Kelas 10 . Kurva orde kedua.

10.1. Elips. persamaan kanonik. Setengah poros, eksentrisitas, grafik.

10.2. Hiperbola. persamaan kanonik. Semiaxes, eksentrisitas, asimtot, grafik.

10.3. Parabola. persamaan kanonik. Parameter parabola, grafik.

Kurva orde kedua di pesawat disebut garis, spesifikasi implisitnya berbentuk:

di mana
- diberikan bilangan real,
- koordinat titik kurva. Garis terpenting di antara kurva orde kedua adalah elips, hiperbola, parabola.

10.1. Elips. persamaan kanonik. Setengah poros, eksentrisitas, grafik.

Definisi elips.Elips adalah kurva bidang yang jumlah jaraknya dari dua titik tetap
pesawat ke titik mana pun

(itu.). poin
disebut fokus elips.

Persamaan kanonik elips:
. (2)

(atau sumbu
) melewati fokus
, dan asalnya adalah titik - terletak di tengah segmen
(Gbr. 1). Elips (2) simetris terhadap sumbu koordinat dan titik asal (pusat elips). Permanen
,
ditelepon semi-sumbu elips.

Jika elips diberikan oleh persamaan (2), maka fokus elips ditemukan sebagai berikut.

1) Pertama, kita tentukan letak fokus: fokus terletak pada sumbu koordinat tempat sumbu utama berada.

2) Kemudian panjang fokus dihitung (jarak dari fokus ke asal).

Pada
fokus terletak pada sumbu
;
;
.

Pada
fokus terletak pada sumbu
;
;
.

keanehan elips disebut nilai: (pada
);(pada
).

Ellipse selalu memiliki
. Eksentrisitas adalah karakteristik dari kompresi elips.

Jika elips (2) digerakkan sehingga pusat elips jatuh pada titik

,
, maka persamaan elips yang dihasilkan berbentuk

.

10.2. Hiperbola. persamaan kanonik. Semiaxes, eksentrisitas, asimtot, grafik.

Definisi hiperbola.Hiperbola adalah kurva bidang, di mana nilai absolut dari perbedaan jarak dari dua titik tetap
pesawat ke titik mana pun
kurva ini adalah konstanta yang tidak bergantung pada titik
(itu.). poin
disebut titik fokus hiperbola.

Persamaan kanonik hiperbola:
atau
. (3)

Persamaan tersebut diperoleh jika sumbu koordinat
(atau sumbu
) melewati fokus
, dan asalnya adalah titik - terletak di tengah segmen
. Hiperbola (3) simetris terhadap sumbu koordinat dan titik asal. Permanen
,
ditelepon setengah sumbu hiperbola.

Titik fokus hiperbola ditentukan sebagai berikut.

Pada hiperbola
fokus terletak pada sumbu
:
(Gbr. 2.a).

Pada hiperbola
fokus terletak pada sumbu
:
(Gbr. 2.b)

Di Sini - panjang fokus (jarak dari fokus ke titik asal). Itu dihitung dengan rumus:
.

keanehan hiperbola disebut nilai:

(untuk
);(untuk
).

Hiperbola selalu memiliki
.

Asimtot hiperbola(3) adalah dua garis lurus:
. Kedua cabang hiperbola mendekati asimtot tanpa batas sebagai: .

Konstruksi grafik hiperbola harus dilakukan sebagai berikut: pertama, sepanjang setengah sumbu
kami membangun persegi panjang tambahan dengan sisi sejajar dengan sumbu koordinat; kemudian kita menggambar garis lurus melalui simpul yang berlawanan dari persegi panjang ini, ini adalah asimtot dari hiperbola; akhirnya, kami menggambarkan cabang-cabang hiperbola, mereka menyentuh titik tengah dari sisi yang sesuai dari persegi panjang tambahan dan mendekati dengan pertumbuhan untuk asimtot (Gbr. 2).

Jika hiperbola (3) dipindahkan sehingga pusatnya jatuh pada titik
, dan semi-sumbu akan tetap sejajar dengan sumbu
,
, maka persamaan hiperbola yang dihasilkan dapat ditulis dalam bentuk

,
.

10.3. Parabola. persamaan kanonik. Parameter parabola, grafik.

Definisi parabola.Parabola adalah kurva bidang di mana untuk setiap titik
kurva ini adalah jarak dari
ke titik tetap bidang (disebut fokus parabola) sama dengan jarak dari
ke garis tetap di pesawat(disebut direktriks parabola) .

Persamaan parabola kanonik:
, (4)

di mana adalah konstanta yang disebut parameter parabola.

Dot
parabola (4) disebut titik puncak parabola. Sumbu
adalah sumbu simetri. Fokus parabola (4) berada di titik
, persamaan direktriks
. Plot parabola (4) dengan nilai
dan
ditunjukkan pada gambar. 3.a dan 3.b, masing-masing.

persamaan
juga mendefinisikan parabola di pesawat
, yang, dibandingkan dengan parabola (4), memiliki sumbu
,
bertukar tempat.

Jika parabola (4) digerakkan sehingga titik puncaknya menyentuh titik
, dan sumbu simetri akan tetap sejajar dengan sumbu
, maka persamaan parabola yang dihasilkan berbentuk

.

Mari kita beralih ke contoh.

Contoh 1. Kurva orde kedua diberikan oleh persamaan
. Beri nama pada kurva ini. Temukan fokus dan eksentrisitasnya. Gambarlah kurva dan fokusnya pada bidang datar
.

Keputusan. Kurva ini merupakan elips yang berpusat di titik
dan poros gandar
. Ini dapat dengan mudah diverifikasi dengan mengganti
. Transformasi ini berarti berpindah dari sistem koordinat Cartesian yang diberikan
ke sistem koordinat Cartesian yang baru
, sumbu siapa
sejajar sumbu
,
. Transformasi koordinat ini disebut pergeseran sistem.
tepat . Dalam sistem koordinat baru
persamaan kurva diubah menjadi persamaan kanonik elips
, grafiknya ditunjukkan pada Gambar. 4.

Mari temukan triknya.
, jadi triknya
elips terletak pada sumbu
.. Dalam sistem koordinat
:
. Karena
, dalam sistem koordinat lama
fokus memiliki koordinat.

Contoh 2. Beri nama kurva orde kedua dan berikan grafiknya.

Keputusan. Kami memilih kotak penuh dengan istilah yang mengandung variabel dan .

Sekarang, persamaan kurva dapat ditulis ulang sebagai:

Oleh karena itu, kurva yang diberikan adalah elips yang berpusat di titik
dan poros gandar
. Informasi yang diperoleh memungkinkan kita untuk menggambar grafiknya.

Contoh 3. Beri nama dan buatlah grafik garisnya
.

Keputusan. . Ini adalah persamaan kanonik elips yang berpusat di suatu titik
dan poros gandar
.

Sejauh,
, kami menyimpulkan: persamaan yang diberikan mendefinisikan di pesawat
bagian bawah elips (Gbr. 5).

Contoh 4. Beri nama kurva orde kedua
. Temukan triknya, eksentrisitas. Berikan grafik dari kurva ini.

- persamaan kanonik hiperbola dengan semiaxes
.

Focal length.

Tanda minus ada di depan suku dengan , jadi triknya
hiperbola terletak pada sumbu
:. Cabang-cabang hiperbola terletak di atas dan di bawah sumbu
.

adalah eksentrisitas hiperbola.

Asimtot hiperbola: .

Konstruksi grafik hiperbola ini dilakukan sesuai dengan prosedur di atas: kita membangun persegi panjang bantu, menggambar asimtot hiperbola, menggambar cabang-cabang hiperbola (lihat Gambar 2.b).

Contoh 5. Tentukan bentuk kurva yang diberikan oleh persamaan
dan merencanakannya.

- hiperbola berpusat di satu titik
dan setengah poros.

Karena , kita simpulkan: persamaan yang diberikan menentukan bagian hiperbola yang terletak di sebelah kanan garis
. Lebih baik menggambar hiperbola dalam sistem koordinat bantu
diperoleh dari sistem koordinat
menggeser
, dan kemudian dengan garis tebal pilih bagian hiperbola yang diinginkan

Contoh 6. Cari tahu jenis kurva dan gambar grafiknya.

Keputusan. Pilih persegi penuh dengan istilah dengan variabel :

Mari kita tulis ulang persamaan kurva.

Ini adalah persamaan parabola dengan titik di titik
. Dengan transformasi shift, persamaan parabola direduksi menjadi bentuk kanonik
, dari mana dapat dilihat bahwa adalah parameter parabola. Fokus parabola dalam sistem
memiliki koordinat
,, dan dalam sistem
(sesuai dengan transformasi shift). Grafik parabola ditunjukkan pada gambar. 7.

Pekerjaan rumah.

1. Gambarkan elips yang diberikan oleh persamaan:
Temukan semiaxes, panjang fokus, eksentrisitas mereka dan tunjukkan pada grafik elips lokasi fokus mereka.

2. Gambarkan hiperbola yang diberikan oleh persamaan:
Temukan semi-sumbu, panjang fokus, eksentrisitasnya dan tunjukkan pada grafik hiperbola lokasi fokusnya. Tuliskan persamaan asimtot dari hiperbola yang diberikan.

3. Gambarkan parabola yang diberikan oleh persamaan:
. Temukan parameternya, panjang fokus dan tunjukkan lokasi fokus pada grafik parabola.

4. Persamaan
mendefinisikan bagian dari kurva orde ke-2. Temukan persamaan kanonik dari kurva ini, tuliskan namanya, buat grafiknya dan pilih bagian kurva yang sesuai dengan persamaan aslinya.

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang, modulus perbedaan jarak dari masing-masing ke dua titik tertentu F_1 dan F_2 adalah nilai konstan (2a), kurang dari jarak (2c) antara titik-titik yang diberikan ini (Gbr. 3.40, a). Definisi geometris ini menyatakan sifat fokus hiperbola.

Sifat fokus hiperbola

Titik F_1 dan F_2 disebut titik fokus hiperbola, jarak 2c=F_1F_2 antara keduanya adalah panjang fokus, titik tengah O ruas F_1F_2 adalah pusat hiperbola, bilangan 2a adalah panjang sumbu real hiperbola (masing-masing, a adalah setengah sumbu nyata dari hiperbola). Segmen F_1M dan F_2M yang menghubungkan titik sembarang M dari hiperbola dengan fokusnya disebut jari-jari fokus titik M . Ruas garis yang menghubungkan dua titik hiperbola disebut tali busur hiperbola.

Relasi e=\frac(c)(a) , di mana c=\sqrt(a^2+b^2) , disebut eksentrisitas hiperbolik. Dari definisi (2a<2c) следует, что e>1 .

Definisi geometris dari hiperbola, mengekspresikan properti fokusnya, setara dengan definisi analitisnya - garis yang diberikan oleh persamaan kanonik hiperbola:

\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1.

Memang, mari kita perkenalkan sistem koordinat persegi panjang (Gbr. 3.40, b). Kami mengambil pusat O dari hiperbola sebagai asal dari sistem koordinat; garis lurus yang melalui fokus (sumbu fokus), kita akan mengambil sebagai sumbu absis (arah positif di atasnya dari titik F_1 ke titik F_2); garis lurus yang tegak lurus terhadap sumbu absis dan melalui pusat hiperbola diambil sebagai sumbu ordinat (arah pada sumbu ordinat dipilih sehingga sistem koordinat persegi panjang Oxy benar).

Mari kita tulis persamaan hiperbola menggunakan definisi geometrik yang menyatakan sifat fokus. Dalam sistem koordinat yang dipilih, kami menentukan koordinat fokus F_1(-c,0) dan F_2(c,0) . Untuk titik sembarang M(x,y) yang termasuk dalam hiperbola, kita memiliki:

\left||\overrightarrow(F_1M)|-|\overrightarrow(F_2M)|\right|=2a.

Menulis persamaan ini dalam bentuk koordinat, kita mendapatkan:

\sqrt((x+c)^2+y^2)-\sqrt((x-c)^2+y^2)=\pm2a.

Melakukan transformasi yang serupa dengan yang digunakan dalam penurunan persamaan elips (yaitu menghilangkan irasionalitas), kita sampai pada persamaan kanonik hiperbola:

\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1\,

di mana b=\sqrt(c^2-a^2) , mis. sistem koordinat yang dipilih adalah kanonik.

Dengan penalaran mundur, dapat ditunjukkan bahwa semua titik yang koordinatnya memenuhi persamaan (3.50), dan hanya titik-titik itu, termasuk tempat kedudukan titik-titik yang disebut hiperbola. Dengan demikian, definisi analitik hiperbola setara dengan definisi geometrisnya.

Properti direktori hiperbola

Direktriks hiperbola disebut dua garis lurus yang sejajar dengan sumbu y dari sistem koordinat kanonik pada jarak yang sama a^2\!\!\not(\phantom(|))\,c darinya (Gbr. 3.41, a). Untuk a=0 , ketika hiperbola berdegenerasi menjadi sepasang garis yang berpotongan, direktriksnya berimpit.

Hiperbola dengan eksentrisitas e=1 dapat didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada bidang, yang masing-masing memiliki perbandingan jarak ke titik tertentu F (fokus) dengan jarak ke garis lurus tertentu d (directrix) yang tidak tidak melalui suatu titik tertentu adalah konstan dan sama dengan eksentrisitas e ( properti direktori hiperbola). Di sini F dan d adalah salah satu fokus hiperbola dan salah satu direktriksnya, yang terletak di sisi yang sama dari sumbu y dari sistem koordinat kanonik.

Memang, misalnya, untuk fokus F_2 dan direktriks d_2 (Gbr. 3.41, a) kondisinya \frac(r_2)(\rho_2)=e dapat ditulis dalam bentuk koordinat:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\left(x-\frac(a^2)(c)\kanan)

Menyingkirkan irasionalitas dan mengganti e=\frac(c)(a),~c^2-a^2=b^2, kita sampai pada persamaan kanonik hiperbola (3,50). Penalaran serupa dapat dilakukan untuk fokus F_1 dan direktriks d_1 :

\frac(r_1)(\rho_1)=e \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt((x+c)^2+y^2)= e\left(x+\frac(a^2)(c) \kanan ).

Persamaan hiperbola dalam koordinat kutub

Persamaan cabang kanan hiperbola dalam sistem koordinat kutub F_2r\varphi (Gbr. 3.41, b) berbentuk

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), di mana p=\frac(p^2)(a) - parameter fokus hiperbola.

Memang, mari kita pilih fokus yang tepat F_2 dari hiperbola sebagai kutub sistem koordinat kutub, dan sinar dengan titik asal di titik F_2, termasuk dalam garis F_1F_2, tetapi tidak mengandung titik F_1 (Gbr. 3.41, b) sebagai sumbu kutub. Kemudian untuk titik sembarang M(r,\varphi) milik cabang kanan hiperbola, menurut definisi geometris (properti fokus) hiperbola, kita memiliki F_1M-r=2a . Kami menyatakan jarak antara titik M(r,\varphi) dan F_1(2c,\pi) (lihat poin 2 dari komentar 2.8):

F_1M=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)^2\cdot r\cdot\cos(\varphi-\pi))=\sqrt(r^2+4\cdot c \cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).

Oleh karena itu, dalam bentuk koordinat, persamaan hiperbola memiliki bentuk

\sqrt(r^2+4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)-r=2a.

Kami mengisolasi radikal, kuadratkan kedua sisi persamaan, bagi dengan 4 dan berikan suku-suku serupa:

r^2+4cr\cdot\cos\varphi+4c^2=4a^2+4ar+r^2 \quad \Leftrightarrow \quad a\left(1-\frac(c)(a)\cos\varphi\ kanan)r=c^2-a^2.

Kami menyatakan jari-jari kutub r dan membuat substitusi e=\frac(c)(a),~b^2=c^2-a^2,~p=\frac(b^2)(a):

r=\frac(c^2-a^2)(a(1-e\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a(1-e\cos\varphi )) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cos\varphi),

Q.E.D. Perhatikan bahwa dalam koordinat kutub, persamaan hiperbola dan elips bertepatan, tetapi menggambarkan garis yang berbeda, karena mereka berbeda dalam eksentrisitas (e>1 untuk hiperbola, 0\leqslant e<1 для эллипса).

Arti geometris dari koefisien dalam persamaan hiperbola

Mari kita cari titik potong hiperbola (Gbr. 3.42, a) dengan sumbu absis (simpul hiperbola). Mensubstitusikan y=0 ke dalam persamaan, kita menemukan absis dari titik-titik persimpangan: x=\pm a . Oleh karena itu, simpul memiliki koordinat (-a,0),\,(a,0) . Panjang ruas yang menghubungkan simpul-simpul tersebut adalah 2a . Segmen ini disebut sumbu real hiperbola, dan bilangan a adalah sumbu semi real hiperbola. Mengganti x=0 , kita mendapatkan y=\pm ib . Panjang ruas sumbu y yang menghubungkan titik (0,-b),\,(0,b) sama dengan 2b . Segmen ini disebut sumbu imajiner hiperbola, dan angka b disebut sumbu imajiner hiperbola. Hiperbola memotong garis yang memuat sumbu nyata dan tidak memotong garis yang mengandung sumbu imajiner.

Keterangan 3.10.

1. Garis x=\pm a,~y=\pm b membatasi persegi panjang utama pada bidang koordinat, di luarnya hiperbola berada (Gbr. 3.42, a).

2. Garis lurus yang memuat diagonal-diagonal persegi panjang utama disebut asimtot hiperbola (Gbr. 3.42, a).

Untuk hiperbola sama sisi, dijelaskan oleh persamaan (yaitu dengan a=b ), persegi panjang utama adalah persegi, yang diagonal-diagonalnya tegak lurus. Oleh karena itu, asimtot hiperbola sama sisi juga tegak lurus, dan dapat diambil sebagai sumbu koordinat dari sistem koordinat persegi panjang Ox"y" (Gbr. 3.42, b). Dalam sistem koordinat ini, persamaan hiperbola berbentuk y"=\frac(a^2)(2x")(hiperbola bertepatan dengan grafik fungsi dasar yang menyatakan hubungan berbanding terbalik).

Memang, mari kita putar sistem koordinat kanonik dengan sudut \varphi=-\frac(\pi)(4)(Gbr. 3.42, b). Dalam hal ini, koordinat titik dalam sistem koordinat lama dan baru dihubungkan oleh persamaan

\left\(\!\begin(aligned)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y",\\ y& =-\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y"\end(aligned)\right. \quad \Leftrightarrow \quad \ kiri\(\!\begin(sejajar)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot(x"+y"),\\ y&=\frac(\sqrt(2))(2) \cdot(y"-x")\end(selaras)\kanan.

Substitusikan ekspresi-ekspresi ini ke dalam persamaan \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(a^2)=1 dari hiperbola sama sisi dan membawa suku-suku serupa, kita peroleh

\frac(\frac(1)(2)(x"+y")^2)(a^2)-\frac(\frac(1)(2)(y"-x")^2)(a ^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad 2\cdot x"\cdot y"=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad y"=\frac(a^2)(2\cdot x").

3. Sumbu koordinat (dari sistem koordinat kanonik) adalah sumbu simetri hiperbola (disebut sumbu utama hiperbola), dan pusatnya adalah pusat simetri.

Memang, jika titik M(x,y) termasuk hiperbola . maka titik M"(x,y) dan M""(-x,y) , simetris dengan titik M terhadap sumbu koordinat, juga termasuk dalam hiperbola yang sama.

Sumbu simetri, di mana fokus hiperbola berada, adalah sumbu fokus.

4. Dari persamaan hiperbola pada koordinat kutub r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(lihat Gambar 3.41, b) arti geometris dari parameter fokus diperjelas - ini adalah setengah panjang tali pusat hiperbola yang melewati fokusnya tegak lurus terhadap sumbu fokus (r = p di \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Eksentrisitas e mencirikan bentuk hiperbola. Semakin banyak e, semakin lebar cabang hiperbola, dan semakin dekat e ke satu, semakin sempit cabang hiperbola (Gbr. 3.43, a).

Memang, nilai \gamma sudut antara asimtot hiperbola yang mengandung cabangnya ditentukan oleh rasio sisi persegi panjang utama: \namaoperator(tg)\frac(\gamma)(2)=\frac(b)(2). Mempertimbangkan bahwa e=\frac(c)(a) dan c^2=a^2+b^2 , kita dapatkan

e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2+b^2)(a^2)=1+(\left(\frac(b)(a)\kanan )\^2=1+\operatorname{tg}^2\frac{\gamma}{2}. !}

Semakin besar e , semakin besar \gamma angle. Untuk hiperbola sama sisi (a=b) kita memiliki e=\sqrt(2) dan \gamma=\frac(\pi)(2). Untuk e>\sqrt(2) sudut \gamma tumpul, tetapi untuk 1

6. Dua hiperbola didefinisikan dalam sistem koordinat yang sama dengan persamaan \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1 dan disebut terhubung satu sama lain. Hiperbola konjugasi memiliki asimtot yang sama (Gbr. 3.43, b). Persamaan Hiperbola Konjugasi -\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 direduksi menjadi sumbu kanonik dengan mengganti nama sumbu koordinat (3.38).

7. Persamaan \frac((x-x_0)^2)(a^2)-\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1 mendefinisikan hiperbola berpusat di titik O "(x_0, y_0) , yang sumbunya sejajar dengan sumbu koordinat (Gbr. 3.43, c). Persamaan ini direduksi menjadi persamaan kanonik menggunakan terjemahan paralel (3.36). Persamaan -\frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1 mendefinisikan hiperbola konjugasi yang berpusat di titik O"(x_0,y_0) .

Persamaan parametrik hiperbola

Persamaan parametrik hiperbola dalam sistem koordinat kanonik memiliki bentuk:

\begin(cases)x=a\cdot\operatorname(ch)t,\\y=b\cdot\operatorname(sh)t,\end(cases)t\in\mathbb(R),

di mana \namaoperator(ch)t=\frac(e^t+e^(-t))(2)- kosinus hiperbolik, a \namaoperator(sh)t=\frac(e^t-e^(-t))(2) sinus hiperbolik.

Memang, dengan mensubstitusi ekspresi koordinat ke persamaan (3,50), kita sampai pada identitas hiperbolik utama \namaoperator(ch)^2t-\namaoperator(sh)^2t=1.

Contoh 3.21. Menggambar hiperbola \frac(x^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1 dalam sistem koordinat kanonik Oxy. Cari semiaxes, panjang fokus, eksentrisitas, parameter fokus, persamaan asimtot dan directrix.

Keputusan. Membandingkan persamaan yang diberikan dengan persamaan kanonik, kami menentukan semiaxis: a=2 - semiaxis real, b=3 - imajiner semiaxis dari hiperbola. Kami membangun persegi panjang utama dengan sisi 2a=4,~2b=6 berpusat di titik asal (Gbr.3.44). Kami menggambar asimtot dengan memperluas diagonal persegi panjang utama. Kami membangun hiperbola, dengan mempertimbangkan simetrinya terhadap sumbu koordinat. Jika perlu, kami menentukan koordinat beberapa titik hiperbola. Misalnya, dengan mensubstitusikan x=4 ke dalam persamaan hiperbola, kita peroleh

\frac(4^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=27 \quad \Leftrightarrow \quad y=\pm3\sqrt (3).

Oleh karena itu, titik-titik dengan koordinat (4;3\sqrt(3)) dan (4;-3\sqrt(3)) termasuk dalam hiperbola. Menghitung panjang fokus

2\cdot c=2\cdot\sqrt(a^2+b^2)=2\cdot\sqrt(2^2+3^2)=2\sqrt(13)

keanehan e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(13))(2); parameter fokus p=\frac(b^2)(a)=\frac(3^2)(2)=4,\!5. Kami membuat persamaan asimtot y=\pm\frac(b)(a)\,x, yaitu y=\pm\frac(3)(2)\,x, dan persamaan direktriks: x=\pm\frac(a^2)(c)=\frac(4)(\sqrt(13)).

Untuk pembaca lainnya, saya mengusulkan untuk secara signifikan menambah pengetahuan sekolah mereka tentang parabola dan hiperbola. Hiperbola dan parabola - apakah itu sederhana? … Jangan menunggu =)

Hiperbola dan persamaan kanoniknya

Struktur umum penyajian materi akan menyerupai paragraf sebelumnya. Mari kita mulai dengan konsep umum hiperbola dan masalah konstruksinya.

Persamaan kanonik hiperbola memiliki bentuk , di mana adalah bilangan real positif. Perhatikan bahwa, tidak seperti elips, kondisi tidak dipaksakan di sini, yaitu, nilai "a" mungkin lebih kecil dari nilai "be".

Saya harus mengatakan, secara tak terduga ... persamaan hiperbola "sekolah" bahkan tidak mirip dengan catatan kanonik. Tapi teka-teki ini masih harus menunggu kita, tetapi untuk sekarang mari kita garuk bagian belakang kepala kita dan ingat fitur karakteristik apa yang dimiliki kurva yang sedang dipertimbangkan? Ayo sebarkan di layar imajinasi kita grafik fungsi ….

Hiperbola memiliki dua cabang simetris.

Perkembangan yang baik! Setiap hiperbola memiliki sifat-sifat ini, dan sekarang kita akan melihat dengan kekaguman yang tulus pada garis leher garis ini:

Contoh 4

Bangun hiperbola yang diberikan oleh persamaan

Keputusan: pada langkah pertama, kami membawa persamaan ini ke bentuk kanonik . Harap ingat prosedur tipikal. Di sebelah kanan, Anda perlu mendapatkan "satu", jadi kami membagi kedua bagian persamaan asli dengan 20:

Di sini Anda dapat mengurangi kedua pecahan, tetapi lebih optimal untuk membuatnya masing-masing tiga lantai:

Dan hanya setelah itu untuk melakukan pengurangan:

Kami memilih kotak di penyebut:

Mengapa lebih baik melakukan transformasi dengan cara ini? Lagi pula, pecahan sisi kiri dapat segera dikurangi dan didapat. Faktanya adalah bahwa dalam contoh yang dipertimbangkan, kami sedikit beruntung: angka 20 habis dibagi 4 dan 5. Dalam kasus umum, angka seperti itu tidak berfungsi. Perhatikan, misalnya, persamaan . Di sini, dengan pembagian, semuanya lebih sedih dan tanpa pecahan tiga lantai tidak diperlukan lagi:

Jadi, mari kita gunakan hasil kerja keras kita - persamaan kanonik:

Bagaimana cara membangun hiperbola?

Ada dua pendekatan untuk membangun hiperbola - geometris dan aljabar.
Dari sudut pandang praktis, menggambar dengan kompas ... Saya bahkan akan mengatakan utopis, jadi jauh lebih menguntungkan untuk membawa perhitungan sederhana untuk menyelamatkan lagi.

Dianjurkan untuk mematuhi algoritma berikut, pertama gambar selesai, lalu komentar:

Dalam prakteknya, kombinasi rotasi melalui sudut sewenang-wenang dan terjemahan paralel hiperbola sering ditemui. Situasi ini dibahas dalam pelajaran. Reduksi persamaan garis orde ke-2 ke bentuk kanonik.

Parabola dan persamaan kanoniknya

Selesai! Dia adalah yang paling. Siap mengungkap banyak rahasia. Persamaan kanonik parabola memiliki bentuk , di mana adalah bilangan real. Sangat mudah untuk melihat bahwa pada posisi standarnya parabola "terletak pada sisinya" dan titik puncaknya berada pada titik asal. Dalam hal ini, fungsi mengatur cabang atas dari baris ini, dan fungsi mengatur cabang bawah. Jelas, parabola simetris terhadap sumbu. Sebenarnya, apa yang harus dimandikan:

Contoh 6

Bangun parabola

Keputusan: vertex diketahui, mari kita cari poin tambahan. persamaan menentukan busur atas parabola, persamaan menentukan busur bawah.

Untuk mempersingkat catatan, kami akan melakukan perhitungan "di bawah kuas yang sama":

Untuk notasi yang ringkas, hasilnya dapat diringkas dalam sebuah tabel.

Sebelum melakukan gambar titik demi titik dasar, kami merumuskan aturan ketat

definisi parabola:

Parabola adalah himpunan semua titik pada bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu dan suatu garis tertentu yang tidak melalui titik tersebut.

Titik tersebut disebut fokus parabola, garis lurus kepala sekolah (ditulis dengan satu "es") parabola. Konstanta "pe" dari persamaan kanonik disebut parameter fokus, yang sama dengan jarak dari fokus ke direktriks. PADA kasus ini. Dalam hal ini, fokus memiliki koordinat , dan directrix diberikan oleh persamaan .
Dalam contoh kami:

Definisi parabola bahkan lebih mudah dipahami daripada definisi elips dan hiperbola. Untuk sembarang titik parabola, panjang segmen (jarak dari fokus ke titik) sama dengan panjang tegak lurus (jarak dari titik ke direktriks):

Selamat! Banyak dari Anda telah membuat penemuan nyata hari ini. Ternyata hiperbola dan parabola sama sekali bukan grafik fungsi "biasa", tetapi memiliki asal geometris yang jelas.

Jelas, dengan peningkatan parameter fokus, cabang-cabang grafik akan "menyebar" ke atas dan ke bawah, mendekati sumbu yang sangat dekat. Dengan penurunan nilai "pe", mereka akan mulai menyusut dan meregang di sepanjang sumbu

Eksentrisitas dari setiap parabola sama dengan satu:

Rotasi dan translasi parabola

Parabola adalah salah satu garis paling umum dalam matematika, dan Anda harus sering membuatnya. Oleh karena itu, harap beri perhatian khusus pada paragraf terakhir pelajaran, di mana saya akan menganalisis opsi tipikal untuk lokasi kurva ini.

! Catatan : seperti dalam kasus kurva sebelumnya, lebih tepat untuk berbicara tentang rotasi dan terjemahan paralel dari sumbu koordinat, tetapi penulis akan membatasi dirinya pada versi presentasi yang disederhanakan sehingga pembaca memiliki gagasan dasar tentang​ transformasi ini.

Definisi. Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang y, nilai absolut dari perbedaan jarak masing-masing dari dua titik tertentu pada bidang ini, yang disebut fokus, y memiliki nilai konstan, asalkan nilai ini tidak sama dengan nol dan kurang dari jarak antara fokus.

Mari kita nyatakan jarak antara fokus sebagai nilai konstan yang sama dengan modulus perbedaan jarak dari setiap titik hiperbola ke fokus, melalui (dengan syarat ). Seperti dalam kasus elips, kami menggambar sumbu absis melalui fokus, dan mengambil bagian tengah segmen sebagai titik asal (lihat Gambar 44). Fokus dalam sistem seperti itu akan memiliki koordinat Mari kita turunkan persamaan hiperbola dalam sistem koordinat yang dipilih. Menurut definisi hiperbola, untuk setiap titiknya kita memiliki atau

Tetapi . Oleh karena itu, kita mendapatkan

Setelah penyederhanaan serupa dengan yang dilakukan saat menurunkan persamaan elips, kita mendapatkan persamaan berikut:

yang merupakan konsekuensi dari persamaan (33).

Sangat mudah untuk melihat bahwa persamaan ini bertepatan dengan persamaan (27) yang diperoleh untuk sebuah elips. Namun, dalam persamaan (34) perbedaan , karena untuk hiperbola . Oleh karena itu, kami menempatkan

Kemudian persamaan (34) direduksi menjadi bentuk berikut:

Persamaan ini disebut persamaan kanonik hiperbola. Persamaan (36), sebagai konsekuensi dari persamaan (33), dipenuhi oleh koordinat sembarang titik hiperbola. Dapat ditunjukkan bahwa koordinat titik-titik yang tidak terletak pada hiperbola tidak memenuhi persamaan (36).

Mari kita tentukan bentuk hiperbola menggunakan persamaan kanoniknya. Persamaan ini hanya berisi pangkat genap dari koordinat saat ini. Akibatnya, hiperbola memiliki dua sumbu simetri, dalam hal ini bertepatan dengan sumbu koordinat. Selanjutnya, sumbu simetri hiperbola akan disebut sumbu hiperbola, dan titik potongnya akan disebut pusat hiperbola. Sumbu hiperbola di mana fokus berada disebut sumbu fokus. Kami menjelajahi bentuk hiperbola di kuartal pertama, di mana

Di sini, karena jika tidak, y akan mengambil nilai imajiner. Saat x bertambah dari a ke, x bertambah dari 0 ke Bagian hiperbola yang terletak di kuartal pertama adalah busur yang ditunjukkan pada Gambar. 47.

Karena hiperbola terletak simetris terhadap sumbu koordinat, kurva ini memiliki bentuk yang ditunjukkan pada Gambar. 47.

Titik potong hiperbola dengan sumbu fokus disebut simpulnya. Dengan asumsi dalam persamaan hiperbola, kita menemukan absis dari simpul-simpulnya: . Jadi, hiperbola memiliki dua simpul: . Hiperbola tidak berpotongan dengan sumbu y. Faktanya, dengan memasukkan persamaan hiperbola kita mendapatkan nilai imajiner untuk y: . Oleh karena itu, sumbu fokus hiperbola disebut sumbu nyata, dan sumbu simetri yang tegak lurus terhadap sumbu fokus disebut sumbu imajiner hiperbola.

Sumbu nyata juga disebut ruas yang menghubungkan simpul-simpul hiperbola, dan panjangnya adalah 2a. Segmen yang menghubungkan titik-titik (lihat Gambar 47), serta panjangnya, disebut sumbu imajiner hiperbola. Bilangan a dan b masing-masing disebut setengah sumbu real dan imajiner hiperbola.

Pertimbangkan sekarang hiperbola yang terletak di kuadran pertama dan yang merupakan grafik fungsi

Mari kita tunjukkan bahwa titik-titik grafik ini, yang terletak pada jarak yang cukup jauh dari titik asal, secara sewenang-wenang dekat dengan garis lurus

melewati titik asal dan memiliki kemiringan

Untuk tujuan ini, pertimbangkan dua titik yang memiliki absis yang sama dan terletak masing-masing pada kurva (37) dan garis lurus (38) (Gbr. 48), dan buat perbedaan antara ordinat titik-titik ini

Pembilang pecahan ini adalah nilai konstan, dan penyebutnya meningkat tanpa batas dengan peningkatan yang tidak terbatas. Oleh karena itu, perbedaannya cenderung nol, yaitu, titik M dan N mendekati tanpa batas dengan peningkatan absis yang tidak terbatas.

Dari simetri hiperbola terhadap sumbu koordinat, dapat disimpulkan bahwa ada garis lurus lain , di mana titik-titik hiperbola secara sewenang-wenang dekat pada jarak yang tidak terbatas dari titik asal. Langsung

disebut asimtot hiperbola.

pada gambar. 49 menunjukkan posisi relatif hiperbola dan asimtotnya. Gambar ini juga menunjukkan bagaimana membangun asimtot hiperbola.

Untuk melakukan ini, buat persegi panjang yang berpusat di titik asal dan dengan sisi sejajar dengan sumbu dan, masing-masing, sama dengan . Persegi panjang ini disebut persegi panjang utama. Masing-masing diagonalnya, diperpanjang tanpa batas di kedua arah, adalah asimtot dari hiperbola. Sebelum membangun hiperbola, disarankan untuk membangun asimtotnya.

Rasio setengah jarak antara fokus ke setengah sumbu nyata hiperbola disebut eksentrisitas hiperbola dan biasanya dilambangkan dengan huruf:

Karena untuk hiperbola, maka eksentrisitas hiperbola lebih besar dari satu: Eksentrisitas mencirikan bentuk hiperbola

Memang, mengikuti dari rumus (35) bahwa . Hal ini menunjukkan bahwa semakin kecil eksentrisitas hiperbola,

semakin kecil rasio - dari semiaxes-nya. Tetapi relasi - menentukan bentuk persegi panjang utama hiperbola, dan karenanya bentuk hiperbola itu sendiri. Semakin kecil eksentrisitas hiperbola, semakin panjang persegi panjang utamanya (dalam arah sumbu fokus).

hiperbola dan parabola

Mari kita beralih ke bagian kedua artikel. tentang baris urutan kedua, didedikasikan untuk dua kurva umum lainnya - hiperbola dan parabola. Jika Anda datang ke halaman ini dari mesin pencari atau belum sempat menavigasi topik, maka saya sarankan Anda mempelajari terlebih dahulu bagian pertama dari pelajaran, di mana kami memeriksa tidak hanya poin-poin teoretis utama, tetapi juga berkenalan dengan elips. Untuk pembaca lainnya, saya mengusulkan untuk secara signifikan menambah pengetahuan sekolah mereka tentang parabola dan hiperbola. Hiperbola dan parabola - apakah itu sederhana? … Jangan menunggu =)

Hiperbola dan persamaan kanoniknya

Struktur umum penyajian materi akan menyerupai paragraf sebelumnya. Mari kita mulai dengan konsep umum hiperbola dan masalah konstruksinya.

Persamaan kanonik hiperbola memiliki bentuk , di mana adalah bilangan real positif. Perhatikan bahwa, tidak seperti elips, kondisi tidak dipaksakan di sini, yaitu, nilai "a" mungkin lebih kecil dari nilai "be".

Saya harus mengatakan, secara tak terduga ... persamaan hiperbola "sekolah" bahkan tidak mirip dengan catatan kanonik. Tapi teka-teki ini masih harus menunggu kita, tetapi untuk sekarang mari kita garuk bagian belakang kepala kita dan ingat fitur karakteristik apa yang dimiliki kurva yang sedang dipertimbangkan? Ayo sebarkan di layar imajinasi kita grafik fungsi ….

Hiperbola memiliki dua cabang simetris.

Hiperbola memiliki dua asimtot.

Perkembangan yang baik! Setiap hiperbola memiliki sifat-sifat ini, dan sekarang kita akan melihat dengan kekaguman yang tulus pada garis leher garis ini:

Contoh 4

Bangun hiperbola yang diberikan oleh persamaan

Keputusan: pada langkah pertama, kami membawa persamaan ini ke bentuk kanonik . Harap ingat prosedur tipikal. Di sebelah kanan, Anda perlu mendapatkan "satu", jadi kami membagi kedua bagian persamaan asli dengan 20:

Di sini Anda dapat mengurangi kedua pecahan, tetapi lebih optimal untuk membuatnya masing-masing tiga lantai:

Dan hanya setelah itu untuk melakukan pengurangan:

Kami memilih kotak di penyebut:

Mengapa lebih baik melakukan transformasi dengan cara ini? Lagi pula, pecahan sisi kiri dapat segera dikurangi dan didapat. Faktanya adalah bahwa dalam contoh yang dipertimbangkan, kami sedikit beruntung: angka 20 habis dibagi 4 dan 5. Dalam kasus umum, angka seperti itu tidak berfungsi. Perhatikan, misalnya, persamaan . Di sini, dengan pembagian, semuanya lebih sedih dan tanpa pecahan tiga lantai tidak diperlukan lagi:

Jadi, mari kita gunakan hasil kerja keras kita - persamaan kanonik:

Bagaimana cara membangun hiperbola?

Ada dua pendekatan untuk membangun hiperbola - geometris dan aljabar.
Dari sudut pandang praktis, menggambar dengan kompas ... Saya bahkan akan mengatakan utopis, jadi jauh lebih menguntungkan untuk membawa perhitungan sederhana untuk menyelamatkan lagi.

Dianjurkan untuk mematuhi algoritma berikut, pertama gambar selesai, lalu komentar:

1) Pertama-tama, kita temukan asimtot. Jika hiperbola diberikan oleh persamaan kanonik , maka asimtotnya adalah lurus . Dalam kasus kami: . Item ini diperlukan! Ini adalah fitur mendasar dari gambar, dan akan menjadi kesalahan besar jika cabang-cabang hiperbola "merangkak" melampaui asimtotnya.

2) Sekarang kita temukan dua simpul hiperbola, yang terletak pada sumbu x di titik . Ini diturunkan secara elementer: jika , maka persamaan kanonik berubah menjadi , dari mana mengikuti bahwa . Hiperbola yang dipertimbangkan memiliki simpul

3) Kami mencari poin tambahan. Biasanya 2-3 sudah cukup. Dalam posisi kanonik, hiperbola simetris terhadap titik asal dan kedua sumbu koordinat, sehingga cukup untuk melakukan perhitungan untuk kuartal koordinat pertama. Tekniknya persis sama dengan konstruksinya elips. Dari persamaan kanonik pada konsep, kami menyatakan:

Persamaan tersebut dipecah menjadi dua fungsi:
- mendefinisikan busur atas hiperbola (apa yang kita butuhkan);
- mendefinisikan busur bawah hiperbola.

Ini menyarankan menemukan poin dengan absis:

4) Gambarlah asimtot pada gambar tersebut , sudut , titik tambahan dan simetris di tempat koordinat lainnya. Kami dengan hati-hati menghubungkan titik-titik yang sesuai di setiap cabang hiperbola:

Kesulitan teknis dapat muncul dengan irasional faktor kemiringan, tetapi ini adalah masalah yang sepenuhnya dapat diatasi.

Segmen garis ditelepon sumbu nyata hiperbola,
panjangnya - jarak antara simpul;
nomor ditelepon setengah sumbu nyata hiperbola;
nomor – sumbu imajiner.

Dalam contoh kami: , dan, tentu saja, jika hiperbola yang diberikan diputar di sekitar pusat simetri dan/atau dipindahkan, maka nilai-nilai ini tidak akan berubah.

Definisi hiperbola. Fokus dan eksentrisitas

Dalam hiperbola, dengan cara yang sama seperti dalam elips, ada dua titik tunggal , yang disebut Trik. Saya tidak mengatakannya, tetapi untuk berjaga-jaga, tiba-tiba seseorang salah paham: pusat simetri dan titik fokus, tentu saja, bukan milik kurva.

Konsep umum dari definisi ini juga serupa:

hiperbola adalah himpunan semua titik pada bidang, nilai mutlak perbedaan jarak ke masing-masing dari dua titik yang diberikan adalah nilai konstan, secara numerik sama dengan jarak antara simpul hiperbola ini: . Dalam hal ini, jarak antara fokus melebihi panjang sumbu nyata: .

Jika hiperbola diberikan oleh persamaan kanonik, maka jarak dari pusat simetri ke masing-masing fokus dihitung dengan rumus : .
Dan, karenanya, fokus memiliki koordinat .

Untuk hiperbola yang dipelajari:

Mari kita bahas definisinya. Dilambangkan dengan jarak dari fokus ke titik sembarang hiperbola:

Pertama, gerakkan secara mental titik biru di sepanjang cabang kanan hiperbola - di mana pun kita berada, modul(nilai absolut) perbedaan antara panjang segmen akan sama:

Jika titik "dilempar" ke cabang kiri, dan dipindahkan ke sana, maka nilai ini akan tetap tidak berubah.

Tanda modulus diperlukan karena perbedaan panjang bisa positif atau negatif. Omong-omong, untuk titik mana pun di cabang kanan (karena segmen lebih pendek dari segmen ). Untuk setiap titik di cabang kiri, situasinya persis berlawanan dan .

Selain itu, mengingat properti modulus yang jelas, tidak masalah apa yang harus dikurangi dari apa.

Mari kita pastikan bahwa dalam contoh kita modulus perbedaan ini benar-benar sama dengan jarak antara simpul. Secara mental tempatkan sebuah titik di simpul kanan hiperbola. Kemudian: , yang akan diperiksa.