Pada artikel ini, kita akan membahas secara rinci salah satu konsep utama geometri - tentang konsep garis lurus pada bidang. Pertama, mari kita definisikan istilah dan notasi dasar. Selanjutnya, kita membahas posisi relatif dari sebuah garis dan sebuah titik, serta dua garis pada sebuah bidang, dan memberikan aksioma yang diperlukan. Sebagai kesimpulan, kami akan mempertimbangkan cara mengatur garis lurus pada bidang dan memberikan ilustrasi grafis.

Navigasi halaman.

Garis lurus pada bidang adalah sebuah konsep.

Sebelum memberikan konsep garis lurus pada bidang, seseorang harus memahami dengan jelas apa itu bidang. Representasi pesawat memungkinkan Anda untuk mendapatkan, misalnya, permukaan meja yang rata atau dinding rumah. Namun, harus diingat bahwa dimensi tabel terbatas, dan bidang melampaui batas-batas ini hingga tak terhingga (seolah-olah kita memiliki tabel besar yang berubah-ubah).

Jika kita mengambil pensil yang diasah dengan baik dan menyentuhkan intinya ke permukaan "meja", maka kita akan mendapatkan gambar sebuah titik. Jadi kita mendapatkan representasi titik pada bidang.

Sekarang kamu bisa pergi ke konsep garis lurus pada bidang.

Mari kita letakkan di permukaan meja (di pesawat) selembar kertas bersih. Untuk menggambar garis lurus, kita perlu mengambil penggaris dan menggambar garis dengan pensil sejauh ukuran penggaris dan kertas yang digunakan memungkinkan. Perlu dicatat bahwa dengan cara ini kita hanya mendapatkan sebagian dari garis lurus. Garis lurus secara keseluruhan, memanjang hingga tak terhingga, hanya bisa kita bayangkan.

Saling posisi garis dan titik.

Anda harus mulai dengan aksioma: ada titik di setiap garis lurus dan di setiap bidang.

Titik biasanya dilambangkan dengan huruf latin kapital, misalnya titik A dan F. Pada gilirannya, garis lurus dilambangkan dengan huruf Latin kecil, misalnya, garis lurus a dan d.

Bisa jadi dua opsi untuk posisi relatif garis dan titik pada bidang: apakah titik tersebut terletak pada garis (dalam hal ini garis juga dikatakan melalui titik tersebut), atau titik tersebut tidak terletak pada garis (disebut juga bahwa titik tersebut bukan milik garis, atau garis tidak melalui titik).

Untuk menunjukkan bahwa suatu titik milik garis tertentu, simbol "" digunakan. Misalnya, jika titik A terletak pada garis a, maka Anda dapat menulis. Jika titik A tidak termasuk ke dalam garis a, maka tuliskan.

Pernyataan berikut ini benar: melalui dua titik hanya ada satu garis lurus.

Pernyataan ini adalah aksioma dan harus diterima sebagai fakta. Selain itu, ini cukup jelas: kami menandai dua titik di atas kertas, menerapkan penggaris padanya dan menggambar garis lurus. Sebuah garis lurus yang melalui dua titik tertentu (misalnya, melalui titik A dan B), dapat dilambangkan dengan dua huruf ini (dalam kasus kami, garis lurus AB atau BA).

Harus dipahami bahwa pada garis lurus yang diberikan pada sebuah bidang, ada banyak titik berbeda yang tak terhingga, dan semua titik ini terletak pada bidang yang sama. Pernyataan ini ditetapkan oleh aksioma: jika dua titik dari suatu garis terletak pada suatu bidang, maka semua titik pada garis ini terletak pada bidang ini.

Himpunan semua titik yang terletak di antara dua titik yang diberikan pada garis lurus, bersama-sama dengan titik-titik ini, disebut garis lurus atau hanya segmen. Titik-titik yang mengikat ruas disebut ujung ruas. Segmen dilambangkan dengan dua huruf yang sesuai dengan titik-titik ujung segmen. Misalkan titik A dan B merupakan ujung dari suatu ruas, maka ruas tersebut dapat dilambangkan dengan AB atau BA. Perlu diketahui bahwa penunjukan ruas ini sama dengan penunjukan garis lurus. Untuk menghindari kebingungan, sebaiknya tambahkan kata "segmen" atau "lurus" ke penunjukan.

Untuk catatan singkat milik dan bukan milik titik tertentu ke segmen tertentu, semua simbol yang sama dan digunakan. Untuk menunjukkan bahwa segmen terletak atau tidak terletak pada garis, gunakan simbol dan, masing-masing. Misalnya, jika segmen AB termasuk ke dalam garis a, Anda dapat menuliskannya secara singkat.

Kita juga harus memikirkan kasus ketika tiga titik berbeda berada pada garis yang sama. Dalam hal ini, satu, dan hanya satu titik, terletak di antara dua lainnya. Pernyataan ini adalah aksioma lain. Misalkan titik A, B, dan C terletak pada garis lurus yang sama, dan titik B terletak di antara titik A dan C. Maka kita dapat mengatakan bahwa titik A dan C berada pada sisi yang berlawanan dari titik B. Anda juga dapat mengatakan bahwa titik B dan C terletak pada sisi yang sama dari titik A, dan titik A dan B terletak pada sisi yang sama dari titik C.

Untuk melengkapi gambar, kami mencatat bahwa setiap titik dari garis lurus membagi garis lurus ini menjadi dua bagian - dua balok. Untuk kasus ini, sebuah aksioma diberikan: sebuah titik sembarang O, yang termasuk dalam sebuah garis, membagi garis ini menjadi dua sinar, dan setiap dua titik dari satu sinar terletak pada sisi yang sama dari titik O, dan setiap dua titik dari sinar yang berbeda terletak pada sisi yang berlawanan dari titik O.

Susunan timbal balik garis lurus pada bidang.

Sekarang mari kita jawab pertanyaan: "Bagaimana dua garis dapat ditempatkan pada bidang yang relatif satu sama lain"?

Pertama, dua garis pada bidang dapat bertepatan.

Ini dimungkinkan ketika garis memiliki setidaknya dua titik yang sama. Memang, berdasarkan aksioma yang disuarakan dalam paragraf sebelumnya, satu garis lurus melewati dua titik. Dengan kata lain, jika dua garis melewati dua titik tertentu, maka keduanya bertepatan.

Kedua, dua garis lurus pada bidang dapat menyeberang.

Dalam hal ini, garis memiliki satu titik yang sama, yang disebut titik perpotongan garis. Perpotongan garis dilambangkan dengan simbol "", misalnya catatan berarti bahwa garis a dan b berpotongan di titik M. Garis berpotongan membawa kita pada konsep sudut antara garis berpotongan. Secara terpisah, ada baiknya mempertimbangkan lokasi garis lurus pada bidang ketika sudut di antara mereka adalah sembilan puluh derajat. Dalam hal ini, garis disebut tegak lurus(kami merekomendasikan artikel garis tegak lurus, garis tegak lurus). Jika garis a tegak lurus dengan garis b, maka notasi pendek dapat digunakan.

Ketiga, dua garis pada bidang dapat sejajar.

Dari sudut pandang praktis, akan lebih mudah untuk mempertimbangkan garis lurus pada bidang bersama-sama dengan vektor. Yang paling penting adalah vektor bukan nol yang terletak pada garis tertentu atau pada salah satu garis paralel, mereka disebut vektor arah garis lurus. Artikel vektor pengarah garis lurus pada bidang memberikan contoh vektor pengarah dan menunjukkan opsi untuk penggunaannya dalam memecahkan masalah.

Anda juga harus memperhatikan vektor bukan nol yang terletak pada salah satu garis yang tegak lurus dengan yang diberikan. Vektor semacam itu disebut vektor normal garis. Penggunaan vektor normal garis lurus dijelaskan dalam artikel vektor normal garis lurus pada bidang.

Ketika tiga atau lebih garis lurus diberikan pada sebuah bidang, maka ada banyak pilihan berbeda untuk posisi relatifnya. Semua garis mungkin sejajar, jika tidak, beberapa atau semuanya berpotongan. Dalam hal ini, semua garis dapat berpotongan pada satu titik (lihat artikel pensil garis), atau mereka dapat memiliki titik potong yang berbeda.

Kami tidak akan membahas ini secara rinci, tetapi kami akan mengutip beberapa fakta yang luar biasa dan sangat sering digunakan tanpa bukti:

• jika dua garis sejajar dengan garis ketiga, maka mereka sejajar satu sama lain;
• jika dua garis tegak lurus terhadap garis ketiga, maka mereka sejajar satu sama lain;
• jika pada suatu bidang sebuah garis memotong salah satu dari dua garis sejajar, maka garis tersebut juga memotong garis kedua.

Metode untuk menetapkan garis lurus pada pesawat.

Sekarang kami akan membuat daftar cara utama di mana Anda dapat menentukan garis tertentu di pesawat. Pengetahuan ini sangat berguna dari sudut pandang praktis, karena solusi dari begitu banyak contoh dan masalah didasarkan pada itu.

Pertama, garis lurus dapat ditentukan dengan menentukan dua titik pada bidang.

Memang, dari aksioma yang dibahas dalam paragraf pertama artikel ini, kita tahu bahwa garis lurus melewati dua titik, dan terlebih lagi, hanya satu.

Jika koordinat dua titik yang tidak bertepatan ditunjukkan dalam sistem koordinat persegi panjang pada sebuah bidang, maka persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu dapat dituliskan.

Kedua, sebuah garis dapat ditentukan dengan menentukan titik yang dilaluinya dan garis yang sejajar dengannya. Metode ini valid, karena satu garis lurus melewati titik tertentu pada bidang, sejajar dengan garis lurus tertentu. Bukti fakta ini dilakukan pada pelajaran geometri di sekolah menengah.

Jika garis lurus pada bidang diatur dengan cara ini sehubungan dengan sistem koordinat Cartesian persegi panjang yang diperkenalkan, maka persamaannya adalah mungkin. Ini ditulis dalam artikel persamaan garis lurus yang melewati titik tertentu yang sejajar dengan garis lurus tertentu.

Ketiga, sebuah garis dapat didefinisikan dengan menentukan titik yang dilaluinya dan vektor arahnya.

Jika garis lurus diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang dengan cara ini, maka mudah untuk menyusun persamaan kanonik garis lurus pada bidang dan persamaan parametrik dari garis lurus pada bidang.

Cara keempat untuk menentukan garis adalah dengan menentukan titik yang dilaluinya dan garis yang tegak lurus. Memang, hanya ada satu garis yang melalui suatu titik tertentu pada bidang yang tegak lurus terhadap garis tersebut. Mari kita tinggalkan fakta ini tanpa bukti.

Akhirnya, sebuah garis pada bidang dapat ditentukan dengan menentukan titik yang dilaluinya dan vektor normal garis tersebut.

Jika koordinat suatu titik yang terletak pada suatu garis tertentu dan koordinat vektor normal garis tersebut diketahui, maka persamaan umum garis tersebut dapat dituliskan.

Bibliografi.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometri. Kelas 7 - 9: buku teks untuk lembaga pendidikan.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometri. Buku teks untuk kelas 10-11 sekolah menengah.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematika Tinggi. Volume Satu: Elemen Aljabar Linier dan Geometri Analitik.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometri analitik.

Hak Cipta oleh siswa pintar

Seluruh hak cipta.
Dilindungi oleh undang-undang hak cipta. Tidak ada bagian dari www.site, termasuk materi internal dan desain eksternal, yang boleh direproduksi dalam bentuk apa pun atau digunakan tanpa izin tertulis sebelumnya dari pemegang hak cipta.

Omong-omong, ketidaksetaraan terakhir hanya berbicara tentang non-paralelisme dari vektor normalnya.

Jika garis-garisnya sejajar, maka sistem tidak memiliki solusi. Secara analitis akan terlihat seperti ini:

Tetapi jika ketiga pecahan itu sama, maka garis-garisnya bertepatan satu sama lain, dan oleh karena itu sistem memiliki jumlah solusi yang tak terbatas.

Sudut antara dua garis dapat dicari dengan menggunakan dua rumus.

Jika garis diberikan oleh persamaan umum, maka sudut di antara mereka bertepatan dengan sudut antara vektor normalnya. Dihitung dengan rumus (6.9) dari kuliah sebelumnya. Untuk kasus kami, itu akan terlihat seperti:

. (7.7)

Kondisi garis sejajar:

;

Kondisi tegak lurus:

.

Jika garis diberikan oleh persamaan dengan koefisien kemiringan dalam bentuk:

dan ,

maka tangen sudut di antara mereka ditentukan oleh rumus:

. (7.8)

Kondisi paralel:

Kondisi tegak lurus:

.

Contoh 7.4. Cari titik potong garis dan dan sudut di antara mereka.

Solusi e. Mari kita cari titik potong garis dengan menyelesaikan sistem persamaan dengan metode Cramer:

, , ,

Sudut antara garis didefinisikan sebagai sudut antara vektor normalnya (2, 5) dan (5, -2). Dengan rumus (7.7) kita memiliki:

.

Apa yang dikatakan jawaban ini? Garis tegak lurus, karena .

Contoh 7.5. Berapa nilai parameternya? sebuah dan b langsung dan : sebuah) berpotongan, b) sejajar, di) cocok?

Solusi e. Dua garis berpotongan jika kondisi terpenuhi. Dalam kasus kami

.

Garis sejajar jika , yaitu

.

Dan, akhirnya, dua garis bertepatan asalkan , yaitu jika .

Contoh 7.6. Diberikan titik dan garis . Tulis persamaan garis L 1 dan L 2 melewati titik A, dan dan .

Solusi e. Mari kita membuat sketsa.

Beras. 7.6

Kemiringan garis asli L sama dengan k= -2. Dengan syarat, oleh karena itu . Dengan rumus (7.4) kita menemukan persamaan garis lurus L 1:

, atau .

Karena , maka . Maka persamaan garis L 2 akan terlihat seperti:

, atau .

7.4. Definisi kurva orde kedua

Definisi 7.1.Kurva orde kedua disebut garis yang didefinisikan oleh persamaan derajat kedua terhadap koordinat saat ini. Secara umum, persamaan ini memiliki bentuk:

dimana semua angkanya? TETAPI, PADA, Dengan, dll. adalah bilangan real, dan, sebagai tambahan, setidaknya salah satu dari bilangan tersebut TETAPI, PADA, Dengan- berbeda dari nol.

Sebelum pengenalan sistem koordinat Cartesian, semua kurva dijelaskan secara verbal, berdasarkan sifat geometris kurva yang dipertimbangkan. Jadi, definisi lingkaran berbunyi seperti ini:

Definisi 7.2. Lingkaran – adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat.

Persamaan lingkaran, berpusat di titik ( sebuah,b) dan radius R dalam koordinat Cartesian, yang Anda dapatkan di sekolah terlihat seperti ini:

Jika kita membuka tanda kurung, kita mendapatkan persamaan yang mirip dengan persamaan (7.9), di mana tidak ada suku yang mengandung produk dari koordinat saat ini, dan koefisien pada pangkat yang lebih tinggi sama satu sama lain.

Derivasi semua persamaan orde kedua mirip dengan derivasi persamaan garis lurus dan mengikuti algoritma yang sama.

Kami menurunkan persamaan parabola berdasarkan definisinya.

7.5. Persamaan parabola kanonik

Definisi 7.3. parabola adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu F ditelepon fokus, dan garis lurus ini, disebut kepala sekolah.

Mari kita nyatakan jarak dari fokus ke direktriks sebagai p. Nilai ini disebut parameter parabola.

1. Posisikan sumbu x sehingga melewati fokus, tegak lurus terhadap direktriks, dan memiliki arah positif dari direktriks ke fokus.

2. Tempatkan asal koordinat di tengah tegak lurus ini. Maka koordinat titik tersebut adalah F(p/2, 0), dan persamaan direktriks: .

3. Ambil titik arus pada parabola M(x, y).

4. Menurut definisi parabola, jarak MN dari titik M ke directrix sama dengan jaraknya MF dari fokus: MF= M N. Seperti dapat dilihat dari gambar (Gbr. 7.7), koordinat titik N(–p/2, kamu). Mari kita cari jarak ini menggunakan rumus jarak antara dua titik dari paragraf 1 dari kuliah sebelumnya.

, .

Menyamakan sisi kanan dari ekspresi ini dan mengkuadratkan kedua sisi persamaan, kita mendapatkan:

,

atau setelah singkatan

. (7.11)

Persamaan (7.11) disebut persamaan kanonik parabola. Hanya titik-titik yang terletak pada kurva yang akan memuaskannya, dan sisanya tidak. Mari kita pelajari bentuk grafiknya menurut persamaan kanonik.

Sejauh kamu masuk ke kekuatan genap, maka sumbu OH akan menjadi sumbu simetri, yaitu satu nilai X akan cocok dengan dua nilai kamu- positif dan negatif. Karena sisi kanan non-negatif pada, lalu yang kiri juga. Sebagai R adalah jarak antara fokus dan directrix, yang selalu lebih besar dari nol, maka X. Jika sebuah X=0, maka pada=0, yaitu parabola melewati titik asal. Dengan peningkatan tak terbatas x nilai mutlak pada juga akan meningkat tanpa batas.

Grafik parabola yang didefinisikan oleh persamaan (7.11) ditunjukkan pada gambar. 7.7.

Beras. 7.7 gambar. 7.8

Sumbu simetri parabola disebut sumbu fokus, karena itu memiliki fokus. Jika sumbu fokus parabola diambil sebagai sumbu y, maka persamaannya akan berbentuk:

.

Penggambarannya ditunjukkan pada Gambar. 7.8. Dalam hal ini, fokus akan berada di titik F(0, p/2), dan persamaan direktriks akan berbentuk pada = –R/2.

Jadi, kami mempertimbangkan parabola, menemukan persamaannya dan menunjukkan kemungkinan lokasi relatif terhadap titik asal.

Jika titik sudut parabola dipindahkan ke suatu titik , maka persamaan kanonik akan terlihat seperti ini:

.

Kami tidak akan berurusan dengan derivasi kurva lain dari orde kedua. Mereka yang ingin dapat menemukan semua perhitungan dalam literatur yang direkomendasikan.

Kami membatasi diri pada definisi dan persamaan mereka.

Dalam waktu kurang dari satu menit, saya membuat file Verdov baru dan melanjutkan topik yang begitu menarik. Anda perlu menangkap momen-momen suasana kerja, sehingga tidak akan ada pengantar liris. Akan ada tamparan biasa =)

Dua ruang lurus dapat:

1) kawin silang;

2) berpotongan di titik ;

3) sejajar;

4) pertandingan.

Kasus #1 pada dasarnya berbeda dari kasus lainnya. Dua garis berpotongan jika tidak terletak pada bidang yang sama.. Angkat satu tangan ke atas dan regangkan lengan lainnya ke depan - ini adalah contoh garis berpotongan. Dalam poin 2-4, garis-garisnya pasti terletak dalam satu pesawat.

Bagaimana cara mengetahui posisi relatif garis dalam ruang?

Pertimbangkan dua ruang lurus:

adalah garis lurus yang diberikan oleh sebuah titik dan vektor pengarah ;
adalah garis lurus yang ditentukan oleh titik dan vektor arah.

Untuk pemahaman yang lebih baik, mari kita membuat gambar skema:

Gambar menunjukkan garis miring sebagai contoh.

Bagaimana menangani garis-garis ini?

Karena titik-titiknya diketahui, maka mudah untuk menemukan vektornya.

Jika lurus membastar, maka vektor tidak sebidang(lihat pelajaran Linear (non) ketergantungan vektor. Dasar vektor), yang berarti bahwa determinan yang tersusun dari koordinatnya adalah bukan nol. Atau, yang sebenarnya sama, akan berbeda dari nol: .

Dalam kasus No. 2-4, konstruksi kami "jatuh" ke dalam satu bidang, sedangkan vektor sebidang, dan produk campuran dari vektor-vektor yang bergantung linier sama dengan nol: .

Kami memperluas algoritme lebih lanjut. Mari kita berpura-pura itu , oleh karena itu, garis-garis itu berpotongan, atau sejajar, atau bertepatan.

Jika vektor arah kolinear, maka garis-garisnya sejajar atau berimpit. Sebagai paku terakhir, saya mengusulkan teknik berikut: kita mengambil titik mana pun dari satu garis lurus dan mengganti koordinatnya ke dalam persamaan garis lurus kedua; jika koordinat "mendekati", maka garisnya bertepatan, jika "tidak mendekat", maka garisnya sejajar.

Jalannya algoritme bersahaja, tetapi contoh praktis tetap tidak mengganggu:

Contoh 11

Cari tahu posisi relatif dari dua garis

Keputusan: seperti dalam banyak masalah geometri, akan lebih mudah untuk mengatur solusi poin demi poin:

1) Kami mengekstrak titik dan vektor arah dari persamaan:

2) Temukan vektornya:

Dengan demikian, vektor-vektornya adalah coplanar, yang berarti bahwa garis-garis terletak pada bidang yang sama dan dapat berpotongan, sejajar atau bertepatan.

4) Periksa vektor arah untuk kolinearitas.

Mari kita buat sistem dari koordinat yang sesuai dari vektor-vektor ini:

Dari setiap orang Persamaan tersebut menyiratkan bahwa , oleh karena itu, sistemnya konsisten, koordinat vektor-vektor yang bersesuaian adalah proporsional, dan vektor-vektornya kolinear.

Kesimpulan: garis sejajar atau bertepatan.

5) Cari tahu apakah garis memiliki titik yang sama. Mari kita ambil titik yang termasuk dalam garis lurus pertama dan substitusikan koordinatnya ke dalam persamaan garis lurus:

Dengan demikian, garis tidak memiliki titik yang sama, dan tidak ada yang tersisa bagi mereka selain sejajar.

Menjawab:

Contoh menarik untuk dipecahkan sendiri:

Contoh 12

Cari tahu posisi relatif dari garis

Ini adalah contoh do-it-yourself. Perhatikan bahwa baris kedua memiliki huruf sebagai parameter. Logikanya. Dalam kasus umum, ini adalah dua garis yang berbeda, sehingga setiap garis memiliki parameternya sendiri.

Dan sekali lagi saya mendorong Anda untuk tidak melewatkan contoh, saya akan menampar tugas yang saya usulkan jauh dari acak ;-)

Masalah dengan garis lurus dalam ruang

Di bagian akhir pelajaran, saya akan mencoba mempertimbangkan jumlah maksimum berbagai masalah dengan garis spasial. Dalam hal ini, urutan awal narasi akan diamati: pertama kita akan mempertimbangkan masalah dengan garis berpotongan, kemudian dengan garis berpotongan, dan pada akhirnya kita akan berbicara tentang garis paralel dalam ruang. Namun, saya harus mengatakan bahwa beberapa tugas pelajaran ini dapat dirumuskan untuk beberapa kasus garis lurus sekaligus, dan dalam hal ini, pembagian bagian menjadi paragraf agak sewenang-wenang. Ada contoh yang lebih sederhana, ada contoh yang lebih kompleks, dan mudah-mudahan semua orang akan menemukan apa yang mereka butuhkan.

Garis bersilangan

Saya mengingatkan Anda bahwa garis berpotongan jika tidak ada bidang di mana keduanya terletak. Ketika saya sedang memikirkan tentang latihan, sebuah tugas monster muncul di benak saya, dan sekarang saya dengan senang hati mempersembahkan kepada Anda seekor naga berkepala empat:

Contoh 13

Diberikan adalah garis lurus. Diperlukan:

a) buktikan bahwa garis-garis tersebut berpotongan;

b) tentukan persamaan garis yang melalui titik tegak lurus terhadap garis yang diberikan;

c) buat persamaan garis lurus yang mengandung tegak lurus umum garis berpotongan;

d.mencari jarak antar garis

Keputusan: Jalan akan dikuasai oleh yang berjalan:

a) Buktikan bahwa garis-garis tersebut berpotongan. Mari kita cari titik dan vektor arah dari garis lurus ini:

Mari kita cari vektornya:

Menghitung produk campuran vektor:

Jadi vektor-vektornya tidak sebidang, yang berarti bahwa garis berpotongan, yang harus dibuktikan.

Mungkin, semua orang telah lama memperhatikan bahwa untuk garis miring, algoritma verifikasi ternyata menjadi yang terpendek.

b) Tentukan persamaan garis yang melalui titik dan tegak lurus garis tersebut. Mari kita membuat gambar skema:

Untuk variasi, saya memposting langsung DI BELAKANG garis lurus, lihat bagaimana itu sedikit terhapus di titik persimpangan. Persilangan? Ya, dalam kasus umum, garis "de" akan berpotongan dengan garis aslinya. Meskipun kami tidak tertarik pada momen ini, kami hanya perlu membangun garis tegak lurus dan hanya itu.

Apa yang diketahui tentang "de" langsung? Titik milik itu diketahui. Vektor arah hilang.

Dengan syarat, garis harus tegak lurus dengan garis, yang berarti vektor arahnya akan ortogonal terhadap vektor arah. Motif yang sudah familiar dari Contoh No. 9, mari kita cari produk vektornya:

Mari kita buat persamaan garis lurus "de" dengan titik dan vektor pengarah:

Siap. Pada prinsipnya, seseorang dapat mengubah tanda pada penyebut dan menulis jawabannya dalam bentuk , tetapi tidak perlu untuk ini.

Untuk mengeceknya, perlu mensubstitusikan koordinat titik tersebut ke dalam persamaan garis lurus yang diperoleh, kemudian menggunakan perkalian titik dari vektor pastikan vektor tersebut benar-benar ortogonal terhadap vektor arah "pe satu" dan "pe dua".

Bagaimana cara menemukan persamaan garis yang memiliki garis tegak lurus yang sama?

c) Soal ini lebih sulit. Saya sarankan agar orang bodoh melewatkan paragraf ini, saya tidak ingin mendinginkan simpati tulus Anda untuk geometri analitik =) Omong-omong, mungkin lebih baik bagi pembaca yang lebih siap untuk menunggu juga, faktanya contoh harus diletakkan terakhir di artikel dalam hal kompleksitas, tetapi menurut logika presentasi itu harus ditempatkan di sini.

Jadi, diperlukan untuk menemukan persamaan garis lurus, yang berisi tegak lurus umum dari garis miring.

adalah ruas garis yang menghubungkan garis-garis yang diberikan dan tegak lurus terhadap garis-garis tersebut:

Berikut adalah pria tampan kami: - tegak lurus umum dari garis berpotongan. Dia adalah satu-satunya. Tidak ada yang lain seperti itu. Kita juga perlu membuat persamaan garis lurus yang memuat segmen tertentu.

Apa yang diketahui tentang "uh" langsung? Vektor arahnya diketahui, ditemukan di paragraf sebelumnya. Tapi, sayangnya, kita tidak tahu satu titik pun yang termasuk dalam garis lurus "em", kita tidak tahu ujung-ujungnya - titik tegak lurus. Di mana garis tegak lurus ini memotong dua garis asli? Afrika, Antartika? Dari tinjauan awal dan analisis kondisi, sama sekali tidak jelas bagaimana menyelesaikan masalah .... Tapi ada langkah rumit yang terkait dengan penggunaan persamaan parametrik dari garis lurus.

Mari kita membuat keputusan poin demi poin:

1) Mari kita tulis ulang persamaan garis lurus pertama dalam bentuk parametrik:

Mari kita pertimbangkan satu hal. Kita tidak tahu koordinatnya. TETAPI. Jika suatu titik milik garis tertentu, maka koordinatnya sesuai dengan , dilambangkan dengan . Maka koordinat titik tersebut akan ditulis sebagai:

Hidup menjadi lebih baik, satu tidak diketahui - lagi pula, bukan tiga yang tidak diketahui.

2) Kemarahan yang sama harus dilakukan pada poin kedua. Mari kita tulis ulang persamaan garis lurus kedua dalam bentuk parametrik:

Jika suatu titik termasuk ke dalam suatu garis, maka dengan arti yang sangat spesifik koordinatnya harus memenuhi persamaan parametrik:

Atau:

3) Vektor , seperti vektor yang ditemukan sebelumnya , akan menjadi vektor pengarah garis . Cara menyusun vektor dari dua titik dipertimbangkan sejak dahulu kala dalam pelajaran Vektor untuk boneka. Sekarang perbedaannya adalah bahwa koordinat vektor ditulis dengan nilai parameter yang tidak diketahui. Terus? Tidak ada yang melarang pengurangan koordinat yang sesuai dari awal vektor dari koordinat akhir vektor.

Ada dua poin: .

Menemukan vektor:

4) Karena vektor arah adalah collinear, maka satu vektor dinyatakan secara linier melalui vektor lainnya dengan beberapa koefisien proporsionalitas "lambda":

Atau secara koordinat:

Ternyata paling biasa sistem persamaan linear dengan tiga yang tidak diketahui , yang dapat dipecahkan standar, misalnya, Metode Cramer. Namun disini ada peluang untuk turun dengan sedikit darah, dari persamaan ketiga kita akan menyatakan "lambda" dan mensubstitusikannya ke persamaan pertama dan kedua:

Dengan demikian: , dan "lambda" kita tidak perlu. Fakta bahwa nilai parameternya ternyata sama adalah murni kebetulan.

5) Langit cerah sepenuhnya, gantikan nilai yang ditemukan ke lokasi kami:

Vektor arah tidak terlalu diperlukan, karena padanannya telah ditemukan.

Setelah perjalanan panjang, selalu menarik untuk melakukan pemeriksaan.

:

Persamaan yang benar diperoleh.

Substitusikan koordinat titik ke persamaan :

Persamaan yang benar diperoleh.

6) Akord terakhir: kami akan menyusun persamaan garis lurus untuk suatu titik (Anda dapat mengambil) dan vektor pengarah:

Pada prinsipnya, Anda dapat mengambil titik "baik" dengan koordinat bilangan bulat, tetapi ini hanya kosmetik.

Bagaimana cara mencari jarak antara garis yang berpotongan?

d) Kami menebang keempat kepala naga itu.

Metode satu. Bahkan bukan cara, tetapi kasus khusus kecil. Jarak antara garis yang berpotongan sama dengan panjang tegak lurus bersamanya: .

Titik ekstrim dari tegak lurus umum ditemukan di paragraf sebelumnya, dan tugasnya adalah dasar:

Metode dua. Dalam praktiknya, paling sering ujung tegak lurus yang sama tidak diketahui, sehingga pendekatan yang berbeda digunakan. Melalui dua garis yang berpotongan dapat ditarik bidang-bidang sejajar, dan jarak antara bidang-bidang tersebut sama dengan jarak antara garis-garis tersebut. Secara khusus, tegak lurus umum menonjol di antara bidang-bidang ini.

Dalam perjalanan geometri analitik, dari pertimbangan di atas, rumus diturunkan untuk menemukan jarak antara garis miring:
(Alih-alih poin kami "satu, dua" kami dapat mengambil titik garis yang sewenang-wenang).

Produk campuran dari vektor sudah ditemukan di paragraf "a": .

Perkalian silang dari vektor ditemukan dalam paragraf "menjadi": , hitung panjangnya:

Dengan demikian:

Dengan bangga letakkan piala dalam satu baris:

Menjawab:
sebuah) , karenanya, garis berpotongan, yang perlu dibuktikan;
b) ;
di) ;
G)

Apa lagi yang bisa dikatakan tentang garis berpotongan? Sebuah sudut ditentukan di antara mereka. Tetapi pertimbangkan rumus sudut universal di paragraf berikutnya:

Garis lurus yang berpotongan harus terletak pada bidang yang sama:

Pikiran pertama adalah bersandar pada titik persimpangan dengan sekuat tenaga. Dan segera saya berpikir, mengapa menyangkal keinginan yang benar?! Mari kita melompat di atasnya sekarang!

Bagaimana menemukan titik perpotongan garis spasial?

Contoh 14

Cari titik potong garis

Keputusan: Mari kita tulis ulang persamaan garis dalam bentuk parametrik:

Tugas ini dibahas secara rinci dalam Contoh No. 7 dari pelajaran ini (lihat. Persamaan garis lurus dalam ruang). Dan garis lurus itu sendiri, omong-omong, saya ambil dari Contoh No. 12. Saya tidak bohong, saya terlalu malas untuk membuat yang baru.

Solusinya adalah standar dan telah ditemukan ketika kita mengerjakan persamaan garis miring yang sama.

Titik perpotongan garis termasuk dalam garis, oleh karena itu koordinatnya memenuhi persamaan parametrik garis ini, dan mereka sesuai dengan nilai parameter yang sangat spesifik:

Tetapi poin yang sama milik baris kedua, oleh karena itu:

Kami menyamakan persamaan yang sesuai dan membuat penyederhanaan:

Sistem tiga persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui diperoleh. Jika garis berpotongan (seperti yang dibuktikan dalam Contoh 12), maka sistem tersebut harus konsisten dan memiliki solusi yang unik. Itu bisa diselesaikan Metode Gauss, tetapi kita tidak akan berdosa dengan fetishisme taman kanak-kanak seperti itu, mari kita lakukan dengan lebih mudah: dari persamaan pertama kita menyatakan "te nol" dan menggantinya ke dalam persamaan kedua dan ketiga:

Dua persamaan terakhir ternyata pada dasarnya sama, dan karenanya . Kemudian:

Mari kita substitusikan nilai parameter yang ditemukan ke dalam persamaan:

Menjawab:

Untuk memeriksa, kami mengganti nilai parameter yang ditemukan ke dalam persamaan:
Koordinat yang sama diperoleh seperti yang diperlukan untuk diperiksa. Pembaca yang cermat dapat mengganti koordinat titik dalam persamaan kanonik asli garis.

Omong-omong, dimungkinkan untuk melakukan yang sebaliknya: temukan titik melalui "es nol", dan periksa melalui "te nol".

Sebuah tanda matematika terkenal mengatakan: di mana persimpangan garis lurus dibahas, selalu ada bau tegak lurus.

Bagaimana cara membuat garis ruang yang tegak lurus terhadap garis tertentu?

(garis berpotongan)

Contoh 15

a) Buatlah persamaan garis yang melalui sebuah titik yang tegak lurus dengan garis tersebut! (garis berpotongan).

b. Tentukan jarak dari titik ke garis.

Catatan : klausa "garis berpotongan" - penting. Melalui titik
adalah mungkin untuk menggambar garis tegak lurus dalam jumlah tak terbatas yang akan berpotongan dengan garis "el". Satu-satunya solusi terjadi ketika sebuah garis ditarik melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap dua diberikan garis lurus (lihat Contoh No. 13, paragraf "b").

sebuah) Keputusan: Menunjukkan baris yang tidak dikenal dengan . Mari kita membuat gambar skema:

Apa yang diketahui tentang garis? Dengan syarat, satu poin diberikan. Untuk menyusun persamaan garis lurus, perlu dicari vektor arahnya. Sebagai vektor seperti itu, vektor sangat cocok, dan kami akan menghadapinya. Lebih tepatnya, mari kita ambil ujung vektor yang tidak diketahui oleh tengkuknya.

1) Kami akan mengekstrak vektor pengarahnya dari persamaan garis lurus "el", dan kami akan menulis ulang persamaan itu sendiri dalam bentuk parametrik:

Banyak yang menebak bahwa sekarang untuk ketiga kalinya dalam pelajaran pesulap akan mengeluarkan angsa putih dari topinya. Pertimbangkan sebuah titik dengan koordinat yang tidak diketahui. Karena titik , maka koordinatnya memenuhi persamaan parametrik dari garis lurus "el" dan mereka sesuai dengan nilai parameter tertentu:

Atau dalam satu baris:

2) Dengan syarat, garis harus tegak lurus, oleh karena itu, vektor arahnya ortogonal. Dan jika vektor-vektornya ortogonal, maka produk skalar sama dengan nol:

Apa yang terjadi? Persamaan linier paling sederhana dengan satu yang tidak diketahui:

3) Nilai parameter diketahui, mari kita cari intinya:

Dan vektor arah:
.

4) Kami akan membuat persamaan garis lurus dengan titik dan vektor arah :

Penyebut proporsi ternyata pecahan, dan inilah kasusnya ketika tepat untuk menghilangkan pecahan. Saya hanya akan mengalikannya dengan -2:

Menjawab:

Catatan : akhir yang lebih ketat dari solusi disusun sebagai berikut: kami membuat persamaan garis lurus dengan titik dan vektor arah . Memang, jika suatu vektor adalah vektor pengarah suatu garis lurus, maka vektor yang kolinear dengannya secara alami juga akan menjadi vektor pengarah garis lurus ini.

Verifikasi terdiri dari dua tahap:

1) periksa vektor arah garis untuk ortogonalitas;

2) kami mengganti koordinat titik ke dalam persamaan setiap garis lurus, mereka harus "cocok" di sana-sini.

Ada banyak pembicaraan tentang tindakan tipikal, jadi saya memeriksa draftnya.

By the way, saya lupa mode lain - untuk membangun sebuah titik "menuntut" simetris ke titik "en" sehubungan dengan garis lurus "el". Namun, ada "analog datar" yang bagus, yang dapat ditemukan di artikel Masalah paling sederhana dengan garis lurus di pesawat. Di sini, semua perbedaan akan berada di koordinat "Z" tambahan.

Bagaimana menemukan jarak dari titik ke garis dalam ruang?

b) Keputusan: Mencari jarak dari titik ke garis.

Metode satu. Jarak ini persis sama dengan panjang tegak lurus: . Solusinya jelas: jika titik-titiknya diketahui , kemudian:

Metode dua. Dalam masalah praktis, alas tegak lurus sering menjadi misteri, sehingga lebih rasional untuk menggunakan rumus yang sudah jadi.

Jarak suatu titik ke garis dinyatakan dengan rumus :
, di mana adalah vektor arah dari garis lurus "el", dan - sewenang-wenang suatu titik pada garis tertentu.

1) Dari persamaan garis lurus kita mendapatkan vektor arah dan titik yang paling mudah diakses .

2) Titik diketahui dari kondisi, pertajam vektor:

3) Ayo temukan produk vektor dan hitung panjangnya:

4) Hitung panjang vektor arah:

5) Jadi, jarak dari titik ke garis:

Artikel ini berisi uraian tentang garis sejajar dan tentang garis sejajar. Pertama, definisi garis sejajar pada bidang dan ruang diberikan, notasi diperkenalkan, contoh dan ilustrasi grafik garis sejajar diberikan. Selanjutnya, tanda dan kondisi paralelisme garis lurus dianalisis. Sebagai kesimpulan, solusi ditunjukkan untuk masalah khas dalam membuktikan paralelisme garis lurus, yang diberikan oleh beberapa persamaan garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang dan dalam ruang tiga dimensi.

Navigasi halaman.

Garis paralel - informasi dasar.

Definisi.

Dua garis dalam satu bidang disebut paralel jika mereka tidak memiliki poin yang sama.

Definisi.

Dua garis dalam tiga dimensi disebut paralel jika mereka terletak pada bidang yang sama dan tidak memiliki titik yang sama.

Perhatikan bahwa klausa "jika mereka terletak pada bidang yang sama" dalam definisi garis paralel dalam ruang sangat penting. Mari kita perjelas poin ini: dua garis lurus dalam ruang tiga dimensi yang tidak memiliki titik yang sama dan tidak terletak pada bidang yang sama tidak sejajar, tetapi miring.

Berikut adalah beberapa contoh garis paralel. Tepi berlawanan dari lembar notebook terletak pada garis paralel. Garis-garis lurus di mana bidang dinding rumah berpotongan dengan bidang langit-langit dan lantai adalah sejajar. Rel kereta api di permukaan tanah juga dapat dianggap sebagai jalur paralel.

Simbol "" digunakan untuk menunjukkan garis sejajar. Artinya, jika garis a dan b sejajar, maka secara singkat Anda dapat menulis a b.

Perhatikan bahwa jika garis a dan b sejajar, maka kita dapat mengatakan bahwa garis a sejajar dengan garis b, dan juga bahwa garis b sejajar dengan garis a.

Mari kita menyuarakan pernyataan yang memainkan peran penting dalam studi garis sejajar pada bidang: melalui titik yang tidak terletak pada garis tertentu, melewati satu-satunya garis yang sejajar dengan garis yang diberikan. Pernyataan ini diterima sebagai fakta (tidak dapat dibuktikan berdasarkan aksioma planimetri yang diketahui), dan disebut aksioma garis sejajar.

Untuk kasus dalam ruang, teorema ini benar: melalui sembarang titik dalam ruang yang tidak terletak pada garis tertentu, melewati satu garis sejajar dengan garis yang diberikan. Teorema ini dapat dengan mudah dibuktikan dengan menggunakan aksioma garis sejajar di atas (Anda dapat menemukan buktinya di buku teks geometri kelas 10-11, yang tercantum di akhir artikel dalam daftar pustaka).

Untuk kasus dalam ruang, teorema ini benar: melalui sembarang titik dalam ruang yang tidak terletak pada garis tertentu, melewati satu garis sejajar dengan garis yang diberikan. Teorema ini mudah dibuktikan dengan menggunakan aksioma garis sejajar yang diberikan di atas.

Paralelisme garis - tanda dan kondisi paralelisme.

Tanda garis sejajar adalah syarat yang cukup untuk garis-garis sejajar, yaitu syarat yang pemenuhannya menjamin garis-garis sejajar. Dengan kata lain, pemenuhan syarat ini cukup untuk menyatakan fakta bahwa garis-garis itu sejajar.

Ada juga kondisi perlu dan cukup untuk garis sejajar pada bidang dan ruang tiga dimensi.

Mari kita jelaskan arti dari frasa "kondisi perlu dan cukup untuk garis sejajar".

Kami telah berurusan dengan kondisi yang cukup untuk garis paralel. Dan apa "kondisi yang diperlukan untuk garis paralel"? Dengan nama "perlu" jelas bahwa pemenuhan syarat ini diperlukan agar garis sejajar. Dengan kata lain, jika kondisi yang diperlukan untuk garis sejajar tidak terpenuhi, maka garis tidak sejajar. Dengan demikian, syarat perlu dan syarat cukup agar garis sejajar adalah suatu kondisi, yang pemenuhannya perlu dan cukup untuk garis sejajar. Artinya, di satu sisi, ini adalah tanda garis paralel, dan di sisi lain, ini adalah properti yang dimiliki garis paralel.

Sebelum menyatakan kondisi perlu dan cukup agar garis sejajar, ada gunanya mengingat beberapa definisi bantu.

garis potong adalah garis yang memotong masing-masing dari dua garis yang tidak bertepatan.

Di persimpangan dua garis garis potong, delapan garis yang tidak digunakan terbentuk. Disebut berbaring melintang, sesuai dan sudut satu sisi. Mari kita tunjukkan pada gambar.

Dalil.

Jika dua garis pada bidang berpotongan oleh sebuah garis potong, maka untuk kesejajaran mereka perlu dan cukup bahwa sudut-sudut yang bersilangan adalah sama, atau sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, atau jumlah sudut satu sisi sama dengan 180 derajat.

Mari kita tunjukkan ilustrasi grafis dari kondisi perlu dan cukup ini untuk garis sejajar pada bidang.

Anda dapat menemukan bukti kondisi ini untuk garis paralel di buku teks geometri untuk kelas 7-9.

Perhatikan bahwa kondisi ini juga dapat digunakan dalam ruang tiga dimensi - yang utama adalah bahwa dua garis dan garis potong terletak pada bidang yang sama.

Berikut adalah beberapa teorema lagi yang sering digunakan dalam membuktikan paralelisme garis.

Dalil.

Jika dua garis pada sebuah bidang sejajar dengan garis ketiga, maka keduanya sejajar. Bukti fitur ini mengikuti aksioma garis sejajar.

Ada kondisi serupa untuk garis paralel dalam ruang tiga dimensi.

Dalil.

Jika dua garis dalam ruang sejajar dengan garis ketiga, maka keduanya sejajar. Bukti fitur ini dipertimbangkan dalam pelajaran geometri di kelas 10.

Mari kita ilustrasikan teorema bersuara.

Mari kita berikan satu teorema lagi yang memungkinkan kita untuk membuktikan paralelisme garis pada bidang.

Dalil.

Jika dua garis pada suatu bidang tegak lurus terhadap garis ketiga, maka keduanya sejajar.

Ada teorema serupa untuk garis dalam ruang.

Dalil.

Jika dua garis dalam ruang tiga dimensi tegak lurus terhadap bidang yang sama, maka keduanya sejajar.

Mari kita menggambar gambar yang sesuai dengan teorema ini.

Semua teorema yang dirumuskan di atas, tanda dan kondisi perlu dan cukup sangat cocok untuk membuktikan paralelisme garis lurus dengan metode geometri. Yaitu, untuk membuktikan paralelisme dua garis yang diberikan, perlu untuk menunjukkan bahwa mereka sejajar dengan garis ketiga, atau untuk menunjukkan kesetaraan sudut-sudut yang bersilangan, dll. Banyak dari masalah ini diselesaikan dalam pelajaran geometri di sekolah menengah. Namun, perlu dicatat bahwa dalam banyak kasus akan lebih mudah menggunakan metode koordinat untuk membuktikan paralelisme garis pada bidang atau dalam ruang tiga dimensi. Mari kita merumuskan kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis yang diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang.

Paralelisme garis dalam sistem koordinat persegi panjang.

Di bagian artikel ini, kami akan merumuskan syarat perlu dan syarat cukup untuk garis sejajar dalam sistem koordinat persegi panjang, tergantung pada jenis persamaan yang menentukan garis-garis ini, dan kami juga akan memberikan solusi terperinci untuk masalah umum.

Mari kita mulai dengan kondisi paralelisme dua garis pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang Oxy . Pembuktiannya didasarkan pada definisi vektor pengarah garis dan definisi vektor normal garis pada bidang.

Dalil.

Agar dua garis yang tidak bertepatan sejajar pada suatu bidang, perlu dan cukup bahwa vektor arah dari garis-garis ini adalah collinear, atau vektor normal dari garis-garis ini adalah collinear, atau vektor arah dari satu garis tegak lurus terhadap normal. vektor garis kedua.

Jelas, kondisi paralelisme dua garis pada bidang berkurang menjadi (vektor arah garis atau vektor normal garis) atau menjadi (vektor arah satu garis dan vektor normal garis kedua). Jadi, jika dan adalah vektor arah dari garis a dan b, dan dan adalah vektor normal garis a dan b berturut-turut, maka kondisi perlu dan cukup untuk garis sejajar a dan b dapat ditulis sebagai , atau , atau , di mana t adalah beberapa bilangan real. Pada gilirannya, koordinat arah dan (atau) vektor normal dari garis lurus a dan b ditemukan dari persamaan garis lurus yang diketahui.

Secara khusus, jika garis a dalam sistem koordinat persegi panjang Oxy pada bidang mendefinisikan persamaan umum dari garis bentuk , dan garis lurus b - , maka vektor-vektor normal dari garis-garis ini memiliki koordinat dan masing-masing, dan kondisi paralelisme garis a dan b akan ditulis sebagai .

Jika garis lurus a sesuai dengan persamaan garis lurus dengan koefisien kemiringan bentuk . Oleh karena itu, jika garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang sejajar dan dapat diberikan oleh persamaan garis lurus dengan koefisien kemiringan, maka koefisien kemiringan garis akan sama. Dan sebaliknya: jika garis lurus yang tidak bertepatan pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang dapat diberikan oleh persamaan garis lurus dengan koefisien kemiringan yang sama, maka garis lurus tersebut sejajar.

Jika garis a dan garis b dalam sistem koordinat persegi panjang menentukan persamaan kanonik garis pada bidang berbentuk dan , atau persamaan parametrik garis lurus pada bidang berbentuk dan masing-masing, maka vektor arah dari garis-garis ini memiliki koordinat dan , dan kondisi paralelisme untuk garis a dan b ditulis sebagai .

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh.

Apakah garis-garisnya sejajar? dan ?

Keputusan.

Kami menulis ulang persamaan garis lurus di segmen dalam bentuk persamaan umum garis lurus: . Sekarang kita dapat melihat bahwa itu adalah vektor normal dari garis lurus , dan merupakan vektor normal dari garis lurus. Vektor-vektor ini tidak kolinear, karena tidak ada bilangan real t yang persamaannya ( ). Akibatnya, kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis pada bidang tidak terpenuhi, oleh karena itu, garis yang diberikan tidak sejajar.

Menjawab:

Tidak, garisnya tidak sejajar.

Contoh.

Apakah garis dan paralel?

Keputusan.

Kami membawa persamaan kanonik garis lurus ke persamaan garis lurus dengan kemiringan: . Jelas, persamaan garis dan tidak sama (dalam hal ini, garis yang diberikan akan sama) dan kemiringan garis sama, oleh karena itu, garis aslinya sejajar.

Sekarang mari kita buat dua persamaan:

Mari kita lihat ketika garis d dan d yang didefinisikan oleh persamaan ini sejajar dalam arti luas, ketika mereka bertepatan, ketika mereka sejajar dalam arti yang tepat (yaitu, mereka tidak memiliki satu titik yang sama).

Jawaban atas pertanyaan pertama diperoleh segera: garis d dan d sejajar dalam arti luas jika dan hanya jika vektor arahnya collinear, yaitu ketika proporsi terjadi, dan oleh karena itu proporsi

Jika proporsi ini dapat diperluas ke proporsi

maka garis-garisnya bertepatan: dalam hal ini, semua koefisien dari salah satu dari dua persamaan (1), (Г) diperoleh dari koefisien yang lain dengan mengalikan dengan beberapa dan, oleh karena itu, persamaan (1) dan setara (setiap titik memenuhi satu persamaan memenuhi yang lain).

Sebaliknya, jika dua garis bertepatan, maka proporsi (3) berlaku.

Mari kita buktikan ini dulu dalam kasus ketika garis kita sejajar dengan sumbu y. Kemudian , dan kita hanya perlu membuktikan persamaannya .

Tetapi persamaan terakhir (yang mengikuti dari fakta bahwa kedua garis (bertepatan) berpotongan dengan sumbu absis pada titik yang sama dengan absis .

Sekarang biarkan pendahuluan yang bertepatan tidak sejajar dengan sumbu y. Kemudian mereka memotongnya pada titik yang sama Q dengan ordinat dan kita memiliki proporsi , yang bersama-sama dengan proporsi (2) (yang menyatakan paralelisme garis dalam arti luas) memberi kita proporsi yang diperlukan (3).

Paralelisme dalam arti yang tepat berarti ada paralelisme dalam arti luas (yaitu, kondisi (2) terpenuhi), tetapi tidak ada kebetulan (yaitu, tidak terpenuhi). Ini berarti bahwa proporsi

terjadi, sedangkan

Gabungan dua relasi (2) dan (4) biasanya ditulis sebagai satu rumus:

Mari kita rangkum apa yang telah terbukti.

Teorema 1. Setiap garis lurus d pada bidang yang dilengkapi dengan sistem koordinat affine ditentukan oleh beberapa persamaan derajat pertama antara koordinat titik-titiknya. Sebaliknya, setiap persamaan derajat pertama

adalah persamaan dari beberapa (unik) garis d; selain itu, semua vektor sejajar dengan garis ini, dan hanya mereka yang memenuhi persamaan homogen