تفاهم نامه معلم ریاضی

"دبیرستان مولتانوفسکایا"

ماخانوا سامیگا گالیمژانوونا

با. M u l t a n o v o

فوریه 2011

موضوع درس:"عدد e. مشتق تابع نمایی".

هدف:مفهوم "نما"، "لگاریتم طبیعی" را معرفی کنید، مفهوم مشتق تابع نمایی y \u003d e x، تابع نمایی ضد مشتق را تشکیل دهید.

آموزشی:

تکرار و تعمیق دانش در مورد موضوع "تابع نمایی. ویژگی های تابع نمایی»؛

قوانین تمایز یک تابع را تکرار کنید.

دانش آموزان را با مفهوم "نما" (عدد e) آشنا کنید.

برای آشنایی دانش آموزان با فرمول های مشتق تابع نمایی y \u003d آ ایکس و y = a kx +b ;

فرمول تابع نمایی ضد مشتق را معرفی کنید.

برای تشکیل مهارت های محاسبه مشتق تابع نمایی با استفاده از قوانین و فرمول های تمایز.

در حال توسعه:

توسعه و بهبود کاربرد قوانین تمایز

برای تابع نمایی؛

به دانش آموزان آموزش استفاده از فناوری اطلاعات الکترونیکی در تدریس و آمادگی برای درس ریاضیات.

بهبود فرهنگ گرافیکی دانش آموزان؛

ارتقای مهارت های انجام خودارزیابی فعالیت های آموزشی.

آموزشی:

ایجاد انگیزه مثبت برای دانش آموزان برای درس ریاضی از طریق مشارکت دادن همه در فعالیت های فعال.

برای آموزش نیاز به ارزیابی فعالیت های خود و کار رفقا؛

برای کمک به درک ارزش های کار تیمی؛

برای آموزش دانش آموزان به دقت، فرهنگ گفتار ریاضی.

تجهیزات برای درس:

کلاس کامپیوتر (8 لپ تاپ + 1 لپ تاپ برای نمایش)، پروژکتور، ارائه، جزوات.

در طول کلاس ها:

سازماندهی درس، اعلام موضوع و هدف درس:

امروز در درس ما یک مبحث جدید "مشتق تابع نمایی" را مطالعه می کنیم. هدف ما: (اسلاید 2.) با مفهوم "نما"، "لگاریتم طبیعی"، با قضیه تمایز تابع نمایی آشنا شده و نحوه تمایز تابع نمایی را بیاموزیم.

به عنوان متنی برای درس ما، آیات B. Slutsky را انتخاب کردم: (اسلاید 3.)

…تابع نمایی

اتفاقی نبود که به دنیا آمد

به طور ارگانیک در زندگی ادغام شده است

و حرکت پیشرفت را در دست گرفت.

ب. اسلوتسکی

من.به روز رسانی دانش پایه:

کار پیشانی شفاهی با کلاس:

تعریف تابع نمایی را فرموله کنید (اسلاید 5.)

مشخصات اصلی تابع نمایی را با توجه به نمودار فهرست کنید.

(اسلاید 6)

ویژگی های تابع نمایی:(اسلاید 4)

محدوده عملکرد

محدوده تابع نمایی

نمودار تابع با محور y در نقطه (0;1) قطع می شود. و با محور x تلاقی نمی کند.

تابع نمایی در کل خط عددی مقادیر مثبت می گیرد.

خواص تابع نمایی برای a را فهرست کنید 1.

ویژگی های تابع نمایی را در 0 فهرست کنید .

مشتق تابع را در نقطه x تعریف کنید 0 . (اسلاید 7)

معنای هندسی مشتق را فرموله کنید. (اسلاید 8)

و اکنون قوانین تمایز توابع را به یاد می آوریم:

2) بازی "جفت ها را پیدا کن". (اسلاید 9.)

برای فرمول های ستون اول، پاسخ های صحیح را در ستون دوم بیابید و کلمه ستون سوم را بخوانید. شفاهی، همراه با تفسیر.

(u+v)"	cos x	E
(u v)"	n x n-1	پ
(u/v)"	-1/sin2x	ولی
(xn)"	گناه x	اچ
ج"	u"v + uv"	به
(مس)"	1 / cos 2 x	تی
(سینکس)"	(u "v - u v") / v 2	با
(cosx)"	0	O
(tgx)"	u"+v"	E
(ctgx)"	تو"	اچ

E	u"+v"	(u+v)"
به	u"v + uv"	(u v)"
با	(u "v - u v") / v 2	(u/v)"
پ	n x n-1	(xn)"
O	0	ج"
اچ	تو"	(مس)"
E	Cos x	(سینکس)"
اچ	-گناه x	(cosx)"
تی	1 / cos 2 x	(tgx)"
ولی	-1/sin2x	(ctgx)"

پاسخ خود را در جدول بررسی کنید:( اسلاید 10)

II.یادگیری موضوع جدید:

1) کار تحقیقاتی با استفاده از منابع ESM برای لپ تاپ ها. کار جفتی

منابع آموزشی دیجیتال اینترنتی برای جبر و آغاز تجزیه و تحلیل پایه یازدهم مبحث: "مشتقات تابع نمایی، عدد e و لگاریتم طبیعی" را باز کنید. ماژول I1
هر عنصر ماژول را با دقت بخوانید، فرمول های اصلی را در دفترچه یادداشت کنید، اثبات های آنها را بخوانید.

وظایف خود را برای کنترل خود کامل کنید. خلاصه کار خود را در «آمار» (C) بررسی کنید.

برنامه کاری ماژول:

یک تابع نمایی با پایه e. - (مقدمه ای بر توان)

فرمول مشتق تابع نمایی. - (اشتقاق فرمول مشتق تابع y \u003d e x)

وظیفه ای برای خودکنترلی – (تست با انتخاب پاسخ)

تعریف لگاریتم طبیعی ln. – (ln x = log e x)

فرمول مشتق تابع نمایی. - (اشتقاق فرمول مشتق فرمول نمایی)

وظیفه ای برای خودکنترلی - (تکلیف پاسخ کوتاه)

ضد مشتق تابع نمایی - (اشتقاق فرمول مشتق تابع نمایی)

وظیفه خودکنترلی - (تست با انتخاب پاسخ)
2) سیل 15-18بررسی پیشانی، بر اساس مطالب مورد مطالعه. تثبیت اولیه مواد. استفاده از فرمول برای مشتق تابع نمایی.

(ه ایکس )" = ه ایکس ;

(ه kx + ب )" = که kx + ب ;

(آ ایکس )" = آ ایکس ∙ لوگاریتمآ ;

(آ kx + b )" = kآ Kx+b ∙ لوگاریتمآ

F(a ایکس ) =
دانش آموز به طور مستقل روی تخته سیاه کار می کند:

راه حل: f(x) = x 2 * 2 –x; D(f) = R; f "= 2x * 2 -x - x 2 * 2 -x ln2, D (f) \u003d R,

2x * 2 –x – x 2 * 2 –x ln2 = 0;

X * 2 -x (2 - x * ln 2) = 0; - حداقل + حداکثر - f "(x)

X * 2 –x = 0; 2 – x * ln x = 0 2 – x > 0, x = 0; 2 – x * ln2 = 0 0 2/ln2 f(x)

پاسخ: x max = 2 / ln2; x min = 0
کار مستقل با ماهیت آموزشی:

کار مستقل به صورت جفت در لپ تاپ. ماژول تعاملی P1 مشتق از تابع نمایی. شماره ه - لگاریتم طبیعی. - تست 5 کار. وقتی ماژول را باز می کنید، وظایف مختلفی روی هر کامپیوتر ظاهر می شود.

V. خلاصه درس: چه چیز جدیدی در درس یاد گرفتید؟

چه بخش هایی از درس برای شما جذاب تر بود؟

چه کسانی از کار خود در کلاس راضی هستند؟

VI. تکلیف: مورد 41; شماره 539(a,b,d); 540 (c); 542 (الف، ب)؛ 544 (ب).

تست تعاملی با کامپیوترویژگی های تابع نمایی K1.

در دسکتاپ هر رایانه، ماژول Word را باز کنید. یازده

"ویژگی های تابع نمایی K1". روی "موس" روی "play module" کلیک کنید. به شما یک آزمون از 5 کار داده می شود.

وظیفه اول ماژول را تکمیل کنید، روی شماره پاسخ صحیح کلیک کنید یا پاسخ را در آزمون یادداشت کنید. روی "ماوس" روی "پاسخ" کلیک کنید و به کار دیگری بروید.

اگر کار را اشتباه انجام دادید، یک راهنمایی باز کنید،

خطا را در راه حل خود پیدا کنید

خلاصه کار خود را در «آمار» (C) بررسی کنید.

موضوع: مشتق تابع نمایی. عدد .

هدف آموزشی: ایجاد ایده ای از عدد e، برای اثبات تمایز پذیری تابع در هر نقطه ، تمایز تابع . لگاریتم طبیعی را تعریف کنید.

هدف توسعه: توانایی انجام سریع و صحیح محاسبات را با استفاده از رایانه شخصی ایجاد کنید.

هدف آموزشی: ادامه شکل گیری توانایی درک صحیح و به خاطر سپردن فعال اطلاعات جدید، که مهمترین کیفیت یک متخصص آینده است.

وسایل کمک بصری: پوسترها

جزوه: کارت های وظیفه برای کارهای فردی تجهیزات: کامپیوتر معلم، پروژکتور چند رسانه ای، صفحه نمایش. انگیزه فعالیت شناختی دانش آموزان. برای بیان اینکه لگاریتم ها در درس ریاضیات و همچنین در رشته های فنی عمومی و تخصصی چه نقش مهمی دارند و در عین حال بر اهمیت عدد e و لگاریتم طبیعی تاکید می کنند.

در طول کلاس ها.

I. لحظه سازمانی.

II. توضیح مطالب جدید

1) نمودارهای تابع نمایی.

3) شماره .

4) محاسبه عدد .

5) فرمول مشتق تابع نمایی.

6) محاسبه لگاریتم طبیعی با استفاده ازخانمبرتری داشتن.

7) ضد مشتق تابع نمایی.

8) مقدار 3 عدد .

III. حل مثال ها

IV. نتایج درس

V. تکالیف.

توضیح. نمودارهای تابع نمایی به صورت خطوط صاف (یعنی بدون شکست) به تصویر کشیده شدند که می توان در هر نقطه یک مماس به آن رسم کرد. اما وجود مماس بر نمودار یک تابع در نقطه ای با ابسیسا معادل قابل تمایز آن در x است 0 . بنابراین، طبیعی است که فرض کنیم در تمام نقاط حوزه تعریف قابل تمایز است. بیایید چندین نمودار از تابع y \u003d a رسم کنیم ایکس برای y=2 ایکس y=3 ایکس ، y=2،3 ایکس (پیوست شماره 1)

مماس ها را در یک نقطه با آبسیسا بر روی آنها بکشید . مماس ها بر روی نمودارها متفاوت هستند. زوایای میل هر یک از آنها را به محور آبسیسا اندازه می گیریم و مطمئن می شویم که زوایای میل این مماس ها تقریباً برابر با 35 درجه ... 51 درجه است، یعنی. با افزایش a، شیب به نمودار در نقطه M (0; 1) به تدریج ازtg35 تاtg51.

عددی بزرگتر از 2 و کوچکتر از 3 وجود دارد به طوری که تابع نمایی y=a است ایکس در نقطه 0 مشتقی برابر با 1 دارد. پایه این تابع معمولاً با حرف e نشان داده می شود. عدد e غیر منطقی است و بنابراین به صورت یک کسر اعشاری بی نهایت نوشته می شود.

e ≈ 2.7182818284…

با کمک کامپیوتر بیش از 2 هزار رقم اعشار از عدد e پیدا شد که اعداد اول 2.718288182459045~2.7 هستند.

عملکرد اغلب به عنوان یک نشان دهنده نامیده می شود. عدد به دست آمده در ریاضیات بالاتر و همچنین عدد معروف 3.14 نقش بسیار زیادی دارد. فرمول مشتق تابع نمایی.

قضیه 1. تابع .

اثبات یافتن افزایش یک تابع

در .

با تعریف مشتق ، یعنی برای هرچی .

ثابت کنیم که بدون کمک دیگری.

مثال.

من یک تعریف می کنم: لگاریتم طبیعی لگاریتم پایه است :

قضیه 2. تابع نمایی در هر نقطه از حوزه تعریف قابل تمایز است و .

مثال ها. , . مشتقات توابع را بیابید.

محاسبه لگاریتم طبیعی با استفاده ازخانمبرتری داشتن.

مثال. بررسی عملکرد برای افزایش (کاهش) و افراط و رسم نمودار آن.

مانند برای هرچی ، سپس علامت با علامت منطبق می شود . از این رو بر روی , - افزایش

بر روی , - کاهش می دهد.

ما از برنامه برای رسم نمودار استفاده می کنیم.خانمبرتری داشتن.

ضد مشتق تابع نمایی.

قضیه 3. ضد مشتق برای یک تابع بر رویآریک تابع است . اثبات:

مثال ها:

آ) ,

ب) ,

که در) , .

د) مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید. , , , .

ارزش e.

شماره دریافت شده نقش بزرگی در ریاضیات، فیزیک، نجوم، زیست شناسی و سایر علوم دارد. در اینجا برخی از:

این با شکوه است

کاملا کمک می کند

برای من و تو روشن کن

سال تولد تولستوی L.N. 2.71828

فرمول اویلر

لئونارد اویلر (1707-1783) ریاضیدان مشهور قرن هجدهم. اویلر وابستگی نیروی اصطکاک را به تعداد دور طناب در اطراف شمع ثابت کرد.

, - نیرویی که تلاش ما علیه آن است ; e;

ضریب اصطکاک بین طناب و شمع، - زاویه سیم پیچ، یعنی نسبت طول قوس محصور شده توسط طناب به شعاع آن قوس. در زندگی روزمره، ما بدون اینکه به خودمان شک داشته باشیم، اغلب از مزایایی که فرمول اویلر به ما نشان می دهد، استفاده می کنیم.

گره چیست؟ این یک ریسمان است که روی یک غلتک پیچیده شده است. هرچه تعداد دورهای طناب بیشتر باشد، اصطکاک بیشتر است. قاعده افزایش اصطکاک به این صورت است که با افزایش تعداد چرخش در یک پیشروی حسابی، اصطکاک در یک پیشروی هندسی رشد می کند.

ناخودآگاه خیاط هنگام دوخت دکمه از همین شرایط استفاده می کند. نخ را بارها در اطراف ناحیه مواد گرفته شده توسط بخیه می پیچد و سپس آن را می شکند، اگر فقط نخ محکم باشد، دکمه از بین نمی رود. در اینجا قاعده ای که قبلاً برای ما آشنا بود اعمال می شود: با افزایش تعداد چرخش نخ در یک پیشرفت حسابی، قدرت دوخت در یک پیشرفت هندسی افزایش می یابد. اگر اصطکاک وجود نداشت، نمی توانستیم از دکمه ها استفاده کنیم: نخ ها زیر وزن خود باز می شدند و دکمه ها می افتادند. , - لودویگ بولتزمن (1844-1906)، فیزیکدان اتریشی که قانون اساسی طبیعت را کشف کرد که جهت همه فرآیندهای فیزیکی را که به تعادل تمایل دارند به عنوان محتمل ترین حالت تعیین می کند. -آنتروپی، یعنی اندازه گیری یک سیستم در حال رسیدن به تعادل، -احتمال وضعیت سیستم

نتایج درس تکلیف: شماره 538، شماره 542

برنامه شماره 1

هنگام استخراج اولین فرمول جدول، از تعریف مشتق یک تابع در یک نقطه استفاده می کنیم. بریم کجا ایکس- هر عدد واقعی، یعنی ایکس- هر عددی از ناحیه تعریف تابع. اجازه دهید حد نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان را در زیر بنویسیم:

لازم به ذکر است که در زیر علامت حد، عبارتی به دست می آید که عدم قطعیت صفر تقسیم بر صفر نیست، زیرا صورت شامل یک مقدار بینهایت کوچک نیست، بلکه دقیقاً صفر است. به عبارت دیگر، افزایش یک تابع ثابت همیشه صفر است.

بدین ترتیب، مشتق تابع ثابتدر کل دامنه تعریف برابر با صفر است.

مشتق تابع توان.

فرمول مشتق تابع توان دارای شکل است ، جایی که توان پهر عدد واقعی است

اجازه دهید ابتدا فرمول توان طبیعی، یعنی برای را اثبات کنیم p = 1، 2، 3، ...

ما از تعریف مشتق استفاده خواهیم کرد. اجازه دهید حد نسبت افزایش تابع توان به افزایش آرگومان را بنویسیم:

برای ساده کردن عبارت در صورت حساب، به فرمول دو جمله ای نیوتن می پردازیم:

از این رو،

این فرمول مشتق تابع توان را برای یک توان طبیعی ثابت می کند.

مشتق تابع نمایی.

ما فرمول مشتق را بر اساس تعریف بدست می آوریم:

به عدم قطعیت رسید. برای گسترش آن، یک متغیر جدید معرفی می کنیم و برای . سپس . در آخرین انتقال، از فرمول انتقال به پایه جدید لگاریتم استفاده کردیم.

بیایید یک جایگزین در حد اصلی انجام دهیم:

اگر حد قابل توجه دوم را به خاطر بیاوریم، به فرمول مشتق تابع نمایی می رسیم:

مشتق تابع لگاریتمی

اجازه دهید فرمول مشتق تابع لگاریتمی را برای همه ثابت کنیم ایکساز دامنه و همه مقادیر پایه معتبر آلگاریتم با تعریف مشتق، داریم:

همانطور که متوجه شدید، در اثبات، تبدیل ها با استفاده از خواص لگاریتم انجام شد. برابری با توجه به محدودیت قابل توجه دوم معتبر است.

مشتقات توابع مثلثاتی.

برای استخراج فرمول برای مشتقات توابع مثلثاتی، باید برخی از فرمول های مثلثاتی و همچنین اولین حد قابل توجه را به یاد بیاوریم.

با تعریف مشتق تابع سینوس، داریم .

ما از فرمول تفاضل سینوس ها استفاده می کنیم:

باقی مانده است که به اولین محدودیت قابل توجه بپردازیم:

بنابراین مشتق تابع گناه xوجود دارد cos x.

فرمول مشتق کسینوس دقیقاً به همین روش ثابت می شود.

بنابراین، مشتق تابع cos xوجود دارد – sin x.

اشتقاق فرمول های جدول مشتقات مماس و کوتانژانت با استفاده از قوانین اثبات شده تمایز (مشتق کسری) انجام می شود.

مشتقات توابع هذلولی.

قوانین تمایز و فرمول مشتق تابع نمایی از جدول مشتقات به ما اجازه می دهد تا فرمول هایی را برای مشتقات سینوس هذلولی، کسینوس، مماس و کوتانژانت استخراج کنیم.

مشتق تابع معکوس.

برای اینکه در ارائه سردرگمی وجود نداشته باشد، بیایید در نمایه پایین آرگومان تابعی را که توسط آن تمایز انجام می شود، نشان دهیم، یعنی مشتق تابع است. f(x)بر ایکس.

اکنون فرموله می کنیم قانون برای یافتن مشتق تابع معکوس.

اجازه دهید توابع y = f(x)و x = g(y)به طور متقابل معکوس، به ترتیب در فواصل زمانی تعریف شده است. اگر در نقطه ای یک مشتق غیر صفر متناهی از تابع وجود داشته باشد f(x)، سپس در آن نقطه یک مشتق محدود از تابع معکوس وجود دارد g(y)، و . در مدخلی دیگر .

این قانون می تواند برای هر کسی دوباره فرموله شود ایکساز بازه، سپس دریافت می کنیم .

بیایید اعتبار این فرمول ها را بررسی کنیم.

بیایید تابع معکوس لگاریتم طبیعی را پیدا کنیم (اینجا yیک تابع است و ایکس- بحث و جدل). حل این معادله برای ایکس، دریافت می کنیم (اینجا ایکسیک تابع است و yاستدلال او). یعنی و توابع معکوس متقابل.

از جدول مشتقات می بینیم که و .

بیایید مطمئن شویم که فرمول های یافتن مشتقات تابع معکوس ما را به نتایج یکسانی می رساند:

درس و ارائه با موضوع: "عدد e. تابع. نمودار. خواص"

مواد اضافی
کاربران گرامی، نظرات، انتقادات، پیشنهادات خود را فراموش نکنید! تمام مواد توسط یک برنامه آنتی ویروس بررسی می شود.

وسایل کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال پایه یازدهم
کتابچه راهنمای تعاملی برای کلاس های 9-11 "مثلثات"
کتابچه راهنمای تعاملی برای کلاس های 10-11 "لگاریتم"

بچه ها، امروز یک شماره ویژه را مطالعه می کنیم. در ریاضیات "بزرگسالان" جایگاه جداگانه ای را اشغال می کند و دارای خواص قابل توجه بسیاری است که برخی از آنها را بررسی خواهیم کرد.

اجازه دهید به توابع نمایی $y=a^x$ برگردیم، جایی که $a>1$. ما می توانیم نمودارهای تابع مختلف زیادی را برای پایه های مختلف رسم کنیم.
اما لازم به ذکر است که:

• همه توابع از نقطه (0;1) عبور می کنند،
• برای $x→-∞$ نمودار دارای مجانب افقی $y=0$ است،
• همه توابع در حال افزایش و محدب به سمت پایین هستند،
• و همچنین پیوسته هستند که به نوبه خود به معنی قابل تمایز بودن آنهاست.

اگر توابع در همه جا قابل تمایز باشند، در هر نقطه می توانیم مماس هایی بر آنها بسازیم. اگر همه توابع از نقطه (0;1) عبور کنند، آنگاه از اهمیت خاصی برخوردار است. بیایید چندین مماس پشت سر هم بسازیم.

تابع $y=2^x$ را در نظر بگیرید و یک مماس بر آن بسازید.
با ترسیم دقیق نمودارها، می‌توان دید که شیب مماس 35 درجه است.
حالا بیایید تابع $y=3^x$ را رسم کنیم و مماس را نیز رسم کنیم:
این بار زاویه مماس تقریباً 48 درجه است. به طور کلی، شایان ذکر است: هرچه پایه تابع نمایی بزرگتر باشد، زاویه تمایل بیشتر است.
جالب توجه خاص مماس با زاویه شیب 45 درجه است. به نمودار کدام تابع نمایی می توان چنین مماس را در نقطه (0;1) رسم کرد؟
پایه تابع نمایی باید بزرگتر از 2 اما کمتر از 3 باشد، زیرا زاویه مماس مورد نیاز در جایی بین توابع $y=2^x$ و $y=3^x$ رسیده است. چنین عددی پیدا شد و معلوم شد که کاملاً منحصر به فرد است.

یک تابع نمایی، که در آن مماس عبور از نقطه (0;1) دارای زاویه تمایل برابر با 45 درجه است، معمولاً نشان داده می شود: $y=e^x$ .
پایه تابع ما یک عدد غیر منطقی است. ریاضیدانان مقدار تقریبی این عدد را استنباط کرده اند.$e=2.7182818284590…$.
در درس ریاضی مدرسه مرسوم است که تا دهم گرد می کنند یعنی $e=2.7$.
بیایید یک نمودار از تابع $y=e^x$ و یک مماس بر این نمودار بسازیم.
تابع ما نمایی نامیده می شود.
ویژگی های تابع $y=e^x$.
1. $D(f)=(-∞;+∞)$.
2. نه زوج است و نه فرد.
3. در کل دامنه تعریف افزایش می یابد.
4. نه محدود از بالا، محدود از پایین.
5. حداکثر مقدار وجود ندارد، هیچ مقدار حداقل وجود ندارد.
6. مستمر.
7. $E(f)=(0; +∞)$.
8. محدب به پایین.
در ریاضیات عالی ثابت شده است که یک تابع نمایی در همه جا قابل تمایز است و مشتق آن با خود تابع برابر است: $(e^x)"=e^x$.
تابع ما به طور گسترده در بسیاری از شاخه های ریاضیات (در تجزیه و تحلیل ریاضی، در نظریه احتمالات، در برنامه نویسی) استفاده می شود و بسیاری از اشیاء واقعی با این عدد مرتبط هستند.

مثال.
مماس بر نمودار تابع $y=e^x$ را در نقطه $x=2$ پیدا کنید.
تصمیم.
معادله مماس با فرمول توضیح داده می شود: $y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
بیایید به ترتیب مقادیر مورد نیاز را پیدا کنیم:
1. $f(a)=f(2)=e^2$.
2. $f"(a)=e^a$.
3. $f"(2)=e^2$.
4. $y=f(a)+f"(a)(x-a)=e^2+e^2(x-2)=e^2*x-e^2$.
پاسخ: $y=e^2*x-e^2$

مثال.
مقدار مشتق تابع $y=e^(3x-15)$ را در نقطه $x=5$ بیابید.
تصمیم.
بیایید قانون تمایز یک تابع به شکل $y=f(kx+m)$ را به یاد بیاوریم.
$y"=k*f"(kx+m)$.
در مورد ما $f(kx+m)=e^(3x-15)$.
بیایید مشتق را پیدا کنیم:
$y"=(e^(3x-15))"=3*e^(3x-15)$.
$y"(5)=3*e^(15-15)=3*e^0=3$.
پاسخ: 3.

مثال.
تابع $y=x^3*e^x$ را برای Extrema بررسی کنید.
تصمیم.
مشتق تابع ما را پیدا کنید $y"=(x^3*e^x)"=(x^3)"*e^x+x^3(e^x)"=3x^2*e^x+ x^ 3*e^x=x^2*e^x(x+3)$.
تابع هیچ نقطه بحرانی ندارد، زیرا مشتق برای هر x وجود دارد.
با معادل سازی مشتق با 0، دو ریشه بدست می آوریم: $x_1=0$ و $x_2=-3$.
بیایید نقاط خود را روی خط اعداد علامت گذاری کنیم:

وظایف برای راه حل مستقل

1. مماس بر نمودار تابع $y=e^(2x)$ را در نقطه $х=2$ پیدا کنید.
2. مقدار مشتق تابع $y=e^(4x-36)$ را در نقطه $х=9$ بیابید.
3. تابع $y=x^4*e^(2x)$ را برای extrema بررسی کنید.

اهداف درس:ایده ای از یک عدد ایجاد کنید ه; تمایز پذیری یک تابع را در هر نقطه ثابت کنید ایکساثبات قضیه تمایزپذیری تابع را در نظر بگیرید. بررسی شکل گیری مهارت ها و توانایی ها هنگام حل مثال هایی برای کاربرد آنها.

اهداف درس

آموزشی: تکرار تعریف مشتق، قوانین تمایز، مشتق توابع ابتدایی، به خاطر سپردن نمودار و ویژگی های یک تابع نمایی، شکل گیری توانایی یافتن مشتق تابع نمایی، کنترل دانش با استفاده از یک کار تست و یک تست.

در حال توسعه: برای ترویج توسعه توجه، توسعه تفکر منطقی، شهود ریاضی، توانایی تجزیه و تحلیل، استفاده از دانش در موقعیت های غیر استاندارد.

آموزشی: برای آموزش فرهنگ اطلاعات، توسعه مهارت های کار گروهی و فردی.

روش های تدریس: کلامی، دیداری، فعال.

انواع آموزش: جمعی، فردی، گروهی.

تجهیزات : کتاب درسی "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل" (ویرایش کولموگروف)، تمام وظایف گروه B "بخش بسته" ویرایش شده توسط A.L. Semenov، I.V. Yashchenko، پروژکتور چند رسانه ای.

مراحل درس:

1. گزارش موضوع، اهداف، اهداف درس (2 دقیقه).
2. آمادگی برای مطالعه مطالب جدید از طریق تکرار مطالب قبلاً مطالعه شده (15 دقیقه).
3. آشنایی با مطالب جدید (10 دقیقه)
4. درک اولیه و تثبیت دانش جدید (15 دقیقه).
5. تکالیف (1 دقیقه).
6. جمع بندی (2 دقیقه).

در طول کلاس ها

1. لحظه سازمانی.

موضوع درس اعلام می شود: «مشتق تابع نمایی. شماره ه.»، اهداف، وظایف. اسلاید 1. ارائه

2. فعال سازی دانش پایه.

برای این کار در مرحله اول درس به سوالات پاسخ می دهیم و تکالیفی را برای تکرار حل می کنیم. اسلاید 2.

در تخته سیاه، دو دانش آموز روی کارت ها کار می کنند و وظایفی مانند B8 USE را انجام می دهند.

وظیفه شاگرد اول:

وظیفه دانش آموز دوم:

بقیه دانش آموزان کار مستقل را با توجه به گزینه های زیر تکمیل می کنند:

انتخاب 1		گزینه 2
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.

زوج ها با مراجعه به پاسخ های اسلاید 3، راه حل ها را مبادله می کنند و کار یکدیگر را بررسی می کنند.

راه حل ها و پاسخ های دانش آموزان شاغل در تخته سیاه در نظر گرفته شده است.

بررسی تکالیف شماره 1904. نمایش اسلاید 4.

3. به روز رسانی موضوع درس، ایجاد موقعیت مشکل.

معلم می خواهد تعریفی از تابع نمایی ارائه دهد و ویژگی های تابع y \u003d 2 x را فهرست کند. نمودارهای توابع نمایی به صورت خطوط صاف نشان داده می شوند که می توان در هر نقطه یک مماس به آن رسم کرد. اما وجود یک تابع مماس بر نمودار در نقطه ای با ابسیسا x 0 برابر است با قابلیت تمایز آن در x 0.

برای نمودارهای تابع y \u003d 2 x و y \u003d 3 x، مماس هایی را به آنها در نقطه ای با آبسیسا 0 رسم می کنیم. زوایای تمایل این مماس ها به محور آبسیسا تقریباً برابر با 35 درجه و 48 است. درجه به ترتیب اسلاید 5.

نتیجه گیری: اگر پایه تابع نمایی باشد آاز 2 به مثلاً 10 افزایش می یابد، سپس زاویه بین مماس بر نمودار تابع در نقطه x=0 و محور x به تدریج از 35 درجه به 66.5 درجه افزایش می یابد. منطقی است که فرض کنیم دلیلی وجود دارد آ، که زاویه مربوط به آن 45 است

ثابت شده است که چنین عددی بزرگتر از 2 و کمتر از 3 وجود دارد. مرسوم است که آن را با حرف نشان می دهند. ه. در ریاضیات ثابت شده است که عدد ه- غیر منطقی، یعنی کسر اعشاری غیر تناوبی نامتناهی است.

e = 2.7182818284590…

توجه داشته باشید (خیلی جدی نیست). اسلاید 6.

در اسلاید بعدی 7 پرتره هایی از ریاضیدانان بزرگ وجود دارد - جان ناپیر، لئونارد اویلر و یادداشت کوتاهی در مورد آنها.

• ویژگی های تابع y=e x را در نظر بگیرید
• اثبات قضیه 1. اسلاید 8.
• اثبات قضیه 2. اسلاید 9.

4. مکث یا ترشح پویا برای چشم.

(وضعیت شروع - نشسته، هر تمرین 3-4 بار تکرار می شود):

1. به عقب خم شوید، نفس عمیق بکشید، سپس به جلو خم شوید، بازدم کنید.

2. به پشتی صندلی تکیه دهید، پلک های خود را ببندید، چشمان خود را محکم ببندید بدون اینکه پلک های خود را باز کنید.

3. دست ها در امتداد بدن، حرکات دایره ای شانه ها به جلو و عقب.

5. تلفیق مطالب مورد مطالعه.

5.1 حل تمرین شماره 538، شماره 540، شماره 544c.

5.2 کاربرد مستقل دانش، مهارت ها و توانایی ها. کار تایید به صورت آزمایشی. زمان تکمیل کار - 5 دقیقه.

معیارهای ارزیابی:

"5" - 3 امتیاز

"4" - 2 امتیاز

"3" - 1 امتیاز

6. جمع بندی نتایج و نتایج کار در درس.

1. انعکاس.
2. درجه بندی.
3. ارائه وظایف آزمون.

7. تکلیف: ص 41 (1، 2); شماره 539 (الف، ب، د); 540 (ج، د)، 544 (الف، ب).

«قطعه بسته» شماره 1950، 2142.