Temukan luas permukaan yang dibentuk oleh rotasi sekitar x. Luas permukaan rotasi untuk garis yang ditentukan secara parametrik

Rumus ini disebut rumus volume benda dalam hal luas bagian paralel.

Contoh. Hitunglah volume elipsoid x 2 + y 2 + z 2 = 1 . sebuah 2b 2c 2

Memotong ellipsoid dengan bidang yang sejajar dengan bidang Oyz dan pada jarak darinya (-a x a), kita mendapatkan elips (lihat Gambar 15):

Luas elips ini adalah


S(x) = bc1

Oleh karena itu, menurut rumus (16), kita memiliki

Menghitung luas permukaan revolusi

Biarkan kurva AB menjadi grafik fungsi y \u003d f (x) 0, di mana x [a, b], fungsi y \u003d f (x) dan turunannya y "\u003d f" (x) adalah terus menerus pada segmen ini.

Kemudian luas permukaan S yang dibentuk oleh rotasi kurva AB di sekitar sumbu Ox dihitung dengan rumus



		2 pi			1 +(y ) 2 dx .

Jika kurva AB diberikan oleh persamaan parametrik x = x (t), y = y (t), t 1 t t 2, maka rumus luas permukaan rotasi berbentuk

S x = 2 ∫ y (t )(x (t ))2 + (y (t ))2 dt .

Contoh Cari luas permukaan bola berjari-jari R. Solusi:

Kita dapat mengasumsikan bahwa permukaan bola dibentuk oleh rotasi setengah lingkaran y \u003d R 2 - x 2, - R x R, di sekitar sumbu . Dengan rumus (19) kita menemukan

			x

S = 2		R2−x21 +			dx=
				x
	R			x

2 R2 x2 + x2 dx= 2 Rx− R R = 4 R2 .

Contoh. Diberikan sikloid x = a (t sin t ), 0 t 2 . y = a (1− biaya ),

Temukan luas permukaan yang dibentuk oleh rotasinya terhadap sumbu x. Keputusan:

Ketika setengah dari busur cycloid berputar di sekitar sumbu Ox, luas permukaan rotasi sama dengan

1S x

2π a (1− biaya )

(a(1 cos t)) 2 + (asin t) 2 dt=

2 a 2

2 sin2 t

2 biaya + cos2

t + sin 2 tdt=

4 a 2

dosa2

2 2sin2 t dt = 8π a 2

sin2 t

dosa untuk

tt =

= 8 a 2

cos

dcos

= 16 a

32π

= 16 a

0 −

1− 0+

= 16 a

1 S x = 32 a 2 . Karena itu,

64 a 2 .

Menghitung Panjang Busur dari Kurva Planar

Koordinat persegi panjang

Biarkan dalam busur, ketika jumlah tautan polyline meningkat tanpa batas, dan panjang koordinat persegi panjang terbesar adalah kurva bidang AB, persamaannya adalah y \u003d f (x), di mana, a x b .

Panjang busur AB dipahami sebagai batas di mana panjang garis putus-putus yang tertulis dalam tautan ini cenderung nol. Mari kita tunjukkan bahwa jika fungsi y \u003d f (x) dan turunannya y′ = f′ (x) kontinu pada segmen [a , b ], maka kurva AB memiliki panjang yang sama dengan

Jika persamaan kurva AB diberikan dalam bentuk parametrik

x = x(t) , ≤ t , y= y(t) ,

di mana x (t) dan y (t) adalah fungsi kontinu dengan turunan kontinu dan x (α) \u003d a, x (β) \u003d b, maka panjang l kurva AB ditemukan dengan rumus

(x (t ))2 + (y (t ))2 dt . = R arcsin

π .

Jadi, l = 2π R. Jika persamaan lingkaran ditulis dalam bentuk parametrik = R biaya, y = R sint (0 t 2π ), maka

	(− Rssin t) 2 + (Rcos t) 2 dt= Rt0 2 = 2 R.
l =	(− Rssin t) 2 + (Rcos t) 2 dt= Rt0 2 = 2 R.

Koordinat kutub

Biarkan kurva AB diberikan oleh persamaan dalam koordinat kutub r =r (ϕ ),α ≤ ϕ . Asumsikan bahwa r (ϕ ) dan r" (ϕ ) kontinu pada interval [α ,β ].

Jika dalam persamaan x \u003d r cosϕ, y \u003d r sinϕ, menghubungkan koordinat kutub dan Cartesian,

pertimbangkan sudut sebagai parameter, maka kurva AB dapat diatur secara parametrik x = r (ϕ ) cos ,

y = r (ϕ ) sinϕ .

Menerapkan rumus (15), kita memperoleh l = r 2 + r 2 d .

Contoh Cari panjang cardioid r =a (1 + cosϕ ). Keputusan:

Kardioid r \u003d a (1 + cosϕ ) memiliki bentuk yang ditunjukkan pada Gambar 14. Bentuknya simetris terhadap sumbu kutub. Temukan setengah panjang cardioid:

1 liter =	π∫	(a (1 + cos ))2 + (a ( sin ))2 d =

Sebuah	2 + 2cosϕ d =a		2 2cos2 d =

2a / cosϕ d = 4a sinϕ
2a / cosϕ d = 4a sinϕ

Jadi, 1 2 l = 4 a . Jadi l = 8a.

5. Mencari luas permukaan benda revolusi

Biarkan kurva AB menjadi grafik fungsi y = f(x) 0, di mana x [a; b], dan fungsi y \u003d f (x) dan turunannya y "\u003d f" (x) kontinu pada segmen ini.

Mari kita cari luas S dari permukaan yang dibentuk oleh rotasi kurva AB di sekitar sumbu Ox (Gbr. 8).

Kami menerapkan skema II (metode diferensial).

Melalui sembarang titik x [a; b] mari menggambar bidang P tegak lurus terhadap sumbu Ox. Bidang P memotong permukaan revolusi sepanjang lingkaran dengan jari-jari y - f(x). Nilai S dari permukaan bagian dari gambar revolusi yang terletak di sebelah kiri bidang adalah fungsi dari x, yaitu. s = s(x) (s(a) = 0 dan s(b) = S).

Mari kita berikan argumen x kenaikan = dх. Melalui titik x + dx [a; b] juga menggambar bidang yang tegak lurus terhadap sumbu x. Fungsi s = s(x) akan menerima kenaikan sebesar s, yang ditunjukkan pada gambar sebagai "sabuk".

Mari kita cari diferensial dari luas ds, menggantikan gambar yang dibentuk di antara bagian-bagian dengan kerucut terpotong, yang generatrixnya sama dengan dl, dan jari-jari alasnya sama dengan y dan y + dy. Luas permukaan lateralnya adalah: = 2ydl + dydl.

Membuang produk dу d1 sebagai orde yang sangat kecil dari ds, kita memperoleh ds = 2уdl, atau, karena d1 = dx.

Mengintegrasikan persamaan yang dihasilkan dalam rentang dari x = a ke x = b, kita peroleh

Jika kurva AB diberikan oleh persamaan parametrik x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, maka rumus luas permukaan putaran menjadi

S=2 dt.

Contoh: Temukan luas permukaan bola dengan jari-jari R.

S=2 =

6. Menemukan pekerjaan gaya variabel

Kerja gaya variabel

Biarkan titik material M bergerak sepanjang sumbu Ox di bawah aksi gaya variabel F = F(x) yang diarahkan sejajar dengan sumbu ini. Usaha yang dilakukan oleh gaya ketika memindahkan titik M dari posisi x = a ke posisi x = b (a

Berapa usaha yang harus dilakukan untuk meregangkan pegas sebesar 0,05 m jika gaya 100 N meregangkan pegas sebesar 0,01 m?

Menurut hukum Hooke, gaya elastis yang meregangkan pegas sebanding dengan regangan x ini, yaitu. F = kx, di mana k adalah koefisien proporsionalitas. Sesuai dengan kondisi soal, gaya F = 100 N meregangkan pegas sebesar x = 0,01 m; oleh karena itu, 100 = k 0,01, dari mana k = 10.000; oleh karena itu, F = 10000x.

Pekerjaan yang diinginkan berdasarkan rumus

A =

Cari kerja yang harus dikeluarkan untuk memompa cairan melewati tepi tangki silinder vertikal dengan tinggi H m dan jari-jari alas R m (Gbr. 13).

Usaha yang dilakukan untuk menaikkan berat benda p ke ketinggian h sama dengan p H. Tetapi berbagai lapisan cairan dalam tangki berada pada kedalaman yang berbeda dan ketinggian kenaikan (ke tepi tangki) dari lapisan yang berbeda tidak sama.

Untuk mengatasi masalah tersebut, kami menerapkan skema II (metode diferensial). Kami memperkenalkan sistem koordinat.

1) Usaha yang dilakukan untuk memompa keluar lapisan zat cair dengan ketebalan x (0 x H) dari tangki merupakan fungsi dari x, yaitu A \u003d A (x), di mana (0 x H) (A (0) \u003d 0, A (H) \u003d A 0).

2) Kami menemukan bagian utama dari kenaikan A ketika x berubah dengan x = dx, yaitu. kita temukan dA diferensial dari fungsi A(x).

Mengingat kecilnya dx, kita asumsikan bahwa lapisan cairan "dasar" berada pada kedalaman yang sama x (dari tepi reservoir). Maka dА = dрх, di mana dр adalah berat lapisan ini; itu sama dengan g AV, di mana g adalah percepatan jatuh bebas, adalah kerapatan cairan, dv adalah volume lapisan cairan "dasar" (disorot pada gambar), mis. dr = g. Volume lapisan cairan ini jelas sama dengan , di mana dx adalah ketinggian silinder (lapisan), adalah luas alasnya, mis. dv = .

Jadi, dр = . dan

3) Mengintegrasikan kesetaraan yang dihasilkan dalam rentang dari x \u003d 0 hingga x \u003d H, kami menemukan

8. Perhitungan integral menggunakan paket MathCAD

Ketika memecahkan beberapa masalah yang diterapkan, diperlukan untuk menggunakan operasi integrasi simbolik. Dalam hal ini, program MathCad dapat bermanfaat baik pada tahap awal (ada baiknya untuk mengetahui jawabannya terlebih dahulu atau mengetahui bahwa itu ada) dan pada tahap akhir (ada baiknya untuk memeriksa hasil yang diperoleh dengan menggunakan jawaban dari orang lain. sumber atau solusi orang lain).

Saat memecahkan sejumlah besar masalah, Anda dapat melihat beberapa fitur pemecahan masalah menggunakan program MathCad. Mari kita coba memahami dengan beberapa contoh cara kerja program ini, menganalisis solusi yang diperoleh dengan bantuannya dan membandingkan solusi ini dengan solusi yang diperoleh dengan cara lain.

Masalah utama saat menggunakan program MathCad adalah sebagai berikut:

a) program memberikan jawaban tidak dalam bentuk fungsi dasar yang sudah dikenal, tetapi dalam bentuk fungsi khusus yang jauh dari diketahui semua orang;

b) dalam beberapa kasus "menolak" untuk memberikan jawaban, meskipun masalah memiliki solusi;

c) terkadang tidak mungkin untuk menggunakan hasil yang diperoleh karena ukurannya yang besar;

d) memecahkan masalah tidak lengkap dan tidak menganalisis solusi.

Untuk mengatasi masalah ini, perlu menggunakan kekuatan dan kelemahan program.

Dengan bantuannya, mudah dan sederhana untuk menghitung integral dari fungsi rasional pecahan. Oleh karena itu, disarankan untuk menggunakan metode substitusi variabel, yaitu mempersiapkan integral untuk solusi. Untuk tujuan ini, substitusi yang dibahas di atas dapat digunakan. Juga harus diingat bahwa hasil yang diperoleh harus diperiksa untuk kebetulan dari domain definisi fungsi asli dan hasil yang diperoleh. Selain itu, beberapa solusi yang diperoleh memerlukan penelitian tambahan.

Program MathCad membebaskan siswa atau peneliti dari pekerjaan rutin, tetapi tidak dapat membebaskannya dari analisis tambahan baik saat menetapkan masalah maupun saat memperoleh hasil apa pun.

Dalam makalah ini, ketentuan utama yang berkaitan dengan studi aplikasi integral tertentu dalam pelajaran matematika dipertimbangkan.

– analisis dasar teoretis untuk memecahkan integral dilakukan;

- materi menjadi sasaran sistematisasi dan generalisasi.

Selama pekerjaan kursus, contoh masalah praktis di bidang fisika, geometri, mekanika dipertimbangkan.

Kesimpulan

Contoh-contoh masalah praktis yang dipertimbangkan di atas memberi kita gambaran yang jelas tentang pentingnya integral tertentu untuk solvabilitasnya.

Sulit untuk menyebutkan bidang ilmiah di mana metode kalkulus integral, secara umum, dan sifat-sifat integral tertentu, khususnya, tidak akan diterapkan. Maka dalam proses pengerjaan tugas mata kuliah tersebut, kami mempertimbangkan contoh-contoh masalah praktis di bidang fisika, geometri, mekanika, biologi dan ekonomi. Tentu saja, ini sama sekali bukan daftar lengkap ilmu yang menggunakan metode integral untuk menemukan nilai yang ditetapkan saat memecahkan masalah tertentu, dan untuk menetapkan fakta teoretis.

Juga, integral tertentu digunakan untuk mempelajari matematika itu sendiri. Misalnya, ketika memecahkan persamaan diferensial, yang, pada gilirannya, memberikan kontribusi yang sangat diperlukan untuk memecahkan masalah konten praktis. Kita dapat mengatakan bahwa integral tertentu adalah semacam dasar untuk studi matematika. Oleh karena itu pentingnya mengetahui bagaimana menyelesaikannya.

Dari semua hal di atas, jelas mengapa pengenalan integral tertentu terjadi bahkan dalam kerangka rata-rata sekolah Menengah, dimana siswa belajar tidak hanya konsep integral dan sifat-sifatnya, tetapi juga beberapa penerapannya.

literatur

1. Volkov E.A. Metode numerik. M., Nauka, 1988.

2. Piskunov N.S. Kalkulus Diferensial dan Integral. M., Integral-Press, 2004. T. 1.

3. Shipachev V.S. Matematika Tinggi. M., Sekolah Tinggi, 1990.

Oleh karena itu, saya akan langsung beralih ke konsep dasar dan contoh praktisnya.

Mari kita lihat gambar sederhana

Dan ingat: apa yang bisa dihitung menggunakan integral tertentu?

Pertama-tama, tentu saja, luas trapesium melengkung. Dikenal sejak zaman sekolah.

Jika angka ini berputar di sekitar sumbu koordinat, maka kita sudah berbicara tentang menemukan tubuh revolusi. Ini juga sederhana.

Apa lagi? Baru-baru ini ditinjau masalah panjang busur .

Dan hari ini kita akan belajar cara menghitung satu karakteristik lagi - satu area lagi. Bayangkan garis itu berputar sekitar sumbu. Sebagai hasil dari tindakan ini, diperoleh sosok geometris, yang disebut permukaan revolusi. Dalam hal ini, itu menyerupai pot tanpa dasar. Dan tidak ada penutup. Seperti yang dikatakan keledai Eeyore, pemandangan yang memilukan =)

Untuk menghilangkan interpretasi yang ambigu, saya akan membuat klarifikasi yang membosankan tetapi penting:

dari sudut pandang geometris, "panci" kami memiliki sangat tipis dinding dan dua permukaan dengan area yang sama - eksternal dan internal. Jadi, semua perhitungan lebih lanjut menyiratkan luas hanya permukaan luar.

Dalam sistem koordinat persegi panjang, luas permukaan rotasi dihitung dengan rumus:

atau, lebih ringkas: .

Persyaratan yang sama dikenakan pada fungsi dan turunannya seperti ketika menemukan panjang busur kurva, tetapi, selain itu, kurva harus ditempatkan lebih tinggi sumbu. Ini signifikan! Sangat mudah untuk memahami bahwa jika garis itu terletak di bawah sumbu, maka integran akan negatif: , dan oleh karena itu tanda minus harus ditambahkan ke rumus untuk mempertahankan arti geometris dari soal.

Pertimbangkan sosok yang tidak pantas diabaikan:

Luas permukaan torus

Pendeknya, tor adalah bagel. Contoh buku teks, yang dipertimbangkan di hampir semua buku teks matan, didedikasikan untuk menemukan volume torus, dan oleh karena itu, demi variasi, saya akan menganalisis masalah yang lebih jarang dari luas permukaannya. Pertama dengan nilai numerik tertentu:

Contoh 1

Hitung luas permukaan torus yang diperoleh dengan memutar lingkaran sekitar sumbu.

Keputusan: bagaimana kamu tahu persamaannya set lingkaran radius satuan berpusat di . Ini memudahkan untuk mendapatkan dua fungsi:

– mengatur setengah lingkaran atas;
– mengatur setengah lingkaran bawah:

Esensinya sangat jernih: lingkaran berputar pada sumbu x dan membentuk permukaan bagel. Satu-satunya hal di sini, untuk menghindari reservasi kotor, adalah berhati-hati dalam terminologi: jika Anda memutar sebuah lingkaran, dibatasi oleh lingkaran , maka Anda mendapatkan geometris tubuh, yaitu bagel itu sendiri. Dan sekarang bicara tentang persegi itu permukaan, yang jelas perlu dihitung sebagai jumlah dari luas:

1) Temukan luas permukaan, yang diperoleh dengan memutar busur "biru" sekitar sumbu x. Kami menggunakan rumus . Seperti yang telah saya sarankan berulang kali, lebih mudah untuk melakukan tindakan secara bertahap:

Kami mengambil fungsi dan temukan itu turunan:

Dan akhirnya, kami memuat hasilnya ke dalam rumus:

Perhatikan bahwa dalam hal ini ternyata lebih rasional menggandakan integral dari fungsi genap selama penyelesaian, daripada membahas sebelumnya simetri gambar sehubungan dengan sumbu y.

2) Temukan luas permukaan, yang diperoleh dengan memutar busur "merah" sekitar sumbu x. Semua tindakan sebenarnya akan berbeda hanya dengan satu tanda. Saya akan merancang solusi dalam gaya yang berbeda, yang, tentu saja, juga memiliki hak untuk hidup:

3) Jadi, luas permukaan torus:

Menjawab:

Masalahnya dapat diselesaikan secara umum - untuk menghitung luas permukaan torus yang diperoleh dengan memutar lingkaran di sekitar sumbu absis, dan dapatkan jawabannya . Namun, untuk kejelasan dan kesederhanaan yang lebih besar, saya melakukan solusi pada nomor tertentu.

Jika Anda perlu menghitung volume donat itu sendiri, silakan lihat tutorial sebagai referensi cepat:

Menurut pernyataan teoretis, kami mempertimbangkan setengah lingkaran atas. Itu "ditarik" ketika mengubah nilai parameter di dalamnya (mudah untuk melihat bahwa pada interval ini), dengan demikian:

Menjawab:

Jika kita memecahkan masalah secara umum, kita mendapatkan dengan tepat rumus sekolah untuk luas bola, di mana jari-jarinya.

Sesuatu yang menyakitkan masalah sederhana, bahkan merasa malu .... Saya sarankan Anda memperbaiki bug ini =)

Contoh 4

Hitung luas permukaan yang diperoleh dengan memutar busur pertama cycloid di sekitar sumbu.

Tugasnya kreatif. Cobalah untuk menyimpulkan atau menggunakan rumus untuk menghitung luas permukaan yang diperoleh dengan memutar kurva di sekitar sumbu y. Dan, tentu saja, keuntungan dari persamaan parametrik harus diperhatikan lagi - mereka tidak perlu dimodifikasi entah bagaimana; tidak perlu repot mencari batasan integrasi lainnya.

Grafik cycloid dapat dilihat di halaman Luas dan volume jika garis diatur secara parametrik. Permukaan rotasi akan menyerupai ... Saya bahkan tidak tahu harus membandingkannya dengan apa ... sesuatu yang tidak wajar - bulat dengan depresi runcing di tengahnya. Di sini, untuk kasus rotasi cycloid di sekitar sumbu, asosiasi langsung muncul di pikiran - bola rugby lonjong.

Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Kami menyimpulkan ulasan menarik kami dengan sebuah kasus koordinat kutub. Ya, ini adalah ulasan, jika Anda melihat ke dalam buku teks tentang analisis matematika (oleh Fikhtengolts, Bokhan, Piskunov, dan penulis lain), Anda bisa mendapatkan selusin (atau bahkan lebih) contoh standar, di antaranya sangat mungkin Anda akan menemukan masalah yang Anda butuhkan.

Cara menghitung luas permukaan revolusi,
jika garis diberikan dalam sistem koordinat kutub?

Jika kurva diatur ke koordinat kutub persamaan , dan fungsi memiliki turunan kontinu pada interval tertentu, maka luas permukaan yang diperoleh dengan memutar kurva ini di sekitar sumbu kutub dihitung dengan rumus , di mana adalah nilai sudut yang sesuai dengan ujung kurva.

Sesuai dengan arti geometris soal, integral , dan ini dicapai hanya jika ( dan diketahui non-negatif). Oleh karena itu, perlu untuk mempertimbangkan nilai sudut dari rentang, dengan kata lain, kurva harus ditempatkan lebih tinggi sumbu kutub dan ekstensinya. Seperti yang Anda lihat, cerita yang sama seperti dalam dua paragraf sebelumnya.

Contoh 5

Hitung luas permukaan yang dibentuk oleh rotasi cardioid di sekitar sumbu kutub.

Keputusan: grafik kurva ini dapat dilihat pada Contoh 6 pelajaran tentang sistem koordinat kutub. Kardioid adalah simetris terhadap sumbu kutub, jadi kami mempertimbangkan bagian atasnya pada celah (yang, pada kenyataannya, juga disebabkan oleh pernyataan di atas).

Permukaan rotasi akan menyerupai bullseye.

Teknik penyelesaiannya standar. Mari kita cari turunan sehubungan dengan "phi":

Tulis dan sederhanakan akarnya:

Saya berharap dengan supernumerary

Salam, mahasiswa Universitas Argemony yang terkasih!

Hari ini kita akan terus mempelajari materialisasi objek. Terakhir kali kami memutar gambar datar dan mendapatkan benda tiga dimensi. Beberapa di antaranya sangat menggoda dan bermanfaat. Saya pikir banyak yang ditemukan oleh pesulap dapat digunakan di masa depan.

Hari ini kita akan memutar kurva. Jelas bahwa dengan cara ini kita bisa mendapatkan semacam objek dengan tepi yang sangat tipis (kerucut atau botol untuk ramuan, vas untuk bunga, gelas untuk minuman, dll.), karena kurva yang berputar dapat membuat objek seperti itu saja. . Dengan kata lain, dengan memutar kurva, kita bisa mendapatkan semacam permukaan - tertutup di semua sisi atau tidak. Mengapa sekarang aku teringat cangkir berlubang yang selalu diminum Sir Shurf Lonley-Lockley.

Jadi kita akan membuat mangkuk bocor dan tidak berlubang, dan menghitung luas permukaan yang dibuat. Saya pikir untuk beberapa alasan itu (secara umum, luas permukaan) akan dibutuhkan - yah, setidaknya untuk menerapkan cat ajaib khusus. Di sisi lain, area artefak magis mungkin diperlukan untuk menghitung kekuatan magis yang diterapkan padanya atau sesuatu yang lain. Kita akan belajar bagaimana menemukannya, dan kita akan menemukan di mana menerapkannya.

Jadi, sepotong parabola dapat memberi kita bentuk mangkuk. Mari kita ambil y=x 2 yang paling sederhana pada interval . Dapat dilihat bahwa ketika berputar di sekitar sumbu OY, hanya mangkuk yang diperoleh. Tidak ada bagian bawah.

Mantra untuk menghitung luas permukaan rotasi adalah sebagai berikut:

Di sini |y| adalah jarak dari sumbu rotasi ke setiap titik pada kurva yang berputar. Seperti yang Anda ketahui, jarak adalah garis tegak lurus.
Sedikit lebih sulit dengan elemen mantra kedua: ds adalah diferensial busur. Kata-kata ini tidak memberi kita apa-apa, jadi jangan repot-repot, tetapi beralihlah ke bahasa rumus, di mana diferensial ini secara eksplisit disajikan untuk semua kasus yang kita ketahui:
- Sistem koordinasi cartesian;
- catatan kurva dalam bentuk parametrik;
- sistem koordinat kutub.

Untuk kasus kita, jarak dari sumbu rotasi ke sembarang titik pada kurva adalah x. Kami mempertimbangkan luas permukaan mangkuk berlubang yang dihasilkan:

Untuk membuat mangkuk dengan bagian bawah, Anda perlu mengambil bagian lain, tetapi dengan kurva yang berbeda: pada interval, ini adalah garis y=1.

Jelas bahwa ketika berputar di sekitar sumbu OY, bagian bawah mangkuk akan diperoleh dalam bentuk lingkaran dengan radius satuan. Dan kita tahu cara menghitung luas lingkaran (menurut rumus pi * r ^ 2. Untuk kasus kami, luas lingkaran akan sama dengan pi), tetapi kami akan menghitungnya menggunakan formula baru - untuk verifikasi.
Jarak dari sumbu rotasi ke sembarang titik pada potongan kurva ini juga x.

Nah, perhitungan kami benar, yang menyenangkan.

Dan sekarang pekerjaan rumah.

1. Temukan luas permukaan yang diperoleh dengan memutar polyline ABC, di mana A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), di sekitar sumbu OX.
Nasihat. Catat semua segmen dalam bentuk parametrik.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
SM: x=t, y=2, 1≤t≤6
Omong-omong, seperti apa item yang dihasilkan?

2. Nah, sekarang buatlah sesuatu sendiri. Tiga item, saya pikir, sudah cukup.

I. Volume badan revolusi. Studi pendahuluan, menurut buku teks karya G. M. Fikhtengolts, Bab XII, p ° p ° 197, 198 * Menganalisis secara rinci contoh-contoh yang diberikan dalam p ° 198.

508. Hitung volume benda yang dibentuk oleh rotasi elips di sekitar sumbu x.

Dengan demikian,

530. Temukan luas permukaan yang dibentuk oleh rotasi di sekitar sumbu Ox dari busur sinusoida y \u003d sin x dari titik X \u003d 0 ke titik X \u003d It.

531. Hitung luas permukaan kerucut dengan tinggi h dan jari-jari r.

532. Hitung luas permukaan yang dibentuk oleh

rotasi astroid x3 -) - y* - a3 mengelilingi sumbu x.

533. Hitung luas permukaan yang dibentuk oleh inversi loop dari kurva 18 y-x(6-x)r di sekitar sumbu x.

534. Temukan permukaan torus yang dihasilkan oleh rotasi lingkaran X2 - j - (y-3)2 = 4 mengelilingi sumbu x.

535. Hitung luas permukaan yang dibentuk oleh rotasi lingkaran X = a cost, y = asint di sekitar sumbu Ox.

536. Hitung luas permukaan yang dibentuk oleh rotasi loop dari kurva x = 9t2, y = St - 9t3 di sekitar sumbu Ox.

537. Temukan luas permukaan yang dibentuk oleh rotasi busur kurva x = e * sint, y = el cost di sekitar sumbu Ox

dari t = 0 sampai t = -.

538. Tunjukkan bahwa permukaan yang dihasilkan oleh rotasi busur sikloid x = a (q> - sin ), y = a (I - cos ) di sekitar sumbu Oy, sama dengan 16 u2 o2.

539. Temukan permukaan yang diperoleh dengan memutar cardioid di sekitar sumbu kutub.

540. Temukan luas permukaan yang dibentuk oleh rotasi lemniscate sekitar sumbu kutub.