მარტივი რიცხვების პროდუქტები. მარტივი რიცხვები

სტატია ეხება მარტივი და შედგენილი რიცხვების ცნებებს. მოცემულია ასეთი რიცხვების განმარტებები მაგალითებით. ჩვენ ვაძლევთ მტკიცებულებას, რომ მარტივი რიცხვების რაოდენობა შეუზღუდავია და ვაკეთებთ ჩანაწერს მარტივი რიცხვების ცხრილში ერატოსთენეს მეთოდით. მოყვანილი იქნება მტკიცებულება, არის თუ არა რიცხვი მარტივი თუ შედგენილი.

Yandex.RTB R-A-339285-1

მარტივი და შედგენილი რიცხვები - განმარტებები და მაგალითები

მარტივი და კომპოზიტური რიცხვები კლასიფიცირდება როგორც დადებითი მთელი რიცხვები. ისინი უნდა იყოს ერთზე მეტი. გამყოფები ასევე იყოფა მარტივ და რთულებად. კომპოზიტური რიცხვების ცნების გასაგებად, ჯერ უნდა შევისწავლოთ გამყოფებისა და ჯერადების ცნებები.

განმარტება 1

მარტივი რიცხვები არის მთელი რიცხვები, რომლებიც ერთზე მეტია და აქვთ ორი დადებითი გამყოფი, ანუ საკუთარი თავი და 1.

განმარტება 2

კომპოზიტური რიცხვები არის მთელი რიცხვები, რომლებიც ერთზე მეტია და აქვთ მინიმუმ სამი დადებითი გამყოფი.

ერთი არც მარტივი და არც შედგენილი რიცხვია. მას აქვს მხოლოდ ერთი დადებითი გამყოფი, ამიტომ იგი განსხვავდება ყველა სხვა დადებითი რიცხვისგან. ყველა დადებით რიცხვს ბუნებრივს უწოდებენ, ანუ გამოიყენება დათვლაში.

განმარტება 3

მარტივი რიცხვებიარის ნატურალური რიცხვები, რომლებსაც აქვთ მხოლოდ ორი დადებითი გამყოფი.

განმარტება 4

კომპოზიტური ნომერიარის ნატურალური რიცხვი, რომელსაც აქვს ორზე მეტი დადებითი გამყოფი.

1-ზე მეტი ნებისმიერი რიცხვი არის მარტივი ან კომპოზიტური. გაყოფის თვისებიდან გვაქვს ის, რომ 1 და რიცხვი a ყოველთვის იქნება გამყოფი ნებისმიერი a რიცხვისთვის, ანუ ის იყოფა თავის თავზე და 1-ზე. ჩვენ ვაძლევთ მთელი რიცხვების განმარტებას.

განმარტება 5

ბუნებრივ რიცხვებს, რომლებიც არ არიან მარტივი, ეწოდებათ შედგენილი რიცხვები.

მარტივი რიცხვები: 2, 3, 11, 17, 131, 523. ისინი იყოფა მხოლოდ საკუთარ თავზე და 1-ზე. კომპოზიტური ნომრები: 6, 63, 121, 6697. ანუ რიცხვი 6 შეიძლება დაიშალოს 2-ად და 3-ად, ხოლო 63-ად 1, 3, 7, 9, 21, 63 და 121 11-ად, 11-ად, ანუ მისი გამყოფები იქნება 1, 11, 121. რიცხვი 6697 დაიშლება 37-ად და 181-ად. გაითვალისწინეთ, რომ მარტივი და შედარებით მარტივი რიცხვების ცნებები განსხვავებული ცნებებია.

მარტივი რიცხვების გამოყენების გასაადვილებლად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ცხრილი:

ცხრილი ყველა არსებული ნატურალური რიცხვისთვის არარეალურია, რადგან მათი რიცხვი უსასრულოა. როდესაც რიცხვები მიაღწევს ზომებს 10000 ან 1000000000, მაშინ უნდა იფიქროთ ერატოსთენეს საცრის გამოყენებაზე.

განვიხილოთ თეორემა, რომელიც ხსნის ბოლო დებულებას.

თეორემა 1

1-ზე მეტი ნატურალური რიცხვის უმცირესი დადებითი გამყოფი 1-ის გარდა არის მარტივი რიცხვი.

მტკიცებულება 1

დავუშვათ, რომ a არის 1-ზე მეტი ნატურალური რიცხვი, b არის a-ის უმცირესი არაერთი გამყოფი. უნდა დავამტკიცოთ, რომ b არის მარტივი რიცხვი წინააღმდეგობების მეთოდის გამოყენებით.

ვთქვათ b არის კომპოზიტური რიცხვი. აქედან გვაქვს, რომ არსებობს b-ის გამყოფი, რომელიც განსხვავდება როგორც 1-ისგან, ასევე b-ისგან. ასეთი გამყოფი აღინიშნება როგორც b 1 . აუცილებელია 1 პირობა< b 1 < b დასრულებულია.

ეს ჩანს იმ პირობით, რომ a იყოფა b-ზე, b იყოფა b 1-ზე, რაც ნიშნავს, რომ გაყოფის ცნება ასე გამოიხატება: a = b qდა b = b 1 q 1 , საიდანაც a = b 1 (q 1 q) , სადაც q და q 1არის მთელი რიცხვები. მთელი რიცხვების გამრავლების წესის მიხედვით გვაქვს, რომ მთელი რიცხვების ნამრავლი არის a = b 1 · (q 1 · q) ფორმის ტოლობის მთელი რიცხვი. ჩანს, რომ b 1 არის ა-ს გამყოფი. უტოლობა 1< b 1 < b არაემთხვევა, რადგან მივიღებთ, რომ b არის a-ს ყველაზე პატარა დადებითი არა-1 გამყოფი.

თეორემა 2

უსასრულოდ ბევრი მარტივი რიცხვია.

მტკიცებულება 2

დავუშვათ, რომ ავიღებთ n ნატურალური რიცხვების სასრულ რაოდენობას და აღვნიშნავთ როგორც p 1 , p 2 , ... , p n . მოდით განვიხილოთ მითითებულიდან განსხვავებული მარტივი რიცხვის პოვნის ვარიანტი.

განვიხილოთ რიცხვი p, რომელიც უდრის p 1 , p 2 , … , p n + 1 . ის არ უდრის p 1 , p 2 , ... , p n ფორმის მარტივ რიცხვებს . რიცხვი p არის მარტივი. მაშინ თეორემა დადასტურებულად ითვლება. თუ ის კომპოზიტურია, მაშინ უნდა ავიღოთ აღნიშვნა p n + 1 და აჩვენეთ გამყოფის შეუსაბამობა რომელიმე p 1 , p 2 , … , p n .

თუ ეს ასე არ იყო, მაშინ ნამრავლის გაყოფის თვისებაზე დაყრდნობით p 1 , p 2 , ... , p n , მივიღებთ, რომ ის იყოფა p n + 1-ზე. გაითვალისწინეთ, რომ გამოხატულება p n + 1 რიცხვი p გაყოფილი უდრის ჯამს p 1 , p 2 , ... , p n + 1 . მივიღებთ, რომ გამოთქმა p n + 1 ამ ჯამის მეორე წევრი, რომელიც უდრის 1-ს, უნდა გაიყოს, მაგრამ ეს შეუძლებელია.

ჩანს, რომ ნებისმიერი მარტივი რიცხვი შეიძლება მოიძებნოს მოცემულ მარტივ რიცხვებს შორის. აქედან გამომდინარეობს, რომ უსასრულოდ ბევრი მარტივი რიცხვია.

ვინაიდან უამრავი მარტივი რიცხვია, ცხრილები შემოიფარგლება 100, 1000, 10000 და ა.შ.

მარტივი რიცხვების ცხრილის შედგენისას უნდა გავითვალისწინოთ ის ფაქტი, რომ ასეთი დავალება მოითხოვს რიცხვების თანმიმდევრულ შემოწმებას, დაწყებული 2-დან 100-მდე. თუ გამყოფი არ არის, ის ჩაიწერება ცხრილში, თუ კომპოზიტურია, მაშინ არ შეიტანება ცხრილში.

განვიხილოთ ეტაპობრივად.

თუ დაიწყებთ 2 რიცხვით, მაშინ მას აქვს მხოლოდ 2 გამყოფი: 2 და 1, რაც ნიშნავს, რომ ის შეიძლება შევიდეს ცხრილში. ასევე 3 ნომრით. რიცხვი 4 არის კომპოზიტური, ის უნდა დაიშალოს 2-ად და 2-ად. რიცხვი 5 არის მარტივი, რაც ნიშნავს, რომ ის შეიძლება დაფიქსირდეს ცხრილში. გააკეთეთ ეს 100 რიცხვამდე.

ეს მეთოდი არასასიამოვნო და შრომატევადია. მაგიდის გაკეთება შეგიძლიათ, მაგრამ დიდი დროის დახარჯვა მოგიწევთ. აუცილებელია გაყოფის კრიტერიუმების გამოყენება, რაც დააჩქარებს გამყოფების პოვნის პროცესს.

ყველაზე მოსახერხებლად ითვლება ერატოსთენეს საცრის გამოყენებით მეთოდი. მოდით შევხედოთ ქვემოთ მოცემულ ცხრილებს. დასაწყისისთვის იწერება რიცხვები 2, 3, 4, ..., 50.

ახლა თქვენ უნდა გადაკვეთოთ ყველა ის რიცხვი, რომელიც არის 2-ის ჯერადი. გააკეთეთ თანმიმდევრული გადაკვეთა. ჩვენ ვიღებთ ფორმის ცხრილს:

მოდით გადავიდეთ რიცხვების გადაკვეთაზე, რომლებიც 5-ის ჯერადი არიან. ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ გადავხაზავთ რიცხვებს, რომლებიც მრავლდებიან 7-ის, 11-ის. საბოლოოდ მაგიდა ასე გამოიყურება

გადავიდეთ თეორემის ფორმულირებაზე.

თეორემა 3

a საბაზისო რიცხვის უმცირესი დადებითი და არა-1 გამყოფი არ აღემატება a-ს, სადაც a არის მოცემული რიცხვის არითმეტიკული ფესვი.

მტკიცებულება 3

აუცილებელია b აღვნიშნოთ a შედგენილი რიცხვის უმცირესი გამყოფი. არის მთელი რიცხვი q , სადაც a = b · q , და გვაქვს რომ b ≤ q . ფორმის უთანასწორობა b > qრადგან პირობა დარღვეულია. b ≤ q უტოლობის ორივე მხარე უნდა გავამრავლოთ ნებისმიერ დადებით რიცხვზე b, რომელიც არ არის 1-ის ტოლი. მივიღებთ, რომ b b ≤ b q, სადაც b 2 ≤ a და b ≤ a.

დადასტურებული თეორემიდან ჩანს, რომ ცხრილის რიცხვების გადაკვეთა იწვევს იმ ფაქტს, რომ აუცილებელია დაიწყოს რიცხვი, რომელიც უდრის b 2-ს და აკმაყოფილებს b 2 ≤ a უტოლობას. ანუ თუ გადახაზავთ რიცხვებს, რომლებიც 2-ის ჯერადებია, მაშინ პროცესი იწყება 4-დან, ხოლო 3-ის ნამრავლები იწყება 9-დან და ასე შემდეგ 100-მდე.

ერატოსთენეს თეორემის გამოყენებით ასეთი ცხრილის შედგენა ამბობს, რომ როდესაც ყველა შედგენილი რიცხვი გადახაზულია, დარჩება მარტივი რიცხვები, რომლებიც არ აღემატება n-ს. მაგალითში, სადაც n = 50, გვაქვს, რომ n = 50. აქედან მივიღებთ, რომ ერატოსთენეს საცერი ამოიღებს ყველა შედგენილ რიცხვს, რომლებიც არ აღემატება 50-ის ფესვის მნიშვნელობას. ნომრების ძებნა ხდება გადაკვეთით.

ამოხსნამდე აუცილებელია გაირკვეს რიცხვი მარტივია თუ შედგენილი. ხშირად გამოიყენება გაყოფის კრიტერიუმები. მოდით შევხედოთ ამას ქვემოთ მოცემულ მაგალითში.

მაგალითი 1

დაამტკიცეთ, რომ 898989898989898989 შედგენილი რიცხვია.

გადაწყვეტილება

მოცემული რიცხვის ციფრების ჯამია 9 8 + 9 9 = 9 17 . ასე რომ, რიცხვი 9 17 იყოფა 9-ზე, 9-ზე გაყოფის ნიშნიდან გამომდინარე. აქედან გამომდინარეობს, რომ ის კომპოზიტურია.

ასეთი ნიშნები არ ძალუძს დაამტკიცოს რიცხვის პირველობა. თუ გადამოწმება საჭიროა, სხვა ნაბიჯები უნდა გადაიდგას. ყველაზე შესაფერისი გზაა რიცხვების ჩამოთვლა. პროცესის დროს შეგიძლიათ იპოვოთ მარტივი და შედგენილი რიცხვები. ანუ, მნიშვნელობის რიცხვები არ უნდა აღემატებოდეს a-ს. ანუ რიცხვი a უნდა დაიშალოს პირველ ფაქტორებად. თუ ეს მართალია, მაშინ რიცხვი a შეიძლება ჩაითვალოს უბრალო.

მაგალითი 2

განსაზღვრეთ კომპოზიტური ან მარტივი რიცხვი 11723.

გადაწყვეტილება

ახლა თქვენ უნდა იპოვოთ ყველა გამყოფი ნომრისთვის 11723. საჭიროა 11723 შეფასება.

აქედან ვხედავთ, რომ 11723 წ< 200 , то 200 2 = 40 000 და 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

11723 რიცხვის უფრო ზუსტი შეფასებისთვის საჭიროა დაწეროთ გამოხატულება 108 2 = 11 664 და 109 2 = 11 881 , მაშინ 108 2 < 11 723 < 109 2 . აქედან გამომდინარეობს, რომ 11723 წ< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

დაშლისას მივიღებთ, რომ 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 7 , 7 , 6 . 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 ყველა მარტივი რიცხვია. მთელი ეს პროცესი შეიძლება გამოსახული იყოს, როგორც დაყოფა სვეტით. ანუ გაყავით 11723 19-ზე. რიცხვი 19 მისი ერთ-ერთი ფაქტორია, რადგან ვიღებთ გაყოფას ნაშთის გარეშე. მოდით გამოვსახოთ გაყოფა სვეტით:

აქედან გამომდინარეობს, რომ 11723 არის შედგენილი რიცხვი, რადგან თავის და 1-ის გარდა მას აქვს გამყოფი 19 .

პასუხი: 11723 არის კომპოზიტური რიცხვი.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

გამყოფთა სია.განსაზღვრებით, რიცხვი ნმარტივია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის თანაბრად არ იყოფა 2-ზე და 1-ისა და თავის გარდა სხვა მთელ რიცხვებზე. ზემოაღნიშნული ფორმულა შლის ზედმეტ ნაბიჯებს და დაზოგავს დროს: მაგალითად, შემოწმების შემდეგ არის თუ არა რიცხვი 3-ზე, არ არის საჭირო იმის შემოწმება, იყო თუ არა იგი 9-ზე.

სართული(x) ფუნქცია ამრგვალავს x-ს უახლოეს მთელ რიცხვამდე x-ზე ნაკლები ან ტოლი.

შეიტყვეთ მოდულარული არითმეტიკის შესახებ.ოპერაცია "x mod y" (მოდ არის ლათინური სიტყვის "modulo", რაც ნიშნავს "მოდულს") ნიშნავს "გაყავით x y-ზე და იპოვნეთ დარჩენილი ნაწილი". სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოდულურ არითმეტიკაში, გარკვეული მნიშვნელობის მიღწევისას, რომელსაც ე.წ მოდული, რიცხვები "უბრუნდება" ნულს. მაგალითად, საათი ზომავს დროს 12 მოდულში: ის აჩვენებს 10, 11 და 12 საათს და შემდეგ უბრუნდება 1-ს.

ბევრ კალკულატორს აქვს mod გასაღები. ამ განყოფილების ბოლოს გვიჩვენებს, თუ როგორ უნდა გამოვთვალოთ ეს ფუნქცია ხელით დიდი რიცხვებისთვის.

შეიტყვეთ ფერმას პატარა თეორემის ხარვეზების შესახებ.ყველა რიცხვი, რომლებისთვისაც ტესტის პირობები არ არის დაკმაყოფილებული, არის შედგენილი, მაგრამ დარჩენილი რიცხვები მხოლოდ ალბათუბრალოებად ითვლება. თუ გსურთ თავიდან აიცილოთ არასწორი შედეგები, მოძებნეთ ნ„კარმიხელის რიცხვების“ (კომპოზიტური რიცხვები, რომლებიც აკმაყოფილებენ ამ ტესტს) და „ფსევდო-პირველი ფერმას რიცხვების“ სიაში (ეს რიცხვები აკმაყოფილებენ ტესტის პირობებს მხოლოდ ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის. ა).

თუ მოსახერხებელია, გამოიყენეთ მილერ-რაბინის ტესტი.მიუხედავად იმისა, რომ ეს მეთოდი საკმაოდ რთულია ხელით გამოთვლებისთვის, ის ხშირად გამოიყენება კომპიუტერულ პროგრამებში. ის უზრუნველყოფს მისაღებ სიჩქარეს და იძლევა ნაკლებ შეცდომებს, ვიდრე ფერმას მეთოდი. კომპოზიციური რიცხვი არ მიიღება პირველ რიცხვად, თუ გამოთვლები კეთდება ¼-ზე მეტ მნიშვნელობაზე ა. თუ შემთხვევით აირჩევთ სხვადასხვა მნიშვნელობებს ადა ყველა მათგანისთვის ტესტი დადებით შედეგს მოგვცემს, საკმაოდ მაღალი დარწმუნებით შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ნარის მარტივი რიცხვი.

დიდი რიცხვებისთვის გამოიყენეთ მოდულური არითმეტიკა.თუ ხელთ არ გაქვთ მოდიფიკაციის კალკულატორი, ან თუ კალკულატორი არ არის შექმნილი ამხელა რიცხვების დასამუშავებლად, გამოიყენეთ სიმძლავრის თვისებები და მოდულური არითმეტიკა, რომ გაგიადვილოთ გამოთვლები. ქვემოთ მოცემულია მაგალითი 3 50 (\displaystyle 3^(50))მოდიფიკაცია 50:

გადაწერეთ გამონათქვამი უფრო მოსახერხებელი ფორმით: mod 50. ხელით გაანგარიშებისას შეიძლება საჭირო გახდეს შემდგომი გამარტივება.
(3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. აქ გავითვალისწინეთ მოდულური გამრავლების თვისება.
3 25 (\displaystyle 3^(25))მოდიფიკაცია 50 = 43.
(3 25 (\displaystyle (3^(25))მოდიფიკაცია 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43))მოდიფიკაცია 50.
= 1849 (\displaystyle =1849)მოდიფიკაცია 50.
= 49 (\displaystyle=49).

თარგმანი

მარტივი რიცხვების თვისებები პირველად ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსებმა შეისწავლეს. პითაგორას სკოლის მათემატიკოსები (ძვ. წ. 500 - 300 წწ.) პირველ რიგში დაინტერესებულნი იყვნენ მარტივი რიცხვების მისტიკური და ნუმეროლოგიური თვისებებით. მათ პირველებმა გაუჩნდათ იდეა სრულყოფილი და მეგობრული ნომრების შესახებ.

სრულყოფილ რიცხვს აქვს თავისი გამყოფები, რომლებიც ტოლია თავის თავს. მაგალითად, რიცხვი 6-ის სწორი გამყოფებია: 1, 2 და 3. 1 + 2 + 3 = 6. 28 რიცხვის გამყოფებია 1, 2, 4, 7 და 14. უფრო მეტიც, 1 + 2 + 4. + 7 + 14 = 28.

რიცხვებს უწოდებენ მეგობრულს, თუ ერთი რიცხვის სწორი გამყოფების ჯამი უდრის მეორეს და პირიქით - მაგალითად, 220 და 284. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ სრულყოფილი რიცხვი მეგობრულია თავისთვის.

ევკლიდეს „დასაწყისების“ ნაწარმოების გამოჩენის დროისათვის 300 წ. რამდენიმე მნიშვნელოვანი ფაქტი მარტივი რიცხვების შესახებ უკვე დადასტურებულია. ელემენტების IX წიგნში ევკლიდემ დაამტკიცა, რომ არსებობს უსასრულო რაოდენობის მარტივი რიცხვები. სხვათა შორის, ეს არის მტკიცების წინააღმდეგობრივი გამოყენების ერთ-ერთი პირველი მაგალითი. ის ასევე ამტკიცებს არითმეტიკის საბაზისო თეორემას - ყოველი მთელი რიცხვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი უნიკალური სახით, როგორც მარტივი რიცხვების ნამრავლი.

მან ასევე აჩვენა, რომ თუ რიცხვი 2 n -1 არის მარტივი, მაშინ რიცხვი 2 n-1 * (2 n -1) იქნება სრულყოფილი. კიდევ ერთმა მათემატიკოსმა, ეილერმა, 1747 წელს შეძლო ეჩვენებინა, რომ ყველა სრულყოფილი რიცხვი შეიძლება დაიწეროს ამ ფორმით. დღემდე არ არის ცნობილი, არსებობს თუ არა კენტი სრულყოფილი რიცხვები.

200 წელს ძვ. ბერძენმა ერატოსთენესმა გამოიგონა მარტივი რიცხვების პოვნის ალგორითმი, რომელსაც ეწოდებოდა ერატოსთენეს საცერი.

შემდეგ კი დიდი შესვენება მოხდა შუა საუკუნეებთან დაკავშირებული მარტივი რიცხვების შესწავლის ისტორიაში.

შემდეგი აღმოჩენები უკვე მე-17 საუკუნის დასაწყისში გააკეთა მათემატიკოსმა ფერმატმა. მან დაამტკიცა ალბერტ ჟირარის ვარაუდი, რომ 4n+1 ფორმის ნებისმიერი მარტივი რიცხვი შეიძლება დაიწეროს ცალსახად, როგორც ორი კვადრატის ჯამი, და ასევე ჩამოაყალიბა თეორემა, რომ ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ოთხი კვადრატის ჯამის სახით.

მან შეიმუშავა ახალი ფაქტორიზაციის მეთოდი დიდი რიცხვებისთვის და აჩვენა ის რიცხვზე 2027651281 = 44021 × 46061. მან ასევე დაამტკიცა ფერმას პატარა თეორემა: თუ p არის მარტივი რიცხვი, მაშინ ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის a, a p = მოდული p იქნება ჭეშმარიტი. .

ეს განცხადება ამტკიცებს იმის ნახევარს, რაც ცნობილი იყო როგორც "ჩინური ჰიპოთეზა" და თარიღდება 2000 წლით ადრე: მთელი რიცხვი n არის მარტივი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ 2n-2 იყოფა n-ზე. ჰიპოთეზის მეორე ნაწილი მცდარი აღმოჩნდა - მაგალითად, 2341 - 2 იყოფა 341-ზე, თუმცა რიცხვი 341 შედგენილია: 341 = 31 × 11.

ფერმას პატარა თეორემა იყო მრავალი სხვა შედეგის საფუძველი რიცხვების თეორიაში და მეთოდების შესამოწმებლად, არის თუ არა რიცხვები მარტივი, რომელთაგან ბევრი დღემდე გამოიყენება.

ფერმა ფართო მიმოწერა ჰქონდა თავის თანამედროვეებს, განსაკუთრებით ბერს, სახელად მარინ მერსენს. ერთ-ერთ წერილში მან გამოთქვა ვარაუდი, რომ 2 n + 1 ფორმის რიცხვები ყოველთვის მარტივი იქნება, თუ n არის ორი ხარისხოვანი. მან გამოსცადა ეს n = 1, 2, 4, 8 და 16-ისთვის და დარწმუნებული იყო, რომ როდესაც n არ არის ორის ხარისხში, რიცხვი სულაც არ იყო მარტივი. ამ რიცხვებს უწოდებენ ფერმას რიცხვებს და მხოლოდ 100 წლის შემდეგ ეილერმა აჩვენა, რომ შემდეგი რიცხვი, 232 + 1 = 4294967297, იყოფა 641-ზე და, შესაბამისად, არ არის მარტივი.

2 n - 1 ფორმის რიცხვები ასევე იყო კვლევის საგანი, რადგან ადვილია იმის ჩვენება, რომ თუ n არის შედგენილი, მაშინ თავად რიცხვიც შედგენილია. ამ რიცხვებს მერსენის რიცხვებს უწოდებენ, რადგან ის აქტიურად სწავლობდა მათ.

მაგრამ 2 n - 1 ფორმის ყველა რიცხვი, სადაც n არის მარტივი, არ არის მარტივი. მაგალითად, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. ეს პირველად აღმოაჩინეს 1536 წელს.

მრავალი წლის განმავლობაში, ამ ტიპის რიცხვები მათემატიკოსებს აძლევდა ყველაზე დიდ ცნობილ მარტივ რიცხვებს. რომ რიცხვი M 19 დაადასტურა კატალდიმ 1588 წელს და 200 წლის განმავლობაში იყო ყველაზე დიდი მარტივი რიცხვი, სანამ ეილერმა არ დაადასტურა, რომ M 31 ასევე მარტივია. ეს რეკორდი შენარჩუნდა კიდევ ასი წლის განმავლობაში და შემდეგ ლუკასმა აჩვენა, რომ M 127 არის მარტივი (და ეს უკვე 39 ციფრია), და ამის შემდეგ, კვლევა გაგრძელდა კომპიუტერების მოსვლასთან ერთად.

1952 წელს დადასტურდა M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 და M 2281 რიცხვების პირველობა.

2005 წლისთვის 42 მერსენის პრაიმები იქნა ნაპოვნი. მათგან ყველაზე დიდი, M 25964951, შედგება 7816230 ციფრისგან.

ეილერის ნაშრომმა დიდი გავლენა მოახდინა რიცხვების თეორიაზე, მათ შორის მარტივ რიცხვებზე. მან გააფართოვა ფერმას პატარა თეორემა და შემოიტანა φ-ფუნქცია. ფაქტორიზაცია მოახდინა მე-5 ფერმას რიცხვი 2 32 +1, იპოვა 60 წყვილი მეგობრული რიცხვი და ჩამოაყალიბა (მაგრამ ვერ დაამტკიცა) ორმხრივობის კვადრატული კანონი.

მან პირველმა შემოიტანა მათემატიკური ანალიზის მეთოდები და შეიმუშავა რიცხვების ანალიტიკური თეორია. მან დაამტკიცა, რომ არა მხოლოდ ჰარმონიული სერია ∑ (1/n), არამედ ფორმის სერიაც

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

მიიღება მარტივი რიცხვების შებრუნებული რაოდენობების ჯამით, ასევე განსხვავდება. ჰარმონიული სერიების n წევრთა ჯამი იზრდება დაახლოებით log(n)ვით, ხოლო მეორე სერია უფრო ნელა განსხვავდება, როგორც log[ log(n) ]. ეს ნიშნავს, რომ, მაგალითად, დღემდე ნაპოვნი ყველა მარტივი რიცხვის საპასუხო ჯამი მისცემს მხოლოდ 4-ს, თუმცა სერია მაინც განსხვავდება.

ერთი შეხედვით ჩანს, რომ მარტივი რიცხვები მთელ რიცხვებს შორის საკმაოდ შემთხვევით ნაწილდება. მაგალითად, 100 რიცხვს შორის უშუალოდ 10000000-მდე არის 9 მარტივი, ხოლო 100 რიცხვს შორის არის მხოლოდ 2. მაგრამ დიდ სეგმენტებზე მარტივი რიცხვები ნაწილდება საკმაოდ თანაბრად. ლეჟანდრი და გაუსმა განიხილეს მათი განაწილება. ერთხელ გაუსმა უთხრა მეგობარს, რომ ნებისმიერ თავისუფალ 15 წუთში ის ყოველთვის ითვლის მარტივ რიცხვებს მომდევნო 1000 რიცხვში. სიცოცხლის ბოლომდე მან დათვალა ყველა მარტივი რიცხვი 3 მილიონამდე. ლეჟანდრმა და გაუსმა თანაბრად გამოთვალეს, რომ დიდი n-სთვის მარტივი რიცხვების სიმკვრივეა 1/log(n). ლეჟანდრმა შეაფასა მარტივი რიცხვი 1-დან n-მდე

π(n) = n/(log(n) - 1.08366)

ხოლო გაუსი - როგორც ლოგარითმული ინტეგრალი

π(n) = / 1/log(t) dt

ინტეგრაციის ინტერვალით 2-დან n-მდე.

დებულება მარტივი რიცხვების 1/log(n) სიმკვრივის შესახებ ცნობილია, როგორც პირველი რიცხვების თეორემა. ისინი ცდილობდნენ ამის დამტკიცებას მე-19 საუკუნეში და ჩებიშევი და რიმანი პროგრესირებდნენ. მათ ის დაუკავშირეს რიმანის ჰიპოთეზას, აქამდე დაუმტკიცებელ ვარაუდს რიმანის ზეტა ფუნქციის ნულების განაწილების შესახებ. მარტივი რიცხვების სიმკვრივე ერთდროულად დაამტკიცეს ჰადამარმა და დე ლა ვალე-პუსენმა 1896 წელს.

მარტივი რიცხვების თეორიაში ჯერ კიდევ ბევრი გადაუჭრელი კითხვაა, რომელთაგან ზოგიერთი მრავალი ასეული წლისაა:

ტყუპი მარტივი ჰიპოთეზა - უსასრულო რაოდენობის მარტივი რიცხვების წყვილის შესახებ, რომლებიც ერთმანეთისგან 2-ით განსხვავდებიან.
გოლდბახის ვარაუდი: ნებისმიერი ლუწი რიცხვი, დაწყებული 4-დან, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ორი მარტივი რიცხვის ჯამი.
არის თუ არა n 2 + 1 ფორმის მარტივი რიცხვების უსასრულო რაოდენობა?
ყოველთვის შესაძლებელია მარტივი რიცხვის პოვნა n 2-სა და (n + 1) 2-ს შორის? (ის, რომ ყოველთვის არის მარტივი რიცხვი n-სა და 2n-ს შორის, დაადასტურა ჩებიშევმა)
არსებობს ფერმას მარტივი რიცხვების უსასრულო რაოდენობა? არის თუ არა ფერმას მარტივი რიცხვები მე-4-ის შემდეგ?
არის თუ არა თანმიმდევრული მარტივი რიცხვების არითმეტიკული პროგრესია რომელიმე მოცემულ სიგრძეზე? მაგალითად, სიგრძისთვის 4: 251, 257, 263, 269. ნაპოვნი მაქსიმალური სიგრძე არის 26.
არის თუ არა სამი თანმიმდევრული მარტივი რიცხვის სიმრავლეების უსასრულო რაოდენობა არითმეტიკულ პროგრესიაში?
n 2 - n + 41 არის მარტივი რიცხვი 0 ≤ n ≤ 40-ისთვის. არსებობს ასეთი მარტივი რიცხვების უსასრულო რაოდენობა? იგივე კითხვა n 2 ფორმულისთვის - 79 n + 1601. ეს რიცხვები მარტივია 0 ≤ n ≤ 79-ისთვის.
არის თუ არა n# + 1 ფორმის მარტივი რიცხვების უსასრულო რაოდენობა? (n# არის n-ზე ნაკლები ყველა მარტივი რიცხვის გამრავლების შედეგი)
არის თუ არა n# -1 ფორმის მარტივი რიცხვების უსასრულო რაოდენობა?
არის თუ არა უსასრულო რიცხვი n ფორმის მარტივი რიცხვები! +1?
არის თუ არა უსასრულო რიცხვი n ფორმის მარტივი რიცხვები! -ერთი?
თუ p არის მარტივი, 2 p -1 ყოველთვის არ მოიცავს კვადრატულ მარტივ ფაქტორებს შორის
შეიცავს თუ არა ფიბონაჩის მიმდევრობა უსასრულო რიცხვს მარტივ რიცხვს?

ყველაზე დიდი ტყუპი მარტივი რიცხვებია 2003663613 × 2 195000 ± 1. ისინი შედგება 58711 ციფრისგან და აღმოაჩინეს 2007 წელს.

ყველაზე დიდი ფაქტორული მარტივი რიცხვი (n! ± 1 ფორმის) არის 147855! - 1. შედგება 142891 ციფრისგან და ნაპოვნია 2002 წელს.

ყველაზე დიდი პირველადი რიცხვი (n# ± 1 ფორმის რიცხვი) არის 1098133# + 1.

თარგმანი

1952 წელს დადასტურდა M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 და M 2281 რიცხვების პირველობა.

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

π(n) = n/(log(n) - 1.08366)

ხოლო გაუსი - როგორც ლოგარითმული ინტეგრალი

π(n) = / 1/log(t) dt

ინტეგრაციის ინტერვალით 2-დან n-მდე.

ტყუპი მარტივი ჰიპოთეზა - უსასრულო რაოდენობის მარტივი რიცხვების წყვილის შესახებ, რომლებიც ერთმანეთისგან 2-ით განსხვავდებიან.
გოლდბახის ვარაუდი: ნებისმიერი ლუწი რიცხვი, დაწყებული 4-დან, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ორი მარტივი რიცხვის ჯამი.
არის თუ არა n 2 + 1 ფორმის მარტივი რიცხვების უსასრულო რაოდენობა?
ყოველთვის შესაძლებელია მარტივი რიცხვის პოვნა n 2-სა და (n + 1) 2-ს შორის? (ის, რომ ყოველთვის არის მარტივი რიცხვი n-სა და 2n-ს შორის, დაადასტურა ჩებიშევმა)
არსებობს ფერმას მარტივი რიცხვების უსასრულო რაოდენობა? არის თუ არა ფერმას მარტივი რიცხვები მე-4-ის შემდეგ?
არის თუ არა თანმიმდევრული მარტივი რიცხვების არითმეტიკული პროგრესია რომელიმე მოცემულ სიგრძეზე? მაგალითად, სიგრძისთვის 4: 251, 257, 263, 269. ნაპოვნი მაქსიმალური სიგრძე არის 26.
არის თუ არა სამი თანმიმდევრული მარტივი რიცხვის სიმრავლეების უსასრულო რაოდენობა არითმეტიკულ პროგრესიაში?
n 2 - n + 41 არის მარტივი რიცხვი 0 ≤ n ≤ 40-ისთვის. არსებობს ასეთი მარტივი რიცხვების უსასრულო რაოდენობა? იგივე კითხვა n 2 ფორმულისთვის - 79 n + 1601. ეს რიცხვები მარტივია 0 ≤ n ≤ 79-ისთვის.
არის თუ არა n# + 1 ფორმის მარტივი რიცხვების უსასრულო რაოდენობა? (n# არის n-ზე ნაკლები ყველა მარტივი რიცხვის გამრავლების შედეგი)
არის თუ არა n# -1 ფორმის მარტივი რიცხვების უსასრულო რაოდენობა?
არის თუ არა უსასრულო რიცხვი n ფორმის მარტივი რიცხვები! +1?
არის თუ არა უსასრულო რიცხვი n ფორმის მარტივი რიცხვები! -ერთი?
თუ p არის მარტივი, 2 p -1 ყოველთვის არ მოიცავს კვადრატულ მარტივ ფაქტორებს შორის
შეიცავს თუ არა ფიბონაჩის მიმდევრობა უსასრულო რიცხვს მარტივ რიცხვს?

ყველაზე დიდი პირველადი რიცხვი (n# ± 1 ფორმის რიცხვი) არის 1098133# + 1.

ტეგები: ტეგების დამატება

ყველა ნატურალური რიცხვი, გარდა ერთისა, იყოფა მარტივ და კომპოზიტურად. მარტივი რიცხვი არის ბუნებრივი რიცხვი, რომელსაც აქვს მხოლოდ ორი გამყოფი: ერთი და საკუთარი თავი.. ყველა დანარჩენს კომპოზიტს უწოდებენ. მარტივი რიცხვების თვისებების შესწავლა ეხება მათემატიკის განსაკუთრებულ მონაკვეთს - რიცხვთა თეორიას. რგოლების თეორიაში მარტივი რიცხვები დაკავშირებულია შეუქცევად ელემენტებთან.

აქ არის მარტივი რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელიც იწყება 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73. , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ... და ა.შ.

არითმეტიკის ფუნდამენტური თეორემის მიხედვით, ყოველი ნატურალური რიცხვი, რომელიც ერთზე მეტია, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მარტივი რიცხვების ნამრავლად. თუმცა, ეს ერთადერთი გზაა ნატურალური რიცხვების წარმოდგენის ფაქტორების თანმიმდევრობით. ამის საფუძველზე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მარტივი რიცხვები ნატურალური რიცხვების ელემენტარული ნაწილებია.

ნატურალური რიცხვის ასეთ წარმოდგენას ეწოდება ნატურალური რიცხვის დაშლა მარტივ რიცხვებად ან რიცხვის ფაქტორიზაცია.

მარტივი რიცხვების გამოსათვლელად ერთ-ერთი უძველესი და ეფექტური გზაა „ერასტოთენეს საცერი“.

პრაქტიკამ აჩვენა, რომ ერასტოფენის საცრის გამოყენებით მარტივი რიცხვების გამოთვლის შემდეგ, საჭიროა შემოწმდეს, არის თუ არა მოცემული რიცხვი მარტივი. ამისთვის შემუშავებულია სპეციალური ტესტები, ეგრეთ წოდებული სიმარტივის ტესტები. ამ ტესტების ალგორითმი სავარაუდოა. ყველაზე ხშირად ისინი გამოიყენება კრიპტოგრაფიაში.

სხვათა შორის, რიცხვების ზოგიერთი კლასისთვის არის სპეციალიზებული ეფექტური პირველობის ტესტები. მაგალითად, მერსენის რიცხვების სიმარტივისთვის შესამოწმებლად გამოიყენება ლუკას-ლემერის ტესტი, ხოლო ფერმას რიცხვების სიმარტივის შესამოწმებლად გამოიყენება პეპინის ტესტი.

ყველამ ვიცით, რომ უსასრულოდ ბევრი რიცხვია. სამართლიანად ჩნდება კითხვა: რამდენი მარტივი რიცხვია მაშინ? ასევე არის უსასრულო რაოდენობის მარტივი რიცხვები. ამ განსჯის უძველესი მტკიცებულებაა ევკლიდეს მტკიცებულება, რომელიც მოცემულია ელემენტებში. ევკლიდეს მტკიცებულება შემდეგია:

წარმოიდგინეთ, რომ მარტივი რიცხვები სასრულია. გავამრავლოთ ისინი და დავამატოთ ერთი. შედეგად მიღებული რიცხვი არ შეიძლება გაიყოს მარტივი რიცხვების რომელიმე სასრულ სიმრავლეზე, რადგან რომელიმე მათგანზე გაყოფის დარჩენილი ნაწილი იძლევა ერთს. ამრიგად, რიცხვი უნდა გაიყოს ზოგიერთ მარტივზე, რომელიც არ შედის ამ სიმრავლეში.

მარტივი რიცხვების განაწილების თეორემა ამბობს, რომ n-ზე ნაკლები მარტივი რიცხვების რიცხვი, რომელიც აღინიშნება π(n), იზრდება როგორც n/ln(n).

მარტივი რიცხვების ათასობით წლის შესწავლის შედეგად აღმოჩნდა, რომ ყველაზე დიდი ცნობილი მარტივი რიცხვია 243112609 − 1. ამ რიცხვს აქვს 12,978,189 ათობითი ციფრი და არის მერსენის მარტივი რიცხვი (M43112609). ეს აღმოჩენა გაკეთდა 2008 წლის 23 აგვისტოს uCLA უნივერსიტეტის მათემატიკის დეპარტამენტში, როგორც GIMPS-ის მერსენის პრაიმების ძიების ნაწილი.

მერსენის რიცხვების მთავარი განმასხვავებელი მახასიათებელია მაღალეფექტური ლუკ-ლემერის პირველობის ტესტის არსებობა. მასთან ერთად, მერსენის მარტივი რიცხვები, დიდი ხნის განმავლობაში, არის ყველაზე დიდი ცნობილი მარტივი რიცხვები.

თუმცა, დღემდე ბევრ კითხვას მარტივი რიცხვების შესახებ არ მიუღია ზუსტი პასუხი. მე-5 საერთაშორისო მათემატიკურ კონგრესზე ედმუნდ ლანდაუმ ჩამოაყალიბა ძირითადი ამოცანები მარტივი რიცხვების სფეროში:

გოლდბახის პრობლემა, ან ლანდაუს პირველი პრობლემა, არის დაამტკიცოს ან უარყოს, რომ ორზე მეტი ლუწი რიცხვი შეიძლება იყოს ორი მარტივი რიცხვის ჯამი, ხოლო 5-ზე მეტი ყოველი უცნაური რიცხვი შეიძლება იყოს სამი მარტივი რიცხვის ჯამი.
ლანდაუს მეორე პრობლემა მოითხოვს პასუხის პოვნას კითხვაზე: არის თუ არა უსასრულო სიმრავლე "უბრალო ტყუპების" - მარტივი რიცხვები, რომელთა შორის განსხვავება უდრის 2-ს?
ლეჟანდრის ვარაუდი ან ლანდაუს მესამე პრობლემაა: მართალია, რომ n2-სა და (n + 1)2-ს შორის ყოველთვის არის მარტივი რიცხვი?
ლანდაუს მეოთხე ამოცანა: არის n2 + 1 ფორმის მარტივი რიცხვების სიმრავლე უსასრულო?
ზემოაღნიშნული პრობლემების გარდა, არსებობს მარტივი რიცხვების უსასრულო რაოდენობის განსაზღვრის პრობლემა მრავალი მთელი რიგითობით, როგორიცაა ფიბონაჩის რიცხვი, ფერმატის რიცხვი და ა.შ.

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის მომზადება

მარტივი და შედგენილი რიცხვები - განმარტებები და მაგალითები

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ