Tingkat pertama

Gelar dan sifat-sifatnya. Panduan Komprehensif (2019)

Mengapa diperlukan gelar? Di mana Anda membutuhkan mereka? Mengapa Anda perlu meluangkan waktu untuk mempelajarinya?

Untuk mempelajari segala sesuatu tentang gelar, untuk apa gelar itu, bagaimana menggunakan pengetahuan Anda dalam kehidupan sehari-hari, baca artikel ini.

Dan, tentu saja, mengetahui gelar akan membawa Anda lebih dekat untuk berhasil lulus OGE atau Unified State Examination dan memasuki universitas impian Anda.

Ayo ayo!)

Catatan penting! Jika alih-alih formula Anda melihat omong kosong, kosongkan cache Anda. Untuk melakukannya, tekan CTRL+F5 (di Windows) atau Cmd+R (di Mac).

TINGKAT PERTAMA

Eksponen adalah operasi matematika yang sama seperti penambahan, pengurangan, perkalian atau pembagian.

Sekarang saya akan menjelaskan semuanya dalam bahasa manusia menggunakan contoh yang sangat sederhana. Perhatian. Contohnya adalah dasar, tetapi jelaskan hal-hal penting.

Mari kita mulai dengan penambahan.

Tidak ada yang perlu dijelaskan di sini. Anda sudah tahu segalanya: ada delapan dari kita. Masing-masing memiliki dua botol cola. Berapa banyak cola? Itu benar - 16 botol.

Sekarang perkalian.

Contoh yang sama dengan cola dapat ditulis dengan cara yang berbeda: . Matematikawan adalah orang yang licik dan malas. Mereka pertama-tama memperhatikan beberapa pola, dan kemudian menemukan cara untuk "menghitung" mereka lebih cepat. Dalam kasus kami, mereka memperhatikan bahwa masing-masing dari delapan orang memiliki jumlah botol cola yang sama dan menghasilkan teknik yang disebut perkalian. Setuju, itu dianggap lebih mudah dan lebih cepat daripada.

Jadi, untuk menghitung lebih cepat, lebih mudah dan tanpa kesalahan, Anda hanya perlu mengingat tabel perkalian. Tentu saja, Anda dapat melakukan semuanya dengan lebih lambat, lebih keras, dan dengan kesalahan! Tetapi…

Berikut tabel perkaliannya. Ulang.

Dan satu lagi, yang lebih cantik:

Dan trik menghitung rumit apa lagi yang dibuat oleh matematikawan malas? dengan benar - menaikkan angka menjadi kekuatan.

Menaikkan angka menjadi kekuatan

Jika Anda perlu mengalikan angka dengan dirinya sendiri lima kali, maka ahli matematika mengatakan bahwa Anda perlu menaikkan angka ini menjadi kekuatan kelima. Sebagai contoh, . Matematikawan ingat bahwa dua pangkat lima adalah. Dan mereka memecahkan masalah seperti itu dalam pikiran mereka - lebih cepat, lebih mudah, dan tanpa kesalahan.

Untuk melakukan ini, Anda hanya perlu ingat apa yang disorot dalam warna dalam tabel pangkat angka. Percayalah, itu akan membuat hidup Anda jauh lebih mudah.

Ngomong-ngomong, mengapa derajat kedua disebut kotak angka, dan yang ketiga kubus? Apa artinya? Sebuah pertanyaan yang sangat bagus. Sekarang Anda akan memiliki kotak dan kubus.

Contoh kehidupan nyata #1

Mari kita mulai dengan kuadrat atau pangkat dua dari suatu bilangan.

Bayangkan sebuah kolam persegi berukuran meter demi meter. Kolam renang ada di halaman belakang Anda. Panas sekali dan saya sangat ingin berenang. Tapi ... kolam tanpa dasar! Hal ini diperlukan untuk menutupi bagian bawah kolam dengan ubin. Berapa banyak ubin yang Anda butuhkan? Untuk menentukannya, Anda perlu mengetahui luas dasar kolam.

Anda cukup menghitung dengan menusukkan jari Anda bahwa dasar kolam terdiri dari kubus meter demi meter. Jika ubin Anda berukuran meter demi meter, Anda akan membutuhkan potongan. Sangat mudah... Tapi di mana Anda melihat ubin seperti itu? Ubinnya akan berukuran cm demi cm, dan kemudian Anda akan tersiksa dengan "menghitung dengan jari Anda". Maka Anda harus memperbanyak. Jadi, di satu sisi dasar kolam, kami akan memasang ubin (potongan) dan di sisi lain juga ubin. Mengalikan dengan, Anda mendapatkan ubin ().

Apakah Anda memperhatikan bahwa kami mengalikan angka yang sama dengan sendirinya untuk menentukan luas dasar kolam? Apa artinya? Karena bilangan yang sama dikalikan, kita dapat menggunakan teknik eksponensial. (Tentu saja, ketika Anda hanya memiliki dua angka, Anda masih perlu mengalikannya atau menaikkannya ke pangkat. Tetapi jika Anda memiliki banyak, maka menaikkan ke pangkat jauh lebih mudah dan kesalahan dalam perhitungan juga lebih sedikit. Untuk ujian, ini sangat penting).
Jadi, tiga puluh derajat ke dua adalah (). Atau Anda dapat mengatakan bahwa tiga puluh kuadrat akan menjadi. Dengan kata lain, pangkat dua suatu bilangan selalu dapat direpresentasikan sebagai persegi. Dan sebaliknya, jika Anda melihat persegi, itu SELALU pangkat kedua dari beberapa angka. Persegi adalah gambaran pangkat dua suatu bilangan.

Contoh kehidupan nyata #2

Berikut tugas untuk Anda, hitung berapa banyak kotak di papan catur menggunakan kuadrat angka ... Di satu sisi sel dan di sisi lain juga. Untuk menghitung jumlahnya, Anda perlu mengalikan delapan dengan delapan, atau ... jika Anda memperhatikan bahwa papan catur berbentuk bujur sangkar dengan satu sisi, maka Anda dapat mengkuadratkan delapan. Dapatkan sel. () Jadi?

Contoh kehidupan nyata #3

Sekarang kubus atau pangkat tiga dari suatu bilangan. Kolam yang sama. Tetapi sekarang Anda perlu mencari tahu berapa banyak air yang harus dituangkan ke dalam kolam ini. Anda perlu menghitung volumenya. (Omong-omong, volume dan cairan diukur dalam meter kubik. Tidak terduga, bukan?) Gambarlah sebuah kolam: bagian bawah berukuran satu meter dan dalamnya satu meter dan coba hitung berapa meter demi meter kubus yang akan masuk ke kolam Anda.

Cukup arahkan jari Anda dan hitung! Satu, dua, tiga, empat… dua puluh dua, dua puluh tiga… Berapa hasilnya? Tidak tersesat? Apakah sulit untuk menghitung dengan jari Anda? Maka! Ambil contoh dari ahli matematika. Mereka malas, jadi mereka memperhatikan bahwa untuk menghitung volume kolam, Anda perlu mengalikan panjang, lebar, dan tingginya satu sama lain. Dalam kasus kami, volume kolam akan sama dengan kubus ... Lebih mudah, bukan?

Sekarang bayangkan betapa malas dan liciknya matematikawan jika mereka membuatnya terlalu mudah. Mengurangi semuanya menjadi satu tindakan. Mereka memperhatikan bahwa panjang, lebar dan tinggi adalah sama dan angka yang sama dikalikan dengan dirinya sendiri ... Dan apa artinya ini? Ini berarti Anda dapat menggunakan gelar. Jadi, apa yang pernah Anda hitung dengan jari, mereka lakukan dalam satu tindakan: tiga dalam kubus sama. Ini ditulis seperti ini:

Hanya tersisa menghafal tabel derajat. Kecuali, tentu saja, Anda sama malas dan liciknya dengan ahli matematika. Jika Anda suka bekerja keras dan membuat kesalahan, Anda dapat terus menghitung dengan jari Anda.

Nah, untuk akhirnya meyakinkan Anda bahwa gelar diciptakan oleh sepatu dan orang-orang licik untuk memecahkan masalah hidup mereka, dan bukan untuk menciptakan masalah bagi Anda, berikut adalah beberapa contoh lagi dari kehidupan.

Contoh kehidupan nyata #4

Anda memiliki satu juta rubel. Pada awal setiap tahun, Anda mendapatkan satu juta lagi untuk setiap satu juta. Artinya, setiap satu juta Anda di awal setiap tahun berlipat ganda. Berapa banyak uang yang akan Anda miliki dalam beberapa tahun? Jika Anda sekarang duduk dan "menghitung dengan jari", maka Anda adalah orang yang sangat pekerja keras dan .. bodoh. Tetapi kemungkinan besar Anda akan memberikan jawaban dalam beberapa detik, karena Anda pintar! Jadi, di tahun pertama - dua kali dua ... di tahun kedua - apa yang terjadi, dua kali lagi, di tahun ketiga ... Berhenti! Anda perhatikan bahwa angka tersebut dikalikan dengan dirinya sendiri satu kali. Jadi dua pangkat lima adalah satu juta! Sekarang bayangkan Anda memiliki kompetisi dan orang yang menghitung lebih cepat akan mendapatkan jutaan ini ... Apakah perlu mengingat derajat angka, bagaimana menurut Anda?

Contoh kehidupan nyata #5

Anda memiliki satu juta. Pada awal setiap tahun, Anda mendapatkan dua lagi untuk setiap satu juta. Ini bagus kan? Setiap juta tiga kali lipat. Berapa banyak uang yang akan Anda miliki dalam setahun? Mari berhitung. Tahun pertama - kalikan dengan, lalu hasilnya dengan yang lain ... Ini sudah membosankan, karena Anda sudah mengerti segalanya: tiga dikalikan dengan dirinya sendiri kali. Jadi kekuatan keempat adalah satu juta. Anda hanya perlu mengingat bahwa tiga pangkat empat adalah atau.

Sekarang Anda tahu bahwa dengan menaikkan angka menjadi kekuatan, Anda akan membuat hidup Anda lebih mudah. Mari kita lihat lebih jauh apa yang dapat Anda lakukan dengan gelar dan apa yang perlu Anda ketahui tentangnya.

Syarat dan konsep...agar tidak bingung

Jadi, pertama, mari kita definisikan konsepnya. Bagaimana menurutmu, apa itu eksponen? Ini sangat sederhana - ini adalah angka yang "di atas" dari kekuatan angka. Tidak ilmiah, tapi jelas dan mudah diingat...

Nah, pada saat yang sama, apa dasar derajat seperti itu? Bahkan lebih sederhana adalah nomor yang ada di bawah, di pangkalan.

Berikut gambar untuk Anda pastikan.

Nah, secara umum, untuk menggeneralisasi dan mengingat lebih baik ... Gelar dengan basis "" dan indikator "" dibaca sebagai "dalam derajat" dan ditulis sebagai berikut:

Kekuatan angka dengan eksponen alami

Anda mungkin sudah menebak: karena eksponen adalah bilangan asli. Ya, tapi apa itu bilangan asli? Dasar! Bilangan asli adalah bilangan yang digunakan dalam penghitungan saat membuat daftar item: satu, dua, tiga ... Saat kami menghitung item, kami tidak mengatakan: "minus lima", "minus enam", "minus tujuh". Kami juga tidak mengatakan "sepertiga" atau "nol koma lima persepuluh". Ini bukan bilangan asli. Menurut Anda apa angka-angka ini?

Angka-angka seperti "minus lima", "minus enam", "minus tujuh" mengacu pada bilangan bulat. Secara umum, bilangan bulat mencakup semua bilangan asli, bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli (yaitu, diambil dengan tanda minus), dan sebuah bilangan. Nol mudah dimengerti - ini adalah saat tidak ada apa-apa. Dan apa arti angka negatif ("minus")? Tetapi mereka diciptakan terutama untuk menunjukkan hutang: jika Anda memiliki saldo di ponsel Anda dalam rubel, ini berarti Anda berutang rubel operator.

Semua pecahan adalah bilangan rasional. Bagaimana mereka muncul, menurut Anda? Sangat sederhana. Beberapa ribu tahun yang lalu, nenek moyang kita menemukan bahwa mereka tidak memiliki cukup bilangan asli untuk mengukur panjang, berat, luas, dll. Dan mereka datang dengan angka rasional… Menarik, bukan?

Ada juga bilangan irasional. Apa angka-angka ini? Singkatnya, pecahan desimal tak terbatas. Misalnya, jika Anda membagi keliling lingkaran dengan diameternya, maka Anda mendapatkan bilangan irasional.

Ringkasan:

Mari kita definisikan konsep derajat, yang eksponennya adalah bilangan asli (yaitu, bilangan bulat dan positif).

1. Setiap nomor pangkat pertama sama dengan dirinya sendiri:
2. Mengkuadratkan suatu bilangan berarti mengalikannya dengan dirinya sendiri:
3. Untuk pangkat tiga angka adalah mengalikannya dengan dirinya sendiri tiga kali:

Definisi. Menaikkan angka ke kekuatan alami adalah mengalikan angka dengan dirinya sendiri dikalikan:
.

Properti gelar

Dari mana properti ini berasal? Saya akan tunjukkan sekarang.

Mari kita lihat apa itu dan ?

Prioritas-A:

Berapa banyak pengganda yang ada secara total?

Ini sangat sederhana: kami menambahkan faktor ke faktor, dan hasilnya adalah faktor.

Tetapi menurut definisi, ini adalah derajat suatu bilangan dengan eksponen, yaitu: , yang harus dibuktikan.

Contoh: Sederhanakan ekspresi.

Keputusan:

Contoh: Sederhanakan ekspresi.

Keputusan: Penting untuk dicatat bahwa dalam aturan kami perlu pasti alasannya sama!
Oleh karena itu, kami menggabungkan derajat dengan basis, tetapi tetap menjadi faktor terpisah:

hanya untuk produk kekuatan!

Dalam situasi apa pun Anda tidak boleh menulis itu.

2. yaitu -kekuatan suatu bilangan

Sama seperti properti sebelumnya, mari kita beralih ke definisi derajat:

Ternyata ekspresi dikalikan dengan dirinya sendiri satu kali, yaitu, menurut definisi, ini adalah kekuatan nomor:

Sebenarnya, ini bisa disebut "bracketing indikator". Tetapi Anda tidak pernah dapat melakukan ini secara total:

Mari kita ingat kembali rumus untuk perkalian yang disingkat: berapa kali kita ingin menulis?

Tapi itu tidak benar, sungguh.

Gelar dengan basis negatif

Sampai saat ini, kita hanya membahas apa yang seharusnya menjadi eksponen.

Tapi apa yang harus menjadi dasar?

Dalam derajat dari indikator alami dasarnya mungkin nomor berapa saja. Memang, kita dapat mengalikan angka apa pun dengan satu sama lain, apakah itu positif, negatif, atau genap.

Mari kita pikirkan tanda ("" atau "") apa yang akan memiliki derajat bilangan positif dan negatif?

Misalnya, apakah angkanya akan positif atau negatif? TETAPI? ? Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak peduli berapa banyak angka positif yang kita kalikan satu sama lain, hasilnya akan positif.

Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Lagi pula, kita ingat aturan sederhana dari kelas 6: "kurang kali minus memberi nilai tambah." Yaitu, atau. Tapi jika kita kalikan dengan, ternyata.

Tentukan sendiri tanda apa yang akan dimiliki oleh ekspresi berikut:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Apakah Anda berhasil?

Inilah jawabannya: Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat basis dan eksponen, dan menerapkan aturan yang sesuai.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam contoh 5), semuanya juga tidak seseram yang terlihat: tidak peduli apa dasarnya sama - derajatnya genap, yang berarti hasilnya akan selalu positif.

Yah, kecuali jika basisnya nol. Dasarnya tidak sama, kan? Jelas tidak, karena (karena).

Contoh 6) tidak lagi sesederhana itu!

6 contoh latihan

Analisis solusi 6 contoh

Jika kita tidak memperhatikan derajat kedelapan, apa yang kita lihat di sini? Mari kita lihat program kelas 7. Jadi, ingat? Ini adalah rumus perkalian yang disingkat, yaitu selisih kuadrat! Kita mendapatkan:

Kami dengan hati-hati melihat penyebutnya. Ini sangat mirip dengan salah satu faktor pembilang, tapi apa yang salah? Urutan istilah yang salah. Jika mereka ditukar, aturan itu bisa berlaku.

Tapi bagaimana melakukannya? Ternyata sangat mudah: tingkat penyebut yang genap membantu kita di sini.

Istilah-istilah tersebut secara ajaib telah mengubah tempat. "Fenomena" ini berlaku untuk ekspresi apa pun hingga tingkat genap: kita dapat dengan bebas mengubah tanda dalam tanda kurung.

Tetapi penting untuk diingat: semua tanda berubah pada saat yang sama!

Mari kita kembali ke contoh:

Dan lagi rumusnya:

utuh kami memberi nama bilangan asli, lawannya (yaitu, diambil dengan tanda "") dan nomornya.

bilangan bulat positif, dan tidak berbeda dengan alam, maka semuanya terlihat persis seperti di bagian sebelumnya.

Sekarang mari kita lihat kasus baru. Mari kita mulai dengan indikator yang sama dengan.

Setiap angka pangkat nol sama dengan satu:

Seperti biasa, kami bertanya pada diri sendiri: mengapa demikian?

Pertimbangkan beberapa kekuatan dengan basis. Ambil, misalnya, dan kalikan dengan:

Jadi, kami mengalikan angkanya, dan hasilnya sama seperti -. Berapa angka yang harus dikalikan agar tidak ada yang berubah? Itu benar, pada. Cara.

Kita dapat melakukan hal yang sama dengan nomor arbitrer:

Mari kita ulangi aturannya:

Setiap angka pangkat nol sama dengan satu.

Tetapi ada pengecualian untuk banyak aturan. Dan di sini juga ada - ini adalah angka (sebagai basis).

Di satu sisi, itu harus sama dengan derajat apa pun - tidak peduli berapa banyak Anda mengalikan nol dengan dirinya sendiri, Anda masih mendapatkan nol, ini jelas. Tetapi di sisi lain, seperti angka apa pun dengan derajat nol, itu harus sama. Jadi apa kebenaran ini? Matematikawan memutuskan untuk tidak terlibat dan menolak menaikkan pangkat nol ke nol. Artinya, sekarang kita tidak hanya bisa membagi dengan nol, tetapi juga menaikkannya ke pangkat nol.

Mari kita pergi lebih jauh. Selain bilangan asli dan bilangan, bilangan bulat termasuk bilangan negatif. Untuk memahami apa itu derajat negatif, mari kita lakukan hal yang sama seperti sebelumnya: kita mengalikan beberapa bilangan normal dengan bilangan yang sama dalam derajat negatif:

Dari sini sudah mudah untuk mengungkapkan yang diinginkan:

Sekarang kami memperluas aturan yang dihasilkan ke tingkat yang sewenang-wenang:

Jadi, mari kita rumuskan aturannya:

Suatu bilangan dengan pangkat negatif adalah kebalikan bilangan yang sama dengan pangkat positif. Tapi diwaktu yang sama basis tidak boleh nol:(karena tidak mungkin untuk membagi).

Mari kita rangkum:

I. Ekspresi tidak didefinisikan dalam kasus. Jika kemudian.

II. Setiap angka pangkat nol sama dengan satu: .

AKU AKU AKU. Bilangan yang tidak sama dengan nol pangkat negatif adalah kebalikan bilangan yang sama dengan pangkat positif: .

Tugas untuk solusi independen:

Nah, seperti biasa, contoh untuk solusi independen:

Analisis tugas untuk solusi independen:

Saya tahu, saya tahu, angka-angka itu menakutkan, tetapi pada ujian Anda harus siap untuk apa pun! Pecahkan contoh-contoh ini atau analisis solusinya jika Anda tidak dapat menyelesaikannya dan Anda akan belajar bagaimana menanganinya dengan mudah dalam ujian!

Mari kita terus memperluas jangkauan angka yang "cocok" sebagai eksponen.

Sekarang pertimbangkan angka rasional. Bilangan apa yang disebut rasional?

Jawaban: semua yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat, apalagi.

Untuk memahami apa itu "derajat pecahan" Mari kita pertimbangkan pecahan:

Mari kita naikkan kedua sisi persamaan ke pangkat:

Sekarang ingat aturannya "derajat ke gelar":

Berapa angka yang harus dipangkatkan untuk mendapatkan?

Rumusan ini adalah definisi dari akar derajat.

Izinkan saya mengingatkan Anda: akar pangkat dari suatu bilangan () adalah bilangan yang, jika dipangkatkan, adalah sama.

Artinya, akar dari derajat ke-th adalah operasi kebalikan dari eksponensial: .

Ternyata itu. Jelas, kasus khusus ini dapat diperpanjang: .

Sekarang tambahkan pembilangnya: apa itu? Jawabannya mudah didapat dengan aturan power-to-power:

Tapi bisakah basisnya berupa angka apa saja? Lagi pula, root tidak dapat diekstraksi dari semua angka.

Tidak ada!

Ingat aturannya: bilangan apa pun yang dipangkatkan genap adalah bilangan positif. Artinya, tidak mungkin mengekstrak akar derajat genap dari bilangan negatif!

Dan ini berarti bahwa angka-angka seperti itu tidak dapat dinaikkan ke pangkat pecahan dengan penyebut genap, yaitu, ekspresinya tidak masuk akal.

Bagaimana dengan ekspresi?

Tapi di sini muncul masalah.

Angka tersebut dapat direpresentasikan sebagai pecahan lain yang dikurangi, misalnya, atau.

Dan ternyata itu ada, tetapi tidak ada, dan ini hanyalah dua catatan berbeda dari nomor yang sama.

Atau contoh lain: sekali, maka Anda bisa menuliskannya. Tetapi segera setelah kami menulis indikator dengan cara yang berbeda, kami kembali mendapatkan masalah: (yaitu, kami mendapat hasil yang sama sekali berbeda!).

Untuk menghindari paradoks seperti itu, pertimbangkan hanya eksponen basis positif dengan eksponen pecahan.

Jadi jika:

• - bilangan asli;
• adalah bilangan bulat;

Contoh:

Perpangkatan dengan eksponen rasional sangat berguna untuk mentransformasi ekspresi dengan akar, misalnya:

5 contoh latihan

Analisis 5 contoh untuk pelatihan

Nah, sekarang - yang paling sulit. Sekarang kita akan menganalisis derajat dengan eksponen irasional.

Semua aturan dan sifat derajat di sini sama persis dengan derajat dengan eksponen rasional, kecuali

Memang, menurut definisi, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat (yaitu, bilangan irasional adalah semua bilangan real kecuali yang rasional).

Saat mempelajari derajat dengan indikator alami, bilangan bulat, dan rasional, setiap kali kami membuat "gambar", "analogi", atau deskripsi tertentu dalam istilah yang lebih akrab.

Misalnya, eksponen alami adalah angka yang dikalikan dengan dirinya sendiri beberapa kali;

...kekuatan nol- ini adalah, seolah-olah, angka yang dikalikan dengan dirinya sendiri sekali, yaitu, itu belum mulai dikalikan, yang berarti bahwa angka itu sendiri bahkan belum muncul - oleh karena itu, hasilnya hanya "persiapan" tertentu angka”, yaitu angka;

...eksponen bilangan bulat negatif- seolah-olah "proses terbalik" tertentu telah terjadi, yaitu, jumlahnya tidak dikalikan dengan dirinya sendiri, tetapi dibagi.

Ngomong-ngomong, dalam sains, gelar dengan eksponen kompleks sering digunakan, yaitu eksponen genap bukan bilangan real.

Tetapi di sekolah, kami tidak memikirkan kesulitan seperti itu; Anda akan memiliki kesempatan untuk memahami konsep-konsep baru ini di institut.

KEMANA KAMI YAKIN ANDA AKAN PERGI! (jika Anda belajar bagaimana memecahkan contoh seperti itu :))

Sebagai contoh:

Putuskan sendiri:

Analisis solusi:

1. Mari kita mulai dengan aturan yang sudah biasa untuk menaikkan gelar ke gelar:

Sekarang lihat skornya. Apakah dia mengingatkanmu pada sesuatu? Kami mengingat rumus untuk perkalian singkat dari selisih kuadrat:

PADA kasus ini,

Ternyata:

Menjawab: .

2. Kami membawa pecahan dalam eksponen ke bentuk yang sama: baik desimal atau keduanya biasa. Kami mendapatkan, misalnya:

Jawaban: 16

3. Tidak ada yang istimewa, kami menerapkan sifat derajat yang biasa:

TINGKAT LANJUT

definisi derajat

Derajat adalah ekspresi dari bentuk: , di mana:

• — dasar derajat;
• - eksponen.

Gelar dengan eksponen alami (n = 1, 2, 3,...)

Menaikkan angka ke pangkat alami n berarti mengalikan angka dengan dirinya sendiri dikalikan:

Daya dengan eksponen bilangan bulat (0, ±1, ±2,...)

Jika eksponennya adalah bilangan bulat positif nomor:

pemasangan ke kekuatan nol:

Ekspresinya tidak terbatas, karena, di satu sisi, untuk tingkat apa pun adalah ini, dan di sisi lain, angka apa pun hingga derajat ke- adalah ini.

Jika eksponennya adalah bilangan bulat negatif nomor:

(karena tidak mungkin untuk membagi).

Sekali lagi tentang nulls: ekspresi tidak didefinisikan dalam kasus ini. Jika kemudian.

Contoh:

Derajat dengan eksponen rasional

• - bilangan asli;
• adalah bilangan bulat;

Contoh:

Properti gelar

Untuk mempermudah menyelesaikan masalah, mari kita coba memahami: dari mana sifat-sifat ini berasal? Mari kita buktikan.

Mari kita lihat: apa itu dan?

Prioritas-A:

Jadi, di sisi kanan ekspresi ini, produk berikut diperoleh:

Tetapi menurut definisi, ini adalah kekuatan angka dengan eksponen, yaitu:

Q.E.D.

Contoh : Sederhanakan ekspresi.

Keputusan : .

Contoh : Sederhanakan ekspresi.

Keputusan : Penting untuk dicatat bahwa dalam aturan kami perlu harus memiliki dasar yang sama. Oleh karena itu, kami menggabungkan derajat dengan basis, tetapi tetap menjadi faktor terpisah:

Catatan penting lainnya: aturan ini - hanya untuk produk kekuatan!

Dalam keadaan apa pun saya tidak boleh menulis itu.

Sama seperti properti sebelumnya, mari kita beralih ke definisi derajat:

Mari kita atur ulang seperti ini:

Ternyata ekspresi dikalikan dengan dirinya sendiri sekali, yaitu, menurut definisi, ini adalah pangkat -th dari angka:

Sebenarnya, ini bisa disebut "bracketing indikator". Tapi Anda tidak pernah bisa melakukan ini secara total :!

Mari kita ingat kembali rumus untuk perkalian yang disingkat: berapa kali kita ingin menulis? Tapi itu tidak benar, sungguh.

Kekuasaan dengan basis negatif.

Sampai saat ini, kita hanya membahas apa yang seharusnya indikator derajat. Tapi apa yang harus menjadi dasar? Dalam derajat dari alami indikator dasarnya mungkin nomor berapa saja .

Memang, kita dapat mengalikan angka apa pun dengan satu sama lain, apakah itu positif, negatif, atau genap. Mari kita pikirkan tanda ("" atau "") apa yang akan memiliki derajat bilangan positif dan negatif?

Misalnya, apakah angkanya akan positif atau negatif? TETAPI? ?

Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak peduli berapa banyak angka positif yang kita kalikan satu sama lain, hasilnya akan positif.

Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Lagi pula, kita ingat aturan sederhana dari kelas 6: "kurang kali minus memberi nilai tambah." Yaitu, atau. Tetapi jika kita kalikan dengan (), kita mendapatkan -.

Dan seterusnya ad infinitum: dengan setiap perkalian berikutnya, tandanya akan berubah. Anda dapat merumuskan aturan sederhana ini:

1. bahkan derajat, - nomor positif.
2. Angka negatif dinaikkan menjadi aneh derajat, - nomor negatif.
3. Angka positif untuk kekuatan apa pun adalah angka positif.
4. Nol untuk kekuatan apa pun sama dengan nol.

Tentukan sendiri tanda apa yang akan dimiliki oleh ekspresi berikut:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Apakah Anda berhasil? Berikut adalah jawabannya:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat basis dan eksponen, dan menerapkan aturan yang sesuai.

Dalam contoh 5), semuanya juga tidak seseram yang terlihat: tidak peduli apa dasarnya sama - derajatnya genap, yang berarti hasilnya akan selalu positif. Yah, kecuali jika basisnya nol. Dasarnya tidak sama, kan? Jelas tidak, karena (karena).

Contoh 6) tidak lagi sederhana. Di sini Anda perlu mencari tahu mana yang kurang: atau? Jika Anda ingat itu, menjadi jelas bahwa, yang berarti basisnya kurang dari nol. Artinya, kita menerapkan aturan 2: hasilnya akan negatif.

Dan sekali lagi kita menggunakan definisi derajat:

Semuanya seperti biasa - kami menuliskan definisi derajat dan membaginya menjadi satu sama lain, membaginya menjadi pasangan dan mendapatkan:

Sebelum menganalisis aturan terakhir, mari selesaikan beberapa contoh.

Hitung nilai ekspresi:

Solusi :

Jika kita tidak memperhatikan derajat kedelapan, apa yang kita lihat di sini? Mari kita lihat program kelas 7. Jadi, ingat? Ini adalah rumus perkalian yang disingkat, yaitu selisih kuadrat!

Kita mendapatkan:

Kami dengan hati-hati melihat penyebutnya. Ini sangat mirip dengan salah satu faktor pembilang, tapi apa yang salah? Urutan istilah yang salah. Jika dibalik, aturan 3 bisa diterapkan, tapi bagaimana melakukannya? Ternyata sangat mudah: tingkat penyebut yang genap membantu kita di sini.

Jika Anda mengalikannya, tidak ada yang berubah, kan? Tapi sekarang terlihat seperti ini:

Istilah-istilah tersebut secara ajaib telah mengubah tempat. "Fenomena" ini berlaku untuk ekspresi apa pun hingga tingkat genap: kita dapat dengan bebas mengubah tanda dalam tanda kurung. Tetapi penting untuk diingat: semua tanda berubah pada saat yang sama! Itu tidak dapat diganti dengan hanya mengubah satu minus yang tidak menyenangkan bagi kita!

Mari kita kembali ke contoh:

Dan lagi rumusnya:

Jadi sekarang aturan terakhir:

Bagaimana kita akan membuktikannya? Tentu saja, seperti biasa: mari kita perluas konsep derajat dan sederhanakan:

Nah, sekarang mari kita buka tanda kurung. Berapa banyak huruf yang akan ada? kali dengan pengganda - seperti apa bentuknya? Ini tidak lain adalah definisi operasi perkalian: total ternyata ada pengganda. Artinya, menurut definisi, itu adalah kekuatan angka dengan eksponen:

Contoh:

Gelar dengan eksponen irasional

Selain informasi tentang derajat untuk tingkat rata-rata, kami akan menganalisis derajat dengan indikator irasional. Semua aturan dan sifat derajat di sini persis sama dengan derajat dengan eksponen rasional, dengan pengecualian - lagi pula, menurut definisi, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat (yaitu , bilangan irasional adalah semua bilangan real kecuali bilangan rasional).

Saat mempelajari derajat dengan indikator alami, bilangan bulat, dan rasional, setiap kali kami membuat "gambar", "analogi", atau deskripsi tertentu dalam istilah yang lebih akrab. Misalnya, eksponen alami adalah angka yang dikalikan dengan dirinya sendiri beberapa kali; angka ke nol derajat adalah, seolah-olah, angka yang dikalikan dengan dirinya sendiri satu kali, yaitu, itu belum mulai dikalikan, yang berarti bahwa angka itu sendiri belum muncul - oleh karena itu, hasilnya hanya a “penyusunan suatu bilangan” tertentu, yaitu suatu bilangan; derajat dengan indikator negatif bilangan bulat - seolah-olah "proses terbalik" tertentu telah terjadi, yaitu, jumlahnya tidak dikalikan dengan dirinya sendiri, tetapi dibagi.

Sangat sulit membayangkan derajat dengan eksponen irasional (seperti halnya sulit membayangkan ruang 4 dimensi). Sebaliknya, ini adalah objek matematika murni yang dibuat oleh matematikawan untuk memperluas konsep derajat ke seluruh ruang angka.

Ngomong-ngomong, dalam sains, gelar dengan eksponen kompleks sering digunakan, yaitu eksponen genap bukan bilangan real. Tetapi di sekolah, kami tidak memikirkan kesulitan seperti itu; Anda akan memiliki kesempatan untuk memahami konsep-konsep baru ini di institut.

Jadi apa yang kita lakukan jika kita melihat eksponen irasional? Kami mencoba yang terbaik untuk menyingkirkannya! :)

Sebagai contoh:

Putuskan sendiri:

1)

2)

3)

Jawaban:

1. Ingat perbedaan rumus kuadrat. Menjawab: .
2. Kami membawa pecahan ke bentuk yang sama: baik desimal, atau keduanya biasa. Kita dapatkan, misalnya: .
3. Tidak ada yang istimewa, kami menerapkan sifat derajat yang biasa:

RINGKASAN BAGIAN DAN FORMULA DASAR

Derajat disebut ekspresi dari bentuk: , di mana:

Derajat dengan eksponen bilangan bulat

derajat, eksponennya adalah bilangan asli (yaitu bilangan bulat dan positif).

Derajat dengan eksponen rasional

derajat, yang indikatornya adalah bilangan negatif dan pecahan.

Gelar dengan eksponen irasional

eksponen yang eksponennya adalah pecahan desimal tak terhingga atau akar.

Properti gelar

Fitur derajat.

• Angka negatif dinaikkan menjadi bahkan derajat, - nomor positif.
• Angka negatif dinaikkan menjadi aneh derajat, - nomor negatif.
• Angka positif untuk kekuatan apa pun adalah angka positif.
• Nol sama dengan kekuatan apa pun.
• Setiap angka pangkat nol adalah sama.

SEKARANG ANDA PUNYA KATA...

Bagaimana Anda menyukai artikel tersebut? Beri tahu saya di komentar di bawah jika Anda menyukainya atau tidak.

Beritahu kami tentang pengalaman Anda dengan properti daya.

Mungkin Anda memiliki pertanyaan. Atau saran.

Tulis di komentar.

Dan semoga sukses dengan ujian Anda!

Ada aturan bahwa angka apa pun selain nol, dipangkatkan nol, akan sama dengan satu:
20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1

Namun, mengapa demikian?

Ketika suatu bilangan dipangkatkan dengan eksponen natural, itu berarti bilangan tersebut dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak eksponennya:
43 = 4...

0 0

Dalam aljabar, menaikkan pangkat nol adalah hal biasa. Apa itu derajat 0? Angka mana yang bisa dipangkatkan nol dan mana yang tidak?

Definisi.

Setiap angka pangkat nol, kecuali nol, sama dengan satu:

Jadi, berapa pun bilangan yang dipangkatkan 0, hasilnya akan selalu sama - satu.

Dan 1 pangkat 0, dan 2 pangkat 0, dan bilangan lainnya - bilangan bulat, pecahan, positif, negatif, rasional, irasional - ketika dinaikkan ke pangkat nol, menghasilkan satu.

Satu-satunya pengecualian adalah nol.

Nol ke kekuatan nol tidak didefinisikan, ekspresi seperti itu tidak masuk akal.

Artinya, angka apa pun kecuali nol dapat dinaikkan ke pangkat nol.

Jika, ketika menyederhanakan ekspresi dengan kekuatan, angka diperoleh dengan pangkat nol, itu dapat diganti dengan unit:

Jika di...

0 0

Dalam kerangka kurikulum sekolah, nilai ekspresi $%0^0$% dianggap tidak ditentukan.

Dari sudut pandang matematika modern, lebih mudah untuk mengasumsikan bahwa $%0^0=1$%. Idenya di sini adalah sebagai berikut. Misalkan ada produk dari bilangan $%n$% dalam bentuk $%p_n=x_1x_2\ldots x_n$%. Untuk semua $%n\ge2$% persamaan $%p_n=x_1x_2\ldots x_n=(x_1x_2\ldots x_(n-1))x_n=p_(n-1)x_n$% terpenuhi. Lebih mudah untuk menganggap kesetaraan ini bermakna bahkan untuk $%n=1$%, menetapkan $%p_0=1$%. Logikanya di sini adalah sebagai berikut: saat menghitung produk, pertama-tama kita ambil 1, lalu kalikan berturut-turut dengan $%x_1$%, $%x_2$%, ..., $%x_n$%. Algoritma inilah yang digunakan ketika menemukan pekerjaan ketika program ditulis. Jika, karena alasan tertentu, perkalian tidak terjadi, maka hasil kali tetap sama dengan satu.

Dengan kata lain, lebih mudah untuk menganggap konsep seperti "perkalian dari 0 faktor" memiliki arti, dengan menganggapnya sama dengan 1. Dalam hal ini, seseorang juga dapat berbicara tentang "produk kosong". Jika kita mengalikan angka dengan ini ...

0 0

Nol - itu adalah nol. Secara kasar, pangkat apa pun dari suatu bilangan adalah produk dari satu dan eksponen dikalikan dengan bilangan itu. Dua di yang ketiga, katakanlah 1*2*2*2, dua di kurangi yang pertama adalah 1/2. Dan kemudian perlu tidak ada lubang dalam transisi dari kekuatan positif ke negatif dan sebaliknya.

x^n * x^(-n) = 1 = x^(n-n) = x^0

itulah intinya.

sederhana dan jelas, terima kasih

x^0=(x^1)*(x^(-1))=(1/x)*(x/1)=1

maka perlu misalnya sederhana bahwa formula tertentu yang valid untuk indikator positif - misalnya x ^ n * x ^ m = x ^ (m + n) - masih valid.
Omong-omong, hal yang sama berlaku untuk definisi derajat negatif dan rasional (yaitu, misalnya, 5 pangkat 3/4)

> dan mengapa itu dibutuhkan sama sekali?
Misalnya, dalam statistik dan teori, seseorang sering bermain dengan kekuatan nol.

Apakah derajat negatif mengganggu Anda?
...

0 0

Kami terus mempertimbangkan sifat derajat, ambil contoh, 16:8=2. Karena 16=24 dan 8=23, maka pembagian dapat ditulis dalam bentuk eksponensial sebagai 24:23=2, tetapi jika kita mengurangkan eksponen, maka 24:23=21. Jadi, kita harus mengakui bahwa 2 dan 21 adalah sama, oleh karena itu 21=2.

Aturan yang sama berlaku untuk bilangan eksponensial lainnya, sehingga aturan dapat dinyatakan secara umum:

angka apa pun yang dipangkatkan pertama tetap tidak berubah

Kesimpulan ini mungkin mengejutkan Anda. Anda masih dapat memahami arti dari ungkapan 21=2, meskipun ungkapan "satu angka dua dikalikan dengan dirinya sendiri" terdengar agak aneh. Tetapi ungkapan 20 berarti "bukan satu nomor dua, ...

0 0

Definisi gelar:

1. nol derajat

Setiap angka bukan nol yang dipangkatkan nol sama dengan satu. Nol pangkat nol tidak didefinisikan

2. derajat alami selain nol

Setiap bilangan x yang dipangkatkan n, selain nol, sama dengan perkalian n bilangan x di antara mereka sendiri

3.1 akar pangkat natural genap selain nol

Akar dari pangkat genap n, berbeda dari nol, dari sembarang bilangan positif x adalah bilangan positif y sehingga, ketika dipangkatkan n, menghasilkan bilangan asli x

3.2 akar alami ganjil

Akar ganjil n dari sembarang bilangan x adalah bilangan y yang jika dipangkatkan n, menghasilkan bilangan asli x

3.3 akar dari kekuatan alami apa pun sebagai kekuatan fraksional

Mengekstraksi akar pangkat alami apa pun n selain nol dari bilangan apa pun x sama dengan menaikkan bilangan x ini ke pangkat pecahan 1/n

0 0

Halo, RUSSEL tersayang!

Saat memperkenalkan konsep derajat, ada notasi seperti ini: » Nilai dari ekspresi a^0 =1 » ! Ini berjalan berdasarkan konsep logis tentang derajat dan tidak ada yang lain!
Patut dipuji ketika seorang pemuda mencoba memahaminya! Tetapi ada hal-hal yang harus diterima begitu saja!
Anda dapat membangun matematika baru hanya ketika Anda mempelajari apa yang telah ditemukan berabad-abad yang lalu!
Tentu saja, jika kami mengecualikan bahwa Anda "bukan dari dunia ini" dan Anda telah diberi lebih banyak orang berdosa daripada kita semua!

Catatan: Anna Misheva berusaha membuktikan yang tidak dapat dibuktikan! Juga terpuji!
Tapi ada satu "TAPI" besar - elemen terpenting hilang dari buktinya: Kasus pembagian dengan NOL!

Lihat sendiri apa yang bisa terjadi: 0^1 / 0^1 = 0 / 0 !!!

Tapi Anda tidak bisa membagi dengan nol!

Harap lebih berhati-hati!

Dengan banyak harapan terbaik dan kebahagiaan dalam kehidupan pribadi Anda...

0 0

Jawaban:

Tanpa nama

jika kita memperhitungkan bahwa a^x=e^x*ln(a), maka ternyata 0^0=1 (batas, untuk x->0)
meskipun jawaban "ketidakpastian" juga dapat diterima

Nol dalam matematika bukanlah kekosongan, angka ini sangat dekat dengan "tidak ada", sama seperti tak terhingga hanya dalam kebalikannya

Tuliskan:
0^0 = 0^(a-a) = 0^a * 0^(-a) = 0^a / 0^a = 0 / 0
Ternyata dalam hal ini kita membagi dengan nol, dan operasi di bidang bilangan real ini tidak terdefinisi.

6 tahun yang lalu

RPI.su adalah database pertanyaan dan jawaban berbahasa Rusia terbesar. Proyek kami diimplementasikan sebagai kelanjutan dari layanan populer otvety.google.ru, yang ditutup dan dihapus pada 30 April 2015. Kami memutuskan untuk menghidupkan kembali layanan Google Answers yang berguna sehingga setiap orang dapat secara publik mengetahui jawaban atas pertanyaan mereka dari komunitas Internet.

Semua pertanyaan yang ditambahkan ke situs Google Answers telah disalin dan disimpan di sini. Nama-nama pengguna lama juga ditampilkan dalam bentuk di mana mereka sebelumnya ada. Anda hanya perlu mendaftar ulang untuk bisa bertanya, atau menjawab orang lain.

Untuk menghubungi kami jika ada pertanyaan TENTANG SITUS (iklan, kerja sama, umpan balik tentang layanan), tulis ke surat [dilindungi email] Hanya posting semua pertanyaan umum di situs, mereka tidak akan dijawab melalui surat.

Apa yang sama dengan nol ketika dinaikkan ke pangkat nol?

Mengapa bilangan pangkat 0 sama dengan 1? Ada aturan bahwa bilangan apa pun selain nol, yang dipangkatkan nol, akan sama dengan satu: 20 = 1; 1,50 = 1; 100000 = 1 Namun, mengapa demikian? Ketika suatu bilangan dipangkatkan dengan pangkat dengan pangkat asli, itu berarti bilangan itu dikalikan dengan bilangan itu sendiri sebanyak pangkatnya: 43 = 4 × 4 × 4; 26 \u003d 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 Ketika eksponennya adalah 1, maka hanya ada satu faktor selama konstruksi (jika kita dapat membicarakan faktor di sini sama sekali), dan oleh karena itu hasil konstruksinya sama ke dasar derajat: 181 = 18; (–3.4)1 = –3.4 Tetapi bagaimana dengan eksponen nol dalam kasus ini? Apa yang dikalikan dengan apa? Mari kita coba ke arah lain. Diketahui bahwa jika dua derajat memiliki basis yang sama, tetapi indikator yang berbeda, maka basis dapat dibiarkan sama, dan indikator dapat ditambahkan satu sama lain (jika derajat dikalikan), atau mengurangi indikator pembagi dari indikator dividen (jika derajatnya habis dibagi): 32 × 31 = 32+1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 45 43 = 45–3 = 42 = 4 × 4 = 16 Sekarang perhatikan contoh ini: 82 82 = 82–2 = 80 = ? Bagaimana jika kita tidak menggunakan sifat derajat dengan dasar yang sama dan melakukan perhitungan dalam urutannya: 82 82 = 64 64 = 1 Jadi kita mendapatkan satuan yang diinginkan. Jadi, eksponen nol, seolah-olah, menunjukkan bahwa bilangan tersebut tidak dikalikan dengan dirinya sendiri, tetapi dibagi dengan dirinya sendiri. Dan dari sini menjadi jelas mengapa ungkapan 00 tidak masuk akal. Lagi pula, Anda tidak dapat membagi dengan 0. Anda dapat berdebat secara berbeda. Jika ada, misalnya, perkalian pangkat 52 × 50 = 52 + 0 = 52, maka 52 dikalikan dengan 1. Oleh karena itu, 50 = 1.

Dari sifat-sifat derajat: a^n / a^m = a^(n-m) jika n=m, hasilnya adalah satu, kecuali tentu saja a=0, dalam hal ini (karena nol hingga derajat apa pun akan menjadi nol) pembagian dengan nol akan terjadi, jadi 0^0 tidak ada

Akun dalam berbagai bahasa

Nama-nama angka dari 0 hingga 9 dalam bahasa-bahasa populer di dunia.

Bahasa	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Bahasa inggris	nol	satu	dua	tiga	empat	lima	enam	tujuh	delapan	sembilan
Bulgaria	nol	satu	dua	tiga	empat	peliharaan	tiang	sedem	osem	mengabdikan
Hongaria	nulla	egy	ketto	harom	negy	atau	topi	dia t	nyolc	kilenc
Belanda	batal	een	twee	kering	vier	vijf	zes	zeven	acht	negen
Orang Denmark	batal	id	ke	tre	api	perempuan	jenis kelamin	syv	otte	ni
Orang Spanyol	cero	uno	dos	tres	cuatro	cinco	seisi	situs	ocho	baru
Italia	nol	uno	jatuh tempo	tre	quattro	cinque	sei	sofa	otto	baru
Lithuania	nulli	viena	dua	mencoba	keturi	penki	reyi	septi	atuoni	devyni
Jerman	batal	ein	zwei	drei	vier	lucu	sechs	sieben	acht	baru
Rusia	nol	satu	dua	tiga	empat	lima	enam	tujuh	delapan	sembilan
Polandia	nol	jeden	dwa	trzy	cztery	piêæ	ukuran	siedem	osiem	dziewi
Portugis	um	doi	trek	quadro	cinco	seisi	sete	oito	baru
Perancis	nol	un	deux	trois	kotak	cinq	enam	september	huit	neuf
Ceko	nula	jedna	dva	toi	ityoi	lubang	est	sedm	osm	menyimpang
Orang Swedia	tidak ada	ett	tv	tre	fyra	perempuan	seks	sju	atta	nio
Estonia	batal	inggris	kaks	Kolm	neli	melihat	kuus	seitse	kaheksa	uheksa

pangkat negatif dan nol dari suatu bilangan

Kekuatan nol, negatif, dan pecahan

Indikator nol

Menaikkan angka tertentu ke pangkat tertentu berarti mengulanginya dengan faktor sebanyak unit dalam eksponen.

Menurut definisi ini, ekspresi: sebuah 0 tidak ada artinya. Tetapi agar aturan pembagian pangkat dari angka yang sama memiliki arti bahkan dalam kasus ketika indeks pembagi sama dengan indeks dividen, definisi diperkenalkan:

Kekuatan nol dari angka apa pun akan sama dengan satu.

Indikator negatif

Ekspresi saya, dengan sendirinya tidak ada artinya. Tetapi agar aturan pembagian pangkat dari angka yang sama memiliki arti bahkan dalam kasus ketika indeks pembagi lebih besar dari indeks dividen, definisi diperkenalkan:

Contoh 1. Jika suatu bilangan terdiri dari 5 ratusan, 7 puluhan, 2 satuan dan 9 perseratus, maka dapat direpresentasikan sebagai berikut:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 -1 + 9 × 10 -2 = 572,09

Contoh 2. Jika suatu bilangan terdiri dari puluhan, b satuan, c persepuluh dan d seperseribu, maka dapat direpresentasikan sebagai berikut:

sebuah× 10 1 + b× 10 0 + c× 10 -1 + d× 10 -3

Tindakan pada kekuatan dengan eksponen negatif

Saat mengalikan pangkat dari angka yang sama, eksponen dijumlahkan.

Saat membagi kekuatan dari angka yang sama, indikator pembagi dikurangi dari indikator dividen.

Untuk menaikkan produk ke kekuatan, cukup untuk menaikkan setiap faktor secara terpisah ke kekuatan ini:

Untuk menaikkan pecahan menjadi pangkat, cukup menaikkan kedua suku pecahan secara terpisah ke pangkat ini:

Ketika suatu pangkat dinaikkan ke pangkat lain, pangkatnya dikalikan.

Eksponen pecahan

Jika sebuah k bukan kelipatan n, maka ekspresi: tidak masuk akal. Tetapi agar aturan mengekstraksi akar dari derajat terjadi untuk nilai eksponen apa pun, definisinya diperkenalkan:

Berkat pengenalan simbol baru, mengekstrak akar selalu dapat diganti dengan eksponensial.

Tindakan pada kekuatan dengan eksponen pecahan

Tindakan pada derajat dengan eksponen pecahan dilakukan sesuai dengan aturan yang sama yang ditetapkan untuk eksponen bilangan bulat.

Saat membuktikan posisi ini, pertama-tama kita asumsikan bahwa suku-suku pecahan: dan , yang berfungsi sebagai eksponen, adalah positif.

Dalam kasus tertentu n atau q mungkin sama dengan satu.

Saat mengalikan pangkat dari angka yang sama, indikator pecahan bertambah:

Saat membagi pangkat dari angka yang sama dengan eksponen pecahan, eksponen pembagi dikurangi dari eksponen dividen:

Untuk menaikkan pangkat ke pangkat lain dalam kasus eksponen pecahan, cukup dengan mengalikan eksponen:

Untuk mengekstrak akar eksponen pecahan, cukup membagi eksponen dengan eksponen akar:

Aturan tindakan tidak hanya berlaku untuk positif angka pecahan, tetapi juga untuk negatif.

Ada aturan bahwa angka apa pun selain nol, dipangkatkan nol, akan sama dengan satu:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
Namun, mengapa demikian?
Ketika suatu bilangan dipangkatkan dengan eksponen natural, itu berarti bilangan tersebut dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak eksponennya:
4 3 = 4×4×4; 2 6 = 2×2×2×2×2 x 2
Ketika eksponen adalah 1, maka hanya ada satu faktor selama konstruksi (jika kita dapat berbicara tentang faktor di sini sama sekali), dan oleh karena itu hasil konstruksi sama dengan basis derajat:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
Tapi bagaimana dengan nol dalam kasus ini? Apa yang dikalikan dengan apa?
Mari kita coba ke arah lain.

Mengapa bilangan pangkat 0 sama dengan 1?

Diketahui bahwa jika dua derajat memiliki basis yang sama, tetapi indikator yang berbeda, maka basis dapat dibiarkan sama, dan indikator dapat ditambahkan satu sama lain (jika derajat dikalikan), atau mengurangi indikator pembagi dari indikator dividen (jika derajatnya habis dibagi):
3 2×3 1 = 3^(2+1) = 3 3 = 3×3×3 = 27
4 5 4 3 = 4^(5−3) = 4 2 = 4×4 = 16
Sekarang perhatikan contoh ini:
8 2 8 2 = 8^(2−2) = 8 0 = ?
Bagaimana jika kita tidak menggunakan properti kekuatan dengan basis yang sama dan melakukan perhitungan dalam urutan urutannya:
8 2 8 2 = 64 64 = 1
Jadi kami mendapatkan unit yang didambakan. Jadi, eksponen nol, seolah-olah, menunjukkan bahwa bilangan tersebut tidak dikalikan dengan dirinya sendiri, tetapi dibagi dengan dirinya sendiri.
Dan dari sini menjadi jelas mengapa ungkapan 0 0 tidak masuk akal. Lagi pula, Anda tidak dapat membagi dengan 0.

GELAR DENGAN INDIKATOR RASIONAL,

FUNGSI DAYA IV

71. Derajat dengan eksponen nol dan negatif

Dalam 69 kami membuktikan (lihat Teorema 2) bahwa untuk t > n

(sebuah =/= 0)

Sangat wajar jika ingin memperluas formula ini ke kasus ketika t < P . Tapi kemudian nomornya t - p akan menjadi negatif atau nol. A. Sejauh ini kita hanya berbicara tentang derajat dengan indikator alami. Jadi, kita dihadapkan pada kebutuhan untuk mempertimbangkan kekuatan bilangan real dengan eksponen nol dan negatif.

Definisi 1. Nomor berapa saja sebuah , tidak sama dengan nol, pangkat nol sama dengan satu, yaitu ketika sebuah =/= 0

sebuah 0 = 1. (1)

Misalnya, (-13.7) 0 = 1; π 0 = 1; (√2) 0 = 1. Angka 0 tidak memiliki derajat nol, yaitu ekspresi 0 0 tidak terdefinisi.

Definisi 2. Jika sebuah sebuah=/= 0 dan P adalah bilangan asli, maka

sebuah - n = 1 /sebuah n (2)

yaitu derajat bilangan apa pun yang tidak sama dengan nol, dengan eksponen bilangan bulat negatif, sama dengan pecahan yang pembilangnya satu, dan penyebutnya adalah pangkat dari bilangan yang sama a, tetapi dengan eksponen yang berlawanan dengan eksponennya eksponen.

Sebagai contoh,

Dengan mengingat definisi ini, dapat ditunjukkan bahwa sebuah =/= 0, rumus

benar untuk semua bilangan asli t dan n , dan tidak hanya untuk t > n . Untuk membuktikannya, cukup mempertimbangkan dua kasus saja: t = n dan t< .п , sejak kasus m > n sudah ditangani di 69.

Biarlah t = n ; kemudian . Jadi, ruas kiri persamaan (3) sama dengan 1. Ruas kanan di t = n menjadi

sebuah M N = sebuah n - n = sebuah 0 .

Tapi menurut definisi sebuah 0 = 1. Jadi, ruas kanan persamaan (3) juga sama dengan 1. Oleh karena itu, untuk t = n rumus (3) benar.

Sekarang anggaplah itu t< п . Pembagian pembilang dan penyebut suatu pecahan dengan sebuah m , kita mendapatkan:

Sebagai n > t , kemudian . Jadi . Menggunakan definisi derajat dengan eksponen negatif, seseorang dapat menulis .

Jadi, di , yang harus dibuktikan. Rumus (3) sekarang terbukti untuk sembarang bilangan asli t dan P .

Komentar. Eksponen negatif memungkinkan Anda untuk menulis pecahan tanpa penyebut. Sebagai contoh,

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - satu ; umumnya, sebuah / b = a b - 1

Namun, orang tidak boleh berpikir bahwa dengan notasi seperti itu, pecahan berubah menjadi bilangan bulat. Misalnya 3 - 1 adalah pecahan yang sama dengan 1/3, 2 5 - 1 adalah pecahan yang sama dengan 2/5, dst.

Latihan

529. Hitung:

530. Tulislah tanpa penyebut pecahan:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. Tulis pecahan desimal ini sebagai ekspresi bilangan bulat menggunakan indikator negatif:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5