Pertimbangkan trapesium lengkung yang dibatasi oleh sumbu Ox, kurva y \u003d f (x) dan dua garis lurus: x \u003d a dan x \u003d b (Gbr. 85). Ambil nilai arbitrer dari x (hanya bukan a dan bukan b). Mari kita berikan kenaikan h = dx dan pertimbangkan garis yang dibatasi oleh garis lurus AB dan CD, oleh sumbu Ox, dan oleh busur BD milik kurva yang sedang dipertimbangkan. Strip ini akan disebut strip dasar. Luas garis dasar berbeda dari luas persegi panjang ACQB oleh segitiga lengkung BQD, dan luas yang terakhir lebih kecil dari luas persegi panjang BQDM dengan sisi BQ = =h= dx) QD=Ay dan luas sama dengan hAy = Ay dx. Saat sisi h berkurang, sisi Du juga berkurang dan, bersamaan dengan h, cenderung nol. Oleh karena itu, luas BQDM sangat kecil dari orde kedua. Luas bidang dasar adalah pertambahan luas, dan luas persegi panjang ACQB, sama dengan AB-AC==/(x) dx> adalah diferensial luas. Oleh karena itu, kami menemukan area itu sendiri dengan mengintegrasikan diferensialnya. Dalam batas-batas gambar yang sedang dipertimbangkan, variabel bebas l: berubah dari a ke b, sehingga luas yang diperlukan 5 akan sama dengan 5= \f (x) dx. (I) Contoh 1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola y - 1 -x *, garis lurus X \u003d - Fj-, x \u003d 1 dan sumbu O * (Gbr. 86). di Gambar. 87. Gambar. 86. 1 Di sini f(x) = 1 - l?, batas-batas integrasi a = - dan t = 1, maka 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Contoh 2. Hitung luas yang dibatasi oleh sinusoidal y = sinXy, sumbu Ox dan garis lurus (Gbr. 87). Dengan menerapkan rumus (I), kita memperoleh L 2 S \u003d J sinxdx \u003d [-cos x] Q \u003d 0 - (-1) \u003d lf Contoh 3. Hitung luas yang dibatasi oleh busur sinusoida ^y \ u003d sin jc diapit di antara dua titik perpotongan yang berdekatan dengan sumbu Ox (misalnya, antara titik asal dan titik dengan absis i). Perhatikan bahwa dari pertimbangan geometris jelas bahwa luas ini akan menjadi dua kali luas dari contoh sebelumnya. Namun, mari kita lakukan perhitungannya: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o Memang, asumsi kami ternyata adil. Contoh 4. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh sinusoidal dan sumbu ^ Ox pada satu periode (Gbr. 88). Penilaian ras-figur awal menunjukkan bahwa area tersebut akan menjadi empat kali lebih besar daripada di pr. 2. Namun, setelah melakukan perhitungan, kita mendapatkan “i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. Hasil ini memerlukan klarifikasi. Untuk memperjelas esensi masalah, kami juga menghitung area yang dibatasi oleh sinusoidal yang sama y \u003d sin l: dan sumbu Ox mulai dari l hingga 2n. Menerapkan rumus (I), kami memperoleh Jadi, kita melihat bahwa daerah ini ternyata negatif. Membandingkannya dengan luas yang dihitung pada Kel. 3, kami menemukan bahwa nilai absolutnya sama, tetapi tandanya berbeda. Jika kita menerapkan properti V (lihat Bab XI, 4), maka kita dapatkan secara kebetulan. Selalu area di bawah sumbu x, asalkan variabel bebas berubah dari kiri ke kanan, diperoleh dengan menghitung menggunakan integral negatif. Dalam kursus ini, kami akan selalu mempertimbangkan area yang tidak ditandatangani. Oleh karena itu, jawaban dalam contoh yang baru saja dianalisis adalah sebagai berikut: luas yang dibutuhkan sama dengan 2 + |-2| = 4. Contoh 5. Mari kita hitung luas BAB yang ditunjukkan pada Gambar. 89. Daerah ini dibatasi oleh sumbu Ox, parabola y = - xr dan garis lurus y - = -x + \. Luas trapesium lengkung Luas yang dicari OAB terdiri dari dua bagian yaitu OAM dan MAB. Karena titik A adalah titik perpotongan parabola dan garis lurus, kita akan menemukan koordinatnya dengan menyelesaikan sistem persamaan 3 2 Y \u003d mx. (kita hanya perlu mencari absis titik A). Memecahkan sistem, kami menemukan l; =~. Oleh karena itu, luas harus dihitung dalam bagian, pertama pl. OAM, dan kemudian pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x (alas trapesium lengkung) menjadi n bagian yang sama; partisi ini layak dengan bantuan titik x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Mari kita menggambar garis melalui titik-titik ini sejajar dengan sumbu y. Kemudian trapesium lengkung yang diberikan akan dibagi menjadi n bagian, menjadi n kolom sempit. Luas seluruh trapesium sama dengan jumlah luas kolom.

Pertimbangkan secara terpisah kolom ke-k, mis. trapesium lengkung, yang dasarnya adalah segmen. Mari kita ganti dengan persegi panjang dengan alas dan tinggi yang sama dengan f(x k) (lihat gambar). Luas persegi panjang adalah \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), di mana \(\Delta x_k \) adalah panjang segmen; wajar untuk mempertimbangkan produk yang dikompilasi sebagai nilai perkiraan luas kolom ke-k.

Jika sekarang kita melakukan hal yang sama dengan semua kolom lainnya, maka kita sampai pada hasil berikut: luas S dari trapesium lengkung yang diberikan kira-kira sama dengan luas S n dari bangun bertingkat yang terdiri dari n persegi panjang (lihat gambar):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \titik + f(x_k)\Delta x_k + \titik + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Di sini, demi keseragaman notasi, kami menganggap bahwa a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - panjang segmen , \(\Delta x_1 \) - panjang segmen , dll; sementara, seperti yang kita sepakati di atas, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Jadi, \(S \approx S_n \), dan persamaan perkiraan ini adalah semakin akurat, semakin besar n.
Menurut definisi, diyakini bahwa luas trapesium lengkung yang diinginkan sama dengan batas barisan (S n):
$$ S = \lim_(n \ke \infty) S_n $$

Tugas 2(tentang memindahkan titik)
Sebuah titik material bergerak dalam garis lurus. Ketergantungan kecepatan terhadap waktu dinyatakan dengan rumus v = v(t). Tentukan perpindahan suatu titik selama selang waktu [a; b].
Keputusan. Jika gerakannya seragam, maka masalahnya akan diselesaikan dengan sangat sederhana: s = vt, yaitu. s = v(b-a). Untuk gerakan yang tidak rata, kita harus menggunakan ide yang sama yang menjadi dasar pemecahan masalah sebelumnya.
1) Bagilah selang waktu [a; b] menjadi n bagian yang sama.
2) Pertimbangkan selang waktu dan asumsikan bahwa selama selang waktu ini kecepatannya konstan, seperti pada waktu t k . Jadi, kita asumsikan v = v(t k).
3) Temukan nilai perkiraan perpindahan titik selama interval waktu , nilai perkiraan ini akan dilambangkan dengan s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Temukan nilai perkiraan perpindahan s:
\(s \kira-kira S_n \) di mana
\(S_n = s_0 + \titik + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \titik + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Perpindahan yang diperlukan sama dengan limit barisan (S n):
$$ s = \lim_(n \ke \infty) S_n $$

Mari kita meringkas. Solusi dari berbagai masalah direduksi menjadi model matematika yang sama. Banyaknya permasalahan dari berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi mengarah pada model yang sama dalam proses penyelesaiannya. Jadi, model matematika ini harus dipelajari secara khusus.

Konsep integral tertentu

Mari kita berikan deskripsi matematis dari model yang dibangun dalam tiga masalah yang dipertimbangkan untuk fungsi y = f(x), yang kontinu (tetapi tidak harus non-negatif, seperti yang diasumsikan dalam masalah yang dipertimbangkan) pada segmen [ sebuah; b]:
1) membagi segmen [a; b] menjadi n bagian yang sama;
2) jumlah $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) menghitung $$ \lim_(n \ke \infty) S_n $$

Dalam proses analisis matematis, terbukti bahwa limit ini ada dalam kasus fungsi kontinu (atau kontinu sepotong-sepotong). Dia dipanggil integral tertentu dari fungsi y = f(x) pada ruas [a; b] dan dilambangkan seperti ini:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Bilangan a dan b disebut batas integral (masing-masing atas dan bawah).

Mari kembali ke tugas yang dibahas di atas. Definisi luas yang diberikan dalam masalah 1 sekarang dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
di sini S adalah luas trapesium lengkung yang ditunjukkan pada gambar di atas. ini adalah apa pengertian geometri dari integral tertentu.

Definisi perpindahan s dari sebuah titik yang bergerak pada garis lurus dengan kecepatan v = v(t) selama selang waktu dari t = a ke t = b, diberikan dalam Soal 2, dapat ditulis ulang sebagai berikut:

rumus Newton - Leibniz

Untuk memulainya, mari kita jawab pertanyaan: apa hubungan antara integral tertentu dan antiturunan?

Jawabannya dapat ditemukan pada soal 2. Di satu sisi, perpindahan s dari sebuah titik yang bergerak sepanjang garis lurus dengan kecepatan v = v(t) selama selang waktu dari t = a ke t = b dan dihitung dengan rumusnya
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Di sisi lain, koordinat titik bergerak adalah antiturunan untuk kecepatan - mari kita nyatakan s(t); maka perpindahan s dinyatakan dengan rumus s = s(b) - s(a). Hasilnya, kita mendapatkan:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
di mana s(t) adalah antiturunan untuk v(t).

Teorema berikut ini dibuktikan dalam proses analisis matematis.
Dalil. Jika fungsi y = f(x) kontinu pada ruas [a; b], maka rumusnya
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
di mana F(x) adalah antiturunan untuk f(x).

Rumus ini biasanya disebut rumus Newton-Leibniz untuk menghormati fisikawan Inggris Isaac Newton (1643-1727) dan filsuf Jerman Gottfried Leibniz (1646-1716), yang menerimanya secara independen satu sama lain dan hampir bersamaan.

Dalam praktiknya, alih-alih menulis F(b) - F(a), mereka menggunakan notasi \(\left. F(x)\right|_a^b \) (kadang-kadang disebut substitusi ganda) dan, karenanya, tulis ulang rumus Newton-Leibniz dalam bentuk ini:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \kiri. F(x)\kanan|_a^b \)

Menghitung integral tertentu, pertama cari antiturunannya, lalu lakukan substitusi ganda.

Berdasarkan rumus Newton-Leibniz, diperoleh dua sifat integral tertentu.

Properti 1. Integral jumlah fungsi sama dengan jumlah integral:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Properti 2. Faktor konstanta dapat diambil dari tanda integral:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Menghitung luas bangun datar menggunakan integral tertentu

Dengan menggunakan integral, Anda dapat menghitung luas tidak hanya trapesium lengkung, tetapi juga bangun datar dari jenis yang lebih kompleks, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Gambar P dibatasi oleh garis lurus x = a, x = b dan grafik fungsi kontinu y = f(x), y = g(x), dan pada ruas [a; b] ketidaksamaan \(g(x) \leq f(x) \) berlaku. Untuk menghitung luas S dari gambar tersebut, kita akan melanjutkan sebagai berikut:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Jadi, luas S dari gambar yang dibatasi oleh garis lurus x = a, x = b dan grafik fungsi y = f(x), y = g(x), kontinu pada segmen dan sedemikian rupa sehingga untuk setiap x dari segmen [a; b] pertidaksamaan \(g(x) \leq f(x) \) dipenuhi, dihitung dengan rumus
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabel integral tak tentu (antiturunan) dari beberapa fungsi

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$

Mundur ke depan

Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili keseluruhan presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.

Kata kunci: integral, trapesium lengkung, luas gambar yang dibatasi oleh bunga lili

Peralatan: papan tulis, komputer, proyektor multimedia

Jenis pelajaran: pelajaran-kuliah

Tujuan Pelajaran:

• pendidikan: membentuk budaya kerja mental, menciptakan situasi keberhasilan bagi setiap siswa, membentuk motivasi belajar yang positif; mengembangkan kemampuan untuk berbicara dan mendengarkan orang lain.
• mengembangkan: pembentukan kemandirian berpikir siswa dalam penerapan pengetahuan dalam berbagai situasi, kemampuan menganalisis dan menarik kesimpulan, pengembangan logika, pengembangan kemampuan mengajukan pertanyaan dan menemukan jawaban dengan benar. Meningkatkan pembentukan komputasi, keterampilan menghitung, mengembangkan pemikiran siswa selama melakukan tugas yang diusulkan, mengembangkan budaya algoritmik.
• pendidikan: membentuk konsep tentang trapesium lengkung, tentang integral, menguasai keterampilan menghitung luas bangun datar

Metode mengajar: penjelasan dan ilustrasi.

Selama kelas

Di kelas-kelas sebelumnya, kita telah mempelajari cara menghitung luas bangun-bangun yang batas-batasnya berupa garis putus-putus. Dalam matematika, ada metode yang memungkinkan Anda menghitung luas angka yang dibatasi oleh kurva. Angka-angka seperti itu disebut trapesium lengkung, dan luasnya dihitung menggunakan antiturunan.

Trapesium lengkung ( geser 1)

Trapesium lengkung adalah bangun datar yang dibatasi oleh grafik fungsi, ( w.m.), lurus x = dan x = b dan absis

Berbagai jenis trapesium lengkung ( geser 2)

Kami mempertimbangkan berbagai jenis trapesium lengkung dan memperhatikan: salah satu garis diturunkan menjadi titik, peran fungsi pembatas dimainkan oleh garis

Luas trapesium lengkung (slide 3)

Perbaiki ujung kiri interval sebuah, dan benar X kita akan berubah, yaitu, kita memindahkan dinding kanan trapesium lengkung dan mendapatkan angka yang berubah. Luas trapesium lengkung variabel yang dibatasi oleh grafik fungsi adalah antiturunannya F untuk fungsi f

Dan pada segmen [ sebuah; b] luas trapesium lengkung yang dibentuk oleh fungsi f, sama dengan kenaikan antiturunan dari fungsi ini:

Latihan 1:

Temukan luas trapesium lengkung yang dibatasi oleh grafik fungsi: f(x) = x 2 dan langsung y=0, x=1, x=2.

Keputusan: ( sesuai dengan algoritma slide 3)

Gambarlah grafik fungsi dan garisnya!

Temukan salah satu antiturunan dari fungsi f(x) = x 2 :

Geser Periksa Sendiri

Integral

Pertimbangkan trapesium lengkung yang diberikan oleh fungsi f pada segmen [ sebuah; b]. Mari kita pecahkan segmen ini menjadi beberapa bagian. Luas seluruh trapesium akan dibagi menjadi jumlah luas trapesium lengkung yang lebih kecil. ( geser 5). Setiap trapesium seperti itu dapat dianggap sebagai persegi panjang. Jumlah luas persegi panjang ini memberikan gambaran perkiraan tentang seluruh luas trapesium lengkung. Semakin kecil kita memecah segmen [ sebuah; b], semakin akurat kita menghitung luasnya.

Kami menulis pertimbangan ini dalam bentuk rumus.

Bagilah segmen [ sebuah; b] menjadi n bagian dengan titik x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b. Panjang k- th dilambangkan dengan xk = xk - xk-1. Mari kita simpulkan

Secara geometris, jumlah ini adalah luas gambar yang diarsir pada gambar ( sh.m.)

Jumlah dari bentuk disebut jumlah integral untuk fungsi f. (sch.m.)

Jumlah integral memberikan nilai perkiraan area. Nilai eksak diperoleh dengan melewati batas. Bayangkan kita memperbaiki partisi segmen [ sebuah; b] sehingga panjang semua segmen kecil cenderung nol. Maka luas bangun bangun akan mendekati luas trapesium lengkung. Kita dapat mengatakan bahwa luas trapesium lengkung sama dengan batas jumlah integral, Sk.t. (sch.m.) atau integral, yaitu

Definisi:

integral fungsi f(x) dari sebuah sebelum b disebut limit jumlah integral

= (sch.m.)

rumus Newton-Leibniz.

Ingatlah bahwa limit jumlah integral sama dengan luas trapesium lengkung, sehingga kita dapat menulis:

Sk.t. = (sch.m.)

Di sisi lain, luas trapesium lengkung dihitung dengan rumus

S ke t. (sch.m.)

Membandingkan formula ini, kita mendapatkan:

= (sch.m.)

Persamaan ini disebut rumus Newton-Leibniz.

Untuk memudahkan perhitungan, rumusnya ditulis sebagai:

= = (sch.m.)

Tugas: (sch.m.)

1. Hitung integral menggunakan rumus Newton-Leibniz: ( cek slide 5)

2. Susun integral sesuai gambar ( cek di slide 6)

3. Temukan luas bangun yang dibatasi oleh garis: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( Geser 7)

Mencari luas bangun datar ( geser 8)

Bagaimana cara mencari luas bangun yang bukan trapesium lengkung?

Biarkan dua fungsi diberikan, grafik yang Anda lihat di slide . (sch.m.) Cari luas bangun yang diarsir . (sch.m.). Apakah bangun di atas merupakan trapesium lengkung? Dan bagaimana Anda dapat menemukan luasnya, menggunakan properti aditif dari area tersebut? Pertimbangkan dua trapesium lengkung dan kurangi luas yang lain dari luas salah satunya ( w.m.)

Mari kita buat algoritma untuk mencari luas dari animasi pada slide:

1. Fungsi Plot
2. Proyeksikan titik potong grafik ke sumbu x
3. Warnai gambar yang diperoleh dengan melintasi grafik
4. Temukan trapesium lengkung yang persimpangan atau persatuannya adalah gambar yang diberikan.
5. Hitung luas masing-masing
6. Temukan perbedaan atau jumlah area

Tugas lisan: Cara mendapatkan luas bangun yang diarsir (ceritakan menggunakan animasi, slide 8 dan 9)

Pekerjaan rumah: Kerjakan abstraknya, No. 353 (a), No. 364 (a).

Bibliografi

1. Aljabar dan analisis awal: buku teks untuk kelas 9-11 sekolah malam (shift) / red. G.D. Glaser. - M: Pencerahan, 1983.
2. Bashmakov M.I. Aljabar dan analisis awal: buku teks untuk kelas 10-11 sekolah menengah / Bashmakov M.I. - M: Pencerahan, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matematika: buku teks untuk institusi awal. dan rata-rata prof. pendidikan / M.I. Basmakov. - L: Akademi, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Aljabar dan awal analisis: buku teks untuk 10-11 sel. lembaga pendidikan / A.N. Kolmogorov. - M: Pencerahan, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Bagaimana cara membuat presentasi untuk pelajaran? / S.L. Ostrovsky. – M.: Pertama September 2010.

Pekerjaan selesai

KARYA INI

Banyak yang sudah ketinggalan dan sekarang Anda adalah lulusan, jika, tentu saja, Anda menulis tesis Anda tepat waktu. Tetapi hidup adalah sesuatu yang baru sekarang menjadi jelas bagi Anda bahwa, setelah berhenti menjadi siswa, Anda akan kehilangan semua kegembiraan siswa, banyak di antaranya yang belum Anda coba, menunda semuanya dan menundanya untuk nanti. Dan sekarang, alih-alih mengejar ketinggalan, Anda mengutak-atik tesis Anda? Ada jalan keluar yang bagus: unduh tesis yang Anda butuhkan dari situs web kami - dan Anda akan langsung memiliki banyak waktu luang!
Karya diploma telah berhasil dipertahankan di Universitas terkemuka di Republik Kazakhstan.
Biaya pengerjaan mulai 20.000 tenge

PEKERJAAN KURSUS

Proyek kursus adalah kerja praktek serius pertama. Dengan menulis makalah, persiapan untuk pengembangan proyek kelulusan dimulai. Jika seorang siswa belajar untuk menyatakan dengan benar isi topik dalam proyek kursus dan menggambarnya dengan benar, maka di masa depan dia tidak akan memiliki masalah baik dengan menulis laporan, atau dengan menyusun tesis, atau dengan melakukan tugas-tugas praktis lainnya. Untuk membantu siswa dalam menulis jenis pekerjaan siswa ini dan untuk memperjelas pertanyaan yang muncul selama persiapannya, sebenarnya, bagian informasi ini dibuat.
Biaya kerja dari 2.500 tenge

TESIS MASTER

Saat ini, di lembaga pendidikan tinggi Kazakhstan dan negara-negara CIS, tahap pendidikan profesional yang lebih tinggi, yang mengikuti setelah gelar sarjana - gelar master, sangat umum. Di magistrasi, siswa belajar dengan tujuan memperoleh gelar master, yang diakui di sebagian besar negara di dunia lebih dari gelar sarjana, dan juga diakui oleh pemberi kerja asing. Hasil pelatihan magistrasi adalah pembelaan tesis master.
Kami akan menyediakan Anda dengan bahan analitis dan tekstual up-to-date, harga termasuk 2 artikel ilmiah dan abstrak.
Biaya pengerjaan mulai 35.000 tenge

LAPORAN PRAKTEK

Setelah menyelesaikan semua jenis praktik siswa (pendidikan, industri, sarjana) laporan diperlukan. Dokumen ini akan menjadi penegasan kerja praktek mahasiswa dan dasar pembentukan penilaian untuk praktek. Biasanya, untuk menyusun laporan magang, Anda perlu mengumpulkan dan menganalisis informasi tentang perusahaan, mempertimbangkan struktur dan jadwal kerja organisasi tempat magang berlangsung, menyusun rencana kalender dan menjelaskan kegiatan praktis Anda.
Kami akan membantu Anda menulis laporan magang, dengan mempertimbangkan kekhususan kegiatan perusahaan tertentu.

Contoh 1 . Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3, dan x = 2

Mari kita membangun sebuah gambar (lihat Gbr.) Kami membangun garis lurus x + 2y - 4 \u003d 0 di sepanjang dua titik A (4; 0) dan B (0; 2). Mengekspresikan y dalam x, kami mendapatkan y \u003d -0,5x + 2. Menurut rumus (1), di mana f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, kami Temukan

S \u003d \u003d [-0.25 \u003d 11,25 sq. unit

Contoh 2 Hitung luas gambar yang dibatasi oleh garis: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 dan y \u003d 0.

Keputusan. Mari kita membangun sosok.

Mari kita bangun garis lurus x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Mari kita buat garis lurus x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, (5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Temukan titik potong garis dengan menyelesaikan sistem persamaan:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Untuk menghitung luas yang diperlukan, kita bagi segitiga AMC menjadi dua segitiga AMN dan NMC, karena ketika x berubah dari A ke N, luas dibatasi oleh garis lurus, dan ketika x berubah dari N ke C, itu adalah garis lurus

Untuk segitiga AMN kita memiliki: ; y \u003d 0,5x + 2, yaitu f (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

Untuk segitiga NMC kita memiliki: y = - x + 5, yaitu f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Menghitung luas masing-masing segitiga dan menambahkan hasilnya, kami menemukan:

persegi unit

persegi unit

9 + 4, 5 = 13,5 meter persegi. unit Periksa: = 0.5AC = 0.5 sq. unit

Contoh 3 Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

PADA kasus ini diperlukan untuk menghitung luas trapesium lengkung yang dibatasi oleh parabola y = x 2 , garis lurus x \u003d 2 dan x \u003d 3 dan sumbu Ox (lihat Gambar.) Menurut rumus (1), kami menemukan luas trapesium lengkung

= = 6kv. unit

Contoh 4 Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis: y \u003d - x 2 + 4 dan y = 0

Mari kita membangun sosok. Area yang diinginkan tertutup di antara parabola y \u003d - x 2 + 4 dan sumbu Oh.

Tentukan titik potong parabola dengan sumbu x. Dengan asumsi y \u003d 0, kami menemukan x \u003d Karena gambar ini simetris terhadap sumbu Oy, kami menghitung luas gambar yang terletak di sebelah kanan sumbu Oy, dan menggandakan hasilnya: \u003d + 4x] persegi. unit 2 = 2 persegi unit

Contoh 5 Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Di sini diperlukan untuk menghitung luas trapesium lengkung yang dibatasi oleh cabang atas parabola y 2 \u003d x, sumbu Ox dan garis lurus x \u003d 1x \u003d 4 (lihat Gambar.)

Menurut rumus (1), di mana f(x) = a = 1 dan b = 4, kita memiliki = (= satuan persegi

Contoh 6 . Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Area yang diinginkan dibatasi oleh sinusoid setengah gelombang dan sumbu Ox (lihat Gambar.).

Kami memiliki - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 meter persegi. unit

Contoh 7 Hitung luas gambar yang dibatasi oleh garis: y \u003d - 6x, y \u003d 0 dan x \u003d 4.

Angka tersebut terletak di bawah sumbu Ox (lihat Gambar.).

Oleh karena itu, luasnya ditemukan dengan rumus (3)

= =

Contoh 8 Hitung luas gambar yang dibatasi oleh garis: y \u003d dan x \u003d 2. Kami akan membangun kurva y \u003d dengan titik (lihat gambar). Dengan demikian, luas gambar ditemukan dengan rumus (4)

Contoh 9 .

X 2 + kamu 2 = r 2 .

Di sini Anda perlu menghitung luas yang dibatasi oleh lingkaran x 2 + kamu 2 = r 2 , yaitu luas lingkaran dengan jari-jari r yang berpusat di titik asal. Mari kita cari bagian keempat dari area ini, dengan mengambil batas integrasi dari 0

dor; kita punya: 1 = = [

Karena itu, 1 =

Contoh 10 Hitung luas gambar yang dibatasi oleh garis: y \u003d x 2 dan y = 2x

Angka ini dibatasi oleh parabola y \u003d x 2 dan garis lurus y \u003d 2x (lihat Gambar.) Untuk menentukan titik potong garis yang diberikan, kami memecahkan sistem persamaan: x 2 – 2x = 0 x = 0 dan x = 2

Dengan menggunakan rumus (5) untuk mencari luas, kita peroleh

= }