რა არის ოქროს თანაფარდობა (პროპორცია)? შკრუდნევი ფედორ დიმიტრიევიჩი - ოქროს თანაფარდობა.

ბიბლიოგრაფიული აღწერა:მაკსიმენკო ო.ვ., პასტორი ვ. - 2016. - No 6.1. - S. 35-39..03.2019).

„გეომეტრიას ორი საგანძური აქვს:

ერთ-ერთი მათგანია პითაგორას თეორემა,

მეორე არის სეგმენტის დაყოფა შუა და უკიდურეს თანაფარდობაში "

იოჰანეს კეპლერი

საკვანძო სიტყვები: ოქროს თანაფარდობა, ოქროს პროპორციები, მეცნიერული ფენომენი.

ჩვენი ნაშრომის მიზანია „ოქროს განყოფილებასთან“ დაკავშირებული ინფორმაციის წყაროების შესწავლა ცოდნის სხვადასხვა დარგში, ნიმუშების ამოცნობა და მეცნიერებებს შორის კავშირის პოვნა, ოქროს განყოფილების პრაქტიკული მნიშვნელობის დადგენა.

ამ კვლევის აქტუალობა განისაზღვრება მათემატიკასა და ხელოვნებაში ოქროს მონაკვეთის გამოყენების მრავალსაუკუნოვანი ისტორიით. ის, რაც ძველებს აწუხებდათ, აქტუალური რჩება და იწვევს თანამედროვეთა ინტერესს.

ყოველთვის ადამიანები ცდილობდნენ ეპოვათ ნიმუშები მათ გარშემო არსებულ სამყაროში. ისინი გარშემორტყმული იყვნენ თავიანთი გადმოსახედიდან „სწორი“ ფორმის ობიექტებით. მხოლოდ მათემატიკის განვითარებით მოახერხეს ადამიანებმა „ოქროს თანაფარდობის“ გაზომვა, რომელიც მოგვიანებით „ოქროს თანაფარდობის“ სახელით გახდა ცნობილი.

ოქროს რადიო- ჰარმონიული პროპორცია

ოქროს მონაკვეთი არის სეგმენტის ასეთი პროპორციული დაყოფა არათანაბარ ნაწილებად, რომელშიც მთელი სეგმენტი ეხება უფრო დიდ ნაწილს ისევე, როგორც თავად უფრო დიდი ნაწილი ეხება პატარას; ან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, უფრო მცირე სეგმენტი დაკავშირებულია უფრო დიდთან, როგორც უფრო დიდი არის ყველაფერთან (ნახ. 1).

ა: ბ = ბ: გ

ბრინჯი. 1. სეგმენტის დაყოფა ოქროს პროპორციების მიხედვით

შეგახსენებთ, რა არის ოქროს თანაფარდობა. ოქროს თანაფარდობის ყველაზე ტევადი განმარტება ამბობს, რომ პატარა ნაწილი დაკავშირებულია უფრო დიდთან, ისევე როგორც უფრო დიდი მთლიანთან. მისი სავარაუდო ღირებულებაა 1.6180339887. მომრგვალებულ პროცენტში, მთლიანის ნაწილების პროპორციები კორელაციაში იქნება 62%-დან 38%-მდე. ეს თანაფარდობა მოქმედებს სივრცისა და დროის სახით.

ოქროს სამკუთხედი დამართკუთხედი

სეგმენტის არათანაბარ ნაწილებად დაყოფის გარდა (ოქროს მონაკვეთი), განიხილეთ ოქროს სამკუთხედი და ოქროს მართკუთხედი.

ოქროს მართკუთხედი არის მართკუთხედი, რომლის გვერდების სიგრძე ოქროს თანაფარდობაშია (ნახ. 2).

ხუთკუთხა ვარსკვლავის ყოველი ბოლო არის ოქროს სამკუთხედი. მისი გვერდები ზევით ქმნიან 36°-იან კუთხეს, გვერდზე დაგებული ძირი კი მას ოქროს მონაკვეთის პროპორციულად ყოფს (ნახ. 3).

ნახ.2. ოქროს მართკუთხედი

ნახ.3 ოქროს სამკუთხედი

პენტაკლი

ჩვეულებრივ ხუთქიმიან ვარსკვლავში თითოეული სეგმენტი იყოფა სეგმენტით, რომელიც კვეთს მას ოქროს მონაკვეთში, ანუ ლურჯი სეგმენტის შეფარდება მწვანესთან, წითელთან ლურჯთან, მწვანესთან მეწამულთან არის 1,618 (ნახ. 4).

ნახ.4. პენტაგრამა-ჰიგიეა

პითაგორა ამტკიცებდა, რომ პენტაგრამა, ან, როგორც მან უწოდა, ჰიგიეა, არის მათემატიკური სრულყოფილება, რადგან ის მალავს ოქროს თანაფარდობას. ლურჯი სეგმენტის თანაფარდობა მწვანესთან, წითელთან ლურჯთან, მწვანესთან მეწამულთან არის ოქროს თანაფარდობა.

ფიბონაჩის სერია

რიცხვების სერია 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 და ა.შ. ცნობილია როგორც ფიბონაჩის სერია. რიცხვთა თანმიმდევრობის თავისებურება ის არის, რომ მისი ყოველი წევრი მესამედან დაწყებული, უდრის წინა ორის ჯამს, და სერიის მიმდებარე რიცხვების თანაფარდობა უახლოვდება ოქროს გაყოფის თანაფარდობას.

ასე რომ, 21:34 = 0.617

34: 55 = 0,618.

ოქროს მონაკვეთის ისტორია

საყოველთაოდ მიღებულია, რომ ოქროს დაყოფის ცნება მეცნიერულ გამოყენებაში შემოიღო პითაგორამ, ძველმა ბერძენმა ფილოსოფოსმა და მათემატიკოსმა (ძვ. წ. VI ს.). არსებობს ვარაუდი, რომ პითაგორამ ისესხა თავისი ცოდნა ოქროს განყოფილების შესახებ ეგვიპტელებისა და ბაბილონელებისგან. მართლაც, კეოპსის პირამიდის, ტაძრების, ბარელიეფების, საყოფაცხოვრებო ნივთებისა და დეკორაციების პროპორციები ტუტანხამონის საფლავიდან მიუთითებს იმაზე, რომ ეგვიპტელმა ხელოსნებმა მათი შექმნისას გამოიყენეს ოქროს განყოფილების თანაფარდობა.

ოქროს პროპორციები შიადამიანის სხეულის ნაწილები

1855 წელს ოქროს მონაკვეთის გერმანელმა მკვლევარმა, პროფესორმა ზაისინგმა გამოაქვეყნა თავისი ნაშრომი ესთეტიკური კვლევა.

ზეისინგმა გაზომა დაახლოებით ორი ათასი ადამიანის სხეული და მივიდა დასკვნამდე, რომ ოქროს თანაფარდობა გამოხატავს საშუალო სტატისტიკურ კანონს (ნახ. 5).

სურ. 5 ოქროს პროპორციები ადამიანის სხეულის ნაწილებში

ოქროს თანაფარდობა შიველური ბუნება

გასაოცარია, თუ როგორ გვხვდება მხოლოდ ერთი მათემატიკური ცნება ადამიანის ცოდნის მრავალ მონაკვეთში. თითქოს სამყაროში ყველაფერშია გაჟღენთილი, აკავშირებს ჰარმონიასა და ქაოსს, მათემატიკასა და ხელოვნებას.

ბიოლოგიურმა კვლევებმა აჩვენა, რომ ვირუსებითა და მცენარეებით დაწყებული, ადამიანის სხეულით დამთავრებული, ყველგან ოქროს პროპორცია ვლინდება, რაც ახასიათებს მათი სტრუქტურის პროპორციულობასა და ჰარმონიას. ოქროს თანაფარდობა აღიარებულია, როგორც ცოცხალი სისტემების უნივერსალური კანონი.

ხვლიკში, ერთი შეხედვით, ჩვენი თვალისთვის სასიამოვნო პროპორციებია დაფიქსირებული - მისი კუდის სიგრძე დაკავშირებულია სხეულის დანარჩენი ნაწილის სიგრძესთან 62-დან 38-მდე (სურ. 6).

ნახ.6 ოქროს პროპორციები ხვლიკის სხეულის ნაწილებში

ოქროს თანაფარდობა შიარქიტექტურა

„ოქროს მონაკვეთის“ შესახებ წიგნებში შეიძლება მოიძებნოს შენიშვნა, რომ არქიტექტურაში, ისევე როგორც ფერწერაში, ყველაფერი დამკვირვებლის პოზიციაზეა დამოკიდებული და თუ შენობაში გარკვეული პროპორციები, ერთის მხრივ, თითქოს „ოქროს მონაკვეთს“ ქმნის, მაშინ სხვა თვალსაზრისით ისინი განსხვავებულად გამოიყურებიან. "ოქროს განყოფილება" იძლევა გარკვეული სიგრძის ზომების ყველაზე მოდუნებულ თანაფარდობას.

ძველი ბერძნული არქიტექტურის ერთ-ერთი ულამაზესი ნამუშევარია პართენონი (სურ. 7). შენობის სიმაღლის შეფარდება მის სიგრძესთან არის 0,618. თუ პართენონს დავყოფთ „ოქროს მონაკვეთის“ მიხედვით, მივიღებთ ფასადის გარკვეულ გამონაკვეთებს.

უძველესი არქიტექტურის კიდევ ერთი მაგალითია კეოპსის პირამიდა (სურ. 8).

დიდი პირამიდის პროპორციები შენარჩუნებულია "ოქროს თანაფარდობაში"

უძველესი მშენებლები შეძლეს ამ დიდებული ძეგლის აგება თითქმის სრულყოფილი საინჟინრო სიზუსტით და სიმეტრიით.

ნახ.7. პართენონი

სურ.8. კეოპსის პირამიდა

ოქროს თანაფარდობა შიქანდაკება

„ოქროს მონაკვეთის“ პროპორციები ქმნის სილამაზის ჰარმონიის შთაბეჭდილებას, ამიტომ მოქანდაკეები მათ ნამუშევრებში იყენებდნენ. ასე, მაგალითად, აპოლონ ბელვედერის ცნობილი ქანდაკება შედგება ნაწილებისგან, რომლებიც იყოფა ოქროს თანაფარდობების მიხედვით (სურ. 9).

სურ.9 აპოლონ ბელვედერის ქანდაკება

ოქროს თანაფარდობა შიფერწერა

მხატვრობაში "ოქროს მონაკვეთის" მაგალითებს რომ მივმართოთ, არ შეიძლება ყურადღება არ შეაჩეროთ ლეონარდო და ვინჩის შემოქმედებაზე. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ნახატს "La Gioconda". პორტრეტის კომპოზიცია აგებულია ოქროს სამკუთხედებზე (სურ. 10).

სურ. 10 ლეონარდო და ვინჩი "ჯოკონდა"

მხატვრობაში ოქროს მონაკვეთის კიდევ ერთი მაგალითია რაფაელის ნახატი უდანაშაულოთა ხოცვა-ჟლეტა (სურ. 11). რაფაელის მოსამზადებელ ჩანახატზე წითელი ხაზებია გამოსახული კომპოზიციის სემანტიკური ცენტრიდან. თუ თქვენ ბუნებრივად დააკავშირებთ მრუდის ამ ნაწილებს წერტილოვანი ხაზით, მაშინ ძალიან მაღალი სიზუსტით მიიღებთ ... ოქროს სპირალს!

სურ.11. რაფაელი "უდანაშაულოების ხოცვა"

ოქროს თანაფარდობა შილიტერატურული ნაწარმოებები

დროებითი ხელოვნების ფორმები თავისებურად გვიჩვენებს ოქროს დაყოფის პრინციპს. ოქროს მონაკვეთის წესი ასევე მოქმედებს რუსული კლასიკის ცალკეულ ნამუშევრებზე. ასე რომ, მოთხრობაში "ყვავი დედოფალი" არის 853 სტრიქონი, ხოლო კულმინაცია მოდის 535-ე სტრიქონზე (853:535 = 1.6) - ეს არის ოქროს თანაფარდობის წერტილი.

ოქროს თანაფარდობა შიკინო სურათები

კინორეჟისორმა სერგეი ეიზენშტეინმა განზრახ კოორდინაცია მოახდინა თავისი ფილმის "საბრძოლო ხომალდი პოტემკინის" სცენარს ოქროს მონაკვეთის წესით და დაყო ლენტი ხუთ ნაწილად.

დასკვნა

ოქროს თანაფარდობა ცნობილი იყო ძველ ეგვიპტეში და ბაბილონში, ინდოეთსა და ჩინეთში. დიდმა პითაგორამ შექმნა საიდუმლო სკოლა, სადაც შეისწავლეს „ოქროს მონაკვეთის“ მისტიური არსი. ევკლიდემ გამოიყენა იგი, შექმნა მისი გეომეტრია, ხოლო ფიდიასი - მისი უკვდავი ქანდაკებები. პლატონმა თქვა, რომ სამყარო მოწყობილია "ოქროს მონაკვეთის" მიხედვით. და არისტოტელემ აღმოაჩინა "ოქროს მონაკვეთის" შესაბამისობა ეთიკურ კანონთან. „ოქროს მონაკვეთის“ უმაღლეს ჰარმონიას ლეონარდო და ვინჩი და მიქელანჯელო ქადაგებენ, რადგან სილამაზე და „ოქროს მონაკვეთი“ ერთი და იგივეა. ხოლო ქრისტიანი მისტიკოსები თავიანთი მონასტრების კედლებზე „ოქროს მონაკვეთის“ პენტაგრამებს დახატვენ, ეშმაკისგან თავის დაღწევას. ამავე დროს, მეცნიერები - პაჩიოლიდან აინშტაინამდე - მოიძიებენ, მაგრამ ვერასოდეს იპოვიან მის ზუსტ მნიშვნელობას. უსასრულო სერია ათობითი წერტილის შემდეგ - 1.6180339887 ... უცნაური, იდუმალი, აუხსნელი რამ: ეს ღვთაებრივი პროპორცია მისტიკურად ახლავს ყველა ცოცხალ არსებას. უსულო ბუნებამ არ იცის რა არის „ოქროს მონაკვეთი“. მაგრამ თქვენ ნამდვილად ნახავთ ამ პროპორციას ზღვის ჭურვების მოსახვევებში, ყვავილების სახით, ხოჭოების სახით და მშვენიერი ადამიანის სხეულში. ყველაფერი ცოცხალი და ყველაფერი მშვენიერი – ყველაფერი ემორჩილება ღვთაებრივ კანონს, რომლის სახელწოდებაც არის „ოქროს მონაკვეთი“. მაშ, რა არის "ოქროს თანაფარდობა"? რა არის ეს სრულყოფილი, ღვთაებრივი კომბინაცია? იქნებ ეს სილამაზის კანონია? თუ ეს ჯერ კიდევ მისტიური საიდუმლოა? სამეცნიერო ფენომენი თუ ეთიკური პრინციპი? პასუხი ჯერჯერობით უცნობია. უფრო ზუსტად - არა, ცნობილია. "ოქროს მონაკვეთი" არის ეს, მეორეც და მესამეც. მხოლოდ არა ცალკე, არამედ ამავე დროს... და ეს არის მისი ნამდვილი საიდუმლო, მისი დიდი საიდუმლო.

ლიტერატურა:

Vilenkin N. Ya., Zhokhov V. I. და სხვები. მათემატიკა - 6. - M .: Mnemosyne, 2015 წ.
Korbalan F. ოქროს განყოფილება. სილამაზის მათემატიკური ენა. (მათემატიკის სამყარო T.1). - მ.: დეაგოსტინი, 2014 წ
Timerding G. E. ოქროს განყოფილება. - M.: Librokom, 2009 წ

საკვანძო სიტყვები: ოქროს თანაფარდობა, ოქროს პროპორციები, მეცნიერული ფენომენი.

Ანოტაცია: ოქროს თანაფარდობა სტრუქტურული ჰარმონიის უნივერსალური გამოვლინებაა. გვხვდება ბუნებაში, მეცნიერებაში, ხელოვნებაში - ყველაფერში, რასთანაც ადამიანს შეუძლია შეხება. სტატიის ავტორები იკვლევენ ლიტერატურას, პოულობენ კავშირებს ოქროს განყოფილებასთან დაკავშირებულ მეცნიერებებს შორის, ავლენენ ოქროს პროპორციების პრაქტიკულ მნიშვნელობას.

ოქროს რადიო- ეს არის სეგმენტის ისეთი პროპორციული დაყოფა არათანაბარ ნაწილებად, რომლებშიც პატარა სეგმენტი ეხება უფრო დიდ სეგმენტს ისევე, როგორც უფრო დიდი ყველაფერთან.

a:b = b:cან გ: ბ = ბ: ა.

ეს პროპორცია არის:

მაგალითად, ჩვეულებრივ ხუთქიმიან ვარსკვლავში, თითოეული სეგმენტი იყოფა სეგმენტით, რომელიც კვეთს მას ოქროს თანაფარდობით (ანუ ცისფერი სეგმენტის შეფარდება მწვანესთან, წითელ ლურჯთან, მწვანესთან იისფერთან, არის 1.618

ზოგადად მიღებულია, რომ პითაგორამ მეცნიერულ გამოყენებაში შემოიტანა ოქროს თანაფარდობის კონცეფცია. არსებობს ვარაუდი, რომ პითაგორამ ეგვიპტელებიდან და ბაბილონელებისაგან ისესხა თავისი ცოდნა. მართლაც, კეოპსის პირამიდის, ტაძრების, ბარელიეფების, საყოფაცხოვრებო ნივთებისა და დეკორაციების პროპორციები ტუტანხამონის საფლავიდან მიუთითებს იმაზე, რომ ეგვიპტელმა ხელოსნებმა მათი შექმნისას გამოიყენეს ოქროს განყოფილების თანაფარდობა.

1855 წელს ოქროს განყოფილების გერმანელმა მკვლევარმა, პროფესორმა ზაისინგმა გამოაქვეყნა მისი ნაშრომი "ესთეტიკური კვლევა".
ზეისინგმა გაზომა დაახლოებით ორი ათასი ადამიანის სხეული და მივიდა დასკვნამდე, რომ ოქროს თანაფარდობა გამოხატავს საშუალო სტატისტიკურ კანონს.

ოქროს პროპორციები ადამიანის სხეულის ნაწილებში

სხეულის დაყოფა ჭიპის წერტილით არის ოქროს თანაფარდობის ყველაზე მნიშვნელოვანი მაჩვენებელი. მამაკაცის სხეულის პროპორციები მერყეობს 13: 8 = 1.625 საშუალო თანაფარდობის ფარგლებში და უახლოვდება ოქროს თანაფარდობას ქალის სხეულის პროპორციებთან შედარებით, რომელთა მიმართ პროპორციის საშუალო მნიშვნელობა გამოიხატება 8: 5 თანაფარდობით. = 1.6.

ახალშობილში პროპორცია არის 1: 1, 13 წლის ასაკში 1,6, ხოლო 21 წლის ასაკში უდრის მამრს.
ოქროს მონაკვეთის პროპორციები ვლინდება სხეულის სხვა ნაწილებთან მიმართებაშიც - მხრის, წინამხრისა და ხელის სიგრძე, ხელი და თითები და ა.შ.
ცაისინგმა გამოსცადა თავისი თეორიის მართებულობა ბერძნულ ქანდაკებებზე. მან ყველაზე დეტალურად შეიმუშავა Apollo Belvedere-ის პროპორციები. კვლევას დაექვემდებარა ბერძნული ვაზები, სხვადასხვა ეპოქის არქიტექტურული ნაგებობები, მცენარეები, ცხოველები, ფრინველის კვერცხები, მუსიკალური ტონები, პოეტური მეტრი.

ზეისინგმა განსაზღვრა ოქროს თანაფარდობა, აჩვენა, თუ როგორ გამოიხატება ის ხაზების სეგმენტებში და რიცხვებში. როდესაც მიიღეს ფიგურები, რომლებიც გამოხატავენ სეგმენტების სიგრძეს, ზეისინგმა დაინახა, რომ ისინი შეადგენდნენ ფიბონაჩის სერია.

რიცხვების სერია 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 და ა.შ. ცნობილია როგორც ფიბონაჩის სერია. რიცხვთა თანმიმდევრობის თავისებურება ის არის, რომ მისი ყოველი წევრი მესამედან დაწყებული, უდრის წინა ორის ჯამს 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34 და ა.შ., ხოლო სერიის მიმდებარე რიცხვების თანაფარდობა უახლოვდება ოქროს გაყოფის თანაფარდობას.

ასე რომ, 21: 34 = 0.617 და 34: 55 = 0,618. (ან 1.618 დიდი რიცხვის მცირეზე გაყოფისას).

ფიბონაჩის სერიაშეიძლებოდა დარჩენილიყო მხოლოდ მათემატიკური ინციდენტი, რომ არა ის ფაქტი, რომ მცენარეთა და ცხოველთა სამყაროში ოქროს დაყოფის ყველა მკვლევარი, რომ აღარაფერი ვთქვათ ხელოვნებაში, უცვლელად მივიდნენ ამ სერიაში, როგორც ოქროს მონაკვეთის კანონის არითმეტიკული გამოხატულება.

ოქროს თანაფარდობა ხელოვნებაში

ჯერ კიდევ 1925 წელს, ხელოვნებათმცოდნე ლ. სხვა.ოქროს თანაფარდობა.

უფრო მეტიც, რაც უფრო ნიჭიერია კომპოზიტორი, მით მეტი ოქროს მონაკვეთი აღმოჩნდა მის შემოქმედებაში. არენსკში, ბეთჰოვენში, ბოროდინში, ჰაიდნში, მოცარტიში, სკრიაბინში, შოპენსა და შუბერტში ოქროს სექციები აღმოჩნდა ყველა ნამუშევრის 90%-ში. საბანეევის აზრით, ოქროს თანაფარდობა იწვევს მუსიკალური კომპოზიციის განსაკუთრებული ჰარმონიის შთაბეჭდილებას.

კინოში ს.ეიზენშტეინმა ხელოვნურად ააგო ფილმი საბრძოლო ხომალდი პოტიომკინი „ოქროს მონაკვეთის“ წესებით. მან დაარღვია ფირი ხუთ ნაწილად. პირველ სამში მოქმედება გემზე მიმდინარეობს. ბოლო ორში - ოდესაში, სადაც აჯანყება ვითარდება. ეს გადასვლა ქალაქში ხდება ზუსტად ოქროს თანაფარდობის წერტილში. დიახ, და თითოეულ ნაწილში არის გარდამტეხი წერტილი, რომელიც ხდება ოქროს მონაკვეთის კანონის მიხედვით.

ოქროს განყოფილება არქიტექტურაში, ქანდაკებაში, ფერწერაში

ძველი ბერძნული არქიტექტურის ერთ-ერთი ულამაზესი ნამუშევარია პართენონი (ძვ. წ. V ს.).

ფიგურებში ნაჩვენებია რამდენიმე ნიმუში, რომელიც დაკავშირებულია ოქროს თანაფარდობასთან. შენობის პროპორციები შეიძლება გამოიხატოს რიცხვის სხვადასხვა ხარისხით Ф = 0,618 ...

პართენონის იატაკის გეგმაზე ასევე შეგიძლიათ იხილოთ "ოქროს ოთხკუთხედები":

ჩვენ ვხედავთ ოქროს თანაფარდობას ღვთისმშობლის ტაძრის შენობაში (პარიზის ღვთისმშობლის ტაძრის ღვთისმშობლის ტაძრის ღვთისმშობლის ტაძრისა) და კეოპსის პირამიდაში:

არა მხოლოდ ეგვიპტური პირამიდები აშენდა ოქროს თანაფარდობის სრულყოფილი პროპორციების შესაბამისად; იგივე ფენომენი გვხვდება მექსიკის პირამიდებში.

ოქროს თანაფარდობა ბევრმა ძველმა მოქანდაკემ გამოიყენა. ცნობილია აპოლონ ბელვედერის ქანდაკების ოქროს პროპორცია: გამოსახული ადამიანის სიმაღლე იყოფა ოქროს კვეთში ჭიპის ხაზით.

მხატვრობაში "ოქროს მონაკვეთის" მაგალითებს რომ მივმართოთ, არ შეიძლება ყურადღება არ შეაჩეროთ ლეონარდო და ვინჩის შემოქმედებაზე. მოდით ყურადღებით დავაკვირდეთ ნახატს "La Gioconda". პორტრეტის კომპოზიცია დაფუძნებულია „ოქროს სამკუთხედებზე“.

ოქროს თანაფარდობა შრიფტებსა და საყოფაცხოვრებო ნივთებში

ოქროს თანაფარდობა ბუნებაში

აღმოჩნდა, რომ ფიბონაჩის რიცხვების რიცხვითი სერია ახასიათებს მრავალი ცოცხალი სისტემის სტრუქტურულ ორგანიზაციას. მაგალითად, ტოტზე სპირალური ფოთლის განლაგება არის ფრაქცია (ღეროზე შემობრუნების რაოდენობა/ფოთლების რაოდენობა ციკლში, მაგ. 2/5; 3/8; 5/13), რომელიც შეესაბამება ფიბონაჩის სერიას.

ვაშლის, მსხლის და მრავალი სხვა მცენარის ხუთფურცლიანი ყვავილების "ოქროს" პროპორცია კარგად არის ცნობილი. გენეტიკური კოდის მატარებლებს – დნმ-ისა და რნმ-ის მოლეკულებს აქვთ ორმაგი სპირალის სტრუქტურა; მისი ზომები თითქმის მთლიანად შეესაბამება ფიბონაჩის სერიის რიცხვებს.

გოეთე ხაზს უსვამდა ბუნების სპირალისკენ მიდრეკილებას.

ობობა თავის ქსელს სპირალისებურად ატრიალებს. ქარიშხალი სპირალურად ტრიალებს. ირმის შეშინებული ნახირი სპირალურად იფანტება.

გოეთემ სპირალს "სიცოცხლის მრუდი" უწოდა. სპირალი ჩანდა მზესუმზირის თესლების მოწყობაში, ფიჭვის გირჩებში, ანანასებში, კაქტუსებში და ა.შ.

მზესუმზირის ყვავილები და თესლი, გვირილა, ფანტელები ანანასის ნაყოფში, წიწვოვანი გირჩები "შეფუთულია" ლოგარითმულ ("ოქროს") სპირალებში, ხვეული ერთმანეთისკენ, ხოლო "მარჯვენა" და "მარცხნივ" სპირალების რიცხვი ყოველთვის ეხება ერთმანეთს. , როგორც ფიბონაჩის მეზობელი რიცხვები.

განვიხილოთ ვარდკაჭაჭას გასროლა. ძირითადი ღეროდან ჩამოყალიბდა ტოტი. აქ არის პირველი ფოთოლი. პროცესი ძლიერად აფრქვევს სივრცეში, ჩერდება, ათავისუფლებს ფოთოლს, მაგრამ უფრო მოკლეა ვიდრე პირველი, ისევ ახორციელებს განდევნას სივრცეში, მაგრამ ნაკლები ძალის მქონე, ათავისუფლებს კიდევ უფრო პატარა ფოთოლს და ისევ ამოფრქვევს.

თუ პირველი გამონაკლისი აღებულია 100 ერთეულით, მაშინ მეორე უდრის 62 ერთეულს, მესამე არის 38, მეოთხე არის 24 და ა.შ. ფურცლების სიგრძე ასევე ექვემდებარება ოქროს თანაფარდობას. ზრდაში, სივრცის დაპყრობისას, მცენარემ შეინარჩუნა გარკვეული პროპორციები. მისი ზრდის იმპულსები თანდათან მცირდებოდა ოქროს თანაფარდობის პროპორციულად.

ბევრ პეპელაში, სხეულის გულმკერდისა და მუცლის ნაწილების ზომის თანაფარდობა შეესაბამება ოქროს თანაფარდობას. ფრთების დაკეცვის შემდეგ ღამის პეპელა ქმნის რეგულარულ ტოლგვერდა სამკუთხედს. მაგრამ ღირს ფრთების გაშლა და თქვენ ნახავთ სხეულის 2,3,5,8-ად დაყოფის იგივე პრინციპს. ჭრიჭინა ასევე იქმნება ოქროს თანაფარდობის კანონების მიხედვით: კუდისა და სხეულის სიგრძის თანაფარდობა ტოლია მთლიანი სიგრძის კუდის სიგრძესთან.

ხვლიკში მისი კუდის სიგრძე დაკავშირებულია სხეულის დანარჩენი ნაწილის სიგრძესთან 62-დან 38-მდე. ოქროს პროპორციებს ხედავთ, თუ კარგად დააკვირდებით ფრინველის კვერცხს.

ვიქტორ ლავრუსი

ადამიანი ფორმის მიხედვით განასხვავებს მის გარშემო არსებულ ობიექტებს. საგნის სახით ინტერესი შესაძლოა სასიცოცხლო აუცილებლობით იყოს ნაკარნახევი, ან ფორმის სილამაზით იყოს გამოწვეული. ფორმა, რომელიც დაფუძნებულია სიმეტრიისა და ოქროს თანაფარდობის ერთობლიობაზე, ხელს უწყობს საუკეთესო ვიზუალურ აღქმას და სილამაზისა და ჰარმონიის განცდის გაჩენას. მთელი ყოველთვის შედგება ნაწილებისგან, სხვადასხვა ზომის ნაწილები გარკვეულ კავშირშია ერთმანეთთან და მთლიანთან. ოქროს მონაკვეთის პრინციპი არის მთელი და მისი ნაწილების სტრუქტურული და ფუნქციონალური სრულყოფის უმაღლესი გამოვლინება ხელოვნებაში, მეცნიერებაში, ტექნოლოგიასა და ბუნებაში.

ოქროს თანაფარდობა - ჰარმონიული პროპორცია

მათემატიკაში პროპორცია(ლათ. proportio) ვუწოდებთ ორი მიმართების ტოლობას: ა : ბ = გ : დ.

ხაზის სეგმენტი ABშეიძლება დაიყოს ორ ნაწილად შემდეგი გზით:

ორ თანაბარ ნაწილად AB : AC = AB : მზე;

ორ არათანაბარ ნაწილად ნებისმიერი თანაფარდობით (ასეთი ნაწილები არ ქმნიან პროპორციებს);

ასე როდის AB : AC = AC : მზე.

ეს უკანასკნელი არის ოქროს გაყოფა ან სეგმენტის დაყოფა უკიდურეს და საშუალო თანაფარდობაში.

ოქროს მონაკვეთი არის სეგმენტის ასეთი პროპორციული დაყოფა არათანაბარ ნაწილებად, რომელშიც მთელი სეგმენტი ეხება უფრო დიდ ნაწილს ისევე, როგორც თავად უფრო დიდი ნაწილი ეხება პატარას; ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, უფრო მცირე სეგმენტი დაკავშირებულია უფრო დიდთან, როგორც უფრო დიდი არის ყველაფერთან

ა : ბ = ბ : გან თან : ბ = ბ : ა.

ბრინჯი. ერთი.ოქროს კვეთის გეომეტრიული გამოსახულება

ოქროს თანაფარდობის პრაქტიკული გაცნობა იწყება სწორი ხაზის სეგმენტის ოქროს თანაფარდობაზე დაყოფით კომპასისა და მმართველის გამოყენებით.

ბრინჯი. 2.ხაზის სეგმენტის დაყოფა ოქროს კვეთის მიხედვით. ძვ.წ = 1/2 AB; CD = ძვ.წ

წერტილიდან ATპერპენდიკულარი აღდგება ნახევრის ტოლი AB. მიღებული ქულა თანხაზით უკავშირდება წერტილს მაგრამ. მიღებულ ხაზზე დახატულია სეგმენტი მზეწერტილით დამთავრებული დ. ხაზის სეგმენტი ახ.წგადატანილია სწორ ხაზზე AB. შედეგად მიღებული წერტილი ეყოფს სეგმენტს ABოქროს თანაფარდობაში.

ოქროს თანაფარდობის სეგმენტები გამოიხატება უსასრულო ირაციონალური წილადით AE= 0.618... თუ ABმიიღოს როგორც ერთეული BE\u003d 0.382 ... პრაქტიკული მიზნებისთვის ხშირად გამოიყენება 0.62 და 0.38 სავარაუდო მნიშვნელობები. თუ სეგმენტი ABაღებულია როგორც 100 ნაწილი, მაშინ სეგმენტის უდიდესი ნაწილი არის 62, ხოლო პატარა არის 38 ნაწილი.

ოქროს მონაკვეთის თვისებები აღწერილია განტოლებით:

x 2 - x - 1 = 0.

ამ განტოლების ამოხსნა:

ოქროს მონაკვეთის თვისებებმა შექმნა საიდუმლოების რომანტიული აურა და თითქმის მისტიური თაყვანისცემა ამ რიცხვის გარშემო.

მეორე ოქროს თანაფარდობა

ბულგარულ ჟურნალში „სამშობლო“ (No10, 1983 წ.) გამოქვეყნდა ცვეტან ცეკოვ-კარანდაშის სტატია „მეორე ოქროს მონაკვეთზე“, რომელიც მომდინარეობს მთავარი განყოფილებიდან და იძლევა განსხვავებულ თანაფარდობას 44:56.

ასეთი პროპორცია გვხვდება არქიტექტურაში და ასევე ხდება წაგრძელებული ჰორიზონტალური ფორმატის გამოსახულების კომპოზიციების მშენებლობაში.

ბრინჯი. 3.მეორე ოქროს მონაკვეთის მშენებლობა

გაყოფა ხორციელდება შემდეგნაირად (იხ. სურ. 3). ხაზის სეგმენტი ABიყოფა ოქროს კვეთის მიხედვით. წერტილიდან თანპერპენდიკულარი აღდგენილია CD. რადიუსი ABარის წერტილი დ, რომელიც დაკავშირებულია წრფით წერტილთან მაგრამ. მართი კუთხე ACDგაყოფილია ნახევრად. წერტილიდან თანხაზი იხაზება მანამ, სანამ არ გადაიკვეთება წრფესთან ახ.წ. Წერტილი ეყოფს სეგმენტს ახ.წ 56:44-თან მიმართებაში.

ბრინჯი. 4.მართკუთხედის დაყოფა მეორე ოქროს კვეთის წრფეზე

ნახ. 4 გვიჩვენებს მეორე ოქროს მონაკვეთის ხაზის პოზიციას. იგი მდებარეობს შუაში ოქროს მონაკვეთის ხაზსა და ოთხკუთხედის შუა ხაზს შორის.

ოქროს სამკუთხედი

აღმავალი და დაღმავალი სერიის ოქროს თანაფარდობის სეგმენტების მოსაძებნად შეგიძლიათ გამოიყენოთ პენტაგრამა.

ბრინჯი. 5.რეგულარული ხუთკუთხედის და პენტაგრამის აგება

პენტაგრამის ასაგებად, თქვენ უნდა ააგოთ ჩვეულებრივი პენტაგონი. მისი აგების მეთოდი შეიმუშავა გერმანელმა მხატვარმა და გრაფიკოსმა ალბრეხტ დიურერმა (1471...1528). დაე იყოს ო- წრის ცენტრი ა- წერტილი წრეზე და ე- სეგმენტის შუაში OA. რადიუსზე პერპენდიკულარული OA, აღდგენილია პუნქტში ო, კვეთს წრეს წერტილში დ. კომპასის გამოყენებით, გამოყავით სეგმენტი დიამეტრზე CE = ედ. წრეში ჩაწერილი რეგულარული ხუთკუთხედის გვერდის სიგრძე არის DC. წრეზე სეგმენტების დადება DCდა მიიღეთ ხუთი ქულა რეგულარული ხუთკუთხედის გამოსახაზავად. ხუთკუთხედის კუთხეებს ერთი დიაგონალის საშუალებით ვაკავშირებთ და ვიღებთ პენტაგრამას. პენტაგონის ყველა დიაგონალი ერთმანეთს ყოფს ოქროს თანაფარდობით დაკავშირებულ სეგმენტებად.

ხუთკუთხა ვარსკვლავის ყოველი ბოლო არის ოქროს სამკუთხედი. მისი გვერდები ზევით ქმნიან 36°-იან კუთხეს, გვერდზე დაგებული ძირი კი მას ოქროს მონაკვეთის პროპორციულად ყოფს.

ბრინჯი. 6.ოქროს სამკუთხედის აგება

ჩვენ ვხატავთ სწორ ხაზს AB. წერტილიდან მაგრამდაასხით მასზე სეგმენტი სამჯერ ოთვითნებური მნიშვნელობა, მიღებული წერტილის მეშვეობით რდახაზეთ წრფის პერპენდიკულარი AB, წერტილის მარჯვნივ და მარცხნივ პერპენდიკულარზე რგამოვყოთ სეგმენტები ო. მიღებული ქულები დდა დ 1 დააკავშირეთ სწორი ხაზებით წერტილამდე მაგრამ. ხაზის სეგმენტი დ.დ 1 გამოყავით ხაზზე რეკლამა 1, ქულის მიღება თან. მან ხაზი გაყო რეკლამა 1 ოქროს თანაფარდობის პროპორციულად. ხაზები რეკლამა 1 და დ.დ 1 გამოიყენება "ოქროს" მართკუთხედის ასაგებად.

ოქროს კვეთის ისტორია

ზოგადად მიღებულია, რომ ოქროს დაყოფის ცნება მეცნიერულ გამოყენებაში შემოიღო პითაგორამ, ძველმა ბერძენმა ფილოსოფოსმა და მათემატიკოსმა (ძვ. წ. VI ს.). არსებობს ვარაუდი, რომ პითაგორამ ისესხა თავისი ცოდნა ოქროს განყოფილების შესახებ ეგვიპტელებისა და ბაბილონელებისგან. მართლაც, კეოპსის პირამიდის, ტაძრების, ბარელიეფების, საყოფაცხოვრებო ნივთებისა და დეკორაციების პროპორციები ტუტანხამონის საფლავიდან მიუთითებს იმაზე, რომ ეგვიპტელმა ხელოსნებმა მათი შექმნისას გამოიყენეს ოქროს განყოფილების თანაფარდობა. ფრანგმა არქიტექტორმა ლე კორბუზიემ აღმოაჩინა, რომ აბიდოსში ფარაონ სეტი I-ის ტაძრის რელიეფში და ფარაონ რამზესზე გამოსახულ რელიეფში, ფიგურების პროპორციები შეესაბამება ოქროს განყოფილების მნიშვნელობებს. მისი სახელობის სამარხის ხის დაფის რელიეფზე გამოსახულ ხუროთმოძღვარს ხესირას ხელში საზომი ხელსაწყოები უჭირავს, რომლებშიც ოქროს განყოფილების პროპორციებია დაფიქსირებული.

ბერძნები გამოცდილი გეომეტრები იყვნენ. არითმეტიკასაც კი ასწავლიდნენ შვილებს გეომეტრიული ფიგურების დახმარებით. პითაგორას კვადრატი და ამ კვადრატის დიაგონალი იყო საფუძველი დინამიური მართკუთხედების აგებისთვის.

ბრინჯი. 7.დინამიური ოთხკუთხედები

ოქროს დაყოფის შესახებ იცოდა პლატონმაც (ძვ. წ. 427... 347 წ.). მისი დიალოგი „ტიმეოსი“ ეძღვნება პითაგორას სკოლის მათემატიკურ და ესთეტიკურ შეხედულებებს და, კერძოდ, ოქროს დაყოფის საკითხებს.

პართენონის ძველი ბერძნული ტაძრის ფასადზე ოქროს პროპორციებია. მისი გათხრების დროს აღმოჩნდა კომპასები, რომლებსაც ანტიკური სამყაროს არქიტექტორები და მოქანდაკეები იყენებდნენ. პომპეის კომპასი (მუზეუმი ნეაპოლში) ასევე შეიცავს ოქროს განყოფილების პროპორციებს.

ბრინჯი. რვა.ანტიკური ოქროს თანაფარდობის კომპასები

ჩვენამდე მოღწეულ უძველეს ლიტერატურაში ოქროს დაყოფა პირველად მოიხსენიება ევკლიდეს ელემენტებში. „დასაწყისების“ მე-2 წიგნში მოცემულია ოქროს დაყოფის გეომეტრიული კონსტრუქცია.ევკლიდეს შემდეგ ოქროს დაყოფის შესწავლით დაკავდნენ ჰიფსიკლე (ძვ. წ. II ს.), პაპუსი (ახ. წ. III ს.) და სხვები. შუა საუკუნეების ევროპაში. ოქროს განყოფილებით ჩვენ შევხვდით ევკლიდეს ელემენტების არაბული თარგმანების მეშვეობით. თარგმანს გამოეხმაურა მთარგმნელი ჯ.კამპანო ნავარიდან (III საუკუნე). ოქროს სამმართველოს საიდუმლოებებს ეჭვიანობით იცავდნენ, მკაცრ საიდუმლოდ ინახავდნენ. მათ მხოლოდ ინიციატორებმა იცნობდნენ.

რენესანსის პერიოდში მეცნიერებსა და მხატვრებს შორის ოქროს დაყოფისადმი ინტერესი გაიზარდა მის გამოყენებასთან დაკავშირებით როგორც გეომეტრიაში, ასევე ხელოვნებაში, განსაკუთრებით არქიტექტურაში ლეონარდო და ვინჩი, მხატვარი და მეცნიერი, ხედავდა, რომ იტალიელ მხატვრებს ჰქონდათ დიდი ემპირიული გამოცდილება, მაგრამ მცირე ცოდნა. . მან ჩაფიქრდა და დაიწყო გეომეტრიის შესახებ წიგნის წერა, მაგრამ ამ დროს გამოჩნდა ბერი ლუკა პაჩიოლის წიგნი და ლეონარდომ მიატოვა თავისი იდეა. თანამედროვეთა და მეცნიერების ისტორიკოსების აზრით, ლუკა პაჩიოლი იყო ნამდვილი მნათობი, უდიდესი მათემატიკოსი იტალიაში ფიბონაჩისა და გალილეოს შორის. ლუკა პაჩიოლი იყო მხატვრის პიერო დელა ფრანჩესკას სტუდენტი, რომელმაც დაწერა ორი წიგნი, რომელთაგან ერთს ერქვა პერსპექტივა ფერწერაში. იგი ითვლება აღწერითი გეომეტრიის შემქმნელად.

ლუკა პაჩიოლიმ კარგად იცოდა მეცნიერების მნიშვნელობა ხელოვნებისთვის. 1496 წელს მოროს ჰერცოგის მიწვევით მილანში ჩავიდა, სადაც მათემატიკის ლექციებს კითხულობდა. ლეონარდო და ვინჩი იმ დროს მილანის მოროს სასამართლოშიც მუშაობდა. 1509 წელს ვენეციაში გამოქვეყნდა ლუკა პაჩიოლის ღვთაებრივი პროპორცია, ბრწყინვალედ შესრულებული ილუსტრაციებით, რის გამოც ისინი ითვლება ლეონარდო და ვინჩის მიერ. წიგნი იყო ენთუზიაზმით სავსე ჰიმნი ოქროს თანაფარდობასთან. ოქროს თანაფარდობის მრავალ უპირატესობას შორის, ბერმა ლუკა პაჩიოლიმ არ დაასახელა მისი „ღვთაებრივი არსი“, როგორც ძე ღმერთის, მამა ღმერთისა და სულიწმიდა ღმერთის ღვთაებრივი სამების გამოხატულება (გაიგეს, რომ მცირე სეგმენტი არის ძე ღმერთის პერსონიფიკაცია, უფრო დიდი სეგმენტი არის მამა ღმერთის პერსონიფიკაცია და მთელი სეგმენტი - სულიწმიდის ღმერთი).

ლეონარდო და ვინჩიმ ასევე დიდი ყურადღება დაუთმო ოქროს განყოფილების შესწავლას. მან შექმნა სტერეომეტრიული სხეულის სექციები, რომლებიც წარმოიქმნება რეგულარული ხუთკუთხედებით და ყოველ ჯერზე იღებდა ოთხკუთხედებს ოქროს დაყოფით. ამიტომ მან ამ განყოფილებას სახელი დაარქვა ოქროს რადიო. ასე რომ, ის კვლავ ყველაზე პოპულარულია.

პარალელურად ჩრდილოეთ ევროპაში, გერმანიაში, იმავე პრობლემებზე მუშაობდა ალბრეხტ დიურერი. იგი ასახავს შესავალს პროპორციების შესახებ ტრაქტატის პირველ პროექტში. წერს დიურერი. „აუცილებელია, ვინც რაღაც იცის, უნდა ასწავლოს ის სხვებს, ვისაც ეს სჭირდება. ეს არის ის, რისი გაკეთებაც მე დავაპირე."

დიურერის ერთ-ერთი წერილით თუ ვიმსჯელებთ, ის შეხვდა ლუკა პაჩიოლის იტალიაში ყოფნის დროს. ალბრეხტ დიურერი დეტალურად ავითარებს ადამიანის სხეულის პროპორციების თეორიას. დიურერმა თავისი შეფარდების სისტემაში მნიშვნელოვანი ადგილი დაუთმო ოქროს მონაკვეთს. ადამიანის სიმაღლე ოქროს პროპორციებად იყოფა ქამრის ხაზით, აგრეთვე დაშვებული ხელების შუა თითების წვერებით გავლებული ხაზით, სახის ქვედა ნაწილი - პირით და ა.შ. ცნობილი პროპორციული კომპასი დიურერი.

XVI საუკუნის დიდი ასტრონომი იოჰანეს კეპლერმა ოქროს თანაფარდობა გეომეტრიის ერთ-ერთ საგანძურს უწოდა. მან პირველმა გაამახვილა ყურადღება ბოტანიკის ოქროს თანაფარდობის მნიშვნელობაზე (მცენარეთა ზრდა და სტრუქტურა).

კეპლერმა ოქროს თანაფარდობა თავისთავად უწოდა: „ისეა მოწყობილი, - წერდა ის, - რომ ამ უსასრულო პროპორციის ორი უმცროსი წევრი ემატება მესამე წევრს და ნებისმიერი ორი ბოლო წევრი, თუ ერთად დავამატებთ, იძლევა შემდეგი ტერმინი და იგივე პროპორცია რჩება უსასრულობამდე."

ოქროს თანაფარდობის სეგმენტების სერიის აგება შეიძლება განხორციელდეს როგორც გაზრდის (მზარდი სერია) ასევე შემცირების მიმართულებით (დაღმავალი სერია).

თუ თვითნებური სიგრძის სწორ ხაზზეა, გადადეთ სეგმენტი მ, გვერდზე გადადეთ სეგმენტი მ. ამ ორ სეგმენტზე დაყრდნობით ჩვენ ვქმნით აღმავალი და დაღმავალი სერიების ოქროს პროპორციის სეგმენტების სკალას.

ბრინჯი. ცხრა.ოქროს თანაფარდობის სეგმენტების მასშტაბის აგება

მომდევნო საუკუნეებში ოქროს თანაფარდობის წესი გადაიქცა აკადემიურ კანონად და როცა დროთა განმავლობაში ხელოვნებაში ბრძოლა დაიწყო აკადემიურ რუტინასთან, ბრძოლის სიცხეში, „ბავშვიც წყალთან ერთად გადააგდეს. ” ოქროს მონაკვეთი კვლავ "აღმოჩენილია" მე-19 საუკუნის შუა ხანებში. 1855 წელს ოქროს მონაკვეთის გერმანელმა მკვლევარმა, პროფესორმა ზაისინგმა გამოაქვეყნა თავისი ნაშრომი ესთეტიკური კვლევა. ზეისინგის შემთხვევაში, ზუსტად ის, რაც მოხდა, აუცილებლად უნდა მომხდარიყო მკვლევართან, რომელიც ფენომენს ასეთად განიხილავს, სხვა ფენომენებთან კავშირის გარეშე. მან აბსოლუტირება მოახდინა ოქროს მონაკვეთის პროპორციაში, გამოაცხადა იგი უნივერსალური ბუნებისა და ხელოვნების ყველა ფენომენისთვის. ზაისინგს უამრავი მიმდევარი ჰყავდა, მაგრამ იყვნენ მოწინააღმდეგეებიც, რომლებიც პროპორციების შესახებ მის დოქტრინას "მათემატიკურ ესთეტიკად" აცხადებდნენ.

ბრინჯი. ათი.ოქროს პროპორციები ადამიანის სხეულის ნაწილებში

ზეისინგმა შესანიშნავი სამუშაო შეასრულა. მან გაზომა დაახლოებით ორი ათასი ადამიანის სხეული და მივიდა დასკვნამდე, რომ ოქროს თანაფარდობა გამოხატავს საშუალო სტატისტიკურ კანონს. სხეულის დაყოფა ჭიპის წერტილით არის ოქროს თანაფარდობის ყველაზე მნიშვნელოვანი მაჩვენებელი. მამაკაცის სხეულის პროპორციები მერყეობს 13: 8 = 1.625 საშუალო თანაფარდობის ფარგლებში და უახლოვდება ოქროს თანაფარდობას ქალის სხეულის პროპორციებთან შედარებით, რომელთა მიმართ პროპორციის საშუალო მნიშვნელობა გამოიხატება 8: 5 თანაფარდობით. = 1.6. ახალშობილში პროპორცია არის 1: 1, 13 წლის ასაკში 1,6, ხოლო 21 წლის ასაკში უდრის მამრს. ოქროს მონაკვეთის პროპორციები ვლინდება სხეულის სხვა ნაწილებთან მიმართებაშიც - მხრის, წინამხრისა და ხელის სიგრძე, ხელი და თითები და ა.შ.

ბრინჯი. თერთმეტი.ოქროს პროპორციები ადამიანის ფიგურაში

ცაისინგმა გამოსცადა თავისი თეორიის მართებულობა ბერძნულ ქანდაკებებზე. მან ყველაზე დეტალურად შეიმუშავა Apollo Belvedere-ის პროპორციები. კვლევას დაექვემდებარა ბერძნული ვაზები, სხვადასხვა ეპოქის არქიტექტურული ნაგებობები, მცენარეები, ცხოველები, ფრინველის კვერცხები, მუსიკალური ტონები, პოეტური მეტრი. ზეისინგმა განსაზღვრა ოქროს თანაფარდობა, აჩვენა, თუ როგორ გამოიხატება ის ხაზების სეგმენტებში და რიცხვებში. როდესაც მიიღეს ფიგურები, რომლებიც გამოხატავენ სეგმენტების სიგრძეს, ზეისინგმა დაინახა, რომ ისინი შეადგენდნენ ფიბონაჩის სერიას, რომელიც შეიძლება გაგრძელდეს განუსაზღვრელი ვადით ერთი მიმართულებით და მეორე მიმართულებით. მის მომდევნო წიგნს ერქვა „ოქროს დაყოფა, როგორც ძირითადი მორფოლოგიური კანონი ბუნებასა და ხელოვნებაში“. 1876 წელს რუსეთში გამოიცა პატარა წიგნი, თითქმის ბროშურა, რომელშიც ასახულია ზაიზინგის შემოქმედება. ავტორმა თავი შეაფარა ინიციალებს Yu.F.V. ამ გამოცემაში არც ერთი ნახატი არ არის ნახსენები.

XIX საუკუნის ბოლოს - XX საუკუნის დასაწყისში. გაჩნდა უამრავი წმინდა ფორმალისტური თეორია ხელოვნებისა და არქიტექტურის ნაწარმოებებში ოქროს მონაკვეთის გამოყენების შესახებ. დიზაინისა და ტექნიკური ესთეტიკის განვითარებით, ოქროს თანაფარდობის კანონი გავრცელდა მანქანების, ავეჯის დიზაინზე და ა.შ.

ფიბონაჩის სერია

იტალიელი მათემატიკოსის ბერის ლეონარდოს სახელი პიზადან, უფრო ცნობილი როგორც ფიბონაჩი (ბონაჩის შვილი), ირიბად უკავშირდება ოქროს კვეთის ისტორიას. მან ბევრი იმოგზაურა აღმოსავლეთში, გააცნო ევროპას ინდური (არაბული) ციფრები. 1202 წელს გამოიცა მისი მათემატიკური ნაშრომი აბაკუსის წიგნი (დამთვლელი დაფა), რომელშიც თავმოყრილია იმ დროისთვის ცნობილი ყველა პრობლემა. ერთ-ერთ დავალებაზე ეწერა "რამდენი წყვილი კურდღელი დაიბადება ერთი წყვილიდან ერთ წელიწადში". ამ თემაზე ფიქრით, ფიბონაჩიმ შექმნა რიცხვების შემდეგი სერია:

რიცხვების სერია 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 და ა.შ. ცნობილია როგორც ფიბონაჩის სერია. რიცხვთა თანმიმდევრობის თავისებურება ისაა, რომ მისი ყოველი წევრი, მესამედან დაწყებული, უდრის წინა ორი 2 + 3 = 5-ის ჯამს; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34 და ა.შ., ხოლო სერიის მიმდებარე რიცხვების თანაფარდობა უახლოვდება ოქროს გაყოფის თანაფარდობას. ასე რომ, 21:34 = 0.617 და 34:55 = 0.618. ეს ურთიერთობა სიმბოლურია ფ. მხოლოდ ეს თანაფარდობა - 0,618: 0,382 - იძლევა სწორი ხაზის სეგმენტის უწყვეტ დაყოფას ოქროს თანაფარდობაში, მის მატებას ან კლებას უსასრულობამდე, როდესაც პატარა სეგმენტი დაკავშირებულია უფრო დიდთან, როგორც უფრო დიდია ყველაფერთან.

ფიბონაჩი ასევე ეხებოდა ვაჭრობის პრაქტიკულ მოთხოვნილებებს: რა არის წონის ყველაზე მცირე რაოდენობა, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას საქონლის ასაწონად? ფიბონაჩი ამტკიცებს, რომ წონების შემდეგი სისტემა ოპტიმალურია: 1, 2, 4, 8, 16...

განზოგადებული ოქროს თანაფარდობა

ფიბონაჩის სერია შეიძლებოდა დარჩენილიყო მხოლოდ მათემატიკურ ინციდენტად, რომ არა ის ფაქტი, რომ მცენარეთა და ცხოველთა სამყაროში ოქროს დაყოფის ყველა მკვლევარი, რომ აღარაფერი ვთქვათ ხელოვნებაზე, უცვლელად მივიდნენ ამ სერიაში, როგორც ოქროს გაყოფის კანონის არითმეტიკული გამოხატულება. .

მეცნიერებმა განაგრძეს ფიბონაჩის რიცხვების თეორიისა და ოქროს თანაფარდობის აქტიური განვითარება. იუ მათიასევიჩი ხსნის ჰილბერტის მე-10 ამოცანას ფიბონაჩის რიცხვების გამოყენებით. არსებობს მრავალი კიბერნეტიკური პრობლემის გადაჭრის ელეგანტური მეთოდები (ძიების თეორია, თამაშები, პროგრამირება) ფიბონაჩის ნომრებისა და ოქროს მონაკვეთის გამოყენებით. აშშ-ში იქმნება მათემატიკური ფიბონაჩის ასოციაციაც კი, რომელიც 1963 წლიდან აქვეყნებს სპეციალურ ჟურნალს.

ამ სფეროში ერთ-ერთი მიღწევაა განზოგადებული ფიბონაჩის რიცხვების და განზოგადებული ოქროს თანაფარდობების აღმოჩენა.

ფიბონაჩის სერიები (1, 1, 2, 3, 5, 8) და მის მიერ აღმოჩენილი წონების 1, 2, 4, 8, 16 რიგის „ორობითი“... ერთი შეხედვით სრულიად განსხვავებულია. მაგრამ მათი აგების ალგორითმები ძალიან ჰგავს ერთმანეთს: პირველ შემთხვევაში, თითოეული რიცხვი არის წინა რიცხვის ჯამი თავისთავად 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., მეორეში - ეს არის ორი წინა რიცხვის ჯამი 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... შესაძლებელია თუ არა იპოვონ ზოგადი მათემატიკური ფორმულა, საიდანაც "ორობითი სერია და ფიბონაჩის სერია? ან იქნებ ეს ფორმულა მოგვცემს ახალ ციფრულ სიმრავლეს ახალი უნიკალური თვისებებით?

მართლაც, მოდით დავაყენოთ რიცხვითი პარამეტრი ს, რომელსაც შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა: 0, 1, 2, 3, 4, 5... განვიხილოთ რიცხვების სერია, ს+ 1 რომლის პირველი წევრი არის ერთეული, ხოლო ყოველი მომდევნო უდრის წინას ორი წევრისა და წინა წევრის ჯამის ჯამს, რომელიც გამოყოფილია წინადან სნაბიჯები. Თუ ნჩვენ აღვნიშნავთ ამ სერიის მე-6 წევრს φ S-ით ( ნ), შემდეგ ვიღებთ ზოგად ფორმულას φ S ( ნ) = φ S ( ნ- 1) + φ S ( ნ - ს - 1).

აშკარაა, რომ ზე ს= 0 ამ ფორმულიდან ვიღებთ "ორობით" სერიას, თან ს= 1 - ფიბონაჩის სერია, თან ს\u003d 2, 3, 4. რიცხვების ახალი სერია, რომლებიც იწოდება ს-ფიბონაჩის რიცხვები.

საერთოდ ოქრო ს-პროპორცია არის ოქროს განტოლების დადებითი ფესვი ს-სექციები x S+1 - x S - 1 = 0.

ადვილია იმის ჩვენება, რომ როდის ს= 0, ვიღებთ სეგმენტის გაყოფას შუაზე და როდის ს= 1 - ნაცნობი კლასიკური ოქროს თანაფარდობა.

მეზობლების ურთიერთობა ს-ფიბონაჩის რიცხვები აბსოლუტური მათემატიკური სიზუსტით ემთხვევა ლიმიტს ოქროს ს- პროპორციები! მათემატიკოსები ასეთ შემთხვევებში ამბობენ, რომ ოქრო ს-სექციები რიცხვითი უცვლელია ს-ფიბონაჩის რიცხვები.

ოქროს არსებობის დამადასტურებელი ფაქტები ს- სექციები ბუნებაში, ბელორუსელმა მეცნიერმა ე.მ. სოროკო წიგნში "სისტემების სტრუქტურული ჰარმონია" (მინსკი, "მეცნიერება და ტექნოლოგია", 1984). გამოდის, რომ, მაგალითად, კარგად შესწავლილ ორობით შენადნობებს აქვთ სპეციალური, გამოხატული ფუნქციური თვისებები (თერმულად სტაბილური, მყარი, აცვიათ მდგრადი, დაჟანგვისადმი მდგრადი და ა.შ.) მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ საწყისი კომპონენტების სპეციფიკური წონა დაკავშირებულია ერთმანეთთან. ერთი ოქროს მიერ ს- პროპორციები. ამან ავტორს საშუალება მისცა წამოეყენებინა ჰიპოთეზა, რომ ოქრო ს-სექციები არის თვითორგანიზებული სისტემების რიცხვითი ინვარიანტები. ექსპერიმენტულად დადასტურებული ამ ჰიპოთეზას შეიძლება ჰქონდეს ფუნდამენტური მნიშვნელობა სინერგეტიკის განვითარებისთვის - მეცნიერების ახალი სფერო, რომელიც სწავლობს პროცესებს თვითორგანიზებულ სისტემებში.

ოქროს კოდებით ს- პროპორციებს შეუძლიათ გამოხატონ ნებისმიერი რეალური რიცხვი, როგორც ოქროს გრადუსების ჯამი ს-პროპორციები მთელი რიცხვების კოეფიციენტებით.

რიცხვების კოდირების ამ მეთოდს შორის ფუნდამენტური განსხვავება ისაა, რომ ახალი კოდების საფუძვლები ოქროსფერია ს- პროპორციები, ს> 0 აღმოჩნდება ირაციონალური რიცხვები. ამრიგად, ირაციონალური საფუძვლების მქონე ახალი რიცხვითი სისტემები, როგორც ეს იყო, რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვებს შორის ურთიერთობის ისტორიულად ჩამოყალიბებულ იერარქიას „თავდაყირა“ აყენებდა. ფაქტია, რომ თავიდან ნატურალური რიცხვები „აღმოაჩინეს“; მაშინ მათი შეფარდება რაციონალური რიცხვია. და მხოლოდ მოგვიანებით - მას შემდეგ, რაც პითაგორელებმა აღმოაჩინეს შეუდარებელი სეგმენტები - გამოჩნდა ირაციონალური რიცხვები. მაგალითად, ათობითი, კვინარულ, ორობით და სხვა კლასიკურ პოზიციურ რიცხვთა სისტემებში ნატურალური რიცხვები - 10, 5, 2 - აირჩიეს ერთგვარ ფუნდამენტურ პრინციპად, საიდანაც ყველა სხვა ნატურალური რიცხვი, ისევე როგორც რაციონალური და ირაციონალური რიცხვები, იყო შერჩეული. აგებულია გარკვეული წესების მიხედვით.

ნუმერაციის არსებული მეთოდების ერთგვარი ალტერნატივა არის ახალი, ირაციონალური სისტემა, როგორც ფუნდამენტური პრინციპი, რომლის დასაწყისი არჩეულია ირაციონალურ რიცხვად (რომელიც, შეგახსენებთ, არის ოქროს მონაკვეთის განტოლების ფესვი); სხვა რეალური რიცხვები უკვე გამოხატულია მისი მეშვეობით.

ასეთ რიცხვთა სისტემაში ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი ყოველთვის წარმოდგენილია როგორც სასრული რიცხვი - და არა უსასრულო, როგორც ადრე ეგონათ! - ნებისმიერი ოქროს ხარისხების ჯამები ს- პროპორციები. ეს არის ერთ-ერთი მიზეზი, რის გამოც „ირაციონალურმა“ არითმეტიკამ, რომელსაც აქვს საოცარი მათემატიკური სიმარტივე და ელეგანტურობა, თითქოს შთანთქა კლასიკური ორობითი და „ფიბონაჩის“ არითმეტიკის საუკეთესო თვისებები.

ბუნებაში ჩამოყალიბების პრინციპები

ყველაფერი, რაც რაღაც ფორმას იღებდა, ჩამოყალიბდა, იზრდებოდა, ცდილობდა ადგილი დაეკავებინა სივრცეში და შეენარჩუნებინა თავი. ეს მისწრაფება რეალიზებას ძირითადად ორ ვარიანტში ჰპოვებს - აღმავალი ზრდა ან დედამიწის ზედაპირზე გავრცელება და სპირალურად გადახვევა.

ჭურვი ხვეულია სპირალურად. თუ გაშლით, გველის სიგრძეზე ოდნავ ჩამოუვარდება სიგრძეს. პატარა ათი სანტიმეტრიან გარსს აქვს 35 სმ სიგრძის სპირალი.სპირალები ბუნებაში ძალიან გავრცელებულია. ოქროს თანაფარდობის კონცეფცია არასრული იქნება, თუ არ ვიტყვით სპირალზე.

ბრინჯი. 12.არქიმედეს სპირალი

სპირალურად დახვეული ჭურვის ფორმამ არქიმედეს ყურადღება მიიპყრო. მან შეისწავლა და გამოიტანა სპირალის განტოლება. ამ განტოლების მიხედვით დახატულ სპირალს მისი სახელი ჰქვია. მისი ნაბიჯის ზრდა ყოველთვის ერთგვაროვანია. ამჟამად არქიმედეს სპირალი ფართოდ გამოიყენება ინჟინერიაში.

გოეთეც კი ხაზს უსვამდა ბუნების სპირალურობისკენ მიდრეკილებას. ხის ტოტებზე ფოთლების სპირალური და სპირალური განლაგება დიდი ხნის წინ შენიშნეს. სპირალი ჩანდა მზესუმზირის თესლების მოწყობაში, ფიჭვის გირჩებში, ანანასებში, კაქტუსებში და ა.შ. ბოტანიკოსებისა და მათემატიკოსების ერთობლივმა მუშაობამ ნათელი მოჰფინა ამ საოცარ ბუნებრივ მოვლენებს. აღმოჩნდა, რომ ტოტზე ფოთლების მოწყობისას (ფილოტაქსისი), მზესუმზირის თესლი, ფიჭვის გირჩები ვლინდება ფიბონაჩის სერია და, შესაბამისად, იჩენს თავს ოქროს მონაკვეთის კანონი. ობობა თავის ქსელს სპირალისებურად ატრიალებს. ქარიშხალი სპირალურად ტრიალებს. ირმის შეშინებული ნახირი სპირალურად იფანტება. დნმ-ის მოლეკულა გრეხილია ორმაგ სპირალში. გოეთემ სპირალს "სიცოცხლის მრუდი" უწოდა.

გზისპირა ბალახეულებს შორის არაჩვეულებრივი მცენარე ხარობს - ვარდკაჭაჭა. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ მას. ძირითადი ღეროდან ჩამოყალიბდა ტოტი. აქ არის პირველი ფოთოლი.

ბრინჯი. ცამეტი.ვარდკაჭაჭა

პროცესი ძლიერად აფრქვევს სივრცეში, ჩერდება, ათავისუფლებს ფოთოლს, მაგრამ უფრო მოკლეა ვიდრე პირველი, ისევ ახორციელებს განდევნას სივრცეში, მაგრამ ნაკლები ძალის მქონე, ათავისუფლებს კიდევ უფრო პატარა ფოთოლს და ისევ ამოფრქვევს. თუ პირველი გამონაკლისი აღებულია 100 ერთეულით, მაშინ მეორე არის 62 ერთეული, მესამე არის 38, მეოთხე არის 24 და ა.შ. ფურცლების სიგრძე ასევე ექვემდებარება ოქროს თანაფარდობას. ზრდაში, სივრცის დაპყრობისას, მცენარემ შეინარჩუნა გარკვეული პროპორციები. მისი ზრდის იმპულსები თანდათან მცირდებოდა ოქროს თანაფარდობის პროპორციულად.

ბრინჯი. თოთხმეტი.ცოცხალი ხვლიკი

ხვლიკში, ერთი შეხედვით, ჩვენი თვალისთვის სასიამოვნო პროპორციებია აღბეჭდილი - მისი კუდის სიგრძე ეხება სხეულის დანარჩენი ნაწილის სიგრძეს 62-დან 38-მდე.

როგორც მცენარეულ, ისე ცხოველურ სამყაროში, ბუნების ფორმის აღმშენებლობის ტენდენცია მუდმივად იშლება - სიმეტრია ზრდისა და მოძრაობის მიმართულების მიმართ. აქ ოქროს თანაფარდობა ჩნდება ზრდის მიმართულების პერპენდიკულარული ნაწილების პროპორციებში.

ბუნებამ განახორციელა დაყოფა სიმეტრიულ ნაწილებად და ოქროს პროპორციებად. ნაწილ-ნაწილ ვლინდება მთლიანის სტრუქტურის გამეორება.

ბრინჯი. თხუთმეტი.ფრინველის კვერცხი

დიდი გოეთე, პოეტი, ნატურალისტი და მხატვარი (იგი ხატავდა და ხატავდა აკვარელში) ოცნებობდა შეექმნა ერთიანი დოქტრინა ორგანული სხეულების ფორმის, ფორმირებისა და ტრანსფორმაციის შესახებ. სწორედ მან შემოიტანა ტერმინი მორფოლოგია მეცნიერულ გამოყენებაში.

პიერ კიურიმ ჩვენი საუკუნის დასაწყისში ჩამოაყალიბა სიმეტრიის არაერთი ღრმა იდეა. ის ამტკიცებდა, რომ არ შეიძლება ნებისმიერი სხეულის სიმეტრიის განხილვა გარემოს სიმეტრიის გათვალისწინების გარეშე.

„ოქროს“ სიმეტრიის ნიმუშები ვლინდება ელემენტარული ნაწილაკების ენერგეტიკულ გადასვლებში, ზოგიერთი ქიმიური ნაერთების სტრუქტურაში, პლანეტარული და კოსმოსური სისტემებში, ცოცხალი ორგანიზმების გენურ სტრუქტურებში. ეს შაბლონები, როგორც ზემოთ აღინიშნა, არის ადამიანის ცალკეული ორგანოებისა და მთლიანად სხეულის სტრუქტურაში და ასევე ვლინდება ბიორიტმებში და ტვინის ფუნქციონირებაში და ვიზუალურ აღქმაში.

ოქროს თანაფარდობა და სიმეტრია

ოქროს თანაფარდობა არ შეიძლება განიხილებოდეს თავისთავად, ცალკე, სიმეტრიასთან კავშირის გარეშე. დიდი რუსი კრისტალოგრაფი გ.ვ. ვულფმა (1863...1925) ოქროს თანაფარდობა სიმეტრიის ერთ-ერთ გამოვლინებად მიიჩნია.

ოქროს გაყოფა არ არის ასიმეტრიის გამოვლინება, რაღაც სიმეტრიის საპირისპირო.თანამედროვე კონცეფციების მიხედვით, ოქროს გაყოფა არის ასიმეტრიული სიმეტრია. სიმეტრიის მეცნიერება მოიცავს ისეთ ცნებებს, როგორიცაა სტატიკურიდა დინამიური სიმეტრია. სტატიკური სიმეტრია ახასიათებს დასვენებას, წონასწორობას, ხოლო დინამიური სიმეტრია ახასიათებს მოძრაობას, ზრდას. ასე რომ, ბუნებაში სტატიკური სიმეტრია წარმოდგენილია კრისტალების აგებულებით, ხოლო ხელოვნებაში ის ახასიათებს მშვიდობას, წონასწორობას და უმოძრაობას. დინამიური სიმეტრია გამოხატავს აქტივობას, ახასიათებს მოძრაობას, განვითარებას, რიტმს, სიცოცხლის მტკიცებულებაა. სტატიკური სიმეტრია ხასიათდება თანაბარი სეგმენტებით, თანაბარი სიდიდეებით. დინამიური სიმეტრია ხასიათდება სეგმენტების ზრდით ან მათი შემცირებით და გამოიხატება მზარდი ან კლებადი სერიის ოქროს მონაკვეთის მნიშვნელობებში.

ოქროს პროპორციები ლიტერატურაში. პოეზია და ოქროს თანაფარდობა

პოეტური ნაწარმოებების სტრუქტურაში ბევრი რამ ხდის ამ ხელოვნების ფორმას მუსიკასთან დაკავშირებულს. მკაფიო რიტმი, ხაზგასმული და დაუხაზავი მარცვლების რეგულარული მონაცვლეობა, ლექსების მოწესრიგებული განზომილება, მათი ემოციური სიმდიდრე პოეზიას აქცევს მუსიკალური ნაწარმოებების დას. თითოეულ ლექსს აქვს თავისი მუსიკალური ფორმა - თავისი რიტმი და მელოდია. მოსალოდნელია, რომ ლექსების სტრუქტურაში გამოჩნდება მუსიკალური ნაწარმოებების ზოგიერთი თავისებურება, მუსიკალური ჰარმონიის ნიმუშები და, შესაბამისად, ოქროს თანაფარდობა.

დავიწყოთ ლექსის ზომით, ანუ მასში არსებული სტრიქონების რაოდენობით. როგორც ჩანს, ლექსის ეს პარამეტრი შეიძლება თვითნებურად შეიცვალოს. თუმცა, აღმოჩნდა, რომ ეს ასე არ ყოფილა. მაგალითად, ლექსების ანალიზი ა. პუშკინმა ამ თვალსაზრისით აჩვენა, რომ ლექსების ზომები ძალიან არათანაბრად არის გადანაწილებული; აღმოჩნდა, რომ პუშკინს აშკარად ურჩევნია 5, 8, 13, 21 და 34 ხაზების ზომები (ფიბონაჩის რიცხვები).

ბევრმა მკვლევარმა შენიშნა, რომ ლექსები მუსიკას ჰგავს; მათ ასევე აქვთ კულმინაციური წერტილები, რომლებიც ყოფენ ლექსს ოქროს თანაფარდობის პროპორციულად. განვიხილოთ, მაგალითად, ლექსი A.S. პუშკინი "ფეხსაცმელი":

ერთხელ ფეხსაცმლის მწარმოებელი ეძებდა სურათს
და მან მიუთითა ფეხსაცმლის შეცდომაზე;
მხატვარმა ერთბაშად აიღო ფუნჯი, თავი შეისწორა,
აი, აკიმბო, ფეხსაცმლის მწარმოებელმა განაგრძო:
„ვფიქრობ, სახე ცოტა მრუდი აქვს...
ეს მკერდი ძალიან შიშველი არ არის?
აქ აპელესმა მოუთმენლად გააწყვეტინა:
— მოსამართლე, ჩემო მეგობარო, ჩექმის ზემოთ არა!

მე მყავს მეგობარითვალყურის დევნა:
არ ვიცი რა თემაა.
მცოდნე იყო, თუმცა სიტყვებში მკაცრია,
მაგრამ ეშმაკი ატარებს მას სინათლის განსასჯელად:
სცადეთ ჩექმების შესაფასებლად!

გავაანალიზოთ ეს იგავი. ლექსი შედგება 13 სტრიქონისგან. იგი ხაზს უსვამს ორ სემანტიკურ ნაწილს: პირველი 8 სტრიქონში და მეორე (იგავი მორალი) 5 სტრიქონში (13, 8, 5 - ფიბონაჩის რიცხვები).

პუშკინის ერთ-ერთი ბოლო ლექსი „არ ვაფასებ გახმაურებულ უფლებებს...“ შედგება 21 სტრიქონისგან და მასში გამოიყოფა ორი სემანტიკური ნაწილი: 13 და 8 სტრიქონში.

მე არ ვაფასებ მაღალი დონის უფლებებს,
საიდანაც თავბრუ არ ეხვევა.
არ ვწუწუნებ იმაზე, რომ ღმერთებმა უარი თქვეს
მე ვარ რთულ გადასახადებში
ან მეფეებს ხელი შეუშალონ ერთმანეთთან ბრძოლაში;
და პატარა მწუხარება ჩემთვის არის პრესა თავისუფალი
ბობის მოტყუება, ან მგრძნობიარე ცენზურა
ჟურნალის გეგმებში ჯოკერი უხერხულია.
ეს ყველაფერი, ხედავთ, სიტყვები, სიტყვები, სიტყვები.
სხვა, უკეთესი უფლებები ჩემთვის ძვირფასია:
სხვა, უკეთესი, მჭირდება თავისუფლება:
დამოკიდებული მეფეზე, დამოკიდებული ხალხზე -
ყველას არ გვაინტერესებს? ღმერთი მათთანაა.
არავინ
არ მისცეთ ანგარიში, მხოლოდ საკუთარ თავს
მიირთვით და გთხოვთ; ძალაუფლებისთვის, სიცოცხლისთვის
არ მოიხაროთ არც სინდისი, არც აზრები და არც კისერი;
შენი ახირებით აქეთ-იქით ხეტიალი,
გაოცებული ბუნების ღვთაებრივი სილამაზით,
და სანამ ხელოვნებისა და შთაგონების არსებებს
სიხარულით კანკალებ სინაზის სიამოვნებით,
აი ბედნიერება! Სწორია...

დამახასიათებელია, რომ ამ ლექსის პირველი ნაწილი (13 სტრიქონი) სემანტიკური შინაარსით დაყოფილია 8 და 5 სტრიქონად, ანუ მთელი ლექსი აგებულია ოქროს თანაფარდობის კანონებით.

უდავო ინტერესს იწვევს ნ.ვასიუტინსკის რომანის „ევგენი ონეგინის“ ანალიზი. ეს რომანი შედგება 8 თავისგან, თითოეული საშუალოდ დაახლოებით 50 ლექსით. ყველაზე სრულყოფილი, ყველაზე დახვეწილი და ემოციურად მდიდარი არის მერვე თავი. მას აქვს 51 ლექსი. ევგენის წერილთან ერთად ტატიანასადმი (60 სტრიქონი), ეს ზუსტად შეესაბამება ფიბონაჩის რიცხვს 55!

ნ.ვასიუტინსკი აცხადებს:

„თავის კულმინაცია არის ევგენის ახსნა ტატიანასადმი მისი სიყვარულის შესახებ - სტრიქონი „გაფერმკრთალე და გაქრი... ეს ნეტარებაა!“ ეს სტრიქონი მთელ მერვე თავს ორ ნაწილად ყოფს - პირველ 477 სტრიქონში, ხოლო მეორეში. - 295 სტრიქონი. მათი თანაფარდობაა 1,617 "ყველაზე დახვეწილი შესაბამისობა ოქროს თანაფარდობის ღირებულებასთან! ეს ჰარმონიის დიდი სასწაულია, რომელიც შესრულებული პუშკინის გენიოსის მიერ!"

ლერმონტოვის ცნობილი პოემა "ბორდინო" ორ ნაწილად იყოფა: შესავალი, რომელიც მიმართულია მთხრობელისადმი და იკავებს მხოლოდ ერთ სტროფს ("მითხარი, ბიძია, ეს უმიზეზოდ არ არის ...") და მთავარი ნაწილი, რომელიც წარმოადგენს დამოუკიდებელ მთლიანობას, რომელიც დაყოფილია ორ ეკვივალენტურ ნაწილად. პირველში ბრძოლის მოლოდინი აღწერილია მზარდი დაძაბულობით, მეორეში - დაძაბულობის თანდათანობითი კლებით ლექსის ბოლოსკენ. ამ ნაწილებს შორის საზღვარი ნაწარმოების კულმინაციაა და ზუსტად ოქროს კვეთაზე გაყოფის წერტილზე მოდის.

ლექსის ძირითადი ნაწილი შედგება 13 შვიდი სტრიქონისგან, ანუ 91 სტრიქონისგან. ოქროს თანაფარდობაზე გაყოფით (91:1.618 = 56.238), დავრწმუნდებით, რომ გაყოფის წერტილი არის 57-ე მუხლის დასაწყისში, სადაც არის მოკლე ფრაზა: "აბა, ეს იყო დღე!". სწორედ ეს ფრაზა წარმოადგენს „აღელვებული მოლოდინის კულმინაციურ წერტილს“, რომელიც ასრულებს პოემის პირველ ნაწილს (ბრძოლის მოლოდინი) და ხსნის მის მეორე ნაწილს (ბრძოლის აღწერას).

ამრიგად, ოქროს თანაფარდობა ძალიან მნიშვნელოვან როლს ასრულებს პოეზიაში, ხაზს უსვამს პოემის კულმინაციას.

ოქროს თანაფარდობა არქიტექტურაში, ქანდაკებაში, ფერწერაში, ფოტოგრაფიაში

პართენონის იატაკის გეგმაზე ასევე შეგიძლიათ იხილოთ "ოქროს ოთხკუთხედები":

კეოპსის პირამიდის, ტაძრების, ბარელიეფების, საყოფაცხოვრებო ნივთებისა და დეკორაციების პროპორციები ტუტანხამონის საფლავიდან მიუთითებს იმაზე, რომ ეგვიპტელი ხელოსნები მათ შექმნისას იყენებდნენ ოქროს განყოფილების თანაფარდობებს. ფრანგმა არქიტექტორმა ლე კორბუზიემ აღმოაჩინა, რომ აბიდოსში ფარაონ სეტი I-ის ტაძრის რელიეფში და ფარაონ რამზესზე გამოსახულ რელიეფში, ფიგურების პროპორციები შეესაბამება ოქროს განყოფილების მნიშვნელობებს. მისი სახელობის სამარხის ხის დაფის რელიეფზე გამოსახულ ხუროთმოძღვარს ხესირას ხელში საზომი ხელსაწყოები უჭირავს, რომლებშიც ოქროს განყოფილების პროპორციებია დაფიქსირებული.

რაც შეეხება პირამიდებს, არა მხოლოდ ეგვიპტური პირამიდებია აგებული ოქროს თანაფარდობის სრულყოფილი პროპორციების შესაბამისად; იგივე ფენომენი გვხვდება მექსიკის პირამიდებში. პირამიდის კვეთაზე კიბის მსგავსი ფორმა ჩანს, პირველ იარუსში 16 საფეხურია, მეორეში 42 საფეხური, მესამეში 68 საფეხური.
ეს რიცხვები ეფუძნება ფიბონაჩის თანაფარდობას შემდეგნაირად:

16 x 1.618 = 26

26 x 1.618 = 42

წმინდა ბასილის ტაძრის არქიტექტურა მრავალ ოქროს პროპორციებს ატარებს:

ჯერ კიდევ რენესანსში მხატვრებმა აღმოაჩინეს, რომ ნებისმიერ სურათს აქვს გარკვეული წერტილები, რომლებიც უნებურად იპყრობს ჩვენს ყურადღებას, ე.წ. ვიზუალური ცენტრები. ამ შემთხვევაში არ აქვს მნიშვნელობა რა ფორმატი აქვს სურათს - ჰორიზონტალური თუ ვერტიკალური. ასეთი მხოლოდ ოთხი წერტილია, ისინი ყოფენ გამოსახულების ზომას ჰორიზონტალურად და ვერტიკალურად ოქროს მონაკვეთში, ე.ი. ისინი განლაგებულია სიბრტყის შესაბამისი კიდეებიდან დაახლოებით 3/8 და 5/8 მანძილზე.

იმდროინდელ მხატვრებს შორის ამ აღმოჩენას ეწოდა სურათის "ოქროს მონაკვეთი". ამიტომ, იმისათვის, რომ ყურადღება მიიპყრო ფოტოს მთავარ ელემენტზე, აუცილებელია ამ ელემენტის გაერთიანება ერთ-ერთ ვიზუალურ ცენტრთან.

სურათზე I.I. ჩანს ოქროს მონაკვეთის შიშკინის „გემის გროვის“ მოტივები. კაშკაშა განათებული ფიჭვის ხე (წინა პლანზე დგას) სურათის სიგრძეს დაახლოებით ოქროს თანაფარდობით ყოფს. ფიჭვის ხის მარჯვნივ არის მზით განათებული ბორცვი. იგი ოქროს განყოფილებაში იყოფა სურათის მარჯვენა მხარეს ჰორიზონტალურად. მთავარი ფიჭვის მარცხნივ არის მრავალი ფიჭვი - სურვილის შემთხვევაში შეგიძლიათ წარმატებით გააგრძელოთ სურათის დაყოფა ოქროს მონაკვეთის პროპორციებში.

კაშკაშა ვერტიკალებისა და ჰორიზონტლების სურათში ყოფნა, მისი დაყოფა ოქროს მონაკვეთთან მიმართებაში, ანიჭებს მას წონასწორობისა და სიმშვიდის ხასიათს, მხატვრის განზრახვის შესაბამისად. როდესაც მხატვარი ქმნის სურათს სწრაფად განვითარებადი მოქმედებით, კომპოზიციის ასეთი გეომეტრიული სქემა (ვერტიკალისა და ჰორიზონტალური უპირატესობით) მიუღებელი ხდება.

დინამიკის, მღელვარების განცდა, ალბათ, ყველაზე ძლიერად ვლინდება სხვა მარტივ გეომეტრიულ ფიგურაში - სპირალში. სიუჟეტის დინამიურობითა და დრამატულობით გამოირჩევა მრავალფიგურიანი კომპოზიცია, რომელიც შესრულებულია 1509 - 1510 წლებში რაფაელის მიერ, როდესაც ცნობილმა მხატვარმა შექმნა თავისი ფრესკები ვატიკანში. რაფაელს არასოდეს მიუტანია თავისი იდეა ბოლომდე, თუმცა, მისი ესკიზი ამოტვიფრულია უცნობმა იტალიელმა გრაფიკოსმა მარკანტინიო რაიმონდის მიერ, რომელმაც ამ ჩანახატის საფუძველზე შექმნა გრავიურა უდანაშაულოების ხოცვა-ჟლეტა.

თუ რაფაელის მოსამზადებელ ჩანახატზე გონებრივად გამოვხატავთ ხაზებს კომპოზიციის სემანტიკური ცენტრიდან - ადგილიდან, სადაც მეომრის თითები იხურება ბავშვის ტერფის გარშემო - ბავშვის ფიგურების გასწვრივ, ქალი, რომელიც მას თავისთან მიჭერს, მეომარი აწეული ხმალი, შემდეგ კი იმავე ჯგუფის ფიგურების გასწვრივ ესკიზის მარჯვენა ნაწილებზე (სურათზე ეს ხაზები წითლად არის დახატული), შემდეგ კი მრუდის ეს ნაწილები დააკავშირეთ წერტილოვანი ხაზით, შემდეგ კი ოქროს სპირალი მიღებული ძალიან მაღალი სიზუსტით. ამის შემოწმება შესაძლებელია სპირალის მიერ მოჭრილი სეგმენტების სიგრძის თანაფარდობის გაზომვით მრუდის დასაწყისში გამავალ სწორ ხაზებზე.

უცნობია, რეალურად დახატა რაფაელმა ოქროს სპირალი კომპოზიცია „უმანკოების ხოცვა“-ს შექმნისას თუ მხოლოდ „შეიგრძნო“. თუმცა, დარწმუნებით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ გრავირმა რაიმონდიმ დაინახა ეს სპირალი. ამას მოწმობს მის მიერ დამატებული კომპოზიციის ახალი ელემენტები, ხაზს უსვამს სპირალის შემობრუნებას იმ ადგილებში, სადაც იგი მხოლოდ წერტილოვანი ხაზით არის მითითებული. ეს ელემენტები ჩანს რაიმონდის ბოლო გრავიურაზე: ქალის თავიდან აგრძელებული ხიდის თაღი კომპოზიციის მარცხენა მხარესაა, მის ცენტრში კი ბავშვის მწოლიარე სხეული.

თანამედროვე სამოდელო ბიზნესი ასევე იყენებს იდეალურ პროპორციებს, რადგან "ყველაფერი ახალი კარგად დავიწყებული ძველია":

ინფორმაციის წყაროები:

კოვალევი F.V. ოქროს განყოფილება ფერწერაში. კ .: ვიშას სკოლა, 1989 წ.

Kepler I. ექვსკუთხა ფიფქების შესახებ. - მ., 1982 წ.

Durer A. დღიურები, წერილები, ტრაქტატები - L., M., 1957 წ.

ცეკოვ-კარანდაშ ც მეორე ოქროს მონაკვეთის შესახებ. - სოფია, 1983 წ.

სტახოვი ა. ოქროს თანაფარდობის კოდები.

გეომეტრია ზუსტი და საკმაოდ რთული მეცნიერებაა, რომელიც ამ ყველაფერთან ერთად ერთგვარი ხელოვნებაა. ხაზები, სიბრტყეები, პროპორციები - ეს ყველაფერი ხელს უწყობს ბევრი მართლაც ლამაზი ნივთის შექმნას. და უცნაურად საკმარისია, რომ ეს ეფუძნება გეომეტრიას მის ყველაზე მრავალფეროვან ფორმებში. ამ სტატიაში ჩვენ განვიხილავთ ერთ ძალიან უჩვეულო ნივთს, რომელიც პირდაპირ კავშირშია ამასთან. ოქროს თანაფარდობა არის ზუსტად ის გეომეტრიული მიდგომა, რომელზეც განხილული იქნება.

ობიექტის ფორმა და მისი აღქმა

ადამიანები ყველაზე ხშირად ყურადღებას ამახვილებენ ობიექტის ფორმაზე, რათა ამოიცნონ იგი მილიონობით სხვას შორის. ფორმის მიხედვით ჩვენ განვსაზღვრავთ, თუ რა სახის დგას ჩვენს წინ ან შორს. ადამიანებს პირველ რიგში სხეულისა და სახის ფორმის მიხედვით ვცნობთ. აქედან გამომდინარე, შეგვიძლია დარწმუნებით ვთქვათ, რომ თავად ფორმა, მისი ზომა და გარეგნობა ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანია ადამიანის აღქმაში.

ადამიანებისთვის რაიმეს ფორმა ორი ძირითადი მიზეზის გამოა საინტერესო: ან ნაკარნახევია სასიცოცხლო აუცილებლობით, ან გამოწვეულია სილამაზისგან ესთეტიკური სიამოვნებით. საუკეთესო ვიზუალური აღქმა და ჰარმონიისა და სილამაზის განცდა ყველაზე ხშირად მაშინ ჩნდება, როდესაც ადამიანი აკვირდება ფორმას, რომლის აგებაში გამოყენებულია სიმეტრია და სპეციალური თანაფარდობა, რასაც ოქროს თანაფარდობა ეწოდება.

ოქროს თანაფარდობის კონცეფცია

ასე რომ, ოქროს თანაფარდობა არის ოქროს თანაფარდობა, რომელიც ასევე ჰარმონიული გაყოფაა. ამის უფრო ნათლად ასახსნელად, განიხილეთ ფორმის ზოგიერთი მახასიათებელი. სახელდობრ: ფორმა არის რაღაც მთლიანი, მაგრამ მთელი, თავის მხრივ, ყოველთვის შედგება გარკვეული ნაწილისაგან. ამ ნაწილებს, სავარაუდოდ, აქვთ განსხვავებული მახასიათებლები, მინიმუმ განსხვავებული ზომები. ისე, ასეთი ზომები ყოველთვის გარკვეულ თანაფარდობაშია როგორც ერთმანეთთან, ისე მთლიანთან მიმართებაში.

ასე რომ, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ოქროს თანაფარდობა არის ორი სიდიდის თანაფარდობა, რომელსაც აქვს თავისი ფორმულა. ფორმის შექმნისას ამ თანაფარდობის გამოყენება ხელს უწყობს ადამიანის თვალისთვის რაც შეიძლება ლამაზი და ჰარმონიული გახდეს.

ოქროს მონაკვეთის უძველესი ისტორიიდან

ოქროს თანაფარდობა ხშირად გამოიყენება ცხოვრების სხვადასხვა სფეროში. მაგრამ ამ კონცეფციის ისტორია უძველეს დროში ბრუნდება, როდესაც ისეთი მეცნიერებები, როგორიცაა მათემატიკა და ფილოსოფია, ახლახან ჩნდებოდა. როგორც სამეცნიერო კონცეფცია, ოქროს თანაფარდობა ამოქმედდა პითაგორას დროს, კერძოდ ძვ.წ. VI საუკუნეში. მაგრამ მანამდეც ასეთი თანაფარდობის ცოდნა პრაქტიკაში გამოიყენებოდა ძველ ეგვიპტესა და ბაბილონში. ამის გასაოცარი მტკიცებულებაა პირამიდები, რომელთა ასაგებად სწორედ ასეთი ოქროს თანაფარდობა გამოიყენეს.

ახალი პერიოდი

რენესანსი იყო ახალი სუნთქვა ჰარმონიული დაყოფისთვის, განსაკუთრებით ლეონარდო და ვინჩის წყალობით. ეს თანაფარდობა სულ უფრო ხშირად გამოიყენება როგორც გეომეტრიაში, ასევე ხელოვნებაში. მეცნიერებმა და ხელოვანებმა დაიწყეს ოქროს თანაფარდობის უფრო ღრმა შესწავლა და წიგნების შექმნა, რომლებიც ამ საკითხს ეხება.

ოქროს თანაფარდობასთან დაკავშირებული ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ისტორიული ნაშრომი არის ლუკა პანჩიოლის წიგნი სახელწოდებით „ღვთაებრივი პროპორცია“. ისტორიკოსები ეჭვობენ, რომ ამ წიგნის ილუსტრაციები თავად ლეონარდო პრე-ვინჩიმ გააკეთა.

ოქროს რადიო

მათემატიკა იძლევა პროპორციის ძალიან მკაფიო განმარტებას, რომელიც ამბობს, რომ ეს არის ორი თანაფარდობის ტოლობა. მათემატიკურად, ეს შეიძლება გამოიხატოს შემდეგი თანასწორობით: a: b \u003d c: d, სადაც a, b, c, d არის გარკვეული სპეციფიკური მნიშვნელობა.

თუ გავითვალისწინებთ ორ ნაწილად დაყოფილი სეგმენტის პროპორციას, მაშინ შეგვიძლია შევხვდეთ მხოლოდ რამდენიმე სიტუაციას:

სეგმენტი იყოფა ორ აბსოლუტურად თანაბარ ნაწილად, რაც ნიშნავს, რომ AB: AC \u003d AB: BC, თუ AB არის სეგმენტის ზუსტი დასაწყისი და დასასრული, და C არის წერტილი, რომელიც ყოფს სეგმენტს ორ თანაბარ ნაწილად.
სეგმენტი დაყოფილია ორ არათანაბარ ნაწილად, რომლებიც შეიძლება იყოს ძალიან განსხვავებული პროპორციებით ერთმანეთის მიმართ, რაც ნიშნავს, რომ აქ ისინი აბსოლუტურად არაპროპორციულია.
სეგმენტი იყოფა ისე, რომ AB:AC = AC:BC.

რაც შეეხება ოქროს მონაკვეთს, ეს არის სეგმენტის ასეთი პროპორციული დაყოფა არათანაბარ ნაწილებად, როდესაც მთელი სეგმენტი ეხება უფრო დიდ ნაწილს, ისევე როგორც თავად უფრო დიდი ნაწილი ეხება პატარას. არის კიდევ ერთი ფორმულირება: პატარა სეგმენტი დაკავშირებულია უფრო დიდთან, ასევე დიდი სეგმენტი მთელ სეგმენტთან. მათემატიკური თვალსაზრისით, ეს ასე გამოიყურება: a:b = b:c ან c:b = b:a. ეს არის ოქროს მონაკვეთის ფორმულის ფორმა.

ოქროს თანაფარდობა ბუნებაში

ოქროს თანაფარდობა, რომლის მაგალითებს ახლა განვიხილავთ, ეხება ბუნების წარმოუდგენელ მოვლენებს. ეს არის ძალიან ლამაზი მაგალითები იმისა, რომ მათემატიკა არ არის მხოლოდ რიცხვები და ფორმულები, არამედ მეცნიერება, რომელსაც უფრო მეტი აქვს ვიდრე რეალური ასახვა ბუნებაში და ზოგადად ჩვენს ცხოვრებაში.

ცოცხალი ორგანიზმებისთვის ერთ-ერთი მთავარი სასიცოცხლო ამოცანაა ზრდა. სივრცეში ადგილის დაკავების ასეთი სურვილი, ფაქტობრივად, რამდენიმე ფორმით ხორციელდება - აღმავალი ზრდა, თითქმის ჰორიზონტალური გავრცელება მიწის გასწვრივ, ან გარკვეულ საყრდენზე სპირალურად ტრიალი. და რაც არ უნდა წარმოუდგენელია, ბევრი მცენარე იზრდება ოქროს თანაფარდობის მიხედვით.

კიდევ ერთი თითქმის დაუჯერებელი ფაქტია ხვლიკების სხეულში არსებული თანაფარდობები. მათი სხეული საკმარისად სასიამოვნოდ გამოიყურება ადამიანის თვალისთვის და ეს შესაძლებელია იმავე ოქროს თანაფარდობის წყალობით. უფრო ზუსტად რომ ვთქვათ, მათი კუდის სიგრძე დაკავშირებულია მთელი სხეულის სიგრძესთან 62:38.

საინტერესო ფაქტები ოქროს კვეთის წესების შესახებ

ოქროს თანაფარდობა მართლაც წარმოუდგენელი ცნებაა, რაც იმას ნიშნავს, რომ ისტორიის მანძილზე ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ბევრი მართლაც საინტერესო ფაქტი ამ პროპორციის შესახებ. წარმოგიდგენთ რამდენიმე მათგანს:

ოქროს თანაფარდობა ადამიანის სხეულში

ამ განყოფილებაში აუცილებელია მოვიხსენიოთ ძალიან მნიშვნელოვანი პიროვნება, კერძოდ, ს.ცეისინგი. ეს არის გერმანელი მკვლევარი, რომელმაც დიდი სამუშაო გააკეთა ოქროს კვეთის შესწავლის სფეროში. მან გამოაქვეყნა ნაშრომი სახელწოდებით ესთეტიკური კვლევა. თავის შემოქმედებაში მან წარმოადგინა ოქროს თანაფარდობა, როგორც აბსოლუტური კონცეფცია, რომელიც უნივერსალურია ყველა ფენომენისთვის, როგორც ბუნებაში, ასევე ხელოვნებაში. აქ შეგვიძლია გავიხსენოთ პირამიდის ოქროს მონაკვეთი, ადამიანის სხეულის ჰარმონიულ პროპორციასთან ერთად და ა.შ.

სწორედ ზაისინგმა შეძლო დაემტკიცებინა, რომ ოქროს თანაფარდობა, ფაქტობრივად, არის საშუალო სტატისტიკური კანონი ადამიანის სხეულისთვის. ეს პრაქტიკაშიც გამოჩნდა, რადგან მუშაობის დროს მას უამრავი ადამიანის სხეულის გაზომვა მოუწია. ისტორიკოსები თვლიან, რომ ორ ათასზე მეტმა ადამიანმა მიიღო მონაწილეობა ამ გამოცდილებაში. ზეისინგის კვლევის მიხედვით, ოქროს თანაფარდობის მთავარი მაჩვენებელია სხეულის დაყოფა ჭიპის წერტილით. ამრიგად, მამაკაცის სხეული საშუალო თანაფარდობით 13:8 ოდნავ უფრო ახლოს არის ოქროს თანაფარდობასთან, ვიდრე ქალის სხეული, სადაც ოქროს თანაფარდობა არის 8:5. ასევე, ოქროს თანაფარდობა შეიძლება შეინიშნოს სხეულის სხვა ნაწილებზე, როგორიცაა, მაგალითად, ხელი.

ოქროს მონაკვეთის მშენებლობაზე

სინამდვილეში, ოქროს მონაკვეთის აგება მარტივი საქმეა. როგორც ვხედავთ, უძველესი ხალხიც კი უმკლავდებოდა ამას საკმაოდ მარტივად. რა შეგვიძლია ვთქვათ კაცობრიობის თანამედროვე ცოდნასა და ტექნოლოგიებზე. ამ სტატიაში ჩვენ არ გაჩვენებთ, თუ როგორ შეიძლება ამის გაკეთება უბრალოდ ფურცელზე და ფანქრით ხელში, მაგრამ ჩვენ დარწმუნებით განვაცხადებთ, რომ ეს, ფაქტობრივად, შესაძლებელია. უფრო მეტიც, ეს შეიძლება გაკეთდეს ერთზე მეტი გზით.

ვინაიდან ეს საკმაოდ მარტივი გეომეტრიაა, ოქროს თანაფარდობა საკმაოდ მარტივია ასაგებად სკოლაშიც კი. ამიტომ, ამის შესახებ ინფორმაცია მარტივად შეგიძლიათ იპოვოთ სპეციალიზებულ წიგნებში. ოქროს თანაფარდობის შესწავლით მე-6 კლასს შეუძლია სრულად გაიგოს მისი აგების პრინციპები, რაც იმას ნიშნავს, რომ ბავშვებიც კი არიან საკმარისად ჭკვიანები, რომ აითვისონ ასეთი დავალება.

ოქროს თანაფარდობა მათემატიკაში

ოქროს მონაკვეთის პირველი გაცნობა პრაქტიკაში იწყება სწორი ხაზის სეგმენტის მარტივი გაყოფით, ყველა იგივე პროპორციებით. ყველაზე ხშირად ეს კეთდება სახაზავი, კომპასი და, რა თქმა უნდა, ფანქრით.

ოქროს თანაფარდობის სეგმენტები გამოიხატება როგორც უსასრულო ირაციონალური წილადი AE \u003d 0,618 ..., თუ AB ერთეულად არის აღებული, BE \u003d 0,382 ... იმისათვის, რომ ეს გამოთვლები უფრო პრაქტიკული გახდეს, ძალიან ხშირად იყენებენ არაზუსტს. , მაგრამ მიახლოებითი მნიშვნელობები, კერძოდ - 0 .62 და 0.38. თუ სეგმენტი AB 100 ნაწილად მივიღეთ, მაშინ მისი დიდი ნაწილი იქნება 62-ის ტოლი, ხოლო პატარა - 38 ნაწილის შესაბამისად.

ოქროს კვეთის ძირითადი თვისება შეიძლება გამოვხატოთ განტოლებით: x 2 -x-1=0. ამოხსნისას ვიღებთ შემდეგ ფესვებს: x 1.2 =. მართალია მათემატიკა ზუსტი და მკაცრი მეცნიერებაა, ისევე როგორც მისი განყოფილება - გეომეტრია, მაგრამ სწორედ ისეთი თვისებებია, როგორიც არის ოქროს მონაკვეთის კანონები, რომლებიც საიდუმლოებას მოაქვს ამ თემაში.

ჰარმონია ხელოვნებაში ოქროს თანაფარდობის მეშვეობით

შეჯამების მიზნით, მოდით მოკლედ განვიხილოთ ის, რაც უკვე ითქვა.

ძირითადად, ბევრი ხელოვნების ნიმუში ექვემდებარება ოქროს თანაფარდობის წესს, სადაც თანაფარდობა ახლოს არის 3/8 და 5/8. ეს არის ოქროს თანაფარდობის უხეში ფორმულა. სტატიაში უკვე ბევრი იყო ნახსენები განყოფილების გამოყენების მაგალითებზე, მაგრამ ჩვენ მას ისევ ანტიკური და თანამედროვე ხელოვნების პრიზმაში შევხედავთ. ასე რომ, უძველესი დროიდან ყველაზე ნათელი მაგალითები:

რაც შეეხება პროპორციის უკვე შეგნებულ გამოყენებას, ლეონარდო და ვინჩის დროიდან მოყოლებული, იგი ხმარებაში შევიდა ცხოვრების თითქმის ყველა სფეროში - მეცნიერებიდან ხელოვნებამდე. ბიოლოგიამ და მედიცინამაც კი დაამტკიცეს, რომ ოქროს თანაფარდობა მოქმედებს ცოცხალ სისტემებსა და ორგანიზმებშიც კი.

ვ.ბელიანინი, ფ.

მეცნიერება და ცხოვრება // ილუსტრაციები

ოქროს თანაფარდობა სკოლაში არ „გადის“. და როდესაც ქვემოთ მოცემული სტატიის ერთ-ერთმა ავტორმა (ვ. ბელიანინი, ტექნიკურ მეცნიერებათა კანდიდატი) ისაუბრა ოქროს თანაფარდობაზე აპლიკანტზე, რომელიც აპირებდა MADI-ში შესვლას ინსტიტუტში გამოცდებისთვის მომზადების პროცესში, ამოცანა მოულოდნელად გაჩნდა. დიდი ინტერესი და ბევრი კითხვა, რომლებზეც "მოძრაობაში" პასუხები არ იყო. ჩვენ გადავწყვიტეთ, ერთად გვეპოვა ისინი, შემდეგ კი აღმოვაჩინეთ ოქროს თანაფარდობის დახვეწილობა, რომელიც ადრე მკვლევარებს აცილებდათ. ერთობლივმა შემოქმედებითობამ განაპირობა სამუშაო, რომელიც კიდევ ერთხელ ადასტურებს ახალგაზრდების შემოქმედებით შესაძლებლობებს და შთააგონებს იმედს, რომ მეცნიერების ენა არ დაიკარგება.

მათემატიკის ნიმუშები, ისევე როგორც მხატვრის ან პოეტის ნიმუშები, უნდა იყოს ლამაზი; იდეები, როგორიცაა ფერები ან სიტყვები, უნდა იყოს შერწყმული ჰარმონიულად. სილამაზე პირველი კრიტერიუმია: მახინჯი მათემატიკის ადგილი მსოფლიოში არ არის.
J. H. Hardy

მათემატიკური ამოცანის სილამაზე ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი სტიმულია მისი გაუთავებელი განვითარებისა და მრავალი აპლიკაციის წარმოქმნის მიზეზი. ზოგჯერ ათობით, ასობით და ზოგჯერ ათასობით წელი გადის, მაგრამ ხალხი ისევ და ისევ აღმოაჩენს მოულოდნელ მონაცვლეობას ცნობილ გადაწყვეტაში და მის ინტერპრეტაციაში. ერთ-ერთი ასეთი გრძელვადიანი და მომხიბლავი პრობლემა აღმოჩნდა ოქროს თანაფარდობის (GS) პრობლემა, რომელიც ასახავს ჩვენს გარშემო არსებული სამყაროს მადლისა და ჰარმონიის ელემენტებს. სხვათა შორის, უნდა გვახსოვდეს, რომ მიუხედავად იმისა, რომ პროპორცია თავად ევკლიდესმაც კი იცოდა, ტერმინი "ოქროს მონაკვეთი" შემოიღო ლეონარდო და ვინჩიმ (იხ. "მეცნიერება და ცხოვრება").

გეომეტრიულად, ოქროს თანაფარდობა გულისხმობს სეგმენტის ორ არათანაბარ ნაწილად დაყოფას ისე, რომ უფრო დიდი ნაწილი იყოს საშუალო პროპორციული მთელ სეგმენტსა და პატარა ნაწილს შორის (ნახ. 1).

ალგებრულად, ეს გამოიხატება შემდეგნაირად:

ამ პროპორციის შესწავლა მის ამოხსნამდეც კი გვიჩვენებს, რომ სეგმენტებს შორის ადა ბსულ მცირე ორი გასაკვირი კორელაციაა. მაგალითად, პროპორციიდან (1) ადვილია გამოხატვის მიღება,

რომელიც ადგენს პროპორციას სეგმენტებს შორის ა, ბ, მათი განსხვავება და ჯამი. მაშასადამე, ოქროს მონაკვეთზე სხვაგვარად შეგვიძლია ვთქვათ: ორი სეგმენტი ჰარმონიულ ურთიერთობაშია, თუ მათი განსხვავება ეხება პატარა სეგმენტს ისევე, როგორც უფრო დიდი სეგმენტი ეხება მათ ჯამს.

მეორე მიმართება მიიღება, თუ საწყისი სეგმენტი მიიღება ერთის ტოლი: ა + ბ= 1, რომელიც ძალიან ხშირად გამოიყენება მათემატიკაში. Ამ შემთხვევაში

ა 2 - ბ 2 = ა - ბ = აბ.

ეს შედეგები გულისხმობს ორ გასაოცარ ურთიერთობას სეგმენტებს შორის ადა ბ:

ა 2 - ბ 2 = ა - ბ = აბ,(2)

რომელიც მომავალში იქნება გამოყენებული.

ახლა გადავიდეთ პროპორციის (1) ამოხსნაზე. პრაქტიკაში გამოიყენება ორი ვარიანტი.

1. აღნიშნეთ მიმართება ა/ბმეშვეობით. შემდეგ მივიღებთ განტოლებას

x 2 - x - 1 = 0, (3)

ჩვეულებრივ განიხილება მხოლოდ დადებითი ფესვი. x 1, რომელიც იძლევა სეგმენტის მარტივ და ვიზუალურ დაყოფას მოცემულ პროპორციით. მართლაც, თუ ავიღებთ მთელ სეგმენტს, როგორც ერთს, მაშინ ამ ფესვის მნიშვნელობას ვიყენებთ x 1, ვიღებთ ა ≈ 0,618,ბ≈ 0,382.

ეს არის დადებითი ფესვი x 1 განტოლებას (3) ყველაზე ხშირად უწოდებენ ოქროს რადიოან ოქროს თანაფარდობის პროპორცია.სეგმენტის შესაბამისი გეომეტრიული დაყოფა ეწოდება ოქროს რადიო(წერტილი თანნახ. ერთი).

შემდგომი მოხერხებულობისთვის აღვნიშნავთ x 1 = დ. ჯერ კიდევ არ არსებობს ზოგადად მიღებული აღნიშვნა ოქროს თანაფარდობისთვის. ეს აშკარად განპირობებულია იმით, რომ ის ზოგჯერ გაგებულია, როგორც სხვა რიცხვი, რომელიც ქვემოთ იქნება განხილული.

ჩვეულებრივ უარყოფით ფესვს გვერდით ტოვებენ x 2 იწვევს სეგმენტის ნაკლებად ვიზუალურ დაყოფას ორ არათანაბარ ნაწილად. საქმე იმაშია, რომ ის იძლევა გამყოფ წერტილს თან, რომელიც მდებარეობს სეგმენტის გარეთ (ე.წ. გარე დაყოფა). მართლაც, თუ ა + ბ= 1, შემდეგ ფესვის გამოყენებით x 2, ვიღებთ ა ≈ -1,618, ბ≈ 2.618. ამიტომ სეგმენტი აგანზე უნდა იყოს უარყოფითი მიმართულებით (ნახ. 2).

2. პროპორციის (1) ამოხსნის მეორე ვარიანტი ძირეულად არ განსხვავდება პირველისგან. ჩვენ ვივარაუდებთ უცნობი მიმართებას ბ/ადა აღნიშნეთ იგი წ. შემდეგ მივიღებთ განტოლებას

წ 2 + წ -1 = 0 , (4)

რომელსაც ირაციონალური ფესვები აქვს

Თუ ა + ბ= 1, შემდეგ ფესვის გამოყენებით წ 1, ვიღებთ ა = წ 1 ≈ 0,618, ბ≈ 0.382. ფესვისთვის წ 2 მიიღეთ ა ≈ -1,618, ბ≈ 2.618. სეგმენტის გეომეტრიული დაყოფა ოქროს მონაკვეთის პროპორციულად ფესვების გამოყენებით წ 1 და წ 2 სრულიად იდენტურია წინა ვერსიისა და შეესაბამება ნახ. 1 და 2.

დადებითი ფესვი წ 1 პირდაპირ იძლევა პრობლემის სასურველ გადაწყვეტას და მას ასევე უწოდებენ ოქროს რადიო .

მოხერხებულობისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ ფესვის მნიშვნელობას წ 1 = დ.

ამრიგად, ლიტერატურაში ოქროს თანაფარდობა მათემატიკურად გამოიხატება რიცხვით დ 1.618 ან ნომერი დ 0.618, რომელთა შორის არის ორი საოცარი ურთიერთობა:

დდ= 1 და დ - დ = 1. (5)

დადასტურებულია, რომ ამ თვისებების მქონე რიცხვების სხვა მსგავსი წყვილი არ არსებობს.

ოქროს თანაფარდობის ორივე აღნიშვნის გამოყენებით, ჩვენ ვწერთ (3) და (4) განტოლებების ამონახსნებს სიმეტრიული ფორმით: = დ, = -დ, = დ, = -დ.

ოქროს მონაკვეთის უჩვეულო თვისებები დეტალურად არის აღწერილი ლიტერატურაში. ისინი იმდენად საოცარი არიან, რომ დაიპყრეს მრავალი გამოჩენილი მოაზროვნის გონება და შექმნეს საიდუმლოების აურა მათ გარშემო.

ოქროს თანაფარდობა გვხვდება მცენარეებისა და მინერალების კონფიგურაციაში, სამყაროს ნაწილების სტრუქტურასა და მუსიკალურ მასშტაბში. იგი ასახავს ბუნების გლობალურ პრინციპებს, აღწევს ცოცხალი და არაცოცხალი ობიექტების ორგანიზაციის ყველა დონეზე. იგი გამოიყენება არქიტექტურაში, ქანდაკებაში, ფერწერაში, მეცნიერებაში, გამოთვლებში, საყოფაცხოვრებო ნივთების დიზაინში. ქმნილებები, რომლებიც ატარებენ ოქროს მონაკვეთის კონფიგურაციას, გამოიყურება პროპორციული და თანმიმდევრული, ყოველთვის სასიამოვნოა თვალისთვის, ხოლო თავად ოქროს თანაფარდობის მათემატიკური ენა არანაკლებ ელეგანტური და ელეგანტურია.

თანასწორობის გარდა (5), მიმართებიდან (2) შეგვიძლია გამოვყოთ სამი საინტერესო მიმართება, რომლებსაც აქვთ გარკვეული სრულყოფილება და გამოიყურება საკმაოდ მიმზიდველი და ესთეტიურად სასიამოვნო:

(6)

ბუნების სიდიადე და სიღრმე შეიძლება იგრძნოთ არა მხოლოდ, მაგალითად, ვარსკვლავებზე ან მთის მწვერვალებზე ფიქრისას, არამედ რამდენიმე გასაოცარ ფორმულებში ჩახედვისას, რომლებსაც მათემატიკოსები ძალიან აფასებენ მათი სილამაზით. მათ შორისაა ოქროს თანაფარდობის ელეგანტური კოეფიციენტები, ეილერის ფანტასტიკური ფორმულა ე iπ = -1 (სად მე= √-1), ფორმულა, რომელიც განსაზღვრავს ცნობილ ნაპიეს რიცხვს (ბუნებრივი ლოგარითმების საფუძველი): e = lim(1 + 1/ ნ) n = 2.718 at ნ→ ∞ და მრავალი სხვა.

პროპორციის (1) ამოხსნის შემდეგ, მისი იდეა საკმაოდ მარტივი ჩანს, მაგრამ, როგორც ხშირად ხდება ბევრი ერთი შეხედვით მარტივი პრობლემის შემთხვევაში, მასში ბევრი დახვეწილობა იმალება. ერთ-ერთი ასეთი შესანიშნავი დახვეწილობა, რომელიც მკვლევარებმა აქამდე გაიარეს, არის (3) და (4) განტოლებების ფესვების კავშირი სამი მშვენიერი სამკუთხედის კუთხეებთან.

ამის სანახავად განვიხილოთ, როგორ შეიძლება ოქროს თანაფარდობის პროპორციულად დაყოფილი ერთგანზომილებიანი სეგმენტი ადვილად გარდაიქმნას ორგანზომილებიან გამოსახულებად სამკუთხედის სახით. ამისათვის ჯერ გამოიყენეთ ნახ. 1, დააყენეთ სეგმენტზე ABსეგმენტის სიგრძე აორჯერ - წერტილიდან მაგრამწერტილისკენ ATდა პირიქით წერტილიდან ATგვერდზე მაგრამ. ჩვენ ვიღებთ ორ ქულას თან 1 და თან 2 სეგმენტის გაყოფა ABოქროს მონაკვეთის პროპორციულად სხვადასხვა ბოლოებიდან (სურ. 3). თანაბარი სეგმენტების დათვლა AC 1 და მზე 2 რადიუსი და წერტილი მაგრამდა ATწრეების ცენტრები, დახაზეთ ორი რკალი, სანამ არ გადაიკვეთება ზედა წერტილში თან. წერტილების შეერთებით მაგრამდა თან, ისევე, როგორც ATდა თან,მიიღეთ ტოლფერდა სამკუთხედი ABCმხარეებთან ერთად AB = ა + ბ = 1, AC = = მზე = ა = დ≈ 0.618. კუთხეების მნიშვნელობა წვეროებზე მაგრამდა ATაღვნიშნავთ α, წვეროზე თან- β. გამოვთვალოთ ეს კუთხეები.

კოსინუსების კანონის მიხედვით

(AB) 2 = 2(AC) 2 (1 - cos β).

სეგმენტების რიცხვითი მნიშვნელობების ჩანაცვლება ABდა ACამ ფორმულაში ვიღებთ

ანალოგიურად, ჩვენ ვიღებთ

(8)

ორგანზომილებიან სურათზე ოქროს თანაფარდობის გამოტანამ შესაძლებელი გახადა (3) და (4) განტოლებების ფესვების დაკავშირება სამკუთხედის კუთხეებთან. ABC, რომელსაც შეიძლება ეწოდოს ოქროს კვეთის პირველი სამკუთხედი.

მოდით შევასრულოთ მსგავსი კონსტრუქცია ნახ. 2. თუ სეგმენტის გაგრძელებაზე ABწერტილიდან გადადება ATმარჯვნივ სეგმენტი, რომელიც ტოლია სეგმენტის ზომით ა, და როტაცია ცენტრების გარშემო მაგრამდა ATორივე სეგმენტი რადიუსების სახით, სანამ ისინი შეხებიან, მივიღებთ მეორე სამკუთხედი ოქროს რადიო(ნახ. 4) . ამ ტოლფერდა სამკუთხედში გვერდი AB = ა + ბ= 1, მხარე AC = მზე = დ≈1.618 და, შესაბამისად, კოსინუსების თეორემის ფორმულით ვიღებთ

(9)

მწვერვალის კუთხე a თანუდრის 36 o-ს და უკავშირდება ოქროს კვეთას (8) თანაფარდობით. როგორც წინა შემთხვევაში, ამ სამკუთხედის კუთხეები დაკავშირებულია (3) და (4) განტოლებების ფესვებთან.

ოქროს თანაფარდობის მეორე სამკუთხედი ემსახურება როგორც რეგულარული ამოზნექილი ხუთკუთხედის ძირითად შემადგენელ ელემენტს და ადგენს რეგულარული ვარსკვლავის ხუთკუთხედის (პენტაგრამის) პროპორციებს, რომელთა თვისებები დეტალურად არის განხილული წიგნში.

ვარსკვლავის ხუთკუთხედი სიმეტრიული ფიგურაა და ამავდროულად, ასიმეტრიული ოქროს თანაფარდობა ჩნდება მისი სეგმენტების თანაფარდობებში. დაპირისპირეთა ასეთი კომბინაცია ყოველთვის იზიდავს ღრმა ერთიანობით, რომლის ცოდნა საშუალებას აძლევს ადამიანს შეაღწიოს ბუნების ფარულ კანონებში და გაიგოს მათი განსაკუთრებული სიღრმე და ჰარმონია. პითაგორეელებმა, რომლებიც დაიპყრეს ვარსკვლავური ხუთკუთხედის სეგმენტების თანხმობით, აირჩიეს იგი თავიანთი სამეცნიერო საზოგადოების სიმბოლოდ.

ასტრონომ ი.კეპლერის დროიდან (XVII ს.) ზოგჯერ გამოითქვა სხვადასხვა თვალსაზრისი იმაზე, რაც უფრო ფუნდამენტურია - პითაგორას თეორემა თუ ოქროს თანაფარდობა. პითაგორას თეორემა დევს მათემატიკის საფუძველში, ის არის მისი ერთ-ერთი ქვაკუთხედი. ოქროს მონაკვეთი ემყარება სამყაროს ჰარმონიასა და სილამაზეს. ერთი შეხედვით ადვილი გასაგებია და დიდი სიზუსტე არ აქვს. მიუხედავად ამისა, მისი ზოგიერთი მოულოდნელი და ღრმა თვისება მხოლოდ ბოლო დროს იქნა გააზრებული, რაც მიუთითებს მისი ფარული დახვეწილობისა და შესაძლო უნივერსალურობის პატივისცემის აუცილებლობაზე. პითაგორას თეორემა და ოქროს თანაფარდობა მათ განვითარებაში მჭიდროდ არის გადაჯაჭვული ერთმანეთთან და გეომეტრიულ და ალგებრულ თვისებებთან. მათ შორის არ არის უფსკრული, არ არსებობს ფუნდამენტური განსხვავებები. ისინი არ ეჯიბრებიან, მათ აქვთ სხვადასხვა დანიშნულება.

შესაძლებელია, რომ ორივე თვალსაზრისი თანაბარი იყოს, რადგან არსებობს მართკუთხა სამკუთხედი, რომელიც შეიცავს ოქროს თანაფარდობის სხვადასხვა მახასიათებლებს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არსებობს გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც საკმაოდ სრულად აერთიანებს ორ გასაოცარ მათემატიკურ ფაქტს - პითაგორას თეორემასა და ოქროს თანაფარდობას.

ასეთი სამკუთხედის ასაგებად საკმარისია გვერდის გაფართოება მზესამკუთხედი ABC(ნახ. 4) პუნქტში გადაკვეთამდე ეწერტილში აღდგენილი პერპენდიკულურით მაგრამგვერდზე AB(ნახ. 5).

შიდა ტოლფერდა სამკუთხედში აგფკუთხე φ (კუთხე აგფ) უდრის 144 o-ს, ხოლო ψ კუთხე (კუთხეები EACდა AES) უდრის 18 o-ს. მხარე AC = CE = სვ = დ. პითაგორას თეორემის გამოყენებით, ადვილია ფეხის სიგრძის დადგენა

ამ შედეგის გამოყენებით, ჩვენ ადვილად მივაღწევთ ურთიერთობას

ასე რომ, აღმოჩენილია ფესვის პირდაპირი კავშირი წ 2 განტოლება (4) - (3) და (4) განტოლებების ფესვებიდან ბოლო - 144 o კუთხით. ამ მიზეზით, სამკუთხედი აგფშეიძლება ეწოდოს ოქროს კვეთის მესამე სამკუთხედი.

თუ შესანიშნავ მართკუთხა სამკუთხედში AVEკუთხის ბისექტრის დახატვა ᲢᲐᲥᲡᲘმხარესთან კვეთამდე EVწერტილში ფჩვენ ამას გვერდით დავინახავთ ABარსებობს ოთხი კუთხე: 36 o, 72 o, 108 o და 144 o, რომლებთანაც პირდაპირ არის დაკავშირებული ოქროს თანაფარდობის განტოლებების ფესვები (კავშირები (7) - (10)). ამრიგად, წარმოდგენილი მართკუთხა სამკუთხედი შეიცავს ტოლგვერდა სამკუთხედების მთელ გალაქტიკას, რომლებსაც აქვთ ოქროს მონაკვეთის მახასიათებლები. გარდა ამისა, ძალიან აღსანიშნავია, რომ ჰიპოტენუზაზე ნებისმიერი ორი სეგმენტი ევროპა= დდა CF= 1.0 არის ოქროს თანაფარდობაში FV = დ. კუთხე ψ დაკავშირებულია ფესვებთან დდა დ(3) და (4) განტოლებები მიმართებით

ტოლფერდა სამკუთხედების ზემოაღნიშნული კონსტრუქციები, რომელთა კუთხეები ასოცირდება ოქროს თანაფარდობის განტოლებების ფესვებთან, ეფუძნება საწყის სეგმენტს. ABდა მისი ნაწილები ადა ბ. თუმცა, ოქროს განყოფილება საშუალებას გაძლევთ შექმნათ არა მხოლოდ ზემოთ აღწერილი სამკუთხედები, არამედ სხვადასხვა გეომეტრიული ფორმები, რომლებიც ატარებენ ჰარმონიული ურთიერთობების ელემენტებს.

ჩვენ ვაძლევთ ასეთი კონსტრუქციების ორ მაგალითს. პირველი, განიხილეთ სეგმენტი ABნაჩვენებია ნახ. 1. მოდით წერტილი თან- წრის ცენტრი, სეგმენტი ბ- რადიუსი. დავხატოთ რადიუსი ბწრე და მასზე ტანგენტები წერტილიდან მაგრამ(ნახ. 6). შეხების წერტილების დაკავშირება ედა ფწერტილით თან. შედეგი არის ასიმეტრიული რომბი AECF, რომელშიც დიაგონალი ACყოფს ორ თანაბარ მართკუთხა სამკუთხედად აგფდა ACF.

მოდით უფრო მეტი ყურადღება მივაქციოთ ერთ-ერთ მათგანს, მაგალითად, სამკუთხედს აგფ. ამ სამკუთხედში, კუთხე AES- სწორი, ჰიპოტენუზა AC = ა, ფეხი CE = ბდა ფეხი AE = √აბ≈ 0.486, რაც გამომდინარეობს (2) მიმართებიდან. ამიტომ, ფეხი AEარის გეომეტრიული საშუალო (პროპორციული) სეგმენტებს შორის ადა ბ, ანუ ის გამოხატავს რიცხვებს შორის სიმეტრიის გეომეტრიულ ცენტრს ა≈ 0.618 და ბ ≈ 0,382.

მოდით ვიპოვოთ ამ სამკუთხედის კუთხეების მნიშვნელობები:

როგორც წინა შემთხვევებში, δ და ε კუთხეები დაკავშირებულია კოსინუსის მეშვეობით (3) და (4) განტოლებების ფესვებთან.

გაითვალისწინეთ, რომ ასიმეტრიული რომბი რომბის მსგავსია AECF, მიღებული წერტილიდან ტანგენტების გამოყვანით ATრადიუსის წრემდე ადა ორიენტირებულია წერტილზე მაგრამ.

ასიმეტრიული რომბი AECFსხვაგვარად მიღებული წიგნში ველურ ბუნებაში ფორმირებისა და ზრდის ფენომენების ანალიზისას. მართკუთხა სამკუთხედი AESამ ნამუშევარში მას "ცოცხალი" სამკუთხედი უწოდა, რადგან მას შეუძლია ბუნების სხვადასხვა სტრუქტურული ელემენტების შესაბამისი ვიზუალური გამოსახულებების გენერირება და ზოგიერთი ცოცხალი ორგანიზმის განვითარების დასაწყისისთვის გეომეტრიული სქემების აგების გასაღები.

მეორე მაგალითი უკავშირდება პირველ და მესამე ოქროს მონაკვეთის სამკუთხედებს. ოქროს თანაფარდობის პირველი ორი ტოლი სამკუთხედიდან ვქმნით რომბს 72 o და 108 o შიდა კუთხეებით. ანალოგიურად, ჩვენ ვაერთებთ ოქროს კვეთის ორ თანაბარ მესამე სამკუთხედს რომბში, რომლის შიდა კუთხეებია 36 o და 144 o. თუ ამ რომბების გვერდები ერთმანეთის ტოლია, მაშინ მათ შეუძლიათ შეავსონ უსასრულო სიბრტყე სიცარიელისა და გადახურვის გარეშე. თვითმფრინავის შევსების შესაბამისი ალგორითმი შეიმუშავა 1970-იანი წლების ბოლოს ოქსფორდის უნივერსიტეტის თეორიულმა ფიზიკოსმა რ. პენროუზიმ. უფრო მეტიც, აღმოჩნდა, რომ მიღებულ მოზაიკაში შეუძლებელია ელემენტარული უჯრედის გამოყოფა თითოეული ტიპის რომბების მთელი რიცხვით, რომელთა თარგმნა შესაძლებელს გახდის მთლიანი მოზაიკის მიღებას. მაგრამ ყველაზე საყურადღებო ის იყო, რომ უსასრულო პენროზის კრამიტში, "ვიწრო" რომბების რაოდენობის შეფარდება "ფართოების" რაოდენობასთან ზუსტად უდრის ოქროს კვეთის მნიშვნელობას. დ = 0,61803...!

ამ მაგალითში საოცარი გზით, კუთხით გამოხატული ოქროს მონაკვეთის ყველა ფესვი უკავშირდება უსასრულო სიბრტყის არატრივიალურ შევსების ერთ-ერთ შემთხვევას ორი ელემენტარული ფიგურით - რომბებით.

დასასრულს, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ოქროს თანაფარდობის განტოლებების ფესვებსა და სამკუთხედების კუთხეებს შორის კავშირის ზემოთ მოყვანილი სხვადასხვა მაგალითები ასახავს იმ ფაქტს, რომ ოქროს თანაფარდობა უფრო ტევადი პრობლემაა, ვიდრე ადრე ეგონათ. თუ ადრე ოქროს თანაფარდობა საბოლოოდ განიხილებოდა, როგორც სეგმენტების და სხვადასხვა მიმდევრობის თანაფარდობა, რომელიც დაკავშირებულია მისი ფესვების რიცხვით მნიშვნელობებთან (ფიბონაჩის რიცხვები), ახლა აღმოჩნდა, რომ ოქროს თანაფარდობამ შეიძლება წარმოქმნას სხვადასხვა გეომეტრიული ობიექტები. , და განტოლებების ფესვებს აქვთ მკაფიო ტრიგონომეტრიული გამოხატულება.

ავტორებმა იციან, რომ ზემოთ გამოთქმული თვალსაზრისი ოქროს თანაფარდობასთან დაკავშირებული მათემატიკური თანაფარდობების ელეგანტურობასთან დაკავშირებით ასახავს პირად ესთეტიკურ გამოცდილებას. თანამედროვე ფილოსოფიურ ლიტერატურაში ესთეტიკისა და სილამაზის ცნებები საკმაოდ ფართოდ არის განმარტებული და საკმაოდ ინტუიციურ დონეზე გამოიყენება. ეს ცნებები ძირითადად ხელოვნებას უკავშირდება. სამეცნიერო შემოქმედების შინაარსი ესთეტიკური თვალსაზრისით პრაქტიკულად არ არის გათვალისწინებული ლიტერატურაში. პირველი მიახლოებით, სამეცნიერო კვლევის ესთეტიკური პარამეტრები მოიცავს მათ შედარებით სიმარტივეს, მათ თანდაყოლილ სიმეტრიას და ვიზუალური გამოსახულების გენერირების უნარს. ყველა ეს ესთეტიკური პარამეტრი შეესაბამება დავალებას, რომელსაც ეწოდება "ოქროს პროპორცია". ზოგადად, მეცნიერებაში ესთეტიკის პრობლემები შორს არის გადაჭრისგან, თუმცა ისინი დიდ ინტერესს იწვევს.

ინტუიციურად იგრძნობა, რომ ოქროს თანაფარდობა კვლავ მალავს თავის საიდუმლოებებს. ზოგიერთი მათგანი, სავსებით შესაძლებელია, ზედაპირზე წევს და ელოდება მათი ახალი მკვლევარების უჩვეულო სახეს. ოქროს თანაფარდობის თვისებების ცოდნა შეიძლება კარგი საფუძველი იყოს შემოქმედებითი ადამიანებისთვის, მისცეს მათ ნდობა. მეცნიერებადა ში ცხოვრება.

ლიტერატურა

1. Shevelev I. Sh., Marutaev I. A., Shmelev I. P. ოქროს განყოფილება: სამი შეხედულება ჰარმონიის ბუნებაზე.- M.: Stroyizdat, 1990. - 343გვ.

2. სტახოვი ა.პ. ოქროს თანაფარდობის კოდები.- მ.: რადიო და კომუნიკაცია, 1984. - 152გვ.

3. ვასიუტინსკი ნ.ა. ოქროს რადიო.- მ.: ახალგაზრდა გვარდია, 1990. - 238გვ.

4. კორობკო ვ.ი. ოქროს პროპორცია: ჰარმონიის ზოგიერთი ფილოსოფიური ასპექტი.- M. - Orel: 2000. - 204გვ.

5. ურმანცევი იუ ა. ოქროს რადიო//ბუნება, 1968, No11.

6. პოპკოვი ვ.ვ., შიპიცინი ე.ვ. ოქროს თანაფარდობა კარნოს ციკლში// UFN, 2000, ტ. 170, No11.

7. კონსტანტინოვი ი. ფანტაზია დოდეკაედრთან ერთად// მეცნიერება და ცხოვრება, 2001, No2.

8. შეველევი ი შ. გეომეტრიული ჰარმონია//მეცნიერება და ცხოვრება, 1965, No8.

9. გარდნერ მ. Penrose კრამიტიდან დაწყებული შიფრების უსაფრთხოებამდე. - მ.: მირი, 1993 წ.

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის ტრენინგი

ოქროს თანაფარდობა ბუნებაში

ოქროს თანაფარდობა - ჰარმონიული პროპორცია

მეორე ოქროს თანაფარდობა

ოქროს სამკუთხედი

ოქროს კვეთის ისტორია

ფიბონაჩის სერია

განზოგადებული ოქროს თანაფარდობა

ბუნებაში ჩამოყალიბების პრინციპები

ოქროს თანაფარდობა და სიმეტრია

ოქროს პროპორციები ლიტერატურაში. პოეზია და ოქროს თანაფარდობა

ოქროს თანაფარდობა არქიტექტურაში, ქანდაკებაში, ფერწერაში, ფოტოგრაფიაში

ობიექტის ფორმა და მისი აღქმა

ოქროს თანაფარდობის კონცეფცია

ოქროს მონაკვეთის უძველესი ისტორიიდან

ახალი პერიოდი

ოქროს რადიო

ოქროს თანაფარდობა ბუნებაში

საინტერესო ფაქტები ოქროს კვეთის წესების შესახებ

ოქროს თანაფარდობა ადამიანის სხეულში

ოქროს მონაკვეთის მშენებლობაზე

ოქროს თანაფარდობა მათემატიკაში

ჰარმონია ხელოვნებაში ოქროს თანაფარდობის მეშვეობით

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ