(7 баллов) В рамке 8 × 8 шириной в 2 клетки (см. рисунок) всего 48 клеточек.

Сколько клеточек в рамке 254 × 254 шириной в 2 клетки?

Ответ . 2016.

Решение

Первый способ

Разрежем рамку на четыре одинаковых прямоугольника так, как показано на рисунке. Ширина прямоугольников равна ширине рамки, т. е. 2 клетки. Длина каждого прямоугольника на 2 меньше стороны рамки: 254 – 2 = 252 клетки. Тогда площадь одного прямоугольника равна 2 · 252 = 504. А значит, всего в рамке 4 · 504 = 2016 клеток.

Второй способ

Площадь рамки можно получить, если из площади квадрата 254 × 254 вычесть площадь внутреннего квадрата. Сторона внутреннего квадрата на 4 клетки меньше стороны большого. Значит, площадь рамки равна

254 2 -250 2 = (254-250)(254+250) = 4∙504=2016

Замечание . Если обозначить сторону рамки через n , то можно доказать (например, описанными выше способами), что её площадь будет равна 8n - 16 клеток.

Критерии проверки

• Верный ход решения, но допущена арифметическая ошибка - 3 балла.
• Верное рассуждение, но допущена ошибка в оценке размеров (например, во втором способе ошибочно считается, что внутренний квадрат имеет сторону на 2 клетки меньше, чем большой) - 2 балла.
• Только верный ответ - 1 балл.

Задание 2

(7 баллов) Аня перемножила 20 двоек, а Ваня перемножил 17 пятёрок.

Теперь они собираются перемножить свои огромные числа. Какова будет сумма цифр произведения?

Ответ . 8.

Решение

Всего перемножается 20 двоек и 17 пятёрок. Переставим сомножители, чередуя двойки и пятёрки. Получится 17 пар 2 · 5 и ещё три двойки, дающие в произведении 8. Итак, число 8 нужно 17 раз умножить на 10.

Получается число, состоящее из цифры 8 и 17 нулей. Сумма цифр равна 8.

Другой способ записи тех же рассуждений можно получить, используя свойства степеней:

2 20 ⋅5 17 = 2 3 ⋅ 2 17 ⋅ 5 17 = 8⋅ (2⋅ 5) 17 = 8⋅ 10 17 = 800 000 000 000 000 000

Критерии проверки

• Любое полное верное решение - 7 баллов.
• Верный ход решения, получено верное произведение, но сумма цифр не
  указана - 5 баллов.
• Сделана группировка двоек и пятёрок по парам, дающим десятки, но
  ответ не получен или получен неверно - 2 балла.

Задание 3

(7 баллов) В выражении

замените каждую из букв Р, А, З, Е, Й, С, У на какую-то из цифр от 1 до 9 (одинаковые буквы - на одинаковые цифры, разные буквы - на разные цифры) так, чтобы значение выражения получилось наибольшим. Покажите, как нужно расставить цифры, вычислите значение вашего выражения и объясните, почему оно наибольшее.

Ответ. Наибольшее значение равно 36,5 и достигается, например, при C = 1, У = 2, Е = 9, Й = 8, Р = 4, А = 5, З = 6.

Решение

Вынесем за скобки общий множитель в числителе дроби и сократим:

Поскольку каждая буква заменяет одну цифру, С⋅У ≥ 2 и Е⋅Й ≤ 72. Поэтому

Осталось как-нибудь заменить все буквы Р, А, З, Е, Й, С, У на цифры так, чтобы значение 36,5 достигалось. Для этого необходимо поставить вместо С и У цифры 1 и 2 в любом порядке, вместо Е и Й - цифры 8, 9 в любом порядке, а оставшиеся буквы Р, А и З заменить на какие-либо из оставшихся цифр, например, так: Р = 4, А = 5, З = 6.

Критерии проверки

• Любое полное верное решение - 7 баллов.
• Верное решение, но ничего не написано про цифры, которыми нужно заменить буквы Р, А и З , - 6 баллов.
• Верно и обосновано найдено, какими цифрами нужно заменить С, У, Е, Й , но допущена арифметическая ошибка и получен неверный ответ - 4 баллов.
• Приведены верный ответ и верный пример расстановки цифр, но не доказано, что это значение наибольшее (сокращение дроби не выполнено), - 3 балла.
• Верно выполнено сокращение дроби, но дальнейшие рассуждения отсутствуют или неверны - 2 балла.
• Приведён верный пример расстановки цифр, значение выражения не найдено или найдено неверно, его максимальность не доказана - 1 балл.

Задание 4

Оказалось, что из четырёх сделанных утверждений только одно верное.

Сколько ламп включено?

Ответ . 9.

Решение

Первое и третье утверждения одновременно не могут быть оба неверными, иначе в комнате было бы меньше пяти включённых ламп и меньше трёх выключенных, т. е. всего меньше восьми ламп, что противоречит условию.

Первое и второе утверждения также не могут быть одновременно неверными.

Значит, среди утверждений 1 и 3 есть верное, и среди утверждений 1 и 2 есть верное. Поскольку верное утверждение всего одно, это утверждение 1, а остальные утверждения неверны.

Значит, в комнате меньше трёх выключенных ламп (так как утверждение 3 неверно). Тогда включённых ламп хотя бы восемь, причём их количество нечётно (так как утверждение 4 неверно). Значит, их девять.

Критерии проверки

• Любое полное верное решение - 7 баллов.
• Верное и полное решение, но дан ответ не на тот вопрос («1 выключенная лампа») - 6 баллов.
• Сказано, но не доказано, что верным может быть только утверждение 1, зато потом из этого факта верно выведено, что включённых ламп 9, - 3 балла.
• Объяснено, что верным может быть только утверждение 1, но далее сделана одна ошибка при построении отрицаний к одному из утверждений 2, 3, 4, приводящая к неверному ответу (например, где-то «включено» перепутано с «выключено» или «чётное» не превращено в «нечётное»), - 3 балла.
• Объяснено, что верным может быть только утверждение 1, но дальнейшие рассуждения неверны или в них сделано не менее двух ошибок при построении отрицаний - 2 балла.
• Приведён верный ответ, и без обоснования указано, что при этом верно только утверждение 1, но не объяснено, почему не может быть верно другое утверждение и почему не возможен какой-либо другой ответ, - 2 балла.
• Приведён только ответ - 0 баллов.

Задание 5

(7 баллов) Незнайка измерил длины сторон и диагоналей своего четырёхугольного земельного участка, записал в блокнот результаты шести измерений и тут же забыл, какие числа относились к диагоналям, а какие - к сторонам. Потом он заметил, что среди написанных чисел есть четыре одинаковых, а два оставшихся числа тоже равны между собой. Незнайка обрадовался и сделал вывод, что его участок - квадрат. Обязательно ли это так?

Если ответ «да», то утверждение нужно доказать, если ответ «нет» - привести опровергающий пример и его обосновать.

Ответ . Нет, необязательно.

Решение

Построим равносторонний треугольник ABC и на биссектрисе его угла B отложим отрезок BD, равный АВ. В четырёхугольнике ABCD имеем AB = BC = CA = BD (по построению) и AD=DC (например, из равенства треугольников BAD и BCD по двум сторонам и углу между ними). Очевидно, что построенный четырёхугольник не является квадратом (например, так как угол ABC равен 60⁰). Участок

Незнайки мог иметь форму этого четырёхугольника.

Замечание . Возможен и участок невыпуклой формы, обладающий теми же свойствами.

Критерии проверки

• Любое полное верное решение - 7 баллов.
• Правильная, хорошо читаемая картинка, симметричная относительно одной из диагоналей, на которой отмечены равные отрезки (четыре одних и два других), но построение никак не описано - 3 балла.
• Указано, что могут выполняться равенства AB = BC = CA = BD и AD = DC, но ни чертежа, ни описания конструкции нет, либо есть только невнятная картинка с правильно указанными равными отрезками, из которой не очевидно, почему такие равенства отрезков можно получить, - 2 балла.

Задание 6

(7 баллов) Четыре блохи играют в чехарду на большом листе клетчатой бумаги.

Каждую секунду одна из блох перепрыгивает через какую-то другую и, летя над той же прямой, пролетает расстояние, вдвое большее, чем было между блохами до прыжка. Сейчас блохи сидят в четырёх вершинах одной клетки.

Могут ли все четыре блохи через некоторое время оказаться на одной прямой?

Ответ . Нет, не могут.

Решение

Предположим, что это случилось, и рассмотрим тот момент, когда все четыре блохи впервые оказались на одной прямой. Попросим ту блоху, которая совершала последний прыжок, прыгнуть обратно. При этом она должна будет снова перелететь через какую-то из других блох вдоль соединяющего их отрезка, т. е. должна будет остаться на той же прямой. Значит, секунду назад все блохи тоже сидели на одной прямой! Но мы рассматривали тот момент, когда четыре блохи впервые оказались на одной прямой. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и все четыре блохи не могли оказаться на одной прямой.

Замечание . Другой, более сложный способ решения задачи можно получить, если ввести систему координат, в которой вершины исходного квадрата имеют координаты (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1), и разделить все целочисленные точки на четыре типа: те, у которых обе координаты чётны: (Ч; Ч), те, у которых обе нечётны: (Н; Н), и те, у которых чётна только одна из координат: (Ч; Н) и (Н; Ч).

Можно точки каждого типа покрасить в свой цвет.

Заметим, что при каждом прыжке обе координаты прыгнувшей блохи меняются на чётное число единиц, т. е. чётность координат не меняется. Четыре вершины квадрата имеют разный тип: (Ч; Ч), (Ч; Н), (Н; Ч) и (Н; Н). Однако можно

доказать, что на любой прямой встречаются вершины только двух каких-то типов (например, только (Ч; Н) и (Ч; Ч)). Значит, на каждой прямой могут оказаться максимум две блохи (сидевшие вначале в вершинах тех двух типов, которые присутствуют на прямой). Итак, оказывается, что не только четыре, но и три блохи на одной прямой оказаться не могут.

Критерии проверки

• Любое полное верное решение - 7 баллов.
• Перебор вариантов, как могут прыгать блохи вначале, с последующим выводом типа «далее не получится» или «видно, что всё становится только хуже» - 0 баллов
• Приведён только ответ («нет, не могут») - 0 баллов.

Максимальный балл за все выполненные задания - 42.

Транскрипт

1 ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ уч. г. ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 8 КЛАСС Задания, ответы и критерии оценивания 1. (7 баллов) В рамке 8 8 шириной в 2 клетки (см. рисунок) всего 48 клеточек. Сколько клеточек в рамке шириной в 2 клетки? Ответ Решение. Первый способ. Разрежем рамку на четыре одинаковых прямоугольника так, как показано на рисунке. Ширина прямоугольников равна ширине рамки, т. е. 2 клетки. Длина каждого прямоугольника на 2 меньше стороны рамки: = 252 клетки. Тогда площадь одного прямоугольника равна = 504. А значит, всего в рамке = 2016 клеток. Второй способ. Площадь рамки можно получить, если из площади квадрата вычесть площадь внутреннего квадрата. Сторона внутреннего квадрата на 4 клетки меньше стороны большого. Значит, площадь рамки равна = ()() = = Замечание. Если обозначить сторону рамки через n, то можно доказать (например, описанными выше способами), что её площадь будет равна 8n 16 клеток. Верный ход решения, но допущена арифметическая ошибка 3 балла. Верное рассуждение, но допущена ошибка в оценке размеров (например, во втором способе ошибочно считается, что внутренний квадрат имеет сторону на 2 клетки меньше, чем большой) 2 балла. Только верный ответ 1 балл. 1

2 2. (7 баллов) Аня перемножила 20 двоек, а Ваня перемножил 17 пятёрок. Теперь они собираются перемножить свои огромные числа. Какова будет сумма цифр произведения? Ответ. 8. Решение. Всего перемножается 20 двоек и 17 пятёрок. Переставим сомножители, чередуя двойки и пятёрки. Получится 17 пар 2 5 и ещё три двойки, дающие в произведении 8. Итак, число 8 нужно 17 раз умножить на 10. Получается число, состоящее из цифры 8 и 17 нулей. Сумма цифр равна 8. Другой способ записи тех же рассуждений можно получить, используя свойства степеней: = = 8 (2 5) = 8 10 = Верный ход решения, получено верное произведение, но сумма цифр не указана 5 баллов. Сделана группировка двоек и пятёрок по парам, дающим десятки, но ответ не получен или получен неверно 2 балла. 3. (7 баллов) В выражении Р А З + Р Е З А Й замените каждую из букв Р, А, С Р А З У З, Е, Й, С, У на какую-то из цифр от 1 до 9 (одинаковые буквы на одинаковые цифры, разные буквы на разные цифры) так, чтобы значение выражения получилось наибольшим. Покажите, как нужно расставить цифры, вычислите значение вашего выражения и объясните, почему оно наибольшее. Ответ. Наибольшее значение равно 36,5 и достигается, например, при C = 1, У = 2, Е = 9, Й = 8, Р = 4, А = 5, З = 6. Решение. Вынесем за скобки общий множитель в числителе дроби и сократим: Р А З (1 + Е Й) 1+ Е Й =. Поскольку каждая буква заменяет одну цифру, Р А З 2 и Е Й 72. Поэтому 1 + Е Й = 36,5. Осталось как-нибудь 2 заменить все буквы Р, А, З, Е, Й, С, У на цифры так, чтобы значение 36,5 достигалось. Для этого необходимо поставить вместо С и У цифры 1 и 2 в любом порядке, вместо Е и Й цифры 8, 9 в любом порядке, а оставшиеся буквы Р, А и З заменить на какие-либо из оставшихся цифр, например, так: Р = 4, А = 5, З = 6. Верное решение, но ничего не написано про цифры, которыми нужно заменить буквы Р, А и З, 6 баллов. 2

if ($this->show_pages_images && $page_num doc["images_node_id"]) { continue; } // $snip = Library::get_smart_snippet($text, DocShare_Docs::CHARS_LIMIT_PAGE_IMAGE_TITLE); $snips = Library::get_text_chunks($text, 4); ?>

4 Приведён только ответ 0 баллов. 5. (7 баллов) Незнайка измерил длины сторон и диагоналей своего четырёхугольного земельного участка, записал в блокнот результаты шести измерений и тут же забыл, какие числа относились к диагоналям, а какие к сторонам. Потом он заметил, что среди написанных чисел есть четыре одинаковых, а два оставшихся числа тоже равны между собой. Незнайка обрадовался и сделал вывод, что его участок квадрат. Обязательно ли это так? Если ответ «да», то утверждение нужно доказать, если ответ «нет» привести опровергающий пример и его обосновать. Ответ. Нет, необязательно. Решение. Построим равносторонний треугольник ABC и на биссектрисе его угла B отложим отрезок BD, равный АВ. В четырёхугольнике ABCD имеем AB = BC = CA = BD (по построению) и AD=DC (например, из равенства треугольников BAD и BCD по двум сторонам и углу между ними). Очевидно, что построенный четырёхугольник не является квадратом (например, так как угол ABC равен 60 о). Участок Незнайки мог иметь форму этого четырёхугольника. Замечание. Возможен и участок невыпуклой формы, обладающий теми же свойствами. Правильная, хорошо читаемая картинка, симметричная относительно одной из диагоналей, на которой отмечены равные отрезки (четыре одних и два других), но построение никак не описано 3 балла. Указано, что могут выполняться равенства AB = BC = CA = BD и AD = DC, но ни чертежа, ни описания конструкции нет, либо есть только невнятная картинка с правильно указанными равными отрезками, из которой не очевидно, почему такие равенства отрезков можно получить, 2 балла. 6. (7 баллов) Четыре блохи играют в чехарду на большом листе клетчатой бумаги. Каждую секунду одна из блох перепрыгивает через какую-то другую и, летя над той же прямой, пролетает расстояние, вдвое большее, чем было между блохами до прыжка. Сейчас блохи сидят в четырёх вершинах одной клетки. Могут ли все четыре блохи через некоторое время оказаться на одной прямой? Ответ. Нет, не могут. Решение. Предположим, что это случилось, и рассмотрим тот момент, когда все четыре блохи впервые оказались на одной прямой. Попросим ту блоху, которая совершала последний прыжок, прыгнуть обратно. При этом она должна будет снова перелететь через какую-то из других блох вдоль соединяющего их 4

5 отрезка, т. е. должна будет остаться на той же прямой. Значит, секунду назад все блохи тоже сидели на одной прямой! Но мы рассматривали тот момент, когда четыре блохи впервые оказались на одной прямой. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и все четыре блохи не могли оказаться на одной прямой. Замечание. Другой, более сложный способ решения задачи можно получить, если ввести систему координат, в которой вершины исходного квадрата имеют координаты (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1), и разделить все целочисленные точки на четыре типа: те, у которых обе координаты чётны: (Ч; Ч), те, у которых обе нечётны: (Н; Н), и те, у которых чётна только одна из координат: (Ч; Н) и (Н; Ч). Можно точки каждого типа покрасить в свой цвет. Заметим, что при каждом прыжке обе координаты прыгнувшей блохи меняются на чётное число единиц, т. е. чётность координат не меняется. Четыре вершины квадрата имеют разный тип: (Ч; Ч), (Ч; Н), (Н; Ч) и (Н; Н). Однако можно доказать, что на любой прямой встречаются вершины только двух каких-то типов (например, только (Ч; Н) и (Ч; Ч)). Значит, на каждой прямой могут оказаться максимум две блохи (сидевшие вначале в вершинах тех двух типов, которые присутствуют на прямой). Итак, оказывается, что не только четыре, но и три блохи на одной прямой оказаться не могут. Перебор вариантов, как могут прыгать блохи вначале, с последующим выводом типа «далее не получится» или «видно, что всё становится только хуже» 0 баллов Приведён только ответ («нет, не могут») 0 баллов. Максимальный балл за все выполненные задания 42. 5

8.1. В выражение (+)(+) = вставьте цифры вместо звёздочек так, чтобы получилось верное равенство и было использовано не более 4-х различных цифр. (Число не может начинаться с нуля). Решение. Например,

Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур 9.03.015 Задания с решениями 7 класс 7.1. Перед соревнованиями по бегу Петя планировал бежать всю дистанцию с постоянной скоростью

Минская городская интернет-олимпиада по математике среди 8-9 классов 016 год Решения задач очного тура (15 октября) 8 класс 1. В квадрате 5 5 проведены разрезы по некоторым сторонам квадратов 1 1. Могло

6 класс 6.1. У Коли было два деревянных кубика. На первом кубике на одной грани он написал букву А, на другом на трёх гранях он написал буквы Э, Ю, Я. Покажите, как ему дописать на грани кубиков буквы

XL ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ РЕШЕНИЯ 7класс ГОРОД 1. В строку выписано 5 последовательных натуральных чисел. Возможно ли, что сумма цифр первого числа равна 5, а пятого 0? Решение:

Класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Графики функций у = kx + b и у = bx + k пересекаются. Найдите абсциссу точки пересечения. Ответ: x =. Первый способ. Искомая абсцисса является решением

Лужские группы Северо-Западной Заочной математической школы при СПбГУ МОУ ѕсредняя общеобразовательная школа 3ї г. Луги ЧЕТВЕРТАЯ ОТКРЫТАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ 58 классы задачи и решения г. Луга, 2009

Всероссийская олимпиада школьников по математике, муниципальный этап, 2016 г, 11 класс 1. Угол x удовлетворяет равенству Вычислите. Ответ: 6. Решение. 1-й способ.. 2-й способ.,. Тогда Обоснованно получен

Образовательный центр «Сириус» Отбор на сентябрьскую математическую смену 2017 г., 13.05.2017 6 класс. Решения и критерии проверки. (все задачи оцениваются исходя из 7-ми баллов, время на решение 4 часа)

Решения задач Заочного этапа Всесибирской олимпиады школьников по математике г.г. и критерии оценивания решений задач Указанные ниже рекомендации по оцениванию этапов решения задач допускают снижение оценок

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ. 016 017 уч. г. ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 10 КЛАСС Задания, ответы и критерии оценивания 1. (7 баллов) Точка O центр квадрата ABCD. Найдите какие-нибудь семь попарно

1. Задание 3 (27459) изображён угол. Найдите тангенс этого угла. Прототипы задания 3 6. Задание 3 (5173) см. Ответ дайте в 2. Задание 3 (316045) изображён угол. Найдите тангенс этого угла. 3. Задание

Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

Блок 6. Площади и периметры Задания интернет-карусели 1. Второклассник Виктор в качестве домашнего задания по математике должен был нарисовать прямоугольник. Ему нужно найти число A его периметр (в сантиметрах).

7 класс Задача 1. (1 балл) 1. На какое наименьшее количество квадратов можно разрезать прямоугольник 6х10? Ответ: 4 2. На какое наименьшее количество квадратов можно разрезать прямоугольник 8х10? Ответ:

Задачи олимпиады 7 класс 7.1. Является ли треугольник, образованный пересечением трех прямых мп y = - - 4 п н y = - 6, п = 4 по прямоугольным? (1 балл) 7.. Найти 7 последовательных натуральных чисел, сумма

1 тур Задача 1. Можно ли в половину клеток доски 12 12 поместить по фишке так, чтобы в одном квадрате 2 2, составленном из клеток доски, было нечётное количество фишек, а в остальных чётное? Задача 2.

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Балтийский федеральный университет имени Иммануила Канта» ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ «БУДУЩЕЕ С НАМИ»

7 класс. Ответ. Одна красная бабочка. Первое решение. Устроим перебор пар бабочек так, чтобы одна бабочка была красной (упомянутой в условии), а другая как придется. Из условия следует, что все бабочки,

Единый государственный экзамен по математике, 7 год демонстрационная версия Часть A Найдите значение выражения 6p p при p = Решение Используем свойство степени: Подставим в полученное выражение Правильный

Задачи заочного тура по математике для 9 класса 2014/2015 уч. год, первый уровень сложности Задача 1 Решить уравнение: (x+3) 63 + (x+3) 62 (x-1) + (x+3) 61 (x-1) 2 + + (x-1) 63 = 0 Ответ: -1 Задача 2 Сумма

Всероссийская олимпиада школьников 03-04 в городе Москве Типовые задания I (школьного) этапа олимпиады по математике 9 класс. Краткие решения. 4 3. Замените в выражении (3) (*) звездочку (*) на одночлен

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ 015 016 уч. г. ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП 11 класс Решения и критерии оценивания 1. За лето однокомнатная квартира подорожала на 1 %, двухкомнатная на 11 %, а суммарная

9 класс Первый тур (0 минут; каждая задача баллов)... Верно ли, что если b > a + c > 0, то квадратное уравнение a + b + c = 0 имеет два корня? Ответ: да, верно. Первый способ. Из данного неравенства следует,

Всероссийская олимпиада школьников 013-014 в городе Москве Типовые задания I (школьного) этапа олимпиады по математике 5 класс. Краткие решения. 1. Вася может получить число 100, используя десять двоек,

9 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). 1.1. Прямые у = k + b, у = k + b и у = b + k различны и пересекаются в одной точке. Какими могут быть ее координаты? Ответ: (1; 0). Из уравнения первой

Тема 1 «Числовые выражения. Порядок действий. Сравнение чисел». Числовым выражением называется одна или несколько числовых величин (чисел), соединенных между собой знаками арифметических действий: сложения,

Югорский физико-математический лицей ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Учебно-методическое пособие Ханты-Мансийск 0 ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ): Учебнометодическое пособие, - Ханты-Мансийск,

9.1. Известно, что ни одно из чисел a, b, c не является целым. Может ли случиться так, что каждое из чисел ab, bc, ca, abc целое? Ответ. Может. Решение. Например, выберем три различных простых числа p

1 Условия и решения заданий Межрегиональной олимпиады школьников на базе ведомственных образовательных учреждений 014-015 учебный год Оглавление 9 классы... УСЛОВИЯ ЗАДАЧ (очный этап)... РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

9 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... На рисунке изображен график функции Y у (а)(х) (а)(х). Найдите координаты точки А. Ответ: А(0;). Решение. Так как графиком является прямая,

7 класс 8 февраля 06г Время написания работы 4 астрономических часа Каждая задача оценивается в 7 баллов 7.. Доказать, что если целое число, то и целое число. 7.. Можно ли покрасить плоскость в 06 цветов

7 класс 1. Расшифруйте числовой ребус (разным фигурам соответствуют разные цифры, одинаковым одинаковые). +. Разрежьте прямоугольник 4 х 8 на 8 равных частей так, чтобы в каждой части была звездочка. *

Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/9 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 9-1 Каждый член партии доверяет пяти однопартийцам, но никакие двое

I тур. 6 класс. 1. Расставьте в клетках указанной фигурки числа от 5 до 14 так, чтобы суммы чисел во всех доминошках были разными (доминошка это прямоугольник, состоящий из двух клеток, соседних по стороне).

Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/11 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 8-1 Найти все натуральные числа n от 1 до 100 такие, что если перемножить

Математика. класс. Вариант МА0309 (профильный уровень) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом 3 а) Решите уравнение cos x 0. tg x 3 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Раскраски. Решения группа 10-2 10.11.16 1. Плоскость (соответственно пространство) окрашена в два (соответственно в три) цвета. Докажите, что найдутся две точки (a) одного цвета, (b) разных цветов,

7.1. В выражение (+)(+) = вставьте цифры вместо звёздочек так, чтобы получилось верное равенство и было использовано не более 4-х различных цифр. (Число не может начинаться с нуля). Решение. Например,

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (,) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Задачи на решётках В. В. Вавилов, О. Н. Герман, А. В. Устинов 1 Базисы решёток 1. Пара векторов a = me 1 + ne 2 и b = ke 1 + le 2, где m, n, k, l целые числа, тогда и только тогда порождает ту же решетку,

Предэкзаменационная работа по математике для учащихся 9 классов Инструкция по выполнению работы На выполнение диагностической работы дается 4 часа (4 минут). Работа состоит из двух частей. В первой части

РАЗБОР ЗАДАЧ МУНИЦИПАЛЬНОГО ЭТАПА ВСЕРОССИЙСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ Лепчинский Михаил Германович, кандидат физ.-мат. наук Челябинск, 2014 Задача 11.1 Коля, Петя и Вася играют в настольный

8 класс. Решения. 1. Пусть отрезок BC = a, D точка на отрезке BC, E, F соответственно середины отрезков BD и DC. Тогда BE + ED + DF + FC = a и BE = ED, DF = FC, откуда следует, что EF = ED + DF = a/2.

Базовый вариант, 8-9 классы 1. Можно ли раскрасить грани куба в три цвета так, чтобы каждый цвет присутствовал, но нельзя было увидеть одновременно грани всех трех цветов, откуда бы мы ни взглянули

ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ 03-04 ШКОЛЬНЫЙ ТУР РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ Время, отводимое на решение задач: 5-8 классы 60 минут 9- классы 90 минут Министерством

САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 1 1. Найдите разложение на простые множители числа 1008. 2. Найдите количество составных чисел, которые больше 70 и меньше 90. 3.* Найдите все трехзначные

II этап 7 класс 4.12.2016 Работа рассчитана на 180 минут 1. Поставьте в каждом из шести чисел по одной запятой так, чтобы равенство стало верным: 2016 + 2016 + 2016 + 2016 + 2016 = 46368. 2. Вчера Никита

Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Муниципальное образование «Гурьевский городской округ» Всероссийская олимпиада школьников по математике (школьный этап) 216-217 учебный год 11 класс Максимальное количество баллов 2 Время выполнения 4

8 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Для любых чисел а и b операция a b определена следующим образом: 2 2 a b = a b. Вычислите: (20 200) (200 2009). Ответ: 6080.) 20 200 = 20 2 200

0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов) Сумма трѐх чисел равна нулю Может ли сумма их попарных произведений быть положительной? Ответ: нет, не может Решение Пусть a + b + c = 0 Докажем, что

Задания для самостоятельной работы Эти задания предназначены для выполнения к классе. 1. 1. На рисунке АВ=АС и АД=АЕ, ВАД= САЕ. 2. а) Назовите треугольник, который равен треугольнику ВАД; 3. б) есть ли

XX олимпиада младших школьников по математике Республиканская естественно-математическая школа при АГУ Майкоп, 6 апреля 2014 г. 5 класс ОТБОР Задача 1. Буратино хочет получить число 2014, используя только

ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ 015-016 ШКОЛЬНЫЙ ТУР РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ Время, отводимое на решение задач: 5-8 классы 60 минут 9-11 классы 90 минут Министерством

Математика класс Варианты, 9, (без логарифмов) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C Решите уравнение (sinx)(cosx +) Левая часть уравнения имеет смысл при cosx Выражение cosx + положительно

Треугольник 1. Задание 15 27543. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. О т в е т: 6 2. Задание 15 27544.

Математическая игра «Самбо». 1. Аня, Маня и Таня как-то обнаружили, что все они в одинаковых джинсах. Как выглядят эти джинсы, если известно, что у Ани есть джинсы с карманами, узкие джинсы и вылинявшие

3 тур интернет-олимпиады СУНЦ МГУ Решения задач 10 класс 1. На клетчатой доске 20 17 расставлены несколько шахматных коней. Каждую секунду какой-нибудь один из коней делает ход на свободное поле. Через

5 класс 5.1. Петя бегает в два раза быстрее Коли и в три раза быстрее Маши. На беговой дорожке стадиона Петя, Коля и Маша стартовали одновременно. Петя добежал до финиша на 12 секунд раньше Коли. А на

Зональная олимпиада школьников по математике Краснодарский край, 10 декабря 2013 5 класс Составитель текста Федоренко И.В., телефон для справок +7 918 225-22-13 1 Имеются 2013 яблок и весы, на которых

Задание 3 Планиметрия: длин и площадей Треугольник 1. Площадь прямоугольного треугольника равна 24. Один из его катетов на 2 больше другого. Найдите меньший катет. 2. В треугольнике ABC AC = BC, угол C

Математика. класс. Вариант МА06 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом а) Решите уравнение 0. cos x π sin x б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку а) Преобразуем уравнение:

1. Прототип задания B5 (27450) Найдите тангенс угла AOB. Все прототипы заданий В5 2014 года 2. Прототип задания B5 (27456) Найдите тангенс угла AOB. 7. Прототип задания B5 (27547) Найдите площадь треугольника,

III Краевая заочная математическая олимпиада Читинского института Байкальского государственного университета Условия задач. Найдите все трёхзначные числа, такие, что при любой перестановке цифр получившееся

9 класс Первый день 9.1. Дана доска 15 15. Некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезками так, что получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная, симметричная относительно одной

Образовательный центр «Сириус» Январская математическая смена Предварительный тур. 19.11.2015 7 8 класс. Решения 1. Расставьте в клетках квадрата 3 3 числа от 1 до 9 так, чтобы каждое число было использовано

7 класс 7.1. Может ли оказаться, что эту задачу правильно решит 1000 участников олимпиады, причем среди них мальчиков будет на 43 больше, чем девочек? 7.2. Лада и Лера загадали по натуральному числу. Если

8 класс Первый день 8.1. Можно ли все клетки таблицы 9 2002 заполнить натуральными числами так, чтобы сумма чисел в любом столбце и сумма чисел в любой строке были бы простыми числами? 8.2. Клетки квадрата

Условия и решения Осенняя интернет-олимпиада «2 2» 6 класс Более 10 лет Творческая лаборатория «Дважды Два» проводит олимпиады школьников. В 2016 году 2 наших ученика стали членами сборной России по математике

II Кавказская математическая олимпиада Решения заданий День Д. К. Мамий Д. А. Белов В. А. Брагин Л. А. Емельянов П. А. Кожевников С. И. Токарев 13 18 марта 017 г. г. Майкоп Республика Адыгея II Кавказская

САММАТ-008 7 КЛАСС 1. Вместо знаков вставьте такие числа, чтобы равенство (+ +)(+ 3) = (+)(+ + 6) стало тождеством.. Расстояние между двумя машинами, едущими по шоссе, равно 600 км. Скорости машин

В один из дней Незнайка и его друзья решили пойти в магазин Знайки. Знайка решил провести экскурсию дпя своих друзей по магазину книг. Вдруг Незнайка увидел одну очень яркую и большую книгу с надписью Excel . Незнайка и жители Цветочного городаподошли к этой книге. Незнайка открыл книгу и вдруг... Какое-то яркое свечение ослепило глаза всех, кто находился рядом сНезнайкой. И их потащило во внутрь этой загадочной книги. Когда они пришли в себя, открыли свои глаза, то увидели непонятныебуквы, громадные цифры, зашифрованные слова и это их немного напугало. К счастью Знайка и Кнопочка читали эту книгу и многое знали. Знайка ответил, что Excel - это прикладная компьютерная программа, которая нужна многим профессиям, а загадочные буквы-это вовсе не буквы, а Римские цифры. Кнопочка добавила, что НОД и НОК это не зашифрованные слова, а математическиефункции. Весёлым человечкам так понравилась в необычной стране, что они решили остаться и изучать эту интересную и новую для них страну Excel . Так и началось их новое путешествие в стране Excel ...

• Объем комнаты Незнайки загрузить файл

У Незнайки была красивая, большая комната. Незнайка захотел узнать какой объем этой комнаты, но не понимал как это сделать. Он позвал к себе в гости Знайку. И сказал Незнайка Знайке: «Знайка, скажи мне, какой у меня объем комнаты». Знайка взял в руки метр и начал измерять длину, ширину, высоту комнаты Незнайки. А решение Знайка выполнил через программу Excel .

Каждый год по плану в Цветочном городе проходит медосмотр. Доктор Пилюлькин проверяет здоровье, а также рост и вес жителей города. В 1 день Пилюлькин осматривает Незнайку, Знайку, Авоську, Винтика, Шпунтика, Пончика. Здоровье жителей оказалось хорошим. Пилюлькин измерил рост своих друзей спец. прибором, а вес с помощью обыкновенных весов. Но Пилюлькину нужны были средний рост и вес жителей города, а также максимальные рост и вес весёлых человечеков. Это статистика! Тогда доктор записал данные роста и веса своих друзей и решил эту проблему помощью программы Excel .

В этом сказочном городе всегда было весело, всегда был слышен хохот и смех. Незнайка, Сиропчик, Пилюлькин, Цветик, Авоська, Пончик, Торопыжка и другие любили пить газировку, квас, сироп и касторку. Вот они решили измерить кто больше всего выпьет напитков, любимых всеми жителями Цветочного города. Жюри были: Синеглазка и Кнопочка. Они измеряли все в литрах. Общий итог девочки высчитывали не на калькуляторе, а в программе Excel . Оказалось, что больше всех выпил Сиропчик, это было не удивительно. Там где есть сладости, конфеты, еда, напитки, там и есть Сиропчик!!! :)

Пончик с Незнайкой решили слетать на Луну. Для этого они пошли к Звездочету, который рассказал им много интересного о звездах, планетах и созвездиях. Незнайка и Пончик быстро собрались и побежали к взлетной полосе, одели на себя скафандры и вылетели на ракете. Их путешествие было интересным, пугающим и опасным. И вот они на Луне! Как здесь интересно! На Луне друзья сделали большую и яркую фотографию на память. Незнайке и Пончику стало любопытно какие еще есть планеты и есть ли жизнь на них. Это их путешествие было не только на Луну, но и на другие сказочные планеты. Их пребывание на каждой планете и длительность их остановок высчитал мастер программирования Знайка с помощью программы Excel.

Знайка был владельцем крупного книжного магазина. Это был единственный книжный магазин во всем Солнечном и Цветочном городах. В магазине всегда было много людей. У Знайки были крупные клиенты - это те, кто читали книги, ценили и хранили их. Частыми покупателями в магазине были: Цветик. Звездочет, Кнопочка, Винтик, Шпунтик, Молчун, Синеглазка. Цветик и Кнопочка покупали художественную литературу, Синеглазка покупала романы и триллеры, Винтик и Шпунтик покупали техническую литературу, Молчун брал детективы, а Звездочет покупал фантастику. Гостями книжного магазина были: Пончик, Незнайка, Торопыжка, Растеряйка. Они всегда ходили, смеялись и никогда ничего не покупали, кроме Пончика. Он иногда интересовался кулинарией, поэтому покупал кулинарные книги и рецепты приготовления вкуснейших блюд мира. Теперь вопрос: "Какие книги весёлые человечки больше всего читали?".

Знайка исправно платил ежегодные налоги с продажи книг. И с помощью программы Excel Знайка видел, с какой литературы он платил самые большие налоги.

Пончик любил покушать. Поэтому он купил себе магазин и был владельцем продуктового магазина. Он каждый день проверял отделы своего магазина и делал ревизию. В понедельник он пошёл с проверкой в мясной отдел. В мясном отделе продавали колбасу и ветчину. Он с помощью программы Excel сделал ревизию колбасы и ветчины. Вышла у него большая сумма кнедликов. Затем пошел кондитерский отдел сделал ревизию, а там вышла чуть меньше сумма кнедликов. С каждым днем у Пончика становилось все больше покупателей, так как у него всегда был свежий и вкусный товар!!!

Винтик и Шпунтик открыли бизнес. У них имеется магазин в центре Цветочного города. В продаже магазина большой ассортимент болтиков, винтиков, поддонов, бамперов и т. д. Налоги Винтик и Шпунтик сдавали за 1,2 и 3 кварталы. Для этого им нужно было рассчитать общую стоимость товара и его количество. Шпунтик не знал, как это сделать и очень расстроился, но оказалось, что Винтик знает, как делать такие расчеты. Винтика использовать Excel научил Знайка перед тем, как они решили открыть бизнес. Винтик быстро и четко решил задачу в программе Excel.

В Цветочном городе каждый год проходит олимпиада в 2 тура. 1 тур - теоретический, а 2 тур практическое задание. Жюри выбирает лучшие задания, а также оценивают защиту конкурсантов. Звездочет считает баллы, суммирует их с помощью Excel. Затем, с помощью логических формул, выводит результаты по двум принципам. Лучший результат ежегодно показывает Знайка, а худший результат показывает Незнайка. Увы, Незнайка!

Звездочет задал формулу к 1 принципу ЕСЛИ(C3>=110; "Super"; " Sos") , а ко 2 принципу
ЕСЛИ(C3>=200;"!";ЕСЛИ(И(C3>=110;C3<200);"+";"-"))

В Цветочном городе была школа «Самоцветы». Жители города ходили в школу, получали знания, учились читать и считать, проводили опыты. Большое внимание в школе уделяли олимпиадам, контрольным и проверочным заданиям. Вот наступил первый понедельник месяца. Ученики - самоцветы сели за парты, взяли свои смешные ручки и начали работать над тестами. Тестовых заданий было 6. Русский, астрономия, химия, история, музыка, а по труду им нужно было что-нибудь соорудить. Учитель для того, чтобы узнать средние оценки учащихся-самоцветов и общий результат по предметам использовал программу Excel. Для большей наглядности он еще использовал условное форматирование таблицы, применяя флажки. Сразу видно кто и как учится!

Так как в Цветочном городе любили различные соревнования, олимпиады и конкурсы, то жители устроили ещё один новый конкурс между городами: Солнечный город&Цветочный город. В конкурсе было 11 заданий разных по сложности и уровням. В основном это были логические задания: ребусы, логические задачи, кроссворды и т.д. В каждой команде было по 5 участников. Командир команды Солнечный - Знайка, а командир команды Цветочный - Кнопочка. С помощью программы Excel были вычислены: 1) о бщий результат по командам, 2) оценка каждого конкурса по логической формуле, например, ЕСЛИ(D3>= 8;"хорошо";"плохо") 3)итоги конкурса "выиграл, проиграл, ничья" по сложной логической формуле. А также, применили условное форматирование, чтобы был наглядно показан лучший результат.

У Ворчуна был домашний кинотеатр. В один из дней, когда к нему должны были прийти гости для просмотра нового кинофильма "Искатели сокровищ. Изумрудный остров 2", у Ворчуна было скверное настроение. И вот пришли Незнайка, Винтик, Шпунтик, Синеглазка, Пончик, Кнопочка, Звездочет и Знайка. Все сказали:" Ворчун, открывай, мы здесь!"

Ворчун из-за двери говорит: "Назовите любое двухзначное число!"
Незнайка ответил: "13! Впускай!!!"
Ворчун ехидно улыбнулся и проворчал: "А почему не 31?!"
Тогда Кнопочка ответила:"Ну ладно, Ворчун, хватит! 89!"
Ворчун окончательно разозлился и закричал: "А я не хочу 89! А почему не 98?!"
Тогда Знайка громко и твердо говорит: " Число 77!"
Ворчун пробубнил: "А почему не...? А, Знайка, это ты? Входи!"
И благодаря Знайке, все вошли в дом Ворчуна для просмотра нового и интересного фильма!