ნაწარმოების ტექსტი განთავსებულია გამოსახულების და ფორმულების გარეშე.
ნამუშევრის სრული ვერსია ხელმისაწვდომია ჩანართში "სამუშაო ფაილები" PDF ფორმატში

შესავალი

რიცხვების სამყარო ძალიან იდუმალი და საინტერესოა. რიცხვები ძალიან მნიშვნელოვანია ჩვენს სამყაროში. მინდა რაც შეიძლება მეტი ვისწავლო რიცხვების წარმოშობის შესახებ, მათი მნიშვნელობის შესახებ ჩვენს ცხოვრებაში. როგორ გამოვიყენოთ ისინი და რა როლს ასრულებენ ისინი ჩვენს ცხოვრებაში?

შარშან მათემატიკის გაკვეთილებზე დავიწყეთ თემის „დადებითი და უარყოფითი რიცხვების“ შესწავლა. კითხვა გამიჩნდა, როდის გაჩნდა უარყოფითი რიცხვები, რომელ ქვეყანაში, რომელ მეცნიერებს შეეხო ეს საკითხი. ვიკიპედიაში წავიკითხე, რომ უარყოფითი რიცხვი არის უარყოფითი რიცხვების სიმრავლის ელემენტი, რომელიც (ნულთან ერთად) გამოჩნდა მათემატიკაში ნატურალური რიცხვების სიმრავლის გაფართოებისას. გაფართოების მიზანია ნებისმიერი რიცხვისთვის გამოკლების ოპერაციის უზრუნველყოფა. გაფართოების შედეგად მიიღება მთელი რიცხვების სიმრავლე (რგოლი), რომელიც შედგება დადებითი (ბუნებრივი) რიცხვებისგან, უარყოფითი რიცხვებისგან და ნულისაგან.

შედეგად, გადავწყვიტე გამომეკვლია უარყოფითი რიცხვების გაჩენის ისტორია.

ამ ნაშრომის მიზანია უარყოფითი და დადებითი რიცხვების გაჩენის ისტორიის შესწავლა.

კვლევის ობიექტი - უარყოფითი რიცხვები და დადებითი რიცხვები

დადებითი და უარყოფითი რიცხვების ისტორია

ხალხი დიდხანს ვერ ეგუებოდა უარყოფით რიცხვებს. უარყოფითი რიცხვები მათთვის გაუგებარი ჩანდა, მათ არ იყენებდნენ, უბრალოდ მათში დიდ მნიშვნელობას ვერ ხედავდნენ. ეს რიცხვები გაცილებით გვიან გამოჩნდა, ვიდრე ნატურალური რიცხვები და ჩვეულებრივი წილადები.

უარყოფითი რიცხვების შესახებ პირველი ინფორმაცია ჩინელ მათემატიკოსებს შორის ძვ.წ. ძვ.წ ე. შემდეგ კი ცნობილი იყო მხოლოდ დადებითი და უარყოფითი რიცხვების შეკრებისა და გამოკლების წესები; გამრავლებისა და გაყოფის წესები არ იყო გამოყენებული.

დადებით სიდიდეებს ჩინურ მათემატიკაში ეწოდებოდა „ჩენ“, უარყოფითს – „ფუ“; ისინი გამოსახული იყო სხვადასხვა ფერებში: "ჩენ" - წითელი, "ფუ" - შავი. ეს ჩანს წიგნში არითმეტიკა ცხრა თავში (ავტორი ჟანგ ქანი). წარმოდგენის ეს მეთოდი გამოიყენებოდა ჩინეთში მე-12 საუკუნის შუა პერიოდამდე, სანამ ლი იე არ შემოგვთავაზა უარყოფითი რიცხვების უფრო მოსახერხებელი აღნიშვნა - რიცხვები, რომლებიც ასახავდნენ უარყოფით რიცხვებს, გადახაზავდნენ ტირეთ ირიბად მარჯვნიდან მარცხნივ.

მხოლოდ VII საუკუნეში ინდოელმა მათემატიკოსებმა დაიწყეს უარყოფითი რიცხვების ფართო გამოყენება, მაგრამ მათ გარკვეული უნდობლობით უყურებდნენ. ბჰაშარა პირდაპირ წერდა: "ხალხი არ ამტკიცებს აბსტრაქტულ უარყოფით რიცხვებს ...". აი, როგორ ჩამოაყალიბა ინდოელი მათემატიკოსი ბრაჰმაგუპტა შეკრებისა და გამოკლების წესებს: „ქონება და ქონება საკუთრებაა, ორი ვალის ჯამი ვალია; ქონების ჯამი და ნული არის ქონება; ორი ნულის ჯამი არის ნული ... ვალი, რომელიც გამოკლებულია ნულისგან, ხდება საკუთრება, ხოლო ქონება ვალებად. თუ საჭიროა ვალიდან ქონების აღება, ქონებიდან კი ვალი, მაშინ იღებენ მათ თანხას. „ორი ქონების ჯამი არის საკუთრება“.

(+x) + (+y) = +(x + y)‎ (-x) + (-y) = - (x + y)‎

(-x) + (+y) = - (x - y)‎ (-x) + (+y) = +(y - x)‎

0 - (-x) = +x 0 - (+x) = -x

დადებით რიცხვებს ინდიელები უწოდებდნენ "დჰანა" ან "სვა" (საკუთრება), ხოლო უარყოფითებს - "რინა" ან "კშაია" (ვალი). ინდოელი მეცნიერები, რომლებიც ცდილობდნენ ეპოვათ ცხოვრებაში ასეთი გამოკლების მაგალითები, მივიდნენ მისი ინტერპრეტაციით სავაჭრო გამოთვლების თვალსაზრისით. თუ ვაჭარს აქვს 5000 რ. და ყიდულობს საქონელს 3000 რუბლს, მას აქვს 5000 - 3000 \u003d 2000, რ. თუ მას აქვს 3000 მანეთი და ყიდულობს 5000 რუბლს, მაშინ ის რჩება ვალში 2000 მანეთი. ამის შესაბამისად, ითვლებოდა, რომ აქ კეთდება 3000 - 5000 გამოკლება, მაგრამ შედეგი არის რიცხვი 2000 ზედა წერტილით, რაც ნიშნავს "ორი ათასი ვალი". ეს ინტერპრეტაცია ხელოვნური იყო, ვაჭარმა ვერასოდეს იპოვა ვალის ოდენობა 3000 - 5000-ის გამოკლებით, მაგრამ ყოველთვის აკლდა 5000 - 3000.

ცოტა მოგვიანებით, ძველ ინდოეთსა და ჩინეთში, მათ გამოიცნეს სიტყვების „10 იუანის ვალი“ ნაცვლად, უბრალოდ დაეწერათ „10 იუანი“, მაგრამ ეს იეროგლიფები შავი მელნით დახატეს. და ნიშნები "+" და "-" ძველ დროში არ იყო არც რიცხვებისთვის და არც მოქმედებებისთვის.

ბერძნებიც თავიდან არ იყენებდნენ ნიშანს. ძველი ბერძენი მეცნიერი დიოფანტე საერთოდ არ ცნობდა უარყოფით რიცხვებს და თუ განტოლების ამოხსნისას უარყოფითი ფესვი მიიღეს, მაშინ ის უარყო, როგორც "მიუწვდომელი". ხოლო დიოფანტე ცდილობდა პრობლემების ჩამოყალიბებას და განტოლებებს ისე, რომ თავიდან აეცილებინა უარყოფითი ფესვები, მაგრამ მალე დიოფანტე ალექსანდრიელმა გამოკლების აღნიშვნა დაიწყო ნიშნით.

დადებით და უარყოფით რიცხვებთან ურთიერთობის წესები შემოთავაზებული იქნა ჯერ კიდევ მე-3 საუკუნეში ეგვიპტეში. ნეგატიური რაოდენობების დანერგვა პირველად დიოფანტში მოხდა. მათთვის განსაკუთრებული ხასიათიც კი გამოიყენა. ამავდროულად, დიოფანტე იყენებს მეტყველების ისეთ მონაცვლეობას, როგორიცაა „მოდით, ორივე მხარეს დავუმატოთ უარყოფითი“ და აყალიბებს ნიშნების წესსაც: „უარყოფით გამრავლებული უარყოფითზე იძლევა დადებითს, ხოლო უარყოფითი გამრავლებული დადებითზე იძლევა. უარყოფითი.”

ევროპაში უარყოფითი რიცხვების გამოყენება დაიწყო მე-12-13 საუკუნეებიდან, მაგრამ მე-16 საუკუნემდე. მეცნიერთა უმეტესობა მათ თვლიდა "ცრუ", "წარმოსახვით" ან "აბსურდულად", დადებითი რიცხვებისგან განსხვავებით - "მართალი". დადებითი რიცხვები ასევე ინტერპრეტირებული იყო, როგორც "საკუთრება", ხოლო უარყოფითი რიცხვები - როგორც "ვალი", "დეფიციტი". ცნობილი მათემატიკოსი ბლეზ პასკალიც კი ამტკიცებდა, რომ 0 − 4 = 0, რადგან არაფერი არ შეიძლება იყოს არაფერზე ნაკლები. ევროპაში, პიზას ლეონარდო ფიბონაჩი საკმარისად მიუახლოვდა მე -13 საუკუნის დასაწყისში უარყოფითი რაოდენობის იდეას. ფრედერიკ II-ის სასამართლო მათემატიკოსებთან პრობლემების გადაჭრის კონკურსში ლეონარდო პიზას სთხოვეს ამოცანის გადაჭრა: საჭირო იყო რამდენიმე ადამიანის კაპიტალის პოვნა. ფიბონაჩი უარყოფითია. ”ეს შემთხვევა, - თქვა ფიბონაჩიმ, - შეუძლებელია, გარდა იმისა, რომ მივიღოთ არა კაპიტალი, არამედ ვალი. თუმცა, აშკარად უარყოფითი რიცხვები პირველად გამოიყენა მე-15 საუკუნის ბოლოს ფრანგმა მათემატიკოსმა შუკეტმა. ავტორია ხელნაწერი ტრაქტატის არითმეტიკისა და ალგებრის შესახებ, რიცხვების მეცნიერება სამ ნაწილად. შუკეს სიმბოლიკა თანამედროვეს უახლოვდება.

ფრანგი მათემატიკოსის, ფიზიკოსის და ფილოსოფოსის რენე დეკარტის ნაშრომმა ხელი შეუწყო უარყოფითი რიცხვების ამოცნობას. მან შემოგვთავაზა დადებითი და უარყოფითი რიცხვების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია - მან შემოიტანა კოორდინატთა ხაზი. (1637 წ.).

დადებითი რიცხვები გამოსახულია რიცხვის ღერძზე წერტილებით, რომლებიც დევს საწყისის მარჯვნივ 0, უარყოფითი რიცხვები - მარცხნივ. დადებითი და უარყოფითი რიცხვების გეომეტრიულმა ინტერპრეტაციამ ხელი შეუწყო მათ ამოცნობას.

1544 წელს გერმანელმა მათემატიკოსმა მიხაელ შტიფელმა პირველად განიხილა უარყოფითი რიცხვები, როგორც ნულზე ნაკლები რიცხვები (ანუ "არაფერზე ნაკლები"). ამ მომენტიდან უარყოფითი რიცხვები აღარ განიხილება როგორც ვალი, არამედ სრულიად ახლებურად. თავად შტიფელი წერდა: "ნული არის ჭეშმარიტ და აბსურდულ რიცხვებს შორის..."

თითქმის ერთდროულად შტიფელთან ერთად, ბომბელი რაფაელე (დაახლოებით 1530-1572), იტალიელი მათემატიკოსი და ინჟინერი, რომელმაც ხელახლა აღმოაჩინა დიოფანტის ნამუშევარი, იცავდა უარყოფითი რიცხვების იდეას.

ანალოგიურად, ჟირარმა უარყოფითი რიცხვები საკმაოდ მისაღები და გამოსადეგი მიიჩნია, კერძოდ, რაღაცის ნაკლებობაზე მიუთითებს.

ყველა ფიზიკოსი მუდმივად ეხება რიცხვებს: ის ყოველთვის ზომავს რაღაცას, ითვლის, ითვლის. ყველგან მის ნაშრომებში - ნომრები, ნომრები და ნომრები. თუ კარგად დააკვირდებით ფიზიკოსის ჩანაწერებს, აღმოაჩენთ, რომ რიცხვების წერისას ის ხშირად იყენებს ნიშნებს „+“ და „-“. (მაგალითად: თერმომეტრი, სიღრმისა და სიმაღლის მასშტაბი)

მხოლოდ XIX საუკუნის დასაწყისში. უარყოფითი რიცხვების თეორიამ დაასრულა თავისი განვითარება და „აბსურდულმა რიცხვებმა“ საყოველთაო აღიარება მიიღეს.

რიცხვის ცნების განმარტება

თანამედროვე სამყაროში ადამიანი მუდმივად იყენებს ციფრებს, არც კი ფიქრობს მათ წარმოშობაზე. წარსულის ცოდნის გარეშე შეუძლებელია აწმყოს გაგება. რიცხვი მათემატიკის ერთ-ერთი ძირითადი ცნებაა. რიცხვის ცნება განვითარდა სიდიდეების შესწავლასთან მჭიდრო კავშირში; ეს კავშირი დღემდე გრძელდება. თანამედროვე მათემატიკის ყველა დარგში უნდა განიხილოს სხვადასხვა სიდიდეები და გამოიყენოს რიცხვები. რიცხვი არის აბსტრაქცია, რომელიც გამოიყენება ობიექტების რაოდენობრივად შესაფასებლად. პრიმიტიულ საზოგადოებაში დათვლის მოთხოვნილებებისგან წარმოქმნილი, რიცხვის ცნება შეიცვალა და გამდიდრდა და გადაიქცა ყველაზე მნიშვნელოვან მათემატიკურ კონცეფციად.

ტერმინი „რიცხვის“ მრავალი განმარტება არსებობს.

რიცხვის პირველი მეცნიერული განმარტება ევკლიდესმა მისცა თავის ელემენტებში, რომელიც მან აშკარად მემკვიდრეობით მიიღო თავისი თანამემამულე ევდოქსი კნიდუსელისაგან (დაახლოებით 408 - დაახლოებით ძვ. ერთი. რიცხვი არის ერთეულებისგან შემდგარი ნაკრები. ასე განმარტა რიცხვის ცნება რუსმა მათემატიკოსმა მაგნიტსკიმ თავის არითმეტიკაში (1703 წ.). ჯერ კიდევ ევკლიდემდე არისტოტელემ შემდეგი განმარტება მისცა: „რიცხვი არის სიმრავლე, რომელიც იზომება ერთეულების დახმარებით“. თავის „ზოგად არითმეტიკაში“ (1707) დიდი ინგლისელი ფიზიკოსი, მექანიკოსი, ასტრონომი და მათემატიკოსი ისააკ ნიუტონი წერს: „რიცხვებში ჩვენ ვგულისხმობთ არა იმდენად ერთეულების ერთობლიობას, არამედ გარკვეული რაოდენობის აბსტრაქტულ თანაფარდობას იმავე სიდიდის სხვა რაოდენობასთან. სახის, აღებული როგორც ერთეული. არსებობს სამი სახის რიცხვი: მთელი რიცხვი, წილადი და ირაციონალური. მთელი რიცხვი არის ის, რაც იზომება ერთეულით; წილადი - ერთეულის ჯერადი, ირაციონალური - რიცხვი, რომელიც არ არის ერთეულის შესაბამისი.

მარიუპოლის მათემატიკოსმა S.F. კლიუიკოვმა ასევე შეიტანა წვლილი რიცხვის ცნების განსაზღვრაში: ”რიცხვები არის რეალური სამყაროს მათემატიკური მოდელები, რომლებიც გამოიგონა ადამიანმა თავისი ცოდნისთვის”. მან ასევე შემოიტანა ეგრეთ წოდებული "ფუნქციური რიცხვები" რიცხვების ტრადიციულ კლასიფიკაციაში, რაც ნიშნავს იმას, რასაც ჩვეულებრივ უწოდებენ ფუნქციებს მთელ მსოფლიოში.

ობიექტების დათვლისას წარმოიქმნა ბუნებრივი რიცხვები. ამის შესახებ მე-5 კლასში გავიგე. შემდეგ გავიგე, რომ ადამიანის მოთხოვნილება სიდიდეების გაზომვისთვის ყოველთვის არ არის გამოხატული მთელი რიცხვით. ნატურალური რიცხვების სიმრავლის წილადებზე გაფართოების შემდეგ შესაძლებელი გახდა ნებისმიერი მთელი რიცხვის სხვა რიცხვზე გაყოფა (ნულზე გაყოფის გარდა). არის წილადი რიცხვები. მთელი რიცხვის გამოკლება სხვა რიცხვს, როცა გამოკლებული შემცირებულზე მეტია, დიდი ხნის განმავლობაში შეუძლებელი ჩანდა. ჩემთვის საინტერესო იყო ის ფაქტი, რომ დიდი ხნის განმავლობაში ბევრი მათემატიკოსი არ ცნობდა უარყოფით რიცხვებს, თვლიდნენ, რომ ისინი არ შეესაბამებოდნენ რაიმე რეალურ მოვლენას.

სიტყვების "პლუს" და "მინუს" წარმოშობა

ტერმინები მომდინარეობს სიტყვებიდან პლუს - "მეტი", მინუს - "ნაკლები". თავიდან მოქმედებები აღინიშნა პირველი ასოებით p; მ. ბევრი მათემატიკოსი ამჯობინა ან თანამედროვე ნიშნების "+", "-" გაჩენა ბოლომდე არ არის ნათელი. "+" ნიშანი ალბათ მოდის et აბრევიატურიდან, ე.ი. "და". თუმცა, ეს შეიძლება წარმოიშვა სავაჭრო პრაქტიკიდან: ღვინის გაყიდული ზომები კასრზე „-“-ით იყო მონიშნული, ხოლო მარაგის აღდგენისას ისინი გადახაზეს, მიიღეს ნიშანი „+“.

იტალიაში ფულის გამსესხებლები, რომლებიც ფულს სესხებდნენ, მოვალის სახელის წინ უსვამდნენ ვალის ოდენობას და ტირეს, როგორც ჩვენი მინუსი, და როცა მოვალე ფულს აბრუნებდა, გადახაზავდნენ, რაღაც ჩვენი პლუსის მსგავსი.

თანამედროვე ნიშნები "+" გერმანიაში მე-15 საუკუნის ბოლო ათწლეულში გამოჩნდა. ვიდმანის წიგნში, რომელიც იყო ვაჭრების ანგარიშის სახელმძღვანელო (1489). ჩეხმა იან ვიდმანმა უკვე დაწერა "+" და "-" შეკრებისა და გამოკლებისთვის.

ცოტა მოგვიანებით, გერმანელმა მეცნიერმა მიშელ შტიფელმა დაწერა სრული არითმეტიკა, რომელიც გამოიცა 1544 წელს. ის შეიცავს ასეთ ჩანაწერებს რიცხვებისთვის: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. პირველი ტიპის ნომრებს მან უწოდა "არაფერზე ნაკლები" ან "არაფერზე დაბალი". მეორე ტიპის ნომრებს მან უწოდა „არაფერზე მეტი“ ან „არაფერზე მაღალი“. რა თქმა უნდა, გესმით ეს სახელები, რადგან "არაფერი" არის 0.

უარყოფითი რიცხვები ეგვიპტეში

თუმცა, მიუხედავად ასეთი ეჭვებისა, დადებით და უარყოფით რიცხვებთან ურთიერთობის წესები უკვე შემოთავაზებული იყო მე-3 საუკუნეში ეგვიპტეში. ნეგატიური რაოდენობების დანერგვა პირველად დიოფანტში მოხდა. მათთვის სპეციალური სიმბოლოც კი გამოიყენა (ახლა ამისთვის მინუს ნიშანს ვიყენებთ). მართალია, მეცნიერები კამათობენ, დიოფანტის სიმბოლო ზუსტად უარყოფით რიცხვს ნიშნავდა თუ უბრალოდ გამოკლების მოქმედებას, რადგან დიოფანტში უარყოფითი რიცხვები არ ჩნდება იზოლირებულად, არამედ მხოლოდ დადებითი განსხვავებების სახით; და ამოცანებში პასუხად მხოლოდ რაციონალურ დადებით რიცხვებს მიიჩნევს. მაგრამ ამავდროულად, დიოფანტე იყენებს მეტყველების ისეთ მონაცვლეობას, როგორიცაა „მოდით, ორივე მხარეს დავუმატოთ უარყოფითი“ და აყალიბებს ნიშნების წესსაც: „უარყოფით გამრავლებული უარყოფითზე იძლევა დადებითს, ხოლო უარყოფითი გამრავლებული დადებითზე. იძლევა უარყოფითს“ (ის, რაც ახლა ჩვეულებრივ ფორმულირებულია: „მინუს მინუს იძლევა პლუსს, მინუს პლიუს იძლევა მინუსს“).

(-) (-) = (+), (-) (+) = (-).

უარყოფითი რიცხვები ძველ აზიაში

დადებით სიდიდეებს ჩინურ მათემატიკაში ეწოდებოდა „ჩენ“, უარყოფითს – „ფუ“; ისინი გამოსახული იყო სხვადასხვა ფერებში: "ჩენ" - წითელი, "ფუ" - შავი. წარმოდგენის ეს მეთოდი გამოიყენებოდა ჩინეთში მე-12 საუკუნის შუა პერიოდამდე, სანამ ლი იე არ შემოგვთავაზა უარყოფითი რიცხვების უფრო მოსახერხებელი აღნიშვნა - რიცხვები, რომლებიც ასახავდნენ უარყოფით რიცხვებს, გადახაზავდნენ ტირეთ ირიბად მარჯვნიდან მარცხნივ. ინდოელი მეცნიერები, რომლებიც ცდილობდნენ ეპოვათ ცხოვრებაში ასეთი გამოკლების მაგალითები, მივიდნენ მისი ინტერპრეტაციით სავაჭრო გამოთვლების თვალსაზრისით.

თუ ვაჭარს აქვს 5000 რ. და ყიდულობს საქონელს 3000 რუბლს, მას აქვს 5000 - 3000 \u003d 2000, რ. თუ მას აქვს 3000 მანეთი და ყიდულობს 5000 რუბლს, მაშინ ის რჩება ვალში 2000 მანეთი. ამის შესაბამისად, ითვლებოდა, რომ აქ კეთდება 3000 - 5000 გამოკლება, მაგრამ შედეგი არის რიცხვი 2000 ზედა წერტილით, რაც ნიშნავს "ორი ათასი ვალი".

ეს ინტერპრეტაცია ბუნებით ხელოვნური იყო, ვაჭარმა ვერასოდეს იპოვა ვალის ოდენობა 3000 - 5000 გამოკლებით, მაგრამ ყოველთვის აკლდა 5000 - 3000. გარდა ამისა, ამის საფუძველზე შესაძლებელი იყო აეხსნა მხოლოდ მიმატებისა და გამოკლების წესები. "რიცხვები წერტილებით", მაგრამ არანაირად არ იყო გამრავლების ან გაყოფის წესების ახსნა.

V-VI საუკუნეებში უარყოფითი რიცხვები ჩნდება და ძალიან ფართოდ არის გავრცელებული ინდურ მათემატიკაში. ინდოეთში უარყოფითი რიცხვები სისტემატურად გამოიყენებოდა ისევე, როგორც ჩვენ ახლა. ინდოელი მათემატიკოსები უარყოფით რიცხვებს VII საუკუნიდან იყენებდნენ. ნ. ე .: ბრაჰმაგუპტამ ჩამოაყალიბა მათთან არითმეტიკული მოქმედებების წესები. მის ნაშრომში ვკითხულობთ: „ქონება და ქონება საკუთრებაა, ორი ვალის ჯამი ვალია; ქონების ჯამი და ნული არის ქონება; ორი ნულის ჯამი არის ნული ... ვალი, რომელიც გამოკლებულია ნულისგან, ხდება საკუთრება, ხოლო ქონება ვალებად. თუ საჭიროა ვალიდან ქონების აღება, ქონებიდან კი ვალი, მაშინ იღებენ მათ თანხას.

დადებით რიცხვებს ინდიელები უწოდებდნენ "დჰანა" ან "სვა" (საკუთრება), ხოლო უარყოფითებს - "რინა" ან "კშაია" (ვალი). თუმცა, ინდოეთში იყო პრობლემები უარყოფითი რიცხვების გაგებასთან და მიღებასთან დაკავშირებით.

უარყოფითი რიცხვები ევროპაში

ევროპელი მათემატიკოსები მათ დიდი ხნის განმავლობაში არ იწონებდნენ, რადგან „ქონება-ვალის“ ინტერპრეტაციამ გაურკვევლობა და ეჭვი გამოიწვია. მართლაც, როგორ შეიძლება ქონებისა და ვალების „დამატება“ ან „გამოკლება“, რა რეალური მნიშვნელობა შეიძლება ჰქონდეს ქონების „გამრავლებას“ ან „გაყოფას“ ვალზე? (G.I. Glazer, მათემატიკის ისტორია სასკოლო IV-VI კლასებში. მოსკოვი, განათლება, 1981 წ.)

ამიტომ უარყოფითმა რიცხვებმა მათემატიკაში დიდი გაჭირვებით დაიკავეს ადგილი. ევროპაში, პიზას ლეონარდო ფიბონაჩი საკმარისად მიუახლოვდა უარყოფითი სიდიდის იდეას მე-13 საუკუნის დასაწყისში, მაგრამ ფრანგმა მათემატიკოსმა შუკეტმა პირველად გამოიყენა უარყოფითი რიცხვები მე-15 საუკუნის ბოლოს. ავტორია ხელნაწერი ტრაქტატის არითმეტიკისა და ალგებრის შესახებ, რიცხვების მეცნიერება სამ ნაწილად. შუკეს სიმბოლიზმი თანამედროვეს უახლოვდება (მათემატიკური ენციკლოპედიური ლექსიკონი. მ., სოვ. ენციკლოპედია, 1988)

უარყოფითი რიცხვების თანამედროვე ინტერპრეტაცია

1544 წელს გერმანელმა მათემატიკოსმა მიხაელ შტიფელმა პირველად განიხილა უარყოფითი რიცხვები, როგორც ნულზე ნაკლები რიცხვები (ანუ "არაფერზე ნაკლები"). ამ მომენტიდან უარყოფითი რიცხვები აღარ განიხილება როგორც ვალი, არამედ სრულიად ახლებურად. თავად სტიფელი წერდა: ”ნული არის ჭეშმარიტ და აბსურდულ რიცხვებს შორის…” (G.I. Glaser, მათემატიკის ისტორია IV-VI კლასებში. მოსკოვი, განათლება, 1981)

ამის შემდეგ შტიფელი თავის ნაშრომს მთლიანად უთმობს მათემატიკას, რომელშიც ის ბრწყინვალე თვითნასწავლი იყო. ევროპაში ერთ-ერთმა პირველმა ნიკოლა შუკეს შემდეგ დაიწყო მუშაობა უარყოფითი რიცხვებით.

ცნობილი ფრანგი მათემატიკოსი რენე დეკარტი გეომეტრიაში (1637) აღწერს დადებითი და უარყოფითი რიცხვების გეომეტრიულ ინტერპრეტაციას; დადებითი რიცხვები გამოსახულია რიცხვის ღერძზე 0-ის საწყისის მარჯვნივ მდებარე წერტილებით, უარყოფითი - მარცხნივ. დადებითი და უარყოფითი რიცხვების გეომეტრიულმა ინტერპრეტაციამ განაპირობა უარყოფითი რიცხვების ბუნების უფრო მკაფიო გაგება და ხელი შეუწყო მათ ამოცნობას.

თითქმის ერთდროულად შტიფელთან ერთად რ.ბომბელი რაფაელე (დაახლოებით 1530-1572), იტალიელი მათემატიკოსი და ინჟინერი, რომელმაც ხელახლა აღმოაჩინა დიოფანტეს ნამუშევარი, იცავდა უარყოფითი რიცხვების იდეას.

ბომბელი და ჟირარი, პირიქით, უარყოფით რიცხვებს საკმაოდ მისაღები და სასარგებლო თვლიდნენ, კერძოდ, რაღაცის ნაკლებობაზე მიუთითებდნენ. დადებითი და უარყოფითი რიცხვების თანამედროვე აღნიშვნა "+" და "-" ნიშნებით გამოიყენა გერმანელმა მათემატიკოსმა ვიდმანმა. გამოთქმა "არაფერზე დაბალი" გვიჩვენებს, რომ შტიფელი და ზოგიერთი სხვა გონებრივად წარმოიდგენდნენ პოზიტიურ და უარყოფით რიცხვებს, როგორც წერტილებს ვერტიკალურ შკალაზე (როგორც თერმომეტრის სკალა). მათემატიკოსმა ა. ჟირარის მიერ მოგვიანებით შემუშავებული იდეა უარყოფითი რიცხვების შესახებ, როგორც წერტილები გარკვეულ სწორ ხაზზე, რომელიც მდებარეობს ნულის მეორე მხარეს, ვიდრე პოზიტიური, გადამწყვეტი აღმოჩნდა ამ რიცხვების მოქალაქეობის უფლებების მინიჭებაში, განსაკუთრებით იმის გამო, რომ კოორდინატთა მეთოდის შემუშავება პ.ფერმატისა და რ.დეკარტის მიერ.

დასკვნა

ჩემს ნამუშევარში მე გამოვიკვლიე უარყოფითი რიცხვების ისტორია. ჩემი კვლევის დროს მე დავასკვენი:

თანამედროვე მეცნიერება ხვდება ისეთი რთული ხასიათის რაოდენობებს, რომ მათი შესასწავლად საჭიროა ახალი ტიპის რიცხვების გამოგონება.

ახალი ნომრების შემოღებისას დიდი მნიშვნელობა აქვს ორ გარემოებას:

ა) მათზე მოქმედების წესები სრულად უნდა იყოს განსაზღვრული და არ გამოიწვიოს წინააღმდეგობები;

ბ) რიცხვთა ახალმა სისტემებმა ან უნდა შეუწყოს ხელი ახალი ამოცანების გადაჭრას, ან გააუმჯობესოს უკვე ცნობილი გადაწყვეტილებები.

დღეისათვის არსებობს რიცხვების განზოგადების შვიდი საყოველთაოდ მიღებული დონე: ნატურალური, რაციონალური, რეალური, რთული, ვექტორი, მატრიცული და ტრანსფინიტური რიცხვები. ზოგიერთი მეცნიერი გვთავაზობს ფუნქციების ფუნქციონალურ რიცხვებად განხილვას და რიცხვების განზოგადების ხარისხის თორმეტ დონემდე გაფართოებას.

შევეცდები შევისწავლო რიცხვების ყველა ეს ნაკრები.

დანართი

ლექსი

"უარყოფითი რიცხვების და სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების შეკრება"

თუ გინდა დაკეცვა

რიცხვები უარყოფითია, არაფერია სამწუხარო:

ჩვენ სწრაფად უნდა გავარკვიოთ მოდულების ჯამი,

შემდეგ აიღეთ მინუს ნიშანი და დაამატეთ მას.

თუ მოცემულია რიცხვები სხვადასხვა ნიშნით,

მათი ჯამის საპოვნელად, ჩვენ ყველანი იქ ვართ.

უფრო დიდი მოდული სწრაფად არჩევითია.

მისგან გამოვაკლებთ პატარას.

მთავარია არ დაივიწყოთ ნიშანი!

რომელს დააყენებთ? - გვინდა ვიკითხოთ

ჩვენ გაგიმხელთ საიდუმლოს, ეს არ არის ადვილი,

ნიშანი, სადაც მოდული მეტია, ჩაწერეთ პასუხში.

დადებითი და უარყოფითი რიცხვების დამატების წესები

დაამატეთ მინუსი მინუსთან ერთად,

შეგიძლიათ მიიღოთ მინუსი.

თუ დაამატებთ მინუსს, პლუსს,

ეს სირცხვილი აღმოჩნდება?!

აირჩიეთ რიცხვის ნიშანი

რაც უფრო ძლიერია, არ იყვიროთ!

წაართვით მათ მოდულები

დიახ, დამშვიდდით ყველა რიცხვთან!

გამრავლების წესები ასევე შეიძლება აიხსნას ამ გზით:

"ჩემი მეგობრის მეგობარი ჩემი მეგობარია": + ∙ + = + .

"ჩემი მტრის მტერი ჩემი მეგობარია": ─ ∙ ─ = +.

"ჩემი მტრის მეგობარი ჩემი მტერია": + ∙ ─ = ─.

"ჩემი მეგობრის მტერი ჩემი მტერია": ─ ∙ + = ─.

გამრავლების ნიშანი არის წერტილი, მას აქვს სამი ნიშანი:

დააფარეთ ორი მათგანი, მესამე გასცემს პასუხს.

Მაგალითად.

როგორ განვსაზღვროთ პროდუქტის ნიშანი 2∙(-3)?

პლიუს და მინუს ნიშნები ხელით დავხუროთ. არის მინუს ნიშანი

ბიბლიოგრაფია

„ძველი სამყაროს ისტორია“, მე-5 კლასი. კოლპაკოვი, სელუნსკაია.

„მათემატიკის ისტორია ანტიკურ ხანაში“, ე.კოლმანი.

„მოსწავლის სახელმძღვანელო“. გამომცემლობა VES, სანკტ-პეტერბურგი. 2003 წ

დიდი მათემატიკური ენციკლოპედია. იაკუშევა გ.მ. და ა.შ.

Vigasin A.A., Goder G.I., "ძველი სამყაროს ისტორია", მე-5 კლასის სახელმძღვანელო, 2001 წ.

ვიკიპედია. უფასო ენციკლოპედია.

მათემატიკური მეცნიერების გაჩენა და განვითარება: წიგნი. მასწავლებლისთვის. - მ.: განმანათლებლობა, 1987 წ.

გელფმანი ე.გ. „დადებითი და უარყოფითი რიცხვები“, მათემატიკის სახელმძღვანელო მე-6 კლასისთვის, 2001 წ.

უფროსი. რედ. M. D. Aksyonova. - მ.: ავანტა +, 1998 წ.

Glazer G. I. "მათემატიკის ისტორია სკოლაში", მოსკოვი, "Prosveshchenie", 1981 წ.

საბავშვო ენციკლოპედია "მე ვიცი სამყარო", მოსკოვი, "განმანათლებლობა", 1995 წ.

მათემატიკის ისტორია სკოლაში, IV-VI კლასები. გ.ი. გლეიზერი, მოსკოვი, განათლება, 1981 წ.

მოსკოვი: ფილოლ. O-vo "WORD": OLMA-PRESS, 2005 წ.

Malygin K.A.

მათემატიკური ენციკლოპედიური ლექსიკონი. მ., სოვ. ენციკლოპედია, 1988 წ.

Nurk E.R., Telgmaa A.E. "მათემატიკა მე-6 კლასი", მოსკოვი, "განმანათლებლობა", 1989 წ

სახელმძღვანელო მე-5 კლასი. ვილენკინი, ჟოხოვი, ჩესნოკოვი, შვარცბურდი.

Fridman L. M. "მათემატიკის შესწავლა", საგანმანათლებლო გამოცემა, 1994 წ.

ᲛᲐᲒᲐᲚᲘᲗᲐᲓ. გელფმანი და სხვები, დადებითი და უარყოფითი რიცხვები პინოქიოს თეატრში. მათემატიკის სახელმძღვანელო მე-6 კლასისთვის. მე-3 გამოცემა, შესწორებული, - ტომსკი: ტომსკის უნივერსიტეტის გამომცემლობა, 1998 წ.

ენციკლოპედია ბავშვებისთვის. T.11. მათემატიკა

დადებითი და უარყოფითი რიცხვები
საკოორდინაციო ხაზი
პირდაპირ წავიდეთ. ჩვენ აღვნიშნავთ მასზე 0 (ნულ) წერტილს და ამ წერტილს ვიღებთ საწყისად.

მოდით, ისრით მივუთითოთ მოძრაობის მიმართულება სწორი ხაზის გასწვრივ საწყისის მარჯვნივ. ამ მიმართულებით 0 წერტილიდან გადავდებთ დადებით რიცხვებს.

ანუ ჩვენთვის უკვე ცნობილ რიცხვებს, ნულის გარდა, პოზიტიური ეწოდება.

ზოგჯერ დადებითი რიცხვები იწერება "+" ნიშნით. მაგალითად, "+8".

მოკლედ, დადებითი რიცხვის წინ "+" ნიშანი ჩვეულებრივ გამოტოვებულია და "+8"-ის ნაცვლად უბრალოდ წერენ 8-ს.

აქედან გამომდინარე, "+3" და "3" არის იგივე რიცხვი, მხოლოდ განსხვავებულად არის მითითებული.

ავირჩიოთ რომელიღაც სეგმენტი, რომლის სიგრძეს ავიღებთ ერთიანობად და რამდენჯერმე გადავდებთ 0 წერტილის მარჯვნივ. პირველი სეგმენტის ბოლოს იწერება რიცხვი 1, მეორის ბოლოს - ნომერი 2 და ა.შ.

ერთი სეგმენტი საწყისის მარცხნივ დაყენებით მივიღებთ უარყოფით რიცხვებს: -1; -2; და ა.შ.

უარყოფითი რიცხვებიგამოიყენება სხვადასხვა სიდიდის აღსანიშნავად, როგორიცაა: ტემპერატურა (ნულის ქვემოთ), დინება - ანუ უარყოფითი შემოსავალი, სიღრმე - უარყოფითი სიმაღლე და სხვა.

როგორც ნახატიდან ჩანს, უარყოფითი რიცხვები ჩვენთვის უკვე ცნობილი რიცხვებია, მხოლოდ მინუს ნიშნით: -8; -5.25 და ა.შ.

• რიცხვი 0 არც დადებითია და არც უარყოფითი.

რიცხვითი ღერძი ჩვეულებრივ განთავსებულია ჰორიზონტალურად ან ვერტიკალურად.

თუ კოორდინატთა ხაზი ვერტიკალურია, მაშინ მიმართულება საწყისიდან ზემოთ, ჩვეულებრივ, დადებითად ითვლება, ხოლო საწყისიდან ქვემოთ - უარყოფითად.

ისარი მიუთითებს დადებით მიმართულებაზე.

სწორი ხაზი აღინიშნება:
. საცნობარო წერტილი (პუნქტი 0);
. ერთი სეგმენტი;
. ისარი მიუთითებს დადებით მიმართულებაზე;
დაურეკა კოორდინატთა ხაზი ან რიცხვითი ხაზი.

საპირისპირო რიცხვები კოორდინატთა ხაზზე
კოორდინატთა ხაზზე მოვნიშნოთ ორი წერტილი A და B, რომლებიც განლაგებულია იმავე მანძილზე 0 წერტილიდან მარჯვნივ და მარცხნივ.

ამ შემთხვევაში, OA და OB სეგმენტების სიგრძე იგივეა.

ეს ნიშნავს, რომ A და B წერტილების კოორდინატები განსხვავდება მხოლოდ ნიშნით.


ასევე ნათქვამია, რომ A და B წერტილები სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ.
A წერტილის კოორდინატი დადებითია „+2“, B წერტილის კოორდინატს აქვს მინუს ნიშანი „-2“.
A (+2), B (-2).

• რიცხვებს, რომლებიც განსხვავდებიან მხოლოდ ნიშნით, საპირისპირო რიცხვებს უწოდებენ. რიცხვითი (კოორდინატული) ღერძის შესაბამისი წერტილები სიმეტრიულია საწყისის მიმართ.

ყოველი ნომერი აქვს ერთი საპირისპირო რიცხვი. მხოლოდ რიცხვ 0-ს არ აქვს საპირისპირო, მაგრამ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ის თავის საპირისპიროა.

აღნიშვნა "-a" ნიშნავს "a"-ს საპირისპიროს. გახსოვდეთ, რომ ასოს შეუძლია დამალოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი რიცხვი.

მაგალითი:
-3 არის 3-ის საპირისპირო.

ჩვენ ვწერთ მას გამონათქვამად:
-3 = -(+3)

მაგალითი:
-(-6) - უარყოფითი რიცხვის საპირისპირო რიცხვი -6. ასე რომ -(-6) არის დადებითი რიცხვი 6.

ჩვენ ვწერთ მას გამონათქვამად:
-(-6) = 6

უარყოფითი რიცხვების დამატება
დადებითი და უარყოფითი რიცხვების დამატება შესაძლებელია რიცხვითი წრფის გამოყენებით.

მცირე მოდულის რიცხვების მიმატება მოხერხებულად ხდება კოორდინატთა ხაზზე, გონებრივად წარმოიდგინეთ, რომ რიცხვის აღმნიშვნელი წერტილი მოძრაობს რიცხვითი ღერძის გასწვრივ.

ავიღოთ რაღაც რიცხვი, მაგალითად, 3. ავღნიშნოთ ის რიცხვთა ღერძზე A წერტილით.

რიცხვს დავუმატოთ დადებითი რიცხვი 2. ეს ნიშნავს, რომ A წერტილი უნდა გადავიდეს ორი ერთეული სეგმენტით დადებითი მიმართულებით, ანუ მარჯვნივ. შედეგად მივიღებთ B წერტილს მე-5 კოორდინატით.
3 + (+ 2) = 5

დადებითი რიცხვის (-5) დასამატებლად, მაგალითად, 3-ს, წერტილი A უნდა გადავიდეს 5 ერთეული სიგრძით უარყოფითი მიმართულებით, ანუ მარცხნივ.

ამ შემთხვევაში B წერტილის კოორდინატი არის -2.

ასე რომ, რაციონალური რიცხვების დამატების თანმიმდევრობა რიცხვითი ღერძის გამოყენებით იქნება შემდეგი:
. მონიშნეთ A წერტილი კოორდინატთა წრფეზე პირველი წევრის ტოლი კოორდინატით;
. გადაიტანეთ იგი მეორე წევრის მოდულის ტოლ მანძილზე იმ მიმართულებით, რომელიც შეესაბამება მეორე რიცხვის წინ არსებულ ნიშანს (პლუს - გადაადგილება მარჯვნივ, მინუს - მარცხნივ);
. ღერძზე მიღებულ B წერტილს ექნება კოორდინატი, რომელიც ამ რიცხვების ჯამის ტოლი იქნება.

მაგალითი.
- 2 + (- 6) =

წერტილიდან - 2-დან მარცხნივ გადაადგილებით (რადგან 6-ის წინ არის მინუს ნიშანი), ვიღებთ - 8-ს.
- 2 + (- 6) = - 8

იგივე ნიშნების მქონე რიცხვების შეკრება
რაციონალური რიცხვების დამატება უფრო ადვილია, თუ იყენებთ მოდულის კონცეფციას.

დავუშვათ, ჩვენ უნდა დავამატოთ რიცხვები, რომლებსაც აქვთ იგივე ნიშნები.
ამისათვის ჩვენ უარვყოფთ რიცხვების ნიშნებს და ვიღებთ ამ რიცხვების მოდულებს. ვამატებთ მოდულებს და ჯამის წინ ვსვამთ ნიშანს, რომელიც საერთო იყო ამ რიცხვებისთვის.

მაგალითი.

უარყოფითი რიცხვების დამატების მაგალითი.
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5

• ერთი და იგივე ნიშნის რიცხვების დასამატებლად, თქვენ უნდა დაამატოთ მათი მოდულები და დააყენოთ ნიშანი ჯამის წინ, რომელიც იყო ტერმინების წინ.

რიცხვების შეკრება სხვადასხვა ნიშნით
თუ რიცხვებს განსხვავებული ნიშნები აქვთ, მაშინ ჩვენ ვმოქმედებთ გარკვეულწილად განსხვავებულად, ვიდრე ერთი და იგივე ნიშნებით რიცხვების შეკრებისას.
. ჩვენ უარვყოფთ ნიშანს რიცხვების წინ, ანუ ვიღებთ მათ მოდულებს.
. გამოვაკლოთ პატარა უფრო დიდს.
. განსხვავებამდე ვსვამთ ნიშანს, რომელიც ჰქონდა უფრო დიდი მოდულის მქონე რიცხვს.

უარყოფითი და დადებითი რიცხვის დამატების მაგალითი.
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5

შერეული რიცხვების დამატების მაგალითი.

სხვადასხვა ნიშნების რიცხვების დასამატებლად:
. გამოვაკლოთ პატარა მოდული უფრო დიდ მოდულს;
. მიღებული სხვაობის წინ ჩასვით რიცხვის ნიშანი, რომელსაც აქვს უფრო დიდი მოდული.

უარყოფითი რიცხვების გამოკლება
მოგეხსენებათ, გამოკლება შეკრების საპირისპიროა.
თუ a და b დადებითი რიცხვებია, მაშინ b რიცხვის გამოკლება a რიცხვიდან ნიშნავს c რიცხვის პოვნას, რომელიც, b რიცხვს დაემატება, იძლევა a რიცხვს.
a - b = c ან c + b = a

გამოკლების განმარტება მართებულია ყველა რაციონალური რიცხვისთვის. ე.ი დადებითი და უარყოფითი რიცხვების გამოკლებაშეიძლება შეიცვალოს დამატებით.

• ერთ რიცხვს მეორეს რომ გამოვაკლოთ, საპირისპირო რიცხვი უნდა დაამატოთ მინუენდს.

ან, სხვაგვარად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ b რიცხვის გამოკლება იგივე შეკრებაა, მაგრამ b რიცხვის საპირისპირო რიცხვით.
a - b = a + (- b)

მაგალითი.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2

მაგალითი.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2

• ღირს გაიხსენოთ ქვემოთ მოცემული გამონათქვამები.
• 0 - a = - a
• a - 0 = a
• a - a = 0

უარყოფითი რიცხვების გამოკლების წესები
როგორც ზემოთ მოყვანილი მაგალითებიდან ხედავთ, b რიცხვის გამოკლება არის რიცხვი b რიცხვის საპირისპირო შეკრება.
ეს წესი შენარჩუნებულია არა მხოლოდ დიდი რიცხვიდან უფრო მცირე რიცხვის გამოკლებისას, არამედ საშუალებას გაძლევთ გამოკლოთ უფრო დიდი რიცხვი პატარა რიცხვს, ანუ ყოველთვის შეგიძლიათ იპოვოთ განსხვავება ორ რიცხვს შორის.

განსხვავება შეიძლება იყოს დადებითი რიცხვი, უარყოფითი რიცხვი ან ნული.

უარყოფითი და დადებითი რიცხვების გამოკლების მაგალითები.
. - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
. - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
. 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
მოსახერხებელია დამახსოვრება ნიშნის წესი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ ფრჩხილების რაოდენობა.
პლუს ნიშანი არ ცვლის რიცხვის ნიშანს, ამიტომ თუ ფრჩხილის წინ არის პლუსი, ფრჩხილებში ნიშანი არ იცვლება.
+ (+ ა) = + ა

+ (- ა) = - ა

მინუს ნიშანი ფრჩხილების წინ აბრუნებს ფრჩხილებში მოცემული რიცხვის ნიშანს.
- (+ ა) = - ა

- (- ა) = + ა

ტოლობებიდან ჩანს, რომ თუ ფრჩხილების წინ და შიგნით არის იდენტური ნიშნები, მაშინ ვიღებთ „+“, ხოლო თუ ნიშნები განსხვავებულია, მაშინ ვიღებთ „-“.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0

ნიშნების წესი ასევე დაცულია, თუ ფრჩხილებში არის არა ერთი რიცხვი, არამედ რიცხვების ალგებრული ჯამი.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ თუ ფრჩხილებში რამდენიმე რიცხვია და ფრჩხილების წინ არის მინუს ნიშანი, მაშინ ამ ფრჩხილებში ყველა ნომრის წინ უნდა შეიცვალოს ნიშნები.

ნიშნების წესის დასამახსოვრებლად, შეგიძლიათ გააკეთოთ ცხრილი რიცხვის ნიშნების დასადგენად.
ნიშნების წესი რიცხვებისთვის

ან ისწავლეთ მარტივი წესი.

• ორი უარყოფითი ადასტურებს დადებითს,
• პლუს ჯერ მინუს უდრის მინუს.

უარყოფითი რიცხვების გამრავლება
რიცხვის მოდულის კონცეფციის გამოყენებით, ჩვენ ვაყალიბებთ დადებითი და უარყოფითი რიცხვების გამრავლების წესებს.

რიცხვების გამრავლება იგივე ნიშნებით
პირველი შემთხვევა, რომელიც შეიძლება შეგხვდეთ, არის იგივე ნიშნით რიცხვების გამრავლება.
ერთი და იგივე ნიშნით ორი რიცხვის გასამრავლებლად:
. რიცხვების მოდულების გამრავლება;
. მიღებული პროდუქტის წინ დადეთ "+" ნიშანი (პასუხის დაწერისას, მარცხნივ პირველ რიცხვამდე პლუს ნიშანი შეიძლება გამოტოვოთ).

უარყოფითი და დადებითი რიცხვების გამრავლების მაგალითები.
. (- 3) . (- 6) = + 18 = 18
. 2 . 3 = 6

რიცხვების გამრავლება სხვადასხვა ნიშნით
მეორე შესაძლო შემთხვევაა რიცხვების გამრავლება სხვადასხვა ნიშნით.
ორი რიცხვის გამრავლება სხვადასხვა ნიშნით:
. რიცხვების მოდულების გამრავლება;
. დააყენეთ "-" ნიშანი მიღებული სამუშაოს წინ.
უარყოფითი და დადებითი რიცხვების გამრავლების მაგალითები.
. (- 0,3) . 0,5 = - 1,5
. 1,2 . (- 7) = - 8,4

გამრავლების ნიშნების წესები
გამრავლების ნიშნების წესის დამახსოვრება ძალიან მარტივია. ეს წესი იგივეა, რაც ფრჩხილების გაფართოების წესი.

• ორი უარყოფითი ადასტურებს დადებითს,
• პლუს ჯერ მინუს უდრის მინუს.

„გრძელ“ მაგალითებში, რომლებშიც მხოლოდ გამრავლების მოქმედებაა, პროდუქტის ნიშანი შეიძლება განისაზღვროს უარყოფითი ფაქტორების რაოდენობით.

ზე თუნდაცუარყოფითი ფაქტორების რაოდენობა, შედეგი დადებითი იქნება და თან კენტირაოდენობა უარყოფითია.
მაგალითი.
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) =

მაგალითში არის ხუთი უარყოფითი მულტიპლიკატორი. ასე რომ, შედეგის ნიშანი იქნება მინუსი.
ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ მოდულის ნამრავლს, ნიშნების უგულებელყოფით.
6 . 3 . 4 . 2 . 12 . 1 = 1728

ორიგინალური რიცხვების გამრავლების საბოლოო შედეგი იქნება:
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) = - 1728

გამრავლება ნულზე და ერთზე
თუ ფაქტორებს შორის არის რიცხვი ნული ან დადებითი, მაშინ გამრავლება ხდება ცნობილი წესების მიხედვით.
. 0 . a = 0
. ა. 0 = 0
. ა. 1 = ა
მაგალითები:
. 0 . (- 3) = 0
. 0,4 . 1 = 0,4
რაციონალური რიცხვების გამრავლებაში განსაკუთრებულ როლს თამაშობს უარყოფითი ერთეული (- 1).

• როდესაც მრავლდება (- 1-ზე), რიცხვი შებრუნებულია.

პირდაპირი გაგებით, ეს თვისება შეიძლება დაიწეროს:
ა. (- 1) = (- 1) . a = - a

რაციონალური რიცხვების შეკრების, გამოკლების და ერთად გამრავლებისას დაცულია დადებითი რიცხვებისა და ნულებისთვის დადგენილი მოქმედებების თანმიმდევრობა.

უარყოფითი და დადებითი რიცხვების გამრავლების მაგალითი.

უარყოფითი რიცხვების გაყოფა
უარყოფითი რიცხვების გაყოფა ადვილი გასაგებია, გახსოვდეთ, რომ გაყოფა არის გამრავლების შებრუნებული.

თუ a და b დადებითი რიცხვებია, მაშინ a რიცხვის b რიცხვზე გაყოფა ნიშნავს c რიცხვის პოვნას, რომელიც b-ზე გამრავლებისას იძლევა a რიცხვს.

გაყოფის ეს განმარტება მოქმედებს ნებისმიერი რაციონალური რიცხვისთვის, სანამ გამყოფები არ არის ნულოვანი.

ამიტომ, მაგალითად, რიცხვის (- 15) 5-ზე გაყოფა ნიშნავს რიცხვის პოვნას, რომელიც 5-ზე გამრავლებისას იძლევა რიცხვს (- 15). ეს რიცხვი იქნება (- 3), ვინაიდან
(- 3) . 5 = - 15

ნიშნავს

(- 15) : 5 = - 3

რაციონალური რიცხვების გაყოფის მაგალითები.
1. 10: 5 = 2 2-დან. 5 = 10
2. (- 4) : (- 2) = 2 2-დან. (- 2) = - 4
3. (- 18) : 3 = - 6 წლიდან (- 6) . 3 = - 18
4. 12: (- 4) = - 3, ვინაიდან (- 3) . (-4) = 12

მაგალითებიდან ჩანს, რომ ერთი და იგივე ნიშნების მქონე ორი რიცხვის კოეფიციენტი არის დადებითი რიცხვი (მაგალითები 1, 2), ხოლო სხვადასხვა ნიშნის მქონე ორი რიცხვის კოეფიციენტი არის უარყოფითი რიცხვი (მაგალითები 3,4).

უარყოფითი რიცხვების გაყოფის წესები
კოეფიციენტის მოდულის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ დივიდენდის მოდული გამყოფის მოდულზე.
ასე რომ, ერთი და იგივე ნიშნებით ორი რიცხვის გასაყოფად გჭირდებათ:

. წინ უძღვის შედეგს "+" ნიშნით.
იგივე ნიშნებით რიცხვების გაყოფის მაგალითები:
. (- 9) : (- 3) = + 3
. 6: 3 = 2

სხვადასხვა ნიშნით ორი რიცხვის გაყოფა:
. დივიდენდის მოდულის გაყოფა გამყოფის მოდულზე;
. წინ უძღვის შედეგს "-" ნიშნით.
სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გაყოფის მაგალითები:
. (- 5) : 2 = - 2,5
. 28: (- 2) = - 14
თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ცხრილი კოეფიციენტის ნიშნის დასადგენად.
ნიშნების წესი გაყოფისას

"გრძელი" გამონათქვამების გაანგარიშებისას, რომლებშიც ჩნდება მხოლოდ გამრავლება და გაყოფა, ძალიან მოსახერხებელია ნიშნის წესის გამოყენება. მაგალითად, წილადის გამოთვლა

შეგიძლიათ ყურადღება მიაქციოთ, რომ მრიცხველში არის 2 "მინუს" ნიშანი, რომელიც გამრავლებისას მისცემს "პლუს". მნიშვნელში ასევე არის სამი მინუს ნიშანი, რომელიც გამრავლებისას მისცემს მინუსს. ამიტომ, საბოლოო ჯამში, შედეგი იქნება მინუს ნიშნით.

წილადის შემცირება (შემდეგი მოქმედებები რიცხვების მოდულებით) შესრულებულია ისევე, როგორც ადრე:

• ნულის არანულოვან რიცხვზე გაყოფის კოეფიციენტი არის ნული.
• 0: a = 0, a ≠ 0
• ნუ გაყოფ ნულზე!

ერთზე გაყოფის ყველა ადრე ცნობილი წესი ვრცელდება რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეზეც.
. a: 1 = a
. ა: (- 1) = - ა
. a: a = 1
სადაც a არის ნებისმიერი რაციონალური რიცხვი.

დამოკიდებულებები გამრავლებისა და გაყოფის შედეგებს შორის, რომლებიც ცნობილია დადებითი რიცხვებით, ასევე შენარჩუნებულია ყველა რაციონალური რიცხვისთვის (გარდა ნულოვანი რიცხვისა):
. თუ . b = c; a = c: b; b = c: a;
. თუ a: b = c; a = s. ბ; b=a:c
ეს დამოკიდებულებები გამოიყენება უცნობი ფაქტორის, დივიდენდისა და გამყოფის საპოვნელად (განტოლებების ამოხსნისას), ასევე გამრავლებისა და გაყოფის შედეგების შესამოწმებლად.

უცნობის პოვნის მაგალითი.
x . (-5) = 10

x=10: (-5)

x=-2

მინუს ნიშანი წილადებში
რიცხვი (- 5) გაყავით 6-ზე და რიცხვი 5 (- 6-ზე).

შეგახსენებთ, რომ ჩვეულებრივი წილადის აღნიშვნის ხაზი არის იგივე გაყოფის ნიშანი და თითოეული ამ მოქმედების კოეფიციენტს ვწერთ უარყოფით წილადად.

ამრიგად, მინუს ნიშანი წილადში შეიძლება იყოს:
. წილადამდე
. მრიცხველში;
. მნიშვნელში.

• უარყოფითი წილადების წერისას შეგიძლიათ წილადს წინ დაუდოთ მინუს ნიშანი, გადაიტანოთ მრიცხველიდან მნიშვნელზე ან მნიშვნელიდან მრიცხველზე.

ეს ხშირად გამოიყენება წილადებზე ოპერაციების შესრულებისას, რაც აადვილებს გამოთვლებს.

მაგალითი. გაითვალისწინეთ, რომ ფრჩხილის წინ მინუს ნიშნის დაყენების შემდეგ, უფრო დიდ მოდულს ვაკლებთ პატარას სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების დამატების წესების მიხედვით.


წილადებში აღწერილი ნიშნის გადაცემის თვისების გამოყენებით, შეგიძლიათ იმოქმედოთ ისე, რომ არ გაარკვიოთ ამ წილადი რიცხვებიდან რომელი მოდული უფრო დიდია.

შედგება დადებითი (ბუნებრივი) რიცხვებისგან, უარყოფითი რიცხვებისგან და ნულისაგან.

ყველა უარყოფითი რიცხვი და მხოლოდ ისინი ნულზე ნაკლებია. რიცხვის ღერძზე უარყოფითი რიცხვები განლაგებულია ნულის მარცხნივ. მათთვის, ისევე როგორც დადებითი რიცხვებისთვის, განსაზღვრულია რიგის მიმართება, რომელიც საშუალებას გაძლევთ შეადაროთ ერთი მთელი რიცხვი მეორესთან.

ყველა ნატურალური რიცხვისთვის ნარის ერთი და მხოლოდ ერთი უარყოფითი რიცხვი, რომელიც აღინიშნება -ნ, რომელიც ავსებს ნნულამდე:

უარყოფითი რიცხვების სრული და საკმაოდ მკაცრი თეორია შეიქმნა მხოლოდ მე-19 საუკუნეში (უილიამ ჰამილტონი და ჰერმან გრასმანი).

ცნობილი უარყოფითი რიცხვები

იხილეთ ასევე

ლიტერატურა

• ვიგოდსკი M. Ya.დაწყებითი მათემატიკის სახელმძღვანელო. - M .: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
• გლეიზერ გ.ი.მათემატიკის ისტორია სკოლაში. - M .: განათლება, 1964. - 376გვ.

შენიშვნები

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წ.

• კლდე
• ოზონი (გარკვევა)

ნახეთ, რა არის „უარყოფითი რიცხვი“ სხვა ლექსიკონებში:

უარყოფითი რიცხვი- ნამდვილი რიცხვი ნულზე ნაკლები, ანუ აკმაყოფილებს უტოლობას a ... დიდი პოლიტექნიკური ენციკლოპედია- 1.50. უარყოფითი ბინომიალური განაწილება დისკრეტული შემთხვევითი X ცვლადის ალბათობის განაწილება ისეთი, რომ x = 0, 1, 2, ... და პარამეტრებისთვის c > 0 (დადებითი მთელი რიცხვი), 0< p < 1, где Примечания 1. Название… … ნორმატიული და ტექნიკური დოკუმენტაციის ტერმინთა ლექსიკონი-საცნობარო წიგნი

მგლის ნომერი- (W) მზის აქტივობის ხარისხის რაოდენობრივი მახასიათებელი; წარმოადგენს მზის ლაქების რაოდენობას და მათ ჯგუფებს, გამოხატული პირობითი ინდიკატორის სახით: W \u003d k (m + 10n), სადაც m არის ყველა მზის ლაქების საერთო რაოდენობა, რომლებიც მოწყობილია ჯგუფებად ან მდებარეობს ... ... ადამიანის ეკოლოგია

უარყოფითი რიცხვებიარის რიცხვები მინუს ნიშნით (-), მაგალითად -1, -2, -3. იკითხება ასე: მინუს ერთი, მინუს ორი, მინუს სამი.

განაცხადის მაგალითი უარყოფითი რიცხვებიარის თერმომეტრი, რომელიც აჩვენებს სხეულის, ჰაერის, ნიადაგის ან წყლის ტემპერატურას. ზამთარში, როცა გარეთ ძალიან ცივა, ტემპერატურა უარყოფითია (ან, როგორც ხალხი ამბობს, „მინუს“).

მაგალითად, -10 გრადუსი სიცივე:

ჩვეულებრივ ციფრებს, რომლებიც ადრე განვიხილეთ, როგორიცაა 1, 2, 3, დადებითი ეწოდება. დადებითი რიცხვები არის რიცხვები პლუს ნიშნით (+).

დადებითი რიცხვების წერისას + ნიშანი არ იწერება, რის გამოც ვხედავთ ჩვენთვის ნაცნობ რიცხვებს 1, 2, 3, მაგრამ გასათვალისწინებელია, რომ ეს დადებითი რიცხვები ასე გამოიყურება: +1, + 2, +3.

გაკვეთილის შინაარსი

ეს არის სწორი ხაზი, რომელზეც ყველა რიცხვი მდებარეობს: უარყოფითიც და დადებითიც. Შემდეგნაირად:

აქ ნაჩვენებია რიცხვები -5-დან 5-მდე. სინამდვილეში, კოორდინატთა ხაზი უსასრულოა. ფიგურაში ნაჩვენებია მისი მხოლოდ მცირე ფრაგმენტი.

კოორდინატთა ხაზზე რიცხვები მონიშნულია წერტილებად. ფიგურაში, თამამი შავი წერტილი არის საწყისი წერტილი. ათვლა იწყება ნულიდან. საცნობარო წერტილის მარცხნივ მონიშნულია უარყოფითი რიცხვები, მარჯვნივ კი დადებითი.

კოორდინატთა ხაზი ორივე მხარეს განუსაზღვრელი ვადით გრძელდება. მათემატიკაში უსასრულობა აღინიშნება სიმბოლოთი ∞. უარყოფითი მიმართულება აღინიშნა სიმბოლოთი −∞, ხოლო დადებითი - სიმბოლო +∞. მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ყველა რიცხვი მინუს უსასრულობიდან პლუს უსასრულობამდე მდებარეობს კოორდინატთა ხაზზე:

კოორდინატთა ხაზის თითოეულ წერტილს აქვს თავისი სახელი და კოორდინატი. სახელიარის ნებისმიერი ლათინური ასო. კოორდინაციაარის რიცხვი, რომელიც მიუთითებს წერტილის პოზიციაზე ამ წრფეზე. მარტივად რომ ვთქვათ, კოორდინატი არის იგივე რიცხვი, რომლის აღნიშვნაც გვინდა კოორდინატთა ხაზზე.

მაგალითად, პუნქტი A(2) იკითხება როგორც "პუნქტი A კოორდინატით 2" და კოორდინატთა ხაზზე აღინიშნა შემდეგნაირად:

Აქ აწერტილის სახელია, 2 არის წერტილის კოორდინატი ა.

მაგალითი 2პუნქტი B(4) იკითხება როგორც "პუნქტი B კოორდინატზე 4"

Აქ ბწერტილის სახელია, 4 არის წერტილის კოორდინატი ბ.

მაგალითი 3წერტილი M(−3) იკითხება როგორც "წერტილი M კოორდინატით მინუს სამი" და კოორდინატთა ხაზზე აღინიშნა შემდეგნაირად:

Აქ მწერტილის სახელია, −3 არის M წერტილის კოორდინატი .

ქულები შეიძლება აღინიშნოს ნებისმიერი ასოებით. მაგრამ ზოგადად მიღებულია მათი აღნიშვნა დიდი ლათინური ასოებით. უფრო მეტიც, მოხსენების დასაწყისი, რომელსაც სხვაგვარად ე.წ წარმოშობაჩვეულებრივ აღინიშნება დიდი ასო O-ით

ადვილი მისახვედრია, რომ უარყოფითი რიცხვები დევს საწყისის მარცხნივ, ხოლო დადებითი რიცხვები მარჯვნივ.

არის ფრაზები, როგორიცაა "რაც მეტია მარცხნივ, მით ნაკლები"და "რაც უფრო მარჯვნივ, მით მეტი". ალბათ უკვე მიხვდით რაზე ვსაუბრობთ. ყოველი ნაბიჯი მარცხნივ, რიცხვი მცირდება ქვევით. და ყოველი ნაბიჯი მარჯვნივ, რიცხვი გაიზრდება. მარჯვნივ მიმართული ისარი მიუთითებს დათვლის დადებით მიმართულებაზე.

უარყოფითი და დადებითი რიცხვების შედარება

წესი 1 ნებისმიერი უარყოფითი რიცხვი ნაკლებია ნებისმიერ დადებით რიცხვზე.

მაგალითად, შევადაროთ ორი რიცხვი: −5 და 3. მინუს ხუთი უფრო პატარასამზე, მიუხედავად იმისა, რომ ხუთეული პირველ რიგში იპყრობს თვალს, როგორც სამზე მეტი რიცხვი.

ეს იმიტომ, რომ −5 არის უარყოფითი და 3 დადებითი. კოორდინატთა ხაზში ხედავთ, სად არის −5 და 3 რიცხვები

ჩანს, რომ −5 დევს მარცხნივ, ხოლო 3 მარჯვნივ. და ჩვენ ეს ვთქვით "რაც მეტია მარცხნივ, მით ნაკლები" . და წესი ამბობს, რომ ნებისმიერი უარყოფითი რიცხვი ნაკლებია ნებისმიერ დადებით რიცხვზე. აქედან გამომდინარეობს, რომ

−5 < 3

"მინუს ხუთი არის სამზე ნაკლები"

წესი 2 ორი უარყოფითი რიცხვიდან ყველაზე პატარა არის ის, რომელიც მდებარეობს მარცხნივ კოორდინატთა ხაზზე.

მაგალითად, შევადაროთ რიცხვები -4 და -1. მინუს ოთხი უფრო პატარავიდრე მინუს ერთი.

ეს ისევ იმის გამო ხდება, რომ კოორდინატთა ხაზზე −4 უფრო მარცხნივ მდებარეობს, ვიდრე −1

ჩანს, რომ -4 დევს მარცხნივ, ხოლო -1 მარჯვნივ. და ჩვენ ეს ვთქვით "რაც მეტია მარცხნივ, მით ნაკლები" . და წესი ამბობს, რომ ორი უარყოფითი რიცხვიდან ნაკლებია ის, რომელიც მდებარეობს მარცხნივ კოორდინატთა ხაზზე. აქედან გამომდინარეობს, რომ

მინუს ოთხი ნაკლებია მინუს ერთზე

წესი 3 ნული მეტია ნებისმიერ უარყოფით რიცხვზე.

მაგალითად, შევადაროთ 0 და −3. Ნული მეტივიდრე მინუს სამი. ეს გამოწვეულია იმით, რომ კოორდინატთა ხაზზე 0 მდებარეობს მარჯვნივ, ვიდრე −3

ჩანს, რომ 0 დევს მარჯვნივ და −3 მარცხნივ. და ჩვენ ეს ვთქვით "რაც უფრო მარჯვნივ, მით მეტი" . და წესი ამბობს, რომ ნული მეტია ნებისმიერ უარყოფით რიცხვზე. აქედან გამომდინარეობს, რომ

ნული მეტია მინუს სამზე

წესი 4 ნული ნაკლებია ნებისმიერ დადებით რიცხვზე.

მაგალითად, შეადარეთ 0 და 4. ნული უფრო პატარავიდრე 4. პრინციპში, ეს ნათელია და მართალია. მაგრამ ჩვენ შევეცდებით დავინახოთ ის ჩვენი თვალით, ისევ კოორდინატთა ხაზზე:

ჩანს, რომ კოორდინატთა ხაზზე 0 მდებარეობს მარცხნივ, ხოლო 4 მარჯვნივ. და ჩვენ ეს ვთქვით "რაც მეტია მარცხნივ, მით ნაკლები" . და წესი ამბობს, რომ ნული ნაკლებია ნებისმიერ დადებით რიცხვზე. აქედან გამომდინარეობს, რომ

ნული ოთხზე ნაკლებია

მოგეწონათ გაკვეთილი?
შემოუერთდით ჩვენს ახალ Vkontakte ჯგუფს და დაიწყეთ ახალი გაკვეთილების შეტყობინებების მიღება

როგორც სპეციალური ნომერი, მას არ აქვს ნიშანი.

რიცხვების ჩაწერის მაგალითები: + 36, 6; − 273 ; 142. (\displaystyle +36(,)6;\ -273;\ 142.)ბოლო რიცხვს არ აქვს ნიშანი და შესაბამისად დადებითია.

გაითვალისწინეთ, რომ პლუს და მინუსი მიუთითებს ნიშანს რიცხვებისთვის, მაგრამ არა ლიტერატურული ცვლადებისთვის ან ალგებრული გამონათქვამებისთვის. მაგალითად, ფორმულებში −t; a + b − (a 2 + b 2) (\ჩვენების სტილი -t;\ a+b;\ -(a^(2)+b^(2)))პლუს და მინუს სიმბოლოები არ აკონკრეტებენ გამოხატვის ნიშანს მათ წინ უსწრებს, არამედ არითმეტიკული მოქმედების ნიშანს, ამიტომ შედეგის ნიშანი შეიძლება იყოს ნებისმიერი, ის განისაზღვრება მხოლოდ გამოხატვის შეფასების შემდეგ.

არითმეტიკის გარდა, ნიშნის ცნება გამოიყენება მათემატიკის სხვა დარგებში, მათ შორის არარიცხობრივი მათემატიკური ობიექტებისთვის (იხ. ქვემოთ). ნიშნის კონცეფცია ასევე მნიშვნელოვანია ფიზიკის იმ ფილიალებში, სადაც ფიზიკური რაოდენობა იყოფა ორ კლასად, პირობითად უწოდებენ პოზიტიურ და უარყოფითს - მაგალითად, ელექტრული მუხტები, დადებითი და უარყოფითი გამოხმაურება, მიზიდულობისა და მოგერიების სხვადასხვა ძალები.

ნომრის ნიშანი

დადებითი და უარყოფითი რიცხვები

ნულს არ ენიჭება რაიმე ნიშანი, ანუ + 0 (\displaystyle +0)და − 0 (\displaystyle -0)არითმეტიკაში იგივე რიცხვია. მათემატიკურ ანალიზში სიმბოლოების მნიშვნელობა + 0 (\displaystyle +0)და − 0 (\displaystyle -0)შეიძლება განსხვავდებოდეს, იხილეთ ამის შესახებ უარყოფითი და დადებითი ნული; კომპიუტერულ მეცნიერებაში ორი ნულის კომპიუტერული კოდირება (მთლიანი ტიპი) შეიძლება განსხვავდებოდეს, იხილეთ პირდაპირი კოდი.

ზემოაღნიშნულთან დაკავშირებით შემოგთავაზებთ კიდევ რამდენიმე სასარგებლო ტერმინს:

• ნომერი არაუარყოფითითუ ის მეტია ან ტოლია ნულზე.
• ნომერი არაპოზიტიურითუ ის არის ნულზე ნაკლები ან ტოლი.
• დადებით არანულოვან რიცხვებს და უარყოფით არანულოვან რიცხვებს ზოგჯერ (ხაზგასმით, რომ ისინი არ არიან ნულოვანი) უწოდებენ "მკაცრად დადებითი" და "მკაცრად უარყოფითი" შესაბამისად.

იგივე ტერმინოლოგია ზოგჯერ გამოიყენება რეალური ფუნქციებისთვის. მაგალითად, ფუნქციას ეძახიან დადებითითუ მისი ყველა მნიშვნელობა დადებითია, არაუარყოფითითუ მისი ყველა მნიშვნელობა არის არაუარყოფითი და ა.შ. ასევე ამბობენ, რომ ფუნქცია დადებითი/უარყოფითია მისი განსაზღვრის მოცემულ ინტერვალზე..

ფუნქციის გამოყენების მაგალითი იხილეთ სტატიაში კვადრატული ფესვი#კომპლექსური რიცხვები.

რიცხვის მოდული (აბსოლუტური მნიშვნელობა).

თუ ნომერი x (\displaystyle x)ჩამოაგდეს ნიშანი, მიღებული მნიშვნელობა ეწოდება მოდულიან აბსოლუტური მნიშვნელობანომრები x (\displaystyle x), აღინიშნება | x | . (\displaystyle |x|.)მაგალითები: | 3 | = 3; | − 3 | = 3. (\displaystyle |3|=3;\ |-3|=3.)

ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის a, b (\displaystyle a,b)შემდეგი თვისებები ინახება.

არარიცხობრივი ობიექტების ნიშანი

კუთხის ნიშანი

სიბრტყეზე კუთხის მნიშვნელობა დადებითად ითვლება, თუ იგი იზომება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, წინააღმდეგ შემთხვევაში უარყოფითია. ბრუნვის ორი შემთხვევა ანალოგიურად კლასიფიცირებულია:

• ბრუნვა სიბრტყეზე - მაგალითად, ბრუნვა (–90°) არის საათის ისრის მიმართულებით;
• როტაცია სივრცეში ორიენტირებული ღერძის ირგვლივ, როგორც წესი, დადებითად ითვლება, თუ „გიმლეტის წესი“ დაკმაყოფილებულია, წინააღმდეგ შემთხვევაში იგი უარყოფითად ითვლება.

მიმართულების ნიშანი

ანალიტიკურ გეომეტრიასა და ფიზიკაში წინსვლა მოცემული სწორი ხაზის ან მრუდის გასწვრივ ხშირად პირობითად იყოფა დადებით და უარყოფითად. ასეთი დაყოფა შეიძლება დამოკიდებული იყოს პრობლემის ფორმულირებაზე ან არჩეულ კოორდინატულ სისტემაზე. მაგალითად, მრუდის რკალის სიგრძის გაანგარიშებისას ხშირად მოსახერხებელია ამ სიგრძეზე მინუს ნიშნის მინიჭება ორი შესაძლო მიმართულებით.

შედით გამოთვლებში

ყველაზე მნიშვნელოვანი ნაწილი
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
მთელი რიცხვის ნიშნის წარმოსაჩენად კომპიუტერების უმეტესობა იყენებს