Setiap siswa mengetahui bahwa kuadrat sisi miring selalu sama dengan jumlah kaki, yang masing-masing kuadrat. Pernyataan ini disebut teorema Pythagoras. Ini adalah salah satu teorema paling terkenal dalam trigonometri dan matematika pada umumnya. Mari kita pertimbangkan lebih detail.

Konsep segitiga siku-siku

Sebelum melanjutkan ke pembahasan teorema Pythagoras, di mana kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kaki kuadrat, kita harus mempertimbangkan konsep dan sifat segitiga siku-siku, yang teoremanya valid.

Segitiga adalah bangun datar dengan tiga sudut dan tiga sisi. Segitiga siku-siku, sesuai namanya, memiliki satu sudut siku-siku, yaitu sudut ini adalah 90 o.

Dari sifat-sifat umum semua segitiga, diketahui bahwa jumlah ketiga sudut pada gambar ini adalah 180 o, yang berarti bahwa untuk segitiga siku-siku, jumlah dua sudut yang tidak siku-siku adalah 180 o - 90 o = 90 Hai. Fakta terakhir berarti bahwa setiap sudut dalam segitiga siku-siku yang bukan sudut siku-siku akan selalu kurang dari 90o.

Sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku disebut hipotenusa. Dua sisi lainnya adalah kaki segitiga, mereka bisa sama satu sama lain, atau mereka bisa berbeda. Diketahui dari trigonometri bahwa semakin besar sudut terhadap sisi yang terletak pada segitiga, semakin besar panjang sisi ini. Ini berarti bahwa dalam segitiga siku-siku, sisi miring (terletak berlawanan dengan sudut 90 o) akan selalu lebih besar dari kaki mana pun (berada di seberang sudut< 90 o).

Notasi matematika dari teorema Pythagoras

Teorema ini menyatakan bahwa kuadrat dari sisi miring sama dengan jumlah kaki, yang masing-masing sebelumnya dikuadratkan. Untuk menulis rumusan ini secara matematis, perhatikan sebuah segitiga siku-siku di mana sisi a, b, dan c masing-masing adalah dua kaki dan sisi miring. Dalam hal ini, teorema, yang dirumuskan sebagai kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki, dapat diwakili oleh rumus berikut: c 2 \u003d a 2 + b 2. Dari sini, rumus lain yang penting untuk latihan dapat diperoleh: a \u003d (c 2 - b 2), b \u003d (c 2 - a 2) dan c \u003d (a 2 + b 2).

Perhatikan bahwa dalam kasus segitiga sama sisi siku-siku, yaitu, a \u003d b, rumusnya: kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kaki, yang masing-masing dikuadratkan, secara matematis ditulis sebagai berikut: c 2 \u003d a 2 + b 2 \u003d 2a 2, dari mana persamaan berikut: c = a√2.

Referensi sejarah

Teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa jumlah kaki, yang masing-masing dikuadratkan, sama dengan kuadrat dari sisi miring, telah diketahui jauh sebelum filsuf Yunani terkenal menarik perhatiannya. Banyak papirus Mesir kuno, serta tablet tanah liat Babilonia, mengkonfirmasi bahwa orang-orang ini menggunakan properti yang dicatat dari sisi-sisi segitiga siku-siku. Misalnya, salah satu piramida Mesir pertama, Piramida Khafre, yang konstruksinya berasal dari abad ke-26 SM (2000 tahun sebelum kehidupan Pythagoras), dibangun berdasarkan pengetahuan tentang rasio aspek dalam segitiga siku-siku 3x4x5.

Lalu, mengapa teorema itu sekarang menyandang nama seorang Yunani? Jawabannya sederhana: Pythagoras adalah yang pertama membuktikan teorema ini secara matematis. Sumber-sumber tertulis Babilonia dan Mesir yang masih hidup hanya berbicara tentang penggunaannya, tetapi tidak memberikan bukti matematis apa pun.

Dipercaya bahwa Pythagoras membuktikan teorema yang sedang dipertimbangkan dengan menggunakan sifat-sifat segitiga serupa, yang diperolehnya dengan menggambar ketinggian dalam segitiga siku-siku dari sudut 90 o ke sisi miring.

Contoh penggunaan teorema Pythagoras

Pertimbangkan masalah sederhana: perlu untuk menentukan panjang tangga miring L, jika diketahui tingginya H = 3 meter, dan jarak dari dinding tempat tangga bersandar ke kakinya adalah P = 2,5 meter.

PADA kasus ini H dan P adalah kaki, dan L adalah sisi miring. Karena panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki, kita mendapatkan: L 2 \u003d H 2 + P 2, dari mana L \u003d (H 2 + P 2) \u003d (3 2 + 2.5 2) \u003d 3.905 meter atau 3 m dan 90, 5 cm

Geometri bukanlah ilmu yang mudah. Ini dapat berguna baik untuk kurikulum sekolah maupun dalam kehidupan nyata. Pengetahuan tentang banyak rumus dan teorema akan menyederhanakan perhitungan geometris. Salah satu bentuk paling sederhana dalam geometri adalah segitiga. Salah satu jenis segitiga, sama sisi, memiliki karakteristiknya sendiri.

Ciri-ciri segitiga sama sisi

Menurut definisi, segitiga adalah polihedron yang memiliki tiga sudut dan tiga sisi. Ini adalah sosok dua dimensi datar, sifat-sifatnya dipelajari di sekolah menengah. Berdasarkan jenis sudutnya, segitiga siku-siku, siku-siku, dan siku-siku dibedakan. Segitiga siku-siku adalah bangun ruang yang salah satu sudutnya 90º. Segitiga seperti itu memiliki dua kaki (mereka membuat sudut siku-siku), dan satu sisi miring (berlawanan dengan sudut siku-siku). Bergantung pada jumlah yang diketahui, ada tiga cara mudah untuk menghitung sisi miring segitiga siku-siku.

Cara pertama adalah mencari hipotenusa segitiga siku-siku. teori Pitagoras

Teorema Pythagoras adalah cara tertua untuk menghitung salah satu sisi segitiga siku-siku. Kedengarannya seperti ini: "Dalam segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya." Jadi, untuk menghitung sisi miring, kita harus menurunkan akar kuadrat dari jumlah kuadrat kedua kaki. Untuk kejelasan, rumus dan diagram diberikan.

Cara kedua. Perhitungan sisi miring menggunakan 2 nilai yang diketahui: kaki dan sudut yang berdekatan

Salah satu sifat segitiga siku-siku mengatakan bahwa rasio panjang kaki dengan panjang sisi miring sama dengan kosinus sudut antara kaki ini dan sisi miring. Sebut saja sudut yang kita kenal . Sekarang, berkat definisi yang terkenal, kita dapat dengan mudah merumuskan rumus untuk menghitung sisi miring: Sisi miring = kaki / cos (α)

Cara ketiga. Menghitung sisi miring menggunakan 2 nilai yang diketahui: kaki dan sudut yang berlawanan

Jika sudut yang berlawanan diketahui, adalah mungkin untuk menggunakan sifat-sifat segitiga siku-siku lagi. Rasio panjang kaki dan sisi miring sama dengan sinus sudut yang berlawanan. Sebut lagi sudut yang diketahui . Sekarang untuk perhitungan kami menerapkan rumus yang sedikit berbeda:
Sisi miring = kaki/sin (α)

Contoh untuk membantu Anda memahami rumus

Untuk pemahaman yang lebih dalam dari masing-masing rumus, Anda harus mempertimbangkan contoh ilustratif. Jadi, misalkan segitiga siku-siku diberikan, di mana ada data seperti itu:

• Kaki - 8 cm.
• Sudut yang berdampingan cosα1 adalah 0,8.
• Sudut berlawanan sinα2 adalah 0,8.

Menurut teorema Pythagoras: Sisi miring \u003d akar kuadrat dari (36 + 64) \u003d 10 cm.
Dengan ukuran kaki dan sudut yang disertakan: 8 / 0.8 \u003d 10 cm.
Dengan ukuran kaki dan sudut yang berlawanan: 8 / 0.8 \u003d 10 cm.

Setelah memahami rumusnya, Anda dapat dengan mudah menghitung sisi miring dengan data apa pun.

Video: Teorema Pythagoras

Potensi kreativitas biasanya dikaitkan dengan humaniora, meninggalkan analisis ilmiah alami, pendekatan praktis dan bahasa kering rumus dan angka. Matematika tidak dapat digolongkan sebagai mata pelajaran humaniora. Tetapi tanpa kreativitas dalam "ratu segala ilmu" Anda tidak akan melangkah jauh - orang sudah lama mengetahui hal ini. Sejak zaman Pythagoras, misalnya.

Buku pelajaran sekolah, sayangnya, biasanya tidak menjelaskan bahwa dalam matematika penting tidak hanya menjejalkan teorema, aksioma, dan rumus. Penting untuk memahami dan merasakan prinsip-prinsip dasarnya. Dan pada saat yang sama, cobalah untuk membebaskan pikiran Anda dari klise dan kebenaran dasar - hanya dalam kondisi seperti itu semua penemuan hebat lahir.

Penemuan-penemuan semacam itu termasuk yang sekarang kita kenal sebagai teorema Pythagoras. Dengan bantuannya, kami akan mencoba menunjukkan bahwa matematika tidak hanya dapat, tetapi juga harus menyenangkan. Dan bahwa petualangan ini cocok tidak hanya untuk kutu buku dengan kacamata tebal, tetapi untuk semua orang yang kuat dalam pikiran dan kuat dalam semangat.

Dari sejarah masalah

Sebenarnya, meskipun teorema itu disebut "teorema Pythagoras", Pythagoras sendiri tidak menemukannya. Segitiga siku-siku dan sifat-sifat khususnya telah dipelajari jauh sebelumnya. Ada dua sudut pandang kutub tentang masalah ini. Menurut satu versi, Pythagoras adalah orang pertama yang menemukan bukti lengkap teorema. Menurut yang lain, buktinya bukan milik penulis Pythagoras.

Hari ini Anda tidak bisa lagi memeriksa siapa yang benar dan siapa yang salah. Hanya diketahui bahwa bukti Pythagoras, jika pernah ada, tidak bertahan. Namun, ada saran bahwa bukti terkenal dari Elemen Euclid mungkin milik Pythagoras, dan Euclid hanya mencatatnya.

Sekarang juga diketahui bahwa masalah tentang segitiga siku-siku ditemukan dalam sumber-sumber Mesir dari zaman Firaun Amenemhet I, pada lempengan tanah liat Babilonia dari masa pemerintahan Raja Hammurabi, dalam risalah India kuno Sulva Sutra dan karya Cina kuno Zhou -bi suan jin.

Seperti yang Anda lihat, teorema Pythagoras telah memenuhi pikiran para matematikawan sejak zaman kuno. Sekitar 367 berbagai bukti yang ada saat ini berfungsi sebagai konfirmasi. Tidak ada teorema lain yang dapat bersaing dengannya dalam hal ini. Penulis bukti penting termasuk Leonardo da Vinci dan Presiden ke-20 Amerika Serikat, James Garfield. Semua ini berbicara tentang pentingnya teorema ini untuk matematika: sebagian besar teorema geometri diturunkan darinya atau, dalam satu atau lain cara, terhubung dengannya.

Bukti teorema Pythagoras

Buku pelajaran sekolah kebanyakan memberikan bukti aljabar. Tetapi inti dari teorema ada dalam geometri, jadi pertama-tama mari kita pertimbangkan bukti-bukti teorema terkenal yang didasarkan pada ilmu ini.

Bukti 1

Untuk bukti paling sederhana dari teorema Pythagoras untuk segitiga siku-siku, Anda perlu menetapkan kondisi ideal: biarkan segitiga tidak hanya siku-siku, tetapi juga sama kaki. Ada alasan untuk percaya bahwa itu adalah segitiga yang awalnya dianggap oleh matematikawan kuno.

Penyataan "persegi yang dibangun di atas hipotenusa segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat yang dibangun di atas kakinya" dapat diilustrasikan dengan gambar berikut:

Lihatlah segitiga siku-siku sama kaki ABC: Pada sisi miring AC, Anda dapat membangun sebuah persegi yang terdiri dari empat segitiga sama dengan ABC asli. Dan pada kaki-kaki AB dan BC dibangun di atas sebuah bujur sangkar yang masing-masing berisi dua buah segitiga yang sebangun.

Ngomong-ngomong, gambar ini menjadi dasar dari banyak anekdot dan kartun yang didedikasikan untuk teorema Pythagoras. Mungkin yang paling terkenal adalah "Celana Pythagoras sama ke segala arah":

Bukti 2

Metode ini menggabungkan aljabar dan geometri dan dapat dilihat sebagai varian dari bukti India kuno dari matematikawan Bhaskari.

Bangun segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya a, b dan c(Gbr. 1). Kemudian buat dua persegi dengan sisi sama dengan jumlah panjang kedua kaki - (a+b). Di setiap kotak, buat konstruksi, seperti pada gambar 2 dan 3.

Di kotak pertama, bangun empat segitiga yang sama seperti pada Gambar 1. Hasilnya, diperoleh dua kotak: satu dengan sisi a, yang kedua dengan sisi b.

Pada bujur sangkar kedua, empat segitiga sebangun dibangun membentuk bujur sangkar dengan sisi sama dengan sisi miring c.

Jumlah luas bujur sangkar yang dibangun pada Gambar 2 sama dengan luas bujur sangkar yang kita bangun dengan sisi c pada Gambar 3. Ini dapat dengan mudah diverifikasi dengan menghitung luas persegi pada Gambar. 2 sesuai dengan rumus. Dan luas bujur sangkar pada Gambar 3. dengan mengurangkan luas empat segitiga siku-siku yang sama yang tertulis di bujur sangkar dari luas bujur sangkar besar dengan sisi (a+b).

Menempatkan semua ini, kami memiliki: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Perluas tanda kurung, lakukan semua perhitungan aljabar yang diperlukan dan dapatkan itu a2 + b2 = a2 + b2. Pada saat yang sama, area yang tertulis pada Gbr.3. persegi juga dapat dihitung menggunakan rumus tradisional S=c2. Itu. a2+b2=c2 Anda telah membuktikan teorema Pythagoras.

Bukti 3

Bukti India kuno yang sama dijelaskan pada abad ke-12 dalam risalah "Mahkota Pengetahuan" ("Siddhanta Shiromani"), dan sebagai argumen utama penulis menggunakan daya tarik yang ditujukan kepada bakat matematika dan kekuatan pengamatan siswa dan pengikut: "Lihat!".

Tetapi kami akan menganalisis bukti ini secara lebih rinci:

Di dalam bujur sangkar, buat empat segitiga siku-siku seperti yang ditunjukkan pada gambar. Sisi bujur sangkar besar, yang juga merupakan sisi miring, dilambangkan dengan. Mari kita sebut kaki segitiga sebuah dan b. Menurut gambar, sisi persegi dalam adalah (a-b).

Gunakan rumus luas persegi S=c2 untuk menghitung luas persegi luar. Dan pada saat yang sama hitung nilai yang sama dengan menambahkan luas persegi bagian dalam dan luas bola empat segitiga siku-siku: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Anda dapat menggunakan kedua opsi untuk menghitung luas persegi untuk memastikan keduanya memberikan hasil yang sama. Dan itu memberi Anda hak untuk menuliskannya c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Sebagai hasil dari solusi, Anda akan mendapatkan rumus teorema Pythagoras c2=a2+b2. Teorema telah terbukti.

Bukti 4

Bukti Cina kuno yang aneh ini disebut "Kursi Pengantin" - karena sosok seperti kursi yang dihasilkan dari semua konstruksi:

Ini menggunakan gambar yang telah kita lihat pada Gambar 3 di bukti kedua. Dan bujur sangkar bagian dalam dengan sisi c dibangun dengan cara yang sama seperti pada bukti India kuno yang diberikan di atas.

Jika Anda secara mental memotong dua segitiga siku-siku hijau dari gambar pada Gambar. 1, pindahkan ke sisi berlawanan dari alun-alun dengan sisi c dan pasang sisi miring ke sisi miring segitiga lilac, Anda akan mendapatkan sosok yang disebut "pengantin pengantin". kursi” (Gbr. 2). Untuk kejelasan, Anda dapat melakukan hal yang sama dengan kotak dan segitiga kertas. Anda akan melihat bahwa "kursi pengantin" dibentuk oleh dua kotak: kotak kecil dengan sisi b dan besar dengan sisi sebuah.

Konstruksi ini memungkinkan ahli matematika Tiongkok kuno dan kami mengikuti mereka untuk sampai pada kesimpulan bahwa c2=a2+b2.

Bukti 5

Ini adalah cara lain untuk menemukan solusi untuk teorema Pythagoras berdasarkan geometri. Ini disebut Metode Garfield.

Bangun segitiga siku-siku ABC. Kita perlu membuktikan bahwa BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Untuk melakukan ini, lanjutkan kaki AC dan membangun segmen CD, yang sama dengan kaki AB. Tegak Lurus Bawah IKLAN segmen garis ED. Segmen ED dan AC adalah sama. menghubungkan titik-titik E dan PADA, sebaik E dan Dengan dan dapatkan gambar seperti gambar di bawah ini:

Untuk membuktikan menara, kami kembali menggunakan metode yang telah kami uji: kami menemukan luas gambar yang dihasilkan dalam dua cara dan menyamakan ekspresi satu sama lain.

Temukan luas poligon TEMPAT TIDUR dapat dilakukan dengan menjumlahkan luas ketiga segitiga yang membentuknya. Dan salah satunya ERU, tidak hanya persegi panjang, tetapi juga sama kaki. Jangan lupa juga itu AB=CD, AC=ED dan SM = CE- ini akan memungkinkan kami untuk menyederhanakan perekaman dan tidak membebaninya. Jadi, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1/2BC 2.

Pada saat yang sama, jelas bahwa TEMPAT TIDUR adalah trapesium. Oleh karena itu, kami menghitung luasnya menggunakan rumus: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Untuk perhitungan kami, lebih mudah dan lebih jelas untuk mewakili segmen IKLAN sebagai jumlah dari segmen AC dan CD.

Mari kita tuliskan kedua cara menghitung luas suatu bangun dengan memberi tanda sama dengan di antara keduanya: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Kami menggunakan kesetaraan segmen yang sudah kami ketahui dan dijelaskan di atas untuk menyederhanakan notasi sisi kanan: AB*AC+1/2BC 2 = 1/2(AB+AC) 2. Dan sekarang kita membuka tanda kurung dan mengubah persamaan: AB*AC+1/2BC 2 = 1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Setelah menyelesaikan semua transformasi, kami mendapatkan apa yang kami butuhkan: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Kami telah membuktikan teorema.

Tentu saja, daftar bukti ini masih jauh dari lengkap. Teorema Pythagoras juga dapat dibuktikan dengan menggunakan vektor, bilangan kompleks, persamaan diferensial, stereometri, dll. Dan bahkan fisikawan: jika, misalnya, cairan dituangkan ke dalam volume persegi dan segitiga yang serupa dengan yang ditunjukkan pada gambar. Dengan menuangkan cairan, adalah mungkin untuk membuktikan persamaan luas dan teorema itu sendiri sebagai hasilnya.

Beberapa kata tentang kembar tiga Pythagoras

Masalah ini sedikit atau tidak dipelajari dalam kurikulum sekolah. Sementara itu, sangat menarik dan sangat penting dalam geometri. Tripel Pythagoras digunakan untuk menyelesaikan banyak masalah matematika. Gagasan mereka dapat bermanfaat bagi Anda dalam pendidikan lebih lanjut.

Jadi apa itu kembar tiga Pythagoras? Disebut bilangan asli, dikumpulkan dalam tiga, jumlah kuadrat dari dua di antaranya sama dengan kuadrat bilangan ketiga.

Tripel Pythagoras dapat berupa:

• primitif (ketiga bilangan tersebut relatif prima);
• non-primitif (jika setiap angka dari suatu rangkap tiga dikalikan dengan angka yang sama, Anda mendapatkan tiga kali lipat baru yang tidak primitif).

Bahkan sebelum zaman kita, orang Mesir kuno terpesona oleh mania untuk jumlah tiga kali lipat Pythagoras: dalam tugas mereka menganggap segitiga siku-siku dengan sisi 3,4 dan 5 unit. Omong-omong, segitiga apa pun yang sisi-sisinya sama dengan angka-angka dari tripel Pythagoras secara default adalah persegi panjang.

Contoh tripel Pythagoras: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50) dll.

Aplikasi praktis dari teorema

Teorema Pythagoras menemukan aplikasi tidak hanya dalam matematika, tetapi juga dalam arsitektur dan konstruksi, astronomi, dan bahkan sastra.

Pertama, tentang konstruksi: teorema Pythagoras banyak digunakan di dalamnya dalam masalah tingkat kerumitan yang berbeda. Misalnya, lihat jendela Romanesque:

Mari kita nyatakan lebar jendela sebagai b, maka jari-jari setengah lingkaran besar dapat dilambangkan sebagai R dan ekspresikan melalui b: R=b/2. Jari-jari setengah lingkaran yang lebih kecil juga dapat dinyatakan dalam b: r=b/4. Dalam masalah ini, kami tertarik pada jari-jari lingkaran dalam jendela (sebut saja p).

Teorema Pythagoras berguna untuk menghitung R. Untuk melakukan ini, kami menggunakan segitiga siku-siku, yang ditunjukkan oleh garis putus-putus pada gambar. Sisi miring segitiga terdiri dari dua jari-jari: b/4+p. Satu kaki adalah radius b/4, lain b/2-p. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, kita menulis: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Selanjutnya, kami membuka tanda kurung dan mendapatkan b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Mari kita ubah ekspresi ini menjadi bp/2=b 2/4-bp. Dan kemudian kami membagi semua istilah menjadi b, kami memberikan yang serupa untuk mendapatkan 3/2*p=b/4. Dan pada akhirnya kita menemukan itu p=b/6- yang kami butuhkan.

Dengan menggunakan teorema, Anda dapat menghitung panjang kasau untuk atap pelana. Tentukan seberapa tinggi menara seluler yang diperlukan agar sinyal dapat mencapai penyelesaian tertentu. Dan bahkan dengan mantap memasang pohon Natal di alun-alun kota. Seperti yang Anda lihat, teorema ini hidup tidak hanya di halaman buku teks, tetapi sering kali berguna dalam kehidupan nyata.

Sejauh menyangkut sastra, teorema Pythagoras telah mengilhami para penulis sejak zaman kuno dan terus berlanjut hingga hari ini. Misalnya, penulis Jerman abad kesembilan belas Adelbert von Chamisso terinspirasi olehnya untuk menulis soneta:

Cahaya kebenaran tidak akan segera menghilang,
Tapi, setelah bersinar, itu tidak mungkin menghilang
Dan, seperti ribuan tahun yang lalu,
Tidak akan menimbulkan keraguan dan perselisihan.

Paling bijak ketika menyentuh mata
Terang kebenaran, terima kasih para dewa;
Dan seratus lembu jantan, ditikam, berbohong -
Hadiah kembali dari Pythagoras yang beruntung.

Sejak itu, banteng mengaum dengan putus asa:
Selamanya membangkitkan suku banteng
peristiwa yang disebutkan di sini.

Mereka pikir sudah waktunya
Dan lagi mereka akan dikorbankan
Beberapa teorema besar.

(diterjemahkan oleh Viktor Toporov)

Dan pada abad kedua puluh, penulis Soviet Yevgeny Veltistov dalam bukunya "The Adventures of Electronics" mencurahkan seluruh bab untuk pembuktian teorema Pythagoras. Dan setengah bab dari cerita tentang dunia dua dimensi yang bisa eksis jika teorema Pythagoras menjadi hukum dasar dan bahkan agama untuk satu dunia. Akan jauh lebih mudah untuk hidup di dalamnya, tetapi juga jauh lebih membosankan: misalnya, tidak ada yang mengerti arti kata "bulat" dan "halus".

Dan dalam buku "Petualangan Elektronik", penulis, melalui mulut guru matematika Taratara, mengatakan: "Hal utama dalam matematika adalah pergerakan pemikiran, ide-ide baru." Ini adalah pelarian pemikiran kreatif yang menghasilkan teorema Pythagoras - bukan tanpa alasan ia memiliki begitu banyak bukti yang beragam. Ini membantu untuk melampaui yang biasa, dan melihat hal-hal yang sudah dikenal dengan cara baru.

Kesimpulan

Artikel ini dibuat agar Anda dapat melihat melampaui kurikulum sekolah dalam matematika dan mempelajari tidak hanya bukti teorema Pythagoras yang diberikan dalam buku teks "Geometri 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) dan "Geometri 7 -11 ” (A.V. Pogorelov), tetapi juga cara-cara aneh lainnya untuk membuktikan teorema terkenal. Dan juga melihat contoh bagaimana teorema Pythagoras dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari.

Pertama, informasi ini akan memungkinkan Anda untuk mengklaim nilai yang lebih tinggi di kelas matematika - informasi tentang subjek dari sumber tambahan selalu sangat dihargai.

Kedua, kami ingin membantu Anda merasakan betapa menariknya matematika. Diyakinkan oleh contoh-contoh spesifik bahwa selalu ada tempat untuk kreativitas di dalamnya. Kami berharap teorema Pythagoras dan artikel ini akan menginspirasi Anda untuk melakukan penelitian sendiri dan penemuan menarik dalam matematika dan ilmu lainnya.

Beri tahu kami di komentar jika Anda menemukan bukti yang disajikan dalam artikel menarik. Apakah Anda menemukan informasi ini membantu dalam studi Anda? Beri tahu kami pendapat Anda tentang teorema Pythagoras dan artikel ini - kami akan dengan senang hati mendiskusikan semua ini dengan Anda.

blog.site, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

teori Pitagoras: Jumlah luas persegi yang ditopang oleh kaki ( sebuah dan b), sama dengan luas persegi yang dibangun di atas sisi miring ( c).

Formulasi geometris:

Teorema awalnya dirumuskan sebagai berikut:

Formulasi aljabar:

Artinya, menunjukkan panjang sisi miring segitiga melalui c, dan panjang kaki melalui sebuah dan b :

sebuah 2 + b 2 = c 2

Kedua rumusan teorema tersebut setara, tetapi rumusan kedua lebih mendasar, tidak memerlukan konsep luas. Artinya, pernyataan kedua dapat diverifikasi tanpa mengetahui apa pun tentang luas dan hanya dengan mengukur panjang sisi segitiga siku-siku.

Teorema Pythagoras terbalik:

Bukti dari

Saat ini, 367 bukti teorema ini telah dicatat dalam literatur ilmiah. Mungkin, teorema Pythagoras adalah satu-satunya teorema dengan jumlah bukti yang begitu mengesankan. Variasi seperti itu hanya dapat dijelaskan oleh signifikansi mendasar dari teorema geometri.

Tentu saja, secara konseptual, semuanya dapat dibagi menjadi sejumlah kecil kelas. Yang paling terkenal di antaranya: pembuktian dengan metode area, pembuktian aksiomatik dan eksotik (misalnya, menggunakan persamaan diferensial).

Melalui segitiga sebangun

Bukti formulasi aljabar berikut ini adalah bukti paling sederhana yang dibangun langsung dari aksioma. Secara khusus tidak menggunakan konsep luas bangun ruang.

Biarlah ABC ada segitiga siku-siku C. Mari kita menggambar ketinggian dari C dan menunjukkan basisnya dengan H. Segi tiga ACEH mirip segitiga ABC di dua sudut. Demikian pula segitiga CBH serupa ABC. Memperkenalkan notasi

kita mendapatkan

Apa yang setara?

Menambahkan, kita mendapatkan

Bukti daerah

Bukti-bukti berikut, meskipun tampak sederhana, sama sekali tidak sederhana. Semuanya menggunakan sifat-sifat luas, yang pembuktiannya lebih rumit daripada pembuktian teorema Pythagoras itu sendiri.

Bukti melalui Kesetaraan

1. Susunlah empat segitiga siku-siku yang sama seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.
2. Segi empat dengan sisi c adalah bujur sangkar karena jumlah dua sudut lancip adalah 90° dan sudut lurus adalah 180°.
3. Luas seluruh gambar sama, di satu sisi, dengan luas persegi dengan sisi (a + b), dan di sisi lain, jumlah luas empat segitiga dan dua bagian dalam kotak.

Q.E.D.

Bukti melalui Kesetaraan

Bukti permutasi yang elegan

Contoh dari salah satu bukti ini ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan, di mana bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring diubah dengan permutasi menjadi dua bujur sangkar yang dibangun di atas kakinya.

bukti Euclid

Menggambar untuk bukti Euclid

Ilustrasi untuk pembuktian Euclid

Gagasan pembuktian Euclid adalah sebagai berikut: mari kita coba buktikan bahwa setengah luas persegi yang dibangun di atas sisi miring sama dengan jumlah setengah luas persegi yang dibangun di atas kaki, dan kemudian luas persegi besar dan dua kotak kecil sama besar.

Pertimbangkan gambar di sebelah kiri. Di atasnya, kami membangun kotak di sisi segitiga siku-siku dan menggambar sinar s dari titik sudut siku-siku C tegak lurus dengan sisi miring AB, itu memotong persegi ABIK, dibangun di sisi miring, menjadi dua persegi panjang - BHJI dan HAKJ, masing-masing. Ternyata luas persegi panjang ini persis sama dengan luas persegi yang dibangun di atas kaki yang sesuai.

Mari kita coba buktikan bahwa luas persegi DECA sama dengan luas persegi panjang AHJK Untuk melakukan ini, kita menggunakan pengamatan tambahan: Luas segitiga dengan tinggi dan alas yang sama seperti yang diberikan persegi panjang sama dengan setengah luas persegi panjang yang diberikan. Ini adalah konsekuensi dari mendefinisikan luas segitiga sebagai setengah produk alas dan tinggi. Dari pengamatan ini diketahui bahwa luas segitiga ACK sama dengan luas segitiga AHK (tidak diperlihatkan), yang selanjutnya sama dengan setengah luas persegi panjang AHJK.

Sekarang mari kita buktikan bahwa luas segitiga ACK juga sama dengan setengah luas persegi DECA. Satu-satunya hal yang perlu dilakukan untuk ini adalah membuktikan persamaan segitiga ACK dan BDA (karena luas segitiga BDA sama dengan setengah luas persegi dengan sifat di atas). Persamaan ini jelas, segitiga sama di dua sisi dan sudut di antara mereka. Yaitu - AB=AK,AD=AC - persamaan sudut CAK dan BAD mudah dibuktikan dengan cara gerak : mari kita putar segitiga CAK 90° berlawanan arah jarum jam, maka jelaslah bahwa sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga yang dianggap akan bertepatan (karena fakta bahwa sudut di puncak bujur sangkar adalah 90°).

Argumen tentang persamaan luas persegi BCFG dan persegi panjang BHJI benar-benar analog.

Dengan demikian, kami telah membuktikan bahwa luas persegi yang dibangun di atas sisi miring adalah jumlah dari luas persegi yang dibangun di atas kaki. Gagasan di balik pembuktian ini selanjutnya diilustrasikan dengan animasi di atas.

Bukti Leonardo da Vinci

Bukti Leonardo da Vinci

Elemen utama pembuktian adalah simetri dan gerakan.

Perhatikan gambar, seperti yang dapat dilihat dari simetri, segmen CSaya membedah persegi ABHJ menjadi dua bagian yang identik (karena segitiga ABC dan JHSaya sama dalam konstruksi). Menggunakan rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam, kita melihat persamaan angka yang diarsir CAJSaya dan GDAB . Sekarang jelas bahwa luas gambar yang diarsir oleh kita sama dengan jumlah setengah luas persegi yang dibangun di atas kaki dan luas segitiga asli. Di sisi lain, itu sama dengan setengah luas persegi yang dibangun di sisi miring, ditambah luas segitiga aslinya. Langkah terakhir dalam pembuktian diserahkan kepada pembaca.

Buktikan dengan metode infinitesimal

Bukti berikut menggunakan persamaan diferensial sering dikaitkan dengan matematikawan Inggris terkenal Hardy, yang hidup pada paruh pertama abad ke-20.

Mengingat gambar yang ditunjukkan pada gambar dan mengamati perubahan sisi sebuah, kita dapat menulis hubungan berikut untuk penambahan sisi yang sangat kecil: dengan dan sebuah(menggunakan segitiga sebangun):

Buktikan dengan metode infinitesimal

Menggunakan metode pemisahan variabel, kami menemukan

Ekspresi yang lebih umum untuk mengubah sisi miring dalam kasus penambahan kedua kaki

Mengintegrasikan persamaan ini dan menggunakan kondisi awal, kita memperoleh

c 2 = sebuah 2 + b 2 + konstan.

Dengan demikian, kami sampai pada jawaban yang diinginkan

c 2 = sebuah 2 + b 2 .

Sangat mudah untuk melihat bahwa ketergantungan kuadrat dalam rumus akhir muncul karena proporsionalitas linier antara sisi segitiga dan kenaikannya, sedangkan jumlah karena kontribusi independen dari kenaikan kaki yang berbeda.

Bukti yang lebih sederhana dapat diperoleh jika kita mengasumsikan bahwa salah satu kaki tidak mengalami kenaikan (dalam hal ini kaki b). Kemudian untuk konstanta integrasi kita dapatkan

Variasi dan Generalisasi

• Jika, alih-alih bujur sangkar, bangun-bangun serupa lainnya dibangun di atas kaki-kaki, maka generalisasi teorema Pythagoras berikut ini benar: Dalam segitiga siku-siku, jumlah luas bangun datar yang dibangun di atas kaki sama dengan luas bangun di sisi miring. Secara khusus:
  • Jumlah luas segitiga beraturan yang dibangun di atas kaki-kakinya sama dengan luas segitiga beraturan yang dibangun di atas sisi miring.
  • Jumlah luas setengah lingkaran yang dibangun di atas kaki (seperti pada diameter) sama dengan luas setengah lingkaran yang dibangun di sisi miring. Contoh ini digunakan untuk membuktikan sifat-sifat bangun datar yang dibatasi oleh busur dua lingkaran dan menyandang nama lunula hipokrates.

Cerita

Chu-pei 500-200 SM. Di sebelah kiri adalah tulisan: jumlah kuadrat dari panjang tinggi dan alas adalah kuadrat dari panjang sisi miring.

Buku Cina kuno Chu-pei berbicara tentang segitiga Pythagoras dengan sisi 3, 4 dan 5: Dalam buku yang sama, sebuah gambar diusulkan yang bertepatan dengan salah satu gambar geometri Hindu Baskhara.

Kantor (sejarawan matematika terbesar Jerman) percaya bahwa persamaan 3 ² + 4 ² = 5² sudah dikenal orang Mesir sekitar 2300 SM. e., pada masa Raja Amenemhet I (menurut papirus 6619 Museum Berlin). Menurut Cantor, harpedonapts, atau "stringer", membangun sudut siku-siku menggunakan segitiga siku-siku dengan sisi 3, 4 dan 5.

Sangat mudah untuk mereproduksi metode konstruksi mereka. Ambil seutas tali sepanjang 12 m dan ikat pada tali berwarna pada jarak 3 m. dari satu ujung dan 4 meter dari yang lain. Sebuah sudut siku-siku akan diapit oleh sisi-sisi yang panjangnya 3 dan 4 meter. Keluarga Harpedonapt mungkin keberatan bahwa metode konstruksi mereka menjadi berlebihan jika seseorang menggunakan, misalnya, kotak kayu yang digunakan oleh semua tukang kayu. Memang, gambar Mesir dikenal di mana alat seperti itu ditemukan, misalnya, gambar yang menggambarkan bengkel pertukangan.

Sedikit lebih banyak yang diketahui tentang teorema Pythagoras di antara orang Babilonia. Dalam satu teks yang berasal dari zaman Hammurabi, yaitu 2000 SM. e., perhitungan perkiraan sisi miring dari segitiga siku-siku diberikan. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa di Mesopotamia mereka dapat melakukan perhitungan dengan segitiga siku-siku, setidaknya dalam beberapa kasus. Berdasarkan, di satu sisi, pada tingkat pengetahuan saat ini tentang matematika Mesir dan Babilonia, dan di sisi lain, pada studi kritis sumber-sumber Yunani, Van der Waerden (seorang matematikawan Belanda) menyimpulkan sebagai berikut:

literatur

Dalam bahasa Rusia

• Skop Z.A. Miniatur geometris. M., 1990
• Yelensky Sh. Mengikuti jejak Pythagoras. M., 1961
• Van der Waerden B.L. Ilmu Kebangkitan. Matematika Mesir Kuno, Babel dan Yunani. M., 1959
• Glazer G.I. Sejarah matematika di sekolah. M., 1982
• W. Litzman, "Teorema Pythagoras" M., 1960.
  • Sebuah situs tentang teorema Pythagoras dengan sejumlah besar bukti, materi diambil dari buku oleh W. Litzman, sejumlah besar gambar disajikan sebagai file grafik terpisah.
• Teorema Pythagoras dan bab tiga kali lipat Pythagoras dari buku oleh D. V. Anosov "Melihat matematika dan sesuatu darinya"
• Tentang teorema Pythagoras dan metode pembuktiannya G. Glaser, Akademisi Akademi Pendidikan Rusia, Moskow

Dalam Bahasa Inggris

• Teorema Pythagoras di WolframMathWorld
• Cut-The-Knot, bagian pada teorema Pythagoras, sekitar 70 bukti dan informasi tambahan yang ekstensif (eng.)

Yayasan Wikimedia. 2010 .

Dalam satu hal, Anda dapat seratus persen yakin bahwa ketika ditanya apa kuadrat sisi miringnya, setiap orang dewasa akan dengan berani menjawab: "Jumlah kuadrat kaki." Teorema ini tertanam kuat di benak setiap orang terpelajar, tetapi cukup meminta seseorang untuk membuktikannya, maka kesulitan bisa muncul. Oleh karena itu, mari kita mengingat dan mempertimbangkan berbagai cara untuk membuktikan teorema Pythagoras.

Sekilas tentang biografi

Teorema Pythagoras akrab bagi hampir semua orang, tetapi untuk beberapa alasan biografi orang yang membuatnya tidak begitu populer. Kami akan memperbaikinya. Karena itu, sebelum mempelajari berbagai cara membuktikan teorema Pythagoras, Anda perlu berkenalan secara singkat dengan kepribadiannya.

Pythagoras - seorang filsuf, matematikawan, pemikir, berasal dari Hari ini, sangat sulit untuk membedakan biografinya dari legenda yang dikembangkan untuk mengenang pria hebat ini. Namun sebagai berikut dari tulisan para pengikutnya, Pythagoras of Samos lahir di pulau Samos. Ayahnya adalah seorang pemotong batu biasa, tetapi ibunya berasal dari keluarga bangsawan.

Menurut legenda, kelahiran Pythagoras diprediksi oleh seorang wanita bernama Pythia, yang menghormati nama anak laki-laki itu. Menurut ramalannya, anak laki-laki yang lahir akan membawa banyak manfaat dan kebaikan bagi umat manusia. Itulah yang sebenarnya dia lakukan.

Kelahiran teorema

Di masa mudanya, Pythagoras pindah ke Mesir untuk bertemu dengan orang bijak Mesir yang terkenal di sana. Setelah bertemu dengan mereka, dia diterima untuk belajar, di mana dia mempelajari semua pencapaian besar filsafat, matematika, dan kedokteran Mesir.

Mungkin, di Mesir itulah Pythagoras terinspirasi oleh keagungan dan keindahan piramida dan menciptakan teori besarnya. Ini mungkin mengejutkan pembaca, tetapi sejarawan modern percaya bahwa Pythagoras tidak membuktikan teorinya. Tetapi dia hanya menyampaikan pengetahuannya kepada para pengikutnya, yang kemudian menyelesaikan semua perhitungan matematis yang diperlukan.

Bagaimanapun, hari ini tidak satu teknik untuk membuktikan teorema ini diketahui, tetapi beberapa sekaligus. Hari ini kita hanya bisa menebak bagaimana tepatnya orang Yunani kuno membuat perhitungan mereka, jadi di sini kita akan mempertimbangkan berbagai cara untuk membuktikan teorema Pythagoras.

teori Pitagoras

Sebelum Anda memulai perhitungan apa pun, Anda perlu mencari tahu teori mana yang harus dibuktikan. Teorema Pythagoras berbunyi seperti ini: "Dalam sebuah segitiga yang salah satu sudutnya 90 o, jumlah kuadrat kedua kakinya sama dengan kuadrat sisi miringnya."

Ada 15 cara berbeda untuk membuktikan Teorema Pythagoras secara total. Ini adalah jumlah yang cukup besar, jadi mari kita perhatikan yang paling populer di antara mereka.

Metode satu

Mari kita definisikan dulu apa yang kita miliki. Data ini juga akan berlaku untuk cara lain untuk membuktikan teorema Pythagoras, jadi Anda harus segera mengingat semua notasi yang tersedia.

Misalkan diberikan segitiga siku-siku, dengan kaki a, b dan sisi miring sama dengan c. Metode pembuktian pertama didasarkan pada fakta bahwa sebuah persegi harus ditarik dari sebuah segitiga siku-siku.

Untuk melakukan ini, Anda perlu menggambar segmen yang sama dengan kaki ke panjang kaki a, dan sebaliknya. Jadi itu harus menghasilkan dua sisi persegi yang sama. Tetap hanya menggambar dua garis paralel, dan kotak sudah siap.

Di dalam gambar yang dihasilkan, Anda perlu menggambar persegi lain dengan sisi yang sama dengan sisi miring dari segitiga aslinya. Untuk melakukan ini, dari simpul ac dan sv, Anda perlu menggambar dua segmen paralel yang sama dengan c. Dengan demikian, kita mendapatkan tiga sisi bujur sangkar, salah satunya adalah sisi miring dari segitiga siku-siku asli. Tetap hanya menggambar segmen keempat.

Berdasarkan gambar yang dihasilkan, kita dapat menyimpulkan bahwa luas persegi terluar adalah (a + b) 2. Jika Anda melihat ke dalam gambar, Anda dapat melihat bahwa selain bujur sangkar bagian dalam, ia memiliki empat segitiga siku-siku. Luas masing-masing 0,5 av.

Oleh karena itu, luasnya adalah: 4 * 0.5av + s 2 \u003d 2av + s 2

Karenanya (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

Dan, oleh karena itu, dengan 2 \u003d a 2 + di 2

Teorema telah terbukti.

Metode dua: segitiga sebangun

Rumus untuk pembuktian teorema Pythagoras ini diturunkan berdasarkan pernyataan dari bagian geometri tentang segitiga-segitiga yang sebangun. Dikatakan bahwa kaki segitiga siku-siku adalah rata-rata yang sebanding dengan sisi miringnya dan segmen sisi miring yang berasal dari titik sudut 90o.

Data awal tetap sama, jadi mari kita mulai dengan buktinya. Mari kita menggambar segmen CD tegak lurus dengan sisi AB. Berdasarkan pernyataan di atas, panjang kaki segitiga adalah:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

Untuk menjawab pertanyaan bagaimana membuktikan teorema Pythagoras, pembuktian harus dilakukan dengan mengkuadratkan kedua pertidaksamaan.

AC 2 \u003d AB * NERAKA dan SV 2 \u003d AB * DV

Sekarang kita perlu menambahkan ketidaksetaraan yang dihasilkan.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), di mana AD + DV \u003d AB

Ternyata:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

Dan maka dari itu:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Pembuktian teorema Pythagoras dan berbagai cara penyelesaiannya memerlukan pendekatan serbaguna untuk masalah ini. Namun, opsi ini adalah salah satu yang paling sederhana.

Metode perhitungan lain

Deskripsi berbagai cara untuk membuktikan teorema Pythagoras mungkin tidak berarti apa-apa, sampai Anda mulai berlatih sendiri. Banyak metode tidak hanya melibatkan perhitungan matematis, tetapi juga konstruksi angka baru dari segitiga asli.

Dalam hal ini, perlu untuk menyelesaikan VSD segitiga siku-siku lainnya dari kaki pesawat. Jadi, sekarang ada dua segitiga dengan kaki yang sama BC.

Diketahui luas bangun-bangun yang sejenis mempunyai perbandingan sebagai kuadrat dari dimensi-dimensi liniernya yang serupa, maka:

S avs * s 2 - S vd * dalam 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (dari 2 hingga 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

dari 2 hingga 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + dalam 2

Karena opsi ini hampir tidak cocok dari berbagai metode pembuktian teorema Pythagoras untuk kelas 8, Anda dapat menggunakan teknik berikut.

Cara termudah untuk membuktikan teorema Pythagoras. Ulasan

Sejarawan percaya bahwa metode ini pertama kali digunakan untuk membuktikan teorema di Yunani kuno. Ini adalah yang paling sederhana, karena sama sekali tidak memerlukan perhitungan apa pun. Jika Anda menggambar dengan benar, maka bukti pernyataan bahwa a 2 + b 2 \u003d c 2 akan terlihat jelas.

Kondisi untuk metode ini akan sedikit berbeda dari yang sebelumnya. Untuk membuktikan teorema, misalkan segitiga siku-siku ABC adalah segitiga sama kaki.

Kami mengambil sisi miring AC sebagai sisi bujur sangkar dan menggambar ketiga sisinya. Selain itu, perlu untuk menggambar dua garis diagonal di kotak yang dihasilkan. Sehingga di dalamnya Anda mendapatkan empat segitiga sama kaki.

Untuk kaki AB dan CB, Anda juga perlu menggambar persegi dan menggambar satu garis diagonal di masing-masingnya. Kami menggambar garis pertama dari simpul A, yang kedua - dari C.

Sekarang Anda perlu hati-hati melihat gambar yang dihasilkan. Karena ada empat segitiga di sisi miring AC, sama dengan yang asli, dan dua di kaki, ini menunjukkan kebenaran teorema ini.

Ngomong-ngomong, berkat metode pembuktian teorema Pythagoras ini, lahirlah ungkapan terkenal: "Celana Pythagoras sama ke segala arah."

Bukti oleh J. Garfield

James Garfield adalah Presiden Amerika Serikat ke-20. Selain meninggalkan jejaknya dalam sejarah sebagai penguasa Amerika Serikat, ia juga berbakat otodidak.

Pada awal karirnya, ia adalah seorang guru biasa di sekolah rakyat, tetapi segera menjadi direktur salah satu lembaga pendidikan tinggi. Keinginan untuk pengembangan diri dan memungkinkan dia untuk menawarkan teori baru pembuktian teorema Pythagoras. Teorema dan contoh penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

Pertama, Anda perlu menggambar dua segitiga siku-siku di selembar kertas sehingga kaki salah satunya adalah kelanjutan dari yang kedua. Titik sudut segitiga ini perlu dihubungkan untuk mendapatkan trapesium.

Seperti yang Anda ketahui, luas trapesium sama dengan produk setengah jumlah alasnya dan tingginya.

S=a+b/2 * (a+b)

Jika kita menganggap trapesium yang dihasilkan sebagai gambar yang terdiri dari tiga segitiga, maka luasnya dapat ditemukan sebagai berikut:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Sekarang kita perlu menyamakan dua ekspresi asli

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + dalam 2

Lebih dari satu volume buku teks dapat ditulis tentang teorema Pythagoras dan bagaimana membuktikannya. Tetapi apakah masuk akal bila pengetahuan ini tidak dapat dipraktikkan?

Aplikasi praktis dari teorema Pythagoras

Sayangnya, kurikulum sekolah modern menyediakan penggunaan teorema ini hanya dalam masalah geometris. Lulusan akan segera meninggalkan tembok sekolah tanpa mengetahui bagaimana mereka dapat menerapkan pengetahuan dan keterampilan mereka dalam praktik.

Sebenarnya, setiap orang dapat menggunakan teorema Pythagoras dalam kehidupan sehari-hari. Dan tidak hanya dalam kegiatan profesional, tetapi juga dalam pekerjaan rumah tangga biasa. Mari kita pertimbangkan beberapa kasus ketika teorema Pythagoras dan metode pembuktiannya bisa sangat diperlukan.

Hubungan teorema dan astronomi

Tampaknya bagaimana bintang dan segitiga dapat dihubungkan di atas kertas. Faktanya, astronomi adalah bidang ilmiah di mana teorema Pythagoras banyak digunakan.

Misalnya, perhatikan gerakan berkas cahaya di ruang angkasa. Kita tahu bahwa cahaya merambat ke dua arah dengan kecepatan yang sama. Kami menyebut lintasan AB di mana sinar cahaya bergerak aku. Dan separuh waktu yang diperlukan cahaya untuk berpindah dari titik A ke titik B, sebut saja t. Dan kecepatan balok - c. Ternyata: c*t=l

Jika Anda melihat sinar yang sama ini dari bidang lain, misalnya, dari pesawat luar angkasa yang bergerak dengan kecepatan v, maka dengan pengamatan benda-benda seperti itu, kecepatannya akan berubah. Dalam hal ini, bahkan elemen stasioner akan bergerak dengan kecepatan v dalam arah yang berlawanan.

Katakanlah komik liner berlayar ke kanan. Kemudian titik A dan B, di mana sinar bergegas, akan bergerak ke kiri. Selain itu, ketika balok bergerak dari titik A ke titik B, titik A memiliki waktu untuk bergerak dan, dengan demikian, cahaya akan tiba di titik C yang baru. Untuk menemukan setengah jarak perpindahan titik A, Anda perlu mengalikan kecepatan liner dengan setengah waktu tempuh balok (t").

Dan untuk menemukan seberapa jauh seberkas cahaya dapat melakukan perjalanan selama waktu ini, Anda perlu menentukan setengah jalur dari pohon beech baru dan mendapatkan ekspresi berikut:

Jika kita membayangkan bahwa titik-titik cahaya C dan B, serta garis luar angkasa, adalah titik-titik sudut segitiga sama kaki, maka ruas dari titik A ke garis akan membaginya menjadi dua segitiga siku-siku. Oleh karena itu, berkat teorema Pythagoras, Anda dapat menemukan jarak yang dapat ditempuh oleh sinar cahaya.

Contoh ini, tentu saja, bukanlah yang paling berhasil, karena hanya sedikit yang beruntung untuk mencobanya dalam praktik. Oleh karena itu, kami mempertimbangkan aplikasi yang lebih biasa dari teorema ini.

Jangkauan transmisi sinyal seluler

Kehidupan modern tidak bisa lagi dibayangkan tanpa adanya smartphone. Tetapi seberapa besar manfaatnya jika mereka tidak dapat menghubungkan pelanggan melalui komunikasi seluler?!

Kualitas komunikasi seluler secara langsung tergantung pada ketinggian antena operator seluler. Untuk menghitung seberapa jauh dari menara seluler ponsel dapat menerima sinyal, Anda dapat menerapkan teorema Pythagoras.

Katakanlah Anda perlu menemukan perkiraan ketinggian menara stasioner sehingga dapat menyebarkan sinyal dalam radius 200 kilometer.

AB (tinggi menara) = x;

BC (radius transmisi sinyal) = 200 km;

OS (radius globe) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Menerapkan teorema Pythagoras, kami menemukan bahwa ketinggian minimum menara harus 2,3 kilometer.

Teorema Pythagoras dalam kehidupan sehari-hari

Anehnya, teorema Pythagoras dapat berguna bahkan dalam masalah sehari-hari, seperti menentukan ketinggian lemari, misalnya. Sepintas, tidak perlu menggunakan perhitungan rumit seperti itu, karena Anda cukup melakukan pengukuran dengan pita pengukur. Tetapi banyak yang terkejut mengapa masalah tertentu muncul selama proses perakitan jika semua pengukuran dilakukan lebih dari akurat.

Faktanya adalah bahwa lemari pakaian dirakit dalam posisi horizontal dan baru kemudian naik dan dipasang di dinding. Oleh karena itu, dinding samping kabinet dalam proses mengangkat struktur harus bebas melewati ketinggian dan diagonal ruangan.

Misalkan ada lemari pakaian dengan kedalaman 800 mm. Jarak dari lantai ke langit-langit - 2600 mm. Pembuat furnitur berpengalaman akan mengatakan bahwa ketinggian kabinet harus kurang dari 126 mm dari ketinggian ruangan. Tapi kenapa tepatnya 126 mm? Mari kita lihat sebuah contoh.

Dengan dimensi kabinet yang ideal, mari kita periksa operasi teorema Pythagoras:

AC \u003d AB 2 + BC 2

AC \u003d 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - semuanya menyatu.

Misalkan tinggi kabinet bukan 2.474 mm, melainkan 2.505 mm. Kemudian:

AC \u003d 2505 2 + 800 2 \u003d 2629 mm.

Oleh karena itu, kabinet ini tidak cocok untuk dipasang di ruangan ini. Karena ketika mengangkatnya ke posisi vertikal, kerusakan pada tubuhnya dapat terjadi.

Mungkin, setelah mempertimbangkan berbagai cara untuk membuktikan teorema Pythagoras oleh para ilmuwan yang berbeda, kita dapat menyimpulkan bahwa itu lebih dari benar. Sekarang Anda dapat menggunakan informasi yang diterima dalam kehidupan sehari-hari Anda dan benar-benar yakin bahwa semua perhitungan tidak hanya berguna, tetapi juga benar.