Menurut definisi pembagian bilangan real definisi berikut ditetapkan.

Definisi. Membagi bilangan kompleks a + bi dengan bilangan kompleks a" + b"i berarti mencari bilangan x + yi yang jika dikalikan dengan pembagi akan menghasilkan pembagian.

Kita memperoleh aturan pembagian tertentu dengan menuliskan hasil bagi sebagai pecahan dan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan bilangan konjugasi penyebutnya: (a + bi):(c + di)=

Contoh 1. Tentukan hasil bagi (7 - 4i):(3 + 2i).

Setelah pecahan (7 - 4i)/(3 + 2i) ditulis, kita perluas menjadi bilangan 3 - 2i, konjugasi menjadi 3 + 2i. Kita mendapatkan:

((7 - 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 - 2i)) = (13 - 26i)/13 = 1 - 2i.

Contoh 1 paragraf sebelumnya memberi tanda centang.

Contoh 2. (-2 +5i)/(-3 -4i) = ((-2 + 5i)(-3 - 4i))/((-3 - 4i)(-3 + 4i)) = (-14 -23i)/25 = -0,56 - 0,92i.

Untuk membuktikan bahwa ruas kanan memang merupakan hasil bagi, cukup dikalikan dengan a" + b". Kami mendapatkan +bi.

Memecahkan persamaan dengan variabel kompleks

variabel penjumlahan bilangan kompleks

Mari kita perhatikan persamaan kuadrat paling sederhana z2 = a, di mana a adalah bilangan tertentu, z adalah bilangan yang tidak diketahui. Pada himpunan bilangan real, persamaannya adalah:

• 1) mempunyai satu akar z = 0 jika a = 0;
• 2) memiliki dua akar nyata z1,2 = jika a>0;
• 3) tidak mempunyai akar real jika a

Di lokasi syuting bilangan kompleks persamaan ini selalu mempunyai akar.

Soal 1. Temukan akar kompleks persamaan z2 = a jika:

• 1) a = -1; 2) a = -25; 3) a = -3.
• 1) z2 = -1. Karena i2 = -1, persamaan ini dapat ditulis sebagai z2 = i2, atau z2 - i2 = 0. Jadi, dengan memfaktorkan ruas kiri, kita peroleh (z-i)(z+i) = 0, z1 = i, z2 = - saya menjawab. z1,2 = saya.
• 2) z2 = -25. Mengingat i2 = -1, kita ubah persamaan ini:

z2 = i2 52, z2 - 52 i2= 0, (z-5i)(z+5i) = 0, maka z1 = 5i, z2 = -5i.Jawaban:

3) z2 = -3, z2 = i2()2, z2 - ()2i2 = 0, (z - i)(z + i) = 0

Jawaban: z1,2 = saya.

Secara umum persamaan z2 = a, dimana a< 0 имеет два akar yang kompleks: Z1,2= saya.

Menggunakan persamaan i2 = -1, akar kuadrat dari angka negatif Biasanya ditulis seperti ini: = i, = 2i, = i.

Jadi, didefinisikan untuk sembarang bilangan real a (positif, negatif, dan nol). Oleh karena itu, persamaan kuadrat apa pun az2 + bz + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real, dan 0, mempunyai akar-akar. Akar-akar ini ditemukan menurut rumus terkenal:

Soal 2. Selesaikan persamaan z2-4z+13=0. Dengan menggunakan rumus kita menemukan: z1,2 = = = 2 3i.

Perhatikan bahwa akar-akar yang ditemukan dalam soal ini adalah konjugat: z1=2+3i dan z2=2-3i. Mari kita cari jumlah dan hasil kali akar-akar berikut: z1+z2=(2+3i)+(2-3i)=4, z1z2=(2+3i)(2-3i)=13.

Angka 4 merupakan koefisien ke-2 dari persamaan z2-4z+13=0 yang diambil dari tanda yang berlawanan, dan bilangan 13 merupakan suku bebas, artinya dalam hal ini teorema Vieta valid. Ini berlaku untuk persamaan kuadrat apa pun: jika z1 dan z2 adalah akar-akar persamaan az2+bz+c = 0, z1+z2 = , z1z2 = .

Tugas 3. Buatlah persamaan kuadrat tereduksi dengan koefisien real yang mempunyai akar z1=-1-2i.

Akar kedua z2 dari persamaan tersebut adalah bilangan konjugat ke akar z1 tertentu, yaitu z2=-1+2i. Menggunakan teorema Vieta kita temukan

P=-(z1+z2)=2, q=z1z2=5. Jawabannya adalah z2-2z+5=0.

Definisi:

Bilangan kompleks = X – ya disebut bilangan konjugasi terhadap w = X + ya.

Contoh bilangan kompleks konjugasi:

–1 + 5Saya dan –1 – 5 Saya, 2 – 3Saya dan 2 + 3 Saya.

Untuk membagi dua bilangan kompleks bentuk aljabar Biasanya, pembilang dan penyebut suatu pecahan akan lebih mudah dikalikan dengan bilangan konjugasi penyebutnya.

Contoh 4 Lakukan pembagian: = [kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan bilangan konjugasi penyebutnya] =

perhatikan itu
adalah ekspresi, bukan angka, sehingga tidak bisa dianggap sebagai jawaban.

Contoh 5 Ikuti langkah ini:
=

=


=
.

Contoh 6 Ikuti langkah ini:
= [kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan bilangan konjugasi kedua bilangan penyebut tersebut] =

1. Mengekstraksi akar kuadrat suatu bilangan kompleks dalam bentuk aljabar

Definisi. Bilangan kompleks
ditelepon akar pangkat dua dari bilangan kompleks z, Jika
.

Contoh 7 Menghitung
.

Larutan. Membiarkan
= X + ya, Kemudian

Mari kita selesaikan persamaan biquadratic secara terpisah:

Jawaban:(‑3 + 4 Saya; 3 ‑ 4Saya}.

Solusi lain dimungkinkan setelah diperkenalkan bentuk trigonometri notasi bilangan kompleks (lihat hal. 14).

1. Menyelesaikan persamaan linier dan kuadrat untuk bilangan kompleks

Dalam domain bilangan kompleks, rumus yang sama berlaku untuk penyelesaian linier dan persamaan kuadrat, seperti di bidang bilangan real.

Contoh 8 Selesaikan persamaan: (‑2 ‑ Saya)z = 3 +Saya.

Contoh 9 Selesaikan persamaan:
.

Larutan. Mari kita gunakan rumus untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat:

Jawaban:(‑2 + Saya; ‑2 –Saya} .

Contoh 10 Selesaikan persamaan:
.

Larutan:

Jawaban:(1 - 2 Saya; 1 –Saya} .

Contoh 11 Selesaikan persamaan:
.

Larutan:

Mari kita hitung
:

Kita menyusun suatu sistem dengan menyamakan bagian nyata dan bagian imajiner dari kiri dan bagian yang tepat persamaan:

Jawaban:(2; Saya} .

Contoh 12 Selesaikan sistem persamaan:

Larutan. Kami menyatakan variabel dari persamaan pertama sistem X melalui variabel kamu:

Kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan konjugat penyebutnya:

Pada pembilang pecahan, buka tanda kurung dan sajikan suku-suku serupa:

Gantikan nilai variabel yang dihasilkan X ke persamaan kedua sistem:

;

Jawaban: (1 + Saya; Saya}.

1. Bentuk trigonometri penulisan bilangan kompleks

   1. Representasi geometris bilangan kompleks

Saat mempelajari sifat-sifat bilangan kompleks, interpretasi geometrisnya sangat mudah. Karena bilangan kompleks didefinisikan sebagai pasangan bilangan real, maka setiap bilangan kompleks z = A + dua diwakili oleh sebuah titik pada bidang ( X, kamu) dengan koordinat X = A Dan kamu = B. Pesawat ini disebut bidang kompleks, sumbu absis adalah nyata (Re z), dan sumbu ordinatnya adalah sumbu imajiner (Im z).

Contoh 13 Gambarlah pada bidang titik-titik yang sesuai dengan angka-angka:

R keputusan. Di nomor tersebut z 1 bagian nyata sama dengan -2, dan bilangan imajinernya adalah 0. Oleh karena itu, bayangan bilangan tersebut z 1 adalah titik (‑2, 0) (Gbr. 1.1).

Di nomor tersebut z 2 bagian real sama dengan 0, dan bagian imajiner sama dengan 3. Jadi, bayangan bilangan tersebut z 2 adalah titik (0, 3). Di nomor tersebut z 3 bagian real sama dengan 1, dan bagian imajiner sama dengan 4. Oleh karena itu, gambar nomor tersebut z 3 adalah titik (1, -4).

Di nomor tersebut z 4 bagian realnya adalah 1 dan bagian imajinernya adalah 1. Jadi, bayangan bilangan tersebut z 4 adalah poin (1, 1).

Di nomor tersebut z 5 bagian realnya -3, dan bagian imajinernya -2. Oleh karena itu, gambar nomor tersebut z 5 adalah poin (‑3, ‑2).

Bilangan konjugat diwakili oleh titik-titik bidang kompleks, simetris terhadap sumbu nyata Ulang z.