging:
S n \u003d n / 4 × a 2 × ctg (pi / n)
Ngayon ay lumipat tayo sa taas h. Para sa isang tuwid na prisma, ang pagtukoy sa taas ay hindi mahirap, ngunit para sa isang pahilig na prisma, ito ay hindi isang madaling gawain. Maaari itong malutas sa pamamagitan ng iba't ibang mga geometric na pamamaraan, simula sa mga tiyak na paunang kondisyon. Gayunpaman, mayroong isang unibersal na paraan upang matukoy ang taas ng isang pigura. Ilarawan natin ito nang maikli.
Ang ideya ay upang mahanap ang distansya mula sa isang punto sa kalawakan hanggang sa isang eroplano. Ipagpalagay na ang eroplano ay ibinigay ng equation:
A × x + B × y + C × z + D = 0
Pagkatapos mula sa punto na may mga coordinate (x 1; y 1; z 1) ang eroplano ay nasa layo:
h = |A × x 1 + B × y 1 + C × z 1 + D| / √ (A 2 + B 2 + C 2)
Kung ang mga coordinate axes ay nakaayos upang ang punto (0; 0; 0) ay nasa eroplano ng ibabang base ng prism, kung gayon ang equation para sa base plane ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
Nangangahulugan ito na ang formula para sa taas ay isusulat tulad nito:
Ito ay sapat na upang mahanap ang z-coordinate ng anumang punto ng itaas na base upang matukoy ang taas ng figure.
Halimbawa ng solusyon sa problema
Sa figure sa ibaba, ang base ng isang hilig na prisma ay isang parisukat na may gilid na 10 cm. Kinakailangang kalkulahin ang dami nito kung alam na ang haba ng gilid ng gilid ay 15 cm, at ang matinding anggulo ng frontal paralelogram ay 70 °.
Dahil ang taas h ng figure ay ang taas din ng parallelogram, gumagamit kami ng mga formula upang matukoy ang lugar nito upang mahanap ang h. Tinutukoy namin ang mga gilid ng paralelogram tulad ng sumusunod:
Pagkatapos ay maaari nating isulat para dito ang mga sumusunod na formula para sa pagtukoy ng lugar S p:
S p \u003d a × b × kasalanan (α);
Saan tayo kukuha:
Narito ang α ay ang matinding anggulo ng paralelogram. Dahil ang base ay isang parisukat, ang formula para sa dami ng isang hilig na prisma ay kukuha ng anyo:
V = a 2 × b × sin(α)
Pinapalitan namin ang data mula sa kundisyon sa formula at makuha ang sagot: V ≈ 1410 cm 3.
Ang lakas ng tunog ay isang katangian ng anumang figure na may mga non-zero na dimensyon sa lahat ng tatlong dimensyon ng espasyo. Sa artikulong ito, mula sa punto ng view ng stereometry (ang geometry ng spatial figure), isasaalang-alang namin ang isang prisma at ipapakita kung paano hanapin ang mga volume ng prisms ng iba't ibang uri.
Ang stereometry ay may eksaktong sagot sa tanong na ito. Ang isang prisma sa loob nito ay nauunawaan bilang isang pigura na nabuo ng dalawang magkatulad na polygonal na mukha at ilang parallelograms. Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng apat na magkakaibang prisms.
Ang bawat isa sa kanila ay maaaring makuha tulad ng sumusunod: kailangan mong kumuha ng polygon (tatsulok, may apat na gilid, at iba pa) at isang segment ng isang tiyak na haba. Pagkatapos ang bawat vertex ng polygon ay dapat ilipat gamit ang parallel na mga segment sa isa pang eroplano. Sa bagong eroplano, na magiging parallel sa orihinal, isang bagong polygon ang makukuha, katulad ng napili sa una.
Ang mga prisma ay maaaring may iba't ibang uri. Kaya, maaari silang maging tuwid, pahilig at tama. Kung ang lateral na gilid ng prisma (ang segment na nagkokonekta sa mga tuktok ng mga base) ay patayo sa mga base ng figure, kung gayon ang huli ay isang tuwid na linya. Alinsunod dito, kung ang kundisyong ito ay hindi natutugunan, pagkatapos ay pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang hilig na prisma. Ang regular na figure ay isang right prism na may equiangular at equilateral base.
Dami ng mga regular na prisma
Magsimula tayo sa pinakasimpleng kaso. Ibinibigay namin ang formula para sa dami ng isang regular na prisma na may n-gonal na base. Ang volume formula V para sa anumang pigura ng klase na isinasaalang-alang ay may sumusunod na anyo:
Iyon ay, upang matukoy ang lakas ng tunog, sapat na upang kalkulahin ang lugar ng buto ng mga base S o at i-multiply ito sa taas h ng figure.
Sa kaso ng isang regular na prisma, tinutukoy namin ang haba ng gilid ng base nito sa pamamagitan ng titik a, at ang taas, na katumbas ng haba ng gilid ng gilid, ng titik h. Kung ang base ng n-gon ay tama, kung gayon ang pinakamadaling paraan upang kalkulahin ang lugar nito ay ang paggamit ng sumusunod na unibersal na formula:
S n \u003d n / 4 * a2 * ctg (pi / n).
Ang pagpapalit sa pagkakapantay-pantay ng halaga ng bilang ng mga panig n at ang haba ng isang panig a, maaari mong kalkulahin ang lugar ng n-coal base. Tandaan na ang cotangent function dito ay kinakalkula para sa anggulo pi/n, na ipinahayag sa radians.
Isinasaalang-alang ang pagkakapantay-pantay na isinulat para sa S n, nakukuha namin ang pangwakas na pormula para sa dami ng isang regular na prisma:
Vn = n/4*a2*h*ctg(pi/n).
Para sa bawat partikular na kaso, maaaring isulat ng isa ang kaukulang mga formula para sa V, ngunit lahat sila ay sumusunod nang hindi malabo mula sa pangkalahatang expression na isinulat. Halimbawa, para sa isang regular na quadrangular prism, na sa pangkalahatang kaso ay isang parihabang parallelepiped, nakukuha natin ang:
V 4 \u003d 4/4 * a2 * h * ctg (pi / 4) \u003d a2 * h.
Kung kukuha tayo ng h=a sa expression na ito, makakakuha tayo ng formula para sa dami ng isang kubo.
Dami ng mga tuwid na prisma
Napansin namin kaagad na para sa mga tuwid na numero ay walang pangkalahatang formula para sa pagkalkula ng dami, na ibinigay sa itaas para sa mga regular na prisma. Kapag hinahanap ang dami na isinasaalang-alang, ang orihinal na expression ay dapat gamitin:
Narito ang h ay ang haba ng gilid ng gilid, tulad ng sa nakaraang kaso. Tulad ng para sa base area S o , maaari itong tumagal sa iba't ibang mga halaga. Ang gawain ng pagkalkula ng isang tuwid na prisma ng lakas ng tunog ay nabawasan sa paghahanap ng lugar ng base nito.
Ang pagkalkula ng halaga ng S o ay dapat isagawa batay sa mga katangian ng base mismo. Halimbawa, kung ito ay isang tatsulok, kung gayon ang lugar ay maaaring kalkulahin tulad ng sumusunod:
Narito ang h a ay ang apothem ng tatsulok, iyon ay, ang taas nito ay ibinaba sa base a.
Kung ang base ay isang quadrilateral, maaari itong maging isang trapezoid, isang paralelogram, isang parihaba, o isang ganap na arbitrary na uri. Para sa lahat ng mga kasong ito, dapat mong gamitin ang naaangkop na formula ng planimetry upang matukoy ang lugar. Halimbawa, para sa isang trapezoid, ang formula na ito ay mukhang:
S o4 \u003d 1/2 * (a 1 + a 2) * h a .
Kung saan ang h a ay ang taas ng trapezoid, ang a 1 at a 2 ay ang mga haba ng magkatulad na panig nito.
Upang matukoy ang lugar para sa mga polygon ng isang mas mataas na pagkakasunud-sunod, dapat isa-isa ang mga ito sa mga simpleng figure (triangles, quadrangles) at kalkulahin ang kabuuan ng mga lugar ng huli.
Dami ng inclined prisms
Ito ang pinakamahirap na kaso ng pagkalkula ng dami ng isang prisma. Nalalapat din ang pangkalahatang pormula para sa mga naturang numero:
Gayunpaman, sa pagiging kumplikado ng paghahanap ng lugar ng base, na kumakatawan sa isang di-makatwirang uri ng polygon, ay idinagdag ang problema sa pagtukoy ng taas ng figure. Sa isang hilig na prisma, ito ay palaging mas mababa kaysa sa haba ng gilid ng gilid.
Ang pinakamadaling paraan upang mahanap ang taas na ito ay kung alam mo ang anumang anggulo ng pigura (flat o dihedral). Kung ang ganitong anggulo ay ibinigay, dapat itong gamitin upang bumuo ng isang right-angled na tatsulok sa loob ng prisma, na maglalaman ng taas h bilang isa sa mga gilid at, gamit ang trigonometric function at ang Pythagorean theorem, hanapin ang halaga h.
Problema sa dami ng geometriko
Given a regular prism with a triangular base, having a height of 14 cm and a side length of 5 cm Ano ang volume ng triangular prism?
Dahil pinag-uusapan natin ang tamang figure, may karapatan tayong gamitin ang kilalang formula. Meron kami:
V 3 = 3/4*a2*h*ctg(pi/3) = 3/4*52*14*1/√3 = √3/4*25*14 = 151.55 cm3.
Ang isang tatsulok na prisma ay isang medyo simetriko na pigura, sa anyo kung saan ang iba't ibang mga istruktura ng arkitektura ay madalas na gumanap. Ang glass prism na ito ay ginagamit sa optika.
