एलसीएम कैसे खोजें (कम से कम सामान्य एकाधिक)

दो पूर्णांकों का उभयनिष्ठ गुणज वह पूर्णांक होता है जो बिना किसी शेषफल के दोनों दी गई संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होता है।

दो पूर्णांकों का लघुत्तम समापवर्तक सभी पूर्णांकों में से सबसे छोटा होता है जो समान रूप से और बिना शेष के दोनों दी गई संख्याओं से विभाज्य होता है।

विधि 1. आप एलसीएम, बदले में, दी गई प्रत्येक संख्या के लिए, आरोही क्रम में लिख कर उन सभी संख्याओं को प्राप्त कर सकते हैं जो उन्हें 1, 2, 3, 4, और इसी तरह से गुणा करके प्राप्त की जाती हैं।

उदाहरणसंख्या 6 और 9 के लिए।
हम संख्या 6 को क्रमिक रूप से 1, 2, 3, 4, 5 से गुणा करते हैं।
हमें मिलता है: 6, 12, 18 , 24, 30
हम संख्या 9 को क्रमिक रूप से 1, 2, 3, 4, 5 से गुणा करते हैं।
हमें मिलता है: 9, 18 , 27, 36, 45
जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या 6 और 9 के लिए एलसीएम 18 होगा।

यह विधि तब सुविधाजनक होती है जब दोनों संख्याएँ छोटी हों और पूर्णांकों के अनुक्रम से उन्हें गुणा करना आसान हो। हालांकि, ऐसे समय होते हैं जब आपको दो अंकों या . के लिए एलसीएम खोजने की आवश्यकता होती है तीन अंकों की संख्या, और तब भी जब तीन या इससे भी अधिक प्रारंभिक संख्याएँ हों।

विधि 2. आप एलसीएम का विस्तार करके पता लगा सकते हैं मूल संख्याप्रमुख कारकों के लिए।
अपघटन के बाद, प्रमुख कारकों की परिणामी श्रृंखला से हटाना आवश्यक है वही नंबर. पहली संख्या के शेष अंक दूसरे के लिए गुणनखंड होंगे, और दूसरी संख्या की शेष संख्याएं पहले के लिए गुणनखंड होंगी।

उदाहरण 75 और 60 की संख्या के लिए।
इन संख्याओं के गुणजों को एक पंक्ति में लिखे बिना 75 और 60 का सबसे छोटा सामान्य गुणक पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम 75 और 60 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं:
75 = 3 * 5 *5, और
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
जैसा कि आप देख सकते हैं, गुणनखंड 3 और 5 दोनों पंक्तियों में होते हैं। मानसिक रूप से हम उन्हें "क्रॉस आउट" करते हैं।
आइए इनमें से प्रत्येक संख्या के विस्तार में शामिल शेष कारकों को लिखें। संख्या 75 को विघटित करने पर, हमारे पास संख्या 5 बची रहती है, और संख्या 60 को विघटित करने पर, हमारे पास 2 * 2 होता है
इसलिए, संख्या 75 और 60 के लिए एलसीएम निर्धारित करने के लिए, हमें शेष संख्याओं को 75 के विस्तार (यह 5 है) से 60 से गुणा करना होगा, और संख्या 60 के विस्तार से शेष संख्या (यह 2 * 2 है) ) 75 से गुणा करें। यानी समझने में आसानी के लिए, हम कहते हैं कि हम "क्रॉसवाइज" को गुणा करते हैं।
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
इस तरह हमने 60 और 75 की संख्या का एलसीएम ज्ञात किया। यह संख्या 300 है।

उदाहरण. संख्या 12, 16, 24 . के लिए एलसीएम निर्धारित करें
पर इस मामले में, हमारे कार्य कुछ अधिक जटिल होंगे। लेकिन, पहले, हमेशा की तरह, हम सभी संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
एलसीएम को सही ढंग से निर्धारित करने के लिए, हम सभी संख्याओं में से सबसे छोटी (यह संख्या 12 है) का चयन करते हैं और क्रमिक रूप से इसके कारकों के माध्यम से जाते हैं, यदि संख्याओं की अन्य पंक्तियों में से कम से कम एक समान कारक है जिसे अभी तक पार नहीं किया गया है, तो उन्हें पार करते हैं। बाहर।

स्टेप 1 । हम देखते हैं कि 2*2 संख्याओं की सभी श्रंखलाओं में आता है। हम उन्हें पार करते हैं।
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

चरण 2. इन प्रधान कारणसंख्या 12, केवल संख्या 3 बची है। लेकिन यह संख्या 24 के अभाज्य गुणनखंडों में मौजूद है। हम दोनों पंक्तियों से संख्या 3 को काटते हैं, जबकि संख्या 16 के लिए कोई कार्रवाई अपेक्षित नहीं है।
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या 12 को विघटित करते समय, हमने सभी संख्याओं को "क्रॉस आउट" कर दिया। तो एनओसी की खोज पूरी हो गई है। यह केवल इसके मूल्य की गणना करने के लिए बनी हुई है।
संख्या 12 के लिए, हम शेष गुणनखंडों को संख्या 16 से लेते हैं (आरोही क्रम में निकटतम)
12 * 2 * 2 = 48
यह है एनओसी

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस मामले में, एलसीएम को खोजना कुछ अधिक कठिन था, लेकिन जब आपको इसे तीन या अधिक संख्याओं के लिए खोजने की आवश्यकता होती है, इस तरहआपको इसे तेजी से करने की अनुमति देता है। हालांकि, एलसीएम खोजने के दोनों तरीके सही हैं।

दूसरा नंबर: ख =

अंक विभाजककोई अंतरिक्ष विभाजक नहीं "´

नतीजा:

विशालतम सामान्य भाजकजीसीडी( ए,बी)=6

एलसीएम का कम से कम सामान्य गुणक ( ए,बी)=468

महानतम प्राकृतिक संख्या, जिससे संख्याएँ a और b शेषफल के बिना विभाज्य हैं, कहलाती हैं महत्तम सामान्य भाजक(जीसीडी) इन नंबरों के। चिह्नित gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) या hcf(a,b)।

आम एकाधिक(LCM) दो पूर्णांकों a और b का वह सबसे छोटा प्राकृत संख्या है जो a और b से बिना किसी शेषफल के विभाज्य है। चिह्नित एलसीएम (ए, बी), या एलसीएम (ए, बी)।

पूर्णांक a और b कहलाते हैं सह अभाज्ययदि उनके पास +1 और -1 के अलावा कोई सामान्य भाजक नहीं है।

महत्तम सामान्य भाजक

दो दिए जाने दो सकारात्मक संख्या ए 1 और ए 2 1) . इन संख्याओं का एक उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात करना आवश्यक है, अर्थात्। ऐसी संख्या खोजें λ , जो संख्याओं को विभाजित करता है ए 1 और ए 2 एक ही समय में। आइए एल्गोरिथ्म का वर्णन करें।

1) इस लेख में, शब्द संख्या का अर्थ एक पूर्णांक होगा।

रहने दो ए 1 ≥ ए 2 और चलो

कहाँ पे एम 1 , ए 3 कुछ पूर्णांक हैं, ए 3 <ए 2 (डिवीजन से शेष .) ए 1 पर ए 2 कम होना चाहिए ए 2).

चलो दिखावा करते हैं कि λ विभाजित ए 1 और ए 2, फिर λ विभाजित एम 1 ए 2 और λ विभाजित ए 1 −एम 1 ए 2 =ए 3 (लेख का दावा 2 "संख्याओं की विभाज्यता। विभाज्यता का संकेत")। यह इस प्रकार है कि प्रत्येक सामान्य भाजक ए 1 और ए 2 एक सामान्य भाजक है ए 2 और ए 3. इसका विलोम भी सत्य है यदि λ सामान्य भाजक ए 2 और ए 3, फिर एम 1 ए 2 और ए 1 =एम 1 ए 2 +ए 3 को भी में विभाजित किया गया है λ . इसलिए सामान्य भाजक ए 2 और ए 3 भी एक सामान्य भाजक है ए 1 और ए 2. जैसा ए 3 <ए 2 ≤ए 1, तो हम कह सकते हैं कि संख्याओं का एक सामान्य भाजक खोजने की समस्या का समाधान ए 1 और ए 2 संख्याओं का एक सामान्य भाजक खोजने की एक सरल समस्या में बदल गया ए 2 और ए 3 .

यदि एक ए 3 0, तब हम भाग कर सकते हैं ए 2 पर ए 3. फिर

,

कहाँ पे एम 1 और ए 4 कुछ पूर्णांक हैं, ( एविभाजन के 4 शेष ए 2 पर ए 3 (ए 4 <ए 3))। इसी तरह के तर्क से हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि संख्याओं के उभयनिष्ठ भाजक ए 3 और ए 4 संख्याओं के सामान्य भाजक के समान है ए 2 और ए 3 , और सामान्य भाजक के साथ भी ए 1 और ए 2. जैसा ए 1 , ए 2 , ए 3 , ए 4 , ... संख्याएं जो लगातार घट रही हैं, और चूंकि के बीच पूर्णांकों की एक सीमित संख्या है ए 2 और 0, फिर किसी चरण पर एन, विभाजन के शेष एएन ओन ए n+1 शून्य के बराबर होगा ( एएन+2=0).

.

हर आम भाजक λ नंबर ए 1 और ए 2 भी संख्याओं का भाजक है ए 2 और ए 3 , ए 3 और ए 4 , .... एएन और एएन + 1। विलोम भी सत्य है, संख्याओं के उभयनिष्ठ भाजक एएन और ए n+1 भी संख्याओं के भाजक हैं ए n−1 और एएन , .... , ए 2 और ए 3 , ए 1 और ए 2. लेकिन आम भाजक एएन और ए n+1 एक संख्या है ए n+1 , क्योंकि एएन और ए n+1 से विभाज्य हैं ए n+1 (याद रखें कि एएन+2=0). इसलिये ए n+1 भी संख्याओं का भाजक है ए 1 और ए 2 .

ध्यान दें कि संख्या ए n+1 सबसे बड़ी संख्या भाजक है एएन और ए n+1 , सबसे बड़े भाजक के बाद से ए n+1 स्वयं है एएन + 1। यदि एक ए n + 1 को पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो ये संख्याएँ भी संख्याओं के सामान्य भाजक हैं ए 1 और ए 2. संख्या ए n+1 कहलाते हैं महत्तम सामान्य भाजकनंबर ए 1 और ए 2 .

नंबर ए 1 और ए 2 धनात्मक और ऋणात्मक दोनों संख्याएँ हो सकती हैं। यदि संख्याओं में से एक शून्य के बराबर है, तो इन संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक दूसरी संख्या के निरपेक्ष मान के बराबर होगा। शून्य संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक परिभाषित नहीं है।

उपरोक्त एल्गोरिथम कहा जाता है यूक्लिड का एल्गोरिथमदो पूर्णांकों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करना।

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने का एक उदाहरण

दो संख्याओं 630 और 434 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए।

• चरण 1. संख्या 630 को 434 से विभाजित करें। शेष 196 है।
• चरण 2. संख्या 434 को 196 से विभाजित करें। शेष 42 है।
• चरण 3. संख्या 196 को 42 से विभाजित करें। शेष 28 है।
• चरण 4. संख्या 42 को 28 से विभाजित करें। शेष 14 है।
• चरण 5. संख्या 28 को 14 से विभाजित करें। शेषफल 0 है।

चरण 5 पर, शेष भाग 0 है। इसलिए, संख्या 630 और 434 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 14 है। ध्यान दें कि संख्याएं 2 और 7 भी संख्या 630 और 434 की भाजक हैं।

कोप्राइम नंबर

परिभाषा 1. माना संख्याओं का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक ए 1 और ए 2 एक के बराबर है। तब इन नंबरों को कहा जाता है सह अभाज्य संख्याजिसका कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है।

प्रमेय 1. यदि एक ए 1 और ए 2 अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ, और λ कुछ संख्या, फिर संख्याओं का कोई भी सामान्य भाजक a 1 और ए 2 भी संख्याओं का एक उभयनिष्ठ भाजक है λ और ए 2 .

प्रमाण। संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने के लिए यूक्लिड के एल्गोरिथ्म पर विचार करें ए 1 और ए 2 (ऊपर देखें)।

.

यह प्रमेय की शर्तों से निम्नानुसार है कि संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ए 1 और ए 2 , और इसलिए एएन और ए n+1 है 1. यानी। एएन+1=1.

आइए इन सभी समानताओं को से गुणा करें λ , तब

.

चलो आम भाजक ए 1 λ और ए 2 is δ . फिर δ में एक कारक के रूप में प्रवेश करता है ए 1 λ , एम 1 ए 2 λ और में ए 1 λ -एम 1 ए 2 λ =ए 3 λ (देखें "संख्याओं की विभाज्यता", कथन 2)। आगे δ में एक कारक के रूप में प्रवेश करता है ए 2 λ और एम 2 ए 3 λ , और इसलिए में एक कारक के रूप में प्रवेश करता है ए 2 λ -एम 2 ए 3 λ =ए 4 λ .

इस प्रकार तर्क करने से हमें विश्वास हो जाता है कि δ में एक कारक के रूप में प्रवेश करता है ए n-1 λ और एम n-1 एएन λ , और इसलिए में ए n-1 λ −एम n-1 एएन λ =एएन+1 λ . जैसा एएन+1 = 1, फिर δ में एक कारक के रूप में प्रवेश करता है λ . इसलिए संख्या δ संख्याओं का एक सामान्य भाजक है λ और ए 2 .

प्रमेय 1 के विशेष मामलों पर विचार करें।

परिणाम 1. रहने दो एऔर सीअभाज्य संख्याएँ अपेक्षाकृत होती हैं बी. फिर उनका उत्पाद एसीके संबंध में एक अभाज्य संख्या है बी.

सच में। प्रमेय 1 . से एसीऔर बीके समान भाजक हैं सीऔर बी. लेकिन संख्या सीऔर बीकोप्राइम, यानी एक उभयनिष्ठ भाजक है 1. तब एसीऔर बीइसका एक उभयनिष्ठ भाजक भी है 1. अत: एसीऔर बीपरस्पर सरल।

परिणाम 2. रहने दो एऔर बीसहअभाज्य संख्याएँ और let बीविभाजित एके. फिर बीविभाजित करता है और क.

सच में। दावे की स्थिति से एकेऔर बीएक सामान्य भाजक है बी. प्रमेय 1 के आधार पर, बीएक सामान्य भाजक होना चाहिए बीऔर क. इसलिये बीविभाजित क.

कोरोलरी 1 को सामान्यीकृत किया जा सकता है।

परिणाम 3. 1. चलो संख्या ए 1 , ए 2 , ए 3 , ..., एमी संख्या के सापेक्ष अभाज्य हैं बी. फिर ए 1 ए 2 , ए 1 ए 2 · ए 3 , ..., ए 1 ए 2 ए 3 · · · ए m , संख्या के संबंध में इन संख्याओं का गुणनफल अभाज्य है बी.

2. मान लीजिए हमारे पास संख्याओं की दो पंक्तियाँ हैं

जैसे कि पहली पंक्ति में प्रत्येक संख्या दूसरी पंक्ति में प्रत्येक संख्या के संबंध में अभाज्य है। फिर उत्पाद

ऐसी संख्याएँ ज्ञात करना आवश्यक है जो इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य हों।

यदि संख्या से विभाज्य है ए 1 , तो ऐसा लगता है एसए 1 , जहां एसकुछ संख्या। यदि एक क्यूसंख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है ए 1 और ए 2, फिर

कहाँ पे एस 1 कुछ पूर्णांक है। फिर

एक संख्याओं का कम से कम सामान्य गुणक ए 1 और ए 2 .

ए 1 और ए 2 सहअभाज्य, फिर संख्याओं का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज ए 1 और ए 2:

इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

ऊपर से यह इस प्रकार है कि संख्याओं का कोई भी गुणज ए 1 , ए 2 , ए 3 संख्याओं का गुणज होना चाहिए ε और ए 3 और इसके विपरीत। मान लीजिए कि संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य है ε और ए 3 is ε एक । इसके अलावा, संख्याओं की एक बहु ए 1 , ए 2 , ए 3 , ए 4 संख्याओं का गुणज होना चाहिए ε 1 और ए 4 . मान लीजिए कि संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य है ε 1 और ए 4 is ε 2. इस प्रकार, हमने पाया कि संख्याओं के सभी गुणज ए 1 , ए 2 , ए 3 ,...,एमी कुछ विशिष्ट संख्या के गुणकों के साथ मेल खाता है ε n , जिसे दी गई संख्याओं का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज कहा जाता है।

विशेष मामले में जब संख्या ए 1 , ए 2 , ए 3 ,...,एएम कोप्राइम, फिर संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज ए 1 , ए 2 जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, का रूप (3) है। इसके अलावा, चूंकि ए 3 अभाज्य संख्याओं के संबंध में ए 1 , ए 2, फिर ए 3 एक अभाज्य सापेक्ष संख्या है एएक · ए 2 (उपदेश 1)। अतः संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ए 1 ,ए 2 ,ए 3 एक संख्या है एएक · ए 2 · ए 3. इसी तरह से तर्क करते हुए, हम निम्नलिखित अभिकथनों पर पहुँचते हैं।

कथन 1. सहअभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ए 1 , ए 2 , ए 3 ,...,एमी उनके उत्पाद के बराबर है एएक · ए 2 · ए 3 · · · एएम ।

कथन 2. कोई भी संख्या जो प्रत्येक सहअभाज्य संख्या से विभाज्य हो ए 1 , ए 2 , ए 3 ,...,ए m भी उनके गुणनफल से विभाज्य है एएक · ए 2 · ए 3 · · · एएम ।

किसी संख्या का गुणज वह संख्या होती है जो किसी दी गई संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती है। संख्याओं के समूह का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) वह छोटी से छोटी संख्या है जो समूह में प्रत्येक संख्या से समान रूप से विभाज्य होती है। कम से कम सामान्य गुणक खोजने के लिए, आपको दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने होंगे। साथ ही, LCM की गणना कई अन्य विधियों का उपयोग करके की जा सकती है जो दो या अधिक संख्याओं के समूहों पर लागू होती हैं।

कदम

गुणकों की संख्या

इन नंबरों को देखें।यहां वर्णित विधि का सबसे अच्छा उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएँ दी जाती हैं जो दोनों 10 से कम होती हैं। यदि बड़ी संख्याएँ दी गई हैं, तो एक अलग विधि का उपयोग करें।

• उदाहरण के लिए, संख्याओं 5 और 8 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए। ये छोटी संख्याएँ हैं, इसलिए इस पद्धति का उपयोग किया जा सकता है।

1. किसी संख्या का गुणज वह संख्या होती है जो किसी दी गई संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती है। गुणन तालिका में कई संख्याएँ पाई जा सकती हैं।

   • उदाहरण के लिए, जो संख्याएँ 5 के गुणज हैं वे हैं: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40।

2. संख्याओं की एक श्रृंखला लिखिए जो पहली संख्या के गुणज हों।संख्याओं की दो पंक्तियों की तुलना करने के लिए इसे पहली संख्या के गुणकों के अंतर्गत करें।

   • उदाहरण के लिए, जो संख्याएँ 8 के गुणज हैं वे हैं: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 और 64।

3. गुणजों की दोनों श्रृंखलाओं में दिखाई देने वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।कुल ज्ञात करने के लिए आपको गुणकों की लंबी श्रंखला लिखनी पड़ सकती है। गुणकों की दोनों श्रृंखलाओं में दिखाई देने वाली सबसे छोटी संख्या सबसे छोटी संख्या है।

   • उदाहरण के लिए, 5 और 8 के गुणकों की श्रृंखला में दिखाई देने वाली सबसे छोटी संख्या 40 है। इसलिए, 40, 5 और 8 का सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

   मुख्य दलाली

   1. इन नंबरों को देखें।यहां वर्णित विधि का सबसे अच्छा उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएँ दी जाती हैं जो दोनों 10 से बड़ी होती हैं। यदि छोटी संख्याएँ दी गई हैं, तो एक अलग विधि का उपयोग करें।

      • उदाहरण के लिए, संख्याओं 20 और 84 का सबसे छोटा सामान्य गुणक ज्ञात कीजिए। प्रत्येक संख्या 10 से बड़ी है, इसलिए इस पद्धति का उपयोग किया जा सकता है।

   2. पहली संख्या का गुणनखंड करें।यानी आपको ऐसी अभाज्य संख्याएँ ढूंढनी होंगी, जिन्हें गुणा करने पर आपको एक दी गई संख्या मिलती है। अभाज्य गुणनखंडों को खोजने के बाद, उन्हें एक समानता के रूप में लिखिए।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)और 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10. इस प्रकार, संख्या 20 के अभाज्य गुणनखंड 2, 2 और 5 हैं। उन्हें एक व्यंजक के रूप में लिखिए: .

   3. दूसरी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें।इसे वैसे ही करें जैसे आपने पहली संख्या का गुणनखंड किया था, यानी ऐसी अभाज्य संख्याएँ खोजें, जिन्हें गुणा करने पर यह संख्या मिले।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\बार 6=42)और 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). इस प्रकार, संख्या 84 के अभाज्य गुणनखंड 2, 7, 3 और 2 हैं। उन्हें एक व्यंजक के रूप में लिखिए: .

   4. दोनों संख्याओं के सामान्य गुणनखंड लिखिए।गुणन संक्रिया के रूप में ऐसे कारकों को लिखिए। जब आप प्रत्येक गुणनखंड को लिखते हैं, तो उसे दोनों भावों में काट दें (ऐसे भाव जो संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन का वर्णन करते हैं)।

      • उदाहरण के लिए, दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है, इसलिए लिखिए 2 × (\displaystyle 2\बार )और दोनों भावों में 2 को काट दें।
      • दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 का एक अन्य गुणनखंड है, इसलिए लिखिए 2 × 2 (\displaystyle 2\बार 2)और दूसरे 2 को दोनों भावों में काट दें।

   5. गुणन संक्रिया में शेष गुणनखंडों को जोड़ें।ये ऐसे गुणनखंड हैं जिन्हें दोनों व्यंजकों में काट नहीं दिया गया है, अर्थात ऐसे गुणनखंड जो दोनों संख्याओं के लिए उभयनिष्ठ नहीं हैं।

      • उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\बार 2\गुना 5)दोनों दो (2) को काट दिया गया है क्योंकि वे सामान्य कारक हैं। गुणनखंड 5 को पार नहीं किया गया है, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\बार 2\गुना 5)
      • अभिव्यक्ति में 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\गुना 7\गुना 3\गुना 2)दोनों ड्यूस (2) को भी काट दिया जाता है। गुणनखंड 7 और 3 को काटकर नहीं निकाला जाता है, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\बार 2\गुना 5\गुना 7\गुना 3).

   6. कम से कम सामान्य गुणक की गणना करें।ऐसा करने के लिए, लिखित गुणन संक्रिया में संख्याओं को गुणा करें।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\बार 2\गुना 5\गुना 7\गुना 3=420). अतः 20 और 84 का लघुत्तम समापवर्त्य 420 है।

   सामान्य भाजक ढूँढना

   1. एक ग्रिड बनाएं जैसे आप टिक-टैक-टो के खेल के लिए करेंगे।इस तरह के ग्रिड में दो समानांतर रेखाएँ होती हैं जो दो अन्य समानांतर रेखाओं के साथ (समकोण पर) प्रतिच्छेद करती हैं। इसका परिणाम तीन पंक्तियों और तीन स्तंभों में होगा (ग्रिड बहुत कुछ # चिह्न जैसा दिखता है)। पहली पंक्ति और दूसरे कॉलम में पहली संख्या लिखें। पहली पंक्ति और तीसरे कॉलम में दूसरी संख्या लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए। पहली पंक्ति और दूसरे स्तंभ में 18 लिखिए, और पहली पंक्ति और तीसरे स्तंभ में 30 लिखिए।

   2. दोनों संख्याओं का भाजक ज्ञात कीजिए।इसे पहली पंक्ति और पहले कॉलम में लिख लें। अभाज्य भाजक की तलाश करना बेहतर है, लेकिन यह कोई पूर्वापेक्षा नहीं है।

      • उदाहरण के लिए, 18 और 30 सम संख्याएँ हैं, इसलिए उनका उभयनिष्ठ भाजक 2 है। इसलिए पहली पंक्ति और पहले कॉलम में 2 लिखें।

   3. प्रत्येक संख्या को पहले भाजक से विभाजित करें।प्रत्येक भागफल को संगत संख्या के नीचे लिखिए। भागफल दो संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है।

      • उदाहरण के लिए, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), इसलिए 9 अंडर 18 लिखें।
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), अत: 15 के अंतर्गत 30 लिखें।

   4. दोनों भागफलों के लिए एक सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए।यदि ऐसा कोई भाजक नहीं है, तो अगले दो चरणों को छोड़ दें। अन्यथा, दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में भाजक लिखिए।

      • उदाहरण के लिए, 9 और 15 3 से विभाज्य हैं, इसलिए दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में 3 लिखें।

   5. प्रत्येक भागफल को दूसरे भाजक से विभाजित करें।प्रत्येक भाग के परिणाम को संबंधित भागफल के अंतर्गत लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 9 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), इसलिए 3 अंडर 9 लिखें।
      • 15 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), अत: 5 के अंतर्गत 15 लिखें।

   6. यदि आवश्यक हो, अतिरिक्त कोशिकाओं के साथ ग्रिड को पूरक करें।उपरोक्त चरणों को तब तक दोहराएं जब तक कि भागफल में एक सामान्य भाजक न हो।

   7. ग्रिड के पहले कॉलम और आखिरी पंक्ति में संख्याओं को सर्कल करें।फिर हाइलाइट की गई संख्याओं को गुणन संक्रिया के रूप में लिखें।

      • उदाहरण के लिए, संख्या 2 और 3 पहले कॉलम में हैं, और संख्याएँ 3 और 5 अंतिम पंक्ति में हैं, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\बार 3\गुना 3\गुना 5).

   8. संख्याओं को गुणा करने का परिणाम ज्ञात कीजिए।यह दी गई दो संख्याओं के सबसे छोटे सामान्य गुणज की गणना करेगा।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\बार 3\गुना 3\गुना 5=90). अतः 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्तक 90 है।

   यूक्लिड का एल्गोरिथम

   1. डिवीजन ऑपरेशन से जुड़ी शब्दावली याद रखें।लाभांश वह संख्या है जिसे विभाजित किया जा रहा है। भाजक वह संख्या है जिससे भाग देना है। भागफल दो संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है। शेष वह संख्या है जो दो संख्याओं को विभाजित करने पर बची है।

      • उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)आराम। 3:
        15 विभाज्य है
        6 भाजक है
        2 निजी है
        3 शेष है।

आइए एलसीएम - कम से कम सामान्य एकाधिक, परिभाषा, उदाहरण अनुभाग में शुरू किए गए कम से कम सामान्य गुणक के बारे में चर्चा जारी रखें। इस विषय में, हम तीन या अधिक संख्याओं के लिए LCM खोजने के तरीकों पर विचार करेंगे, हम इस प्रश्न का विश्लेषण करेंगे कि किसी ऋणात्मक संख्या का LCM कैसे ज्ञात किया जाए।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

gcd . के माध्यम से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) की गणना

हम पहले ही सबसे छोटे सामान्य गुणक और सबसे बड़े सामान्य भाजक के बीच संबंध स्थापित कर चुके हैं। अब आइए जानें कि GCD के माध्यम से LCM को कैसे परिभाषित किया जाए। सबसे पहले, आइए जानें कि सकारात्मक संख्याओं के लिए यह कैसे करें।

परिभाषा 1

आप सूत्र LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) का उपयोग करके सबसे बड़े सामान्य भाजक के माध्यम से कम से कम सामान्य गुणक पा सकते हैं।

उदाहरण 1

संख्या 126 और 70 का LCM ज्ञात करना आवश्यक है।

फेसला

आइए a = 126 , b = 70 लें। सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) के माध्यम से अल्पतम समापवर्त्य की गणना के लिए सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें।

संख्या 70 और 126 की GCD ज्ञात करता है। इसके लिए हमें यूक्लिड एल्गोरिथम की आवश्यकता है: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, इसलिए जीसीडी (126 , 70) = 14 .

आइए एलसीएम की गणना करें: एलसीएम (126, 70) = 126 70: जीसीडी (126, 70) = 126 70: 14 = 630।

जवाब:एलसीएम (126, 70) = 630।

उदाहरण 2

68 और 34 की संख्या ज्ञात कीजिए।

फेसला

इस मामले में जीसीडी खोजना आसान है, क्योंकि 68, 34 से विभाज्य है। सूत्र का उपयोग करके कम से कम सामान्य गुणक की गणना करें: एलसीएम (68, 34) = 68 34: जीसीडी (68, 34) = 68 34: 34 = 68।

जवाब:एलसीएम (68, 34) = 68।

इस उदाहरण में, हमने धनात्मक पूर्णांकों a और b का अल्पतम समापवर्तक ज्ञात करने के लिए नियम का उपयोग किया है: यदि पहली संख्या दूसरी से विभाज्य है, तो इन संख्याओं का LCM पहली संख्या के बराबर होगा।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं का गुणनखंडन करके LCM ज्ञात करना

अब आइए एलसीएम को खोजने का एक तरीका देखें, जो संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन पर आधारित है।

परिभाषा 2

कम से कम सामान्य गुणक खोजने के लिए, हमें कई सरल चरण करने होंगे:

• हम संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं जिसके लिए हमें LCM ज्ञात करने की आवश्यकता होती है;
• हम सभी प्रमुख कारकों को उनके प्राप्त उत्पादों से बाहर करते हैं;
• सामान्य अभाज्य गुणनखंडों को समाप्त करने के बाद प्राप्त उत्पाद दी गई संख्याओं के एलसीएम के बराबर होगा।

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का यह तरीका समानता LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) पर आधारित है। यदि आप सूत्र को देखें, तो यह स्पष्ट हो जाएगा: संख्याओं a और b का गुणनफल उन सभी कारकों के गुणनफल के बराबर होता है जो इन दो संख्याओं के विस्तार में शामिल होते हैं। इस स्थिति में, दो संख्याओं का GCD उन सभी अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के बराबर होता है जो इन दो संख्याओं के गुणनखंडों में एक साथ मौजूद होते हैं।

उदाहरण 3

हमारे पास दो संख्याएँ 75 और 210 हैं। हम उन्हें इस तरह से निकाल सकते हैं: 75 = 3 5 5और 210 = 2 3 5 7. यदि आप दो मूल संख्याओं के सभी गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं, तो आपको प्राप्त होता है: 2 3 3 5 5 5 7.

यदि हम संख्या 3 और 5 दोनों के सामान्य गुणनखंडों को हटा दें, तो हमें निम्नलिखित रूप का गुणनफल प्राप्त होता है: 2 3 5 5 7 = 1050. यह उत्पाद संख्या 75 और 210 के लिए हमारा एलसीएम होगा।

उदाहरण 4

संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए 441 और 700 , दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में अपघटित करना।

फेसला

आइए शर्त में दी गई संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

हमें संख्याओं की दो श्रृंखलाएँ मिलती हैं: 441 = 3 3 7 7 और 700 = 2 2 5 5 7।

इन संख्याओं के विस्तार में भाग लेने वाले सभी कारकों का गुणनफल इस तरह दिखेगा: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. आइए सामान्य कारक खोजें। यह संख्या 7 है। हम इसे सामान्य उत्पाद से बाहर करते हैं: 2 2 3 3 5 5 7 7. यह पता चला है कि एनओसी (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

जवाब:एलसीएम (441 , 700) = 44 100।

आइए हम संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करके LCM ज्ञात करने की विधि का एक और सूत्रीकरण दें।

परिभाषा 3

पहले, हमने दोनों संख्याओं के सामान्य कारकों की कुल संख्या से बाहर रखा था। अब हम इसे अलग तरीके से करेंगे:

• आइए दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:
• पहली संख्या के अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल में दूसरी संख्या के लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें;
• हमें वह गुणनफल प्राप्त होता है, जो दो संख्याओं का वांछित LCM होगा।

उदाहरण 5

आइए 75 और 210 की संख्या पर वापस जाएं, जिसके लिए हम पिछले उदाहरणों में से एक में एलसीएम की तलाश कर चुके हैं। आइए उन्हें सरल कारकों में विभाजित करें: 75 = 3 5 5और 210 = 2 3 5 7. गुणनखंड 3 , 5 और . के गुणनफल के लिए 5 संख्या 75 लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें 2 और 7 संख्या 210। हम पाते हैं: 2 3 5 5 7 .यह संख्या 75 और 210 का एलसीएम है।

उदाहरण 6

84 और 648 संख्याओं के एलसीएम की गणना करना आवश्यक है।

फेसला

आइए स्थिति से संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करें: 84 = 2 2 3 7और 648 = 2 2 2 3 3 3 3. गुणनखंड 2 , 2 , 3 और . के गुणनफल में जोड़ें 7 संख्या 84 लुप्त गुणनखंड 2 , 3 , 3 और
3 संख्या 648। हमें उत्पाद मिलता है 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536।यह 84 और 648 का अल्पतम समापवर्तक है।

जवाब:एलसीएम (84, 648) = 4536।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करना

हम चाहे कितनी भी संख्याओं के साथ काम कर रहे हों, हमारे कार्यों का एल्गोरिथ्म हमेशा समान रहेगा: हम लगातार दो संख्याओं का LCM पाएंगे। इस मामले के लिए एक प्रमेय है।

प्रमेय 1

मान लीजिए हमारे पास पूर्णांक हैं ए 1 , ए 2 ,… , एक के. अनापत्ति प्रमाण पत्र एम कोइन संख्याओं में से अनुक्रमिक गणना m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k - 1 , a k) में पाई जाती है।

अब आइए देखें कि प्रमेय को विशिष्ट समस्याओं पर कैसे लागू किया जा सकता है।

उदाहरण 7

आपको चार संख्याओं 140 , 9 , 54 और . के सबसे छोटे सामान्य गुणज की गणना करने की आवश्यकता है 250 .

फेसला

आइए अंकन का परिचय दें: एक 1 \u003d 140, एक 2 \u003d 9, एक 3 \u003d 54, एक 4 \u003d 250।

आइए m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) की गणना करके शुरू करें। आइए 140 और 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4 की जीसीडी की गणना करने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करें। हम प्राप्त करते हैं: जीसीडी (140, 9) = 1, एलसीएम (140, 9) = 140 9: जीसीडी (140, 9) = 140 9: 1 = 1260। इसलिए, एम 2 = 1 260।

आइए अब उसी एल्गोरिथम के अनुसार गणना करें m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) । गणना के क्रम में, हमें m 3 = 3 780 प्राप्त होता है।

यह हमारे लिए m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) की गणना करना बाकी है। हम एक ही एल्गोरिथ्म के अनुसार कार्य करते हैं। हमें एम 4 \u003d 94 500 मिलता है।

उदाहरण शर्त से चार संख्याओं का एलसीएम 94500 है।

जवाब:एलसीएम (140, 9, 54, 250) = 94,500।

जैसा कि आप देख सकते हैं, गणना सरल है, लेकिन काफी श्रमसाध्य है। समय बचाने के लिए आप दूसरे रास्ते पर जा सकते हैं।

परिभाषा 4

हम आपको क्रियाओं के निम्नलिखित एल्गोरिथम प्रदान करते हैं:

• सभी संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें;
• पहली संख्या के गुणनखंडों के गुणनफल में, दूसरी संख्या के गुणनफल से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें;
• तीसरे नंबर के लापता कारकों को पिछले चरण में प्राप्त उत्पाद में जोड़ें, आदि;
• परिणामी उत्पाद स्थिति से सभी संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक होगा।

उदाहरण 8

पांच संख्याओं 84 , 6 , 48 , 7 , 143 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना आवश्यक है।

फेसला

आइए सभी पांच संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13। अभाज्य संख्याएँ, जो कि संख्या 7 है, को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित नहीं किया जा सकता है। ऐसी संख्याएँ अभाज्य गुणनखंडों में उनके अपघटन के साथ मेल खाती हैं।

अब हम संख्या 84 के अभाज्य गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 का गुणनफल लेते हैं और उनमें दूसरी संख्या के लुप्त गुणनखंडों को जोड़ते हैं। हमने संख्या 6 को 2 और 3 में विघटित कर दिया है। ये कारक पहले से ही पहले नंबर के उत्पाद में हैं। इसलिए, हम उन्हें छोड़ देते हैं।

हम लापता गुणकों को जोड़ना जारी रखते हैं। हम संख्या 48 की ओर मुड़ते हैं, अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल से, जिनमें से हम 2 और 2 लेते हैं। फिर हम चौथी संख्या से 7 का एक साधारण गुणनखंड और पांचवें के 11 और 13 के गुणनखंड जोड़ते हैं। हम पाते हैं: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048। यह पाँच मूल संख्याओं का सबसे छोटा सा सामान्य गुणज है।

जवाब:एलसीएम (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048।

ऋणात्मक संख्याओं का अल्पतम समापवर्तक ज्ञात करना

ऋणात्मक संख्याओं के कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने के लिए, इन संख्याओं को पहले विपरीत चिह्न वाली संख्याओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, और फिर उपरोक्त एल्गोरिदम के अनुसार गणना की जानी चाहिए।

उदाहरण 9

एलसीएम(54, −34) = एलसीएम(54, 34) और एलसीएम(−622,−46, −54,−888) = एलसीएम(622, 46, 54, 888)।

इस तरह के कार्यों की अनुमति इस तथ्य के कारण है कि यदि यह स्वीकार किया जाता है कि एऔर - ए- विपरीत संख्या
फिर गुणकों का समुच्चय एकिसी संख्या के गुणजों के समुच्चय के साथ मेल खाता है - ए.

उदाहरण 10

ऋणात्मक संख्याओं के LCM की गणना करना आवश्यक है − 145 और − 45 .

फेसला

चलो नंबर बदलते हैं − 145 और − 45 उनके विपरीत संख्याओं के लिए 145 और 45 . अब, एल्गोरिथम का उपयोग करते हुए, हम एलसीएम (145 , 45) = 145 45: जीसीडी (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 की गणना करते हैं, पहले यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके जीसीडी निर्धारित करते हैं।

हम पाते हैं कि संख्याओं का एलसीएम - 145 और − 45 बराबरी 1 305 .

जवाब:एलसीएम (- 145 , - 45) = 1 305।

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एक व्यापक स्कूल की 5 वीं कक्षा में "एकाधिक संख्या" विषय का अध्ययन किया जाता है। इसका लक्ष्य गणितीय गणनाओं के लिखित और मौखिक कौशल में सुधार करना है। इस पाठ में, नई अवधारणाओं को पेश किया गया है - "एकाधिक संख्या" और "भाजक", एक प्राकृतिक संख्या के भाजक और गुणक खोजने की तकनीक, विभिन्न तरीकों से एलसीएम खोजने की क्षमता पर काम किया जाता है।

यह विषय बहुत महत्वपूर्ण है। इस पर ज्ञान को भिन्नों के साथ उदाहरणों को हल करते समय लागू किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको कम से कम सामान्य गुणक (LCM) की गणना करके सामान्य भाजक को खोजने की आवश्यकता है।

A का गुणज एक पूर्णांक होता है जो बिना शेषफल के A से विभाज्य होता है।

प्रत्येक प्राकृत संख्या में अनंत गुणज होते हैं। इसे सबसे कम माना जाता है। एक गुणक स्वयं संख्या से कम नहीं हो सकता।

यह साबित करना आवश्यक है कि संख्या 125 संख्या 5 का गुणज है। ऐसा करने के लिए, आपको पहली संख्या को दूसरे से विभाजित करना होगा। यदि 125 शेष के बिना 5 से विभाज्य है, तो उत्तर हाँ है।

यह विधि छोटी संख्याओं के लिए लागू होती है।

एलसीएम की गणना करते समय, विशेष मामले होते हैं।

1. यदि आपको 2 संख्याओं (उदाहरण के लिए, 80 और 20) के लिए एक सामान्य गुणक खोजने की आवश्यकता है, जहां उनमें से एक (80) शेष के बिना दूसरे (20) से विभाज्य है, तो यह संख्या (80) सबसे छोटी है इन दो संख्याओं में से कई।

एलसीएम (80, 20) = 80।

2. यदि दो में एक उभयनिष्ठ भाजक नहीं है, तो हम कह सकते हैं कि उनका LCM इन दो संख्याओं का गुणनफल है।

एलसीएम (6, 7) = 42.

अंतिम उदाहरण पर विचार करें। 42 के संबंध में 6 और 7 भाजक हैं। वे बिना किसी शेषफल के एक गुणक को विभाजित करते हैं।

इस उदाहरण में, 6 और 7 युग्म भाजक हैं। उनका गुणनफल सबसे अधिक संख्या (42) के बराबर है।

एक संख्या को अभाज्य कहा जाता है यदि वह केवल स्वयं या 1 से विभाज्य हो (3:1=3; 3:3=1)। बाकी को समग्र कहा जाता है।

एक अन्य उदाहरण में, आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि 9 42 के संबंध में भाजक है या नहीं।

42:9=4 (शेष 6)

उत्तर: 9 42 का भाजक नहीं है क्योंकि उत्तर में शेषफल है।

एक भाजक एक गुणक से भिन्न होता है कि भाजक वह संख्या होती है जिससे प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित किया जाता है, और गुणक स्वयं उस संख्या से विभाज्य होता है।

संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एऔर बी, उनके सबसे छोटे गुणज से गुणा करने पर, संख्याओं का गुणनफल स्वयं प्राप्त होगा एऔर बी.

अर्थात्: जीसीडी (ए, बी) एक्स एलसीएम (ए, बी) = ए एक्स बी।

अधिक सम्मिश्र संख्याओं के उभयनिष्ठ गुणज निम्न प्रकार से पाए जाते हैं।

उदाहरण के लिए, 168, 180, 3024 का एलसीएम ज्ञात कीजिए।

हम इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं, इन्हें घातों के गुणनफल के रूप में लिखते हैं:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

एलसीएम (168, 180, 3024) = 15120।