მინუს-მინუს მიმატებისას რა იძლევა. მოაწერეთ გამრავლებისა და შეკრების წესები

"ჩემი მტრის მტერი ჩემი მეგობარია"

რატომ არის მინუს ერთჯერ მინუს ერთი ტოლი პლუს ერთი? რატომ არის მინუს ერთჯერ პლუს ერთი უდრის მინუს ერთი? უმარტივესი პასუხია: „იმიტომ, რომ ეს არის უარყოფით რიცხვებთან მუშაობის წესები“. წესები, რომლებსაც სკოლაში ვსწავლობთ და მთელი ცხოვრება ვიყენებთ. თუმცა, სახელმძღვანელოებში არ არის განმარტებული, რატომ არის წესები ასეთი. ამის გაგებას ჯერ არითმეტიკის განვითარების ისტორიიდან შევეცდებით, შემდეგ კი ამ კითხვას თანამედროვე მათემატიკის თვალსაზრისით ვუპასუხებთ.

დიდი ხნის წინ ხალხისთვის მხოლოდ ნატურალური რიცხვები იყო ცნობილი: მათ იყენებდნენ ჭურჭლის, ნადავლის, მტრების დასათვლელად და ა.შ. მაგრამ რიცხვები თავისთავად საკმაოდ უსარგებლოა - თქვენ უნდა შეძლოთ მათი მართვა. შეკრება გასაგები და გასაგებია, გარდა ამისა, ორი ნატურალური რიცხვის ჯამიც ნატურალური რიცხვია (მათემატიკოსი იტყვის, რომ ნატურალური რიცხვების სიმრავლე დახურულია შეკრების მოქმედებით). გამრავლება, ფაქტობრივად, იგივე შეკრებაა, თუ ვსაუბრობთ ნატურალურ რიცხვებზე. ცხოვრებაში ხშირად ვასრულებთ ამ ორ ოპერაციასთან დაკავშირებულ მოქმედებებს (მაგალითად, ვაჭრობისას ვამატებთ და ვამრავლებთ) და უცნაურია ვიფიქროთ, რომ ჩვენი წინაპრები მათ ნაკლებად ხვდებოდნენ - შეკრება და გამრავლება კაცობრიობამ ძალიან დიდი ხნის განმავლობაში აითვისა. წინ. ხშირად საჭიროა ერთი სიდიდის მეორეზე გაყოფა, მაგრამ აქ შედეგი ყოველთვის ნატურალური რიცხვის სახით არ გამოიხატება – ასე გაჩნდა წილადი რიცხვები.

VII საუკუნის ინდურ დოკუმენტებში უარყოფითი რიცხვები ჩნდება; ჩინელებმა, როგორც ჩანს, მათი გამოყენება ცოტა ადრე დაიწყეს. ისინი იყენებდნენ ვალების აღრიცხვას ან შუალედურ გამოთვლებში განტოლებების ამოხსნის გასამარტივებლად - ეს იყო მხოლოდ ინსტრუმენტი დადებითი პასუხის მისაღებად. იმ ფაქტმა, რომ უარყოფითი რიცხვები, განსხვავებით პოზიტიურისგან, არ გამოხატავს რაიმე სუბიექტის არსებობას, გამოიწვია ძლიერი უნდობლობა. ხალხი ამ სიტყვის პირდაპირი მნიშვნელობით თავს არიდებდა უარყოფით რიცხვებს: თუ პრობლემა უარყოფით პასუხს იღებდა, თვლიდნენ, რომ პასუხი საერთოდ არ იყო. ეს უნდობლობა ძალიან დიდხანს გაგრძელდა და დეკარტმაც კი - თანამედროვე მათემატიკის ერთ-ერთმა "დამფუძნებელმა" - მათ "ცრუ" უწოდა (მე-17 საუკუნეში!).

მაგალითისთვის ავიღოთ განტოლება. მისი ამოხსნა შეიძლება ასე: გადაიტანეთ უცნობის მქონე ტერმინები მარცხენა მხარეს, ხოლო დანარჩენი მარჯვნივ, გამოვა , , . ამ ამოხსნით ჩვენ არც კი შევხვდით უარყოფით რიცხვებს.

მაგრამ ეს შეიძლებოდა სხვაგვარად გაკეთებულიყო: გადაიტანეთ ტერმინები უცნობის მარჯვენა მხარეს და მიიღეთ , . უცნობის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ ერთი უარყოფითი რიცხვი მეორეზე: . მაგრამ სწორი პასუხი ცნობილია და უნდა დავასკვნათ, რომ .

რას აჩვენებს ეს მარტივი მაგალითი? პირველ რიგში, ცხადი ხდება ლოგიკა, რომელიც განსაზღვრავს უარყოფით რიცხვებზე მოქმედების წესებს: ამ მოქმედებების შედეგები უნდა ემთხვეოდეს სხვაგვარად მიღებულ პასუხებს, უარყოფითი რიცხვების გარეშე. მეორეც, უარყოფითი რიცხვების გამოყენების დაშვებით, ჩვენ თავიდან ავიცილებთ დამღლელი (თუ განტოლება უფრო რთული აღმოჩნდება, ტერმინების დიდი რაოდენობით) ძიებას ამოხსნის გზაზე, რომელშიც ყველა მოქმედება შესრულებულია მხოლოდ ნატურალურ რიცხვებზე. უფრო მეტიც, ჩვენ აღარ შეგვიძლია ყოველ ჯერზე ვიფიქროთ გარდაქმნილი რაოდენობების მნიშვნელოვნებაზე - და ეს უკვე ნაბიჯია მათემატიკა აბსტრაქტულ მეცნიერებად გადაქცევისაკენ.

უარყოფით რიცხვებზე მოქმედების წესები დაუყოვნებლივ არ ჩამოყალიბდა, მაგრამ გახდა მრავალი მაგალითის განზოგადება, რომლებიც წარმოიშვა გამოყენებითი პრობლემების გადაჭრისას. ზოგადად, მათემატიკის განვითარება პირობითად შეიძლება დაიყოს ეტაპებად: ყოველი შემდეგი ეტაპი წინა საფეხურისაგან განსხვავდება აბსტრაქციის ახალი დონით ობიექტების შესწავლისას. ასე რომ, მე-19 საუკუნეში მათემატიკოსებმა გააცნობიერეს, რომ მთელ რიცხვებსა და მრავალწევრებს, მთელი მათი გარეგნული განსხვავებულობის მიუხედავად, ბევრი საერთო აქვთ: ორივეს დამატება, გამოკლება და გამრავლება შესაძლებელია. ეს მოქმედებები ემორჩილება ერთსა და იმავე კანონებს - როგორც რიცხვების, ასევე მრავალწევრების შემთხვევაში. მაგრამ მთელი რიცხვების ერთმანეთზე დაყოფა ისე, რომ შედეგი ისევ მთელი რიცხვები იყოს, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი. იგივე ეხება მრავალწევრებს.

შემდეგ აღმოაჩინეს მათემატიკური ობიექტების სხვა კოლექციები, რომლებზეც შეიძლება შესრულდეს ასეთი ოპერაციები: ფორმალური სიმძლავრის სერიები, უწყვეტი ფუნქციები... ბოლოს და ბოლოს, მივიდა გაგება, რომ თუ თქვენ შეისწავლით თავად მოქმედებების თვისებებს, მაშინ შედეგები შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამ ყველაფერზე. ობიექტების კოლექციები (ეს მიდგომა დამახასიათებელია ყველა თანამედროვე მათემატიკისთვის).

შედეგად, გამოჩნდა ახალი კონცეფცია: ბეჭედი. ეს არის მხოლოდ ელემენტების ნაკრები, პლუს მოქმედებები, რომლებიც შეიძლება შესრულდეს მათზე. აქ ფუნდამენტური წესები მხოლოდ წესებია (მათ აქსიომებს უწოდებენ), რომლებიც ექვემდებარება მოქმედებებს და არა სიმრავლის ელემენტების ბუნება (აი, აბსტრაქციის ახალი დონე!). იმის ხაზგასასმელად, რომ აქსიომების შემოტანის შემდეგ წარმოქმნილი სტრუქტურა მნიშვნელოვანია, მათემატიკოსები ამბობენ: მთელი რიცხვების რგოლი, მრავალწევრების რგოლი და ა.შ.

ჩამოვაყალიბებთ ბეჭდის აქსიომებს (რომლებიც, რა თქმა უნდა, მთელი რიცხვებით მოქმედების წესების მსგავსია), შემდეგ კი დავამტკიცებთ, რომ ნებისმიერ რგოლში მინუს მინუსზე გამრავლება მიგვიყვანს პლუსზე.

ბეჭედი არის კომპლექტი ორი ორობითი მოქმედებით (ანუ რგოლის ორი ელემენტი მონაწილეობს თითოეულ ოპერაციაში), რომლებსაც ტრადიციულად უწოდებენ შეკრებას და გამრავლებას და შემდეგი აქსიომები:

გაითვალისწინეთ, რომ რგოლები, ყველაზე ზოგად კონსტრუქციაში, არ საჭიროებს გამრავლებას, რომ იყოს შეუქცევადი (ანუ ყოველთვის არ არის შესაძლებელი გაყოფა), არც ერთეულის არსებობას - ნეიტრალური ელემენტის მიმართ. გამრავლებამდე. თუ ეს აქსიომები დაინერგება, მაშინ მიიღება სხვა ალგებრული სტრუქტურები, მაგრამ რგოლებისთვის დადასტურებული ყველა თეორემა მათში ჭეშმარიტი იქნება.

ახლა ჩვენ დავამტკიცებთ, რომ ნებისმიერი ელემენტისთვის და თვითნებური რგოლისთვის, ჯერ ერთი და მეორეც, . აქედან ადვილად მოჰყვება განცხადებები ერთეულების შესახებ: და .

ამისათვის ჩვენ უნდა დავადგინოთ რამდენიმე ფაქტი. ჯერ ვამტკიცებთ, რომ თითოეულ ელემენტს შეიძლება ჰქონდეს მხოლოდ ერთი საპირისპირო. მართლაც, ელემენტს ჰქონდეს ორი საპირისპირო: და . ე.ი. განვიხილოთ ჯამი. ასოციაციური და შემცვლელი კანონებისა და ნულის თვისების გამოყენებით ვიღებთ, რომ ერთის მხრივ ჯამი ტოლია, მეორე მხრივ კი ტოლია. ნიშნავს,.

ახლა გაითვალისწინეთ, რომ და , და ერთი და იგივე ელემენტის საპირისპიროა, ამიტომ ისინი ტოლი უნდა იყოს.

პირველი ფაქტი მიიღება შემდეგნაირად: , ანუ საპირისპირო , რაც ნიშნავს უდრის .

მათემატიკურად მკაცრი რომ ვიყოთ, მოდი ასევე ავხსნათ რატომ რომელიმე ელემენტისთვის. Ნამდვილად, . ანუ მიმატება არ ცვლის ჯამს. ასე რომ, ეს პროდუქტი ნულის ტოლია.

ხოლო იმას, რომ რგოლში ზუსტად ერთი ნულია (აქსიომები ხომ ამბობენ, რომ ასეთი ელემენტი არსებობს, მაგრამ მის უნიკალურობაზე არაფერია ნათქვამი!), მარტივ სავარჯიშოდ მკითხველს დავუტოვებთ.

ევგენი ეპიფანოვი
"ელემენტები"

კომენტარები: 0

ჟაკ სეზიანო

ორი ათასწლეულის განმავლობაში მოხდა რიცხვითი დომენის სამი მნიშვნელოვანი გაფართოება. ჯერ დაახლოებით 450 წ. პითაგორას სკოლის მეცნიერებმა დაამტკიცეს ირაციონალური რიცხვების არსებობა. მათი თავდაპირველი მიზანი იყო ერთეული კვადრატის დიაგონალის რიცხობრივად გამოხატვა. მეორეც, XIII-XV საუკუნეებში ევროპელმა მეცნიერებმა, წრფივი განტოლებების სისტემების გადაწყვეტისას, აღიარეს ერთი უარყოფითი ამოხსნის შესაძლებლობა. და მესამე, 1572 წელს იტალიელმა ალგებრისტმა რაფაელ ბომბელმა გამოიყენა რთული რიცხვები გარკვეული კუბური განტოლების რეალური ამონახსნის მისაღებად.

პროსკურიაკოვი ი.ვ.

ამ წიგნის მიზანია რიცხვების, მრავალწევრებისა და ალგებრული წილადების მკაცრად განსაზღვრა და მათი სკოლიდან უკვე ცნობილი თვისებების დასაბუთება და არა ახალი თვისებების გაცნობა მკითხველისთვის. მაშასადამე, მკითხველი აქ ვერ იპოვის მისთვის ახალ ფაქტებს (ზოგიერთი თვისების, რეალური და რთული რიცხვების შესაძლო გამონაკლისის გარდა), მაგრამ შეიტყობს, თუ როგორ ამტკიცებს მისთვის კარგად ნაცნობ ფაქტებს, დაწყებული „ორჯერ ორიდან ოთხით“. ” და მთავრდება მრავალწევრებით და ალგებრული წილადებით მოქმედებების წესებით. მეორე მხრივ, მკითხველი გაეცნობა მთელ რიგ ზოგად ცნებებს, რომლებიც მთავარ როლს ასრულებენ ალგებრაში.

ილია შჩუროვი

მათემატიკოსი ილია შჩუროვი ათწილადის წილადების, ტრანსცენდენტურობისა და ირაციონალურობის შესახებ.

ლეონ ტახტაჯიანი

ეს იქნება ოთხი მოთხრობა. ჩვენ დავიწყებთ რიცხვებით, შემდეგ ვისაუბრებთ მოძრაობაზე, ცვლილებაზე, შემდეგ ვისაუბრებთ ფორმებსა და ზომებზე და შემდეგ ვისაუბრებთ საწყისებზე და დასასრულებზე. ასეთი გარკვეულწილად დაშიფრული სტილით ჩვენ შევეცდებით შევხედოთ მათემატიკას შიგნიდან და გარედან და ზუსტად როგორც ობიექტზე. რაზე ფიქრობენ მათემატიკოსები და რაზე ცხოვრობენ - ამაზე მოგვიანებით შეგვიძლია ვისაუბროთ.

ვლადლენ ტიმორინი

მათემატიკოსი ვლადლენ ტიმორინი კომპლექსური რიცხვების, ჰამილტონის კვატერნიონების, რვაგანზომილებიანი კეილის რიცხვებისა და რიცხვების მრავალფეროვნების უპირატესობებზე გეომეტრიაში.

ჟაკ სეზიანო

დიოფანტეს შესახებ ცოტა რამ ვიცით. როგორც ჩანს, ის ალექსანდრიაში ცხოვრობდა. IV საუკუნემდე მას არც ერთი ბერძენი მათემატიკოსი არ ახსენებს, ამიტომ იგი სავარაუდოდ მე-3 საუკუნის შუა ხანებში ცხოვრობდა. დიოფანტეს უმნიშვნელოვანესი თხზულება „არითმეტიკა“ (Ἀριθμητικά) 13 „წიგნის“ (βιβλία), ანუ თავების დასაწყისში მოხდა. მათგან დღეს გვაქვს 10, კერძოდ: 6 ბერძნულ ტექსტში და 4 სხვა შუა საუკუნეების არაბულ თარგმანში, რომელთა ადგილი ბერძნული წიგნების შუაშია: წიგნები I-III ბერძნულად, IV-VII არაბულად, VIII-X. ბერძნულად. დიოფანტეს „არითმეტიკა“ უპირველეს ყოვლისა არის ამოცანების კრებული, სულ დაახლოებით 260. სინამდვილეში, თეორია არ არსებობს; წიგნის შესავალში არის მხოლოდ ზოგადი ინსტრუქციები და საჭიროების შემთხვევაში ცალკეული შენიშვნები ზოგიერთ პრობლემაში. „არითმეტიკას“ უკვე აქვს ალგებრული ტრაქტატის თვისებები. ჯერ დიოფანტი იყენებს სხვადასხვა ნიშანს უცნობის და მისი ხარისხების გამოსახატავად, ასევე ზოგიერთ გამოთვლებს; როგორც შუა საუკუნეების ყველა ალგებრული სიმბოლიზმი, მისი სიმბოლიზმიც მათემატიკური სიტყვებიდან მოდის. შემდეგ დიოფანტე განმარტავს, თუ როგორ უნდა გადაჭრას პრობლემა ალგებრული გზით. მაგრამ დიოფანტინეს ამოცანები არ არის ალგებრული ჩვეულებრივი გაგებით, რადგან თითქმის ყველა მათგანი დაყვანილია განუსაზღვრელი განტოლების ან ასეთი განტოლებათა სისტემების ამოხსნით.

მათემატიკის სამყარო მათ გარეშე წარმოუდგენელია - მარტივი რიცხვების გარეშე. რა არის მარტივი რიცხვები, რა არის მათში განსაკუთრებული და რა მნიშვნელობა აქვს მათ ყოველდღიურ ცხოვრებაში? ამ ფილმში მათემატიკის ბრიტანელი პროფესორი მარკუს დუ სოტოი გამოავლენს მარტივი რიცხვების საიდუმლოებას.

გიორგი შაბათი

სკოლაში ჩვენ ყველას გვთავაზობს მცდარი აზრი, რომ რაციონალური რიცხვების სიმრავლე Q არის უნიკალური ბუნებრივი მანძილი (განსხვავების მოდული), რომლის მიმართაც ყველა არითმეტიკული მოქმედება უწყვეტია. თუმცა, ასევე არსებობს დისტანციების უსასრულო რაოდენობა, ეგრეთ წოდებული p-adic, თითო თითოეული რიცხვისთვის p. ოსტროვსკის თეორემის თანახმად, "ჩვეულებრივი" მანძილი, ყველა პ-ადიური მანძილით, ნამდვილად ამოწურავს ყველა გონივრულ მანძილს Q. ტერმინი ადელ დემოკრატია შემოიღო იუ.ი. მანინმა. ადელის დემოკრატიის პრინციპის მიხედვით, Q-ზე ყველა გონივრული მანძილი თანაბარია მათემატიკის კანონების წინაშე (შესაძლოა მხოლოდ ტრადიციული „ოდნავ = ოდნავ უფრო თანაბარი...“. კურსი შემოგთავაზებთ ადელის რგოლს, რომელიც საშუალებას გაძლევთ იმუშაოთ ყველასთან. ეს მანძილი ერთდროულად.

ვლადიმერ არნოლდი

ჯ. R. O. Kuzmin-მა დაამტკიცა, რომ თითქმის ნებისმიერი რეალური რიცხვის არასრული კოეფიციენტების მიმდევრობაში, პროპორცია d_m ტოლია m არასრული კოეფიციენტებისთვის (ტიპიური რეალური რიცხვებისთვის). წილადი d_m მცირდება m→∞ როგორც 1/m^2 და მისი მნიშვნელობა იწინასწარმეტყველა გაუსმა (რომელმაც არაფერი დაამტკიცა). VI არნოლდამ (20 წლის წინ) დაასკვნა, რომ გაუს-კუზმინის სტატისტიკა d_m ასევე მოქმედებს კვადრატული განტოლებების ფესვების უწყვეტი წილადების პერიოდებზე x^2+px+q=0 (მთლიანი p და q): თუ ერთად დავწერთ. არასრული კოეფიციენტები, რომლებიც ქმნიან ასეთი განტოლებების ფესვების ყველა უწყვეტი წილადის პერიოდებს p^2+q^2≤R^2-ით, მაშინ არასრული კოეფიციენტის m მათ შორის წილადი იქნება d_m რიცხვისკენ, როგორც R→ ∞. ვ.ა. ბიკოვსკიმ და მისმა სტუდენტებმა ხაბაროვსკიდან ახლახან დაადასტურეს ეს დიდი ხნის ჰიპოთეზა. ამის მიუხედავად, საკითხი არა ასოების, არამედ მათგან შედგენილი სიტყვების სტატისტიკის შესახებ, რომლებიც წარმოადგენენ x^2+px+q=0 განტოლებების ნებისმიერი ფესვის განგრძობითი წილადების პერიოდებს, შორს არის გადაწყვეტისაგან.

რიდ მაილსი

სათაურს და აბსტრაქტს ვტოვებ რაც შეიძლება ბუნდოვნად, რათა ვისაუბრო იმაზე, რასაც დღეს ვგრძნობ. ჯიშების კლასიფიკაციისთვის საინტერესო მრავალი სახეობა მიღებულია როგორც გორენშტეინის ბეჭდის Spec ან Proj. ⩽3 კოდიმენციაში, კარგად ცნობილი სტრუქტურის თეორია იძლევა გორენშტეინის რგოლებით გამოთვლის მკაფიო მეთოდებს. ამის საპირისპიროდ, არ არსებობს გამოსაყენებელი სტრუქტურის თეორია ⩾4 კოდიმენტის რგოლებისთვის. მიუხედავად ამისა, ხშირ შემთხვევაში, გორენშტეინის პროექცია (და მისი საპირისპირო, კუსტინ-მილერის არაპროექცია) იძლევა ამ რგოლებზე თავდასხმის მეთოდებს. ეს მეთოდები გამოიყენება რეგულარული ალგებრული ზედაპირების კანონიკური რგოლების სპორადულ კლასებზე და Q-Fano 3-ნაკეცების უფრო სისტემატურ კონსტრუქციებზე, მათ შორის სარკისოვის კავშირებზე და მორის თეორიის A ტიპის 3-ნაკეცი ატრიალებისთვის.

რატომ უდრის მინუს გამრავლებული მინუს პლუსს?

- (1 ჯოხი) - (2 ჯოხი) = ((1 ჯოხი)+(2 ჯოხი))= 2 ჯოხი (და ორი ჯოხი არის + იმიტომ, რომ ბოძზე 2 ჯოხია)))

მინუს გამრავლებული მინუსი იძლევა პლუსს, რადგან ეს სკოლის წესია. ამ დროისთვის, ჩემი აზრით, ზუსტი პასუხი არ არსებობს. ეს არის წესი და მრავალი წელია არსებობს. თქვენ უბრალოდ უნდა გვახსოვდეს, რომ ნაჭერი იძლევა ტანსაცმლის სამაგრს.

სკოლის მათემატიკის კურსიდან ვიცით, რომ მინუს გამრავლებული მინუს იძლევა პლუსს. ასევე არსებობს ამ წესის გამარტივებული, სათამაშო ახსნა: მინუსი არის ერთი ხაზი, ორი მინუსი არის ორი ხაზი, პლუს მხოლოდ შედგება 2 ხაზისგან. ამიტომ, მინუს გამრავლებული მინუსი იძლევა პლუს ნიშანს.

მე ასე ვფიქრობ: მინუსი არის ჯოხი - დაამატეთ კიდევ ერთი მინუს ჯოხი - შემდეგ მიიღებთ ორ ჯოხს და თუ მათ ჯვარედინად დააკავშირებთ, მაშინ ნიშანი + quot ; გაიგებს, ასე ვთქვი ჩემი აზრი კითხვაზე: მინუს მინუს თარიღები პლუს.

მინუს გამრავლებული მინუს ყოველთვის არ იძლევა პლუსს, თუნდაც მათემატიკაში. მაგრამ ძირითადად, მე ვადარებ ამ განცხადებას მათემატიკასთან, სადაც ის ყველაზე ხშირად გვხვდება. ისინი ასევე ამბობენ, რომ ჯართს აკუმულებენ - ეს ასევე გარკვეულწილად ასოცირდება მინუსებთან.

წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ ისესხეთ 100 მანეთი. ახლა თქვენი ანგარიში: -100 რუბლი. მაშინ შენ დაფარე ეს ვალი. ასე რომ, გამოდის, რომ თქვენ შეამცირეთ (-) თქვენი ვალი (-100) იმავე ოდენობით. ვიღებთ: -100-(-100)=0

მინუსი საპირისპიროს მიუთითებს: 5-ის საპირისპირო არის -5. მაგრამ -(-5) არის საპირისპირო რიცხვი, ე.ი. ხუთი.

როგორც ხუმრობაში:

1 - სად არის ქუჩის მოპირდაპირე მხარე?

მე -2 - მეორე მხარეს

1 - და მათ თქვეს, რომ ამაზე ...

წარმოიდგინეთ სასწორი ორი თასით. ის ფაქტი, რომ მარჯვენა თასზე ყოველთვის არის პლუსის ნიშანი, მარცხენა თასზე - მინუს. ახლა, პლიუს ნიშნით რიცხვზე გამრავლება ნიშნავს, რომ ეს ხდება იმავე თასზე, ხოლო რიცხვზე მინუს ნიშნით გამრავლება ნიშნავს, რომ შედეგი გადაიტანება სხვა თასში. მაგალითები. 5 ვაშლს ვამრავლებთ 2-ზე. მარჯვენა თასზე ვიღებთ 10 ვაშლს. ვამრავლებთ - 5 ვაშლს 2-ზე, მარცხენა თასზე ვიღებთ 10 ვაშლს, ანუ -10. ახლა გავამრავლოთ -5 -2-ზე. ეს ნიშნავს, რომ მარცხენა თასზე 5 ვაშლი გამრავლებულია 2-ზე და გადადის მარჯვენა თასში, ანუ პასუხი არის 10. საინტერესოა, რომ პლუსის გამრავლება მინუსზე, ანუ ვაშლის მარჯვენა თასზე აქვს უარყოფითი შედეგი, ანუ. ვაშლი მარცხნივ მიდის. და მინუს დარჩენილი ვაშლის პლიუსზე გამრავლება ტოვებს მათ მინუსში, მარცხენა თასზე.

ვფიქრობ, ამის დემონსტრირება შესაძლებელია შემდეგი გზით. თუ ხუთ ვაშლს ხუთ კალათაში ჩაყრით, მაშინ სულ 25 ვაშლი იქნება. კალათებში. და მინუს ხუთი ვაშლი ნიშნავს, რომ მე არ შევატყობინე, მაგრამ ამოვიღე ხუთი კალათიდან. და აღმოჩნდა იგივე 25 ვაშლი, მაგრამ არა კალათებში. ამიტომ, კალათები მიდის მინუსად.

ამის დემონსტრირება ასევე შეგიძლიათ შემდეგი მაგალითით. თუ შენს სახლს ცეცხლი ეკიდა, ეს მინუსია. მაგრამ თუ დაგავიწყდათ აბანოში ონკანის გამორთვა და დაიწყეთ წყალდიდობა, მაშინ ეს ასევე მინუსია. მაგრამ ეს ცალკეა. მაგრამ თუ ეს ყველაფერი ერთდროულად მოხდა, მაშინ მინუს მინუს იძლევა პლუსს და თქვენს ბინას აქვს გადარჩენის შანსი.

1) რატომ არის მინუს ერთი გამრავლებული მინუს ერთი ტოლია პლუს ერთი?
2) რატომ არის მინუს ერთჯერ პლუს ერთი უდრის მინუს ერთი?

"ჩემი მტრის მტერი ჩემი მეგობარია."

უმარტივესი პასუხია: „იმიტომ, რომ ეს არის უარყოფით რიცხვებთან მუშაობის წესები“. წესები, რომლებსაც სკოლაში ვსწავლობთ და მთელი ცხოვრება ვიყენებთ. თუმცა, სახელმძღვანელოებში არ არის განმარტებული, რატომ არის წესები ასეთი. ამის გაგებას ჯერ არითმეტიკის განვითარების ისტორიიდან შევეცდებით, შემდეგ კი ამ კითხვას თანამედროვე მათემატიკის თვალსაზრისით ვუპასუხებთ.

დიდი ხნის წინ ხალხისთვის ცნობილი იყო მხოლოდ ნატურალური რიცხვები: 1, 2, 3, ... მათ იყენებდნენ ჭურჭლის, მტაცებლის, მტრების დასათვლელად და ა.შ. მაგრამ თავად რიცხვები საკმაოდ გამოუსადეგარია - თქვენ უნდა შეძლოთ დამუშავება. მათ. შეკრება გასაგები და გასაგებია და გარდა ამისა, ორი ნატურალური რიცხვის ჯამიც ნატურალური რიცხვია (მათემატიკოსი იტყვის, რომ ნატურალური რიცხვების სიმრავლე დახურულია შეკრების მოქმედებით). გამრავლება, ფაქტობრივად, იგივე შეკრებაა, თუ ვსაუბრობთ ნატურალურ რიცხვებზე. ცხოვრებაში ხშირად ვასრულებთ ამ ორ ოპერაციასთან დაკავშირებულ მოქმედებებს (მაგალითად, ვაჭრობისას ვამატებთ და ვამრავლებთ) და უცნაურია ვიფიქროთ, რომ ჩვენი წინაპრები მათ ნაკლებად ხვდებოდნენ - შეკრება და გამრავლება კაცობრიობამ ძალიან დიდი ხნის განმავლობაში აითვისა. წინ. ხშირად საჭიროა ერთი სიდიდის მეორეზე გაყოფა, მაგრამ აქ შედეგი ყოველთვის ნატურალური რიცხვით არ გამოიხატება – ასე გაჩნდა წილადი რიცხვები.

VII საუკუნის ინდურ დოკუმენტებში უარყოფითი რიცხვები ჩნდება; ჩინელებმა, როგორც ჩანს, მათი გამოყენება ცოტა ადრე დაიწყეს. ისინი იყენებდნენ ვალების აღრიცხვას ან შუალედურ გამოთვლებში განტოლებების ამოხსნის გასამარტივებლად - ეს იყო მხოლოდ ინსტრუმენტი დადებითი პასუხის მისაღებად. იმ ფაქტმა, რომ უარყოფითი რიცხვები, განსხვავებით პოზიტიურისგან, არ გამოხატავს რაიმე სუბიექტის არსებობას, გამოიწვია ძლიერი უნდობლობა. ხალხი ფაქტიურად ერიდებოდა უარყოფით რიცხვებს: თუ პრობლემა უარყოფით პასუხს იღებდა, თვლიდნენ, რომ პასუხი საერთოდ არ იყო. ეს უნდობლობა ძალიან დიდხანს გაგრძელდა და დეკარტმაც კი - თანამედროვე მათემატიკის ერთ-ერთმა "დამფუძნებელმა" - მათ "ცრუ" უწოდა (მე-17 საუკუნეში!).

განვიხილოთ, მაგალითად, განტოლება 7x - 17 = 2x - 2. მისი გადაჭრა შეიძლება ასე: გადაიტანეთ ტერმინები უცნობის მარცხნივ, ხოლო დანარჩენი მარჯვნივ, გამოვა. 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3. ამ ამოხსნით ჩვენ არც კი შევხვდით უარყოფით რიცხვებს.

მაგრამ შეიძლება შემთხვევით სხვაგვარად მოიქცეს: გადაიტანოთ ტერმინები უცნობის მარჯვენა მხარეს და მიიღეთ 2 - 17 = 2x - 7x , (-15) = (-5)x. უცნობის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ ერთი უარყოფითი რიცხვი მეორეზე: x = (-15)/(-5). მაგრამ სწორი პასუხი ცნობილია და ამის დასკვნა რჩება (-15)/(-5) = 3 .

რას აჩვენებს ეს მარტივი მაგალითი? პირველი, ნათელი ხდება ლოგიკა, რომელიც განსაზღვრავს უარყოფით რიცხვებზე მოქმედების წესებს: ამ მოქმედებების შედეგები უნდა ემთხვეოდეს პასუხებს, რომლებიც მიიღება სხვაგვარად, უარყოფითი რიცხვების გარეშე. მეორეც, უარყოფითი რიცხვების გამოყენების დაშვებით, ჩვენ თავიდან ავიცილებთ დამღლელი (თუ განტოლება უფრო რთული აღმოჩნდება, ტერმინების დიდი რაოდენობით) ძიებას ამოხსნის გზაზე, რომელშიც ყველა მოქმედება შესრულებულია მხოლოდ ნატურალურ რიცხვებზე. უფრო მეტიც, ჩვენ აღარ შეგვიძლია ყოველ ჯერზე ვიფიქროთ გარდაქმნილი რაოდენობების მნიშვნელოვნებაზე - და ეს უკვე ნაბიჯია მათემატიკა აბსტრაქტულ მეცნიერებად გადაქცევისაკენ.

შედეგად, ახალი კონცეფცია გამოჩნდა: ბეჭედი. ეს მხოლოდ ელემენტების თაიგულია, პლუს მოქმედებები, რომლებიც შეიძლება შესრულდეს მათზე. აქ ფუნდამენტური წესები მხოლოდ წესებია (მათ ე.წ აქსიომები) რომელსაც ექვემდებარება მოქმედებები და არა ნაკრების ელემენტების ბუნება (აი, აბსტრაქციის ახალი დონე!). იმის ხაზგასასმელად, რომ აქსიომების შემოტანის შემდეგ წარმოქმნილი სტრუქტურა მნიშვნელოვანია, მათემატიკოსები ამბობენ: მთელი რიცხვების რგოლი, მრავალწევრების რგოლი და ა.შ.

ბეჭედიეწოდება კომპლექტი ორი ორობითი მოქმედებით (ანუ რგოლის ორი ელემენტი მონაწილეობს თითოეულ ოპერაციაში), რომელსაც ტრადიციულად უწოდებენ შეკრებას და გამრავლებას და შემდეგი აქსიომები:

რგოლის ელემენტების დამატება ემორჩილება ცვლილებებს ( A + B = B + Aნებისმიერი ელემენტისთვის ადა ბ) და ასოციაციური ( A + (B + C) = (A + B) + C) კანონები; ბეჭედი შეიცავს სპეციალურ ელემენტს 0 (ნეიტრალური ელემენტი დამატებით) ისეთი, რომ A + 0 = Aდა ნებისმიერი ელემენტისთვის აარსებობს საპირისპირო ელემენტი (აღნიშნეს (-A)), რა A + (-A) = 0 ;
გამრავლება ემორჩილება კომბინაციის კანონს: A (B C) = (A B) C ;
შეკრება და გამრავლება დაკავშირებულია შემდეგი ფრჩხილების გაფართოების წესებით: (A + B) C = A C + B Cდა A (B + C) = A B + A C .

აღვნიშნავთ, რომ რგოლები, ყველაზე ზოგად კონსტრუქციაში, არ საჭიროებს გამრავლებას, რომ იყოს შეუქცევადი (ანუ ყოველთვის არ არის შესაძლებელი გაყოფა), არც ერთეულის, ნეიტრალური ელემენტის არსებობას. გამრავლების მიმართ. თუ ეს აქსიომები დაინერგება, მაშინ მიიღება სხვა ალგებრული სტრუქტურები, მაგრამ რგოლებისთვის დადასტურებული ყველა თეორემა მათში ჭეშმარიტი იქნება.

ჩვენ ახლა ვამტკიცებთ ამას ნებისმიერი ელემენტისთვის ადა ბთვითნებური ბეჭედი მართალია, პირველ რიგში, (-A) B = -(A B)და მეორეც (-(-A)) = ა. აქედან, განცხადებები ერთეულების შესახებ მარტივად მოჰყვება: (-1) 1 = -(1 1) = -1და (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1 .

ამისათვის ჩვენ უნდა დავადგინოთ რამდენიმე ფაქტი. ჯერ ვამტკიცებთ, რომ თითოეულ ელემენტს შეიძლება ჰქონდეს მხოლოდ ერთი საპირისპირო. მართლაც, ნება ელემენტს აარსებობს ორი საპირისპირო: ბდა FROM. ე.ი A + B = 0 = A + C. განიხილეთ ჯამი A+B+C. ასოციაციური და შემცვლელი კანონებისა და ნულის თვისების გამოყენებით, მივიღებთ, რომ, ერთი მხრივ, ჯამი უდრის ბ: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, ხოლო მეორე მხრივ უდრის C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. ნიშნავს, B=C .

ახლავე აღვნიშნოთ ეს ა, და (-(-A))ერთი და იგივე ელემენტის საპირისპიროა (-A)ასე რომ, ისინი უნდა იყოს თანაბარი.

პირველი ფაქტი ასე გამოიყურება: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, ე.ი (-A) Bსაწინააღმდეგო A B, ასე რომ უდრის - (A B) .

მათემატიკურად მკაცრი რომ ვიყოთ, ავხსნათ რატომ 0 B = 0ნებისმიერი ელემენტისთვის ბ. Ნამდვილად, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. ანუ დამატება 0 ბთანხას არ ცვლის. ასე რომ, ეს პროდუქტი ნულის ტოლია.

ევგენი ეპიფანოვი, დედამიწა (სოლ III).

მართლაც, რატომ? უმარტივესი პასუხია: „იმიტომ, რომ ეს არის უარყოფით რიცხვებთან მუშაობის წესები“. წესები, რომლებსაც სკოლაში ვსწავლობთ და მთელი ცხოვრება ვიყენებთ. თუმცა, სახელმძღვანელოებში არ არის განმარტებული, რატომ არის წესები ასეთი. გავიხსენეთ - ესე იგი და კითხვა აღარ დავსვათ.

და ვიკითხოთ...

გამოკლება, რა თქმა უნდა, ასევე შეუცვლელია. მაგრამ პრაქტიკაში, ჩვენ მიდრეკილნი ვართ გამოვაკლოთ პატარა რიცხვი უფრო დიდ რიცხვს და არ არის საჭირო უარყოფითი რიცხვების გამოყენება. (თუ მე მაქვს 5 კანფეტი და 3-ს ვაჩუქებ ჩემს დას, მაშინ მექნება 5 - 3 = 2 კანფეტი, მაგრამ მას 7 კანფეტს მთელი ჩემი სურვილით ვერ ვაჩუქებ). დიდი ხანის განმვლობაში.

VII საუკუნის ინდურ დოკუმენტებში უარყოფითი რიცხვები ჩნდება; ჩინელებმა, როგორც ჩანს, მათი გამოყენება ცოტა ადრე დაიწყეს. ისინი იყენებდნენ ვალების აღრიცხვას ან შუალედურ გამოთვლებში განტოლებების ამოხსნის გასამარტივებლად - ეს იყო მხოლოდ ინსტრუმენტი დადებითი პასუხის მისაღებად. იმ ფაქტმა, რომ უარყოფითი რიცხვები, განსხვავებით პოზიტიურისგან, არ გამოხატავს რაიმე სუბიექტის არსებობას, გამოიწვია ძლიერი უნდობლობა. ხალხი ფაქტიურად ერიდებოდა უარყოფით რიცხვებს: თუ პრობლემა უარყოფით პასუხს იღებდა, თვლიდნენ, რომ პასუხი საერთოდ არ იყო. ეს უნდობლობა ძალიან დიდხანს გაგრძელდა და დეკარტმაც კი - თანამედროვე მათემატიკის ერთ-ერთმა "დამფუძნებელმა" - მათ "ცრუ" უწოდა (მე-17 საუკუნეში!).

განვიხილოთ განტოლება 7x - 17 \u003d 2x - 2. მისი ამოხსნა შესაძლებელია შემდეგნაირად: გადაიტანეთ ტერმინები უცნობით მარცხენა მხარეს, ხოლო დანარჩენი მარჯვნივ, მიიღებთ 7x - 2x \u003d 17 - 2, 5x \u003d 15, x \u003d 3. ამით ჩვენ ხსნარში უარყოფითი რიცხვებიც კი არ შეგვხვედრია.

მაგრამ ეს შეიძლებოდა სხვაგვარად გაკეთებულიყო: გადაიტანეთ უცნობის მქონე ტერმინები მარჯვენა მხარეს და მიიღეთ 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x. უცნობის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ ერთი უარყოფითი რიცხვი მეორეზე: x = (-15)/(-5). მაგრამ სწორი პასუხი ცნობილია და უნდა დავასკვნათ, რომ (-15)/(-5) = 3.

რგოლის ელემენტების დამატება ემორჩილება კომუტატიურ (A + B = B + A ნებისმიერი ელემენტისთვის A და B) და კომბინაციურ (A + (B + C) = (A + B) + C) კანონებს; რგოლს აქვს სპეციალური ელემენტი 0 (დამატების ნეიტრალური) ისეთი, რომ A + 0 = A, და A-ს ნებისმიერი ელემენტისთვის არის საპირისპირო ელემენტი (აღნიშნავს (-A)) ისეთი, რომ A + (-A) = 0;
- გამრავლება ემორჩილება კომბინაციის კანონს: A (B C) = (A B) C;
შეკრება და გამრავლება დაკავშირებულია ფრჩხილების გაფართოების შემდეგი წესებით: (A + B) C = A C + B C და A (B + C) = A B + A C.

ახლა დავამტკიცოთ, რომ თვითნებური რგოლის ნებისმიერი A და B ელემენტისთვის, ჯერ ერთი, (-A) B = -(A B), და მეორეც (-(-A)) = A. ეს ადვილად გულისხმობს განცხადებებს ერთეულების შესახებ: (- 1) 1 = -(1 1) = -1 და (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

ამისათვის ჩვენ უნდა დავადგინოთ რამდენიმე ფაქტი. ჯერ ვამტკიცებთ, რომ თითოეულ ელემენტს შეიძლება ჰქონდეს მხოლოდ ერთი საპირისპირო. მართლაც, A ელემენტს ჰქონდეს ორი საპირისპირო: B და C. ანუ A + B = 0 = A + C. განვიხილოთ ჯამი A + B + C. ასოციაციური და კომუტაციური კანონების და ნულის თვისების გამოყენებით, ჩვენ მიიღეთ, რომ, ერთი მხრივ, ჯამი უდრის B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, ხოლო მეორეს მხრივ, უდრის C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. აქედან გამომდინარე, B = C.

ახლა გაითვალისწინეთ, რომ A და (-(-A)) ერთი და იგივე ელემენტის საპირისპიროა (-A), ამიტომ ისინი ტოლი უნდა იყვნენ.

პირველი ფაქტი მიიღება შემდეგნაირად: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, ანუ (-A) B არის A B-ის საპირისპირო, ამიტომ უდრის - (AB).

მათემატიკურად მკაცრი რომ ვიყოთ, ასევე ავხსნათ რატომ 0·B = 0 B-ის რომელიმე ელემენტისთვის. მართლაც, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. ანუ 0 B-ის დამატება არ ცვლის ჯამს. ასე რომ, ეს პროდუქტი ნულის ტოლია.

ევგენი ეპიფანოვი

მათემატიკის მასწავლებლის მოსმენისას მოსწავლეთა უმეტესობა მასალას აქსიომად აღიქვამს. ამავდროულად, ცოტა ადამიანი ცდილობს ბოლოში ჩასვლას და იმის გარკვევას, თუ რატომ იძლევა „მინუს“ „პლუს“ „მინუს“ ნიშანს და როცა ორი უარყოფითი რიცხვი მრავლდება, გამოდის დადებითი.

მათემატიკის კანონები

მოზრდილების უმეტესობას არ შეუძლია აუხსნას საკუთარ თავს ან შვილებს რატომ ხდება ეს. სკოლაში საფუძვლიანად ისწავლეს ეს მასალა, მაგრამ არც უცდიათ გაერკვია, საიდან გაჩნდა ასეთი წესები. მაგრამ ამაოდ. ხშირად, თანამედროვე ბავშვები არც ისე გულგრილები არიან, მათ უნდა ჩაწვდნენ საკითხს და გაიგონ, ვთქვათ, რატომ იძლევა „მინუსზე“ „პლუს“ „მინუსს“. და ზოგჯერ ბიჭები განზრახ სვამენ სახიფათო კითხვებს, რათა ისიამოვნონ იმ მომენტით, როდესაც მოზარდები ვერ გასცემენ გასაგებ პასუხს. და ეს ნამდვილად კატასტროფაა, თუ ახალგაზრდა მასწავლებელს პრობლემები შეექმნა ...

სხვათა შორის, უნდა აღინიშნოს, რომ ზემოთ აღნიშნული წესი მოქმედებს როგორც გამრავლებაზე, ასევე გაყოფაზე. უარყოფითი და დადებითი რიცხვის ნამრავლი მისცემს მხოლოდ "მინუსს". თუ ვსაუბრობთ ორ ციფრზე "-" ნიშნით, მაშინ შედეგი იქნება დადებითი რიცხვი. იგივე ეხება გაყოფას. თუ ერთ-ერთი რიცხვები უარყოფითია, მაშინ კოეფიციენტიც იქნება "-" ნიშნით.

მათემატიკის ამ კანონის სისწორის ასახსნელად აუცილებელია ბეჭდის აქსიომების ჩამოყალიბება. მაგრამ ჯერ უნდა გესმოდეთ რა არის ეს. მათემატიკაში, ჩვეულებრივ, ბეჭედს ვუწოდებთ კომპლექტს, რომელშიც ჩართულია ორი ოპერაცია ორი ელემენტით. მაგრამ უმჯობესია ამის გაგება მაგალითით.

ბეჭდის აქსიომა

არსებობს რამდენიმე მათემატიკური კანონი.

პირველი მათგანი ცვალებადია, მისი თქმით, C + V = V + C.
მეორეს ეწოდება ასოციაციური (V + C) + D = V + (C + D).

გამრავლება (V x C) x D \u003d V x (C x D) ასევე ემორჩილება მათ.

არავინ გააუქმა წესები, რომლითაც იხსნება ფრჩხილები (V + C) x D = V x D + C x D, ასევე მართალია, რომ C x (V + D) = C x V + C x D.

გარდა ამისა, დადგენილია, რომ რგოლში შეიძლება შევიდეს სპეციალური, მიმატება-ნეიტრალური ელემენტი, რომლის გამოყენებითაც მართალი იქნება: C + 0 = C. გარდა ამისა, ყოველი C-სთვის არის საპირისპირო ელემენტი, რომელსაც შეუძლია აღინიშნება როგორც (-C). ამ შემთხვევაში, C + (-C) \u003d 0.

უარყოფითი რიცხვებისთვის აქსიომების გამოყვანა

ზემოაღნიშნული განცხადებების მიღებით შეგვიძლია ვუპასუხოთ კითხვას: „პლუს“ „მინუს“ რა ნიშანს იძლევა? უარყოფითი რიცხვების გამრავლების შესახებ აქსიომების ცოდნა, აუცილებელია იმის დადასტურება, რომ მართლაც (-C) x V = -(C x V). და ასევე, რომ შემდეგი ტოლობა მართალია: (-(-C)) = C.

ამისათვის ჯერ უნდა დავამტკიცოთ, რომ თითოეულ ელემენტს ჰყავს მხოლოდ ერთი საპირისპირო „ძმა“. განვიხილოთ შემდეგი მტკიცებულების მაგალითი. შევეცადოთ წარმოვიდგინოთ, რომ ორი რიცხვი საპირისპიროა C - V და D. აქედან გამომდინარეობს, რომ C + V = 0 და C + D = 0, ანუ C + V = 0 = C + D. გადაადგილების კანონების დამახსოვრება ხოლო რიცხვი 0-ის თვისებების შესახებ შეგვიძლია განვიხილოთ სამივე რიცხვის ჯამი: C, V და D. მოდით, ვცადოთ V-ის მნიშვნელობა. ლოგიკურია, რომ V = V + 0 = V + (C + დ) = V + C + D, რადგან C + D-ის მნიშვნელობა, როგორც ზემოთ იქნა მიღებული, უდრის 0-ს. აქედან გამომდინარე, V = V + C + D.

D-ის მნიშვნელობა ასევე მიღებულია: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. ამის საფუძველზე ირკვევა, რომ V = D.

იმის გასაგებად, თუ რატომ, მიუხედავად ამისა, "პლუს" "მინუსზე" იძლევა "მინუსს", თქვენ უნდა გესმოდეთ შემდეგი. ასე რომ, ელემენტისთვის (-C), საპირისპიროა C და (-(-C)), ანუ ისინი ერთმანეთის ტოლია.

მაშინ აშკარაა, რომ 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. აქედან გამომდინარეობს, რომ C x V არის საპირისპირო (-) C x V , რაც ნიშნავს (- C) x V = -(C x V).

სრული მათემატიკური სიმკაცრისთვის, ასევე აუცილებელია დაადასტუროთ, რომ 0 x V = 0 ნებისმიერი ელემენტისთვის. თუ დაიცავთ ლოგიკას, მაშინ 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. ეს ნიშნავს, რომ პროდუქტის 0 x V დამატება არანაირად არ ცვლის დადგენილ რაოდენობას. ყოველივე ამის შემდეგ, ეს პროდუქტი ნულის ტოლია.

ყველა ამ აქსიომების ცოდნით, შესაძლებელია არა მხოლოდ იმის დასკვნა, თუ რამდენს იძლევა „პლუს“ „მინუს“-ით, არამედ რა ხდება უარყოფითი რიცხვების გამრავლებისას.

ორი რიცხვის გამრავლება და გაყოფა "-" ნიშნით

თუ არ ჩაუღრმავდებით მათემატიკურ ნიუანსებს, მაშინ შეგიძლიათ სცადოთ მოქმედების წესების ახსნა უარყოფითი რიცხვებით უფრო მარტივი გზით.

დავუშვათ, რომ C - (-V) = D, ამის საფუძველზე, C = D + (-V), ანუ C = D - V. გადავიტანთ V და მივიღებთ, რომ C + V = D. ანუ C. + V = C - (-V). ეს მაგალითი განმარტავს, თუ რატომ უნდა შეიცვალოს გამონათქვამში, სადაც ზედიზედ ორი „მინუსია“, აღნიშნული ნიშნები უნდა შეიცვალოს „პლუსზე“. ახლა მოდით გამრავლებას გავუმკლავდეთ.

(-C) x (-V) \u003d D, ორი იდენტური პროდუქტი შეიძლება დაემატოს და გამოკლდეს გამოსახულებას, რომელიც არ შეცვლის მის მნიშვნელობას: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

ფრჩხილებთან მუშაობის წესების გახსენებით, ჩვენ ვიღებთ:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

აქედან გამომდინარეობს, რომ C x V \u003d (-C) x (-V).

ანალოგიურად, შეგვიძლია დავამტკიცოთ, რომ ორი უარყოფითი რიცხვის გაყოფის შედეგი დადებითი იქნება.

ზოგადი მათემატიკური წესები

რა თქმა უნდა, ასეთი ახსნა არ არის შესაფერისი დაწყებითი სკოლის მოსწავლეებისთვის, რომლებიც ახლა იწყებენ აბსტრაქტული უარყოფითი რიცხვების სწავლას. მათთვის უმჯობესია ახსნან ხილულ ობიექტებზე, მანიპულირებენ ნაცნობი ტერმინით შუშის მიღმა. მაგალითად, იქ არის გამოგონილი, მაგრამ არა არსებული სათამაშოები. მათი ჩვენება შესაძლებელია "-" ნიშნით. ორი სათვალე ობიექტის გამრავლება მათ სხვა სამყაროში გადაჰყავს, რაც უტოლდება აწმყოს, ანუ შედეგად გვაქვს დადებითი რიცხვები. მაგრამ აბსტრაქტული უარყოფითი რიცხვის დადებითზე გამრავლება მხოლოდ ყველასთვის ნაცნობ შედეგს იძლევა. ყოველივე ამის შემდეგ, "პლუს" გამრავლებული "მინუსზე" იძლევა "მინუსს". მართალია, ბავშვები ძალიან არ ცდილობენ ჩაუღრმავდნენ ყველა მათემატიკურ ნიუანსს.

თუმცა, თუ სიმართლეს შეხვდებით, ბევრი ადამიანისთვის, თუნდაც უმაღლესი განათლების მქონე, ბევრი წესი საიდუმლოდ რჩება. ყველა თავისთავად თვლის იმას, რასაც მასწავლებლები ასწავლიან, და არ კარგავენ ჩაუღრმავდნენ ყველა იმ სირთულეს, რომლითაც მათემატიკა სავსეა. "მინუს" "მინუსზე" იძლევა "პლუს" - ყველამ იცის ამის შესახებ გამონაკლისის გარეშე. ეს მართალია როგორც მთელი, ასევე წილადი რიცხვებისთვის.

ყურადღება, მხოლოდ დღეს!

დახარისხების მეთოდები პროგრამირებაში: Bubble Sorting

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის მომზადება

მათემატიკის კანონები

ბეჭდის აქსიომა

უარყოფითი რიცხვებისთვის აქსიომების გამოყვანა

ორი რიცხვის გამრავლება და გაყოფა "-" ნიშნით

ზოგადი მათემატიკური წესები

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ