معادله بالاترین درجه با ریشه های مثبت. معادلات درجات بالاتر روش های حل معادلات n

در نظر گرفتن حل معادلات با یک متغیر درجه بالاتر از متغیر دوم.

درجه معادله P(x) = 0 درجه چند جمله ای P(x) است، یعنی. بزرگ ترین توان عبارات آن با ضریب غیر صفر.

بنابراین، برای مثال، معادله (x 3 - 1) 2 + x 5 \u003d x 6 - 2 دارای درجه پنجم است، زیرا پس از عملیات باز کردن براکت ها و آوردن موارد مشابه، معادله معادل x 5 - 2x 3 + 3 \u003d 0 درجه پنجم را به دست می آوریم.

قوانینی را که برای حل معادلات درجه بالاتر از دوم مورد نیاز است را به یاد بیاورید.

جملاتی در مورد ریشه های یک چند جمله ای و مقسوم علیه های آن:

1. چند جمله ای درجه n دارای تعدادی ریشه است که از عدد n تجاوز نمی کند و ریشه های تعدد m دقیقاً m برابر است.

2. یک چند جمله ای با درجه فرد حداقل یک ریشه واقعی دارد.

3. اگر α ریشه Р(х) باشد، Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x)، که در آن Q n – 1 (x) چند جمله ای درجه (n – 1) است. .

5. یک چند جمله ای کاهش یافته با ضرایب صحیح نمی تواند ریشه های گویا کسری داشته باشد.

6. برای چند جمله ای درجه سوم

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d یکی از دو چیز ممکن است: یا به حاصل ضرب سه دوجمله ای تجزیه می شود.

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ) یا به حاصل ضرب یک دو جمله ای و یک مثلث مربع P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x 2 + βx + γ).

7. هر چند جمله ای درجه چهارم به حاصل ضرب دو مثلث مربع منبسط می شود.

8. یک چند جمله‌ای f(x) بر یک چند جمله‌ای g(x) بدون باقیمانده بخش‌پذیر است اگر چند جمله‌ای q(x) وجود داشته باشد به طوری که f(x) = g(x) q(x). برای تقسیم چندجمله ای ها قانون «تقسیم بر یک گوشه» اعمال می شود.

9. برای اینکه چند جمله ای P(x) بر دو جمله ای (x – c) بخش پذیر باشد، لازم و کافی است که عدد c ریشه P(x) باشد (نتیجه قضیه بزوت).

10. قضیه ویتا: اگر x 1، x 2، ...، x n ریشه های واقعی چند جمله ای باشند.

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n، سپس برابری های زیر برقرار است:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0،

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0.

حل نمونه ها

مثال 1

پس از تقسیم P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 بر (x - 1/3) باقیمانده را پیدا کنید.

تصمیم گیری

با توجه به نتیجه قضیه بزوت: "باقی مانده تقسیم یک چند جمله ای بر یک دو جمله ای (x - c) برابر است با مقدار چند جمله ای در c." بیایید P(1/3) = 0 را پیدا کنیم. بنابراین، باقیمانده 0 و عدد 1/3 ریشه چند جمله ای است.

پاسخ: R = 0.

مثال 2

"گوشه" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 را بر (x + 2) تقسیم کنید. باقیمانده و نصاب ناقص را بیابید.

تصمیم:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 - x

X 2 - 2 x

پاسخ: R = 3; ضریب: 2x2 - x.

روشهای اساسی برای حل معادلات درجات بالاتر

1. معرفی یک متغیر جدید

روش معرفی یک متغیر جدید از قبل از مثال معادلات دو درجه ای آشنا است. این شامل این واقعیت است که برای حل معادله f (x) \u003d 0، یک متغیر جدید (جایگزینی) t \u003d x n یا t \u003d g (x) معرفی می شود و f (x) از طریق t بیان می شود، به دست آوردن یک معادله جدید r (t). سپس با حل معادله r(t)، ریشه ها را پیدا کنید:

(t 1، t 2، ...، t n). پس از آن مجموعه ای از n معادله q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n به دست می آید که ریشه های معادله اصلی از آنها پیدا می شود.

مثال 1

(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

تصمیم:

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

جایگزینی (x 2 + x + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. تعویض معکوس:

x 2 + x + 1 = 2 یا x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 یا x 2 + x = 0;

پاسخ: از معادله اول: x 1، 2 = (-1 ± √5) / 2، از رابطه دوم: 0 و -1.

2. فاکتورسازی به روش گروه بندی و فرمول ضرب اختصاری

اساس این روش نیز جدید نیست و عبارت است از گروه بندی اصطلاحات به گونه ای که هر گروه شامل یک عامل مشترک باشد. برای این کار گاهی باید از ترفندهای مصنوعی استفاده کرد.

مثال 1

x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

تصمیم گیری

تصور کنید - 3x 2 = -2x 2 - x 2 و گروه:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 یا x 2 + x - 3 \u003d 0.

پاسخ: در معادله اول هیچ ریشه ای وجود ندارد، از معادله دوم: x 1, 2 \u003d (-1 ± √13) / 2.

3. فاکتورسازی به روش ضرایب نامعین

ماهیت روش این است که چند جمله ای اصلی به عواملی با ضرایب مجهول تجزیه می شود. با استفاده از خاصیت مساوی بودن چند جمله ای ها در صورتی که ضرایب آنها در توان های یکسان برابر باشد، ضرایب بسط مجهول پیدا می شود.

مثال 1

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

تصمیم گیری

یک چند جمله ای درجه 3 را می توان به حاصل ضرب ضرایب خطی و مربعی تجزیه کرد.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c)،

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.

حل سیستم:

(b – a = 4،
(c – ab = 5,
(-ac=2,

(a = -1،
(b=3،
(c = 2، به عنوان مثال

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

ریشه های معادله (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 به راحتی پیدا می شود.

پاسخ 1؛ -2.

4. روش انتخاب ریشه با ضریب بالاتر و آزاد

این روش مبتنی بر کاربرد قضایای زیر است:

1) هر ریشه صحیح یک چند جمله ای با ضرایب صحیح مقسوم علیه جمله آزاد است.

2) برای اینکه کسر تقلیل ناپذیر p / q (p یک عدد صحیح است، q یک طبیعی است) ریشه یک معادله با ضرایب صحیح باشد، لازم است که عدد p یک مقسوم‌گیرنده صحیح از جمله آزاد a 0 باشد و q مقسوم علیه طبیعی بالاترین ضریب است.

مثال 1

6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

تصمیم:

6: q = 1، 2، 3، 6.

از این رو p/q = 1±، 2±، 1/2 ±، 1/3 ±، 2/3 ±، 1/6 ±.

با یافتن یک ریشه، به عنوان مثال - 2، ریشه های دیگری را با استفاده از تقسیم بر یک گوشه، روش ضرایب نامشخص یا طرح هورنر پیدا خواهیم کرد.

پاسخ: -2; 1/2; 1/3.

آیا هیچ سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه معادلات را حل کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی -.
درس اول رایگان است

blog.site، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک منبع الزامی است.

هنگام حل معادلات جبری، اغلب لازم است که یک چند جمله ای را فاکتورسازی کنیم. فاکتورگیری یک چند جمله ای به معنای نمایش آن به عنوان حاصل ضرب دو یا چند چند جمله ای است. ما اغلب از روش‌هایی برای بسط چندجمله‌ای استفاده می‌کنیم: برداشتن یک عامل مشترک، استفاده از فرمول‌های ضرب اختصاری، برجسته کردن مربع کامل، گروه‌بندی. بیایید به چند روش دیگر نگاه کنیم.

گاهی اوقات، هنگام فاکتورگیری یک چند جمله ای، عبارات زیر مفید هستند:

1) اگر یک چند جمله ای با ضرایب صحیح یک ریشه گویا داشته باشد (که در آن کسری تقلیل ناپذیر است، مقسوم علیه جمله آزاد و مقسوم علیه بالاترین ضریب است:

2) اگر به هر طریقی ریشه یک چند جمله ای درجه را انتخاب کنیم، آنگاه چند جمله ای را می توان به شکلی نشان داد که چند جمله ای درجه

چند جمله ای را می توان با تقسیم چند جمله ای بر دو جمله ای "ستون" یا با گروه بندی متناظر اصطلاحات چند جمله ای و استخراج عاملی از آنها یا با روش ضرایب نامعین پیدا کرد.

مثال. یک چند جمله ای را فاکتورسازی کنید

تصمیم گیری از آنجایی که ضریب x4 برابر با 1 است، پس ریشه های گویا این چند جمله ای مقسوم علیه های عدد 6 هستند، یعنی می توانند اعداد صحیح 1±، 2±، 3±، ±6 باشند. این چند جمله ای را با P4(x) نشان می دهیم. از آنجایی که Р Р4 (1) = 4 و Р4 (-4) = 23، اعداد 1 و -1 ریشه های چند جمله ای PA (x) نیستند. از آنجایی که P4(2) = 0، پس x = 2 ریشه چند جمله ای P4(x) است، و بنابراین، این چند جمله ای بر دو جمله ای x - 2 بخش پذیر است. بنابراین x4 -5x3 +7x2 -5x +6 x- 2 x4 -2x3 x3 -3x2 +x-3

3x3 +7x2 -5x +6

3x3 + 6x2 x2 - 5x + 6 x2 - 2x

بنابراین، P4 (x) = (x - 2) (x3 - 3x2 + x - 3). از آنجایی که xz - Zx2 + x - 3 \u003d x2 (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x2 + 1)، سپس x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 \u003d (x - 2) (x - 3) (x2 + 1).

روش ورودی پارامتر

گاهی اوقات، هنگام فاکتورگیری یک چند جمله ای، روش معرفی یک پارامتر کمک می کند. ماهیت این روش با مثال زیر توضیح داده خواهد شد.

مثال. x3 - (√3 + 1) x2 + 3.

تصمیم گیری یک چند جمله ای با پارامتر a در نظر بگیرید: x3 - (a + 1)x2 + a2، که به یک چند جمله ای معین برای a = √3 تبدیل می شود. این چند جمله ای را با توجه به a به صورت یک مثلث مربع می نویسیم: ar - ax2 + (x3 - x2).

از آنجایی که ریشه های این مربع مثلثی نسبت به a a1 = x و a2 = x2 - x هستند، پس برابری a2 - ax2 + (xs - x2) = (a - x) (a - x2 + x) صادق است. بنابراین، چند جمله ای x3 - (√3 + 1)x2 + 3 به عوامل √3 - x و √3 - x2 + x تجزیه می شود، یعنی.

x3 - (√3+1)x2+3=(x-√3)(x2-x-√3).

روشی برای معرفی یک مجهول جدید

در برخی موارد، با جایگزینی عبارت f(x)، که در چند جمله‌ای Pn(x) قرار می‌گیرد، از طریق y، می‌توان یک چند جمله‌ای نسبت به y به دست آورد که به راحتی می‌توان آن را فاکتور گرفت. سپس، پس از جایگزینی y با f(x)، فاکتورگیری از چند جمله‌ای Pn(x) به دست می‌آید.

مثال. چند جمله ای x(x+1)(x+2)(x+3)-15 را عامل کنید.

تصمیم گیری بیایید این چند جمله ای را به صورت زیر تبدیل کنیم: x(x+1)(x+2)(x+3)-15= [x (x+3)][(x+1)(x+2)] - 15 = ( x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) - 15.

x2 + 3x را با y نشان دهید. سپس داریم y(y + 2) - 15 = y2 + 2y - 15 = y2 + 2y + 1 - 16 = (y + 1)2 - 16 = (y + 1 + 4) (y + 1 - 4)= ( y + 5) (y - 3).

بنابراین x(x + 1) (x + 2) (x + 3) - 15 = (x2 + 3x + 5) (x2 + 3x - 3).

مثال. چند جمله ای (x-4)4+(x+2)4 را فاکتورسازی کنید

تصمیم گیری x - 4 + x + 2 = x - 1 را با y نشان دهید.

(x - 4)4 + (x + 2)2 = (y - 3)4 + (y + 3)4 = y4 - 12y3 + 54y3 - 108y + 81 + y4 + 12y3 + 54y2 + 108y + 81 =

2y4 + 108y2 + 162 = 2(y4 + 54y2 + 81) = 2[(y2 + 27)2 - 648] = 2 (y2 + 27 - √b48)(y2 + 27+√b48)=

2((x-1)2+27-√b48)((x-1)2+27+√b48)=2(x2-2x + 28- 18√ 2)(x2- 2x + 28 + 18√ 2 ).

ترکیبی از روش های مختلف

اغلب، هنگام فاکتورگیری یک چند جمله ای، باید چندین مورد از روش های ذکر شده در بالا را به طور متوالی اعمال کرد.

مثال. چند جمله ای x4 - 3x2 + 4x-3 را فاکتورسازی کنید.

تصمیم گیری با استفاده از گروه بندی، چند جمله ای را به شکل x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x4 - 2x2) - (x2 -4x + 3) بازنویسی می کنیم.

با اعمال روش انتخاب مربع کامل در براکت اول، x4 - 3x3 + 4x - 3 = (x4 - 2 1 x2 + 12) - (x2 -4x + 4) داریم.

با استفاده از فرمول مربع کامل، اکنون می توانیم بنویسیم که x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x2 -1)2 - (x - 2)2.

در نهایت، با اعمال فرمول تفاوت مربع ها، دریافت می کنیم که x4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x2 - 1 + x - 2) (x2 - 1 - x + 2) \u003d (x2 + x-3) (x2 - x + 1).

§ 2. معادلات متقارن

1. معادلات متقارن درجه سوم

معادلات شکل ax3 + bx2 + bx + a \u003d 0، a ≠ 0 (1) معادلات متقارن درجه سوم نامیده می شوند. از آنجایی که ax3 + bx2 + bx + a \u003d a (x3 + 1) + bx (x + 1) \u003d (x + 1) (ax2 + (b-a) x + a)، پس معادله (1) معادل مجموعه ای از معادلات x + 1 \u003d 0 و ax2 + (b-a) x + a \u003d 0 که حل آن دشوار نیست.

مثال 1. معادله را حل کنید

3x3 + 4x2 + 4x + 3 = 0. (2)

تصمیم گیری معادله (2) یک معادله متقارن درجه سوم است.

از آنجایی که 3x3 + 4xr + 4x + 3 = 3 (x3 + 1) + 4x (x + 1) = (x + 1) (3x2 - 3x + 3 + 4x) = (x + 1) (3x2 + x + 3) ، سپس معادله (2) معادل مجموعه معادلات x + 1 = 0 و 3x3 + x +3=0 است.

حل معادلات اول x = -1 است، معادله دوم هیچ جوابی ندارد.

پاسخ: x = -1.

2. معادلات متقارن درجه چهارم

معادله نوع

(3) معادله متقارن درجه چهارم نامیده می شود.

از آنجایی که x \u003d 0 ریشه معادله (3) نیست، پس با تقسیم هر دو قسمت معادله (3) بر x2، معادله ای معادل معادله اصلی (3) به دست می آوریم:

اجازه دهید معادله (4) را به شکل زیر بازنویسی کنیم:

در این معادله یک جایگزین می کنیم سپس یک معادله درجه دوم بدست می آوریم

اگر معادله (5) دارای 2 ریشه y1 و y2 باشد، معادله اصلی معادل مجموعه معادلات است.

اگر معادله (5) یک ریشه у0 داشته باشد، معادله اصلی معادل معادله است.

در نهایت، اگر معادله (5) ریشه نداشته باشد، معادله اصلی نیز بدون ریشه است.

مثال 2. معادله را حل کنید

تصمیم گیری این معادله یک معادله متقارن درجه چهارم است. از آنجایی که x \u003d 0 ریشه آن نیست، پس با تقسیم معادله (6) بر x2، یک معادله معادل به دست می آوریم:

با گروه بندی عبارات، معادله (7) را به صورت یا در فرم بازنویسی می کنیم

با فرض معادله ای به دست می آوریم که دارای دو ریشه y1 = 2 و y2 = 3 است. بنابراین، معادله اصلی معادل مجموعه معادلات است.

جواب معادله اول این مجموعه x1 = 1 و جواب دومی u است.

بنابراین، معادله اصلی دارای سه ریشه است: x1، x2 و x3.

پاسخ: x1=1.

§3. معادلات جبری

1. کاهش درجه معادله

برخی معادلات جبری را با جایگزین کردن چند جمله ای در آنها با یک حرف می توان به معادلات جبری تقلیل داد که درجه آنها کمتر از درجه معادله اصلی و حل آنها ساده تر است.

مثال 1. معادله را حل کنید

تصمیم گیری با علامت گذاری کنید، سپس معادله (1) را می توان بازنویسی کرد که آخرین معادله ریشه دارد و بنابراین، معادله (1) معادل مجموعه معادلات و. جواب معادله اول این مجموعه است و حل معادله دوم است

جواب های معادله (1) عبارتند از

مثال 2. معادله را حل کنید

تصمیم گیری هر دو طرف معادله را در 12 ضرب می کنیم و نشان می دهیم

معادله را به دست می آوریم این معادله را در فرم بازنویسی می کنیم

(3) و با نشان دادن معادله (3) را بازنویسی می کنیم به شکل آخرین معادله ریشه دارد و بنابراین به دست می آوریم که معادله (3) معادل مجموعه دو معادله و 4 است.

راه حل های مجموعه (4) و و آنها جواب های معادله (2) هستند.

2. معادلات فرم

معادله

(5) در جایی که اعداد داده شده است، می توان با استفاده از جایگزینی مجهول، به عنوان مثال، به یک معادله دو درجه ای تقلیل داد.

مثال 3. معادله را حل کنید

تصمیم گیری بیایید نشان دهیم، یعنی تغییری در متغیرها ایجاد می کنیم یا می توان معادله (6) را به شکل بازنویسی کرد یا با استفاده از فرمول، به شکل بازنویسی کرد.

از آنجایی که ریشه های معادله درجه دوم هستند و سپس راه حل های معادله (7) راه حل های مجموعه معادلات و. این مجموعه معادلات دو جواب دارد و بنابراین جواب های معادله (6) و

3. معادلات فرم

معادله

(8) که در آن اعداد α، β، γ، δ و Α به گونه ای هستند که α

مثال 4. معادله را حل کنید

تصمیم گیری بیایید یک تغییر مجهولات ایجاد کنیم، یعنی y=x+3 یا x = y – 3. سپس معادله (9) را می توان به صورت بازنویسی کرد.

(y-2)(y-1)(y+1)(y+2)=10، یعنی به شکل

(y2-4)(y2-1)=10(10)

معادله دو طرفه (10) دو ریشه دارد. بنابراین، معادله (9) نیز دو ریشه دارد:

4. معادلات فرم

معادله (11)

در جایی که، ریشه x = 0 ندارد، بنابراین، با تقسیم معادله (11) بر x2، یک معادله معادل به دست می آوریم.

که پس از جایگزینی مجهول، در قالب یک معادله درجه دوم بازنویسی می شود که حل آن مشکل نیست.

مثال 5. معادله را حل کنید

تصمیم گیری از آنجایی که h \u003d 0 ریشه معادله (12) نیست، پس با تقسیم آن بر x2، یک معادله معادل به دست می آوریم.

با مجهول ساختن تغییر، معادله (y+1)(y+2)=2 را بدست می آوریم که دارای دو ریشه است: y1 = 0 و y1 = -3. بنابراین معادله اصلی (12) معادل مجموعه معادلات است

این مجموعه دو ریشه دارد: x1= -1 و x2 = -2.

پاسخ: x1= -1، x2 = -2.

اظهار نظر. معادله نوع،

که همیشه می توان به شکل (11) کاهش داد و علاوه بر این، α > 0 و λ > 0 را به شکل در نظر گرفت.

5. معادلات فرم

معادله

,(13) که در آن اعداد α، β، γ، δ و Α به گونه ای هستند که αβ = γδ ≠ 0 را می توان با ضرب براکت اول در دومی و سومی در چهارمین به شکل معادله بازنویسی کرد. (13) اکنون به شکل (11) نوشته می شود و حل آن را می توان به همان روش حل معادله (11) انجام داد.

مثال 6. معادله را حل کنید

تصمیم گیری معادله (14) شکل (13) دارد، بنابراین آن را به صورت بازنویسی می کنیم

از آنجایی که x = 0 راه حلی برای این معادله نیست، با تقسیم دو طرف آن بر x2، معادله اصلی معادل به دست می آید. با تغییر متغیرها یک معادله درجه دوم بدست می آوریم که جواب آن و است. بنابراین معادله اصلی (14) معادل مجموعه معادلات u است.

جواب معادله اول این مجموعه است

معادله دوم این مجموعه راه حل ها هیچ. بنابراین، معادله اصلی دارای ریشه های x1 و x2 است.

6. معادلات فرم

معادله

(15) که در آن اعداد a، b، c، q، A به گونه ای هستند که ریشه x = 0 ندارد، بنابراین، معادله (15) را بر x2 تقسیم کنید. معادله ای معادل آن به دست می آوریم که پس از جایگزینی مجهول، به صورت معادله درجه دوم بازنویسی می شود که حل آن مشکل نیست.

مثال 7. حل معادله

تصمیم گیری از آنجایی که x \u003d 0 ریشه معادله (16) نیست، پس با تقسیم هر دو قسمت آن بر x2، معادله را بدست می آوریم.

، (17) معادل معادله (16). پس از تغییر مجهول، می توانیم معادله (17) را به شکل بازنویسی کنیم

معادله درجه دوم (18) دارای 2 ریشه است: y1 = 1 و y2 = -1. بنابراین معادله (17) معادل مجموعه معادلات و (19) است.

مجموعه معادلات (19) دارای 4 ریشه است: ,.

آنها ریشه های معادله (16) خواهند بود.

§4. معادلات گویا

معادلات شکل = 0 که در آن H(x) و Q(x) چند جمله ای هستند، گویا نامیده می شوند.

پس از یافتن ریشه های معادله H(x) = 0، باید بررسی کنید که کدام یک از آنها ریشه های معادله Q(x) = 0 نیستند. این ریشه ها و فقط آنها راه حل های معادله خواهند بود.

چند روش برای حل معادله ای به شکل = 0 در نظر بگیرید.

1. معادلات فرم

معادله

(1) تحت شرایط خاص بر روی اعداد را می توان به صورت زیر حل کرد. با گروه بندی عبارات معادله (1) بر دو و جمع کردن هر جفت، باید چندجمله ای های عددی درجه اول یا صفر را بدست آورد که فقط در عوامل عددی متفاوت هستند و در مخرج ها - سه جمله ای با همان دو جمله حاوی x، سپس پس از تغییر متغیرها، معادله یا به شکل (1) اما با تعداد ترم کمتر، یا معادل ترکیبی از دو معادله خواهد بود که یکی از آنها درجه یک و دوم معادله ای از شکل (1) خواهد بود، اما با تعداد ترم های کمتر.

مثال. معادله را حل کنید

تصمیم گیری با گروه بندی در سمت چپ معادله (2) جمله اول با آخری و دومی با ماقبل آخر، معادله (2) را به شکل بازنویسی می کنیم.

با جمع بندی عبارات موجود در هر پرانتز، معادله (3) را به صورت بازنویسی می کنیم

از آنجایی که معادله (4) جوابی ندارد، پس با تقسیم این معادله، معادله را بدست می آوریم.

، (5) معادل معادله (4). اجازه دهید مجهول را تغییر دهیم، سپس معادله (5) به شکل بازنویسی می شود

بنابراین، حل معادله (2) با پنج جمله در سمت چپ به حل معادله (6) همان شکل، اما با سه جمله در سمت چپ کاهش می یابد. با جمع بندی تمام عبارات سمت چپ معادله (6) آن را به شکل بازنویسی می کنیم

همچنین راه حل هایی برای معادله وجود دارد. هیچ یک از این اعداد مخرج تابع گویا را در سمت چپ معادله (7) محو نمی کند. بنابراین معادله (7) دارای این دو ریشه است و بنابراین معادله اصلی (2) معادل مجموعه معادلات است.

جواب های معادله اول این مجموعه عبارتند از

جواب های معادله دوم از این مجموعه عبارتند از

بنابراین معادله اصلی ریشه دارد

2. معادلات فرم

معادله

(8) در شرایط معینی روی اعداد به صورت زیر قابل حل است: لازم است که در هر یک از کسرهای معادله، قسمت صحیح را انتخاب کنیم، یعنی معادله (8) را با معادله جایگزین کنیم.

آن را به شکل (1) کاهش دهید و سپس به روشی که در پاراگراف قبل توضیح داده شد حل کنید.

مثال. معادله را حل کنید

تصمیم گیری معادله (9) را به صورت یا به صورت می نویسیم

با جمع بندی اصطلاحات داخل پرانتز، معادله (10) را به صورت بازنویسی می کنیم

با ایجاد تغییر مجهول، معادله (11) را به شکل بازنویسی می کنیم

با جمع‌بندی عبارت‌های سمت چپ معادله (12)، آن را به شکل بازنویسی می‌کنیم

به راحتی می توان دریافت که معادله (13) دارای دو ریشه است: و. بنابراین، معادله اصلی (9) دارای چهار ریشه است:

3) معادلات فرم.

معادله شکل (14) را تحت شرایط معین روی اعداد می‌توان به صورت زیر حل کرد: با بسط دادن (البته در صورت امکان) هر یک از کسرهای سمت چپ معادله (14) به مجموع کسرهای ساده

معادله (14) را به شکل (1) کاهش دهید، سپس، با انجام یک بازآرایی راحت از شرایط معادله حاصل، آن را با روشی که در بند 1 توضیح داده شده است، حل کنید.

مثال. معادله را حل کنید

تصمیم گیری از آنجایی که و سپس، عدد هر کسری در رابطه (15) را در 2 ضرب می کنیم و توجه می کنیم که رابطه (15) را می توان به صورت زیر نوشت:

معادله (16) شکل (7) دارد. با گروه بندی مجدد اصطلاحات در این معادله، آن را به صورت یا در فرم بازنویسی می کنیم

معادله (17) معادل مجموعه معادلات و

برای حل معادله دوم مجموعه (18) مجهول را تغییر می دهیم سپس به صورت یا به صورت بازنویسی می شود.

با جمع کردن تمام عبارات سمت چپ معادله (19)، آن را به صورت بازنویسی کنید

از آنجایی که معادله ریشه ندارد، معادله (20) نیز ریشه ندارد.

معادله اول مجموعه (18) یک ریشه دارد از آنجایی که این ریشه در ODZ معادله دوم مجموعه (18) قرار می گیرد، تنها ریشه مجموعه (18) است و از این رو معادله اصلی است.

4. معادلات فرم

معادله

(21) تحت شرایط خاصی روی اعداد و A، پس از نمایش هر عبارت در سمت چپ در فرم، می توان آن را به شکل (1) تقلیل داد.

مثال. معادله را حل کنید

تصمیم گیری اجازه دهید معادله (22) را به شکل یا به شکل بازنویسی کنیم

بنابراین، معادله (23) به شکل (1) کاهش می یابد. حال با گروه بندی اولین جمله با آخرین و دومی با سوم، معادله (23) را به شکل بازنویسی می کنیم.

این معادله معادل مجموعه معادلات و. (24)

آخرین مجموعه معادله (24) را می توان به صورت بازنویسی کرد

راه حل هایی برای این معادله وجود دارد و از آنجایی که در ODZ معادله دوم مجموعه (30) قرار می گیرد، مجموعه (24) دارای سه ریشه است: همه آنها حل معادله اصلی هستند.

5. معادلات فرم.

معادله فرم (25)

تحت شرایط خاصی در اعداد، با جایگزینی مجهول، می توان به معادله ای از فرم تقلیل داد

مثال. معادله را حل کنید

تصمیم گیری از آنجایی که حل معادله (26) نیست، پس با تقسیم صورت و مخرج هر کسری در سمت چپ، آن را به شکل بازنویسی می کنیم.

با ایجاد تغییر در متغیرها، معادله (27) را در فرم بازنویسی می کنیم

حل معادله (28) و است. بنابراین معادله (27) معادل مجموعه معادلات u است. (29)

"روش حل معادلات درجات بالاتر"

( قرائت کیسلفسکی)

معلم ریاضیات Afanasyeva L.A.

مدرسه متوسطه MKOU Verkhnekarachanskaya

منطقه گریبانوفسکی، منطقه ورونژ

2015

آموزش ریاضی دریافت شده در مدرسه آموزش عمومی جزء ضروری آموزش عمومی و فرهنگ عمومی یک فرد مدرن است.

ریاضیدان معروف آلمانی کورانت می نویسد: «بیش از دو هزار سال، داشتن دانشی نه چندان سطحی در زمینه ریاضیات ضروری بود. بخشی جدایی ناپذیردر فهرست فکری هر فرد تحصیلکرده ای قرار گیرد." و در بین این دانش آخرین جایگاه به توانایی حل معادلات تعلق ندارد.

قبلاً در دوران باستان، مردم متوجه شده بودند که یادگیری نحوه حل معادلات جبری چقدر مهم است. حدود 4000 سال پیش دانشمندان بابلی بر حل معادله درجه دوم تسلط یافتند و سیستم های دو معادله را حل کردند که یکی از آنها درجه دوم بود. با کمک معادلات، مسائل مختلف نقشه برداری زمین، معماری و امور نظامی حل شد، مسائل متعدد و متنوع عملی و علوم طبیعی به آنها تقلیل یافت، زیرا زبان دقیق ریاضیات امکان بیان ساده حقایق و روابطی را فراهم می کند که بیان آن به زبان معمولی ممکن است گیج کننده و پیچیده به نظر برسد. معادله یکی از مفاهیم مهم در ریاضیات است. توسعه روش هایی برای حل معادلات، از بدو تولد ریاضیات به عنوان یک علم، مدت زمان طولانیموضوع اصلی مطالعه جبر بود. و امروزه در درس ریاضیات از مرحله اول آموزش به حل معادلات در انواع مختلف توجه زیادی می شود.

هیچ فرمول جهانی برای یافتن ریشه یک معادله جبری درجه n وجود ندارد. البته خیلی ها این ایده وسوسه انگیز را پیدا کردند که برای هر مدرکی پیدا کنند nفرمول هایی که ریشه های معادله را بر حسب ضرایب آن بیان می کنند، یعنی معادله را بر حسب رادیکال حل می کنند. با این حال ، "قرون وسطی تاریک" در رابطه با مشکل مورد بحث تا حد ممکن تیره و تار بود - برای هفت قرن تمام هیچ کس فرمول های لازم را پیدا نکرد! فقط در قرن شانزدهم، ریاضیدانان ایتالیایی موفق شدند فراتر بروند - برای یافتن فرمول هایی برای n =3 و n =4 . در همان زمان، Scipio Dal Ferro، شاگردش Fiori و Tartaglia به مسئله حل کلی معادلات درجه 3 پرداختند. در سال 1545 کتاب ریاضیدان ایتالیایی دی کاردانو "هنر بزرگ یا در مورد قوانین جبر" منتشر شد که در آن در کنار سایر مسائل جبر، روش های کلی برای حل معادلات مکعبی و همچنین روشی برای حل در نظر گرفته شده است. معادلات درجه 4 که توسط شاگردش ال. فراری کشف شد. ارائه کامل مسائل مربوط به حل معادلات درجه 3 و 4 توسط F. Viet ارائه شد. و در دهه 20 قرن 19، ریاضیدان نروژی N. Abel ثابت کرد که ریشه معادلات درجه 5 و بالاتر را نمی توان از طریق رادیکال ها بیان کرد.

فرآیند یافتن راه حل برای یک معادله معمولاً شامل جایگزینی معادله با معادله است. جایگزینی معادله با معادل بر اساس کاربرد چهار اصل است:

1. اگر مقادیر مساوی به همان عدد افزایش یابد، نتایج برابر خواهد بود.

2. اگر همان عدد از مقادیر مساوی کم شود، نتایج برابر خواهد بود.

3. اگر مقادیر مساوی در یک عدد ضرب شوند، نتایج برابر خواهند بود.

4. اگر مقادیر مساوی بر یک عدد تقسیم شوند، نتایج برابر خواهند بود.

از آنجایی که سمت چپ معادله P(x) = 0 یک چند جمله ای درجه n است، یادآوری جملات زیر مفید است:

جملاتی در مورد ریشه های یک چند جمله ای و مقسوم علیه های آن:

1. چند جمله ای درجه n دارای تعدادی ریشه است که از عدد n تجاوز نمی کند و ریشه های تعدد m دقیقاً m برابر است.

2. یک چند جمله ای با درجه فرد حداقل یک ریشه واقعی دارد.

3. اگر α ریشه Р(х) باشد، Р n (х) = (х - α)·Q n - 1 (x)، که در آن Q n - 1 (x) چند جمله ای درجه (n - 1) است. .

4. هر ریشه صحیح یک چند جمله ای با ضرایب صحیح مقسوم علیه جمله آزاد است.

5. یک چند جمله ای کاهش یافته با ضرایب صحیح نمی تواند ریشه های گویا کسری داشته باشد.

6. برای چند جمله ای درجه سوم

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d یکی از دو چیز ممکن است: یا به حاصل ضرب سه دوجمله ای تجزیه می شود.

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ) یا به حاصل ضرب یک دو جمله ای و یک مثلث مربع P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x 2 + βx + γ).

7. هر چند جمله ای درجه چهارم به حاصل ضرب دو مثلث مربع منبسط می شود.

9. برای اینکه چند جمله ای P(x) بر دو جمله ای (x – c) تقسیم شود، لازم و کافی است که c ریشه P(x) باشد (نتیجه قضیه بزوت).

10. قضیه ویتا: اگر x 1، x 2، ...، x n ریشه های واقعی چند جمله ای باشند.

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n، سپس برابری های زیر برقرار است:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0،

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0.

حل نمونه ها

مثال 1 . پس از تقسیم P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 بر (x - 1/3) باقیمانده را پیدا کنید.

تصمیم گیری با توجه به نتیجه قضیه بزوت: "باقی مانده تقسیم یک چند جمله ای بر یک دو جمله ای (x - c) برابر است با مقدار چند جمله ای در c." بیایید P(1/3) = 0 را پیدا کنیم. بنابراین، باقیمانده 0 و عدد 1/3 ریشه چند جمله ای است.

پاسخ: R = 0.

مثال 2 . "گوشه" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 را بر (x + 2) تقسیم کنید. باقیمانده و نصاب ناقص را بیابید.

تصمیم:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 - x

X 2 - 2x

پاسخ: R = 3; ضریب: 2x2 - x.

روشهای اساسی برای حل معادلات درجات بالاتر

1. معرفی یک متغیر جدید

روش معرفی یک متغیر جدید به این صورت است که برای حل معادله f (x) \u003d 0، یک متغیر جدید (جایگزینی) t \u003d x n یا t \u003d g (x) معرفی می شود و f (x) از طریق t بیان می شود. ، به دست آوردن یک معادله جدید r (t) . سپس با حل معادله r(t)، ریشه ها را پیدا کنید: (t 1 , t 2 , …, t n). پس از آن مجموعه ای از n معادله q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n به دست می آید که ریشه های معادله اصلی از آنها پیدا می شود.

مثال؛(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

راه حل: (x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

جایگزینی (x 2 + x + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. تعویض معکوس:

x 2 + x + 1 = 2 یا x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 \u003d 0 یا x 2 + x \u003d 0؛

از معادله اول: x 1، 2 = (-1 ± √5) / 2، از دوم: 0 و -1.

روش معرفی متغیر جدید در حل کاربرد دارد قابل برگشت معادلات، یعنی معادلاتی به شکل a 0 x n + a 1 x n - 1 + .. + a n - 1 x + a n \u003d 0، که در آن ضرایب عبارت های معادله از ابتدا و انتها به یک اندازه فاصله دارند. ، برابر هستند.

2. فاکتورسازی به روش گروه بندی و فرمول ضرب اختصاری

اساس این روش گروه بندی اصطلاحات به گونه ای است که هر گروه شامل یک عامل مشترک باشد. برای این کار گاهی باید از ترفندهای مصنوعی استفاده کرد.

مثال: x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

تصمیم گیری تصور کنید - 3x 2 \u003d -2x 2 - x 2 و گروه:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 یا x 2 + x - 3 \u003d 0.

در معادله اول هیچ ریشه ای وجود ندارد، از معادله دوم: x 1، 2 = (-1 ± √13) / 2.

3. فاکتورسازی به روش ضرایب نامعین

مثال: x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

تصمیم گیری یک چند جمله ای درجه 3 را می توان به حاصل ضرب ضرایب خطی و مربعی تجزیه کرد.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c)،

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b - a) x 2 + (c - ab) x - ac.

حل سیستم:

ما گرفتیم

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

ریشه های معادله (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 به راحتی پیدا می شود.

پاسخ 1؛ -2.

4. روش انتخاب ریشه با ضریب بالاتر و آزاد

این روش مبتنی بر کاربرد قضایای زیر است:

1) هر ریشه صحیح چند جمله ای با ضرایب صحیح مقسوم علیه جمله آزاد است.

2) برای اینکه کسر تقلیل ناپذیر p / q (p یک عدد صحیح است، q یک طبیعی است) ریشه یک معادله با ضرایب صحیح باشد، لازم است که عدد p یک مقسوم‌کننده صحیح عبارت آزاد a 0 باشد. و q مقسوم علیه طبیعی بالاترین ضریب است.

مثال: 6x3 + 7x2 - 9x + 2 = 0.

تصمیم:

2: p = ± 1، ± 2

6: q = 1، 2، 3، 6.

از این رو p/q = 1±، 2±، 1/2 ±، 1/3 ±، 2/3 ±، 1/6 ±.

پاسخ: -2; 1/2; 1/3.

5. روش گرافیکی.

این روش شامل رسم نمودارها و استفاده از خصوصیات توابع است.

مثال: x 5 + x - 2 = 0

بیایید معادله را به شکل x 5 \u003d - x + 2 نشان دهیم. تابع y \u003d x 5 در حال افزایش است و تابع y \u003d - x + 2 در حال کاهش است. این بدان معنی است که معادله x 5 + x - 2 \u003d 0 دارای یک ریشه -1 است.

6. ضرب یک معادله در یک تابع.

گاهی اوقات حل یک معادله جبری با ضرب هر دو قسمت آن در یک تابع - یک چند جمله ای در مجهول - بسیار تسهیل می شود. در عین حال، باید به خاطر داشت که ریشه های اضافی ممکن است ظاهر شوند - ریشه های چند جمله ای که معادله با آن ضرب شده است. بنابراین یا باید در چند جمله ای که ریشه ندارد ضرب کرد و معادله ای معادل به دست آورد یا در چند جمله ای با ریشه ضرب کرد و سپس هر یک از این ریشه ها را جایگزین معادله اصلی کرد و مشخص کرد که آیا این عدد ریشه آن است یا خیر.

مثال. معادله را حل کنید:

ایکس 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1 = 0. (1)

تصمیم: با ضرب دو طرف معادله در چند جمله ای X 2 + 1 که ریشه ندارد، معادله به دست می آید:

(X 2 + 1) (X 8 - X 6 + X 4 - X 2 + 1) \u003d 0 (2)
معادل معادله (1). معادله (2) را می توان به صورت زیر نوشت:

X 10 + 1 = 0 (3)
واضح است که معادله (3) ریشه واقعی ندارد، بنابراین معادله (1) آنها را ندارد.

پاسخ: هیچ راه حلی وجود ندارد

علاوه بر روش های فوق برای حل معادلات درجات بالاتر، روش های دیگری نیز وجود دارد. به عنوان مثال، انتخاب یک مربع کامل، طرح هورنر، نمایش یک کسر به صورت دو کسر. از روش‌های کلی برای حل معادلات درجات بالاتر که بیشتر مورد استفاده قرار می‌گیرند، از روش‌های فاکتورگیری سمت چپ معادله به فاکتورها استفاده می‌کنند.

روش جایگزینی متغیر (روش معرفی متغیر جدید)؛ راه گرافیکی این روش ها را هنگام مطالعه مبحث کل معادله و ریشه های آن به دانش آموزان پایه نهم معرفی می کنیم. در کتاب درسی جبر 9 (نویسندگان Yu.N. Makarychev، N.G. Mindyuk و دیگران) آخرین سال های انتشار، روش های اصلی برای حل معادلات درجات بالاتر با جزئیات کافی در نظر گرفته شده است. علاوه بر این، در بخش "برای کسانی که می خواهند بیشتر بدانند"، به نظر من، مطالب به روشی در دسترس در مورد استفاده از قضایا در ریشه یک چند جمله ای و ریشه های عدد صحیح کل معادله هنگام حل معادلات بالاتر ارائه شده است. درجه. دانش آموزانی که به خوبی آماده شده اند این مطالب را با علاقه مطالعه می کنند و سپس معادلات حل شده را به همکلاسی های خود ارائه می دهند.

تقریباً هر چیزی که ما را احاطه کرده است، به نوعی با ریاضیات مرتبط است. دستاوردهای فیزیک، مهندسی، فناوری اطلاعات فقط این را تایید می کند. و آنچه بسیار مهم است - حل بسیاری از مسائل عملی به حل انواع مختلفی از معادلات می رسد که باید یاد بگیرید چگونه حل کنید.

متن اثر بدون تصویر و فرمول قرار داده شده است.
نسخه کامل اثر در سربرگ «فایل های شغلی» با فرمت PDF موجود است

معرفی

حل معادلات جبری درجات بالاتر با یک مجهول یکی از دشوارترین و قدیمی ترین مسائل ریاضی است. برجسته ترین ریاضیدانان دوران باستان با این مسائل سروکار داشتند.

حل معادلات درجه n یک کار مهم برای ریاضیات مدرن نیز هست. علاقه به آنها بسیار زیاد است، زیرا این معادلات ارتباط نزدیکی با جستجوی ریشه معادلاتی دارد که توسط برنامه درسی مدرسه در ریاضیات در نظر گرفته نشده است.

مسئله:فقدان مهارت در حل معادلات درجات بالاتر به روش های مختلف در بین دانش آموزان مانع از آمادگی آنها برای گواهینامه نهایی در المپیادهای ریاضی و ریاضی، آموزش در کلاس تخصصی ریاضی می شود.

حقایق فوق مشخص شد ارتباطاز کار ما "حل معادلات درجات عالی".

در اختیار داشتن ساده ترین روش ها برای حل معادلات درجه n، زمان انجام کار را که نتیجه کار و کیفیت فرآیند یادگیری به آن بستگی دارد، کاهش می دهد.

هدف، واقعگرایانه:بررسی روش های شناخته شده برای حل معادلات درجات بالاتر و شناسایی در دسترس ترین آنها برای کاربرد عملی.

بر اساس این هدف، موارد زیر وظایف:

برای مطالعه ادبیات و منابع اینترنتی در مورد این موضوع؛

با حقایق تاریخی مرتبط با این موضوع آشنا شوید؛

روش های مختلف حل معادلات درجات بالاتر را شرح دهید

درجه سختی هر یک از آنها را مقایسه کنید.

آشنایی همکلاسی ها با روش های حل معادلات درجات بالاتر.

مجموعه ای از معادلات برای کاربرد عملی هر یک از روش های در نظر گرفته شده ایجاد کنید.

موضوع مطالعه- معادلات درجات بالاتر با یک متغیر.

موضوع مطالعه- روش های حل معادلات درجات بالاتر.

فرضیه:هیچ راه کلی و یک الگوریتم منفرد وجود ندارد که امکان یافتن جواب معادلات درجه n را در تعداد محدودی از مراحل فراهم کند.

روش های پژوهش:

- روش کتابشناختی (تحلیل ادبیات موضوع تحقیق)؛

- روش طبقه بندی؛

- روش تحلیل کیفی

اهمیت نظریتحقیق شامل سیستم‌بندی روش‌هایی برای حل معادلات درجات بالاتر و توصیف الگوریتم‌های آنهاست.

اهمیت عملی- مطالب ارائه شده در مورد این موضوع و توسعه یک کمک آموزشی برای دانش آموزان در این موضوع.

1. معادلات قدرت های بالاتر

1.1 مفهوم معادله درجه n

تعریف 1.معادله درجه n معادله ای از فرم است

آ 0 xⁿ+a 1 ایکس n -1 +a 2 x - ²+…+a n -1 x+a n = 0، جایی که ضرایب آ 0, آ 1, آ 2…, آ n -1, آ n - هر عدد واقعی، و ،آ 0 ≠ 0 .

چند جمله ای آ 0 xⁿ+a 1 ایکس n -1 +a 2 x - ²+…+a n -1 x+a n چند جمله ای درجه n نامیده می شود. ضرایب با نام متمایز می شوند: آ 0 - ضریب ارشد; آ n یک عضو رایگان است.

تعریف 2. راه حل ها یا ریشه های یک معادله داده شدههمه مقادیر متغیر هستند ایکس، که این معادله را به یک برابری عددی واقعی یا برای آن چند جمله ای تبدیل می کند آ 0 xⁿ+a 1 ایکس n -1 +a 2 x - ²+…+a n -1 x+a n به صفر می رسد. چنین مقدار متغیری ایکسریشه چند جمله ای نیز نامیده می شود. حل یک معادله به معنای یافتن تمام ریشه های آن است یا اینکه هیچ یک از آنها وجود ندارد.

اگر یک آ 0 = 1، پس چنین معادله ای معادله گویا عدد صحیح کاهش یافته n نامیده می شود هفتمدرجه.

برای معادلات درجه سوم و چهارم فرمول های کاردانو و فراری وجود دارد که ریشه این معادلات را بر حسب رادیکال بیان می کند. معلوم شد که در عمل از آنها به ندرت استفاده می شود. بنابراین، اگر n ≥ 3، و ضرایب چند جمله ای اعداد واقعی دلخواه باشند، پیدا کردن ریشه های معادله کار آسانی نیست. اما در بسیاری از موارد خاص این مشکل تا انتها حل می شود. بیایید به برخی از آنها بپردازیم.

1.2 حقایق تاریخی حل معادلات درجات بالاتر

فرمول جهانی برای یافتن ریشه یک معادله جبری n-امینبدون مدرک البته بسیاری به این ایده وسوسه انگیز رسیدند که برای هر توان n فرمولی پیدا کنند که ریشه های معادله را بر حسب ضرایب آن بیان کند، یعنی معادله را بر حسب رادیکال حل کند.

فقط در قرن شانزدهم، ریاضیدانان ایتالیایی موفق شدند جلوتر حرکت کنند - برای یافتن فرمول هایی برای n \u003d 3 و n \u003d 4. در همان زمان، Scipio، Dahl، Ferro و شاگردانش Fiori و Tartaglia درگیر این سؤال بودند. حل کلی معادلات درجه 3.

در سال 1545 کتاب "هنر بزرگ یا در مورد قوانین جبر" از ریاضیدان ایتالیایی دی. حل معادلات درجه 4 که توسط شاگردش ال. فراری کشف شد.

شرح کامل سوالات مربوط به حل معادلات درجه 3 و 4 توسط F. Viet ارائه شده است.

در دهه 20 قرن 19، ریاضیدان نروژی N. Abel ثابت کرد که ریشه معادلات درجه پنجم را نمی توان از طریق رادیکال ها بیان کرد.

در طول مطالعه، مشخص شد که علم مدرن راه های زیادی برای حل معادلات درجه n می داند.

نتیجه جستجوی روش‌هایی برای حل معادلات درجات بالاتر که با روش‌های در نظر گرفته شده در برنامه درسی مدرسه قابل حل نیستند، روش‌هایی مبتنی بر کاربرد قضیه ویتا (برای معادلات درجه) است. n> 2)، قضایای بزوت، طرح های هورنر و همچنین فرمول کاردانو و فراری برای حل معادلات مکعب و کوارتیک.

در این مقاله روش‌هایی برای حل معادلات و انواع آن‌ها ارائه می‌شود که برای ما به یک کشف تبدیل شده‌اند. اینها عبارتند از - روش ضرایب نامشخص، تخصیص درجه کامل، معادلات متقارن.

2. حل معادلات یکپارچه توان های بالاتر با ضرایب یکپارچه

2.1 حل معادلات درجه 3. فرمول D. Cardano

معادلات فرم را در نظر بگیرید ایکس 3 +px+q=0.معادله کلی را به شکل زیر تبدیل می کنیم: ایکس 3 +px 2 +qx+r=0.بیایید فرمول مکعب جمع را بنویسیم. بیایید آن را به برابری اصلی اضافه کنیم و آن را جایگزین کنیم y. معادله را بدست می آوریم: y 3 + (q -) (y -) + (r - =0.پس از تحولات، داریم: y 2 +py + q=0.حالا بیایید دوباره فرمول مکعب مجموع را بنویسیم:

(a+b) 3 =a 3 + 3a 2 b+3ab 2 +b 3 = a 3 +b 3 + 3ab (a + b)،جایگزین کردن ( a+b) روی ایکس، معادله را بدست می آوریم ایکس 3 - 3abx - (a 3 +b 3) = 0. اکنون مشخص می شود که معادله اصلی معادل سیستم است: و با حل سیستم به دست می آید:

فرمولی برای حل معادله فوق درجه 3 بدست آورده ایم. نام کاردانو ریاضیدان ایتالیایی را بر خود دارد.

یک مثال را در نظر بگیرید. معادله را حل کنید: .

ما داریم آر= 15 و q= 124، سپس با استفاده از فرمول کاردانو ریشه معادله را محاسبه می کنیم

نتیجه گیری: این فرمول خوب است، اما برای حل تمام معادلات مکعب مناسب نیست. با این حال، حجیم است. بنابراین، در عمل به ندرت استفاده می شود.

اما کسی که به این فرمول تسلط دارد می تواند در حل معادلات درجه سه در امتحان از آن استفاده کند.

2.2 قضیه ویتا

از درس ریاضی، این قضیه را برای معادله درجه دوم می شناسیم، اما کمتر کسی می داند که برای حل معادلات درجات بالاتر نیز استفاده می شود.

معادله را در نظر بگیرید:

سمت چپ معادله را فاکتور بگیرید، تقسیم بر ≠ 0 کنید.

سمت راست معادله را به فرم تبدیل می کنیم

; از این نتیجه می توان برابری های زیر را در سیستم نوشت:

فرمول هایی که توسط Vieta برای معادلات درجه دوم به دست آمده و توسط ما برای معادلات درجه 3 نشان داده شده است، برای چند جمله ای های درجات بالاتر نیز صادق است.

بیایید معادله مکعب را حل کنیم:

نتیجه‌گیری: این روش برای دانش‌آموزان به اندازه کافی جهانی و آسان است، زیرا قضیه ویتا از برنامه درسی مدرسه برای n آشناست. = 2. در عین حال برای یافتن ریشه معادلات با استفاده از این قضیه، داشتن مهارت محاسباتی خوب ضروری است.

2.3 قضیه بزوت

این قضیه به افتخار ریاضیدان فرانسوی قرن هجدهم جی. بزوت نامگذاری شده است.

قضیه.اگر معادله آ 0 xⁿ+a 1 ایکس n -1 +a 2 x - ²+…+a n -1 x+a n = 0 که در آن همه ضرایب اعداد صحیح هستند و جمله آزاد با صفر متفاوت است، دارای یک ریشه صحیح است، سپس این ریشه یک مقسوم علیه جمله آزاد است.

با توجه به اینکه چند جمله ای درجه n در سمت چپ معادله قرار دارد، این قضیه تفسیر دیگری دارد.

قضیه.هنگام تقسیم یک چند جمله ای درجه n با توجه به ایکسبه یک دو جمله ای x-aباقیمانده برابر است با ارزش سود زمانی که x = a. (حرف آمی تواند نشان دهنده هر عدد واقعی یا خیالی باشد، یعنی. هر عدد مختلط).

اثبات:بگذار f(x) یک چند جمله ای دلخواه از درجه n را با توجه به متغیر x نشان می دهد، و اجازه دهید، زمانی که به یک دو جمله ای تقسیم می شود ( x-a) در خلوت اتفاق افتاد q(x) و در بقیه آر. بدیهی است که q(x)چند جمله ای وجود خواهد داشت (n - 1) درجه نسبتاً ایکس، و بقیه آریک مقدار ثابت خواهد بود، یعنی. مستقل از ایکس.

اگر باقیمانده آریک چند جمله ای درجه اول در x بود، پس این بدان معنی است که تقسیم انجام نشده است. بنابراین، آراز جانب ایکسوابسته نیست. با تعریف تقسیم، هویت را بدست می آوریم: f(x)=(x-a)q(x)+R.

تساوی برای هر مقدار x صادق است، بنابراین برای آن نیز صادق است x=a، ما گرفتیم: f(a)=(a-a)q(a)+R. نماد f(a) مقدار چند جمله ای f را نشان می دهد (ایکس) در x=a، q(a)یک مقدار را نشان می دهد q(x) در x=a.باقی مانده آرهمان طور که قبلا بود باقی ماند آراز جانب ایکسوابسته نیست. کار ( x-a) q(a) = 0از ضریب ( x-a) = 0،و ضریب q(a)یک عدد مشخص وجود دارد بنابراین، از برابری بدست می آوریم: f(a)=R، h.t.d.

مثال 1باقیمانده تقسیم چند جمله ای را پیدا کنید ایکس 3 - 3ایکس 2 + 6ایکس- 5 در هر دو جمله ای

ایکس- 2. با قضیه بزوت : R=f(2) = 23-322 + 62 -5=3. پاسخ: R= 3.

توجه داشته باشید که قضیه بزو به خودی خود چندان مهم نیست، بلکه به دلیل پیامدهای آن است. (پیوست 1)

اجازه دهید به بررسی برخی از روش‌های به کارگیری قضیه بزوت برای حل مسائل عملی بپردازیم. لازم به ذکر است که هنگام حل معادلات با استفاده از قضیه بزوت، لازم است:

همه مقسوم علیه های عدد صحیح عبارت آزاد را بیابید.

از این مقسوم‌کننده‌ها، حداقل یک ریشه معادله را پیدا کنید.

سمت چپ معادله را بر تقسیم کنید (ها);

حاصل ضرب مقسوم علیه و ضریب را در سمت چپ معادله بنویسید.

معادله حاصل را حل کنید.

مثال حل معادله x را در نظر بگیرید 3 + 4ایکس 2 + x - 6 = 0 .

راه حل: مقسوم علیه جمله آزاد ±1 را پیدا کنید ; ± 2; ± 3; ± 6. محاسبه مقادیر برای x= 1, 1 3 + 41 2 + 1-6=0. سمت چپ معادله را بر ( ایکس- 1). ما تقسیم را با یک "گوشه" انجام می دهیم، دریافت می کنیم:

نتیجه‌گیری: قضیه بزوت، یکی از راه‌هایی که در کار خود در نظر می‌گیریم، در برنامه فعالیت‌های فوق برنامه بررسی می‌شود. درک آن دشوار است، زیرا برای تسلط بر آن، باید تمام پیامدهای آن را بدانید، اما در عین حال، قضیه بزوت یکی از دستیاران اصلی دانش آموزان در امتحان است.

2.4 طرح هورنر

برای تقسیم یک چند جمله ای بر یک دو جمله ای x-αمی توانید از یک ترفند ساده خاص که توسط ریاضیدانان انگلیسی قرن هفدهم اختراع شد، استفاده کنید که بعدها طرح هورنر نامیده شد. طرح هورنر علاوه بر یافتن ریشه معادلات، محاسبه مقادیر آنها را آسانتر می کند. برای این کار باید مقدار متغیر را با چند جمله ای Pn جایگزین کرد (x)=a 0 xn+a 1 ایکس n-1 +a 2 x - ²+…++ a n -1 x+a n (یک)

تقسیم چند جمله ای (1) را بر دو جمله ای در نظر بگیرید ایکس-α.

ضرایب ضرایب ناقص b را بیان می کنیم 0 x - ¹+ ب 1 x - ²+ ب 2 x - ³+…+ bn -1 و بقیه rبر حسب ضرایب چند جمله ای Pn( ایکس) و شماره α. ب 0 =a 0 , ب 1 = α ب 0 +a 1 , ب 2 = α ب 1 +a 2 …, bn -1 =

= α bn -2 +a n -1 = α bn -1 +a n .

محاسبات بر اساس طرح هورنر در قالب جدول زیر ارائه شده است:

	آ 0	آ 1	آ 2 ,
	ب 0 =a 0	ب 1 = α ب 0 +a 1	ب 2 = α ب 1 +a 2		r=αب n-1 +a n

تا جایی که r=Pn(α)،پس α ریشه معادله است. به منظور بررسی اینکه آیا α یک ریشه چندگانه است، طرح هورنر را می توان از قبل برای ضریب b اعمال کرد. 0 x+ب 1 x+…+ bn -1 مطابق جدول اگر در ستون زیر bn -1 دوباره 0 می گیریم، بنابراین α یک ریشه چندگانه است.

مثالی را در نظر بگیرید: معادله را حل کنید ایکس 3 + 4ایکس 2 + x - 6 = 0.

اجازه دهید در سمت چپ معادله فاکتورگیری چند جمله ای در سمت چپ معادله، طرح هورنر را اعمال کنیم.

راه حل: مقسوم علیه جمله آزاد را پیدا کنید ± 1; ± 2; ± 3; ± 6.


				6 ∙ 1 + (-6) = 0

ضرایب ضرایب اعداد 1، 5، 6 و باقیمانده r = 0 است.

به معنای، ایکس 3 + 4ایکس 2 + ایکس - 6 = (ایکس - 1) (ایکس 2 + 5ایکس + 6) = 0.

از اینجا: ایکس- 1 = 0 یا ایکس 2 + 5ایکس + 6 = 0.

ایکس = 1, ایکس 1 = -2; ایکس 2 = -3. پاسخ: 1,- 2, - 3.

نتیجه گیری: بنابراین، در یک معادله، استفاده از دو روش مختلف برای فاکتورگیری چند جمله ای ها را نشان داده ایم. به نظر ما، طرح هورنر کاربردی ترین و اقتصادی ترین است.

2.5 حل معادلات درجه 4. روش فراری

شاگرد کاردانو، لودویک فراری، راهی برای حل معادله درجه 4 کشف کرد. روش فراری از دو مرحله تشکیل شده است.

مرحله I: معادله شکل به صورت حاصل ضرب دو مثلث مربع نشان داده می شود؛ این از این واقعیت ناشی می شود که معادله درجه 3 و حداقل یک جواب است.

مرحله دوم: معادلات حاصل با استفاده از فاکتورسازی حل می شوند، اما برای یافتن فاکتورگیری مورد نیاز باید معادلات مکعبی حل شوند.

ایده این است که معادلات را به صورت A 2 =B 2 نشان دهیم که در آن A = ایکس 2+s،

تابع خطی B از ایکس. سپس حل معادلات A = ± B باقی می ماند.

برای وضوح، معادله را در نظر بگیرید: درجه 4 را جدا می کنیم، دریافت می کنیم: برای هر دبیان یک مربع کامل خواهد بود. به دو طرف معادله ای که بدست می آوریم اضافه می کنیم

در سمت چپ یک مربع کامل است، شما می توانید انتخاب کنید دبه طوری که سمت راست (2) به مربع کامل تبدیل شود. تصور کنید که ما به این مهم دست یافته ایم. سپس معادله ما به شکل زیر است:

پیدا کردن ریشه بعداً دشوار نخواهد بود. برای انتخاب درست دلازم است که ممیز سمت راست (3) از بین برود، یعنی.

بنابراین برای پیدا کردن د، حل این معادله درجه 3 ضروری است. این معادله کمکی نامیده می شود حل کننده.

ما به راحتی می توانیم ریشه عدد صحیح حلول را پیدا کنیم: d= 1

با جایگزینی معادله به (1)، به دست می آوریم

نتیجه گیری: روش فراری جهانی، اما پیچیده و دست و پا گیر است. در عین حال، اگر الگوریتم حل روشن باشد، معادلات درجه 4 را می توان با این روش حل کرد.

2.6 روش ضرایب نامشخص

موفقیت در حل معادله درجه 4 به روش فراری بستگی به این دارد که آیا حلال را حل کنیم - معادله درجه 3 که همانطور که می دانیم همیشه امکان پذیر نیست.

ماهیت روش ضرایب نامعین این است که نوع عواملی که چند جمله ای معین به آن تجزیه می شود حدس زده می شود و ضرایب این ضرایب (همچنین چند جمله ای) با ضرب ضرایب و معادل سازی ضرایب در همان توان های ضرایب تعیین می شود. متغیر.

مثال: معادله را حل کنید:

فرض کنید سمت چپ معادله ما می تواند به دو مثلث مربع با ضرایب صحیح تجزیه شود به طوری که برابری یکسان درست باشد.

بدیهی است که ضرایب مقابل آنها باید برابر با 1 و ضرایب آزاد باید برابر با یک باشد. + 1، دیگری 1 دارد.

ضرایب روبرو ایکس. بیایید آنها را با علامت گذاری کنیم آو برای تعیین آنها، هر دو مثلثی را در سمت راست معادله ضرب می کنیم.

در نتیجه، دریافت می کنیم:

معادل سازی ضرایب در توان های یکسان ایکسدر سمت چپ و راست برابری (1)، سیستمی برای یافتن و بدست می آوریم

حل این سیستم، خواهیم داشت

پس معادله ما معادل معادله است

با حل آن به ریشه های زیر می رسیم: .

روش ضرایب نامعین مبتنی بر گزاره های زیر است: هر چند جمله ای درجه چهارم در معادله را می توان به حاصل ضرب دو چند جمله ای درجه دوم تجزیه کرد. دو چند جمله ای به طور یکسان مساوی هستند اگر و تنها در صورتی که ضرایب آنها در توان های یکسان برابر باشند ایکس.

2.7 معادلات متقارن

تعریف.اگر اولین ضرایب سمت چپ معادله با اولین ضرایب سمت راست برابر باشد، معادله ای متقارن نامیده می شود.

می بینیم که اولین ضرایب سمت چپ با اولین ضرایب سمت راست برابر است.

اگر چنین معادله ای دارای درجه فرد باشد، پس ریشه دارد ایکس= - 1. سپس، می توانیم درجه معادله را با تقسیم آن بر (( x+یک). معلوم می شود که هنگام تقسیم معادله متقارن بر ( x+ 1) یک معادله متقارن با درجه زوج به دست می آید. اثبات تقارن ضرایب در زیر ارائه شده است. (پیوست 6) وظیفه ما یادگیری نحوه حل معادلات متقارن با درجه زوج است.

به عنوان مثال: (1)

معادله (1) را حل می کنیم، تقسیم بر ایکس 2 (تا درجه متوسط) = 0.

اصطلاحات را با متقارن گروه بندی می کنیم

) + 3(ایکس+ . مشخص کن در= ایکس+ ، بیایید هر دو قسمت را مربع کنیم، بنابراین = در 2 پس 2( در 2 یا 2 در 2 + 3 با حل معادله، به دست می آوریم در = , در= 3. سپس، ما به جایگزینی برمی گردیم ایکس+ = و ایکس+ = 3. معادلات را بدست می آوریم و اولی جواب ندارد و دومی دو ریشه دارد. پاسخ:.

نتیجه‌گیری: این نوع معادلات اغلب با آن مواجه نمی‌شوید، اما اگر به آن برخورد کنید، بدون توسل به محاسبات دست و پا گیر به راحتی و به سادگی قابل حل است.

2.8 استخراج درجه کامل

معادله را در نظر بگیرید.

سمت چپ مکعب مجموع است (x + 1)، یعنی.

ریشه درجه سوم را از هر دو قسمت استخراج می کنیم: ، سپس به دست می آوریم

تنها ریشه کجاست.

نتایج مطالعه

در نتیجه کار به نتایج زیر رسیدیم:

با تشکر از تئوری مورد مطالعه، ما با روش های مختلف برای حل کل معادلات درجات بالاتر آشنا شدیم.

استفاده از فرمول کاردانو دشوار است و احتمال خطا در محاسبه را بالا می‌دهد.

- روش L. Ferrari اجازه می دهد تا حل معادله درجه چهارم را به یک مکعب کاهش دهیم.

- قضیه بزوت را می توان هم برای معادلات مکعبی و هم برای معادلات درجه چهارم استفاده کرد. هنگامی که برای حل معادلات به کار می رود، قابل درک تر و گویاتر است.

طرح هورنر به کاهش قابل توجه و ساده کردن محاسبات در حل معادلات کمک می کند. طرح هورنر علاوه بر یافتن ریشه ها، محاسبه مقادیر چند جمله ای در سمت چپ معادله را آسان تر می کند.

حل معادلات با روش ضرایب نامعین، حل معادلات متقارن، مورد توجه خاص بود.

در جریان کار تحقیقاتی مشخص شد که دانش آموزان در کلاس های انتخابی ریاضی از پایه نهم یا دهم و همچنین در دروس ویژه ریاضی مسافرتی با ساده ترین روش های حل معادلات با بالاترین درجه آشنا می شوند. مدارس این واقعیت در نتیجه نظرسنجی از معلمان ریاضیات در MBOU "دبیرستان شماره 9" و دانش آموزانی که علاقه فزاینده ای به موضوع "ریاضیات" نشان می دهند ثابت شد.

رایج ترین روش حل معادلات مقاطع بالاتر که در حل المپیاد، مسائل رقابتی و در نتیجه آمادگی دانش آموزان برای امتحانات با آن مواجه می شود، روش هایی است که مبتنی بر استفاده از قضیه بزوت، طرح هورنر و معرفی متغیر جدید است. .

نمایش نتایج کار تحقیقاتی، یعنی. راه حل معادلات که در برنامه درسی مدرسه در ریاضیات مطالعه نشده است، همکلاسی های علاقه مند.

نتیجه

با مطالعه ادبیات آموزشی و علمی، منابع اینترنتی در انجمن های آموزشی جوانان

در نظر گرفتن حل معادلات با یک متغیر درجه بالاتر از متغیر دوم.

درجه معادله P(x) = 0 درجه چند جمله ای P(x) است، یعنی. بزرگ ترین توان عبارات آن با ضریب غیر صفر.

قوانینی را که برای حل معادلات درجه بالاتر از دوم مورد نیاز است را به یاد بیاورید.

جملاتی در مورد ریشه های یک چند جمله ای و مقسوم علیه های آن:

1. چند جمله ای درجه n دارای تعدادی ریشه است که از عدد n تجاوز نمی کند و ریشه های تعدد m دقیقاً m برابر است.

2. یک چند جمله ای با درجه فرد حداقل یک ریشه واقعی دارد.

3. اگر α ریشه Р(х) باشد، Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x)، که در آن Q n – 1 (x) چند جمله ای درجه (n – 1) است. .

5. یک چند جمله ای کاهش یافته با ضرایب صحیح نمی تواند ریشه های گویا کسری داشته باشد.

6. برای چند جمله ای درجه سوم

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d یکی از دو چیز ممکن است: یا به حاصل ضرب سه دوجمله ای تجزیه می شود.

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ) یا به حاصل ضرب یک دو جمله ای و یک مثلث مربع P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x 2 + βx + γ).

7. هر چند جمله ای درجه چهارم به حاصل ضرب دو مثلث مربع منبسط می شود.

10. قضیه ویتا: اگر x 1، x 2، ...، x n ریشه های واقعی چند جمله ای باشند.

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n، سپس برابری های زیر برقرار است:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0،

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0.

حل نمونه ها

مثال 1

پس از تقسیم P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 بر (x - 1/3) باقیمانده را پیدا کنید.

تصمیم گیری

پاسخ: R = 0.

مثال 2

"گوشه" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 را بر (x + 2) تقسیم کنید. باقیمانده و نصاب ناقص را بیابید.

تصمیم:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 - x

X 2 - 2 x

پاسخ: R = 3; ضریب: 2x2 - x.

روشهای اساسی برای حل معادلات درجات بالاتر

1. معرفی یک متغیر جدید

مثال 1

(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

تصمیم:

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

جایگزینی (x 2 + x + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. تعویض معکوس:

x 2 + x + 1 = 2 یا x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 یا x 2 + x = 0;

پاسخ: از معادله اول: x 1، 2 = (-1 ± √5) / 2، از رابطه دوم: 0 و -1.

2. فاکتورسازی به روش گروه بندی و فرمول ضرب اختصاری

مثال 1

x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

تصمیم گیری

تصور کنید - 3x 2 = -2x 2 - x 2 و گروه:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 یا x 2 + x - 3 \u003d 0.

پاسخ: در معادله اول هیچ ریشه ای وجود ندارد، از معادله دوم: x 1, 2 \u003d (-1 ± √13) / 2.

3. فاکتورسازی به روش ضرایب نامعین

مثال 1

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

تصمیم گیری

یک چند جمله ای درجه 3 را می توان به حاصل ضرب ضرایب خطی و مربعی تجزیه کرد.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c)،

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.

حل سیستم:

(b – a = 4،
(c – ab = 5,
(-ac=2,

(a = -1،
(b=3،
(c = 2، به عنوان مثال

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

ریشه های معادله (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 به راحتی پیدا می شود.

پاسخ 1؛ -2.

4. روش انتخاب ریشه با ضریب بالاتر و آزاد

این روش مبتنی بر کاربرد قضایای زیر است:

1) هر ریشه صحیح یک چند جمله ای با ضرایب صحیح مقسوم علیه جمله آزاد است.

مثال 1

6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

تصمیم:

6: q = 1، 2، 3، 6.

از این رو p/q = 1±، 2±، 1/2 ±، 1/3 ±، 2/3 ±، 1/6 ±.

پاسخ: -2; 1/2; 1/3.

آیا هیچ سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه معادلات را حل کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی - ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

مقالات مرتبط