متوقف کردن! بیایید سعی کنیم این فرمول دست و پا گیر را درک کنیم.

در وهله اول باید اولین متغیر درجه با مقداری ضریب باشد. در مورد ما، این

در مورد ما اینطور است. همانطور که متوجه شدیم، به این معنی است که در اینجا درجه متغیر اول همگرا می شود. و متغیر دوم در درجه اول در جای خود قرار دارد. ضریب.

ما داریمش.

متغیر اول نمایی و متغیر دوم مربع و دارای ضریب است. این آخرین جمله در معادله است.

همانطور که می بینید، معادله ما در قالب یک فرمول با تعریف مطابقت دارد.

بیایید به بخش دوم (کلامی) تعریف نگاه کنیم.

ما دو مجهول داریم و. اینجا همگرا می شود.

بیایید همه شرایط را در نظر بگیریم. در آنها مجموع درجات مجهولات باید یکسان باشد.

مجموع توان ها برابر است.

مجموع توان ها برابر است با (at و at).

مجموع توان ها برابر است.

همانطور که می بینید، همه چیز مناسب است!

حالا بیایید تعریف معادلات همگن را تمرین کنیم.

تعیین کنید کدام یک از معادلات همگن هستند:

معادلات همگن - معادلات با اعداد:

بیایید معادله را جداگانه در نظر بگیریم.

اگر هر جمله را با بسط هر جمله تقسیم کنیم، به دست می آید

و این معادله کاملاً تحت تعریف معادلات همگن قرار می گیرد.

چگونه معادلات همگن را حل کنیم؟

مثال 2

بیایید معادله را بر تقسیم کنیم.

با توجه به شرایط ما، y نمی تواند برابر باشد. بنابراین، ما می توانیم با خیال راحت تقسیم کنیم

با جایگزین کردن، یک معادله درجه دوم ساده بدست می آوریم:

از آنجایی که این یک معادله درجه دوم کاهش یافته است، از قضیه Vieta استفاده می کنیم:

با انجام تعویض معکوس به جواب می رسیم

پاسخ:

مثال 3

معادله را بر (شرط) تقسیم کنید.

پاسخ:

مثال 4

پیدا کنید اگر.

در اینجا شما نیازی به تقسیم ندارید، بلکه باید ضرب کنید. کل معادله را در:

بیایید جایگزینی ایجاد کنیم و معادله درجه دوم را حل کنیم:

با انجام جایگزینی معکوس، پاسخ را دریافت می کنیم:

پاسخ:

حل معادلات مثلثاتی همگن.

حل معادلات مثلثاتی همگن با روش های حل توضیح داده شده در بالا تفاوتی ندارد. فقط در اینجا، در میان چیزهای دیگر، باید کمی مثلثات بدانید. و قادر به حل معادلات مثلثاتی (برای این شما می توانید بخش را بخوانید).

بیایید چنین معادلاتی را در مثالها در نظر بگیریم.

مثال 5

معادله را حل کنید.

ما یک معادله معمولی همگن را می بینیم: و مجهول هستند و مجموع توان آنها در هر جمله برابر است.

حل معادلات همگن مشابه دشوار نیست، اما قبل از تقسیم معادلات، این مورد را در نظر بگیرید که

در این حالت معادله به شکل زیر خواهد بود: اما سینوس و کسینوس نمی توانند همزمان با هم برابر باشند، زیرا با توجه به هویت مثلثاتی اولیه. بنابراین، می توانیم با خیال راحت آن را به موارد زیر تقسیم کنیم:

از آنجایی که معادله کاهش می یابد، پس طبق قضیه ویتا:

پاسخ:

مثال 6

معادله را حل کنید.

مانند مثال، باید معادله را بر تقسیم کنید. موردی را در نظر بگیرید که:

اما سینوس و کسینوس نمی توانند همزمان با هم برابر باشند، زیرا با توجه به هویت مثلثاتی اولیه. بنابراین.

بیایید یک جایگزین انجام دهیم و معادله درجه دوم را حل کنیم:

اجازه دهید جایگزین معکوس را انجام دهیم و پیدا کنیم و:

پاسخ:

حل معادلات نمایی همگن.

معادلات همگن به همان روشی حل می شوند که در بالا در نظر گرفته شد. اگر فراموش کرده اید که چگونه معادلات نمایی را حل کنید - به بخش مربوطه () نگاه کنید!

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 7

معادله را حل کنید

تصور کنید چگونه:

ما یک معادله همگن معمولی با دو متغیر و مجموع توان ها را می بینیم. بیایید معادله را به زیر تقسیم کنیم:

همانطور که می بینید، پس از جایگزینی، معادله درجه دوم داده شده را به دست می آوریم (در این مورد، نیازی به ترس از تقسیم بر صفر نیست - همیشه به شدت بزرگتر از صفر است):

طبق قضیه ویتا:

پاسخ: .

مثال 8

معادله را حل کنید

تصور کنید چگونه:

بیایید معادله را به زیر تقسیم کنیم:

بیایید جایگزینی ایجاد کنیم و معادله درجه دوم را حل کنیم:

ریشه شرایط را برآورده نمی کند. جایگزین معکوس می کنیم و پیدا می کنیم:

پاسخ:

معادلات همگن. سطح میانی

ابتدا با استفاده از مثالی از یک مشکل، اجازه دهید یادآوری کنم معادلات همگن چیست و حل معادلات همگن چیست؟

مشکل را حل کنید:

پیدا کنید اگر.

در اینجا می توانید به یک چیز عجیب توجه کنید: اگر هر عبارت را بر تقسیم کنیم، دریافت می کنیم:

یعنی اکنون هیچ جدا وجود ندارد و - اکنون مقدار مورد نظر متغیر در معادله است. و این یک معادله درجه دوم معمولی است که حل آن با استفاده از قضیه ویتا آسان است: حاصل ضرب ریشه ها برابر است و مجموع اعداد و.

پاسخ:

معادلات فرم

همگن نامیده می شود. یعنی این معادله ای است با دو مجهول که در هر جمله آنها مجموع توان این مجهولات یکسان است. برای مثال در مثال بالا این مقدار برابر است با. حل معادلات همگن با تقسیم بر یکی از مجهولات در این درجه انجام می شود:

و متعاقب آن تغییر متغیرها: . بنابراین، یک معادله درجه با یک مجهول بدست می آوریم:

اغلب با معادلات درجه دوم (یعنی درجه دوم) مواجه می شویم و می توانیم آنها را حل کنیم:

توجه داشته باشید که تقسیم (و ضرب) کل معادله بر یک متغیر تنها در صورتی امکان پذیر است که متقاعد شویم که این متغیر نمی تواند برابر با صفر باشد! به عنوان مثال، اگر از ما بخواهند پیدا کنیم، بلافاصله متوجه می شویم، زیرا تقسیم کردن غیرممکن است. در مواردی که این چندان واضح نیست، لازم است به طور جداگانه موردی که این متغیر برابر با صفر است بررسی شود. مثلا:

معادله را حل کنید.

تصمیم:

ما در اینجا یک معادله همگن معمولی را می بینیم: و مجهول هستند و مجموع توان آنها در هر جمله برابر است.

اما قبل از تقسیم بر و بدست آوردن معادله درجه دوم با احترام، باید موردی را در نظر بگیریم که چه زمانی. در این حالت، معادله به شکل زیر خواهد بود:، بنابراین، . اما سینوس و کسینوس نمی توانند همزمان برابر با صفر باشند، زیرا با توجه به هویت مثلثاتی اولیه:. بنابراین، می توانیم با خیال راحت آن را به موارد زیر تقسیم کنیم:

امیدوارم این راه حل کاملا واضح باشد؟ اگر نه، بخش را بخوانید. اگر مشخص نیست که از کجا آمده است، باید حتی زودتر - به بخش - برگردید.

خودتان تصمیم بگیرید:

1. پیدا کنید اگر.
2. پیدا کنید اگر.
3. معادله را حل کنید.

در اینجا به طور خلاصه حل معادلات همگن را مستقیماً می نویسم:

راه حل ها:

پاسخ: .

و در اینجا لازم است که تقسیم نشود، بلکه ضرب شود:

پاسخ:

اگر هنوز معادلات مثلثاتی را طی نکرده اید، می توانید از این مثال صرف نظر کنید.

از آنجایی که در اینجا باید بر آن تقسیم کنیم، ابتدا مطمئن می شویم که صد برابر با صفر نیست:

و این غیر ممکن است.

پاسخ: .

معادلات همگن. به طور خلاصه در مورد اصلی

حل تمام معادلات همگن به تقسیم بر یکی از مجهولات در درجه و تغییر بیشتر متغیرها تقلیل می یابد.

الگوریتم:

موضوع درس: "معادلات مثلثاتی همگن"

(کلاس 10 م)

هدف: معرفی مفهوم معادلات مثلثاتی همگن درجه I و II. الگوریتمی را برای حل معادلات مثلثاتی همگن با درجه I و II تدوین و کار کنید. آموزش حل معادلات مثلثاتی همگن درجه I و II به دانش آموزان. توسعه توانایی شناسایی الگوها، تعمیم. برانگیختن علاقه به موضوع، ایجاد حس همبستگی و رقابت سالم.

نوع درس: درسی در شکل گیری دانش جدید

فرم رفتار: کار گروهی.

تجهیزات: کامپیوتر، نصب چند رسانه ای

در طول کلاس ها

زمان سازماندهی

سلام دانش آموزان بسیج توجه.

در درس، یک سیستم رتبه بندی برای ارزیابی دانش (معلم سیستم ارزیابی دانش را توضیح می دهد، با پر کردن برگه ارزیابی توسط یک متخصص مستقل که توسط معلم از بین دانش آموزان انتخاب می شود). درس با ارائه همراه است. .

به روز رسانی دانش پایه

تکالیف قبل از درس توسط کارشناس و مشاوران مستقل بررسی و ارزیابی می شود و برگه ارزشیابی تکمیل می شود.

معلم تکالیف را خلاصه می کند.

معلم: ما مطالعه خود را در مورد موضوع "معادلات مثلثاتی" ادامه می دهیم. امروز در درس با نوع دیگری از معادلات مثلثاتی و روش های حل آنها آشنا می شویم و بنابراین آنچه را که یاد گرفته ایم تکرار می کنیم. همه انواع معادلات مثلثاتی وقتی حل می شوند به حل ساده ترین معادلات مثلثاتی تقلیل می یابند.

تکالیف انفرادی انجام شده در گروه بررسی می شود. دفاع از ارائه "حل ساده ترین معادلات مثلثاتی"

(کار گروه توسط کارشناس مستقل ارزیابی می شود)

انگیزه یادگیری.

معلم: ما باید روی حل جدول کلمات متقاطع کار کنیم. پس از حل آن، نام نوع جدیدی از معادلات را یاد خواهیم گرفت که امروز در درس حل آن را یاد خواهیم گرفت.

سوالات بر روی تابلو پیش بینی می شود. دانش‌آموزان حدس می‌زنند، یک کارشناس مستقل امتیازاتی را در برگه امتیاز برای دانش‌آموزانی که پاسخ می‌دهند وارد می‌کند.

پس از حل جدول کلمات متقاطع، بچه ها کلمه "همگن" را می خوانند.

جذب دانش جدید.

معلم: موضوع درس «معادلات مثلثاتی همگن» است.

موضوع درس را در یک دفترچه بنویسیم. معادلات مثلثاتی همگن درجه یک و دو هستند.

اجازه دهید تعریف یک معادله همگن درجه اول را بنویسیم. من از مثالی برای نشان دادن جواب این نوع معادله استفاده می کنم، شما یک الگوریتم برای حل یک معادله مثلثاتی همگن درجه یک می سازید.

معادله نوع آ sinx + ب cosx = 0 معادله مثلثاتی همگن درجه اول نامیده می شود.

حل معادله را در هنگام ضرایب در نظر بگیرید آو که درمتفاوت از 0

مثال: sinx + cosx = 0

آر از تقسیم هر دو قسمت معادله بر ترم بر cosx، به دست می‌آییم

توجه! تقسیم بر 0 فقط در صورتی امکان پذیر است که این عبارت در هیچ کجا به 0 تبدیل نشود بیایید تجزیه و تحلیل کنیم. اگر کسینوس 0 باشد، سینوس نیز 0 خواهد بود، با توجه به اینکه ضرایب با 0 متفاوت است، اما می دانیم که سینوس و کسینوس در نقاط مختلف ناپدید می شوند. بنابراین در هنگام حل این نوع معادله می توان این عمل را انجام داد.

الگوریتم حل معادله مثلثاتی همگن درجه اول: تقسیم هر دو قسمت معادله بر cosx، cosx 0

معادله نوع آ sin mx +ب cos mx = 0آنها همچنین یک معادله مثلثاتی همگن درجه یک می نامند و همچنین تقسیم هر دو قسمت معادله را بر کسینوس mx حل می کنند.

معادله نوع آ گناه 2 x +ب سینکس کاکس +ج cos2x = 0معادله مثلثاتی همگن درجه دوم نامیده می شود.

مثال : گناه 2 x + 2sinx cosx - 3cos 2 x=0

ضریب a با 0 متفاوت است و بنابراین مانند رابطه قبلی cosx برابر با 0 نیست و بنابراین می توانید از روش تقسیم هر دو قسمت معادله بر cos 2 x استفاده کنید.

ما tg 2 x + 2tgx - 3 = 0 را دریافت می کنیم

ما با معرفی یک متغیر جدید اجازه دهید tgx = a را حل می کنیم، سپس معادله را بدست می آوریم

a 2 + 2a - 3 = 0

D \u003d 4 - 4 (-3) \u003d 16

a 1 = 1 a 2 = -3

بازگشت به جایگزینی

پاسخ:

اگر ضریب a \u003d 0 باشد، معادله به شکل 2sinx cosx - 3cos2x \u003d 0 خواهد بود، با خارج کردن عامل مشترک cosx از پرانتز آن را حل می کنیم. اگر ضریب c \u003d 0 باشد ، معادله به شکل sin2x + 2sinx cosx \u003d 0 خواهد بود ، با خارج کردن عامل مشترک sinx از پرانتز آن را حل می کنیم. الگوریتم حل معادله مثلثاتی همگن درجه اول:

ببینید آیا عبارت asin2 x در معادله است.

اگر عبارت asin2 x در معادله موجود باشد (یعنی a 0)، معادله با تقسیم دو طرف معادله بر cos2x و سپس معرفی یک متغیر جدید حل می‌شود.

اگر عبارت asin2 x در معادله موجود نباشد (یعنی a = 0)، معادله با روش فاکتورگیری حل می شود: cosx از براکت ها خارج می شود. معادلات همگن a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 به همین ترتیب حل می‌شوند.

الگوریتم حل معادلات مثلثاتی همگن در کتاب درسی صفحه 102 نوشته شده است.

دقیقه تربیت بدنی

شکل گیری مهارت برای حل معادلات مثلثاتی همگن

باز کردن کتاب های مشکل صفحه 53

تصمیم گروه 1 و 2 به شماره 361-ج

تصمیم گروه 3 و 4 شماره 363-v

راه حل را روی تخته نشان دهید، توضیح دهید، تکمیل کنید. یک کارشناس مستقل ارزیابی می کند.

حل مثال از کتاب مسئله شماره 361-ج
sinx - 3cosx = 0
هر دو طرف معادله را بر cosx 0 تقسیم می کنیم، به دست می آوریم

شماره 363-v
sin2x + sinxcosx - 2cos2x = 0
هر دو طرف معادله را بر cos2x تقسیم می کنیم، tg2x + tgx - 2 = 0 به دست می آید.

با معرفی یک متغیر جدید حل کنید
اجازه دهید tgx = a، سپس معادله را بدست می آوریم
a2 + a - 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = -2
بازگشت به جایگزینی

کار مستقل.

حل معادلات

2 cos - 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

در پایان کار مستقل، کار و تأیید متقابل تغییر می کند. پاسخ های صحیح روی تابلو نمایش داده می شود.

سپس به یک کارشناس مستقل تحویل داده می شوند.

راه حل خودت انجام بده

جمع بندی درس.

با چه نوع معادلات مثلثاتی در درس مواجه شدیم؟

الگوریتم حل معادلات مثلثاتی درجه یک و دو.

مشق شب: § 20.3 خوانده شده شماره 361 (d)، 363 (b)، افزایش دشواری علاوه بر این شماره 380 (a).

جدول کلمات متقاطع

اگر کلمات را درست وارد کنید، نام یکی از انواع معادلات مثلثاتی به دست می آید.

مقدار متغیری که معادله را به یک برابری واقعی تبدیل می کند؟ (ریشه)

واحد زاویه؟ (رادیان)

ضریب عددی در محصول؟ (ضریب)

شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه توابع مثلثاتی می پردازد؟ (مثلثات)

برای معرفی توابع مثلثاتی به چه مدل ریاضی نیاز است؟ (دایره)

کدام یک از توابع مثلثاتی زوج است؟ (کسینوس)

برابری واقعی چیست؟ (هویت)

برابری با یک متغیر؟ (معادله)

معادلاتی که ریشه های یکسانی دارند؟ (معادل)

مجموعه ریشه های معادله ? (تصمیم)

مقاله ارزشیابی

№
n\n

نام خانوادگی، نام معلم

مشق شب

ارائه

فعالیت شناختی
مطالعه

حل معادلات

مستقل
کار

تکالیف - 12 امتیاز (3 معادله 4 x 3 = 12 برای تکالیف داده شد)

ارائه - 1 امتیاز

فعالیت دانش آموز - 1 پاسخ - 1 امتیاز (حداکثر 4 امتیاز)

حل معادلات 1 امتیاز

کار مستقل - 4 امتیاز

امتیاز گروه:

"5" - 22 امتیاز یا بیشتر
"4" - 18 - 21 امتیاز
"3" - 12 - 17 امتیاز

معادلات غیر خطی در دو مجهول

تعریف 1. بگذارید A مقداری باشد مجموعه ای از جفت اعداد (ایکس; y) . می گویند مجموعه A داده شده است تابع عددی z از دو متغیر x و y اگر قاعده ای مشخص شده باشد که به کمک آن به هر جفت اعداد از مجموعه A عدد معینی اختصاص داده شود.

تعیین یک تابع عددی z از دو متغیر x و y اغلب است تعیین کنندبنابراین:

جایی که f (ایکس , y) - هر تابعی غیر از تابع

f (ایکس , y) = تبر + توسط + ج ,

که در آن a، b، c اعداد داده شده است.

تعریف 3. حل معادله (2).یک جفت عدد نام ببرید ایکس; y) ، که برای آن فرمول (2) یک برابری واقعی است.

مثال 1. معادله را حل کنید

از آنجایی که مجذور هر عددی غیرمنفی است، از فرمول (4) نتیجه می شود که مجهولات x و y سیستم معادلات را برآورده می کنند.

که حل آن یک جفت اعداد (6 ; 3) است.

پاسخ: (6؛ 3)

مثال 2. معادله را حل کنید

بنابراین جواب معادله (6) می باشد تعداد نامتناهی جفت اعدادنوع

(1 + y ; y) ,

جایی که y هر عددی است.

خطی

تعریف 4. حل سیستم معادلات

یک جفت عدد نام ببرید ایکس; y) با جایگزینی آنها در هر یک از معادلات این سیستم، برابری صحیح را بدست می آوریم.

سیستم های دو معادله که یکی از آنها خطی است، شکل دارند

g(ایکس , y)

مثال 4. حل یک سیستم معادلات

تصمیم . اجازه دهید مجهول y را از معادله اول سیستم (7) بر حسب مجهول x بیان کنیم و عبارت حاصل را با معادله دوم سیستم جایگزین کنیم:

حل معادله

ایکس 1 = - 1 , ایکس 2 = 9 .

از این رو،

y 1 = 8 - ایکس 1 = 9 ,
y 2 = 8 - ایکس 2 = - 1 .

سیستم های دو معادله که یکی از آنها همگن است

سیستم های دو معادله، که یکی از آنها همگن است، شکل دارند

که در آن a، b، c اعداد و g(ایکس , y) تابعی از دو متغیر x و y است.

مثال 6. حل یک سیستم معادلات

تصمیم . بیایید معادله همگن را حل کنیم

3ایکس 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3ایکس 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

در نظر گرفتن آن به عنوان یک معادله درجه دوم با توجه به مجهول x:

.

در صورتی که ایکس = - 5y، از معادله دوم سیستم (11) معادله را بدست می آوریم

5y 2 = - 20 ,

که ریشه ندارد

در صورتی که

از معادله دوم سیستم (11) معادله را بدست می آوریم

,

که ریشه آن اعداد است y 1 = 3 , y 2 = - 3 . با یافتن هر یک از این مقادیر y مقدار متناظر x، دو راه حل برای سیستم به دست می آوریم: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

پاسخ: (- 2 ؛ 3) ، (2 ؛ - 3)

نمونه هایی از حل سیستم های معادلات از انواع دیگر

مثال 8. حل سیستم معادلات (MIPT)

تصمیم . مجهولات جدید u و v را معرفی می کنیم که با فرمول های x و y بیان می شوند:

برای بازنویسی سیستم (12) بر حسب مجهولات جدید، ابتدا مجهولات x و y را بر حسب u و v بیان می کنیم. از سیستم (13) چنین بر می آید که

سیستم خطی (14) را با حذف متغیر x از معادله دوم این سیستم حل می کنیم. برای این منظور، تبدیل‌های زیر را روی سیستم (14) انجام می‌دهیم:

• ما معادله اول سیستم را بدون تغییر رها می کنیم.
• معادله اول را از معادله دوم کم کنید و معادله دوم سیستم را با اختلاف حاصل جایگزین کنید.

در نتیجه سیستم (14) به یک سیستم معادل تبدیل می شود

که از آن می یابیم

با استفاده از فرمول های (13) و (15)، سیستم اصلی (12) را بازنویسی می کنیم

معادله اول سیستم (16) خطی است، بنابراین می توانیم مجهول u را از آن بر حسب مجهول v بیان کنیم و این عبارت را جایگزین معادله دوم سیستم کنیم.

در این مقاله روشی برای حل معادلات مثلثاتی همگن در نظر خواهیم گرفت.

معادلات مثلثاتی همگن ساختاری مشابه معادلات همگن از هر نوع دیگر دارند. اجازه دهید به شما یادآوری کنم که چگونه معادلات همگن درجه دوم را حل کنید:

معادلات همگن فرم را در نظر بگیرید

ویژگی های متمایز معادلات همگن:

الف) همه تک‌جملات دارای درجه یکسانی هستند،

ب) جمله آزاد برابر با صفر است،

ج) معادله دارای توانهایی با دو پایه متفاوت است.

معادلات همگن با الگوریتم مشابه حل می شوند.

برای حل این نوع معادله، هر دو طرف معادله را بر (قابل تقسیم بر یا بر) تقسیم کنید.

توجه! هنگام تقسیم سمت راست و چپ معادله به عبارتی حاوی مجهول، می توانید ریشه ها را از دست بدهید. بنابراین باید بررسی کرد که آیا ریشه های عبارتی که هر دو قسمت معادله را با آن تقسیم می کنیم، ریشه معادله اصلی هستند یا خیر.

اگر اینطور است، پس این ریشه را می نویسیم تا بعداً آن را فراموش نکنیم و سپس بر اساس این عبارت تقسیم می کنیم.

به طور کلی، اولین کاری که باید هنگام حل هر معادله ای با یک صفر در سمت راست انجام دهید این است که سعی کنید سمت چپ معادله را به هر طریق ممکن فاکتورسازی کنید. و سپس هر فاکتور را صفر کنید. در این صورت قطعاً ریشه ها را از دست نخواهیم داد.

بنابراین، سمت چپ معادله را با دقت به عبارت عبارت به ترم تقسیم کنید. ما گرفتیم:

صورت و مخرج کسرهای دوم و سوم را کم کنید:

بیایید جایگزینی را معرفی کنیم:

یک معادله درجه دوم بدست می آوریم:

معادله درجه دوم را حل می کنیم، مقادیر را پیدا می کنیم و سپس به مجهول اصلی برمی گردیم.

هنگام حل معادلات مثلثاتی همگن، باید چند نکته مهم را به خاطر بسپارید:

1. عبارت آزاد را می توان با استفاده از هویت مثلثاتی اصلی به مربع سینوس و کسینوس تبدیل کرد:

2. سینوس و کسینوس آرگومان مضاعف تک جمله های درجه دوم هستند - سینوس آرگومان دوگانه را می توان به راحتی به حاصل ضرب سینوس و کسینوس و کسینوس آرگومان دوگانه را به مربع سینوس یا کسینوس تبدیل کرد. :

چندین مثال از حل معادلات مثلثاتی همگن را در نظر بگیرید.

یکی . بیایید معادله را حل کنیم:

این یک مثال کلاسیک از یک معادله مثلثاتی همگن درجه اول است: درجه هر تک جمله برابر با یک، جمله آزاد برابر با صفر است.

قبل از تقسیم دو طرف معادله بر، لازم است بررسی شود که ریشه های معادله ریشه های معادله اصلی نیستند. بررسی کنید: if، سپس title="(!LANG:sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

دو طرف معادله را بر تقسیم کنید.

ما گرفتیم:

، جایی که

، جایی که

پاسخ: ، جایی که

2. بیایید معادله را حل کنیم:

این یک مثال از یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم است. به یاد می آوریم که اگر بتوانیم سمت چپ معادله را فاکتورسازی کنیم، این کار مطلوب است. در این معادله می توانیم براکت ها را خارج کنیم. بیایید آن را انجام دهیم:

حل معادله اول: کجا

معادله دوم یک معادله مثلثاتی همگن درجه یک است. برای حل آن، دو طرف معادله را بر تقسیم می کنیم. ما گرفتیم:

پاسخ: کجا

3 . بیایید معادله را حل کنیم:

برای اینکه این معادله "همگن" شود، آن را به یک حاصلضرب تبدیل می کنیم و عدد 3 را به عنوان مجموع مجذورهای سینوس و کسینوس نشان می دهیم:

همه عبارت ها را به سمت چپ منتقل می کنیم، براکت ها را باز می کنیم و عبارت های مشابه را می دهیم. ما گرفتیم:

اجازه دهید سمت چپ را فاکتور بگیریم و هر عامل را با صفر برابر کنیم:

پاسخ: کجا

4 . بیایید معادله را حل کنیم:

ما می بینیم که چه چیزی می توانیم براکت کنیم. بیایید آن را انجام دهیم:

هر عامل را برابر صفر قرار دهید:

حل معادله اول:

معادله مجموعه دوم یک معادله کلاسیک همگن درجه دوم است. ریشه های معادله ریشه های معادله اصلی نیستند، بنابراین هر دو طرف معادله را بر دو تقسیم می کنیم:

حل معادله اول:

حل معادله دوم

"عظمت انسان در توانایی او در تفکر است."
بلز پاسکال

اهداف درس:

1) آموزشی- آشنایی دانش آموزان با معادلات همگن، در نظر گرفتن روش هایی برای حل آنها، کمک به شکل گیری مهارت برای حل انواع معادلات مثلثاتی که قبلاً مورد مطالعه قرار گرفته اند.

2) آموزشی- توسعه فعالیت خلاق دانش آموزان، فعالیت شناختی آنها، تفکر منطقی، حافظه، توانایی کار در یک موقعیت مشکل، دستیابی به توانایی بیان صحیح، مداوم، منطقی افکار خود، گسترش افق دانش آموزان، بالا بردن سطح فرهنگ ریاضی آنها.

3) آموزشی- پرورش میل به خودسازی، کار سخت، ایجاد توانایی برای انجام صحیح و دقیق سوابق ریاضی، پرورش فعالیت، ترویج علاقه به ریاضیات.

نوع درس:ترکیب شده.

تجهیزات:

1. کارت های پانچ شده برای شش دانش آموز.
2. کارت هایی برای کار مستقل و فردی دانش آموزان.
3. مخفف "حل معادلات مثلثاتی"، "دایره واحد عددی".
4. جداول برق دار در مثلثات.
5. ارائه برای درس (پیوست 1).

در طول کلاس ها

1. مرحله سازمانی (2 دقیقه)

سلام متقابل؛ بررسی آمادگی دانش آموزان برای درس (محل کار، ظاهر)؛ سازمان توجه

معلم موضوع درس را به دانش آموزان می گوید (اسلاید 2)و توضیح می دهد که جزوه ای که روی میزها قرار دارد در طول درس استفاده می شود.

2. تکرار مطالب تئوری (15 دقیقه)

وظایف روی کارت های پانچ شده(6 نفر) . زمان کار بر روی کارت های پانچ - 10 دقیقه (ضمیمه 2)

با حل تکالیف، دانش آموزان یاد خواهند گرفت که محاسبات مثلثاتی در کجا اعمال می شود. پاسخ‌های زیر به دست می‌آیند: مثلث‌سازی (تکنیکی که امکان اندازه‌گیری فاصله تا ستاره‌های نزدیک را در نجوم می‌دهد)، آکوستیک، اولتراسوند، توموگرافی، ژئودزی، رمزنگاری.

(اسلاید 5)

نظرسنجی جلو

1. به چه معادلاتی مثلثاتی می گویند؟
2. چه نوع معادلات مثلثاتی را می شناسید؟
3. ساده ترین معادلات مثلثاتی به چه معادلاتی گفته می شود؟
4. به چه معادلاتی مثلثاتی درجه دوم می گویند؟
5. تعریف آرکسین a را فرموله کنید.
6. تعریف کسینوس قوس a را فرموله کنید.
7. تعریف مماس قوس a را فرموله کنید.
8. تعریف مماس معکوس a را فرموله کنید.

بازی "کلمه رمز را حدس بزنید"

بلز پاسکال زمانی گفت که ریاضیات آنقدر علم جدی است که نباید فرصتی را برای سرگرم کردن آن کمی از دست داد. پس پیشنهاد میکنم بازی کنید پس از حل مثال ها، دنباله ارقامی را که کلمه رمزگذاری شده با آن تشکیل شده است، تعیین کنید. در لاتین این کلمه به معنای "سینه" است. (اسلاید 3)

2) آرکتان (-√3)

4) tg(arc cos(1/2))

5) tg (قوس ctg √3)

پاسخ: خم شدن

بازی "ریاضیدان پراکنده»

وظایف کار شفاهی روی صفحه نمایش داده می شود:

صحت حل معادلات را بررسی کنید.(پاسخ صحیح بعد از پاسخ دانش آموز در اسلاید ظاهر می شود). (اسلاید 4)

	پاسخ هایی با خطا	پاسخ های درست
	x = ± π/6+2πn	x = ± π/3+2πn
	x = π/3+πn	ایکس = (-1) nπ/3+πn
tg x = π/4	x = 1 +πn	tg x \u003d 1، x \u003d π / 4 + πn
	x = ± π/6+ π n	x = ± π/6+2πn
	x \u003d (-1) n arcsin1 / 3 + 2πn	x \u003d (-1) n arcsin1 / 3 + pn
	x = ± π/6+2πn	x = ± 5π/6+2πn
cos x = π/3	x = ± 1/2 +2πn	cos x = 1/2، x = ± π/3+2πn

بررسی تکالیف

معلم صحت و آگاهی از تکالیف را توسط همه دانش آموزان مشخص می کند. شکاف های دانش را شناسایی می کند. دانش، مهارت و توانایی دانش آموزان در زمینه حل ساده ترین معادلات مثلثاتی را بهبود می بخشد.

1 معادله دانش آموز در مورد حل معادله که خطوط آن به ترتیب نظر در اسلاید ظاهر می شود نظر می دهد). (اسلاید 6)

√3tg2x = 1;

tg2x=1/√3;

2х= arctg 1/√3 +πn, n ∈ز.

2x \u003d π / 6 + πn، n ∈ز.

x \u003d π / 12 + π/2 n n ∈ز.

2 معادله. تصمیم گیری ساعتبرای دانش آموزان روی تخته نوشته شده است.

2 گناه 2 x + 3 cosx = 0.

3. به فعلیت رساندن دانش جدید (3 دقیقه)

دانش آموزان به درخواست معلم راه های حل معادلات مثلثاتی را به یاد می آورند. آنها معادلاتی را انتخاب می کنند که از قبل می دانند چگونه حل کنند، روش حل معادله و نتیجه را نام می برند. . پاسخ ها در اسلاید ظاهر می شوند. (اسلاید 7) .

معرفی یک متغیر جدید:

شماره 1. 2sin 2x - 7sinx + 3 = 0.

بگذارید sinx = t، سپس:

2t 2 – 7t + 3 = 0.

فاکتورسازی:

№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0;

cos4x(3sinx - 1) = 0;

cos4x = 0 یا 3 sinx - 1 = 0; …

شماره 3. 2 sinx - 3 cosx = 0،

شماره 4. 3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x \u003d 0.

معلم:شما هنوز نمی دانید که چگونه دو نوع معادله آخر را حل کنید. هر دو از یک نوع هستند. آنها را نمی توان به معادله ای برای توابع sinx یا cosx تقلیل داد. نامیده می شوند معادلات مثلثاتی همگناما فقط اولی یک معادله همگن درجه اول است و دومی یک معادله همگن درجه دوم است. امروز در درس با چنین معادلاتی آشنا می شوید و نحوه حل آنها را یاد می گیرید.

4. توضیح مطالب جدید (25 دقیقه)

معلم تعاریف معادلات مثلثاتی همگن را به دانش آموزان می دهد، راه های حل آنها را معرفی می کند.

تعریف.معادله ای به شکل a sinx + b cosx = 0 که a ≠ 0، b ≠ 0 نامیده می شود. معادله مثلثاتی همگن درجه اول.(اسلاید 8)

نمونه ای از چنین معادله ای معادله شماره 3 است. اجازه دهید شکل کلی معادله را بنویسیم و آن را تحلیل کنیم.

و sinx + b cosx = 0.

اگر cosx = 0، آنگاه sinx = 0.

- آیا چنین وضعیتی ممکن است رخ دهد؟

- نه ما یک تناقض با هویت مثلثاتی اصلی به دست آورده ایم.

بنابراین، cosx ≠ 0. بیایید تقسیم ترم به ترم را بر cosx انجام دهیم:

a tgx + b = 0

tgx = -b / aساده ترین معادله مثلثاتی است.

نتیجه:معادلات مثلثاتی همگن درجه اول با تقسیم دو طرف معادله بر cosx (sinx) حل می شوند.

مثلا: 2 sinx - 3 cosx = 0،

زیرا پس cosx ≠ 0

tgx = 3/2 ;

x = arctg (3/2) + πn، n ∈Z.

تعریف.معادله ای به شکل a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 که a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 نامیده می شود. معادله مثلثاتی درجه دوم (اسلاید 8)

یک مثال از چنین معادله ای معادله شماره 4 است. اجازه دهید شکل کلی معادله را بنویسیم و آن را تحلیل کنیم.

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

اگر cosx = 0، آنگاه sinx = 0.

باز هم با هویت مثلثاتی اصلی تناقض داشتیم.

بنابراین، cosx ≠ 0. بیایید تقسیم ترم به ترم را بر cos 2 x انجام دهیم:

و tg 2 x + b tgx + c = 0 یک معادله درجه دوم است.

نتیجه گیری: اوهمعادلات مثلثاتی همگن درجه دوم با تقسیم دو طرف معادله بر cos 2 x (sin 2 x) حل می شوند.

مثلا: 3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x \u003d 0.

زیرا cos 2 x ≠ 0، سپس

3tg 2 x - 4 tgx + 1 = 0 (از دانش آموز دعوت کنید تا به تخته سیاه برود و معادله را خودش کامل کند).

جایگزینی: tgx = y. 3y 2 - 4y + 1 = 0

D = 16 - 12 = 4

y 1 = 1 یا y 2 = 1/3

tgx=1 یا tgx=1/3

x = arctg (1/3) + πn، n ∈Z.

x = arctg1 + πn، n ∈Z.

x = π/4 + πn، n ∈Z.

5. مرحله بررسی درک دانش آموزان از مطالب جدید (1 دقیقه).

معادله اضافی را انتخاب کنید:

sinx=2cosx; 2sinx + cosx = 2;

√3sinx + cosx = 0; sin 2 x - 2 sinx cosx + 4cos 2 x \u003d 0;

4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0.

(اسلاید 9)

6. ادغام مواد جدید (24 دقیقه).

دانش آموزان، همراه با کسانی که در تخته سیاه پاسخ می دهند، معادلات مطالب جدید را حل می کنند. وظایف به شکل جدول در اسلاید نوشته می شود. هنگام حل معادله، قسمت مربوطه از تصویر روی اسلاید باز می شود. در نتیجه اجرای 4 معادله، تصویری از یک ریاضیدان که تأثیر بسزایی در توسعه مثلثات داشته است در برابر دانش آموزان باز می شود. (دانش آموزان پرتره فرانسوا ویتا را تشخیص می دهند - ریاضیدان بزرگی که سهم زیادی در مثلثات داشت، خاصیت ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته را کشف کرد و به رمزنگاری مشغول بود) . (اسلاید 10)

1) √3sinx + cosx = 0،

زیرا پس cosx ≠ 0

√3tgx + 1 = 0;

tgx = –1/√3;

х = arctg (–1/√3) + πn، n ∈Z.

x = –π/6 + πn، n∈Z.

2) sin 2 x - 10 sinx cosx + 21cos 2 x \u003d 0.

زیرا cos 2 x ≠ 0، سپس tg 2 x - 10 tgx + 21 = 0

جایگزینی: tgx = y.

y 2 - 10 y + 21 = 0

y 1 = 7 یا y 2 = 3

tgx=7 یا tgx=3

x = arctg7 + πn، n ∈Z

x = arctg3 + πn، n ∈Z

3) sin 2 2x - 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.

زیرا cos 2 2x ≠ 0، سپس 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0

جایگزینی: tg2x = y.

3 سال 2 - 6 سال + 5 = 0

D \u003d 36 - 20 \u003d 16

y 1 = 5 یا y 2 = 1

tg2x=5 یا tg2x=1

2x = arctg5 + πn، n ∈Z

x = 1/2 arctg5 + π/2 n، n ∈Z

2x = arctg1 + πn، n ∈Z

x = π/8 + π/2 n، n ∈Z

4) 6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx - sin 2 x - cos 2 x \u003d 0.

5sin 2 x + 4 sinx cosx - cos 2 x \u003d 0.

زیرا cos 2 x ≠0، سپس 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0

جایگزینی: tg x = y.

5 سال 2 + 4 سال - 1 = 0

D=16+20=36

y 1 = 1/5 یا y 2 = -1

tgx = 1/5 یا tgx = -1

x = arctg1/5 + πn، n ∈Z

x = arctg(–1) + πn، n∈Z

x = –π/4 + πn، n∈Z

موارد اضافی (روی کارت):

معادله را حل کنید و با انتخاب یک گزینه از چهار گزینه پیشنهادی، نام ریاضیدانی که فرمول های کاهش را به دست آورده است را حدس بزنید:

2sin 2 x - 3 sinx cosx - 5cos 2 x = 0.

گزینه های پاسخ:

х = arctg2 + 2πn، n ∈Z х = –π/2 + πn، n ∈Z – P. Chebyshev

x = آرکتان 12.5 + 2πn، n ∈Z x = -3π/4 + πn، n ∈Z - اقلیدس

х = arctg 5 + πn، n ∈Z х = –π/3 + πn، n ∈Z – سوفیا کووالفسکایا

x = arctg2.5 + πn، n ∈Z x = –π/4 + πn، n ∈Z – لئونارد اویلر

پاسخ صحیح: لئونارد اویلر.

7. کار مستقل متمایز (8 دقیقه)

ریاضیدان و فیلسوف بزرگ بیش از 2500 سال پیش راهی برای توسعه توانایی های ذهنی پیشنهاد کرد. او گفت: "تفکر با شگفتی آغاز می شود." ما امروز بارها به درستی این کلمات متقاعد شده ایم. پس از اتمام کار مستقل روی 2 گزینه، می توانید نحوه یادگیری مطالب را نشان دهید و نام این ریاضیدان را بدانید. برای کار مستقل، از جزوه ای که روی میزتان است استفاده کنید. شما می توانید یکی از سه معادله پیشنهادی را خودتان انتخاب کنید. اما به یاد داشته باشید که با حل معادله مربوط به زرد، فقط می توانید "3" را بدست آورید، حل معادله مربوط به سبز - "4"، قرمز - "5". (ضمیمه 3)

دانش آموزان هر سطحی از دشواری را انتخاب کنند، پس از حل صحیح معادله، گزینه اول کلمه "ARIST" را دریافت می کند، گزینه دوم - "HOTEL". در اسلاید کلمه به دست آمده است: "ARIST-HOTEL". (اسلاید 11)

جزوات با کار مستقل برای تأیید تحویل داده می شود. (ضمیمه 4)

8. ضبط تکالیف (1 دقیقه)

D/Z: §7.17. 2 معادله همگن درجه اول و 1 معادله همگن درجه دوم را بسازید و حل کنید (با استفاده از قضیه ویتا برای تدوین). (اسلاید 12)

9. جمع بندی درس، نمره گذاری (2 دقیقه)

معلم یک بار دیگر توجه را به آن دسته از معادلات جلب می کند و آن واقعیت های نظری که در درس به خاطر سپرده شد، از لزوم یادگیری آنها صحبت می کند.

دانش آموزان به سوالات پاسخ می دهند:

1. ما با چه نوع معادلات مثلثاتی آشنا هستیم؟
2. این معادلات چگونه حل می شوند؟

معلم موفق ترین کار را در درس تک تک دانش آموزان یادداشت می کند، نمره می دهد.