Petunjuk

Video Terkait

catatan

Saat menghitung sisi segitiga siku-siku, pengetahuan tentang fitur-fiturnya dapat dimainkan:
1) Jika kaki sudut siku-siku terletak di depan sudut 30 derajat, maka itu sama dengan setengah sisi miring;
2) sisi miring selalu lebih panjang dari kaki mana pun;
3) Jika sebuah lingkaran dibatasi di sekitar segitiga siku-siku, maka pusatnya harus terletak di tengah-tengah sisi miring.

Hipotenusa adalah sisi dalam segitiga siku-siku yang berhadapan dengan sudut 90 derajat. Untuk menghitung panjangnya, cukup mengetahui panjang salah satu kakinya dan nilai salah satu sudut lancip segitiga.

Petunjuk

Beri tahu kami salah satu kaki dan sudut yang berdekatan dengannya. Untuk kepastian, biarkan menjadi kaki |AB| dan sudut . Kemudian kita dapat menggunakan rumus untuk rasio cosinus - cosinus trigonometri dari kaki yang berdekatan. Itu. dalam notasi kita cos = |AB| / |AC|. Dari sini kita mendapatkan panjang sisi miring |AC| = |AB| / cosα.
Jika kita mengetahui kaki |BC| dan sudut , maka kita menggunakan rumus untuk menghitung sinus sudut - sinus sudut sama dengan rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring: sin = |BC| / |AC|. Kami mendapatkan bahwa panjang sisi miring ditemukan sebagai |AC| = |SM| / cosα.

Untuk kejelasan, pertimbangkan sebuah contoh. Misal panjang kaki |AB| = 15. Dan sudut = 60°. Kami mendapatkan |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Pertimbangkan bagaimana Anda dapat memeriksa hasil Anda menggunakan teorema Pythagoras. Untuk melakukan ini, kita perlu menghitung panjang kaki kedua |BC|. Menggunakan rumus tangen sudut tg = |BC| / |AC|, kita peroleh |BC| = |AB| * tg = 15 * tg 60° = 15 * 3. Selanjutnya, kita terapkan teorema Pythagoras, kita mendapatkan 15^2 + (15 * 3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Verifikasi selesai.

Saran yang bermanfaat

Setelah menghitung sisi miring, periksa apakah nilai yang dihasilkan memenuhi teorema Pythagoras.

Sumber:

• Tabel bilangan prima dari 1 hingga 10000

Kaki sebutkan dua sisi pendek segitiga siku-siku yang membentuk titik sudutnya, yang nilainya 90°. Sisi ketiga dalam segitiga seperti itu disebut sisi miring. Semua sisi dan sudut segitiga ini saling berhubungan oleh hubungan tertentu yang memungkinkan Anda menghitung panjang kaki jika beberapa parameter lain diketahui.

Petunjuk

Gunakan teorema Pythagoras untuk kaki (A) jika Anda mengetahui panjang dua sisi lainnya (B dan C) dari segitiga siku-siku. Teorema ini menyatakan bahwa jumlah panjang kaki kuadrat sama dengan kuadrat sisi miring. Dari sini dapat disimpulkan bahwa panjang masing-masing kaki sama dengan akar kuadrat dari panjang sisi miring dan kaki kedua: A=√(C²-B²).

Gunakan definisi fungsi trigonometri langsung "sinus" untuk sudut lancip, jika Anda mengetahui nilai sudut (α) di seberang kaki yang dihitung, dan panjang sisi miring (C). Ini menyatakan bahwa sinus yang diketahui ini adalah rasio panjang kaki yang diinginkan dengan panjang sisi miring. Ini adalah bahwa panjang kaki yang diinginkan sama dengan produk dari panjang sisi miring dan sinus dari sudut yang diketahui: A=C∗sin(α). Untuk nilai yang diketahui sama, Anda dapat menggunakan kosekan dan menghitung panjang yang diinginkan dengan membagi panjang sisi miring dengan kosekan dari sudut yang diketahui A=C/cosec(α).

Gunakan definisi fungsi kosinus trigonometri langsung jika, selain panjang sisi miring (C), nilai sudut lancip (β) yang berdekatan dengan yang diperlukan juga diketahui. Kosinus sudut ini adalah rasio panjang kaki yang diinginkan dan sisi miring, dan dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa panjang kaki sama dengan produk dari panjang sisi miring dan kosinus dari sudut yang diketahui: A=C∗cos(β). Anda dapat menggunakan definisi fungsi garis potong dan menghitung nilai yang diinginkan dengan membagi panjang sisi miring dengan garis potong dari sudut yang diketahui A=C/detik(β).

Turunkan rumus yang diperlukan dari definisi serupa untuk turunan tangen fungsi trigonometri, jika, selain nilai sudut lancip (α) yang terletak di seberang kaki yang diinginkan (A), panjang kaki kedua (B) adalah diketahui. Garis singgung sudut yang berlawanan dengan kaki yang diinginkan adalah rasio panjang kaki ini dengan panjang kaki kedua. Ini berarti bahwa nilai yang diinginkan akan sama dengan produk dari panjang kaki yang diketahui dan garis singgung dari sudut yang diketahui: A=B∗tg(α). Dari besaran-besaran yang diketahui ini, rumus lain dapat diturunkan menggunakan definisi fungsi kotangen. Dalam hal ini, untuk menghitung panjang kaki, perlu dicari perbandingan panjang kaki yang diketahui dengan kotangen dari sudut yang diketahui: A=B/ctg(α).

Video Terkait

Kata "katet" datang ke bahasa Rusia dari bahasa Yunani. Dalam terjemahan yang tepat, itu berarti garis tegak lurus, yaitu tegak lurus terhadap permukaan bumi. Dalam matematika, kaki disebut sisi yang membentuk sudut siku-siku pada segitiga siku-siku. Sisi yang berhadapan dengan sudut ini disebut hipotenusa. Istilah "kaki" juga digunakan dalam arsitektur dan teknologi pengelasan.

Garis potong dari sudut ini diperoleh dengan membagi sisi miring dengan kaki yang berdekatan, yaitu secCAB=c/b. Ternyata kebalikan dari kosinus, yaitu dapat dinyatakan dengan rumus secCAB=1/cosSAB.
Kosekan sama dengan hasil bagi membagi sisi miring dengan kaki yang berlawanan dan merupakan kebalikan dari sinus. Itu dapat dihitung menggunakan rumus cosecCAB=1/sinCAB

Kedua kaki saling berhubungan dan kotangen. PADA kasus ini tangen akan menjadi rasio sisi a ke sisi b, yaitu, kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan. Rasio ini dapat dinyatakan dengan rumus tgCAB=a/b. Dengan demikian, rasio terbalik akan menjadi kotangen: ctgCAB=b/a.

Rasio antara ukuran sisi miring dan kedua kaki ditentukan oleh Pythagoras Yunani kuno. Teorema, namanya, orang masih menggunakan. Dikatakan bahwa kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki, yaitu c2 \u003d a2 + b2. Dengan demikian, setiap kaki akan sama dengan akar kuadrat dari perbedaan antara kuadrat sisi miring dan kaki lainnya. Rumus ini dapat ditulis sebagai b=√(c2-a2).

Panjang kaki juga bisa diungkapkan melalui hubungan lho. Menurut teorema sinus dan cosinus, kaki sama dengan produk dari sisi miring dan salah satu fungsi ini. Anda dapat mengekspresikannya dan atau kotangen. Kaki a dapat ditemukan, misalnya, dengan rumus a \u003d b * tan CAB. Dengan cara yang persis sama, tergantung pada tangen atau , kaki kedua ditentukan.

Dalam arsitektur, istilah "kaki" juga digunakan. Itu diterapkan pada ibu kota ionik dan menembus bagian tengah punggungnya. Artinya, dalam hal ini, dengan istilah ini, tegak lurus terhadap garis yang diberikan.

Dalam teknologi pengelasan, ada "kaki las fillet". Seperti dalam kasus lain, ini adalah jarak terpendek. Di sini kita berbicara tentang celah antara salah satu bagian yang akan dilas dengan batas jahitan yang terletak di permukaan bagian lainnya.

Video Terkait

Sumber:

• apa kaki dan sisi miring pada tahun 2019

tingkat menengah

Segitiga siku-siku. Panduan bergambar lengkap (2019)

SEGITIGA SIKU-SIKU. TINGKAT PERTAMA.

Dalam masalah, sudut kanan sama sekali tidak diperlukan - sudut kiri bawah, jadi Anda perlu belajar cara mengenali segitiga siku-siku dalam bentuk ini,

dan seperti itu

dan seperti itu

Apa yang baik tentang segitiga siku-siku? Yah... pertama-tama, ada nama-nama cantik khusus untuk pestanya.

Perhatikan gambarnya!

Ingat dan jangan bingung: kaki - dua, dan sisi miring - hanya satu(satu-satunya, unik dan terpanjang)!

Nah, kita membahas nama-nama, sekarang hal yang paling penting: teorema Pythagoras.

Teori Pitagoras.

Teorema ini adalah kunci untuk memecahkan banyak masalah yang melibatkan segitiga siku-siku. Hal itu dibuktikan oleh Pythagoras di zaman dahulu kala, dan sejak itu telah membawa banyak manfaat bagi mereka yang mengetahuinya. Dan hal terbaik tentang dia adalah dia sederhana.

Jadi, Teori Pitagoras:

Apakah Anda ingat lelucon: "Celana Pythagoras sama di semua sisi!"?

Mari kita menggambar celana Pythagoras ini dan melihatnya.

Apakah itu benar-benar terlihat seperti celana pendek? Nah, di sisi mana dan di mana mereka sama? Mengapa dan dari mana lelucon itu berasal? Dan lelucon ini berhubungan persis dengan teorema Pythagoras, lebih tepatnya dengan cara Pythagoras sendiri merumuskan teoremanya. Dan dia merumuskannya seperti ini:

"Jumlah luas persegi, dibangun di atas kaki, sama dengan luas persegi dibangun di atas hipotenusa.

Tidakkah terdengar sedikit berbeda, bukan? Jadi, ketika Pythagoras menggambar pernyataan teoremanya, ternyata hanya gambaran seperti itu.

Pada gambar ini, jumlah luas persegi kecil sama dengan luas persegi besar. Dan agar anak-anak lebih ingat bahwa jumlah kuadrat kaki sama dengan kuadrat sisi miring, seseorang yang cerdas menemukan lelucon tentang celana Pythagoras ini.

Mengapa kita sekarang merumuskan teorema Pythagoras?

Apakah Pythagoras menderita dan berbicara tentang kotak?

Soalnya, di zaman kuno tidak ada ... aljabar! Tidak ada tanda-tanda dan sebagainya. Tidak ada prasasti. Bisakah Anda bayangkan betapa mengerikannya bagi siswa kuno yang malang untuk menghafal semuanya dengan kata-kata??! Dan kita bisa senang bahwa kita memiliki rumusan sederhana dari teorema Pythagoras. Mari kita ulangi lagi untuk lebih mengingat:

Sekarang seharusnya mudah:

Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya.

Nah, teorema terpenting tentang segitiga siku-siku dibahas. Jika Anda tertarik dengan cara membuktikannya, baca teori tingkat berikutnya, dan sekarang mari kita lanjutkan ... ke hutan gelap ... trigonometri! Untuk kata-kata mengerikan sinus, cosinus, tangen dan kotangen.

Sinus, cosinus, tangen, kotangen dalam segitiga siku-siku.

Faktanya, semuanya tidak begitu menakutkan sama sekali. Tentu saja, definisi "nyata" dari sinus, kosinus, tangen dan kotangen harus dilihat dalam artikel ini. Tapi kamu benar-benar tidak mau, kan? Kita bisa bergembira: untuk menyelesaikan soal tentang segitiga siku-siku, Anda cukup mengisi hal-hal sederhana berikut ini:

Mengapa semua tentang sudut? Di mana sudutnya? Untuk memahami ini, Anda perlu mengetahui bagaimana pernyataan 1 - 4 ditulis dalam kata-kata. Lihat, pahami, dan ingat!

1.
Ini sebenarnya terdengar seperti ini:

Bagaimana dengan sudutnya? Apakah ada kaki yang berhadapan dengan sudut, yaitu kaki yang berlawanan (untuk sudut)? Tentu saja punya! Ini adalah sebuah kateter!

Tapi bagaimana dengan sudutnya? Lihat dari dekat. Kaki mana yang berdekatan dengan sudut? Tentu saja, kucing. Jadi, untuk sudut, kaki berdekatan, dan

Dan sekarang, perhatian! Lihat apa yang kami dapatkan:

Lihat betapa hebatnya itu:

Sekarang mari kita beralih ke tangen dan kotangen.

Bagaimana memasukkannya ke dalam kata-kata sekarang? Apa kaki dalam kaitannya dengan sudut? Berlawanan, tentu saja - itu "terletak" di seberang sudut. Dan kateter? Berdekatan dengan sudut. Jadi apa yang kami dapatkan?

Lihat bagaimana pembilang dan penyebut dibalik?

Dan sekarang lagi sudut dan melakukan pertukaran:

Ringkasan

Mari kita tuliskan secara singkat apa yang telah kita pelajari.

Teori Pitagoras:

Teorema segitiga siku-siku utama adalah teorema Pythagoras.

teori Pitagoras

Ngomong-ngomong, apakah Anda ingat dengan baik apa itu kaki dan sisi miring? Jika tidak, maka lihat gambarnya - segarkan pengetahuan Anda

Ada kemungkinan bahwa Anda telah menggunakan teorema Pythagoras berkali-kali, tetapi pernahkah Anda bertanya-tanya mengapa teorema seperti itu benar. Bagaimana Anda akan membuktikannya? Mari kita lakukan seperti orang Yunani kuno. Mari kita menggambar persegi dengan sisi.

Anda lihat betapa liciknya kami membagi sisi-sisinya menjadi segmen-segmen panjang dan!

Sekarang mari kita hubungkan titik-titik yang ditandai

Di sini kami, bagaimanapun, mencatat sesuatu yang lain, tetapi Anda sendiri melihat gambar itu dan memikirkan alasannya.

Berapa luas persegi yang lebih besar? Benar, . Bagaimana dengan area yang lebih kecil? Tentu, . Total luas keempat sudut tetap. Bayangkan kita mengambil dua dari mereka dan bersandar satu sama lain dengan sisi miring. Apa yang terjadi? Dua persegi panjang. Jadi, luas "stek" sama.

Mari kita kumpulkan semuanya sekarang.

Mari kita ubah:

Jadi kami mengunjungi Pythagoras - kami membuktikan teoremanya dengan cara kuno.

Segitiga siku-siku dan trigonometri

Untuk segitiga siku-siku, hubungan berikut berlaku:

Sinus sudut lancip sama dengan rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring

Kosinus sudut lancip sama dengan rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.

Garis singgung sudut lancip sama dengan rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan.

Kotangen dari sudut lancip sama dengan rasio kaki yang berdekatan dengan kaki yang berlawanan.

Dan sekali lagi, semua ini dalam bentuk piring:

Sangat nyaman!

Tanda-tanda persamaan segitiga siku-siku

I. Dengan dua kaki

II. Dengan kaki dan sisi miring

AKU AKU AKU. Berdasarkan sisi miring dan sudut lancip

IV. Sepanjang kaki dan sudut lancip

sebuah)

b)

Perhatian! Di sini sangat penting bahwa kaki "sesuai". Misalnya, jika berjalan seperti ini:

MAKA SEGITIGA TIDAK SAMA, meskipun fakta bahwa mereka memiliki satu sudut lancip yang identik.

perlu di kedua segitiga kakinya berdekatan, atau di keduanya - berlawanan.

Pernahkah Anda memperhatikan bagaimana tanda persamaan segitiga siku-siku berbeda dari tanda persamaan segitiga biasa? Lihatlah topik "dan perhatikan fakta bahwa untuk kesetaraan segitiga "biasa", Anda memerlukan kesetaraan tiga elemennya: dua sisi dan sudut di antara mereka, dua sudut dan satu sisi di antara mereka, atau tiga sisi. Tetapi untuk persamaan segitiga siku-siku, hanya dua elemen yang bersesuaian saja yang cukup. Ini bagus, kan?

Kira-kira situasinya sama dengan tanda-tanda kesamaan segitiga siku-siku.

Tanda-tanda kesamaan segitiga siku-siku

I. Sudut lancip

II. Dengan dua kaki

AKU AKU AKU. Dengan kaki dan sisi miring

Median dalam segitiga siku-siku

Kenapa gitu?

Pertimbangkan seluruh persegi panjang, bukan segitiga siku-siku.

Mari kita menggambar sebuah diagonal dan memperhatikan sebuah titik – titik perpotongan dari diagonal-diagonal tersebut. Apa yang kamu ketahui tentang diagonal persegi panjang?

Dan apa yang mengikuti dari ini?

Jadi itu terjadi

1. - median:

Ingat fakta ini! Membantu banyak!

Yang lebih mengejutkan adalah bahwa kebalikannya juga benar.

Manfaat apa yang dapat diperoleh dari fakta bahwa median yang ditarik ke sisi miring sama dengan setengah sisi miring? Mari kita lihat gambarnya

Lihat dari dekat. Kami memiliki: , yaitu, jarak dari titik ke ketiga simpul segitiga ternyata sama. Tetapi dalam segitiga hanya ada satu titik, jarak dari ketiga simpul segitiga adalah sama, dan ini adalah PUSAT LINGKARAN yang dijelaskan. Jadi apa yang terjadi?

Jadi mari kita mulai dengan ini "selain ...".

Mari kita lihat saya.

Tetapi pada segitiga-segitiga yang sebangun semua sudutnya sama besar!

Hal yang sama dapat dikatakan tentang dan

Sekarang mari kita menggambar bersama:

Apa gunanya dapat ditarik dari kesamaan "tiga" ini.

Nah, misalnya - dua rumus tinggi segitiga siku-siku.

Kami menulis hubungan pihak-pihak terkait:

Untuk menemukan tinggi, kami memecahkan proporsi dan mendapatkan rumus pertama "Tinggi dalam segitiga siku-siku":

Jadi, mari kita terapkan kesamaannya: .

Apa yang akan terjadi sekarang?

Sekali lagi kami memecahkan proporsi dan mendapatkan rumus kedua:

Kedua rumus ini harus diingat dengan baik dan yang lebih nyaman untuk diterapkan. Mari kita tuliskan lagi.

Teori Pitagoras:

Dalam segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya:.

Tanda-tanda persamaan segitiga siku-siku:

• dengan dua kaki:
• sepanjang kaki dan sisi miring: or
• sepanjang kaki dan sudut lancip yang berdekatan: atau
• sepanjang kaki dan sudut lancip yang berlawanan: or
• dengan sisi miring dan sudut lancip: atau.

Tanda-tanda kesamaan segitiga siku-siku:

• satu sudut tajam: atau
• dari proporsionalitas kedua kaki:
• dari proporsionalitas kaki dan sisi miring: atau.

Sinus, kosinus, tangen, kotangen dalam segitiga siku-siku

• Sinus sudut lancip segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring:
• Kosinus sudut lancip segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring:
• Garis singgung sudut lancip segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan:
• Kotangen sudut lancip segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berdekatan dengan yang berlawanan:.

Tinggi segitiga siku-siku: atau.

Dalam segitiga siku-siku, median yang ditarik dari titik sudut siku-siku sama dengan setengah sisi miring: .

Luas segitiga siku-siku:

• melalui kateter:

Perbandingan kaki yang berhadapan dengan sisi miring disebut sinus sudut lancip segitiga siku-siku.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Cosinus sudut lancip segitiga siku-siku

Perbandingan kaki yang terdekat dengan sisi miring disebut cosinus sudut lancip segitiga siku-siku.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Garis singgung sudut lancip segitiga siku-siku

Perbandingan kaki sebelahnya dengan kaki sebelahnya disebut tangen sudut lancip segitiga siku-siku.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Kotangen dari sudut lancip segitiga siku-siku

Perbandingan kaki sebelah dengan kaki sebelahnya disebut kotangen sudut lancip segitiga siku-siku.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sinus dari sudut sembarang

Koordinat titik pada lingkaran satuan yang bersesuaian dengan sudut \alpha disebut sinus sudut sewenang-wenang rotasi \alpha .

\sin \alpha=y

Cosinus dari sudut sembarang

Absis suatu titik pada lingkaran satuan yang bersesuaian dengan sudut \alpha disebut cosinus sudut sembarang rotasi \alpha .

\cos \alpha=x

Tangen sudut sembarang

Rasio sinus dari sudut rotasi sewenang-wenang \alpha terhadap cosinusnya disebut tangen sudut sembarang rotasi \alpha .

tg \alfa = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Kotangen dari sudut sewenang-wenang

Rasio kosinus dari sudut rotasi sewenang-wenang \alpha terhadap sinusnya disebut kotangen dari sudut sewenang-wenang rotasi \alpha .

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Contoh mencari sudut sembarang

Jika \alpha adalah suatu sudut AOM , di mana M adalah titik pada lingkaran satuan, maka

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Misalnya, jika \angle AOM = -\frac(\pi)(4), maka : ordinat titik M adalah -\frac(\sqrt(2))(2), absisnya adalah \frac(\sqrt(2))(2) dan itulah kenapa

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \kiri (\frac(\pi)(4) \kanan)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Tabel nilai sinus cosinus garis singgung kotangen

Nilai sudut utama yang sering ditemui diberikan dalam tabel:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\kanan)	45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\kanan)	60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\kanan)	90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\kanan)	180^(\circ)\left(\pi\kanan)	270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\kanan)	360^(\circ)\left(2\pi\kanan)
\sin\alfa	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alfa	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alfa	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alfa	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—

Petunjuk

Segitiga disebut segitiga siku-siku jika salah satu sudutnya 90 derajat. Ini terdiri dari dua kaki dan sisi miring. Sisi miring adalah sisi terpanjang dari segitiga ini. Itu terletak di sudut kanan. Kaki, masing-masing, disebut sisi yang lebih kecil. Mereka dapat sama satu sama lain atau memiliki ukuran yang berbeda. Kesetaraan kaki yang Anda kerjakan dengan segitiga siku-siku. Keindahannya adalah ia menggabungkan dua sosok: segitiga siku-siku dan segitiga sama kaki. Jika kakinya tidak sama, maka segitiga itu sewenang-wenang dan menurut hukum dasar: semakin besar sudutnya, semakin banyak yang terletak di seberangnya berguling.

Ada beberapa cara untuk mencari sisi miring dan sudut. Tetapi sebelum menggunakan salah satunya, Anda harus menentukan yang mana dan sudut yang diketahui. Mengingat sebuah sudut dan kaki yang berdekatan dengannya, lebih mudah untuk menemukan sisi miring dengan kosinus sudut. Kosinus sudut lancip (cos a) dalam segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring. Ini menyiratkan bahwa sisi miring (c) akan sama dengan rasio kaki yang berdekatan (b) dengan kosinus sudut a (cos a). Ini dapat ditulis seperti ini: cos a=b/c => c=b/cos a.

Jika sebuah sudut dan kaki yang berlawanan diberikan, maka pekerjaan harus dilakukan. Sinus sudut lancip (sin a) dalam segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan (a) dengan sisi miring (c). Di sini prinsipnya sama seperti pada contoh sebelumnya, hanya sinus yang diambil alih-alih fungsi cosinus. sin a=a/c => c=a/sin a.

Anda juga dapat menggunakan fungsi trigonometri seperti . Tetapi menemukan nilai yang diinginkan sedikit lebih rumit. Garis singgung sudut lancip (tg a) dalam segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan (a) dengan kaki yang berdekatan (b). Setelah menemukan kedua kaki, terapkan teorema Pythagoras (kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki) dan yang lebih besar akan ditemukan.

catatan

Saat bekerja dengan teorema Pythagoras, jangan lupa bahwa Anda berurusan dengan gelar. Setelah menemukan jumlah kuadrat kaki, untuk mendapatkan jawaban akhir, Anda harus mengambil akar kuadrat.

Sumber:

• cara mencari kaki dan sisi miring

Hipotenusa adalah sisi dalam segitiga siku-siku yang berhadapan dengan sudut 90 derajat. Untuk menghitung panjangnya, cukup mengetahui panjang salah satu kakinya dan nilai salah satu sudut lancip segitiga.

Petunjuk

Dengan sudut siku-siku yang diketahui dan lancip, maka ukuran sisi miring adalah perbandingan kaki dengan / sudut ini, jika sudut yang diberikan berlawanan / berdekatan dengannya:

h = C1(atau C2)/sinα;

h = 1(atau 2)/cosα.

Contoh: Diketahui ABC dengan sisi miring AB dan C. Misal sudut B 60 derajat dan sudut A 30 derajat Panjang kaki BC adalah 8 cm, panjang sisi miring AB diperlukan. Untuk melakukan ini, Anda dapat menggunakan salah satu metode yang disarankan di atas:

AB=BC/cos60=8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

Kata " kaki” berasal dari kata Yunani “tegak lurus” atau “vertikal” - ini menjelaskan mengapa kedua sisi segitiga siku-siku, yang membentuk sudut sembilan puluh derajat, dinamai demikian. Cari panjang salah satu dari kaki ov tidak sulit jika nilai sudut yang berdekatan dengannya dan parameter lainnya diketahui, karena dalam hal ini nilai ketiga sudut sebenarnya akan diketahui.

Petunjuk

Jika, selain nilai sudut yang berdekatan (β), panjang sekon kaki a (b), maka panjangnya kaki dan (a) dapat didefinisikan sebagai hasil bagi dari panjang yang diketahui kaki dan pada sudut yang diketahui: a=b/tg(β). Ini mengikuti dari definisi trigonometri ini. Anda dapat melakukannya tanpa garis singgung jika Anda menggunakan teorema. Dari sini dapat disimpulkan bahwa panjang yang diinginkan dengan sinus dari sudut yang berlawanan dengan rasio panjang yang diketahui kaki tetapi untuk sinus dari sudut yang diketahui. Berlawanan dengan yang diinginkan kaki y sudut lancip dapat dinyatakan dalam sudut yang dikenal sebagai 180°-90°-β = 90°-β, karena jumlah semua sudut segitiga harus 180°, dan salah satu sudutnya sama dengan 90 °. Jadi panjang yang diinginkan kaki dan dapat dihitung dengan rumus a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

Jika besar sudut yang berdekatan (β) dan panjang sisi miring (c) diketahui, maka panjang kaki dan (a) dapat dihitung sebagai produk dari panjang sisi miring dan kosinus dari sudut yang diketahui: a=c∗cos(β). Ini mengikuti dari definisi kosinus sebagai fungsi trigonometri. Tetapi Anda dapat menggunakan, seperti pada langkah sebelumnya, teorema sinus dan kemudian panjang yang diinginkan kaki a akan sama dengan produk sinus antara 90° dan sudut yang diketahui dikalikan rasio panjang sisi miring terhadap sinus sudut siku-siku. Dan karena sinus 90° sama dengan satu, maka dapat ditulis sebagai berikut: a=sin(90°-β)∗c.

Perhitungan praktis dapat dilakukan, misalnya, menggunakan kalkulator perangkat lunak yang disertakan dalam sistem operasi Windows. Untuk menjalankannya, Anda dapat memilih item "Run" di menu utama pada tombol "Start", ketik perintah calc dan klik tombol "OK". Versi paling sederhana dari antarmuka program ini yang terbuka secara default tidak menyediakan fungsi trigonometri, jadi setelah meluncurkannya, Anda perlu mengklik bagian "Lihat" di menu dan pilih baris "Ilmiah" atau "Teknik" (tergantung pada versi sistem operasi yang Anda gunakan).

Video Terkait

Kata "katet" datang ke bahasa Rusia dari bahasa Yunani. Dalam terjemahan yang tepat, itu berarti garis tegak lurus, yaitu tegak lurus terhadap permukaan bumi. Dalam matematika, kaki disebut sisi yang membentuk sudut siku-siku pada segitiga siku-siku. Sisi yang berhadapan dengan sudut ini disebut hipotenusa. Istilah "kaki" juga digunakan dalam arsitektur dan teknologi pengelasan.

Gambarlah segitiga siku-siku ACB. Beri label kaki-kakinya a dan b, dan beri label sisi miringnya c. Semua sisi dan sudut segitiga siku-siku didefinisikan satu sama lain. Perbandingan kaki yang berhadapan dengan salah satu sudut lancip terhadap sisi miring disebut sinus sudut ini. Dalam segitiga ini sinCAB=a/c. Cosinus adalah rasio terhadap sisi miring dari kaki yang berdekatan, yaitu cosCAB=b/c. Hubungan terbalik disebut secan dan cosecan.

Garis potong dari sudut ini diperoleh dengan membagi sisi miring dengan kaki yang berdekatan, yaitu secCAB=c/b. Ternyata kebalikan dari kosinus, yaitu dapat dinyatakan dengan rumus secCAB=1/cosSAB.
Kosekan sama dengan hasil bagi membagi sisi miring dengan kaki yang berlawanan dan merupakan kebalikan dari sinus. Itu dapat dihitung menggunakan rumus cosecCAB=1/sinCAB

Kedua kaki saling berhubungan dan kotangen. Dalam hal ini, garis singgung akan menjadi rasio sisi a ke sisi b, yaitu, kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan. Rasio ini dapat dinyatakan dengan rumus tgCAB=a/b. Dengan demikian, rasio terbalik akan menjadi kotangen: ctgCAB=b/a.

Rasio antara ukuran sisi miring dan kedua kaki ditentukan oleh Pythagoras Yunani kuno. Teorema, namanya, orang masih menggunakan. Dikatakan bahwa kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki, yaitu c2 \u003d a2 + b2. Dengan demikian, setiap kaki akan sama dengan akar kuadrat dari perbedaan antara kuadrat sisi miring dan kaki lainnya. Rumus ini dapat ditulis sebagai b=√(c2-a2).

Panjang kaki juga bisa diungkapkan melalui hubungan lho. Menurut teorema sinus dan cosinus, kaki sama dengan produk dari sisi miring dan salah satu fungsi ini. Anda dapat mengekspresikannya dan atau kotangen. Kaki a dapat ditemukan, misalnya, dengan rumus a \u003d b * tan CAB. Dengan cara yang persis sama, tergantung pada tangen atau , kaki kedua ditentukan.

Dalam arsitektur, istilah "kaki" juga digunakan. Itu diterapkan pada ibu kota ionik dan menembus bagian tengah punggungnya. Artinya, dalam hal ini, dengan istilah ini, tegak lurus terhadap garis yang diberikan.

Dalam teknologi pengelasan, ada "kaki las fillet". Seperti dalam kasus lain, ini adalah jarak terpendek. Di sini kita berbicara tentang celah antara salah satu bagian yang akan dilas dengan batas jahitan yang terletak di permukaan bagian lainnya.

Video Terkait

Sumber:

• apa kaki dan sisi miring pada tahun 2019

Pada artikel ini, kami akan menunjukkan caranya definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut dan bilangan dalam trigonometri. Di sini kita akan berbicara tentang notasi, memberikan contoh catatan, memberikan ilustrasi grafis. Sebagai kesimpulan, kami menggambar paralel antara definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen dalam trigonometri dan geometri.

Navigasi halaman.

Pengertian sinus, cosinus, tangen, dan kotangen

Mari kita ikuti bagaimana konsep sinus, cosinus, tangen dan kotangen terbentuk dalam mata kuliah matematika sekolah. Dalam pelajaran geometri, definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen dari sudut lancip dalam segitiga siku-siku diberikan. Dan kemudian trigonometri dipelajari, yang mengacu pada sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut rotasi dan bilangan. Kami memberikan semua definisi ini, memberikan contoh dan memberikan komentar yang diperlukan.

Sudut lancip pada segitiga siku-siku

Dari mata kuliah geometri, definisi sinus, kosinus, tangen, dan kotangen dari sudut lancip dalam segitiga siku-siku telah diketahui. Mereka diberikan sebagai rasio sisi-sisi segitiga siku-siku. Kami menyajikan formulasi mereka.

Definisi.

Sinus sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring.

Definisi.

Cosinus sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.

Definisi.

Garis singgung sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan.

Definisi.

Kotangen sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berdekatan dengan kaki yang berlawanan.

Notasi sinus, cosinus, tangen dan kotangen juga diperkenalkan di sana - masing-masing sin, cos, tg dan ctg.

Sebagai contoh, jika ABC adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku C, maka sinus sudut lancip A sama dengan perbandingan kaki depan BC dengan sisi miring AB, yaitu sin∠A=BC/AB.

Definisi ini memungkinkan Anda untuk menghitung nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari sudut lancip dari panjang sisi segitiga siku-siku yang diketahui, serta dari nilai sinus, cosinus, garis singgung, kotangen dan panjang salah satu sisinya, tentukan panjang sisi yang lain. Misalnya, jika kita mengetahui bahwa pada segitiga siku-siku kaki AC adalah 3 dan sisi miring AB adalah 7 , maka kita dapat menghitung kosinus sudut lancip A dengan definisi: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Sudut rotasi

Dalam trigonometri, mereka mulai melihat sudut lebih luas - mereka memperkenalkan konsep sudut rotasi. Sudut rotasi, tidak seperti sudut lancip, tidak terbatas pada bingkai dari 0 hingga 90 derajat, sudut rotasi dalam derajat (dan dalam radian) dapat dinyatakan dengan bilangan real apa pun dari hingga +∞.

Dalam hal ini, definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen bukan lagi sudut lancip, tetapi sudut yang besarnya berubah-ubah - sudut rotasi. Mereka diberikan melalui koordinat x dan y dari titik A 1 , di mana titik awal yang disebut A(1, 0) lewat setelah berputar melalui sudut di sekitar titik O - awal dari sistem koordinat Cartesian persegi panjang dan pusat lingkaran satuan.

Definisi.

Sinus sudut rotasi adalah ordinat titik A 1 , yaitu sinα=y .

Definisi.

cosinus sudut rotasi disebut absis titik A 1 , yaitu cosα=x .

Definisi.

Tangen sudut rotasi adalah rasio ordinat titik A 1 dengan absisnya, yaitu, tgα=y/x .

Definisi.

Kotangen dari sudut rotasi adalah rasio absis titik A 1 dengan ordinatnya, yaitu ctgα=x/y .

Sinus dan kosinus didefinisikan untuk sembarang sudut , karena kita selalu dapat menentukan absis dan ordinat titik, yang diperoleh dengan memutar titik awal dengan sudut . Dan tangen dan kotangen tidak didefinisikan untuk setiap sudut. Garis singgung tidak didefinisikan untuk sudut seperti itu di mana titik awal menuju ke titik dengan nol absis (0, 1) atau (0, 1) , dan ini terjadi pada sudut 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Memang, pada sudut rotasi seperti itu, ekspresi tgα=y/x tidak masuk akal, karena mengandung pembagian dengan nol. Untuk kotangen, tidak ditentukan untuk sudut di mana titik awal menuju ke titik dengan ordinat nol (1, 0) atau (−1, 0), dan ini adalah kasus sudut 180° k , k Z (π k rad).

Jadi, sinus dan kosinus didefinisikan untuk setiap sudut rotasi, garis singgung didefinisikan untuk semua sudut kecuali 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), dan kotangen adalah untuk semua sudut kecuali 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Notasi yang sudah kita ketahui muncul dalam definisi sin, cos, tg dan ctg, mereka juga digunakan untuk menunjukkan sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut rotasi (kadang-kadang Anda dapat menemukan notasi tan dan cot yang sesuai dengan tangen dan kotangens). Jadi sinus sudut rotasi 30 derajat dapat ditulis sebagai sin30°, catatan tg(−24°17′) dan ctgα sesuai dengan tangen sudut rotasi 24 derajat 17 menit dan kotangen sudut rotasi . Ingatlah bahwa ketika menulis ukuran radian suatu sudut, notasi "rad" sering dihilangkan. Misalnya, cosinus dari sudut rotasi tiga pi rad biasanya dilambangkan cos3 .

Sebagai penutup paragraf ini, perlu diperhatikan bahwa dalam membicarakan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari sudut rotasi, frasa “sudut rotasi” atau kata “rotasi” sering dihilangkan. Artinya, alih-alih frasa "sinus sudut rotasi alfa", frasa "sinus sudut alfa" biasanya digunakan, atau bahkan lebih pendek - "sinus alfa". Hal yang sama berlaku untuk cosinus, dan tangen, dan kotangen.

Katakan juga bahwa definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari suatu sudut lancip pada segitiga siku-siku konsisten dengan definisi yang diberikan untuk sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari suatu sudut rotasi yang berkisar dari 0 hingga 90 derajat. Ini akan kami buktikan.

angka

Definisi.

Sinus, kosinus, tangen, dan kotangen suatu bilangan t adalah angka yang sama dengan sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut rotasi masing-masing dalam t radian.

Misalnya, kosinus 8 , menurut definisi, adalah bilangan yang sama dengan kosinus sudut 8 rad. Dan cosinus sudut pada 8 rad sama dengan satu, oleh karena itu cosinus dari angka 8 sama dengan 1.

Ada pendekatan lain untuk definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari suatu bilangan. Ini terdiri dari fakta bahwa setiap bilangan real t diberi titik lingkaran satuan yang berpusat di titik asal sistem koordinat persegi panjang, dan sinus, kosinus, tangen, dan kotangen ditentukan melalui koordinat titik ini. Mari kita membahas ini secara lebih rinci.

Mari kita tunjukkan bagaimana korespondensi antara bilangan real dan titik-titik lingkaran ditetapkan:

• angka 0 ditetapkan sebagai titik awal A(1, 0);
• angka positif t dikaitkan dengan titik pada lingkaran satuan, yang akan kita dapatkan jika kita bergerak mengelilingi lingkaran dari titik awal dalam arah berlawanan arah jarum jam dan melalui jalur dengan panjang t;
• angka negatif t dikaitkan dengan titik pada lingkaran satuan, yang akan kita dapatkan jika kita bergerak di sekitar lingkaran dari titik awal searah jarum jam dan melalui jalur dengan panjang |t| .

Sekarang mari kita beralih ke definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari bilangan t. Mari kita asumsikan bahwa angka t sesuai dengan titik lingkaran A 1 (x, y) (misalnya, angka &pi/2; sesuai dengan titik A 1 (0, 1) ).

Definisi.

Sinus suatu bilangan t adalah ordinat titik lingkaran satuan yang sesuai dengan bilangan t , yaitu sint=y .

Definisi.

Kosinus suatu bilangan t disebut absis dari titik lingkaran satuan yang sesuai dengan angka t , yaitu, biaya=x .

Definisi.

Tangen suatu bilangan t adalah rasio ordinat dengan absis titik lingkaran satuan yang sesuai dengan angka t, yaitu, tgt=y/x. Dalam formulasi lain yang setara, garis singgung dari angka t adalah rasio sinus dari angka ini dengan kosinus, yaitu, tgt=sint/biaya .

Definisi.

Kotangen suatu bilangan t adalah rasio absis terhadap ordinat titik lingkaran satuan yang sesuai dengan angka t, yaitu, ctgt=x/y. Rumusan lain adalah sebagai berikut: tangen bilangan t adalah perbandingan kosinus bilangan t dengan sinus bilangan t : ctgt=biaya/sint .

Di sini kami mencatat bahwa definisi yang baru saja diberikan setuju dengan definisi yang diberikan di awal subbagian ini. Memang, titik lingkaran satuan yang sesuai dengan angka t bertepatan dengan titik yang diperoleh dengan memutar titik awal melalui sudut t radian.

Penting juga untuk mengklarifikasi poin ini. Katakanlah kita memiliki sin3 di depan kita. Bagaimana memahami apakah sinus angka 3 atau sinus sudut rotasi 3 radian yang dimaksud? Ini biasanya jelas dari konteksnya, jika tidak, mungkin tidak masalah.

Fungsi trigonometri argumen sudut dan numerik

Menurut definisi yang diberikan dalam paragraf sebelumnya, setiap sudut rotasi sesuai dengan nilai sinα yang terdefinisi dengan baik, serta nilai cosα. Selain itu, semua sudut rotasi selain 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) sesuai dengan nilai tgα , dan selain 180° k , k∈Z (π k rad ) adalah nilai dari ctgα . Oleh karena itu sinα, cosα, tgα dan ctgα adalah fungsi dari sudut . Dengan kata lain, ini adalah fungsi dari argumen sudut.

Demikian pula, kita dapat berbicara tentang fungsi sinus, kosinus, tangen dan kotangen dari argumen numerik. Memang, setiap bilangan real t sesuai dengan nilai sint , serta biaya yang terdefinisi dengan baik . Selain itu, semua angka selain /2+π·k , k∈Z sesuai dengan nilai tgt , dan angka ·k , k∈Z sesuai dengan nilai ctgt .

Fungsi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen disebut fungsi trigonometri dasar.

Biasanya jelas dari konteksnya bahwa kita berurusan dengan fungsi trigonometri dari argumen sudut atau argumen numerik. Jika tidak, kita dapat menganggap variabel independen sebagai ukuran sudut (argumen sudut) dan argumen numerik.

Namun, sekolah terutama mempelajari fungsi numerik, yaitu fungsi yang argumennya, serta nilai fungsi yang sesuai, adalah angka. Oleh karena itu, jika kita berbicara tentang fungsi, maka disarankan untuk mempertimbangkan fungsi trigonometri sebagai fungsi argumen numerik.

Koneksi definisi dari geometri dan trigonometri

Jika kita mempertimbangkan sudut rotasi dari 0 hingga 90 derajat, maka data dalam konteks trigonometri definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut rotasi sepenuhnya konsisten dengan definisi sinus, cosinus , tangen dan kotangen dari sudut akut dalam segitiga siku-siku, yang diberikan dalam kursus geometri. Mari kita buktikan ini.

Mari kita menggambar lingkaran satuan dalam sistem koordinat Cartesian persegi panjang Oxy. Perhatikan titik awal A(1, 0) . Mari kita putar dengan sudut mulai dari 0 hingga 90 derajat, kita mendapatkan titik A 1 (x, y) . Mari kita turunkan tegak lurus A 1 H dari titik A 1 ke sumbu Ox.

Sangat mudah untuk melihat bahwa dalam segitiga siku-siku sudut A 1 OH sama dengan sudut rotasi , panjang kaki OH yang berdekatan dengan sudut ini sama dengan absis titik A 1, yaitu |OH |=x, panjang kaki A 1 H yang berhadapan dengan sudut sama dengan ordinat titik A 1 , yaitu |A 1 H|=y , dan panjang sisi miring OA 1 sama dengan satu , karena itu adalah jari-jari lingkaran satuan. Kemudian, menurut definisi dari geometri, sinus sudut lancip dalam segitiga siku-siku A 1 OH sama dengan rasio sisi yang berlawanan dengan sisi miring, yaitu, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Dan menurut definisi dari trigonometri, sinus sudut rotasi sama dengan ordinat titik A 1, yaitu sinα=y. Hal ini menunjukkan bahwa definisi sinus sudut lancip pada segitiga siku-siku sama dengan definisi sinus sudut putar untuk dari 0 hingga 90 derajat.

Demikian pula, dapat ditunjukkan bahwa definisi kosinus, tangen, dan kotangen dari sudut lancip konsisten dengan definisi kosinus, tangen, dan kotangen dari sudut rotasi .

Bibliografi.

1. Geometri. nilai 7-9: studi. untuk pendidikan umum institusi / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev dan lainnya]. - edisi ke-20. M.: Pendidikan, 2010. - 384 hal.: sakit. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometri: Prok. untuk 7-9 sel. pendidikan umum institusi / A. V. Pogorelov. - Edisi ke-2 - M.: Pencerahan, 2001. - 224 hal.: sakit. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Aljabar dan fungsi dasar: Buku teks untuk siswa kelas 9 sekolah menengah / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Diedit oleh Doktor Ilmu Fisika dan Matematika O. N. Golovin - edisi ke-4. Moskow: Pendidikan, 1969.
4. Aljabar: Prok. untuk 9 sel. rata-rata sekolah / Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Pencerahan, 1990.- 272 hal.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk 10-11 sel. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn dan lainnya; Ed. A. N. Kolmogorova.- edisi ke-14.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 hal.: sakit.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A.G. Aljabar dan awal dari analisis. Kelas 10. Pukul 2 siang Bagian 1: buku teks untuk lembaga pendidikan (tingkat profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Edisi ke-4, tambahkan. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Aljabar dan awal dari analisis matematis. Kelas 10: buku pelajaran. untuk pendidikan umum institusi: dasar dan profil. level /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A.B.Zhizhchenko. - edisi ke-3. - I.: Pendidikan, 2010. - 368 hal.: Sakit - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk 10-11 sel. rata-rata sekolah - edisi ke-3. - M.: Pencerahan, 1993. - 351 hal.: sakit. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.