На этом уроке вы узнаете, что такое отрицательные числа. Познакомитесь с их свойствами, сферами применения в реальной жизни. Также разберете, что отрицательные числа могут быть как целыми, так и дробными. Поймете, как располагаются отрицательные числа на числовой прямой относительно 0.

Вспомним, какие числа вы уже знаете. Начинали вы изучение с натуральных чисел, тех чисел, которые мы используем при счете, таких как 1, 2, 3, 4... и т. д. Потом выяснили, что таких чисел нам не хватает. Например, если разделить отрезок длины 1 пополам, то длина получившегося отрезка будет не целой. Так мы познакомились с дробными числами, такими как , , . Итак, мы вспомнили, что есть натуральные и есть дробные числа, но выясняется, что и их не хватает. Рассмотрим это на примере.

У вас есть 40 руб. и вы хотите купить мороженое за 20 руб. Сколько денег у вас останется после покупки? (см. рис. 1).

Рис. 1. Мороженое за 20 руб.

Теперь представьте несколько иную ситуацию. У вас есть 20 руб., и вы хотите купить мороженое за 40 руб. Сколько тогда денег у вас останется? (см. рис. 2).

Рис. 2. Мороженое за 40 руб.

Можно решить по аналогии: .

Но 20 меньше 40. И имея 20 руб., мороженое за 40 руб. купить нельзя. Можно занять 20 руб. и только тогда купить мороженое. Но что после этого останется?

Останется долг в 20 руб. Выразить числом этот долг можно, вводя отрицательные числа.

Аналогичные предпосылки возникают и на числовой оси.

Рассмотрим числовую ось (см. рис. 3).

Рис. 3. Числовая ось

На ней отмечены натуральные числа 1, 2, 3 и т. д. и начало в точке ноль. Также на соответствующих отрезках можем отметить числа , , и т. д. (см. рис. 4).

Рис. 4. Числовая ось

Что означает, Это мы к 1 прибавляем три единицы и попадаем в точку 4 (см. рис. 5).

Рис. 5. Числовая ось

Точно так же мы можем сделать шаг в другую сторону. Например, что будет, если мы из 1 вычтем 3: ? Мы попадем в пустоту (см. рис. 6).

Рис. 6. Числовая ось

Здесь и находятся отрицательные числа, которые нам, безусловно, понадобятся (см. рис. 7).

Рис. 7. Числовая ось

Теперь мы можем их ввести. Но как же обозначаются отрицательные числа? Для этого вспомним, как обозначаются натуральные числа, такие как 1, 2, 3, 4 и т. д. (см. рис. 8).

Рис. 8. Числовая ось

Но что показывает число 2? Оно показывает, что от 0 до 2 помещается два единичных отрезка (см. рис. 9).

Рис. 9. Числовая ось

Если отложить такой же отрезок влево, мы получим расстояние от точки 0 ровно в один отрезок. Так мы получаем число 1. Но чтобы не путаться, для чисел слева придумали специальный знак «-», который мы ставим перед числом и получаем . Аналогично, следующее число будет и т. д. То есть, если натуральные числа у нас обозначаются как 1, 2, 3 и т. д., то отрицательные как -1, -2, -3.(см. рис. 10).

Рис. 10. Числовая ось

Есть число , для него существует противоположное число. Оно находится между -2 и -1 и равно - (см. рис. 11).

Рис. 11. Числовая ось

Вернемся к первому примеру. У нас было 20 руб. и мы потратили 40 руб., у нас осталось -20 руб.

Как действовать с отрицательными числами, как их складывать, вычитать и т. д. - это темы более поздних уроков. А сейчас давайте подумаем, где же в реальной жизни применяются отрицательные числа?

На некоторых уличных градусниках температура показывается так: есть планка ноль градусов, есть то, что выше нуля - 1, 2, 3, и т. д, а есть то, что ниже нуля, и обозначается отрицательными числами -1, -2, -3 и т. д. (см. рис. 12).

Рис. 12. Термометр

Еще -1 градус называют 1 градусом мороза, а +1 градус - одним градусом тепла. То есть и там, и там 1, но вместо знака минус мы употребляем слова «мороза». А когда не хотим употреблять, говорим: «Температура воздуха - -20 градусов» (см. рис. 13).

Рис. 13. Температура воздуха

Это и означает минус, что от нуля мы идем не вверх, а вниз.

Уровень воды в реке (см. рис. 14).

Рис. 14. Уровень воды в реке

Как вы знаете, уровень воды в реке может повышаться и понижаться. Так вот, если уровень воды повысился на 5 см, говорят: «Изменился на +5 см» (см. рис. 15).

Рис. 15. Уровень воды в реке

Если же он понизился на 5 см, то говорят «Уровень воды изменился на -5 см» (см. рис. 16).

Рис. 16. Уровень воды в реке

И там, и там уровень воды изменился на 5 см, но, когда он повысился, говорят на +5 см, а, когда понизился - на -5 см.

Как вы видите, отрицательные числа применяются там, где величина может изменяться в обе стороны. То есть, когда мы говорили о денежных расчетах, у вас может оставаться сдача - это «+», а если вы кому-то должны, то это «-». Температура может быть выше нуля - это «+», и ниже нуля - это «-». Уровень воды может повышаться - «+», и понижаться - «-».

Рассмотрим еще один пример.

Предприниматель владеет фирмой по продаже яблок, и в январе он заработал чистой прибыли 500 руб., а в феврале - 800 руб. В марте яблоки покупали хуже, и он остался в убытке, а именно его прибыль составила -200 руб. (см. рис. 17).

Рис. 17. Денежный поток

Рис. 18. Денежный поток

Более подобно о действиях с отрицательными числами можно ознакомиться в следующих уроках.

Сегодня мы выяснили, что тех чисел, которые мы знали до этого - натуральных (1, 2, 3 … и т. д.) и дробных (, , ), не хватает для некоторых практических целей, поэтому мы ввели отрицательные (-1, -2, -3… и т. д.).

Отрицательные числа на числовой оси находятся слева от нуля. Могут быть не только целые отрицательные числа, но и дробные. И мы выяснили, где могут возникать отрицательные числа, а именно там, где величина может быть увеличена и уменьшена. Так было при измерении температуры, уровня воды и измерении доходов и расходов.

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия. 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. - М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

Таблица 1

3. Птица клест-еловик несет яйца и высиживает птенцов зимой. Даже при температуре воздуха в гнезде температура не ниже . На сколько температура в гнезде выше температуры воздуха?

Положительные и отрицательные числа
Координатная прямая
Проведём прямую. Отметим на ней точку 0 (ноль) и примем эту точку за начало отсчёта.

Укажем стрелкой направление движения по прямой вправо от начала координат. В этом направлении от точки 0 будем откладывать положительные числа.

То есть положительными называют уже известные нам числа, кроме нуля.

Иногда положительные числа записывают со знаком «+». Например, «+8».

Для краткости записи знак «+» перед положительным числом обычно опускают и вместо «+8» пишут просто 8.

Поэтому «+3» и «3» - это одно и тоже число, только по разному обозначенное.

Выберем какой-либо отрезок, длину которого примем за единицу и отложим его несколько раз вправо от точки 0. В конце первого отрезка записывается число 1, в конце второго - число 2 и т.д.

Отложив единичный отрезок влево от начала отсчёта получим отрицательные числа: -1; -2; и т.д.

Отрицательные числа используют для обозначения различных величин, таких как: температура (ниже нуля), расход - то есть отрицательный доход, глубина - отрицательная высота и другие.

Как видно из рисунка, отрицательные числа - это уже известные нам числа, только со знаком «минус»: -8; -5,25 и т.д.

• Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

Числовую ось обычно располагают горизонтально или вертикально.

Если координатная прямая расположена вертикально, то направление вверх от начала отсчёта обычно считают положительным, а вниз от начала отсчёта - отрицательным.

Стрелкой указывают положительное направление.

Прямая, на которой отмечено:
. начало отсчёта (точка 0);
. единичный отрезок;
. стрелкой указано положительное направление;
называется координатной прямой или числовой осью.

Противоположные числа на координатной прямой
Отметим на координатной прямой две точки A и B, которые расположены на одинаковом расстоянии от точки 0 справа и слева соответственно.

В таком случае длины отрезков OA и OB одинаковы.

Значит, координаты точек A и B отличаются только знаком.


Также говорят, что точки A и B симметричны относительно начала координат.
Координата точки A положительная «+2», координата точки B имеет знак минус «-2».
A (+2), B (-2).

• Числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными числами. Соответствующие им точки числовой (координатной) оси симметричны относительны начала отсчёта.

Каждое число имеет единственное противоположное ему число . Только число 0 не имеет противоположного, но можно сказать, что оно противоположно самому себе.

Запись «-a» означает число, противоположное «a». Помните, что под буквой может скрываться как положительное число, так и отрицательное число.

Пример:
-3 - число противоположное числу 3.

Записываем в виде выражения:
-3 = -(+3)

Пример:
-(-6) - число противоположное отрицательному числу -6. Значит, -(-6) это положительное число 6.

Записываем в виде выражения:
-(-6) = 6

Сложение отрицательных чисел
Сложение положительных и отрицательных чисел можно разобрать с помощью числовой оси.

Сложение небольших по модулю чисел удобно выполнять на координатной прямой, мысленно представляя себе как точка, обозначающая число передвигается по числовой оси.

Возьмём какое-нибудь число, например, 3. Обозначим его на числовой оси точкой A.

Прибавим к числу положительное число 2. Это будет означать, что точку A надо переместить на два единичных отрезка в положительном направлении, то есть вправо . В результате мы получим точку B с координатой 5.
3 + (+ 2) = 5

Для того чтобы к положительному числу, например, к 3 прибавить отрицательное число (- 5), точку A надо переместить на 5 единиц длины в отрицательном направлении, то есть влево .

В этом случае координата точки B равна - 2.

Итак, порядок сложения рациональных чисел с помощью числовой оси будет следующим:
. отметить на координатной прямой точку A с координатой равной первому слагаемому;
. передвинуть её на расстояние, равное модулю второго слагаемого в направлении, которое соответствует знаку перед вторым числом (плюс - передвигаем вправо, минус - влево);
. полученная на оси точка B будет иметь координату, которая будет равна сумме данных чисел.

Пример.
- 2 + (- 6) =

Двигаясь от точки - 2 влево (так как перед 6 стоит знак минус), получим - 8.
- 2 + (- 6) = - 8

Сложение чисел с одинаковыми знаками
Складывать рациональные числа можно проще, если использовать понятие модуля.

Пускай нам нужно сложить числа, которые имеют одинаковые знаки.
Для этого, отбрасываем знаки чисел и берём модули этих чисел. Сложим модули и перед суммой поставим знак, который был общим у данных чисел.

Пример.

Пример сложения отрицательных чисел.
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5

• Чтобы сложить числа одного знака надо сложить их модули и поставить перед суммой знак, который был перед слагаемыми.

Сложение чисел с разными знаками
Если числа имеют разные знаки, то действуем несколько по-иному, чем при сложении чисел с одинаковыми знаками.
. Отбрасываем знаки перед числами, то есть берём их модули.
. Из большего модуля вычитаем меньший.
. Перед разностью ставим тот знак, который был у числа с бóльшим модулем.

Пример сложения отрицательного и положительного числа.
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5

Пример сложения смешанных чисел.

Чтобы сложить числа разного знака надо:
. из бóльшего модуля вычесть меньший модуль;
. перед полученной разностью поставить знак числа, имеющего больший модуль.

Вычитание отрицательных чисел
Как известно вычитание - это действие, противоположное сложению.
Если a и b - положительные числа, то вычесть из числа a число b, значит найти такое число c, которое при сложении с числом b даёт число a.
a - b = с или с + b = a

Определение вычитания сохраняется для всех рациональных чисел. То есть вычитание положительных и отрицательных чисел можно заменить сложением.

• Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому.

Или по другому можно сказать, что вычитание числа b - это тоже самое сложение, но с числом противоположным числу b.
a - b = a + (- b)

Пример.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2

Пример.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2

• Стоит запомнить выражения ниже.
• 0 - a = - a
• a - 0 = a
• a - a = 0

Правила вычитания отрицательных чисел
Как видно из примеров выше вычитание числа b - это сложение с числом противоположным числу b.
Это правило сохраняется не только при вычитании из бóльшего числа меньшего, но и позволяет из меньшего числа вычесть большее число, то есть всегда можно найти разность двух чисел.

Разность может быть положительным числом, отрицательным числом или числом ноль.

Примеры вычитания отрицательных и положительных чисел.
. - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
. - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
. 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Удобно запомнить правило знаков, которое позволяет уменьшить количество скобок.
Знак «плюс» не изменяет знака числа, поэтому, если перед скобкой стоит плюс, то знак в скобках не меняется.
+ (+ a) = + a

+ (- a) = - a

Знак «минус» перед скобками меняет знак числа в скобках на противоположный.
- (+ a) = - a

- (- a) = + a

Из равенств видно, что если перед и внутри скобок стоят одинаковые знаки, то получаем «+», а если знаки разные, то получаем «-».
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0

Правило знаков сохраняется и в том случае, если в скобках не одно число, а алгебраическая сумма чисел.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n

Обратите внимание, если в скобках стоит несколько чисел и перед скобками стоит знак «минус», то должны меняться знаки перед всемичислами в этих скобках.

Чтобы запомнить правило знаков можно составить таблицу определения знаков числа.
Правило знаков для чисел

Или выучить простое правило.

• Минус на минус даёт плюс,
• Плюс на минус даёт минус.

Умножение отрицательных чисел
Используя понятие модуля числа, сформулируем правила умножения положительных и отрицательных чисел.

Умножение чисел с одинаковыми знаками
Первый случай, который может вам встретиться - это умножение чисел с одинаковыми знаками.
Чтобы умножить два числа с одинаковыми знаками надо:
. перемножить модули чисел;
. перед полученным произведением поставить знак «+» (при записи ответа знак «плюс» перед первым числом слева можно опускать).

Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
. (- 3) . (- 6) = + 18 = 18
. 2 . 3 = 6

Умножение чисел с разными знаками
Второй возможный случай - это умножение чисел с разными знаками.
Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо:
. перемножить модули чисел;
. перед полученным произведением поставить знак «-».
Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
. (- 0,3) . 0,5 = - 1,5
. 1,2 . (- 7) = - 8,4

Правила знаков для умножения
Запомнить правило знаков для умножения очень просто. Данное правило совпадает с правилом раскрытия скобок.

• Минус на минус даёт плюс,
• Плюс на минус даёт минус.

В «длинных» примерах, в которых есть только действие умножение, знак произведения можно определять по количеству отрицательных множителей.

При чётном числе отрицательных множителей результат будет положительным, а при нечётном количестве - отрицательным.
Пример.
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) =

В примере пять отрицательных множителей. Значит, знак результата будет «минус».
Теперь вычислим произведение модулей, не обращая внимание на знаки.
6 . 3 . 4 . 2 . 12 . 1 = 1728

Конечный результат умножения исходных чисел будет:
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) = - 1728

Умножение на ноль и единицу
Если среди множителей есть число ноль или положительная единица, то умножение выполняется по известным правилам.
. 0 . a = 0
. a . 0 = 0
. a . 1 = a
Примеры:
. 0 . (- 3) = 0
. 0,4 . 1 = 0,4
Особую роль при умножении рациональных чисел играет отрицательная единица (- 1).

• При умножении на (- 1) число меняется на противоположное.

В буквенном выражении это свойство можно записать:
a . (- 1) = (- 1) . a = - a

При совместном выполнении сложения, вычитания и умножения рациональных чисел сохраняется порядок действий, установленный для положительных чисел и нуля.

Пример умножения отрицательных и положительных чисел.

Деление отрицательных чисел
Как выполнять деление отрицательных чисел легко понять, вспомнив, что деление - это действие, обратное умножению.

Если a и b положительные числа, то разделить число a на число b, значит найти такое число с, которое при умножении на b даёт число a.

Данное определение деления действует для любых рациональных чисел, если делители отличны от нуля.

Поэтому, например, разделить число (- 15) на число 5 - значит, найти такое число, которое при умножении на число 5 даёт число (- 15). Таким числом будет (- 3), так как
(- 3) . 5 = - 15

значит

(- 15) : 5 = - 3

Примеры деления рациональных чисел.
1. 10: 5 = 2, так как 2 . 5 = 10
2. (- 4) : (- 2) = 2, так как 2 . (- 2) = - 4
3. (- 18) : 3 = - 6, так как (- 6) . 3 = - 18
4. 12: (- 4) = - 3, так как (- 3) . (- 4) = 12

Из примеров видно, что частное двух чисел с одинаковыми знаками - число положительное (примеры 1, 2), а частное двух чисел с разными знаками - число отрицательное (примеры 3,4).

Правила деления отрицательных чисел
Чтобы найти модуль частного, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.
Итак, чтобы разделить два числа с одинаковыми знаками, надо:

. перед результатом поставить знак «+».
Примеры деления чисел с одинаковыми знаками:
. (- 9) : (- 3) = + 3
. 6: 3 = 2

Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо:
. модуль делимого разделить на модуль делителя;
. перед результатом поставить знак «-».
Примеры деления чисел с разными знаками:
. (- 5) : 2 = - 2,5
. 28: (- 2) = - 14
Для определения знака частного можно также пользоваться следующей таблицей.
Правило знаков при делении

При вычислении «длинных» выражений, в которых фигурируют только умножение и деление, пользоваться правилом знаков очень удобно. Например, для вычисления дроби

Можно обратить внимание, что в числителе 2 знака «минус», которые при умножении дадут «плюс». Также в знаменателе три знака «минус», которые при умножении дадут «минус». Поэтому в конце результат получится со знаком «минус».

Сокращение дроби (дальнейшие действия с модулями чисел) выполняется также, как и раньше:

• Частное от деления нуля на число, отличное от нуля, равно нулю.
• 0: a = 0, a ≠ 0
• Делить на ноль НЕЛЬЗЯ!

Все известные ранее правила деления на единицу действуют и на множество рациональных чисел.
. а: 1 = a
. а: (- 1) = - a
. а: a = 1
, где а - любое рациональное число.

Зависимости между результатами умножения и деления, известные для положительных чисел, сохраняются и для всех рациональных чисел (кроме числа нуль):
. если a . b = с; a = с: b; b = с: a;
. если a: b = с; a = с. b; b = a: c
Данные зависимости используются для нахождения неизвестного множителя, делимого и делителя (при решении уравнений), а также для проверки результатов умножения и деления.

Пример нахождения неизвестного.
x . (- 5) = 10

x = 10: (- 5)

x = - 2

Знак «минус» в дробях
Разделим число (- 5) на 6 и число 5 на (- 6).

Напоминаем, что черта в записи обыкновенной дроби - это тот же знак деления, и запишем частное каждого из этих действий в виде отрицательной дроби.

Таким образом знак "минус" в дроби может находиться:
. перед дробью;
. в числителе;
. в знаменателе.

• При записи отрицательных дробей знак «минус» можно ставить перед дробью, переносить его из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель.

Это часто используется при выполнении действий с дробями, облегчая вычисления.

Пример. Обратите внимание, что после вынесения знака «минуса» перед скобкой мы из большего модуля вычитаем меньший по правилам сложения чисел с разными знаками.


Используя описанное свойство переноса знака в дроби, можно действовать, не выясняя, модуль какого из данных дробных чисел больше.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель: закрепить умения и навыки в действиях с положительными и отрицательными числами.

Задачи:

• Повторить понятия положительных и отрицательных чисел; закрепить навыки выполнения действий с положительными и отрицательными числами.
• Способствовать воспитанию интереса к предмету через нетрадиционную форму проведения урока.
• Развивать логическую смекалку, творческое мышление.

Тип урока: урок повторения и закрепления знаний учащихся с использованием ИТ.

Формы организации учебной деятельности: коллективная, индивидуальная.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация PowerPoint, набор индивидуальных карточек (приложение 1 , приложение 2 ), аудиофайлы с музыкой.

Ход урока

I. Организационный момент.

Я рада видеть каждого из вас
И пусть весна прохладой в окна дышит
Нам будет здесь уютно, ведь наш класс
Друг друга любит, чувствует и слышит.

– Сегодня в нашей школе открыт научно-исследовательский институт. На месте кабинетов организованны лаборатории, а все учащиеся школы его научные сотрудники. В кабинете математики открыта лаборатория № 1. Заведующей лабораторией назначили меня. И сегодня мы с вами повторим, обобщим и систематизируем знания, полученные вами на предыдущих занятиях.

– Для работы мне понадобятся помощники – старшие научные сотрудники – которые будут помогать мне в течение урока. Это Рината и Ирина.

– А теперь в ваших журналах наблюдения – рабочих тетрадях – запишем число, классная работа, тема исследования: «Положительные и отрицательные числа».

II. Устная работа.

– В нашу лабораторию поступило сообщение. Прочитайте его.

«В архиве нашего института произошел сбой системы. Потерялись многие сведения. Чтобы их восстановить, нужны специалисты в области положительных и отрицательных чисел. Помогите»

– Мы с вами уже изучили положительные и отрицательные числа, много действий умеем с ними делать. Мы в какой-то мере являемся специалистами в этой области, как вы думаете? {Да}

– Поможем? {Да}

– Раз мы будем помогать восстанавливать утраченные сведения, то мы должны пройти испытания: все ли готовы совершить эту важную миссию.

– Ответим на несколько вопросов.

1. Скажите пожалуйста какое перед нами число? {Число – 32}
2. Как называется это число? {Это число отрицательное}
3. А где расположено это число на координатной прямой? {Это число на координатной прямой расположено слева от нуля}
4. А какие числа называются отрицательными? {Отрицательными числами называются числа, которые расположены на координатной прямой слева от нуля}
5. Мы говорим о координатной прямой. А какая прямая называется координатной? {Координатной прямой называется прямая, на которой есть начало отсчета, единичный отрезок и направление}
6. Назовите два целых соседних с данным числа. {– 31 и – 33}
7. А какое число будет противоположно данному? {Число 32}
8. А какие числа называются противоположными? {Противоположными называются числа, которые отличаются друг от друга только знаками}
9. Чему равен модуль данного числа? {Модуль данного числа равен 32}
10. А что называется модулем числа? {Модулем числа называется расстояние от начала отсчета до точки на координатной прямой}

– Ну что ж с заданием все справились. Значит, можем продолжить восстанавливать потерянные сведения.

III. Задания на сравнение чисел и выполнение действий с модулями чисел.

– Выполним следующее задание: Расставьте синие числа в порядке возрастания, а красные – в порядке убывания.

2,3		0,1	5
- 7		- 8	- 3,5
	- 4,2	1,4

– А теперь проверим, что у вас получилось. {Синие: - 8; - 7; - 4,2; - 3,5; ; ; Красные: ; 5; ; 2,3; 1,4; 0,1}

– Молодцы. С этим заданием вы справились.

– Теперь возьмите желтые листы. На них вы видите схему, по которой нужно найти значение выражения. I вариант выполняет первое задание, II вариант выполняет второе задание. А так как мы все сотрудники одной лаборатории, то и ответ вы найдете вместе.

– Проверим ваши ответы. {Ответ: 28}

IV. Историческая справка.

– Сейчас сядьте поудобнее, можно немножко расслабится, подготовится к следующим серьезным заданиям и прослушать небольшую историческую справку.

Понятие об отрицательных числах возникло в практике очень давно, причем при решении таких заданий, где из меньшего числа приходилось вычитать большее число. Египтяне, вавилоняне, а также древние греки не знали отрицательных чисел и для производства вычислений математики того времени пользовались счетной доской. А так как знаков «плюс» и «минус» не существовало, то они на этой доске положительные числа отмечали красными счетными палочками, а отрицательные – синими. И отрицательные числа долгое время назывались словами, которые означали долг, недостача, а положительные трактовались как имущество.

Древнегреческий ученый Диофант вообще не признавал отрицательных чисел, и если при решении у него получался отрицательный корень, то он отбрасывал его как недоступный.

Совершенно по-другому относились к отрицательным числам древнеиндийские математики: они признавали существование отрицательных чисел, но относились к ним с некоторым недоверием, считая их своеобразными, не совсем реальными.

Не одобряли их долго и европейцы, потому что истолкование имущество – долг вызывало недоумение и сомнение. Действительно, можно складывать и вычитать имущество – долг, а как умножать и делить? Это было непонятно и нереально.

Всеобщее признание отрицательные числа получили в первой половине XIX века. Была создана теория, по которой мы сейчас и изучаем отрицательные числа.

– Скажите, пожалуйста, а эти определения отрицательных и положительных чисел как имущество и долг сейчас в нашем современном мире просматриваются? Как вы думаете? {Ответы учащихся}

– Ну вот, мы восстановили еще немного информации об отрицательных числах.

V. Практические задания.

– Все научно-исследовательские институты решают задачи, которые потом применяются на практике. Сейчас мы тоже решим несколько задач, в которых увидим, где применяются отрицательные числа.

Задача 1. Птица клест-еловик несет яйца и высиживает птенцов зимой. Даже при температуре воздуха – 35°С в гнезде температура не ниже 14°С. На сколько температура в гнезде выше температуры воздуха?

Чтобы определить на сколько температура в гнезде больше, чем температура воздуха, нужно от 14 отнять – 35.

1) 14 – (- 35) = 14 + 35 = 49°С – температура в гнезде больше.

Ответ: на 49°С.

Задача 2. Шмели выдерживают температуру до – 7,8°С, пчелы – выше этой на 1,4°С. Какую температуру выдерживают пчелы?

Чтобы найти на какую температуру выдерживают пчелы, нужно к числу – 7,8 прибавить число 1,4.

1) – 7,8 + 1,4 = - (7,8 – 1,4) = - 6,4 °С выдерживают пчелы.

Ответ: - 6,4°С.

– Молодцы. С этим заданием вы тоже справились.

VI. Релаксация.

– Как и у каждого учреждения у нас перерыв.

– Сядьте посвободнее, закройте глаза, расслабьтесь. На улице весна. Ярче светит солнышко. Звенит капель. Побежали ручейки и стали появляться проталины. На проталинах робко выглядывает и тянется к солнышку зеленая трава. С юга потянулись стаи птиц. Лучик солнца скользит по вашим лицам. От этого вам тепло и уютно, вы чувствуете себя отдохнувшими и полными свежих сил и энергии.

– А теперь откройте глаза. Перерыв окончен.

VII. Тестовая работа.

– Пока вы отдыхали, я узнала, что руководство НИИ решило провести тестирование научных сотрудников.

– Перед вами лежат бланки с тестами. Подпишите их. В этом тестовом задании вам нужно выбрать правильный вариант ответа и обвести его кружочком.

– Все готовы? Тогда начинаем.

– Время закончилось. Я попрошу старших научных сотрудников собрать бланки с тестами.

VIII. Итог урока.

– Вот и закончился рабочий день в нашем научно-исследовательском институте. Мы помогли восстановить потерянные сведения о положительных и отрицательных числах.

– Придете вы сегодня домой, к своим родителям и что вы скажете? Продолжите, пожалуйста, фразу: «Сегодня на уроке математики я …»

– А я сегодня, когда приду домой скажу своим родственникам, что сегодня на уроке математики я еще раз убедилась какие у меня замечательные, дружные, умные ученики.

– А сегодня у нас урок закончился. Спасибо. До свидания.

Урок

математики

в 6 классе.

Древнегреческий ученый Пифагор говорил: «Числа правят миром».

Мы с вами живем в этом мире чисел, а в школьные годы учимся работать с разными числами.

Актуализация знаний

№ 1

Андрей простудился, и вечером его температура с 36,6 º повысилась на 2,3º. Но утром ему стало легче, и температура снизилась на 1,8º. Какой была температура у Андрея:

А)вечером? Б) утром?

Актуализация знаний

№ 2

• Что изображено на рисунке?
• Как называется точка О?
• Как называется отрезок ОА?
• Что показывает стрелка?

Продолжите предложения

• Координатный луч – это …
• Начало отсчета обозначают - …
• Положительное направление- …
• Единичным отрезком называют - …
• Координаты точек А, К, Р соответственно равны -…
• С помощью координатного луча можно …

Актуализация знаний

Распределить информацию в три колонки

Меньше нуля

Равно нулю

Больше нуля

1. Убытки компании составили 1000 000 руб., а через несколько лет компания получила прибыль 500 000 руб.

2. Летом средняя температура воздуха 25 ºС тепла, а зимой – 20 ºС мороза.

3. Уровень моря.

4. Долина смерти находится на 86 м ниже уровня моря и здесь было зафиксировано 57 ºС тепла.

5. Шкала термометра состоит из двух частей – красной и синей.

6. По мере восхождения на гору Эльбрус, высота которой 5 642 м над уровнем моря, температура может опуститься до 30 ºС ниже нуля.

7. Долгое время одни числа называли «долг», «недостача», а другие «имущество».

8. Нулевая отметка на шкале градусника.

Положительные

отрицательные

числа

Формируемые результаты

Предметные: сформировать представление об отрицательных числах, ввести понятие отрицательного числа, положительного числа, чисел с разными знаками.

Личностные : формировать интерес к изучению темы и желание применять приобретенные знания и умения.

Метапредметные: формировать первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки, о средстве моделирования явлений и процессов.

При изложении нового материала,

вам необходимо заполнить таблицу

Теоретический материал

Понимаю/не понимаю (+ / -)

1. Числа, больше нуля, называют положительными.

Вопрос к учителю

2. Числа, меньше нуля, называют отрицательными.

3. Числа со знаком « + » называют положительными.

4. Числа со знаком « - » называют отрицательными.

5. Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

Окружающий мир настолько сложен и разнообразен. Натуральных и дробных чисел бывает недостаточно, чтобы измерить некоторые величины, описать многие события.

Ребята, какое время года сейчас?

Чем отличается погода летом и зимой?

А как вы узнали, что на улице холодно?

С помощью какого прибора?

Давайте рассмотрим термометр.

Что изображено на термометре?

Как расположены числа?

Историческая справка

Понятие об отрицательных числах возникло в практике очень давно, причем при решении таких заданий, где из меньшего числа приходилось вычитать большее число. Египтяне, вавилоняне, а также древние греки не знали отрицательных чисел и для производства вычислений математики того времени пользовались счетной доской. А так как знаков «плюс» и «минус» не существовало, то они на этой доске положительные числа отмечали красными счетными палочками, а отрицательные – синими. И отрицательные числа долгое время назывались словами, которые означали долг, недостача, а положительные трактовались как имущество.

Древнегреческий ученый Диофант вообще не признавал отрицательных чисел, и если при решении у него получался отрицательный корень, то он отбрасывал его как недоступный.

Историческая справка

Совершенно по-другому относились к отрицательным числам древнеиндийские математики: они признавали существование отрицательных чисел, но относились к ним с некоторым недоверием, считая их своеобразными, не совсем реальными.

Не одобряли их долго и европейцы, потому что истолкование имущество – долг вызывало недоумение и сомнение. Действительно, можно складывать и вычитать имущество – долг, а как умножать и делить? Это было непонятно и нереально.

Всеобщее признание отрицательные числа получили в первой половине XIX века. Была создана теория, по которой мы сейчас и изучаем отрицательные числа.

Координатная прямая

Проведём прямую. Отметим на ней точку 0 (ноль) и примем эту точку за начало отсчёта.

Укажем стрелкой направление движения по прямой вправо от начала координат. В этом направлении от точки 0 будем откладывать положительные числа.

Отложив единичный отрезок влево от начала отсчёта получим отрицательные числа: -1; -2; и т.д.

Координатная прямая

Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

Прямая, на которой отмечено:

Начало отсчёта (точка 0);

Единичный отрезок;

Стрелкой указано положительное направление;

называется координатной прямой или числовой осью.

З А П О М Н И!

Числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными числами. Соответствующие им точки числовой (координатной) оси симметричны относительны начала отсчёта.

Каждое число имеет единственное противоположное ему число. Только число 0 не имеет противоположного, но можно сказать, что оно противоположно самому себе..

Запись «-a» означает число, противоположное «a» . Помните, что под буквой может скрываться как положительное число, так и отрицательное число.

5 - число противоположное числу 5.

Записываем в виде выражения:

З А П О М Н И!

Если одно число положительное, а другое отрицательное, то о таких числах говорят,

что они имеют разные знаки.

Если оба числа положительны или оба числа отрицательны, то они имеют одинаковые знаки.

Первичное закрепление

нового материала

Какие из чисел

7; 23; -89; ⅜; - 4⅔; -5,4; 9⅞; 0; 10; -14;

А) являются положительными;

Б) являются отрицательными;

В) не являются ни положительными, ни отрицательными;

Г) натуральными числами;

Запишите с помощью знаков «+» и «-» информацию Гидрометцентра:

а) 18º тепла; в) 12º ниже нуля;

б) 7º мороза; г) 16º выше нуля.

а) + 18 ; б) – 7 ; в) – 12 ; г) + 16 или 16

Запишите шесть отрицательных дробей со знаменателем 5.

№ 1

Повторение

В парке растет 150 кленов, дубов больше на 2/15 количества кленов, березы составляют 23/34 количества дубов, а липы – 20/87 общего количества кленов, дубов и берез.

Сколько всего указанных деревьев растет в парке?

№ 2

Повторение

Итог урока

• С какими числами сегодня познакомились?
• С помощью какого символа обозначают отрицательные числа? Положительные числа?
• Каким числом является нуль?
• О каких двух числах говорят, что они имеют разные знаки? Одинаковые знаки?

Домашнее задание

вопросы 1 – 3,

Урок математики в 6 «Б» классе по теме "Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел"

Цели урока:

образовательные: закрепление умений и навыков сложения и вычитания чисел с разными знаками, умений переносить свои знания в новую нестандартную ситуацию, овладение математической терминологией;

развивающие: развитие творческой, речевой, мыслительной активности, используя различные формы работы;

воспитательные: воспитание внимательности, активности и настойчивости в достижении цели, привитие навыков самостоятельной работы.

Тип урока: урок повторения и обобщения.

Форма проведения урока: урок –решения познавательных задач.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, рабочие листы.

Ход урока.

Сообщение темы и постановка задачи.

На сегодняшнем уроке мы должны закрепить полученные знания при сложении и вычитании чисел с разными знаками и показать умение применять их при выполнении различных заданий.

Девизом урока будут слова « Дорогу осилит идущий, а математику мыслящий »

Актуализация знаний учащихся.

Начнем урок с устной работы .

Сравните числа

58 и 145 (<)

62,2 и -62,3 (>)

8,58 и -8,5 (<)

1\2 и -0,5 (=)

Ответьте на вопросы

Как сравнить два положительных числа?

Как сравнить два отрицательных числа?

Как сравнить числа с разными знаками?

Вычислите:

22+35=13

3,7+2,8=0,9

1,5+(-6,3)= - 4,8

8,2+(-8,2)=0

22-27= - 5

19 - (- 2)=21

27 – (- 3) = -24

35 + (- 9)= - 44

1,6 +(- 4,4)= - 6

Историческая справка

В ваших рабочих листах записаны примеры. Рядом с каждым примером написана буква. Здесь зашифровано имя математика Древней Индии, который ввел в обиход отрицательные числа. Кто этот математик? Ответить на этот вопрос вы можете, решив примеры, записав в таблицу ответы в порядке возрастания с соответствующими буквами.

А) -5+9;

Б) – 11 – 3

У) -10 ,5 + 20,5;

А) (-8,5) + 3,5;

Г) - 4 – (- 10);

А) – 24 + 49 ;

Т) – 10, 7 + 30,7;

М) 2 + ;

Р) – 19 + 10;

Х) 6,9 + (- 6,9)

П) – (- 7) + 4,5.

11,5

Вы получили имя индийского математика Брахмагупта.

Послушаем сообщение об истории возникновения положительных и отрицательных чисел.

Индийские математики представляли себе положительные числа как «имущество», а отрицательные числа как «долги».

Индийский математик Брахмагýпта (VII в.) излагал правила сложения и вычитания так:

«Сумма двух имуществ есть имущество»

«Сумма двух долгов есть долг»

«Сумма имущества и долга равна их разности»

Возникновение современных знаком «+» и « - » не совсем ясно. В Италии ростовщики, давая деньги в долг, ставили перед именем должника сумму долга и черточку, вроде нашего минуса, а когда должник возвращал деньги, зачеркивали ее, получалось что-то вроде нашего плюса.

Современные знаки «+» и «-» появились в Германии в последнее десятилетие 15 века в книге Видмана, которая была руководством по счету для купцов.

Закрепление знаний.

Найдите значения выражений:

1 вариант 2 вариант

76 – 59 - 1,3-2,5

41,5 + 55,6 -1+ 9,56

125 - (-37) 5 – 3,07

39,6 + (-15,9) 0,5+(-0,5)

31,25-(-8,75) -63-1,6

Решите уравнения :

1) х + 1,2 = - 0,17 х= - 1,37

2) 14 –х = -28 х=42

3) х – 9 = - 3,1 х=5,9

4) -2,1 – х = -2 х= - 0,1

Заполните пропуски:

14 + … = -37 (- 23)

4,8 + … = -8,6 (- 2,8)

2,13 + … = -17 (- 14,87)

3,8 + … = -4,08 (- 0,28)

Найдите ошибки в вычислениях:

25+ (-17) = - 8 ( 8)

– 30,5 – 12,6 = 43,1 ( – 43,1)

15, 73 – 20,5= 4,77 (-4,77)

Замените * знаками

1) 3,9 * 7,4 * (- 9,3) = - 12,8 (-,+)

2)-6,1 * (-2,3) * 3,8= 0 (- ,+)

Ответьте устно на вопросы

Числа a и b имеют разные знаки. Какой знак будет иметь сумма этих чисел, если больший модуль имеет отрицательное число? если меньший модуль имеет отрицательное число? если больший модуль имеет положительное число? если меньший модуль имеет положительное число?

Итог урока

Домашнее задание № 601 (г-и), 602.

Рабочий лист

Ф. И.___________________________________

1 задание.

А) -5+9;

Б) – 11 – 3

У) -10 ,5 + 20,5;

А) (-8,5) + 3,5;

Г) - 4 – (- 10);

А) – 24 + 49 ;

Т) – 10, 7 + 30,7;

3. Сумма двух отрицательных чисел не может быть положительным числом.

4. У противоположных чисел всегда одинаковые модули.

5. Сумма двух любых чисел с разными знаками может быть положительным числом.

6. Сумма двух положительных чисел всегда больше нуля.

7. Сумма противоположных чисел всегда равна нулю.