პითაგორას თეორემა არის გეომეტრიის ყველაზე მნიშვნელოვანი განცხადება. თეორემა ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატის ფართობი უდრის მის ფეხებზე აგებული კვადრატების ფართობების ჯამს.

ჩვეულებრივ, ამ განცხადების აღმოჩენა ძველ ბერძენ ფილოსოფოს და მათემატიკოს პითაგორას (ძვ. წ. VI ს.) მიეწერება. მაგრამ ბაბილონის ლურსმული დაფებისა და ძველი ჩინური ხელნაწერების (კიდევ უფრო ძველი ხელნაწერების ასლები) შესწავლამ აჩვენა, რომ ეს განცხადება ცნობილი იყო პითაგორამდე დიდი ხნით ადრე, შესაძლოა, მას ათასწლეულით ადრე. პითაგორას დამსახურება იყო ის, რომ მან აღმოაჩინა ამ თეორემის მტკიცებულება.

ალბათ, პითაგორას თეორემაში ნათქვამი ფაქტი პირველად დადგინდა ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედებზე. უბრალოდ შეხედეთ შავი და მსუბუქი სამკუთხედების მოზაიკას, რომელიც ნაჩვენებია ნახ. 1 სამკუთხედის თეორემის მართებულობის შესამოწმებლად: ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატი შეიცავს 4 სამკუთხედს, ხოლო კვადრატი, რომელიც შეიცავს 2 სამკუთხედს, აგებულია თითოეულ ფეხიზე. ძველ ინდოეთში ზოგადი შემთხვევის დასამტკიცებლად მათ ორი მეთოდი ჰქონდათ: ოთხი მართკუთხა სამკუთხედი სიგრძის კუთხით და გამოსახული იყო კვადრატში გვერდით (ნახ. 2, ა და 2, ბ), რის შემდეგაც მათ დაწერეს ერთი სიტყვა. "ნახე!". მართლაც, ამ ფიგურების დათვალიერებისას, ჩვენ ვხედავთ, რომ მარცხნივ არის სამკუთხედებისგან თავისუფალი ფიგურა, რომელიც შედგება ორი კვადრატისგან გვერდებით და, შესაბამისად, მისი ფართობი ტოლია, ხოლო მარჯვნივ - კვადრატი გვერდით - მისი ფართობია. თანაბარი. აქედან გამომდინარე, , რომელიც არის პითაგორას თეორემის განცხადება.

თუმცა, ორი ათასწლეულის განმავლობაში გამოიყენებოდა არა ეს ვიზუალური მტკიცებულება, არამედ ევკლიდეს მიერ გამოგონილი უფრო რთული მტკიცებულება, რომელიც მოთავსებულია მის ცნობილ წიგნში "დასაწყისები" (იხ. ევკლიდე და მისი "დასაწყისები"), ევკლიდემ ჩამოწია სიმაღლე ჰიპოტენუზას სწორი კუთხის წვერო და დაამტკიცა, რომ მისი გაგრძელება ჰიპოტენუზაზე აგებულ კვადრატს ყოფს ორ მართკუთხედად, რომელთა ფართობები ტოლია ფეხებზე აგებული შესაბამისი კვადრატების ფართობებისა (სურ. 3). ამ თეორემის დასადასტურებლად გამოყენებულ ნახატს ხუმრობით „პითაგორას შარვლებს“ უწოდებენ. დიდი ხნის განმავლობაში იგი ითვლებოდა მათემატიკური მეცნიერების ერთ-ერთ სიმბოლოდ.

დღეს ცნობილია პითაგორას თეორემის რამდენიმე ათეული განსხვავებული მტკიცებულება. ზოგიერთი მათგანი ეფუძნება კვადრატების დანაყოფს, რომელშიც ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატი შედგება ფეხებზე აგებულ კვადრატების ტიხრებში შემავალი ნაწილებისგან; სხვები - თანაბარი ფიგურების დანამატზე; მესამე - იმ ფაქტზე, რომ მარჯვენა კუთხის წვეროდან ჰიპოტენუზამდე დაშვებული სიმაღლე ყოფს მართკუთხა სამკუთხედს მის მსგავს ორ სამკუთხედად.

პითაგორას თეორემა ეფუძნება გეომეტრიული გამოთვლების უმეტესობას. ძველ ბაბილონშიც კი იყენებდნენ ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლის გამოსათვლელად ფუძისა და გვერდის სიგრძით, სეგმენტის ისარს წრის დიამეტრითა და აკორდის სიგრძით და დაადგენდნენ ურთიერთობას. ზოგიერთი რეგულარული მრავალკუთხედის ელემენტებს შორის. პითაგორას თეორემის დახმარებით დამტკიცდა მისი განზოგადება, რაც შესაძლებელს ხდის გამოთვალოს მწვავე ან ბლაგვი კუთხის მოპირდაპირე მდებარე მხარის სიგრძე:

ამ განზოგადებიდან გამომდინარეობს, რომ მართი კუთხის არსებობა არა მხოლოდ საკმარისია, არამედ აუცილებელი პირობაა თანასწორობის შესასრულებლად. ფორმულა (1) გულისხმობს კავშირს პარალელოგრამის დიაგონალების და გვერდების სიგრძეებს შორის, რომლითაც ადვილია სამკუთხედის შუალედის სიგრძის პოვნა მისი გვერდების სიგრძეებიდან.

პითაგორას თეორემის საფუძველზე, ასევე მიღებულია ფორმულა, რომელიც გამოხატავს ნებისმიერი სამკუთხედის ფართობს მისი გვერდების სიგრძის მიხედვით (იხ. ჰერონის ფორმულა). რა თქმა უნდა, პითაგორას თეორემაც გამოიყენებოდა სხვადასხვა პრაქტიკული ამოცანების გადასაჭრელად.

მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებზე კვადრატების ნაცვლად შეგიძლიათ ააწყოთ ნებისმიერი ერთმანეთის მსგავსი ფორმები (ტოლგვერდა სამკუთხედები, ნახევარწრეები და ა.შ.). ამ შემთხვევაში, ჰიპოტენუზაზე აგებული ფიგურის ფართობი უდრის ფეხებზე აგებული ფიგურების ფართობების ჯამს. კიდევ ერთი განზოგადება დაკავშირებულია სიბრტყიდან სივრცეში გადასვლასთან. იგი ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: მართკუთხა პარალელეპიპედის დიაგონალის სიგრძის კვადრატი უდრის მისი ზომების კვადრატების ჯამს (სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე). მსგავსი თეორემა ასევე მართალია მრავალგანზომილებიანი და თუნდაც უსასრულო განზომილებიანი შემთხვევებისთვის.

პითაგორას თეორემა მხოლოდ ევკლიდეს გეომეტრიაში არსებობს. მას ადგილი არ აქვს არც ლობაჩევსკის გეომეტრიაში და არც სხვა არაევკლიდეს გეომეტრიაში. არ არსებობს პითაგორას თეორემის ანალოგი სფეროზეც. ორი მერიდიანი, რომლებიც ქმნიან 90° კუთხეს და ეკვატორი აკავშირებს სფეროზე ტოლგვერდა სფერულ სამკუთხედს, რომელთაგან სამივე მართი კუთხეა. მისთვის არა როგორც თვითმფრინავში.

პითაგორას თეორემის გამოყენებით წერტილებსა და კოორდინატთა სიბრტყეს შორის მანძილი გამოითვლება ფორმულით

.

პითაგორას თეორემის აღმოჩენის შემდეგ გაჩნდა კითხვა, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ ნატურალური რიცხვების ყველა სამეული, რომელიც შეიძლება იყოს მართკუთხა სამკუთხედის გვერდი (იხ. ფერმას დიდი თეორემა). ისინი აღმოაჩინეს პითაგორელებმა, მაგრამ ასეთი სამეულების პოვნის ზოგიერთი ზოგადი მეთოდი ბაბილონელებმაც კი იცოდნენ. ერთ-ერთი ლურსმული ტაბლეტი შეიცავს 15 სამეულს. მათ შორის არის სამეული, რომელიც შედგება ისეთი დიდი რაოდენობით, რომ შერჩევით მათ პოვნაზე საუბარი არ შეიძლება.

ჰიპოკრატე ჯოჯოხეთი

ჰიპოკრატეს ხვრელები არის ფიგურები, რომლებიც შემოსაზღვრულია ორი წრის რკალებით და, უფრო მეტიც, ისეთი, რომ ამ წრეების საერთო აკორდის რადიუსის და სიგრძის გამოყენებით, კომპასისა და სახაზავის გამოყენებით, შეგიძლიათ ააგოთ მათ თანაბარი ზომის კვადრატები.

პითაგორას თეორემის ნახევარწრეების განზოგადებადან გამომდინარეობს, რომ მარცხნივ ფიგურაში ნაჩვენები ვარდისფერი ხვრელების ფართობების ჯამი უდრის ლურჯი სამკუთხედის ფართობს. მაშასადამე, თუ ავიღებთ ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედს, მაშინ მივიღებთ ორ ხვრელს, რომელთაგან თითოეულის ფართობი უდრის სამკუთხედის ფართობის ნახევარს. წრის კვადრატის ამოცანის ამოხსნისას (იხ. ანტიკურობის კლასიკური ამოცანები), ძველმა ბერძენმა მათემატიკოსმა ჰიპოკრატემ (ძვ. წ. V ს.) აღმოაჩინა კიდევ რამდენიმე ხვრელი, რომელთა არეები გამოიხატება სწორხაზოვანი ფიგურების ფართობებით.

ჰიპომარგინალური ხვრელების სრული სია მხოლოდ მე-19-20 საუკუნეებში იქნა მიღებული. გალუას თეორიის მეთოდების გამოყენებით.

კრეატიულობის პოტენციალი ჩვეულებრივ მიეკუთვნება ჰუმანიტარულ მეცნიერებებს, ტოვებს ბუნებრივ სამეცნიერო ანალიზს, პრაქტიკულ მიდგომას და ფორმულებისა და რიცხვების მშრალ ენას. მათემატიკა არ შეიძლება ჩაითვალოს ჰუმანიტარულ საგნად. მაგრამ "ყველა მეცნიერების დედოფალში" შემოქმედების გარეშე შორს ვერ წახვალ - ხალხმა ამის შესახებ დიდი ხანია იცოდა. მაგალითად, პითაგორას დროიდან.

სამწუხაროდ, სასკოლო სახელმძღვანელოები, როგორც წესი, არ ხსნიან, რომ მათემატიკაში მნიშვნელოვანია არა მხოლოდ თეორემების, აქსიომების და ფორმულების შეკრება. მნიშვნელოვანია მისი ფუნდამენტური პრინციპების გაგება და შეგრძნება. და ამავე დროს, შეეცადეთ გაათავისუფლოთ გონება კლიშეებისა და ელემენტარული ჭეშმარიტებისგან - მხოლოდ ასეთ პირობებში იბადება ყველა დიდი აღმოჩენა.

ასეთი აღმოჩენები მოიცავს ისეთს, რომელიც დღეს ჩვენ ვიცით, როგორც პითაგორას თეორემა. მისი დახმარებით შევეცდებით ვაჩვენოთ, რომ მათემატიკა არა მხოლოდ შეუძლია, არამედ უნდა იყოს სახალისო. და რომ ეს თავგადასავალი შესაფერისია არა მხოლოდ სქელი სათვალეების ნერდებისთვის, არამედ ყველასთვის, ვინც ძლიერია გონებით და ძლიერი სულით.

საკითხის ისტორიიდან

მკაცრად რომ ვთქვათ, მიუხედავად იმისა, რომ თეორემას "პითაგორას თეორემა" ჰქვია, თავად პითაგორამ ის ვერ აღმოაჩინა. მართკუთხა სამკუთხედი და მისი განსაკუთრებული თვისებები მასზე დიდი ხნით ადრე იყო შესწავლილი. ამ საკითხზე ორი პოლარული თვალსაზრისი არსებობს. ერთ-ერთი ვერსიით, პითაგორამ პირველმა იპოვა თეორემის სრული დადასტურება. მეორეს აზრით, მტკიცებულება არ ეკუთვნის პითაგორას ავტორს.

დღეს ვეღარ შეამოწმებ ვინ არის მართალი და ვინ არასწორი. ცნობილია მხოლოდ ის, რომ პითაგორას მტკიცებულება, თუ ის ოდესმე არსებობდა, არ შემორჩენილა. თუმცა, არსებობს ვარაუდები, რომ ცნობილი მტკიცებულება ევკლიდეს ელემენტებიდან შეიძლება ეკუთვნოდეს პითაგორას და ევკლიდემ მხოლოდ ჩაწერა იგი.

დღეს ასევე ცნობილია, რომ მართკუთხა სამკუთხედის შესახებ პრობლემები გვხვდება ეგვიპტურ წყაროებში ფარაონ ამენემჰეტ I-ის დროიდან, ბაბილონის თიხის ფირფიტებზე მეფე ჰამურაბის მეფობის დროიდან, ძველ ინდურ ტრაქტატში Sulva Sutra და ძველ ჩინურ ნაშრომში Zhou. -ბი სუან ჯინი.

როგორც ხედავთ, პითაგორას თეორემა უძველესი დროიდან იპყრობს მათემატიკოსთა გონებას. დაახლოებით 367 სხვადასხვა სახის მტკიცებულება, რომელიც დღეს არსებობს, დადასტურებას ემსახურება. სხვა თეორემა მას ამ მხრივ კონკურენციას ვერ გაუწევს. ცნობილი მტკიცებულების ავტორები არიან ლეონარდო და ვინჩი და შეერთებული შტატების მე-20 პრეზიდენტი ჯეიმს გარფილდი. ეს ყველაფერი მათემატიკისთვის ამ თეორემის უკიდურეს მნიშვნელობაზე მეტყველებს: გეომეტრიის თეორემების უმეტესობა მისგან არის მიღებული ან, ასე თუ ისე, მასთან დაკავშირებული.

პითაგორას თეორემის მტკიცებულებები

სასკოლო სახელმძღვანელოები ძირითადად ალგებრულ მტკიცებულებებს იძლევა. მაგრამ თეორემის არსი გეომეტრიაშია, ამიტომ პირველ რიგში განვიხილოთ ცნობილი თეორემის ის მტკიცებულებები, რომლებიც ამ მეცნიერებას ეფუძნება.

მტკიცებულება 1

მართკუთხა სამკუთხედის პითაგორას თეორემის უმარტივესი დასამტკიცებლად, თქვენ უნდა დააყენოთ იდეალური პირობები: დაე, სამკუთხედი იყოს არა მხოლოდ მართკუთხა, არამედ ტოლფერდა. არსებობს საფუძველი იმის დასაჯერებლად, რომ ეს იყო ასეთი სამკუთხედი, რომელიც თავდაპირველად განიხილებოდა უძველესი მათემატიკოსების მიერ.

განცხადება "მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატი უდრის მის ფეხებზე აგებული კვადრატების ჯამს"შეიძლება ილუსტრირებული იყოს შემდეგი ნახატით:

შეხედეთ ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედს ABC: ჰიპოტენუზაზე AC შეგიძლიათ ააგოთ კვადრატი, რომელიც შედგება ოთხი სამკუთხედისგან, რომელიც ტოლია თავდაპირველი ABC. ხოლო AB და BC კვადრატზე აგებულ ფეხებზე, რომელთაგან თითოეული შეიცავს ორ მსგავს სამკუთხედს.

სხვათა შორის, ამ ნახატმა საფუძველი ჩაუყარა პითაგორას თეორემისადმი მიძღვნილ მრავალ ანეკდოტსა და მულტფილმს. ალბათ ყველაზე ცნობილი "პითაგორას შარვალი ყველა მიმართულებით თანაბარია":

მტკიცებულება 2

ეს მეთოდი აერთიანებს ალგებრას და გეომეტრიას და შეიძლება ჩაითვალოს მათემატიკოს ბჰასკარის უძველესი ინდური მტკიცებულების ვარიანტად.

ააგეთ მართკუთხა სამკუთხედი გვერდებით a, b და c(ნახ. 1). შემდეგ ააგეთ ორი კვადრატი, რომელთა გვერდები უდრის ორი ფეხის სიგრძის ჯამს - (a+b). თითოეულ კვადრატში გააკეთეთ კონსტრუქციები, როგორც 2 და 3 სურათებში.

პირველ კვადრატში ააგეთ ოთხი იგივე სამკუთხედი, როგორც სურათზე 1. შედეგად, მიიღება ორი კვადრატი: ერთი გვერდით a, მეორე გვერდით. ბ.

მეორე კვადრატში, აგებული ოთხი მსგავსი სამკუთხედი ქმნის კვადრატს, რომლის გვერდი ტოლია ჰიპოტენუზას გ.

2-ში აგებული კვადრატების ფართობების ჯამი უდრის იმ კვადრატის ფართობს, რომელიც ჩვენ ავაშენეთ c გვერდით ნახ.3-ში. ამის მარტივად დამოწმება შესაძლებელია ნახ. 2 ფორმულის მიხედვით. და 3-ზე გამოსახული კვადრატის ფართობი. კვადრატში ჩაწერილი ოთხი თანაბარი მართკუთხა სამკუთხედის ფართობების გამოკლებით დიდი კვადრატის ფართობიდან გვერდით. (a+b).

ამ ყველაფრის ჩამორთმევით, ჩვენ გვაქვს: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. გააფართოვეთ ფრჩხილები, გააკეთეთ ყველა საჭირო ალგებრული გამოთვლა და მიიღეთ ეს a 2 + b 2 = a 2 + b 2. ამავდროულად, ნახ.3-ში ჩაწერილი ფართობი. კვადრატი ასევე შეიძლება გამოითვალოს ტრადიციული ფორმულის გამოყენებით S=c2. იმათ. a2+b2=c2თქვენ დაამტკიცეთ პითაგორას თეორემა.

მტკიცებულება 3

იგივე ძველი ინდური მტკიცებულება აღწერილია მე-12 საუკუნეში ტრაქტატში „ცოდნის გვირგვინი“ („სიდჰანტა შირომანი“) და მთავარ არგუმენტად ავტორი იყენებს მიმართვას, რომელიც მიმართულია სტუდენტების მათემატიკური ნიჭისა და დაკვირვების შესაძლებლობებზე. მიმდევრები: "ნახე!".

მაგრამ ჩვენ უფრო დეტალურად გავაანალიზებთ ამ მტკიცებულებას:

კვადრატის შიგნით ააგეთ ოთხი მართკუთხა სამკუთხედი, როგორც ეს ნახაზზეა მითითებული. დიდი კვადრატის გვერდი, რომელიც ასევე ჰიპოტენუზაა, აღინიშნება თან. მოდით მოვუწოდოთ სამკუთხედის ფეხები ადა ბ. ნახატის მიხედვით, შიდა კვადრატის გვერდი არის (a-b).

გამოიყენეთ კვადრატული ფართობის ფორმულა S=c2გარე კვადრატის ფართობის გამოსათვლელად. და ამავე დროს, გამოთვალეთ იგივე მნიშვნელობა შიდა კვადრატის ფართობისა და ოთხივე მართკუთხა სამკუთხედის ფართობის დამატებით: (ა-ბ) 2 2+4*1\2*ა*ბ.

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ორივე ვარიანტი კვადრატის ფართობის გამოსათვლელად, რათა დარწმუნდეთ, რომ ისინი იმავე შედეგს იძლევა. და ეს გაძლევთ უფლებას დაწეროთ ეს c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. ამოხსნის შედეგად მიიღებთ პითაგორას თეორემის ფორმულას c2=a2+b2. თეორემა დადასტურდა.

მტკიცებულება 4

ამ ცნობისმოყვარე ძველ ჩინურ მტკიცებულებას უწოდებენ "პატარძლის სავარძელს" - სკამის მსგავსი ფიგურის გამო, რომელიც წარმოიქმნება ყველა კონსტრუქციიდან:

ის იყენებს ნახატს, რომელიც უკვე ვნახეთ მე-3 სურათზე მეორე მტკიცებულებაში. და შიდა კვადრატი c გვერდით აგებულია ისევე, როგორც ზემოთ მოცემულ ძველ ინდურ მტკიცებულებაში.

თუ 1-ელ ნახატზე გონებრივად ამოჭრით ორ მწვანე მართკუთხა სამკუთხედს, გადაიტანეთ ისინი კვადრატის მოპირდაპირე მხარეებზე c გვერდით და ჰიპოტენუსებს მიამაგრებთ იასამნისფერი სამკუთხედების ჰიპოტენუზას, მიიღებთ ფიგურას, რომელსაც ეწოდება "პატარძლის" სკამი“ (სურ. 2). სიცხადისთვის, იგივე შეგიძლიათ გააკეთოთ ქაღალდის კვადრატებითა და სამკუთხედებით. დაინახავთ, რომ „პატარძლის სკამი“ ორი კვადრატით არის ჩამოყალიბებული: პატარა გვერდითი ბდა დიდი გვერდით ა.

ამ კონსტრუქციებმა საშუალება მისცა ძველ ჩინელ მათემატიკოსებს და ჩვენც მათ მიმდევრებს მივსულიყავით დასკვნამდე, რომ c2=a2+b2.

მტკიცებულება 5

ეს არის კიდევ ერთი გზა გეომეტრიაზე დაფუძნებული პითაგორას თეორემის ამოხსნის მოსაძებნად. ამას ჰქვია გარფილდის მეთოდი.

ააგეთ მართკუთხა სამკუთხედი ABC. ჩვენ ეს უნდა დავამტკიცოთ BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

ამისათვის გააგრძელეთ ფეხი ACდა ავაშენოთ სეგმენტი CD, რომელიც უდრის ფეხს AB. ქვედა პერპენდიკულარი ახ.წხაზის სეგმენტი ედ. სეგმენტები ედდა ACთანაბარი არიან. შეაერთე წერტილები ედა AT, ისევე, როგორც ედა თანდა მიიღეთ ნახატი, როგორც ქვემოთ მოცემულ სურათზე:

კოშკის დასამტკიცებლად, ჩვენ კვლავ მივმართავთ ჩვენ მიერ უკვე გამოსაცდელ მეთოდს: ვპოულობთ მიღებული ფიგურის ფართობს ორი გზით და ვაიგივებთ გამონათქვამებს ერთმანეთთან.

იპოვეთ მრავალკუთხედის ფართობი ABEDშეიძლება გაკეთდეს სამი სამკუთხედის ფართობის დამატებით, რომლებიც ქმნიან მას. და ერთ-ერთი მათგანი ERU, არის არა მხოლოდ მართკუთხა, არამედ ტოლფერდაც. ისიც არ დავივიწყოთ AB=CD, AC=EDდა ძვ.წ- ეს საშუალებას მოგვცემს გავამარტივოთ ჩაწერა და არ გადატვირთოთ იგი. Ისე, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

ამავე დროს, აშკარაა, რომ ABEDარის ტრაპეცია. ამიტომ, ჩვენ ვიანგარიშებთ მის ფართობს ფორმულის გამოყენებით: SABED=(DE+AB)*1/2AD. ჩვენი გამოთვლებისთვის უფრო მოსახერხებელი და ნათელია სეგმენტის წარმოდგენა ახ.წროგორც სეგმენტების ჯამი ACდა CD.

მოდით დავწეროთ ორივე გზა ფიგურის ფართობის გამოსათვლელად მათ შორის ტოლობის ნიშნის დაყენებით: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). ჩვენ ვიყენებთ ჩვენთვის უკვე ცნობილი და ზემოთ აღწერილი სეგმენტების ტოლობას, რათა გავამარტივოთ აღნიშვნის მარჯვენა მხარე: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. ახლა ჩვენ ვხსნით ფრჩხილებს და გარდაქმნით თანასწორობას: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. ყველა ტრანსფორმაციის დასრულების შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ ზუსტად იმას, რაც გვჭირდება: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. ჩვენ დავამტკიცეთ თეორემა.

რა თქმა უნდა, მტკიცებულებათა ეს სია შორს არის სრული. პითაგორას თეორემა ასევე შეიძლება დადასტურდეს ვექტორების, რთული რიცხვების, დიფერენციალური განტოლებების, სტერეომეტრიის და ა.შ. და თუნდაც ფიზიკოსები: თუ, მაგალითად, სითხე შეედინება კვადრატულ და სამკუთხა მოცულობებში, რომლებიც ნახატებშია ნაჩვენები. სითხის ჩამოსხმით შესაძლებელია დადასტურდეს ფართობების თანასწორობა და შედეგად თავად თეორემა.

რამდენიმე სიტყვა პითაგორას სამეულების შესახებ

ეს საკითხი სასკოლო სასწავლო გეგმაში ცოტაა ან არ არის შესწავლილი. ამასობაში ძალიან საინტერესოა და გეომეტრიაში დიდი მნიშვნელობა აქვს. პითაგორას სამეულები გამოიყენება მრავალი მათემატიკური ამოცანის გადასაჭრელად. მათი იდეა შეიძლება გამოგადგეთ შემდგომ განათლებაში.

რა არის პითაგორას სამეული? ე.წ ნატურალური რიცხვები, შეგროვებული სამებად, რომელთაგან ორის კვადრატების ჯამი უდრის მესამე რიცხვს კვადრატში.

პითაგორას სამეულები შეიძლება იყოს:

• პრიმიტიული (სამივე რიცხვი შედარებით მარტივია);
• არაპრიმიტიული (თუ სამეულის თითოეული რიცხვი მრავლდება იმავე რიცხვზე, მიიღებთ ახალ სამეულს, რომელიც არ არის პრიმიტიული).

ჯერ კიდევ ჩვენს წელთაღრიცხვამდე ძველი ეგვიპტელები მოხიბლული იყვნენ პითაგორას სამეულების რიცხვით მანიით: ამოცანებში ისინი განიხილავდნენ მართკუთხა სამკუთხედს 3,4 და 5 ერთეული გვერდებით. სხვათა შორის, ნებისმიერი სამკუთხედი, რომლის გვერდებიც უდრის პითაგორას სამეულის რიცხვებს, ნაგულისხმევად მართკუთხაა.

პითაგორას სამეულების მაგალითები: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) და ა.შ.

თეორემის პრაქტიკული გამოყენება

პითაგორას თეორემა პოულობს გამოყენებას არა მხოლოდ მათემატიკაში, არამედ არქიტექტურასა და მშენებლობაში, ასტრონომიაში და ლიტერატურაშიც კი.

პირველი, მშენებლობის შესახებ: პითაგორას თეორემა მასში ფართოდ გამოიყენება სირთულის სხვადასხვა დონის ამოცანებში. მაგალითად, შეხედეთ რომაულ ფანჯარას:

ფანჯრის სიგანე აღვნიშნოთ როგორც ბ, მაშინ დიდი ნახევარწრის რადიუსი შეიძლება აღვნიშნოთ როგორც რდა გამოხატოს მეშვეობით ბ: R=b/2. უფრო მცირე ნახევარწრილების რადიუსი ასევე შეიძლება გამოისახოს ბ: r=b/4. ამ პრობლემაში ჩვენ გვაინტერესებს ფანჯრის შიდა წრის რადიუსი (მოდით დავარქვათ გვ).

პითაგორას თეორემა უბრალოდ გამოსათვლელად გამოდგება რ. ამისათვის ვიყენებთ მართკუთხა სამკუთხედს, რომელიც მითითებულია ფიგურაში წერტილოვანი ხაზით. სამკუთხედის ჰიპოტენუზა შედგება ორი რადიუსისგან: ბ/4+გვ. ერთი ფეხი არის რადიუსი ბ/4, სხვა ბ/2-პ. პითაგორას თეორემის გამოყენებით ჩვენ ვწერთ: (ბ/4+პ) 2 =(ბ/4) 2 +(ბ/2-პ) 2. შემდეგი, ჩვენ ვხსნით ფრჩხილებს და ვიღებთ b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. გადავიტანოთ ეს გამოთქმა bp/2=b 2 /4-bp. შემდეგ კი ყველა ტერმინს ვყოფთ ბ, მსგავსებს ვაძლევთ მისაღებად 3/2*p=b/4. და ბოლოს ჩვენ ვპოულობთ ამას p=b/6- რაც გვჭირდებოდა.

თეორემის გამოყენებით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ რაფტერების სიგრძე ღობე სახურავისთვის. დაადგინეთ, თუ რამდენად მაღალია მობილური კოშკი საჭირო იმისათვის, რომ სიგნალმა მიაღწიოს გარკვეულ დასახლებას. და კიდევ სტაბილურად დააინსტალირეთ ნაძვის ხე ქალაქის მოედანზე. როგორც ხედავთ, ეს თეორემა ცხოვრობს არა მხოლოდ სახელმძღვანელოების გვერდებზე, არამედ ხშირად გამოსადეგია რეალურ ცხოვრებაში.

რაც შეეხება ლიტერატურას, პითაგორას თეორემა შთააგონებდა მწერლებს უძველესი დროიდან და ასე გრძელდება დღესაც. მაგალითად, მეცხრამეტე საუკუნის გერმანელი მწერალი ადელბერტ ფონ ჩამისო მისგან შთაგონებული იყო სონეტის დასაწერად:

ჭეშმარიტების შუქი მალე არ გაქრება,
მაგრამ, ბრწყინავს, ნაკლებად სავარაუდოა, რომ დაიფანტოს
და, როგორც ათასობით წლის წინ,
არ გამოიწვევს ეჭვებს და კამათს.

ყველაზე ბრძენი, როცა თვალს ეხება
სიმართლის შუქი, მადლობა ღმერთებს;
და ასი ხარი, დაჭრილი, იტყუება -
იღბლიანი პითაგორას საპასუხო საჩუქარი.

მას შემდეგ ხარები სასოწარკვეთილად ღრიალებენ:
სამუდამოდ აღაგზნო ხარის ტომი
აქ ნახსენები მოვლენა.

ფიქრობენ, რომ დროა
და ისევ შეეწირებიან
რაღაც დიდი თეორემა.

(თარგმნა ვიქტორ ტოპოროვმა)

მეოცე საუკუნეში კი საბჭოთა მწერალმა ევგენი ველტისტოვმა თავის წიგნში "ელექტრონიკის თავგადასავალი" მთელი თავი მიუძღვნა პითაგორას თეორემის მტკიცებულებებს. და ნახევარი თავი მოთხრობის ორგანზომილებიანი სამყაროს შესახებ, რომელიც შეიძლება არსებობდეს, თუ პითაგორას თეორემა გახდება ფუნდამენტური კანონი და თუნდაც რელიგია ერთი სამყაროსთვის. მასში ცხოვრება ბევრად უფრო ადვილი იქნებოდა, მაგრამ ასევე უფრო მოსაწყენი: მაგალითად, იქ არავის ესმის სიტყვების "მრგვალი" და "ფუმფულა" მნიშვნელობა.

და წიგნში "ელექტრონული თავგადასავალი", ავტორი მათემატიკის მასწავლებლის ტარატარას პირით ამბობს: "მათემატიკაში მთავარია აზრის მოძრაობა, ახალი იდეები". აზროვნების სწორედ ეს შემოქმედებითი ფრენა წარმოშობს პითაგორას თეორემას - ტყუილად არ აქვს მას ამდენი მრავალფეროვანი მტკიცებულება. ეს გეხმარებათ გასცდეთ ჩვეულს და შეხედოთ ნაცნობ ნივთებს ახლებურად.

დასკვნა

ეს სტატია შეიქმნა იმისთვის, რომ შეხედოთ მათემატიკაში სასკოლო სასწავლო გეგმას და ისწავლოთ არა მხოლოდ პითაგორას თეორემის ის მტკიცებულებები, რომლებიც მოცემულია სახელმძღვანელოებში "გეომეტრია 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) და "გეომეტრია 7 -11". ” (A.V. Pogorelov), არამედ ცნობილი თეორემის დასამტკიცებლად სხვა საინტერესო გზები. ასევე იხილეთ მაგალითები, თუ როგორ შეიძლება პითაგორას თეორემა გამოიყენოს ყოველდღიურ ცხოვრებაში.

უპირველეს ყოვლისა, ეს ინფორმაცია საშუალებას მოგცემთ მოითხოვოთ უფრო მაღალი ქულები მათემატიკის კლასებში - ინფორმაცია ამ საკითხზე დამატებითი წყაროებიდან ყოველთვის მაღალი შეფასებაა.

მეორეც, გვინდოდა დაგეხმაროთ იმის გაგებაში, თუ რამდენად საინტერესოა მათემატიკა. კონკრეტული მაგალითებით დავრწმუნდეთ, რომ მასში ყოველთვის არის ადგილი შემოქმედებითობისთვის. ვიმედოვნებთ, რომ პითაგორას თეორემა და ეს სტატია მოგცემთ შთაგონებას გააკეთოთ საკუთარი კვლევა და საინტერესო აღმოჩენები მათემატიკასა და სხვა მეცნიერებებში.

გვითხარით კომენტარებში, თქვენთვის საინტერესო აღმოჩნდა თუ არა სტატიაში წარმოდგენილი მტკიცებულებები. დაგეხმარათ ეს ინფორმაცია თქვენს სწავლაში? გაგვაგებინეთ, რას ფიქრობთ პითაგორას თეორემაზე და ამ სტატიაზე - ჩვენ სიამოვნებით განვიხილავთ ამ ყველაფერს თქვენთან ერთად.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

გეომეტრიული ფიგურების ფართობის გაზომვა.

§ 58. პითაგორას თეორემა 1 .

__________
1 პითაგორა არის ბერძენი მეცნიერი, რომელიც ცხოვრობდა დაახლოებით 2500 წლის წინ (ძვ. წ. 564-473).
_________

მიეცეს მართკუთხა სამკუთხედი, რომლის გვერდებიც ა, ბდა თან(დევ. 267).

ავაშენოთ კვადრატები მის გვერდებზე. ამ კვადრატების ფართობები შესაბამისად ა 2 , ბ 2 და თან 2. ეს დავამტკიცოთ თან 2 = ა 2 +ბ 2 .

ავაშენოთ ორი კვადრატი MKOR და M"K"O"R" (სურ. 268, 269), თითოეული მათგანის გვერდისთვის ავიღოთ ABC მართკუთხა სამკუთხედის ფეხების ჯამის ტოლი სეგმენტი.

ამ კვადრატებში 268 და 269 ნახატებში ნაჩვენები კონსტრუქციების დასრულების შემდეგ, ჩვენ დავინახავთ, რომ MKOR კვადრატი იყოფა ორ კვადრატად ფართობებით. ა 2 და ბ 2 და ოთხი ტოლი მართკუთხა სამკუთხედი, რომელთაგან თითოეული ტოლია ABC მართკუთხა სამკუთხედის. კვადრატი M"K"O"R" იყოფა ოთხკუთხედად (269 ნახატზე დაჩრდილულია) და ოთხ მართკუთხა სამკუთხედად, რომელთაგან თითოეული ასევე უდრის ABC სამკუთხედს. დაჩრდილული ოთხკუთხედი არის კვადრატი, რადგან მისი გვერდები ტოლია (თითოეული უდრის ABC სამკუთხედის ჰიპოტენუზას, ე.ი. თან) და კუთხეები სწორია / 1 + / 2 = 90°, საიდანაც / 3 = 90 °).

ამრიგად, ფეხებზე აგებული კვადრატების ფართობების ჯამი (268 ნახატზე ეს კვადრატები დაჩრდილულია) უდრის MKOR კვადრატის ფართობს ოთხი ტოლი სამკუთხედის ფართობების ჯამის გარეშე და ფართობი. ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატი (269 ნახატზე ეს კვადრატიც დაჩრდილულია) უდრის კვადრატის M "K" O "R" კვადრატის ფართობს, უდრის MKOR კვადრატს, ფართობების ჯამის გარეშე. ოთხი იგივე სამკუთხედი. ამრიგად, მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატის ფართობი უდრის ფეხებზე აგებული კვადრატების ფართობების ჯამს.

ჩვენ ვიღებთ ფორმულას თან 2 = ა 2 +ბ 2, სადაც თან- ჰიპოტენუზა, ადა ბ- მართკუთხა სამკუთხედის ფეხები.

პითაგორას თეორემა შეიძლება შეჯამდეს შემდეგნაირად:

მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზას კვადრატი უდრის წვივების კვადრატების ჯამს.

ფორმულიდან თან 2 = ა 2 +ბ 2 შეგიძლიათ მიიღოთ შემდეგი ფორმულები:

ა 2 = თან 2 - ბ 2 ;
ბ 2 = თან 2 - ა 2 .

ეს ფორმულები შეიძლება გამოყენებულ იქნას მართკუთხა სამკუთხედის უცნობი გვერდის მოსაძებნად, მოცემული მისი ორი გვერდიდან.
Მაგალითად:

ა) თუ ფეხებს აძლევენ ა= 4 სმ, ბ\u003d 3 სმ, შემდეგ შეგიძლიათ იპოვოთ ჰიპოტენუზა ( თან):
თან 2 = ა 2 +ბ 2, ე.ი. თან 2 = 4 2 + 3 2 ; 2 = 25-ით, საიდანაც თან= √25 =5 (სმ);

ბ) თუ ჰიპოტენუზაა მოცემული თან= 17 სმ და ფეხი ა= 8 სმ, შემდეგ შეგიძლიათ იპოვოთ სხვა ფეხი ( ბ):

ბ 2 = თან 2 - ა 2, ე.ი. ბ 2 = 17 2 - 8 2 ; ბ 2 = 225, საიდანაც ბ= √225 = 15 (სმ).

შედეგი: თუ ორ მართკუთხა სამკუთხედში ABC და A 1 B 1 C 1 ჰიპოტენუზა თანდა თან 1 ტოლია და ფეხი ბსამკუთხედი ABC უფრო დიდია ვიდრე ფეხი ბ 1 სამკუთხედი A 1 B 1 C 1,
შემდეგ ფეხი ასამკუთხედი ABC ფეხიზე ნაკლები ა 1 სამკუთხედი A 1 B 1 C 1 . (გააკეთეთ ნახატი, რომელიც ასახავს ამ შედეგს.)

მართლაც, პითაგორას თეორემაზე დაყრდნობით, ჩვენ ვიღებთ:

ა 2 = თან 2 - ბ 2 ,
ა 1 2 = თან 1 2 - ბ 1 2

დაწერილ ფორმულებში მინუენდები ტოლია, ხოლო პირველ ფორმულაში სუბტრაჰენდი მეტია მეორე ფორმულის ქვეტრაენდზე, შესაბამისად, პირველი განსხვავება მეორეზე ნაკლებია,
ე.ი. ა 2 < ა 12 . სად ა< ა 1 .

Სავარჯიშოები.

1. 270 ნახაზის გამოყენებით დაამტკიცეთ პითაგორას თეორემა ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედისთვის.

2. მართკუთხა სამკუთხედის ერთი ფეხი 12 სმ, მეორე 5 სმ. გამოთვალეთ ამ სამკუთხედის ჰიპოტენუზის სიგრძე.

3. მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა არის 10 სმ, ერთ-ერთი ფეხი 8 სმ. გამოთვალეთ ამ სამკუთხედის მეორე ფეხის სიგრძე.

4. მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა 37 სმ-ია, ერთი ფეხი 35 სმ. გამოთვალეთ ამ სამკუთხედის მეორე ფეხის სიგრძე.

5. ააგეთ კვადრატი მოცემულის ფართობის ორჯერ.

6. ააგეთ კვადრატი მოცემულის ფართობის ორჯერ. ინსტრუქცია.დახაზეთ დიაგონალები ამ კვადრატში. ამ დიაგონალების ნახევრებზე აგებული კვადრატები სასურველი იქნება.

7. მართკუთხა სამკუთხედის კიდურები არის შესაბამისად 12 სმ და 15 სმ. გამოთვალეთ ამ სამკუთხედის ჰიპოტენუზის სიგრძე 0,1 სმ სიზუსტით.

8. მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა არის 20 სმ, ერთი ფეხი 15 სმ. გამოთვალეთ მეორე ფეხის სიგრძე 0,1 სმ სიზუსტით.

9. რა სიგრძის უნდა იყოს კიბე ისე, რომ იგი მიმაგრდეს 6 მ სიმაღლეზე მდებარე ფანჯარაზე, თუ კიბის ქვედა ბოლო უნდა იყოს შენობიდან 2,5 მ მანძილზე? (ჯანდაბა. 271.)

დარწმუნდით, რომ თქვენთვის მოცემული სამკუთხედი მართკუთხა სამკუთხედია, რადგან პითაგორას თეორემა მხოლოდ მართკუთხა სამკუთხედებს ეხება. მართკუთხა სამკუთხედებში სამი კუთხიდან ერთი ყოველთვის 90 გრადუსია.

• მართკუთხა სამკუთხედში მართი კუთხე მრუდის ნაცვლად აღინიშნება კვადრატით, რომელიც წარმოადგენს არასწორ კუთხეებს.

მონიშნეთ სამკუთხედის გვერდები.დაასახელეთ ფეხები, როგორც "a" და "b" (ფეხები არის გვერდები, რომლებიც იკვეთება მართი კუთხით), ხოლო ჰიპოტენუზა როგორც "c" (ჰიპოტენუზა არის მართკუთხა სამკუთხედის უდიდესი გვერდი, რომელიც მდებარეობს სწორი კუთხის საპირისპიროდ).

განსაზღვრეთ სამკუთხედის რომელი გვერდი გსურთ იპოვოთ.პითაგორას თეორემა საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მართკუთხა სამკუთხედის ნებისმიერი გვერდი (თუ დანარჩენი ორი გვერდი ცნობილია). დაადგინეთ რომელი მხარე (a, b, c) უნდა მოიძებნოს.

• მაგალითად, მოცემულია ჰიპოტენუზა 5-ის ტოლი და მოცემულია ფეხი 3-ის ტოლი. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა იპოვოთ მეორე ფეხი. ამ მაგალითს მოგვიანებით დავუბრუნდებით.
• თუ დანარჩენი ორი მხარე უცნობია, საჭიროა ვიპოვოთ ერთ-ერთი უცნობი მხარის სიგრძე, რათა შევძლოთ პითაგორას თეორემის გამოყენება. ამისათვის გამოიყენეთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები (თუ მოგეცემათ ერთ-ერთი არასწორი კუთხის მნიშვნელობა).

შეცვალეთ ფორმულაში a 2 + b 2 \u003d c 2 თქვენთვის მოცემული მნიშვნელობები (ან თქვენ მიერ ნაპოვნი მნიშვნელობები).გახსოვდეთ, რომ a და b არის ფეხები, ხოლო c არის ჰიპოტენუზა.

• ჩვენს მაგალითში ჩაწერეთ: 3² + b² = 5².

მოედანზე ყოველი ცნობილი მხარე.ან დატოვეთ გრადუსები - შეგიძლიათ რიცხვების კვადრატში მოგვიანებით.

• ჩვენს მაგალითში ჩაწერეთ: 9 + b² = 25.

გამოყავით უცნობი მხარე განტოლების ერთ მხარეს.ამისათვის გადაიტანეთ ცნობილი მნიშვნელობები განტოლების მეორე მხარეს. თუ იპოვით ჰიპოტენუზას, მაშინ პითაგორას თეორემაში ის უკვე იზოლირებულია განტოლების ერთ მხარეს (ასე რომ არაფრის გაკეთება არ არის საჭირო).

• ჩვენს მაგალითში გადაიტანეთ 9 განტოლების მარჯვენა მხარეს უცნობი b²-ის გამოსაყოფად. თქვენ მიიღებთ b² = 16.

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი მას შემდეგ, რაც განტოლების ერთ მხარეს არის უცნობი (კვადრატი) და მეორე მხარეს კვეთა (რიცხვი).

• ჩვენს მაგალითში, b² = 16. აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი და მიიღეთ b = 4. ასე რომ, მეორე ფეხი არის 4.

გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა ყოველდღიურ ცხოვრებაში, რადგან მისი გამოყენება შესაძლებელია პრაქტიკულ სიტუაციებში. ამისათვის ისწავლეთ მართკუთხა სამკუთხედების ამოცნობა ყოველდღიურ ცხოვრებაში - ნებისმიერ სიტუაციაში, როდესაც ორი ობიექტი (ან წრფე) იკვეთება სწორი კუთხით, ხოლო მესამე ობიექტი (ან ხაზი) ​​აკავშირებს (დიაგონალურად) პირველი ორი ობიექტის (ან). ხაზები), შეგიძლიათ გამოიყენოთ პითაგორას თეორემა უცნობი მხარის საპოვნელად (თუ დანარჩენი ორი მხარე ცნობილია).

• მაგალითი: მოცემულია შენობასთან დაყრდნობილი კიბე. კიბეების ფსკერი კედლის ძირიდან 5 მეტრშია. კიბეების ზედა ნაწილი მიწიდან 20 მეტრშია (კედლის ზემოთ). რა არის კიბის სიგრძე?
  • "კედლის ძირიდან 5 მეტრი" ნიშნავს, რომ a = 5; "მიწიდან 20 მეტრშია" ნიშნავს, რომ b = 20 (ანუ თქვენ გეძლევათ მართკუთხა სამკუთხედის ორი ფეხი, რადგან შენობის კედელი და დედამიწის ზედაპირი სწორი კუთხით იკვეთება). კიბის სიგრძე არის ჰიპოტენუზის სიგრძე, რომელიც უცნობია.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20.6. ამრიგად, კიბეების სავარაუდო სიგრძე 20,6 მეტრია.

ერთ რამეში შეგიძლიათ ასი პროცენტით დარწმუნებული იყოთ, რომ როცა ჰკითხავთ, რა არის ჰიპოტენუზის კვადრატი, ნებისმიერი ზრდასრული თამამად უპასუხებს: „ფეხების კვადრატების ჯამი“. ეს თეორემა მტკიცედ არის ჩადებული ყველა განათლებული ადამიანის გონებაში, მაგრამ საკმარისია მხოლოდ ვინმეს სთხოვოთ ამის დამტკიცება და შემდეგ შეიძლება წარმოიშვას სირთულეები. მაშასადამე, გავიხსენოთ და განვიხილოთ პითაგორას თეორემის დადასტურების სხვადასხვა ხერხი.

ბიოგრაფიის მოკლე მიმოხილვა

პითაგორას თეორემა თითქმის ყველასთვის ნაცნობია, მაგრამ რატომღაც მისი შემქმნელის ბიოგრაფია არც თუ ისე პოპულარულია. ჩვენ გამოვასწორებთ. ამიტომ, სანამ პითაგორას თეორემის დადასტურების სხვადასხვა ხერხს შეისწავლით, მოკლედ უნდა გაეცნოთ მის პიროვნებას.

პითაგორა - ფილოსოფოსი, მათემატიკოსი, მოაზროვნე დღეიდან ძალიან რთულია მისი ბიოგრაფიის გარჩევა იმ ლეგენდებისგან, რომლებიც ამ დიდი ადამიანის ხსოვნას შეექმნა. მაგრამ როგორც მისი მიმდევრების თხზულებებიდან ჩანს, პითაგორა სამოსელი დაიბადა კუნძულ სამოსზე. მისი მამა ჩვეულებრივი ქვის მჭრელი იყო, დედა კი დიდგვაროვანი ოჯახიდან იყო.

ლეგენდის თანახმად, პითაგორას დაბადება იწინასწარმეტყველა ქალმა, სახელად პიტია, რომლის პატივსაცემად დაარქვეს ბიჭი. მისი პროგნოზით, დაბადებულ ბიჭს კაცობრიობისთვის ბევრი სარგებელი და სიკეთე უნდა მოეტანა. რაც მან რეალურად გააკეთა.

თეორემის დაბადება

ახალგაზრდობაში პითაგორა გადავიდა ეგვიპტეში, რათა იქ შეხვედროდა ცნობილ ეგვიპტელ ბრძენებს. მათთან შეხვედრის შემდეგ იგი სასწავლებლად შეიყვანეს, სადაც ისწავლა ეგვიპტური ფილოსოფიის, მათემატიკისა და მედიცინის ყველა დიდი მიღწევა.

ალბათ, სწორედ ეგვიპტეში შთაგონდა პითაგორა პირამიდების სიდიადე და სილამაზე და შექმნა თავისი დიდი თეორია. ამან შეიძლება შოკში ჩააგდოს მკითხველი, მაგრამ თანამედროვე ისტორიკოსები თვლიან, რომ პითაგორამ არ დაამტკიცა თავისი თეორია. მაგრამ მან მხოლოდ თავისი ცოდნა გადასცა თავის მიმდევრებს, რომლებმაც მოგვიანებით დაასრულეს ყველა საჭირო მათემატიკური გამოთვლა.

როგორც ეს შეიძლება იყოს, დღეს ცნობილია არა ერთი ტექნიკა ამ თეორემის დასადასტურებლად, არამედ რამდენიმე ერთდროულად. დღეს ჩვენ შეგვიძლია მხოლოდ გამოვიცნოთ, თუ როგორ აკეთებდნენ ძველ ბერძნებს თავიანთი გამოთვლები, ამიტომ აქ განვიხილავთ პითაგორას თეორემის დადასტურების სხვადასხვა გზებს.

პითაგორას თეორემა

სანამ რაიმე გამოთვლას დაიწყებდეთ, უნდა გაარკვიოთ რომელი თეორია უნდა დაამტკიცოთ. პითაგორას თეორემა ასე ჟღერს: „სამკუთხედში, რომლის ერთ-ერთი კუთხეა 90 o, კუთხის კვადრატების ჯამი უდრის ჰიპოტენუზის კვადრატს“.

სულ არის 15 სხვადასხვა გზებიპითაგორას თეორემის მტკიცებულება. ეს საკმაოდ დიდი რიცხვია, ამიტომ ყურადღება მივაქციოთ მათგან ყველაზე პოპულარულს.

მეთოდი პირველი

ჯერ განვსაზღვროთ რა გვაქვს. ეს მონაცემები ასევე ვრცელდება პითაგორას თეორემის დადასტურების სხვა გზებზე, ამიტომ დაუყოვნებლივ უნდა გახსოვდეთ ყველა არსებული აღნიშვნა.

დავუშვათ, მოცემულია მართკუთხა სამკუთხედი, რომლის ფეხები a, b და ჰიპოტენუზა უდრის c. მტკიცების პირველი მეთოდი ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ კვადრატი უნდა იყოს გამოყვანილი მართკუთხა სამკუთხედიდან.

ამისათვის თქვენ უნდა დახაზოთ ფეხის ტოლი სეგმენტი ფეხის სიგრძეზე a და პირიქით. ასე რომ, უნდა გამოვიდეს კვადრატის ორი თანაბარი მხარე. რჩება მხოლოდ ორი პარალელური ხაზის დახატვა და კვადრატი მზად არის.

მიღებული ფიგურის შიგნით, თქვენ უნდა დახაზოთ კიდევ ერთი კვადრატი, რომლის გვერდი ტოლია ორიგინალური სამკუთხედის ჰიპოტენუზას. ამისათვის ac და sv წვეროებიდან უნდა დახატოთ c-ის ტოლი ორი პარალელური სეგმენტი. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ კვადრატის სამ მხარეს, რომელთაგან ერთი არის თავდაპირველი მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა. რჩება მხოლოდ მეოთხე სეგმენტის დახატვა.

მიღებული ფიგურიდან გამომდინარე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ გარე კვადრატის ფართობი არის (a + b) 2. თუ ფიგურის შიგნით შეხედავთ, ხედავთ, რომ შიდა კვადრატის გარდა, მას აქვს ოთხი მართკუთხა სამკუთხედი. თითოეულის ფართობი 0,5 ავ.

აქედან გამომდინარე, ფართობია: 4 * 0.5av + s 2 \u003d 2av + s 2

აქედან გამომდინარე (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

და, შესაბამისად, 2 \u003d 2 + 2-ში

თეორემა დადასტურდა.

მეთოდი მეორე: მსგავსი სამკუთხედები

პითაგორას თეორემის დადასტურების ეს ფორმულა მიღებული იქნა მსგავსი სამკუთხედების შესახებ გეომეტრიის განყოფილების განცხადების საფუძველზე. ის ამბობს, რომ მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი არის მისი ჰიპოტენუზის პროპორციული საშუალო და ჰიპოტენუზის სეგმენტი, რომელიც გამოდის 90 o კუთხის წვეროდან.

თავდაპირველი მონაცემები იგივე რჩება, ასე რომ, მოდით, დაუყოვნებლივ დავიწყოთ მტკიცებულებებით. დავხატოთ CD სეგმენტი AB გვერდის პერპენდიკულარული. ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, სამკუთხედის ფეხები ტოლია:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

კითხვაზე, თუ როგორ უნდა დავამტკიცოთ პითაგორას თეორემა, პასუხის გასაცემად, დადასტურება უნდა მოხდეს ორივე უტოლობის კვადრატში.

AC 2 \u003d AB * HELL და SV 2 \u003d AB * DV

ახლა ჩვენ უნდა დავამატოთ მიღებული უტოლობა.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), სადაც AD + DV \u003d AB

გამოდის, რომ:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

Და, შესაბამისად:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

პითაგორას თეორემის დადასტურება და მისი გადაჭრის სხვადასხვა გზები მოითხოვს ამ პრობლემის მრავალმხრივ მიდგომას. თუმცა, ეს ვარიანტი ერთ-ერთი ყველაზე მარტივია.

კიდევ ერთი გაანგარიშების მეთოდი

პითაგორას თეორემის დადასტურების სხვადასხვა გზების აღწერამ შეიძლება ვერაფერი თქვას მანამ, სანამ საკუთარ თავზე არ დაიწყებთ პრაქტიკას. ბევრი მეთოდი მოიცავს არა მხოლოდ მათემატიკურ გამოთვლებს, არამედ ახალი ფიგურების აგებას ორიგინალური სამკუთხედიდან.

ამ შემთხვევაში აუცილებელია თვითმფრინავის ფეხიდან კიდევ ერთი მართკუთხა სამკუთხედის VSD დასრულება. ამრიგად, ახლა არის ორი სამკუთხედი საერთო ფეხით ძვ.წ.

იმის ცოდნა, რომ მსგავსი ფიგურების ფართობებს აქვთ მათი მსგავსი წრფივი განზომილებების კვადრატების თანაფარდობა, მაშინ:

S avs * s 2 - S avd * 2-ში \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (2-დან 2-მდე) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

2-დან 2-მდე \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + 2-ში

ვინაიდან ეს ვარიანტი ძნელად შესაფერისია პითაგორას თეორემის დასადასტურებლად მე-8 კლასისთვის, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ტექნიკა.

პითაგორას თეორემის დასამტკიცებლად უმარტივესი გზა. მიმოხილვები

ისტორიკოსები თვლიან, რომ ეს მეთოდი პირველად ძველ საბერძნეთში გამოიყენეს თეორემის დასამტკიცებლად. ეს ყველაზე მარტივია, რადგან არ საჭიროებს აბსოლუტურად რაიმე გამოთვლებს. თუ სურათს სწორად დახატავთ, მაშინ აშკარად ჩანს განცხადების მტკიცებულება, რომ 2 + b 2 \u003d c 2.

ამ მეთოდის პირობები ოდნავ განსხვავდება წინაგან. თეორემის დასამტკიცებლად, დავუშვათ, რომ ABC მართკუთხა სამკუთხედი ტოლფერდაა.

კვადრატის გვერდად ვიღებთ ჰიპოტენუზას AC და ვხატავთ მის სამ მხარეს. გარდა ამისა, აუცილებელია მიღებულ კვადრატში ორი დიაგონალური ხაზის დახატვა. ისე, რომ მის შიგნით მიიღებთ ოთხ ტოლფერდა სამკუთხედს.

AB და CB ფეხებზე ასევე უნდა დახაზოთ კვადრატი და თითოეულ მათგანში დახაზოთ თითო დიაგონალური ხაზი. პირველ ხაზს ვხატავთ A წვეროდან, მეორეს - C-დან.

ახლა თქვენ უნდა ყურადღებით დაათვალიეროთ მიღებული სურათი. ვინაიდან ჰიპოტენუზა AC-ზე არის ოთხი სამკუთხედი, რომელიც უდრის თავდაპირველს და ორი ფეხებზე, ეს მიუთითებს ამ თეორემის ჭეშმარიტებაზე.

სხვათა შორის, პითაგორას თეორემის დამტკიცების ამ მეთოდის წყალობით დაიბადა ცნობილი ფრაზა: „პითაგორას შარვალი ყველა მიმართულებით თანაბარია“.

მტკიცებულება ჯ.გარფილდის მიერ

ჯეიმს გარფილდი არის ამერიკის შეერთებული შტატების მე-20 პრეზიდენტი. გარდა იმისა, რომ კვალი დატოვა ისტორიაში, როგორც შეერთებული შტატების მმართველი, ის ასევე იყო ნიჭიერი თვითნასწავლი.

კარიერის დასაწყისში ის ხალხური სასწავლებლის რიგითი მასწავლებელი იყო, თუმცა მალევე გახდა ერთ-ერთი უმაღლესი სასწავლებლის დირექტორი. თვითგანვითარების სურვილი და საშუალება მისცა შესთავაზა პითაგორას თეორემის დადასტურების ახალი თეორია. თეორემა და მისი ამოხსნის მაგალითი შემდეგია.

ჯერ უნდა დახატოთ ორი მართკუთხა სამკუთხედი ფურცელზე ისე, რომ ერთი მათგანის ფეხი მეორის გაგრძელება იყოს. ამ სამკუთხედების წვეროები უნდა იყოს დაკავშირებული, რათა დასრულდეს ტრაპეცია.

მოგეხსენებათ, ტრაპეციის ფართობი უდრის მისი ფუძეებისა და სიმაღლის ჯამის ნახევრის ნამრავლს.

S=a+b/2 * (a+b)

თუ მიღებულ ტრაპეციას განვიხილავთ, როგორც ფიგურას, რომელიც შედგება სამი სამკუთხედისგან, მაშინ მისი ფართობი შეიძლება მოიძებნოს შემდეგნაირად:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

ახლა ჩვენ უნდა გავათანაბროთ ორი ორიგინალური გამონათქვამი

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + 2-ში

პითაგორას თეორემასა და მისი დამტკიცების შესახებ შეიძლება დაიწეროს სახელმძღვანელოს ერთზე მეტი ტომი. მაგრამ აქვს თუ არა აზრი, როდესაც ამ ცოდნის პრაქტიკაში გამოყენება შეუძლებელია?

პითაგორას თეორემის პრაქტიკული გამოყენება

სამწუხაროდ, თანამედროვე სასკოლო სასწავლო გეგმები ითვალისწინებს ამ თეორემის გამოყენებას მხოლოდ გეომეტრიულ ამოცანებში. კურსდამთავრებულები მალე დატოვებენ სკოლის კედლებს ისე, რომ არ იცოდნენ, როგორ გამოიყენონ თავიანთი ცოდნა და უნარები პრაქტიკაში.

სინამდვილეში, ყველას შეუძლია გამოიყენოს პითაგორას თეორემა ყოველდღიურ ცხოვრებაში. და არა მხოლოდ პროფესიულ საქმიანობაში, არამედ ჩვეულებრივ საოჯახო საქმეებში. განვიხილოთ რამდენიმე შემთხვევა, როდესაც პითაგორას თეორემა და მისი დადასტურების მეთოდები შეიძლება იყოს უკიდურესად საჭირო.

თეორემისა და ასტრონომიის კავშირი

როგორც ჩანს, როგორ შეიძლება ვარსკვლავებისა და სამკუთხედების დაკავშირება ქაღალდზე. სინამდვილეში, ასტრონომია არის სამეცნიერო სფერო, რომელშიც ფართოდ გამოიყენება პითაგორას თეორემა.

მაგალითად, განვიხილოთ სინათლის სხივის მოძრაობა სივრცეში. ჩვენ ვიცით, რომ სინათლე ორივე მიმართულებით ერთი და იგივე სიჩქარით მოძრაობს. ჩვენ ვუწოდებთ AB ტრაექტორიას, რომლის გასწვრივაც სინათლის სხივი მოძრაობს ლ. და იმ დროის ნახევარი, რაც სჭირდება სინათლის A წერტილიდან B წერტილამდე მისასვლელად, დავუძახოთ ტ. და სხივის სიჩქარე - გ. გამოდის, რომ: c*t=l

თუ შეხედავთ იმავე სხივს სხვა სიბრტყიდან, მაგალითად, კოსმოსური ლაინერიდან, რომელიც მოძრაობს v სიჩქარით, მაშინ სხეულებზე ასეთი დაკვირვებით, მათი სიჩქარე შეიცვლება. ამ შემთხვევაში სტაციონარული ელემენტებიც კი მოძრაობენ v სიჩქარით საპირისპირო მიმართულებით.

ვთქვათ, კომიკური ლაინერი მარჯვნივ მიცურავს. შემდეგ წერტილები A და B, რომელთა შორისაც სხივი ჩქარობს, გადაინაცვლებს მარცხნივ. უფრო მეტიც, როდესაც სხივი A წერტილიდან B წერტილამდე გადადის, A წერტილს აქვს დრო გადაადგილებისთვის და, შესაბამისად, სინათლე უკვე მივა C ახალ წერტილში. იმისათვის, რომ იპოვოთ მანძილის ნახევარი, რომლითაც A წერტილი გადავიდა, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ლაინერის სიჩქარე სხივის მოგზაურობის დროის ნახევარით (t").

და იმისათვის, რომ გაიგოთ, რა მანძილზე შეიძლება გაიაროს სინათლის სხივი ამ დროის განმავლობაში, თქვენ უნდა დანიშნოთ ახალი წიფლის ბილიკის ნახევარი და მიიღოთ შემდეგი გამოხატულება:

თუ წარმოვიდგენთ, რომ სინათლის C და B წერტილები, ისევე როგორც კოსმოსური ხაზები, არის ტოლფერდა სამკუთხედის წვეროები, მაშინ სეგმენტი A წერტილიდან ხაზამდე დაყოფს მას ორ მართკუთხა სამკუთხედად. ამიტომ, პითაგორას თეორემის წყალობით, შეგიძლიათ იპოვოთ მანძილი, რომლის გავლაც სინათლის სხივს შეეძლო.

ეს მაგალითი, რა თქმა უნდა, არ არის ყველაზე წარმატებული, რადგან მხოლოდ რამდენიმეს შეიძლება გაუმართლოს პრაქტიკაში. ამიტომ, ჩვენ განვიხილავთ ამ თეორემის უფრო ამქვეყნიურ გამოყენებას.

მობილური სიგნალის გადაცემის დიაპაზონი

თანამედროვე ცხოვრება სმარტფონების არსებობის გარეშე უკვე წარმოუდგენელია. მაგრამ რამდენად გამოგადგებათ, რომ მობილური კავშირგაბმულობის საშუალებით აბონენტებს ვერ დააკავშირებენ?!

მობილური კომუნიკაციების ხარისხი პირდაპირ დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა სიმაღლეზეა განთავსებული მობილური ოპერატორის ანტენა. იმისათვის, რომ გამოვთვალოთ, თუ რა მანძილზე შეუძლია ტელეფონმა მიიღოს სიგნალი მობილური კოშკიდან, შეგიძლიათ გამოიყენოთ პითაგორას თეორემა.

ვთქვათ, თქვენ უნდა იპოვოთ სტაციონარული კოშკის სავარაუდო სიმაღლე, რათა მან შეძლოს სიგნალის გავრცელება 200 კილომეტრის რადიუსში.

AB (კოშკის სიმაღლე) = x;

BC (სიგნალის გადაცემის რადიუსი) = 200 კმ;

OS (გლობუსის რადიუსი) = 6380 კმ;

OB=OA+ABOB=r+x

პითაგორას თეორემის გამოყენებით აღმოვაჩენთ, რომ კოშკის მინიმალური სიმაღლე უნდა იყოს 2,3 კილომეტრი.

პითაგორას თეორემა ყოველდღიურ ცხოვრებაში

უცნაურად საკმარისია, რომ პითაგორას თეორემა შეიძლება სასარგებლო იყოს ყოველდღიურ საკითხებშიც კი, როგორიცაა კარადის სიმაღლის განსაზღვრა, მაგალითად. ერთი შეხედვით, არ არის საჭირო ასეთი რთული გამოთვლების გამოყენება, რადგან თქვენ შეგიძლიათ უბრალოდ გაზომოთ საზომი ლენტით. მაგრამ ბევრს უკვირს, რატომ წარმოიქმნება გარკვეული პრობლემები შეკრების პროცესში, თუ ყველა გაზომვა უფრო ზუსტად იქნა მიღებული.

ფაქტია, რომ გარდერობი ჰორიზონტალურ მდგომარეობაშია აწყობილი და მხოლოდ ამის შემდეგ ამოდის და კედელთან დგას. ამრიგად, კაბინეტის გვერდითი კედელი სტრუქტურის აწევის პროცესში თავისუფლად უნდა გაიაროს როგორც ოთახის სიმაღლეზე, ასევე დიაგონალზე.

დავუშვათ, არის გარდერობი 800 მმ სიღრმით. მანძილი იატაკიდან ჭერამდე - 2600 მმ. გამოცდილი ავეჯის მწარმოებელი იტყვის, რომ კაბინეტის სიმაღლე ოთახის სიმაღლეზე 126 მმ-ით ნაკლები უნდა იყოს. მაგრამ რატომ ზუსტად 126 მმ? მოდით შევხედოთ მაგალითს.

კაბინეტის იდეალური ზომებით, მოდით შევამოწმოთ პითაგორას თეორემის მოქმედება:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 მმ - ყველაფერი იყრის თავს.

ვთქვათ, კაბინეტის სიმაღლე არის არა 2474 მმ, არამედ 2505 მმ. შემდეგ:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 მმ.

ამიტომ, ეს კაბინეტი არ არის შესაფერისი ამ ოთახში დამონტაჟებისთვის. ვინაიდან ვერტიკალურ მდგომარეობაში აწევისას შეიძლება მისი სხეულის დაზიანება გამოიწვიოს.

შესაძლოა, სხვადასხვა მეცნიერის მიერ პითაგორას თეორემის დასამტკიცებლად სხვადასხვა გზების განხილვის შემდეგ, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ეს უფრო მეტია ვიდრე სიმართლე. ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ მიღებული ინფორმაცია თქვენს ყოველდღიურ ცხოვრებაში და დარწმუნებული იყოთ, რომ ყველა გამოთვლა იქნება არა მხოლოდ სასარგებლო, არამედ სწორიც.