გეორგ კანტორის (1845-1918) ოჯახი რუსეთიდან გერმანიაში ჯერ კიდევ ბავშვობაში გადავიდა საცხოვრებლად. სწორედ იქ დაიწყო მათემატიკის შესწავლა. 1868 წელს დაიცვა დისერტაცია რიცხვების თეორიაზე და მიიღო დოქტორის ხარისხი ბერლინის უნივერსიტეტში. 27 წლის ასაკში კანტორმა გამოაქვეყნა სტატია, რომელიც შეიცავს ძალიან რთული მათემატიკური ამოცანის ზოგად ამოხსნას - და იდეებს, რომლებიც მოგვიანებით გადაიზარდა მის ცნობილ თეორიაში - სიმრავლეების თეორიაში. 1878 წელს მან შემოიტანა და ჩამოაყალიბა ახალი ცნებების მნიშვნელოვანი რაოდენობა, მისცა სიმრავლის განმარტება და უწყვეტის პირველი განმარტება და შეიმუშავა სიმრავლეების შედარების პრინციპები. მან 1879-1884 წლებში წარმოადგინა თავისი უსასრულობის დოქტრინის პრინციპების სისტემატური პრეზენტაცია.

კანტორის დაჟინებული მოთხოვნა უსასრულობის რეალურად მოცემულად განხილვაზე დიდი სიახლე იყო იმ დროისთვის. კანტორს მიაჩნდა თავისი თეორია, როგორც უსასრულო, „ტრანსფინიტური“ (ანუ „ზედასრული“) მათემატიკის სრულიად ახალი გაანგარიშება. მისი იდეის თანახმად, ასეთი გამოთვლების შექმნამ უნდა მოახდინოს რევოლუცია არა მხოლოდ მათემატიკაში, არამედ მეტაფიზიკასა და თეოლოგიაშიც, რაც კანტორს თითქმის უფრო მეტად აინტერესებდა, ვიდრე თავად მეცნიერული კვლევა. ის იყო ერთადერთი მათემატიკოსი და ფილოსოფოსი, რომელსაც სჯეროდა, რომ ფაქტობრივი უსასრულობა არა მხოლოდ არსებობს, არამედ ადამიანისათვის გასაგებიც არის სრული გაგებით და ეს გაგება მათემატიკოსებს და მათ შემდეგ ღვთისმეტყველებს ამაღლებს ღმერთთან უფრო მაღალ და ახლოს. მან თავისი სიცოცხლე მიუძღვნა ამ საქმეს. მეცნიერს მტკიცედ სწამდა, რომ ის ღმერთმა აირჩია მეცნიერებაში დიდი რევოლუციის მოსაწყობად და ამ რწმენას მისტიური ხილვებიც ამყარებდა. თუმცა გეორგ კანტორის ტიტანური მცდელობა უცნაურად დასრულდა: თეორიაში აღმოაჩინეს გადაულახავი პარადოქსები, რომლებიც ეჭვქვეშ აყენებენ კანტორის საყვარელი იდეის - „ალეფების კიბეს“, ტრანსფინიტური რიცხვების თანმიმდევრული რიგის მნიშვნელობას. (ეს რიცხვები ფართოდ არის ცნობილი მის მიერ მიღებულ აღნიშვნაში: ასო ალეფის სახით - ებრაული ანბანის პირველი ასო.)

მისი თვალსაზრისის მოულოდნელობამ და ორიგინალურობამ, მიდგომის ყველა უპირატესობის მიუხედავად, მეცნიერთა უმეტესობის მიერ მისი ნაშრომის მკვეთრი უარყოფა გამოიწვია. ათწლეულების განმავლობაში ის ჯიუტად აწარმოებდა ბრძოლას თითქმის ყველა თავის თანამედროვესთან, ფილოსოფოსთან და მათემატიკოსთან, რომლებიც უარყოფდნენ მათემატიკის აგების ლეგიტიმურობას ფაქტობრივ-უსასრულოს საფუძველზე. ეს ზოგიერთმა გამოწვევად მიიჩნია, რადგან კანტორმა ივარაუდა, რომ არსებობს რიცხვების სიმრავლეები ან თანმიმდევრობა, რომლებსაც აქვთ უსასრულოდ ბევრი ელემენტი. ცნობილმა მათემატიკოსმა პუანკარემ ტრანსფინიტური რიცხვების თეორიას „დაავადება“ უწოდა, რომლისგანაც მათემატიკა ოდესღაც უნდა განიკურნოს. ლ.კრონეკერი - კანტორის მასწავლებელი და ერთ-ერთი ყველაზე პატივსაცემი მათემატიკოსი გერმანიაში - თავს დაესხა კიდეც კანტორს და მას "შარლატანი", "რენეგატი" და "ახალგაზრდობის მოძალადე" უწოდა! მხოლოდ 1890 წლისთვის, როდესაც მიღებული იქნა სიმრავლეების თეორიის გამოყენება ანალიზსა და გეომეტრიაში, კანტორის თეორია აღიარებულ იქნა მათემატიკის დამოუკიდებელ ფილიალად.

მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ კანტორმა თავისი წვლილი შეიტანა პროფესიული ასოციაციის - გერმანიის მათემატიკური საზოგადოების შექმნაში, რომელმაც ხელი შეუწყო მათემატიკის განვითარებას გერმანიაში. მას სჯეროდა, რომ მისი სამეცნიერო კარიერა განიცდიდა ცრურწმენას მისი მუშაობის მიმართ და იმედოვნებდა, რომ დამოუკიდებელი ორგანიზაცია საშუალებას მისცემს ახალგაზრდა მათემატიკოსებს დამოუკიდებლად განეხილათ ახალი იდეები და განავითარონ ისინი. ის ასევე იყო ციურიხში პირველი საერთაშორისო მათემატიკური კონგრესის მოწვევის ინიციატორი.

კანტორს უჭირდა მისი თეორიის წინააღმდეგობები და მისი მიღების სირთულე. 1884 წლიდან იგი განიცდიდა ღრმა დეპრესიას და რამდენიმე წლის შემდეგ თავი დაანება სამეცნიერო მოღვაწეობას. კანტორი გარდაიცვალა გულის უკმარისობით ჰალეს ფსიქიატრიულ საავადმყოფოში.

კანტორმა დაამტკიცა უსასრულობათა იერარქიის არსებობა, რომელთაგან თითოეული წინაზე „დიდია“. მისი ტრანსფინიტური სიმრავლეების თეორია, რომელიც გადაურჩა წლების ეჭვსა და თავდასხმას, საბოლოოდ გადაიზარდა გრანდიოზულ რევოლუციურ ძალად მე-20 საუკუნის მათემატიკაში. და გახდა მისი ქვაკუთხედი.

XIX საუკუნის დასაწყისი აღინიშნა არაევკლიდური გეომეტრიის აღმოჩენით. 1825 წელს - ნიკოლაი ვასილიევიჩ ლობაჩევსკი, ცოტა მოგვიანებით, 1831 წელს - იანოს ბოლიაი. და ამ აღმოჩენების ბედი ძალიან ტრაგიკული იყო. არც ერთი და არც მეორე აღმოჩენა არ იქნა აღიარებული. 1860-იან წლებამდე სხვა არაევკლიდური გეომეტრიების - რიმანის და სხვათა აღმოჩენებამდე და არაევკლიდური გეომეტრიის აღმომჩენები უკვე გარდაიცვალნენ! ახლა კი - კომპლექტების თეორია, რომელიც ასევე არ არის აღიარებული, გაკიცხვა ... ოჰ, ეს უცნაური მე -19 საუკუნე ...

კანტორი), გეორგი (დ. 3 მარტი, 1845 - გ. 6 იანვარი, 1918) - მათემატიკოსი და მოაზროვნე, სიმრავლეების თეორიის შემქმნელი, რომელსაც აქვს საკუთარი საფუძველი. უსასრულო კომპლექტების ობიექტი. გვარი. პეტერბურგში. 1872 წლიდან – პროფ. უნივერსიტეტი ჰალეში. იგი გარდაიცვალა ჰალეში, ფსიქიატრიულ საავადმყოფოში. კლინიკა. სიმრავლეების თეორიის შექმნამდე (1870 წ.) მას უძღვებოდა ტრიგონომეტრიული კვლევები. რიგები. კ-ის ცხოვრებაში შემოქმედებითი პერიოდი, რომელიც გაგრძელდა 1897 წლამდე (შეწყდა სულიერი კრიზისით 1885 წ.), გამოირჩევა ოპ. „უსასრულო წრფივი წერტილოვანი მრავალფეროვნების შესახებ“ („?ber unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten“, 1879–84), „ტრანსფინიტური სიმრავლეების თეორიის დასაბუთების შესახებ“ („Beitr?ge zur Begr?ndung der transfiniten Mengenlehre“, 1895–97 წწ. ) და ა.შ.. კ-მ საფუძველი ჩაუყარა სიმრავლეთა აბსტრაქტულ თეორიას [სიმრავლეების შესწავლა მხოლოდ კუთხით. მათი "რიცხვები" (სიმრავლის კარდინალურობა) და რიგის ურთიერთობები მათ ელემენტებს შორის (სიმრავლეთა რიგის ტიპები)] და წერტილოვანი სიმრავლეების თეორია (ანუ რიცხვითი წრფის წერტილებისგან შემდგარი სიმრავლეები და, ზოგადად, რიცხვი n-). განზომილებიანი სივრცე). ერთ-ერთმა პირველმა ააგო რეალური რიცხვების თეორია, რომელიც დღემდე (გერმანელი მეცნიერების რ. დედეკინდისა და კ. ვეიერშტრასის თეორიებთან ერთად) ჩვეულებრივ გამოიყენება მათემატიკური აგების საფუძვლად. ანალიზი. კანტორის სიმრავლეების თეორიამ მნიშვნელოვანი წინგადადგმული ნაბიჯი გადადგა უსასრულობის ცნების შესწავლაში; მისი შექმნა იყო რევოლუცია ყველაფერ მათემატიკაში. ცოდნა. Დასაწყისში. მე -20 საუკუნე ყველა მათემატიკა გადაკეთდა სიმრავლეების თეორიის საფუძველზე; მისმა განვითარებამ და მათემატიკის სხვადასხვა სფეროებში შეღწევამ განაპირობა ახალი მეცნიერების გაჩენა. დისციპლინები, მაგალითად. ტოპოლოგია, აბსტრაქტული ალგებრა და ა.შ. მოგვიანებით სიმრავლეების თეორიაში აღმოაჩინეს პარადოქსები, რამაც ახალი ბიძგი მისცა ლოგიკის შესწავლას. მათემატიკის საფუძველი და მის ფილოსოფიაში ახალი ტენდენციების გაჩენა გამოიწვია. ინტერპრეტაცია (მაგ., ინტუიციონიზმი). ამ ტიპის ერთ-ერთი პირველი პარადოქსი (დაკავშირებულია ყველა სიმრავლის სიმრავლის სიმძლავრის კონცეფციასთან) აღმოაჩინა თავად კ.-მ 1899 წელს. მათემატიკა, რომელიც დაფუძნებულია კ.-ს სიმრავლეების თეორიის უპირობო გამოყენებაზე, დღესდღეობით. დროს ხშირად კლასიკურს უწოდებენ. იხილეთ მათემატიკა, სიმრავლეების თეორია, მათემატიკური უსასრულობა. ფილოსი. კ-ის იდეების ასპექტი შედგებოდა რეალურად უსასრულო ცნების სრული ლეგიტიმურობის აღიარებაში. მათემატიკის ორ სახეობას კ. უსასრულობა: არასწორად უსასრულო (პოტენციალი, ან სინკატეგორემატური, უსასრულო) და სათანადო უსასრულო (ფაქტობრივად უსასრულო), კ-ს მიერ გაგებული, როგორც რაღაც სრული, როგორც მკაცრად შეზღუდული მთლიანობა. რეალობის საკითხთან დაკავშირებით მათემატიკური ცნებები განასხვავებენ კ: მათ ინტრასუბიექტურ, ანუ იმანენტურ რეალობას (მათი შინაგანი ლოგიკური. თანმიმდევრულობა) და მათ ტრანსსუბიექტურ, ანუ გარდამავალ რეალობას, რომლითაც მას ესმოდა მათემატიკური შესაბამისობა. რეალური სამყაროს ცნებები და პროცესები. კრონეკერისგან განსხვავებით, რომელმაც უარყო მათემატიკური არსებობის დამადასტურებელი მეთოდები. ობიექტები, ჭვავის, რომლებიც არ უკავშირდება მათ კონსტრუქციას ან გამოთვლას, K. წამოაყენა თეზისი: "მათემატიკის არსი - მის თავისუფლებაში", DOS. მნიშვნელობა to-rogo დაყვანილ იქნა ნებისმიერი ლოგიკურად თანმიმდევრული აბსტრაქტული მათემატიკური კონსტრუქციის ვარაუდამდე. სისტემებში „გარდამავალი რეალობის“ საკითხი წყდება რეალობის პროცესებთან მათი შედარებით. კ-ის ამ აზრის ნაყოფიერება დაადასტურა მე-20 საუკუნეში მათემატიკის განვითარებამ, რომელმაც მოიტანა ახლად წარმოქმნილი აბსტრაქტული მათემატიკური ცნებების გამოყენების მრავალი მაგალითი. და ლოგიკური. თეორიები ფიზიკის, ტექნოლოგიების, ლინგვისტიკის და სხვა სფეროებში. მათი ფილოსოფიით. შეხედულებები კ. იყო ობიექტური იდეალისტი. ის მათემატიკაში ფაქტობრივ უსასრულობას ზოგადად რეალურად უსასრულობის არსებობის მხოლოდ ერთ-ერთ ფორმად თვლიდა; ეს უკანასკნელი „უმაღლეს სისრულეს“ იძენს სრულიად დამოუკიდებელ, სამყაროს მიღმა არსებობაში – ღმერთში; ღმერთი არის აბსოლუტურად უსასრულო ან აბსოლუტური; გარდა ამისა, ფაქტობრივი უსასრულობა, კ.-ს მიხედვით, ობიექტურად არსებობს გარე სამყაროში. კ-მ გააკრიტიკა ჰეგელი, უარყო მისი დიალექტიკა იმ მოტივით, რომ მისი ბირთვი არის წინააღმდეგობა. აქედან გამომდინარე, ყურადღება, განსაკუთრებით სიცოცხლის ბოლო პერიოდში, ღვთისმეტყველებას აქცევდა კ. მისი რელიგიური ფილოსოფია. შეხედულებები ჩამოყალიბდა არისტოტელეს, პლატონისა და სქოლასტიკოსების გავლენით. ოპ.: Gesammelte Abhandlungen..., V., 1932. ლიტ.: Fraenkel?., Georg Cantor, Lpz., 1930 წ. ა.კონოფლიანკინი. მოსკოვი.

დიდი განმარტება

არასრული განმარტება ↓

კანტორი გეორგი (1845-1918)

გერმანელი მათემატიკოსი, ლოგიკოსი, თეოლოგი, ტრანსფინიტური (უსასრულო) სიმრავლეების თეორიის შემქმნელი, რომელმაც გადამწყვეტი გავლენა მოახდინა მათემატიკური მეცნიერებების განვითარებაზე მე-19-მე-20 საუკუნეების მიჯნაზე. დაამთავრა ბერლინის უნივერსიტეტი (1867), ჰალეს უნივერსიტეტის პროფესორი (1879-1913). მთავარი ნაშრომი: „ჯიშების ზოგადი დოქტრინის საფუძვლები“ ​​(1902 წ.). კ-ს კვლევა, რომელიც წამოიწყო უსასრულო ფურიეს სერიების თეორიაში მწვავე ამოცანების გადაჭრის აუცილებლობით, გახდა საფუძველი შემდგომი ფუნდამენტური კვლევისთვის რიცხვითი სიმრავლეების თეორიის მიმართულებით, სადაც მან შემოიტანა: სიმრავლის ზოგადი განმარტება, ტრანსფინიტური რიცხვები, "სიმრავლის სიმძლავრის" ზოგადი კონცეფცია (როგორც სიმრავლის ელემენტების რაოდენობა), სხვადასხვა ტრანსფინიტური სიმრავლეების კარდინალობა. კომპლექტის ქვეშ, კ-ს ესმოდა "... ზოგადად, ნებისმიერი ბევრი რამ, რაც შეიძლება ჩაითვალოს ერთად, ანუ გარკვეული ელემენტების ნებისმიერი ნაკრები, რომელიც შეიძლება დაკავშირებული იყოს ერთ მთლიანობაში რაიმე კანონის დახმარებით ..." . კომპლექტის კონცეფციისთვის ფუნდამენტურია სხვადასხვა ობიექტების ერთ მთლიანობაში გაერთიანების აქტი, რომელიც განისაზღვრება როგორც ნაკრები. კომპლექტების ელემენტები შეიძლება იყოს რეალური რეალობის ნებისმიერი ობიექტი, ადამიანის ინტუიცია ან ინტელექტი. კ.-ს განმარტებაში ყოფნა ფრაზის "... გარკვეული ელემენტების ერთობლიობა, რომელიც შეიძლება დაკავშირებული იყოს ერთ მთლიანობაში გარკვეული კანონის დახმარებით ..." მთლიანად განსაზღვრავს მისი ელემენტების ან კანონის ერთობლიობას (მახასიათებელი ნიშნები. , თვისებები), რომლის მიხედვითაც სხვადასხვა საგნების გაერთიანების აქტი ხდება ერთ მთლიანობაში - სიმრავლეში. მაშასადამე, სიმრავლეების თეორიის ფუნდამენტური კონცეფცია არის არა თავად სიმრავლის ცნება, არამედ ობიექტების კუთვნილების მიმართება სიმრავლესთან. უსასრულობის აქტუალურ და პოტენციურად დაყოფის ტრადიცია არისტოტელემდე მიდის: „რჩება ალტერნატივა, რომლის მიხედვითაც უსასრულოს აქვს პოტენციური არსებობა... რეალურად უსასრულო არ არსებობს“ (არისტოტელე, „ფიზიკა“). ეს ტრადიცია განაგრძო დეკარტმა („უსასრულობა ცნობადია, მაგრამ არა ცნობადი“) და კ.გაუსის დროსაც კი („მათემატიკაში უსასრულო მნიშვნელობა არასოდეს შეიძლება გამოყენებულ იქნას როგორც რაღაც საბოლოო; უსასრულობა სხვა არაფერია, თუ არა facon de parle. / გამოხატვის მანერა - С.С / , რაც ნიშნავს ზღვარს, რომლისკენაც მიისწრაფვის ზოგიერთი რაოდენობა, როცა სხვები მცირდება განუსაზღვრელი ვადით“). კ., როგორც მ. კლაინი წერდა, დაშორდა ხანგრძლივ ტრადიციას „უკვე იმით, რომ იგი უსასრულო სიმრავლეებს განიხილავდა როგორც ცალკეულ ერთეულებად, უფრო მეტიც, ადამიანის გონებისთვის მისაწვდომ ერთეულებად“. მკვეთრად არ ეთანხმება თავის თანამემამულე მათემატიკოსებს მათემატიკური უსასრულობის შესახებ მის შეხედულებებში, კ. ფაქტობრივად უსასრულო სიმრავლეების შემოღების აუცილებლობას მოტივირებდა იმით, რომ „პოტენციური უსასრულობა რეალურად დამოკიდებულია ფაქტობრივ უსასრულობაზე, რომელიც ლოგიკურად წინ უსწრებს მას“. K-ს მიხედვით რეალურად უსასრულო სიმრავლის კლასიკური მაგალითია ირაციონალური რიცხვების ათობითი გაფართოებები, ვინაიდან ყოველი „ასეთი დაშლის სასრული სეგმენტი იძლევა მხოლოდ სასრულ მიახლოებას ირაციონალურ რიცხვზე“. 1873 წლისთვის კ.-მ დაიწყო კვლევა რეალურად უსასრულო სიმრავლეების კლასიფიკაციის შესახებ. ცოტა მოგვიანებით, კ-მ განუსაზღვრა უსასრულო სიმრავლე, როგორც სიმრავლე, რომლისთვისაც არის ერთი-ერთზე კორესპონდენცია საკუთარ ქვესიმრავლესთან (ანუ მთელი სიმრავლისგან განსხვავებული). ამ მიდგომის ერთ-ერთი შედეგი იყო, მაგალითად, სწორი ხაზის წერტილებსა და ნებისმიერი განზომილების მრავალფეროვნების წერტილებს შორის ერთი-ერთზე შესაბამისობის დამყარების შესაძლებლობა. უსასრულო სიმრავლეების საკუთარ განმარტებაზე დაყრდნობით კ-მ შეძლო თითოეული მათგანის წყვილისთვის ეკვივალენტურობის (თანაბარი სიმძლავრის) მიმართების დადგენა. 1874 წელს კ.-მ დაამტკიცა ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლის ურიცხვობა, დაადგინა უსასრულო სიმრავლეების წყვილი განსხვავებული კარდინალობით (არაეკვივალენტური სიმრავლეების) არსებობა. სისტემატურად 1879-1884 წლებში გამოკვეთილი მისი მათემატიკური უსასრულობის თეორიის საფუძვლები კ. უსასრულობათა იერარქიის საფუძველი K. 1890-იანი წლების პირველ ნახევარში დადასტურდა კ.-ბერნშტეინის ცნობილი თეორემით: „თუ ორი A და B სიმრავლე ისეთია, რომ არსებობს ერთი-ერთზე შესაბამისობა. A სიმრავლე და B სიმრავლის ქვესიმრავლე და B სიმრავლესა და A სიმრავლის ქვესიმრავლეს შორის, მაშინ ასევე შესაძლებელია A სიმრავლესა და B სიმრავლეს შორის ერთ-ერთი შესაბამისობის დადგენა“, ე.ი. დაადგინეთ A და B სიმრავლეების ეკვივალენტობა (ეკვივალენტობა). ამავდროულად, K.-მ დაადგინა, რომ თუ A სიმრავლე შეიძლება ერთ-ერთ შესაბამისობაში მოთავსდეს საკუთარ B ქვესიმრავლესთან, და B სიმრავლე არ შეიტანოს. ერთი-ერთზე კორესპონდენცია საკუთარ A ქვესიმრავლესთან, მაშინ B სიმრავლე განმარტების მიხედვით მეტია A სიმრავლეზე. M. Klein-ის მიხედვით, ასეთი განსაზღვრება აზოგადებს უსასრულო სიმრავლეთა შემთხვევისთვის იმას, რაც არის „შემთხვევაში მაშინვე აშკარა. სასრულ სიმრავლეები“. ამ მიდგომის შემდეგ კ.-მ დაამტკიცა, რომ ნებისმიერი „მოცემული სიმრავლისთვის ყოველთვის არის სიმრავლე ორიგინალზე მეტი“ (მაგალითად, მოცემული სიმრავლის ყველა ქვესიმრავლეების სიმრავლე აღემატება თავდაპირველ სიმრავლეს). ის, რომ ორ ძალაუფლებას შორის შესაძლებელია ურთიერთობის დამყარება „თანასწორობა“, „მეტი“ და „ნაკლები“, მისცა კ. არსებობს მიზეზი, რომ "რიცხვებს" ვუწოდოთ სიმბოლოები უსასრულო სიმრავლეთა კარდინალობის აღსანიშნავად (სასრული სიმრავლეებისთვის, მათი კარდინალურობის აღნიშვნის სიმბოლოები არის ბუნებრივი სერიების რიცხვები, რომლებიც განსაზღვრავენ ელემენტების რაოდენობას თითოეულ ეკვივალენტურ სასრულ სიმრავლეში). ნატურალური რიგის რიცხვებისგან განსხვავებით [რიგობითი რიცხვები / მისგან. Die Ordinalzahl (Ordnungzahl) - რიგითი რიცხვები - C.C.I, K. მოუწოდა კარდინალურ რიცხვებს (გერმანული Die Kardinalzahl - რაოდენობრივი რიცხვები)] "რიცხვები", რომლებიც აღნიშნავენ უსასრულო სიმრავლეთა ძალას. K. თვლიდა, რომ გარკვეული მნიშვნელობების ფართობი არ შემოიფარგლება სასრული მნიშვნელობებით, tk. შესახებ "ფაქტობრივი უსასრულო ასევე შესაძლებელია დემონსტრაციული ცოდნა". თუ კარდინალურობის ცნება იყო „რაოდენობის“ გაფართოებული კონცეფცია უსასრულო სიმრავლეებისთვის, მაშინ კარდინალური რიცხვის ცნება გახდა „ზოგადად რიცხვების“ ცნების გაფართოებული განზოგადება. კ. „რიცხვის“ ცნების გაფართოებამ უსასრულობის სფეროში აღნიშნა მათემატიკის გადასვლა აზროვნების თვისობრივად ახალ დონეზე. ფაქტობრივად, სიმრავლეების ძალა კ-ის მიხედვით ასახავს ადამიანის მკვლევრის გონებაში სიმრავლეების გარკვეულ მიმართებებს, ე.ი. სიმრავლეების კარდინალურობა K.-ში ეკვივალენტური უსასრულო სიმრავლეების ყველაზე ზოგადი მახასიათებელია. ბოლცანო მე-19 საუკუნის დასაწყისში. მივიდა სიმრავლეებს შორის ერთი-ერთთან შესაბამისობის კონცეფციამდე (და, შესაბამისად, სიმრავლეთა კარდინალურობის ცნებამდე და მათი გამოხატვის კარდინალური რიცხვებით). თუმცა „რაოდენობის“ ქვეშ XIX საუკუნის შუა ხანებამდე. ზომა მიხვდა. და რადგან შესაძლებელია თითოეული სიდიდის გამოხატვა არჩეული საზომი ერთეულით რიცხვით, რაოდენობის იდეა ასოცირდება რიცხვის ცნებასთან. პოეტი ბოლცანო იძულებული გახდა უკან დაეხია „რაოდენობის“ ცნებიდან წარმოშობილი სერიოზული სირთულეების წინაშე. იმდროინდელი მათემატიკა ზოგადად განისაზღვრა, როგორც მეცნიერება, რომელიც სწავლობს კავშირებს რაოდენობასა და მათ გამომსახველ რიცხვებს შორის. თუმცა, როგორც VA ვოლკოვი წერს, „რაც არ უნდა იყოს მნიშვნელოვანი მათემატიკის პრაქტიკული გამოყენებისთვის მათ შორის სხვადასხვა ტიპის სიდიდეები და ურთიერთობები, ისინი არ მოიცავს სხვადასხვა რაოდენობრივი ურთიერთობისა და რეალური სამყაროს სივრცითი ფორმების მთელ სიმდიდრეს“. კ.-მ ასევე შემოიტანა მათემატიკაში „წარმოებული სიმრავლის ზღვრული წერტილის“ ცნება, ააგო სრულყოფილი სიმრავლის მაგალითი („კომპლექტი K“) და ჩამოაყალიბა უწყვეტობის ერთ-ერთი აქსიომა („აქსიომა K“). კ-ის თეორიის შედეგებმა გამოავლინა წინააღმდეგობები მათემატიკის საფუძვლების საკმაოდ სერიოზულად შესწავლილ სფეროებში. იმდროინდელი მათემატიკის ლიდერებმა ამ წინააღმდეგობებს პარადოქსები (ანტინომიები) უწოდეს მხოლოდ იმ მიზეზით, რომ პარადოქსი "შეიძლება ახსნას და მათემატიკოსები არ ტოვებდნენ იმედს, რომ საბოლოოდ შეძლებდნენ ყველა იმ სირთულის გადაჭრას, რაც მათ შეექმნათ". კ-ის მათემატიკური უსასრულობის თეორიას, იმ დროის წამყვანი მათემატიკოსების უმეტესობისგან განსხვავებით, მხარს უჭერდნენ რასელი და ჰილბერტი. რასელი, განიხილავს კ.-ს მე-19 საუკუნის ერთ-ერთ დიდ მოაზროვნეს, 1910 წელს წერდა, რომ K. ამოცანების გადაწყვეტა, „რომლებიც დიდი ხანია ფარავს მათემატიკური უსასრულობის საიდუმლოს, ალბათ ყველაზე დიდი მიღწევაა, რაც უნდა იყოს ჩვენი საუკუნე/მე-20 საუკუნე. ვამაყობ - ს.ს ./“. ჰილბერტი 1926 წელს ფიქრობდა, რომ კ-ის თეორია არის "მათემატიკური აზროვნების ყველაზე ლაღი ყვავილი და ადამიანური საქმიანობის ერთ-ერთი უდიდესი მიღწევა წმინდა აზროვნების სფეროში". ხოლო ე.ბორელი და ა.ლებეგი უკვე მე-20 საუკუნის დასაწყისში. განაზოგადა ინტეგრალის ცნება და შეიმუშავა გაზომვისა და გაზომვის თეორია, რომელიც ეფუძნებოდა კ-ს თეორიას. 1897 წლისთვის კ. იძულებული გახდა შეეწყვიტა აქტიური მათემატიკური კვლევა მისი იდეებისადმი მკვეთრი წინააღმდეგობის გამო (კერძოდ, ლ. კრონეკერმა, რომელმაც კ.-ს შარლატანი უწოდა), წამოაყენა „უცოდინარობის შენარჩუნების კანონი“: „არ არის ადვილი რაიმე მცდარი დასკვნის უარყოფა, როგორც კი მიღწეულია და საკმარისად გავრცელდება, და მით უფრო ნაკლებად. გასაგებია, მით უფრო ჯიუტად იცავენ მას“. კ. ყოველთვის იზიარებდა პლატონის ფილოსოფიურ იდეებს და თვლიდა, რომ ჩვენს ირგვლივ სამყაროში "იდეები არსებობს ადამიანისგან დამოუკიდებლად. ამ იდეების რეალობის გასაცნობად კი მხოლოდ მათზე უნდა იფიქრო". კ., როგორც გულმოდგინე ლუთერანი მისი ოჯახის ხანგრძლივი რელიგიური ტრადიციის შესაბამისად, ხშირად იყენებდა თეოლოგიურ არგუმენტს თავის განცხადებებში. ეს განსაკუთრებით გამოიკვეთა მათემატიკის წასვლის შემდეგ.

გეორგ კანტორი (ფოტო მოცემულია სტატიაში მოგვიანებით) არის გერმანელი მათემატიკოსი, რომელმაც შექმნა სიმრავლეების თეორია და შემოიტანა ტრანსფინიტური რიცხვების ცნება, უსასრულოდ დიდი, მაგრამ ერთმანეთისგან განსხვავებული. მან ასევე განსაზღვრა რიგითი და კარდინალური რიცხვები და შექმნა მათი არითმეტიკა.

გეორგ კანტორი: მოკლე ბიოგრაფია

დაიბადა პეტერბურგში 03/03/1845 წ. მისი მამა იყო პროტესტანტული რწმენის დანი გეორგ-ვალდემარ კანტორი, რომელიც ვაჭრობით იყო დაკავებული, მათ შორის ბირჟაზე. დედამისი მარია ბემი კათოლიკე იყო და გამოჩენილი მუსიკოსების ოჯახიდან იყო. როდესაც გეორგის მამა ავად გახდა 1856 წელს, ოჯახი საცხოვრებლად ჯერ ვისბადენში, შემდეგ კი ფრანკფურტში გადავიდა უფრო რბილი კლიმატის საძიებლად. ბიჭის მათემატიკური ნიჭი გამოვლინდა ჯერ კიდევ 15 წლის იუბილემდე, როდესაც სწავლობდა კერძო სკოლებსა და გიმნაზიებში დარმშტადტისა და ვისბადენში. საბოლოოდ, გეორგ კანტორმა დაარწმუნა მამამისი მისი მტკიცე განზრახვაში გამხდარიყო მათემატიკოსი და არა ინჟინერი.

ციურიხის უნივერსიტეტში ხანმოკლე სწავლის შემდეგ, 1863 წელს კანტორი გადავიდა ბერლინის უნივერსიტეტში ფიზიკის, ფილოსოფიის და მათემატიკის შესასწავლად. იქ მას ასწავლეს:

• კარლ თეოდორ ვაიერშტრასი, რომლის სპეციალიზაცია ანალიზში ალბათ გეორგის ყველაზე დიდი გავლენა იყო;
• ერნსტ ედუარდ კუმერი, რომელიც ასწავლიდა უმაღლეს არითმეტიკას;
• ლეოპოლდ კრონეკერი, რიცხვების თეორეტიკოსი, რომელიც მოგვიანებით დაუპირისპირდა კანტორს.

1866 წელს გეტინგენის უნივერსიტეტში ერთი სემესტრის გატარების შემდეგ, მომდევნო წელს გეორგმა დაწერა სადოქტორო დისერტაცია სათაურით: „მათემატიკაში კითხვების დასმის ხელოვნება უფრო ღირებულია, ვიდრე ამოცანების ამოხსნა“, იმ პრობლემის შესახებ, რომელიც კარლ ფრიდრიხ გაუსმა დატოვა გადაუჭრელი თავის Disquisitiones Arithmeticae-ში. (1801) . ბერლინის გოგონათა სკოლაში ხანმოკლე სწავლების შემდეგ, კანტორმა დაიწყო მუშაობა ჰალეს უნივერსიტეტში, სადაც სიცოცხლის ბოლომდე დარჩა, ჯერ მასწავლებლად, 1872 წლიდან ასისტენტად და 1879 წლიდან პროფესორად.

Კვლევა

1869 წლიდან 1873 წლამდე 10 ნაშრომის სერიის დასაწყისში გეორგ კანტორმა განიხილა რიცხვების თეორია. ნამუშევარი ასახავდა მის გატაცებას ამ თემით, გაუსის შესწავლით და კრონეკერის გავლენას. ჰაინრიხ ედუარდ ჰაინეს, ჰალეში კანტორის კოლეგის წინადადებით, რომელმაც აღიარა მისი მათემატიკური ნიჭი, მან მიმართა ტრიგონომეტრიული სერიების თეორიას, რომელშიც გააფართოვა რეალური რიცხვების კონცეფცია.

1854 წელს გერმანელი მათემატიკოსის ბერნჰარდ რიმანის რთული ცვლადის ფუნქციის შესახებ ნაშრომზე დაყრდნობით, 1870 წელს კანტორმა აჩვენა, რომ ასეთი ფუნქცია შეიძლება იყოს წარმოდგენილი მხოლოდ ერთი გზით - ტრიგონომეტრიული სერიებით. რიცხვების (პუნქტების) სიმრავლის გათვალისწინებამ, რომელიც არ ეწინააღმდეგებოდა ასეთ წარმოდგენას, მიიყვანა იგი, ჯერ 1872 წელს რაციონალური რიცხვების (მთლიანი რიცხვების წილადების) განსაზღვრებამდე, შემდეგ კი მისი ცხოვრების სამუშაოზე მუშაობის დაწყებამდე. თეორია და ცნება ტრანსფინიტური რიცხვები.

კომპლექტების თეორია

გეორგ კანტორი, რომლის სიმრავლეების თეორია წარმოიშვა ბრაუნშვაიგის ტექნიკური ინსტიტუტის მათემატიკოსთან რიჩარდ დედეკინდთან მიმოწერაში, მასთან ბავშვობიდან მეგობრობდა. ისინი მივიდნენ დასკვნამდე, რომ სიმრავლეები, სასრული თუ უსასრულო, არის ელემენტების კრებული (მაგალითად, რიცხვები, (0, ±1, ±2 . . .)), რომლებსაც აქვთ გარკვეული თვისება და ინარჩუნებენ ინდივიდუალურობას. მაგრამ როდესაც გეორგ კანტორმა გამოიყენა ერთი ერთზე კორესპონდენცია (მაგალითად, (A, B, C) to (1, 2, 3)) მათი მახასიათებლების შესასწავლად, მან სწრაფად გააცნობიერა, რომ ისინი განსხვავდებიან მათი წევრობის ხარისხით, მაშინაც კი, თუ ისინი იყვნენ უსასრულო სიმრავლეები, ანუ სიმრავლეები, რომელთა ნაწილი ან ქვესიმრავლე მოიცავს იმდენ ობიექტს, რამდენიც თავად. მისმა მეთოდმა მალე საოცარი შედეგი გამოიღო.

1873 წელს გეორგ კანტორმა (მათემატიკოსმა) აჩვენა, რომ რაციონალური რიცხვები, თუმცა უსასრულოა, თვლადია, რადგან ისინი შეიძლება ერთ-ერთ შესაბამისობაში მოიყვანონ ნატურალურ რიცხვებთან (ანუ 1, 2, 3 და ა.შ.). მან აჩვენა, რომ რეალური რიცხვების სიმრავლე, რომელიც შედგება ირაციონალური და რაციონალური რიცხვებისგან, არის უსასრულო და უთვალავი. უფრო პარადოქსულად, კანტორმა დაამტკიცა, რომ ყველა ალგებრული რიცხვის სიმრავლე შეიცავს იმდენი ელემენტს, რამდენიც ყველა მთელი რიცხვის სიმრავლეს, და რომ არაალგებრული ტრანსცენდენტული რიცხვები, რომლებიც ირაციონალური რიცხვების ქვეჯგუფია, უთვალავია და, შესაბამისად, უფრო მრავალრიცხოვანი ვიდრე მთელი რიცხვები. და უნდა განიხილებოდეს როგორც უსასრულო.

ოპონენტები და მხარდამჭერები

მაგრამ კანტორის ნაშრომი, რომელშიც მან პირველად წამოაყენა ეს შედეგები, არ გამოქვეყნებულა ჟურნალში Krell, რადგან ერთ-ერთი რეცენზენტი, კრონეკერი, კატეგორიული წინააღმდეგი იყო. მაგრამ დედეკინდის ჩარევის შემდეგ, იგი გამოიცა 1874 წელს სათაურით ყველა რეალური ალგებრული რიცხვის დამახასიათებელი თვისებების შესახებ.

მეცნიერება და პირადი ცხოვრება

იმავე წელს, მეუღლესთან ვალი გუტმანთან თაფლობის თვის დროს, კანტორმა გაიცნო დედეკინდი, რომელიც დადებითად ისაუბრა მის ახალ თეორიაზე. გიორგის ხელფასი მცირე იყო, მაგრამ 1863 წელს გარდაცვლილი მამის ფულით ცოლსა და ხუთ შვილს სახლი ააშენა. მისი მრავალი ნაშრომი გამოქვეყნდა შვედეთში ახალ ჟურნალში Acta Mathematica, რედაქტორი და დაარსებული გესტა მიტაგ-ლეფლერის მიერ, რომელმაც პირველმა აღიარა გერმანელი მათემატიკოსის ნიჭი.

კავშირი მეტაფიზიკასთან

კანტორის თეორია გახდა სრულიად ახალი შესწავლის საგანი უსასრულობის მათემატიკასთან დაკავშირებით (მაგ. სერიები 1, 2, 3 და ა.შ. და უფრო რთული სიმრავლეები), რომელიც დიდწილად იყო დამოკიდებული ერთ-ერთ მიმოწერაზე. კანტორის მიერ უწყვეტობისა და უსასრულობის შესახებ კითხვების დასმის ახალი მეთოდების შემუშავებამ მის კვლევას ორაზროვანი ხასიათი მისცა.

როდესაც ის ამტკიცებდა, რომ უსასრულო რიცხვები ნამდვილად არსებობს, ის მიმართა ძველ და შუა საუკუნეების ფილოსოფიას რეალურ და პოტენციურ უსასრულობასთან დაკავშირებით, ისევე როგორც ადრეულ რელიგიურ განათლებას, რომელიც მისმა მშობლებმა მისცეს. 1883 წელს კანტორმა თავის წიგნში „ზოგადი სიმრავლეების თეორიის საფუძვლები“ ​​გააერთიანა თავისი კონცეფცია პლატონის მეტაფიზიკასთან.

კრონეკერი, რომელიც ამტკიცებდა, რომ მხოლოდ მთელი რიცხვები "არსებობენ" ("ღმერთმა შექმნა მთელი რიცხვები, დანარჩენი ადამიანის საქმეა"), მრავალი წლის განმავლობაში მხურვალედ უარყოფდა მის მსჯელობას და ხელს უშლიდა მის დანიშვნას ბერლინის უნივერსიტეტში.

ტრანსფინირებული რიცხვები

1895-97 წლებში. გეორგ კანტორმა სრულად ჩამოაყალიბა თავისი ცნება უწყვეტობისა და უსასრულობის შესახებ, უსასრულო რიგითი და კარდინალური რიცხვების ჩათვლით, თავის ყველაზე ცნობილ ნაშრომში, რომელიც გამოქვეყნდა როგორც წვლილი ტრანსფინიტური რიცხვების თეორიის დამკვიდრებაში (1915). ეს თხზულება შეიცავს მის კონცეფციას, რომლისკენაც იგი მიიყვანა იმის დემონსტრირებით, რომ უსასრულო სიმრავლე შეიძლება მოთავსდეს ერთ-ერთ შესაბამისობაში მის ერთ-ერთ ქვეჯგუფთან.

უმცირეს ტრანსფინიტურ კარდინალურ რიცხვში ის გულისხმობდა ნებისმიერი სიმრავლის კარდინალურობას, რომელიც შეიძლება მოთავსდეს ბუნებრივ რიცხვებთან ერთ-ერთ შესაბამისობაში. კანტორმა მას ალეფ-ნული უწოდა. აღინიშნება დიდი ტრანსფინიტური სიმრავლეები და ა.შ. მან შემდგომ განავითარა ტრანსფინიტური რიცხვების არითმეტიკა, რომელიც სასრულ არითმეტიკის ანალოგი იყო. ამრიგად, მან გაამდიდრა უსასრულობის ცნება.

წინააღმდეგობა, რომელიც მას წააწყდა და დრო დასჭირდა მისი იდეების სრულად მიღებას, აიხსნება უძველესი საკითხის გადაფასების სირთულით, თუ რა არის რიცხვი. კანტორმა აჩვენა, რომ ხაზის წერტილების სიმრავლეს უფრო მაღალი კარდინალობა აქვს ვიდრე ალეფ-ნულოვანი. ამან გამოიწვია კონტინიუმის ჰიპოთეზის ცნობილი პრობლემა - არ არსებობს კარდინალური რიცხვები ალეფ-ნულსა და ხაზზე წერტილების სიმძლავრის შორის. ამ პრობლემამ მე-20 საუკუნის პირველ და მეორე ნახევარში დიდი ინტერესი გამოიწვია და მას მრავალი მათემატიკოსი სწავლობდა, მათ შორის კურტ გოდელი და პოლ კოენი.

დეპრესია

გეორგ კანტორის ბიოგრაფია 1884 წლიდან დაჩრდილა მისმა ფსიქიკურმა დაავადებამ, მაგრამ იგი აქტიურად განაგრძობდა მოღვაწეობას. 1897 წელს იგი დაეხმარა ციურიხში პირველი საერთაშორისო მათემატიკური კონგრესის ჩატარებას. ნაწილობრივ იმის გამო, რომ მას კრონკერი ეწინააღმდეგებოდა, ის ხშირად თანაუგრძნობდა ახალგაზრდა დამწყებ მათემატიკოსებს და ცდილობდა ეპოვა გზა, რათა დაეხსნა ისინი მასწავლებლების შევიწროებისგან, რომლებიც გრძნობდნენ საფრთხეს ახალი იდეებით.

აღიარება

საუკუნის დასაწყისში მისი ნაშრომი სრულად იქნა აღიარებული ფუნქციების თეორიის, ანალიზისა და ტოპოლოგიის საფუძვლად. გარდა ამისა, კანტორ გეორგის წიგნები იმპულსი იყო მათემატიკის ლოგიკური საფუძვლების ინტუიციონისტური და ფორმალისტური სკოლების შემდგომი განვითარებისთვის. ამან მნიშვნელოვნად შეცვალა სწავლების სისტემა და ხშირად ასოცირდება „ახალ მათემატიკასთან“.

1911 წელს კანტორი შოტლანდიაში სენტ-ენდრიუსის უნივერსიტეტის 500 წლისთავის აღსანიშნავად მიწვეულთა შორის იყო. ის იქ წავიდა იმ იმედით, რომ შეხვედროდა, ვისთანაც ახლახან გამოქვეყნებულ Principia Mathematica-ში არაერთხელ მოიხსენია გერმანელი მათემატიკოსი, მაგრამ ეს ასე არ მოხდა. უნივერსიტეტმა კანტორს საპატიო წოდება მიანიჭა, მაგრამ ავადმყოფობის გამო, მან ჯილდო პირადად ვერ მიიღო.

კანტორი პენსიაზე გავიდა 1913 წელს, ცხოვრობდა სიღარიბეში და შიმშილობდა პირველი მსოფლიო ომის დროს. 1915 წელს მისი 70 წლის დაბადების დღის აღნიშვნა ომის გამო გაუქმდა, მაგრამ მის სახლში მცირე ცერემონია გაიმართა. გარდაიცვალა 01/06/1918 ჰალეში, ფსიქიატრიულ საავადმყოფოში, სადაც გაატარა სიცოცხლის ბოლო წლები.

გეორგ კანტორი: ბიოგრაფია. ოჯახი

1874 წლის 9 აგვისტოს გერმანელი მათემატიკოსი დაქორწინდა უოლი გუტმანზე. წყვილს 4 ვაჟი და 2 ქალიშვილი ჰყავდა. ბოლო შვილი დაიბადა 1886 წელს კანტორის მიერ შეძენილ ახალ სახლში. მამის მემკვიდრეობა დაეხმარა მას ოჯახის რჩენაში. კანტორის ჯანმრთელობაზე ძლიერ იმოქმედა 1899 წელს მისი უმცროსი ვაჟის გარდაცვალებამ - მას შემდეგ დეპრესიამ არ დატოვა იგი.

რედ., გესამელტე აბჰანდლუნგენი მათემატიკური und ფილოსოფიური ინჰალტები, მიტ ერლä uternden ანმერკუნგენი სოვიე მიტ ერგä ნზუნგენი აუს დემ მოკლედ კანტორი- დედეკინდიბერლინი, Verlag von Julius Springer, 1932 წ

1. განვითარების პერიოდი (1845−1871 წწ.)

გეორგ ფერდინანდ ლუდვიგ ფილიპ კანტორი, მეცნიერების სამყაროს ერთ-ერთი უდიდესი ახალი ფენომენის, სიმრავლეების თეორიის შემქმნელი, დაიბადა სანკტ-პეტერბურგში 19 თებერვალს, ო. სტილი (3 მარტი, ახალი სტილი) 1845. მამამისი გეორგ ვოლდემარ კანტორი, წარმოშობით კოპენჰაგენიდან, ახალგაზრდობაში ჩავიდა სანკტ-პეტერბურგში; ის იქ ინახავდა საბროკერო საქმიანობას საკუთარი სახელით, ზოგჯერ სახელწოდებით „კანტორ და კ“. შრომისმოყვარე და წარმატებულმა ბიზნესმენმა მიაღწია დიდ წარმატებას და სიკვდილის შემდეგ (1863 წ.) დატოვა ძალიან მნიშვნელოვანი ქონება; როგორც ჩანს, დიდი პატივისცემით სარგებლობდა როგორც პეტერბურგში, ისე მოგვიანებით გერმანიაში. ფილტვების დაავადების გამო 1856 წელს ოჯახთან ერთად გერმანიაში გადავიდა საცხოვრებლად; იქ მან მალევე აირჩია დარჩენა მაინის ფრანკფურტში, სადაც ცხოვრობდა რენტატორის პოზიციაზე. კანტორის დედა, მარია ნე ბოემი, წარმოშობით ოჯახიდან იყო, რომლის მრავალი წევრი ხელოვნების სხვადასხვა დარგში იყო ნიჭიერი; მისი გავლენა აშკარა იყო, ეჭვგარეშეა, მისი შვილის მდიდარ ფანტაზიაში. მისი ბაბუა, ლუდვიგ ბომი, ბანდის მესტერი იყო; ბაბუის ძმა იოსები, რომელიც ვენაში ცხოვრობდა, ცნობილი ვირტუოზი ჩელისტის იოაკიმის მასწავლებელი იყო; მარია კანტორის ძმა ასევე მუსიკოსი იყო და მის დას ანეტას ჰყავდა მხატვარი ქალიშვილი, რომელიც ასწავლიდა მიუნხენის სამხატვრო ხელოსნობის სკოლაში. მხატვრული ზოლი შეიმჩნევა აგრეთვე გეორგ კანტორის ძმაში, კონსტანტინეში, რომელიც ნიჭიერი პიანისტი იყო და მის დას სოფიაში, რომელსაც ხატვა განსაკუთრებით უყვარდა.

ნიჭიერმა ბიჭმა, რომელიც დაწყებით სკოლაში სწავლობდა პეტერბურგში, უკვე ძალიან ადრე გამოავლინა ვნებიანი სურვილი, დაეწყო მათემატიკის შესწავლა. მამამისი კი ამას არ დაეთანხმა, რადგან ინჟინრის პროფესია უფრო პერსპექტიულად მიიჩნია შემოსავლის თვალსაზრისით. ვაჟი ჯერ დაემორჩილა; გარკვეული პერიოდის განმავლობაში სწავლობდა ვისბადენის გიმნაზიაში, ასევე მაინის ფრანკფურტის კერძო სკოლებში; შემდეგ იგი შევიდა, 1859 წლის გაზაფხულზე, დარმშტადტში ჰესეს დიდი საჰერცოგოს პროვინციულ რეალურ სკოლაში, სადაც ასევე ასწავლიდნენ ლათინურს; იქიდან 1860 წელს გადავიდა უმაღლესი ხელოსნობის სკოლის (შემდგომში უმაღლესი ტექნიკური სასწავლებლის) ზოგად კურსზე. მამამისმა განათლება უჩვეულოდ მაღალი სტანდარტებით წარმართა; იგი განსაკუთრებულ მნიშვნელობას ანიჭებდა ენერგიის აღზრდას, ხასიათის სიმტკიცეს და რელიგიურობას, მთელ ცხოვრებაში შეღწევას; კერძოდ, მან ხაზი გაუსვა ძირითადი თანამედროვე ენების სრული ათვისების მნიშვნელობას. მამამ მას დაავალა (1860 წელს მის დამადასტურებელ წერილში) მტკიცედ დამდგარიყო, მიუხედავად ყოველგვარი მტრობისა და მუდამ თავის გზას გაჰყოლოდა; ეს მოწოდება შვილს არაერთხელ ახსოვდა მძიმე განსაცდელების დროს და, ალბათ, სწორედ ამ მამობრივი აღზრდის დამსახურებაა ის ფაქტი, რომ მისი შემოქმედებითი სული ნაადრევად არ დაირღვა და ნაყოფი არ დაუკარგავს შთამომავლობას.

დროთა განმავლობაში, შვილის ღრმა მიზიდულობა მათემატიკით ვერ იმოქმედა მამაზე, რომლის წერილებიც მოწმობს მის პატივისცემას მეცნიერების მიმართ. დარმშტადტის წერილში, დათარიღებული 1862 წლის 25 მაისით, რომელიც წარმოადგენს კანტორის პირველ შემორჩენილ წერილს, ვაჟს უკვე შეეძლო მადლობა გადაუხადა მამას მისი გეგმების დამტკიცებისთვის: „ძვირფასო მამა! თქვენ წარმოიდგინეთ, როგორ გამახარა თქვენმა წერილმა; ის განსაზღვრავს ჩემს მომავალს. ბოლო დღეები ეჭვსა და გაურკვევლობაში გავატარე; და ვერ მივიდა რაიმე გადაწყვეტილებამდე. მოვალეობა და მიზიდულობა მუდმივად ომში იყო. ახლა მიხარია, რომ არჩევანში საკუთარი მიდრეკილებით არ გაგაწუხებ. იმედი მაქვს, ძვირფასო მამაო, მაინც შევძლებ შენთვის სიხარულის მოტანას, რადგან ჩემი სული, მთელი ჩემი არსება ჩემს მოწოდებაში ცხოვრობს; ადამიანი აკეთებს იმას, რაც სურს და შეუძლია და რაკენ მიჰყავს მისი უცნობი, იდუმალი ხმა! ..“

1862 წლის შემოდგომაზე კანტორმა სწავლა დაიწყო ციურიხში, საიდანაც, თუმცა, პირველი სემესტრის შემდეგ დატოვა მამის გარდაცვალების გამო. 1863 წლის შემოდგომიდან იგი სწავლობდა მათემატიკას, ფიზიკას და ფილოსოფიას ბერლინში, სადაც კუმერის, ვეიერშტრასის და კრონეკერის ტრიუმვირატმა მიიპყრო საუკეთესო ნიჭი, ააღელვა (მაშინ ჯერ კიდევ საკმაოდ ვიწრო) მსმენელთა გონება ყველაზე მრავალფეროვანი მიმართულებით. მან მხოლოდ 1866 წლის გაზაფხულის სემესტრი გაატარა გეტინგენში. ვეიერშტრასმა უდავოდ უდიდესი გავლენა მოახდინა მის სამეცნიერო განვითარებაზე. საყურადღებო და დამახასიათებელია ვეიერშტრასის შეხედულებების სივრცისთვის, მისი უპრეტენზიო და გამჭრიახი მსჯელობით, რა თანაგრძნობით და რამდენად ადრეული იყო იგი თავისი მოსწავლის არატრადიციულ იდეებს აფასებდა, რითაც პასუხობდა ღრმა პატივისცემას, რომელსაც იგი უცვლელად ავლენდა მას მთელი ცხოვრების განმავლობაში. გარდამავალი ჩხუბის მიუხედავად. ბერლინის წლებში კანტორი იყო არა მხოლოდ მათემატიკური საზოგადოების წევრი, არამედ ახალგაზრდა კოლეგების ვიწრო წრეც, რომლებიც ყოველკვირეულად ხვდებოდნენ რემელის ტავერნაში; ამ წრეში, შემთხვევითი სტუმრების გარდა, შედიოდნენ ჰენოხი (Fortschritte-ის (წარმატებები) მომავალი გამომცემელი), ლამპე, მერტენსი, მაქს საიმონი, თომა; ბოლო მათგანი განსაკუთრებით ახლოს იყო კანტორთან. გარდა ამისა, გ. ა. შვარცი, რომელიც ორი წლის იყო. ხანდაზმული, მოგვიანებით კი, ის ძლიერ უნდობლობით შეხვდა კანტორის იდეებს, განსხვავებით მისი მასწავლებლის ვაიერშტრასისგან და სიცოცხლის ბოლომდე, კრონკერის მსგავსად, განსაკუთრებით აფრთხილებდა თავის სტუდენტებს მათ წინააღმდეგ. 1867 წლის 14 დეკემბერი ოცი -ორი წლის სტუდენტმა დაასრულა დისერტაცია ბერლინის უნივერსიტეტში, რომელიც წარმოიშვა Legendre's Disquisitiones arithmeticae (სწავლა არითმეტიკაში) და ლეჟანდრის რიცხვების თეორიის სიღრმისეული შესწავლით და ფაკულტეტმა შეაფასა, როგორც "dissertatio docta et ingeniosa". " (მეცნიერული და გენიალური მსჯელობა) * ეს ნაშრომი უერთდება გაუსის ფორმულებს დიოფანტინის განტოლების ამოხსნისთვის ნაჯახი 2 + a"x" 2 + a"x" 2 = 0; მასში დამყარებულია გარკვეული მიმართება, რომელსაც გაუსის მიერ ცალსახად არ არის მოცემული. კანტორის შემოქმედების დეტალურ განხილვას შეიცავს მის შესახებ მე დავწერე დეტალური ბიოგრაფია, რომელიც გამოქვეყნებულია Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereininung-ში, ტ. 39 (1930), გვ. 189−266, ასევე ცალკე წიგნში: გეორგ კანტორი, ლაიფციგი და ბერლინი. , 1930 წ; თავის მეურვეებს (ამავე დროს ძმისა და დის მეურვეებს) მიუძღვნა. ზეპირ გამოცდაზე მან მიიღო „magna cum laude“ („განსაკუთრებული გამორჩევით“). სამი თეზისიდან, რომელიც მან შესთავაზა დასაცავად, განსაკუთრებით დამახასიათებელია მესამე: „In re mathematica ars propenendi questionem pluris facienda est quam solvendi“ (მათემატიკაში კითხვების დასმის ხელოვნება უფრო მნიშვნელოვანია, ვიდრე მათი ამოხსნის ხელოვნება.) ალბათ. სიმრავლეების თეორიაში მის მიერ მიღებული შედეგებიც კი მნიშვნელობით ჩამოუვარდება რევოლუციური ფორმულირების საკითხებს, რაც მათ გავლენით აღემატება მის ნაწერებს.

როგორც ჩანს, კანტორი მცირე ხნით ასწავლიდა ბერლინის გოგონათა სკოლაში; ყოველ შემთხვევაში, 1868 წელს, სახელმწიფო გამოცდის ჩაბარების შემდეგ, იგი შევიდა ცნობილ შელბახის სემინარიაში, რომელიც ამზადებდა მათემატიკის მასწავლებლებს.

სადოქტორო დისერტაცია, რომელმაც კანტორს 1869 წლის გაზაფხულზე ჰალეს უნივერსიტეტის პრივატდოცენტი მისცა, 1868-72 წლებში გამოქვეყნებულ რამდენიმე მოკლე ჩანაწერთან ერთად მიეკუთვნება მის პირველ, არითმეტიკულ ინტერესთა წრეს, რომელსაც ის იშვიათად მიმართავს. ეს კვლევები რიცხვების თეორიაზე კრონეკერის ხელმძღვანელობით და თანხმობით, თუმცა კანტორისთვის მხოლოდ შემთხვევითი ეპიზოდი არ იყო. პირიქით, მან განიცადა ამ დისციპლინის ღრმა შინაგანი გავლენა მისი განსაკუთრებული სიწმინდითა და მადლით. ამას პირველთან ერთად მოწმობს მის მიერ დასაცავად წარმოდგენილი მესამე თეზისი: „Numeris integros simili modo atque corpora coelestia totum quoddam legibus et relationibus compositum efficere“ („მთელი რიცხვები, ისევე როგორც ციური სხეულები, უნდა განიმარტოს როგორც ერთი. მთლიანად, კანონებითა და ურთიერთობებით შებოჭილი“). კავშირების დამყარება სხვადასხვა რიცხვთა თეორიულ ფუნქციასა და რიმანის ზეტა ფუნქციას შორის (რიმანის ნაშრომის უბრალო რიცხვებზე) ასევე ადრეულ დროს, შესაძლოა უკვე ამ პერიოდს განეკუთვნება; ეს ნაშრომი კანტორმა გამოაქვეყნა მხოლოდ 1880 წელს, ლიპშიცის ჩანაწერის გავლენით Paris Comptes Rendus-ში („მოხსენებები“). კანტორის შემდგომი რიცხვების თეორიული ინტერესები, გარდა მისი რიცხვითი ცხრილისა, ასევე დაცულია 1884 წლამდე, მაგრამ არ განხორციელებულა, გეგმის გამოქვეყნება Acta Mathematica-ში ნაშრომის კვადრატულ ფორმებზე.

ე.ჰაინე, რომელიც ჰალეს რიგითი პროფესორი იყო იმ დროს, როდესაც კანტორმა იქ დაიცვა დისერტაცია, მაშინვე მიხვდა, რომ მის ახალგაზრდა კოლეგაში გონების არაჩვეულებრივი სიმკვეთრე ბედნიერად იყო შერწყმული უმდიდრესი ფანტაზიით. გადამწყვეტი მნიშვნელობა ენიჭებოდა იმ ფაქტს, რომ კანტორის ჰალეში გადასვლიდან მალევე, ჰაინემ აიძულა იგი შეესწავლა ტრიგონომეტრიული სერიების თეორია. ამ თემაზე გულმოდგინე მუშაობამ არა მხოლოდ გამოიწვია მრავალი მნიშვნელოვანი მიღწევა, არამედ მიიყვანა კანტორი წერტილოვანი სიმრავლეებისა და ტრანსფინიტური რიგითი რიცხვების თეორიის გზაზე. ნაშრომები , და ეძღვნება რიმანის ერთ-ერთი მტკიცების დახვეწას ტრიგონომეტრიული სერიების შესახებ (და თანმხლები დაპირისპირება აპელთან, რომელშიც დეტალურად იყო განხილული ერთიანი კონვერგენციის კონცეფცია); თავის ნაშრომში კანტორი ამტკიცებს თეორემას ტრიგონომეტრიული წარმოდგენის უნიკალურობის შესახებ * გასაკვირია, რომ კრონეკერი, რომელსაც თავიდან პოზიტიური დამოკიდებულება ჰქონდა კანტორის უნიკალურობის თეორემის მიმართ (შდრ.), შემდგომში მთლიანად უგულებელყოფს ამ შედეგს; მაგალითად, "Vorlesungen über die Theorie der einfachen und mehrfachen Inegrale" ("ლექციები მარტივი და მრავალჯერადი ინტეგრალების თეორიაზე") (1894) ის უნიკალურობის საკითხს ჯერ კიდევ ღიად წარმოაჩენს!. ის ამ შედეგის განზოგადებას ცდილობს, უარი თქვას რაიმე ვარაუდზე სერიალის ქცევის შესახებ ზოგიერთ გამონაკლის კომპლექტში; ეს აიძულებს მას ნაშრომში წარმოადგინოს იდეების მოკლე მონახაზი „რომელიც შეიძლება სასარგებლო იყოს იმ მიმართებების გასარკვევად, რომლებიც წარმოიქმნება ყველა შემთხვევაში, როდესაც რიცხვითი სიდიდეები მოცემულია სასრულ ან უსასრულო რიცხვში. სასრული რიგის) შემოტანილია. ამ მიზნით, კანტორი, ერთი მხრივ, ავითარებს თავის ირაციონალური რიცხვების თეორიას * . ჰაინეს ფუნქციების თეორიის ელემენტებში (J. Math., 74, pp. 172-188, 1872), ირაციონალური რიცხვები შემოტანილია ზუსტად კანტორის იდეების შესაბამისად; შდრ. ჰაინეს სტატიის შესავალი, ასევე კანტორის ნაშრომი "Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten" ("ტრანსფინიტის დოქტრინისკენ")სიმრავლეების თეორიის შემდეგ უკვდავყო მისი სახელი, სადაც ირაციონალური რიცხვები განიხილება ფუნდამენტურ სერიებად. მეორე მხრივ, გეომეტრიაზე გადასასვლელად ის შემოაქვს სპეციალურ აქსიომას (კანტორის აქსიომას), რომელიც ერთდროულად და დამოუკიდებლად ოდნავ განსხვავებული ფორმულირებით გამოჩნდა დედეკინდის წიგნში უწყვეტობა და ირაციონალური რიცხვები.