समानांतर रेखाओं की परिभाषा. समानांतर दो सीधी रेखाएँ होती हैं जो एक ही तल में होती हैं और अपनी पूरी लंबाई में प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

सीधी रेखाएँ AB और CD (चित्र 57) समानांतर होंगी। तथ्य यह है कि वे समानांतर हैं कभी-कभी लिखित रूप में व्यक्त किया जाता है: एबी || सीडी.

प्रमेय 34. एक ही तीसरे के लंबवत दो रेखाएँ समानांतर हैं.

AB पर लंबवत सीधी रेखाएँ CD और EF दी हुई हैं (चित्र 58)

सीडी एबी और ईएफ एबी।

यह सिद्ध करना आवश्यक है कि सीडी || ईएफ.

सबूत. यदि रेखाएँ CD और EF समानांतर नहीं होतीं, तो वे किसी बिंदु M पर प्रतिच्छेद करतीं। इस स्थिति में, बिंदु M से रेखा AB पर दो लंबवत गिराए जाएंगे, जो असंभव है (प्रमेय 11), इसलिए रेखा CD || ईएफ (सीएचटीडी)।

प्रमेय 35. दो रेखाएँ, जिनमें से एक लंबवत है और दूसरी तीसरी से तिरछी है, हमेशा प्रतिच्छेद करती हैं।

दो रेखाएँ EF और CG दी गई हैं, जिनमें से EF AB और CG AB पर तिरछी हैं (चित्र 59)।

यह सिद्ध करना आवश्यक है कि CG, रेखा EF से मिलेगा या कि CG, EF के समानांतर नहीं है।

सबूत. बिंदु C से हम लंबवत CD को रेखा AB पर पुनर्स्थापित करते हैं, फिर बिंदु C पर एक कोण DCG बनता है, जिसे हम इतनी बार दोहराएंगे कि रेखा CK रेखा AB से नीचे आ जाए। मान लीजिए कि इसके लिए हम कोण DCG n बार दोहराते हैं, जैसे

इसी प्रकार, हम रेखा CE को रेखा AB पर भी n बार आलेखित करते हैं, ताकि CN = nCE हो।

बिंदु C, E, L, M, N से, हम लंबवत LL", MM", NN" बनाते हैं। दो समानांतर खंडों CD, NN" और खंड CN के बीच का स्थान दो लंबवत के बीच के स्थान से n गुना अधिक होगा। सीडी, ईएफ और खंड सीई, इसलिए DCNN" = nDCEF।

कोण DCK से घिरे हुए स्थान में स्थान DCNN है", इसलिए,

डीसीके> सीडीएनएन" या
nDCG > nDCEF, कहाँ से
डीसीजी> डीसीईएफ।

अंतिम असमानता तभी हो सकती है जब रेखा CG अपनी निरंतरता के दौरान DCEF स्थान छोड़ती है, अर्थात जब रेखा CG रेखा EF से मिलती है, इसलिए रेखा CG CF (PTD) के समानांतर नहीं होती है।

प्रमेय 36. एक समांतर रेखा के लंबवत एक रेखा दूसरे के लंबवत भी होती है।

दो समानांतर रेखाएँ AB और CD और एक रेखा EF दी गई है जो CD पर लंबवत है (चित्र 60)।

एबी || सीडी, ईएफ सीडी

यह सिद्ध करना आवश्यक है कि EF AB।

सबूत. यदि रेखा AB, EF पर तिरछी होती, तो दो रेखाएँ CD और AB प्रतिच्छेद करती, क्योंकि CD EF और AB, EF (प्रमेय 35) के तिरछे होते हैं, और रेखाएँ AB और CD समानांतर नहीं होतीं, जो इस स्थिति का खंडन करती हैं, इसलिए, रेखा EF, CD (PTD) पर लंबवत है।

एक तीसरी रेखा द्वारा दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन से बनने वाले कोण. तीसरी रेखा EF (चित्र 61) द्वारा दो रेखाओं AB और CD के प्रतिच्छेदन पर आठ कोण α, β, , δ, λ, μ, , बनते हैं। इन कोनों को विशेष नाम मिलते हैं।

चार कोण α, β, ν और कहलाते हैं बाहरी.

चार कोण γ, , λ, μ कहलाते हैं आंतरिक.

चार कोण β, γ, μ, और चार कोण α, , λ, कहलाते हैं एक तरफा, क्योंकि वे रेखा EF के एक ओर स्थित हैं।

इसके अलावा, कोणों को जोड़े में लेने पर निम्नलिखित नाम प्राप्त होते हैं:

कोण β और μ कहलाते हैं से मिलता जुलता . इस युग्म के अतिरिक्त, समान संगत कोण कोणों के युग्म होंगे:और ν, α और , और ।

कोण और μ, साथ ही γ और के जोड़े को कहा जाता है आंतरिक क्रॉस-झूठ .

कोण β और ρ, साथ ही α और के जोड़े को कहा जाता है बाहरी क्रॉस-झूठ .

कोणों और μ, साथ ही δ और के जोड़े को कहा जाता है आंतरिक एकतरफा .

कोण β और ν, साथ ही α और के जोड़े को कहा जाता है बाहरी एकतरफा .

दो रेखाओं के समानांतर होने की शर्तें

प्रमेय 37. दो सीधी रेखाएं समानांतर होती हैं यदि उनके तीसरे के चौराहे पर उनके बराबर हैं: 1) संबंधित कोण, 2) आंतरिक क्रॉस-लेटिंग, 3) बाहरी क्रॉस-लेटिंग, और अंत में, यदि 4) आंतरिक एक तरफा बराबर है दो सीधी रेखाएं, 5) बाह्य एकपक्षीय का योग दो सीधी रेखाओं के बराबर होता है।

आइए हम प्रमेय के इन भागों में से प्रत्येक को अलग-अलग सिद्ध करें।

पहला मामला. संगत कोण हैं(चित्र 62)।

दिया गया। कोण β और μ बराबर हैं।

सबूत. यदि रेखाएँ AB और CD बिंदु Q पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो त्रिभुज GQH प्राप्त होगा, जिसमें बाह्य कोण β आंतरिक कोण μ के बराबर होगा, जो प्रमेय 22 का खंडन करेगा, इसलिए, रेखाएँ AB और CD नहीं हैं प्रतिच्छेद या AB || सीडी (सीएचटीडी)।

दूसरा मामला. आंतरिक क्रॉस-झूठ वाले कोण बराबर होते हैं, यानी = μ।

सबूत. = β ऊर्ध्वाधर के रूप में, = μ धारणा से, इसलिए β = μ। अर्थात्, संगत कोण बराबर होते हैं, और इस स्थिति में रेखाएँ समानांतर (पहली स्थिति) होती हैं।

तीसरा मामला. बाह्य अनुप्रस्थ कोण बराबर होते हैं, यानी, β = ।

सबूत. β = शर्त से, μ = लंबवत के रूप में, इसलिए β = μ, क्योंकि संबंधित कोण बराबर हैं। इसका मतलब है कि एबी || सीडी (पहला मामला)।

चौथा मामला. आंतरिक एक तरफा का योग दो सीधी रेखाओं के बराबर होता हैया + μ = 2d।

सबूत. β + γ = 2d आसन्न लोगों के योग के रूप में, + μ = 2d धारणा से। इसलिए, β + = γ + μ, जहां से β = μ। संगत कोण बराबर होते हैं, इसलिए AB || सीडी.

5वां मामला. बाहरी एक तरफा का योग दो सीधी रेखाओं के बराबर होता है, अर्थात्, β + = 2d।

सबूत. μ + = 2d आसन्न लोगों के योग के रूप में, β + = 2d धारणा से। इसलिए, μ + = β + , जहां से μ = β। संगत कोण बराबर होते हैं, इसलिए AB || सीडी.

इस प्रकार, सभी स्थितियों में AB || सीडी (सीएचटीडी)।

प्रमेय 38(रिवर्स 37)। यदि दो रेखाएँ समानांतर हैं, तो उनकी तीसरी रेखा के प्रतिच्छेदन पर समान होंगे: 1) आंतरिक क्रॉस-लाइनिंग कोण, 2) बाहरी क्रॉस-लेटिंग, 3) संबंधित कोण और दो सीधी रेखाओं के बराबर हैं 4) का योग आंतरिक एक तरफा और 5) बाहरी एक तरफा कोणों का योग।

दो समानांतर रेखाएँ AB और CD दी गई हैं, अर्थात् AB || सीडी (चित्र। 63)।

यह साबित करना आवश्यक है कि उपरोक्त सभी शर्तें पूरी होती हैं।

पहला मामला. आइए हम दो समानांतर रेखाओं AB और CD को तीसरी तिरछी रेखा EF द्वारा प्रतिच्छेद करें। रेखा EF की रेखा AB और CD के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को G और H से निरूपित करें। रेखा GH के मध्य बिंदु के बिंदु O से हम रेखा CD पर एक लंब छोड़ते हैं और इसे तब तक जारी रखते हैं जब तक कि यह रेखा AB को बिंदु P पर नहीं काटती। CD पर लंबवत रेखा OQ भी AB (प्रमेय 36) पर लंबवत है। समकोण त्रिभुज ओपीजी और ओएचक्यू बराबर हैं, क्योंकि रचना से ओजी = ओएच, ∠ मुख्यालय = ∠ POG ऊर्ध्वाधर कोणों के रूप में, इसलिए OP = OQ।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि = μ, अर्थात्, आंतरिक क्रॉस-झूठ वाले कोण बराबर हैं.

दूसरा मामला. अगर एबी || सीडी, फिर δ = μ, और चूंकि = β और μ = , फिर β = , यानी। बाह्य अनुप्रस्थ कोण बराबर होते हैं.

तीसरा मामला. अगर एबी || सीडी, फिर δ = μ, और चूंकि = β, फिर β = μ, इसलिए, संगत कोण बराबर होते हैं.

चौथा मामला. अगर एबी || सीडी, फिर = μ, और चूंकि + = 2d, फिर μ + = 2d, यानी। आंतरिक एक तरफा का योग दो सीधी रेखाओं के बराबर होता है.

5वां मामला. अगर एबी || सीडी, फिर = μ।

चूंकि μ + = 2d, μ = = β, इसलिए ν + β = 2d, अर्थात। बाहरी एक तरफा का योग दो सीधी रेखाओं के बराबर होता है.

इन प्रमेयों से निम्नानुसार है परिणाम. एक बिंदु के माध्यम से, केवल एक रेखा दूसरी रेखा के समानांतर खींची जा सकती है।

प्रमेय 39. एक तिहाई के समानांतर दो रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर हैं।

तीन रेखाएँ (चित्र 64) AB, CD और EF दी गई हैं, जिनमें से AB || ईएफ, सीडी || ईएफ.

यह सिद्ध करना आवश्यक है कि AB || सीडी.

सबूत. आइए हम इन रेखाओं को चौथी रेखा GH के साथ प्रतिच्छेद करें।

अगर एबी || ईएफ, फिर ∠ α = ∠ γ के रूप में उपयुक्त। अगर सीडी || ईएफ, फिर ∠ β = ∠ γ साथ ही संबंधित वाले। फलस्वरूप, ∠ α = ∠ β .

यदि संगत कोण बराबर हों, तो रेखाएँ समांतर होती हैं, इसलिए AB || सीडी (सीएचटीडी)।

प्रमेय 40. समांतर भुजाओं वाले समान नाम वाले कोण बराबर होते हैं।

एक ही नाम (दोनों न्यून या दोनों अधिक) कोणों ABC और DEF को देखते हुए, उनकी भुजाएँ समानांतर हैं, अर्थात AB || डे, बीसी || ईएफ (चित्र 65)।

यह साबित करना आवश्यक है कि ∠ बी = ∠ इ।

सबूत. हम भुजा DE को तब तक जारी रखते हैं जब तक यह रेखा BC को बिंदु G पर नहीं काटती, तब

∠ ई = ∠ जी तीसरी लाइन डीजी के बीसी और ईएफ के समानांतर पक्षों के चौराहे से संबंधित है।

बी = ∠ G, रेखा BC की समानांतर भुजाओं AB और DG के प्रतिच्छेदन के संगत है, इसलिए

∠ ई = ∠ बी (आरटीडी)।

प्रमेय 41. समांतर भुजाओं वाले सम्मुख कोण एक दूसरे को दो सीधी रेखाओं के पूरक बनाते हैं।

समांतर भुजाओं वाले दो सम्मुख कोण ABC और DEF (आकृति 66) दिए हुए हैं, इसलिए AB || डे और बीसी || ईएफ.

यह सिद्ध करना आवश्यक है कि ABC + DEF = 2d।

सबूत. हम रेखा DE को तब तक जारी रखते हैं जब तक यह रेखा BC को बिंदु G पर नहीं काटती।

बी+ DGB = 2d, तीसरी रेखा BC के समानांतर AB और DG के प्रतिच्छेदन से बनने वाले आंतरिक एक तरफा कोणों के योग के रूप में।

डीजीबी = DEF संगत के रूप में, इसलिए,

बी+ ∠ डीईएफ = 2डी (पीटीडी)।

प्रमेय 42. जैसे लंबवत भुजाओं वाले कोण समान होते हैं और विपरीत कोण दो सीधी रेखाओं के पूरक होते हैं।

दो मामलों पर विचार करें: जब ए) कोण एक ही नाम के होते हैं और जब बी) वे विपरीत होते हैं।

पहला मामला. दो समरूप कोणों DEF और ABC (आकृति 67) की भुजाएँ लंबवत हैं, अर्थात DE AB, EF BC।

यह सिद्ध करना आवश्यक है कि DEF = ABC.

सबूत. रेखा DE और EF के समानांतर बिंदु B से BM और BN रेखाएँ खींचिए ताकि

बीएम || डे, बीएन || ईएफ.

ये रेखाएँ दिए गए कोण ABC की भुजाओं पर भी लंबवत हैं, अर्थात।

बीएम ⊥ एबी और बीएन बीसी।

इसलिये ∠ एनबीसी = डी, ∠ एमबीए = डी, तो

एनबीसी = एमबीए (ए)

समानता के दोनों पक्षों से घटाना (ए) एनबीए कोण के लिए, हम पाते हैं

∠ एमबीएन = ∠एबीसी

चूँकि कोण MBN और DEF एक ही नाम के हैं और समानांतर भुजाओं के साथ, वे बराबर हैं (प्रमेय 40)।

∠ एमबीएन = DEF (बी)

समीकरण (ए) और (बी) समानता दर्शाते हैं

∠ एबीसी = डीईएफ (पीएचडी)।

दूसरा मामला. लंबवत भुजाओं वाले कोण GED और ABC विपरीत हैं।

यह सिद्ध करना आवश्यक है कि GED + ABC = 2d (आकृति 67)।

सबूत. GED और DEF कोणों का योग दो समकोण के बराबर होता है।

GED + DEF = 2d
डीईएफ = एबीसी, तो
जीईडी + एबीसी = 2डी (पीटीएचडी)।

प्रमेय 43. अन्य समान्तर रेखाओं के बीच समांतर रेखाओं के भाग समान होते हैं।

चार रेखाएँ AB, BD, CD, AC (चित्र 68) दी गई हैं, जिनमें से AB || सीडी और बीडी || एसी।

यह सिद्ध करना आवश्यक है कि AB = CD और BD = AC है।

सबूत. बिंदु C को बिंदु B से खंड BC से जोड़ने पर हमें दो समान त्रिभुज ABC और BCD प्राप्त होते हैं, क्योंकि

ईसा पूर्व - आम पक्ष,

∠ α = β (तीसरी रेखा BC की समानांतर रेखाओं AB और CD के प्रतिच्छेदन से आंतरिक अनुप्रस्थ के रूप में),

∠ = (रेखा BC की समानांतर रेखाओं BD और AC के प्रतिच्छेदन से आंतरिक अनुप्रस्थ रेखा के रूप में)।

इस प्रकार, त्रिभुजों की एक समान भुजा होती है और उस पर दो समान कोण होते हैं।

सम्मुख समान कोण α और β बराबर भुजाएँ AC और BD हैं, और सम्मुख समान कोण γ और समान भुजाएँ AB और CD हैं, इसलिए,

एसी = बीडी, एबी = सीडी (पीटीडी)।

प्रमेय 44. समानांतर रेखाएं अपनी पूरी लंबाई के साथ एक दूसरे से समान दूरी पर होती हैं।

एक रेखा से एक बिंदु की दूरी उस बिंदु से रेखा पर गिराए गए लंब की लंबाई से निर्धारित होती है। सीडी से एबी के समानांतर किन्हीं दो बिंदुओं ए और बी की दूरी निर्धारित करने के लिए, हम बिंदु ए और बी से लंबवत एसी और बीडी को गिराते हैं।

CD के समांतर एक रेखा AB दी गई है, रेखा खंड AC और BD, रेखा CD के लंबवत हैं, अर्थात AB || सीडी, एसी डीसी, बीडी ⊥ सीडी (चित्र 69)।

यह सिद्ध करना आवश्यक है कि AC = BD है।

सबूत. रेखाएँ AC और BD, दोनों CD के लंबवत होने के कारण, समानांतर हैं, और इसलिए AC और BD, समानांतर के बीच समानांतर के भागों के रूप में, बराबर हैं, अर्थात, AC = BD (phd)।

प्रमेय 45(रिवर्स 43)। यदि चार प्रतिच्छेदी रेखाओं के सम्मुख भाग समान हों, तो ये भाग समान्तर होते हैं।

चार प्रतिच्छेदी सीधी रेखाएँ दी गई हैं, जिनके सम्मुख भाग बराबर हैं: AB = CD और BD = AC (चित्र 68)।

यह सिद्ध करना आवश्यक है कि AB || सीडी और बीडी || एसी।

सबूत. बिंदु B और C को रेखा BC से जोड़ें। त्रिभुज ABC और BDC बराबर हैं क्योंकि

ईसा पूर्व - आम पक्ष,
परंपरा के अनुसार एबी = सीडी और बीडी = एसी।

यहाँ से

∠ α = ∠ β , ∠ γ = ∠ δ

फलस्वरूप,

एसी || बीडी, एबी || सीडी (सीएचटीडी)।

प्रमेय 46. त्रिभुज के कोणों का योग दो समकोण के बराबर होता है।

त्रिभुज ABC दिया गया है (आकृति 70)।

यह सिद्ध करना आवश्यक है कि A + B + C = 2d।

सबूत. बिंदु C से भुजा AB के समांतर एक रेखा CF खींचिए। बिंदु C पर तीन कोण BCA, α और β बनते हैं। उनका योग दो सीधी रेखाओं के बराबर होता है:

बीसीए+ α + β = 2d

α = B (लाइन BC के साथ समांतर रेखाओं AB और CF के प्रतिच्छेदन पर आंतरिक अनुप्रस्थ कोणों के रूप में);

β = A (रेखा AD के साथ AB और CF रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर संगत कोणों के रूप में)।

कोण α और β . को बदलना उनके मूल्य, हम प्राप्त करते हैं:

बीसीए + ए + बी = 2डी (पीएचडी)।

इस प्रमेय से निम्नलिखित परिणाम निकलते हैं:

कोरोलरी 1. किसी त्रिभुज का बहिष्कोण उसके आसन्न न होने वाले अंतः कोणों के योग के बराबर होता है।

सबूत. दरअसल, 70 ड्राइंग से,

बीसीडी= ∠ α + ∠ β

चूँकि α = B, β = A, तब

बीसीडी= ए + बी।

परिणाम 2. एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोणों का योग समकोण के बराबर होता है।

वास्तव में, एक समकोण त्रिभुज में (चित्र 40)

ए + बी + सी = 2डी, ए = डी, इसलिए
बी + सी = डी।

परिणाम 3. एक त्रिभुज में एक से अधिक समकोण या एक अधिक कोण नहीं हो सकते।

परिणाम 4. एक समबाहु त्रिभुज में, प्रत्येक कोण 2/3 d . होता है .

दरअसल, एक समबाहु त्रिभुज में

ए + बी + सी = 2 डी।

चूंकि ए = बी = सी, तो

3ए=2डी, ए=2/3डी।

111*. बिंदु A से दिए गए तल पर एक लंब खींचिए: a) त्रिभुज BCD (चित्र 109, a); बी) निशान (चित्र। 109.6); सी) त्रिभुज बीसीडी (चित्र। 109, सी)। सभी स्थितियों में, किसी दिए गए तल पर लंब के आधार की रचना कीजिए।

हल, क) बिंदु B से होकर (चित्र 109, d) हम किसी दिए गए तल का ललाट B-1 खींचते हैं, और बिंदु D से होकर - क्षैतिज D-2। सामने। वांछित लंबवत का प्रक्षेपण "लंबवत से बी" 1 "और क्षैतिज एक - डी -2 के लंबवत के माध्यम से गुजरता है। लंबवत का आधार (चित्र। 109, ई) को इसके चौराहे के बिंदु के रूप में परिभाषित किया जाता है विमान के साथ लंबवत। हम इसे क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित विमान आर में संलग्न करते हैं (हम इसे आर एच के बाद सेट करते हैं) और चौराहे की रेखा पाते हैं

त्रिभुज के तल के साथ इस तल का प्रतिच्छेदन सीधी रेखा NM है। हमें बिंदु k मिलता है "- लंबवत के आधार का ललाट प्रक्षेपण - और k" से हम k पाते हैं।

बी) अंजीर में। 109, ई सामने। लंबवत का प्रक्षेपण ट्रेस P के समकोण पर खींचा जाता है, और क्षैतिज प्रक्षेपण P h के समकोण पर होता है। लंबवत के आधार का निर्माण करने के लिए, हम इसे (चित्र 109, जी) सामने-प्रोजेक्टिंग विमान आर में समाप्त करते हैं, हम विमानों आर और पी - सीधी रेखा एमएन के चौराहे की रेखा बनाते हैं। हमें बिंदु k मिलता है - क्षितिज। लंबवत के आधार का प्रक्षेपण; हम इससे k पाते हैं।

ग) क्षैतिज B-1 (आकृति 109, a) को खींचने के बाद, हम देखते हैं कि यह सीधी रेखा x-अक्ष के समानांतर है। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि त्रिभुज का तल प्रोफाइल-प्रोजेक्टिंग है। इसलिए, इसका लंबवत एक सीधा प्रोफ़ाइल है।

हम त्रिभुज और बिंदु A के प्रोफ़ाइल अनुमानों का निर्माण करते हैं। "हम c" d " पर एक लंबवत खींचते हैं। बिंदु k" लंबवत के आधार का प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण है। k" से हम k" और k को समान नाम के वांछित लंबवत के अनुमानों पर पाते हैं।

112. बिंदु A से खींचे गए लंबों के आधार ज्ञात कीजिए:

ए) समानांतर रेखाओं बीसी और डीई द्वारा परिभाषित एक विमान के लिए (चित्र 110, ए);

बी) एसबीसीडी पिरामिड के एससीडी चेहरे के विमान के लिए (छवि 110, बी);

सी) पिरामिड एसबीसीडी के चेहरे के एसबीडी (छवि 110, सी) के तल पर।

113*. समांतर रेखाओं CD और EF द्वारा दिए गए तल पर रेखा AB के बिंदुओं से इस तल पर खींचे गए लंबों के आधारों का बिंदुपथ बनाइए (चित्र 111, a)

समाधान। बिंदुओं का वांछित स्थान रेखा (चित्र 111, b) K 1 K 2 तलों की प्रतिच्छेदन रेखा, 1) दी गई है और 2) उस पर लंबवत, सीधी रेखा AB से होकर खींची गई है।

हम दिए गए विमान में क्षैतिज C-1 और ललाट C-2 में (चित्र 111, c) करते हैं। सामने। लंबवत के अनुमान c"2" के लंबवत हैं, और क्षैतिज अनुमान c-1 के लिए हैं।

बिंदुओं के वांछित स्थान का निर्माण करने के लिए, हम एक दिए गए विमान के साथ खींचे गए लंबवत के चौराहे के बिंदु (रियो। 111, डी) के 1 और के 2 पाते हैं। सीधी रेखा K 1 K 2 वांछित स्थान है।

114. त्रिभुज सीडीई द्वारा दिए गए तल पर, रेखा AB के बिंदुओं से इस तल पर खींचे गए लंबों के आधारों का बिंदुपथ बनाइए (चित्र 112)।

115*. शीर्ष A से, त्रिभुज ABC के तल पर एक लंब खींचिए (चित्र 113, a) और उस पर लंबाई का एक खंड अलग रख दें।

समाधान। एक लंब बनाने के लिए, हम त्रिभुज के तल की क्षैतिज रेखा A-1 और भुरभुरी रेखा A-2 खींचते हैं (चित्र 113, 6); सामने। लंबवत का प्रक्षेपण एक "2" के लंबवत है, और क्षैतिज प्रक्षेपण ए -1 के लिए है।

आगे का निर्माण (चित्र 113, सी) समस्या 20 में किए गए के समान है। "डी" और विज्ञापन की रेखाएं वांछित खंड के अनुमान हैं।

इस समस्या के दो समाधान हैं। दूसरे मामले में, दिए गए विमान के दूसरी तरफ लंबवत को जारी रखना आवश्यक है।

116. बिंदु D से, समांतर रेखाओं AB और CD द्वारा दिए गए तल पर एक लंब खींचिए और उस पर लंबाई 1 का एक खंड अलग रखिए (चित्र 114)।

117*. किसी समतल से l दूरी पर बिन्दुओं के बिन्दुपथ की रचना कीजिए। उन मामलों के लिए एक समाधान दें जहां त्रिभुज एबीसी (आकृति 115, ए) या निशान (छवि 115, बी) द्वारा विमान दिया गया है।

समाधान। बिंदुओं का वांछित स्थान दिए गए एक के समानांतर दो विमान हैं और इसके दोनों किनारों पर l की दूरी पर स्थित हैं।

अंजीर पर। 115c ऐसा ही एक विमान दिखाता है। इस तल को बनाने के लिए (चित्र 115, d), हम इस तल के किसी भी बिंदु से एक लंब खींचते हैं (उदाहरण के लिए, C)

विमान के लिए (इस तथ्य पर ध्यान दें कि किसी दिए गए त्रिभुज में, भुजा AC एक क्षैतिज है, और BC एक ललाट है) और उस पर लंबाई l का एक खंड KS सेट करें। फिर बिंदु K (आकृति 115, ई) के माध्यम से हम सीधी रेखाएं KN और KM खींचते हैं, जो कम से कम त्रिभुज ABC की भुजाओं BC और AC के समानांतर होती हैं।

यदि विमान को निशान (चित्र 115, बी) द्वारा दिया गया है, तो किसी एक निशान पर एक बिंदु लेना सुविधाजनक है। अंजीर पर। 115, e, ट्रेस P पर एक बिंदु N लिया जाता है। इस बिंदु से वर्ग पर लंबवत आरेखण। P और उस पर l के बराबर एक खंड को अलग रखते हुए, हम बिंदु K (चित्र 1 \ 5, g) के माध्यम से क्षैतिज सीडी और वांछित विमान के ललाट AB को खींचते हैं।

118. वर्ग से दूरस्थ बिन्दुओं के बिन्दुपथ की रचना कीजिए। P (चित्र। 116) की दूरी पर l। दो समाधान दीजिए।

119*. रेखा BC पर उसके बिंदु A से तब तक एक लंब खींचिए जब तक कि वह रेखा EF से प्रतिच्छेद न कर ले (चित्र 117, a)।

समाधान। बिंदु A से खींची गई रेखा BC पर लंबों का स्थान वर्ग है। P, बिंदु A से होकर सीधी रेखा BC के लम्बवत गुजरता है (चित्र 117, b)। रेखा EF के साथ इस तल के प्रतिच्छेदन का बिंदु K, रेखा EF के साथ वांछित लंबवत का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

अंजीर में। 117, में हम BC, ललाट AM और क्षैतिज AN के लंबवत एक समतल सेट करते हैं। हम इस विमान के साथ सीधी रेखा EF के चौराहे के बिंदु K को निर्धारित करते हैं (चित्र। 117, d), EF को सामने-प्रोजेक्टिंग प्लेन R में संलग्न करते हुए (इसे ट्रेस R के रूप में सेट करें); k"a" और ka - वांछित लंबवत के अनुमान।

120. बिंदु A से रेखा BC पर तब तक एक लंब खींचिए जब तक कि वह रेखा EF को काट न दे (आकृति 118)।

121*. बिंदु A से होकर एक रेखा खींचिए जो BC और ED को प्रतिच्छेद करती है (चित्र 119, a)।

समाधान। बिंदु A से गुजरने वाली और रेखा ED को प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं का बिंदुपथ इन तत्वों द्वारा परिभाषित समतल है (चित्र 119, b)। यदि हम इस तरह के एक विमान का निर्माण करते हैं और दूसरी रेखा (BC) के साथ इसके चौराहे के बिंदु K को पाते हैं, तो वांछित रेखा बिंदु A और K से होकर गुजरेगी। ऐसा निर्माण अंजीर में किया जाता है। 119, c और 119, d, जहाँ पहले बिंदु A और रेखा ED द्वारा परिभाषित तल को त्रिभुज AED द्वारा व्यक्त किया जाता है, और फिर इस त्रिभुज के तल के साथ दूसरी रेखा (BC) के प्रतिच्छेदन का बिंदु K है मिल गया।

वांछित रेखा बिंदु A और K से होकर गुजरती है और रेखा ED को बिंदु M पर काटती है (चित्र 119.6)। बेशक, प्रक्षेपण के सटीक निर्माण के साथ, एम और एम "कनेक्शन लाइन एम पर होना चाहिए" एम, एक्स-अक्ष के लंबवत।

इस समस्या को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है: दो विमान लें - एक बिंदु ए और रेखा ईडी द्वारा परिभाषित (जैसा कि चित्र 119, सी में किया गया है), और दूसरा बिंदु ए और रेखा बीसी द्वारा। इन दोनों तलों की प्रतिच्छेदन रेखा n बिंदु A से होकर जाने वाली वांछित सीधी रेखा होगी और BC को ED में प्रतिच्छेद करेगी,

122. बिंदु A से होकर एक रेखा खींचिए जो प्रतिच्छेद करती है:

ए) पिरामिड एसबीसीडी के आधार के किनारे एसडी और पक्ष बीसी (छवि 120, ए),

बी) प्रिज्म के ऊपरी आधार के किनारे बीजी और साइड ईएफ (चित्र। 120.6)।

123*. बिंदुओं A और B से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं के पथपथ की रचना कीजिए (चित्र 121, a)।

समाधान। वांछित स्थान एक विमान है जो खंड AB के मध्य बिंदु से होकर गुजरता है।

हम खंड AB के अनुमानों को आधे में विभाजित करते हैं (चित्र 121, b)। मध्य (बिंदु C) से होकर हम वांछित तल का क्षैतिज CD AB और ललाट CE AB (चित्र 121, c) खींचते हैं। इस विमान को निशान के रूप में व्यक्त करने के लिए, किसी को अनुमानों की धुरी को निर्दिष्ट करना होगा और कम से कम एक मोर्चे का निर्माण करना होगा। क्षैतिज ट्रेस (बिंदु N, चित्र 121, a) और इसके माध्यम से संबंधित ट्रेस pl बनाएं। पी। ट्रेस a"b", और ट्रेस P h ab (या || nс)।

124. बिंदुओं A और B से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का बिंदुपथ बनाइए (आकृति 122, a और b)। पहले मामले में, बिना निशान के उत्तर दें, और दूसरे में - निशान में।

125*. बिंदु A और B से समदूरस्थ बिंदु K के लुप्त प्रक्षेपण की रचना कीजिए (चित्र 123, a)।

समाधान। चूँकि बिंदु A और B से समदूरस्थ अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं का स्थान बिंदु AB के लंबवत खंड के मध्य बिंदु से गुजरने वाला एक तल है, बिंदु K इस तल से संबंधित होना चाहिए।

अंजीर पर। 123b, ऐसे समतल को ललाट CE और खंड AB के मध्य से गुजरने वाली क्षैतिज CD द्वारा परिभाषित किया गया है।

हम k "सामने। प्रक्षेपण" 1 "क्षैतिज विमान के माध्यम से (चित्र। 123, सी) खींचते हैं और इसके क्षैतिज प्रक्षेपण का निर्माण करते हैं, जिस पर हम बिंदु k को चिह्नित करते हैं - बिंदु K- का वांछित प्रक्षेपण-

126. खंड CD के लुप्त प्रक्षेपण की रचना कीजिए, जिसका प्रत्येक बिंदु बिंदु A और B से समान दूरी पर है (चित्र 124)।

127*. समतल पर दो दिए गए बिंदुओं A और B से समदूरस्थ बिंदुओं का बिंदुपथ बनाइए: a) समतल समानांतर रेखाओं द्वारा दिया गया है (चित्र 125, a); बी) विमान निशान द्वारा दिया गया है (चित्र 125, बी)।

समाधान। चूँकि बिंदुओं A और B से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का स्थान रेखा खंड AB के मध्य से होकर जाने वाला एक तल है (चित्र 125, c), वांछित स्थान दिए गए एक के साथ इस विमान के प्रतिच्छेदन की रेखा होगी ( सीधी रेखा एमएन)।

अंजीर पर। 125, d, इसके मध्य में खंड AB के लंबवत तल को ललाट KS और क्षैतिज TS द्वारा व्यक्त किया जाता है।

अब हमें दो विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा को खोजने की जरूरत है, जो कि DE और FG (चित्र 125, ई) के चौराहे के बिंदुओं को खोजने के द्वारा किया जाता है, किसी दिए गए विमान को परिभाषित करते हुए, क्षैतिज TS द्वारा व्यक्त एक विमान के साथ और ललाट केएस (समस्या 86 देखें)।

अंजीर पर। 125, e समतल Q, खंड AB के मध्य में लंबवत है, इसे अंशों द्वारा व्यक्त किया जाता है। हम पी और क्यू के समान-नाम के निशान के चौराहे के बिंदु एम और एन पाते हैं और उनके माध्यम से वांछित रेखा एमएन खींचते हैं (चित्र 125, जी)।

128. बिंदु A और B से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं के स्थान का निर्माण करें:

ए) त्रिभुज सीडीई द्वारा परिभाषित विमान पर (चित्र 126, ए);

बी) चौक पर। पी (चित्र। 126, बी)।

129* त्रिभुज CDE का तल और सीधी रेखा AB दी गई है (चित्र 127, a)। इस तल में एक रेखा खींचिए जो AB को समकोण पर काटती है।

समाधान। वांछित रेखा निकल जाएगी (चित्र। 127, बी) पीएल के साथ त्रिभुज (पी) के विमान के चौराहे की रेखा के रूप में। Q, AB के लंबवत और दिए गए समतल के साथ AB के प्रतिच्छेदन के बिंदु (K) से होकर जाता है।

इसलिए, हम त्रिभुज सीडीई के तल के साथ सीधी रेखा AB के प्रतिच्छेदन का बिंदु K (चित्र 127, c) पाते हैं। सीधी रेखा AB के माध्यम से खींचे गए फ्रोअल-प्रोजेक्टिंग प्लेन R को एक सहायक विमान के रूप में लिया गया था। अनुमानों k और k " को खोजने के बाद, हम उनके माध्यम से AB के लंबवत विमान के क्षैतिज और ललाट के अनुमानों को खींचते हैं (चित्र। 127, d)। विमानों के प्रतिच्छेदन की वांछित रेखा का निर्माण करने के लिए, हम पाते हैं (चित्र। 127, ई) बिंदु (एम"; एम) बिंदु के माध्यम से एक विमान के साथ पक्ष त्रिकोण ईडी के चौराहे का। लाइन एमके (एम "के"; एमके) वांछित लाइन है

130. एक रेखा AB और समानांतर रेखाओं CD और EF द्वारा परिभाषित एक समतल दिया गया है। इस तल में एक सीधी रेखा खींचिए जो सीधी रेखा AB को समकोण पर काटती है (चित्र 128)।

131. एक सीधी रेखा AB और pl दी गई है। R. इस तल में एक सीधी रेखा खींचिए जो सीधी रेखा AB को समकोण पर काटती है (चित्र 129)।

132*. एक त्रिभुज LMN के तल और रेखाओं AE और FG को देखते हुए। एक समांतर चतुर्भुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजा AD रेखा AE पर है, भुजा AB त्रिभुज के तल के समानांतर है, शीर्ष B, रेखा FG से संबंधित है, विकर्ण BD भुजा AD के लंबवत है (चित्र 130, a)।

समाधान। आइए एक समाधान योजना की रूपरेखा तैयार करें (चित्र 130, ख और ग)।

1. बिंदु A से होकर त्रिभुज LMN के तल के समांतर एक समतल (P) पास करें।

2. pl सहित रेखा FG का प्रतिच्छेदन बिंदु (B) ज्ञात कीजिए। आर।

3. बिंदु B से होकर AE पर लंबवत एक समतल (Q) खींचिए।

4. pl के साथ रेखा AE का प्रतिच्छेदन बिंदु (D) ज्ञात कीजिए। क्यू।

5. बिंदु D से होकर उसके समांतर एक खंड AB और एक सीधी रेखा खींचिए, और B से होकर - AD के समानांतर एक सीधी रेखा खींचिए।

अंजीर पर। 130, c और d वर्ग के निर्माण को दर्शाता है। P त्रिभुज LMN के तल के समांतर है। कृपया. बिंदु A से होकर P दो प्रतिच्छेदी रेखाओं A-1 और A-2 द्वारा दिया गया है, जिनमें से A-1 LM के समानांतर है और A-2 LN के समानांतर है।

वही आंकड़े pl के साथ लाइन FG के प्रतिच्छेदन के बिंदु B को खोजने को दर्शाते हैं। P, जिसके लिए FG के माध्यम से एक सामने से प्रक्षेपित विमान S खींचा जाता है, जिसे ट्रेस S द्वारा दिया जाता है। क्षितिज। पी और एस विमानों के चौराहे की रेखा का प्रक्षेपण 1-2 क्षितिज को पार करता है। बिंदु b पर प्रक्षेपण fg। बिंदु b से हम b" का f"g" पर प्रक्षेपण पाते हैं।

अंजीर पर। 130, d वर्ग के निर्माण को दर्शाता है। क्यू एई के लंबवत। यह तल बिंदु B से होकर खींचा जाता है और क्षैतिज B-4 और ललाट B-3, AE के लंबवत द्वारा व्यक्त किया जाता है। वही चित्र बिंदु D के निर्माण को दर्शाता है, जिसमें रेखा AE pl को काटती है। Q क्षैतिज B-4 और ललाट B-3 द्वारा व्यक्त किया गया।

एई के माध्यम से एक क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित विमान टी खींचा जाता है, इसके ट्रेस टी एच द्वारा व्यक्त किया जाता है, विमानों टी और क्यू के चौराहे की रेखा के अनुमान 3-4 और 3 "4" और अनुमान डी "और डी का निर्माण किया जाता है।

अंजीर पर। 130, ई वांछित समांतर चतुर्भुज के निर्माण को दर्शाता है, जिसके लिए एक "बी" और एबी, एक "डी" और समानांतर चतुर्भुज के दो पक्षों का विज्ञापन, और फिर बी "सी" || ए "डी"; बीसी || विज्ञापन; डी"सी" || ए "बी और डीसी || एबी। अंक सी" और सी लिंक लाइन सीसी पर होना चाहिए", एक्स-अक्ष के लंबवत।

133. त्रिभुज LMN और रेखाएँ AE और FG दी गई हैं। एक समांतर चतुर्भुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजा AD रेखा AE पर है, भुजा AB त्रिभुज के तल के समानांतर है, शीर्ष B, रेखा FG से संबंधित है, विकर्ण BD भुजा AD के लंबवत है (चित्र 131)।

134*. बिंदु A से होकर वर्ग के समांतर एक रेखा खींचिए। P और त्रिभुज CDE का तल (चित्र 132, a)।

समाधान। यदि वांछित रेखा एक साथ दो विमानों के समानांतर होनी चाहिए, तो यह इन विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा के समानांतर होनी चाहिए

(चावल, 132, ख). दो सहायक विमानों T और S का परिचय देते हुए, हम MN तलों के प्रतिच्छेदन की रेखा पाते हैं (चित्र 132, c)। वांछित लाइन बी "एफ" और बीएफ के अनुमान ए से गुजरते हैं और उनके साथ एक ही नाम की लाइन एमएन के अनुमानों के समानांतर (चित्र। 132, डी)।

i3s. बिंदु A से होकर वर्ग के समांतर एक रेखा खींचिए। P और समतल, प्रतिच्छेदी रेखाओं DE और DF द्वारा दिया गया है (चित्र 133)।

136. बिंदु A से वर्ग के समांतर एक सीधी रेखा खींचिए। P और समतल समानांतर रेखाओं DE और FG द्वारा दिया गया है (चित्र 134)।

137*. सीधी रेखाएँ खींचें, जिनमें से प्रत्येक वर्ग से अलग हो। P की दूरी l 1 पर, और सीधी रेखा BC और बिंदु A द्वारा दिए गए समतल से, l 2 की दूरी पर (चित्र 135, a)।

समाधान। समाधान एक निश्चित दूरी पर दिए गए विमान से सीधी रेखाओं के ज्यामितीय स्थान के विचार पर आधारित है, अर्थात, दिए गए विमान के समानांतर एक विमान से।

वांछित रेखाएँ वर्ग के समानांतर दो समतल Q के प्रतिच्छेदन की MN रेखाएँ हैं। पी और इसके दोनों किनारों पर स्थित है। एल 1 की दूरी पर, दो के साथ

विमान एस दिए गए विमानों के दूसरे के समानांतर है और इससे दूरी एल 2 से दूरी पर है। ऐसी कुल चार पंक्तियाँ हो सकती हैं। अंजीर पर। 135b उनमें से एक को दिखाता है।

अंजीर पर। 135, c दिखाता है: 1) वर्ग पर एक लंब खींचना। बिंदु एम 1 से पी इसमें लिया गया है और इस लंबवत पर बिंदु के 1 का निर्माण दूरी एम 1 के 1 \u003d एल 1 पर है; 2) बिंदु A और सीधी रेखा BC द्वारा बिंदु A से दिए गए विमान के लिए एक लंबवत खींचना (क्षैतिज रेखा A-2 और सामने की रेखा A-3 का उपयोग करके) और दूरी AK 2 \u003d पर इस लंबवत पर बिंदु K 2 का निर्माण करना एल 2

अंजीर पर। 135, d pl के समानांतर बिंदु K 1 pl.Q से होकर जाने वाले मार्ग को दर्शाता है। P और समतल K 2 के एक बिंदु के माध्यम से क्षैतिज K 2 5 और ललाट K 2 6 द्वारा व्यक्त किया गया, क्रमशः क्षैतिज A-2 और ललाट A-3 के समानांतर, बिंदु A द्वारा दिए गए विमान से संबंधित है और सीधी रेखा ई.पू.

अंजीर पर। 135, d pl के प्रतिच्छेदन की एक रेखा। Q और समतल S, क्षैतिज K 2 5 और ललाट K 2 6 द्वारा व्यक्त किया गया है। परिणामी रेखा MN दोनों दिए गए विमानों के समानांतर है।

138. वर्ग से दूरी पर एक सीधी रेखा खींचिए। P दूरी l 1 पर और त्रिभुज ABC के तल से l 2 की दूरी पर है (चित्र 136)।

139*. एक रेखा खींचिए जो दी गई रेखाओं AB और CD को प्रतिच्छेद करती हो और रेखा EF के समांतर हो (चित्र 137, a)।

समाधान। आइए समस्या को हल करने के लिए एक योजना की रूपरेखा तैयार करें (rns. 137, b)।

1. रेखा EF के समांतर रेखा CD से होकर एक समतल (Q) खींचिए।

2. एक बिंदु (K) ज्ञात कीजिए जिस पर रेखा AB वर्ग को काटती है। क्यू।

3. दी गई रेखा EF के समांतर बिंदु K से होकर एक रेखा (KM) खींचिए।

अंजीर पर। 137, वर्ग के निर्माण में दिखाया गया है। Q रेखा CD और समानांतर रेखा EF Pl से होकर गुजरती है। Q को EF के समांतर बिंदु D से होकर खींची गई रेखा CD और इसे प्रतिच्छेद करने वाली रेखा DG द्वारा व्यक्त किया जाता है।

अंजीर पर। 137, c बिंदु K की रचना को दर्शाता है, जिसमें सीधी रेखा AB वर्ग को काटती है। Q. रेखा AB सामने से प्रक्षेपित समतल R में संलग्न है, जिसे इसके अनुरेखण R द्वारा व्यक्त किया गया है। कृपया. R वर्ग को पार करता है। Q एक सीधी रेखा 1-2 में। 1-2 और ab के प्रतिच्छेदन पर k का प्रक्षेपण प्राप्त होता है; बिंदु k से हम सामने पाते हैं। प्रोजेक्शन के"।

अंत में, अंजीर में। 137, d वांछित रेखा के किमी और k "m" के अनुमानों को दर्शाता है: k "m" || ई"एफ" और किमी || एफई बेशक, अनुमान m "और m को कनेक्शन लाइन m" m पर प्राप्त किया जाना चाहिए, जो x-अक्ष के लंबवत है।

140. एक रेखा खींचिए जो दी गई रेखाओं AB और CD को प्रतिच्छेद करती हो और रेखा EF के समांतर हो (आकृति 138)।

141. एक रेखा खींचिए जो दी गई रेखाओं AB और CD को रेखा EF के समानांतर काटती है (चित्र 139)।

142*. दी गई रेखाएँ EF, MN, KL और HI। एक आयत ABCD की रचना कीजिए, जिसकी भुजा AB रेखा EF के समानांतर है, शीर्ष A, रेखा KL पर, शीर्ष B, MN पर और शीर्ष C, रेखा HI पर स्थित है (चित्र 140, a)।

समाधान। भुजा AB को KL और MN को प्रतिच्छेद करना चाहिए और EF के समानांतर होना चाहिए (समस्या 139 देखें)।

यदि (आकृति 140.6) EF के समांतर एक सीधी रेखा KL पर स्थित बिंदु G से कम से कम खींचे, तो हमें pl प्राप्त होता है। क्यू ईएफ के समानांतर। इसके बाद, आपको लाइन एमएन के साथ इस विमान के चौराहे के बिंदु बी को खोजने की जरूरत है और बिंदु बी के माध्यम से वर्ग तक खींचें। Q. EF के समानांतर सीधी रेखा। यह रेखा AB, MN और KL को काटती है और EF के समानांतर है।

निर्माण अंजीर में दिखाया गया है। 140, सी। चूँकि भुजाएँ BC और AB परस्पर लंबवत होनी चाहिए, हम बिंदु B pl से होकर (चित्र 140, मार्गदर्शक) खींचते हैं। P, भुजा AB के लंबवत है, और रेखा HI के साथ इसके प्रतिच्छेदन के एक बिंदु C का निर्माण करता है।

बिंदु A और C (चित्र 140, d और e) के माध्यम से रेखाएँ BC और AB के समानांतर तब तक खींचे जब तक वे बिंदु D पर प्रतिच्छेद न करें।

143.. पिरामिड SEFG और रेखा MN दिया गया है (चित्र 141)। एक आयत ABCD की रचना कीजिए, जिसकी भुजा AB रेखा MN के समानांतर हो, शीर्ष A, SF के किनारे पर, शीर्ष AB, आधार EG की ओर, शीर्ष D, किनारे SE पर स्थित है।

144. पिरामिड SEFG और रेखा MN दिए गए हैं (चित्र 142)। एक आयत ABCD की रचना कीजिए, जिसकी भुजा AB रेखा MN के समानांतर हो, शीर्ष A, किनारे SG पर, शीर्ष B, आधार EF पर, और शीर्ष D, SF किनारे पर।

145*. बिंदु A से होकर जाने वाली एक रेखा खींचिए जो समांतर रेखाओं ED और FG द्वारा दिए गए तल के समान्तर हो और रेखा BC को प्रतिच्छेद करती हो (चित्र 143, a)।

समाधान। आप समस्या को हल करने के लिए निम्नलिखित योजना बना सकते हैं (चित्र 143, ख):

1) दिए गए तल के समानांतर बिंदु A से होकर एक समतल (P) खींचिए;

2) वर्ग पर विमान के प्रतिच्छेदन का बिंदु (K) ज्ञात कीजिए। आर;

3) वांछित रेखा AK खींचें।

अंजीर पर। 143, पीएल में। बिंदु A से होकर खींचा गया P, एक सीधी रेखा AM द्वारा व्यक्त किया जाता है || ईडी (ए "एम" || ई "डी", एम || एड) और क्षैतिज एएन, क्षितिज धारण करने के लिए। जिसका अनुमान

क्षैतिज E-1 को ED और FG (a || ef) रेखाओं द्वारा परिभाषित समतल में लिया जाता है। अंजीर पर। 143, d बिंदु K की रचना को दर्शाता है, जिसमें दी गई रेखा BC वर्ग को काटती है। आर: एक सामने से प्रक्षेपित विमान बीसी के माध्यम से खींचा जाता है (इसे व्यक्त किया जाता है

निम्नलिखित आर ), अनुमानों 2 "3" और विमानों पी और आर के चौराहे की रेखा के 2-3 का निर्माण किया जाता है, एक बिंदु k 2-3 और bс के चौराहे पर प्राप्त होता है। प्रक्षेपण k द्वारा, प्रक्षेपण k पाया जाता है। वांछित रेखा के अनुमान "k" और ak।

146. बिंदु A से होकर (आकृति 144) वर्ग के समांतर एक सीधी रेखा खींचिए। P और प्रतिच्छेदी रेखा BC.

147. बिंदु A (आकृति 145) से होकर जाने वाली रेखा DE और DF को प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं द्वारा दिए गए समतल के समांतर और रेखा BC को प्रतिच्छेद करती है।

148*. दिए गए बिंदुओं A, B और C से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का बिंदुपथ बनाइए (आकृति 146, a),

समाधान। वांछित ज्यामितीय स्थान क्रमशः पी और क्यू के विमानों एमएन (छवि 146, बी) की चौराहे की रेखा है, जो खंडों एबी और बीसी के लंबवत है और इन खंडों के मध्य बिंदुओं में बिंदु के 1 और के 2 से गुजरती है। अंजीर पर। 146, ये

विमानों को उनके निशान द्वारा व्यक्त किया जाता है। (चित्र। 146, डी) विमानों के समान-नाम के निशान के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का उपयोग करके, हम उनके चौराहे एमएन की रेखा बनाते हैं।

149. दिए गए बिंदुओं A, B और C से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं के बिन्दुपथ की रचना कीजिए (आकृति 147)।

150*. त्रिभुज ABC दिया गया है (आकृति 148, a)। एक पिरामिड SABC की रचना कीजिए, जिसका शीर्ष S बिंदु A, B और C से समान दूरी पर है। बिंदु S से वर्ग की दूरी। V वर्ग से इसकी दूरी का 1.7 गुना है। एन।

समाधान। बिंदु A, B और C से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का स्थान (समस्या 148 * देखें) MN विमानों Q और P के चौराहे की रेखा है, जो AB और BC खंडों के मध्य बिंदुओं (K 1 और K 2) के माध्यम से उनके लंबवत खींची जाती है। (चित्र। 148, बी और सी)। शीर्ष S को इस रेखा पर स्थित होना चाहिए। उन बिंदुओं का स्थान, जिनके लिए कोटि, अनुप्रयुक्त का 1.7 गुना है, अक्षीय तल T है; इसका प्रोफाइल ट्रेस टी बिंदु ओ और बिंदु के माध्यम से गुजरता है (चित्र 148, सी), जिसकी दूरी से

y-अक्ष 10 इकाई है, और z-अक्ष तक 17 इकाई है। बिंदु S इस तल से संबंधित है। प्रोफ़ाइल प्रोजेक्शन s "पिरामिड के शीर्ष का चौराहे m" n "ट्रेस T के साथ स्थित है (आकृति में, ड्राइंग को सरल बनाने के लिए, सीधी रेखा MN पर स्थित बिंदु D का प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण बनाया गया है) ) s" से हम s "और s पाते हैं। चित्र 148 में, वांछित पिरामिड के d अनुमान दिखाए गए हैं।

151. त्रिभुज ABC दिया गया है (आकृति 149)। पिरामिड SABC के अनुमानों का निर्माण करें, जिसका शीर्ष S ABC के आधार के शीर्षों से समान दूरी पर है और वर्ग में स्थित है। वी

152*. अंक ए, एल, एम और एन दिए गए हैं (चित्र 150, ए)। एक समांतर चतुर्भुज ABCD की रचना कीजिए जिसका शीर्ष B वर्ग पर स्थित है। एच, साइड सीडी - बिंदु एल, एम और एन से समान दूरी पर सीधी रेखा पर, शीर्ष डी विमान वी और एच से समान दूरी पर है।

समाधान। चूंकि वांछित समांतर चतुर्भुज की भुजा सीडी तीन बिंदुओं से समान दूरी पर एक सीधी रेखा पर होनी चाहिए, इसलिए हम इस सीधी रेखा की रचना शुरू करते हैं। एक समान निर्माण का सामना पहले ही किया जा चुका है: सीधी रेखा ईएफ दो विमानों (चित्र 150, 6 और सी) पी और क्यू के चौराहे की रेखा के रूप में प्राप्त की जाती है, जो उनके मध्य बिंदुओं के माध्यम से एलएम और एमएन खंडों के लंबवत खींची जाती है। इस रेखा पर बिंदु D इस शर्त से मिलता है कि

यह वर्ग से समान दूरी पर है। वी और पीएल। एच (चित्र। 150, डी): हम एक सहायक रेखा खींचते हैं f "5 बिंदु f के माध्यम से एक ही कोण पर x-अक्ष पर सीधी रेखा f" e "के रूप में, हमें प्रक्षेपण ef पर एक बिंदु d मिलता है, और इसके साथ d", इसके अलावा, d " 6 = d-6.

तो, हमें आवश्यक समांतर चतुर्भुज (बिंदु D) का एक शीर्ष और इस बिंदु से गुजरने वाली भुजा की दिशा (सीधी रेखा EF) प्राप्त हुई। दिए गए से गुजरना

बिंदु A, EF के समानांतर एक सीधी रेखा है, हमें भुजा AB मिलती है, यह जानते हुए कि, शर्त के अनुसार, बिंदु B वर्ग में होना चाहिए। एन।

यह एक "बी" और एबी (आकृति 150.6), बी "सी" खींचकर समांतर चतुर्भुज के अनुमानों का निर्माण पूरा करना बाकी है। ए"डी" और बीसी || विज्ञापन बिंदु c" और c, x-अक्ष के लंबवत "c" के साथ संचार की रेखा पर होने चाहिए।

153. अंक ए, एल, एम और एन दिए गए हैं (चित्र 151)। एक समांतर चतुर्भुज ABCD की रचना कीजिए जिसका शीर्ष B वर्ग पर स्थित है। H, भुजा CD बिंदु L, M और N से समान दूरी पर एक सीधी रेखा पर स्थित है, शीर्ष D, pl से समान दूरी पर है। वी और pl.H

154. त्रिभुज ABC दिया गया है (आकृति 152)। पिरामिड SABC के अनुमानों का निर्माण करें, जिसका शीर्ष S बिंदु A, B और C से समान दूरी पर है और वर्ग से समान दूरी पर है। वी और पीएल। एच।

एक रेखा के साथ एक रेखा का प्रतिच्छेदन और दो विमानों का प्रतिच्छेदन

एक प्रक्षेपित विमान के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्माणआरेख पर एक दूसरे बिंदु प्रक्षेपण के निर्माण के लिए कम कर देता है, क्योंकि एक बिंदु प्रक्षेपण हमेशा प्रक्षेपित विमान के निशान पर होता है, क्योंकि प्रक्षेपित विमान में जो कुछ भी है वह विमान के एक निशान पर प्रक्षेपित होता है। अंजीर पर। 224, ए त्रिभुज एबीसी के सामने-प्रोजेक्टिंग विमान के साथ सीधी रेखा ईएफ के चौराहे के बिंदु के निर्माण को दर्शाता है (विमान वी के लंबवत) विमान वी पर, त्रिभुज एबीसी को खंड "सी" में प्रक्षेपित किया जाता है सीधी रेखा का, और बिंदु k "भी इस रेखा पर स्थित होगा और "c" के साथ e "f" के प्रतिच्छेदन बिंदु पर होगा। प्रक्षेपण कनेक्शन की एक पंक्ति का उपयोग करके एक क्षैतिज प्रक्षेपण बनाया गया है। एक की दृश्यता त्रिभुज ABC के तल के सापेक्ष सीधी रेखा त्रिभुज ABC के प्रक्षेपणों की सापेक्ष स्थिति और समतल V पर सीधी रेखा EF द्वारा निर्धारित की जाती है। चित्र 224 में देखने की दिशा, एक तीर द्वारा इंगित की गई है। सीधी रेखा का, जिसका ललाट प्रक्षेपण त्रिभुज के प्रक्षेपण के ऊपर है, दिखाई देगा। बिंदु k के बाईं ओर "सीधी रेखा का प्रक्षेपण त्रिभुज के प्रक्षेपण से ऊपर है, इसलिए, यह खंड दिखाई देता है एच विमान पर।

अंजीर पर। 224, b, सीधी रेखा EF क्षैतिज तल P को काटती है। ललाट प्रक्षेपण k "बिंदु K का - विमान P के साथ सीधी रेखा EF के प्रतिच्छेदन का बिंदु - प्रक्षेपण e के चौराहे के बिंदु पर होगा" f "प्लेन Pv के निशान के साथ, क्योंकि क्षैतिज विमान एक सामने-प्रोजेक्टिंग प्लेन है। बिंदु K का क्षैतिज प्रक्षेपण k प्रोजेक्शन कनेक्शन लाइन का उपयोग करके पाया जाता है।

दो समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा का निर्माणइन दो विमानों के लिए सामान्य दो बिंदुओं को खोजने के लिए घटाया गया है। यह एक प्रतिच्छेदन रेखा बनाने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि प्रतिच्छेदन रेखा एक सीधी रेखा है, और एक सीधी रेखा को दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया जाता है। जब एक प्रक्षेपित विमान सामान्य स्थिति में एक विमान के साथ प्रतिच्छेद करता है, तो प्रतिच्छेदन रेखा के अनुमानों में से एक अनुमान के विमान में स्थित विमान के निशान के साथ मेल खाता है, जिसमें प्रक्षेपित विमान लंबवत होता है। अंजीर पर। 225, और ललाट प्रक्षेपण एम "एन" चौराहे की रेखा एमएन सामने-प्रोजेक्टिंग विमान पी के ट्रेस पीवी के साथ मेल खाता है, और अंजीर में। 225b, क्षैतिज प्रक्षेपण kl क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित विमान R के निशान के साथ मेल खाता है। प्रतिच्छेदन रेखा के अन्य अनुमानों का निर्माण प्रक्षेपण कनेक्शन लाइनों का उपयोग करके किया जाता है।

एक समतल के साथ एक रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्माणसामान्य स्थिति (चित्र 226, ए) एक सहायक प्रक्षेपित विमान आर का उपयोग करके किया जाता है, जो एक दी गई सीधी रेखा ईएफ के माध्यम से खींचा जाता है। त्रिभुज एबीसी के दिए गए विमान के साथ सहायक विमान आर के चौराहे 12 की एक रेखा बनाई गई है, विमान आर में दो सीधी रेखाएं प्राप्त होती हैं: ईएफ - एक दी गई रेखा और 12 - चौराहे की एक निर्मित रेखा, जो बिंदु के पर छेड़छाड़ करती है .

बिंदु K के अनुमानों का पता लगाना अंजीर में दिखाया गया है। 226बी. निर्माण निम्नलिखित क्रम में किया जाता है।

एक सहायक क्षैतिज प्रक्षेपण विमान R को सीधी रेखा EF के माध्यम से खींचा जाता है। इसका निशान R H, सीधी रेखा EF के क्षैतिज प्रक्षेपण ef के साथ मेल खाता है।

त्रिभुज एबीसी के दिए गए विमान के साथ विमान आर के चौराहे 12 की रेखा का एक ललाट प्रक्षेपण 1"2" प्रक्षेपण लाइनों का उपयोग करके बनाया गया है, क्योंकि चौराहे की रेखा के क्षैतिज प्रक्षेपण को जाना जाता है। यह समतल R के क्षैतिज ट्रेस R H के साथ मेल खाता है।

वांछित बिंदु K का ललाट प्रक्षेपण k" निर्धारित किया जाता है, जो प्रतिच्छेदन रेखा के प्रक्षेपण 1"2" के साथ इस सीधी रेखा के ललाट प्रक्षेपण के चौराहे पर स्थित है। बिंदु का क्षैतिज प्रक्षेपण एक प्रक्षेपण का उपयोग करके बनाया गया है कनेक्शन लाइन।

त्रिभुज ABC के तल के संबंध में एक रेखा की दृश्यता प्रतिस्पर्धी बिंदुओं की विधि द्वारा निर्धारित की जाती है। अनुमानों के ललाट तल पर एक सीधी रेखा की दृश्यता निर्धारित करने के लिए (चित्र 226, बी), हम बिंदु 3 और 4 के Y निर्देशांक की तुलना करते हैं, जिसके ललाट अनुमान मेल खाते हैं। बिंदु 3 का Y-निर्देशांक, जो रेखा BC पर स्थित है, बिंदु 4 के Y-निर्देशांक से कम है, जो रेखा EF पर स्थित है। नतीजतन, बिंदु 4 प्रेक्षक के करीब है (देखने की दिशा एक तीर द्वारा इंगित की गई है) और सीधी रेखा के प्रक्षेपण को दृश्यमान विमान V पर दर्शाया गया है। रेखा त्रिभुज के सामने से गुजरती है। बिंदु K" के बाईं ओर त्रिभुज ABC के तल द्वारा रेखा बंद है।

क्षैतिज प्रक्षेपण तल पर दृश्यता बिंदु 1 और 5 के Z निर्देशांक की तुलना करके दिखाई जाती है। चूंकि Z 1 > Z 5 , बिंदु 1 दिखाई देता है। इसलिए, बिंदु 1 के दाईं ओर (बिंदु K तक), रेखा EF अदृश्य है।

सामान्य स्थिति में दो विमानों के प्रतिच्छेदन की एक रेखा का निर्माण करने के लिए, सहायक छेदक विमानों का उपयोग किया जाता है। यह आकृति में दिखाया गया है। 227 क. एक तल त्रिभुज ABC द्वारा दिया गया है, दूसरा समांतर रेखाओं EF और MN द्वारा दिया गया है। दिए गए तलों (चित्र 227, क) को तीसरे सहायक तल द्वारा पार किया जाता है। निर्माण में आसानी के लिए, क्षैतिज या ललाट विमानों को सहायक विमानों के रूप में लिया जाता है। पर ये मामलासहायक तल R क्षैतिज तल है। यह दिए गए विमानों को सीधी रेखाओं 12 और 34 के साथ प्रतिच्छेद करता है, जो चौराहे पर बिंदु K देता है, जो तीनों विमानों से संबंधित है, और, परिणामस्वरूप, दो दिए गए विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा पर स्थित है। दूसरा बिंदु दूसरे सहायक विमान Q का उपयोग करते हुए पाया जाता है। दो बिंदु K और L पाए गए दो विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा निर्धारित करते हैं।

अंजीर पर। 227b, सहायक विमान R को ललाट वेक द्वारा दिया जाता है। दिए गए विमानों के साथ विमान आर के चौराहे 1 "2" और 3"4 की रेखाओं के ललाट अनुमान, विमान आर के ललाट ट्रेस आरवी के साथ मेल खाते हैं, क्योंकि विमान आर विमान वी के लंबवत है, और जो कुछ भी है इसमें (चौराहे की रेखाओं सहित) इसके ललाट ट्रेस Rv पर प्रक्षेपित होता है। इन रेखाओं के क्षैतिज अनुमानों का निर्माण बिंदु 1", 2", 3", 4" के ललाट अनुमानों से प्रतिच्छेदन तक खींची गई प्रक्षेपण कनेक्शन लाइनों का उपयोग करके किया जाता है। बिंदु 1, 2, 3, 4 पर संबंधित रेखाओं के क्षैतिज अनुमानों के साथ। निर्मित चौराहे की रेखाओं के क्षैतिज अनुमानों को तब तक बढ़ाया जाता है जब तक कि वे बिंदु k पर एक दूसरे के साथ प्रतिच्छेद न कर दें, जो कि बिंदु K का क्षैतिज प्रक्षेपण है। दो विमानों के चौराहे की रेखा। इस बिंदु का ललाट प्रक्षेपण ट्रेस आरवी पर है।

चौराहे की रेखा से संबंधित दूसरे बिंदु के निर्माण के लिए, एक दूसरा सहायक विमान क्यू खींचा जाता है। निर्माण की सुविधा के लिए, विमान क्यू को विमान आर के समानांतर बिंदु सी के माध्यम से खींचा जाता है। फिर, रेखाओं के क्षैतिज प्रक्षेपणों का निर्माण करने के लिए त्रिभुज ABC के तल के साथ समतल Q के प्रतिच्छेदन और समानांतर रेखाओं द्वारा दिए गए समतल के साथ, यह दो बिंदुओं को खोजने के लिए पर्याप्त है: c और 5 और उनके माध्यम से प्रतिच्छेदन रेखाओं के पहले निर्मित अनुमानों के समानांतर सीधी रेखाएँ खींचें। 34, चूँकि समतल Q R. इन रेखाओं को तब तक जारी रखते हुए जब तक वे एक-दूसरे को नहीं काटतीं, व्यक्ति को दिए गए समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा से संबंधित बिंदु L का एक क्षैतिज प्रक्षेपण l प्राप्त होता है। बिंदु L का ललाट प्रक्षेपण l" ट्रेस Q v पर स्थित है और प्रक्षेपण कनेक्शन की रेखा का उपयोग करके बनाया गया है। K और L बिंदुओं के समान नाम के अनुमानों को जोड़कर, वांछित चौराहे की रेखा के अनुमान प्राप्त किए जाते हैं। .

यदि हम प्रतिच्छेद करने वाले तलों में से किसी एक में एक रेखा लेते हैं और इस रेखा का दूसरे तल से प्रतिच्छेदन बिंदु बनाते हैं, तो यह बिंदु इन तलों के प्रतिच्छेदन रेखा से संबंधित होगा, क्योंकि यह दोनों दिए गए तलों से संबंधित है। आइए दूसरे बिंदु का निर्माण उसी तरह से करें, हम दो विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा पा सकते हैं, क्योंकि दो बिंदु एक सीधी रेखा बनाने के लिए पर्याप्त हैं। अंजीर पर। 228 त्रिभुजों द्वारा दी गई दो समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा की ऐसी रचना को दर्शाता है।

इस रचना के लिए त्रिभुज की एक भुजा ली जाती है और इस भुजा का दूसरे त्रिभुज के तल से प्रतिच्छेदन बिंदु बनाया जाता है। यदि यह विफल हो जाता है, तो उसी त्रिभुज की दूसरी भुजा लें, फिर तीसरी। यदि इससे वांछित बिंदु नहीं मिलता है, तो पहले त्रिभुज के साथ दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु बनाए जाते हैं।

अंजीर पर। 228 त्रिभुज ABC के तल के साथ रेखा EF के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्माण किया गया है। ऐसा करने के लिए, एक सहायक क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित विमान एस को सीधी रेखा ईएफ के माध्यम से खींचा जाता है और त्रिभुज एबीसी के विमान के साथ इस विमान के चौराहे की रेखा का एक ललाट प्रक्षेपण 1 "2" बनाया जाता है। प्रतिच्छेदन रेखा का ललाट प्रक्षेपण 1 "2", सीधी रेखा EF के ललाट प्रक्षेपण e "f" के साथ प्रतिच्छेद करते हुए, प्रतिच्छेदन बिंदु M के ललाट प्रक्षेपण m "को देता है। बिंदु M का क्षैतिज प्रक्षेपण m का उपयोग करते हुए पाया जाता है प्रक्षेपण कनेक्शन लाइन। दिए गए त्रिकोणों के विमानों के चौराहे की रेखा से संबंधित दूसरा बिंदु, - बिंदु एन - त्रिभुज डीईएफ के विमान के साथ रेखा बीसी के चौराहे का बिंदु। रेखा बीसी के माध्यम से, एक सामने- प्रक्षेपित विमान आर खींचा गया है, और विमान एच पर, रेखा बीसी के क्षैतिज अनुमानों का प्रतिच्छेदन और चौराहे की रेखा 34 बिंदु n देता है - वांछित बिंदु का क्षैतिज प्रक्षेपण। दिए गए त्रिकोणों के दृश्यमान खंड प्रतिस्पर्धी बिंदुओं का उपयोग करके निर्धारित किए जाते हैं प्रत्येक प्रक्षेपण विमान के लिए अलग से। ऐसा करने के लिए, प्रक्षेपण विमानों में से एक पर एक बिंदु का चयन करें, जो दो प्रतिस्पर्धी बिंदुओं का प्रक्षेपण है। दृश्यता इन बिंदुओं के दूसरे अनुमानों से उनके निर्देशांक की तुलना करके निर्धारित की जाती है।

उदाहरण के लिए, अंक 5 और 6 क्षैतिज अनुमानों बीसी और डी के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। ललाट प्रक्षेपण तल पर, इन बिंदुओं के अनुमान मेल नहीं खाते। अपने Z निर्देशांकों की तुलना करते हुए, वे पाते हैं कि बिंदु 5, बिंदु 6 को बंद कर देता है, क्योंकि Z 5 निर्देशांक Z 6 निर्देशांक से बड़ा है। इसलिए, बिंदु 5 के बाईं ओर, भुजा DE अदृश्य है।

अनुमानों के ललाट तल पर दृश्यता DE और BC से संबंधित प्रतिस्पर्धी बिंदुओं 4 और 7 का उपयोग करके निर्धारित की जाती है, उनके निर्देशांक Y 4 और Y 7 की तुलना करते हुए Y 4> Y 7 के बाद से, विमान V पर साइड DE दिखाई देता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि त्रिभुज के तल के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्माण करते समय, प्रतिच्छेदन बिंदु त्रिभुज के तल के बाहर हो सकता है। इस मामले में, चौराहे की रेखा से संबंधित प्राप्त बिंदुओं को जोड़कर, केवल उस हिस्से को रेखांकित किया जाता है जो दोनों त्रिकोणों से संबंधित है।

समीक्षा प्रश्न

1. किसी बिंदु के कौन से निर्देशांक V तल में उसकी स्थिति निर्धारित करते हैं?

2. एक बिंदु का Y निर्देशांक और Z निर्देशांक क्या है?

3. आरेख पर स्थित प्रक्षेपण H के तल के लंबवत खंड के प्रक्षेपण कैसे हैं? प्रक्षेपण विमान वी के लंबवत?

4. आरेख पर क्षैतिज और ललाट प्रक्षेपण कैसे स्थित हैं?

5. एक बिंदु के एक सीधी रेखा से संबंधित होने के बारे में मुख्य स्थिति तैयार करें।

6. एक आरेख में प्रतिच्छेदी रेखाओं से प्रतिच्छेदी रेखाओं में अंतर कैसे करें?

7. किन बिंदुओं को प्रतिस्पर्धा कहा जाता है?

8. यह कैसे निर्धारित किया जाए कि ललाट प्रक्षेपण तल पर उनके अनुमानों के मेल खाने पर दोनों में से कौन सा बिंदु दिखाई दे रहा है?

9. एक सीधी रेखा और एक तल की समांतरता के बारे में मुख्य स्थिति निरूपित करें।

10. सामान्य स्थिति में समतल के साथ एक रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्माण की प्रक्रिया क्या है?

11. सामान्य स्थिति में दो तलों के प्रतिच्छेदन रेखा के निर्माण की प्रक्रिया क्या है?