Definisi. Elips adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang, jumlah jarak masing-masing titik tersebut dari dua titik tertentu pada bidang ini, yang disebut fokus, adalah nilai konstan (asalkan nilai ini lebih besar dari jarak antara fokus).
Mari kita nyatakan fokus melalui jarak di antara mereka - melalui , dan nilai konstanta yang sama dengan jumlah jarak dari setiap titik elips ke fokus, melalui (dengan kondisi ).
Mari kita membangun sistem koordinat Cartesian sehingga fokus berada pada sumbu absis, dan titik asal koordinat bertepatan dengan bagian tengah segmen (Gbr. 44). Kemudian fokus akan memiliki koordinat berikut: fokus kiri dan fokus kanan. Mari kita turunkan persamaan elips dalam sistem koordinat yang telah kita pilih. Untuk tujuan ini, pertimbangkan titik sembarang dari elips. Menurut definisi elips, jumlah jarak dari titik ini ke fokus adalah:
Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik, kita peroleh, oleh karena itu,
Untuk menyederhanakan persamaan ini, kami menulisnya dalam bentuk
Kemudian mengkuadratkan kedua ruas persamaan menghasilkan
atau, setelah penyederhanaan yang jelas:
Sekarang lagi kita kuadratkan kedua sisi persamaan, setelah itu kita akan memiliki:
atau, setelah transformasi identik:
Karena sesuai dengan kondisi dalam definisi elips , maka adalah bilangan positif. Kami memperkenalkan notasi
Maka persamaan tersebut akan berbentuk sebagai berikut:
Menurut definisi elips, koordinat salah satu titiknya memenuhi persamaan (26). Tetapi persamaan (29) adalah konsekuensi dari persamaan (26). Oleh karena itu, ia juga memenuhi koordinat titik mana pun dari elips.
Dapat ditunjukkan bahwa koordinat titik-titik yang tidak terletak pada elips tidak memenuhi persamaan (29). Jadi, persamaan (29) adalah persamaan elips. Ini disebut persamaan kanonik elips.
Mari kita tentukan bentuk elips menggunakan persamaan kanoniknya.
Pertama-tama, perhatikan bahwa persamaan ini hanya memuat pangkat genap dari x dan y. Artinya, jika suatu titik termasuk dalam elips, maka itu juga termasuk titik yang simetris dengan titik terhadap sumbu absis, dan titik yang simetris dengan titik terhadap sumbu y. Dengan demikian, elips memiliki dua sumbu simetri yang saling tegak lurus, yang dalam sistem koordinat yang kami pilih bertepatan dengan sumbu koordinat. Sumbu simetri elips akan disebut sumbu elips, dan titik perpotongannya - pusat elips. Sumbu di mana fokus elips berada (dalam hal ini, sumbu absis) disebut sumbu fokus.
Mari kita tentukan bentuk elips terlebih dahulu di kuarter pertama. Untuk melakukan ini, kami memecahkan persamaan (28) sehubungan dengan y:
Jelas bahwa di sini , karena y mengambil nilai imajiner untuk . Dengan peningkatan dari 0 ke a, y berkurang dari b ke 0. Bagian elips yang terletak di kuartal pertama akan menjadi busur yang dibatasi oleh titik B (0; b) dan terletak pada sumbu koordinat (Gbr. 45). Menggunakan sekarang simetri elips, kami menyimpulkan bahwa elips memiliki bentuk yang ditunjukkan pada Gambar. 45.
Titik potong elips dengan sumbu disebut titik sudut elips. Ini mengikuti dari simetri elips bahwa, selain simpul, elips memiliki dua simpul lagi (lihat Gambar. 45).
Segmen dan menghubungkan simpul yang berlawanan dari elips, serta panjangnya, masing-masing disebut sumbu mayor dan minor dari elips. Bilangan-bilangan a dan b masing-masing disebut sebagai semiax mayor dan minor dari elips.
Perbandingan setengah jarak antara fokus dengan sumbu semi-utama elips disebut eksentrisitas elips dan biasanya dilambangkan dengan huruf:
Karena , maka eksentrisitas elips kurang dari satu: eksentrisitas mencirikan bentuk elips. Memang, mengikuti dari rumus (28), Dari sini dapat dilihat bahwa semakin kecil eksentrisitas elips, semakin kecil semisumbu minornya b berbeda dari semisumbu mayor a, yaitu, semakin sedikit elips diperpanjang (sepanjang fokus sumbu).
Dalam kasus pembatas, ketika Anda mendapatkan lingkaran berjari-jari a: , atau . Pada saat yang sama, fokus elips, seolah-olah, bergabung pada satu titik - pusat lingkaran. Eksentrisitas lingkaran adalah nol:
Hubungan antara elips dan lingkaran dapat dibangun dari sudut pandang lain. Mari kita tunjukkan bahwa elips dengan semi-sumbu a dan b dapat dianggap sebagai proyeksi lingkaran dengan jari-jari a.
Mari kita perhatikan dua bidang P dan Q, yang membentuk sudut seperti itu di antara mereka, yang (Gbr. 46). Kami membangun sistem koordinat di bidang P, dan sistem Oxy di bidang Q dengan asal yang sama O dan sumbu absis yang sama yang bertepatan dengan garis perpotongan bidang. Pertimbangkan di bidang P lingkaran
berpusat pada titik asal dan radius a. Membiarkan menjadi titik lingkaran yang dipilih secara sewenang-wenang, menjadi proyeksinya ke bidang Q, dan menjadi proyeksi titik M ke sumbu Ox. Mari kita tunjukkan bahwa titik tersebut terletak pada elips dengan semi-sumbu a dan b.
Garis urutan kedua.
Elips dan persamaan kanoniknya. Lingkaran
Setelah studi menyeluruh garis lurus pada pesawat kami terus mempelajari geometri dunia dua dimensi. Taruhannya digandakan dan saya mengundang Anda untuk mengunjungi galeri indah elips, hiperbola, parabola, yang merupakan perwakilan khas dari baris urutan kedua. Tur telah dimulai, dan pertama, informasi singkat tentang keseluruhan pameran di berbagai lantai museum:
Konsep garis aljabar dan urutannya
Garis pada bidang disebut aljabar, jika dalam sistem koordinat affine persamaannya memiliki bentuk , di mana adalah polinomial yang terdiri dari istilah bentuk ( adalah bilangan real, adalah bilangan bulat non-negatif).
Seperti yang Anda lihat, persamaan garis aljabar tidak mengandung sinus, cosinus, logaritma, dan beau monde fungsional lainnya. Hanya "x" dan "y" di bilangan bulat non-negatif derajat.
Urutan baris sama dengan nilai maksimum dari istilah-istilah yang termasuk di dalamnya.
Menurut teorema yang sesuai, konsep garis aljabar, serta urutannya, tidak bergantung pada pilihan sistem koordinat affine, oleh karena itu, untuk kemudahan keberadaan, kami menganggap bahwa semua perhitungan selanjutnya terjadi di Koordinat Cartesius.
Persamaan Umum garis orde kedua memiliki bentuk , dimana 
adalah bilangan real arbitrer (adalah kebiasaan untuk menulis dengan pengganda - "dua"), dan koefisien tidak secara bersamaan sama dengan nol.
Jika , maka persamaan disederhanakan menjadi 
, dan jika koefisien tidak secara bersamaan sama dengan nol, maka ini tepat persamaan umum garis lurus "datar", yang mewakili baris urutan pertama.
Banyak yang mengerti arti dari istilah-istilah baru, tetapi, bagaimanapun, untuk 100% mengasimilasi materi, kami memasukkan jari-jari kami ke dalam soket. Untuk menentukan urutan baris, ulangi semua istilah persamaannya dan untuk masing-masingnya temukan jumlah kekuatan variabel yang masuk.
Sebagai contoh:
istilah tersebut mengandung "x" hingga derajat ke-1;
istilah tersebut mengandung "Y" hingga pangkat 1;
tidak ada variabel dalam istilah, sehingga jumlah kekuatan mereka adalah nol.
Sekarang mari kita cari tahu mengapa persamaan menetapkan garis kedua memesan:
istilah tersebut mengandung "x" pada derajat ke-2;
istilah memiliki jumlah derajat variabel: 1 + 1 = 2;
istilah tersebut mengandung "y" pada derajat ke-2;
semua istilah lain - lebih rendah derajat.
Nilai maksimum: 2
Jika kita menambahkan tambahan ke persamaan kita, katakanlah, , maka itu akan menentukan baris urutan ketiga. Jelas bahwa bentuk umum persamaan garis orde ke-3 berisi "kumpulan lengkap" istilah, jumlah derajat variabel yang sama dengan tiga:
, di mana koefisien tidak secara bersamaan sama dengan nol.
Dalam hal satu atau lebih istilah yang cocok ditambahkan yang mengandung 
, maka kita akan berbicara tentang baris urutan ke-4, dll.
Kita harus berurusan dengan garis aljabar dari urutan ke-3, ke-4 dan lebih tinggi lebih dari sekali, khususnya, ketika berkenalan dengan sistem koordinat kutub.
Namun, mari kita kembali ke persamaan umum dan mengingat variasi sekolah yang paling sederhana. Contohnya adalah parabola, yang persamaannya dapat dengan mudah direduksi menjadi bentuk umum, dan hiperbola dengan persamaan yang setara. Namun, tidak semuanya begitu mulus....
Kelemahan yang signifikan dari persamaan umum adalah hampir selalu tidak jelas garis mana yang didefinisikannya. Bahkan dalam kasus yang paling sederhana, Anda tidak akan segera menyadari bahwa ini adalah hiperbola. Tata letak seperti itu hanya bagus untuk penyamaran, oleh karena itu, dalam geometri analitik, masalah tipikal dipertimbangkan pengurangan persamaan garis orde ke-2 ke bentuk kanonik.
Apa bentuk kanonik dari persamaan?
Ini adalah bentuk standar persamaan yang diterima secara umum, ketika dalam hitungan detik menjadi jelas objek geometris apa yang didefinisikannya. Selain itu, bentuk kanonik sangat nyaman untuk memecahkan banyak masalah praktis. Jadi, misalnya, menurut persamaan kanonik lurus "datar", pertama, segera jelas bahwa ini adalah garis lurus, dan kedua, titik miliknya dan vektor arah terlihat dengan jelas.
Jelas, apapun baris pesanan pertama mewakili garis lurus. Di lantai dua, tidak ada lagi petugas kebersihan yang menunggu kami, tetapi rombongan sembilan patung yang jauh lebih beragam:
Klasifikasi garis orde kedua
Dengan bantuan serangkaian tindakan khusus, persamaan garis orde kedua direduksi menjadi salah satu jenis berikut:
(dan merupakan bilangan real positif)
1) 
adalah persamaan kanonik elips;
2) adalah persamaan kanonik hiperbola;
3) 
adalah persamaan kanonik parabola;
4) – imajiner elips;
5) - sepasang garis berpotongan;
6) - pasangan imajiner garis berpotongan (dengan satu-satunya titik perpotongan nyata di titik asal);
7) - sepasang garis paralel;
8) - pasangan imajiner garis sejajar;
9) adalah sepasang garis yang bertepatan.
Beberapa pembaca mungkin mendapat kesan bahwa daftar itu tidak lengkap. Misalnya, dalam paragraf nomor 7, persamaan menetapkan pasangan langsung, sejajar sumbu, dan muncul pertanyaan: di mana persamaan yang menentukan garis sejajar sumbu y? Jawab ini tidak dianggap kanon. Garis lurus mewakili kasus standar yang sama yang diputar 90 derajat, dan entri tambahan dalam klasifikasi berlebihan, karena tidak membawa sesuatu yang baru secara fundamental.
Jadi, ada sembilan dan hanya sembilan jenis garis urutan ke-2 yang berbeda, tetapi dalam praktiknya yang paling umum adalah elips, hiperbola, dan parabola.
Mari kita lihat elipsnya dulu. Seperti biasa, saya fokus pada poin-poin yang sangat penting untuk memecahkan masalah, dan jika Anda memerlukan turunan terperinci dari rumus, bukti teorema, silakan merujuk, misalnya, ke buku teks oleh Bazylev / Atanasyan atau Aleksandrov.
Elips dan persamaan kanoniknya
Ejaan ... tolong jangan ulangi kesalahan beberapa pengguna Yandex yang tertarik dengan "cara membuat elips", "perbedaan antara elips dan oval" dan "eksentrisitas elebs".
Persamaan kanonik elips memiliki bentuk , Dimana bilangan real positif, dan . Saya akan merumuskan definisi elips nanti, tetapi untuk saat ini saatnya untuk istirahat dari berbicara dan memecahkan masalah umum:
Bagaimana cara membuat elips?
Ya, ambil dan gambar saja. Tugasnya umum, dan sebagian besar siswa tidak cukup kompeten mengatasi gambar:
Contoh 1
Bangun elips yang diberikan oleh persamaan
Keputusan: pertama kita bawa persamaan ke bentuk kanonik: 
Mengapa membawa? Salah satu keuntungan dari persamaan kanonik adalah memungkinkan Anda untuk menentukan secara instan simpul elips, yang berada di titik . Sangat mudah untuk melihat bahwa koordinat masing-masing titik ini memenuhi persamaan.
Pada kasus ini : 
Segmen garis ditelepon sumbu utama elips;
segmen garis – sumbu kecil;
nomor 
ditelepon sumbu semi-mayor elips;
nomor 
– sumbu semi-kecil.
dalam contoh kita: .
Untuk membayangkan dengan cepat seperti apa elips ini atau itu, lihat saja nilai "a" dan "be" dari persamaan kanoniknya.
Semuanya baik-baik saja, rapi dan indah, tetapi ada satu peringatan: Saya menyelesaikan gambar menggunakan program. Dan Anda dapat menggambar dengan aplikasi apa pun. Namun, dalam kenyataan pahit, selembar kertas kotak-kotak tergeletak di atas meja, dan tikus-tikus menari-nari di sekitar tangan kita. Orang dengan bakat seni, tentu saja, dapat berdebat, tetapi Anda juga memiliki tikus (walaupun yang lebih kecil). Tidak sia-sia bahwa umat manusia menemukan penggaris, kompas, busur derajat, dan perangkat sederhana lainnya untuk menggambar.
Untuk alasan ini, kita tidak mungkin dapat menggambar elips secara akurat, hanya mengetahui simpulnya. Masih baik-baik saja, jika elips kecil, misalnya, dengan semiaxes. Atau, Anda dapat mengurangi skala dan, karenanya, dimensi gambar. Tetapi dalam kasus umum sangat diinginkan untuk menemukan poin tambahan.
Ada dua pendekatan untuk membangun elips - geometris dan aljabar. Saya tidak suka membangun dengan kompas dan penggaris karena algoritme pendek dan kekacauan gambar yang signifikan. Dalam keadaan darurat, silakan merujuk ke buku teks, tetapi pada kenyataannya jauh lebih rasional untuk menggunakan alat-alat aljabar. Dari persamaan elips pada draf, kami dengan cepat menyatakan: 
Persamaan tersebut kemudian dibagi menjadi dua fungsi: 
– mendefinisikan busur atas elips; 
– mendefinisikan busur bawah elips.
Elips yang diberikan oleh persamaan kanonik adalah simetris terhadap sumbu koordinat, serta terhadap titik asal. Dan itu bagus - simetri hampir selalu merupakan pertanda dari freebie. Jelas, itu cukup untuk berurusan dengan kuartal koordinat 1, jadi kita membutuhkan sebuah fungsi 
. Ini menyarankan menemukan poin tambahan dengan absis 
. Kami menekan tiga SMS di kalkulator: 
Tentu saja, menyenangkan juga bahwa jika kesalahan serius dibuat dalam perhitungan, maka ini akan segera menjadi jelas selama konstruksi.
Tandai titik pada gambar (warna merah), titik simetris pada busur lainnya (warna biru) dan hubungkan seluruh perusahaan dengan hati-hati dengan garis: 
Lebih baik menggambar sketsa awal dengan tipis dan tipis, dan baru kemudian memberi tekanan pada pensil. Hasilnya harus elips yang cukup bagus. Omong-omong, apakah Anda ingin tahu kurva apa ini?
Definisi elips. Fokus elips dan eksentrisitas elips
Elips adalah kasus khusus dari oval. Kata "lonjong" tidak boleh dipahami dalam arti filistin ("anak menggambar oval", dll.). Ini adalah istilah matematika dengan formulasi rinci. Tujuan pelajaran ini bukan untuk mempertimbangkan teori oval dan berbagai jenisnya, yang secara praktis tidak diperhatikan dalam kursus standar geometri analitik. Dan, sesuai dengan kebutuhan yang lebih saat ini, kita langsung menuju ke definisi elips yang ketat:
Elips- ini adalah himpunan semua titik pesawat, jumlah jarak ke masing-masing dari dua titik tertentu, yang disebut Trik elips, adalah nilai konstanta, secara numerik sama dengan panjang sumbu utama elips ini: .
Dalam hal ini, jarak antara fokus kurang dari nilai ini: .
Sekarang akan menjadi lebih jelas: 
Bayangkan bahwa titik biru "naik" pada elips. Jadi, tidak peduli titik elips mana yang kita ambil, jumlah panjang segmen akan selalu sama:
Mari kita pastikan bahwa dalam contoh kita nilai jumlah benar-benar sama dengan delapan. Secara mental tempatkan titik "em" di simpul kanan elips, lalu: , yang harus diperiksa.
Cara lain untuk menggambar elips didasarkan pada definisi elips. Matematika yang lebih tinggi, kadang-kadang, adalah penyebab ketegangan dan stres, jadi inilah saatnya untuk melakukan sesi pembongkaran lagi. Silakan ambil selembar kertas atau selembar karton besar dan sematkan ke meja dengan dua paku. Ini akan menjadi trik. Ikat benang hijau ke kepala kuku yang menonjol dan tarik seluruhnya dengan pensil. Leher pensil akan berada di beberapa titik, yang termasuk dalam elips. Sekarang mulailah mengarahkan pensil melintasi selembar kertas, jaga agar benang hijau tetap kencang. Lanjutkan prosesnya sampai kembali ke titik awal...bagus sekali...gambarnya bisa diserahkan untuk verifikasi oleh dokter ke guru =)
Bagaimana cara mencari fokus elips?
Dalam contoh di atas, saya menggambarkan titik fokus "siap", dan sekarang kita akan belajar cara mengekstraknya dari kedalaman geometri.
Jika elips diberikan oleh persamaan kanonik , maka fokusnya memiliki koordinat 
, dimana itu jarak dari masing-masing fokus ke pusat simetri elips.
Perhitungan lebih mudah daripada lobak kukus: 
! Dengan arti "ce" tidak mungkin untuk mengidentifikasi koordinat spesifik trik! Saya ulangi, ini adalah JARAK dari setiap fokus ke pusat(yang dalam kasus umum tidak harus ditempatkan persis di titik asal).
Dan, oleh karena itu, jarak antara fokus juga tidak dapat dikaitkan dengan posisi kanonik elips. Dengan kata lain, elips dapat dipindahkan ke tempat lain dan nilainya akan tetap tidak berubah, sedangkan fokusnya secara alami akan mengubah koordinatnya. Tolong pertimbangkan saat ini selama studi lebih lanjut dari topik.
Eksentrisitas elips dan makna geometrisnya
Eksentrisitas elips adalah rasio yang dapat mengambil nilai dalam .
Dalam kasus kami:
Mari kita cari tahu bagaimana bentuk elips bergantung pada eksentrisitasnya. Untuk ini perbaiki simpul kiri dan kanan dari elips yang dipertimbangkan, yaitu, nilai sumbu semi-mayor akan tetap konstan. Maka rumus eksentrisitas akan berbentuk: .
Mari kita mulai memperkirakan nilai eksentrisitas menjadi satu. Ini hanya mungkin jika . Apa artinya? ... trik mengingat 
. Ini berarti bahwa fokus elips akan "menyebar" sepanjang sumbu absis ke simpul samping. Dan, karena "segmen hijau bukan karet", elips pasti akan mulai rata, berubah menjadi sosis yang lebih tipis dan lebih tipis yang digantung pada sumbu.
Dengan demikian, semakin dekat eksentrisitas elips dengan satu, semakin lonjong elips tersebut.
Sekarang mari kita simulasikan proses sebaliknya: fokus elips 
pergi ke arah satu sama lain, mendekati pusat. Artinya nilai "ce" semakin kecil sehingga eksentrisitasnya cenderung nol: .
Dalam hal ini, "segmen hijau", sebaliknya, akan "menjadi ramai" dan mereka akan mulai "mendorong" garis elips ke atas dan ke bawah.
Dengan demikian, semakin dekat nilai eksentrisitas ke nol, semakin terlihat elips... lihat kasus pembatas, ketika fokus berhasil disatukan kembali di titik asal:
Lingkaran adalah kasus khusus dari elips
Memang, dalam kasus persamaan setengah sumbu, persamaan kanonik elips mengambil bentuk, yang secara refleks berubah menjadi persamaan lingkaran terkenal dari sekolah dengan pusat di titik asal jari-jari "a".
Dalam praktiknya, notasi dengan huruf "berbicara" lebih sering digunakan:. Jari-jari disebut panjang segmen, sedangkan setiap titik lingkaran dihilangkan dari pusat dengan jarak jari-jari.
Perhatikan bahwa definisi elips tetap sepenuhnya benar: fokus cocok, dan jumlah panjang segmen yang cocok untuk setiap titik pada lingkaran adalah nilai konstan. Karena jarak antara fokus adalah eksentrisitas lingkaran apa pun adalah nol.
Lingkaran dibangun dengan mudah dan cepat, cukup untuk mempersenjatai diri dengan kompas. Namun, kadang-kadang perlu untuk mengetahui koordinat beberapa titiknya, dalam hal ini kita menggunakan cara yang sudah dikenal - kita membawa persamaan ke bentuk Matan yang ceria:
adalah fungsi dari setengah lingkaran atas;
adalah fungsi setengah lingkaran bawah.
Kemudian kami menemukan nilai yang diinginkan, dapat dibedakan, mengintegrasikan dan melakukan hal-hal baik lainnya.
Artikel ini, tentu saja, hanya untuk referensi, tetapi bagaimana seseorang bisa hidup tanpa cinta di dunia? Tugas kreatif untuk solusi independen
Contoh 2
Tulis persamaan kanonik elips jika salah satu fokusnya dan sumbu semi-minor diketahui (pusatnya di titik asal). Temukan simpul, titik tambahan, dan buat garis pada gambar. Hitung eksentrisitasnya.
Solusi dan menggambar di akhir pelajaran
Mari tambahkan tindakan:
Putar dan terjemahkan elips
Mari kita kembali ke persamaan kanonik dari elips, yaitu, ke kondisi, teka-teki yang telah menyiksa pikiran ingin tahu sejak penyebutan pertama kurva ini. Di sini kita telah mempertimbangkan sebuah elips 
, tapi dalam prakteknya tidak bisa persamaan 
? Bagaimanapun, di sini, bagaimanapun, tampaknya seperti elips juga!
Persamaan seperti itu jarang terjadi, tetapi memang ditemukan. Dan itu mendefinisikan elips. Mari kita hilangkan mistik: 
Sebagai hasil konstruksi, elips asli kami diperoleh, diputar 90 derajat. Yaitu, 
- Ini entri non-kanonik elips 
. Catatan!- persamaan 
tidak menentukan elips lain, karena tidak ada titik (fokus) pada sumbu yang akan memenuhi definisi elips.
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang, jumlah jarak dari masing-masing titik ke dua titik tertentu F_1, dan F_2 adalah nilai konstan (2a), lebih besar dari jarak (2c) antara titik-titik yang diberikan ini (Gbr. 3.36, a). Definisi geometrik ini menyatakan sifat fokus elips.
Sifat fokus elips
Titik F_1 dan F_2 disebut titik fokus elips, jarak antara keduanya 2c=F_1F_2 adalah panjang fokus, titik tengah O ruas F_1F_2 adalah pusat elips, angka 2a adalah panjang sumbu utama elips elips (masing-masing, angka a adalah semiaxis utama dari elips). Segmen F_1M dan F_2M yang menghubungkan titik sembarang M dari elips dengan fokusnya disebut jari-jari fokus titik M . Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada elips disebut tali busur elips.
Rasio e=\frac(c)(a) disebut eksentrisitas elips. Dari definisi (2a>2c) diperoleh bahwa 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Definisi geometris dari elips, mengekspresikan properti fokusnya, setara dengan definisi analitisnya - garis yang diberikan oleh persamaan kanonik elips:
Memang, mari kita perkenalkan sistem koordinat persegi panjang (Gbr. 3.36, c). Pusat O dari elips diambil sebagai asal dari sistem koordinat; garis lurus yang melalui fokus (sumbu fokus atau sumbu pertama elips), kita akan mengambil sebagai sumbu absis (arah positif di atasnya dari titik F_1 ke titik F_2); garis lurus yang tegak lurus sumbu fokus dan melalui pusat elips (sumbu kedua elips) diambil sebagai sumbu y (arah pada sumbu y dipilih sehingga sistem koordinat persegi panjang Oxy benar ).
Mari kita rumuskan persamaan elips menggunakan definisi geometrisnya, yang menyatakan sifat fokus. Dalam sistem koordinat yang dipilih, kami menentukan koordinat fokus F_1(-c,0),~F_2(c,0). Untuk titik sewenang-wenang M(x,y) milik elips, kami memiliki:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Menulis persamaan ini dalam bentuk koordinat, kita mendapatkan:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Kami mentransfer radikal kedua ke sisi kanan, kuadratkan kedua sisi persamaan dan berikan suku-suku serupa:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.
Membagi dengan 4, kita kuadratkan kedua sisi persamaan:
A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
menunjukkan b=\sqrt(a^2-c^2)>0, kita mendapatkan b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Membagi kedua bagian dengan a^2b^2\ne0 , kita sampai pada persamaan kanonik elips:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Oleh karena itu, sistem koordinat yang dipilih adalah kanonik.
Jika fokus elips bertepatan, maka elips tersebut adalah lingkaran (Gbr. 3.36.6), karena a=b. Dalam hal ini, sembarang sistem koordinat persegi panjang dengan asal di titik O\equiv F_1\equiv F_2, dan persamaan x^2+y^2=a^2 adalah persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari-jari a .
Dengan penalaran ke belakang, dapat ditunjukkan bahwa semua titik yang koordinatnya memenuhi persamaan (3.49), dan hanya titik-titik tersebut, termasuk tempat kedudukan titik-titik yang disebut elips. Dengan kata lain, definisi analitik elips setara dengan definisi geometrisnya, yang menyatakan properti fokus elips.
Properti direktori dari elips
Direktriks elips adalah dua garis lurus yang sejajar dengan sumbu ordinat sistem koordinat kanonik pada jarak yang sama \frac(a^2)(c) darinya. Untuk c=0 , ketika elips adalah lingkaran, tidak ada directrix (kita dapat mengasumsikan bahwa directrix dihilangkan tak terhingga).
Elips dengan eksentrisitas 0
Memang, misalnya, untuk fokus F_2 dan directrix d_2 (Gbr. 3.37.6) kondisinya \frac(r_2)(\rho_2)=e dapat ditulis dalam bentuk koordinat:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\kanan)
Menyingkirkan irasionalitas dan mengganti e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, kita sampai pada persamaan kanonik elips (3,49). Penalaran serupa dapat dilakukan untuk fokus F_1 dan direktriks d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Persamaan elips dalam koordinat kutub
Persamaan elips dalam sistem koordinat kutub F_1r\varphi (Gbr.3.37,c dan 3.37(2)) berbentuk
R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
di mana p=\frac(b^2)(a) adalah parameter fokus elips.
Faktanya, mari kita pilih fokus kiri F_1 dari elips sebagai kutub sistem koordinat kutub, dan sinar F_1F_2 sebagai sumbu kutub (Gbr. 3.37, c). Kemudian untuk sembarang titik M(r,\varphi) , menurut definisi geometris (properti fokus) dari elips, kita memiliki r+MF_2=2a . Kami menyatakan jarak antara titik M(r,\varphi) dan F_2(2c,0) (lihat poin 2 dari komentar 2.8):
\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(selaras)
Oleh karena itu, dalam bentuk koordinat, persamaan elips F_1M+F_2M=2a berbentuk
R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Kami mengisolasi radikal, kuadratkan kedua sisi persamaan, bagi dengan 4 dan berikan suku-suku serupa:
R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\kanan)\!\cdot r=a^2-c^2.
Kami menyatakan jari-jari kutub r dan membuat substitusi e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Arti geometris dari koefisien dalam persamaan elips
Mari kita cari titik potong elips (lihat Gambar 3.37, a) dengan sumbu koordinat (simpul zlips). Dengan memasukkan y=0 ke dalam persamaan, kita menemukan titik potong elips dengan sumbu absis (dengan sumbu fokus): x=\pm a . Oleh karena itu, panjang ruas sumbu fokus yang berada di dalam elips adalah sama dengan 2a. Segmen ini, seperti disebutkan di atas, disebut sumbu utama elips, dan angka a adalah setengah sumbu utama elips. Mengganti x=0 , kita mendapatkan y=\pm b . Oleh karena itu, panjang ruas sumbu kedua elips yang berada di dalam elips adalah sama dengan 2b. Ruas ini disebut sumbu minor elips, dan angka b disebut sumbu minor elips.
Betulkah, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, dan persamaan b=a hanya diperoleh dalam kasus c=0 ketika elips adalah lingkaran. Sikap k=\frac(b)(a)\leqslant1 disebut faktor kontraksi elips.
Keterangan 3.9
1. Garis x=\pm a,~y=\pm b membatasi persegi panjang utama pada bidang koordinat, di mana elips berada (lihat Gambar 3.37, a).
2. Sebuah elips dapat didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang diperoleh dengan mengecilkan diameter lingkaran.
Memang, biarkan dalam sistem koordinat persegi panjang Oxy persamaan lingkaran memiliki bentuk x^2+y^2=a^2 . Ketika dikompresi ke sumbu x dengan faktor 0 \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) Mensubstitusikan x=x" dan y=\frac(1)(k)y" ke dalam persamaan lingkaran, kita memperoleh persamaan untuk koordinat bayangan M"(x",y") dari titik M(x ,y) : (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\kanan)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} karena b=k\cdot a . Ini adalah persamaan kanonik elips. 3. Sumbu koordinat (sistem koordinat kanonik) adalah sumbu simetri elips (disebut sumbu utama elips), dan pusatnya adalah pusat simetri. Memang, jika titik M(x,y) termasuk elips . maka titik M"(x,-y) dan M""(-x,y) , simetris dengan titik M terhadap sumbu koordinat, juga termasuk elips yang sama. 4. Dari persamaan elips dalam sistem koordinat kutub r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(lihat Gambar 3.37, c), arti geometris dari parameter fokus diklarifikasi - ini adalah setengah panjang tali busur elips yang melewati fokusnya tegak lurus terhadap sumbu fokus ( r = p di \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Eksentrisitas e mencirikan bentuk elips, yaitu perbedaan antara elips dan lingkaran. Semakin besar e, semakin memanjang elips, dan semakin dekat e ke nol, semakin dekat elips dengan lingkaran (Gbr. 3.38, a). Memang, mengingat bahwa e=\frac(c)(a) dan c^2=a^2-b^2 , kita dapatkan E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\kanan )\^2=1-k^2,
!} di mana k adalah faktor kontraksi elips, 0 6. Persamaan \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 untuk sebuah
7. Persamaan \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b mendefinisikan elips yang berpusat pada titik O "(x_0, y_0), yang sumbunya sejajar dengan sumbu koordinat (Gbr. 3.38, c). Persamaan ini direduksi menjadi persamaan kanonik menggunakan terjemahan paralel (3.36). Untuk a=b=R persamaan (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 menggambarkan lingkaran dengan jari-jari R berpusat di titik O"(x_0,y_0) . Persamaan parametrik elips dalam sistem koordinat kanonik memiliki bentuk \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
Memang, dengan mensubstitusi ekspresi ini ke dalam persamaan (3.49), kita sampai pada identitas trigonometri utama \cos^2t+\sin^2t=1 . Contoh 3.20. menggambar elips \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 dalam sistem koordinat kanonik Oxy. Temukan semiaxes, panjang fokus, eksentrisitas, rasio aspek, parameter fokus, persamaan directrix. Keputusan. Membandingkan persamaan yang diberikan dengan persamaan kanonik, kami menentukan semiaxis: a=2 - semiaxis mayor, b=1 - semiaxis minor elips. Kami membangun persegi panjang utama dengan sisi 2a=4,~2b=2 berpusat di titik asal (Gbr.3.39). Mengingat simetri elips, kami memasukkannya ke dalam persegi panjang utama. Jika perlu, kami menentukan koordinat beberapa titik elips. Sebagai contoh, dengan mensubstitusikan x=1 ke dalam persamaan elips, kita peroleh \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ segi empat y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Oleh karena itu, titik-titik dengan koordinat \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- milik elips. Hitung rasio kompresi k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); Focal length 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); keanehan e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); parameter fokus p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Kami membuat persamaan directrix: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). 11.1. Konsep dasar Pertimbangkan garis yang ditentukan oleh persamaan derajat kedua sehubungan dengan koordinat saat ini Koefisien persamaan adalah bilangan real, tetapi setidaknya salah satu dari bilangan A, B, atau C tidak nol. Garis seperti itu disebut garis (kurva) orde kedua. Di bawah ini akan ditentukan bahwa persamaan (11.1) mendefinisikan lingkaran, elips, hiperbola, atau parabola pada bidang. Sebelum melanjutkan ke pernyataan ini, mari kita pelajari sifat-sifat kurva yang disebutkan. 11.2. Lingkaran Kemudian dari kondisi tersebut diperoleh persamaan Persamaan (11.2) dipenuhi oleh koordinat titik mana pun pada lingkaran yang diberikan dan tidak dipenuhi oleh koordinat titik mana pun yang tidak terletak pada lingkaran. Persamaan (11.2) disebut persamaan kanonik lingkaran Secara khusus, dengan asumsi dan , kita memperoleh persamaan lingkaran yang berpusat di titik asal Persamaan lingkaran (11.2) setelah transformasi sederhana akan berbentuk . Ketika membandingkan persamaan ini dengan persamaan umum (11.1) dari kurva orde kedua, mudah untuk melihat bahwa dua kondisi terpenuhi untuk persamaan lingkaran: 1) koefisien pada x 2 dan y 2 sama satu sama lain; 2) tidak ada anggota yang mengandung produk xy dari koordinat saat ini. Mari kita pertimbangkan masalah kebalikannya. Menempatkan dalam persamaan (11.1) nilai dan , kami memperoleh Mari kita ubah persamaan ini: Oleh karena itu persamaan (11.3) mendefinisikan lingkaran di bawah kondisi Jika Itu dipenuhi oleh koordinat satu titik Jika sebuah 11.3. Elips Persamaan kanonik elips Elips
adalah himpunan semua titik pada bidang, jumlah jarak dari masing-masing titik tersebut ke dua titik tertentu pada bidang ini, yang disebut Trik
, adalah nilai konstanta yang lebih besar dari jarak antara fokus. Untuk menurunkan persamaan elips, kita memilih sistem koordinat sehingga fokus F1 dan F2 terletak pada sumbu , dan titik asal bertepatan dengan titik tengah segmen F 1 F 2. Maka fokus akan memiliki koordinat berikut: dan . Membiarkan menjadi sembarang titik elips. Kemudian, menurut definisi elips, yaitu. Ini, sebenarnya, adalah persamaan elips. Kami mengubah persamaan (11,5) ke bentuk yang lebih sederhana sebagai berikut: Sebagai sebuah>dengan, kemudian . Mari kita taruh Kemudian persamaan terakhir mengambil bentuk atau Dapat dibuktikan bahwa persamaan (11.7) ekuivalen dengan persamaan semula. Ini disebut persamaan kanonik elips
. Elips adalah kurva orde kedua. Mempelajari bentuk elips menurut persamaannya Mari kita tentukan bentuk elips menggunakan persamaan kanoniknya. 1. Persamaan (11.7) hanya memuat x dan y pangkat genap, jadi jika suatu titik termasuk ke dalam elips, maka titik ,, juga termasuk di dalamnya. Oleh karena itu elips adalah simetris terhadap sumbu dan , serta sehubungan dengan titik , yang disebut pusat elips. 3. Dari persamaan (11.7) diperoleh bahwa setiap suku di ruas kiri tidak lebih dari satu, yaitu. ada pertidaksamaan dan atau dan . Oleh karena itu, semua titik elips terletak di dalam persegi panjang yang dibentuk oleh garis lurus. 4. Pada persamaan (11.7), jumlah suku tak negatif dan sama dengan satu. Akibatnya, ketika satu istilah meningkat, yang lain akan berkurang, yaitu, jika meningkat, maka menurun dan sebaliknya. Dari apa yang telah dikatakan, maka elips memiliki bentuk yang ditunjukkan pada Gambar. 50 (kurva tertutup oval). Lebih lanjut tentang elips Bentuk elips tergantung pada rasio. Ketika elips berubah menjadi lingkaran, persamaan elips (11.7) berbentuk . Sebagai ciri bentuk elips, rasio lebih sering digunakan. Perbandingan setengah jarak antara fokus dengan sumbu semi-utama elips disebut eksentrisitas elips dan o6o dilambangkan dengan huruf ("epsilon"): dengan 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу
(11.8) можно переписать в виде Hal ini menunjukkan bahwa semakin kecil eksentrisitas elips, semakin sedikit oblate elips tersebut; jika kita menempatkan = 0, maka elips berubah menjadi lingkaran. Ada rumus Garis lurus disebut Ini mengikuti dari persamaan (11.6) bahwa . Jika , maka persamaan (11.7) mendefinisikan elips, sumbu utama terletak pada sumbu Oy, dan sumbu minor terletak pada sumbu Ox (lihat Gambar 52). Fokus dari elips tersebut berada di titik dan , Dimana 11.4. Hiperbola Persamaan kanonik hiperbola hiperbola
himpunan semua titik bidang disebut, modulus perbedaan jarak dari masing-masing ke dua titik tertentu dari bidang ini, disebut Trik
, adalah nilai konstan, lebih kecil dari jarak antara fokus. Untuk menurunkan persamaan hiperbola, kita memilih sistem koordinat sehingga titik fokus F1 dan F2 terletak pada sumbu , dan titik asal bertepatan dengan titik tengah segmen F 1 F 2(lihat gambar 53). Maka fokus akan memiliki koordinat dan Membiarkan menjadi sembarang titik hiperbola. Kemudian menurut definisi hiperbola Hiperbola adalah garis orde dua. Penyelidikan bentuk hiperbola menurut persamaannya Mari kita tentukan bentuk hiperbola menggunakan persamaan caconic-nya. 1. Persamaan (11.9) memuat x dan y hanya dalam pangkat genap. Oleh karena itu, hiperbola adalah simetris terhadap sumbu dan , serta terhadap titik , yang disebut pusat hiperbola.
2. Temukan titik potong hiperbola dengan sumbu koordinat. Menempatkan dalam persamaan (11.9), kami menemukan dua titik perpotongan hiperbola dengan sumbu : dan . Dengan memasukkan (11.9), kita peroleh , yang tidak mungkin. Oleh karena itu, hiperbola tidak memotong sumbu y. Titik dan disebut
puncak
hiperbola, dan segmen sumbu nyata
, segmen garis - setengah sumbu nyata
hiperbola. Ruas garis yang menghubungkan titik-titik disebut
sumbu imajiner
, nomor b - sumbu imajiner
. Persegi panjang dengan sisi 2a dan 2b ditelepon persegi panjang utama hiperbola
. 3. Dari persamaan (11.9) diperoleh bahwa minuend tidak kurang dari satu, yaitu itu atau . Artinya titik-titik hiperbola terletak di sebelah kanan garis (cabang kanan hiperbola) dan di sebelah kiri garis (cabang kiri hiperbola). 4. Dari persamaan (11.9) hiperbola dapat dilihat bahwa jika bertambah maka bertambah pula. Ini mengikuti dari fakta bahwa perbedaan menjaga nilai konstan sama dengan satu. Hal ini mengikuti dari apa yang telah dikatakan bahwa hiperbola memiliki bentuk yang ditunjukkan pada Gambar 54 (kurva yang terdiri dari dua cabang tak terbatas). Asimtot hiperbola
Garis L disebut asimtot Mari kita tunjukkan bahwa hiperbola memiliki dua asimtot: Karena garis (11.11) dan hiperbola (11.9) simetris terhadap sumbu koordinat, cukup untuk mempertimbangkan hanya titik-titik dari garis yang ditunjukkan yang terletak di kuadran pertama. Ambil garis lurus sebuah titik N yang memiliki absis x yang sama dengan titik pada hiperbola Seperti yang Anda lihat, saat x bertambah, penyebut pecahan bertambah; pembilang adalah nilai konstan. Oleh karena itu, panjang segmen Saat membangun hiperbola (11.9), disarankan untuk terlebih dahulu membangun persegi panjang utama hiperbola (lihat Gambar 57), menggambar garis yang melewati simpul yang berlawanan dari persegi panjang ini - asimtot hiperbola dan menandai simpul dan , hiperbola . Persamaan hiperbola sama sisi. yang asimtotnya merupakan sumbu koordinat Asimtot hiperbola sama sisi memiliki persamaan dan karena itu merupakan garis bagi sudut koordinat. Pertimbangkan persamaan hiperbola ini dalam sistem koordinat baru (lihat Gambar 58), diperoleh dari yang lama dengan memutar sumbu koordinat dengan sudut. Kami menggunakan rumus untuk rotasi sumbu koordinat: Kami mengganti nilai x dan y dalam persamaan (11.12): Persamaan hiperbola sama sisi, di mana sumbu Ox dan Oy asimtot, akan berbentuk . Lebih lanjut mengenai hiperbola keanehan
hiperbola (11,9) adalah perbandingan jarak antara fokus dengan nilai sumbu nyata hiperbola, dilambangkan dengan : Karena untuk hiperbola , eksentrisitas hiperbola lebih besar dari satu: . Eksentrisitas mencirikan bentuk hiperbola. Memang, ini mengikuti dari kesetaraan (11.10) yaitu. dan Ini menunjukkan bahwa semakin kecil eksentrisitas hiperbola, semakin kecil rasio - dari semi-sumbunya, yang berarti semakin panjang persegi panjang utamanya. Eksentrisitas hiperbola sama sisi adalah . Betulkah, Jari-jari fokus Garis lurus disebut direktriks hiperbola. Karena untuk hiperbola > 1, maka . Artinya direktriks kanan terletak di antara pusat dan titik kanan hiperbola, direktriks kiri berada di antara pusat dan titik kiri. Direktrik hiperbola memiliki sifat yang sama dengan direktriks elips. Kurva yang ditentukan oleh persamaan juga merupakan hiperbola, sumbu nyata 2b terletak pada sumbu Oy, dan sumbu imajiner 2 sebuah- pada sumbu Ox. Pada Gambar 59, ditunjukkan sebagai garis putus-putus. Jelas, hiperbola dan memiliki asimtot yang sama. Hiperbola semacam itu disebut konjugasi. 11.5. Parabola Persamaan parabola kanonik Parabola adalah himpunan semua titik pada bidang, yang masing-masing berjarak sama dari suatu titik tertentu, yang disebut fokus, dan garis tertentu, yang disebut direktriks. Jarak dari fokus F ke direktriks disebut parameter parabola dan dilambangkan dengan p (p > 0). 1. Pada persamaan (11.13), variabel y termasuk dalam derajat genap, yang berarti parabola simetris terhadap sumbu Ox; sumbu x adalah sumbu simetri parabola. 2. Karena > 0, maka dari (11.13) bahwa . Oleh karena itu, parabola terletak di sebelah kanan sumbu y. 3. Ketika kita memiliki y \u003d 0. Oleh karena itu, parabola melewati titik asal. 4. Dengan peningkatan x yang tidak terbatas, modul y juga meningkat tanpa batas. Parabola memiliki bentuk (bentuk) yang ditunjukkan pada Gambar 61. Titik O (0; 0) disebut titik puncak parabola, segmen FM \u003d r disebut jari-jari fokus titik M. Persamaan , , ( p>0) juga mendefinisikan parabola, mereka ditunjukkan pada Gambar 62 Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa grafik trinomial bujur sangkar, di mana , B dan C adalah sembarang bilangan real, adalah parabola dalam pengertian definisi di atas. 11.6. Persamaan umum garis orde dua Persamaan kurva orde kedua dengan sumbu simetri sejajar dengan sumbu koordinat Mari kita cari persamaan elips yang berpusat di sebuah titik yang sumbu simetrinya sejajar dengan sumbu koordinat Ox dan Oy dan sumbu seminya masing-masing sama dengan sebuah dan b. Mari kita tempatkan di pusat elips O 1 asal sistem koordinat baru , yang sumbu dan semi-sumbunya sebuah dan b(lihat gambar 64): Dan akhirnya, parabola yang ditunjukkan pada Gambar 65 memiliki persamaan yang sesuai. persamaan Persamaan elips, hiperbola, parabola dan persamaan lingkaran setelah transformasi (kurung terbuka, pindahkan semua suku persamaan ke satu arah, bawa suku sejenis, perkenalkan notasi baru untuk koefisien) dapat ditulis menggunakan persamaan tunggal formulir dimana koefisien A dan C tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan. Timbul pertanyaan: apakah ada persamaan bentuk (11.14) yang menentukan salah satu kurva (lingkaran, elips, hiperbola, parabola) dari orde kedua? Jawabannya diberikan oleh teorema berikut. Teorema 11.2. Persamaan (11.14) selalu mendefinisikan: baik lingkaran (untuk A = C), atau elips (untuk A C > 0), atau hiperbola (untuk A C< 0), либо
параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности)
- в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся
прямых, для параболы - в пару параллельных прямых. Persamaan umum orde kedua Pertimbangkan sekarang persamaan umum derajat kedua dengan dua yang tidak diketahui: Ini berbeda dari persamaan (11.14) dengan adanya istilah dengan produk koordinat (B¹ 0). Dimungkinkan, dengan memutar sumbu koordinat dengan sudut a, untuk mengubah persamaan ini sehingga suku dengan produk koordinat tidak ada di dalamnya. Menggunakan rumus untuk memutar sumbu Mari kita nyatakan koordinat lama dalam hal yang baru: Kami memilih sudut a sehingga koefisien di x "y" hilang, yaitu, sehingga persamaan Jadi, ketika sumbu diputar melalui sudut a yang memenuhi kondisi (11.17), persamaan (11.15) direduksi menjadi persamaan (11.14). Kesimpulan: persamaan umum orde kedua (11.15) mendefinisikan pada bidang (kecuali untuk kasus degenerasi dan peluruhan) kurva berikut: lingkaran, elips, hiperbola, parabola. Catatan: Jika A = C, maka persamaan (11.17) kehilangan artinya. Dalam hal ini cos2α = 0 (lihat (11.16)), maka 2α = 90°, yaitu = 45°. Jadi, pada A = C, sistem koordinat harus diputar sebesar 45°.Persamaan parametrik elips
Kontrol ActiveX harus diaktifkan untuk membuat perhitungan!
Kurva paling sederhana dari orde kedua adalah lingkaran. Ingat bahwa lingkaran dengan jari-jari R berpusat pada suatu titik adalah himpunan semua titik dari bidang yang memenuhi kondisi . Biarkan sebuah titik dalam sistem koordinat persegi panjang memiliki koordinat x 0, y 0 a - titik sembarang lingkaran (lihat Gambar 48).
(11.2)
.
(11.4)
. Pusatnya ada di titik 
, dan jari-jari
.
, maka persamaan (11.3) berbentuk
.
. Dalam hal ini, mereka mengatakan: "lingkaran telah berubah menjadi titik" (memiliki jari-jari nol).
, maka persamaan (11.4), dan dengan demikian persamaan setara (11.3), tidak akan menentukan garis apapun, karena ruas kanan persamaan (11.4) adalah negatif, dan ruas kiri tidak negatif (katakanlah: “lingkaran imajiner”).
Tunjukkan fokus dengan F1 dan F2, jarak keduanya dalam 2 c, dan jumlah jarak dari titik sembarang elips ke fokus - melalui 2 sebuah(lihat gambar 49). Menurut definisi 2 sebuah > 2c, yaitu sebuah
> c.
(11.6)
(11.7)
2. Tentukan titik potong elips dengan sumbu koordinat. Puting , Kami menemukan dua titik dan , di mana sumbu memotong elips (lihat Gambar. 50). Menempatkan dalam persamaan (11.7), kami menemukan titik-titik persimpangan elips dengan sumbu: dan . poin A 1 ,
A2 , B1, B2 ditelepon titik sudut elips. Segmen A 1 A2 dan B1 B2, serta panjangnya 2 sebuah dan 2 b dipanggil masing-masing sumbu mayor dan minor elips. angka sebuah dan b masing-masing disebut besar dan kecil. poros gandar elips.
Biarkan M(x; y) menjadi titik sembarang dari elips dengan fokus F 1 dan F 2 (lihat Gambar 51). Panjang segmen F 1 M=r 1 dan F 2 M = r 2 disebut jari-jari fokus titik M. Jelas sekali,
Teorema 11.1. Jika adalah jarak dari sembarang titik elips ke suatu fokus, d adalah jarak dari titik yang sama ke direktriks yang sesuai dengan fokus ini, maka rasionya adalah nilai konstan yang sama dengan eksentrisitas elips:
.
Tunjukkan fokus dengan F1 dan F2 jarak antara mereka melalui 2 detik, dan modulus perbedaan jarak dari setiap titik hiperbola ke fokus melalui 2a. Prioritas-A 2a < 2 detik, yaitu sebuah < c.
atau , yaitu Setelah penyederhanaan, seperti yang dilakukan ketika menurunkan persamaan elips, kita mendapatkan
persamaan kanonik hiperbola
(11.9)
(11.10)
kurva K tak terbatas jika jarak d dari titik M kurva K ke garis ini cenderung nol karena titik M bergerak sepanjang kurva K tanpa batas dari titik asal. Gambar 55 mengilustrasikan konsep asimtot: garis L adalah asimtot untuk kurva K.
(11.11)
(lihat Gambar 56), dan temukan perbedaan N antara ordinat garis lurus dan cabang hiperbola:
N cenderung nol. Karena N lebih besar dari jarak d dari titik ke garis, maka d lebih cenderung ke nol. Dengan demikian, garis adalah asimtot dari hiperbola (11.9).
Hiperbola (11.9) disebut sama sisi jika setengah sumbunya sama (). Persamaan kanoniknya
(11.12)
.
dan 
untuk titik-titik cabang kanan hiperbola memiliki bentuk dan , dan untuk kiri - 
dan 
.
Untuk menurunkan persamaan parabola, kita memilih sistem koordinat Oxy sehingga sumbu Oxy melewati fokus F tegak lurus terhadap direktriks dalam arah dari direktrix ke F, dan titik asal O terletak di tengah antara fokus dan direktriks (lihat Gambar 60). Dalam sistem yang dipilih, fokus F memiliki koordinat , dan persamaan directrix memiliki bentuk , atau .
