ამ სტატიაში ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ კუთხისა და რიცხვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტება ტრიგონომეტრიაში. აქ ვისაუბრებთ აღნიშვნაზე, მოვიყვანთ ჩანაწერების მაგალითებს, მოვიყვანთ გრაფიკულ ილუსტრაციებს. დასასრულს, ჩვენ ვავლებთ პარალელს სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებებს შორის ტრიგონომეტრიასა და გეომეტრიაში.

გვერდის ნავიგაცია.

სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტება

მივყვეთ როგორ ყალიბდება სასკოლო მათემატიკის კურსში სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის ცნება. გეომეტრიის გაკვეთილებზე მოცემულია მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტება. მოგვიანებით კი შესწავლილია ტრიგონომეტრია, რომელიც ეხება ბრუნვის კუთხისა და რიცხვის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს. ჩვენ ვაძლევთ ყველა ამ განმარტებას, ვაძლევთ მაგალითებს და ვაძლევთ საჭირო კომენტარებს.

მახვილი კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში

გეომეტრიის კურსიდან ცნობილია მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებები. ისინი მოცემულია მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების თანაფარდობით. წარმოგიდგენთ მათ ფორმულირებებს.

განმარტება.

მახვილი კუთხის სინუსი მართკუთხა სამკუთხედშიარის საპირისპირო ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან.

განმარტება.

მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის კოსინუსიარის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

განმარტება.

მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის ტანგენსიარის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მეზობელ ფეხთან.

განმარტება.

მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის კოტანგენსიარის მიმდებარე ფეხის შეფარდება მოპირდაპირე ფეხის მიმართ.

იქვეა შემოტანილი სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის აღნიშვნაც - შესაბამისად sin, cos, tg და ctg.

მაგალითად, თუ ABC არის მართკუთხა სამკუთხედი C მართი კუთხით, მაშინ A მწვავე კუთხის სინუსი უდრის BC მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას AB ჰიპოტენუზასთან, ანუ sin∠A=BC/AB.

ეს განმარტებები საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მწვავე კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის მნიშვნელობები მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების ცნობილი სიგრძიდან, აგრეთვე სინუსის, კოსინუსის ცნობილი მნიშვნელობებიდან. ტანგენსი, კოტანგენსი და ერთ-ერთი გვერდის სიგრძე, იპოვეთ მეორე გვერდის სიგრძეები. მაგალითად, თუ ვიცოდით, რომ მართკუთხა სამკუთხედში AC წვერი არის 3 და ჰიპოტენუზა AB არის 7, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ A მწვავე კუთხის კოსინუსი განმარტებით: cos∠A=AC/AB=3/7.

ბრუნვის კუთხე

ტრიგონომეტრიაში ისინი იწყებენ კუთხის უფრო ფართო თვალიერებას - შემოაქვთ ბრუნვის კუთხის კონცეფცია. ბრუნვის კუთხე, მწვავე კუთხისგან განსხვავებით, არ შემოიფარგლება ჩარჩოებით 0-დან 90 გრადუსამდე, ბრუნის კუთხე გრადუსებში (და რადიანებში) შეიძლება გამოისახოს ნებისმიერი რეალური რიცხვით −∞-დან +∞-მდე.

ამ კუთხით სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტებები აღარ არის მახვილი კუთხე, არამედ თვითნებური სიდიდის კუთხე - ბრუნვის კუთხე. ისინი მოცემულია A 1 წერტილის x და y კოორდინატებით, რომელშიც გადის ეგრეთ წოდებული საწყისი წერტილი A(1, 0) მას შემდეგ, რაც ბრუნავს α კუთხით O წერტილის გარშემო - მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემის დასაწყისი. და ერთეული წრის ცენტრი.

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის სინუსიα არის A 1 წერტილის ორდინატი, ანუ sinα=y .

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის კოსინუსიα ეწოდება A 1 წერტილის აბსცისა, ანუ cosα=x.

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის ტანგენსიα არის A 1 წერტილის ორდინატის შეფარდება მის აბსცისასთან, ანუ tgα=y/x .

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის კოტანგენსიα არის A 1 წერტილის აბსცისის შეფარდება მის ორდინატთან, ანუ ctgα=x/y .

სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება ნებისმიერი α კუთხისთვის, ვინაიდან ყოველთვის შეგვიძლია განვსაზღვროთ წერტილის აბსცისა და ორდინატი, რომელიც მიიღება საწყისი წერტილის α კუთხით ბრუნვით. და ტანგენსი და კოტანგენსი არ არის განსაზღვრული არცერთი კუთხისთვის. ტანგენსი არ არის განსაზღვრული α კუთხისთვის, რომლებშიც საწყისი წერტილი მიდის ნულოვანი აბსცისის წერტილამდე (0, 1) ან (0, −1) , და ეს ხდება 90°+180° k , k∈Z კუთხით. (π /2+π კ რად). მართლაც, ბრუნვის ასეთ კუთხით გამოხატვას tgα=y/x აზრი არ აქვს, რადგან ის შეიცავს გაყოფას ნულზე. რაც შეეხება კოტანგენტს, ის არ არის განსაზღვრული α კუთხეებისთვის, რომლებზეც საწყისი წერტილი მიდის ნულოვანი ორდინატით (1, 0) ან (−1, 0) წერტილამდე, და ეს ეხება 180° k, k კუთხეებს. ∈Z (π k rad).

ასე რომ, სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება ნებისმიერი ბრუნვის კუთხისთვის, ტანგენსი განისაზღვრება ყველა კუთხისთვის, გარდა 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), ხოლო კოტანგენსი არის ყველა კუთხისთვის, გარდა 180. ° ·k , k∈Z (π·k რად).

ჩვენთვის უკვე ცნობილი აღნიშვნები ჩნდება განმარტებებში sin, cos, tg და ctg, ისინი ასევე გამოიყენება ბრუნვის კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის აღსანიშნავად (ზოგჯერ შეგიძლიათ იპოვოთ აღნიშვნა tan და cot, რომლებიც შეესაბამება ტანგენტს და კოტანგენსი). ასე რომ, 30 გრადუსიანი ბრუნვის კუთხის სინუსი შეიძლება დაიწეროს, როგორც sin30°, ჩანაწერები tg(−24°17′) და ctgα შეესაბამება ბრუნვის კუთხის ტანგენტს −24 გრადუსი 17 წუთი და კოტანგენსს ბრუნვის კუთხის α. . შეგახსენებთ, რომ კუთხის რადიანის ზომის დაწერისას ხშირად გამოტოვებენ აღნიშვნას „რად“. მაგალითად, სამი პი რადის ბრუნვის კუთხის კოსინუსი ჩვეულებრივ აღინიშნება cos3 π.

ამ აბზაცის დასასრულს, აღსანიშნავია, რომ ბრუნვის კუთხის სინუსზე, კოსინუსზე, ტანგენტსა და კოტანგენსზე საუბრისას ხშირად გამოტოვებულია ფრაზა „ბრუნის კუთხე“ ან სიტყვა „ბრუნვა“. ანუ ფრაზის ნაცვლად "ალფას ბრუნვის კუთხის სინუსი" ჩვეულებრივ გამოიყენება ფრაზა "ალფას კუთხის სინუსი" ან კიდევ უფრო მოკლე - "ალფას სინუსი". იგივე ეხება კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს.

მოდით ასევე ვთქვათ, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებები შეესაბამება 0-დან 90-მდე ბრუნვის კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს. გრადუსი. ჩვენ ამას დავამტკიცებთ.

ნომრები

განმარტება.

რიცხვის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი t არის რიცხვი, რომელიც ტოლია ბრუნვის კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს t რადიანებში, შესაბამისად.

მაგალითად, 8 π-ის კოსინუსი, განსაზღვრებით, არის რიცხვი, რომელიც უდრის 8 π rad კუთხის კოსინუსს. ხოლო კუთხის კოსინუსი 8 π rad-ში უდრის ერთს, შესაბამისად, 8 π რიცხვის კოსინუსი უდრის 1-ს.

არსებობს სხვა მიდგომა რიცხვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენსის განმარტებასთან დაკავშირებით. ის მდგომარეობს იმაში, რომ თითოეულ რეალურ რიცხვს t ენიჭება ერთეული წრის წერტილი, რომელიც ორიენტირებულია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის საწყისზე, ხოლო სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი განისაზღვრება ამ წერტილის კოორდინატებით. ამაზე უფრო დეტალურად ვისაუბროთ.

ვნახოთ, როგორ დგინდება შესაბამისობა ნამდვილ რიცხვებსა და წრის წერტილებს შორის:

• რიცხვს 0 ენიჭება საწყისი წერტილი A(1, 0);
• დადებითი რიცხვი t ასოცირდება ერთეულ წრეზე არსებულ წერტილთან, რომელსაც მივიღებთ, თუ წრეში ამოვალთ საწყისი წერტილიდან საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით და გავივლით t ​​სიგრძის გზას;
• უარყოფითი რიცხვი t ასოცირდება ერთეული წრის წერტილთან, რომელსაც მივიღებთ, თუ წრეს ამოვავლებთ საწყისი წერტილიდან საათის ისრის მიმართულებით და გავივლით |t| სიგრძის ბილიკს. .

ახლა გადავიდეთ t რიცხვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებებზე. დავუშვათ, რომ რიცხვი t შეესაბამება A 1 (x, y) წრის წერტილს (მაგალითად, რიცხვი &pi/2; შეესაბამება A 1 (0, 1) წერტილს).

განმარტება.

რიცხვის სინუსი t არის t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის ორდინატი, ანუ sint=y.

განმარტება.

რიცხვის კოსინუსი t ეწოდება t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის აბსცისა, ანუ ღირებულება=x.

განმარტება.

რიცხვის ტანგენტი t არის ორდინატისა და t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის აბსცისის შეფარდება, ანუ tgt=y/x. სხვა ეკვივალენტურ ფორმულირებაში, t რიცხვის ტანგენსი არის ამ რიცხვის სინუსის შეფარდება კოსინუსთან, ანუ tgt=sint/cost .

განმარტება.

რიცხვის კოტანგენსი t არის აბსცისის შეფარდება t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის ორდინატთან, ანუ ctgt=x/y. სხვა ფორმულირება ასეთია: t რიცხვის ტანგენსი არის t რიცხვის კოსინუსის შეფარდება t რიცხვის სინუსთან: ctgt=cost/sint.

აქ ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ახლახან მოცემული განმარტებები ეთანხმება ამ ქვეგანყოფილების დასაწყისში მოცემულ განმარტებას. მართლაც, t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილი ემთხვევა წერტილს, რომელიც მიღებულ იქნა საწყისი წერტილის t რადიანების კუთხით ბრუნვით.

ასევე ღირს ამ პუნქტის გარკვევა. ვთქვათ, გვაქვს sin3 ჩანაწერი. როგორ გავიგოთ, კითხვის ნიშნის ქვეშ არის 3 რიცხვის სინუსი თუ 3 რადიანის ბრუნვის კუთხის სინუსი? ეს, როგორც წესი, ნათელია კონტექსტიდან, წინააღმდეგ შემთხვევაში, ალბათ, ამას მნიშვნელობა არ აქვს.

კუთხოვანი და რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

წინა აბზაცში მოცემული განმარტებების მიხედვით, ყოველი ბრუნვის კუთხე α შეესაბამება sinα-ს კარგად განსაზღვრულ მნიშვნელობას, ისევე როგორც cosα-ს მნიშვნელობას. გარდა ამისა, ბრუნვის ყველა კუთხე, გარდა 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) შეესაბამება tgα მნიშვნელობებს და გარდა 180° k , k∈Z (π k rad ) არის ctgα-ს მნიშვნელობები. ამიტომ sinα, cosα, tgα და ctgα არის α კუთხის ფუნქციები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის კუთხოვანი არგუმენტის ფუნქციები.

ანალოგიურად, შეგვიძლია ვისაუბროთ რიცხვითი არგუმენტის სინუსზე, კოსინუსზე, ტანგენტსა და კოტანგენსზე. მართლაც, ყოველი რეალური რიცხვი t შეესაბამება sint-ის კარგად განსაზღვრულ მნიშვნელობას, ისევე როგორც ღირებულებას. გარდა ამისა, ყველა რიცხვი, გარდა π/2+π·k, k∈Z შეესაბამება tgt მნიშვნელობებს, ხოლო რიცხვები π·k, k∈Z შეესაბამება ctgt მნიშვნელობებს.

ფუნქციებს სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი ეწოდება ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

როგორც წესი, კონტექსტიდან ირკვევა, რომ საქმე გვაქვს კუთხოვანი არგუმენტის ან რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან. წინააღმდეგ შემთხვევაში, დამოუკიდებელი ცვლადი შეგვიძლია მივიჩნიოთ როგორც კუთხის საზომად (კუთხის არგუმენტი) და როგორც რიცხვითი არგუმენტი.

თუმცა სკოლა ძირითადად სწავლობს რიცხვით ფუნქციებს, ანუ ფუნქციებს, რომელთა არგუმენტები, ისევე როგორც შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობები, არის რიცხვები. ამიტომ, თუ ვსაუბრობთ ფუნქციებზე, მაშინ მიზანშეწონილია ტრიგონომეტრიული ფუნქციები განვიხილოთ რიცხვითი არგუმენტების ფუნქციებად.

განსაზღვრებების კავშირი გეომეტრიიდან და ტრიგონომეტრიიდან

თუ გავითვალისწინებთ α ბრუნვის კუთხეს 0-დან 90 გრადუსამდე, მაშინ მონაცემები ბრუნვის კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტების ტრიგონომეტრიის კონტექსტში სრულად შეესაბამება სინუსის, კოსინუსის განმარტებებს. , მახვილი კუთხის ტანგენსი და კოტანგენსი მართკუთხა სამკუთხედში, რომლებიც მოცემულია გეომეტრიის კურსში. დავამტკიცოთ ეს.

დახაზეთ ერთეული წრე მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში Oxy. გაითვალისწინეთ საწყისი წერტილი A(1, 0). მოვატრიალოთ ის α კუთხით, რომელიც მერყეობს 0-დან 90 გრადუსამდე, მივიღებთ წერტილს A 1 (x, y) . მოდით, A 1 H პერპენდიკულარული A 1 წერტილიდან Ox ღერძზე დავტოვოთ.

ადვილი მისახვედრია, რომ მართკუთხა სამკუთხედში A 1 OH კუთხე უდრის α ბრუნვის კუთხეს, ამ კუთხის მიმდებარე ფეხის OH სიგრძე უდრის A 1 წერტილის აბსცისას, ანუ |OH. |=x, A 1 H კუთხის მოპირდაპირე ფეხის სიგრძე უდრის A 1 წერტილის ორდინატს, ანუ |A 1 H|=y და ჰიპოტენუზის OA 1 სიგრძე უდრის ერთს. , ვინაიდან ეს არის ერთეული წრის რადიუსი. შემდეგ, გეომეტრიის განმარტებით, მართკუთხა სამკუთხედში α მწვავე კუთხის სინუსი A 1 OH უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან, ანუ sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. ხოლო ტრიგონომეტრიის განმარტებით, α ბრუნვის კუთხის სინუსი უდრის A 1 წერტილის ორდინატს, ანუ sinα=y. ეს გვიჩვენებს, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის განსაზღვრა უდრის α ბრუნვის კუთხის სინუსის განმარტებას α 0-დან 90 გრადუსამდე.

ანალოგიურად, შეიძლება აჩვენოს, რომ α მწვავე კუთხის კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებები შეესაბამება α ბრუნვის კუთხის კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებებს.

ბიბლიოგრაფია.

1. გეომეტრია. 7-9 კლასები: სწავლობს. ზოგადი განათლებისთვის დაწესებულებები / [ლ. ს. ატანასიანი, ვ.ფ.ბუტუზოვი, ს.ბ.კადომცევი და სხვები]. - მე-20 გამოცემა. მ.: განათლება, 2010. - 384გვ.: ავად. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. პოგორელოვი A.V.გეომეტრია: პროკ. 7-9 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A.V. Pogorelov. - მე-2 გამოცემა - მ.: განმანათლებლობა, 2001. - 224 გვ.: ილ. - ISBN 5-09-010803-X.
3. ალგებრა და ელემენტარული ფუნქციები: სახელმძღვანელო საშუალო სკოლის მე-9 კლასის მოსწავლეებისთვის / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; ფიზიკა-მათემატიკის მეცნიერებათა დოქტორი O.N. Golovin-ის რედაქტირებულია - 4th ed. მოსკოვი: განათლება, 1969 წ.
4. Ალგებრა:პროკ. 9 უჯრედისთვის. საშ. სკოლა / იუ. ნ.მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა; რედ. S. A. Telyakovsky.- M.: განმანათლებლობა, 1990.- 272 გვ.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Ალგებრადა ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn და სხვები; რედ. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: განმანათლებლობა, 2004.- 384 გვ.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
6. მორდკოვიჩი ა.გ.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი. მე-10 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1: სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის (პროფილის დონე) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - მე-4 გამოცემა, დაამატეთ. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Ალგებრადა მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. მე-10 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები: ძირითადი და პროფილი. დონეები /[იუ. მ.კოლიაგინი, მ.ვ.ტკაჩევა, ნ.ე.ფედოროვა, მ.ი.შაბუნინი]; რედ. A.B. ჟიჟჩენკო. - მე-3 გამოცემა. - I .: განათლება, 2010. - 368გვ.: ავადმყოფი - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. ბაშმაკოვი მ.ი.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. საშ. სკოლა - მე-3 გამოცემა. - მ.: განმანათლებლობა, 1993. - 351გვ.: ილ. - ISBN 5-09-004617-4.
9. გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის): პროკ. შემწეობა.- მ. უმაღლესი სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.

ტრიგონომეტრიული იდენტობებიარის ტოლობები, რომლებიც ამყარებენ ურთიერთობას ერთი კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის, რაც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ რომელიმე ამ ფუნქციიდან, იმ პირობით, რომ რომელიმე სხვა ცნობილია.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

ეს იდენტურობა ამბობს, რომ ერთი კუთხის სინუსის კვადრატისა და ერთი კუთხის კოსინუსის კვადრატის ჯამი უდრის ერთს, რაც პრაქტიკაში შესაძლებელს ხდის ერთი კუთხის სინუსის გამოთვლას, როდესაც ცნობილია მისი კოსინუსი და პირიქით. .

ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების კონვერტაციისას ძალიან ხშირად გამოიყენება ეს იდენტურობა, რაც საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ ერთი კუთხის კოსინუსის და სინუსის კვადრატების ჯამი ერთით და ასევე შეასრულოთ ჩანაცვლების ოპერაცია საპირისპირო მიზნით.

ტანგენტისა და კოტანგენტის პოვნა სინუსისა და კოსინუსის მეშვეობით

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

ეს იდენტობები ჩამოყალიბებულია სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტის განმარტებებიდან. ბოლოს და ბოლოს, თუ დააკვირდებით, მაშინ განსაზღვრებით, y-ის ორდინატი არის სინუსი, ხოლო x-ის აბსცისა არის კოსინუსი. მაშინ ტანგენსი თანაფარდობის ტოლი იქნება \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)და თანაფარდობა \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- იქნება კოტანგენსი.

ჩვენ დავამატებთ, რომ მხოლოდ ისეთ კუთხეებს \ალფა, რომლებისთვისაც მათში შემავალი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები აზრიანია, იდენტობები მოხდება. ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Მაგალითად: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)მოქმედებს \alpha კუთხეებისთვის, რომლებიც განსხვავდება \frac(\pi)(2)+\pi z, ა ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z-ის გარდა \alpha კუთხისთვის, z არის მთელი რიცხვი.

კავშირი ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

ეს იდენტურობა მოქმედებს მხოლოდ \alpha კუთხებისთვის, რომლებიც განსხვავდება \frac(\pi)(2) z. წინააღმდეგ შემთხვევაში, არც კოტანგენსი და არც ტანგენსი არ განისაზღვრება.

ზემოთ მოყვანილი პუნქტებიდან გამომდინარე, ჩვენ ამას მივიღებთ tg \alpha = \frac(y)(x), ა ctg\alpha=\frac(x)(y). აქედან გამომდინარეობს, რომ tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. ამრიგად, ერთი კუთხის ტანგენსი და კოტანგენსი, რომლითაც ისინი აზრს იძენენ, ორმხრივი რიცხვებია.

კავშირი ტანგენტსა და კოსინუსს, კოტანგენტსა და სინუსს შორის

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- კუთხის \ალფას და 1-ის ტანგენსის კვადრატის ჯამი უდრის ამ კუთხის კოსინუსის შებრუნებულ კვადრატს. ეს იდენტიფიკაცია მოქმედებს ყველა \alpha-სთვის, გარდა \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1-ისა და კუთხის \ალფა კოტანგენსის კვადრატის ჯამი უდრის მოცემული კუთხის სინუსის შებრუნებულ კვადრატს. ეს იდენტიფიკაცია მოქმედებს ნებისმიერი \alpha-სთვის, გარდა \pi z.

მაგალითები პრობლემების გადაწყვეტით ტრიგონომეტრიული იდენტობების გამოყენებით

მაგალითი 1

იპოვეთ \sin \alpha და tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12და \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

ფუნქციები \sin \alpha და \cos \alpha დაკავშირებულია ფორმულით \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. ჩანაცვლება ამ ფორმულაში \cos \alpha = -\frac12, ვიღებთ:

\sin^(2)\alpha + \მარცხნივ (-\frac12 \მარჯვნივ)^2 = 1

ამ განტოლებას აქვს 2 ამონახსნი:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

პირობით \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . მეორე კვარტალში სინუსი დადებითია, ასე რომ \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

tg \alpha-ს საპოვნელად ვიყენებთ ფორმულას tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

მაგალითი 2

იპოვეთ \cos \alpha და ctg \alpha თუ და \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

ჩანაცვლება ფორმულაში \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1პირობითი ნომერი \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), ვიღებთ \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. ამ განტოლებას ორი ამონახსნი აქვს \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

პირობით \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . მეორე კვარტალში კოსინუსი უარყოფითია, ასე რომ \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ctg \alpha, ვიყენებთ ფორმულას ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). ჩვენ ვიცით შესაბამისი მნიშვნელობები.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

თავდაპირველად, სინუსი და კოსინუსი წარმოიშვა მართკუთხა სამკუთხედებში რაოდენობების გამოთვლის აუცილებლობის გამო. დაფიქსირდა, რომ თუ მართკუთხა სამკუთხედში კუთხეების ხარისხის საზომი მნიშვნელობა არ იცვლება, მაშინ ასპექტის თანაფარდობა, რაც არ უნდა შეიცვალოს ეს გვერდები სიგრძეში, ყოველთვის იგივე რჩება.

ასე შემოვიდა სინუსისა და კოსინუსის ცნებები. მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან, ხოლო კოსინუსი არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან.

კოსინუსებისა და სინუსების თეორემები

მაგრამ კოსინუსები და სინუსები შეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მხოლოდ მართკუთხა სამკუთხედებში. ბლაგვი ან მახვილი კუთხის, ნებისმიერი სამკუთხედის გვერდის მნიშვნელობის საპოვნელად საკმარისია კოსინუსებისა და სინუსების თეორემის გამოყენება.

კოსინუსების თეორემა საკმაოდ მარტივია: „სამკუთხედის გვერდის კვადრატი უდრის დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამის გამოკლებით ამ გვერდების ორჯერ ნამრავლს მათ შორის კუთხის კოსინუსზე“.

სინუსების თეორემის ორი ინტერპრეტაცია არსებობს: მცირე და გაფართოებული. მცირეს მიხედვით: „სამკუთხედში კუთხეები მოპირდაპირე გვერდების პროპორციულია“. ეს თეორემა ხშირად ვრცელდება სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის თვისების გამო: „სამკუთხედში კუთხეები მოპირდაპირე გვერდების პროპორციულია და მათი თანაფარდობა უდრის შემოხაზული წრის დიამეტრს“.

წარმოებულები

წარმოებული არის მათემატიკური ინსტრუმენტი, რომელიც აჩვენებს, თუ რამდენად სწრაფად იცვლება ფუნქცია მისი არგუმენტის ცვლილების მიმართ. წარმოებულები გამოიყენება გეომეტრიაში და რიგ ტექნიკურ დისციპლინაში.

პრობლემების გადაჭრისას, თქვენ უნდა იცოდეთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულების ტაბულური მნიშვნელობები: სინუსი და კოსინუსი. სინუსის წარმოებული არის კოსინუსი, ხოლო კოსინუსის წარმოებული არის სინუსი, მაგრამ მინუს ნიშნით.

გამოყენება მათემატიკაში

განსაკუთრებით ხშირად, სინუსები და კოსინუსები გამოიყენება მართკუთხა სამკუთხედების და მათთან დაკავშირებული ამოცანების ამოხსნისას.

სინუსებისა და კოსინუსების მოხერხებულობა აისახება ტექნოლოგიაშიც. კუთხეების და გვერდების შეფასება ადვილი იყო კოსინუსებისა და სინუსების თეორემების გამოყენებით, რთული ფორმებისა და ობიექტების დაშლა "მარტივ" სამკუთხედებად. ინჟინრები და, რომლებიც ხშირად ეხებოდნენ ასპექტის თანაფარდობისა და ხარისხის ზომების გამოთვლებს, დიდ დროს და ძალისხმევას ხარჯავდნენ არა-ცხრილი კუთხეების კოსინუსებისა და სინუსების გამოსათვლელად.

შემდეგ ბრადისის ცხრილები მოვიდა სამაშველოში, რომელიც შეიცავს სხვადასხვა კუთხის სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტებისა და კოტანგენტების ათასობით მნიშვნელობას. საბჭოთა პერიოდში ზოგიერთი მასწავლებელი აიძულებდა თავის პალატებს დაეზეპირებინათ ბრედისის ცხრილების გვერდები.

რადიანი - რკალის კუთხოვანი მნიშვნელობა, სიგრძის გასწვრივ რადიუსის ტოლი ან 57,295779513 ° გრადუსი.

ხარისხი (გეომეტრიაში) - წრის 1/360 ან მართი კუთხის 1/90.

π = 3.141592653589793238462… (pi-ს მიახლოებითი მნიშვნელობა).

კოსინუსების ცხრილი კუთხეებისთვის: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

კუთხე x (გრადულებში)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
კუთხე x (რადანებში)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3xπ/4	5xπ/6	π	7xπ/6	5xπ/4	4xπ/3	3xπ/2	5xπ/3	7xπ/4	11xπ/6	2xπ
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

- აუცილებლად იქნება ამოცანები ტრიგონომეტრიაში. ტრიგონომეტრია ხშირად არ მოსწონთ იმის გამო, რომ უწევთ უზარმაზარი რაოდენობის რთული ფორმულების შეფუთვა სინუსებით, კოსინუსებით, ტანგენტებითა და კოტანგენტებით. საიტმა უკვე ერთხელ მისცა რჩევა, თუ როგორ უნდა დაიმახსოვროთ დავიწყებული ფორმულა, ეილერის და პილის ფორმულების მაგალითის გამოყენებით.

და ამ სტატიაში ჩვენ შევეცდებით ვაჩვენოთ, რომ საკმარისია მხოლოდ ხუთი მარტივი ტრიგონომეტრიული ფორმულის მყარად ცოდნა, დანარჩენის შესახებ ზოგადი წარმოდგენა და მათი დასკვნის გაკეთება. ეს ჰგავს დნმ-ს: დასრულებული ცოცხალი არსების სრული ნახატები არ ინახება მოლეკულაში. ის შეიცავს, უფრო სწორად, ინსტრუქციებს მისი შეკრების შესახებ ხელმისაწვდომი ამინომჟავებისგან. ასე რომ, ტრიგონომეტრიაში, ზოგიერთი ზოგადი პრინციპის ცოდნით, ჩვენ მივიღებთ ყველა აუცილებელ ფორმულას მცირე ნაკრებიდან, რომლებიც უნდა გვახსოვდეს.

ჩვენ დავეყრდნობით შემდეგ ფორმულებს:

ჯამების სინუსისა და კოსინუსის ფორმულებიდან, იმის ცოდნა, რომ კოსინუს ფუნქცია ლუწია და სინუს ფუნქცია კენტი, b-ს -b ჩანაცვლებით, ვიღებთ განსხვავებების ფორმულებს:

1. განსხვავების სინუსი: ცოდვა(a-b) = ცოდვააcos(-ბ)+cosაცოდვა(-ბ) = ცოდვააcosბ-cosაცოდვაბ
2. კოსინუსური განსხვავება: cos(a-b) = cosაcos(-ბ)-ცოდვააცოდვა(-ბ) = cosაcosბ+ცოდვააცოდვაბ

a \u003d b იმავე ფორმულებში ჩასვით, ჩვენ ვიღებთ ორმაგი კუთხის სინუსის და კოსინუსების ფორმულებს:

1. ორმაგი კუთხის სინუსი: ცოდვა2ა = ცოდვა(ა+ა) = ცოდვააcosა+cosაცოდვაა = 2ცოდვააcosა
2. ორმაგი კუთხის კოსინუსი: cos2ა = cos(ა+ა) = cosაcosა-ცოდვააცოდვაა = cos2ა-ცოდვა2ა

სხვა მრავალი კუთხისთვის ფორმულები მიიღება ანალოგიურად:

1. სამმაგი კუთხის სინუსი: ცოდვა3ა = ცოდვა(2a+a) = ცოდვა2აcosა+cos2აცოდვაა = (2ცოდვააcosა)cosა+(cos2ა-ცოდვა2ა)ცოდვაა = 2ცოდვააcos2ა+ცოდვააcos2ა-ცოდვა 3 a = 3 ცოდვააcos2ა-ცოდვა 3 a = 3 ცოდვაა(1-ცოდვა2ა)-ცოდვა 3 a = 3 ცოდვაა-4ცოდვა 3ა
2. სამმაგი კუთხის კოსინუსი: cos3ა = cos(2a+a) = cos2აcosა-ცოდვა2აცოდვაა = (cos2ა-ცოდვა2ა)cosა-(2ცოდვააcosა)ცოდვაა = cos 3a- ცოდვა2აcosა-2ცოდვა2აcosა = cos 3a-3 ცოდვა2აcosა = cos 3 a-3(1- cos2ა)cosა = 4cos 3a-3 cosა

სანამ გადავიდეთ, მოდით განვიხილოთ ერთი პრობლემა.
მოცემულია: კუთხე მახვილია.
იპოვეთ მისი კოსინუსი თუ
ერთი მოსწავლის მიერ მოწოდებული გამოსავალი:
იმიტომ რომ , მაშინ ცოდვაა= 3, ა cosა = 4.
(მათემატიკური იუმორიდან)

ამრიგად, ტანგენტის განმარტება აკავშირებს ამ ფუნქციას როგორც სინუსთან, ასევე კოსინუსთან. მაგრამ შეგიძლიათ მიიღოთ ფორმულა, რომელიც იძლევა ტანგენსის კავშირს მხოლოდ კოსინუსთან. მის გამოსაყვანად, ჩვენ ვიღებთ ძირითად ტრიგონომეტრიულ იდენტობას: ცოდვა 2 ა+cos 2 ა= 1 და გაყავით cos 2 ა. ჩვენ ვიღებთ:

ასე რომ, ამ პრობლემის გადაწყვეტა იქნება:

(რადგან კუთხე მკვეთრია, ფესვის ამოღებისას აღებულია + ნიშანი)

ჯამის ტანგენტის ფორმულა კიდევ ერთი ძნელი დასამახსოვრებელია. მოდით გამოვიტანოთ ასე:

მაშინვე გამომავალი და

ორმაგი კუთხის კოსინუსის ფორმულიდან შეგიძლიათ მიიღოთ სინუსის და კოსინუსების ფორმულები ნახევარი კუთხისთვის. ამისათვის, ორმაგი კუთხის კოსინუსის ფორმულის მარცხენა მხარეს:
cos2 ა = cos 2 ა-ცოდვა 2 ა
ვამატებთ ერთეულს, ხოლო მარჯვნივ - ტრიგონომეტრიულ ერთეულს, ე.ი. სინუსის და კოსინუსების კვადრატების ჯამი.
cos2ა+1 = cos2ა-ცოდვა2ა+cos2ა+ცოდვა2ა
2cos 2 ა = cos2 ა+1
გამოხატავს cosამეშვეობით cos2 ადა ცვლადების ცვლილების შესრულებით, მივიღებთ:

ნიშანი მიიღება კვადრატის მიხედვით.

ანალოგიურად, გამოვაკლოთ ერთი ტოლობის მარცხენა მხარეს, ხოლო სინუსისა და კოსინუსის კვადრატების ჯამი მარჯვენა მხრიდან, მივიღებთ:
cos2ა-1 = cos2ა-ცოდვა2ა-cos2ა-ცოდვა2ა
2ცოდვა 2 ა = 1-cos2 ა

და ბოლოს, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამის პროდუქტად გადასაყვანად, ვიყენებთ შემდეგ ხრიკს. დავუშვათ, რომ ჩვენ უნდა წარმოვადგინოთ სინუსების ჯამი ნამრავლის სახით ცოდვაა+ცოდვაბ. შემოვიღოთ x და y ცვლადები ისე, რომ a = x+y, b+x-y. მაშინ
ცოდვაა+ცოდვაბ = ცოდვა(x+y)+ ცოდვა(x-y) = ცოდვა x cos y+ cos x ცოდვა y+ ცოდვა x cos y- cos x ცოდვა y=2 ცოდვა x cosწ. ახლა გამოვხატოთ x და y a და b-ით.

ვინაიდან a = x+y, b = x-y, მაშინ . Ისე

შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გაიყვანოთ

1. დანაყოფის ფორმულა სინუსის და კოსინუსის პროდუქტები in თანხა: ცოდვააcosბ = 0.5(ცოდვა(a+b)+ცოდვა(ა-ბ))

ჩვენ გირჩევთ ივარჯიშოთ და გამოიტანოთ ფორმულები სინუსების სხვაობის ნამრავლისა და კოსინუსების ჯამისა და სხვაობის ნამრავლად გადაქცევისთვის, აგრეთვე სინუსებისა და კოსინუსების ნამრავლების ჯამად დაყოფისთვის. ამ სავარჯიშოების შესრულებით, თქვენ საფუძვლიანად დაეუფლებით ტრიგონომეტრიული ფორმულების გამოყვანის უნარს და არ დაიკარგებით ყველაზე რთულ კონტროლში, ოლიმპიადაში თუ ტესტირებაშიც კი.

მე არ დაგარწმუნებთ, რომ არ დაწეროთ თაღლითური ფურცლები. დაწერე! მოტყუების ფურცლების ჩათვლით ტრიგონომეტრიაზე. მოგვიანებით ვაპირებ ახსნას, თუ რატომ არის საჭირო ჩეთ ფურცლები და რამდენად სასარგებლოა ჩეთ ფურცლები. და აქ - ინფორმაცია იმის შესახებ, თუ როგორ არ უნდა ვისწავლოთ, არამედ გახსოვდეთ რამდენიმე ტრიგონომეტრიული ფორმულა. ასე რომ - ტრიგონომეტრია თაღლითობის გარეშე! დასამახსოვრებლად ვიყენებთ ასოციაციებს.

1. დამატების ფორმულები:

კოსინუსები ყოველთვის „წყვილად მიდიან“: კოსინუს-კოსინუსი, სინუს-სინუსი. და კიდევ ერთი რამ: კოსინუსები "არაადეკვატურია". ისინი „ყველაფერი არასწორია“, ამიტომ ცვლიან ნიშნებს: „-“ „+“-ზე და პირიქით.

სინუსები - "ნარევი": სინუს-კოსინუსი, კოსინუს-სინუსი.

2. ჯამისა და სხვაობის ფორმულები:

კოსინუსები ყოველთვის "წყვილად მიდიან". ორი კოსინუსის - "ფუნთუშების" დამატების შემდეგ ვიღებთ წყვილ კოსინუსს - "კოლობოკებს". და გამოკლებით, ჩვენ ნამდვილად არ მივიღებთ კოლობოკებს. ჩვენ ვიღებთ რამდენიმე სინუსს. ჯერ კიდევ წინ არის მინუსი.

სინუსები - "ნარევი" :

3. პროდუქტის ჯამად და სხვაობად გარდაქმნის ფორმულები.

როდის ვიღებთ კოსინუსების წყვილს? კოსინუსების დამატებისას. Ისე

როდის ვიღებთ სინუსების წყვილს? კოსინუსების გამოკლებისას. აქედან:

„შერევა“ მიიღება როგორც სინუსების შეკრებით, ასევე გამოკლებით. რომელია უფრო სახალისო: შეკრება თუ გამოკლება? მართალია, დაკეცეთ. და ფორმულისთვის აიღეთ დამატება:

პირველ და მესამე ფორმულებში ფრჩხილებში - რაოდენობა. ვადების ადგილების გადალაგებიდან თანხა არ იცვლება. შეკვეთა მნიშვნელოვანია მხოლოდ მეორე ფორმულისთვის. მაგრამ იმისათვის, რომ არ დავიბნეოთ, დასამახსოვრებლად მარტივად, პირველ ფრჩხილებში სამივე ფორმულაში ვიღებთ განსხვავებას

და მეორე, ჯამი

ჯიბეში საწოლის ფურცლები სიმშვიდეს იძლევა: თუ ფორმულა დაგავიწყდათ, შეგიძლიათ ჩამოწეროთ იგი. და ისინი იძლევიან თავდაჯერებულობას: თუ თქვენ ვერ იყენებთ თაღლითობის ფურცელს, ფორმულები ადვილად დაიმახსოვრებთ.