Pengurangan pecahan diperlukan untuk membawa pecahan ke bentuk yang lebih sederhana, misalnya, dalam jawaban yang diperoleh sebagai hasil penyelesaian ekspresi.

Pengurangan pecahan, definisi dan rumus.

Apa itu pengurangan pecahan? Apa yang dimaksud dengan pengurangan pecahan?

Definisi:
Pengurangan pecahan- ini adalah pembagian pembilang dan penyebut pecahan dengan bilangan positif yang sama tidak sama dengan nol dan satu. Sebagai hasil dari pengurangan, diperoleh pecahan dengan pembilang dan penyebut yang lebih kecil, sama dengan pecahan sebelumnya menurut.

Rumus pengurangan pecahan sifat dasar bilangan rasional.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

Pertimbangkan sebuah contoh:
Kurangi pecahan \(\frac(9)(15)\)

Keputusan:
Kita dapat memfaktorkan pecahan menjadi faktor prima dan mengurangi faktor persekutuan.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

Jawaban: setelah pengurangan kita mendapatkan pecahan \(\frac(3)(5)\). Menurut sifat utama bilangan rasional, pecahan awal dan pecahan yang dihasilkan adalah sama.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Bagaimana cara mengurangi pecahan? Pengurangan pecahan menjadi bentuk yang tidak dapat direduksi.

Agar kita mendapatkan pecahan yang tidak dapat direduksi sebagai hasilnya, kita perlu menemukan pembagi persekutuan terbesar (gcd) untuk pembilang dan penyebut suatu pecahan.

Ada beberapa cara untuk mencari KPK, kita akan menggunakan penguraian bilangan menjadi faktor prima pada contoh.

Dapatkan pecahan tak tereduksi \(\frac(48)(136)\).

Keputusan:
Cari KPK(48, 136). Mari kita tuliskan angka 48 dan 136 menjadi faktor prima.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
KPK(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(merah) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(merah) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

Aturan untuk mengurangi pecahan menjadi bentuk yang tidak dapat direduksi.

1. Temukan pembagi persekutuan terbesar untuk pembilang dan penyebutnya.
2. Anda perlu membagi pembilang dan penyebut dengan pembagi persekutuan terbesar sebagai hasil dari pembagian untuk mendapatkan pecahan yang tidak dapat disederhanakan.

Contoh:
Kurangi pecahan \(\frac(152)(168)\).

Keputusan:
Cari KPK(152, 168). Mari kita tuliskan bilangan 152 dan 168 menjadi faktor prima.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
gcd(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(merah) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

Jawaban: \(\frac(19)(21)\) adalah pecahan tak tereduksi.

Singkatan dari pecahan biasa.

Bagaimana cara mengurangi pecahan biasa?
Aturan pengurangan pecahan untuk pecahan biasa dan pecahan biasa adalah sama.

Pertimbangkan sebuah contoh:
Kurangi pecahan biasa \(\frac(44)(32)\).

Keputusan:
Mari kita tuliskan pembilang dan penyebutnya menjadi faktor prima. Dan kemudian kami mengurangi faktor umum.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(merah) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)

Pengurangan pecahan campuran.

Pecahan campuran mengikuti aturan yang sama seperti pecahan biasa. Satu-satunya perbedaan adalah kita bisa jangan sentuh seluruh bagian, tetapi kurangi bagian pecahannya atau Ubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa, perkecil dan ubah kembali menjadi pecahan biasa.

Pertimbangkan sebuah contoh:
Kurangi pecahan campuran \(2\frac(30)(45)\).

Keputusan:
Mari kita selesaikan dengan dua cara:
Cara pertama:
Kami akan menulis bagian pecahan menjadi faktor prima, dan kami tidak akan menyentuh bagian bilangan bulat.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(merah) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)

Cara kedua:
Pertama kita terjemahkan ke pecahan biasa, lalu kita tulis ke faktor prima dan perkecil. Ubah pecahan biasa yang dihasilkan menjadi pecahan biasa.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(merah) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Pertanyaan-pertanyaan Terkait:
Bisakah pecahan dikurangi saat menambahkan atau mengurangi?
Jawaban: tidak, Anda harus menjumlahkan atau mengurangkan pecahan terlebih dahulu sesuai aturan, baru kemudian dikurangi. Pertimbangkan sebuah contoh:

Evaluasi ekspresi \(\frac(50+20-10)(20)\) .

Keputusan:
Mereka sering membuat kesalahan dengan mengurangi angka yang sama dalam pembilang dan penyebut dalam kasus kami, angka 20, tetapi mereka tidak dapat dikurangi sampai Anda melakukan penjumlahan dan pengurangan.

\(\frac(50+\color(merah) (20)-10)(\color(merah) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Dengan nomor berapa Anda dapat mengurangi pecahan?
Jawaban: Anda dapat mengurangi pecahan dengan pembagi persekutuan terbesar atau pembagi biasa dari pembilang dan penyebut. Misalnya, pecahan \(\frac(100)(150)\).

Mari kita tuliskan angka 100 dan 150 menjadi faktor prima.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Pembagi persekutuan terbesar adalah banyaknya gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

Kami mendapatkan pecahan tak tereduksi \(\frac(2)(3)\).

Tetapi tidak selalu harus membagi dengan FPB, pecahan yang tidak dapat disederhanakan tidak selalu diperlukan, Anda dapat mengurangi pecahan dengan pembagi sederhana dari pembilang dan penyebutnya. Misalnya, bilangan 100 dan 150 memiliki pembagi yang sama 2. Mari kita kurangi pecahan \(\frac(100)(150)\) dengan 2.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

Kami mendapatkan pecahan tereduksi \(\frac(50)(75)\).

Pecahan apa yang bisa direduksi?
Jawaban: Anda dapat mengurangi pecahan yang pembilang dan penyebutnya memiliki pembagi yang sama. Misalnya, pecahan \(\frac(4)(8)\). Angka 4 dan 8 memiliki angka yang keduanya habis dibagi oleh angka 2. Oleh karena itu, pecahan tersebut dapat dikurangi dengan angka 2.

Contoh:
Bandingkan dua pecahan \(\frac(2)(3)\) dan \(\frac(8)(12)\).

Kedua pecahan ini sama. Perhatikan pecahan \(\frac(8)(12)\) secara rinci:

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \times 1=\frac(2)(3)\)

Dari sini kita dapatkan, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Dua pecahan sama jika dan hanya jika salah satunya diperoleh dengan mengurangi pecahan lainnya dengan faktor persekutuan pembilang dan penyebut.

Contoh:
Kurangi pecahan berikut jika memungkinkan: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d ) \(\frac(100)(250)\)

Keputusan:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(merah) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(merah) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) pecahan tak tereduksi
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(merah) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ kali 5)=\frac(2)(5)\)

Pada artikel ini, kita akan melihat operasi dasar pecahan aljabar:

• pengurangan pecahan
• perkalian pecahan
• pembagian pecahan

Mari kita mulai dengan singkatan dari pecahan aljabar.

Tampaknya, algoritma jelas.

Ke pengurangan pecahan aljabar, membutuhkan

1. Faktorkan pembilang dan penyebut suatu pecahan.

2. Kurangi pengganda yang sama.

Namun, anak sekolah sering membuat kesalahan dengan "mengurangi" bukan faktornya, tetapi istilahnya. Misalnya, ada amatir yang "mengurangi" dengan pecahan dan mendapatkan hasilnya, yang tentu saja tidak benar.

Pertimbangkan contoh:

1. Kurangi pecahan:

1. Kami memfaktorkan pembilangnya menurut rumus kuadrat jumlah, dan penyebutnya menurut rumus selisih kuadrat

2. Bagi pembilang dan penyebutnya dengan

2. Kurangi pecahan:

1. Faktorkan pembilangnya. Karena pembilangnya terdiri dari empat suku, kami menerapkan pengelompokan.

2. Faktorkan penyebutnya. Hal yang sama berlaku untuk pengelompokan.

3. Mari kita tuliskan pecahan yang kita peroleh dan kurangi faktor yang sama:

Perkalian pecahan aljabar.

Saat mengalikan pecahan aljabar, kita mengalikan pembilang dengan pembilang, dan kita mengalikan penyebut dengan penyebut.

Penting! Tidak perlu terburu-buru untuk melakukan perkalian pada pembilang dan penyebut suatu pecahan. Setelah kita menulis hasil kali pembilang pecahan pada pembilangnya, dan hasil kali penyebut pada penyebutnya, kita perlu memfaktorkan setiap faktor dan mengurangi pecahannya.

Pertimbangkan contoh:

3. Sederhanakan ekspresi:

1. Mari kita tulis hasil kali pecahan: di pembilang hasil kali pembilangnya, dan di penyebutnya hasil kali penyebutnya:

2. Kami memfaktorkan setiap braket:

Sekarang kita perlu mengurangi pengganda yang sama. Perhatikan bahwa ekspresi dan hanya berbeda dalam tanda: dan sebagai hasil dari membagi ekspresi pertama dengan yang kedua, kita mendapatkan -1.

Jadi,

Kami melakukan pembagian pecahan aljabar sesuai dengan aturan berikut:

Yaitu Untuk membagi dengan pecahan, Anda perlu mengalikan dengan yang "terbalik".

Kita melihat bahwa pembagian pecahan direduksi menjadi perkalian, dan perkalian akhirnya bermuara pada pengurangan pecahan.

Pertimbangkan sebuah contoh:

4. Sederhanakan ekspresi:

Berdasarkan sifat utamanya: jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dibagi dengan polinomial bukan nol yang sama, maka akan diperoleh pecahan yang sama dengannya.

Anda hanya dapat mengurangi pengganda!

Anggota polinomial tidak dapat dikurangi!

Untuk mereduksi pecahan aljabar, polinomial pada pembilang dan penyebutnya harus difaktorkan terlebih dahulu.

Perhatikan contoh pengurangan pecahan.

Pembilang dan penyebut suatu pecahan adalah monomial. Mereka mewakili kerja(angka, variabel dan derajatnya), pengganda kita bisa mengurangi.

Kami mengurangi angka dengan pembagi persekutuan terbesarnya, yaitu dengan angka terbesar yang dengannya setiap angka yang diberikan dapat dibagi. Untuk 24 dan 36, ini adalah 12. Setelah pengurangan dari 24, 2 tetap, dari 36 - 3.

Kami mengurangi derajat dengan derajat dengan indikator terkecil. Mengurangi pecahan berarti membagi pembilang dan penyebut dengan pembagi yang sama, dan mengurangkan eksponen.

a² dan a⁷ dikurangi dengan a². Pada saat yang sama, satu tetap dalam pembilang dari a² (kami menulis 1 hanya jika tidak ada faktor lain yang tersisa setelah pengurangan. 2 tetap dari 24, jadi kami tidak menulis 1 yang tersisa dari a²). Dari a⁷ setelah reduksi tetap a⁵.

b dan b disingkat b, satuan yang dihasilkan tidak ditulis.

c³º dan c dikurangi dengan c⁵. Dari c³º, c²⁵ tetap, dari c⁵ - unit (kami tidak menulisnya). Dengan demikian,

Pembilang dan penyebut pecahan aljabar ini adalah polinomial. Tidak mungkin untuk mengurangi suku polinomial! (tidak dapat dikurangi, misalnya, 8x² dan 2x!). Untuk mengurangi fraksi ini, perlu. Pembilangnya memiliki faktor persekutuan 4x. Mari kita keluarkan dari tanda kurung:

Baik pembilang dan penyebutnya memiliki faktor yang sama (2x-3). Kami mengurangi pecahan dengan faktor ini. Pembilangnya 4x, penyebutnya 1. Menurut 1 sifat pecahan aljabar, pecahannya adalah 4x.

Anda hanya dapat mengurangi faktor (Anda tidak dapat mengurangi pecahan tertentu sebesar 25x²!). Oleh karena itu, polinomial pada pembilang dan penyebut suatu pecahan harus difaktorkan.

Pembilangnya adalah kuadrat penuh dari jumlah tersebut, dan penyebutnya adalah selisih kuadratnya. Setelah ekspansi dengan rumus perkalian disingkat, kita mendapatkan:

Kami mengurangi pecahan dengan (5x + 1) (untuk ini, dalam pembilang kami mencoret keduanya sebagai eksponen, dari (5x + 1)² akan tetap (5x + 1)):

Pembilang memiliki faktor persekutuan 2, mari kita keluarkan dari tanda kurung. Dalam penyebut - rumus selisih kubus:

Sebagai hasil dari ekspansi pembilang dan penyebut, kami mendapatkan faktor yang sama (9 + 3a + a²). Kami mengurangi fraksi di atasnya:

Polinomial dalam pembilang terdiri dari 4 suku. suku pertama dengan suku kedua, suku ketiga dengan suku keempat, dan kita keluarkan faktor persekutuan x² dari kurung pertama. Kami menguraikan penyebut sesuai dengan rumus jumlah kubus:

Di pembilang, kami mengeluarkan faktor persekutuan (x + 2) dari tanda kurung:

Kami mengurangi pecahan dengan (x + 2):

Pecahan dan pengurangannya adalah topik lain yang dimulai di kelas 5 SD. Di sini dasar dari tindakan ini terbentuk, dan kemudian keterampilan ini ditarik oleh seutas benang ke dalam matematika yang lebih tinggi. Jika siswa belum belajar, maka dia mungkin memiliki masalah dalam aljabar. Oleh karena itu, lebih baik untuk memahami beberapa aturan sekali dan untuk semua. Dan ingat satu larangan dan jangan pernah melanggarnya.

Pecahan dan pengurangannya

Apa itu, setiap siswa tahu. Setiap dua digit yang terletak di antara bilah horizontal segera dianggap sebagai pecahan. Namun, tidak semua orang mengerti bahwa nomor berapa pun bisa menjadi itu. Jika itu bilangan bulat, maka selalu bisa dibagi satu, maka Anda mendapatkan pecahan biasa. Tapi lebih lanjut tentang itu nanti.

Awal selalu sederhana. Pertama, Anda perlu mencari cara untuk mengurangi pecahan yang benar. Yaitu yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengingat properti utama pecahan. Ini menyatakan bahwa ketika mengalikan (serta membagi) pembilang dan penyebutnya dengan angka yang sama pada saat yang sama, pecahan asli yang setara diperoleh.

Tindakan pembagian yang dilakukan pada properti ini menghasilkan pengurangan. Artinya, penyederhanaan maksimal. Pecahan dapat dikurangi selama ada faktor persekutuan di atas dan di bawah garis. Ketika mereka tidak ada lagi, pengurangan tidak mungkin. Dan mereka mengatakan bahwa fraksi ini tidak dapat direduksi.

dua arah

1.Pengurangan bertahap. Ini menggunakan metode menebak, ketika kedua bilangan dibagi dengan faktor persekutuan minimum yang diperhatikan siswa. Jika setelah pengurangan pertama jelas bahwa ini bukan akhir, maka pembagian berlanjut. Sampai pecahan menjadi tak tereduksi.

2. Menemukan pembagi persekutuan terbesar dari pembilang dan penyebut. Ini yang paling cara rasional cara mengecilkan pecahan. Ini melibatkan pemfaktoran pembilang dan penyebut menjadi faktor prima. Di antara mereka, maka Anda harus memilih semuanya sama. Produk mereka akan memberikan faktor persekutuan terbesar yang dengannya fraksi berkurang.

Kedua metode ini setara. Siswa diundang untuk menguasainya dan menggunakan salah satu yang paling disukainya.

Bagaimana jika ada huruf dan operasi penjumlahan dan pengurangan?

Dengan bagian pertama dari pertanyaan, semuanya kurang lebih jelas. Huruf bisa disingkat seperti angka. Hal utama adalah bahwa mereka bertindak sebagai pengganda. Tetapi dengan yang kedua, banyak yang bermasalah.

Penting untuk diingat! Anda hanya dapat mengurangi angka yang merupakan faktor. Jika mereka adalah istilah, itu tidak mungkin.

Untuk memahami cara mengurangi pecahan yang terlihat seperti ekspresi aljabar, Anda perlu mempelajari aturannya. Pertama, nyatakan pembilang dan penyebutnya sebagai produk. Kemudian Anda dapat mengurangi jika ada faktor umum. Untuk representasi sebagai pengganda, trik berikut berguna:

• pengelompokan;
• tanda kurung;
• penerapan identitas perkalian yang disingkat.

Selain itu, metode yang terakhir memungkinkan untuk segera mendapatkan istilah dalam bentuk faktor. Oleh karena itu, harus selalu digunakan jika pola yang diketahui terlihat.

Tapi ini belum menakutkan, maka tugas dengan derajat dan akar muncul. Saat itulah Anda perlu mengumpulkan keberanian dan mempelajari beberapa aturan baru.

Ekspresi kekuatan

Pecahan. Hasil kali pembilang dan penyebutnya. Ada huruf dan angka. Dan mereka juga diangkat menjadi kekuatan, yang juga terdiri dari istilah atau faktor. Ada sesuatu yang harus ditakuti.

Untuk mengetahui cara mengurangi pecahan dengan kekuatan, Anda perlu mempelajari dua poin:

• jika ada jumlah dalam eksponen, maka itu dapat didekomposisi menjadi faktor-faktor, yang pangkatnya akan menjadi suku aslinya;
• jika selisihnya, maka menjadi dividen dan pembagi, yang pertama di tingkat akan dikurangi, yang kedua - dikurangi.

Setelah menyelesaikan langkah-langkah ini, pengganda umum menjadi terlihat. Dalam contoh seperti itu, tidak perlu menghitung semua kekuatan. Cukup dengan mengurangi derajat dengan indikator dan basis yang sama.

Untuk akhirnya menguasai cara mengurangi pecahan dengan kekuatan, Anda perlu banyak latihan. Setelah beberapa contoh dari jenis yang sama, tindakan akan dilakukan secara otomatis.

Bagaimana jika ekspresi mengandung root?

Bisa juga disingkat. Sekali lagi, ikuti saja aturannya. Selain itu, semua yang dijelaskan di atas adalah benar. Secara umum, jika pertanyaannya adalah bagaimana mengurangi pecahan dengan akar, maka Anda perlu membagi.

Itu juga dapat dibagi menjadi ekspresi irasional. Artinya, jika pembilang dan penyebutnya memiliki faktor-faktor yang sama yang diapit di bawah tanda akar, maka faktor-faktor tersebut dapat direduksi dengan aman. Ini akan menyederhanakan ekspresi dan menyelesaikan pekerjaan.

Jika, setelah pengurangan, irasionalitas tetap di bawah garis pecahan, maka Anda harus menyingkirkannya. Dengan kata lain, kalikan pembilang dan penyebutnya. Jika setelah operasi ini faktor-faktor umum muncul, maka mereka perlu dikurangi lagi.

Itu, mungkin, semua tentang cara mengurangi pecahan. Sedikit aturan, tapi satu larangan. Jangan pernah mengurangi persyaratan!

Artikel ini melanjutkan tema transformasi pecahan aljabar: pertimbangkan tindakan seperti pengurangan pecahan aljabar. Mari kita definisikan istilah itu sendiri, merumuskan aturan singkatan dan menganalisis contoh-contoh praktis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Arti Singkatan Pecahan Aljabar

Dalam materi pada fraksi biasa, kami mempertimbangkan pengurangannya. Kami telah mendefinisikan pengurangan pecahan biasa sebagai membagi pembilang dan penyebutnya dengan faktor persekutuan.

Mengurangi pecahan aljabar adalah operasi serupa.

Definisi 1

Pengurangan pecahan aljabar adalah pembagian pembilang dan penyebutnya dengan faktor persekutuan. Dalam hal ini, tidak seperti pengurangan pecahan biasa (hanya angka yang dapat menjadi penyebut bersama), polinomial, khususnya, monomial atau angka, dapat berfungsi sebagai faktor umum untuk pembilang dan penyebut pecahan aljabar.

Misalnya, pecahan aljabar 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 dapat dikurangi dengan angka 3, sehingga diperoleh: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 . Kita dapat mengurangi pecahan yang sama dengan variabel x, dan ini akan menghasilkan ekspresi 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . Dimungkinkan juga untuk mengurangi pecahan tertentu dengan monomial 3 x atau salah satu polinomial x + 2 tahun, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y atau 3x2 + 6xy.

Tujuan akhir dari pengurangan pecahan aljabar adalah pecahan dari bentuk yang lebih sederhana, paling-paling pecahan yang tidak dapat direduksi.

Apakah semua pecahan aljabar dapat direduksi?

Sekali lagi, dari materi tentang pecahan biasa, kita tahu bahwa ada pecahan yang dapat direduksi dan tidak dapat direduksi. Tidak dapat direduksi - ini adalah pecahan yang tidak memiliki faktor persekutuan pembilang dan penyebut, selain 1.

Dengan pecahan aljabar, semuanya sama: mereka mungkin atau mungkin tidak memiliki faktor persekutuan pembilang dan penyebut. Adanya faktor persekutuan memungkinkan Anda untuk menyederhanakan pecahan asli melalui reduksi. Bila tidak ada faktor persekutuan, tidak mungkin untuk mengoptimalkan pecahan tertentu dengan metode reduksi.

Dalam kasus umum, untuk jenis pecahan tertentu, cukup sulit untuk memahami apakah itu tunduk pada reduksi. Tentu saja, dalam beberapa kasus, keberadaan faktor persekutuan dari pembilang dan penyebut terlihat jelas. Misalnya, pada pecahan aljabar 3 · x 2 3 · y cukup jelas bahwa faktor persekutuannya adalah angka 3 .

Dalam pecahan - x · y 5 · x · y · z 3 kita juga segera memahami bahwa adalah mungkin untuk menguranginya dengan x, atau y, atau dengan x · y. Namun, contoh pecahan aljabar jauh lebih umum, ketika faktor persekutuan dari pembilang dan penyebut tidak begitu mudah dilihat, dan bahkan lebih sering - itu tidak ada.

Misalnya, kita dapat mengurangi pecahan x 3 - 1 x 2 - 1 dengan x - 1, sedangkan faktor persekutuan yang ditentukan tidak ada dalam catatan. Tetapi pecahan x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 tidak dapat diperkecil, karena pembilang dan penyebutnya tidak memiliki faktor persekutuan.

Jadi, pertanyaan untuk menemukan kontraktilitas suatu pecahan aljabar tidak begitu sederhana, dan seringkali lebih mudah untuk bekerja dengan pecahan dari bentuk tertentu daripada mencoba mencari tahu apakah itu dapat dikontrakkan. Dalam kasus ini, transformasi semacam itu terjadi sehingga dalam kasus tertentu memungkinkan kita untuk menentukan faktor persekutuan dari pembilang dan penyebut atau untuk menyimpulkan bahwa pecahan tidak dapat direduksi. Kami akan menganalisis masalah ini secara rinci di paragraf artikel berikutnya.

Aturan pengurangan pecahan aljabar

Aturan pengurangan pecahan aljabar terdiri dari dua langkah berurutan:

• mencari faktor persekutuan pembilang dan penyebutnya;
• dalam hal menemukan demikian, penerapan tindakan langsung pengurangan pecahan.

Metode yang paling mudah untuk menemukan penyebut yang sama adalah dengan memfaktorkan polinomial yang ada dalam pembilang dan penyebut dari pecahan aljabar yang diberikan. Ini memungkinkan Anda untuk segera melihat secara visual ada atau tidak adanya faktor umum.

Tindakan mereduksi pecahan aljabar didasarkan pada sifat utama pecahan aljabar, dinyatakan dengan persamaan undefined , di mana a , b , c adalah beberapa polinomial, dan b dan c bukan nol. Langkah pertama adalah mereduksi pecahan ke bentuk a c b c , di mana kita segera melihat faktor persekutuan c . Langkah kedua adalah melakukan reduksi, yaitu transisi ke pecahan bentuk a b .

Contoh tipikal

Terlepas dari beberapa kejelasan, mari kita perjelas tentang kasus khusus ketika pembilang dan penyebut pecahan aljabar sama. Pecahan sejenis identik sama dengan 1 pada seluruh ODZ dari variabel pecahan ini:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; xx = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y ;

Karena pecahan biasa adalah kasus khusus dari pecahan aljabar, mari kita ingat bagaimana mereka direduksi. Bilangan asli yang ditulis dalam pembilang dan penyebutnya dipecah menjadi faktor prima, kemudian faktor persekutuannya dikurangi (jika ada).

Misalnya, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Produk dari faktor-faktor identik sederhana dapat ditulis sebagai derajat, dan dalam proses pengurangan pecahan, gunakan sifat membagi derajat dengan basis yang sama. Maka solusi di atas akan menjadi:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(pembilang dan penyebut dibagi dengan faktor persekutuan 2 2 3). Atau, agar lebih jelas, berdasarkan sifat perkalian dan pembagian, kami akan memberikan solusi dalam bentuk berikut:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Dengan analogi, pengurangan pecahan aljabar dilakukan, di mana pembilang dan penyebutnya memiliki monomial dengan koefisien bilangan bulat.

Contoh 1

Diberikan pecahan aljabar - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Itu perlu dikurangi.

Keputusan

Dimungkinkan untuk menulis pembilang dan penyebut pecahan tertentu sebagai produk faktor prima dan variabel, dan kemudian mengurangi:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c c z = = - 3 3 a a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Namun, cara yang lebih rasional adalah dengan menulis solusi sebagai ekspresi dengan kekuatan:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6 .

Menjawab:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Ketika ada koefisien numerik pecahan dalam pembilang dan penyebut dari pecahan aljabar, ada dua kemungkinan cara untuk tindakan lebih lanjut: baik secara terpisah membagi koefisien pecahan ini, atau pertama-tama menghilangkan koefisien pecahan dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan beberapa bilangan asli . Transformasi terakhir dilakukan karena sifat utama pecahan aljabar (Anda dapat membacanya di artikel "Mengurangi pecahan aljabar menjadi penyebut baru").

Contoh 2

Diberikan pecahan 2 5 x 0, 3 x 3 . Itu perlu dikurangi.

Keputusan

Dimungkinkan untuk mengurangi pecahan dengan cara ini:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Mari kita coba menyelesaikan masalah secara berbeda, setelah sebelumnya menyingkirkan koefisien pecahan - kita mengalikan pembilang dan penyebut dengan kelipatan persekutuan terkecil dari koefisien ini, mis. per KPK(5, 10) = 10. Kemudian kita mendapatkan:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Jawaban: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Ketika kita mereduksi pecahan aljabar umum, di mana pembilang dan penyebutnya dapat berupa monomial dan polinomial, masalah mungkin muncul jika faktor persekutuan tidak selalu terlihat segera. Atau lebih dari itu, itu sama sekali tidak ada. Kemudian, untuk menentukan faktor persekutuan atau memperbaiki fakta ketidakhadirannya, pembilang dan penyebut pecahan aljabar difaktorkan.

Contoh 3

Diberikan pecahan rasional 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Itu perlu dipersingkat.

Keputusan

Mari kita memfaktorkan polinomial dalam pembilang dan penyebut. Mari kita lakukan tanda kurung:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Kami melihat bahwa ekspresi dalam tanda kurung dapat dikonversi menggunakan rumus perkalian yang disingkat:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Jelas terlihat bahwa adalah mungkin untuk mengurangi pecahan dengan faktor persekutuan b2 (a + 7). Mari kita lakukan pengurangan:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Kami menulis solusi singkat tanpa penjelasan sebagai rantai persamaan:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Menjawab: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b .

Kebetulan faktor-faktor umum disembunyikan oleh koefisien numerik. Kemudian, saat mengurangi pecahan, optimal untuk menghilangkan faktor numerik pada pangkat yang lebih tinggi dari pembilang dan penyebut.

Contoh 4

Diberikan pecahan aljabar 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Itu harus dikurangi jika memungkinkan.

Keputusan

Sepintas, pembilang dan penyebut tidak memiliki penyebut yang sama. Namun, mari kita coba mengubah pecahan yang diberikan. Mari kita keluarkan faktor x pada pembilangnya:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Sekarang Anda dapat melihat beberapa kesamaan antara ekspresi dalam tanda kurung dan ekspresi dalam penyebut karena x 2 y . Mari kita ambil koefisien numerik pada pangkat yang lebih tinggi dari polinomial ini:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Sekarang pengganda umum menjadi terlihat, kami melakukan pengurangan:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Menjawab: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Mari kita tekankan bahwa keterampilan mereduksi pecahan rasional bergantung pada kemampuan memfaktorkan polinomial.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter