Etsi osoittaja ja nimittäjä. Murtoluku koostuu kahdesta luvusta: rivin yläpuolella olevaa lukua kutsutaan osoittajaksi ja rivin alapuolella olevaa numeroa nimittäjäksi. Nimittäjä ilmaisee niiden osien kokonaismäärän, joihin kokonaisuus on jaettu, ja osoittaja on tällaisten osien arvioitu lukumäärä.

• Esimerkiksi murto-osassa ½ osoittaja on 1 ja nimittäjä 2.

Määritä nimittäjä. Jos kahdella tai useammalla murto-osalla on yhteinen nimittäjä, niillä on sama numero rivin alla, eli tässä tapauksessa jokin kokonaisuus jaetaan samaan määrään osia. Murtolukujen lisääminen yhteisellä nimittäjällä on erittäin helppoa, koska kokonaismurto-osan nimittäjä on sama kuin lisättävien murtolukujen nimittäjä. Esimerkiksi:

• Murtoluvuilla 3/5 ja 2/5 on yhteinen nimittäjä 5.
• Murtoluvuilla 3/8, 5/8, 17/8 on yhteinen nimittäjä 8.

Määritä osoittajat. Jos haluat lisätä murto-osia, joilla on yhteinen nimittäjä, lisää niiden osoittajat ja kirjoita tulos lisättyjen murtolukujen nimittäjän yläpuolelle.

• Murtoluvuilla 3/5 ja 2/5 on osoittajat 3 ja 2.
• Murtoluvuilla 3/8, 5/8, 17/8 on osoittajat 3, 5, 17.

Laske numerot yhteen. Tehtävässä 3/5 + 2/5 lisää osoittajat 3 + 2 = 5. Tehtävässä 3/8 + 5/8 + 17/8 lisää osoittajat 3 + 5 + 17 = 25.

Kirjoita yhteensä. Muista, että kun lisäät murto-osia yhteisellä nimittäjällä, se pysyy ennallaan - vain osoittajat lisätään.

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

Muunna murto-osa tarvittaessa. Joskus murto-osa voidaan kirjoittaa kokonaislukuna eikä yhteisenä tai desimaalilukuna. Esimerkiksi murto-osa 5/5 muuttuu helposti yhdeksi, koska mikä tahansa murtoluku, jonka osoittaja on yhtä suuri kuin nimittäjä, on 1. Kuvittele piirakka, joka on leikattu kolmeen osaan. Jos syöt kaikki kolme osaa, syöt koko (yksi) piirakan.

• Mikä tahansa yhteinen murtoluku voidaan muuntaa desimaaliksi; Tee tämä jakamalla osoittaja nimittäjällä. Esimerkiksi murtoluku 5/8 voidaan kirjoittaa näin: 5 ÷ 8 = 0,625.

Yksinkertaista murtolukua, jos mahdollista. Yksinkertaistettu murtoluku on murtoluku, jonka osoittajalla ja nimittäjällä ei ole yhteistä jakajaa.

• Harkitse esimerkiksi murto-osaa 3/6. Tässä sekä osoittajalla että nimittäjällä on yhteinen jakaja, joka on yhtä suuri kuin 3, eli osoittaja ja nimittäjä ovat täysin jaollisia kolmella. Siksi murtoluku 3/6 voidaan kirjoittaa seuraavasti: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.

Muunna tarvittaessa väärä jae sekamurtoluvuksi (sekaluku). Väärän murtoluvun osoittaja on suurempi kuin nimittäjä, esimerkiksi 25/8 (oikean murtoluvun osoittaja on pienempi kuin nimittäjä). Virheellinen murto-osa voidaan muuntaa sekamurtoluvuksi, joka koostuu kokonaislukuosasta (eli kokonaisluvusta) ja murto-osasta (eli oikeasta murto-osasta). Jos haluat muuntaa väärän murtoluvun, kuten 25/8, sekaluvuksi, toimi seuraavasti:

• Jaa väärän murtoluvun osoittaja sen nimittäjällä; kirjoita epätäydellinen osamäärä (koko vastaus). Esimerkissämme: 25 ÷ 8 = 3 plus jäännös. AT Tämä tapaus koko vastaus on sekaluvun kokonaislukuosa.
• Etsi loput. Esimerkissämme: 8 x 3 = 24; vähennä tulos alkuperäisestä osoittajasta: 25 - 24 \u003d 1, eli jäännös on 1. Tässä tapauksessa jäännös on sekaluvun murto-osan osoittaja.
• Kirjoita sekamurtoluku. Nimittäjä ei muutu (eli se on yhtä suuri kuin väärän murtoluvun nimittäjä), joten 25/8 = 3 1/8.

Oppitunnin sisältö

Murtolukujen lisääminen samoilla nimittäjillä

Murtolukujen lisäämistä on kahta tyyppiä:

1. Murtolukujen lisääminen samoilla nimittäjillä
2. Murtolukujen lisääminen eri nimittäjillä

Aloitetaan lisäämällä murtoluvut samoilla nimittäjillä. Täällä kaikki on yksinkertaista. Jos haluat lisätä murto-osia, joilla on sama nimittäjä, sinun on lisättävä niiden osoittajat ja jätettävä nimittäjä ennalleen. Lisätään esimerkiksi murtoluvut ja . Lisäämme osoittajat ja jätämme nimittäjän ennalleen:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu neljään osaan. Jos lisäät pizzan pizzaan, saat pizzan:

Esimerkki 2 Lisää murtoluvut ja .

Vastaus on väärä murto-osa. Jos tehtävän loppu tulee, on tapana päästä eroon vääristä murtoluvuista. Päästäksesi eroon väärästä murto-osasta, sinun on valittava siitä koko osa. Meidän tapauksessamme kokonaislukuosa jaetaan helposti - kaksi jaettuna kahdella on yhtä suuri kuin yksi:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu kahteen osaan. Jos lisäät pizzaan lisää pizzoja, saat yhden kokonaisen pizzan:

Esimerkki 3. Lisää murtoluvut ja .

Lisää jälleen osoittajat ja jätä nimittäjä ennalleen:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu kolmeen osaan. Jos lisäät pizzaan lisää pizzoja, saat pizzat:

Esimerkki 4 Etsi lausekkeen arvo

Tämä esimerkki on ratkaistu täsmälleen samalla tavalla kuin edelliset. Osoittajat on lisättävä ja nimittäjä jätettävä ennalleen:

Yritetään kuvata ratkaisumme kuvan avulla. Jos lisäät pizzat pizzaan ja lisäät pizzoja, saat 1 kokonaisen pizzan ja lisää pizzoja.

Kuten näet, murto-osien lisääminen samoilla nimittäjillä ei ole vaikeaa. Riittää, kun ymmärrät seuraavat säännöt:

1. Jos haluat lisätä murto-osia, joilla on sama nimittäjä, sinun on lisättävä niiden osoittajat ja jätettävä nimittäjä ennalleen;

Murtolukujen lisääminen eri nimittäjillä

Nyt opimme lisäämään murtolukuja eri nimittäjillä. Murtolukuja lisättäessä näiden murtolukujen nimittäjien on oltava samat. Mutta ne eivät aina ole samoja.

Esimerkiksi murto-osia voidaan lisätä, koska niillä on samat nimittäjät.

Mutta murtolukuja ei voi lisätä kerralla, koska näillä murtoluvuilla on erilaiset nimittäjät. Tällaisissa tapauksissa murtoluvut on vähennettävä samaan (yhteiseen) nimittäjään.

On olemassa useita tapoja vähentää murtolukuja samaan nimittäjään. Tänään tarkastelemme vain yhtä niistä, koska muut menetelmät voivat tuntua monimutkaisilta aloittelijalle.

Tämän menetelmän ydin on siinä, että molempien murtolukujen nimittäjistä etsitään ensimmäinen (LCM). Sitten LCM jaetaan ensimmäisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan ensimmäinen lisäkerroin. He tekevät saman toisen murto-osan kanssa - LCM jaetaan toisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan toinen lisäkerroin.

Sitten murtolukujen osoittajat ja nimittäjät kerrotaan niiden lisätekijöillä. Näiden toimien seurauksena murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuvat murtoluvuiksi, joilla on sama nimittäjä. Ja me tiedämme jo kuinka lisätä tällaisia ​​murtolukuja.

Esimerkki 1. Lisää jakeet ja

Ensinnäkin löydämme molempien murtolukujen nimittäjien pienimmän yhteisen kerrannaisen. Ensimmäisen murto-osan nimittäjä on luku 3 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 2. Näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on 6

LCM (2 ja 3) = 6

Nyt takaisin murtolukuihin ja . Ensin jaamme LCM:n ensimmäisen murtoluvun nimittäjällä ja saamme ensimmäisen lisätekijän. LCM on luku 6 ja ensimmäisen murto-osan nimittäjä on luku 3. Jaa 6 kolmella, saadaan 2.

Tuloksena oleva luku 2 on ensimmäinen lisätekijä. Kirjoitamme sen ensimmäiseen murto-osaan. Tätä varten teemme murto-osan yläpuolelle pienen vinon viivan ja kirjoitamme sen yläpuolelle löydetyn lisätekijän:

Teemme saman toisen murto-osan kanssa. Jaamme LCM:n toisen murto-osan nimittäjällä ja saamme toisen lisätekijän. LCM on luku 6 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 2. Jaa 6 kahdella, saadaan 3.

Tuloksena oleva luku 3 on toinen lisätekijä. Kirjoitamme sen toiseen murto-osaan. Teemme jälleen pienen vinon viivan toisen murto-osan yläpuolelle ja kirjoitamme löydetty lisätekijä sen yläpuolelle:

Nyt olemme valmiita lisäämään. On vielä kerrottava murtolukujen osoittajat ja nimittäjät niiden lisätekijöillä:

Katsokaa tarkasti, mihin olemme tulleet. Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjä, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla oli sama nimittäjä. Ja me tiedämme jo kuinka lisätä tällaisia ​​murtolukuja. Täydennetään tämä esimerkki loppuun:

Näin esimerkki päättyy. Lisääminen käy ilmi.

Yritetään kuvata ratkaisumme kuvan avulla. Jos lisäät pizzat pizzaan, saat yhden kokonaisen pizzan ja toisen kuudesosan pizzasta:

Murtolukujen pelkistys samaan (yhteiseen) nimittäjään voidaan kuvata myös kuvan avulla. Tuomalla murtoluvut ja yhteiseen nimittäjään, saamme murtoluvut ja . Näitä kahta fraktiota edustavat samat pizzaviipaleet. Ainoa ero on, että tällä kertaa ne jaetaan yhtä suuriin osuuksiin (samaan nimittäjään vähennettynä).

Ensimmäinen piirros esittää murto-osaa (neljä kappaletta kuudesta) ja toisessa kuvassa murto-osa (kolme kappaletta kuudesta). Laittamalla nämä palaset yhteen saadaan (seitsemän kappaletta kuudesta). Tämä murtoluku on virheellinen, joten olemme korostaneet siinä kokonaislukuosan. Tuloksena oli (yksi koko pizza ja toinen kuudes pizza).

Huomaa, että olemme maalanneet tämän esimerkin liian yksityiskohtaisesti. Oppilaitoksissa ei ole tapana kirjoittaa niin yksityiskohtaisesti. Sinun on pystyttävä nopeasti löytämään molempien nimittäjien ja niiden lisätekijöiden LCM sekä kertomaan nopeasti osoittajien ja nimittäjien löytämät lisätekijät. Koulussa ollessamme meidän pitäisi kirjoittaa tämä esimerkki seuraavasti:

Mutta kolikolla on myös toinen puoli. Jos yksityiskohtaisia ​​muistiinpanoja ei tehdä matematiikan opiskelun ensimmäisissä vaiheissa, niin kysymyksiä "Mistä tuo luku tulee?", "Miksi murtoluvut muuttuvat yhtäkkiä täysin erilaisiksi murtoluvuiksi? «.

Voit helpottaa eri nimittäjien murtolukujen lisäämistä seuraavien vaiheittaisten ohjeiden avulla:

1. Etsi murto-osien nimittäjien LCM;
2. Jaa LCM kunkin murto-osan nimittäjällä ja hanki jokaiselle murtoluvulle lisäkerroin;
3. Kerro murtolukujen osoittajat ja nimittäjät niiden lisäkertoimilla;
4. Lisää murtoluvut, joilla on samat nimittäjät;
5. Jos vastaus osoittautui vääräksi murtoluvuksi, valitse sen koko osa;

Esimerkki 2 Etsi lausekkeen arvo .

Käytetään yllä olevia ohjeita.

Vaihe 1. Etsi murto-osien nimittäjien LCM

Etsi molempien murtolukujen nimittäjien LCM. Murtolukujen nimittäjät ovat luvut 2, 3 ja 4

Vaihe 2. Jaa LCM kunkin murto-osan nimittäjällä ja hanki jokaiselle murtoluvulle lisäkerroin

Jaa LCM ensimmäisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12 ja ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 2. Jaa 12 kahdella, saamme 6. Saimme ensimmäisen lisäkertoimen 6. Kirjoitetaan se ensimmäisen murtoluvun päälle:

Nyt jaamme LCM:n toisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12 ja toisen murtoluvun nimittäjä on luku 3. Jaamme 12 3:lla, saamme 4. Saimme toisen lisätekijän 4. Kirjoitetaan se toisen murtoluvun päälle:

Nyt jaamme LCM:n kolmannen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12 ja kolmannen murtoluvun nimittäjä on luku 4. Jaa 12 4:llä, saamme 3. Saimme kolmannen lisäkertoimen 3. Kirjoitetaan se kolmannen murtoluvun päälle:

Vaihe 3. Kerro murtolukujen osoittajat ja nimittäjät lisätekijöilläsi

Kerromme osoittajat ja nimittäjät lisätekijöillämme:

Vaihe 4. Lisää murtoluvut, joilla on samat nimittäjät

Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla on samat (yhteiset) nimittäjät. On vielä lisättävä nämä jakeet. Lisää yhteen:

Lisäys ei mahtunut yhdelle riville, joten siirsimme jäljellä olevan lausekkeen seuraavalle riville. Tämä on sallittua matematiikassa. Kun lauseke ei mahdu yhdelle riville, se siirretään seuraavalle riville ja ensimmäisen rivin loppuun ja uuden rivin alkuun on laitettava yhtäläisyysmerkki (=). Toisen rivin yhtäläisyysmerkki osoittaa, että tämä on jatkoa ensimmäisellä rivillä olevalle lausekkeelle.

Vaihe 5. Jos vastaus osoittautui vääräksi murtoluvuksi, valitse koko osa siitä

Vastauksemme on väärä murto-osa. Meidän on erotettava siitä koko osa. Korostamme:

Sain vastauksen

Samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen

Murtolukuvähennystä on kahta tyyppiä:

1. Samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen
2. Eri nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen

Ensin opetellaan vähentämään murtolukuja samoilla nimittäjillä. Täällä kaikki on yksinkertaista. Jos haluat vähentää yhdestä murtoluvusta toisen, sinun on vähennettävä toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta ja jätettävä nimittäjä ennalleen.

Etsitään esimerkiksi lausekkeen arvo. Tämän esimerkin ratkaisemiseksi on tarpeen vähentää toisen murto-osan osoittaja ensimmäisen murto-osan osoittajasta ja jättää nimittäjä ennalleen. Tehdään tämä:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu neljään osaan. Jos leikkaat pizzat pizzasta, saat pizzat:

Esimerkki 2 Etsi lausekkeen arvo.

Jälleen, vähennä ensimmäisen murto-osan osoittajasta toisen murto-osan osoittaja ja jätä nimittäjä ennalleen:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu kolmeen osaan. Jos leikkaat pizzat pizzasta, saat pizzat:

Esimerkki 3 Etsi lausekkeen arvo

Tämä esimerkki on ratkaistu täsmälleen samalla tavalla kuin edelliset. Ensimmäisen murtoluvun osoittajasta sinun on vähennettävä jäljellä olevien murtolukujen osoittajat:

Kuten näet, samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentämisessä ei ole mitään monimutkaista. Riittää, kun ymmärrät seuraavat säännöt:

1. Jos haluat vähentää yhdestä murtoluvusta toisen, sinun on vähennettävä toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta ja jätettävä nimittäjä ennalleen;
2. Jos vastaus osoittautui vääräksi murto-osaksi, sinun on valittava siitä koko osa.

Eri nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen

Esimerkiksi murto-osa voidaan vähentää murtoluvusta, koska näillä murtoluvuilla on samat nimittäjät. Mutta murto-osaa ei voida vähentää murtoluvusta, koska näillä murtoluvuilla on erilaiset nimittäjät. Tällaisissa tapauksissa murtoluvut on vähennettävä samaan (yhteiseen) nimittäjään.

Yhteinen nimittäjä löytyy saman periaatteen mukaan, jota käytimme eri nimittäjillä olevia murtolukuja laskettaessa. Ensinnäkin, etsi molempien murtolukujen nimittäjien LCM. Sitten LCM jaetaan ensimmäisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan ensimmäinen lisäkerroin, joka kirjoitetaan ensimmäisen murto-osan päälle. Vastaavasti LCM jaetaan toisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan toinen lisäkerroin, joka kirjoitetaan toisen murto-osan päälle.

Jakeet kerrotaan sitten niiden lisätekijöillä. Näiden operaatioiden seurauksena murtoluvut, joilla oli eri nimittäjä, muuttuvat murtoluvuiksi, joilla on sama nimittäjä. Ja me tiedämme jo kuinka vähentää tällaisia ​​murtolukuja.

Esimerkki 1 Etsi lausekkeen arvo:

Näillä murtoluvuilla on eri nimittäjät, joten sinun on saatettava ne samaan (yhteiseen) nimittäjään.

Ensin löydetään molempien murtolukujen nimittäjien LCM. Ensimmäisen murto-osan nimittäjä on luku 3 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 4. Näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on 12

LCM (3 ja 4) = 12

Nyt takaisin murtolukuihin ja

Etsitään lisäkerroin ensimmäiselle murtoluvulle. Tätä varten jaamme LCM:n ensimmäisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12 ja ensimmäisen murto-osan nimittäjä on luku 3. Jaa 12 kolmella, saadaan 4. Kirjoitetaan neljä ensimmäisen murtoluvun päälle:

Teemme saman toisen murto-osan kanssa. Jaamme LCM:n toisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12, ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 4. Jaa 12 4:llä, saadaan 3. Kirjoita kolmio toisen murtoluvun päälle:

Nyt olemme kaikki valmiita vähentämään. On vielä kerrottava jakeet niiden lisätekijöillä:

Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjä, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla oli sama nimittäjä. Ja me tiedämme jo kuinka vähentää tällaisia ​​murtolukuja. Täydennetään tämä esimerkki loppuun:

Sain vastauksen

Yritetään kuvata ratkaisumme kuvan avulla. Jos leikkaat pizzat pizzasta, saat pizzat.

Tämä on ratkaisun yksityiskohtainen versio. Koulussa meidän pitäisi ratkaista tämä esimerkki lyhyemmällä tavalla. Tällainen ratkaisu näyttäisi tältä:

Murtolukujen vähentäminen ja yhteiseksi nimittäjäksi voidaan kuvata myös kuvan avulla. Tuomalla nämä murtoluvut yhteiseen nimittäjään, saamme murtoluvut ja . Näitä murtolukuja edustavat samat pizzaviipaleet, mutta tällä kertaa ne jaetaan samoihin jakeisiin (pienennettynä samaan nimittäjään):

Ensimmäinen piirros näyttää murto-osan (kahdeksan kappaletta kahdestatoista) ja toisessa kuvassa murto-osaa (kolme kappaletta kahdestatoista). Leikkaamalla kolme kappaletta kahdeksasta kappaleesta saadaan viisi kappaletta kahdestatoista. Murtoluku kuvaa näitä viittä kappaletta.

Esimerkki 2 Etsi lausekkeen arvo

Näillä murtoluvuilla on eri nimittäjät, joten sinun on ensin saatettava ne samaan (yhteiseen) nimittäjään.

Etsi näiden murtolukujen nimittäjien LCM.

Murtolukujen nimittäjät ovat luvut 10, 3 ja 5. Näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Nyt löydämme lisätekijöitä jokaiselle murtoluvulle. Tätä varten jaamme LCM:n kunkin murtoluvun nimittäjällä.

Etsitään lisäkerroin ensimmäiselle murtoluvulle. LCM on luku 30 ja ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 10. Jaa 30 10:llä, saadaan ensimmäinen lisäkerroin 3. Kirjoitetaan se ensimmäisen murtoluvun päälle:

Nyt löydämme lisätekijän toiselle murtoluvulle. Jaa LCM toisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 30 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 3. Jaa 30 kolmella, saadaan toinen lisäkerroin 10. Kirjoitetaan se toisen murtoluvun päälle:

Nyt löydämme lisätekijän kolmannelle murtoluvulle. Jaa LCM kolmannen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 30 ja kolmannen murtoluvun nimittäjä on luku 5. Jaa 30 5:llä, saadaan kolmas lisätekijä 6. Kirjoitetaan se kolmannen murtoluvun päälle:

Nyt kaikki on valmis vähennettäväksi. On vielä kerrottava jakeet niiden lisätekijöillä:

Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla on samat (yhteiset) nimittäjät. Ja me tiedämme jo kuinka vähentää tällaisia ​​murtolukuja. Lopetetaan tämä esimerkki.

Esimerkin jatko ei mahdu yhdelle riville, joten siirrämme jatkon seuraavalle riville. Älä unohda yhtäläisyysmerkkiä (=) uudella rivillä:

Vastaus osoittautui oikeaksi murto-osaksi, ja kaikki näyttää sopivan meille, mutta se on liian raskasta ja rumaa. Meidän pitäisi tehdä siitä helpompaa. Mitä voidaan tehdä? Voit pienentää tätä osuutta.

Murtoluvun pienentämiseksi sinun on jaettava sen osoittaja ja nimittäjä (gcd) luvuilla 20 ja 30.

Joten löydämme numeroiden 20 ja 30 GCD: n:

Nyt palataan esimerkkiimme ja jaetaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä löydetyllä GCD:llä, eli 10:llä

Sain vastauksen

Murtoluvun kertominen luvulla

Jos haluat kertoa murto-osan luvulla, sinun on kerrottava annetun murto-osan osoittaja tällä luvulla ja jätettävä nimittäjä ennalleen.

Esimerkki 1. Kerro murto-osa luvulla 1.

Kerro murtoluvun osoittaja luvulla 1

Ilmoittautumisen voidaan ymmärtää kestävän puoli 1 kertaa. Esimerkiksi jos otat pizzan 1 kerran, saat pizzan

Kertolaitoista tiedämme, että jos kertoja ja kertoja vaihdetaan keskenään, tulo ei muutu. Jos lauseke kirjoitetaan muodossa , tulo on silti yhtä suuri kuin . Jälleen sääntö kokonaisluvun ja murtoluvun kertomisesta toimii:

Tämän merkinnän voidaan ymmärtää vievän puolet yksiköstä. Esimerkiksi, jos on 1 kokonainen pizza ja otamme siitä puolet, niin meillä on pizza:

Esimerkki 2. Etsi lausekkeen arvo

Kerro murtoluvun osoittaja 4:llä

Vastaus on väärä murto-osa. Otetaan siitä kokonainen osa:

Lauseke voidaan ymmärtää ottavan kaksi neljäsosaa 4 kertaa. Jos esimerkiksi otat pizzat 4 kertaa, saat kaksi kokonaista pizzaa.

Ja jos vaihdamme kertojan ja kertoimen paikoin, saamme lausekkeen. Se on myös yhtä suuri kuin 2. Tämä lauseke voidaan ymmärtää siten, että neljästä kokonaisesta pizzasta otetaan kaksi pizzaa:

Murtolukujen kertolasku

Jos haluat kertoa murtoluvut, sinun on kerrottava niiden osoittajat ja nimittäjät. Jos vastaus on väärä murto-osa, sinun on valittava siitä koko osa.

Esimerkki 1 Etsi lausekkeen arvo.

Sain vastauksen. Tätä osuutta on toivottavaa pienentää. Fraktiota voidaan pienentää kahdella. Sitten lopullinen ratkaisu saa seuraavan muodon:

Ilmaus voidaan ymmärtää niin, että pizza otetaan puolikkaasta pizzasta. Oletetaan, että meillä on puoli pizzaa:

Kuinka ottaa kaksi kolmasosaa tästä puolikkaasta? Ensin sinun on jaettava tämä puolikas kolmeen yhtä suureen osaan:

Ja ota kaksi näistä kolmesta kappaleesta:

Haetaan pizzaa. Muista miltä pizza näyttää jaettuna kolmeen osaan:

Yksi siivu tästä pizzasta ja kaksi otamme viipaletta ovat samankokoisia:

Toisin sanoen puhumme samasta pizzan koosta. Siksi lausekkeen arvo on

Esimerkki 2. Etsi lausekkeen arvo

Kerro ensimmäisen murto-osan osoittaja toisen murto-osan osoittajalla ja ensimmäisen murto-osan nimittäjä toisen murto-osan nimittäjällä:

Vastaus on väärä murto-osa. Otetaan siitä kokonainen osa:

Esimerkki 3 Etsi lausekkeen arvo

Kerro ensimmäisen murto-osan osoittaja toisen murto-osan osoittajalla ja ensimmäisen murto-osan nimittäjä toisen murto-osan nimittäjällä:

Vastaus osoittautui oikeaksi murto-osaksi, mutta on hyvä, jos sitä pienennetään. Tämän murtoluvun pienentämiseksi sinun on jaettava tämän murtoluvun osoittaja ja nimittäjä lukujen 105 ja 450 suurimmalla yhteisellä jakajalla (GCD).

Joten etsitään numeroiden 105 ja 450 GCD:

Nyt jaamme nyt löytämämme GCD:n vastauksemme osoittajan ja nimittäjän, eli 15:llä

Esittää kokonaisluvun murtolukuna

Mikä tahansa kokonaisluku voidaan esittää murtolukuna. Esimerkiksi numero 5 voidaan esittää muodossa . Tästä viisi ei muuta sen merkitystä, koska ilmaus tarkoittaa "lukua viisi jaettuna yhdellä", ja tämä, kuten tiedätte, on yhtä suuri kuin viisi:

Käänteiset numerot

Nyt tutustumme erittäin mielenkiintoiseen matematiikan aiheeseen. Sitä kutsutaan "käänteisiksi numeroiksi".

Määritelmä. Käänteinen numeroona on luku, joka kerrottunaa antaa yksikön.

Korvataan tämä määritelmä muuttujan sijaan a numero 5 ja yritä lukea määritelmä:

Käänteinen numeroon 5 on luku, joka kerrottuna 5 antaa yksikön.

Onko mahdollista löytää luku, joka kerrottuna 5:llä antaa yhden? Osoittautuu, että voit. Esitetään viisi murtolukuna:

Kerro sitten tämä murto-osa itsellään, vaihda vain osoittaja ja nimittäjä. Toisin sanoen kerrotaan murto-osa itsellään, vain käänteisesti:

Mitä tästä tulee? Jos jatkamme tämän esimerkin ratkaisemista, saamme yhden:

Tämä tarkoittaa, että luvun 5 käänteisarvo on luku, koska kun 5 kerrotaan yhdellä, saadaan yksi.

Käänteisluku voidaan löytää myös mille tahansa muulle kokonaisluvulle.

Voit myös löytää käänteisluvun mille tahansa muulle murtoluvulle. Tätä varten riittää, että käännät sen.

Murtoluvun jako luvulla

Oletetaan, että meillä on puoli pizzaa:

Jaetaan se tasan kahdelle. Kuinka monta pizzaa kukin saa?

Voidaan nähdä, että puolet pizzasta jakamisen jälkeen saatiin kaksi samansuuruista palaa, joista jokainen muodostaa pizzan. Joten kaikki saavat pizzan.

Jakeet jaetaan käänteislukuja käyttämällä. Käänteisluvuilla voit korvata jaon kertolaskulla.

Jos haluat jakaa murtoluvun luvulla, sinun on kerrottava tämä murto-osa jakajan käänteisluvulla.

Tämän säännön avulla kirjoitamme ylös pizzapuolikkaamme jakautumisen kahteen osaan.

Joten sinun on jaettava murto-osa luvulla 2. Tässä osinko on murto-osa ja jakaja on 2.

Jos haluat jakaa murtoluvun luvulla 2, sinun on kerrottava tämä murtoluku jakajan 2 käänteisluvulla. Jakajan 2 käänteisluku on murtoluku. Joten sinun on kerrottava

Lapsesi toi läksyt koulusta, etkä tiedä kuinka ratkaista ne? Sitten tämä mini-opetusohjelma on sinua varten!

Kuinka lisätä desimaalit

On kätevämpää lisätä sarakkeeseen desimaalilukuja. Desimaalien lisäämiseksi sinun on noudatettava yhtä yksinkertaista sääntöä:

• Numeron on oltava luvun alla, pilkku pilkun alla.

Kuten esimerkistä näet, kokonaiset yksiköt ovat toistensa alla, kymmenesosat ja sadasosat ovat alla. Nyt lisäämme numerot pilkkua huomioimatta. Mitä tehdä pilulla? Pilkku siirretään paikkaan, jossa se oli kokonaislukujen purkauksessa.

Samansuuruisten murtolukujen lisääminen

Suorittaaksesi yhteenlasku yhteisellä nimittäjällä, sinun on pidettävä nimittäjä muuttumattomana, löydettävä osoittajien summa ja saatava murto-osa, joka on kokonaismäärä.

Eri nimittäjillä olevien murtolukujen lisääminen etsimällä yhteinen kerrannainen

Ensimmäinen asia, johon on kiinnitettävä huomiota, ovat nimittäjät. Nimittäjät ovat erilaisia, onko toinen jaollinen toisella, ovatko ne alkulukuja. Ensin sinun on löydettävä yksi yhteinen nimittäjä, on olemassa useita tapoja tehdä tämä:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, tämän esimerkin ratkaisemiseksi meidän on löydettävä pienin yhteinen kerrannainen (LCM), joka on jaollinen kahdella nimittäjällä. Merkitään a:n ja b:n pienintä kerrannaista - LCM (a; b). Tässä esimerkissä LCM (3;4) = 12. Tarkista: 12:3=4; 12:4=3.
• Kerromme tekijät ja lisäämme tuloksena olevat numerot, saamme 13/12 - väärän murtoluvun.

• Muuntaaksemme väärän murtoluvun oikeaksi, jaamme osoittajan nimittäjällä, saamme kokonaisluvun 1, loppuosa 1 on osoittaja ja 12 on nimittäjä.

Murtolukujen lisääminen ristiin kertolaskulla

Eri nimittäjillä olevien murtolukujen lisäämiseen on toinen tapa "ristikohtaisesti" -kaavan mukaan. Tämä on taattu tapa tasoittaa nimittäjät, tätä varten sinun on kerrottava osoittajat yhden murto-osan nimittäjällä ja päinvastoin. Jos olet vasta murtolukujen oppimisen alkuvaiheessa, tämä menetelmä on helpoin ja tarkin tapa saada oikea tulos, kun lisäät murtolukuja eri nimittäjillä.

Murtoluvut ovat tavallisia lukuja, niitä voidaan myös lisätä ja vähentää. Mutta koska niillä on nimittäjä, tässä tarvitaan monimutkaisempia sääntöjä kuin kokonaisluvuille.

Tarkastellaan yksinkertaisinta tapausta, jossa on kaksi murtolukua, joilla on sama nimittäjä. Sitten:

Jos haluat lisätä murto-osia, joilla on sama nimittäjä, lisää niiden osoittajat ja jätä nimittäjä ennalleen.

Samoilla nimittäjillä olevien murto-osien vähentämiseksi on tarpeen vähentää toisen osoittaja ensimmäisen murto-osan osoittajasta ja jättää nimittäjä ennalleen.

Jokaisen lausekkeen sisällä murto-osien nimittäjät ovat yhtä suuret. Murtolukujen yhteen- ja vähennyslaskulla saadaan:

Kuten näet, ei mitään monimutkaista: lisää tai vähennä osoittajat - ja siinä kaikki.

Mutta jopa niin yksinkertaisissa toimissa ihmiset onnistuvat tekemään virheitä. Useimmiten he unohtavat, että nimittäjä ei muutu. Esimerkiksi kun niitä lisätään, ne alkavat myös lisääntyä, ja tämä on pohjimmiltaan väärin.

Luopuminen huonosta tavasta lisätä nimittäjiä on melko yksinkertaista. Yritä tehdä samoin vähentäessäsi. Tämän seurauksena nimittäjä on nolla ja murto-osa (yhtäkkiä!) menettää merkityksensä.

Muista siis kerta kaikkiaan: kun lisäät ja vähennät, nimittäjä ei muutu!

Lisäksi monet ihmiset tekevät virheitä lisääessään useita negatiivisia murtolukuja. Merkkien kanssa on hämmennystä: mihin laittaa miinus ja missä - plus.

Tämä ongelma on myös erittäin helppo ratkaista. Riittää, kun muistat, että miinus ennen murto-osamerkkiä voidaan aina siirtää osoittajaan - ja päinvastoin. Ja tietenkään älä unohda kahta yksinkertaista sääntöä:

1. Plus-ajat miinus antaa miinuksen;
2. Kaksi negatiivista tekee myöntävän.

Analysoidaan tätä kaikkea erityisillä esimerkeillä:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Ensimmäisessä tapauksessa kaikki on yksinkertaista, ja toisessa lisäämme miinuksia murtolukujen osoittajiin:

Entä jos nimittäjät ovat erilaisia

Et voi suoraan lisätä murtolukuja eri nimittäjillä. Tämä menetelmä on ainakin minulle tuntematon. Alkuperäiset murtoluvut voidaan kuitenkin aina kirjoittaa uudelleen niin, että nimittäjistä tulee samat.

On monia tapoja muuntaa murtolukuja. Kolmea niistä käsitellään oppitunnissa " Murtolukujen tuominen yhteiseen nimittäjään", joten emme käsittele niitä tässä. Katsotaanpa joitain esimerkkejä:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Ensimmäisessä tapauksessa tuomme murtoluvut yhteiseen nimittäjään "ristikkäin" menetelmällä. Toisessa etsimme LCM:ää. Huomaa, että 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Viimeiset tekijät näissä laajennuksissa ovat yhtä suuret, ja ensimmäiset ovat koprime. Siksi LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Entä jos murtoluvulla on kokonaislukuosa

Voin miellyttää sinua: murto-osien erilaiset nimittäjät eivät ole suurin paha. Paljon enemmän virheitä tapahtuu, kun koko osa on korostettu murtoluvuissa.

Tietysti tällaisille murtoluvuille on omat yhteen- ja vähennysalgoritmit, mutta ne ovat melko monimutkaisia ​​ja vaativat pitkän tutkimuksen. Käytä mieluummin alla olevaa yksinkertaista kaaviota:

1. Muunna kaikki kokonaislukuosan sisältävät murtoluvut epäoikeiksi. Saamme normaalitermit (vaikka eri nimittäjillä), jotka lasketaan edellä käsiteltyjen sääntöjen mukaisesti;
2. Laske itse asiassa saatujen murtolukujen summa tai erotus. Tämän seurauksena löydämme käytännössä vastauksen;
3. Jos tämä on kaikki mitä tehtävässä vaadittiin, suoritetaan käänteinen muunnos, ts. pääsemme eroon väärästä murtoluvusta korostamalla siinä kokonaislukuosan.

Säännöt vääriin murtolukuihin siirtymisestä ja kokonaislukuosan korostamisesta on kuvattu yksityiskohtaisesti oppitunnissa "Mikä on numeerinen murtoluku". Jos et muista, muista toistaa. Esimerkkejä:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Täällä kaikki on yksinkertaista. Kunkin lausekkeen sisällä olevat nimittäjät ovat yhtä suuret, joten kaikki murtoluvut on muutettava vääriksi ja laskettava. Meillä on:

Laskelmien yksinkertaistamiseksi ohitin joitain ilmeisiä vaiheita viimeisissä esimerkeissä.

Pieni huomautus kahteen viimeiseen esimerkkiin, joissa vähennetään murtoluvut, joissa on korostettu kokonaislukuosa. Miinus ennen toista murtolukua tarkoittaa, että siitä vähennetään koko murto-osa, ei vain sen koko osa.

Lue tämä lause uudelleen, katso esimerkkejä ja mieti sitä. Tämän aloittelijat sallivat suuri määrä virheitä. He haluavat antaa tällaisia ​​​​tehtäviä valvontatyössä. Tapaat heidät myös toistuvasti tämän oppitunnin testeissä, jotka julkaistaan ​​pian.

Yhteenveto: Tietojenkäsittelyn yleinen kaavio

Lopuksi annan yleisen algoritmin, joka auttaa sinua löytämään kahden tai useamman murtoluvun summan tai eron:

1. Jos kokonaislukuosa on korostettu yhdessä tai useammassa murtoluvussa, muuta nämä murtoluvut vääriksi;
2. Tuo kaikki murtoluvut yhteiseen nimittäjään millä tahansa sinulle sopivalla tavalla (elleivät tietysti tehtävien kääntäjät tehneet tätä);
3. Lisää tai vähennä saadut luvut samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen yhteen- ja vähennyssääntöjen mukaisesti;
4. Vähennä tulosta, jos mahdollista. Jos murto-osa osoittautui vääräksi, valitse koko osa.

Muista, että on parempi korostaa koko osaa tehtävän lopussa, juuri ennen vastauksen kirjoittamista.

Harkitse murto-osaa $\frac63$. Sen arvo on 2, koska $\frac63 =6:3 = 2$. Mitä tapahtuu, jos osoittaja ja nimittäjä kerrotaan kahdella? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Ilmeisesti murtoluvun arvo ei ole muuttunut, joten $\frac(12)(6)$ on myös yhtä kuin 2 y:nä. kerro osoittaja ja nimittäjä 3:lla ja saat $\frac(18)(9)$, tai 27:llä ja saat $\frac(162)(81)$ tai 101:llä ja saat $\frac(606)(303)$. Kaikissa näissä tapauksissa sen murto-osan arvo, jonka saamme jakamalla osoittaja nimittäjällä, on 2. Tämä tarkoittaa, että se ei ole muuttunut.

Sama kuvio havaitaan muidenkin jakeiden tapauksessa. Jos murtoluvun $\frac(120)(60)$ (yhtä kuin 2) osoittaja ja nimittäjä jaetaan 2:lla ($\frac(60)(30)$ tulos) tai 3:lla ($\ tulos frac(40)(20) $), tai 4:llä ($\frac(30)(15)$) ja niin edelleen, silloin murto-osan arvo pysyy kussakin tapauksessa muuttumattomana ja on yhtä suuri kuin 2.

Tämä sääntö koskee myös murtolukuja, jotka eivät ole yhtä suuria. koko numero.

Jos murtoluvun $\frac(1)(3)$ osoittaja ja nimittäjä kerrotaan kahdella, saadaan $\frac(2)(6)$, eli murto-osan arvo ei ole muuttunut. Ja itse asiassa, jos jaat kakun 3 osaan ja otat niistä yhden tai jaat sen 6 osaan ja otat 2 osaa, saat molemmissa tapauksissa saman määrän piirakkaa. Siksi luvut $\frac(1)(3)$ ja $\frac(2)(6)$ ovat identtisiä. Muotoillaan yleinen sääntö.

Minkä tahansa murtoluvun osoittaja ja nimittäjä voidaan kertoa tai jakaa samalla luvulla, ja murto-osan arvo ei muutu.

Tämä sääntö on erittäin hyödyllinen. Se mahdollistaa esimerkiksi joissain tapauksissa, mutta ei aina, välttää operaatioita suurilla numeroilla.

Voimme esimerkiksi jakaa murto-osan $\frac(126)(189)$ osoittajan ja nimittäjän 63:lla ja saada murto-osan $\frac(2)(3)$, joka on paljon helpompi laskea. Vielä yksi esimerkki. Voimme jakaa murto-osan $\frac(155)(31)$ osoittajan ja nimittäjän luvulla 31 ja saada murto-osan $\frac(5)(1)$ tai 5, koska 5:1=5.

Tässä esimerkissä kohtasimme ensimmäisen kerran murtoluku, jonka nimittäjä on 1. Tällaisilla murtoluvuilla on tärkeä rooli laskelmissa. On muistettava, että mikä tahansa luku voidaan jakaa 1:llä ja sen arvo ei muutu. Eli $\frac(273)(1)$ on yhtä suuri kuin 273; $\frac(509993)(1)$ on 509993 ja niin edelleen. Siksi meidän ei tarvitse jakaa lukuja luvulla, koska jokainen kokonaisluku voidaan esittää murto-osana, jonka nimittäjä on 1.

Tällaisilla murtoluvuilla, joiden nimittäjä on 1, voit suorittaa samat aritmeettiset toiminnot kuin kaikilla muillakin murtoluvuilla: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

Voit kysyä, mitä hyötyä on esittää kokonaisluku murtolukuna, jolla on rivin alla yksikkö, koska kokonaisluvun kanssa on helpompi työskennellä. Mutta tosiasia on, että kokonaisluvun esittäminen murtolukuna antaa meille mahdollisuuden suorittaa erilaisia ​​toimintoja tehokkaammin, kun käsittelemme sekä kokonaislukuja että murtolukuja samanaikaisesti. Esimerkiksi oppimaan lisää murtolukuja eri nimittäjillä. Oletetaan, että meidän on lisättävä $\frac(1)(3)$ ja $\frac(1)(5)$.

Tiedämme, että voit lisätä vain murtolukuja, joiden nimittäjät ovat yhtä suuret. Joten meidän on opittava tuomaan murtoluvut sellaiseen muotoon, kun niiden nimittäjät ovat yhtä suuret. Tässä tapauksessa tarvitsemme jälleen sen tosiasian, että voit kertoa murto-osan osoittajan ja nimittäjän samalla luvulla muuttamatta sen arvoa.

Ensin kerrotaan murtoluvun $\frac(1)(3)$ osoittaja ja nimittäjä 5:llä. Saamme $\frac(5)(15)$, murto-osan arvo ei ole muuttunut. Sitten kerrotaan murtoluvun $\frac(1)(5)$ osoittaja ja nimittäjä 3:lla. Saadaan $\frac(3)(15)$, jälleen murto-osan arvo ei ole muuttunut. Siksi $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Yritetään nyt soveltaa tätä järjestelmää lukujen yhteenlaskemiseen, jotka sisältävät sekä kokonaislukuja että murto-osia.

Meidän on lisättävä $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Ensin muunnetaan kaikki termit murtoluvuiksi ja saadaan: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Nyt meidän on saatettava kaikki murtoluvut yhteiseen nimittäjään, tätä varten kerrotaan ensimmäisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä 12:lla, toisen 4:llä ja kolmannella 3:lla. Tuloksena saadaan $\frac(36 )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, joka on yhtä suuri kuin $\frac(55)(12)$. Jos haluat päästä eroon väärä murtoluku, se voidaan muuttaa luvuksi, joka koostuu kokonaisluvusta ja murto-osasta: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ tai $4\frac( 7)(12)$.

Kaikki sallivat säännöt operaatiot murtoluvuilla, joita juuri tutkimme, pätevät myös negatiivisten lukujen tapauksessa. Joten -1: 3 voidaan kirjoittaa muodossa $\frac(-1)(3)$ ja 1: (-3) muodossa $\frac(1)(-3)$.

Koska sekä negatiivisen luvun jakaminen positiivisella luvulla että positiivisen luvun jakaminen negatiivisella tuloksena on negatiivinen luku, saamme molemmissa tapauksissa vastauksen negatiivisen luvun muodossa. Tuo on

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ tai $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Tällä tavalla kirjoitettu miinusmerkki viittaa koko murto-osaan kokonaisuutena, ei erikseen osoittajaan tai nimittäjään.

Toisaalta (-1) : (-3) voidaan kirjoittaa muodossa $\frac(-1)(-3)$, ja koska negatiivisen luvun jakaminen negatiivisella luvulla antaa positiivisen luvun, niin $\frac (-1 )(-3)$ voidaan kirjoittaa muodossa $+\frac(1)(3)$.

Negatiivisten jakeiden yhteen- ja vähennyslasku suoritetaan samalla tavalla kuin positiivisten jakeiden yhteen- ja vähennys. Esimerkiksi mikä on $1-1\frac13$? Esitetään molemmat luvut murtolukuina ja saadaan $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Pienennetään murtoluvut yhteiseksi nimittäjäksi ja saadaan $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, eli $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$ tai $-\frac(1)(3)$.