გვერდი 1 2-დან

Კითხვა 1.დაამტკიცეთ, რომ მესამეს პარალელურად ორი წრფე პარალელურია.
უპასუხე. თეორემა 4.1. მესამეს პარალელურად ორი წრფე პარალელურია.
მტკიცებულება.მოდით, a და b წრფეები იყოს c წრფის პარალელურად. დავუშვათ, რომ a და b პარალელური არ არის (სურ. 69). შემდეგ ისინი არ იკვეთებიან რაღაც C წერტილში. აქედან გამომდინარე, ორი წრფე გადის C წერტილში და პარალელურია c წრფის. მაგრამ ეს შეუძლებელია, რადგან წერტილის გავლით, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, შეიძლება მოცემული წრფის პარალელურად მაქსიმუმ ერთი ხაზის გაყვანა. თეორემა დადასტურდა.

კითხვა 2.ახსენით რა კუთხეებს ეწოდება შიდა ცალმხრივი. რომელ კუთხეებს ეწოდება შიდა ჯვარი ტყუილი?
უპასუხე.კუთხეების წყვილებს, რომლებიც წარმოიქმნება AB და CD ხაზების AC გადაკვეთისას, განსაკუთრებული სახელები აქვთ.
თუ B და D წერტილები AC წრფესთან შედარებით ერთსა და იმავე ნახევრად სიბრტყეშია, მაშინ BAC და DCA კუთხეებს შიდა ცალმხრივი ეწოდება (ნახ. 71, ა).
თუ B და D წერტილები განლაგებულია AC წრფესთან მიმართებაში განსხვავებულ ნახევრად სიბრტყეში, მაშინ BAC და DCA კუთხეებს ეწოდება შიდა ჯვარედინი დაწოლა (ნახ. 71, ბ).

ბრინჯი. 71

კითხვა 3.დაამტკიცეთ, რომ თუ ერთი წყვილის შიდა ჯვარედინი კუთხეები ტოლია, მაშინ მეორე წყვილის შიდა ჯვარედინი კუთხეებიც ტოლია და თითოეული წყვილის შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°.
უპასუხე.სეკანტური AC AB და CD ხაზებით ქმნის ორ წყვილ შიდა ცალმხრივ და ორ წყვილ შიდა ჯვარედინი დაწოლილ კუთხეებს. ერთი წყვილის შიდა ჯვარედინ დაწოლის კუთხეები, მაგალითად, კუთხე 1 და კუთხე 2, გვერდით არის მეორე წყვილის შიდა ჯვარედინ კუთხეებთან: კუთხე 3 და კუთხე 4 (ნახ. 72).

ბრინჯი. 72

მაშასადამე, თუ ერთი წყვილის შიდა ჯვარედინი კუთხეები ტოლია, მაშინ მეორე წყვილის შიდა ჯვარედინი კუთხეებიც ტოლია.
შიდა ჯვარედინი კუთხეების წყვილს, როგორიცაა კუთხე 1 და კუთხე 2, და წყვილ შიდა ცალმხრივ კუთხეებს, როგორიცაა კუთხე 2 და კუთხე 3, აქვთ ერთი საერთო კუთხე, კუთხე 2 და ორი სხვა მიმდებარე კუთხე, კუთხე. 1 და კუთხე 3.
ამიტომ, თუ შიდა ჯვარედინი კუთხეები ტოლია, მაშინ შიდა კუთხეების ჯამი არის 180°. და პირიქით: თუ შიდა ჯვარედინ დაწოლის კუთხეების ჯამი უდრის 180°-ს, მაშინ შიდა ჯვარედინ დაწოლის კუთხეები ტოლია. ქ.ე.დ.

კითხვა 4.დაამტკიცეთ პარალელური წრფეების კრიტერიუმი.
უპასუხე. თეორემა 4.2 (ტესტი პარალელური წრფეებისთვის).თუ შიდა ჯვარედინი კუთხეები ტოლია ან შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°, მაშინ წრფეები პარალელურია.
მტკიცებულება.მოდით, a და b წრფეებმა შექმნან თანაბარი შიდა ჯვარედინ დაწოლილი კუთხეები AB სეკანტით (სურ. 73, ა). დავუშვათ, a და b წრფეები არ არის პარალელური, რაც ნიშნავს, რომ ისინი იკვეთებიან C რაღაც წერტილში (ნახ. 73, b).

ბრინჯი. 73

სეკანტი AB ყოფს თვითმფრინავს ორ ნახევრად სიბრტყეზე. წერტილი C დევს ერთ-ერთ მათგანში, ავაშენოთ სამკუთხედი BAC 1 , ტოლი ABC სამკუთხედის, C 1 წვერით მეორე ნახევარსიბრტყეში. პირობით, a, b და სეკანტი AB-ის შიდა ჯვარედინი კუთხეები ტოლია. ვინაიდან A და B წვეროებით ABC და BAC 1 სამკუთხედების შესაბამისი კუთხეები ტოლია, ისინი ემთხვევა შიდა ჯვარედინი კუთხეებს. ამრიგად, AC 1 წრფე ემთხვევა a წრფეს, ხოლო BC 1 წრფე ემთხვევა b წრფეს. გამოდის, რომ ორი განსხვავებული ხაზი a და b გადის C და C 1 წერტილებში. და ეს შეუძლებელია. ასე რომ, a და b წრფეები პარალელურია.
თუ a და b წრფეებსა და AB სექანტებს აქვთ შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი ტოლი 180°, მაშინ, როგორც ვიცით, შიდა ჯვარედინი კუთხეები ტოლია. მაშასადამე, რაც ზემოთ დადასტურდა, a და b წრფეები პარალელურია. თეორემა დადასტურდა.

კითხვა 5.ახსენით რა კუთხეებს ჰქვია შესაბამისი. დაამტკიცეთ, რომ თუ შიდა ჯვარედინი კუთხეები ტოლია, მაშინ შესაბამისი კუთხეებიც ტოლია და პირიქით.

უპასუხე.თუ შიდა ჯვარედინი კუთხის წყვილს აქვს ერთი კუთხე ჩანაცვლებული ვერტიკალურით, მაშინ მიიღება წყვილი კუთხე, რომელსაც ეწოდება მოცემული წრფეების შესაბამისი კუთხეები სეკანტით. რისი ახსნა იყო საჭირო.
შიდა ჯვარედინ დაწოლის კუთხეების ტოლობიდან გამომდინარეობს შესაბამისი კუთხეების ტოლობა და პირიქით. ვთქვათ, გვაქვს ორი პარალელური წრფე (რადგან პირობითად შიდა ჯვარედინი კუთხეები ტოლია) და სეკანტი, რომლებიც ქმნიან კუთხეებს 1, 2, 3. კუთხეები 1 და 2 ტოლია როგორც შიდა ჯვარედინი დაწოლა. და კუთხეები 2 და 3 ტოლია ვერტიკალური. ვიღებთ: \(\კუთხე\)1 = \(\კუთხე\)2 და \(\კუთხე\)2 = \(\კუთხე\)3. ტოლობის ნიშნის გარდამავალობის თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ \(\კუთხე\)1 = \(\კუთხე\)3. საპირისპირო მტკიცება ანალოგიურად არის დადასტურებული.
ეს იწვევს პარალელური ხაზების ნიშანს შესაბამის კუთხით. კერძოდ, წრფეები პარალელურია, თუ შესაბამისი კუთხეები ტოლია. ქ.ე.დ.

კითხვა 6.დაამტკიცეთ, რომ მოცემულ წრფეზე არ მდებარე წერტილის მეშვეობით შესაძლებელია მის პარალელურ წრფეზე გაყვანა. რამდენი წრფეა მოცემული წრფის პარალელურად გაყვანილი წერტილიდან, რომელიც არ არის ამ წრფეზე?

უპასუხე.პრობლემა (8). მოცემულია AB წრფე და C წერტილი, რომელიც არ დევს ამ წრფეზე. დაამტკიცეთ, რომ C წერტილის გავლით შესაძლებელია AB წრფის პარალელურად გავლება.
გადაწყვეტილება. სწორი ხაზი AC ყოფს სიბრტყეს ორ ნახევრად სიბრტყეზე (სურ. 75). წერტილი B დევს ერთ-ერთ მათგანში. ნახევარწრფივი CA-დან, მოდით გამოვსახოთ ACD კუთხის CAB ტოლი კუთხე მეორე ნახევარსიბრტყეში. მაშინ AB და CD ხაზები იქნება პარალელური. მართლაც, ამ ხაზებისთვის და AC სექანტისთვის, კუთხეები BAC და DCA არის შიდა ჯვარედინი. და რადგან ისინი ტოლია, AB და CD წრფეები პარალელურია. ქ.ე.დ.
მე-8 ამოცანის და IX აქსიომას (პარალელური წრფეების მთავარი თვისება) შედარებისას მივდივართ მნიშვნელოვან დასკვნამდე: წერტილის მეშვეობით, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, შეიძლება მის პარალელურ წრფის დახატვა და მხოლოდ ერთი.

კითხვა 7.დაამტკიცეთ, რომ თუ ორი წრფე იკვეთება მესამე წრფესთან, მაშინ შიდა ჯვარედინი კუთხეები ტოლია, ხოლო შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°.

უპასუხე. თეორემა 4.3(თეორემა 4.2-თან საუბრისას). თუ ორი პარალელური წრფე იკვეთება მესამე წრფესთან, მაშინ შიდა ჯვარედინი კუთხეები ტოლია, ხოლო შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°.
მტკიცებულება.მოდით, a და b იყოს პარალელური წრფეები და c იყოს წრფე, რომელიც კვეთს მათ A და B წერტილებს. მოდით გავავლოთ a 1 წრფე A წერტილამდე ისე, რომ c სეკანტის მიერ a 1 და b წრფეებით წარმოქმნილი შიდა ჯვარედინი კუთხეები იყოს. თანაბარი (სურ. 76).
წრფეთა პარალელურობის კრიტერიუმით a 1 და b წრფეები პარალელურია. და რადგან მხოლოდ ერთი წრფე გადის A წერტილში, b წრფის პარალელურად, მაშინ a წრფე ემთხვევა a 1 წრფეს.
ეს ნიშნავს, რომ შიდა ჯვარედინი ცრუ კუთხეები ჩამოყალიბებულია სეკანტის მიერ
პარალელური წრფეები a და b ტოლია. თეორემა დადასტურდა.

კითხვა 8.დაამტკიცეთ, რომ მესამეზე პერპენდიკულარული წრფე პარალელურია. თუ წრფე პერპენდიკულარულია ორი პარალელური ხაზიდან ერთ-ერთზე, მაშინ ის ასევე პერპენდიკულარულია მეორის მიმართ.
უპასუხე.თეორემა 4.2-დან გამომდინარეობს, რომ მესამეზე პერპენდიკულარული ორი წრფე პარალელურია.
დავუშვათ, რომ ნებისმიერი ორი წრფე პერპენდიკულარულია მესამე წრფეზე. აქედან გამომდინარე, ეს ხაზები იკვეთება მესამე წრფესთან 90°-ის ტოლი კუთხით.
სეკანტის მიერ პარალელური წრფეების გადაკვეთაზე წარმოქმნილი კუთხეების თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ თუ წრფე პერპენდიკულარულია ერთ-ერთ პარალელურ წრფეზე, მაშინ ის ასევე პერპენდიკულარულია მეორის მიმართ.

კითხვა 9.დაამტკიცეთ, რომ სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°.

უპასუხე. თეორემა 4.4.სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°.
მტკიცებულება.მოდით ABC იყოს მოცემული სამკუთხედი. დახაზეთ წრფე B წვეროში AC წრფის პარალელურად. მონიშნეთ მასზე D წერტილი ისე, რომ A და D წერტილები BC წრფის მოპირდაპირე მხარეს იყოს (ნახ. 78).
კუთხეები DBC და ACB ტოლია, როგორც შიდა ჯვარედინი, ჩამოყალიბებული BC სეკანტით AC და BD პარალელური ხაზებით. მაშასადამე, B და C წვეროებზე სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ABD კუთხის ტოლია.
და სამკუთხედის სამივე კუთხის ჯამი უდრის ABD და BAC კუთხეების ჯამს. ვინაიდან ეს კუთხეები შიდა ცალმხრივია პარალელური AC და BD და სეკანტური AB-სთვის, მათი ჯამი არის 180°. თეორემა დადასტურდა.

კითხვა 10.დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერ სამკუთხედს აქვს მინიმუმ ორი მახვილი კუთხე.
უპასუხე.მართლაც, დავუშვათ, რომ სამკუთხედს აქვს მხოლოდ ერთი მახვილი კუთხე ან საერთოდ არ არის მკვეთრი კუთხე. მაშინ ამ სამკუთხედს აქვს ორი კუთხე, რომელთაგან თითოეული არის მინიმუმ 90°. ამ ორი კუთხის ჯამი არანაკლებ 180°-ია. მაგრამ ეს შეუძლებელია, რადგან სამკუთხედის ყველა კუთხის ჯამი არის 180°. ქ.ე.დ.

ორი წრფის პარალელურობის ნიშნები

თეორემა 1. თუ სეკანტის ორი წრფის გადაკვეთაზე:

დიაგონალურად დაწოლილი კუთხეები ტოლია, ან

შესაბამისი კუთხეები ტოლია, ან

ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°, მაშინ

ხაზები პარალელურია(ნახ. 1).

მტკიცებულება. ჩვენ შემოვიფარგლებით 1-ლი შემთხვევის მტკიცებით.

დავუშვათ, რომ a და b წრფეების გადაკვეთაზე AB სეკანტით, დაწოლილი კუთხეები ტოლია. მაგალითად, ∠ 4 = ∠ 6. დავამტკიცოთ, რომ a || ბ.

დავუშვათ, რომ a და b წრფეები არ არის პარალელური. შემდეგ ისინი იკვეთებიან M რაღაც წერტილში და, შესაბამისად, 4 ან 6 კუთხეებიდან ერთ-ერთი იქნება ABM სამკუთხედის გარე კუთხე. ∠ 4 იყოს ABM სამკუთხედის გარე კუთხე, ხოლო ∠ 6 შიდა კუთხე. სამკუთხედის გარე კუთხის თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ ∠ 4 მეტია ∠ 6-ზე და ეს ეწინააღმდეგება პირობას, რაც ნიშნავს, რომ a და 6 წრფეები ვერ იკვეთება, ამიტომ ისინი პარალელურები არიან.

დასკვნა 1. ერთი და იგივე წრფის პერპენდიკულარულ სიბრტყეში ორი განსხვავებული ხაზი პარალელურია(ნახ. 2).

კომენტარი. გზა, რომლითაც ჩვენ ახლახან დავამტკიცეთ თეორემა 1-ის შემთხვევა, ეწოდება მტკიცების მეთოდს წინააღმდეგობით ან აბსურდობამდე. ამ მეთოდმა მიიღო თავისი სახელი, რადგან მსჯელობის დასაწყისში კეთდება ვარაუდი, რომელიც საპირისპიროა (საპირისპირო) იმისა, რაც დასამტკიცებელია. მას აბსურდობამდე დაყვანა იმიტომ ჰქვია, რომ გამოთქმული ვარაუდის საფუძველზე კამათით მივდივართ აბსურდულ დასკვნამდე (აბსურდობა). ასეთი დასკვნის მიღება გვაიძულებს უარვყოთ დასაწყისში გაკეთებული ვარაუდი და მივიღოთ ის, რაც საჭირო იყო დასამტკიცებლად.

დავალება 1.ააგეთ წრფე, რომელიც გადის მოცემულ M წერტილში და პარალელურად არის მოცემული a წრფეზე, რომელიც არ გადის M წერტილს.

გადაწყვეტილება. ვხაზავთ p წრფეს A წრფის პერპენდიკულარულ M წერტილში (ნახ. 3).

შემდეგ ვხაზავთ b წრფეს M წერტილის პერპენდიკულარულ p წრფეზე. b წრფე პარალელურია a წრფის თეორემა 1-ის დასკვნის მიხედვით.

განხილული პრობლემისგან მნიშვნელოვანი დასკვნა გამოდის:
წერტილის გავლით, რომელიც არ არის მოცემულ წრფეზე, ყოველთვის შეიძლება მოცემული წრფის პარალელურად წრფის დახატვა..

პარალელური წრფეების ძირითადი თვისება შემდეგია.

პარალელური წრფეების აქსიომა. მოცემული წერტილის გავლით, რომელიც არ არის მოცემულ წრფეზე, არის მხოლოდ ერთი ხაზი მოცემული წრფის პარალელურად.

განვიხილოთ პარალელური წრფეების ზოგიერთი თვისება, რომელიც მოჰყვება ამ აქსიომას.

1) თუ წრფე კვეთს ორი პარალელური წრფედან ერთს, მაშინ ის კვეთს მეორეს (სურ. 4).

2) თუ ორი განსხვავებული წრფე პარალელურია მესამე წრფის პარალელურად, მაშინ ისინი პარალელურია (ნახ. 5).

შემდეგი თეორემა ასევე მართალია.

თეორემა 2. თუ ორი პარალელური წრფე გადაკვეთილია სეკანტით, მაშინ:

დაწოლის კუთხეები ტოლია;

შესაბამისი კუთხეები ტოლია;

ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°.

შედეგი 2. თუ წრფე პერპენდიკულარულია ორი პარალელური ხაზიდან ერთ-ერთზე, მაშინ ის ასევე პერპენდიკულარულია მეორის მიმართ.(იხ. სურ.2).

კომენტარი. თეორემა 2-ს ეწოდება თეორემა 1-ის შებრუნებული. თეორემა 1-ის დასკვნა არის თეორემა 2-ის პირობა. ხოლო თეორემა 1-ის პირობა არის თეორემა 2-ის დასკვნა. ყველა თეორემას არ აქვს შებრუნებული, ანუ თუ მოცემული თეორემა ჭეშმარიტია, მაშინ საპირისპირო თეორემა შეიძლება იყოს მცდარი.

ეს ავხსნათ ვერტიკალური კუთხეების თეორემის მაგალითით. ეს თეორემა შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: თუ ორი კუთხე ვერტიკალურია, მაშინ ისინი ტოლია. შებრუნებული თეორემა ასეთი იქნება: თუ ორი კუთხე ტოლია, მაშინ ისინი ვერტიკალურია. და ეს, რა თქმა უნდა, სიმართლეს არ შეესაბამება. ორი თანაბარი კუთხე საერთოდ არ უნდა იყოს ვერტიკალური.

მაგალითი 1ორი პარალელური ხაზი კვეთს მესამეს. ცნობილია, რომ განსხვავება ორ შიდა ცალმხრივ კუთხეს შორის არის 30°. იპოვე ეს კუთხეები.

გადაწყვეტილება. დაე, ფიგურა 6 აკმაყოფილებდეს პირობას.

ისინი არ იკვეთებიან, რამდენ ხანსაც არ უნდა გააგრძელონ. ხაზების პარალელურობა წერილობით მითითებულია შემდეგნაირად: AB|| თანე

ასეთი წრფეების არსებობის შესაძლებლობა დასტურდება თეორემით.

თეორემა.

მოცემული წრფის მიღმა აღებული ნებისმიერი წერტილის საშუალებით შეიძლება ამ წრფის პარალელის გავლება..

დაე იყოს ABეს ხაზი და თანმის გარეთ აღებული რაღაც წერტილი. ამის დამტკიცებაა საჭირო თანშეგიძლიათ დახაზოთ სწორი ხაზი პარალელურადAB. მოდით ჩავაგდოთ ABწერტილიდან თან პერპენდიკულარულითანდდა შემდეგ ჩვენ თანე^ თანდ, რა არის შესაძლებელი. პირდაპირ CEპარალელურად AB.

დასამტკიცებლად ჩვენ ვვარაუდობთ საპირისპიროს, ე.ი CEიკვეთება ABრაღაც მომენტში მ. მერე წერტილიდან მსწორ ხაზზე თანდგვექნებოდა ორი განსხვავებული პერპენდიკულარი მდდა ᲥᲐᲚᲑᲐᲢᲝᲜᲘ, რაც შეუძლებელია. ნიშნავს, CEვერ გადაიკვეთება AB, ე.ი. თანეპარალელურად AB.

შედეგი.

ორი პერპენდიკულარი (Cედად.ბ.) ერთ სწორ ხაზამდე (Сდ) პარალელურია.

პარალელური წრფეების აქსიომა.

ერთი და იმავე წერტილის გავლით შეუძლებელია ერთი და იმავე წრფის პარალელურად ორი განსხვავებული ხაზის დახატვა.

ასე რომ, თუ სწორი ხაზი თანდ, შედგენილი მეშვეობით წერტილი თანსწორი ხაზის პარალელურად AB, შემდეგ ნებისმიერი სხვა ხაზი თანეიმავე წერტილის გავლით თან, არ შეიძლება იყოს პარალელური AB, ე.ი. ის აგრძელებს იკვეთებათან AB.

ამ არც თუ ისე აშკარა სიმართლის დადასტურება შეუძლებელი აღმოჩნდება. იგი მიღებულია მტკიცებულების გარეშე, როგორც აუცილებელი ვარაუდი (postulatum).

შედეგები.

1. თუ სწორი(თანე) კვეთს ერთ-ერთს პარალელურად(სვ), შემდეგ ის იკვეთება მეორესთან ( AB), რადგან სხვაგვარად იმავე წერტილიდან თანორი განსხვავებული სწორი ხაზი, პარალელურად AB, რაც შეუძლებელია.

2. თუ ყოველი ორი პირდაპირი (ადაბ) პარალელურია იმავე მესამე ხაზის ( თან) , მაშინ ისინი პარალელურები არიანმათ შორის.

მართლაც, თუ დავუშვებთ, რომ ადა ბიკვეთება რაღაც მომენტში მ, მაშინ ორი განსხვავებული სწორი ხაზი, ერთმანეთის პარალელურად, გაივლიდა ამ წერტილს. თან, რაც შეუძლებელია.

თეორემა.

Თუ სწორი ხაზი პერპენდიკულარულიაერთ-ერთ პარალელურ წრფეზე, მაშინ ის მეორეზე პერპენდიკულარულია პარალელურად.

დაე იყოს AB || თანდდა EF ^ AB.აუცილებელია ამის დამტკიცება EF ^ თანდ.

Პერპენდიკულარულიეფ, კვეთს AB, აუცილებლად გადაიკვეთება და თანდ. გადაკვეთის წერტილი იყოს ჰ.

დავუშვათ ახლა ეს თანდარა პერპენდიკულარული ეჰ. შემდეგ სხვა ხაზი, მაგალითად HK, იქნება პერპენდიკულარული ეჰდა შესაბამისად იმავე წერტილის გავლით ჰორი სწორი პარალელურად AB: ერთი თანდ, პირობით და სხვა HKროგორც ადრე დადასტურდა. ვინაიდან ეს შეუძლებელია, არ შეიძლება ვივარაუდოთ სვარ იყო პერპენდიკულარული ეჰ.

Კლასი: 2

გაკვეთილის მიზანი:

• ჩამოაყალიბეთ 2 წრფის პარალელურობის კონცეფცია, გაითვალისწინეთ პარალელური წრფეების პირველი ნიშანი;
• გამოუმუშავდეს ნიშნის გამოყენების უნარი პრობლემების გადაჭრაში.

Დავალებები:

1. საგანმანათლებლო: შესწავლილი მასალის გამეორება და კონსოლიდაცია, 2 წრფის პარალელურობის ცნების ჩამოყალიბება, 2 წრფის პარალელურობის 1-ლი ნიშნის დადასტურება.
2. საგანმანათლებლო: რვეულში ჩანაწერების ზუსტად შენახვისა და ნახატების აგების წესების დაცვით უნარის გამომუშავება.
3. განვითარების ამოცანები: ლოგიკური აზროვნების, მეხსიერების, ყურადღების განვითარება.

საგაკვეთილო აღჭურვილობა:

• მულტიმედიური პროექტორი;
• ეკრანი, პრეზენტაციები;
• ხატვის ხელსაწყოები.

გაკვეთილების დროს

I. საორგანიზაციო მომენტი.

მისალმებები, გაკვეთილისთვის მზადყოფნის შემოწმება.

II. აქტიური UPD-ისთვის მზადება.

ეტაპი 1.

გეომეტრიის პირველ გაკვეთილზე განვიხილეთ 2 წრფის ფარდობითი პოზიცია სიბრტყეზე.

Კითხვა.რამდენი საერთო წერტილი შეიძლება ჰქონდეს ორ წრფეს?
უპასუხე.ორ წრფეს შეიძლება ჰქონდეს ერთი საერთო წერტილი, ან არ ჰქონდეს ერთზე მეტი საერთო წერტილი.

Კითხვა.როგორ განლაგდება 2 ხაზი ერთმანეთთან შედარებით, თუ მათ აქვთ ერთი საერთო წერტილი?
უპასუხე.თუ ხაზებს აქვთ ერთი საერთო წერტილი, მაშინ ისინი იკვეთება

Კითხვა.როგორ მდებარეობს 2 ხაზი ერთმანეთთან შედარებით, თუ მათ არ აქვთ საერთო წერტილები?
უპასუხე.ამ შემთხვევაში, ხაზები არ იკვეთება.

ეტაპი 2.

ბოლო გაკვეთილზე თქვენ დაგევალათ პრეზენტაციის გაკეთება, სადაც ჩვენს ცხოვრებაში და ბუნებაში ვხვდებით გადამკვეთ ხაზებს. ახლა ჩვენ გადავხედავთ ამ პრეზენტაციებს და ავირჩევთ მათგან საუკეთესოს. (ჟიურიში შედიოდნენ სტუდენტები, რომლებსაც დაბალი ინტელექტის გამო უჭირთ საკუთარი პრეზენტაციების შექმნა).

მოსწავლეთა მიერ გაკეთებული პრეზენტაციების დათვალიერება: „ხაზების პარალელურობა ბუნებასა და ცხოვრებაში“ და მათგან საუკეთესოს არჩევა.

III. აქტიური UPD (ახალი მასალის ახსნა).

ეტაპი 1.

სურათი 1

განმარტება.სიბრტყეში ორ წრფეს, რომლებიც არ იკვეთება, პარალელურს უწოდებენ.

ეს ცხრილი გვიჩვენებს სიბრტყეზე 2 პარალელური წრფის მოწყობის სხვადასხვა შემთხვევას.

განვიხილოთ რომელი სეგმენტები იქნება პარალელური.

სურათი 2

1) თუ წრფე a პარალელურია b-ის, მაშინ სეგმენტები AB და CD ასევე პარალელურია.

2) წრფის სეგმენტი შეიძლება იყოს სწორი ხაზის პარალელურად. ასე რომ, სეგმენტი MN პარალელურია a წრფისა.

სურათი 3

3) AB სეგმენტი h სხივის პარალელურია. სხივი h პარალელურია სხივის k.

4) თუ a წრფე პერპენდიკულარულია c წრფეზე, ხოლო b წრფე პერპენდიკულარულია c წრფეზე, მაშინ a და b წრფეები პარალელურია.

ეტაპი 2.

ორი პარალელური ხაზით და განივი ხაზით ჩამოყალიბებული კუთხეები.

სურათი 4

ორი პარალელური ხაზი კვეთს მესამე წრფეს ორ წერტილში. ამ შემთხვევაში, იქმნება რვა კუთხე, რომლებიც მითითებულია ფიგურაში ციფრებით.

ამ კუთხის ზოგიერთ წყვილს აქვს სპეციალური სახელები (იხ. სურათი 4).

არსებობს სამი ნიშანი, ორი წრფის პარალელიზმიასოცირდება ამ კუთხეებთან. ამ გაკვეთილზე ჩვენ გადავხედავთ პირველი ნიშანი.

ეტაპი 3.

გავიმეოროთ მასალა, რომელიც საჭიროა ამ თვისების დასამტკიცებლად.

სურათი 5

Კითხვა.რა ჰქვია მე-5 სურათზე გამოსახულ კუთხეებს?
უპასუხე. AOC და COB კუთხეებს მიმდებარე ეწოდება.

Კითხვა.რომელ კუთხეებს უწოდებენ მიმდებარედ? მიეცით განმარტება.
უპასუხე.ორ კუთხეს მიმდებარე ეწოდება, თუ მათ ერთი მხარე აქვთ საერთო, ხოლო დანარჩენი ორი ერთმანეთის გაგრძელებაა.

Კითხვა.რა თვისებები აქვთ მიმდებარე კუთხეებს?
უპასუხე.მიმდებარე კუთხეები ემატება 180 გრადუსს.
AOC + COB = 180°

Კითხვა.რა ჰქვია 1 და 2 კუთხეებს?
უპასუხე. 1 და 2 კუთხეებს ვერტიკალური ეწოდება.

Კითხვა.რა თვისებები აქვს ვერტიკალურ კუთხეებს?
უპასუხე.ვერტიკალური კუთხეები ერთმანეთის ტოლია.

ეტაპი 4.

პარალელიზმის პირველი ნიშნის დადასტურება.

თეორემა.თუ ორი წრფის გადაკვეთაზე განივი კუთხეები ტოლია, მაშინ წრფეები პარალელურია.

სურათი 6

მოცემული: a და b სწორია
AB - სეკანტი
1 = 2
დაამტკიცე:ა//ბ.

1 შემთხვევა.

სურათი 7

თუ 1 და 2 სწორი ხაზებია, მაშინ a არის AB-ის პერპენდიკულარული, ხოლო b არის AB-ის პერპენდიკულარული, მაშინ a//b.

მე-2 შემთხვევა.

Ფიგურა 8

განვიხილოთ შემთხვევა, როცა 1 და 2 სწორი წრფეები არ არის.AB მონაკვეთს ვყოფთ შუაზე O წერტილით.

Კითხვა.რამდენი იქნება AO და OB სეგმენტების სიგრძე?
უპასუხე.სეგმენტები AO და OB ტოლია სიგრძით.

1) O წერტილიდან ვხატავთ a წრფეზე პერპენდიკულარს, OH არის a-ზე პერპენდიკულარული.

Კითხვა.რა იქნება კუთხე 3?
უპასუხე.მე-3 კუთხე სწორი იქნება.

2) b სწორი ხაზის A წერტილიდან, კომპასით ვდებთ AH 1 = BH სეგმენტს.

3) დავხატოთ სეგმენტი OH 1.

Კითხვა.რა სამკუთხედები ჩამოყალიბდა დამტკიცების შედეგად?
უპასუხე.სამკუთხედი ONV და სამკუთხედი OH 1 A.

დავამტკიცოთ, რომ ისინი თანასწორნი არიან.

Კითხვა.რა კუთხეებია ტოლი თეორემის ჰიპოთეზის მიხედვით?
უპასუხე.კუთხე 1 უდრის კუთხე 2-ს.

Კითხვა.რომელი მხარეები ტოლია კონსტრუქციაში.
უპასუხე. AO = OB და AN 1 = VN

Კითხვა.რის საფუძველზეა სამკუთხედები თანმიმდევრული?
უპასუხე.სამკუთხედები ტოლია ორ გვერდში და მათ შორის კუთხე (სამკუთხედების ტოლობის პირველი ნიშანი).

Კითხვა.რა თვისება აქვთ კონგრუენტულ სამკუთხედებს?
უპასუხე.ტოლ სამკუთხედებს აქვთ თანაბარი კუთხეები თანაბარი გვერდების საპირისპიროდ.

Კითხვა.რა კუთხეები იქნება ტოლი?
უპასუხე. 5 = 6, 3 = 4.

Კითხვა.რა ჰქვია 5 და 6?
უპასუხე.ამ კუთხეებს ვერტიკალური ეწოდება.

აქედან გამომდინარეობს, რომ წერტილები: H 1 , O, H დევს ერთ სწორ ხაზზე.
იმიტომ რომ 3 არის სწორი და 3 = 4, შემდეგ 4 არის სწორი.

Კითხვა.როგორ განლაგებულია წრფეები a და b HH 1 წრფესთან მიმართებაში, თუ კუთხეები 3 და 4 სწორია?
უპასუხე.ხაზები a და b პერპენდიკულარულია HH 1-ზე.

Კითხვა.რა შეგვიძლია ვთქვათ ერთი სწორი ხაზის ორ პერპენდიკულარზე?
უპასუხე.ერთი წრფის ორი პერპენდიკულარი პარალელურია.

ასე რომ ა//ბ. თეორემა დადასტურდა.

ახლა კი თავიდანვე გავიმეორებ ყველა მტკიცებულებას, თქვენ კი ყურადღებით მომისმენთ და შეეცდებით გაიგოთ ყველაფერი დასამახსოვრებელი.

IV. ახალი მასალის კონსოლიდაცია.

სხვადასხვა დონის ინტელექტის მქონე ჯგუფებში მუშაობა, რასაც მოჰყვება შემოწმება ეკრანზე და დაფაზე. დაფაზე მუშაობს 3 მოსწავლე (თითოეული ჯგუფიდან).

№1 (ინტელექტუალური განვითარების შემცირებული დონის მოსწავლეებისთვის).

მოცემული: a და b სწორია
გ - სეკანტური
1 = 37°
7 = 143°
დაამტკიცე:ა//ბ.

გადაწყვეტილება.

7 = 6 (ვერტიკალური) 6 = 143°
1 + 4 = 180° (მიმდებარედ) 4 =180° – 37° = 143°
4 \u003d 6 \u003d 143 °, და ისინი განლაგებულია ჯვარედინი a//b 5 \u003d 48 °, 3 და 5 არის ჯვარედინ დაწოლილი კუთხეები, ისინი უდრის a//b.

სურათი 11

V. გაკვეთილის შეჯამება.

გაკვეთილის შედეგი ხორციელდება 1-8 ნახატების გამოყენებით.

ფასდება მოსწავლეთა აქტივობა გაკვეთილზე (თითოეული მოსწავლე იღებს შესაბამის სმაილიკს).

Საშინაო დავალება:ასწავლე - გვ.52-53; გადაჭრით No186 (ბ, გ).

პარალელიზმი ძალიან სასარგებლო თვისებაა გეომეტრიაში. რეალურ ცხოვრებაში, პარალელური მხარეები საშუალებას გაძლევთ შექმნათ ლამაზი, სიმეტრიული ნივთები, რომლებიც სასიამოვნოა ნებისმიერი თვალისთვის, ამიტომ გეომეტრიას ყოველთვის სჭირდებოდა გზები ამ პარალელურობის შესამოწმებლად. პარალელური ხაზების ნიშნებზე ამ სტატიაში ვისაუბრებთ.

პარალელიზმის განმარტება

მოდით გამოვყოთ ის განმარტებები, რომლებიც უნდა იცოდეთ ორი წრფის პარალელურობის ნიშნების დასამტკიცებლად.

წრფეებს უწოდებენ პარალელურს, თუ მათ არ აქვთ გადაკვეთის წერტილები. გარდა ამისა, ხსნარებში, პარალელური ხაზები, როგორც წესი, მიდის სეკანტურ ხაზთან ერთად.

სეკანტური წრფე არის წრფე, რომელიც კვეთს ორივე პარალელურ წრფეს. ამ შემთხვევაში ჯვარედინად იქმნება მწოლიარე, შესაბამისი და ცალმხრივი კუთხეები. 1 და 4 კუთხეების წყვილი იქნება განლაგებული; 2 და 3; 8 და 6; 7 და 5. შესაბამისი იქნება 7 და 2; 1 და 6; 8 და 4; 3 და 5.

ცალმხრივი 1 და 2; 7 და 6; 8 და 5; 3 და 4.

სათანადო ფორმატირებისას იწერება: „ჯვარედინიანი კუთხეები ორი პარალელური წრფით a და b და სეკანტი c“, რადგან ორი პარალელური ხაზისთვის შეიძლება იყოს უსასრულო რაოდენობის სეკანტები, ამიტომ უნდა მიუთითოთ რომელ სეკანტს გულისხმობთ.

ასევე, დასამტკიცებლად გვჭირდება თეორემა სამკუთხედის გარე კუთხის შესახებ, რომელშიც ნათქვამია, რომ სამკუთხედის გარე კუთხე უდრის სამკუთხედის ორი კუთხის ჯამს, რომლებიც არ არიან მიმდებარე.

ნიშნები

პარალელური წრფეების ყველა ნიშანი უკავშირდება კუთხეების თვისებების ცოდნას და თეორემას სამკუთხედის გარე კუთხის შესახებ.

თვისება 1

ორი წრფე პარალელურია, თუ გადამკვეთი კუთხეები ტოლია.

განვიხილოთ ორი a და b წრფე c სეკანტით. ჯვარედინი დაწოლის კუთხეები 1 და 4 ტოლია. დავუშვათ, რომ ხაზები არ არის პარალელური. ეს ნიშნავს, რომ ხაზები იკვეთება და უნდა არსებობდეს გადაკვეთის წერტილი M. შემდეგ იქმნება სამკუთხედი AVM გარე კუთხით 1. გარე კუთხე უნდა იყოს ტოლი 4 კუთხის ჯამის და AVM, როგორც მის არამიმდებარედ, შესაბამისად. თეორემა გარე კუთხის შესახებ სამკუთხედში. მაგრამ შემდეგ გამოდის, რომ კუთხე 1 მეტია, ვიდრე კუთხე 4 და ეს ეწინააღმდეგება პრობლემის მდგომარეობას, რაც ნიშნავს, რომ წერტილი M არ არსებობს, წრფეები არ იკვეთება, ანუ ისინი პარალელურები არიან.

ბრინჯი. 1. ნახატი დასამტკიცებლად.

ფუნქცია 2

ორი წრფე პარალელურია, თუ შესაბამისი სკანტური კუთხეები ტოლია.

განვიხილოთ ორი a და b წრფე c სეკანტით. შესაბამისი კუთხეები 7 და 2 ტოლია. მივაქციოთ ყურადღება მე-3 კუთხეს. ის ვერტიკალურია მე-7 კუთხისთვის. ამიტომ კუთხეები 7 და 3 ტოლია. ასე რომ, კუთხეები 3 და 2 ასევე ტოლია, რადგან<7=<2 и <7=<3. А угол 3 и угол 2 являются накрест лежащими. Следовательно, прямые параллельны, что и требовалось доказать.

ბრინჯი. 2. ნახატი დასამტკიცებლად.

თვისება 3

ორი წრფე პარალელურია, თუ ცალმხრივი კუთხეების ჯამი 180 გრადუსია.

ბრინჯი. 3. ნახატი დასამტკიცებლად.

განვიხილოთ ორი a და b წრფე c სეკანტით. 1 და 2 ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180 გრადუსი. ყურადღება მივაქციოთ 1 და 7 კუთხეებს. ისინი მიმდებარედ არიან. ანუ:

$$<1+<7=180$$

$$<1+<2=180$$

გამოვაკლოთ მეორე პირველ გამონათქვამს:

$$(<1+<7)-(<1+<2)=180-180$$

$$(<1+<7)-(<1+<2)=0$$

$$<1+<7-<1-<2=0$$

$$<7-<2=0$$

$<7=<2$ - а они являются соответственными. Значит, прямые параллельны.

რა ვისწავლეთ?

ჩვენ დეტალურად გავაანალიზეთ რა კუთხეები მიიღება პარალელური ხაზების მესამე ხაზით ჭრისას, დავადგინეთ და დეტალურად აღვწერეთ წრფეების პარალელურობის სამი ნიშნის მტკიცებულება.

თემის ვიქტორინა

სტატიის რეიტინგი

Საშუალო რეიტინგი: 4.1. სულ მიღებული შეფასებები: 220.