რუსეთის ფედერაციის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტრო
სახელმწიფო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულება
უმაღლესი პროფესიული განათლება
"USSURIYSK სახელმწიფო პედაგოგიური ინსტიტუტი"
ფიზიკა-მათემატიკის ფაკულტეტი
კურსი კალკულუსში
თემა: "უწყვეტი, მაგრამ არა დიფერენცირებადი ფუნქციები"
დაასრულა: ქსენია პლიაშეშნიკი
131 ჯგუფის მოსწავლე
ხელმძღვანელი: დელიუკოვა ია.ვ.
უსურიისკი - 2011 წ
შესავალი ...................................................... ................................................ 3
ისტორიის მითითება................................................ ................................... 4
ძირითადი განმარტებები და თეორემები .............................................. ...................... 5
უწყვეტი ფუნქციის მაგალითი წარმოებულის გარეშე .............................. 10
სავარჯიშო ხსნარი ..................................................... ................................................ ცამეტი
დასკვნა................................................ ................................................ 21
ბიბლიოგრაფია ...................................................... ................................ 22
შესავალი
კურსის მუშაობა ეძღვნება უწყვეტობისა და ერთი ცვლადის ფუნქციის წარმოებულის არსებობის ურთიერთკავშირის შესწავლას. მიზნიდან გამომდინარე, დაისახა შემდეგი ამოცანები:
1. სასწავლო ლიტერატურის შესწავლა;
2. ვან დერ ვაერდენის მიერ აგებული უწყვეტი ფუნქციის მაგალითის შესწავლა, რომელსაც არ აქვს წარმოებული რომელიმე წერტილში;
3. ამოხსენით სავარჯიშოების სისტემა.
ისტორიის მინიშნება
Bartel Leendert van der Waerden ( ნიდერლან. Bartel Leendert van der Waerden , დ. 2 თებერვალი , 1903 , ამსტერდამი , ნიდერლანდები — გ. 12 იანვარი , 1996 , ციურიხი , შვეიცარია ) — ჰოლანდიელი მათემატიკოსი.
სწავლობდა ამსტერდამის უნივერსიტეტში, შემდეგ გიოტინგენის უნივერსიტეტში, სადაც დიდი გავლენა მოახდინა ემი ნოეთერმა.
მისი ძირითადი ნამუშევრებია ალგებრის, ალგებრული გეომეტრიის დარგში, სადაც მან (ანდრე ვეილთან და ო.ზარისკისთან ერთად) აამაღლა სიმკაცრის დონე და მათემატიკური ფიზიკა, სადაც ის ეწეოდა ჯგუფის თეორიის გამოყენებას კვანტური მექანიკის საკითხებში. (ჰერმან ვეილთან და ჯ.ვიგნერთან ერთად). მისი კლასიკური წიგნი „თანამედროვე ალგებრა“ (1930) გახდა მოდელი აბსტრაქტული ალგებრის შემდგომ სახელმძღვანელოებისთვის და გაიარა მრავალი ხელახალი ბეჭდვა.
ვან დერ ვაერდენი არის უძველესი სამყაროს მათემატიკისა და ასტრონომიის ისტორიაში ერთ-ერთი უდიდესი სპეციალისტი. მისი გამოღვიძების მეცნიერება (Ontwakende wetenschap 1950, რუსული თარგმანი 1959) დეტალურად ასახავს მათემატიკისა და ასტრონომიის ისტორიას ძველ ეგვიპტეში, ბაბილონსა და საბერძნეთში. ამ წიგნის რუსული თარგმანის დანართი შეიცავს სტატიას "პითაგორას დოქტრინა ჰარმონიის შესახებ" (1943) - პითაგორას შეხედულებების ფუნდამენტური ექსპოზიცია მუსიკალურ ჰარმონიაზე.
ძირითადი განმარტებები და თეორემები
ფუნქციის ლიმიტი წერტილში. მარცხენა და მარჯვენა საზღვრები
განმარტება (ლიმიტი კოშის მიხედვით, ენაში Number ეწოდება ფუნქციის ზღვარს წერტილში, თუ
განმარტება (სამეზობლოს ენაზე) რიცხვს ეწოდება ფუნქციის ზღვარი იმ წერტილში, თუ რომელიმე - რიცხვის მეზობლად არსებობს - წერტილის მეზობლობა, რომ როგორც კი 
განმარტება (ჰაინეს მიხედვით) რიცხვს ეწოდება ფუნქციის ზღვარი იმ წერტილში, თუ რომელიმე მიმდევრობისთვის, რომელიც ემთხვევა (ე. 
განმარტება რიცხვს ეწოდება ფუნქციის მარცხენა ზღვარი იმ წერტილში, თუ
განმარტება რიცხვს ეწოდება ფუნქციის მარჯვენა ზღვარი იმ წერტილში, თუ
თეორემა (აუცილებელი და საკმარისი პირობა ლიმიტის არსებობისთვის)
იმისათვის, რომ ფუნქციის ლიმიტი არსებობდეს წერტილში, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მარცხენა და მარჯვენა ლიმიტები არსებობდეს ერთმანეთის ტოლი.
წარმოებულის ცნება. ცალმხრივი წარმოებულები.
განვიხილოთ კომპლექტზე განსაზღვრული ფუნქცია
1. ავიღოთ ნამატი. მოდით გავზარდოთ წერტილი.
2. მოდით გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობა ქულებში. და
3. .
4. .
უფრო მეტიც, არგუმენტის ზრდა შეიძლება იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი, მაშინ ამ ზღვარს წერტილის წარმოებულს უწოდებენ და აღინიშნება . ის ასევე შეიძლება იყოს გაუთავებელი.
ფუნქციის მარცხენა (მარცხენა) წარმოებული წერტილში და თუ
არის სასრული ზღვარი 
მაშინ მას ეწოდება ფუნქციის მარჯვენა წარმოებული წერტილი .
ფუნქციას აქვს წერტილი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი მარცხენა და მარჯვენა წარმოებულები ემთხვევა წერტილს:
( ( .
განიხილეთ ფუნქცია 
იპოვეთ ცალმხრივი წარმოებულები წერტილში
აქედან გამომდინარე, ( =-1; ( =1 და ( ( , ანუ ერთ წერტილში ფუნქციას არ აქვს წარმოებული.
ფუნქციის უწყვეტობის სხვადასხვა განმარტება წერტილში.
განმარტება 1 (ძირითადი) ფუნქციას ეწოდება უწყვეტი წერტილში, თუ ფუნქციის ზღვარი უდრის ამ წერტილში ფუნქციის მნიშვნელობას.
განმარტება 2 (ენაში A ფუნქციას ეწოდება უწყვეტი იმ წერტილში, თუ ε, δ>0, ისეთი, რომ .
განმარტება 3 (ჰაინეს მიხედვით, მიმდევრობის ენაზე) ფუნქციას უწოდებენ უწყვეტი წერტილს, თუ რომელიმე წერტილის კონვერტაციისთვის, ფუნქციის მნიშვნელობების შესაბამისი თანმიმდევრობა ემთხვევა .
განმარტება 4 (ნამატების ენაზე) ფუნქციას ეწოდება უწყვეტი იმ წერტილში, თუ არგუმენტის უსასრულოდ მცირე ზრდა შეესაბამება ფუნქციის უსასრულოდ მცირე ზრდას.
დიფერენცირებადი ფუნქციის კონცეფცია
განმარტება 1 სიმრავლეზე განსაზღვრულ ფუნქციას (ეწოდება დიფერენცირებადი წერტილში, თუ მისი ზრდა ამ წერტილში შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც (*), სადაც A - const, დამოუკიდებელი , - უსასრულოდ მცირე
განმარტება 2 ფუნქცია, რომელიც დიფერენცირებადია სიმრავლის ნებისმიერ წერტილში, სიმრავლეში დიფერენცირებადი ეწოდება.
კავშირი დიფერენციალურობასა და უწყვეტობას შორის
თეორემა. თუ ფუნქცია არის დიფერენცირებადი წერტილში, მაშინ ის უწყვეტია წერტილში.
მტკიცებულება.
მოცემული იყოს ფუნქცია ფუნქცია დიფერენცირებადია იმ წერტილში, სადაც
შებრუნებული თეორემა. თუ ფუნქცია უწყვეტია, მაშინ ის დიფერენცირებადია.
საპირისპირო თეორემა სიმართლეს არ შეესაბამება.
B არ არის დიფერენცირებადი, თუმცა უწყვეტია.
შესვენების წერტილების კლასიფიკაცია
განმარტება ფუნქცია, რომელიც არ არის უწყვეტი წერტილში, არის უწყვეტი წერტილში, ხოლო თავად წერტილს ეწოდება შეწყვეტის წერტილი.
არსებობს შეწყვეტის წერტილების ორი კლასიფიკაცია: I და II სახის.
განმარტება წერტილს ეწოდება პირველი ტიპის შეწყვეტის წერტილი, თუ ამ წერტილში არის სასრული ცალმხრივი ზღვრები, რომლებიც ერთმანეთის არატოლია.
განმარტება წერტილს ეწოდება ერთჯერადი წერტილი ywaთუ, მაგრამ ისინი არ უდრის ფუნქციის მნიშვნელობას წერტილში.
განმარტება წერტილი ეწოდება მეორე სახის შეწყვეტის წერტილს, თუ ამ მომენტში ცალმხრივი საზღვრები ტოლია ან ერთ-ერთი ცალმხრივი ზღვარი უსასრულოა ან წერტილში არ არის ზღვარი.
· – გაუთავებელი;
· – გაუთავებელი ან – გაუთავებელი;
სერიის ერთგვაროვანი კონვერგენციის ნიშნები in
ვეიერშტრასის ნიშანი.
თუ (1) ფუნქციური სერიის წევრები აკმაყოფილებენ რეგიონში არსებულ უტოლობას 
სადაც არის რომელიმე კონვერგენციული რიცხვითი სერიის წევრი, მაშინ რიგი (1) ერთგვაროვნად იყრის თავს.
თეორემა 1 მოდით ფუნქციები 
განსაზღვრულია ინტერვალში და ყველა უწყვეტია ამ ინტერვალის რაღაც მომენტში. თუ სერია (1) შუალედში ერთნაირად იყრის თავს, მაშინ სერიების ჯამი წერტილში ასევე უწყვეტი იქნება.
უწყვეტი ფუნქციის მაგალითი წარმოებულის გარეშე
პირველი ასეთი მაგალითი ააშენა ვეიერშტრასმა; მისი ფუნქცია შემდეგია:
სადაც 0< a <1, а b есть нечетное натуральное число (причем ab >1+π). ეს სერია მაჟორიზებულია კონვერგენტული პროგრესიით, ამიტომ (სერიების ერთგვაროვანი კონვერგენციის ნიშნები), ერთნაირად იყრის თავს და მისი ჯამი არის x-ის ყველგან უწყვეტი ფუნქცია. უმტკივნეულო გამოკვლევით, ვეიერშტრასმა მოახერხა ეჩვენებინა, რომ, მიუხედავად ამისა, მას არავითარ შემთხვევაში არ აქვს სასრული წარმოებული.
აქ განვიხილავთ ვან დერ ვაერდენის უფრო მარტივ მაგალითს, რომელიც აგებულია არსებითად იმავე იდეაზე, მხოლოდ რხევადი მრუდები y = cosωχ იცვლება რხევადი გატეხილი ხაზებით.
ასე რომ, ჩვენ აღვნიშნავთ χ რიცხვსა და მასთან უახლოეს მთელ რიცხვს შორის სხვაობის აბსოლუტური მნიშვნელობით. ეს ფუნქცია წრფივი იქნება ფორმის თითოეულ ინტერვალში, სადაც s არის მთელი რიცხვი; ის უწყვეტია და აქვს 1-ის პერიოდი. მისი გრაფიკი არის გატეხილი ხაზი, ნაჩვენებია სურ. 1-ზე; პოლიხაზის ცალკეულ ბმულებს აქვთ დახრილობა ±1.
მოდით, k=1,2,3,…
ეს ფუნქცია ხაზოვანი იქნება ფორმის ინტერვალებში; ის ასევე უწყვეტია და აქვს პერიოდი. მისი გრაფიკაც გატეხილია, მაგრამ უფრო პატარა კბილებით; ნახ. 1(ბ), მაგალითად, გვიჩვენებს ფუნქციის გრაფიკს. ყველა შემთხვევაში, პოლიხაზის ცალკეული ბმულების დახრილობის კოეფიციენტები და აქ ტოლია ±1.
მოდით ახლა განვსაზღვროთ, ყველა რეალური მნიშვნელობის x , ფუნქცია f (x) თანასწორობით
ვინაიდან, ცხადია, 0≤ (k =0,1,2,…), ასე რომ სერიაში დომინირებს კონვერგენტული პროგრესია, მაშინ (როგორც ვაიერშტრასის ფუნქციის შემთხვევაში) სერია ერთნაირად იყრის თავს და ფუნქცია ყველგანაა. უწყვეტი.
ნებისმიერ ფასზე გავჩერდეთ. გამოვთვალოთ იგი სიზუსტით (სადაც n = 0,1,2, ...), ნაკლოვანებითა და ჭარბით, დავასკვნათ მას ფორმის რიცხვებს შორის:
≤ , სადაც არის მთელი რიცხვი.
(n=0,1,2,…).
აშკარაა, რომ დახურული ინტერვალები ერთმანეთში წყობილი აღმოჩნდება. თითოეულ მათგანში არის ისეთი წერტილი, რომ მისი მანძილი წერტილიდან უდრის შუალედის სიგრძის ნახევარს.
ნათელია, რომ n იზრდება, ვარიანტი .
ახლა შევადგინოთ ნამატების თანაფარდობა
=
მაგრამ როდესაც k > n , რიცხვი არის ფუნქციის პერიოდების მთელი რიცხვი, სერიის შესაბამისი ტერმინები ბრუნდება 0-ზე და შეიძლება გამოტოვდეს. თუ k ≤ n , მაშინ ფუნქცია , რომელიც წრფივია ინტერვალში , იქნება წრფივი მასზე შემავალ ინტერვალში და
(k=0,1,…,n).
ამრიგად, საბოლოოდ გვაქვს 
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს თანაფარდობა უდრის ლუწი რიცხვს, როდესაც n არის კენტი და კენტი რიცხვის, როცა n არის ლუწი. აქედან ირკვევა, რომ ზე, ნამატების თანაფარდობა არ შეიძლება მიდრეკილი იყოს რაიმე სასრულ ზღვრამდე, ამიტომ ჩვენს ფუნქციას არ აქვს სასრულ წარმოებული.
სავარჯიშო ხსნარი
სავარჯიშო 1 (, #909)
ფუნქცია განისაზღვრება შემდეგნაირად: . გამოიკვლიეთ უწყვეტობა და გაარკვიეთ არსებობა
Na უწყვეტია როგორც მრავალწევრი;
ჩართულია (0;1) 
უწყვეტია როგორც მრავალწევრი;
On (1;2) არის უწყვეტი როგორც მრავალწევრი;
On (2; არის უწყვეტი, როგორც ელემენტარული ფუნქცია.
გატეხვისთვის საეჭვო ქულები
ვინაიდან მარცხენა ზღვარი უდრის მარჯვენა ზღვარს და უდრის ფუნქციის მნიშვნელობას წერტილში, ფუნქცია უწყვეტია წერტილში.
ვინაიდან მარცხენა ზღვარი უდრის ფუნქციის მნიშვნელობას წერტილში, ფუნქცია შეწყვეტილია წერტილში.
1 გზა. ფუნქციის სასრულ წარმოებული არ არსებობს წერტილში, მართლაც, დავუშვათ, რომ პირიქით. წერტილში იყოს ფუნქციის სასრული წარმოებული 
უწყვეტია წერტილში (თეორემით 1: თუ ფუნქცია დიფერენცირებადია წერტილში, მაშინ ის უწყვეტია.
2 გზა. ვიპოვოთ ფუნქციის ცალმხრივი ზღვრები x =0 წერტილში.
სავარჯიშო 2 (, №991)
აჩვენე ეს ფუნქცია 
აქვს წყვეტილი წარმოებული.
ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული.
ლიმიტი არ არსებობს უწყვეტად ერთ წერტილში
ვინაიდან უსასრულოდ მცირე ფუნქციაა, ის შეზღუდულია.
დავამტკიცოთ, რომ ფუნქცია 
არ აქვს შეზღუდვა წერტილში.
ამის დასამტკიცებლად საკმარისია იმის ჩვენება, რომ არსებობს არგუმენტების მნიშვნელობების ორი თანმიმდევრობა, რომლებიც გადადიან 0-ზე, რომელიც არ ემთხვევა
გამომავალი: ფუნქცია 
არ აქვს შეზღუდვა წერტილში.
სავარჯიშო 3 (, #995)
აჩვენეთ, რომ ფუნქცია სადაც არის უწყვეტი ფუნქცია და არ აქვს წარმოებული წერტილში. რა არის ცალმხრივი წარმოებულები
ცალმხრივი ლიმიტები არ არის ტოლი, ფუნქციას არ აქვს წარმოებული წერტილში.
სავარჯიშო 4 (, #996)
შექმენით უწყვეტი ფუნქციის მაგალითი, რომელსაც არ აქვს ფუნქციის წარმოებული მოცემულ წერტილებში:
განიხილეთ ფუნქცია წერტილებში
მოდი ვიპოვოთ ცალმხრივი საზღვრები
ცალმხრივი ლიმიტები არ არის ტოლი, ფუნქციას არ აქვს წარმოებული წერტილში. ანალოგიურად, ფუნქციას არ აქვს წარმოებულები სხვა წერტილებში
სავარჯიშო 5 (, №125)
აჩვენეთ, რომ ფუნქციას არ აქვს წარმოებული.
ვიპოვოთ ფუნქციის ზრდა წერტილში
შეადგინეთ ფუნქციის ნაზრდის თანაფარდობა არგუმენტის ზრდასთან
მოდით გადავიდეთ ლიმიტამდე
სავარჯიშო 6 (, №128)
აჩვენე ეს ფუნქცია 
არ აქვს წარმოებული ამ წერტილში.
ავიღოთ ნამატი მივცეთ ნამატი Get წერტილს
იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილებში და
ვიპოვოთ ფუნქციის ზრდა წერტილში
შეადგინეთ ფუნქციის ნაზრდის თანაფარდობა არგუმენტის ზრდასთან
მოდით გადავიდეთ ლიმიტამდე
დასკვნა: არ აქვს სასრულ წარმოებული წერტილში.
სავარჯიშო 7 (, №131)
გამოიკვლიეთ ფუნქცია უწყვეტობისთვის
- შესვენებისთვის საეჭვო წერტილი
ვინაიდან მარცხენა ზღვარი უდრის ფუნქციის მნიშვნელობას წერტილში, ფუნქცია უწყვეტია წერტილში, არსებობს პირველი სახის შეწყვეტა.
დასკვნა
ტერმინულ ნაშრომში წარმოდგენილია მასალა, რომელიც დაკავშირებულია „უწყვეტი, მაგრამ არა დიფერენცირებადი ფუნქციების“ კონცეფციასთან, ამ ნაშრომის მიზნები მიღწეულია, ამოცანები გადაჭრილია.
ბიბლიოგრაფია
1. B. P. Demidovich, / ამოცანების კრებული მათემატიკური ანალიზის დროს. სახელმძღვანელო პედაგოგიური ინსტიტუტების ფიზიკა-მათემატიკის ფაკულტეტის სტუდენტებისთვის. - მ.: განმანათლებლობა, 1990 -624 წწ.
2. G. N. Berman, / ამოცანების კრებული მათემატიკური ანალიზის პროცესში. - მ.: ნაუკა, 1977 - 416 წ.
3. გ.მ.ფიხტენგოლცი / დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლების კურსი ტ.II. - მ., ნაუკა, 1970 - 800 წწ.
4. ი.ა. ვინოგრადოვა, / ამოცანები და სავარჯიშოები მათემატიკურ ანალიზში, ნაწილი 1. - M.: Bustard, 2001 - 725s.
5. ინტერნეტ რესურსი \ http://ru.wikipedia.org/wiki.
6. ინტერნეტ რესურსი \http://www.mathelp.spb.ru/ma.htm.
მოდით ავაშენოთ საინტერესო ნაკრები თვითმფრინავზე ATშემდეგნაირად: გაყოფა, კვადრატი სწორი ხაზებით 
9 თანაბარ კვადრატად და გადააგდეთ ხუთი მათგანი ღია, ორიგინალური კვადრატის წვეროების მიმდებარედ. შემდეგ, ასევე, თითოეულ დარჩენილ კვადრატს ვყოფთ 9 ნაწილად და ვყრით ხუთს და ა.შ. მითითებულია ნაბიჯების თვლადი რაოდენობის შემდეგ დარჩენილი სიმრავლე ბდა დარეკე სიერპინსკის სასაფლაო. გამოთვალეთ გაუქმებული კვადრატების ფართობი:
სიერპინსკის სასაფლაო არის სრულყოფილი და არსად მკვრივი.
გაითვალისწინეთ ნაკრების ფრაქტალური სტრუქტურა.
2.2 კანტორის სავარცხელი
მოდით დავურეკოთ კანტორის სავარცხელირამოდენიმე დზედაპირზე ოქსი, რომელიც შედგება ყველა წერტილისგან 
, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს შემდეგ პირობებს: 
, სად 
- ღერძზე დაყენებული კანტორი ოი. Cantor სავარცხელი არის სრულყოფილი არსად მკვრივი კომპლექტი თვითმფრინავში. Რამოდენიმე დშედგება ყველა პუნქტისგან 
ორიგინალური ერთეული კვადრატი, რომლის აბსციები თვითნებურია 
, ხოლო ორდინატები შეიძლება დაიწეროს სამეულ წილადად, რომელიც არ შეიცავს ერთს თავის სამეულ ნიშანს შორის.
შესაძლებელია თუ არა დაყენება ბ(სიერპინსკის სასაფლაო) და დ(Cantor comb) გამოხატოს Cantor კომპლექტის თვალსაზრისით 
სეგმენტისა და დეკარტის პროდუქტის დამატების ოპერაციების დახმარებით? აშკარაა, რომ კომპლექტი ბდა დგამოხატულია მარტივად:
ბ=
x 
დ= x 
3 კანტორის ფუნქცია
შესაძლებელია თუ არა სეგმენტზე არსად მკვრივი ნაკრების განუწყვეტელი რუკა ამ სეგმენტზე?
დიახ, ავიღოთ კანტორის არსად მკვრივი ნაკრები. კონსტრუქციის პირველ საფეხურზე ფუნქციის მნიშვნელობა დავაყენეთ 0,5-ის ტოლი პირველი სახის მიმდებარე ინტერვალის წერტილებში. მეორე საფეხურზე, მეორე ტიპის ყოველი მიმდებარე ინტერვალისთვის, ჩვენ ვაყენებთ ფუნქციის მნიშვნელობას შესაბამისად 0.25 და 0.75. იმათ. ჩვენ, როგორც ეს იყო, ვყოფთ თითოეულ სეგმენტს ღერძად ოინახევარში ( წ მე) და დააყენეთ შესაბამის მიმდებარე ინტერვალში ფუნქციის მნიშვნელობა მნიშვნელობის ტოლი yi.
შედეგად მივიღეთ უცვლელი ფუნქცია (ეს დადასტურდა კურსის "მათემატიკური ანალიზის არჩეული თავები" ფარგლებში), რომელიც განსაზღვრულია სეგმენტზე და მუდმივზე თითოეული წერტილის ზოგიერთ უბანში სიმრავლიდან \ 
. ჩაშენებული ფუნქცია 
დაურეკა კანტორის ფუნქცია(კანტორის ფუნქცია) და მისი გრაფიკი ქვემოთ - "დაწყევლილი კიბეები".
ყურადღება მიაქციეთ ფუნქციის ფრაქტალურ სტრუქტურას:
ფუნქცია 
აკმაყოფილებს შემდეგ უტოლობას:
Cantor ფუნქცია უწყვეტია ინტერვალზე. ის არ მცირდება და მისი მნიშვნელობების ნაკრები შეადგენს მთელ სეგმენტს. ამიტომ ფუნქცია 
არ აქვს ნახტომები. და მას შემდეგ თუ მონოტონურ ფუნქციას არ შეიძლება ჰქონდეს ნახტომების გარდა სხვა უწყვეტობის წერტილები (იხ. ერთფეროვანი ფუნქციების უწყვეტობის კრიტერიუმი), მაშინ ის უწყვეტია.
საინტერესოა დაკვირვება, რომ უწყვეტი კანტორის გრაფიკი ფუნქციონირებს 
შეუძლებელია დახატვა "ქაღალდიდან ფანქრის აწევის გარეშე"".
ყველგან უწყვეტი, მაგრამ არსად დიფერენცირებადი ფუნქცია
მოდით ავაშენოთ დამხმარე ფუნქცია 
ეტაპობრივად. ნულოვან საფეხურზე ჩვენ ვადგენთ ორ პუნქტს:
და 
.
შემდეგი, დააფიქსირეთ პარამეტრი 
. პირველ და შემდგომ საფეხურზე ჩვენ დავაზუსტებთ პუნქტებს შემდეგი წესის მიხედვით: აბსცისის ღერძის მიმდებარე ორი ადრე აშენებული წერტილისთვის. 
და 
ჩვენ ავაშენებთ ორ ახალ პუნქტს 
და 
ცენტრალიზებული სიმეტრიულია წერტილებით განსაზღვრული მართკუთხედის ცენტრის მიმართ 
და 
კოეფიციენტით კ. ანუ, პირველ ეტაპზე ორი ახალი პუნქტია დაყენებული:
და 
და ა.შ.
Ზე (მ+1)-აბსცისებით ადრე აშენებული წერტილების გარდა
,
აბსცისის ღერძის გასწვრივ ყველა ინტერვალში აგებულია ორი წერტილი მეზობელ უკვე აშენებულ წერტილებს შორის. ეს კონსტრუქცია შესრულებულია შემდეგნაირად: აბსცისის გასწვრივ არსებული ხარვეზები მეზობელ წერტილებს შორის (მართკუთხედები გვერდებით ადა ბ) იყოფა 3 თანაბარ ნაწილად. შემდეგ ორი ახალი წერტილი შენდება ერთ-ერთი შემდეგი სქემის მიხედვით:
იმის მიხედვით, თუ რომელი მეზობელი წერტილი 
ან 
ზემოთ, გამოიყენეთ მარცხენა ან მარჯვენა სქემა. პირველ ეტაპზე, როგორც ზემოთ ნაჩვენებია, ჩვენ ვიღებთ a=b=1.
ჩვენ ვიმეორებთ კონსტრუქციას თვლადი რაოდენობით m = 1, 2, 3, ... . შედეგად, ჩვენ მივიღებთ ფრაქტალს, რომელიც იქნება მსგავსი, აფინურ ტრანსფორმაციამდე (გაფართოება, შეკუმშვა, ბრუნვა) მისი რომელიმე ნაწილის, რომელიც შეიცავს თითოეულ ზოლს:
;
ფრაქტალის აგების შედეგად ვიღებთ ფუნქციას 
განსაზღვრული პუნქტების სიმრავლეზე
,
;
(*)
რომელიც ყველგან მკვრივია სეგმენტზე.
რა თვისებები აქვს აგებულ ფუნქციას?
ფორმის (*) ყოველ წერტილში მკაცრი მაქსიმუმი ან მკაცრი მინიმუმი, ე.ი. ფუნქცია გ(x) არსად არის მონოტონური და აქვს მკაცრი ექსტრემის წერტილების მკვრივი ნაკრები სეგმენტზე;
ფუნქცია g(x) არის უწყვეტი და თანაბრად უწყვეტი წერტილების სიმრავლეზე (*);
სეგმენტზე უწყვეტად აგებულ ფუნქციას მოცემული სეგმენტის არცერთ წერტილში ცალმხრივი წარმოებულები არ აქვს;
ზემოაღნიშნული თვისებები დადასტურდა კურსის „მათემატიკური ანალიზის რჩეული თავები“ ფარგლებში.
განხილულ მაგალითში ჩვენ ვაყენებთ პარამეტრს 
. ამ პარამეტრის მნიშვნელობის შეცვლით, შეგიძლიათ მიიღოთ ფუნქციების ოჯახები საკუთარი განსაკუთრებული თვისებებით.
ვეიერშტრასის კომპლექსურ ფუნქციას აქვს ფორმა
სადაც არის რეალური რიცხვი და იწერება როგორც , ან როგორც . ფუნქციის რეალურ და წარმოსახვით ნაწილებს, შესაბამისად, ვეიერშტრასის კოსინუსი და სინუსოიდები ეწოდება.
ფუნქცია უწყვეტია, მაგრამ არსად დიფერენცირებადი. თუმცა, საქმისადმი მისი ფორმალური განზოგადება არის როგორც უწყვეტი, ასევე დიფერენცირებადი.
გარდა თავად ფუნქციისა, ამ განყოფილებაში განხილულია მისი რამდენიმე ვარიანტი; მათი წარმოდგენის საჭიროება განპირობებულია ფრაქტალების თეორიით ვაიერშტრასის ფუნქციისთვის მინიჭებული ახალი მნიშვნელობით.
ფუნქციის სიხშირის სპექტრი.ტერმინი „სპექტრი“, ჩემი აზრით, გადატვირთულია მნიშვნელობებით. სიხშირის სპექტრი გაგებულია, როგორც დასაშვები სიხშირის მნიშვნელობების ნაკრები, შესაბამისი კომპონენტების ამპლიტუდის მიუხედავად.
პერიოდული ფუნქციის სიხშირის სპექტრი არის დადებითი მთელი რიცხვების თანმიმდევრობა. ბრაუნის ფუნქციის სიხშირის სპექტრი არის . Weierstrass-ის ფუნქციის სიხშირის სპექტრი არის დისკრეტული მიმდევრობა დან .
ფუნქციის ენერგეტიკული სპექტრი.ენერგეტიკული სპექტრი გაგებულია, როგორც დასაშვები სიხშირის მნიშვნელობების ნაკრები შესაბამისი კომპონენტების ენერგეტიკულ მნიშვნელობებთან (ამპლიტუდის კვადრატებთან). ფუნქციაში ფორმის თითოეული სიხშირის მნიშვნელობისთვის არის ფორმის ენერგიის სპექტრული ხაზი 
. მაშასადამე, ენერგიის მთლიანი ღირებულება სიხშირეებზე თანხვედრა და პროპორციულია 
.
შედარება წილადი ბრაუნის მოძრაობასთან.ჯამური ენერგია პროპორციულია რამდენიმე სხვა შემთხვევაში, რაც ადრე განვიხილეთ: წილადური პერიოდული შემთხვევითი ფურიე-ბრაუნ-ვინერის ფუნქციები, რომელთა დასაშვები სიხშირეები აქვს ფორმას და შესაბამისი ფურიეს კოეფიციენტები ტოლია; შემთხვევითი პროცესები უწყვეტი სპექტრული მოსახლეობის სიმკვრივით პროპორციული. ეს უკანასკნელი პროცესები სხვა არაფერია, თუ არა წილადი ბრაუნის ფუნქციები, რომლებიც აღწერილია 27-ე თავში. მაგალითად, ზე, შეგიძლიათ იპოვოთ ვაიერშტრასის ფუნქციის კუმულაციური სპექტრი ჩვეულებრივ ბრაუნის მოძრაობაში, რომლის სპექტრული სიმკვრივე პროპორციულია . არსებითი განსხვავება ისაა, რომ ბრაუნის სპექტრი აბსოლუტურად უწყვეტია, ხოლო ფურიე-ბრაუნ-ვინერისა და ვაიერშტრასის ფუნქციების სპექტრები დისკრეტულია.
არადიფერენცირებადობა.იმის დასამტკიცებლად, რომ ფუნქციას არ აქვს სასრული წარმოებული რომელიმე მნიშვნელობისთვის, ვეიერშტრასს უნდა გაეერთიანებინა შემდეგი ორი პირობა: - კენტი მთელი რიცხვი, რის შედეგადაც ფუნქცია არის ფურიეს სერია და . აუცილებელი და საკმარისი პირობები ( და ) აღებულია ჰარდის სტატიიდან.
Ენერგიის მოხმარება.სპექტრებს მიჩვეული ფიზიკოსისთვის ჰარდის პირობები აშკარად ჩანს. ცერი წესის გამოყენებით, რომ ფუნქციის წარმოებული გამოითვლება მისი მე-ე ფურიეს კოეფიციენტის გამრავლებით, ფიზიკოსი ფუნქციის ფორმალურ წარმოებულზე აღმოაჩენს, რომ ფურიეს კოეფიციენტის ამპლიტუდის კვადრატი c არის. 
. ვინაიდან მთლიანი ენერგია ,-ზე მეტ სიხშირეებზე უსასრულოა, ფიზიკოსისთვის ცხადი ხდება, რომ წარმოებულის დადგენა შეუძლებელია.
საინტერესოა აღინიშნოს, რომ რიმანი, არაგანსხვავებულობის მაგალითის ძიებაში, მივიდა ფუნქციამდე. 
, რომლის სპექტრის ენერგია აღემატება სიხშირეებზე , პროპორციულია , სადაც . ამრიგად, იგივე ევრისტიკული მსჯელობის გამოყენებით, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ წარმოებული არ არის დიფერენცირებადი. ეს დასკვნა მხოლოდ ნაწილობრივ მართალია, რადგან გარკვეული მნიშვნელობებისთვის წარმოებული ჯერ კიდევ არსებობს (იხ.).
ულტრაიისფერი დივერგენცია / კატასტროფა.ტერმინი „კატასტროფა“ ფიზიკაში გაჩნდა მე-20 საუკუნის პირველ ათწლეულში, როდესაც რეილიმ და ჯინსმა დამოუკიდებლად შეიმუშავეს შავი სხეულის გამოსხივების თეორია, რომლის მიხედვითაც სიხშირის სიგანის დიაპაზონის ენერგია სიხშირის სიახლოვეს პროპორციულია . ეს ნიშნავს, რომ სპექტრის მთლიანი ენერგია მაღალ სიხშირეებზე უსასრულოა – რაც თეორიისთვის საკმაოდ კატასტროფული გამოდის. ვინაიდან უბედურების წყარო არის სპექტრის ულტრაიისფერი ნაწილის მიღმა მყოფი სიხშირეები, ფენომენს ულტრაიისფერი (UV) კატასტროფა ეწოდება.
ყველამ იცის, რომ პლანკმა ააგო თავისი კვანტური თეორია ნანგრევებზე, რომლებშიც გამოსხივების თეორია სწორედ ულტრაიისფერი სხივების კატასტროფამ გადაიტანა.
ისტორიული უკანდახევა.გაითვალისწინეთ (თუმცა არ მესმის, რატომ არავის გაუკეთებია ეს აქამდე; ყოველ შემთხვევაში, ჩემ ხელთ არსებულ წყაროებში მსგავსი ვერაფერი ვიპოვე) რომ ძველი ფიზიკის და ძველი მათემატიკის გარდაცვალების მიზეზი ერთი და იგივე განსხვავებაა. რამაც შეარყია მათ რწმენა, რომ უწყვეტი ფუნქციები უბრალოდ უნდა იყოს დიფერენცირებადი. ფიზიკოსები რეაგირებდნენ თამაშის წესების უბრალოდ შეცვლით, ხოლო მათემატიკოსებს უნდა ესწავლათ არადიფერენცირებადი ფუნქციებითა და მათი ფორმალური წარმოებულებით ცხოვრება. (ეს უკანასკნელი არის განზოგადებული შვარცის ფუნქციის ერთადერთი მაგალითი, რომელიც ჩვეულებრივ გამოიყენება ფიზიკაში.)
მასშტაბის უცვლელი დისკრეტული სპექტრის ძიებაში. ინფრაწითელი დივერგენცია.მიუხედავად იმისა, რომ ბრაუნის ფუნქციის სიხშირის სპექტრი არის უწყვეტი, მასშტაბური უცვლელი და არსებობს , Weierstrass-ის ფუნქციის სიხშირის სპექტრი, რომელიც შეესაბამება იგივე მნიშვნელობას, არის დისკრეტული და შემოსაზღვრულია ქვემოთ. ქვედა ზღვრის არსებობა განპირობებულია მხოლოდ იმით, რომ ვეიერშტრასის რიცხვი თავდაპირველად მთელი რიცხვი იყო და ფუნქცია პერიოდული იყო. ამ გარემოების აღმოსაფხვრელად, ცხადია, უნდა დაუშვას ნებისმიერი მნიშვნელობის მიღება დან . და იმისთვის, რომ ენერგეტიკული სპექტრი გახდეს მასშტაბური უცვლელი, საკმარისია თითოეული სიხშირის კომპონენტი დაუკავშიროთ ამპლიტუდას.
სამწუხაროდ, შედეგად მიღებული სერია განსხვავდება და დაბალი სიხშირის კომპონენტებია დამნაშავე. ასეთ დეფექტს ეწოდება ინფრაწითელი (IR) დივერგენცია (ან "კატასტროფა"). როგორც არ უნდა იყოს, უნდა შეეგუოს ამ განსხვავებას, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში ქვედა ზღვარი ეწინააღმდეგება ენერგეტიკულ სპექტრში თანდაყოლილ თვითმსგავსებას.
მოდიფიცირებული Weierstrass ფუნქცია, თვითდაკავშირება ფოკუსური დროის მიმართ.უმარტივესი პროცედურა, რომელიც შესაძლებელს ხდის ვაიერშტრასის ფუნქციის სიხშირის სპექტრის გაფართოებას მნიშვნელობამდე და ამ პროცესში კატასტროფული შედეგების თავიდან აცილების მიზნით, შედგება ორი ეტაპისგან: პირველი, ვიღებთ გამოხატვას. 
და მხოლოდ ამის შემდეგ ავიღოთ ნებისმიერი მნიშვნელობა დან. დამატებითი ტერმინები, რომლებიც შეესაბამება მნიშვნელობებს თანხვედრისთვის და მათი ჯამი უწყვეტი და დიფერენცირებადია. ფუნქცია შეცვლილია ამ გზით
ჯერ კიდევ უწყვეტია, მაგრამ არსად დიფერენცირებადი.
გარდა ამისა, ის მასშტაბურ-ინვარიანტულია იმ გაგებით, რომ
.
ასე რომ ფუნქცია 
არ არის დამოკიდებული. სხვანაირად შეიძლება ითქვას: ფუნქციისთვის 
არ არის დამოკიდებული. ეს არის ფუნქცია 
მისი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები ფორმისა და ფოკუსური დროის მნიშვნელობებთან მიმართებაში თვითმოკიდებულია.
გაუსის შემთხვევითი ფუნქციები განზოგადებული ვეიერშტრასის სპექტრით.შემდეგი ნაბიჯი რეალიზმისა და ფართო გამოყენებისკენ არის განზოგადებული ვეიერშტრასის ფუნქციის რანდომიზაცია. უმარტივესი და ყველაზე ბუნებრივი მეთოდია მისი ფურიეს კოეფიციენტების გამრავლება დამოუკიდებელ კომპლექსურ გაუსის შემთხვევით ცვლადებზე საშუალო ნულოვანი და ერთეული დისპერსიით. მიღებული ფუნქციის რეალურ და წარმოსახვით ნაწილებს სამართლიანად შეიძლება ვუწოდოთ ვეიერშტრას-გაუსის (მოდიფიცირებული) ფუნქციები. გარკვეული გაგებით, ეს ფუნქციები შეიძლება ჩაითვალოს მიახლოებით წილადობრივ ბრაუნის ფუნქციებად. როდესაც მნიშვნელობები ემთხვევა, მათი სპექტრები ისეთივე მსგავსია, როგორც ის ფაქტი, რომ ამ სპექტრებიდან ერთი უწყვეტია, ხოლო მეორე დისკრეტული. უფრო მეტიც, ორეისა და მარკუსის შედეგები (იხ. გვ. 490) გამოიყენება ვეიერშტრას-გაუსის ფუნქციებზე და მათი დონის კომპლექტების ფრაქტალური ზომები ემთხვევა წილადი ბრაუნის ფუნქციების დონის სიმრავლეების ფრაქტალურ ზომებს.
წილადი ბრაუნის მოძრაობით წარმოდგენილი პრეცედენტის გათვალისწინებით, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ Weierstrass-Rademacher ფუნქციის ნულოვანი სიმრავლეების განზომილება იქნება ტოლი. ეს ვარაუდი დადასტურებულია , მაგრამ მხოლოდ მთელი რიცხვებისთვის.
სინგჰი ახსენებს ვეიერშტრასის ფუნქციის ბევრ სხვა ვარიანტს. ზოგიერთი მათგანის კომპლექტების ნულოვანი განზომილება ადვილად შესაფასებელია. ზოგადად, ეს თემა აშკარად იმსახურებს უფრო დეტალურ შესწავლას, თანამედროვე თეორიული აზროვნების მიღწევების გათვალისწინებით.
მოდით ავაშენოთ დამხმარე ფუნქცია ინტერვალზე ეტაპობრივად. ნულოვან საფეხურზე ჩვენ ვადგენთ ორ პუნქტს:
და 
.
შემდეგი, დააფიქსირეთ პარამეტრი. პირველ და შემდგომ ნაბიჯებზე დავაზუსტებთ წერტილებს შემდეგი წესის მიხედვით: ყოველი ორი ადრე აგებული წერტილისთვის და აბსცისის ღერძის მიმდებარედ ავაშენებთ ორ ახალ წერტილს და სიმეტრიულად ავაშენებთ მართკუთხედის ცენტრს, რომელიც მითითებულია წერტილებით და კოეფიციენტი კ. ანუ, პირველ ეტაპზე ორი ახალი პუნქტია დაყენებული:
და 
და ა.შ.
Ზე (მ+1)-აბსცისებით ადრე აშენებული წერტილების გარდა
,
აბსცისის ღერძის გასწვრივ ყველა ინტერვალში აგებულია ორი წერტილი მეზობელ უკვე აშენებულ წერტილებს შორის. ეს კონსტრუქცია შესრულებულია შემდეგნაირად: აბსცისის გასწვრივ არსებული ხარვეზები მეზობელ წერტილებს შორის (მართკუთხედები გვერდებით ადა ბ) იყოფა 3 თანაბარ ნაწილად. შემდეგ ორი ახალი წერტილი შენდება ერთ-ერთი შემდეგი სქემის მიხედვით:
იმის მიხედვით, თუ რომელი მეზობელი წერტილიდან ან უფრო მაღალია, ვიყენებთ მარცხენა ან მარჯვენა სქემას. პირველ ეტაპზე, როგორც ზემოთ ნაჩვენებია, ჩვენ ვიღებთ a=b=1.
ჩვენ ვიმეორებთ კონსტრუქციას თვლადი რაოდენობით m = 1, 2, 3, ... . შედეგად, ჩვენ მივიღებთ ფრაქტალს, რომელიც იქნება მსგავსი, აფინურ ტრანსფორმაციამდე (გაფართოება, შეკუმშვა, ბრუნვა) მისი რომელიმე ნაწილის, რომელიც შეიცავს თითოეულ ზოლს:
;
ფრაქტალის აგების შედეგად ვიღებთ წერტილთა სიმრავლეზე განსაზღვრულ ფუნქციას
რომელიც ყველგან მკვრივია სეგმენტზე.
რა თვისებები აქვს აგებულ ფუნქციას?
· ფორმის (*) თითოეულ წერტილში არის მკაცრი მაქსიმუმი ან მკაცრი მინიმალური, ე.ი. ფუნქცია g(x)არსად არის მონოტონური და აქვს მკაცრი ექსტრემის წერტილების მკვრივი ნაკრები სეგმენტზე;
· ფუნქცია g(x) არის უწყვეტი და თანაბრად უწყვეტი წერტილების სიმრავლეზე (*);
· სეგმენტზე უწყვეტად აგებულ ფუნქციას მოცემული სეგმენტის არცერთ წერტილში არ აქვს ცალმხრივი წარმოებულები;
ზემოაღნიშნული თვისებები დადასტურდა კურსის „მათემატიკური ანალიზის რჩეული თავები“ ფარგლებში.
განხილულ მაგალითში ჩვენ ვივარაუდეთ პარამეტრი . ამ პარამეტრის მნიშვნელობის შეცვლით, შეგიძლიათ მიიღოთ ფუნქციების ოჯახები საკუთარი განსაკუთრებული თვისებებით.
· . ეს ფუნქციები უწყვეტი და მკაცრად მონოტონურად მზარდია. მათ აქვთ ნულოვანი და უსასრულო წარმოებულები (შესაბამისად, გადახრის წერტილები) წერტილების სიმრავლეებზე, რომლებიც ყველგან მკვრივია სეგმენტზე.
· . მიღებული წრფივი ფუნქცია y=x
· . ფუნქციების ოჯახის თვისებები იგივეა, რაც k-ის მნიშვნელობებისთვის პირველი დიაპაზონიდან.
· . ჩვენ მივიღეთ Cantor ფუნქცია, რომელიც დეტალურად შევისწავლეთ ადრე.
· . ეს ფუნქციები არის უწყვეტი, არსად ერთფეროვანი, აქვთ მკაცრი მინიმალური და მაქსიმუმები, ნული და უსასრულო (ორივე ნიშნის) ცალმხრივი წარმოებულები წერტილების სიმრავლეებზე, რომლებიც ყველგან მკვრივია სეგმენტზე.
· . ეს ფუნქცია ჩვენ მიერ ზემოთ იქნა შესწავლილი.
· . ამ დიაპაზონის ფუნქციებს აქვთ იგივე თვისებები, რაც ფუნქციას .
დასკვნა.
ჩემს ნაშრომში განვახორციელე რამდენიმე მაგალითი კურსიდან „მათემატიკური ანალიზის რჩეული თავები“. ჩემს მიერ ვიზუალიზებული პროგრამების სკრინშოტი იყო ჩასმული ამ ნამუშევარში. სინამდვილეში, ისინი ყველა ინტერაქტიულია, სტუდენტს შეუძლია ნახოს ფუნქციის ტიპი კონკრეტულ საფეხურზე, შექმნას ისინი განმეორებით და გაადიდოს. სამშენებლო ალგორითმები, ასევე ბიბლიოთეკის ზოგიერთი ფუნქცია ჩონჩხიიყო სპეციალურად შერჩეული და გაუმჯობესებული ამ ტიპის პრობლემისთვის (ძირითადად გათვალისწინებული იყო ფრაქტალები).
ეს მასალა უდავოდ გამოადგება მასწავლებლებსა და სტუდენტებს და კარგი თანმხლებია კურსის „მათემატიკური ანალიზის რჩეული თავების“ ლექციებისთვის. ამ ვიზუალიზაციის ინტერაქტიულობა ხელს უწყობს აგებული კომპლექტების ბუნების უკეთ გააზრებას და ხელს უწყობს სტუდენტების მიერ მასალის აღქმის პროცესს.
აღწერილი პროგრამები შედის www.visualmath.ru პროექტის ვიზუალური მოდულების ბიბლიოთეკაში, მაგალითად, აქ არის Cantor ფუნქცია, რომელიც უკვე განვიხილეთ:
სამომავლოდ იგეგმება ვიზუალიზებული ამოცანების სიის გაფართოება და კონსტრუქციული ალგორითმების გაუმჯობესება პროგრამების უფრო ეფექტური მუშაობისთვის. www.visualmath.ru პროექტში მუშაობამ უდავოდ მოიტანა უამრავი სარგებელი და გამოცდილება, გუნდური მუშაობის უნარი, საგანმანათლებლო მასალის შეფასებისა და მაქსიმალურად ნათლად წარმოდგენის უნარი.
ლიტერატურა.
1. B. Gelbaum, J. Olmstead, Counterexamples in Analysis. მ.: მირ.1967 წ.
2. ბ.მ. მაკაროვი და სხვები შერჩეული ამოცანები რეალურ ანალიზში. ნეველის დიალექტი, 2004 წ.
3. ბ.მანდელბროტი. ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია. კომპიუტერული კვლევების ინსტიტუტი, 2002 წ.
4. იუ.ს. ოჩანი, ამოცანებისა და თეორემების კრებული TFDP-ზე. მ.: განმანათლებლობა. 1963 წ.
5. ვ.მ. შიბინსკის მაგალითები და კონტრმაგალითები მათემატიკური ანალიზის პროცესში. მოსკოვი: უმაღლესი სკოლა, 2007 წ.
6. R.M. Kronover, Fractals და ქაოსი დინამიურ სისტემებში, მოსკოვი: Postmarket, 2000 წ.
7. A. A. Nikitin, მათემატიკური ანალიზის რჩეული თავები // CMC MSU ფაკულტეტის ახალგაზრდა მეცნიერთა სტატიების კრებული, 2011 / ed. S.A. ლოჟკინი. მ.: მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტის VMK ფაკულტეტის გამომცემლობის განყოფილება. მ.ვ. ლომონოსოვი, 2011. S. 71-73.
8. R.M. Kronover, Fractals და ქაოსი დინამიურ სისტემებში, მოსკოვი: Postmarket, 2000 წ.
9. ფრაქტალი და ყველგან უწყვეტი, მაგრამ არსად არადიფერენცირებადი ფუნქციის აგება // XVI საერთაშორისო ლომონოსოვის წაკითხვები: სამეცნიერო ნაშრომების კრებული. - არხანგელსკი: პომორის სახელმწიფო უნივერსიტეტი, 2004. გვ.266-273.
ღია კომპლექტების თვლადი რაოდენობის გაერთიანება (მიმდებარე ინტერვალები) ღიაა, ხოლო ღია სიმრავლის დანამატი დახურულია.
წერტილის ნებისმიერი სამეზობლო ა Cantor კომპლექტი, არის მინიმუმ ერთი წერტილი , განსხვავებული ა.
ის დახურულია და არ შეიცავს იზოლირებულ წერტილებს (თითოეული წერტილი არის ზღვრული წერტილი).
არის მაქსიმუმ თვლადი ნაკრები ყველგან მჭიდროდ.
A სიმრავლე არსად მკვრივია R სივრცეში, თუ ამ სივრცის რომელიმე ღია სიმრავლე შეიცავს სხვა ღია სიმრავლეს, რომელიც სრულიად თავისუფალია A-ში წერტილებისგან.
წერტილი, რომლის რომელიმე სამეზობლოში შეიცავს მოცემული სიმრავლის წერტილთა უთვალავ სიმრავლეს.
ჩვენ ვიტყვით, რომ სიბრტყეში სიმრავლე არსად არის მკვრივი მეტრულ სივრცეში R, თუ რომელიმე ღია დისკი ამ სივრცეში შეიცავს სხვა ღია დისკს მოცემულ კომპლექტში წერტილებისგან სრულიად თავისუფალი.
„ჭეშმარიტია თუ არა დებულება S?“ არის ალბათ ყველაზე ტიპიური კითხვა მათემატიკაში, როდესაც დებულებას აქვს ფორმა: „A კლასის თითოეული ელემენტი ასევე ეკუთვნის B კლასს: A B“. დაამტკიცო, რომ ასეთი განცხადება არის ჭეშმარიტი, ნიშნავს დაამტკიცო ჩართვა A B. დაამტკიცო, რომ ის მცდარია, ნიშნავს A კლასის ელემენტის პოვნას, რომელიც არ მიეკუთვნება B კლასს, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მივცეთ კონტრმაგალითი. მაგალითად, თუ წინადადება S არის: „ყველა უწყვეტი ფუნქცია რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია“, მაშინ A და B სიმრავლეები, შესაბამისად, შედგება ყველა უწყვეტი ფუნქციისგან და ყველა დიფერენცირებადი ფუნქციისგან ზოგიერთ წერტილში. ცნობილი Weierstrass-ის მაგალითი უწყვეტი, მაგრამ არსად დიფერენცირებადი ფუნქცია f არის კონტრმაგალითი A B-ს შესატანად, რადგან f არის A-ს ელემენტი, რომელიც არ ეკუთვნის B-ს. ზედმეტი გამარტივების რისკის ქვეშ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მათემატიკა (გარდა განმარტებებისა, განცხადებებისა და გამოთვლებისა) შედგება ორისაგან. ნაწილები - მტკიცებულებები და კონტრმაგალითები, ხოლო მათემატიკური აღმოჩენები შედგება მტკიცებულებების პოვნაში და კონტრმაგალითების აგებაში.
ეს განსაზღვრავს კონტრმაგალითების შესაბამისობას მათემატიკის ფორმირებისა და განვითარების დროს.
მათემატიკური წიგნების უმეტესობა ეძღვნება ჭეშმარიტი განცხადებების დამტკიცებას.
ზოგადად, მათემატიკაში არსებობს ორი სახის მაგალითი - საილუსტრაციო მაგალითები და კონტრმაგალითები. პირველი გვიჩვენებს, რატომ აქვს ამა თუ იმ განცხადებას აზრი და მეორე - რატომ არის უაზრო ესა თუ ის განცხადება. შეიძლება ითქვას, რომ ნებისმიერი მაგალითი იმავდროულად არის კონტრმაგალითი ზოგიერთი მტკიცებისა, კერძოდ, იმის მტკიცებისა, რომ ასეთი მაგალითი შეუძლებელია. ჩვენ არ გვსურს ტერმინს კონტრმაგალითს მივცეთ ასეთი უნივერსალური მნიშვნელობა, მაგრამ მიგვაჩნია, რომ მისი მნიშვნელობა საკმარისად ფართოა იმისათვის, რომ მოიცავდეს ყველა მაგალითს, რომელთა როლი არ შემოიფარგლება მხოლოდ ჭეშმარიტი თეორემების ილუსტრირებით. ასე, მაგალითად, მრავალწევრი, როგორც უწყვეტი ფუნქციის მაგალითი, არ არის კონტრმაგალითი, მაგრამ მრავალწევრი, როგორც შეუზღუდავი ან არაპერიოდული ფუნქციის მაგალითი, არის კონტრმაგალითი. ანალოგიურად, ყველა მონოტონური ფუნქციის კლასი შეზღუდულ დახურულ ინტერვალზე, როგორც ინტეგრირებადი ფუნქციების კლასი, არ არის კონტრმაგალითი, მაგრამ იგივე კლასი, როგორც ფუნქციური სივრცის მაგალითი, მაგრამ არა ვექტორული სივრცის მაგალითი, არის კონტრმაგალითი.
ამ ნაშრომის მიზანია ანალიზის დროს ფუნქციის ერთფეროვნების კონტრმაგალითების და პირობების გათვალისწინება.
მიზნის მისაღწევად დასახული იყო შემდეგი ამოცანები:
1. განიხილეთ კონტრმაგალითები ანალიზის დროს
2. განმარტეთ კონტრმაგალითის ცნება
3. განიხილეთ კონტრმაგალითების გამოყენება დიფერენციაციისას
4. განსაზღვრეთ ფუნქციათა ერთფეროვნების ცნება
5. დაახასიათეთ ფუნქციის ერთფეროვნების პირობები
6. განიხილეთ ლოკალური ექსტრემისთვის აუცილებელი პირობა
7. განიხილეთ საკმარისი პირობები ადგილობრივი ექსტრემისთვის
1. კონტრამაგალითები ანალიზში
1.1. კონტრმაგალითის ცნება
პოპულარულ გამოთქმებს: "ისწავლე მაგალითებიდან", "მაგალითის ძალას" არა მხოლოდ ამქვეყნიური მნიშვნელობა აქვს. სიტყვა "მაგალითი" არის მონათესავე სიტყვები "ზომა", "ზომა", "გაზომვა", მაგრამ არა მხოლოდ ამ მიზეზით არის წარმოდგენილი მათემატიკაში თავიდანვე. მაგალითი ასახავს კონცეფციას, ეხმარება მისი მნიშვნელობის გაგებაში, ადასტურებს განცხადების ჭეშმარიტებას მის კონკრეტულ გამოვლინებაში; კონტრმაგალითს, რომელიც უარყოფს ცრუ განცხადებას, აქვს დამადასტურებელი მნიშვნელობა.
კონტრმაგალითი არის მაგალითი, რომელიც უარყოფს ზოგიერთი განცხადების სიმართლეს.
კონტრმაგალითის აგება ჰიპოთეზების უარყოფის ჩვეულებრივი გზაა. თუ არსებობს განცხადება, როგორიცაა "ნებისმიერი X-ისთვის M სიმრავლიდან, A თვისება მოქმედებს", მაშინ ამ განცხადების კონტრმაგალითი არის ნებისმიერი X 0 ობიექტი M სიმრავლიდან, რომლისთვისაც A თვისება არ არის დაცული.
კლასიკური კონტრმაგალითი გაანგარიშების ისტორიაში არის ბერნარ ბოლზანოს მიერ აგებული ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია მთელ რეალურ ღერძზე და არ არის დიფერენცირებადი ნებისმიერ წერტილში. ეს ფუნქცია საპირისპირო მაგალითი იყო ჰიპოთეზის, რომ ფუნქციის დიფერენცირებადობა მისი უწყვეტობის ბუნებრივი შედეგია.
2.2. კონტრმაგალითების გამოყენება დიფერენციაციისას
ეს განყოფილება შეირჩა იმის გამო, რომ დიფერენციაცია არის მათემატიკური ანალიზის ძირითადი ელემენტი.
ამ თავის ზოგიერთ მაგალითში ტერმინი წარმოებული ასევე ვრცელდება უსასრულო ზღვრებზე.
თუმცა, ტერმინი დიფერენცირებადი ფუნქცია გამოიყენება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ფუნქციას აქვს სასრული წარმოებული მისი დომენის ყველა წერტილში. ფუნქცია ითვლება უსასრულოდ დიფერენცირებად, თუ მას აქვს ნებისმიერი რიგის (სასრული) წარმოებული მისი დომენის ყველა წერტილში.
ექსპონენციალური ფუნქცია e ფუძით აღინიშნა ex ან exp(x) სიმბოლოთი.
ვარაუდობენ, რომ ყველა კომპლექტი, მათ შორის დომენები და ფუნქციების მნიშვნელობების სიმრავლე, არის R-ის ქვესიმრავლეები. წინააღმდეგ შემთხვევაში, განხორციელდება შესაბამისი დახვეწა.
1. არაწარმოებული ფუნქცია
ფუნქცია sgnA: და ზოგადად, ნებისმიერ ფუნქციას, რომელსაც აქვს ნახტომის სახით უწყვეტობა, არ აქვს პრიმიტიული, ანუ არ არის რაიმე ფუნქციის წარმოებული, რადგან მას არ გააჩნია ქოშის თვისება, მიიღოს ყველა შუალედური მნიშვნელობა, და ეს. თვისება თანდაყოლილია არა მხოლოდ უწყვეტ ფუნქციებში, არამედ წარმოებულებშიც (იხ. გვ. 84, სავარჯიშო 40 და ასევე, ტ. I, გვ. 224). ქვემოთ მოცემულია უწყვეტი წარმოებულის მაგალითი.
2. დიფერენცირებადი ფუნქცია წყვეტილი წარმოებულით
განიხილეთ ფუნქცია
მისი წარმოებული
არის წყვეტილი x = 0 წერტილში.
3. უწყვეტი ფუნქცია, რომელსაც ყველგან აქვს წარმოებული (აუცილებლად სასრული)
იმისათვის, რომ ასეთი მაგალითი იყოს შესაძლებელი, წარმოებულის განმარტება უნდა გაფართოვდეს ± მნიშვნელობებში. მაშინ წყვეტილ ფუნქციას sgn x (მაგალითი 1) აქვს წარმოებული
4. დიფერენცირებადი ფუნქცია, რომლის წარმოებული არ ინახავს ნიშანს ექსტრემალური წერტილის არცერთ ცალმხრივ მიდამოში
აქვს აბსოლუტური მინიმალური წერტილი x = 0. და მისი წარმოებული
ნულის ნებისმიერ ცალმხრივ სამეზობლოში იღებს როგორც დადებით, ასევე უარყოფით მნიშვნელობებს. ფუნქცია f არ არის ერთფეროვანი x = 0 წერტილის რომელიმე ცალმხრივ სამეზობლოში.
5. დიფერენცირებადი ფუნქცია, რომლის წარმოებული რაღაც მომენტში დადებითია, მაგრამ თავად ფუნქცია არ არის მონოტონური ამ წერტილის არცერთ მეზობლად.
აქვს წარმოებული ტოლი
ნულის ნებისმიერ სამეზობლოში, წარმოებულს f/(x) აქვს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მნიშვნელობები.
6. ფუნქცია, რომლის წარმოებული სასრულია, მაგრამ არ არის შემოსაზღვრული დახურულ ინტერვალზე
განიხილეთ ფუნქცია
მისი წარმოებული
არ შემოიფარგლება [-1, 1]-ით.
7. ფუნქცია, რომლის წარმოებული არსებობს და შემოსაზღვრულია, მაგრამ არ აქვს (აბსოლუტური) უკიდურესი დახურულ ინტერვალზე.
აქვს წარმოებული
ნულის ნებისმიერ სამეზობლოში, ამ წარმოებულს აქვს მნიშვნელობები თვითნებურად ახლოს 24 და -24. მეორეს მხრივ, 0-ისთვის აქედან გამომდინარე, უტოლობიდან 0< h
1 следует, что 8. ყველგან უწყვეტი, მაგრამ არსად დიფერენცირებადი ფუნქცია ფუნქცია | x | ყველგან არის უწყვეტი, მაგრამ არა დიფერენცირებადი x - 0 წერტილში. ამ ფუნქციის ცვლის გამოყენებით შეიძლება განვსაზღვროთ ყველგან უწყვეტი ფუნქცია, რომელიც არ არის დიფერენცირებადი თვითნებურად მოცემული სასრული სიმრავლის ყველა წერტილში. ამ ქვეთავში ჩვენ მივცემთ მაგალითს | ფუნქციის ცვლის უსასრულო სიმრავლის გამოყენებით x |. მოდით ვაჩვენოთ, რომ ფუნქცია არსად განსხვავდება. დავუშვათ, რომ a იყოს თვითნებური რეალური რიცხვი და ნებისმიერი ნატურალური n-სთვის არჩეული იყოს რიცხვი h n ტოლი 4 -n ან –4 -n, რომ მაშინ მნიშვნელობას ჰქონდეს იგივე მნიშვნელობა | h n | ყველა m n-სთვის და არის ნული m > n-ისთვის. მაშინ სხვაობის თანაფარდობა არის მთელი რიცხვი, რომელიც არის ლუწი n-სთვის და კენტი n-სთვის. აქედან გამომდინარეობს, რომ ლიმიტი არ არსებობს და ამიტომ არ არსებობს და მოყვანილი მაგალითი არის B. L. Van der Waerden-ის მიერ 1930 წელს აგებული მაგალითის მოდიფიკაცია (იხ. გვ. 394). უწყვეტი არსად დიფერენცირებადი ფუნქციის პირველი მაგალითი ააშენა K.W.T. Weierstrass-მა (გერმანელი მათემატიკოსი, 1815-1897): სადაც a არის კენტი რიცხვი და b ისეთია, რომ ამჟამად ცნობილია უწყვეტი ფუნქციების მაგალითები, რომლებსაც არცერთ წერტილში არ აქვთ ცალმხრივი სასრული ან უსასრულო წარმოებული. ეს მაგალითები და შემდგომი ცნობები გვხვდება (გვ. 392-394), (გვ. 61-62, 115, 126) და ასევე (ტ. II, გვ. 401-412). ამ მაგალითის ფუნქცია არ არის მონოტონური არცერთ ინტერვალზე. უფრო მეტიც, არსებობს ფუნქციის მაგალითი, რომელიც ყველგან დიფერენცირებადია და არსად ერთფეროვანი (იხ. ტ. II, გვ. 412-421). ამ მაგალითის აგება ძალიან რთულია და მივყავართ ფუნქციამდე, რომელიც ყველგან დიფერენცირებადია და აქვს ფარდობითი მაქსიმუმების მკვრივი ნაკრები და ფარდობითი მინიმუმების მკვრივი ნაკრები. 9. დიფერენცირებადი ფუნქცია, რომლისთვისაც საშუალო მნიშვნელობის თეორემა არ მოქმედებს ამ მაგალითში ჩვენ კვლავ იძულებულნი ვართ მივმართოთ რთული მნიშვნელობის ფუნქციას. ფუნქცია რეალური ცვლადი x ყველგან უწყვეტი და დიფერენცირებადია (იხ. გვ. 509-513). თუმცა, არ არსებობს ისეთი ინტერვალი, რომლისთვისაც ზოგიერთისთვის თანასწორობაა თუ ჩავთვლით, რომ ეს თანასწორობა შესაძლებელია, მაშინ მისი ორივე ნაწილის მოდულების (აბსოლუტური მნიშვნელობების) კვადრატების გათანაბრებით მივიღებთ ტოლობას. რომელიც ელემენტარული გარდაქმნების შემდეგ სახეს იღებს მაგრამ რადგან არ არსებობს დადებითი რიცხვი h ისეთი, რომ sin h = h (იხ. გვ. 78), ჩვენ გვაქვს წინააღმდეგობა. 13. უსასრულოდ დიფერენცირებადი მონოტონური ფუნქცია f ისეთი რომ თუ მონოტონურობა არ არის საჭირო, მაშინ ასეთი ფუნქციის ტრივიალური მაგალითი იქნება, მაგალითად, (sinx 2)/x. ავაშენოთ მონოტონური ფუნქციის მაგალითი მითითებული თვისებით. ჩვენ ვაყენებთ f(x) 1-ის ტოლი for და ტოლია დახურულ ინტერვალებზე for ფორმის დანარჩენ შუალედურ ინტერვალებზე ვადგენთ f(x) ფუნქციის გამოყენებით ჰორიზონტალური და ვერტიკალური ძვრების გამოყენება და შესაბამისი უარყოფითი ფაქტორებით გამრავლება. 2.1. ფუნქციების ერთფეროვნება ფუნქცია f (x) ეწოდება მზარდი D ინტერვალზე, თუ რომელიმე რიცხვისთვის x 1 და x 2 D ინტერვალიდან ისეთი, რომ x 1< x 2 , выполняется неравенство
f (x 1) < f (x 2). f (x) ფუნქციას ეწოდება კლება D ინტერვალზე, თუ რომელიმე რიცხვისთვის x 1 და x 2 D ინტერვალიდან ისეთი, რომ x 1< x
2 , выполняется неравенство f (x 1) >f(x2). სურათი 1. ნახატზე გამოსახულ გრაფიკზე ფუნქცია y \u003d f (x), იზრდება თითოეულ ინტერვალზე [a; x 1) და (x 2 ; b ] და მცირდება ინტერვალზე (x 1 ; x 2). გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქცია იზრდება თითოეულ ინტერვალზე [a ; x 1) და (x 2 ; b ], მაგრამ არა კავშირის ხარვეზებზე თუ ფუნქცია იზრდება ან მცირდება რაღაც ინტერვალზე, მაშინ მას ამ ინტერვალზე მონოტონური ეწოდება. გაითვალისწინეთ, რომ თუ f არის მონოტონური ფუნქცია D ინტერვალზე (f (x)), მაშინ განტოლებას f (x) = const არ შეიძლება ჰქონდეს ერთზე მეტი ფესვი ამ ინტერვალზე. მართლაც, თუ x 1< x 2 – корни этого
уравнения на промежутке D (f (x)), то f (x 1) = f (x 2) = 0, что противоречит
условию монотонности. ჩვენ ჩამოვთვლით მონოტონური ფუნქციების თვისებებს (ვვარაუდობთ, რომ ყველა ფუნქცია განსაზღვრულია რაღაც D ინტერვალზე). მსგავსი მტკიცებულებები ასევე შეიძლება გაკეთდეს კლებადი ფუნქციისთვის. ბრინჯი. 2. ფუნქციის თვისებები. a წერტილს ეწოდება f ფუნქციის მაქსიმუმის წერტილი, თუ არსებობს a წერტილის ისეთი ε-მეზობლობა, რომ ნებისმიერი x-ისთვის ამ სამეზობლოდან მოქმედებს f (a) ≥ f (x) უტოლობა. a წერტილს ეწოდება f ფუნქციის მინიმალური წერტილი, თუ არსებობს a წერტილის ისეთი ε-მეზობლობა, რომ ამ სამეზობლოდან ნებისმიერი x-ისთვის დაკმაყოფილდეს უტოლობა f (a) ≤ f (x). წერტილებს, რომლებზეც მიიღწევა ფუნქციის მაქსიმუმი ან მინიმუმი, ეწოდება ექსტრემალური წერტილები. უკიდურეს წერტილში იცვლება ფუნქციის ერთფეროვნების ხასიათი. ასე რომ, ექსტრემალური წერტილის მარცხნივ, ფუნქცია შეიძლება გაიზარდოს, ხოლო მარჯვნივ - შემცირდეს. განმარტების მიხედვით, უკიდურესი წერტილი უნდა იყოს განმარტების დომენის შიდა წერტილი. თუ რომელიმე (x ≠ a) უტოლობა f (x) ≤ f (a) დაკმაყოფილებულია, მაშინ a წერტილს ეწოდება D სიმრავლის ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობის წერტილი: თუ რომელიმე (x ≠ b)-ისთვის f (x) > f (b) უტოლობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ b წერტილს ეწოდება D სიმრავლის ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობის წერტილი.2. მონოტონური ფუნქციები
