Ketika sistem memiliki satu solusi. 6

di mana x* - salah satu solusi dari sistem tidak homogen (2) (misalnya (4)), (E−A + A) membentuk kernel (ruang nol) dari matriks A.

Mari kita membuat dekomposisi kerangka dari matriks (E−A + A):

E−A + A=Q S

di mana Q n×n−r- matriks peringkat (Q)=n−r, S n−r×n-matriks peringkat (S)=n−r.

Maka (13) dapat ditulis dalam bentuk berikut:

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r .

di mana k=Sz.

Jadi, prosedur solusi umum sistem persamaan linier menggunakan matriks pseudoinverse dapat direpresentasikan dalam bentuk berikut:

Hitung matriks pseudoinverse A + .
Kami menghitung solusi khusus dari sistem persamaan linier tidak homogen (2): x*=A + b.
Kami memeriksa kompatibilitas sistem. Untuk ini kami menghitung A A + b. Jika sebuah A A + b≠b, maka sistem tidak konsisten. Jika tidak, kami melanjutkan prosedur.
vyssylyaem E−A+A.
Melakukan dekomposisi kerangka E−A + A=Q·S.
Membangun Solusi

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r .

Memecahkan sistem persamaan linear secara online

Kalkulator online memungkinkan Anda menemukan solusi umum sistem persamaan linier dengan penjelasan terperinci.

Untuk menyelidiki sistem persamaan agebraic linier (SLAE) untuk kompatibilitas berarti untuk mengetahui apakah sistem ini memiliki solusi atau tidak. Nah, jika ada solusi, tunjukkan berapa banyak dari mereka.

Kami akan membutuhkan informasi dari topik "Sistem persamaan aljabar linier. Istilah dasar. Notasi matriks". Secara khusus, konsep-konsep seperti matriks sistem dan matriks diperpanjang dari sistem diperlukan, karena rumusan teorema Kronecker-Capelli didasarkan pada mereka. Seperti biasa, matriks sistem akan dilambangkan dengan huruf $A$, dan matriks perluasan sistem dengan huruf $\widetilde(A)$.

Teorema Kronecker-Capelli

Suatu sistem persamaan aljabar linier konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks sistem tersebut sama dengan pangkat matriks yang diperluas dari sistem, yaitu $\rank A=\rang\widetilde(A)$.

Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa suatu sistem disebut bersama jika memiliki setidaknya satu solusi. Teorema Kronecker-Capelli mengatakan ini: jika $\rang A=\rang\widetilde(A)$, maka ada solusi; jika $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, maka SLAE ini tidak memiliki solusi (tidak konsisten). Jawaban atas pertanyaan tentang jumlah solusi ini diberikan oleh akibat wajar dari teorema Kronecker-Capelli. Pernyataan akibat wajar menggunakan huruf $n$, yang sama dengan jumlah variabel dalam SLAE yang diberikan.

Akibat wajar dari teorema Kronecker-Capelli

Jika $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, maka SLAE tidak konsisten (tidak memiliki solusi).
Jika $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
Jika $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, maka SLAE pasti (memiliki tepat satu solusi).

Perhatikan bahwa teorema yang dirumuskan dan akibat wajarnya tidak menunjukkan bagaimana menemukan solusi untuk SLAE. Dengan bantuan mereka, Anda hanya dapat mengetahui apakah solusi ini ada atau tidak, dan jika ada, lalu berapa banyak.

Contoh 1

Jelajahi SLAE $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned) )\right.$ untuk konsistensi Jika SLAE konsisten, tunjukkan jumlah solusi.

Untuk mengetahui keberadaan solusi untuk SLAE yang diberikan, kami menggunakan teorema Kronecker-Capelli. Kita membutuhkan matriks dari sistem $A$ dan matriks yang diperluas dari sistem $\widetilde(A)$, kita tuliskan:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \kanan);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(array)\kanan). $$

Kita perlu mencari $\rang A$ dan $\rang\widetilde(A)$. Ada banyak cara untuk melakukan ini, beberapa di antaranya tercantum di bagian Peringkat Matriks. Biasanya, dua metode digunakan untuk mempelajari sistem seperti itu: "Perhitungan pangkat matriks menurut definisi" atau "Perhitungan pangkat matriks dengan metode transformasi dasar".

Metode nomor 1. Perhitungan peringkat menurut definisi.

Menurut definisi, peringkat adalah urutan tertinggi dari minor matriks , di antaranya setidaknya ada satu selain nol. Biasanya, studi dimulai dengan minor orde pertama, tetapi di sini lebih mudah untuk segera melanjutkan ke kalkulasi minor orde ketiga dari matriks $A$. Unsur-unsur minor orde ketiga berada pada perpotongan tiga baris dan tiga kolom dari matriks yang ditinjau. Karena matriks $A$ hanya berisi 3 baris dan 3 kolom, minor orde ketiga dari matriks $A$ adalah determinan dari matriks $A$, yaitu. $\DeltaA$. Untuk menghitung determinan, kami menerapkan rumus No. 2 dari topik "Rumus untuk menghitung determinan orde kedua dan ketiga":

$$ \Delta A=\kiri| \begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right|=-21. $$

Jadi, ada minor orde ketiga dari matriks $A$, yang tidak sama dengan nol. Minor orde ke-4 tidak dapat dibuat, karena memerlukan 4 baris dan 4 kolom, dan matriks $A$ hanya memiliki 3 baris dan 3 kolom. Jadi, orde minor tertinggi dari matriks $A$, di antaranya setidaknya ada satu yang bukan nol, sama dengan 3. Oleh karena itu, $\rang A=3$.

Kita juga perlu mencari $\rang\widetilde(A)$. Mari kita lihat struktur matriks $\widetilde(A)$. Hingga baris dalam matriks $\widetilde(A)$ terdapat elemen-elemen dari matriks $A$, dan kami menemukan bahwa $\Delta A\neq 0$. Oleh karena itu, matriks $\widetilde(A)$ memiliki minor orde ketiga yang tidak sama dengan nol. Kami tidak dapat membuat minor orde keempat dari matriks $\widetilde(A)$, jadi kami menyimpulkan: $\rang\widetilde(A)=3$.

Karena $\rang A=\rang\widetilde(A)$, menurut teorema Kronecker-Capelli, sistemnya konsisten, yaitu. memiliki solusi (setidaknya satu). Untuk menunjukkan jumlah solusi, kami memperhitungkan bahwa SLAE kami berisi 3 yang tidak diketahui: $x_1$, $x_2$, dan $x_3$. Karena jumlah yang tidak diketahui adalah $n=3$, kita simpulkan: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, oleh karena itu, menurut akibat wajar dari teorema Kronecker-Capelli, sistemnya pasti, yaitu. memiliki solusi yang unik.

Masalah terpecahkan. Apa kekurangan dan kelebihan metode ini? Pertama, mari kita bicara tentang pro. Pertama, kita hanya perlu menemukan satu determinan. Setelah itu, kami segera membuat kesimpulan tentang jumlah solusi. Biasanya, dalam perhitungan tipikal standar, sistem persamaan diberikan yang berisi tiga tidak diketahui dan memiliki solusi tunggal. Untuk sistem seperti itu, metode ini sangat nyaman, karena kita tahu sebelumnya bahwa ada solusi (jika tidak, tidak akan ada contoh dalam perhitungan tipikal). Itu. kita hanya perlu menunjukkan keberadaan solusi dengan cara tercepat. Kedua, nilai yang dihitung dari determinan matriks sistem (yaitu $\Delta A$) akan berguna nanti: ketika kita mulai menyelesaikan sistem yang diberikan menggunakan metode Cramer atau menggunakan matriks terbalik .

Namun, menurut definisi, metode penghitungan peringkat tidak diinginkan jika matriks sistem $A$ berbentuk persegi panjang. Dalam hal ini, lebih baik menerapkan metode kedua, yang akan dibahas di bawah ini. Selain itu, jika $\Delta A=0$, maka kita tidak akan dapat mengatakan apa pun tentang jumlah solusi untuk SLAE tidak homogen yang diberikan. Mungkin SLAE memiliki jumlah solusi yang tak terbatas, atau mungkin tidak ada. Jika $\Delta A=0$, maka penelitian tambahan diperlukan, yang seringkali tidak praktis.

Meringkas apa yang telah dikatakan, saya perhatikan bahwa metode pertama baik untuk SLAE yang matriks sistemnya persegi. Pada saat yang sama, SLAE itu sendiri berisi tiga atau empat yang tidak diketahui dan diambil dari perhitungan standar standar atau pekerjaan kontrol.

Metode nomor 2. Perhitungan pangkat dengan metode transformasi dasar.

Metode ini dijelaskan secara rinci dalam topik yang sesuai. Kita akan menghitung rank dari matriks $\widetilde(A)$. Mengapa matriks $\widetilde(A)$ dan bukan $A$? Intinya matriks $A$ merupakan bagian dari matriks $\widetilde(A)$, jadi dengan menghitung rank dari matriks $\widetilde(A)$ kita akan mencari rank dari matriks $A$ secara bersamaan .

\begin(aligned) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(menukar baris pertama dan kedua)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(array) \rightarrow \left(\begin (array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(array) \kanan) \begin(array) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(array) \kanan) \end(aligned)

Kami telah mereduksi matriks $\widetilde(A)$ menjadi bentuk trapesium . Pada diagonal utama dari matriks yang dihasilkan $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( array) \right)$ berisi tiga elemen bukan nol: -1, 3 dan -7. Kesimpulan: rank dari matriks $\widetilde(A)$ adalah 3, mis. $\rank\widetilde(A)=3$. Melakukan transformasi dengan elemen-elemen matriks $\widetilde(A)$, kami secara bersamaan mengubah elemen-elemen matriks $A$ yang terletak sebelum garis. Matriks $A$ juga berbentuk trapesium: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \right ) $. Kesimpulan: rank dari matriks $A$ juga sama dengan 3, yaitu $\peringkat A=3$.

Karena $\rang A=\rang\widetilde(A)$, menurut teorema Kronecker-Capelli, sistemnya konsisten, yaitu. memiliki solusi. Untuk menunjukkan jumlah solusi, kami memperhitungkan bahwa SLAE kami berisi 3 yang tidak diketahui: $x_1$, $x_2$, dan $x_3$. Karena jumlah yang tidak diketahui adalah $n=3$, kita simpulkan: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, oleh karena itu, menurut akibat wajar dari teorema Kronecker-Capelli, sistem terdefinisi, yaitu. memiliki solusi yang unik.

Apa keuntungan dari metode kedua? Keuntungan utama adalah keserbagunaannya. Tidak masalah bagi kita apakah matriks sistem itu persegi atau tidak. Selain itu, kami sebenarnya telah melakukan transformasi metode Gauss ke depan. Tinggal beberapa langkah lagi, dan kita bisa mendapatkan solusi dari SLAE ini. Sejujurnya, saya lebih suka cara kedua daripada yang pertama, tetapi pilihan adalah masalah selera.

Menjawab: SLAE yang diberikan konsisten dan terdefinisi.

Contoh #2

Jelajahi SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(aligned) \right.$ untuk konsistensi.

Kami akan menemukan peringkat dari matriks sistem dan matriks diperpanjang dari sistem dengan metode transformasi dasar. Matriks sistem yang diperluas: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \kanan)$. Mari kita cari peringkat yang diperlukan dengan mentransformasikan matriks yang diperbesar dari sistem:

Matriks yang diperluas dari sistem direduksi menjadi bentuk bertahap. Jika matriks direduksi menjadi bentuk bertahap, maka peringkatnya sama dengan jumlah baris bukan nol. Oleh karena itu, $\rank A=3$. Matriks $A$ (sampai garis) direduksi menjadi bentuk trapesium dan pangkatnya sama dengan 2, $\rang A=2$.

Karena $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, maka, menurut teorema Kronecker-Capelli, sistem tidak konsisten (yaitu, tidak memiliki solusi).

Menjawab: Sistem tidak konsisten.

Contoh #3

Jelajahi SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(aligned) \right.$ untuk kompatibilitas.

Matriks sistem yang diperluas adalah: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array)\kanan)$. Tukar baris pertama dan kedua dari matriks ini sehingga elemen pertama dari baris pertama adalah satu: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \kanan)$.

Kami telah mereduksi matriks yang diperluas dari sistem dan matriks sistem itu sendiri menjadi bentuk trapesium. Pangkat matriks yang diperluas dari sistem sama dengan tiga, pangkat matriks sistem juga sama dengan tiga. Karena sistem berisi $n=5$ yang tidak diketahui, mis. $\rang\widetilde(A)=\rank A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Menjawab: sistem tak tentu.

Di bagian kedua, kami akan menganalisis contoh yang sering dimasukkan dalam perhitungan standar atau tes dalam matematika yang lebih tinggi: studi kompatibilitas dan solusi SLAE tergantung pada nilai parameter yang disertakan di dalamnya.

Kami terus berurusan dengan sistem persamaan linier. Sejauh ini, kami telah mempertimbangkan sistem yang memiliki solusi unik. Sistem seperti itu dapat diselesaikan dengan cara apa pun: metode substitusi("sekolah") dengan rumus Cramer, metode matriks, Metode Gauss. Namun, dua kasus lagi tersebar luas dalam praktiknya ketika:

1) sistem tidak konsisten (tidak memiliki solusi);

2) sistem memiliki banyak solusi tak terhingga.

Untuk sistem ini, metode solusi yang paling universal digunakan - Metode Gauss. Sebenarnya, metode "sekolah" juga akan mengarah pada jawaban, tetapi dalam matematika yang lebih tinggi biasanya menggunakan metode Gaussian untuk eliminasi yang tidak diketahui secara berurutan. Yang belum paham dengan algoritma metode Gauss, silahkan pelajari dulu pelajarannya Metode Gauss

Transformasi matriks dasar itu sendiri persis sama, perbedaan akan berada di akhir solusi. Pertama, pertimbangkan beberapa contoh di mana sistem tidak memiliki solusi (tidak konsisten).

Contoh 1

Apa yang langsung menarik perhatian Anda dalam sistem ini? Jumlah persamaan lebih sedikit daripada jumlah variabel. Ada teorema yang mengatakan: “Jika jumlah persamaan dalam sistem lebih kecil dari jumlah variabel, maka sistem tersebut tidak konsisten atau memiliki banyak solusi tak terhingga. Dan itu tetap hanya untuk mencari tahu.

Awal dari solusinya cukup biasa - kami menulis matriks yang diperluas dari sistem dan, menggunakan transformasi dasar, kami membawanya ke bentuk langkah:

(satu). Di langkah kiri atas, kita perlu mendapatkan (+1) atau (-1). Tidak ada angka seperti itu di kolom pertama, jadi mengatur ulang baris tidak akan berhasil. Unit harus diatur secara independen, dan ini dapat dilakukan dengan beberapa cara. Kami melakukannya. Pada baris pertama kita tambahkan baris ketiga, dikalikan dengan (-1).

(2). Sekarang kita mendapatkan dua nol di kolom pertama. Ke baris kedua, tambahkan baris pertama, dikalikan 3. Ke baris ketiga, tambahkan baris pertama, dikalikan dengan 5.

(3). Setelah transformasi selesai, selalu disarankan untuk melihat apakah mungkin untuk menyederhanakan string yang dihasilkan? Bisa. Kami membagi baris kedua dengan 2, pada saat yang sama mendapatkan yang diinginkan (-1) pada langkah kedua. Bagilah baris ketiga dengan (-3).

(4). Tambahkan baris kedua ke baris ketiga. Mungkin, semua orang memperhatikan garis buruk, yang ternyata sebagai hasil dari transformasi dasar:

. Jelas bahwa ini tidak mungkin terjadi.

Memang, kami menulis ulang matriks yang dihasilkan

kembali ke sistem persamaan linear:

Jika sebagai hasil dari transformasi dasar sebuah string berbentuk , di manaλ adalah bilangan bukan nol, maka sistem tidak konsisten (tidak memiliki solusi).

Bagaimana cara merekam akhir tugas? Anda perlu menuliskan frasa:

“Sebagai hasil dari transformasi dasar, sebuah string bentuk diperoleh, di mana λ ≠ 0 ". Jawaban: "Sistem tidak memiliki solusi (tidak konsisten)."

Harap dicatat bahwa dalam kasus ini tidak ada gerakan terbalik dari algoritma Gaussian, tidak ada solusi dan tidak ada yang bisa ditemukan.

Contoh 2

Memecahkan sistem persamaan linear

Ini adalah contoh do-it-yourself. Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.

Sekali lagi, kami mengingatkan Anda bahwa jalur solusi Anda mungkin berbeda dari jalur solusi kami, metode Gauss tidak menetapkan algoritme yang tidak ambigu, Anda harus menebak sendiri prosedur dan tindakannya sendiri dalam setiap kasus.

Satu lagi fitur teknis dari solusi: transformasi dasar dapat dihentikan Sekaligus, segera setelah garis seperti , di mana λ ≠ 0 . Pertimbangkan contoh bersyarat: misalkan setelah transformasi pertama kita mendapatkan matriks

Matriks ini belum direduksi menjadi bentuk bertahap, tetapi tidak diperlukan transformasi dasar lebih lanjut, karena garis bentuk telah muncul, di mana λ ≠ 0 . Harus segera dijawab bahwa sistem tidak kompatibel.

Ketika sistem persamaan linier tidak memiliki solusi, ini hampir merupakan hadiah bagi siswa, karena fakta bahwa solusi singkat diperoleh, kadang-kadang secara harfiah dalam 2-3 langkah. Tetapi segala sesuatu di dunia ini seimbang, dan masalah di mana sistem memiliki banyak solusi tak terbatas hanya akan lebih lama.

Contoh 3:

Memecahkan sistem persamaan linear

Ada 4 persamaan dan 4 yang tidak diketahui, sehingga sistem dapat memiliki solusi tunggal, atau tidak memiliki solusi, atau memiliki banyak solusi. Apa pun itu, tetapi metode Gauss bagaimanapun akan membawa kita pada jawabannya. Ini adalah keserbagunaannya.

Awal lagi standar. Mari kita tulis matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

Itu saja, dan Anda takut.

(satu). Harap dicatat bahwa semua angka di kolom pertama habis dibagi 2, jadi pada langkah kiri atas kami juga puas dengan deuce. Ke baris kedua kita tambahkan baris pertama, dikalikan dengan (-4). Untuk baris ketiga kita tambahkan baris pertama, dikalikan dengan (-2). Untuk baris keempat kita tambahkan baris pertama, dikalikan dengan (-1).

Perhatian! Banyak yang mungkin tergoda dari baris keempat mengurangi garis pertama. Ini bisa dilakukan, tetapi itu tidak perlu, pengalaman menunjukkan bahwa kemungkinan kesalahan dalam perhitungan meningkat beberapa kali lipat. Kita tinggal menambahkan: pada baris keempat kita tambahkan baris pertama, dikalikan dengan (-1) - tepat!

(2). Tiga baris terakhir proporsional, dua di antaranya dapat dihapus. Di sini sekali lagi perlu untuk menunjukkan perhatian yang meningkat, tetapi apakah garis-garisnya benar-benar proporsional? Untuk reasuransi, tidak akan berlebihan untuk mengalikan baris kedua dengan (-1), dan membagi baris keempat dengan 2, menghasilkan tiga baris yang identik. Dan hanya setelah itu hapus dua di antaranya. Sebagai hasil dari transformasi dasar, matriks yang diperluas dari sistem direduksi menjadi bentuk bertahap:

Saat menyelesaikan tugas di buku catatan, disarankan untuk membuat catatan yang sama dengan pensil untuk kejelasan.

Kami menulis ulang sistem persamaan yang sesuai:

Satu-satunya solusi sistem yang "biasa" tidak berbau di sini. Garis buruk di mana λ ≠ 0, juga tidak. Oleh karena itu, ini adalah kasus ketiga yang tersisa - sistem memiliki banyak solusi yang tak terhingga.

Himpunan solusi tak hingga dari sistem secara singkat ditulis dalam bentuk yang disebut solusi sistem umum.

Kami akan menemukan solusi umum dari sistem menggunakan gerakan terbalik dari metode Gauss. Untuk sistem persamaan dengan himpunan solusi tak terhingga, konsep baru muncul: "variabel dasar" dan "variabel bebas". Pertama, mari kita tentukan variabel apa yang kita miliki dasar, dan variabel apa - Gratis. Tidak perlu menjelaskan secara rinci istilah aljabar linier, cukup diingat bahwa ada: variabel dasar dan variabel bebas.

Variabel dasar selalu "duduk" secara ketat pada langkah-langkah matriks. Dalam contoh ini, variabel dasarnya adalah x 1 dan x 3 .

Variabel bebas adalah segalanya tersisa variabel yang tidak mendapatkan langkah. Dalam kasus kami, ada dua: x 2 dan x 4 - variabel bebas.

Sekarang Anda membutuhkan semuavariabel dasar cepat hanya melaluivariabel bebas. Gerakan kebalikan dari algoritma Gaussian secara tradisional bekerja dari bawah ke atas. Dari persamaan kedua sistem, kami menyatakan variabel dasar x 3:

Sekarang perhatikan persamaan pertama: . Pertama, kami mengganti ekspresi yang ditemukan ke dalamnya:

Tetap mengekspresikan variabel dasar x 1 melalui variabel bebas x 2 dan x 4:

Hasilnya adalah apa yang Anda butuhkan - semua variabel dasar ( x 1 dan x 3) diungkapkan hanya melalui variabel bebas ( x 2 dan x 4):

Sebenarnya, solusi umum sudah siap:

Bagaimana cara menuliskan solusi umumnya? Pertama-tama, variabel bebas ditulis ke dalam solusi umum "sendiri" dan secara ketat di tempatnya. Dalam hal ini, variabel bebas x 2 dan x 4 harus ditulis di posisi kedua dan keempat:

Ekspresi yang dihasilkan untuk variabel dasar dan jelas perlu ditulis di posisi pertama dan ketiga:

Dari solusi umum sistem, seseorang dapat menemukan banyak tak terhingga keputusan pribadi. Ini sangat sederhana. variabel bebas x 2 dan x 4 disebut demikian karena dapat diberikan nilai akhir apa pun. Nilai yang paling populer adalah nilai nol, karena ini adalah cara termudah untuk mendapatkan solusi tertentu.

Mengganti ( x 2 = 0; x 4 = 0) ke dalam solusi umum, kami mendapatkan salah satu solusi khusus:

, atau merupakan solusi tertentu yang sesuai dengan variabel bebas dengan nilai ( x 2 = 0; x 4 = 0).

Yang satu adalah pasangan manis lainnya, mari kita ganti ( x 2 = 1 dan x 4 = 1) ke dalam solusi umum:

, yaitu (-1; 1; 1; 1) adalah solusi khusus lainnya.

Sangat mudah untuk melihat bahwa sistem persamaan memiliki banyak solusi karena kita dapat memberikan variabel bebas setiap nilai-nilai.

Setiap solusi tertentu harus memenuhi untuk masing-masing persamaan sistem. Ini adalah dasar untuk pemeriksaan "cepat" atas kebenaran solusi. Ambil, misalnya, solusi tertentu (-1; 1; 1; 1) dan substitusikan ke sisi kiri setiap persamaan dalam sistem asli:

Semuanya harus bersatu. Dan dengan solusi khusus apa pun yang Anda dapatkan, semuanya juga harus menyatu.

Sebenarnya, verifikasi solusi tertentu terkadang menipu, mis. beberapa solusi tertentu dapat memenuhi setiap persamaan sistem, dan solusi umum itu sendiri sebenarnya ditemukan salah. Oleh karena itu, pertama-tama, verifikasi solusi umum lebih menyeluruh dan dapat diandalkan.

Bagaimana cara memeriksa solusi umum yang dihasilkan ?

Ini tidak sulit, tetapi membutuhkan transformasi yang cukup lama. Kita perlu mengambil ekspresi dasar variabel, dalam hal ini dan , dan substitusikan ke ruas kiri setiap persamaan sistem.

Ke ruas kiri persamaan pertama sistem:

Sisi kanan persamaan pertama asli dari sistem diperoleh.

Ke ruas kiri persamaan kedua sistem:

Sisi kanan persamaan kedua asli dari sistem diperoleh.

Dan selanjutnya - ke bagian kiri persamaan ketiga dan keempat dari sistem. Pemeriksaan ini lebih lama, tetapi menjamin kebenaran 100% dari solusi keseluruhan. Selain itu, dalam beberapa tugas diperlukan untuk memeriksa solusi umum.

Contoh 4:

Selesaikan sistem menggunakan metode Gauss. Temukan solusi umum dan dua solusi pribadi. Periksa solusi keseluruhan.

Contoh 5:

Memecahkan sistem persamaan linear. Jika sistem memiliki banyak solusi, temukan dua solusi khusus dan periksa solusi umumnya

Keputusan: Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan bantuan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

(satu). Tambahkan baris pertama ke baris kedua. Pada baris ketiga kita tambahkan baris pertama dikalikan 2. Pada baris keempat kita tambahkan baris pertama dikalikan 3.

(2). Pada baris ketiga kita tambahkan baris kedua, dikalikan dengan (-5). Ke baris keempat kita tambahkan baris kedua, dikalikan dengan (-7).

(3). Baris ketiga dan keempat sama, kami menghapus salah satunya. Inilah keindahan seperti itu:

Variabel dasar duduk di tangga, jadi mereka adalah variabel dasar.

Hanya ada satu variabel bebas, yang tidak mendapatkan langkah: .

(4). Gerakan mundur. Kami mengungkapkan variabel dasar dalam hal variabel bebas:

Dari persamaan ketiga:

Pertimbangkan persamaan kedua dan substitusikan ekspresi yang ditemukan ke dalamnya:

, , ,

Pertimbangkan persamaan pertama dan substitusikan ekspresi yang ditemukan dan ke dalamnya:

Jadi, solusi umum dengan satu variabel bebas x 4:

Sekali lagi, bagaimana itu terjadi? variabel bebas x 4 duduk sendirian di tempat keempat yang sah. Ekspresi yang dihasilkan untuk variabel dasar , , juga ada di tempatnya.

Mari kita segera memeriksa solusi umum.

Kami mengganti variabel dasar , , ke sisi kiri setiap persamaan sistem:

Sisi kanan yang sesuai dari persamaan diperoleh, dengan demikian, solusi umum yang benar ditemukan.

Sekarang dari solusi umum yang ditemukan kita mendapatkan dua solusi khusus. Semua variabel diekspresikan di sini melalui single variabel bebas x 4 . Anda tidak perlu mematahkan kepala Anda.

Biarlah x 4 = 0, maka adalah solusi khusus pertama.

Biarlah x 4 = 1, maka adalah solusi khusus lainnya.

Menjawab: Keputusan bersama: . Solusi Pribadi:

dan .

Contoh 6:

Temukan solusi umum dari sistem persamaan linier.

Kami telah memeriksa solusi umum, jawabannya dapat dipercaya. Tindakan Anda mungkin berbeda dari tindakan kami. Hal utama adalah bahwa solusi umum bertepatan. Mungkin, banyak yang memperhatikan momen yang tidak menyenangkan dalam solusi: sangat sering, selama kebalikan dari metode Gauss, kami harus mengutak-atik pecahan biasa. Dalam praktiknya, ini benar, kasus di mana tidak ada pecahan jauh lebih jarang terjadi. Bersiaplah secara mental, dan yang paling penting, secara teknis.

Mari kita membahas fitur solusi yang tidak ditemukan dalam contoh yang diselesaikan. Solusi umum dari sistem kadang-kadang dapat mencakup konstanta (atau konstanta).

Misalnya, solusi umum: . Di sini salah satu variabel dasar sama dengan angka konstan: . Tidak ada yang eksotis dalam hal ini, itu terjadi. Jelas, dalam kasus ini, setiap solusi tertentu akan berisi lima di posisi pertama.

Jarang, tetapi ada sistem di mana jumlah persamaan lebih banyak kuantitas variabel. Namun, metode Gauss bekerja di bawah kondisi yang paling parah. Anda harus dengan tenang membawa matriks sistem yang diperluas ke bentuk bertahap sesuai dengan algoritma standar. Sistem seperti itu mungkin tidak konsisten, mungkin memiliki banyak solusi tak terhingga, dan, anehnya, mungkin memiliki solusi unik.

Kami ulangi dalam saran kami - untuk merasa nyaman saat menyelesaikan sistem menggunakan metode Gauss, Anda harus mengisi tangan Anda dan menyelesaikan setidaknya selusin sistem.

Solusi dan jawaban:

Contoh 2:

Keputusan:Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap.

Transformasi dasar yang dilakukan:

(1) Baris pertama dan ketiga telah ditukar.

(2) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan dengan (-6). Baris pertama ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan dengan (-7).

(3) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan dengan (-1).

Sebagai hasil dari transformasi dasar, string berbentuk, di mana λ ≠ 0 .Jadi sistemnya tidak konsisten.Menjawab: tidak ada solusi.

Contoh 4:

Keputusan:Mari kita tulis matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

Konversi yang dilakukan:

(satu). Baris pertama dikalikan 2 ditambahkan ke baris kedua. Baris pertama dikalikan 3 ditambahkan ke baris ketiga.

Tidak ada unit untuk langkah kedua , dan transformasi (2) ditujukan untuk memperolehnya.

(2). Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan dengan -3.

(3). Baris kedua dan ketiga ditukar (hasil -1 dipindahkan ke langkah kedua)

(4). Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan 3.

(5). Tanda dua baris pertama diubah (dikalikan -1), baris ketiga dibagi 14.

Gerakan mundur:

(satu). Di Sini adalah variabel dasar (yang ada di langkah), dan adalah variabel bebas (yang tidak mendapatkan langkah).

(2). Kami mengungkapkan variabel dasar dalam hal variabel bebas:

Dari persamaan ketiga: .

(3). Perhatikan persamaan kedua:, solusi khusus:

Menjawab: Keputusan bersama:

Bilangan kompleks

Pada bagian ini, kami akan memperkenalkan konsep bilangan kompleks, mempertimbangkan aljabar, trigonometri dan menunjukkan bentuk bilangan kompleks. Kita juga akan belajar bagaimana melakukan operasi dengan bilangan kompleks: penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, eksponensial dan ekstraksi akar.

Untuk menguasai bilangan kompleks, Anda tidak memerlukan pengetahuan khusus dari kursus matematika yang lebih tinggi, dan materinya tersedia bahkan untuk anak sekolah. Cukup untuk dapat melakukan operasi aljabar dengan angka "biasa", dan mengingat trigonometri.

Pertama, mari kita mengingat Angka "biasa". Dalam matematika mereka disebut himpunan bilangan real dan ditandai dengan huruf R, atau R (tebal). Semua bilangan real duduk di garis bilangan yang sudah dikenal:

Perusahaan bilangan real sangat berwarna - ini adalah bilangan bulat, dan pecahan, dan bilangan irasional. Dalam hal ini, setiap titik dari sumbu numerik harus sesuai dengan beberapa bilangan real.

§satu. Sistem persamaan linier.

sistem tampilan

disebut sistem m persamaan linier dengan n tidak dikenal.

Di Sini
- tidak dikenal, - koefisien untuk yang tidak diketahui,
- anggota bebas dari persamaan.

Jika semua suku bebas persamaan sama dengan nol, sistem tersebut disebut homogen.Keputusan sistem disebut himpunan bilangan
, ketika memasukkannya ke dalam sistem alih-alih yang tidak diketahui, semua persamaan berubah menjadi identitas. Sistem tersebut disebut persendian jika memiliki setidaknya satu solusi. Sistem gabungan dengan solusi unik disebut yakin. Kedua sistem tersebut disebut setara jika himpunan penyelesaiannya sama.

Sistem (1) dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks menggunakan persamaan

(2)

2. Kompatibilitas sistem persamaan linier.

Kami menyebut matriks yang diperluas dari sistem (1) matriks

Kronecker - teorema Capelli. Sistem (1) konsisten jika dan hanya jika rank dari matriks sistem sama dengan rank dari matriks yang diperluas:

3. Solusi sistemn persamaan linier dengann tidak dikenal.

Pertimbangkan sistem tidak homogen n persamaan linier dengan n tidak dikenal:

(3)

teorema Cramer.Jika determinan utama sistem (3)
, maka sistem memiliki solusi unik yang ditentukan oleh rumus:

itu.
,

di mana - determinan yang diperoleh dari determinan penggantian kolom th ke kolom anggota bebas.

Jika sebuah
, dan setidaknya satu dari 0, maka sistem tidak memiliki solusi.

Jika sebuah
, maka sistem tersebut memiliki banyak solusi.

Sistem (3) dapat diselesaikan dengan menggunakan notasi matriks (2). Jika pangkat matriks TETAPI sama dengan n, yaitu
, maka matriks TETAPI memiliki invers
. Mengalikan persamaan matriks
ke matriks
di sebelah kiri, kita mendapatkan:

Persamaan terakhir mengungkapkan cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan matriks terbalik.

Contoh. Memecahkan sistem persamaan menggunakan matriks terbalik.

Keputusan. Matriks
tidak merosot, karena
, jadi ada matriks terbalik. Mari kita hitung matriks terbalik:
.

Latihan. Selesaikan sistem dengan metode Cramer.

4. Solusi sistem sewenang-wenang persamaan linier.

Biarkan sistem persamaan linier tidak homogen dari bentuk (1) diberikan.

Mari kita asumsikan bahwa sistemnya konsisten, mis. kondisi teorema Kronecker-Capelli terpenuhi:
. Jika pangkat matriks
(ke jumlah yang tidak diketahui), maka sistem memiliki solusi unik. Jika sebuah
, maka sistem tersebut memiliki banyak solusi. Mari kita jelaskan.

Biarkan pangkat matriks r(A)= r< n. Sejauh
, maka ada beberapa minor bukan nol dari order r. Sebut saja itu minor dasar. Variabel yang tidak diketahui yang koefisiennya membentuk minor dasar disebut variabel dasar. Sisanya yang tidak diketahui disebut variabel bebas. Kami mengatur ulang persamaan dan menomori ulang variabel sehingga minor ini terletak di sudut kiri atas matriks sistem:

Pertama r baris bebas linier, sisanya diekspresikan melaluinya. Oleh karena itu, garis (persamaan) ini dapat dibuang. Kita mendapatkan:

Mari kita berikan variabel bebas nilai numerik arbitrer: . Kami hanya meninggalkan variabel dasar di sisi kiri, dan memindahkan variabel bebas ke sisi kanan.

Punya sistem r persamaan linier dengan r tidak diketahui, yang determinannya berbeda dari 0. Ia memiliki solusi unik.

Sistem ini disebut solusi umum dari sistem persamaan linear (1). Jika tidak: ekspresi variabel dasar dalam bentuk variabel bebas disebut solusi umum sistem. Dari situ Anda bisa mendapatkan jumlah tak terbatas keputusan pribadi, memberikan variabel bebas nilai arbitrer. Solusi khusus yang diperoleh dari solusi umum dengan nilai nol dari variabel bebas disebut solusi dasar. Jumlah solusi dasar yang berbeda tidak melebihi
. Penyelesaian basa yang komponennya tidak negatif disebut sangat penting solusi sistem.

Contoh.

,r=2.

Variabel
- dasar,
- Gratis.

Mari kita tambahkan persamaan; cepat
melalui
:

- keputusan bersama.

- solusi pribadi
.

- solusi dasar, dasar.

5. metode Gauss.

Metode Gauss adalah metode universal untuk mempelajari dan memecahkan sistem persamaan linier yang berubah-ubah. Ini terdiri dari membawa sistem ke bentuk diagonal (atau segitiga) dengan eliminasi berurutan dari yang tidak diketahui menggunakan transformasi dasar yang tidak melanggar kesetaraan sistem. Suatu variabel dianggap dikecualikan jika hanya terdapat dalam satu persamaan sistem dengan koefisien 1.

Transformasi dasar sistem adalah:

Mengalikan persamaan dengan angka bukan nol;

Menambahkan persamaan dikalikan dengan angka apa pun dengan persamaan lain;

Penataan ulang persamaan;

Menghilangkan persamaan 0 = 0.

Transformasi dasar tidak dapat dilakukan pada persamaan, tetapi pada matriks yang diperluas dari sistem ekivalen yang dihasilkan.

Contoh.

Keputusan. Kami menulis matriks diperpanjang dari sistem:

Melakukan transformasi dasar, kami membawa sisi kiri matriks ke bentuk satuan: kami akan membuat unit pada diagonal utama, dan nol di luarnya.

Komentar. Jika, ketika melakukan transformasi dasar, persamaan bentuk 0 = k(di mana ke0), maka sistem tidak konsisten.

Penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode eliminasi berurutan dari yang tidak diketahui dapat diformalkan dalam bentuk meja.

Kolom kiri tabel berisi informasi tentang variabel yang dikecualikan (dasar). Kolom yang tersisa berisi koefisien yang tidak diketahui dan suku bebas persamaan.

Matriks yang diperluas dari sistem ditulis ke dalam tabel sumber. Selanjutnya, lanjutkan ke implementasi transformasi Jordan:

1. Pilih variabel , yang akan menjadi dasar. Kolom yang sesuai disebut kolom kunci. Pilih persamaan di mana variabel ini akan tetap, dikeluarkan dari persamaan lainnya. Baris tabel yang sesuai disebut baris kunci. Koefisien , berdiri di persimpangan baris kunci dan kolom kunci, disebut kunci.

2. Elemen kunci string dibagi dengan elemen kunci.

3. Kolom kunci diisi dengan angka nol.

4. Elemen yang tersisa dihitung menurut aturan persegi panjang. Mereka membentuk persegi panjang, di simpul yang berlawanan di mana ada elemen kunci dan elemen yang dihitung ulang; dari perkalian elemen-elemen pada diagonal persegi panjang dengan elemen kunci, hasil perkalian elemen diagonal lainnya dikurangi, selisih yang dihasilkan dibagi elemen kunci.

Contoh. Temukan solusi umum dan solusi dasar dari sistem persamaan:

Keputusan.

Solusi umum dari sistem:

Solusi dasar:
.

Transformasi substitusi satu kali memungkinkan seseorang untuk berpindah dari satu basis sistem ke basis lain: alih-alih salah satu variabel utama, salah satu variabel bebas dimasukkan ke dalam basis. Untuk melakukan ini, elemen kunci dipilih di kolom variabel bebas dan transformasi dilakukan sesuai dengan algoritma di atas.

6. Menemukan solusi dukungan

Solusi referensi dari sistem persamaan linier adalah solusi dasar yang tidak mengandung komponen negatif.

Solusi pendukung sistem ditemukan dengan metode Gauss dalam kondisi berikut.

1. Dalam sistem asli, semua istilah bebas harus non-negatif:
.

2. Elemen kunci dipilih di antara koefisien positif.

3. Jika variabel yang dimasukkan ke dalam basis memiliki beberapa koefisien positif, maka string kuncinya adalah variabel yang rasio suku bebasnya terhadap koefisien positifnya paling kecil.

Catatan 1. Jika, dalam proses menghilangkan yang tidak diketahui, sebuah persamaan muncul di mana semua koefisien adalah nonpositif, dan suku bebas
, maka sistem tidak memiliki solusi non-negatif.

Catatan 2. Jika tidak ada satu pun elemen positif dalam kolom koefisien untuk variabel bebas, maka transisi ke solusi referensi lain tidak mungkin dilakukan.

Contoh.

Namun, dua kasus lagi tersebar luas dalam praktiknya:

– Sistem tidak konsisten (tidak memiliki solusi);
Sistem ini konsisten dan memiliki banyak solusi yang tak terhingga.

Catatan : istilah "konsistensi" menyiratkan bahwa sistem memiliki setidaknya beberapa solusi. Dalam sejumlah tugas, diperlukan untuk memeriksa kompatibilitas sistem terlebih dahulu, bagaimana melakukan ini - lihat artikel di peringkat matriks.

Transformasi matriks dasar itu sendiri persis sama, perbedaan akan berada di akhir solusi. Pertama, pertimbangkan beberapa contoh di mana sistem tidak memiliki solusi (tidak konsisten).

Contoh 1

Apa yang langsung menarik perhatian Anda dalam sistem ini? Jumlah persamaan lebih sedikit daripada jumlah variabel. Jika jumlah persamaan lebih kecil dari jumlah variabel, maka kita dapat segera mengatakan bahwa sistem tersebut tidak konsisten atau memiliki banyak solusi tak terhingga. Dan itu tetap hanya untuk mencari tahu.

Awal dari solusinya cukup biasa - kami menulis matriks yang diperluas dari sistem dan, menggunakan transformasi dasar, kami membawanya ke bentuk langkah:

(1) Pada langkah kiri atas, kita perlu mendapatkan +1 atau -1. Tidak ada angka seperti itu di kolom pertama, jadi mengatur ulang baris tidak akan berhasil. Unit harus diatur secara independen, dan ini dapat dilakukan dengan beberapa cara. Saya melakukan ini: Ke baris pertama, tambahkan baris ketiga, dikalikan dengan -1.

(2) Sekarang kita mendapatkan dua nol di kolom pertama. Untuk baris kedua kita tambahkan baris pertama dikalikan 3. Untuk baris ketiga kita tambahkan baris pertama dikalikan 5.

(3) Setelah transformasi selesai, selalu disarankan untuk melihat apakah mungkin untuk menyederhanakan string yang dihasilkan? Bisa. Kami membagi baris kedua dengan 2, pada saat yang sama mendapatkan -1 yang diinginkan pada langkah kedua. Bagi baris ketiga dengan -3.

(4) Tambahkan baris kedua ke baris ketiga.

Mungkin, semua orang memperhatikan garis buruk, yang ternyata sebagai hasil dari transformasi dasar: . Jelas bahwa ini tidak mungkin terjadi. Memang, kami menulis ulang matriks yang dihasilkan kembali ke sistem persamaan linear:

Jika, sebagai hasil dari transformasi dasar, diperoleh string berbentuk, di mana adalah bilangan bukan nol, maka sistem tersebut tidak konsisten (tidak memiliki solusi) .

Bagaimana cara merekam akhir tugas? Mari kita menggambar dengan kapur putih: "sebagai hasil dari transformasi dasar, garis bentuk diperoleh, di mana" dan berikan jawabannya: sistem tidak memiliki solusi (tidak konsisten).

Jika, menurut kondisi, diperlukan untuk MENJELAJAHI sistem untuk kompatibilitas, maka perlu untuk mengeluarkan solusi dengan gaya yang lebih solid yang melibatkan konsep rank matriks dan teorema Kronecker-Capelli.

Harap dicatat bahwa tidak ada gerakan terbalik dari algoritma Gaussian di sini - tidak ada solusi dan tidak ada yang bisa ditemukan.

Contoh 2

Memecahkan sistem persamaan linear

Ini adalah contoh do-it-yourself. Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran. Sekali lagi, saya mengingatkan Anda bahwa jalur solusi Anda mungkin berbeda dari jalur solusi saya, algoritma Gaussian tidak memiliki "kekakuan" yang kuat.

Satu lagi fitur teknis dari solusi: transformasi dasar dapat dihentikan Sekaligus, segera setelah garis seperti , di mana . Pertimbangkan contoh bersyarat: misalkan setelah transformasi pertama kita mendapatkan matriks . Matriks belum direduksi menjadi bentuk bertahap, tetapi tidak ada kebutuhan untuk transformasi dasar lebih lanjut, karena garis bentuk telah muncul, di mana . Harus segera dijawab bahwa sistem tidak kompatibel.

Ketika sistem persamaan linier tidak memiliki solusi, ini hampir merupakan hadiah, karena solusi singkat diperoleh, kadang-kadang secara harfiah dalam 2-3 langkah.

Tetapi segala sesuatu di dunia ini seimbang, dan masalah di mana sistem memiliki banyak solusi tak terbatas hanya akan lebih lama.

Contoh 3

Memecahkan sistem persamaan linear

Awal lagi standar. Mari kita tulis matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

Itu saja, dan Anda takut.

(1) Perhatikan bahwa semua angka di kolom pertama habis dibagi 2, jadi 2 baik-baik saja di anak tangga kiri atas. Ke baris kedua kita tambahkan baris pertama, dikalikan dengan -4. Ke baris ketiga kita tambahkan baris pertama, dikalikan dengan -2. Ke baris keempat kita tambahkan baris pertama, dikalikan dengan -1.

Perhatian! Banyak yang mungkin tergoda dari baris keempat mengurangi garis pertama. Ini bisa dilakukan, tetapi itu tidak perlu, pengalaman menunjukkan bahwa kemungkinan kesalahan dalam perhitungan meningkat beberapa kali lipat. Tambahkan saja: Ke baris keempat, tambahkan baris pertama, dikalikan dengan -1 - tepat!

(2) Tiga baris terakhir proporsional, dua di antaranya dapat dihapus.

Di sini sekali lagi perlu untuk menunjukkan perhatian yang meningkat, tetapi apakah garis-garisnya benar-benar proporsional? Untuk reasuransi (terutama untuk teko), tidak akan berlebihan untuk mengalikan baris kedua dengan -1, dan membagi baris keempat dengan 2, menghasilkan tiga baris yang identik. Dan hanya setelah itu hapus dua di antaranya.

Sebagai hasil dari transformasi dasar, matriks yang diperluas dari sistem direduksi menjadi bentuk bertahap:

Saat menyelesaikan tugas di buku catatan, disarankan untuk membuat catatan yang sama dengan pensil untuk kejelasan.

Kami menulis ulang sistem persamaan yang sesuai:

Satu-satunya solusi sistem yang "biasa" tidak berbau di sini. Tidak ada garis yang buruk juga. Ini berarti bahwa ini adalah kasus ketiga yang tersisa - sistem memiliki banyak solusi yang tak terhingga. Terkadang, dengan syarat, perlu untuk menyelidiki kompatibilitas sistem (yaitu, untuk membuktikan bahwa ada solusi sama sekali), Anda dapat membaca tentang ini di paragraf terakhir artikel Bagaimana cara mencari rank suatu matriks? Tapi untuk saat ini, mari kita uraikan dasar-dasarnya:

Himpunan solusi tak hingga dari sistem secara singkat ditulis dalam bentuk yang disebut solusi sistem umum .

Kami akan menemukan solusi umum dari sistem menggunakan gerakan terbalik dari metode Gauss.

Pertama kita perlu menentukan variabel apa yang kita miliki dasar, dan variabel mana Gratis. Tidak perlu pusing-pusing dengan istilah-istilah aljabar linier, cukup diingat bahwa ada variabel dasar dan variabel bebas.

Variabel dasar selalu "duduk" secara ketat pada langkah-langkah matriks.
Dalam contoh ini, variabel dasarnya adalah dan

Variabel bebas adalah segalanya tersisa variabel yang tidak mendapatkan langkah. Dalam kasus kami, ada dua di antaranya: – variabel bebas.

Sekarang Anda membutuhkan semua variabel dasar cepat hanya melalui variabel bebas.

Gerakan kebalikan dari algoritma Gaussian secara tradisional bekerja dari bawah ke atas.
Dari persamaan kedua sistem, kami menyatakan variabel dasar:

Sekarang perhatikan persamaan pertama: . Pertama, kami mengganti ekspresi yang ditemukan ke dalamnya:

Tetap mengekspresikan variabel dasar dalam hal variabel bebas:

Hasilnya adalah apa yang Anda butuhkan - semua variabel basis ( dan ) dinyatakan hanya melalui variabel bebas:

Sebenarnya, solusi umum sudah siap:

Bagaimana cara menuliskan solusi umumnya?
Variabel bebas ditulis ke dalam solusi umum "sendiri" dan secara ketat di tempatnya. Dalam hal ini, variabel bebas harus ditulis di posisi kedua dan keempat:
.

Ekspresi yang dihasilkan untuk variabel dasar dan jelas perlu ditulis di posisi pertama dan ketiga:

Memberikan variabel bebas nilai sewenang-wenang, ada banyak sekali keputusan pribadi. Nilai yang paling populer adalah nol, karena solusi tertentu adalah yang paling mudah diperoleh. Substitusi ke dalam solusi umum:

merupakan keputusan pribadi.

Yang satu adalah pasangan manis lainnya, mari kita substitusikan ke dalam solusi umum:

adalah solusi khusus lainnya.

Sangat mudah untuk melihat bahwa sistem persamaan memiliki banyak solusi(karena kita dapat memberikan variabel bebas setiap nilai)

Setiap solusi tertentu harus memenuhi untuk masing-masing persamaan sistem. Ini adalah dasar untuk pemeriksaan "cepat" atas kebenaran solusi. Ambil, misalnya, solusi tertentu dan substitusikan ke sisi kiri setiap persamaan dalam sistem asli:

Semuanya harus bersatu. Dan dengan solusi khusus apa pun yang Anda dapatkan, semuanya juga harus menyatu.

Tapi, sebenarnya, verifikasi solusi tertentu terkadang menipu; beberapa solusi tertentu dapat memenuhi setiap persamaan sistem, dan solusi umum itu sendiri sebenarnya ditemukan salah.

Oleh karena itu, verifikasi solusi umum lebih teliti dan dapat diandalkan. Bagaimana cara memeriksa solusi umum yang dihasilkan ?

Mudah, tapi cukup melelahkan. Kita perlu mengambil ekspresi dasar variabel, dalam hal ini dan , dan substitusikan ke ruas kiri setiap persamaan sistem.

Ke ruas kiri persamaan pertama sistem:

Ke ruas kiri persamaan kedua sistem:

Sisi kanan persamaan asli diperoleh.

Contoh 4

Selesaikan sistem menggunakan metode Gauss. Temukan solusi umum dan dua solusi pribadi. Periksa solusi keseluruhan.

Ini adalah contoh do-it-yourself. Omong-omong, di sini, sekali lagi, jumlah persamaan lebih kecil daripada jumlah yang tidak diketahui, yang berarti segera jelas bahwa sistem akan menjadi tidak konsisten atau memiliki jumlah solusi tak terhingga. Apa yang penting dalam proses pengambilan keputusan itu sendiri? Perhatian, dan lagi perhatian. Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.

Dan beberapa contoh lagi untuk memperkuat materi

Contoh 5

Memecahkan sistem persamaan linear. Jika sistem memiliki banyak solusi, temukan dua solusi khusus dan periksa solusi umumnya

Keputusan: Mari kita tulis matriks yang diperbesar dari sistem dan dengan bantuan transformasi dasar kita bawa ke bentuk langkah:

(1) Tambahkan baris pertama ke baris kedua. Pada baris ketiga kita tambahkan baris pertama dikalikan 2. Pada baris keempat kita tambahkan baris pertama dikalikan 3.
(2) Pada baris ketiga, tambahkan baris kedua, dikalikan dengan -5. Ke baris keempat kita tambahkan baris kedua, dikalikan dengan -7.
(3) Baris ketiga dan keempat sama, kami menghapus salah satunya.

Inilah keindahan seperti itu:

Variabel dasar duduk di tangga, jadi mereka adalah variabel dasar.
Hanya ada satu variabel bebas, yang tidak mendapatkan langkah:

Gerakan mundur:
Kami mengungkapkan variabel dasar dalam hal variabel bebas:
Dari persamaan ketiga:

Pertimbangkan persamaan kedua dan substitusikan ekspresi yang ditemukan ke dalamnya:

Pertimbangkan persamaan pertama dan substitusikan ekspresi yang ditemukan dan ke dalamnya:

Ya, kalkulator yang menghitung pecahan biasa masih nyaman.

Jadi solusi umumnya adalah:

Sekali lagi, bagaimana itu terjadi? Variabel bebas duduk sendirian di tempat keempat yang sah. Ekspresi yang dihasilkan untuk variabel dasar , juga mengambil tempat ordinalnya.

Mari kita segera memeriksa solusi umum. Bekerja untuk orang kulit hitam, tetapi saya sudah melakukannya, jadi tangkap =)

Kami mengganti tiga pahlawan , , ke sisi kiri setiap persamaan sistem:

Sisi kanan persamaan yang sesuai diperoleh, sehingga solusi umum ditemukan dengan benar.

Sekarang dari solusi umum yang ditemukan kita mendapatkan dua solusi khusus. Koki di sini adalah satu-satunya variabel bebas. Anda tidak perlu mematahkan kepala Anda.

Biarkan kemudian merupakan keputusan pribadi.
Biarkan kemudian adalah solusi khusus lainnya.

Menjawab: Keputusan bersama: , solusi khusus: , .

Saya seharusnya tidak ingat tentang orang kulit hitam di sini ... ... karena segala macam motif sadis muncul di kepala saya dan saya ingat fotozhaba yang terkenal, di mana anggota Ku Klux Klan dengan pakaian terusan putih berlari melintasi lapangan setelah sepak bola hitam pemain. Aku duduk dan tersenyum dalam diam. Anda tahu bagaimana mengganggu ....

Banyak matematika berbahaya, jadi contoh terakhir yang serupa untuk solusi independen.

Contoh 6

Temukan solusi umum dari sistem persamaan linier.

Saya sudah memeriksa solusi umum, jawabannya bisa dipercaya. Solusi Anda mungkin berbeda dari solusi saya, yang utama adalah solusi umum cocok.

Mungkin, banyak yang memperhatikan momen yang tidak menyenangkan dalam solusi: sangat sering, selama kebalikan dari metode Gauss, kami harus mengutak-atik pecahan biasa. Dalam praktiknya, ini benar, kasus di mana tidak ada pecahan jauh lebih jarang terjadi. Bersiaplah secara mental, dan yang paling penting, secara teknis.

Saya akan membahas beberapa fitur dari solusi yang tidak ditemukan dalam contoh yang diselesaikan.

Solusi umum sistem kadang-kadang dapat mencakup konstanta (atau konstanta), misalnya: . Di sini salah satu variabel dasar sama dengan angka konstan: . Tidak ada yang eksotis dalam hal ini, itu terjadi. Jelas, dalam kasus ini, setiap solusi tertentu akan berisi lima di posisi pertama.

Jarang, tetapi ada sistem di mana jumlah persamaan lebih besar dari jumlah variabel. Metode Gaussian bekerja dalam kondisi yang paling parah; seseorang harus dengan tenang membawa matriks sistem yang diperluas ke bentuk bertahap sesuai dengan algoritma standar. Sistem seperti itu mungkin tidak konsisten, mungkin memiliki banyak solusi tak terhingga, dan, anehnya, mungkin memiliki solusi unik.

Portal untuk siswa. Latihan mandiri

Memecahkan sistem persamaan linear secara online

Metode nomor 1. Perhitungan peringkat menurut definisi.

Metode nomor 2. Perhitungan pangkat dengan metode transformasi dasar.

ARTIKEL TERKAIT