პირდაპირი გაზომვისთვის

1. ვოლტმეტრზე ერთხელ გავზომოთ ორი ძაბვა U 1 = 10 ვ, U 2 \u003d 200 V. ვოლტმეტრს აქვს შემდეგი მახასიათებლები: სიზუსტის კლასი d კლასი t \u003d 0.2, Uმაქსიმუმი = 300 ვ.

მოდით განვსაზღვროთ ამ გაზომვების აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომები.

ვინაიდან ორივე გაზომვა განხორციელდა ერთსა და იმავე მოწყობილობაზე, მაშინ დ U 1=D U 2 და გამოითვლება ფორმულით (B.4)

განმარტების მიხედვით, შედარებითი შეცდომები U 1 და U 2 შესაბამისად ტოლია

ε 1 \u003d 0,6 ∙ V / 10 V \u003d 0,06 \u003d 6%,

ε 2 \u003d 0,6 ∙ V / 200 V \u003d 0,003 \u003d 0,3%.

ზემოაღნიშნული გაანგარიშების შედეგებიდან ჩანს ε 1 და ε 2-სთვის, რომ ε 1 ბევრად აღემატება ε 2-ს.

ეს გულისხმობს წესს: თქვენ უნდა აირჩიოთ მოწყობილობა ისეთი გაზომვის ლიმიტით, რომ ჩვენებები იყოს სკალის ბოლო მესამედში.

2. დაე, ზოგიერთი მნიშვნელობა ბევრჯერ გაიზომოს, ანუ წარმოებული ნამ რაოდენობის ინდივიდუალური გაზომვები Ნაჯახი 1 , Ნაჯახი 2 ,...,Ნაჯახი 3 .

შემდეგ, აბსოლუტური შეცდომის გამოსათვლელად, შესრულებულია შემდეგი ოპერაციები:

1) ფორმულის გამოყენებით (B.5), განსაზღვრეთ საშუალო არითმეტიკული მაგრამ 0 გაზომილი მნიშვნელობა;

2) გამოთვალეთ ცალკეული გაზომვების კვადრატული გადახრების ჯამი ნაპოვნი არითმეტიკული საშუალოდან და ფორმულის (B.6) გამოყენებით დაადგინეთ ძირის საშუალო კვადრატული შეცდომა, რომელიც ახასიათებს ერთი გაზომვის აბსოლუტურ შეცდომას გარკვეული რაოდენობის პირდაპირ გაზომვებში. ;

3) ფარდობითი შეცდომა ε გამოითვლება ფორმულით (B.2).

აბსოლუტური და ფარდობითი ცდომილების გამოთვლა

ირიბად გაზომვისას

არაპირდაპირი გაზომვების დროს შეცდომების გამოთვლა უფრო რთული ამოცანაა, რადგან ამ შემთხვევაში სასურველი მნიშვნელობა არის სხვა დამხმარე სიდიდეების ფუნქცია, რომელთა გაზომვას თან ახლავს შეცდომების გამოჩენა. ჩვეულებრივ, გაზომვებში, გამოტოვების გარდა, შემთხვევითი შეცდომები ძალიან მცირეა გაზომილ მნიშვნელობასთან შედარებით. ისინი იმდენად მცირეა, რომ შეცდომების მეორე და მაღალი ხარისხი მდგომარეობს გაზომვის სიზუსტის მიღმა და შეიძლება უგულებელყო. შეცდომების სიმცირის გამო შეცდომის ფორმულის მიღება
ირიბად გაზომილი რაოდენობა, გამოიყენება დიფერენციალური გამოთვლის მეთოდები. სიდიდის არაპირდაპირი გაზომვის შემთხვევაში, როდესაც პირდაპირ იზომება რაიმე სასურველ მათემატიკური დამოკიდებულებასთან დაკავშირებული სიდიდეები, უფრო მოსახერხებელია ჯერ ფარდობითი ცდომილების დადგენა და უკვე
ნაპოვნი ფარდობითი ცდომილების მეშვეობით გამოთვალეთ გაზომვის აბსოლუტური შეცდომა.

დიფერენციალური გამოთვლა იძლევა უმარტივეს გზას არაპირდაპირი გაზომვისას ფარდობითი შეცდომის დასადგენად.

მიეცით სასურველი მნიშვნელობა მაგრამფუნქციურად დაკავშირებულია რამდენიმე დამოუკიდებელ პირდაპირ გაზომილ რაოდენობასთან x 1 ,
x 2 , ..., x k, ე.ი.

ა= ვ(x 1 , x 2 , ..., x k).

მნიშვნელობის ფარდობითი შეცდომის დასადგენად მაგრამაიღეთ განტოლების ორივე მხარის ბუნებრივი ლოგარითმი

ლნ ა= ლნ ვ(x 1 , x 2 , ..., x k).

შემდეგ გამოითვლება ფუნქციის ბუნებრივი ლოგარითმის დიფერენციალი
ა= ვ(x 1 ,x 2 , ..., x k),

dln ა= dln ვ(x 1 , x 2 , ..., x k)

ყველა შესაძლო ალგებრული ტრანსფორმაცია და გამარტივება ხდება მიღებულ გამოსახულებაში. ამის შემდეგ, d დიფერენციალურობის ყველა სიმბოლო იცვლება შეცდომის D სიმბოლოებით, ხოლო დამოუკიდებელი ცვლადების დიფერენციალების წინ უარყოფითი ნიშნები იცვლება დადებითით, ანუ მიიღება ყველაზე არახელსაყრელი შემთხვევა, როდესაც ყველა შეცდომები ემატება. ამ შემთხვევაში გამოითვლება შედეგის მაქსიმალური ცდომილება.

ზემოაღნიშნულის გათვალისწინებით

მაგრამ ε = D მაგრამ / მაგრამ

ეს გამოთქმა არის რაოდენობის ფარდობითი შეცდომის ფორმულა მაგრამარაპირდაპირი გაზომვებით ის განსაზღვრავს სასურველი მნიშვნელობის ფარდობით შეცდომას გაზომილი მნიშვნელობების ფარდობითი შეცდომების მეშვეობით. ფორმულის მიხედვით (B.11) ფარდობითი ცდომილების გამოთვლის შემდეგ,
განსაზღვრეთ მნიშვნელობის აბსოლუტური შეცდომა მაგრამროგორც ფარდობითი ცდომილების ნამრავლი და გამოთვლილი მნიშვნელობა მაგრამე.ი.

დ მაგრამ = ε მაგრამ, (12 საათზე)

სადაც ε გამოიხატება განზომილებიანი რიცხვით.

ასე რომ, ირიბად გაზომილი სიდიდის ფარდობითი და აბსოლუტური შეცდომები უნდა გამოითვალოს შემდეგი თანმიმდევრობით:

1) აღებულია ფორმულა, რომლის მიხედვითაც გამოითვლება სასურველი მნიშვნელობა (გაანგარიშების ფორმულა);

2) აღებულია საანგარიშო ფორმულის ორივე ნაწილის ბუნებრივი ლოგარითმი;

3) გამოითვლება სასურველი მნიშვნელობის ბუნებრივი ლოგარითმის ჯამური დიფერენციალი;

4) მიღებულ გამონათქვამში შესრულებულია ყველა შესაძლო ალგებრული გარდაქმნა და გამარტივება;

5) d დიფერენციალური სიმბოლო იცვლება შეცდომის სიმბოლოთ D, ხოლო ყველა უარყოფითი ნიშანი დამოუკიდებელი ცვლადების დიფერენციალების წინ იცვლება დადებითით (ფარდობითი ცდომილება იქნება მაქსიმალური) და მიიღება ფარდობითი ცდომილების ფორმულა;

6) გამოითვლება გაზომილი მნიშვნელობის ფარდობითი ცდომილება;

7) გამოთვლილი ფარდობითი ცდომილების მიხედვით ირიბი გაზომვის აბსოლუტური ცდომილება გამოითვლება ფორმულის მიხედვით (B.12).

განვიხილოთ არაპირდაპირი გაზომვებში ფარდობითი და აბსოლუტური შეცდომების გამოთვლის რამდენიმე მაგალითი.

1. სასურველი მნიშვნელობა მაგრამპირდაპირ გაზომილ სიდიდეებთან დაკავშირებული X, ზე, ზთანაფარდობა

სადაც ადა ბმუდმივი მნიშვნელობებია.

2. აიღეთ გამოხატვის ბუნებრივი ლოგარითმი (B.13)

3. გამოთვალეთ სასურველი მნიშვნელობის ბუნებრივი ლოგარითმის ჯამური დიფერენციალი მაგრამ, ანუ განვასხვავებთ (B.13)

4. ვაკეთებთ გარდაქმნებს. იმის გათვალისწინებით, რომ დ ა= 0 იმიტომ ა= const, cos ზე/ცოდვა წ=ctg წ, ვიღებთ:

5. დიფერენციალურ სიმბოლოებს ვცვლით შეცდომების სიმბოლოებით და მინუს ნიშანს დიფერენციალის წინ პლუსის ნიშნით.

6. ვიანგარიშებთ გაზომილი მნიშვნელობის ფარდობით ცდომილებას.

7. გამოთვლილი ფარდობითი ცდომილების საფუძველზე ირიბი გაზომვის აბსოლუტური ცდომილება გამოითვლება ფორმულით (B.12), ე.ი.

ვერცხლისწყლის სპექტრული ხაზის ყვითელი ტალღის სიგრძე განისაზღვრება დიფრაქციული ბადეების გამოყენებით (ყვითელი ტალღის სიგრძის ფარდობითი და აბსოლუტური შეცდომების გამოსათვლელად მიღებული მიმდევრობის გამოყენებით).

1. ყვითელი ფერის ტალღის სიგრძე ამ შემთხვევაში განისაზღვრება ფორმულით:

სადაც თანარის დიფრაქციული ბადეების მუდმივი (ირიბად გაზომილი მნიშვნელობა); φ l არის ყვითელი ხაზის დიფრაქციის კუთხე სპექტრის მოცემული რიგით (პირდაპირ გაზომილი მნიშვნელობა); კ g არის სპექტრის რიგი, რომელშიც დაკვირვება განხორციელდა.

დიფრაქციის ბადე მუდმივი გამოითვლება ფორმულით

სადაც კ h არის მწვანე ხაზის სპექტრის რიგი; λz - მწვანე ფერის ცნობილი ტალღის სიგრძე (λz - მუდმივი); φ z არის მწვანე ხაზის დიფრაქციის კუთხე სპექტრის მოცემული რიგით (პირდაპირ გაზომილი მნიშვნელობა).

შემდეგ, გამოთქმის გათვალისწინებით (B.15)

(B.16)

სადაც კსთ, კ g - დაკვირვებები, რომლებიც განიხილება მუდმივი; φ h, φ l - არიან
პირდაპირ გაზომვადი რაოდენობით.

გამოხატულება (B.16) არის ყვითელი ტალღის სიგრძის გაანგარიშების ფორმულა, რომელიც განისაზღვრება დიფრაქციული ბადეების გამოყენებით.

4.დ კ h = 0; დ კ f = 0; dλ h = 0, ვინაიდან კსთ, კ W და λ w არის მუდმივი მნიშვნელობები;

მერე

5. (B.17)

სადაც Dφ w, Dφ h არის აბსოლუტური შეცდომები ყვითელის დიფრაქციული კუთხის გაზომვისას
და მწვანე სპექტრის ხაზები.

6. გამოთვალეთ ყვითელი ტალღის სიგრძის ფარდობითი ცდომილება.

7. გამოთვალეთ ყვითელი ტალღის სიგრძის აბსოლუტური შეცდომა:

Dλ კარგად = ελ კარგად.

აბსოლუტური შეცდომასავარაუდო რიცხვი არის ამ რიცხვსა და მის ზუსტ მნიშვნელობას შორის სხვაობის მოდული. . აქედან გამომდინარეობს, რომ იგი შემოსაზღვრულია ან .

მაგალითი 1საწარმოში 1284 მუშა და თანამშრომელია. როდესაც ეს რიცხვი დამრგვალდება 1300-მდე, აბსოლუტური შეცდომაა |1300 - 1284|=16. როდესაც დამრგვალებულია 1280-მდე, აბსოლუტური შეცდომა არის |1280 - 1284| = 4.
შედარებითი შეცდომასავარაუდო რიცხვს უწოდებენ ცდომილების აბსოლუტურ თანაფარდობას ...
სავარაუდო რიცხვი რიცხვის მნიშვნელობის მოდულამდე .
მაგალითი 2 . სკოლაში 197 მოსწავლე სწავლობს. ამ რიცხვს ვამრგვალებთ 200-მდე. აბსოლუტური შეცდომაა |200 - 197| = 3. ფარდობითი შეცდომა არის 3/|197| ანუ 1,5%.

უმეტეს შემთხვევაში, შეუძლებელია სავარაუდო რიცხვის ზუსტი მნიშვნელობის და, შესაბამისად, შეცდომის ზუსტი მნიშვნელობის ცოდნა. თუმცა, თითქმის ყოველთვის შესაძლებელია დადგინდეს, რომ შეცდომა (აბსოლუტური ან ფარდობითი) არ აღემატება გარკვეულ რაოდენობას.

მაგალითი 3გამყიდველი აწონებს საზამთროს სასწორზე. წონების კომპლექტში უმცირესი არის 50 გ, აწონამ მისცა 3600 გ, ეს რიცხვი მიახლოებითია. საზამთროს ზუსტი წონა უცნობია. მაგრამ აბსოლუტური ცდომილება არ აღემატება 50 გ ფარდობითი ცდომილება არ აღემატება 50/3600 ≈1.4%.

მე-3 მაგალითში 50 გ შეიძლება მივიღოთ როგორც შემზღუდველი აბსოლუტური ცდომილება, ხოლო 1.4% შეიძლება მივიღოთ როგორც შეზღუდვის ფარდობითი შეცდომა.
აბსოლუტური შეცდომა აღინიშნება ბერძნული ასო Δ ("დელტა") ან D ა; შედარებითი შეცდომა - ბერძნული ასო δ ("პატარა დელტა"). თუ სავარაუდო რიცხვი აღინიშნება A ასოთი, მაშინ δ = Δ/|A|.

მნიშვნელოვანი ციფრისავარაუდო რიცხვი A არის ნებისმიერი ციფრი მის ათწილადში, რომელიც განსხვავდება ნულისაგან და ნული, თუ ის შეიცავს მნიშვნელოვან ციფრებს შორის ან არის შენახული ათობითი ადგილის წარმომადგენელი.

მაგალითი. A = 0.002080. აქ მხოლოდ პირველი სამი ნული არ არის მნიშვნელოვანი.

ნ A სავარაუდო რიცხვის პირველი მნიშვნელოვანი ციფრებია ერთგულითუ ამ რიცხვის აბსოლუტური შეცდომა არ აღემატება გამოხატული ციფრის ნახევარს ნ-მეე მნიშვნელოვანი ციფრი, ითვლის მარცხნიდან მარჯვნივ. ნომრები, რომლებიც არ არის სწორი, ეძახიან საეჭვო.

მაგალითი.თუ მათ შორის ა= 0.03450 ყველა რიცხვი სწორია, მაშინ .

მიახლოებითი წესები
შინაარსი	განმარტება	მაგალითი ან შენიშვნა
სავარაუდო გამოთვლები	ჩვენთვის ცნობილი ციფრებზე შესრულებული გამოთვლები გარკვეული სიზუსტით, მაგალითად, ექსპერიმენტში მიღებული.	გამოთვლების ჩატარებისას ყოველთვის უნდა გვახსოვდეს სიზუსტე, რომელიც საჭიროა ან შეიძლება მიიღოთ. დაუშვებელია გამოთვლების დიდი სიზუსტით ჩატარება, თუ მოცემული პრობლემები ამის საშუალებას არ იძლევა ან არ მოითხოვს. და პირიქით.
შეცდომები	განსხვავება ზუსტ რიცხვს შორის ადა მისი სავარაუდო ღირებულება მაგრამდაურეკა შეცდომამოცემული სავარაუდო რიცხვი. თუ ცნობილია, რომ | | ა— A |< D, то величина D называется აბსოლუტური შეცდომასავარაუდო მნიშვნელობა A . თანაფარდობა D /|A| = δ ჰქვია შედარებითი შეცდომა; ეს უკანასკნელი ხშირად გამოხატულია პროცენტულად.	3.14 არის რიცხვის მიახლოება ა, მისი ცდომილება არის 0,00159…, აბსოლუტური შეცდომა შეიძლება ჩაითვალოს 0,0016-ის ტოლად, ხოლო ფარდობითი შეცდომა δ უდრის 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.
Მნიშვნელოვანი პირები	ნომრის ყველა ციფრი, მარცხნიდან 1-დან, რომელიც განსხვავდება ნულიდან ბოლომდე, რომლის სისწორის გარანტიაც შეგიძლიათ.	მიახლოებითი რიცხვები უნდა ჩაიწეროს მხოლოდ სწორი ნიშნების დაცვით. თუ, მაგალითად, 52438 რიცხვის აბსოლუტური შეცდომა არის 100, მაშინ ეს რიცხვი უნდა დაიწეროს, მაგალითად, როგორც 524. 102 ან 0.524. 10 5 . თქვენ შეგიძლიათ შეაფასოთ სავარაუდო რიცხვის შეცდომა იმის მითითებით, თუ რამდენ ჭეშმარიტ მნიშვნელოვან ციფრს შეიცავს იგი. თუ რიცხვი A = 47,542 მიიღება სავარაუდო რიცხვებზე მოქმედებების შედეგად და ცნობილია, რომ δ = 0,1%, მაშინ a-ს აქვს 3 სწორი ნიშანი, ე.ი. A = 47.5
დამრგვალება	თუ სავარაუდო რიცხვი შეიცავს დამატებით (ან არასწორ) სიმბოლოებს, მაშინ ის უნდა დამრგვალდეს.	დამრგვალებისას დაცულია მხოლოდ სწორი ნიშნები; დამატებითი სიმბოლოები უქმდება და თუ პირველი გაუქმებული ციფრი მეტია ან ტოლია 5 , შემდეგ ბოლო შენახული ციფრი იზრდება ერთით.
ოპერაციები სავარაუდო რიცხვებზე	სავარაუდო რიცხვებზე მოქმედებების შედეგიც სავარაუდო რიცხვია. შედეგის მნიშვნელოვანი ციფრების რაოდენობა შეიძლება გამოითვალოს შემდეგი წესების გამოყენებით: 1. მიახლოებითი რიცხვების შეკრებისა და გამოკლებისას შედეგმა უნდა შეინარჩუნოს იმდენი ათწილადი, რამდენიც არის მიახლოებით მოცემულში ათწილადების ყველაზე მცირე რაოდენობით. 2. გამრავლებისა და გაყოფისას, შედეგად, იმდენი მნიშვნელოვანი ციფრი უნდა იყოს შენახული, რამდენიც არის მიახლოებითი მონაცემი ყველაზე მცირე რაოდენობის მნიშვნელოვანი ციფრით.

მიახლოებითი რიცხვებით მოქმედებების შედეგიც სავარაუდო რიცხვია. ამავდროულად, ის რიცხვები, რომლებიც მიიღება ამ რიცხვების ზუსტ ციფრებზე ოპერაციებით, შეიძლება ასევე აღმოჩნდეს არაზუსტი.

მაგალითი 5 60.2 და 80.1 სავარაუდო რიცხვები მრავლდება. ცნობილია, რომ ყველა დაწერილი ფიგურა სწორია, ასე რომ, ჭეშმარიტი მნიშვნელობები შეიძლება განსხვავდებოდეს მიახლოებით მხოლოდ მეასედებით, მეათასედებით და ა.შ. პროდუქტში ვიღებთ 4822.02. აქ არა მხოლოდ მეასედებისა და მეათედების რიცხვები, არამედ ერთეულების რიცხვიც შეიძლება იყოს არასწორი. მოდით, მაგალითად, ფაქტორები მიღებული იყოს ზუსტი რიცხვების დამრგვალებით 60.25 და 80.14. მაშინ ზუსტი ნამრავლი იქნება 4828.435, ამიტომ სავარაუდო ნამრავლის ერთეულების რიცხვი (2) განსხვავდება ზუსტი ციფრისგან (8) 6 ერთეულით.

სავარაუდო გამოთვლების თეორია საშუალებას იძლევა:

1) იცის მონაცემების სიზუსტის ხარისხი, მოქმედებების შესრულებამდეც კი შეაფასოს შედეგების სიზუსტის ხარისხი;

2) მიიღოს მონაცემები შესაბამისი ხარისხის სიზუსტით, საკმარისია შედეგის საჭირო სიზუსტის უზრუნველსაყოფად, მაგრამ არც ისე დიდი, რომ კალკულატორი იხსნას უსარგებლო გამოთვლებისგან;

3) თავად გაანგარიშების პროცესის რაციონალიზაცია, გაათავისუფლეთ იგი იმ გამოთვლებისგან, რომლებიც გავლენას არ მოახდენს შედეგის ზუსტ ციფრებზე.

გაზომვის პროცესის პრაქტიკული განხორციელებისას, მიუხედავად საზომი ხელსაწყოების სიზუსტისა, მეთოდოლოგიის სისწორისა და საფუძვლიანობისა.
გაზომვები, გაზომვის შედეგები განსხვავდება გაზომილი სიდიდის ნამდვილი მნიშვნელობისაგან, ე.ი. გაზომვის შეცდომები გარდაუვალია. შეცდომის შეფასებისას ჭეშმარიტი მნიშვნელობის ნაცვლად მიიღება რეალური მნიშვნელობა; ამიტომ, გაზომვის შეცდომის მხოლოდ სავარაუდო შეფასება შეიძლება იყოს მოცემული. გაზომვის შედეგის სანდოობის შეფასება, ე.ი. გაზომვის შეცდომის დადგენა მეტროლოგიის ერთ-ერთი მთავარი ამოცანაა.
შეცდომა არის გაზომვის შედეგის გადახრა გაზომილი სიდიდის ნამდვილი მნიშვნელობიდან. შეცდომები პირობითად შეიძლება დაიყოს საზომი ხელსაწყოების შეცდომებად და გაზომვის შედეგის შეცდომებად.
საზომი ხელსაწყოების შეცდომებიგანხილული იყო მე-3 თავში.
გაზომვის შეცდომაარის რიცხვი, რომელიც მიუთითებს გაზომილი სიდიდის მნიშვნელობის გაურკვევლობის შესაძლო ზღვრებზე.
ქვემოთ მოცემულია კლასიფიკაცია და გათვალისწინებული იქნება გაზომვის შედეგის შეცდომები.
რიცხვითი გამოხატვის გზითგანასხვავებენ აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომები.
წარმოშობის მიხედვითარის შეცდომები ინსტრუმენტული, მეთოდური, წაკითხული და პარამეტრები.
გამოვლინების ნიმუშების მიხედვითგაზომვის შეცდომები იყოფა სისტემატური, პროგრესული, შემთხვევითი და უხეში.
განვიხილოთ გაზომვის მითითებული შეცდომები უფრო დეტალურად.

4.1. აბსოლუტური და შედარებითი შეცდომები

აბსოლუტური შეცდომა D არის განსხვავება გაზომილ X-სა და ნამდვილ X-სა და გაზომილი სიდიდის მნიშვნელობებს შორის. აბსოლუტური შეცდომა გამოიხატება გაზომილი მნიშვნელობის ერთეულებში: D = X - Chi.
ვინაიდან გაზომილი სიდიდის ნამდვილი მნიშვნელობის დადგენა შეუძლებელია, პრაქტიკაში ამის ნაცვლად გამოიყენება გაზომილი სიდიდის ფაქტობრივი მნიშვნელობა Xd. ფაქტობრივი მნიშვნელობა ვლინდება ექსპერიმენტულად, საკმარისად ზუსტი მეთოდებისა და საზომი ხელსაწყოების გამოყენებით. ის ოდნავ განსხვავდება ჭეშმარიტი მნიშვნელობისგან და მის ნაცვლად შეიძლება გამოყენებულ იქნას პრობლემის გადასაჭრელად. გადამოწმების დროს, სამაგალითო საზომი ხელსაწყოების ჩვენებები, როგორც წესი, აღიქმება როგორც ფაქტობრივი მნიშვნელობა. ამრიგად, პრაქტიკაში, აბსოლუტური შეცდომა გვხვდება ფორმულით D »X - Xd. შედარებითი შეცდომა d არის გაზომვის აბსოლუტური შეცდომის თანაფარდობა გაზომილი სიდიდის ნამდვილ (რეალურ) მნიშვნელობასთან (ის ჩვეულებრივ გამოხატულია პროცენტულად): .

4.2. ინსტრუმენტული და მეთოდოლოგიური შეცდომები,
წაკითხვები და პარამეტრები

ინსტრუმენტული(ინსტრუმენტული ან აპარატურის) შეცდომები არის ის, რაც ეკუთვნის მოცემულ საზომ ხელსაწყოს, შეიძლება დადგინდეს მისი ტესტირებისას და შევიდეს მის პასპორტში.
ეს შეცდომები გამოწვეულია საზომი ხელსაწყოების კონსტრუქციული და ტექნოლოგიური ხარვეზებით, აგრეთვე მათი ცვეთის, დაბერების ან გაუმართაობის შედეგად. ინსტრუმენტული შეცდომებიგამოყენებული საზომი ხელსაწყოების შეცდომების გამო, განხილული იქნა მე-3 თავში.
თუმცა, ინსტრუმენტული შეცდომების გარდა, გაზომვების დროს არის ისეთი შეცდომებიც, რომლებიც არ შეიძლება მიეკუთვნებოდეს ამ მოწყობილობას, არ არის მითითებული მის პასპორტში და ე.წ. მეთოდური,იმათ. დაკავშირებულია არა თავად მოწყობილობასთან, არამედ მისი გამოყენების მეთოდთან.
მეთოდოლოგიური შეცდომებიშეიძლება წარმოიშვას გაზომვის მეთოდის საფუძველში მყოფი ფენომენების თეორიის განვითარების არასრულყოფილების გამო, გაზომილი სიდიდის შეფასების საპოვნელად გამოყენებული მიმართებების უზუსტობების გამო, აგრეთვე გაზომილი რაოდენობისა და მის მოდელს შორის შეუსაბამობის გამო.
განვიხილოთ მაგალითები, რომლებიც ასახავს მეთოდოლოგიური გაზომვის შეცდომებს.
კვლევის ობიექტია ალტერნატიული ძაბვის წყარო, რომლის ამპლიტუდის მნიშვნელობა ჰმსაჭიროა გაზომვა. კვლევის ობიექტის წინასწარი შესწავლის საფუძველზე მის მოდელად იქნა მიღებული სინუსოიდური ძაბვის გენერატორი. ვოლტმეტრის გამოყენებით, რომელიც შექმნილია ალტერნატიული ძაბვის ეფექტური მნიშვნელობების გასაზომად და სინუსოიდური ძაბვის ეფექტურ და ამპლიტუდის მნიშვნელობებს შორის ურთიერთობის ცოდნა, ჩვენ ვიღებთ გაზომვის შედეგს სახით. ჰმ = × UV,სადაც UV-ვოლტმეტრის კითხვა. ობიექტის უფრო საფუძვლიანმა შესწავლამ შეიძლება გამოავლინოს, რომ გაზომილი ძაბვის ფორმა განსხვავდება სინუსოიდურისგან და უფრო სწორი ურთიერთობაა გაზომილი მნიშვნელობის მნიშვნელობასა და ვოლტმეტრის მაჩვენებელს შორის. ჰმ =კ× UV,სადაც კ¹ . ამრიგად, კვლევის ობიექტის მიღებული მოდელის არასრულყოფილება იწვევს გაზომვის მეთოდოლოგიურ შეცდომას დU= × UV-კ× UV.
ეს შეცდომა შეიძლება შემცირდეს ან მნიშვნელობის გამოთვლით კგაზომილი ძაბვის მრუდის ფორმის ანალიზის საფუძველზე, ან საზომი ხელსაწყოს ჩანაცვლებით, ვოლტმეტრის აღებით, რომელიც შექმნილია ალტერნატიული ძაბვის ამპლიტუდის მნიშვნელობების გასაზომად.
მეთოდოლოგიური შეცდომების გამოვლენის ძალიან გავრცელებული მიზეზია ის ფაქტი, რომ გაზომვების ორგანიზებისას ჩვენ იძულებულნი ვართ გავზომოთ (ან განზრახ გავზომოთ) არა ის მნიშვნელობა, რომელიც უნდა გავზომოთ, არამედ სხვა, ახლო, მაგრამ არა ტოლი.

ასეთი მეთოდოლოგიური შეცდომის მაგალითია სასრული წინაღობის მქონე ვოლტმეტრით ძაბვის გაზომვის შეცდომა (ნახ. 4.1).
იმის გამო, რომ ვოლტმეტრი შუნტირებს წრედის განყოფილებას, სადაც ძაბვა იზომება, ის უფრო ნაკლებია ვიდრე იყო ვოლტმეტრის დაკავშირებამდე. და მართლაც, ძაბვა, რომელსაც ვოლტმეტრი აჩვენებს, განისაზღვრება გამოხატულებით U=I×Rვ. იმის გათვალისწინებით, რომ დენი წრეში მე =E/(რი +Rv),მაშინ
< .
მაშასადამე, ერთი და იგივე ვოლტმეტრისთვის, რომელიც თავის მხრივ, დაკავშირებულია შესწავლილი მიკროსქემის სხვადასხვა მონაკვეთებთან, ეს შეცდომა განსხვავებულია: დაბალი წინააღმდეგობის მონაკვეთებში ის უმნიშვნელოა, ხოლო მაღალი წინააღმდეგობის განყოფილებებში ის შეიძლება იყოს ძალიან დიდი. ეს შეცდომა შეიძლება აღმოიფხვრას, თუ ვოლტმეტრი მუდმივად იყო დაკავშირებული მიკროსქემის ამ მონაკვეთთან მოწყობილობის მუშაობის მთელი პერიოდის განმავლობაში (როგორც ელექტროსადგურის პანელზე), მაგრამ ეს არახელსაყრელია მრავალი მიზეზის გამო.
ხშირია შემთხვევები, როდესაც ზოგადად რთულია გაზომვის მეთოდის მითითება, რომელიც გამორიცხავს მეთოდოლოგიურ შეცდომას. მოდით, მაგალითად, გავზომოთ ღუმელიდან მოძრავი წისქვილამდე მომავალი ცხელი ღეროების ტემპერატურა. საკითხავია, სად განვათავსოთ ტემპერატურის სენსორი (მაგალითად, თერმოწყვილი): ბლანკის ქვეშ, გვერდით თუ ზემოთ? სადაც არ უნდა მოვათავსოთ, არ გავზომოთ ბლანკის სხეულის შიდა ტემპერატურა, ე.ი. გვექნება მნიშვნელოვანი მეთოდოლოგიური შეცდომა, რადგან ვზომავთ არა იმას, რაც საჭიროა, არამედ რაც უფრო ადვილია (არ გაბურღოთ არხი თითოეულ ბლანკში, რომ მის ცენტრში მოათავსოთ თერმოწყვილი).
ამრიგად, მეთოდოლოგიური შეცდომების მთავარი განმასხვავებელი მახასიათებელია ის ფაქტი, რომ ისინი არ არის მითითებული ინსტრუმენტის პასპორტში, მაგრამ უნდა შეფასდეს თავად ექსპერიმენტატორის მიერ არჩეული გაზომვის ტექნიკის ორგანიზებისას, ამიტომ მან მკაფიოდ უნდა განასხვავოს რეალური. გაზომვადიმათი ზომა გასაზომად.
წაკითხვის შეცდომამოდის არაზუსტი წაკითხვით. ეს გამოწვეულია დამკვირვებლის სუბიექტური მახასიათებლებით (მაგალითად, ინტერპოლაციის შეცდომა, ე.ი. გამყოფი წილადების არასწორი კითხვა ინსტრუმენტის სკალაზე) და კითხვის მოწყობილობის ტიპით (მაგალითად, პარალაქსის შეცდომა). ციფრული საზომი ხელსაწყოების გამოყენებისას კითხვის შეცდომები არ არის, რაც ამ უკანასკნელის პერსპექტივის ერთ-ერთი მიზეზია.
ინსტალაციის შეცდომაგამოწვეულია გაზომვის პირობების ნორმალურიდან გადახრით, ე.ი. პირობები, რომლებშიც განხორციელდა საზომი ხელსაწყოების დაკალიბრება და გადამოწმება. ეს მოიცავს, მაგალითად, შეცდომას მოწყობილობის არასწორად დაყენებიდან სივრცეში ან მის მაჩვენებელზე ნულზე, ტემპერატურის, მიწოდების ძაბვის და სხვა გავლენის სიდიდეების ცვლილებისგან.
შეცდომების განხილული ტიპები თანაბრად შესაფერისია როგორც ინდივიდუალური გაზომვის შედეგების, ასევე საზომი ხელსაწყოების სიზუსტის დასახასიათებლად.

4.3. სისტემატური, პროგრესული, შემთხვევითი და უხეში შეცდომები

სისტემური გაზომვის შეცდომა Dc არის გაზომვის შეცდომის კომპონენტი, რომელიც რჩება მუდმივი ან რეგულარულად იცვლება იმავე მნიშვნელობის განმეორებითი გაზომვების დროს.
სისტემური შეცდომების წარმოშობის მიზეზები ჩვეულებრივ შეიძლება დადგინდეს გაზომვების მომზადებისა და ჩატარების დროს. ეს მიზეზები ძალიან მრავალფეროვანია: გამოყენებული საზომი ხელსაწყოების და მეთოდების არასრულყოფილება, საზომი ხელსაწყოს არასწორი ინსტალაცია, გარე ფაქტორების (რაოდენობების ზეგავლენა) გავლენა საზომი ხელსაწყოების პარამეტრებზე და თავად საზომ ობიექტზე, ნაკლოვანებები. გაზომვის მეთოდი (მეთოდური შეცდომები), ოპერატორის ინდივიდუალური მახასიათებლები (სუბიექტური შეცდომები) და ა.შ. მანიფესტაციის ბუნების მიხედვით, სისტემატური შეცდომები იყოფა მუდმივ და ცვლადებად. მუდმივები მოიცავს, მაგალითად, შეცდომებს ღონისძიების მნიშვნელობის არაზუსტი კორექტირების გამო, ინსტრუმენტის სკალის არასწორი გრადუირება, ინსტრუმენტის არასწორი ინსტალაცია მაგნიტური ველების მიმართულების მიმართ და ა.შ. ცვლადი სისტემური შეცდომები გამოწვეულია გაზომვის პროცესზე გავლენის სიდიდეების გავლენით და შეიძლება მოხდეს, მაგალითად, როდესაც იცვლება მოწყობილობის დენის წყაროს ძაბვა, გარე მაგნიტური ველები, გაზომილი ალტერნატიული ძაბვის სიხშირე და ა.შ. სისტემური შეცდომების თავისებურება ის არის, რომ მათი დამოკიდებულება გავლენიან სიდიდეებზე ექვემდებარება გარკვეულ კანონს. შესაძლებელია ამ კანონის შესწავლა და გაზომვის შედეგის დახვეწა ცვლილებების შეტანით, თუ დადგინდება ამ შეცდომების რიცხვითი მნიშვნელობები. სისტემური შეცდომების გავლენის შემცირების კიდევ ერთი გზაა ისეთი გაზომვის მეთოდების გამოყენება, რომლებიც შესაძლებელს გახდის გამოირიცხოს სისტემატური შეცდომების გავლენა მათი მნიშვნელობების განსაზღვრის გარეშე (მაგალითად, ჩანაცვლების მეთოდი).
გაზომვის შედეგი რაც უფრო ახლოსაა გაზომილი სიდიდის ნამდვილ მნიშვნელობასთან, მით უფრო მცირეა დარჩენილი გამორიცხული სისტემური შეცდომები. გამორიცხული სისტემური შეცდომების არსებობა განსაზღვრავს გაზომვების სისწორეს, ხარისხი, რომელიც ასახავს სისტემური შეცდომების სიახლოვეს ნულთან. გაზომვის შედეგი იქნება ისეთივე სწორი, რამდენადაც არ არის დამახინჯებული სისტემური შეცდომებით და რაც უფრო სწორია, მით უფრო მცირეა ეს შეცდომები.
პროგრესული(ან დრიფტს) უწოდებენ არაპროგნოზირებად შეცდომებს, რომლებიც ნელ-ნელა იცვლება დროთა განმავლობაში. ეს შეცდომები, როგორც წესი, გამოწვეულია აღჭურვილობის გარკვეული ნაწილების დაბერების პროცესებით (ელექტრომომარაგების გამონადენი, რეზისტორების დაძველება, კონდენსატორები, მექანიკური ნაწილების დეფორმაცია, ქაღალდის ლენტის შეკუმშვა თვითჩამწერ ინსტრუმენტებში და ა.შ.). პროგრესული შეცდომების თავისებურება ის არის, რომ მათი გამოსწორება შესაძლებელია მხოლოდ დროის მოცემულ მომენტში შესწორების შეტანით, შემდეგ კი კვლავ არაპროგნოზირებად გაზრდით. ამიტომ, სისტემური შეცდომებისგან განსხვავებით, რომელთა გამოსწორება შესაძლებელია მოწყობილობის მთელი მომსახურების ვადის განმავლობაში ერთხელ აღმოჩენილი შესწორებით, პროგრესირებადი შეცდომები საჭიროებს კორექტირების მუდმივ გამეორებას და რაც უფრო ხშირად, მით უფრო მცირე უნდა იყოს მათი ნარჩენი მნიშვნელობა. პროგრესული შეცდომების კიდევ ერთი თავისებურება ის არის, რომ დროში მათი ცვლილება არასტაციონარული შემთხვევითი პროცესია და, შესაბამისად, სტაციონარული შემთხვევითი პროცესების კარგად განვითარებული თეორიის ფარგლებში, მათი აღწერა მხოლოდ დათქმებით შეიძლება.
შემთხვევითი გაზომვის შეცდომაარის გაზომვის შეცდომის კომპონენტი, რომელიც შემთხვევით იცვლება იმავე რაოდენობის განმეორებითი გაზომვისას. შემთხვევითი შეცდომების მნიშვნელობისა და ნიშნის დადგენა შეუძლებელია, მათი უშუალოდ გათვალისწინება შეუძლებელია მათი ქაოტური ცვლილების გამო გაზომვის შედეგზე სხვადასხვა ფაქტორების ერთდროული გავლენის გამო. შემთხვევითი შეცდომები გვხვდება ერთი და იგივე რაოდენობის მრავალჯერადი გაზომვისას (ამ შემთხვევაში ცალკეულ გაზომვებს დაკვირვებას უწოდებენ) ერთი და იგივე საზომი ხელსაწყოების მიერ ერთი და იგივე დამკვირვებლის მიერ ერთსა და იმავე პირობებში, ე.ი. თანაბარი ზუსტი (ეკვიდისპერსიული) გაზომვებით. შემთხვევითი შეცდომების გავლენა გაზომვის შედეგზე გათვალისწინებულია მათემატიკური სტატისტიკისა და ალბათობის თეორიის მეთოდებით.
გაზომვის უხეში შეცდომები -შემთხვევითი გაზომვის შეცდომები, რომლებიც მნიშვნელოვნად აღემატება მოლოდინს მოცემული შეცდომის პირობებში.
უხეში შეცდომები (გამოტოვება) ჩვეულებრივ გამოწვეულია ინსტრუმენტზე არასწორი წაკითხვით, დაკვირვების ჩაწერის შეცდომით, ძლიერად მოქმედი რაოდენობის არსებობით, საზომი ხელსაწყოების გაუმართაობით და სხვა მიზეზებით. როგორც წესი, უხეში შეცდომის შემცველი გაზომვის შედეგები არ არის გათვალისწინებული, ამიტომ უხეში შეცდომები მცირე გავლენას ახდენს გაზომვის სიზუსტეზე. გამოტოვების პოვნა ყოველთვის ადვილი არ არის, განსაკუთრებით ერთი გაზომვით; ხშირად ძნელია უხეში შეცდომის გარჩევა დიდი შემთხვევითი შეცდომისგან. თუ უხეში შეცდომები ხშირია, ჩვენ ეჭვი შევიტანთ ყველა გაზომვის შედეგებზე. ამიტომ, უხეში შეცდომები გავლენას ახდენს გაზომვების ვალიდობაზე.
საშუალების შეცდომებისა და გაზომვის შედეგების შემთხვევით, პროგრესულ და სისტემატურ კომპონენტებად აღწერილი დაყოფის დასასრულს, აუცილებელია ყურადღება მიაქციოთ იმ ფაქტს, რომ ასეთი დაყოფა არის მათი ანალიზის ძალიან გამარტივებული მეთოდი. ამიტომ, ყოველთვის უნდა გვახსოვდეს, რომ სინამდვილეში, შეცდომის ეს კომპონენტები ერთად ჩნდება და ქმნიან ერთ არასტაციონალურ შემთხვევით პროცესს. ამ შემთხვევაში, გაზომვის შედეგის ცდომილება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც შემთხვევითი და სისტემატური Dc შეცდომების ჯამი: D = Dc +. გაზომვის შეცდომები მოიცავს შემთხვევით კომპონენტს, ამიტომ ის უნდა ჩაითვალოს შემთხვევით ცვლადად.
გაზომვის შეცდომების გამოვლინების ბუნების გათვალისწინება გვიჩვენებს, რომ შეცდომების შეფასების ერთადერთ სწორ გზას გვაძლევს ალბათობის თეორია და მათემატიკური სტატისტიკა.

4.4. შეცდომების აღწერის ალბათური მიდგომა

შემთხვევითი შეცდომების განაწილების კანონები.შემთხვევითი შეცდომები გამოვლენილია იმავე მნიშვნელობის გაზომვების სერიის დროს. ამ შემთხვევაში, გაზომვის შედეგები, როგორც წესი, არ ემთხვევა ერთმანეთს, რადგან მრავალი განსხვავებული ფაქტორის მთლიანი ზემოქმედების გამო, რომელიც არ არის გათვალისწინებული, ყოველი ახალი გაზომვა ასევე იძლევა გაზომილი რაოდენობის ახალ შემთხვევით მნიშვნელობას. სწორი გაზომვებით, მათი საკმარისი რაოდენობით და სისტემატური შეცდომებისა და შეცდომების გამორიცხვით, შეიძლება ითქვას, რომ გაზომილი რაოდენობის ნამდვილი მნიშვნელობა არ სცილდება ამ გაზომვების დროს მიღებულ მნიშვნელობებს. ის უცნობი რჩება მანამ, სანამ შემთხვევითი შეცდომის თეორიულად სავარაუდო მნიშვნელობა არ დადგინდება.
მოდით გავზომოთ A-ს მნიშვნელობა პჯერ და დააკვირდა მნიშვნელობებს a1, a2, a3,…,a მე,...,ან. ერთი გაზომვის შემთხვევითი აბსოლუტური შეცდომა განისაზღვრება სხვაობით
დი = აი - ა. (4.1)
გრაფიკულად, ინდივიდუალური გაზომვების შედეგები წარმოდგენილია ნახ. 4.2.
საკმარისად დიდი რაოდენობით პიგივე შეცდომები, თუ მათ აქვთ რიგი დისკრეტული მნიშვნელობები, მეორდება და ამიტომ შესაძლებელია მათი წარმოშობის ფარდობითი სიხშირის (სიხშირის) დადგენა, ე.ი. მიღებული იდენტური მონაცემების რაოდენობის თანაფარდობა მიმიღებული გაზომვების საერთო რაოდენობამდე პ.როგორც გაზომვები გრძელდება, რაოდენობები მაგრამეს სიხშირე არ შეიცვლება, ამიტომ შეიძლება ჩაითვალოს შეცდომის ალბათობა ამ გაზომვებში: გვ(AI) = მი / ნ.

შემთხვევითი შეცდომების დადგომის ალბათობის სტატისტიკურ დამოკიდებულებას მათ მნიშვნელობაზე ე.წ. შეცდომების განაწილების კანონი ან ალბათობის განაწილების კანონი. ეს კანონი განსაზღვრავს ინდივიდუალური გაზომვების სხვადასხვა შედეგების გარეგნობის ბუნებას. განაწილების კანონების აღწერის ორი ტიპი არსებობს: განუყოფელიდა დიფერენციალური.
განუყოფელი კანონი, ან ალბათობის განაწილების ფუნქციაF(დ ) შემთხვევითი შეცდომა დი inმე-ეგამოცდილება, ისინი უწოდებენ ფუნქციას, რომლის მნიშვნელობა თითოეული D-სთვის არის მოვლენის ალბათობა R(დ), რომელიც მდგომარეობს იმაში, რომ შემთხვევითი შეცდომა Di იღებს მნიშვნელობებს ნაკლებს ვიდრე ზოგიერთი მნიშვნელობა D, ე.ი. ფუნქცია F(დ ) = P[დი < დ ]. ეს ფუნქცია, როდესაც D იცვლება -¥-დან +¥-მდე, იღებს მნიშვნელობებს 0-დან 1-მდე და არ კლებულობს. ის არსებობს ყველა შემთხვევითი ცვლადისთვის, როგორც დისკრეტული, ასევე უწყვეტი (სურათი 4.3 ა).
Თუ F(დ)სიმეტრიული წერტილის მიმართ მაგრამ,შესაბამისი ალბათობა 0.5, მაშინ დაკვირვების შედეგების განაწილება სიმეტრიული იქნება ჭეშმარიტი მნიშვნელობის მიმართ მაგრამ.ამ შემთხვევაში მიზანშეწონილია F(დ)აბსცისის გასწვრივ ცვლა DA მნიშვნელობით, ე.ი. გამორიცხეთ შეცდომის სისტემატური კომპონენტი (DA =Dc)და მიიღეთ შეცდომის შემთხვევითი კომპონენტის განაწილების ფუნქცია D=(ნახ. 4.3 ბ). შეცდომის ალბათობის განაწილების ფუნქცია დგანსხვავდება შეცდომის შემთხვევითი კომპონენტის ალბათობის განაწილების ფუნქციისგან მხოლოდ აბსცისის ღერძის გასწვრივ შეცდომის სისტემატური კომპონენტის მნიშვნელობით. DC.
დიფერენციალური კანონი ალბათობის განაწილებაუწყვეტი და დიფერენცირებადი განაწილების ფუნქციის შემთხვევითი შეცდომისთვის F(დ)დარეკეთ ფუნქციას . ეს დამოკიდებულება არის ალბათობის განაწილების სიმკვრივე.ალბათობის განაწილების სიმკვრივის გრაფიკს შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული ფორმა შეცდომების განაწილების კანონის მიხედვით. ამისთვის F(დ)ნაჩვენებია ნახ. 4.3 ბ, განაწილების მრუდი ვ(დ)აქვს ზარის ფორმასთან მიახლოებული ფორმა (სურ. 4.3 გ).
შემთხვევითი შეცდომების დადგომის ალბათობა განისაზღვრება მრუდით შემოსაზღვრული ფართობით ვ(დ)ან მისი ნაწილი და x-ღერძი (ნახ. 4.3 გ). განხილული შეცდომის ინტერვალიდან გამომდინარე .

მნიშვნელობა ვ(დ)დდარის ალბათობის ელემენტი, რომელიც ტოლია მართკუთხედის ფართობის ფუძით დდ დააბსცისა D1,D2,კვანტილებს უწოდებენ. როგორც F(+¥)= 1, შემდეგ თანასწორობა ,
იმათ. ფართობი მრუდის ქვეშ ვ(დ)ნორმალიზაციის წესის მიხედვით, ის უდრის ერთს და ასახავს ყველა შესაძლო მოვლენის ალბათობას.
ელექტრული გაზომვების პრაქტიკაში, შემთხვევითი შეცდომების განაწილების ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული კანონია ნორმალური კანონი(გაუსი).
ნორმალური კანონის მათემატიკურ გამოხატულებას აქვს ფორმა
,
სადაც ვ(დ)- შემთხვევითი შეცდომის ალბათობის სიმკვრივე D = aმე-ა; s - სტანდარტული გადახრა. ფესვის საშუალო კვადრატული გადახრა შეიძლება გამოისახოს დაკვირვების შედეგების შემთხვევითი გადახრების თვალსაზრისით Di (იხ. ფორმულა (4.1)):
.
ამ განტოლებით აღწერილი მრუდების ბუნება s-ის ორი მნიშვნელობისთვის ნაჩვენებია ნახ. 4.4. ამ მრუდებიდან ჩანს, რომ რაც უფრო მცირეა s, მით უფრო ხშირად ხდება მცირე შემთხვევითი შეცდომები, ე.ი. რაც უფრო ზუსტია გაზომვები. გაზომვების პრაქტიკაში არსებობს სხვა განაწილების კანონები, რომლებიც შეიძლება დადგინდეს სტატისტიკური დამუშავების საფუძველზე.

ექსპერიმენტული მონაცემები. ზოგიერთი ყველაზე გავრცელებული განაწილების კანონი მოცემულია GOST 8.011-84 "გაზომვის სიზუსტის ინდიკატორები და გაზომვის შედეგების წარმოდგენის ფორმები".
განაწილების კანონების ძირითადი მახასიათებლებია მოსალოდნელი ღირებულებადა დისპერსია.
შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინიარის მისი მნიშვნელობა, რომლის ირგვლივ ჯგუფდება ინდივიდუალური დაკვირვების შედეგები. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი M[X]განისაზღვრება, როგორც შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის ნამრავლების ჯამი ამ მნიშვნელობების ალბათობით .
უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადებისთვის უნდა მივმართოთ ინტეგრაციას, რისთვისაც საჭიროა ვიცოდეთ ალბათობის სიმკვრივის დამოკიდებულება X,ე.ი. f(x),სადაც x=დ.მერე .
ეს გამოხატულება ნიშნავს, რომ მათემატიკური მოლოდინი უდრის შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის უსასრულო რაოდენობის პროდუქტის ჯამს. Xუსასრულოდ მცირე ფართობებზე f(x)dx,სადაც f(x) -ორდინატები თითოეულისთვის X,ა dx - x-ღერძის ელემენტარული სეგმენტები.
თუ არსებობს შემთხვევითი შეცდომების ნორმალური განაწილება, მაშინ შემთხვევითი შეცდომის მათემატიკური მოლოდინი არის ნული (ნახ. 4.4). თუ გავითვალისწინებთ შედეგების ნორმალურ განაწილებას, მაშინ მათემატიკური მოლოდინი შეესაბამება გაზომილი სიდიდის ნამდვილ მნიშვნელობას, რომელსაც აღვნიშნავთ ა.
სისტემატური შეცდომა ამ შემთხვევაში არის დაკვირვების შედეგების მათემატიკური მოლოდინის გადახრა ჭეშმარიტი მნიშვნელობიდან. მაგრამგაზომილი მნიშვნელობა: Dc = M[X]-ადა შემთხვევითი შეცდომა არის განსხვავება ერთი დაკვირვების შედეგსა და მათემატიკურ მოლოდინს შორის: .
დაკვირვებების სერიის დისპერსია ახასიათებს ინდივიდუალური დაკვირვების შედეგების დისპერსიის (გაფანტვის) ხარისხს მათემატიკური მოლოდინის გარშემო:
D[X] =Dx=მ[(აი-mx)2].
რაც უფრო მცირეა განსხვავება, რაც უფრო მცირეა ინდივიდუალური შედეგების გავრცელება, მით უფრო ზუსტია გაზომვები. თუმცა, დისპერსია გამოიხატება გაზომილი სიდიდის კვადრატზე ერთეულებში. ამიტომ, როგორც დაკვირვების სერიის სიზუსტის მახასიათებელი, ყველაზე ხშირად გამოიყენება სტანდარტული გადახრა (RMS), რომელიც უდრის დისპერსიის კვადრატულ ფესვს: .
შემთხვევითი ცვლადების ნორმალურად განაწილება, შემთხვევითი შეცდომების ჩათვლით, თეორიულია, ამიტომ აღწერილი ნორმალური განაწილება უნდა ჩაითვალოს „იდეალურად“, ანუ, როგორც თეორიული საფუძველი შემთხვევითი შეცდომების შესწავლისა და მათი გავლენის გაზომვის შედეგზე.
გარდა ამისა, ასახულია ამ განაწილების პრაქტიკაში გამოყენების გზები დაახლოების სხვადასხვა ხარისხით. ასევე განიხილება სხვა განაწილება (Student's distribution), რომელიც გამოიყენება მცირე რაოდენობის დაკვირვებისთვის.
შეცდომების შეფასება პირდაპირი გაზომვების შედეგებში.დაე, ჩატარდეს პიგივე რაოდენობის პირდაპირი გაზომვები. ზოგადად, გაზომვის თითოეულ მოქმედებაში, შეცდომა განსხვავებული იქნება:
დმე =აი-A,
სადაც Di არის i-ის გაზომვის შეცდომა; აი- i-ის გაზომვის შედეგი.
ვინაიდან გაზომილი სიდიდის ნამდვილი მნიშვნელობა აუცნობია, შემთხვევითი აბსოლუტური შეცდომის გამოთვლა შეუძლებელია. პრაქტიკულ გათვლებში, ნაცვლად აგამოიყენე მისი ქულა. ჩვეულებრივ ვარაუდობენ, რომ ნამდვილი მნიშვნელობა არის გაზომვების სერიის არითმეტიკული საშუალო:
. (4.2)
სადაც ამე-ინდივიდუალური გაზომვების შედეგები; P -გაზომვების რაოდენობა.
ახლა, გამოხატვის მსგავსად (4.1), ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ თითოეული გაზომვის შედეგის გადახრა საშუალო მნიშვნელობიდან :
(4.3)
სადაც ვ მე- ერთი გაზომვის შედეგის გადახრა საშუალო მნიშვნელობიდან. უნდა გვახსოვდეს, რომ გაზომვის შედეგის გადახრების ჯამი საშუალო მნიშვნელობიდან არის ნული, ხოლო მათი კვადრატების ჯამი მინიმალურია, ე.ი.
და მინ.
ეს თვისებები გამოიყენება გაზომვის შედეგების დამუშავებისას გამოთვლების სისწორის გასაკონტროლებლად.
შემდეგ გამოთვალეთ ღირებულების შეფასება საშუალო კვადრატული შეცდომაგაზომვების მოცემული სერიისთვის

. (4.4)
ალბათობის თეორიის მიხედვით, საკმარისად დიდი რაოდენობის გაზომვები დამოუკიდებელი შემთხვევითი შეცდომებით, შეფასება სემთხვევა ალბათობით ს.ამრიგად,

. (4.5)
რადგან არითმეტიკული საშუალო ასევე არის შემთხვევითი ცვლადი, აზრი აქვს საშუალო არითმეტიკული გადახრის ცნებას. ეს მნიშვნელობა აღინიშნება სიმბოლოთ sav. შეიძლება აჩვენოს, რომ დამოუკიდებელი შეცდომებისთვის
. (4.6)
sav-ის მნიშვნელობა ახასიათებს გავრცელების ხარისხს . როგორც ზემოთ აღინიშნა, მოქმედებს როგორც გაზომილი მნიშვნელობის ნამდვილი მნიშვნელობის შეფასება, ე.ი. არის ჩატარებული გაზომვების საბოლოო შედეგი. ამიტომ, sav-ს ასევე უწოდებენ გაზომვის შედეგის ძირის საშუალო კვადრატულ შეცდომას.
პრაქტიკაში (4.5) ფორმულით გამოთვლილი s-ის მნიშვნელობა გამოიყენება, თუ საჭიროა გამოყენებული გაზომვის მეთოდის სიზუსტის დახასიათება: თუ მეთოდი ზუსტია, მაშინ ინდივიდუალური გაზომვების შედეგების გაფანტვა მცირეა, ე.ი. მცირე ღირებულება . სპ-ის ღირებულება , გამოთვლილი (4.6)-ით გამოიყენება გარკვეული სიდიდის გაზომვის შედეგის სიზუსტის დასახასიათებლად, ე.ი. რიგი ინდივიდუალური პირდაპირი გაზომვების შედეგების მათემატიკური დამუშავებით მიღებული შედეგი.
გაზომვების შედეგების შეფასებისას, კონცეფცია ზოგჯერ გამოიყენება მაქსიმუმან მაქსიმალური დასაშვები შეცდომა,რომლის ღირებულება განისაზღვრება s ან S-ის აქციებით. ამჟამად, არსებობს მაქსიმალური შეცდომის დადგენის სხვადასხვა კრიტერიუმები, ანუ ტოლერანტობის ველის საზღვრები ±D, რომელშიც შემთხვევითი შეცდომები უნდა შეესაბამებოდეს. მაქსიმალური შეცდომის განმარტება D = 3s (ან 3 ს). ცოტა ხნის წინ, გაზომვების ინფორმაციული თეორიის საფუძველზე, პროფესორი P.V. Novitsky რეკომენდაციას უწევს D = 2s მნიშვნელობის გამოყენებას.
ახლა ჩვენ წარმოგიდგენთ მნიშვნელოვან ცნებებს თავდაჯერებულობის დონედა ნდობის ინტერვალი.როგორც ზემოთ აღინიშნა, არითმეტიკული საშუალო , მიღებული გაზომვების ზოგიერთი სერიის შედეგად, არის ჭეშმარიტი მნიშვნელობის შეფასება მაგრამდა, როგორც წესი, არ ემთხვევა მას, მაგრამ განსხვავდება შეცდომის მნიშვნელობით. დაე იყოს რდარის იმის შესაძლებლობა, რომ განსხვავდება მაგრამმაქსიმუმ D, ე.ი. R(-დ< მაგრამ< + დ)=რდ. ალბათობა რდდაურეკა ნდობის ალბათობა,და გაზომილი მნიშვნელობის მნიშვნელობების დიაპაზონი - D-მდე + D- ნდობის ინტერვალი.
ზემოაღნიშნული უტოლობა ნიშნავს იმას, რომ ალბათობით რდნდობის ინტერვალი საწყისიდან - D-მდე + D შეიცავს ნამდვილ მნიშვნელობას მაგრამ. ამრიგად, შემთხვევითი შეცდომის საკმაოდ სრულად დასახასიათებლად, საჭიროა ორი რიცხვი - ნდობის ალბათობა და მის შესაბამისი ნდობის ინტერვალი. თუ შეცდომის ალბათობების განაწილების კანონი ცნობილია, მაშინ ნდობის ინტერვალი შეიძლება განისაზღვროს მოცემული ნდობის დონის მიხედვით. კერძოდ, საკმარისად დიდი რაოდენობის გაზომვებისთვის ხშირად გამართლებულია ნორმალური კანონის გამოყენება, ხოლო მცირე რაოდენობის გაზომვებისთვის (პ< 20), რომლის შედეგებიც მიეკუთვნება ნორმალურ განაწილებას, გამოყენებული უნდა იყოს სტუდენტის განაწილება. ამ განაწილებას აქვს ალბათობის სიმკვრივე, რომელიც პრაქტიკულად ემთხვევა ნორმალურს დიდისთვის P,მაგრამ მნიშვნელოვნად განსხვავდება ნორმალურიდან მცირე პ.
მაგიდაზე. 4.1 აჩვენებს სტუდენტის განაწილების ე.წ. ½ კვანტილებს t(ო)½ რდგაზომვების რაოდენობისთვის პ= 2 - 20 და ნდობის ალბათობა რ = 0,5 - 0,999.
თუმცა, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ჩვეულებრივ სტუდენტის განაწილების ცხრილები არ არის მოცემული მნიშვნელობებისთვის პდა Rd,და ღირებულებებისთვის მ =n-1და a \u003d 1 - Rd,რა უნდა გაითვალისწინოთ მათი გამოყენებისას. ნდობის ინტერვალის დასადგენად აუცილებელია მონაცემები პდა რდიპოვეთ კვანტილი ½ t(ო)½Rd და გამოთვალეთ მნიშვნელობები ან = - sp× ½ t(ო)½ Rdi ავ = + sp× ½ t(ო)½Rd, რომელიც იქნება ნდობის ინტერვალის ქვედა და ზედა ზღვარი.

ზემოაღნიშნული მეთოდოლოგიის მიხედვით მოცემული ნდობის ალბათობის ნდობის ინტერვალების პოვნის შემდეგ, გაზომვის შედეგი იწერება ფორმაში ; D=დნ¸ Dv; რდ,
სადაც - გაზომვის შედეგის ჭეშმარიტი მნიშვნელობის შეფასება გაზომილი მნიშვნელობის ერთეულებში; D - გაზომვის შეცდომა; Dv = + sp× ½ t(ო)½Рд და Dn = - sp× ½ t(ო)½Rd - გაზომვის შეცდომის ზედა და ქვედა ზღვარი; Rd - ნდობის ალბათობა.

ცხრილი 4.1

	სტუდენტის განაწილების კვანტილების მნიშვნელობები t(n) ნდობით ალბათობები რდ

არაპირდაპირი გაზომვების შედეგებში შეცდომების შეფასება.არაპირდაპირი გაზომვებით, სასურველი მნიშვნელობა მაგრამფუნქციურად დაკავშირებული ერთ ან მეტ პირდაპირ გაზომილ სიდიდეებთან: X,წ,..., ტ. განვიხილოთ ერთი ცვლადის შეცდომის დადგენის უმარტივესი შემთხვევა, როდესაც ა= ფ(x). რაოდენობის აბსოლუტური საზომი შეცდომის აღნიშვნა X±Dx-ის მეშვეობით მივიღებთ A+დ ა= F(x±დ x).
ამ ტოლობის მარჯვენა მხარის გაფართოებით ტეილორის სერიებად და Dx-ის შემცველი გაფართოების ტერმინების უგულებელყოფით პირველზე მაღალ ხარისხზე, მივიღებთ
A+DA » F(x) ± Dx ან DA » ± Dx.
ფუნქციის შედარებითი გაზომვის შეცდომა განისაზღვრება გამოხატულებიდან
.
თუ გაზომილი მნიშვნელობა მაგრამარის რამდენიმე ცვლადის ფუნქცია: A=F(x,შ,...,უ),მაშინ არაპირდაპირი გაზომვების შედეგის აბსოლუტური შეცდომა
.
არაპირდაპირი გაზომვის ნაწილობრივი ფარდობითი შეცდომები განისაზღვრება ფორმულებით ; და ა.შ. გაზომვის შედეგის შედარებითი შეცდომა
.
მოდით ასევე ვისაუბროთ არაპირდაპირი გაზომვის შედეგის შეფასების მახასიათებლებზე შემთხვევითი შეცდომის არსებობისას.
რაოდენობის არაპირდაპირი გაზომვის შედეგების შემთხვევითი შეცდომის შეფასება მაგრამჩვენ ვივარაუდებთ, რომ სისტემური შეცდომები სიდიდეების გაზომვაში x, y,…, tგამორიცხულია და შემთხვევითი შეცდომები ერთი და იგივე რაოდენობების გაზომვისას ერთმანეთზე არ არის დამოკიდებული.
არაპირდაპირი გაზომვებით, გაზომილი სიდიდის მნიშვნელობა გამოითვლება ფორმულით ,
სადაც არის რაოდენობების საშუალო ან შეწონილი საშუალო მნიშვნელობები x, y,…, t.
გაზომილი მნიშვნელობის სტანდარტული გადახრის გამოსათვლელად მაგრამმიზანშეწონილია გამოიყენოთ გაზომვების დროს მიღებული სტანდარტული გადახრები x, y,…, t.
ზოგადად, შემდეგი ფორმულა გამოიყენება არაპირდაპირი გაზომვის სტანდარტული გადახრის დასადგენად:
, (4.7)
სადაც Dx ;Dy ;…;Dt-არაპირდაპირი გაზომვის ნაწილობრივი შეცდომების ე.წ ; ; …; ; ; ; … ; — ნაწილობრივი წარმოებულები მაგრამ on x, y,…, t;სქ; სy,…,ქ,…-გაზომვის შედეგების სტანდარტული გადახრები x, y,…, t.
განვიხილოთ (4.7) განტოლების გამოყენების რამდენიმე განსაკუთრებული შემთხვევა, როდესაც ფუნქციური დამოკიდებულება ირიბად და პირდაპირ გაზომილ სიდიდეებს შორის გამოიხატება ფორმულით. A=კ× xა× წბ× ზგ ,სადაც კ-რიცხვითი კოეფიციენტი (უგანზომილებიანი).
ამ შემთხვევაში, ფორმულა (4.7) იღებს შემდეგ ფორმას:
.
Თუ a =b=გ = 1და A=კ× x× წ× z,მაშინ შედარებითი შეცდომის ფორმულა გამარტივებულია ფორმაში .
ეს ფორმულა გამოიყენება, მაგალითად, მოცულობის გაზომვის სტანდარტული გადახრის გამოსათვლელად კუბოიდური ავზის სიმაღლის, სიგანისა და სიღრმის გაზომვებისგან.

4.5. შემთხვევითი და სისტემატური შეცდომების შეჯამების წესები
რთული საზომი ხელსაწყოების შეცდომა დამოკიდებულია მისი ცალკეული კვანძების (ბლოკების) შეცდომებზე. შეცდომები შეჯამებულია გარკვეული წესების მიხედვით.
მოდით, მაგალითად, საზომი მოწყობილობა შედგებოდეს მბლოკები, რომელთაგან თითოეულს აქვს დამოუკიდებელი შემთხვევითი შეცდომები. ამავდროულად, ძირის საშუალო კვადრატული სკ ან მაქსიმუმის აბსოლუტური მნიშვნელობები მკშეცდომა თითოეული ბლოკისთვის.
არითმეტიკული შეჯამება ან იძლევა მოწყობილობის მაქსიმალურ შეცდომას, რომელსაც აქვს უმნიშვნელო ალბათობა და ამიტომ იშვიათად გამოიყენება მთლიანობაში მოწყობილობის სიზუსტის შესაფასებლად. შეცდომების თეორიის მიხედვით, შედეგად მიღებული შეცდომა sres და მრეზგანისაზღვრება კვადრატული მიმატებით ან .
შედეგად მიღებული ფარდობითი გაზომვის შეცდომა განისაზღვრება ანალოგიურად: . (4.8)
განტოლება (4.8) შეიძლება გამოყენებულ იქნას დამუშავების პროცესში მყოფი მოწყობილობების ცალკეული ბლოკების დასაშვები შეცდომების დასადგენად მოცემული გაზომვის შეცდომით. მოწყობილობის დაპროექტებისას მათ ჩვეულებრივ ეძლევათ თანაბარი შეცდომები მასში შემავალი ცალკეული ბლოკებისთვის. თუ არსებობს შეცდომის რამდენიმე წყარო, რომელიც განსხვავებულად მოქმედებს გაზომვის საბოლოო შედეგზე (ან მოწყობილობა შედგება რამდენიმე ბლოკისგან სხვადასხვა შეცდომით), შეწონილი ფაქტორები უნდა იყოს შეყვანილი ფორმულაში (4.8). კი :
, (4.9)
სადაც d1, d2, …, dm არის საზომი მოწყობილობის ცალკეული ერთეულების (ბლოკების) შედარებითი შეცდომები; k1,k2,…,კმ- კოეფიციენტები, რომლებიც ითვალისწინებენ ამ ბლოკის შემთხვევითი შეცდომის გავლენის ხარისხს გაზომვის შედეგზე.
თუ საზომ მოწყობილობას (ან მის ბლოკებს) ასევე აქვს სისტემატური შეცდომები, მთლიანი შეცდომა განისაზღვრება მათი ჯამით: იგივე მიდგომა მოქმედებს უფრო დიდი რაოდენობის კომპონენტებისთვის.
ნაწილობრივი შეცდომების გავლენის შეფასებისას გასათვალისწინებელია, რომ გაზომვების სიზუსტე ძირითადად დამოკიდებულია შეცდომებზე, რომლებიც დიდია აბსოლუტური მნიშვნელობით და ზოგიერთი უმცირესი შეცდომის იგნორირება შესაძლებელია. ნაწილობრივი ცდომილება ფასდება ე.წ უმნიშვნელო შეცდომის კრიტერიუმი,რომელიც არის შემდეგი. დავუშვათ, რომ მთლიანი ცდომილება განისაზღვრება ფორმულით (4.8) ყველაფრის გათვალისწინებით მნაწილობრივი შეცდომები, რომელთა შორის ზოგიერთ შეცდომას di აქვს მცირე მნიშვნელობა. თუ ჯამური ცდომილება d¢res, რომელიც გამოითვლება di შეცდომის გათვალისწინების გარეშე, განსხვავდება dre-სგან არაუმეტეს 5%-ით, ე.ი. დრეზ-დ¢რეზ< 0,05×dрез или 0,95×dрезტექნიკური გამოთვლების პრაქტიკაში ხშირად გამოიყენება ნაკლებად მკაცრი კრიტერიუმი - ამ ფორმულებში შედის კოეფიციენტი 0.4.

4.6. გაზომვის შედეგების წარმოდგენის ფორმები

გაზომვის შედეგი ღირებულია მხოლოდ მაშინ, როდესაც მისი გაურკვევლობის ინტერვალი შეიძლება შეფასდეს, ე.ი. საიმედოობის ხარისხი. ამიტომ, გაზომვის შედეგი უნდა შეიცავდეს გაზომილი სიდიდის მნიშვნელობას და ამ მნიშვნელობის სიზუსტის მახასიათებლებს, რომლებიც წარმოადგენს სისტემატურ და შემთხვევით შეცდომებს. შეცდომების რაოდენობრივი მაჩვენებლები, მათი გამოხატვის მეთოდები, აგრეთვე გაზომვის შედეგების წარმოდგენის ფორმები რეგულირდება GOST 8.011-72 "გაზომვის სიზუსტის ინდიკატორები და გაზომვის შედეგების წარმოდგენის ფორმები". განვიხილოთ გაზომვის შედეგების წარმოდგენის ძირითადი ფორმები.
პირდაპირი ერთი გაზომვის შედეგის შეცდომა მრავალ ფაქტორზეა დამოკიდებული, მაგრამ პირველ რიგში განისაზღვრება გამოყენებული საზომი ხელსაწყოების შეცდომით. ამიტომ, პირველ მიახლოებაში, გაზომვის შედეგის ცდომილება შეიძლება მივიღოთ ტოლი
შეცდომა, რომელიც გაზომვის დიაპაზონის მოცემულ წერტილში ახასიათებს გამოყენებულ საზომ ხელსაწყოს.
საზომი ხელსაწყოების შეცდომები განსხვავდება გაზომვების დიაპაზონში. ამიტომ, თითოეულ შემთხვევაში, თითოეული გაზომვისთვის, აუცილებელია გაზომვის შედეგის ცდომილების გამოთვლა შესაბამისი საზომი ხელსაწყოს შეცდომის ნორმალიზების ფორმულების (3.19) - (3.21) გამოყენებით. უნდა გამოითვალოს გაზომვის შედეგის როგორც აბსოლუტური, ისე ფარდობითი შეცდომები, რადგან პირველი მათგანი საჭიროა შედეგის დამრგვალებისთვის და მისი სწორი ჩაწერისთვის, მეორე კი მისი სიზუსტის ცალსახა შედარებითი მახასიათებლისთვის.
SI შეცდომის ნორმალიზაციის სხვადასხვა მახასიათებლისთვის, ეს გამოთვლები ხორციელდება სხვადასხვა გზით, ასე რომ, განვიხილოთ სამი ტიპიური შემთხვევა.
1. მოწყობილობის კლასი მითითებულია როგორც ერთი ნომერი q,წრეში ჩასმული. მაშინ შედეგის ფარდობითი შეცდომა (პროცენტებში) g = q,და მისი აბსოლუტური შეცდომა D x =ქ× x/ 100.
2. მოწყობილობის კლასი მითითებულია ერთი ნომრით გვ(წრე არ არის). შემდეგ გაზომვის შედეგის აბსოლუტური შეცდომა D x =გვ× xk / 100 სადაც xკ- გაზომვის ზღვარი, რომლითაც იგი განხორციელდა, და ფარდობითი გაზომვის შეცდომა (პროცენტებში) ნაპოვნია ფორმულით ,
ანუ ამ შემთხვევაში გაზომვისას, გარდა გაზომილი მნიშვნელობის წაკითხვისა Xუნდა იყოს დაფიქსირებული და გაზომვების ზღვარი xკ ,წინააღმდეგ შემთხვევაში შედეგის ცდომილების გამოთვლა მოგვიანებით შეუძლებელი იქნება.
3. აპარატის კლასი მითითებულია ფორმაში ორი ნომრით გ/დ. ამ შემთხვევაში უფრო მოსახერხებელია ფარდობითი შეცდომის გამოთვლა დშედეგი ფორმულით (3.21) და მხოლოდ ამის შემდეგ იპოვნეთ აბსოლუტური შეცდომა როგორც დx=დ× x/100.
შეცდომის გამოთვლების განხორციელების შემდეგ, გაზომვის შედეგის წარმოდგენის ერთ-ერთი ფორმა გამოიყენება შემდეგი ფორმით: X;± დდა დ, სად X- გაზომილი მნიშვნელობა; დ- აბსოლუტური გაზომვის შეცდომა; დ- შედარებითი გაზომვის შეცდომა. მაგალითად, კეთდება შემდეგი ჩანაწერი: „გაზომვა გაკეთდა შედარებითი შეცდომით დ= …%. გაზომილი ღირებულება x = (ა± დ), სად მაგრამ- გაზომვის შედეგი.
ამასთან, უფრო ნათელია გაზომილი მნიშვნელობის გაურკვევლობის ინტერვალის საზღვრების მითითება ფორმით: x = (A-დ)¸(A+დ)ან (A-დ)< х < (A+დ)საზომი ერთეულების მითითებით.
გაზომვის შედეგის წარმოდგენის კიდევ ერთი ფორმა მითითებულია შემდეგნაირად: X; დდან დნადრე Dv; R,სადაც X- გაზომვის შედეგი გაზომილი მნიშვნელობის ერთეულებში; D,დნ,დვ- შესაბამისად, გაზომვის შეცდომა მისი ქვედა და ზედა ზღვრებით იმავე ერთეულებში; რ- ალბათობა, რომლითაც გაზომვის შეცდომა ამ საზღვრებშია.
GOST 8.011-72 ასევე იძლევა გაზომვის შედეგების წარმოდგენის სხვა ფორმებს, რომლებიც განსხვავდება ზემოაღნიშნული ფორმებისგან იმით, რომ ისინი ცალკე მიუთითებენ გაზომვის შეცდომის სისტემატური და შემთხვევითი კომპონენტების მახასიათებლებზე. ამავდროულად, სისტემატური შეცდომისთვის მითითებულია მისი სავარაუდო მახასიათებლები. ამ შემთხვევაში, სისტემატური შეცდომის ძირითადი მახასიათებლებია მათემატიკური მოლოდინი M [ Dxc], სტანდარტული გადახრა s[ Dxc] და მისი ნდობის ინტერვალი. შეცდომის სისტემური და შემთხვევითი კომპონენტების გამიჯვნა მიზანშეწონილია, თუ გაზომვის შედეგი გამოყენებული იქნება მონაცემთა შემდგომი დამუშავებისას, მაგალითად, არაპირდაპირი გაზომვების შედეგის დადგენისა და მისი სიზუსტის შეფასებისას, შეცდომების შეჯამებისას და ა.შ.

გაზომვის შედეგის წარმოდგენის ნებისმიერი ფორმა, რომელიც გათვალისწინებულია GOST 8.011-72-ით, უნდა შეიცავდეს აუცილებელ მონაცემებს, რის საფუძველზეც შეიძლება განისაზღვროს გაზომვის შედეგის შეცდომის ნდობის ინტერვალი. ზოგად შემთხვევაში, ნდობის ინტერვალი შეიძლება დადგინდეს, თუ ცნობილია შეცდომების განაწილების კანონის ფორმა და ამ კანონის ძირითადი რიცხვითი მახასიათებლები.

აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომა

შეცდომების თეორიის ელემენტები

ზუსტი და მიახლოებითი რიცხვები

რიცხვის სიზუსტე ზოგადად ეჭვგარეშეა, როდესაც საქმე ეხება მონაცემების მთელ მნიშვნელობებს (2 ფანქარი, 100 ხე). თუმცა, უმეტეს შემთხვევაში, როდესაც შეუძლებელია რიცხვის ზუსტი მნიშვნელობის მითითება (მაგალითად, სახაზავთან ობიექტის გაზომვისას, მოწყობილობიდან შედეგების აღებისას და ა.შ.), საქმე გვაქვს სავარაუდო მონაცემებთან.

სავარაუდო მნიშვნელობა არის რიცხვი, რომელიც ოდნავ განსხვავდება ზუსტი მნიშვნელობიდან და ანაცვლებს მას გამოთვლებში. რიცხვის სავარაუდო მნიშვნელობასა და მის ზუსტ მნიშვნელობას შორის სხვაობის ხარისხი ხასიათდება შეცდომა .

არსებობს შეცდომების შემდეგი ძირითადი წყაროები:

1. შეცდომები პრობლემის ფორმულირებაშირეალური ფენომენის მიახლოებითი აღწერის შედეგად წარმოქმნილი მათემატიკური თვალსაზრისით.

2. მეთოდის შეცდომებიდაკავშირებულია პრობლემის გადაჭრის სირთულესთან ან შეუძლებლობასთან და მისი მსგავსით ჩანაცვლება, რათა გამოიყენო გადაწყვეტის ცნობილი და ხელმისაწვდომი მეთოდი და მიაღწიო სასურველთან მიახლოებულ შედეგს.

3. ფატალური შეცდომებიასოცირდება საწყისი მონაცემების სავარაუდო მნიშვნელობებთან და სავარაუდო რიცხვებზე გამოთვლების შესრულების გამო.

4. დამრგვალების შეცდომებიასოცირდება გამოთვლითი ინსტრუმენტების გამოყენებით მიღებული საწყისი მონაცემების მნიშვნელობების დამრგვალებასთან, შუალედურ და საბოლოო შედეგებთან.

აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომა

შეცდომების აღრიცხვა არის რიცხვითი მეთოდების გამოყენების მნიშვნელოვანი ასპექტი, რადგან მთელი პრობლემის გადაჭრის საბოლოო შედეგის შეცდომა არის ყველა სახის შეცდომის ურთიერთქმედების პროდუქტი. აქედან გამომდინარე, შეცდომების თეორიის ერთ-ერთი მთავარი ამოცანაა შეაფასოს შედეგის სიზუსტე საწყისი მონაცემების სიზუსტეზე დაყრდნობით.

თუ არის ზუსტი რიცხვი და არის მისი მიახლოებითი მნიშვნელობა, მაშინ სავარაუდო მნიშვნელობის შეცდომა (შეცდომა) არის მისი მნიშვნელობის სიახლოვის ხარისხი მის ზუსტ მნიშვნელობასთან.

შეცდომის უმარტივესი რაოდენობრივი საზომია აბსოლუტური შეცდომა, რომელიც განისაზღვრება როგორც

(1.1.2-1)

როგორც ჩანს ფორმულიდან 1.1.2-1, აბსოლუტურ შეცდომას აქვს იგივე საზომი ერთეული, როგორც მნიშვნელობა. მაშასადამე, აბსოლუტური შეცდომის სიდიდით, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი მიახლოების ხარისხის შესახებ სწორი დასკვნის გაკეთება. მაგალითად, თუ , და ჩვენ ვსაუბრობთ მანქანის ნაწილზე, მაშინ გაზომვები ძალიან უხეშია და თუ ვსაუბრობთ ჭურჭლის ზომაზე, მაშინ ისინი ძალიან ზუსტია. ამასთან დაკავშირებით შემოღებულია ფარდობითი შეცდომის ცნება, რომელშიც აბსოლუტური შეცდომის მნიშვნელობა დაკავშირებულია სავარაუდო მნიშვნელობის მოდულთან ( ).

(1.1.2-2)

შედარებითი შეცდომების გამოყენება მოსახერხებელია, კერძოდ, იმიტომ, რომ ისინი არ არიან დამოკიდებული მნიშვნელობებისა და მონაცემთა ერთეულების მასშტაბზე. შედარებითი შეცდომა იზომება წილადებში ან პროცენტებში. ასე, მაგალითად, თუ

, ა , მაშინ , და თუ და ,

ასე შემდეგ .

ფუნქციის შეცდომის რიცხობრივად შესაფასებლად, თქვენ უნდა იცოდეთ მოქმედებების შეცდომის გამოთვლის ძირითადი წესები:

· რიცხვების შეკრებისა და გამოკლებისას რიცხვების აბსოლუტური შეცდომები გროვდება

· რიცხვების გამრავლებისა და გაყოფისას მათი შედარებითი შეცდომები ერთმანეთზეა დაწყობილი

· როდესაც ამაღლებულია სავარაუდო რიცხვის ხარისხზე მისი ფარდობითი შეცდომა მრავლდება მაჩვენებელზე

მაგალითი 1.1.2-1. მოცემულია ფუნქცია: . იპოვეთ მნიშვნელობის აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომები (არითმეტიკული მოქმედებების შესრულების შედეგის შეცდომა), თუ მნიშვნელობები ცნობილია, ხოლო 1 არის ზუსტი რიცხვი და მისი ცდომილება არის ნული.

ფარდობითი შეცდომის მნიშვნელობის დადგენის შემდეგ, შეგიძლიათ იპოვოთ აბსოლუტური შეცდომის მნიშვნელობა როგორც , სადაც მნიშვნელობა გამოითვლება მიახლოებითი მნიშვნელობების ფორმულით

ვინაიდან რაოდენობის ზუსტი ღირებულება ჩვეულებრივ უცნობია, გაანგარიშება და ზემოაღნიშნული ფორმულების მიხედვით შეუძლებელია. ამიტომ, პრაქტიკაში, ფორმის ზღვრული შეცდომები ფასდება:

(1.1.2-3)

სადაც და - ცნობილი მნიშვნელობები, რომლებიც წარმოადგენს აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომების ზედა ზღვრებს, წინააღმდეგ შემთხვევაში მათ უწოდებენ - შემზღუდველი აბსოლუტური და შემზღუდველი ფარდობითი შეცდომები. ამრიგად, ზუსტი ღირებულება დევს:

თუ ღირებულება ცნობილია, მაშინ და თუ ღირებულება ცნობილია , მაშინ

ჩვენს ეპოქაში ადამიანმა გამოიგონა და იყენებს სხვადასხვა საზომი ხელსაწყოების მრავალფეროვნებას. მაგრამ რაც არ უნდა სრულყოფილი იყოს მათი წარმოების ტექნოლოგია, ყველა მათგანს აქვს დიდი თუ ნაკლები შეცდომა. ეს პარამეტრი, როგორც წესი, მითითებულია თავად ინსტრუმენტზე და იმისათვის, რომ შეფასდეს განსაზღვრული მნიშვნელობის სიზუსტე, უნდა შეძლოს იმის გაგება, თუ რას ნიშნავს მარკირებაზე მითითებული რიცხვები. გარდა ამისა, ფარდობითი და აბსოლუტური შეცდომები აუცილებლად წარმოიქმნება რთულ მათემატიკურ გამოთვლებში. იგი ფართოდ გამოიყენება სტატისტიკაში, ინდუსტრიაში (ხარისხის კონტროლი) და რიგ სხვა სფეროებში. როგორ გამოითვლება ეს მნიშვნელობა და როგორ უნდა განიმარტოს მისი მნიშვნელობა - ეს არის ზუსტად ის, რაც განიხილება ამ სტატიაში.

აბსოლუტური შეცდომა

x-ით ავღნიშნოთ სიდიდის მიახლოებითი მნიშვნელობა, რომელიც მიღებულია, მაგალითად, ერთი გაზომვით, ხოლო x 0-ით მისი ზუსტი მნიშვნელობა. ახლა გამოვთვალოთ ამ ორ რიცხვს შორის სხვაობის მოდული. აბსოლუტური შეცდომა არის ზუსტად ის მნიშვნელობა, რომელიც მივიღეთ ამ მარტივი ოპერაციის შედეგად. ფორმულების ენაზე გამოხატული ეს განმარტება შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: Δ x = | x - x0 |.

შედარებითი შეცდომა

აბსოლუტურ გადახრას აქვს ერთი მნიშვნელოვანი ნაკლი - ის არ გვაძლევს საშუალებას შევაფასოთ შეცდომის მნიშვნელობის ხარისხი. მაგალითად, ბაზარში ვყიდულობთ 5 კგ კარტოფილს და არაკეთილსინდისიერმა გამყიდველმა წონის გაზომვისას 50 გრამიანი შეცდომა დაუშვა მის სასარგებლოდ. ანუ აბსოლუტური ცდომილება იყო 50 გრამი. ჩვენთვის ასეთი უგულებელყოფა უბრალო წვრილმანი იქნება და ყურადღებასაც არ მივაქცევთ. წარმოიდგინეთ, რა მოხდება, თუ მსგავსი შეცდომა წამლის მომზადებისას მოხდება? აქ ყველაფერი ბევრად უფრო სერიოზული იქნება. და სატვირთო ვაგონის ჩატვირთვისას, გადახრები, სავარაუდოდ, ბევრად აღემატება ამ მნიშვნელობას. ამიტომ, თავად აბსოლუტური შეცდომა არ არის ძალიან ინფორმატიული. გარდა ამისა, ძალიან ხშირად, დამატებით გამოითვლება ფარდობითი გადახრა, რომელიც უდრის აბსოლუტური შეცდომის თანაფარდობას რიცხვის ზუსტ მნიშვნელობასთან. ეს იწერება შემდეგი ფორმულით: δ = Δ x / x 0 .

შეცდომის თვისებები

დავუშვათ, გვაქვს ორი დამოუკიდებელი სიდიდე: x და y. უნდა გამოვთვალოთ მათი ჯამის სავარაუდო მნიშვნელობის გადახრა. ამ შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ აბსოლუტური ცდომილება, როგორც თითოეული მათგანის წინასწარ გამოთვლილი აბსოლუტური გადახრების ჯამი. ზოგიერთ გაზომვაში შეიძლება მოხდეს, რომ შეცდომები x და y მნიშვნელობების განსაზღვრისას გააუქმოს ერთმანეთი. და ასევე შეიძლება მოხდეს, რომ დამატების შედეგად, გადახრები მაქსიმალურად გაიზარდოს. ამიტომ, მთლიანი აბსოლუტური ცდომილების გამოთვლისას მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული ყველაზე უარესი შემთხვევა. იგივე ეხება რამდენიმე მნიშვნელობის შეცდომის განსხვავებას. ეს თვისება დამახასიათებელია მხოლოდ აბსოლუტური შეცდომისთვის და ის არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას ფარდობით გადახრაზე, რადგან ეს აუცილებლად გამოიწვევს არასწორ შედეგს. განვიხილოთ ეს სიტუაცია შემდეგ მაგალითში.

დავუშვათ, ცილინდრის შიგნით გაზომვებმა აჩვენა, რომ შიდა რადიუსი (R 1) არის 97 მმ, ხოლო გარე (R 2) 100 მმ. საჭიროა მისი კედლის სისქის განსაზღვრა. პირველი, იპოვნეთ განსხვავება: h \u003d R 2 - R 1 \u003d 3 მმ. თუ დავალება არ მიუთითებს რის ტოლია აბსოლუტური ცდომილება, მაშინ იგი აღებულია როგორც საზომი ხელსაწყოს მასშტაბის ნახევარი. ამრიგად, Δ (R 2) \u003d Δ (R 1) \u003d 0,5 მმ. მთლიანი აბსოლუტური შეცდომაა: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 მმ. ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ ყველა რაოდენობის ფარდობით გადახრას:

δ(R 1) \u003d 0.5 / 100 \u003d 0.005,

δ(R 1) \u003d 0.5 / 97 ≈ 0.0052,

δ(h) = Δ(სთ)/სთ = 1/3 ≈ 0.3333>> δ(R 1).

როგორც ხედავთ, ორივე რადიუსის გაზომვის ცდომილება არ აღემატება 5,2%-ს, ხოლო მათი სხვაობის გამოთვლის შეცდომა - ცილინდრის კედლის სისქე - 33,(3)%-ს შეადგენდა!

შემდეგი თვისება ამბობს: რამდენიმე რიცხვის ნამრავლის ფარდობითი გადახრა დაახლოებით უდრის ცალკეული ფაქტორების ფარდობითი გადახრების ჯამს:

δ(xy) ≈ δ(x) + δ(y).

უფრო მეტიც, ეს წესი მართალია, მიუხედავად სავარაუდო მნიშვნელობების რაოდენობისა. ფარდობითი შეცდომის მესამე და ბოლო თვისება არის ის, რომ kth ხარისხის რიცხვის ფარდობითი შეფასება არის დაახლოებით |-ში k | ჯერ მეტია, ვიდრე თავდაპირველი რიცხვის შედარებითი შეცდომა.