Masalah dengan bilangan bulat tidak diketahui
Pavlovskaya Nina Mikhailovna,
guru matematika MBOU "Sekolah Menengah No. 92
Kemerovo
Persamaan aljabar atau sistem persamaan aljabar dengan koefisien bilangan bulat, yang memiliki lebih banyak variabel yang tidak diketahui daripada jumlah persamaan, dan yang dicari solusi bilangan bulat atau rasionalnya, disebut persamaan diophantine .
Masalah penyelesaian persamaan dalam bilangan bulat telah diselesaikan sepenuhnya hanya untuk persamaan dengan satu yang tidak diketahui, untuk persamaan tingkat pertama dan untuk persamaan tingkat kedua dengan dua yang tidak diketahui. Untuk persamaan di atas derajat kedua dengan dua atau lebih yang tidak diketahui, bahkan masalah membuktikan keberadaan solusi bilangan bulat sulit. Selain itu, telah dibuktikan bahwa tidak ada algoritma terpadu yang memungkinkan penyelesaian persamaan Diophantine arbitrer dalam bilangan bulat dalam jumlah langkah yang terbatas.
- Persamaan Diophantine yang paling sederhana adalah persamaan bentuk
kapak + oleh = c , a 0; b 0
Jika sebuah c = 0 , maka solusinya jelas x = 0, y = 0.
Jika sebuah c 0 , dan solusinya (X 0 ; pada 0 ) , maka bilangan bulat
kapak 0 +oleh 0 dibagi dengan d = (a ; b) , Itu sebabnya dengan juga harus dapat dibagi oleh pembagi yang sama a dan b .
Sebagai contoh: 3x + 6y = 5 tidak memiliki solusi bilangan bulat, karena (3; 6) = 3, dan c = 5 tidak habis dibagi 3 tanpa sisa.
- Jika persamaan kapak + oleh = c punya solusi (X 0 ; pada 0 ) , dan (a ; b) = 1 , maka semua solusi persamaan diberikan oleh rumus x = x 0 + bn; y = y 0 - sebuah, di mana n adalah sembarang solusi bilangan bulat.
Sebagai contoh: 3x + 5y = 13, (3; 5) = 1, jadi persamaan tersebut memiliki banyak solusi, X 0 =1; pada 0 =2
Teorema Hebat (Hebat) Fermat menyatakan: persamaan bentuk tidak memiliki solusi dalam bilangan asli.
Teorema ini dirumuskan oleh matematikawan Italia Pierre Fermat lebih dari 300 tahun yang lalu, dan baru dibuktikan pada tahun 1993.
Metode Faktorisasi .
1) Memecahkan persamaan dalam bilangan bulat
x + y = xy.
Keputusan. Kami menulis persamaan dalam bentuk
(x - 1)(y - 1) = 1.
Perkalian dua bilangan bulat hanya bisa sama dengan 1 jika keduanya sama dengan 1. Artinya, persamaan awal ekuivalen dengan himpunan
dengan solusi (0,0) dan (2,2).
2. Memecahkan persamaan dalam bilangan bulat:
3x² + 4xy - 7y² = 13.
Keputusan: 3x² - 3xy + 7xy - 7y² \u003d 13,
3x(x - y) + 7y(x - y) = 13,
(x - y) (3x + 7y) \u003d 13.
Karena 13 memiliki pembagi bilangan bulat ±1 dan ±13,
1. x - y \u003d 1, 7x - 7y \u003d 7, x \u003d 2,
3x + 7y = 13; 3x + 7y = 13; dari mana y = 1
2. x - y \u003d 13, 7x - 7y \u003d 91, x \u003d 9.2,
3x + 7y = 1; 3x + 7y = 1; dari mana y \u003d - 3,8.
3 . x - y \u003d -1, 7x - 7y \u003d -7, x \u003d -2,
3x + 7th \u003d -13; 3x + 7y = -13; dimana y = -1.
4. x - y \u003d -13, 7x - 7y \u003d -91, x \u003d -9.2,
3x + 7th \u003d -1; 3x + 7th \u003d -1; dimana y = 3,8.
Oleh karena itu, persamaan memiliki dua solusi bilangan bulat: (2;1) dan (-2;-1)
3 . Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat:
9x² + 4x - xy + 3y \u003d 88.
Keputusan: 9x² + 4x - 88 \u003d xy - 3y,
9x² + 4x - 88 \u003d y (x - 3)
karena 5 memiliki pembagi bilangan bulat ± 1 dan ± 5, maka
Persamaan dalam bilangan bulat adalah persamaan aljabar dengan dua atau lebih variabel yang tidak diketahui dan koefisien bilangan bulat. Solusi dari persamaan semacam itu adalah semua himpunan bilangan bulat (terkadang alami atau rasional) dari nilai variabel yang tidak diketahui yang memenuhi persamaan ini. Persamaan seperti ini disebut juga diophantine, untuk menghormati ahli matematika Yunani kuno, yang mengeksplorasi beberapa jenis persamaan seperti itu sebelum zaman kita.
Kami berutang formulasi modern masalah Diophantine ke matematikawan Prancis. Dialah yang mengajukan pertanyaan kepada matematikawan Eropa untuk memecahkan persamaan tak tentu hanya dalam bilangan bulat. Persamaan yang paling terkenal dalam bilangan bulat adalah Teorema Terakhir Fermat: persamaan
tidak memiliki solusi rasional bukan-nol untuk semua bilangan asli n > 2.
Minat teoritis dalam persamaan dalam bilangan bulat cukup besar, karena persamaan ini terkait erat dengan banyak masalah dalam teori bilangan.
Pada tahun 1970, ahli matematika Leningrad Yuri Vladimirovich Matiyasevich membuktikan bahwa tidak ada metode umum yang memungkinkan penyelesaian persamaan Diophantine arbitrer dalam bilangan bulat dalam jumlah langkah yang terbatas, dan tidak mungkin ada. Oleh karena itu, perlu untuk memilih metode solusi Anda sendiri untuk berbagai jenis persamaan.
Saat memecahkan persamaan dalam bilangan bulat dan bilangan asli, metode berikut dapat dibedakan secara konvensional:
cara menghitung opsi;
penerapan algoritma Euclid;
representasi angka dalam bentuk pecahan kontinu (kontinu);
faktorisasi;
memecahkan persamaan dalam bilangan bulat sebagai kuadrat (atau sebaliknya) sehubungan dengan beberapa variabel;
metode sisa;
metode penurunan tak terbatas.
Masalah dengan solusi
1. Selesaikan persamaan x 2 - xy - 2y 2 \u003d 7 dalam bilangan bulat.
Mari kita tulis persamaan dalam bentuk (x - 2y)(x + y) = 7.
Karena x, y adalah bilangan bulat, kami menemukan solusi untuk persamaan asli sebagai solusi untuk empat sistem berikut:
1) x - 2y = 7, x + y = 1;
2) x - 2y = 1, x + y = 7;
3) x - 2y = -7, x + y = -1;
4) x - 2y = -1, x + y = -7.
Setelah memecahkan sistem ini, kami memperoleh solusi untuk persamaan: (3; -2), (5; 2), (-3; 2) dan (-5; -2).
Jawaban: (3; -2), (5; 2), (-3; 2), (-5; -2).
a) 20x + 12y = 2013;
b) 5x + 7y = 19;
c) 201x - 1999y = 12.
a) Karena untuk sembarang nilai bilangan bulat x dan y, ruas kiri persamaan habis dibagi dua, dan ruas kanan bilangan ganjil, maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi bilangan bulat.
Jawaban: Tidak ada solusi.
b) Pertama-tama kita memilih solusi tertentu. PADA kasus ini, itu sederhana, misalnya,
x 0 = 1, y 0 = 2.
5x0 + 7y0 = 19,
5(x - x 0) + 7(y - y 0) = 0,
5 (x - x 0) \u003d -7 (y - y 0).
Karena bilangan 5 dan 7 adalah bilangan prima, maka
x - x 0 \u003d 7k, y - y 0 \u003d -5k.
Jadi solusi umumnya adalah:
x = 1 + 7k, y = 2 - 5k,
di mana k adalah bilangan bulat arbitrer.
Jawaban: (1+7k; 2–5k), di mana k adalah bilangan bulat.
c) Cukup sulit untuk menemukan beberapa solusi spesifik dengan seleksi dalam kasus ini. Mari kita gunakan algoritma Euclid untuk angka 1999 dan 201:
gcd(1999, 201) = gcd(201, 190) = gcd(190, 11) = gcd(11, 3) = gcd(3 , 2) = gcd(2, 1) = 1.
Mari kita tulis proses ini dalam urutan terbalik:
1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2 2 – 3 = 2 (11 – 3 3) – 3 = 2 11 – 7 3 = 2 11 – 7(190 – 11 17) =
121 11 - 7 190 = 121(201 - 190) - 7 190 = 121 201 - 128 190 =
121 201 - 128(1999 - 9 201) = 1273 201 - 128 1999.
Jadi, pasangan (1273, 128) adalah penyelesaian persamaan 201x - 1999y = 1. Maka pasangan bilangan
x 0 = 1273 12 = 15276, y 0 = 128 12 = 1536
adalah solusi dari persamaan 201x - 1999y = 12.
Solusi umum persamaan ini dapat ditulis sebagai
x = 15276 + 1999k, y = 1536 + 201k, di mana k adalah bilangan bulat,
atau, setelah mengganti nama (kami menggunakan 15276 = 1283 + 7 1999, 1536 = 129 + 7 201),
x = 1283 + 1999n, y = 129 + 201n, di mana n adalah bilangan bulat.
Jawaban: (1283+1999n, 129+201n), di mana n adalah bilangan bulat.
3. Memecahkan persamaan dalam bilangan bulat:
a) x 3 + y 3 = 3333333;
b) x 3 + y 3 = 4(x 2 y + xy 2 + 1).
a) Karena x 3 dan y 3 hanya dapat memberikan sisa 0, 1 dan 8 bila dibagi dengan 9 (lihat tabel pada bagian), x 3 + y 3 hanya dapat memberikan sisa 0, 1, 2, 7 dan 8. bilangan 3333333 bila dibagi 9 memberikan sisa 3. Oleh karena itu, persamaan aslinya tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat.
b) Tulis ulang persamaan awalnya menjadi (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2) + 4. Karena pangkat tiga bilangan bulat, jika dibagi 7, berikan sisa 0, 1 dan 6, tetapi bukan 4, persamaan tidak memiliki solusi bilangan bulat.
Jawaban: tidak ada solusi bilangan bulat.
a) dalam bilangan prima, persamaan x 2 - 7x - 144 \u003d y 2 - 25y;
b) dalam bilangan bulat, persamaan x + y \u003d x 2 - xy + y 2.
a) Kami memecahkan persamaan ini sebagai persamaan kuadrat terhadap variabel y. Mendapatkan
y \u003d x + 9 atau y \u003d 16 - x.
Karena untuk x ganjil bilangan x + 9 genap, pasangan bilangan prima yang memenuhi persamaan pertama adalah (2; 11).
Karena x, y sederhana, maka dari persamaan y \u003d 16 - x kita memiliki
2 x 16.2 pada 16.
Menggunakan enumerasi opsi, kami menemukan solusi yang tersisa: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).
Jawaban: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).
b) Anggap persamaan ini sebagai persamaan kuadrat untuk x:
x 2 - (y + 1) x + y 2 - y \u003d 0.
Diskriminan dari persamaan ini adalah –3y 2 + 6y + 1. Ini positif hanya untuk nilai y berikut: 0, 1, 2. Untuk masing-masing nilai ini, dari persamaan asli kita memperoleh persamaan kuadrat untuk x , yang mudah dipecahkan.
Jawaban: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).
5. Apakah ada bilangan tiga kali lipat tak hingga dari bilangan bulat x, y, z sehingga x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3 ?
Mari kita coba untuk memilih tiga kali lipat seperti itu, di mana y = –z. Maka y 3 dan z 3 akan selalu saling meniadakan, dan persamaan kita akan terlihat seperti
x2 + 2y2 = x3
atau, sebaliknya,
x 2 (x–1) = 2y 2 .
Agar sepasang bilangan bulat (x; y) memenuhi kondisi ini, cukup bahwa bilangan x-1 adalah dua kali kuadrat bilangan bulat. Ada banyak sekali bilangan seperti itu, yaitu, semuanya bilangan berbentuk 2n 2 +1. Substitusikan bilangan tersebut ke x 2 (x-1) = 2y 2, setelah transformasi sederhana kita dapatkan:
y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.
Semua kembar tiga yang diperoleh dengan cara ini memiliki bentuk (2n 2 +1; 2n 3 + n; -2n 3 - n).
Jawaban: ada.
6. Carilah bilangan bulat x, y, z, u sedemikian hingga x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.
Bilangan x 2 + y 2 + z 2 + u 2 adalah bilangan genap, maka diantara bilangan x, y, z, u terdapat bilangan ganjil yang berjumlah genap.
Jika keempat bilangan x, y, z, u ganjil, maka x 2 + y 2 + z 2 + u 2 habis dibagi 4, tetapi 2xyzu tidak habis dibagi 4 - selisih.
Jika tepat dua bilangan x, y, z, u ganjil, maka x 2 + y 2 + z 2 + u 2 tidak habis dibagi 4, tetapi 2xyzu habis dibagi 4 - lagi-lagi selisih.
Jadi, semua bilangan x, y, z, u genap. Maka seseorang dapat menulis itu
x = 2x 1 , y = 2y 1 , z = 2z 1 , u = 2u 1 ,
dan persamaan aslinya akan berbentuk
x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 = 8x 1 y 1 z 1 u 1 .
Sekarang perhatikan bahwa (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 bila dibagi 8 memberikan sisa 1. Oleh karena itu, jika semua bilangan x 1 , y 1 , z 1 , u 1 ganjil, maka x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 tidak habis dibagi 8. Dan jika tepat dua bilangan ganjil, maka x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 tidak habis dibagi 4. Jadi,
x 1 \u003d 2x 2, y 1 \u003d 2y 2, z 1 \u003d 2z 2, u 1 \u003d 2u 2,
dan kita mendapatkan persamaan
x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 + u 2 2 = 32x 2 y 2 z 2 u 2 .
Mengulangi alasan yang sama lagi, kita mendapatkan bahwa x, y, z, u habis dibagi 2 n untuk semua n alami, yang hanya mungkin jika x = y = z = u = 0.
Jawaban: (0; 0; 0; 0).
7. Buktikan bahwa persamaan
(x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 \u003d 30
tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat.
Mari kita gunakan identitas berikut:
(x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 \u003d 3 (x - y) (y - z) (z - x).
Maka persamaan aslinya dapat ditulis sebagai
(x - y) (y - z) (z - x) = 10.
Nyatakan a = x – y, b = y – z, c = z – x dan tulis persamaan yang dihasilkan sebagai
Selain itu, jelas bahwa a + b + c = 0. Sangat mudah untuk melihat bahwa, hingga permutasi, dari persamaan abc = 10 diperoleh bilangan |a|, |b|, |c| adalah 1, 2, 5, atau 1, 1, 10. Tetapi dalam semua kasus ini, untuk setiap pilihan tanda a, b, c, jumlah a + b + c adalah bukan nol. Dengan demikian, persamaan asli tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat.
8. Selesaikan persamaan 1 dalam bilangan bulat! +2! + . . . + x! = y2 .
Jelas bahwa
jika x = 1, maka y 2 = 1,
jika x = 3, maka y 2 = 9.
Kasus-kasus ini sesuai dengan pasangan angka berikut:
x 1 = 1, y 1 = 1;
x 2 \u003d 1, y 2 \u003d -1;
x 3 \u003d 3, y 3 \u003d 3;
x 4 \u003d 3, y 4 \u003d -3.
Perhatikan bahwa untuk x = 2 kita memiliki 1! +2! = 3, untuk x = 4 kita punya 1! +2! + 3! +4! = 33 dan baik 3 maupun 33 bukan kuadrat bilangan bulat. Jika x > 5, maka karena
5! +6! + . . . + x! = 10n,
kita bisa menulis itu
satu! +2! + 3! +4! +5! + . . . + x! = 33 + 10n.
Karena 33 + 10n adalah angka yang diakhiri dengan 3, itu bukan kuadrat dari bilangan bulat.
Jawaban: (1; 1), (1; -1), (3; 3), (3; -3).
9. Selesaikan sistem persamaan berikut dalam bilangan asli:
a 3 - b 3 - c 3 \u003d 3abc, a 2 \u003d 2 (b + c).
3abc > 0, lalu a 3 > b 3 + c 3 ;
jadi kita punya
Menambahkan ketidaksetaraan ini, kita mendapatkan itu
Dengan memperhitungkan pertidaksamaan terakhir, dari persamaan kedua sistem kita peroleh bahwa
Tetapi persamaan kedua dari sistem juga menunjukkan bahwa a adalah bilangan genap. Jadi, a = 2, b = c = 1.
Jawaban: (2; 1; 1)
10. Tentukan semua pasangan bilangan bulat x dan y yang memenuhi persamaan x 2 + x = y 4 + y 3 + y 2 + y.
Memfaktorkan kedua bagian persamaan ini, kita mendapatkan:
x(x + 1) = y(y + 1)(y 2 + 1),
x(x + 1) = (y 2 + y)(y 2 + 1)
Persamaan tersebut dimungkinkan jika bagian kiri dan kanan sama dengan nol, atau merupakan produk dari dua bilangan bulat berurutan. Oleh karena itu, dengan menyamakan faktor-faktor tertentu menjadi nol, kami mendapatkan 4 pasang nilai variabel yang diinginkan:
x 1 = 0, y 1 = 0;
x 2 \u003d 0, y 2 \u003d -1;
x 3 \u003d -1, y 3 \u003d 0;
x 4 \u003d -1, y 4 \u003d -1.
Produk (y 2 + y) (y 2 + 1) dapat dianggap sebagai produk dari dua bilangan bulat bukan nol berurutan hanya jika y \u003d 2. Oleh karena itu, x (x + 1) \u003d 30, dari mana x 5 \ u003d 5, x 6 = -6. Ini berarti ada dua pasang bilangan bulat lagi yang memenuhi persamaan awal:
x 5 = 5, y 5 = 2;
x 6 \u003d -6, y 6 \u003d 2.
Jawaban: (0; 0), (0; -1), (-1; 0), (-1; -1), (5; 2), (-6; 2.)
Masalah tanpa solusi
1. Memecahkan persamaan dalam bilangan bulat:
a) xy = x + y + 3;
b) x 2 + y 2 \u003d x + y + 2.
2. Memecahkan persamaan dalam bilangan bulat:
a) x 3 + 21 tahun 2 + 5 = 0;
b) 15x 2 - 7y 2 \u003d 9.
3. Selesaikan persamaan dalam bilangan asli:
a) 2 x + 1 \u003d y 2;
b) 3 2 x + 1 \u003d y 2.
4. Buktikan bahwa persamaan x 3 + 3y 3 + 9z 3 = 9xyz dalam bilangan rasional memiliki solusi unik
5. Buktikan bahwa persamaan x 2 + 5 = y 3 dalam bilangan bulat tidak memiliki solusi.
Teks karya ditempatkan tanpa gambar dan rumus.
Versi lengkap dari karya tersebut tersedia di tab "File Pekerjaan" dalam format PDF
Objek studi.
Penelitian ini menyangkut salah satu cabang teori bilangan yang paling menarik - solusi persamaan dalam bilangan bulat.
Subyek studi.
Solusi dalam bilangan bulat dari persamaan aljabar dengan koefisien bilangan bulat di lebih dari satu yang tidak diketahui adalah salah satu masalah matematika yang paling sulit dan kuno dan tidak cukup terwakili dalam kursus matematika sekolah. Dalam pekerjaan saya, saya akan menyajikan analisis persamaan dalam bilangan bulat yang cukup lengkap, klasifikasi persamaan ini sesuai dengan metode penyelesaiannya, deskripsi algoritma untuk menyelesaikannya, serta contoh praktis penerapan setiap metode untuk menyelesaikan persamaan dalam bilangan bulat.
Target.
Pelajari cara menyelesaikan persamaan dalam bilangan bulat.
Tugas:
Studi literatur pendidikan dan referensi;
Mengumpulkan materi teori tentang cara menyelesaikan persamaan;
Analisis algoritma untuk memecahkan persamaan jenis ini;
Jelaskan solusi;
Pertimbangkan contoh penyelesaian persamaan menggunakan metode ini.
Hipotesa:
Dihadapkan dengan persamaan bilangan bulat dalam tugas Olimpiade, saya berasumsi bahwa kesulitan dalam menyelesaikannya disebabkan oleh fakta bahwa tidak semua cara untuk menyelesaikannya diketahui oleh saya.
Relevansi:
Saat memecahkan perkiraan varian tugas USE, saya perhatikan bahwa sering ada tugas untuk menyelesaikan persamaan derajat pertama dan kedua dalam bilangan bulat. Selain itu, tugas-tugas Olimpiade dari berbagai tingkatan juga berisi persamaan dalam bilangan bulat atau masalah yang diselesaikan dengan menggunakan keterampilan untuk memecahkan persamaan dalam bilangan bulat. Pentingnya mengetahui cara menyelesaikan persamaan dalam bilangan bulat menentukan relevansi penelitian saya.
Metode penelitian
Analisis teoritis dan generalisasi informasi dari literatur ilmiah tentang persamaan dalam bilangan bulat.
Klasifikasi persamaan dalam bilangan bulat menurut metode penyelesaiannya.
Analisis dan generalisasi metode untuk memecahkan persamaan dalam bilangan bulat.
Hasil penelitian
Makalah ini menjelaskan metode untuk memecahkan persamaan, mempertimbangkan materi teorema Fermat, teorema Pythagoras, algoritma Euclid, menyajikan contoh pemecahan masalah dan persamaan dari berbagai tingkat kompleksitas.
2.Sejarah persamaan dalam bilangan bulat
Diophantus - seorang ilmuwan - ahli aljabar Yunani Kuno, menurut beberapa sumber, ia hidup sampai 364 M. e. Dia mengkhususkan diri dalam memecahkan masalah dalam bilangan bulat. Oleh karena itu nama persamaan Diophantine. Yang paling terkenal, dipecahkan oleh Diophantus, adalah masalah "mengurai menjadi dua kotak." Persamaannya adalah teorema Pythagoras yang terkenal. Kehidupan dan pekerjaan Diophantus berlangsung di Alexandria, ia mengumpulkan dan memecahkan masalah-masalah baru yang diketahui dan ditemukan. Kemudian ia menggabungkan mereka dalam sebuah karya besar yang disebut Aritmatika. Dari tiga belas buku yang menyusun Aritmatika, hanya enam yang bertahan hingga Abad Pertengahan dan menjadi sumber inspirasi bagi para matematikawan Renaisans.Aritmatika Diophantus adalah kumpulan masalah, masing-masing mencakup solusi dan penjelasan yang diperlukan. Koleksinya mencakup berbagai masalah, dan solusinya seringkali sangat cerdik. Diophantus hanya tertarik pada bilangan bulat positif dan solusi rasional. Dia menyebut solusi irasional "mustahil" dan dengan hati-hati memilih koefisien sehingga solusi positif dan rasional yang diinginkan diperoleh.
Teorema Fermat digunakan untuk menyelesaikan persamaan dalam bilangan bulat. Sejarah pembuktiannya cukup menarik. Banyak ahli matematika terkemuka mengerjakan bukti lengkap dari Teorema Besar, dan upaya ini menghasilkan banyak hasil dalam teori bilangan modern. Diyakini bahwa teorema tersebut berada di tempat pertama dalam hal jumlah bukti yang salah.
Matematikawan Prancis yang luar biasa Pierre Fermat menyatakan bahwa persamaan untuk bilangan bulat n 3 tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif x, y, z (xyz = 0 dikecualikan oleh kepositifan x, y, z. Untuk kasus n = 3, teorema ini dicoba pada abad X yang dibuktikan oleh matematikawan Asia Tengah al-Khojandi, tetapi buktinya tidak dipertahankan. Beberapa saat kemudian, Fermat sendiri menerbitkan bukti kasus tertentu untuk n = 4.
Euler pada tahun 1770 membuktikan teorema untuk kasus n = 3, Dirichlet dan Legendre pada tahun 1825 untuk n = 5, Lame untuk n = 7. Kummer menunjukkan bahwa teorema ini benar untuk semua bilangan prima n kurang dari 100, dengan kemungkinan pengecualian 37 , 59, 67.
Pada 1980-an, pendekatan baru untuk memecahkan masalah muncul. Dari dugaan Mordell, dibuktikan oleh Faltings pada tahun 1983, maka persamaan
untuk n > 3 hanya dapat memiliki sejumlah solusi koprima berhingga.
Langkah terakhir tetapi paling penting dalam pembuktian teorema diambil pada bulan September 1994 oleh Wiles. Bukti 130 halamannya diterbitkan dalam Annals of Mathematics. Pembuktiannya didasarkan pada asumsi matematikawan Jerman Gerhard Frey bahwa Teorema Terakhir Fermat adalah konsekuensi dari hipotesis Taniyama-Shimura (asumsi ini dibuktikan oleh Ken Ribet dengan partisipasi J.-P. Serra). versi pembuktiannya pada tahun 1993 (setelah 7 tahun kerja keras), tetapi celah serius segera ditemukan di dalamnya; dengan bantuan Richard Lawrence Taylor, celah itu dengan cepat ditutup. Versi final diterbitkan pada tahun 1995. 15 Maret 2016 Andrew Wiles menerima Hadiah Abel. Saat ini, preminya adalah 6 juta kroner Norwegia, yaitu sekitar 50 juta rubel. Menurut Wiles, penghargaan itu datang sebagai "kejutan yang lengkap" baginya.
3. Persamaan linier dalam bilangan bulat
Persamaan linier adalah yang paling sederhana dari semua persamaan Diophantine.
Persamaan berbentuk ax=b, di mana a dan b adalah beberapa bilangan dan x adalah variabel yang tidak diketahui, disebut persamaan linier dengan satu yang tidak diketahui. Di sini diperlukan hanya untuk menemukan solusi bilangan bulat dari persamaan. Dapat dilihat bahwa jika a 0, maka persamaan akan memiliki solusi bilangan bulat hanya jika b habis habis dibagi a dan solusi ini x \u003d b / f. Jika a \u003d 0, maka persamaan akan memiliki solusi bilangan bulat ketika b \u003d 0 dan dalam hal ini x adalah bilangan apa pun.
karena 12 habis dibagi 4, maka
Karena a=o dan b=0, maka x adalah bilangan apa saja
Karena 7 bahkan tidak habis dibagi 10, maka tidak ada solusi.
4. Cara menghitung opsi.
Dalam metode pencacahan opsi, perlu untuk mempertimbangkan tanda-tanda pembagian angka, untuk mempertimbangkan semua opsi yang mungkin untuk kesetaraan pencacahan akhir. Metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah ini:
№1 Temukan himpunan semua pasangan bilangan asli yang merupakan solusi dari persamaan 49x+69y=602
Kami menyatakan dari persamaan x =,
Karena x dan y adalah bilangan asli, maka x = 1, kalikan seluruh persamaan dengan 49 untuk menghilangkan penyebutnya:
Pindahkan 602 ke sisi kiri:
51y 553, nyatakan y, y= 10
Pencacahan opsi yang lengkap menunjukkan bahwa solusi alami dari persamaan tersebut adalah x=5, y=7.
Jawaban: (5,7).-
№2 Selesaikan masalahnya
Dari angka 2, 4, 7 harus dibuat angka tiga angka, di mana tidak ada satu angka pun yang dapat diulang lebih dari dua kali.
Mari kita cari jumlah semua angka tiga digit yang dimulai dengan angka 2: (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) - ada 8 di antaranya.
Demikian pula, kami menemukan semua angka tiga digit yang dimulai dengan angka 4 dan 7: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477).
(772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742) - mereka juga masing-masing 8 angka. Hanya ada 24 nomor.
Jawaban: 24.
5. Pecahan lanjutan dan algoritma Euclid
Pecahan lanjut adalah ekspresi dari pecahan biasa dalam bentuk
di mana q 1 adalah bilangan bulat, dan q 2 , … ,qn adalah bilangan asli. Ekspresi seperti ini disebut pecahan lanjutan (finite lanjutan). Ada pecahan berhingga dan tak berhingga.
Untuk bilangan rasional, pecahan lanjutan memiliki bentuk berhingga. Selain itu, barisan a i persis adalah barisan hasil bagi yang diperoleh dengan menerapkan algoritma Euclidean pada pembilang dan penyebut suatu pecahan.
Memecahkan persamaan dengan pecahan lanjutan, saya menyusun algoritme umum tindakan untuk metode penyelesaian persamaan dalam bilangan bulat ini.
algoritma
1) Menyusun rasio koefisien untuk yang tidak diketahui dalam bentuk pecahan
2) Ubah ekspresi menjadi pecahan biasa
3) Pilih bagian bilangan bulat dari pecahan biasa
4) Ganti pecahan biasa dengan pecahan yang sama
5) Kerjakan 3.4 dengan pecahan yang salah diperoleh penyebutnya
6) Ulangi 5 sampai hasil akhir
7) Dalam ekspresi yang dihasilkan, buang tautan terakhir dari pecahan lanjutan, ubah pecahan lanjutan baru yang dihasilkan menjadi pecahan sederhana dan kurangi dari pecahan asli.
Contoh#1 Selesaikan persamaan 127x- 52y+ 1 = 0 dalam bilangan bulat
Mari kita ubah rasio koefisien dalam yang tidak diketahui.
Pertama-tama, kami memilih bagian bilangan bulat dari pecahan tidak wajar; = 2 +
Ganti pecahan biasa dengan pecahan yang sama.
Dimana = 2+
Mari kita lakukan transformasi yang sama dengan pecahan biasa yang diperoleh penyebutnya.
Sekarang pecahan aslinya akan berbentuk: Mengulangi alasan yang sama untuk pecahan, kita peroleh
Kami mendapat ekspresi yang disebut fraksi lanjutan akhir atau lanjutan. Setelah membuang tautan terakhir dari pecahan lanjutan ini - seperlima, kami mengubah pecahan lanjutan baru yang dihasilkan menjadi pecahan sederhana dan menguranginya dari pecahan asli:
Mari kita membawa ekspresi yang dihasilkan ke penyebut yang sama dan membuangnya.
Dari mana 127∙9-52∙22+1=0. Membandingkan persamaan yang diperoleh dengan persamaan 127x- 52y+1 = 0, maka x= 9, y= 22 adalah solusi dari persamaan asli, dan sesuai dengan teorema, semua solusinya akan terkandung dalam deret x = 9+ 52t, y= 22+ 127t , di mana t=(0; ±1; ±2....). , buang tautan terakhirnya dan lakukan perhitungan seperti yang diberikan di atas.
Untuk membuktikan asumsi ini, kita memerlukan beberapa sifat pecahan lanjutan.
Pertimbangkan pecahan yang tidak dapat direduksi. Dilambangkan dengan q 1 hasil bagi dan dengan r 2 sisa pembagian a dengan b. Kemudian kita mendapatkan:
Maka b=q 2 r 2 +r 3 ,
Serupa
r 2 \u003d q 3 r 3 + r 4, ;
r 3 \u003d q 4 r 4 + r 5,;
………………………………..
Besaran q 1 , q 2 ,… disebut hasil bagi tidak lengkap. Proses pembentukan hasil bagi tidak lengkap di atas disebut Algoritma Euclid. Sisa dari pembagian r 2 , r 3 ,…memenuhi pertidaksamaan
itu. membentuk deret bilangan non-negatif menurun.
Contoh #2 Selesaikan persamaan 170x+190y=3000 dalam bilangan bulat
Setelah dikurangi 10, persamaannya menjadi seperti ini,
Untuk menemukan solusi tertentu, kami menggunakan ekspansi pecahan menjadi pecahan lanjutan
Setelah meruntuhkan pecahan kedua dari belakang yang cocok untuk itu menjadi biasa
Solusi khusus dari persamaan ini memiliki bentuk
X 0 \u003d (-1) 4300 9 \u003d 2700, y 0 \u003d (-1) 5300 8 \u003d -2400,
dan umumnya diberikan oleh rumus
x=2700-19k, y=-2400+17k.
dari mana kita mendapatkan kondisi pada parameter k
Itu. k=142, x=2, y=14. .
6. Metode pemfaktoran
Metode pencacahan opsi adalah cara yang tidak nyaman, karena ada kasus di mana tidak mungkin untuk menemukan solusi lengkap dengan pencacahan, karena ada jumlah tak terbatas dari solusi tersebut. Metode faktorisasi adalah teknik yang sangat menarik dan ditemukan baik dalam matematika dasar maupun matematika tingkat tinggi.
Esensinya terdiri dari transformasi yang identik. Arti dari setiap transformasi identik adalah menulis ekspresi dalam bentuk yang berbeda sambil mempertahankan esensinya. Perhatikan contoh penerapan metode ini.
№1 Memecahkan persamaan dalam bilangan bulat y 3 - x 3 = 91.
Dengan menggunakan rumus perkalian yang disingkat, kami menguraikan ruas kanan persamaan menjadi faktor-faktor:
(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91
Kami menulis semua pembagi angka 91: ± 1; ± 7; ± 13; ±91
Perhatikan bahwa untuk sembarang bilangan bulat x dan y bilangan
y 2 + yx + x 2 y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 0,
oleh karena itu, kedua faktor di ruas kiri persamaan harus positif. Maka persamaan asli setara dengan himpunan sistem persamaan:
Setelah memecahkan sistem, kami memilih akar-akar yang merupakan bilangan bulat.
Kami mendapatkan solusi untuk persamaan asli: (5; 6), (-6; -5); (-3; 4), (-4; 3).
Jawaban: (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).
№2 Temukan semua pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan x 2 -y 2 = 69
Kami memfaktorkan ruas kiri persamaan dan menulis persamaan sebagai
Karena pembagi bilangan 69 adalah bilangan 1, 3, 23 dan 69, maka 69 dapat diperoleh dengan dua cara: 69=1 69 dan 69=3 23. Mempertimbangkan bahwa x-y > 0, kita mendapatkan dua sistem persamaan, dengan menyelesaikannya kita dapat menemukan bilangan yang diinginkan:
Setelah menyatakan satu variabel dan mensubstitusikannya ke persamaan kedua, kita menemukan akar-akar persamaan Sistem pertama memiliki solusi x=35;y=34, dan sistem kedua memiliki solusi x=13, y=10.
Jawaban: (35; 34), (13; 10).
№3 Selesaikan persamaan x + y \u003d xy dalam bilangan bulat:
Kami menulis persamaan dalam bentuk
Mari kita faktorkan ruas kiri persamaan. Mendapatkan
Produk dua bilangan bulat dapat sama dengan 1 hanya dalam dua kasus: jika keduanya sama dengan 1 atau -1. Kami mendapatkan dua sistem:
Sistem pertama memiliki solusi x=2, y=2, dan sistem kedua memiliki solusi x=0, y=0.Jawaban: (2; 2), (0; 0).
№4 Buktikan bahwa persamaan (x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat.
Kami memfaktorkan ruas kiri persamaan dan membagi kedua ruas persamaan dengan 3, sebagai hasilnya kami mendapatkan persamaan:
(x - y)(y - z)(z - x) = 10
Pembagi dari 10 adalah bilangan ±1, ±2, ±5, ±10. Perhatikan juga bahwa jumlah faktor di ruas kiri persamaan sama dengan 0. Sangat mudah untuk memeriksa bahwa jumlah tiga bilangan apa pun dari himpunan pembagi bilangan 10, memberikan 10 dalam produk, tidak akan sama dengan 0. Oleh karena itu, persamaan asli tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat.
7. Metode residu
Tugas utama metode ini adalah menemukan sisa pembagian kedua bagian persamaan dengan bilangan bulat, berdasarkan hasil yang diperoleh. Seringkali informasi yang diperoleh mengurangi kemungkinan himpunan solusi persamaan. Pertimbangkan contoh:
№1 Buktikan bahwa persamaan x 2 = 3y + 2 tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat.
Bukti.
Pertimbangkan kasus di mana x, y N. Pertimbangkan sisa kedua sisi dibagi 3. Sisi kanan persamaan memberikan sisa 2 jika dibagi 3 untuk setiap nilai y. Ruas kiri, yang merupakan kuadrat dari bilangan asli, ketika dibagi dengan 3, selalu memberikan sisa 0 atau 1. Berdasarkan ini, kami menyimpulkan bahwa tidak ada solusi untuk persamaan ini dalam bilangan asli.
Pertimbangkan kasus ketika salah satu angka sama dengan 0. Kemudian, jelas, tidak ada solusi dalam bilangan bulat.
Kasus ketika y adalah bilangan bulat negatif tidak memiliki solusi, karena sisi kanan akan negatif dan sisi kiri positif.
Kasus ketika x adalah bilangan bulat negatif juga tidak memiliki solusi, karena termasuk dalam salah satu kasus yang dipertimbangkan sebelumnya karena fakta bahwa (-x) 2 = (x) 2 .
Ternyata persamaan yang ditunjukkan tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat, yang harus dibuktikan.
№2 Menyelesaikan dalam bilangan bulat 3 X = 1 + y 2 .
Tidak sulit untuk melihat bahwa (0; 0) adalah solusi dari persamaan ini. Tetap membuktikan bahwa persamaan tidak memiliki akar bilangan bulat lainnya.
Pertimbangkan kasus:
1) Jika x∈N, y∈N, maka Z habis dibagi tiga tanpa sisa, dan 1 + y 2 bila dibagi 3 menghasilkan
sisanya adalah 1 atau 2. Oleh karena itu, persamaan untuk bilangan bulat positif
nilai x, y tidak mungkin.
2) Jika x bilangan bulat negatif, y∈Z , maka 0< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и
kesetaraan juga tidak mungkin. Oleh karena itu, (0; 0) adalah satu-satunya
Jawab: (0;0).
№3 Selesaikan persamaan 2x 2 -2xy+9x+y=2 dalam bilangan bulat:
Mari kita nyatakan dari persamaan yang tidak diketahui yang masuk hanya ke tingkat pertama, yaitu variabel y:
2x 2 + 9x-2 = 2xy-y, dari mana
Kami memilih bagian bilangan bulat dari pecahan menggunakan aturan untuk membagi polinomial dengan "sudut" polinomial. Kita mendapatkan:
Jelas, selisih 2x-1 hanya dapat mengambil nilai -3, -1, 1, dan 3.
Tetap menghitung empat kasus ini, sebagai hasilnya kami memperoleh solusi: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)
Jawaban: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)
8. Contoh penyelesaian persamaan dengan dua variabel dalam bilangan bulat sebagai kuadrat terhadap salah satu variabel
№1 Selesaikan persamaan 5x dalam bilangan bulat 2 +5 tahun 2 + 8xy+2y-2x +2=0
Persamaan ini dapat diselesaikan dengan metode faktorisasi, namun metode ini, sebagaimana diterapkan pada persamaan ini, agak melelahkan. Mari kita pertimbangkan cara yang lebih rasional.
Kami menulis persamaan dalam bentuk kuadrat terhadap variabel x:
5x 2 +(8y-2)x+5y 2 +2y+2=0
Kami menemukan akarnya.
Persamaan ini memiliki solusi jika dan hanya jika diskriminan
persamaan ini sama dengan nol, yaitu - 9(y+1) 2 =0, maka y= - 1.
Jika y=-1, maka x=1.
Jawaban: (1; - 1).
9. Contoh penyelesaian masalah menggunakan persamaan dalam bilangan bulat.
№ 1. Selesaikan persamaan dalam bilangan asli : dimana n>m
Mari kita nyatakan variabel n dalam variabel m:
Mari kita cari pembagi dari angka 625: ini adalah 1; 5; 25; 125; 625
1) jika m-25 =1, maka m=26, n=25+625=650
2) m-25 =5, lalu m=30, n=150
3) m-25 =25, lalu m=50, n=50
4) m-25 =125, lalu m=150, n=30
5) m-25 =625, lalu m=650, n=26
Jawaban: m=150, n=30
№ 2. Selesaikan persamaan dalam bilangan asli: mn +25 = 4m
Solusi: mn +25 = 4m
1) nyatakan variabel 4m dalam bentuk n:
2) temukan pembagi alami dari angka 25: ini adalah 1; 5; 25
jika 4-n=1, maka n=3, m=25
4-n=5, lalu n=-1, m=5; 4-n =25, lalu n=-21, m=1 (akar asing)
Jawaban: (25;3)
Selain tugas untuk menyelesaikan persamaan dalam bilangan bulat, ada tugas untuk membuktikan fakta bahwa persamaan tidak memiliki akar bilangan bulat.
Saat memecahkan masalah seperti itu, perlu diingat sifat-sifat pembagian berikut:
1) Jika n Z; n habis dibagi 2, maka n = 2k, k Z.
2) Jika n Z; n tidak habis dibagi 2, maka n = 2k+1, k Z.
3) Jika n Z; n habis dibagi 3, maka n = 3k, k Z.
4) Jika n Z; n tidak habis dibagi 3, maka n = 3k±1, k Z.
5) Jika n Z; n tidak habis dibagi 4, maka n = 4k+1; n = 4k+2; n = 4k+3. k Z.
6) Jika n Z; n(n+1) habis dibagi 2, maka n (n+1)(n+2) habis dibagi 2;3;6.
7) n; n+1 adalah koprima.
№3 Buktikan bahwa persamaan x 2 - 3y = 17 tidak memiliki solusi bilangan bulat.
Bukti:
Biarkan x; y - solusi persamaan
x 2 \u003d 3 (y + 6) -1 y Z maka y+6 ∈ Z , jadi 3(y+6) habis dibagi 3, maka 3(y+6)-1 tidak habis dibagi 3, maka x 2 tidak habis dibagi 3, maka x tidak habis dibagi habis dibagi 3, jadi x = 3k±1, k Z.
Substitusikan ke persamaan awal.
Kami mendapat kontradiksi. Ini berarti bahwa persamaan tersebut tidak memiliki solusi keseluruhan, yang harus dibuktikan.
10. Formula Puncak
Rumus Pick ditemukan oleh matematikawan Austria Georg Pick pada tahun 1899. Rumus ini terkait dengan persamaan dalam bilangan bulat karena hanya simpul bilangan bulat yang diambil dari poligon, serta bilangan bulat dalam persamaan.
Dengan menggunakan rumus ini, Anda dapat menemukan luas gambar yang dibangun di atas selembar sel (segitiga, persegi, trapesium, persegi panjang, poligon).
Dalam rumus ini, kita akan menemukan titik bilangan bulat di dalam poligon dan di perbatasannya.
Dalam tugas-tugas yang akan di ujian, ada seluruh kelompok tugas di mana poligon diberikan dibangun di atas lembar dalam sel dan ada pertanyaan tentang menemukan area. Skala sel adalah satu sentimeter persegi.
Contoh 1
M - jumlah simpul di perbatasan segitiga (di sisi dan simpul)
N adalah jumlah simpul di dalam segitiga.
* Di bawah "simpul" yang kami maksud adalah perpotongan garis. Cari luas segitiga:
Perhatikan node:
M = 15 (ditunjukkan dengan warna merah)
N = 34 (ditandai dengan warna biru)
Contoh #2
Temukan luas poligon: Perhatikan simpulnya:
M = 14 (ditunjukkan dengan warna merah)
N = 43 (ditandai dengan warna biru)
12.Metode keturunan
Salah satu metode untuk menyelesaikan persamaan dalam bilangan bulat - metode penurunan - didasarkan pada teorema Fermat.
Metode penurunan adalah metode yang terdiri dalam membangun satu solusi untuk urutan solusi yang tak terbatas dengan z positif menurun tak terbatas.
Kami akan mempertimbangkan algoritme metode ini menggunakan contoh penyelesaian persamaan tertentu.
Contoh 1. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat 5x + 8y = 39.
1) Mari kita pilih yang tidak diketahui yang memiliki koefisien terkecil (dalam kasus kami, itu x), dan nyatakan dalam hal lain yang tidak diketahui:
2) Pilih bagian bilangan bulat: Jelas, x akan menjadi bilangan bulat jika ekspresi ternyata bilangan bulat, yang, pada gilirannya, akan terjadi ketika angka 4 - 3y habis dibagi 5 tanpa sisa.
3) Mari kita perkenalkan variabel integer tambahan z sebagai berikut: 4 -3y = 5z. Hasilnya, kami memperoleh persamaan dengan tipe yang sama dengan persamaan aslinya, tetapi dengan koefisien yang lebih kecil.
4) Kami menyelesaikannya sehubungan dengan variabel y, dengan argumen yang persis sama seperti pada paragraf 1, 2: Memilih bagian bilangan bulat, kami mendapatkan:
5) Berdebat mirip dengan yang sebelumnya, kami memperkenalkan variabel baru u: 3u = 1 - 2z.
6) Nyatakan yang tidak diketahui dengan koefisien terkecil, dalam hal ini variabel z: . Mengharuskannya menjadi bilangan bulat, kita mendapatkan: 1 - u = 2v, dari mana u = 1 - 2v. Tidak ada pecahan lagi, penurunan selesai (kami melanjutkan proses sampai tidak ada pecahan yang tersisa dalam ekspresi untuk variabel berikutnya).
7) Sekarang Anda perlu "naik". Nyatakan melalui variabel v terlebih dahulu z, lalu y dan kemudian x:
8) Rumus x = 3+8v dan y = 3 - 5v, di mana v adalah bilangan bulat arbitrer, mewakili solusi umum persamaan asli dalam bilangan bulat.
Jadi, metode penurunan melibatkan ekspresi berurutan pertama dari satu variabel melalui variabel lain, sampai tidak ada pecahan yang tersisa dalam representasi variabel, dan kemudian, "pendakian" berurutan di sepanjang rantai persamaan untuk mendapatkan solusi umum persamaan.
12.Kesimpulan
Sebagai hasil penelitian, hipotesis dikonfirmasi bahwa kesulitan dalam menyelesaikan persamaan dalam bilangan bulat disebabkan oleh fakta bahwa tidak semua metode penyelesaiannya diketahui oleh saya. Selama penelitian, saya berhasil menemukan dan menjelaskan cara-cara yang tidak banyak diketahui untuk menyelesaikan persamaan dalam bilangan bulat, menggambarkannya dengan contoh. Hasil penelitian saya dapat bermanfaat bagi semua siswa yang tertarik dengan matematika.
13. Daftar Pustaka
Sumber Buku:
1. N. Ya. Vilenkin dkk., Aljabar dan analisis matematika / Kelas 10, Kelas 11 / / M., “Prosveshchenie”, 1998;
2. A. F. Ivanov dkk., Matematika. Materi pendidikan dan pelatihan untuk mempersiapkan ujian // Voronezh, GOUVPO VSTU, 2007
3. A. O. Gel'fond, Matematika, teori bilangan// Memecahkan persamaan dalam bilangan bulat// LIBROCOM Book House
Sumber daya internet:
4. Versi demonstrasi bahan pengukur kontrol dari ujian negara terpadu dalam matematika http://fipi.ru/
5. Contoh solusi persamaan dalam bilangan bulat http://reshuege.ru
6. Contoh penyelesaian persamaan dalam bilangan bulat http://mat-ege.ru
7.Sejarah Persamaan Diophantine http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html
8. Sejarah Diophantus http://nenuda.ru/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F- % D1%81-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5 % D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8-%D0%B2-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85 - %D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%D1%85.htm
9.Sejarah Persamaan Diophantinehttp://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html
10. Sejarah Diophantus http://www.studfiles.ru/preview/4518769/
Heinrich G.N. FMSh No. 146, Perm
54 6× 5≡ 2 (mod 7),
55 2× 5≡ 3(mod 7), 56 3× 5≡ 1(mod 7).
Menaikkan pangkat k, kita mendapatkan 56k 1(mod 7) untuk setiap k alami. Oleh karena itu 5555 = 56 × 92 × 53 6 (mod7).
(Secara geometris, persamaan ini berarti kita mengelilingi lingkaran, mulai dari 5, sembilan puluh dua siklus dan tiga angka lagi). Jadi, bilangan 222555 memberikan sisa 6 jika dibagi 7.
Penyelesaian persamaan dalam bilangan bulat.
Tidak diragukan lagi, salah satu topik matematika yang menarik adalah solusi persamaan Diophantine. Topik ini dipelajari di kelas 8, dan kemudian di kelas 10 dan 11.
Persamaan apa pun yang perlu diselesaikan dalam bilangan bulat disebut persamaan Diophantine. Yang paling sederhana adalah persamaan bentuk ax + by \u003d c, di mana a, b dan cÎ Z. Saat menyelesaikan persamaan ini, teorema berikut digunakan.
Dalil. Persamaan linear Diophantine ax+by=c, di mana a, b dan cÎ Z memiliki penyelesaian jika dan hanya jika c habis dibagi oleh gcd bilangan a dan b. Jika d=gcd (a, b), a=a1 d, b=b1 d, c=c1 d dan (x0 , y0 ) adalah beberapa solusi dari persamaan ax+by=c, maka semua solusi diberikan oleh x= x0 +b1 t, y=y0 –a1 t, di mana t adalah bilangan bulat arbitrer.
1. Memecahkan persamaan dalam bilangan bulat:
3xy–6x2 = y–2x+4; | |||
(x–2)(xy+4)=1; | y–x–xy=2; |
||
2x2 + xy = x + 7; | 3xy+2x+3y=0; |
||
2 –xy–х+y=1; | |||
x2 –3xy=x–3y+2; | 10. x2 – xy – y = 4. |
||
2. Tugas-tugas berikut dipertimbangkan dengan lulusan dalam persiapan untuk ujian matematika pada topik ini.
satu). Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat: xy + 3y + 2x + 6 = 13. Larutan:
Mari kita memfaktorkan ruas kiri persamaan. Kita mendapatkan:
y(x+3)+2(x+3)=13; | (x+3)(y+2)=13. |
Karena x,yО Z, kita memperoleh satu set sistem persamaan:
Heinrich G.N.
x + | ||||
x + | ||||
x + | ||||
x + |
||||
FMSh No. 146, Perm
x = | |||||
x = | |||||
x = | |||||
x = | |||||
Jawaban: (-2; 11), (10; -1), (-4; -15), (-15, -3)
2). Selesaikan persamaan dalam bilangan asli: 3x + 4y \u003d 5z.
sembilan). Temukan semua pasangan bilangan asli m dan n yang persamaannya benar 3m +7=2n.
sepuluh). Temukan semua tiga kali lipat bilangan asli k, m dan n yang persamaannya benar: 2∙k!=m! –2∙n! (1!=1, 2!=1∙2, 3!= 1∙2∙3, …n!= 1∙2∙3∙…∙n)
sebelas). Semua anggota barisan hingga adalah bilangan asli. Setiap anggota dari urutan ini, mulai dari yang kedua, adalah 14 kali lebih besar atau 14 kali lebih kecil dari yang sebelumnya. Jumlah semua suku pada barisan tersebut adalah 4321.
c. Berapa jumlah suku terbesar yang dapat dimiliki suatu barisan? Keputusan:
a) Misalkan a1 = x, maka a2 = 14x atau a1 = 14x, maka a2 = x. Kemudian, dengan syarat, a1 + a2 = 4321. Didapatkan: x + 14x = 4321, 15x = 4321, tetapi 4321 bukan kelipatan 15, artinya tidak mungkin ada dua anggota dalam barisan tersebut.
b) Misalkan a1 =x, maka a2 = 14x, a3 =x, atau 14x+x+14x=4321, atau x+14x+x=4321. 29x=4321, lalu x=149, 14x=2086. Jadi barisan tersebut dapat memiliki tiga suku. Dalam kasus kedua 16x=4321, tetapi x bukan bilangan asli.
Tidak ada Jawaban; b) ya; c) 577.
Heinrich G.N. | FMSh No. 146, Perm |
12). Semua anggota barisan hingga adalah bilangan asli. Setiap anggota dari urutan ini, dimulai dengan yang kedua, atau dalam 10; kali lebih banyak, atau 10 kali lebih sedikit dari yang sebelumnya. Jumlah seluruh anggota barisan tersebut adalah 1860.
a) Dapatkah suatu barisan memiliki dua suku? b. Dapatkah suatu barisan memiliki tiga suku?
c. Berapa jumlah suku terbesar yang dapat dimiliki suatu barisan?
Jelas bahwa seseorang dapat berbicara tentang pembagian bilangan bulat dan mempertimbangkan masalah pada topik ini tanpa henti. Saya mencoba untuk mempertimbangkan topik ini sedemikian rupa untuk menarik minat siswa ke tingkat yang lebih besar, untuk menunjukkan kepada mereka keindahan matematika juga dari sudut pandang ini.
Heinrich G.N. | FMSh No. 146, Perm |
Bibliografi:
1. A. Ya. Kannel-Belov, A. K. Kovaldzhi. Bagaimana tugas non-standar diselesaikan Moskow MCNMO 2001
2. A.V. Spivak. Tambahan untuk jurnal Kvant No. 4/2000 Liburan matematika, Moskow 2000
3. A.V. Spivak. Lingkaran matematika, "Menabur" 2003
4. Saint Petersburg kota istana kreativitas pemuda. lingkaran matematika. Buku masalah tahun pertama-kedua studi. Sankt Peterburg. 1993
5. Aljabar untuk kelas 8. Buku teks untuk siswa sekolah dan kelas dengan studi mendalam tentang matematika. Diedit oleh N.Ya.Vilenkin. Moskow, 1995
6. M.L.Galitsky, A.M.Goldman, L.I.Zvavich. Kumpulan masalah dalam aljabar untuk 8-9 kelas. Buku teks untuk siswa sekolah dan kelas dengan studi mendalam tentang matematika. Moskow, Pencerahan. 1994
7. Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov. Aljabar kelas 8. Buku teks untuk sekolah dan kelas dengan studi mendalam tentang matematika. Moskow, 2001
8. M.I.Shabunin, A.A.Prokofiev UMK MATEMATIKA Aljabar. Awal dari analisis matematika. tingkat profil. Buku teks untuk kelas 11. Binom Moskow. Lab Pengetahuan 2009
9. M.I.Shabunin, A.A.Prokofiev, T.A.Oleynik, T.V.Sokolova. Aljabar MATEMATIKA UMK. Awal dari analisis matematika. Buku tugas tingkat profil untuk kelas 11. Binom Moskow. Lab Pengetahuan 2009
10. A.G. Klovo, D.A. Maltsev, L.I. Abzelilova Matematika. Kumpulan tes sesuai dengan rencana EGE 2010
11. PENGGUNAAN-2010. "Legion-M". Rostov-on-Don 2009
12. EGE EMC “Matematika. Persiapan untuk ujian. Diedit oleh F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov. Mempersiapkan untuk PENGGUNAAN-2011. "Legion-M". Rostov-on-Don 2010
13. UMK “Matematika. GUNAKAN-2010". Diedit oleh F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov. MATEMATIKA Persiapan USE-2010. Tes pelatihan. "Legion-M". Rostov-on-Don 2009
14. PENGGUNAAN FIPI. Materi Universal untuk persiapan siswa MATEMATIKA 2010 Pusat Intelek 2010
15. A.Zh.Zhafarov. Matematika. USE-2010 konsultasi Ekspres. Rumah Penerbitan Universitas Siberia, 2010
pengantar
Ada banyak soal matematika yang memiliki satu atau lebih bilangan bulat sebagai jawaban. Sebagai contoh, kita dapat menyebutkan empat masalah klasik yang diselesaikan dalam bilangan bulat - masalah penimbangan, masalah pembagian bilangan, masalah pertukaran, dan masalah empat kuadrat. Perlu dicatat bahwa, meskipun rumusan masalah ini agak sederhana, mereka sangat sulit untuk dipecahkan, dengan menggunakan peralatan analisis matematis dan kombinatorik. Ide untuk memecahkan dua masalah pertama adalah milik matematikawan Swiss Leonhard Euler (1707-1783). Namun, paling sering Anda dapat menemukan masalah yang diusulkan untuk menyelesaikan persamaan dalam bilangan bulat (atau dalam bilangan asli). Beberapa dari persamaan ini cukup mudah diselesaikan dengan metode seleksi, tetapi ini menimbulkan masalah serius - perlu untuk membuktikan bahwa semua solusi persamaan ini habis oleh yang dipilih (yaitu, tidak ada solusi yang berbeda dari yang dipilih). Ini mungkin memerlukan berbagai teknik, baik standar maupun buatan. Analisis literatur matematika tambahan menunjukkan bahwa tugas-tugas seperti itu cukup umum dalam olimpiade matematika dari tahun yang berbeda dan tingkat yang berbeda, serta dalam tugas 19 dari Unified State Examination dalam matematika (tingkat profil). Pada saat yang sama, topik ini praktis tidak dipertimbangkan dalam kursus matematika sekolah, sehingga anak-anak sekolah, yang berpartisipasi dalam Olimpiade matematika atau mengikuti ujian profil dalam matematika, biasanya menghadapi kesulitan yang signifikan dalam menyelesaikan tugas-tugas tersebut. Dalam hal ini, disarankan untuk memilih sistem metode dasar untuk memecahkan persamaan dalam bilangan bulat, terutama karena masalah ini tidak dibahas secara eksplisit dalam literatur matematika yang dipelajari. Masalah yang dijelaskan menentukan tujuan pekerjaan ini: untuk menyoroti metode utama untuk memecahkan persamaan dalam bilangan bulat. Untuk mencapai tujuan ini, perlu untuk menyelesaikan tugas-tugas berikut:
1) Menganalisis materi olimpiade, serta materi ujian profil matematika;
2) Tentukan metode untuk memecahkan persamaan dalam bilangan bulat dan sorot yang berlaku;
3) Ilustrasikan hasil yang diperoleh dengan contoh;
4) Buat beberapa tugas pelatihan tentang topik ini;
5) Dengan menggunakan tugas yang dikembangkan, tentukan tingkat kesiapan siswa kelas sembilan sekolah menengah MBOU No. 59 untuk memecahkan masalah tersebut dan menarik kesimpulan praktis.
Bagian utama
Analisis berbagai literatur matematika menunjukkan bahwa di antara metode untuk menyelesaikan persamaan dalam bilangan bulat, berikut ini dapat dibedakan sebagai yang utama:
- Representasi persamaan sebagai produk dari beberapa faktor yang sama dengan beberapa bilangan bulat;
- Representasi persamaan sebagai jumlah kuadrat dari beberapa istilah, sama dengan beberapa bilangan bulat;
- Menggunakan sifat-sifat dapat dibagi, faktorial dan kuadrat eksak;
- Penggunaan Teorema Kecil dan Besar Fermat;
- Metode keturunan tak terbatas;
- Ekspresi satu yang tidak diketahui melalui yang lain;
- Memecahkan persamaan sebagai persamaan kuadrat sehubungan dengan salah satu yang tidak diketahui;
- Pertimbangan sisa dari membagi kedua sisi persamaan dengan beberapa nomor.
Segera perlu untuk menentukan apa yang kami maksud dengan metode utama untuk menyelesaikan persamaan. Kami akan menyebut metode yang paling sering digunakan sebagai metode utama, yang, tentu saja, tidak mengecualikan kemungkinan penggunaan metode baru "tak terduga" secara berkala. Selain itu, dalam sebagian besar kasus, berbagai kombinasi mereka digunakan, yaitu, beberapa metode digabungkan.
Sebagai contoh kombinasi metode, pertimbangkan persamaan yang diusulkan di USE dalam matematika pada tahun 2013 (tugas C6).
Tugas. Selesaikan persamaan dalam bilangan asli n! + 5n + 13 = k 2 .
Keputusan. Perhatikan bahwa itu berakhir dengan nol di n> 4. Selanjutnya, untuk sembarang n N, diakhiri dengan angka 0 atau angka 5. Oleh karena itu, untuk n> 4 ruas kiri persamaan berakhir dengan angka 3 atau angka 8. Tetapi juga sama dengan kuadrat eksak, yang tidak dapat diakhiri dengan angka-angka ini. Jadi hanya ada empat opsi untuk dipilih: n = 1, n = 2, n = 3, n = 4.
Jadi persamaan memiliki solusi alami yang unik n = 2, k = 5.
Soal ini menggunakan sifat-sifat kuadrat eksak, sifat-sifat faktorial, dan sisa pembagian kedua ruas persamaan dengan 10.
Tugas 1. n 2 - 4kamu! = 3.
Keputusan. Pertama, kita tulis ulang persamaan aslinya menjadi n 2 = 4kamu! + 3. Jika Anda melihat hubungan ini dari sudut pandang teorema pembagian dengan sisa, maka Anda dapat melihat bahwa kuadrat yang tepat di sisi kiri persamaan memberikan sisa 3 ketika dibagi dengan 4, yang tidak mungkin . Memang, bilangan bulat apa pun dapat direpresentasikan dalam salah satu dari empat bentuk berikut:
Jadi, kuadrat eksak bila dibagi 4 memberikan sisa 0 atau 1. Oleh karena itu, persamaan aslinya tidak memiliki solusi.
Ide Kunci– penerapan sifat-sifat kuadrat eksak.
Tugas 2. 8z 2 = (t!) 2 + 2.
Keputusan. Verifikasi langsung menunjukkan bahwa t= 0 dan t= 1 bukan solusi persamaan. Jika sebuah t> 1, maka t! adalah bilangan genap, yaitu dapat direpresentasikan sebagai t! = 2s. Dalam hal ini, persamaan dapat diubah menjadi bentuk 4 z 2 = 2s 2 + 1. Namun, persamaan yang dihasilkan jelas tidak memiliki solusi, karena ada bilangan genap di ruas kiri, dan bilangan ganjil di ruas kanan.
Ide Kunci– penerapan sifat-sifat faktorial.
Tugas 3. Selesaikan persamaan x 2 + y 2 - 2x + 6y + 5 = 0 dalam bilangan bulat.
Keputusan. Persamaan asli dapat ditulis ulang sebagai berikut: ( x – 1) 2 + (kamu + 3) 2 = 5.
Ini mengikuti dari kondisi bahwa ( x – 1), (kamu+ 3) adalah bilangan bulat. Oleh karena itu, persamaan ini setara dengan himpunan berikut:
Sekarang kita dapat menuliskan semua kemungkinan solusi bilangan bulat dari persamaan tersebut.
Tugas 4. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat zt + t – 2z = 7.
Keputusan. Persamaan awal dapat diubah ke bentuk ( z + 1) (t– 2) = 5. Bilangan ( z + 1), (t– 2) adalah bilangan bulat, jadi opsi berikut terjadi:
Jadi, persamaan tersebut memiliki tepat empat solusi bilangan bulat.
Ide Kunci- representasi persamaan dalam bentuk produk yang sama dengan bilangan bulat.
Tugas 5. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat n(n + 1) = (2k+ 1)‼
Keputusan. Nomor 2 k+ 1)‼ ganjil untuk semua nilai non-negatif k menurut definisi (dengan negatif k tidak didefinisikan sama sekali). Di sisi lain, itu sama dengan n(n+ 1), yang genap untuk semua nilai integer k. Kontradiksi.
Ide Kunci– penggunaan bagian genap/ganjil dari persamaan.
Tugas 6. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat xy + x + 2kamu = 1.
Keputusan. Dengan transformasi, persamaan dapat dikurangi menjadi berikut:
Transformasi ini tidak mengubah ODZ dari yang tidak diketahui yang termasuk dalam persamaan, karena substitusi kamu= -1 ke dalam persamaan asli mengarah ke persamaan absurd -2 = 1. Menurut kondisinya, x adalah bilangan bulat. Dengan kata lain, juga bilangan bulat. Tapi kemudian jumlahnya harus bilangan bulat. Pecahan adalah bilangan bulat jika dan hanya jika pembilangnya habis dibagi penyebutnya. Pembagi angka 3: 1,3 -1, -3. Oleh karena itu, ada empat kemungkinan kasus untuk yang tidak diketahui: kamu = 0, kamu = 2, kamu= –2, y = –4. Sekarang kita dapat menghitung nilai yang sesuai dari yang tidak diketahui x. Jadi, persamaan tersebut memiliki tepat empat solusi bilangan bulat: (–5;0), (–5;2), (1;–2), (1;–4).
Ide Kunci adalah ekspresi dari satu yang tidak diketahui dalam hal yang lain.
Tugas 7. m= n 2 + 2.
Keputusan. Jika sebuah m= 0, maka persamaan mengambil bentuk n 2 = -1. Ia tidak memiliki seluruh solusi. Jika sebuah m < 0, то левая часть уравнения, а значит, и n, tidak akan menjadi bilangan bulat. Cara, m> 0. Maka ruas kanan persamaan (juga ruas kiri) akan menjadi kelipatan 5. Namun dalam kasus ini n 2 ketika dibagi dengan 5 harus memberikan sisa 3, yang tidak mungkin (ini dibuktikan dengan metode penghitungan sisa, yang dijelaskan dalam memecahkan Soal 1). Oleh karena itu, persamaan ini tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat.
Ide Kunci– menemukan sisa dari membagi kedua bagian persamaan dengan beberapa bilangan asli.
Tugas 8. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat ( x!) 4 + (kamu – 1) 4 = (z + 1) 4 .
Keputusan. Perhatikan bahwa, karena eksponennya genap, persamaannya setara dengan yang berikut: ( x!) 4 + |kamu – 1| 4 = |z+ 1| 4 . Kemudian x!, |kamu – 1|, |z+ 1| - bilangan bulat. Namun, menurut Teorema Terakhir Fermat, bilangan asli ini tidak dapat memenuhi persamaan aslinya. Dengan demikian, persamaan tidak dapat diselesaikan dalam bilangan bulat.
Ide Kunci- Penggunaan Teorema Terakhir Fermat.
Tugas 9. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat x 2 + 4kamu 2 = 16xy.
Keputusan. Ini mengikuti dari kondisi masalah bahwa x- nomor genap. Kemudian x 2 = 4x 12 . Persamaan diubah menjadi bentuk x 1 2 + kamu 2 = 8x 1 kamu. Dari sini dapat disimpulkan bahwa angka-angka x 1 , kamu memiliki paritas yang sama. Mari kita pertimbangkan dua kasus.
1 kasus. Biarlah x 1 , kamu- angka ganjil. Kemudian x 1 = 2t + 1, kamu = 2s+ 1. Mengganti ekspresi ini ke dalam persamaan, kita mendapatkan:
Mari kita lakukan transformasi yang sesuai:
Mengurangi kedua sisi persamaan yang dihasilkan dengan 2, kita dapatkan?
Di sebelah kiri ada bilangan ganjil, dan di sebelah kanan ada bilangan genap. Kontradiksi. Jadi 1 kasus tidak mungkin.
2 kasus. Biarlah x 1 , kamu- angka genap. Kemudian x 1 = 2x 2 + 1, kamu = 2kamu satu . Mensubstitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan, kita mendapatkan:
Dengan demikian, diperoleh persamaan, persis sama seperti pada langkah sebelumnya. Ini diselidiki dengan cara yang sama, sehingga pada langkah berikutnya kita memperoleh persamaan 
dll. Faktanya, dengan melakukan transformasi ini berdasarkan paritas yang tidak diketahui, kami memperoleh ekspansi berikut: . Tapi jumlahnya n dan k tidak terbatas, karena pada langkah apa pun (dengan angka besar yang sewenang-wenang) kita akan memperoleh persamaan yang setara dengan yang sebelumnya. Artinya, proses ini tidak bisa dihentikan. Dengan kata lain, angka x, kamu tak hingga berkali-kali habis dibagi 2. Tapi ini terjadi hanya dengan syarat bahwa x = kamu= 0. Dengan demikian, persamaan tersebut memiliki tepat satu solusi bilangan bulat (0; 0).
Ide Kunci- penggunaan metode keturunan tak terbatas.
Tugas 10. Selesaikan persamaan 5 dalam bilangan bulat x 2 – 3xy + kamu 2 = 4.
Keputusan. Mari kita tulis ulang persamaan ini dalam bentuk 5 x 2 – (3x)kamu + (kamu 2 – 4) = 0. Ini dapat dianggap sebagai persegi sehubungan dengan yang tidak diketahui x. Mari kita hitung diskriminan dari persamaan ini:
Agar persamaan memiliki solusi, perlu dan cukup bahwa , yaitu, dari sini kita memiliki kemungkinan berikut untuk kamu: kamu = 0, kamu = 1, kamu = –1, kamu= 2, kamu= –2.
Jadi, persamaan tersebut memiliki tepat 2 solusi bilangan bulat: (0;2), (0;–2).
Ide Kunci– pertimbangan persamaan sebagai persamaan kuadrat sehubungan dengan salah satu yang tidak diketahui.
Tugas-tugas yang disusun oleh penulis digunakan dalam percobaan, yang terdiri dari berikut ini. Semua siswa kelas sembilan ditawari tugas yang dikembangkan untuk mengidentifikasi tingkat persiapan anak-anak tentang topik ini. Setiap siswa harus menawarkan metode untuk menemukan solusi bilangan bulat untuk persamaan. 64 siswa mengambil bagian dalam percobaan. Hasil yang diperoleh disajikan pada tabel 1.
TABEL 1
| Nomor pekerjaan | Jumlah siswa yang menyelesaikan tugas (persentase) |
Indikator-indikator ini menunjukkan bahwa tingkat persiapan siswa kelas sembilan pada topik ini sangat rendah. Oleh karena itu, tampaknya bijaksana untuk menyelenggarakan kursus khusus "Persamaan dalam Bilangan Bulat", yang bertujuan untuk meningkatkan pengetahuan siswa di bidang ini. Pertama-tama, ini adalah siswa yang secara sistematis berpartisipasi dalam kompetisi dan olimpiade matematika, dan juga berencana untuk mengikuti ujian khusus matematika.
temuan
Selama pekerjaan ini:
1) Analisis materi olimpiade, serta materi UN Unified State dalam matematika;
2) Metode untuk memecahkan persamaan dalam bilangan bulat ditunjukkan dan yang umum disorot;
3) Hasil yang diperoleh diilustrasikan dengan contoh;
4) Menyusun tugas-tugas pelatihan untuk siswa kelas IX;
5) Eksperimen dilakukan untuk mengidentifikasi tingkat persiapan siswa kelas sembilan tentang topik ini;
6) Hasil percobaan dianalisis dan ditarik kesimpulan tentang kemanfaatan mempelajari persamaan bilangan bulat pada mata kuliah khusus matematika.
Hasil yang diperoleh selama perkuliahan ini dapat digunakan untuk persiapan olimpiade matematika, UN Unified State dalam matematika, serta dalam menyelenggarakan kelas dalam lingkaran matematika.
Bibliografi
1. Gelfond A.O. Penyelesaian persamaan dalam bilangan bulat. - M.: Nauka, 1983 - 64 hal.
2. Alfutova N.B. Ustinov A.V. Aljabar dan teori bilangan. Kumpulan Soal untuk Sekolah Matematika - M.: MTsNMO, 2009 - 336 p.
3. Galperin G.A., Tolpygo A.K. Olimpiade Matematika Moskow: Buku. untuk siswa / Ed. SEBUAH. Kolmogorov. - M.: Pencerahan, 1986. - 303 hal., sakit.
4. Dalinger V.A. Soal-soal bilangan bulat - Omsk: Amphora, 2010 - 132 hal.
5. Yu. A. Gastev dan M. L. Smolyanskii, “A Few Words on Fermat’s Last Theorem,” Kvant, Agustus 1972.
Glosarium
Metode Keturunan Tak Terbatas- metode yang dikembangkan oleh ahli matematika Prancis P. Fermat (1601-1665), yang terdiri dari memperoleh kontradiksi dengan membangun barisan bilangan asli yang semakin berkurang. Semacam bukti dengan kontradiksi.
Kuadrat tepat (penuh) adalah kuadrat dari suatu bilangan bulat.
Faktorial dari bilangan asli n adalah produk dari semua bilangan asli dari 1 sampai n inklusif.
