आइए हम तीन किरणों a, b, c पर विचार करें, जो एक ही बिंदु से निकलती हैं और एक ही तल में नहीं हैं। एक त्रिभुज कोण (abc) "तीन समतल कोणों (ab), (bc) और (ac) (चित्र 2) से बनी एक आकृति है। इन कोणों को त्रिभुज कोण के फलक कहा जाता है, और इनकी भुजाएँ किनारे होती हैं। समतल कोणों का उभयनिष्ठ शीर्ष कहलाता है त्रिभुज कोण के फलकों द्वारा बनने वाले द्विफलक कोण त्रिभुज कोण के द्विफलक कोण कहलाते हैं।

एक बहुफलकीय कोण की अवधारणा को इसी तरह परिभाषित किया गया है (चित्र 3)।

बहुतल

स्टीरियोमेट्री में, अंतरिक्ष में आकृतियों, जिन्हें पिंड कहा जाता है, का अध्ययन किया जाता है। नेत्रहीन, एक (ज्यामितीय) शरीर की कल्पना एक भौतिक शरीर के कब्जे वाले स्थान के हिस्से के रूप में की जानी चाहिए और एक सतह से घिरा होना चाहिए।

एक पॉलीहेड्रॉन एक ऐसा पिंड है जिसकी सतह में समतल बहुभुजों की एक सीमित संख्या होती है (चित्र 4)। एक पॉलीहेड्रॉन को उत्तल कहा जाता है यदि यह अपनी सतह पर प्रत्येक फ्लैट बहुभुज के विमान के एक तरफ स्थित होता है। इस तरह के एक विमान के सामान्य भाग और उत्तल पॉलीहेड्रॉन की सतह को एक चेहरा कहा जाता है। उत्तल बहुफलक के फलक समतल उत्तल बहुभुज होते हैं। फलकों के किनारों को पॉलीहेड्रॉन के किनारे कहा जाता है, और कोने को पॉलीहेड्रॉन के कोने कहा जाता है।

आइए समझाएं कि एक परिचित घन के उदाहरण पर क्या कहा गया था (चित्र 5)। घन एक उत्तल बहुफलक है। इसकी सतह में छह वर्ग होते हैं: ABCD, BEFC, .... वे इसके फलक हैं। घन के किनारे इन वर्गों की भुजाएँ हैं: AB, BC, BE,.... क्यूब के कोने वर्गों के शीर्ष हैं: ए, बी, सी, डी, ई, .... क्यूब के छह चेहरे, बारह किनारे और आठ कोने हैं।

सबसे सरल पॉलीहेड्रा - प्रिज्म और पिरामिड, जो हमारे अध्ययन का मुख्य उद्देश्य होगा - हम परिभाषा देंगे कि, संक्षेप में, शरीर की अवधारणा का उपयोग न करें। उन्हें ज्यामितीय आकृतियों के रूप में परिभाषित किया जाएगा, जो उनसे संबंधित अंतरिक्ष के सभी बिंदुओं को दर्शाती हैं। एक ज्यामितीय शरीर और इसकी सतह की अवधारणा सामान्य मामलाबाद में दिया जाएगा।

पाठ की व्याख्या:

प्लानिमेट्री में, अध्ययन की वस्तुओं में से एक कोण है।

कोण एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें एक बिंदु होता है - कोण का शीर्ष और इस बिंदु से निकलने वाली दो किरणें।

दो कोण, एक भुजा, जो उभयनिष्ठ हैं और अन्य दो एक दूसरे की निरंतरता हैं, को समतलमिति में आसन्न कहा जाता है।

कम्पास को समतल कोण के मॉडल के रूप में देखा जा सकता है।

एक विकर्ण कोण की अवधारणा को याद करें।

यह एक सीधी रेखा a और दो अर्ध-तलों द्वारा एक सामान्य सीमा a द्वारा बनाई गई आकृति है जो ज्यामिति में एक ही तल से संबंधित नहीं है, इसे एक डायहेड्रल कोण कहा जाता है। हाफ प्लेन एक डायहेड्रल एंगल के फलक होते हैं। सीधी रेखा ए डायहेड्रल कोण का किनारा है।

घर की छत स्पष्ट रूप से डायहेड्रल कोण को प्रदर्शित करती है।

लेकिन आकृति दो में घर की छत एक सामान्य शीर्ष के साथ छह सपाट कोनों से बनी आकृति के रूप में बनाई गई है ताकि कोनों को एक निश्चित क्रम में लिया जा सके और पहले और आखिरी सहित आसन्न कोनों की प्रत्येक जोड़ी में हो। एक सामान्य पक्ष। इस प्रकार की छत को क्या कहते हैं?

ज्यामिति में, कोणों से बनी एक आकृति

और वे कोण जो इस कोण को बनाते हैं, समतल कोण कहलाते हैं। समतल कोणों की भुजाओं को बहुफलकीय कोण का किनारा कहा जाता है। बिंदु O को कोने का शीर्ष कहा जाता है।

चतुष्फलक और घनाभ में बहुफलकीय कोणों के उदाहरण पाए जा सकते हैं।

चतुष्फलक DBA, ABC, DBC के फलक एक बहुफलकीय कोण BADC बनाते हैं। अधिक बार इसे त्रिफलक कोण कहा जाता है।

एक समानांतर चतुर्भुज में, AA1D1D, ABCD, AA1B1B का सामना करना पड़ता है, एक त्रिभुज कोण AA1DB बनाते हैं।

वैसे घर की छत को षट्कोणीय कोने के रूप में बनाया गया है। इसमें छह सपाट कोने होते हैं।

बहुफलकीय कोण के लिए अनेक गुण धारण करते हैं। आइए उन्हें तैयार करें और उन्हें साबित करें। यह यहाँ कहता है कि कथन

सबसे पहले, किसी भी उत्तल बहुफलकीय कोण के लिए एक समतल होता है जो उसके सभी किनारों को काटता है।

प्रमाण के लिए बहुफलकीय कोण OA1A2 A3…An पर विचार करें।

परिभाषा के अनुसार, यह उत्तल है। एक कोण उत्तल कहलाता है यदि वह अपने प्रत्येक समतल कोण के तल के एक तरफ स्थित हो।

चूँकि स्थिति के अनुसार यह कोण उत्तल है, तो बिंदु O, A1, A2, A3, A, समतल OA1A2 के एक ओर स्थित है।

आइए हम त्रिभुज OA1A2 की मध्य रेखा KM खींचते हैं और किनारों से OA3, OA4, O उस किनारे का चयन करते हैं जो OCM तल के साथ सबसे छोटा डायहेड्रल कोण बनाता है। मान लीजिए यह किनारा OAi है।(Oa कुल)

आइए हम अर्ध-समतल α पर विचार करें, जिसमें CM सीमा द्विफलक कोण OKMAi को दो द्विफलक कोणों में विभाजित करती है। A से A तक के सभी शीर्ष तल α के एक ओर तथा दूसरी ओर बिंदु O स्थित हैं। इसलिए, समतल α बहुफलकीय कोण के सभी किनारों को काटता है। अभिकथन सिद्ध हो चुका है।

उत्तल बहुफलकीय कोणों का एक और महत्वपूर्ण गुण होता है।

उत्तल बहुफलकीय कोण के समतल कोणों का योग 360° से कम होता है।

बिंदु 0 पर एक शीर्ष के साथ उत्तल बहुफलकीय कोण पर विचार करें। सिद्ध कथन के आधार पर, एक विमान मौजूद है जो इसके सभी किनारों को काटता है।

आइए हम एक ऐसा तल α खींचते हैं, यह कोण के किनारों को A1, A2, A3 और इसी तरह An पर प्रतिच्छेद करता है।

समतल α समतल कोण के बाहरी क्षेत्र से त्रिभुज को काट देगा। कोणों का योग 180° होता है। हम पाते हैं कि А1ОА2 से nОА1 तक के सभी समतल कोणों का योग हमारे द्वारा रूपांतरित व्यंजक के बराबर होता है, यह व्यंजक हम पदों को पुनर्समूहित करते हैं, हमें प्राप्त होता है

इस व्यंजक में, कोष्ठकों में दर्शाई गई राशियाँ त्रिभुज कोण के समतल कोणों के योग हैं, और जैसा कि आप जानते हैं, वे तीसरे समतल कोण से बड़े हैं।

यह असमानता किसी दिए गए बहुफलकीय कोण को बनाने वाले सभी त्रिभुज कोणों के लिए लिखी जा सकती है।

इसलिए, हम समानता की निम्नलिखित निरंतरता प्राप्त करते हैं:

प्राप्त उत्तर से सिद्ध होता है कि एक उत्तल बहुफलकीय कोण के समतल कोणों का योग 360 डिग्री से कम होता है।

1 दिनांक 05.09.14

विषय ज्यामिति

कक्षा 11

पाठ विषय: एक बहुफलकीय कोण की अवधारणा। त्रिकोणीय कोण।

पाठ मकसद:

अवधारणाओं का परिचय दें: "त्रिकोणीय कोण", "बहुफलक कोण", "बहुफलक";

छात्रों को त्रिफलक और बहुफलकीय कोणों के तत्वों, एक बहुफलक, साथ ही एक उत्तल बहुफलकीय कोण की परिभाषाओं और एक बहुफलकीय कोण के समतल कोणों के गुणों से परिचित कराना;

स्थानिक प्रतिनिधित्व और स्थानिक कल्पना के विकास के साथ-साथ छात्रों की तार्किक सोच पर काम जारी रखने के लिए।

पाठ का प्रकार: नई सामग्री सीखना

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण।

छात्रों का अभिवादन करना, पाठ के लिए कक्षा की तैयारी की जाँच करना, छात्रों का ध्यान व्यवस्थित करना, पाठ के सामान्य उद्देश्यों और उसकी योजना का खुलासा करना।

2. नई अवधारणाओं और कार्रवाई के तरीकों का गठन।

कार्य: छात्रों द्वारा अध्ययन की गई सामग्री की धारणा, समझ और याद को सुनिश्चित करना। यह सुनिश्चित करने के लिए कि छात्रों को अध्ययन की गई सामग्री को पुन: प्रस्तुत करने की पद्धति में महारत हासिल है, ताकि अवधारणाओं, कानूनों, नियमों, सूत्रों को आत्मसात करने की दार्शनिक समझ को बढ़ावा दिया जा सके। छात्रों द्वारा अध्ययन की गई सामग्री की शुद्धता और जागरूकता स्थापित करना, प्राथमिक समझ में अंतराल की पहचान करना, सुधार करना। यह सुनिश्चित करने के लिए कि छात्र वैज्ञानिक ज्ञान के संकेतों के साथ अपने व्यक्तिपरक अनुभव को सहसंबंधित करते हैं।

चलो तीन किरणें दी जाती हैंएक, बी तथाएस एस सामान्य प्रारंभ बिंदुहे (चित्र 1.1)। जरूरी नहीं कि ये तीनों किरणें एक ही तल में हों। चित्र 1.2 में किरणेंबी तथासाथ विमान में लेट जाओआर, एक किरणएक इस विमान में झूठ नहीं है।

किरणोंएक, बी तथासाथ जोड़े तीन समतल कोणों को परिभाषित करते हैं जिन्हें चापों द्वारा पहचाना जाता है (चित्र। 1.3)।

ऊपर बताए गए तीन कोणों और इन समतल कोणों से घिरे अंतरिक्ष के हिस्से से मिलकर बनी एक आकृति पर विचार करें। इस स्थानिक आकृति को कहा जाता हैत्रिफलक कोण (रेखा चित्र नम्बर 2)।

किरणोंएक, बी और साथ बुलायाएक त्रिभुज कोण के किनारों, और कोने: = एओसी, = एओबी,

= बीओसी , त्रिभुज कोण को सीमित करना, - इसकाचेहरे के। ये कोने बनते हैंत्रिकोणीय सतह। दूरसंचार विभागहे बुलायाएक त्रिभुज कोण का शीर्ष। एक त्रिभुज कोण को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है: ओएबीसी

चित्रा 3 में दिखाए गए सभी पॉलीहेड्रल कोणों की सावधानीपूर्वक जांच करने के बाद, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि प्रत्येक पॉलीहेड्रल कोण में किनारों और चेहरों की संख्या समान होती है:

4 चेहरे और एक शीर्ष;

एक पांच-तरफा कोने में 5 किनारे, 5 चेहरे और एक शीर्ष होता है;

• 
  एक षट्कोणीय कोने में 6 किनारे, 6 फलक और एक शीर्ष आदि होते हैं।

बहुफलकीय कोण हैं उत्तल तथा गैर-उत्तल।

कल्पना कीजिए कि हमने एक उभयनिष्ठ मूल वाली चार किरणें लीं, जैसा कि चित्र 4 में है। इस मामले में, हमें मिलागैर-उत्तल बहुफलकीय कोण।

परिभाषा 1. एक बहुफलकीय कोण को उत्तल कोण कहा जाता है,अगर वहइसके प्रत्येक फलक के तल के एक ओर स्थित होता है।

दूसरे शब्दों में, एक उत्तल बहुफलकीय कोण हमेशा उसके किसी भी फलक द्वारा किसी न किसी तल पर रखा जा सकता है। आप देख सकते हैं कि चित्र 4 में दिखाए गए मामले में, यह हमेशा संभव नहीं होता है। चित्र 4 में दिखाया गया चतुष्फलकीय कोण उत्तल नहीं है।

ध्यान दें कि हमारे ट्यूटोरियल में, यदि हम "बहुफलकीय कोण" कहते हैं, तो हमारा मतलब है कि यह उत्तल है। यदि माना गया पॉलीहेड्रल कोण गैर-उत्तल है, तो इस पर अलग से चर्चा की जाएगी।

एक बहुफलकीय कोने के समतल कोनों के गुण

प्रमेय 1.एक त्रिभुज कोण का प्रत्येक समतल कोण अन्य दो समतल कोणों के योग से कम होता है।

प्रमेय 2।उत्तल बहुफलकीय कोण के सभी समतल कोणों के मानों का योग 360° से कम होता है।

3. आवेदन। कौशल और क्षमताओं का गठन।

उद्देश्य: यह सुनिश्चित करने के लिए कि छात्रों ने एसडब्ल्यू के लिए आवश्यक ज्ञान और कार्रवाई के तरीकों को लागू किया है, ताकि छात्रों ने जो कुछ सीखा है उसे लागू करने के व्यक्तिगत तरीकों की पहचान करने के लिए स्थितियां तैयार की जा सकें।

6. होमवर्क के बारे में स्टेज की जानकारी।

उद्देश्य: यह सुनिश्चित करने के लिए कि छात्र होमवर्क करने के उद्देश्य, सामग्री और विधियों को समझते हैं।

1(1.1, 1.2) पृष्ठ 4, संख्या 9.

7. पाठ को सारांशित करना।

उद्देश्य: कक्षा और व्यक्तिगत छात्रों के काम का गुणात्मक मूल्यांकन देना।

8. प्रतिबिंब का चरण।

कार्य: अपनी गतिविधियों के स्व-मूल्यांकन पर छात्रों के प्रतिबिंब को आरंभ करने के लिए। यह सुनिश्चित करने के लिए कि छात्र स्व-नियमन और सहयोग के सिद्धांतों को सीखें।

पर बातचीत:

पाठ में आपको क्या दिलचस्प लगा?

क्या स्पष्ट नहीं है?

अगले पाठ में शिक्षक को क्या ध्यान देना चाहिए?

आप कक्षा में अपने काम का मूल्यांकन कैसे करेंगे?

स्लाइड 1

निर्दिष्ट सतह और इससे घिरे अंतरिक्ष के दो भागों में से एक द्वारा बनाई गई आकृति को बहुफलकीय कोण कहा जाता है। उभयनिष्ठ शीर्ष S को बहुफलकीय कोण का शीर्ष कहा जाता है। किरणों SA1, …, SAn को बहुफलकीय कोण के किनारे कहा जाता है, और समतल कोण स्वयं A1SA2, A2SA3,…, An-1SAn, AnSA1 को बहुफलकीय कोण के फलक कहा जाता है। एक बहुफलकीय कोण को SA1…An अक्षरों से निरूपित किया जाता है, जो इसके किनारों पर शीर्ष और बिंदुओं को दर्शाता है। समतल कोणों A1SA2, A2SA3,…, An-1SAn, AnSA1 के एक सामान्य शीर्ष S के साथ परिमित सेट द्वारा बनाई गई सतह, जिसमें एक सामान्य किरण के बिंदुओं को छोड़कर पड़ोसी कोणों में कोई सामान्य बिंदु नहीं होता है, और गैर-पड़ोसी कोण होते हैं कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं, एक उभयनिष्ठ शीर्ष को छोड़कर, हम एक बहुफलकीय सतह कहलाएंगे।

स्लाइड 2


फलकों की संख्या के आधार पर, बहुफलकीय कोण त्रिफलक, चतुष्फलकीय, पंचकोणीय, आदि हैं।

स्लाइड 3

त्रिकोणीय कोनों

प्रमेय। एक त्रिफलक कोण का प्रत्येक समतल कोण उसके अन्य दो समतल कोणों के योग से कम होता है। प्रमाण। त्रिभुज कोण SABC पर विचार करें। माना कि इसके समतल कोणों में से सबसे बड़ा कोण ASC है। फिर असमानताएँ ASB ASC

स्लाइड 4


संपत्ति। एक त्रिभुजाकार कोण के समतल कोणों का योग 360° से कम होता है। इसी प्रकार, शीर्ष B और C वाले त्रिफलक कोणों के लिए, निम्नलिखित असमानताएँ होती हैं: ABС

स्लाइड 5

उत्तल बहुफलकीय कोण

एक बहुफलकीय कोण उत्तल कहलाता है यदि यह एक उत्तल आकृति है, अर्थात, इसके किन्हीं दो बिंदुओं के साथ, इसमें उन्हें जोड़ने वाला खंड पूरी तरह से समाहित है। आकृति उत्तल और गैर-उत्तल बहुफलकीय कोणों के उदाहरण दिखाती है। गुण एक उत्तल बहुफलकीय कोण के सभी समतल कोणों का योग 360° से कम होता है। सबूत एक त्रिभुज कोण के लिए संबंधित संपत्ति के सबूत के समान है।

स्लाइड 6

लंबवत बहुफलकीय कोण

आंकड़े त्रिफलक, चतुष्फलकीय और पंचकोणीय ऊर्ध्वाधर कोणों के उदाहरण दिखाते हैं। लंबवत कोण बराबर होते हैं।

स्लाइड 7

बहुफलकीय कोणों का मापन

चूंकि एक विकसित डायहेड्रल कोण का डिग्री मान संबंधित रैखिक कोण के डिग्री मान से मापा जाता है और 180 डिग्री के बराबर होता है, हम मान लेंगे कि पूरे अंतरिक्ष का डिग्री मान, जिसमें दो विकसित डायहेड्रल कोण होते हैं, 360 डिग्री है . एक बहुफलकीय कोण का मान, जिसे अंशों में व्यक्त किया जाता है, यह दर्शाता है कि दिया गया बहुफलकीय कोण अंतरिक्ष के किस भाग पर कब्जा करता है। उदाहरण के लिए, एक घन का त्रिफलक कोण अंतरिक्ष के आठवें हिस्से पर कब्जा करता है और इसलिए, इसका डिग्री मान 360o:8 = 45o है। एक नियमित n-गोनल प्रिज्म में त्रिफलक कोण पार्श्व किनारे पर द्विफलकीय कोण के आधे के बराबर होता है। यह देखते हुए कि यह डायहेड्रल कोण बराबर है, हम प्राप्त करते हैं कि प्रिज्म का त्रिभुज कोण बराबर है।

स्लाइड 8

त्रिफलक कोणों का मापन*

हम एक त्रिफलक कोण के मान को उसके द्विफलकीय कोणों के रूप में व्यक्त करने वाला एक सूत्र प्राप्त करते हैं। आइए हम त्रिभुज कोण के शीर्ष S के निकट एक इकाई गोले का वर्णन करें और इस गोले A, B, C के साथ त्रिभुज कोण के किनारों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निरूपित करें। त्रिभुज कोण के फलकों के तल इस गोले को छह भागों में विभाजित करते हैं। दिए गए त्रिभुजाकार कोण के द्विफलकीय कोणों के संगत युग्म में समान गोलाकार द्विभुज। गोलाकार त्रिभुज एबीसी और गोलाकार त्रिभुज ए "बी" सी सममित तीन डिगों का प्रतिच्छेदन है। इसलिए, डायहेड्रल कोणों का दोहरा योग 360o प्लस त्रिभुज कोण का चौगुना मान है, या  SA + SB + SC = 180o + 2SABC।

स्लाइड 9

बहुफलकीय कोणों का मापन*

मान लीजिए SA1…An एक उत्तल n-सामना कोण है। इसे त्रिभुज कोणों में विभाजित करना, विकर्णों A1A3, …, A1An-1 को खींचना और परिणामी सूत्र को उन पर लागू करना, हमारे पास होगा: SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1…An। बहुफलकीय कोणों को संख्याओं द्वारा भी मापा जा सकता है। दरअसल, पूरे स्थान का तीन सौ साठ डिग्री संख्या 2π से मेल खाता है। परिणामी सूत्र में अंशों से संख्याओं तक जाने पर, हमारे पास होगा: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An।

स्लाइड 10

अभ्यास 1

क्या समतल कोनों वाला कोई त्रिफलक कोण हो सकता है: a) 30°, 60°, 20°; बी) 45 डिग्री, 45 डिग्री, 90 डिग्री; ग) 30°, 45°, 60°? कोई जवाब नहीं; बी) नहीं; ग) हाँ।

स्लाइड 11

व्यायाम 2

ऐसे बहुफलकों के उदाहरण दीजिए जिनके फलक, शीर्षों पर प्रतिच्छेद करते हुए, केवल बनते हैं: a) त्रिफलक कोण; बी) टेट्राहेड्रल कोने; ग) पांच तरफा कोनों। उत्तर: ए) टेट्राहेड्रोन, क्यूब, डोडेकाहेड्रोन; बी) अष्टफलक; ग) इकोसाहेड्रोन।

स्लाइड 12

व्यायाम 3

एक त्रिभुज कोण के दो तलीय कोण 70° और 80° हैं। तीसरे समतल कोण की सीमा क्या है? उत्तर: 10o

स्लाइड 13

व्यायाम 4

एक त्रिफलक कोण के समतल कोण 45°, 45° और 60° हैं। 45° के समतल कोणों के तलों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। उत्तर: 90o.

स्लाइड 14

व्यायाम 5

एक त्रिफलक कोण में, दो समतल कोण प्रत्येक 45° के होते हैं; उनके बीच का डायहेड्रल कोण सही है। तीसरा फ्लैट कोना खोजें। उत्तर: 60o.

स्लाइड 15

व्यायाम 6

एक त्रिफलक कोण के समतल कोण 60°, 60° और 90° होते हैं। समान खंड OA, OB, OC शीर्ष से इसके किनारों पर प्लॉट किए गए हैं। 90° कोण वाले तल और ABC तल के बीच द्विफलकीय कोण ज्ञात कीजिए। उत्तर: 90o.

स्लाइड 16

व्यायाम 7

एक त्रिभुजाकार कोण का प्रत्येक समतल कोण 60° का होता है। इसके किनारों में से एक पर, ऊपर से 3 सेमी के बराबर एक खंड बिछाया जाता है, और इसके छोर से विपरीत चेहरे पर एक लंबवत नीचे किया जाता है। इस लंबवत की लंबाई पाएं। उत्तर: देखें

स्लाइड 17

व्यायाम 8

किसी त्रिभुज के फलकों से समदूरस्थ कोण के आंतरिक बिंदुओं का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए। उत्तर: एक किरण जिसका शीर्ष एक त्रिभुजाकार कोण का शीर्ष होता है जो विकर्ण कोणों को समद्विभाजित करने वाले तलों के प्रतिच्छेदन रेखा पर स्थित होता है।

स्लाइड 18

व्यायाम 9

इसके किनारों से समान दूरी पर एक त्रिभुज कोण के आंतरिक बिंदुओं का स्थान ज्ञात कीजिए। उत्तर: एक किरण जिसका शीर्ष एक त्रिभुजाकार कोण का शीर्ष है जो समतल कोणों के समद्विभाजक और इन कोणों के तलों के लंबवत से गुजरने वाले तलों के प्रतिच्छेदन की रेखा पर स्थित है।

स्लाइड 19

व्यायाम 10

टेट्राहेड्रोन के डायहेड्रल कोणों के लिए हमारे पास है: , जहां से 70o30"। टेट्राहेड्रोन के त्रिकोणीय कोणों के लिए हमारे पास: 15o45" है। उत्तर: 15o45"। चतुष्फलक के त्रिभुज कोणों के अनुमानित मान ज्ञात कीजिए।

स्लाइड 20

व्यायाम 11

अष्टफलक के चतुष्फलकीय कोणों के अनुमानित मान ज्ञात कीजिए। अष्टफलक के द्विफलकीय कोणों के लिए हमारे पास है: , जहां से 109o30"। अष्टफलक के चतुष्फलकीय कोणों के लिए हमारे पास: 38o56" है। उत्तर: 38o56"।

स्लाइड 21

व्यायाम 12

आइसोसाहेड्रोन के पांच-पक्षीय कोणों के अनुमानित मान ज्ञात कीजिए। आईकोसाहेड्रोन के डायहेड्रल कोणों के लिए हमारे पास है: , जहां से 138o11"। इकोसाहेड्रोन के पेंटाहेड्रल कोणों के लिए हमारे पास है: 75o28"। उत्तर: 75o28"।

स्लाइड 22

व्यायाम 13

डोडेकाहेड्रॉन के डायहेड्रल कोणों के लिए हमारे पास है: , जहां से 116o34"। डोडेकाहेड्रोन के त्रिभुज कोणों के लिए हमारे पास है: 84o51"। उत्तर: 84o51"। डोडेकाहेड्रोन के त्रिभुज कोणों के अनुमानित मान ज्ञात कीजिए।

स्लाइड 23

व्यायाम 14

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड SABCD में, आधार की भुजा 2 सेमी, ऊँचाई 1 सेमी है। इस पिरामिड के शीर्ष पर चतुष्फलकीय कोण ज्ञात कीजिए। समाधान: संकेतित पिरामिड क्यूब के केंद्र में शीर्षों के साथ क्यूब को छह बराबर पिरामिडों में विभाजित करते हैं। इसलिए, पिरामिड के शीर्ष पर 4-पक्षीय कोण 360° कोण का छठा भाग है, अर्थात। 60o के बराबर। उत्तर: 60o.

स्लाइड 24

व्यायाम 15

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में, किनारे के किनारे 1 के बराबर होते हैं, शीर्ष पर कोण 90o होते हैं। इस पिरामिड के शीर्ष पर त्रिभुज कोण ज्ञात कीजिए। समाधान: संकेतित पिरामिड ऑक्टाहेड्रोन को ऑक्टाहेड्रोन के केंद्र O में शीर्षों के साथ आठ समान पिरामिडों में विभाजित करते हैं। इसलिए, पिरामिड के शीर्ष पर 3-पक्षीय कोण 360° कोण का एक-आठवाँ भाग है, अर्थात। 45o के बराबर। उत्तर: 45o.

स्लाइड 25

व्यायाम 16

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड में, भुजाओं के किनारे 1 के बराबर होते हैं, और ऊँचाई इस पिरामिड के शीर्ष पर त्रिभुज कोण ज्ञात कीजिए। समाधान: संकेतित पिरामिड नियमित टेट्राहेड्रोन को टेट्राहेड्रोन के केंद्र में शीर्षों के साथ चार समान पिरामिडों में विभाजित करते हैं। इसलिए, पिरामिड के शीर्ष पर 3-पक्षीय कोण 360° कोण का एक चौथाई है, अर्थात। 90o के बराबर है। उत्तर: 90o.

सभी स्लाइड्स देखें

परिभाषाएँ। आइए कई कोण लें (चित्र 37): एएसबी, बीएससी, सीएसडी, जो श्रृंखला में एक दूसरे से सटे हुए हैं, एक ही विमान में सामान्य शीर्ष एस के आसपास स्थित हैं।

आइए हम कोण समतल ASB को उभयनिष्ठ भुजा SB के चारों ओर घुमाएँ ताकि यह तल समतल BSC के साथ कुछ विकर्ण कोण बना सके। फिर, परिणामी डायहेड्रल कोण को बदले बिना, हम इसे सीधी रेखा एससी के चारों ओर घुमाते हैं ताकि बीएससी विमान सीएसडी विमान के साथ कुछ डायहेड्रल कोण बना सके। आइए इस अनुक्रमिक रोटेशन को प्रत्येक आम पक्ष के चारों ओर जारी रखें। यदि इस स्थिति में SF की अंतिम भुजा को SA की पहली भुजा के साथ जोड़ दिया जाए, तो एक आकृति बनती है (चित्र 38), जिसे कहा जाता है बहुफलकीय कोण. कोण ASB, BSC,... कहलाते हैं समतल कोनेया चेहरे के, उनकी भुजाएँ SA, SB, ... कहलाती हैं पसलियां, और उभयनिष्ठ शीर्ष S- बैठकबहुआयामी कोण।

प्रत्येक किनारा किसी न किसी दिशाहीन कोण का किनारा भी होता है; इसलिए, एक बहुफलकीय कोण में उतने ही द्विफलकीय कोण और उतने ही समतल कोण होते हैं जितने इसके सभी किनारे होते हैं। एक बहुफलकीय कोण में फलकों की सबसे छोटी संख्या तीन होती है; इस कोण को कहा जाता है त्रिफलक. चार-पक्षीय, पांच-पक्षीय, आदि कोण हो सकते हैं।

एक बहुफलकीय कोण को या तो शीर्ष पर रखे गए एक अक्षर S द्वारा या SABCDE अक्षरों की एक श्रृंखला द्वारा निरूपित किया जाता है, जिनमें से पहला शीर्ष को निर्दिष्ट करता है, और अन्य उनके स्थान के क्रम में किनारे होते हैं।

एक बहुफलकीय कोण को उत्तल कहा जाता है यदि यह सभी इसके प्रत्येक फलक के तल के एक तरफ स्थित हो, जो अनिश्चित काल तक बढ़ा हो। उदाहरण के लिए, चित्र 38 में दिखाया गया कोण है। इसके विपरीत, आरेखण 39 में कोण को उत्तल नहीं कहा जा सकता है, क्योंकि यह ASB फलक या BSC फलक के दोनों ओर स्थित होता है।

यदि एक बहुफलकीय कोण के सभी फलकों को एक समतल द्वारा प्रतिच्छेदित किया जाता है, तो खंड में एक बहुभुज बनता है ( एबीसीडीई ) उत्तल बहुफलकीय कोण में यह बहुभुज भी उत्तल होता है।

हम केवल उत्तल बहुफलकीय कोणों पर विचार करेंगे।

प्रमेय। एक त्रिफलक कोण में, प्रत्येक समतल कोण अन्य दो समतल कोणों के योग से कम होता है।

माना त्रिभुज कोण SABC (चित्र 40) में सबसे बड़ा समतल कोण कोण ASC है।

आइए हम इस कोण पर कोण ASD को आलेखित करें, जो कोण ASB के बराबर है, और SD को किसी बिंदु D पर प्रतिच्छेद करते हुए कुछ सीधी रेखा AC खींचते हैं। SB = SD रखें। B को A और C से जोड़ने पर हमें \(\Delta\)ABC प्राप्त होता है, जिसमें

एडी+डीसी< АВ + ВС.

त्रिभुज ASD और ASB सर्वांगसम हैं क्योंकि उनमें से प्रत्येक में समान भुजाओं के बीच एक समान कोण होता है: इसलिए AD = AB। इसलिए, यदि हम व्युत्पन्न असमानता में समान पदों AD और AB को हटा दें, तो हमें वह DC प्राप्त होता है< ВС.

अब हम देखते हैं कि त्रिभुज SCD और SCB में एक की दो भुजाएँ दूसरे की दो भुजाओं के बराबर होती हैं, और तीसरी भुजाएँ समान नहीं होती हैं; इस मामले में, एक बड़ा कोण इन भुजाओं में से बड़े के विपरीत स्थित होता है; साधन,

सीएसडी< ∠ CSВ.

इस असमानता के बाईं ओर कोण ASD और इसके बराबर कोण ASB को दाईं ओर से जोड़ने पर, हम वह असमानता प्राप्त करते हैं जिसे सिद्ध करना आवश्यक था:

एएससी< ∠ CSB + ∠ ASB.

हमने सिद्ध किया है कि सबसे बड़ा समतल कोण भी अन्य दो कोणों के योग से कम होता है। तो प्रमेय सिद्ध होता है।

परिणाम। कोण ASB या कोण CSB में अंतिम असमानता के दोनों भागों से घटाएं; हम पाते हैं:

एएससी - एएसबी< ∠ CSB;

एएससी - सीएसबी< ∠ ASB.

दाएं से बाएं इन असमानताओं को ध्यान में रखते हुए, और यह ध्यान में रखते हुए कि तीन कोणों में से सबसे बड़ा कोण एएससी अन्य दो कोणों के अंतर से अधिक है, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एक त्रिभुज कोण में, प्रत्येक समतल कोण अन्य दो कोणों के अंतर से बड़ा होता है.

प्रमेय। उत्तल बहुफलकीय कोण में, सभी समतल कोणों का योग 4d (360°) से कम होता है। .

आइए उत्तल कोण SABCDE के फलकों (आकृति 41) को किसी समतल से प्रतिच्छेद करें; इससे खंड में हमें उत्तल प्राप्त होता है एन-गॉन एबीसीडीई।

पहले सिद्ध किए गए प्रमेय को उन सभी त्रिभुज कोणों पर लागू करना जिनके शीर्ष बिंदु A, B, C, D और E, पाहोलिम पर हैं:

एबीसी< ∠ABS + ∠SВC, ∠BCD < ∠BCS + ∠SCD и т. д.

आइए इन सभी असमानताओं को पद के अनुसार जोड़ें। फिर बाईं ओर हमें बहुभुज ABCDE के सभी कोणों का योग मिलता है, जो 2 . के बराबर है डीएन - 4डी , और दाईं ओर - त्रिभुज ABS, SBC, आदि के कोणों का योग, उन कोणों को छोड़कर जो शीर्ष S पर स्थित हैं। अक्षर द्वारा इन अंतिम कोणों के योग को दर्शाते हुए एक्स , हम जोड़ के बाद प्राप्त करते हैं:

2डीएन - 4डी < 2डीएन - एक्स .

चूंकि मतभेदों में 2 डीएन - 4डी और 2 डीएन - एक्स minuends समान हैं, तो पहला अंतर दूसरे से कम होने के लिए, यह आवश्यक है कि subtrahend 4 डी घटाया से अधिक था एक्स ; मतलब 4 डी > एक्स , अर्थात। एक्स < 4डी .

त्रिभुज कोणों की समानता के सरलतम मामले

प्रमेय। त्रिभुज कोण बराबर होते हैं यदि उनके पास:

1) दो क्रमशः समान और समान दूरी वाले समतल कोणों के बीच घिरे एक समान द्विफलक कोण द्वारा, या

2) एक समान समतल कोण के अनुदिश दो क्रमशः समान और समान दूरी वाले द्विफलक कोणों के बीच परिबद्ध है.

1) मान लीजिए कि S और S 1 दो त्रिभुज कोण हैं (चित्र 42), जिसमें ∠ASB = A 1 S 1 B 1, ∠ASC = A 1 S 1 C 1 (और ये बराबर कोण समान रूप से स्थित हैं) और डायहेड्रल कोण AS, डायहेड्रल कोण A 1 S 1 के बराबर है।

आइए हम कोण S 1 को कोण S में एम्बेड करें ताकि बिंदु S 1 और S, रेखाएँ S 1 A 1 और SA, और समतल A 1 S 1 B 1 और ASB संयोग करें। फिर किनारा एस 1 बी 1 एसबी के साथ जाएगा (कोण ए 1 एस 1 बी 1 और एएसबी की समानता के कारण), विमान ए 1 एस 1 सी 1 एएससी के साथ जाएगा (डायहेड्रल कोणों की समानता के कारण), और किनारे S 1 C 1 किनारे SC के साथ जाएगा (कोणों A 1 S 1 C 1 और ASC की समानता के कारण)। इस प्रकार, त्रिभुज कोणों को उनके सभी किनारों से जोड़ दिया जाएगा, अर्थात। वे बराबर होंगे।

2) दूसरा मानदंड, पहले की तरह, एक एम्बेडिंग द्वारा सिद्ध किया जाता है।

सममित बहुफलकीय कोण

जैसा कि आप जानते हैं, सीधी रेखाओं या समतलों से बने कोणों की बात करें तो ऊर्ध्वाधर कोण बराबर होते हैं। आइए देखें कि क्या यह कथन बहुफलकीय कोणों के लिए सत्य है।

हम शीर्ष S से परे SABCDE कोण के सभी किनारों को जारी रखते हैं (चित्र 43), फिर एक और बहुफलकीय कोण SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 बनता है, जिसे कहा जा सकता है खड़ापहले कोने के संबंध में। यह देखना आसान है कि दोनों कोणों में क्रमशः समान समतल और द्विफलकीय कोण हैं, लेकिन दोनों विपरीत क्रम में हैं। वास्तव में, यदि हम एक पर्यवेक्षक की कल्पना करते हैं जो अपने शीर्ष पर पॉलीहेड्रल कोण के बाहर से देखता है, तो कोण SA 1 B को देखते हुए, किनारों SA, SB, SC, SD, SE उसे वामावर्त दिशा में स्थित प्रतीत होंगे। 1 सी 1 डी 1 ई 1 , वह दक्षिणावर्त स्थित किनारों SA 1 , SВ 1 , ... को देखता है।

पॉलीहेड्रल कोण क्रमशः समान समतल और डायहेड्रल कोणों के साथ, लेकिन उल्टे क्रम में स्थित होते हैं, एम्बेड करते समय बिल्कुल भी नहीं जोड़ा जा सकता है; इसका मतलब है कि वे बराबर नहीं हैं। ऐसे कोण कहलाते हैं सममित(शीर्ष एस के सापेक्ष)। अंतरिक्ष में आकृतियों की समरूपता के बारे में अधिक नीचे चर्चा की जाएगी।

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