მოვაგვაროთ პრობლემა. ჩვენ გვაქვს ორი სახის ქუქი-ფაილები. ზოგი შოკოლადიანია, ზოგიც უბრალო. არის 48 შოკოლადის ნაჭერი და 36 მარტივი, ამ ნამცხვრებიდან აუცილებელია საჩუქრების მაქსიმალური რაოდენობა და ყველა გამოყენებული უნდა იყოს.

ჯერ ჩამოვწეროთ ამ ორი რიცხვიდან თითოეულის ყველა გამყოფი, რადგან ორივე ეს რიცხვი უნდა იყოფა საჩუქრების რაოდენობაზე.

ვიღებთ

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

გამყოფებს შორის ვიპოვოთ საერთო, რაც აქვს როგორც პირველს, ასევე მეორე რიცხვს.

საერთო გამყოფები იქნება: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი არის 12. ამ რიცხვს 36-ისა და 48-ის უდიდესი საერთო გამყოფი ეწოდება.

შედეგიდან გამომდინარე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ 12 საჩუქრის დამზადება შესაძლებელია ყველა ქუქიიდან. ერთი ასეთი საჩუქარი შეიცავს 4 შოკოლადის ნამცხვარს და 3 ჩვეულებრივ ფუნთუშას.

ყველაზე დიდი საერთო გამყოფის პოვნა

• უდიდეს ნატურალურ რიცხვს, რომლითაც ორი რიცხვი a და b იყოფა ნაშთის გარეშე, ამ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ეწოდება.

ზოგჯერ აბრევიატურა GCD გამოიყენება ჩანაწერის შემოკლებისთვის.

რიცხვების ზოგიერთ წყვილს აქვს ერთი ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი. ასეთ ნომრებს ეძახიან თანაპრიმა რიცხვები.მაგალითად, რიცხვები 24 და 35. აქვს GCD =1.

როგორ მოვძებნოთ ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი

იმისთვის, რომ ვიპოვოთ უდიდესი საერთო გამყოფი, არ არის საჭირო ამ რიცხვების ყველა გამყოფის ამოწერა.

სხვაგვარად შეგიძლია. პირველ რიგში, დააკავშირეთ ორივე რიცხვი პირველ ფაქტორებად.

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

ახლა, იმ ფაქტორებიდან, რომლებიც შედის პირველი რიცხვის გაფართოებაში, ჩვენ ვშლით ყველა იმ ფაქტორს, რომელიც არ შედის მეორე ნომრის გაფართოებაში. ჩვენს შემთხვევაში, ეს არის ორი დუქცია.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

დარჩება ფაქტორები 2, 2 და 3. მათი ნამრავლია 12. ეს რიცხვი იქნება 48 და 36 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი.

ეს წესი შეიძლება გავრცელდეს სამი, ოთხი და ა.შ. ნომრები.

ყველაზე დიდი საერთო გამყოფის პოვნის ზოგადი სქემა

• 1. რიცხვების დაშლა მარტივ ფაქტორებად.
• 2. ამ რიცხვებიდან ერთ-ერთის გაფართოებაში შემავალი ფაქტორებიდან გადახაზეთ ისინი, რომლებიც არ შედის სხვა რიცხვების გაფართოებაში.
• 3. გამოთვალეთ დარჩენილი ფაქტორების ნამრავლი.

სამი ან მეტი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის პოვნა შეიძლება შემცირდეს ორი რიცხვის gcd-ის თანმიმდევრულ პოვნამდე. ეს აღვნიშნეთ GCD-ის თვისებების შესწავლისას. იქ ჩამოვაყალიბეთ და დავამტკიცეთ თეორემა: რამდენიმე რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი a 1, a 2, ..., a kრიცხვის ტოლია დკ, რომელიც გვხვდება თანმიმდევრულ გაანგარიშებაში GCD(a 1, a 2)=d 2, GCD(d 2, a 3)=d 3, GCD(d 3, a 4)=d 4, …,GCD(d k-1, a k)=d k.

ვნახოთ, როგორ გამოიყურება რამდენიმე რიცხვის GCD-ის პოვნის პროცესი მაგალითის ამოხსნის გათვალისწინებით.

მაგალითი.

იპოვეთ ოთხი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი 78 , 294 , 570 და 36 .

გადაწყვეტილება.

ამ მაგალითში a 1 = 78, a2=294, a 3 \u003d 570, a4=36.

პირველ რიგში, ევკლიდის ალგორითმის გამოყენებით, ჩვენ განვსაზღვრავთ უდიდეს საერთო გამყოფს d2პირველი ორი ნომერი 78 და 294 . გაყოფისას ვიღებთ ტოლობას 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18 3+6და 18=6 3. ამრიგად, d 2 \u003d GCD (78, 294) \u003d 6.

ახლა გამოვთვალოთ d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). კვლავ გამოვიყენოთ ევკლიდეს ალგორითმი: 570=6 95, შესაბამისად, d 3 \u003d GCD (6, 570) \u003d 6.

რჩება გამოთვლა d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). როგორც 36 იყოფა 6 , მაშინ d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6.

ასე რომ, ოთხი მოცემული რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი არის d4=6, ე.ი. gcd(78, 294, 570, 36)=6.

პასუხი:

gcd(78, 294, 570, 36)=6.

რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლა ასევე საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ სამი ან მეტი რიცხვის GCD. ამ შემთხვევაში, უდიდესი საერთო გამყოფი გვხვდება მოცემული რიცხვების ყველა საერთო მარტივი ფაქტორების ნამრავლად.

მაგალითი.

გამოთვალეთ რიცხვების GCD წინა მაგალითიდან მათი მარტივი ფაქტორიზაციების გამოყენებით.

გადაწყვეტილება.

მოდით დავშალოთ რიცხვები 78 , 294 , 570 და 36 პირველ ფაქტორებში, ჩვენ ვიღებთ 78=2 3 13,294=2 3 7 7, 570=2 3 5 19, 36=2 2 3 3. ოთხივე რიცხვის საერთო მარტივი ფაქტორები არის რიცხვები 2 და 3 . აქედან გამომდინარე, GCD(78, 294, 570, 36)=2 3=6.

პასუხი:

gcd(78, 294, 570, 36)=6.

გვერდის ზედა

უარყოფითი რიცხვების gcd-ის პოვნა

თუ ერთი, რამდენიმე ან ყველა რიცხვი, რომლის უდიდესი გამყოფი უნდა მოიძებნოს, არის უარყოფითი რიცხვები, მაშინ მათი gcd უდრის ამ რიცხვების მოდულების უდიდეს საერთო გამყოფს. ეს იმიტომ ხდება, რომ საპირისპირო რიცხვებია ადა -ააქვთ იგივე გამყოფები, რომლებიც განვიხილეთ გაყოფადობის თვისებების შესწავლისას.

მაგალითი.

იპოვეთ უარყოფითი მთელი რიცხვების gcd −231 და −140 .

გადაწყვეტილება.

რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა −231 უდრის 231 და რიცხვის მოდული −140 უდრის 140 , და gcd(−231, −140)=gcd(231, 140). ევკლიდეს ალგორითმი გვაძლევს შემდეგ თანასწორობებს: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7და 42=7 6. აქედან გამომდინარე, gcd(231, 140)=7. შემდეგ უარყოფითი რიცხვების სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი −231 და −140 უდრის 7 .

პასუხი:

GCD(−231,−140)=7.

მაგალითი.

განსაზღვრეთ სამი რიცხვის gcd −585 , 81 და −189 .

გადაწყვეტილება.

უდიდესი საერთო გამყოფის პოვნისას, უარყოფითი რიცხვები შეიძლება შეიცვალოს მათი აბსოლუტური მნიშვნელობებით, ანუ gcd(−585, 81, −189)=gcd(585, 81, 189). რიცხვების გაფართოება 585 , 81 და 189 პირველ ფაქტორებად არის, შესაბამისად, ფორმის 585=3 3 5 13, 81=3 3 3 3და 189=3 3 3 7. ამ სამი რიცხვის საერთო მარტივი ფაქტორებია 3 და 3 . მერე GCD(585, 81, 189)=3 3=9, შესაბამისად, gcd(−585, 81, −189)=9.

პასუხი:

gcd(−585, 81, −189)=9.

35. მრავალწევრის ფესვები. ბეზუტის თეორემა. (33 და ზემოთ)

36. მრავლობითი ფესვი, ფესვის სიმრავლის კრიტერიუმი.

მაგრამ ბევრი ნატურალური რიცხვი თანაბრად იყოფა სხვა ნატურალურ რიცხვებზე.

მაგალითად:

რიცხვი 12 იყოფა 1-ზე, 2-ზე, 3-ზე, 4-ზე, 6-ზე, 12-ზე;

რიცხვი 36 იყოფა 1-ზე, 2-ზე, 3-ზე, 4-ზე, 6-ზე, 12-ზე, 18-ზე, 36-ზე.

რიცხვებს, რომლებზეც რიცხვი იყოფა (12-ისთვის ეს არის 1, 2, 3, 4, 6 და 12) ეწოდება რიცხვების გამყოფები. ნატურალური რიცხვის გამყოფი აარის ნატურალური რიცხვი, რომელიც ყოფს მოცემულ რიცხვს აუკვალოდ. ნატურალურ რიცხვს, რომელსაც აქვს ორზე მეტი ფაქტორი, ეწოდება კომპოზიტური. გაითვალისწინეთ, რომ 12 და 36 რიცხვებს აქვთ საერთო გამყოფები. ეს არის რიცხვები: 1, 2, 3, 4, 6, 12. ამ რიცხვების უდიდესი გამყოფი არის 12.

ორი მოცემული რიცხვის საერთო გამყოფი ადა ბარის რიცხვი, რომლითაც ორივე მოცემული რიცხვი იყოფა ნაშთების გარეშე ადა ბ. მრავალრიცხოვანი რიცხვების საერთო გამყოფი (GCD)არის რიცხვი, რომელიც ემსახურება თითოეული მათგანის გამყოფს.

მოკლედ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ადა ბიწერება ასე:

მაგალითი: gcd (12; 36) = 12.

ამოხსნის ჩანაწერში რიცხვების გამყოფები აღინიშნება დიდი ასო "D"-ით.

მაგალითი:

gcd (7; 9) = 1

7 და 9 რიცხვებს აქვთ მხოლოდ ერთი საერთო გამყოფი - რიცხვი 1. ასეთ რიცხვებს უწოდებენ კოპრაიმიჩი სლემი.

კოპრიმი რიცხვებიარის ნატურალური რიცხვები, რომლებსაც აქვთ მხოლოდ ერთი საერთო გამყოფი - რიცხვი 1. მათი gcd არის 1.

უდიდესი საერთო გამყოფი (GCD), თვისებები.

• მთავარი თვისება: უდიდესი საერთო გამყოფი მდა ნიყოფა ამ რიცხვების ნებისმიერ საერთო გამყოფზე. მაგალითი: 12 და 18 რიცხვებისთვის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი არის 6; ის იყოფა ამ რიცხვების ყველა საერთო გამყოფზე: 1, 2, 3, 6.
• დასკვნა 1: საერთო გამყოფთა ნაკრები მდა ნემთხვევა გამყოფების სიმრავლეს gcd( მ, ნ).
• დასკვნა 2: საერთო ჯერადების ნაკრები მდა ნემთხვევა მრავალი LCM-ის სიმრავლეს ( მ, ნ).

ეს ნიშნავს, კერძოდ, რომ წილადის შეუქცევად ფორმამდე დასაყვანად აუცილებელია მისი მრიცხველი და მნიშვნელი გავყოთ მათ gcd-ზე.

• რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი მდა ნშეიძლება განისაზღვროს, როგორც მათი ყველა წრფივი კომბინაციის სიმრავლის უმცირესი დადებითი ელემენტი:

და შესაბამისად წარმოადგენენ რიცხვთა წრფივ კომბინაციას მდა ნ:

ეს თანაფარდობა ე.წ ბეზუტის თანაფარდობადა კოეფიციენტები uდა ვ — ბეზუტის კოეფიციენტები. ბეზუტის კოეფიციენტები ეფექტურად გამოითვლება გაფართოებული ევკლიდის ალგორითმით. ეს განცხადება განზოგადებულია ნატურალური რიცხვების სიმრავლეებზე - მისი მნიშვნელობა ისაა, რომ სიმრავლის მიერ გენერირებული ჯგუფის ქვეჯგუფი არის ციკლური და წარმოიქმნება ერთი ელემენტით: gcd ( ა 1 , ა 2 , … , a n).

უდიდესი საერთო გამყოფის (gcd) გამოთვლა.

ორი რიცხვის gcd-ის გამოთვლის ეფექტური გზებია ევკლიდეს ალგორითმიდა ორობითიალგორითმი. გარდა ამისა, GCD მნიშვნელობა ( მ,ნ) ადვილად გამოითვლება, თუ ცნობილია რიცხვების კანონიკური გაფართოება მდა ნძირითადი ფაქტორებისთვის:

სადაც არის განსხვავებული მარტივი და და არის არაუარყოფითი მთელი რიცხვები (ისინი შეიძლება იყოს ნული, თუ შესაბამისი მარტივი არ არის დაშლაში). შემდეგ gcd ( მ,ნ) და LCM ( მ,ნ) გამოიხატება ფორმულებით:

თუ ორზე მეტი რიცხვია: , მათი GCD გვხვდება შემდეგი ალგორითმის მიხედვით:

- ეს არის სასურველი GCD.

ასევე, რათა იპოვოთ ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი, შეგიძლიათ დაშალოთ თითოეული მოცემული რიცხვი მარტივ ფაქტორებად. შემდეგ ცალკე ჩამოწერეთ მხოლოდ ის ფაქტორები, რომლებიც შედის ყველა მოცემულ რიცხვში. შემდეგ ვამრავლებთ ერთმანეთში ჩაწერილ რიცხვებს - გამრავლების შედეგი არის უდიდესი საერთო გამყოფი .

მოდით გავაანალიზოთ უდიდესი საერთო გამყოფის გამოთვლა ეტაპობრივად:

1. დაშალე რიცხვების გამყოფები მარტივ ფაქტორებად:

გამოთვლები მოხერხებულად იწერება ვერტიკალური ზოლის გამოყენებით. ხაზის მარცხნივ ჯერ ჩაწერეთ დივიდენდი, მარჯვნივ - გამყოფი. შემდგომ მარცხენა სვეტში ჩვენ ვწერთ კერძოს მნიშვნელობებს. მოდი მაშინვე ავხსნათ მაგალითით. მოდით გავამრავლოთ 28 და 64 რიცხვები მარტივ ფაქტორებად.

2. ორივე რიცხვში ხაზს ვუსვამთ ერთსა და იმავე მარტივ ფაქტორებს:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. ვპოულობთ იდენტური მარტივი ფაქტორების ნამრავლს და ვწერთ პასუხს:

GCD (28; 64) = 2. 2 = 4

პასუხი: GCD (28; 64) = 4

თქვენ შეგიძლიათ მოაწყოთ GCD-ის მდებარეობა ორი გზით: სვეტში (როგორც ეს გაკეთდა ზემოთ) ან "ხაზში".

GCD ჩაწერის პირველი გზა:

იპოვეთ GCD 48 და 36.

GCD (48; 36) = 2. 2. 3 = 12

GCD ჩაწერის მეორე გზა:

ახლა მოდით დავწეროთ GCD საძიებო გადაწყვეტა ხაზში. იპოვეთ GCD 10 და 15.

D(10) = (1, 2, 5, 10)

D(15) = (1, 3, 5, 15)

D(10, 15) = (1, 5)

უდიდესი საერთო გამყოფი

განმარტება 2

თუ ნატურალური რიცხვი a იყოფა ნატურალურ რიცხვზე $b$, მაშინ $b$-ს ეწოდება $a$-ის გამყოფი, ხოლო $a$ რიცხვს ეწოდება $b$-ის ჯერადი.

დაე, $a$ და $b$ იყოს ნატურალური რიცხვები. რიცხვს $c$ ეწოდება საერთო გამყოფი როგორც $a$-ისთვის, ასევე $b$-ისთვის.

$a$ და $b$ რიცხვების საერთო გამყოფების სიმრავლე სასრულია, რადგან არცერთი ეს გამყოფი არ შეიძლება იყოს $a$-ზე მეტი. ეს ნიშნავს, რომ ამ გამყოფებს შორის არის ყველაზე დიდი, რომელსაც უწოდებენ $a$ და $b$ რიცხვების უდიდეს საერთო გამყოფს და მის აღსანიშნავად გამოიყენება აღნიშვნა:

$gcd \ (a;b) / ან \ D \ (a;b)$

ორი რიცხვის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფის პოვნა:

1. იპოვეთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი.

მაგალითი 1

იპოვეთ რიცხვების gcd $121$ და $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

აირჩიეთ რიცხვები, რომლებიც შედის ამ რიცხვების გაფართოებაში

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

იპოვეთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი.

$gcd=2\cdot 11=22$

მაგალითი 2

იპოვეთ მონომილების GCD $63$ და $81$.

ჩვენ ვიპოვით წარმოდგენილი ალგორითმის მიხედვით. Ამისთვის:

მოდით დავშალოთ რიცხვები მარტივ ფაქტორებად

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

ჩვენ ვირჩევთ ნომრებს, რომლებიც შედის ამ რიცხვების გაფართოებაში

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

ვიპოვოთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი.

$gcd=3\cdot 3=9$

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ორი რიცხვის GCD სხვა გზით, რიცხვების გამყოფების სიმრავლის გამოყენებით.

მაგალითი 3

იპოვეთ რიცხვების gcd $48$ და $60$.

გადაწყვეტილება:

იპოვეთ $48$-ის გამყოფების სიმრავლე: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

ახლა ვიპოვოთ რიცხვის გამყოფების სიმრავლე $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

ვიპოვოთ ამ სიმრავლეთა კვეთა: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ეს ნაკრები განსაზღვრავს $48$ და $60 რიცხვების საერთო გამყოფთა სიმრავლეს. $. ამ ნაკრების ყველაზე დიდი ელემენტი იქნება რიცხვი $12$. ასე რომ, $48$ და $60$-ის უდიდესი საერთო გამყოფი არის $12$.

NOC-ის განმარტება

განმარტება 3

ნატურალური რიცხვების საერთო ჯერადი$a$ და $b$ არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც არის $a$ და $b$-ის ჯერადი.

რიცხვების საერთო ჯერადები არის რიცხვები, რომლებიც იყოფა ორიგინალზე ნაშთის გარეშე. მაგალითად, $25$ და $50$ რიცხვებისთვის საერთო ჯერადები იქნება რიცხვები $50,100,150,200$ და ა.შ.

უმცირეს საერთო ჯერადს ეწოდება უმცირესი საერთო ჯერადი და აღინიშნება LCM$(a;b)$ ან K$(a;b).$-ით.

ორი რიცხვის LCM-ის საპოვნელად დაგჭირდებათ:

1. რიცხვების დაშლა მარტივ ფაქტორებად
2. ჩამოწერეთ პირველი რიცხვის შემადგენელი ფაქტორები და დაუმატეთ მეორეს შემადგენელი ფაქტორები და არ გადადით პირველზე.

მაგალითი 4

იპოვეთ ნომრების LCM $99$ და $77$.

ჩვენ ვიპოვით წარმოდგენილი ალგორითმის მიხედვით. Ამისთვის

რიცხვების დაშლა მარტივ ფაქტორებად

$99=3\cdot 3\cdot 11$

ჩაწერეთ პირველში შემავალი ფაქტორები

დაუმატეთ მათ ფაქტორები, რომლებიც მეორეს ნაწილია და არ მიდის პირველზე

იპოვეთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უმცირესი საერთო ჯერადი

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

რიცხვების გამყოფთა სიების შედგენა ხშირად ძალიან შრომატევადია. არსებობს გზა, რომ იპოვოთ GCD, რომელსაც ეწოდება ევკლიდის ალგორითმი.

განცხადებები, რომლებზეც დაფუძნებულია ევკლიდეს ალგორითმი:

თუ $a$ და $b$ ნატურალური რიცხვებია და $a\vdots b$, მაშინ $D(a;b)=b$

თუ $a$ და $b$ ისეთი ნატურალური რიცხვებია, რომ $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$-ის გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია თანმიმდევრულად შევამციროთ განსახილველი რიცხვები, სანამ არ მივაღწევთ რიცხვების წყვილს ისე, რომ ერთი მათგანი იყოფა მეორეზე. მაშინ ამ რიცხვებიდან უფრო მცირე იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი $a$ და $b$ რიცხვებისთვის.

GCD-ისა და LCM-ის თვისებები

1. $a$ და $b$-ის ნებისმიერი საერთო ჯერადი იყოფა K$(a;b)$-ზე
2. თუ $a\vdots b$, მაშინ K$(a;b)=a$

თუ K$(a;b)=k$ და $m$-ბუნებრივი რიცხვი, მაშინ K$(am;bm)=km$

თუ $d$ არის $a$-ისა და $b$-ის საერთო გამყოფი, მაშინ K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

თუ $a\vdots c$ და $b\vdots c$ , მაშინ $\frac(ab)(c)$ არის $a$ და $b$-ის საერთო ჯერადი.

ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის $a$ და $b$ ტოლობა

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

$a$-ისა და $b$-ის ნებისმიერი საერთო გამყოფი არის $D(a;b)$-ის გამყოფი

ეს სტატია ეძღვნება ისეთ კითხვას, როგორიცაა ყველაზე დიდი საერთო გამყოფის პოვნა. პირველ რიგში, ჩვენ ავხსნით რა არის ეს და მოვიყვანთ რამდენიმე მაგალითს, გავაცნობთ 2, 3 ან მეტი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის განმარტებებს, რის შემდეგაც შევეხებით ამ კონცეფციის ზოგად თვისებებს და დავამტკიცებთ მათ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

რა არის საერთო გამყოფები

იმის გასაგებად, თუ რა არის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი, ჩვენ ჯერ ჩამოვაყალიბეთ რა არის საერთო გამყოფი მთელი რიცხვებისთვის.

მამრავლებისა და გამყოფების შესახებ სტატიაში ვთქვით, რომ მთელ რიცხვს ყოველთვის აქვს მრავალი გამყოფი. აქ ჩვენ გვაინტერესებს გარკვეული რაოდენობის მთელი რიცხვების გამყოფები ერთდროულად, განსაკუთრებით საერთო (იდენტური) ყველასთვის. მოდით ჩამოვწეროთ მთავარი განმარტება.

განმარტება 1

რამდენიმე მთელი რიცხვის საერთო გამყოფი იქნება რიცხვი, რომელიც შეიძლება იყოს თითოეული რიცხვის გამყოფი მითითებული სიმრავლიდან.

მაგალითი 1

აი ასეთი გამყოფის მაგალითები: სამეული იქნება საერთო გამყოფი რიცხვებისთვის - 12 და 9, ვინაიდან ტოლობები 9 = 3 · 3 და − 12 = 3 · (− 4) მართალია. 3 და -12 რიცხვებს აქვთ სხვა საერთო გამყოფები, როგორიცაა 1 , - 1 და - 3 . ავიღოთ სხვა მაგალითი. ოთხ მთელ რიცხვს 3 , − 11 , − 8 და 19 ექნება ორი საერთო გამყოფი: 1 და - 1 .

გაყოფის თვისებების გაცნობით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ნებისმიერი მთელი რიცხვი შეიძლება დაიყოს ერთზე და მინუს ერთზე, რაც ნიშნავს, რომ რიცხვების ნებისმიერ სიმრავლეს უკვე ექნება მინიმუმ ორი საერთო გამყოფი.

ასევე გაითვალისწინეთ, რომ თუ გვაქვს საერთო გამყოფი რამდენიმე b რიცხვისთვის, მაშინ იგივე რიცხვები შეიძლება გავყოთ საპირისპირო რიცხვზე, ანუ - b-ზე. პრინციპში, ჩვენ შეგვიძლია ავიღოთ მხოლოდ დადებითი გამყოფები, მაშინ ყველა საერთო გამყოფი ასევე იქნება 0-ზე მეტი. ეს მიდგომა ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას, მაგრამ უარყოფითი რიცხვები არ უნდა იყოს სრულიად იგნორირებული.

რა არის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი (gcd)

გაყოფის თვისებების მიხედვით, თუ b არის a მთელი რიცხვის გამყოფი, რომელიც არ არის 0-ის ტოლი, მაშინ b-ის მოდული არ შეიძლება იყოს a-ს მოდულზე მეტი, ამიტომ ნებისმიერ რიცხვს, რომელიც არ უდრის 0-ს, აქვს გამყოფების სასრული რაოდენობა. . ეს ნიშნავს, რომ რამდენიმე მთელი რიცხვის საერთო გამყოფების რაოდენობა, რომელთაგან ერთი მაინც განსხვავდება ნულიდან, ასევე სასრული იქნება და მათი მთელი სიმრავლიდან ყოველთვის შეგვიძლია ავირჩიოთ უდიდესი რიცხვი (უკვე ვისაუბრეთ ყველაზე დიდი და კონცეფციაზე. უმცირესი მთელი რიცხვები, გირჩევთ გაიმეოროთ მოცემული მასალა).

შემდგომი მსჯელობისას ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ რიცხვთა სიმრავლიდან ერთი მაინც, რომლისთვისაც უნდა იპოვოთ უდიდესი საერთო გამყოფი, განსხვავებული იქნება 0-დან. თუ ისინი ყველა 0-ის ტოლია, მაშინ მათი გამყოფი შეიძლება იყოს ნებისმიერი მთელი რიცხვი და რადგან უსასრულოდ ბევრია, ჩვენ არ შეგვიძლია ავირჩიოთ უდიდესი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შეუძლებელია 0-ის ტოლი რიცხვების სიმრავლისთვის უდიდესი საერთო გამყოფის პოვნა.

ჩვენ გადავდივართ ძირითადი განმარტების ფორმულირებაზე.

განმარტება 2

მრავალი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი არის უდიდესი მთელი რიცხვი, რომელიც ყოფს ყველა ამ რიცხვს.

წერილობით, ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი ყველაზე ხშირად აღინიშნება აბრევიატურით GCD. ორი რიცხვისთვის ის შეიძლება დაიწეროს როგორც gcd (a, b) .

მაგალითი 2

რა არის GCD-ის მაგალითი ორი მთელი რიცხვისთვის? მაგალითად, 6-ისთვის და -15-ისთვის ეს იქნება 3. დავამტკიცოთ ეს. ჯერ ვწერთ ექვსის ყველა გამყოფს: ± 6, ± 3, ± 1, შემდეგ კი თხუთმეტის ყველა გამყოფს: ± 15, ± 5, ± 3 და ± 1. ამის შემდეგ ვირჩევთ საერთოს: ეს არის − 3 , − 1 , 1 და 3 . აქედან, თქვენ უნდა აირჩიოთ ყველაზე დიდი რაოდენობა. ეს იქნება 3.

სამი ან მეტი რიცხვისთვის, უდიდესი საერთო გამყოფის განმარტება იგივე იქნება.

განმარტება 3

სამი ან მეტი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი არის უდიდესი მთელი რიცხვი, რომელიც ყოფს ყველა ამ რიცხვს ერთდროულად.

a 1 , a 2 , ... , a n რიცხვებისთვის გამყოფი მოხერხებულად აღინიშნება როგორც GCD (a 1 , a 2 , ... , a n). თავად გამყოფის მნიშვნელობა იწერება როგორც GCD (a 1 , a 2 , … , a n) = b .

მაგალითი 3

აქ მოცემულია რამდენიმე მთელი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის მაგალითები: 12 , - 8 , 52 , 16 . ეს იქნება ოთხის ტოლი, რაც ნიშნავს, რომ შეგვიძლია დავწეროთ, რომ gcd (12, - 8, 52, 16) = 4.

ამ განცხადების სისწორის შემოწმება შეგიძლიათ ამ რიცხვების ყველა გამყოფის ჩაწერით და შემდეგ მათგან ყველაზე დიდის არჩევით.

პრაქტიკაში ხშირია შემთხვევები, როდესაც ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი უდრის ერთ რიცხვს. ეს ხდება მაშინ, როდესაც ყველა სხვა რიცხვი შეიძლება დაიყოს მოცემულ რიცხვზე (სტატიის პირველ პუნქტში ჩვენ მივეცით ამ განცხადების დამადასტურებელი საბუთი).

მაგალითი 4

ასე რომ, 60, 15 და - 45 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი არის 15, რადგან თხუთმეტი იყოფა არა მხოლოდ 60-ზე და - 45-ზე, არამედ თავის თავზეც და არ არსებობს უფრო დიდი გამყოფი ყველა ამ რიცხვისთვის.

Coprime რიცხვები განსაკუთრებული შემთხვევაა. ისინი მთელი რიცხვებია 1-ის უდიდესი საერთო გამყოფით.

GCD-ის ძირითადი თვისებები და ევკლიდეს ალგორითმი

უდიდეს საერთო გამყოფს აქვს რამდენიმე დამახასიათებელი თვისება. ვაყალიბებთ მათ თეორემების სახით და ვამტკიცებთ თითოეულ მათგანს.

გაითვალისწინეთ, რომ ეს თვისებები ჩამოყალიბებულია ნულზე მეტი მთელი რიცხვებისთვის და ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ დადებით გამყოფებს.

განმარტება 4

a და b რიცხვებს აქვთ ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი, რომელიც ტოლია gcd-ს b და a-სთვის, ანუ gcd (a , b) = gcd (b , a) . ნომრების ადგილების შეცვლა საბოლოო შედეგზე გავლენას არ ახდენს.

ეს თვისება გამომდინარეობს GCD-ის განმარტებიდან და არ საჭიროებს მტკიცებულებას.

განმარტება 5

თუ რიცხვი a შეიძლება დაიყოს b რიცხვზე, მაშინ ამ ორი რიცხვის საერთო გამყოფთა სიმრავლე იქნება b რიცხვის გამყოფების სიმრავლის მსგავსი, ანუ gcd (a, b) = b.

დავამტკიცოთ ეს განცხადება.

მტკიცებულება 1

თუ a და b რიცხვებს აქვთ საერთო გამყოფები, მაშინ რომელიმე მათგანი შეიძლება დაიყოს მათზე. ამავდროულად, თუ a არის b-ის ჯერადი, მაშინ b-ის ნებისმიერი გამყოფი ასევე იქნება a-ს გამყოფი, ვინაიდან გაყოფას აქვს ისეთი თვისება, როგორიცაა გარდამავლობა. აქედან გამომდინარე, ნებისმიერი b გამყოფი საერთო იქნება a და b რიცხვებისთვის. ეს ამტკიცებს, რომ თუ შეგვიძლია a გავყოთ b-ზე, მაშინ ორივე რიცხვის ყველა გამყოფის სიმრავლე ემთხვევა ერთი რიცხვის b გამყოფთა სიმრავლეს. და რადგან ნებისმიერი რიცხვის უდიდესი გამყოფი არის თავად რიცხვი, მაშინ a და b რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ასევე იქნება b-ის ტოლი, ე.ი. gcd(a, b) = b. თუ a = b, მაშინ gcd (a, b) = gcd (a, a) = gcd (b, b) = a = b, მაგ. gcd (132, 132) = 132.

ამ თვისების გამოყენებით ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი, თუ ერთი მათგანი შეიძლება გაიყოს მეორეზე. ასეთი გამყოფი უდრის ამ ორი რიცხვიდან ერთს, რომლითაც შეიძლება მეორე რიცხვის გაყოფა. მაგალითად, gcd (8, 24) = 8, რადგან 24 არის რვის ნამრავლი.

განმარტება 6 დადასტურება 2

შევეცადოთ დავამტკიცოთ ეს ქონება. თავდაპირველად გვაქვს ტოლობა a = b q + c და a და b-ის ნებისმიერი საერთო გამყოფი ასევე გაყოფს c , რაც აიხსნება შესაბამისი გაყოფის თვისებით. ამიტომ, b და c-ის ნებისმიერი საერთო გამყოფი გაყოფს a-ს. ეს ნიშნავს, რომ a და b საერთო გამყოფთა სიმრავლე დაემთხვევა b და c გამყოფთა სიმრავლეს, მათ შორის ყველაზე დიდი, რაც ნიშნავს, რომ ტოლობა gcd (a, b) = gcd (b, c) არის ჭეშმარიტი.

განმარტება 7

შემდეგ თვისებას ევკლიდის ალგორითმი ეწოდება. მასთან ერთად შეგიძლიათ გამოთვალოთ ორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი, ასევე დაამტკიცოთ GCD-ის სხვა თვისებები.

თვისების ჩამოყალიბებამდე გირჩევთ გაიმეოროთ თეორემა, რომელიც დავამტკიცეთ ნაშთით გაყოფის სტატიაში. მისი მიხედვით, გასაყოფი რიცხვი a შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც b q + r, და აქ b არის გამყოფი, q არის რაღაც მთელი რიცხვი (მას ასევე უწოდებენ არასრულ კოეფიციენტს), ხოლო r არის ნაშთი, რომელიც აკმაყოფილებს 0 ≤ r ≤ პირობას. ბ.

ვთქვათ, გვაქვს 0-ზე მეტი ორი მთელი რიცხვი, რომლებისთვისაც ჭეშმარიტი იქნება შემდეგი ტოლობები:

a = b q 1 + r 1, 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

ეს ტოლობები მთავრდება მაშინ, როდესაც r k + 1 ხდება 0-ის ტოლი. ეს აუცილებლად მოხდება, რადგან რიგითობა b > r 1 > r 2 > r 3 , … არის კლებადი რიცხვების სერია, რომელიც შეიძლება შეიცავდეს მათ მხოლოდ სასრულ რაოდენობას. აქედან გამომდინარე, r k არის a და b-ის უდიდესი საერთო გამყოფი, ანუ r k = gcd (a, b) .

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ, რომ r k არის a და b რიცხვების საერთო გამყოფი და ამის შემდეგ, რომ r k არის არა მხოლოდ გამყოფი, არამედ ორი მოცემული რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი.

მოდით შევხედოთ ზემოთ მოცემული ტოლობების ჩამონათვალს, ქვემოდან ზევით. ბოლო თანასწორობის მიხედვით,
r k − 1 შეიძლება გავყოთ r k-ზე. ამ ფაქტის საფუძველზე, ისევე როგორც უდიდესი საერთო გამყოფის წინა დადასტურებული თვისება, შეიძლება ითქვას, რომ r k − 2 შეიძლება გაიყოს r k-ზე, ვინაიდან
r k − 1 იყოფა r k-ზე და r k იყოფა r k-ზე.

ქვემოდან მესამე ტოლობა საშუალებას გვაძლევს დავასკვნათ, რომ r k − 3 შეიძლება გავყოთ r k-ზე და ა.შ. ქვემოდან მეორე არის ის, რომ b იყოფა r k-ზე და პირველი, რომ a იყოფა r k-ზე. ამ ყველაფრიდან ვასკვნით, რომ r k არის a და b-ის საერთო გამყოფი.

ახლა დავამტკიცოთ, რომ r k = gcd (a , b) . რა უნდა გავაკეთო? აჩვენეთ, რომ a და b-ის ნებისმიერი საერთო გამყოფი გაყოფს r k-ს. ავღნიშნოთ r 0 .

მოდით შევხედოთ თანასწორობის იმავე სიას, მაგრამ ზემოდან ქვემოდან. წინა თვისებიდან გამომდინარე შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ r 1 იყოფა r 0-ზე, რაც ნიშნავს, რომ მეორე ტოლობის მიხედვით r 2 იყოფა r 0-ზე. ჩამოვთვლით ყველა ტოლობას და ბოლოდან ვასკვნით, რომ r k იყოფა r 0-ზე. აქედან გამომდინარე, r k = gcd (a , b) .

ამ თვისების გათვალისწინებით, დავასკვნით, რომ a და b საერთო გამყოფთა სიმრავლე მსგავსია ამ რიცხვების gcd-ის გამყოფთა სიმრავლისა. ეს განცხადება, რომელიც ევკლიდეს ალგორითმის შედეგია, საშუალებას მოგვცემს გამოვთვალოთ ორი მოცემული რიცხვის ყველა საერთო გამყოფი.

მოდით გადავიდეთ სხვა თვისებებზე.

განმარტება 8

თუ a და b არის მთელი რიცხვები, რომლებიც არ უდრის 0-ს, მაშინ უნდა არსებობდეს კიდევ ორი ​​მთელი რიცხვი u 0 და v 0, რომლებისთვისაც მართებული იქნება ტოლობა gcd (a , b) = a · u 0 + b · v 0.

თვისების ცნობაში მოცემული ტოლობა არის a და b-ის უდიდესი საერთო გამყოფის წრფივი წარმოდგენა. მას ბეზუტის კოეფიციენტი ეწოდება, ხოლო u 0 და v 0 რიცხვებს ბეზუტის კოეფიციენტები.

მტკიცებულება 3

დავამტკიცოთ ეს ქონება. ჩვენ ვწერთ ტოლობების თანმიმდევრობას ევკლიდეს ალგორითმის მიხედვით:

a = b q 1 + r 1, 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

პირველი ტოლობა გვეუბნება, რომ r 1 = a − b · q 1 . აღნიშნეთ 1 = s 1 და − q 1 = t 1 და გადაწერეთ ეს ტოლობა r 1 = s 1 · a + t 1 · b . აქ რიცხვები s 1 და t 1 იქნება მთელი რიცხვები. მეორე ტოლობა საშუალებას გვაძლევს დავასკვნათ, რომ r 2 = b − r 1 q 2 = b − (s 1 a + t 1 b) q 2 = − s 1 q 2 a + (1 − t 1 q 2) b . აღნიშნეთ − s 1 q 2 = s 2 და 1 − t 1 q 2 = t 2 და გადაწერეთ ტოლობა r 2 = s 2 a + t 2 b , სადაც s 2 და t 2 ასევე იქნება მთელი რიცხვები. ეს იმიტომ ხდება, რომ მთელი რიცხვების ჯამი, მათი ნამრავლი და სხვაობა ასევე მთელი რიცხვებია. ზუსტად ანალოგიურად ვიღებთ მესამე ტოლობიდან r 3 = s 3 · a + t 3 · b , შემდეგი r 4 = s 4 · a + t 4 · b და ა.შ. საბოლოოდ, დავასკვნით, რომ r k = s k a + t k b მთელი რიცხვებისთვის s k და t k . ვინაიდან r k \u003d GCD (a, b) , ჩვენ აღვნიშნავთ s k \u003d u 0 და t k \u003d v 0. შედეგად, ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ GCD წრფივი წარმოდგენა საჭირო ფორმით: GCD (a, b) \u003d a u 0 + b v 0.

განმარტება 9

gcd (m a, m b) = m gcd (a, b) ნებისმიერი ბუნებრივი მნიშვნელობისთვის m.

მტკიცებულება 4

ეს ქონება შეიძლება გამართლდეს შემდეგნაირად. გავამრავლოთ m რიცხვზე თითოეული ტოლობის ორივე მხარე ევკლიდეს ალგორითმში და მივიღებთ, რომ gcd (m a , m b) = m r k , და r k არის gcd (a , b) . აქედან გამომდინარე, gcd (m a, m b) = m gcd (a, b) . ეს არის უდიდესი საერთო გამყოფის ეს თვისება, რომელიც გამოიყენება GCD-ის პოვნისას ფაქტორიზაციის მეთოდით.

განმარტება 10

თუ a და b რიცხვებს აქვთ საერთო გამყოფი p, მაშინ gcd (a: p, b: p) = gcd (a, b) : p. იმ შემთხვევაში, როდესაც p = gcd (a , b) ვიღებთ gcd (a: gcd (a , b) , b: gcd (a , b) = 1, შესაბამისად, რიცხვები: gcd (a , b) და b. : gcd (a , b) არის თანაპირველი.

ვინაიდან a = p (a: p) და b = p (b: p) , მაშინ, წინა თვისებიდან გამომდინარე, შეგვიძლია შევქმნათ ტოლობები gcd (a , b) = gcd (p (a: p) , p · (b: p)) = p · GCD (a: p, b: p) , რომელთა შორის იქნება ამ თვისების დამადასტურებელი საბუთი. ჩვენ ვიყენებთ ამ განცხადებას, როდესაც ჩვეულებრივ წილადებს ვამცირებთ შეუქცევად ფორმამდე.

განმარტება 11

ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი a 1 , a 2 , ... , a k იქნება რიცხვი d k , რომელიც შეიძლება მოიძებნოს ზედიზედ გაანგარიშებით gcd (a 1 , a 2) = d 2 , gcd (d 2 , a 3) = d 3 , gcd (d 3 , a 4) = d 4 , … , GCD (d k - 1 , a k) = d k .

ეს თვისება სასარგებლოა სამი ან მეტი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის საპოვნელად. მასთან ერთად, თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ ეს მოქმედება ორ რიცხვამდე ოპერაციებამდე. მისი საფუძველია ევკლიდეს ალგორითმის დასკვნა: თუ საერთო გამყოფთა სიმრავლე a 1, a 2 და a 3 ემთხვევა d 2 და a 3 სიმრავლეს, მაშინ ის ასევე ემთხვევა d 3 გამყოფებს. a 1 , a 2 , a 3 და a 4 რიცხვების გამყოფები ემთხვევა d 3-ის გამყოფებს, რაც იმას ნიშნავს, რომ ისინი ასევე ემთხვევა d 4-ის გამყოფებს და ა.შ. ბოლოს მივიღებთ, რომ a 1 , a 2 , ... , a k რიცხვების საერთო გამყოფები დაემთხვევა d k გამყოფებს და რადგან თავად რიცხვი იქნება d k რიცხვის უდიდესი გამყოფი, მაშინ gcd (a 1 , a 2, …, a k) = d k.

სულ ეს არის ის, რაც გვინდა ვისაუბროთ უდიდესი საერთო გამყოფის თვისებებზე.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter