a=b=R-ისთვის განტოლება (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2აღწერს R რადიუსის წრეს, რომელიც მდებარეობს O წერტილზე"(x_0,y_0) .

ელიფსის პარამეტრული განტოლება

ელიფსის პარამეტრული განტოლებაკანონიკურ კოორდინატთა სისტემაში აქვს ფორმა

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

მართლაც, ამ გამონათქვამების (3.49) განტოლებით ჩანაცვლებით, ჩვენ მივდივართ ძირითად ტრიგონომეტრიულ იდენტობამდე. \cos^2t+\sin^2t=1.

მაგალითი 3.20.ელიფსის დახატვა \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1კანონიკურ კოორდინატთა სისტემაში Oxy. იპოვეთ ნახევარღერძი, ფოკუსური მანძილი, ექსცენტრიულობა, ასპექტის თანაფარდობა, ფოკალური პარამეტრი, მიმართულების განტოლებები.

გადაწყვეტილება.მოცემული განტოლების კანონიკურთან შედარებისას განვსაზღვრავთ ნახევარღერძებს: a=2 - ძირითადი ნახევარღერძი, b=1 - ელიფსის მცირე ნახევარღერძი. მთავარ მართკუთხედს ვაშენებთ საწყისზე ორიენტირებული გვერდებით 2a=4,~2b=2 (სურ.3.39). ელიფსის სიმეტრიის გათვალისწინებით, ჩვენ მას ვუთავსებთ მთავარ მართკუთხედს. საჭიროების შემთხვევაში განვსაზღვრავთ ელიფსის ზოგიერთი წერტილის კოორდინატებს. მაგალითად, x=1 ჩანაცვლებით ელიფსის განტოლებაში, მივიღებთ

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

ამიტომ, წერტილები კოორდინატებით \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- ეკუთვნის ელიფსს.

გამოთვალეთ შეკუმშვის კოეფიციენტი k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); ფოკუსური მანძილი 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ექსცენტრიულობა e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); ფოკალური პარამეტრი p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). ჩვენ ვადგენთ საპირისპირო განტოლებებს: x=\pm\frac(a^2)(c)~\მარცხნივ ისარი~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

11.1. Ძირითადი ცნებები

განვიხილოთ მეორე ხარისხის განტოლებებით განსაზღვრული ხაზები მიმდინარე კოორდინატებთან მიმართებაში

განტოლების კოეფიციენტები რეალური რიცხვებია, მაგრამ A, B ან C რიცხვებიდან ერთი მაინც არ არის ნულოვანი. ასეთ ხაზებს მეორე რიგის ხაზებს (მრუდებს) უწოდებენ. ქვემოთ დადგინდება, რომ განტოლება (11.1) განსაზღვრავს წრეს, ელიფსს, ჰიპერბოლას ან პარაბოლას სიბრტყეში. სანამ ამ მტკიცებაზე გადავიდოდეთ, შევისწავლოთ ჩამოთვლილი მრუდების თვისებები.

11.2. წრე

მეორე რიგის უმარტივესი მრუდი არის წრე. შეგახსენებთ, რომ R რადიუსის წრე, რომელიც ორიენტირებულია წერტილზე, არის სიბრტყის ყველა Μ წერტილის სიმრავლე, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას. მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში წერტილს ჰქონდეს კოორდინატები x 0, y 0 a - წრის თვითნებური წერტილი (იხ. სურ. 48).

შემდეგ მდგომარეობიდან ვიღებთ განტოლებას

(11.2)

განტოლება (11.2) კმაყოფილდება მოცემულ წრის რომელიმე წერტილის კოორდინატებით და არ კმაყოფილდება ნებისმიერი წერტილის კოორდინატებით, რომელიც არ დევს წრეზე.

განტოლება (11.2) ეწოდება წრის კანონიკური განტოლება

კერძოდ, ვივარაუდოთ და, მივიღებთ საწყისზე ორიენტირებული წრის განტოლებას .

წრის განტოლება (11.2) მარტივი გარდაქმნების შემდეგ მიიღებს ფორმას. როდესაც შევადარებთ ამ განტოლებას მეორე რიგის მრუდის ზოგად განტოლებასთან (11.1), ადვილი მისახვედრია, რომ წრის განტოლებისთვის ორი პირობაა დაკმაყოფილებული:

1) x 2 და y 2 კოეფიციენტები ერთმანეთის ტოლია;

2) არ არსებობს წევრი, რომელიც შეიცავს მიმდინარე კოორდინატების xy ნამრავლს.

განვიხილოთ საპირისპირო პრობლემა. განტოლებაში (11.1) ჩავსვით მნიშვნელობები და ვიღებთ

მოდით გარდავქმნათ ეს განტოლება:

(11.4)

აქედან გამომდინარეობს, რომ განტოლება (11.3) განსაზღვრავს წრეს პირობით . მისი ცენტრი არის წერტილში და რადიუსი

.

თუ , მაშინ განტოლებას (11.3) აქვს ფორმა

.

იგი კმაყოფილდება ერთი წერტილის კოორდინატებით . ამ შემთხვევაში, ისინი ამბობენ: "წრე გადაგვარდა წერტილად" (აქვს ნულოვანი რადიუსი).

Თუ , შემდეგ განტოლება (11.4) და, შესაბამისად, ეკვივალენტური განტოლება (11.3), არ განსაზღვრავს არცერთ ხაზს, რადგან განტოლების (11.4) მარჯვენა მხარე უარყოფითია, ხოლო მარცხენა მხარე არ არის უარყოფითი (ვთქვათ: „წარმოსახვითი წრე“).

11.3. ელიფსი

ელიფსის კანონიკური განტოლება

ელიფსი არის სიბრტყის ყველა წერტილის სიმრავლე, თითოეული მათგანიდან ამ სიბრტყის ორ მოცემულ წერტილამდე მანძილების ჯამი, ე.წ. ხრიკები , არის მუდმივი მნიშვნელობა, რომელიც აღემატება მანძილს კერებს შორის.

კერების აღნიშვნა F1და F2, მათ შორის მანძილი 2-ში გდა მანძილების ჯამი ელიფსის თვითნებური წერტილიდან კერებამდე - 2-მდე ა(იხ. სურ. 49). განმარტებით 2 ა > 2გ, ე.ი. ა > გ.

ელიფსის განტოლების გამოსატანად ვირჩევთ კოორდინატთა სისტემას ისე, რომ კერები F1და F2დაწექი ღერძზე და საწყისი ემთხვევა სეგმენტის შუა წერტილს F 1 F 2. მაშინ კერებს ექნებათ შემდეგი კოორდინატები: და .

მოდით იყოს ელიფსის თვითნებური წერტილი. მაშინ, ელიფსის განმარტებით, ე.ი.

ეს, ფაქტობრივად, არის ელიფსის განტოლება.

განტოლებას (11.5) ვაქცევთ მარტივ ფორმად შემდეგნაირად:

როგორც ა>თან, მაშინ . დავსვათ

(11.6)

შემდეგ ბოლო განტოლება იღებს ფორმას ან

(11.7)

შეიძლება დადასტურდეს, რომ განტოლება (11.7) ორიგინალური განტოლების ტოლია. ჰქვია ელიფსის კანონიკური განტოლება .

ელიფსი არის მეორე რიგის მრუდი.

ელიფსის ფორმის შესწავლა მისი განტოლების მიხედვით

დავადგინოთ ელიფსის ფორმა მისი კანონიკური განტოლების გამოყენებით.

1. განტოლება (11.7) შეიცავს x და y-ს მხოლოდ ლუწი ხარისხებში, ასე რომ, თუ წერტილი ეკუთვნის ელიფსს, მაშინ წერტილები ,, ასევე ეკუთვნის მას. აქედან გამომდინარეობს, რომ ელიფსი სიმეტრიულია ღერძების და , ასევე წერტილის მიმართ, რომელსაც ელიფსის ცენტრს უწოდებენ.

2. იპოვეთ ელიფსის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან. დაყენებით, ჩვენ ვპოულობთ ორ წერტილს და , სადაც ღერძი კვეთს ელიფსს (იხ. სურ. 50). განტოლებაში ჩასვით (11.7) ვპოულობთ ელიფსის გადაკვეთის წერტილებს ღერძთან: და . ქულები ა 1 , A2 , B1, B2დაურეკა ელიფსის წვეროები. სეგმენტები ა 1 A2და B1 B2, ისევე როგორც მათი სიგრძე 2 ადა 2 ბეძახიან შესაბამისად ძირითადი და მცირე ღერძიელიფსი. ნომრები ადა ბეძახიან შესაბამისად დიდს და პატარას. ღერძების ლილვებიელიფსი.

3. (11.7) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ მარცხენა მხარეს თითოეული წევრი არ აღემატება ერთს, ე.ი. არის უტოლობები და ან და. მაშასადამე, ელიფსის ყველა წერტილი დევს სწორი ხაზებით წარმოქმნილ მართკუთხედში.

4. განტოლებაში (11.7) არაუარყოფითი წევრთა ჯამი და უდრის ერთს. შესაბამისად, როგორც ერთი ტერმინი იზრდება, მეორე მცირდება, ანუ თუ იზრდება, მაშინ მცირდება და პირიქით.

ნათქვამიდან გამომდინარეობს, რომ ელიფსს აქვს ნახ. 50 (ოვალური დახურული მრუდი).

მეტი ელიფსის შესახებ

ელიფსის ფორმა დამოკიდებულია თანაფარდობაზე. როდესაც ელიფსი იქცევა წრედ, ელიფსის განტოლება (11.7) იღებს ფორმას. როგორც ელიფსის ფორმის მახასიათებელი, თანაფარდობა უფრო ხშირად გამოიყენება. კერებს შორის მანძილის ნახევრის შეფარდებას ელიფსის ნახევრად მთავარ ღერძამდე ეწოდება ელიფსის ექსცენტრიულობა და o6o აღინიშნება ასო ε ("ეფსილონი"):

0-ით<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

ეს გვიჩვენებს, რომ რაც უფრო მცირეა ელიფსის ექსცენტრიულობა, მით უფრო ნაკლები იქნება ელიფსი; თუ დავსვამთ ε = 0, მაშინ ელიფსი იქცევა წრედ.

მოდით M(x; y) იყოს ელიფსის თვითნებური წერტილი F 1 და F 2 კერებით (იხ. სურ. 51). F 1 M=r 1 და F 2 M = r 2 სეგმენტების სიგრძეებს M წერტილის კეროვანი რადიუსი ეწოდება. ცხადია,

არის ფორმულები

სწორი ხაზები ეწოდება

თეორემა 11.1.თუ არის მანძილი ელიფსის თვითნებური წერტილიდან რომელიმე ფოკუსამდე, d არის მანძილი იმავე წერტილიდან ამ ფოკუსის შესაბამისი მიმართულებამდე, მაშინ თანაფარდობა არის მუდმივი მნიშვნელობა ელიფსის ექსცენტრიულობის ტოლი:

თანასწორობიდან (11.6) გამომდინარეობს, რომ . თუ , მაშინ განტოლება (11.7) განსაზღვრავს ელიფსს, რომლის ძირითადი ღერძი დევს Oy ღერძზე, ხოლო მცირე ღერძი მდებარეობს Ox ღერძზე (იხ. სურ. 52). ასეთი ელიფსის კერები არის წერტილებზე და, სადაც .

11.4. ჰიპერბოლა

ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება

ჰიპერბოლა სიბრტყის ყველა წერტილის სიმრავლე ეწოდება, თითოეული მათგანიდან ამ სიბრტყის ორ მოცემულ წერტილამდე მანძილების სხვაობის მოდული, ე.წ. ხრიკები , არის მუდმივი მნიშვნელობა, უფრო მცირეა ვიდრე მანძილი კერებს შორის.

კერების აღნიშვნა F1და F2მათ შორის მანძილი გადის 2 წმდა ჰიპერბოლის თითოეული წერტილიდან კერამდე მანძილების სხვაობის მოდული 2ა. ა-პრიორიტეტი 2ა < 2 წმ, ე.ი. ა < გ.

ჰიპერბოლის განტოლების გამოსატანად ვირჩევთ კოორდინატთა სისტემას ისე, რომ კერები F1და F2დაწექი ღერძზე და საწყისი დაემთხვა სეგმენტის შუა წერტილს F 1 F 2(იხ. სურ. 53). მაშინ კერებს ექნება კოორდინატები და

მოდით იყოს ჰიპერბოლის თვითნებური წერტილი. შემდეგ ჰიპერბოლის განმარტების მიხედვით ან, ანუ გამარტივების შემდეგ, როგორც ეს გაკეთდა ელიფსის განტოლების გამოყვანისას, მივიღებთ ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება

(11.9)

(11.10)

ჰიპერბოლა არის მეორე რიგის ხაზი.

ჰიპერბოლის ფორმის გამოკვლევა მისი განტოლების მიხედვით

მოდით დავადგინოთ ჰიპერბოლის ფორმა მისი კაკონური განტოლების გამოყენებით.

1. განტოლება (11.9) შეიცავს x და y-ს მხოლოდ ლუწი ხარისხებში. მაშასადამე, ჰიპერბოლა სიმეტრიულია ღერძების მიმართ და ასევე წერტილის მიმართ, რომელსაც ე.წ. ჰიპერბოლის ცენტრი.

2. იპოვეთ ჰიპერბოლის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან. განტოლებაში (11.9) ჩასვით, ვპოულობთ ჰიპერბოლის გადაკვეთის ორ წერტილს ღერძთან: და . ჩასვით (11.9), ვიღებთ , რომელიც არ შეიძლება იყოს. ამიტომ ჰიპერბოლა არ კვეთს y ღერძს.

ქულები და ე.წ მწვერვალები ჰიპერბოლები და სეგმენტი

რეალური ღერძი , ხაზის სეგმენტი - რეალური ნახევრადღერძი ჰიპერბოლა.

წერტილების დამაკავშირებელი ხაზის სეგმენტი ეწოდება წარმოსახვითი ღერძი , ნომერი ბ - წარმოსახვითი ღერძი . მართკუთხედი გვერდებით 2ადა 2ბდაურეკა ჰიპერბოლის მთავარი მართკუთხედი .

3. (11.9) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ მინუენდი არ არის ერთზე ნაკლები, ანუ ის ან . ეს ნიშნავს, რომ ჰიპერბოლის წერტილები განლაგებულია წრფის მარჯვნივ (ჰიპერბოლის მარჯვენა ტოტი) და ხაზის მარცხნივ (ჰიპერბოლის მარცხენა ტოტი).

4. ჰიპერბოლის (11.9) განტოლებიდან ჩანს, რომ როდესაც ის იზრდება, მაშინ ისიც იზრდება. ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ განსხვავება ინარჩუნებს მუდმივ მნიშვნელობას ერთის ტოლი.

ნათქვამიდან გამომდინარეობს, რომ ჰიპერბოლას აქვს 54-ზე ნაჩვენები ფორმა (მრუდი, რომელიც შედგება ორი შეუზღუდავი ტოტისაგან).

ჰიპერბოლის ასიმპტოტები

ხაზს L ეწოდება ასიმპტოტი შეუზღუდავი K მრუდის, თუ მანძილი d K მრუდის M წერტილიდან ამ წრფემდე ნულისკენ მიისწრაფვის, რადგან M წერტილი მოძრაობს K მრუდის გასწვრივ საწყისიდან განუსაზღვრელი ვადით. სურათი 55 ასახავს ასიმპტოტის კონცეფციას: წრფე L არის ასიმპტოტი K მრუდისთვის.

მოდით ვაჩვენოთ, რომ ჰიპერბოლას აქვს ორი ასიმპტოტი:

(11.11)

ვინაიდან წრფეები (11.11) და ჰიპერბოლა (11.9) სიმეტრიულია კოორდინატთა ღერძების მიმართ, საკმარისია გავითვალისწინოთ მითითებული ხაზების მხოლოდ ის წერტილები, რომლებიც განლაგებულია პირველ კვადრატში.

აიღეთ სწორ ხაზზე N წერტილი, რომელსაც აქვს იგივე აბსციზა x, როგორც წერტილი ჰიპერბოლაზე (იხ. სურ. 56) და იპოვეთ განსხვავება ΜN სწორი ხაზის ორდინატებსა და ჰიპერბოლის განშტოებას შორის:

როგორც ხედავთ, x იზრდება, წილადის მნიშვნელი იზრდება; მრიცხველი არის მუდმივი მნიშვნელობა. ამიტომ, სეგმენტის სიგრძე ΜN მიდრეკილია ნულისკენ. ვინაიდან ΜN მეტია d მანძილს Μ წერტილიდან წრფემდე, მაშინ d კიდევ უფრო მიდრეკილია ნულისკენ. ამრიგად, ხაზები არის ჰიპერბოლის ასიმპტოტები (11.9).

ჰიპერბოლის აგებისას (11.9), მიზანშეწონილია ჯერ ააგოთ ჰიპერბოლის მთავარი მართკუთხედი (იხ. სურ. 57), გავავლოთ ხაზები ამ მართკუთხედის საპირისპირო წვეროებზე - ჰიპერბოლის ასიმპტოტები და მონიშნოთ წვეროები და , ჰიპერბოლა. .

ტოლგვერდა ჰიპერბოლის განტოლება.

რომლის ასიმპტოტებია კოორდინატთა ღერძები

ჰიპერბოლას (11.9) ეწოდება ტოლგვერდა, თუ მისი ნახევარღერძები ტოლია (). მისი კანონიკური განტოლება

(11.12)

ტოლგვერდა ჰიპერბოლის ასიმპტოტებს აქვთ განტოლებები და ამიტომ არიან კოორდინატთა კუთხეების ბისექტრები.

განვიხილოთ ამ ჰიპერბოლის განტოლება ახალ კოორდინატულ სისტემაში (იხ. სურ. 58), რომელიც მიღებულია ძველიდან კოორდინატთა ღერძების კუთხით ბრუნვით. ჩვენ ვიყენებთ ფორმულებს კოორდინატთა ღერძების ბრუნვისთვის:

ჩვენ ვცვლით x და y მნიშვნელობებს განტოლებაში (11.12):

ტოლგვერდა ჰიპერბოლის განტოლებას, რომლის ღერძები Ox და Oy ასიმპტოტებია, ექნება ფორმა.

მეტი ჰიპერბოლის შესახებ

ექსცენტრიულობა ჰიპერბოლა (11.9) არის კერებს შორის მანძილის თანაფარდობა ჰიპერბოლის რეალური ღერძის მნიშვნელობასთან, რომელიც აღინიშნება ε:

ვინაიდან ჰიპერბოლისთვის, ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა ერთზე მეტია: . ექსცენტრიულობა ახასიათებს ჰიპერბოლის ფორმას. მართლაც, თანასწორობიდან (11.10) გამომდინარეობს, რომ ე.ი. და .

ეს გვიჩვენებს, რომ რაც უფრო მცირეა ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა, მით უფრო მცირეა მისი ნახევრადღერძების თანაფარდობა, რაც იმას ნიშნავს, რომ რაც უფრო ფართოა მისი მთავარი მართკუთხედი.

ტოლგვერდა ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა არის . მართლაც,

ფოკალური რადიუსი და ჰიპერბოლის მარჯვენა შტოს წერტილებს აქვთ ფორმა და, ხოლო მარცხნივ - და .

სწორ ხაზებს ჰიპერბოლის მიმართულებებს უწოდებენ. ვინაიდან ε > 1 ჰიპერბოლისთვის, მაშინ . ეს ნიშნავს, რომ მარჯვენა მიმართულება მდებარეობს ჰიპერბოლის ცენტრსა და მარჯვენა წვეროს შორის, მარცხენა მიმართულება მდებარეობს ცენტრსა და მარცხენა წვეროს შორის.

ჰიპერბოლის მიმართულებებს აქვთ იგივე თვისება, რაც ელიფსის მიმართულებებს.

განტოლებით განსაზღვრული მრუდი ასევე არის ჰიპერბოლა, რომლის რეალური ღერძი 2b მდებარეობს Oy ღერძზე, ხოლო წარმოსახვითი ღერძი 2. ა- ოქსის ღერძზე. ნახაზზე 59, ის ნაჩვენებია წერტილოვანი ხაზის სახით.

ცხადია, ჰიპერბოლებს აქვთ საერთო ასიმპტოტები. ასეთ ჰიპერბოლებს კონიუგატს უწოდებენ.

11.5. პარაბოლა

პარაბოლის კანონიკური განტოლება

პარაბოლა არის სიბრტყის ყველა წერტილის ერთობლიობა, რომელთაგან თითოეული თანაბრად არის დაშორებული მოცემული წერტილისგან, რომელსაც ეწოდება ფოკუსი და მოცემული წრფე, რომელსაც ეწოდება მიმართულება. მანძილი F ფოკუსიდან დირექტიკულამდე ეწოდება პარაბოლის პარამეტრს და აღინიშნება p (p > 0).

პარაბოლის განტოლების გამოსატანად ვირჩევთ Oxy კოორდინატთა სისტემას ისე, რომ Oxy ღერძი გაიაროს F ფოკუსში, პერპენდიკულარული მიმართულებით, მიმართულებიდან F-ის მიმართულებით, ხოლო საწყისი O მდებარეობს შუაში ფოკუსსა და დირექტიკას შორის. (იხ. სურ. 60). არჩეულ სისტემაში F ფოკუსს აქვს კოორდინატები, ხოლო მიმართულების განტოლებას აქვს ფორმა ან .

1. განტოლებაში (11.13) ცვლადი y შედის ლუწი ხარისხით, რაც ნიშნავს, რომ პარაბოლა სიმეტრიულია Ox ღერძის მიმართ; x-ღერძი არის პარაბოლის სიმეტრიის ღერძი.

2. ვინაიდან ρ > 0, (11.13)-დან გამომდინარეობს, რომ . ამრიგად, პარაბოლა მდებარეობს y-ღერძის მარჯვნივ.

3. როცა გვაქვს y \u003d 0. ამიტომ პარაბოლა გადის საწყისზე.

4. x-ის შეუზღუდავი ზრდით, y მოდულიც განუსაზღვრელი ვადით იზრდება. პარაბოლას აქვს ფორმა (ფორმა), რომელიც ნაჩვენებია სურათზე 61. O (0; 0) წერტილს ეწოდება პარაბოლის წვერო, სეგმენტს FM \u003d r ეწოდება M წერტილის ფოკუსური რადიუსი.

განტოლებები, , ( p>0) ასევე განსაზღვრავს პარაბოლებს, ისინი ნაჩვენებია სურათზე 62

ადვილია იმის ჩვენება, რომ კვადრატული ტრინომის გრაფიკი, სადაც , B და C არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი, არის პარაბოლა მისი ზემოთ განსაზღვრული მნიშვნელობით.

11.6. მეორე რიგის ხაზების ზოგადი განტოლება

მეორე რიგის მრუდების განტოლებები სიმეტრიის ღერძებით კოორდინატთა ღერძების პარალელურად

ჯერ ვიპოვოთ ელიფსის განტოლება, რომელიც ორიენტირებულია წერტილზე, რომლის სიმეტრიის ღერძები პარალელურია კოორდინატთა ღერძების Ox და Oy და ნახევარღერძები, შესაბამისად, არის ადა ბ. მოდი ელიფსის O 1 ცენტრში მოვათავსოთ ახალი კოორდინატთა სისტემის საწყისი, რომლის ღერძები და ნახევრადღერძები ადა ბ(იხ. სურ. 64):

და ბოლოს, 65-ე სურათზე გამოსახულ პარაბოლებს აქვთ შესაბამისი განტოლებები.

განტოლება

ელიფსის, ჰიპერბოლის, პარაბოლის განტოლებები და წრის განტოლება გარდაქმნების შემდეგ (გახსენით ფრჩხილები, გადაიტანეთ განტოლების ყველა წევრი ერთი მიმართულებით, მოიყვანეთ მსგავსი ტერმინები, შემოიტანეთ კოეფიციენტების ახალი აღნიშვნა) შეიძლება დაიწეროს ერთი განტოლების გამოყენებით. ფორმა

სადაც A და C კოეფიციენტები ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის.

ჩნდება კითხვა: განსაზღვრავს თუ არა (11.14) ფორმის რომელიმე განტოლება მეორე რიგის ერთ-ერთ მრუდს (წრე, ელიფსი, ჰიპერბოლა, პარაბოლა)? პასუხი მოცემულია შემდეგი თეორემით.

თეორემა 11.2. განტოლება (11.14) ყოველთვის განსაზღვრავს: ან წრეს (A = C-სთვის), ან ელიფსს (A C > 0-სთვის), ან ჰიპერბოლას (A C-სთვის).< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

მეორე რიგის ზოგადი განტოლება

ახლა განვიხილოთ მეორე ხარისხის ზოგადი განტოლება ორი უცნობით:

იგი განსხვავდება განტოლებისგან (11.14) კოორდინატების ნამრავლით ტერმინის არსებობით (B¹ 0). შესაძლებელია, კოორდინატთა ღერძების a კუთხით ბრუნვით, ეს განტოლება ისე გარდაიქმნას, რომ მასში არ იყოს კოორდინატების ნამრავლის ტერმინი.

ბრუნვის ცულების ფორმულების გამოყენება

გამოვხატოთ ძველი კოორდინატები ახლის მიხედვით:

ჩვენ ვირჩევთ a კუთხეს ისე, რომ კოეფიციენტი x "y"-ზე გაქრეს, ანუ ისე, რომ ტოლობა

ამრიგად, როდესაც ღერძები ბრუნავს a კუთხით, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას (11.17), განტოლება (11.15) მცირდება განტოლებამდე (11.14).

დასკვნა: მეორე რიგის ზოგადი განტოლება (11.15) სიბრტყეზე (გარდა გადაგვარებისა და დაშლის შემთხვევებისა) განსაზღვრავს შემდეგ მრუდებს: წრე, ელიფსი, ჰიპერბოლა, პარაბოლა.

შენიშვნა: თუ A = C, მაშინ განტოლება (11.17) კარგავს თავის მნიშვნელობას. ამ შემთხვევაში cos2α = 0 (იხ. (11.16)), შემდეგ 2α = 90°, ანუ α = 45°. ასე რომ, A = C-ზე კოორდინატთა სისტემა უნდა შემობრუნდეს 45 °-ით.

ელიფსი არის წერტილების ადგილი სიბრტყეში, თითოეული მათგანის მანძილების ჯამი ორ მოცემულ წერტილამდე F_1, ხოლო F_2 არის მუდმივი მნიშვნელობა (2a), რომელიც აღემატება მანძილს (2c) მოცემულ წერტილებს შორის (ნახ. 3.36, ა). ეს გეომეტრიული განსაზღვრება გამოხატავს ელიფსის ფოკუსური თვისება.

ელიფსის ფოკუსური თვისება

წერტილებს F_1 და F_2 ეწოდება ელიფსის ფოკუსები, მათ შორის მანძილი 2c=F_1F_2 არის ფოკუსური მანძილი, F_1F_2 სეგმენტის შუა წერტილი არის ელიფსის ცენტრი, ნომერი 2a არის ძირითადი ღერძის სიგრძე. ელიფსი (შესაბამისად, რიცხვი a არის ელიფსის მთავარი ნახევარღერძი). ელიფსის თვითნებური M წერტილის მის კერებთან დამაკავშირებელ F_1M და F_2M სეგმენტებს M წერტილის კეროვანი რადიუსი ეწოდება. ხაზის მონაკვეთს, რომელიც აკავშირებს ელიფსის ორ წერტილს, ეწოდება ელიფსის აკორდი.

შეფარდება e=\frac(c)(a) ეწოდება ელიფსის ექსცენტრიულობას. განმარტებიდან (2a>2c) გამოდის, რომ 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

ელიფსის გეომეტრიული განმარტება, რომელიც გამოხატავს მის ფოკუსურ თვისებას, უდრის მის ანალიტიკურ განმარტებას - ხაზი, რომელიც მოცემულია ელიფსის კანონიკური განტოლებით:

მართლაც, შემოვიღოთ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა (სურ. 3.36, გ). კოორდინატთა სისტემის სათავედ აღებულია ელიფსის O ცენტრი; კერებში გამავალ სწორ ხაზს (კეროვანი ღერძი ან ელიფსის პირველი ღერძი), ავიღებთ აბსცისის ღერძად (მასზე დადებით მიმართულებას F_1 წერტილიდან F_2 წერტილამდე); ფოკუსური ღერძის პერპენდიკულარული და ელიფსის ცენტრში (ელიფსის მეორე ღერძი) გამავალი სწორი ხაზი აღებულია y-ღერძად (y ღერძზე მიმართულება არჩეულია ისე, რომ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა Oxy სწორია. ).

ჩამოვაყალიბოთ ელიფსის განტოლება მისი გეომეტრიული განმარტების გამოყენებით, რომელიც გამოხატავს ფოკუსურ თვისებას. შერჩეულ კოორდინატთა სისტემაში ჩვენ განვსაზღვრავთ კერების კოორდინატებს F_1(-c,0),~F_2(c,0). M(x,y) თვითნებური წერტილისთვის, რომელიც ეკუთვნის ელიფსს, გვაქვს:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

ამ თანასწორობის კოორდინატების სახით ჩაწერისას მივიღებთ:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

მეორე რადიკალს გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს, განტოლების ორივე მხარეს კვადრატში და ვაძლევთ მსგავს ტერმინებს:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\მარცხენა მარჯვენა ისარი ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.

4-ზე გაყოფით, განტოლების ორივე მხარეს კვადრატში ვსვამთ:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\მარცხენა მარჯვენა ისარი~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

აღმნიშვნელი b=\sqrt(a^2-c^2)>0, ვიღებთ b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. ორივე ნაწილის გაყოფით a^2b^2\ne0-ზე მივდივართ ელიფსის კანონიკურ განტოლებამდე:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

ამიტომ არჩეული კოორდინატთა სისტემა კანონიკურია.

თუ ელიფსის კერები ემთხვევა, მაშინ ელიფსი არის წრე (ნახ. 3.36.6), ვინაიდან a=b. ამ შემთხვევაში, ნებისმიერი მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა, რომლის საწყისი წერტილია O\equiv F_1\equiv F_2, და განტოლება x^2+y^2=a^2 არის წრის განტოლება O ცენტრით და a რადიუსით.

უკუღმა მსჯელობით შეიძლება აჩვენოს, რომ ყველა წერტილი, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (3.49) და მხოლოდ ისინი მიეკუთვნება წერტილების ადგილს, რომელსაც ელიფსს უწოდებენ. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ელიფსის ანალიტიკური განმარტება უდრის მის გეომეტრიულ განმარტებას, რომელიც გამოხატავს ელიფსის კეროვან თვისებას.

ელიფსის დირექტორიის თვისება

ელიფსის მიმართულებები არის ორი სწორი ხაზი, რომელიც გადის კანონიკური კოორდინატთა სისტემის ორდინატთა ღერძის პარალელურად მისგან იმავე მანძილზე \frac(a^2)(c). c=0-ისთვის, როდესაც ელიფსი არის წრე, არ არსებობს მიმართულებები (შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ მიმართულებები უსასრულოდ არის ამოღებული).

ელიფსი ექსცენტრიულობით 0 სიბრტყეში წერტილების ლოკუსი, რომელთაგან თითოეულისთვის მანძილის შეფარდება მოცემულ წერტილამდე F (ფოკუსი) მანძილს მოცემულ სწორ ხაზთან d (მიმართულება), რომელიც არ გადის მოცემულ წერტილში, მუდმივია და ტოლია ექსცენტრიულობა ე ( ელიფსის დირექტორიაში საკუთრება). აქ F და d არის ელიფსის ერთ-ერთი კერა და მისი ერთ-ერთი მიმართულება, რომელიც მდებარეობს კანონიკური კოორდინატთა სისტემის y ღერძის ერთსა და იმავე მხარეს, ე.ი. F_1,d_1 ან F_2,d_2.

მართლაც, მაგალითად, ფოკუსისთვის F_2 და მიმართულებისთვის d_2 (ნახ. 3.37.6) მდგომარეობა \frac(r_2)(\rho_2)=eშეიძლება ჩაიწეროს კოორდინატის სახით:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

ირაციონალურობისგან თავის დაღწევა და ჩანაცვლება e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, მივდივართ ელიფსის კანონიკურ განტოლებამდე (3.49). მსგავსი მსჯელობა შეიძლება განხორციელდეს ფოკუსისთვის F_1 და დირექტიულისთვის d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

ელიფსის განტოლება პოლარულ კოორდინატებში

ელიფსის განტოლებას პოლარული კოორდინატთა სისტემაში F_1r\varphi (ნახ.3.37,c და 3.37(2)) აქვს ფორმა

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

სადაც p=\frac(b^2)(a) არის ელიფსის ფოკალური პარამეტრი.

ფაქტობრივად, ავირჩიოთ ელიფსის მარცხენა ფოკუსი F_1 პოლარული კოორდინატთა სისტემის პოლუსად, ხოლო სხივი F_1F_2 პოლარული ღერძად (ნახ. 3.37, გ). მაშინ M(r,\varphi) თვითნებური წერტილისთვის, ელიფსის გეომეტრიული განმარტების (ფოკალური თვისების) მიხედვით გვაქვს r+MF_2=2a . ჩვენ გამოვხატავთ მანძილს M(r,\varphi) და F_2(2c,0) წერტილებს შორის (იხ. 2.8 შენიშვნების მე-2 პუნქტი):

\begin(გასწორებული)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end (გასწორებული)

მაშასადამე, კოორდინატულ ფორმაში ელიფსის განტოლებას F_1M+F_2M=2a აქვს ფორმა

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

ჩვენ გამოვყოფთ რადიკალს, კვადრატში განტოლების ორივე მხარეს, ვყოფთ 4-ზე და ვაძლევთ მსგავს წევრებს:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

გამოვხატავთ პოლარული რადიუსს r და ვაკეთებთ ჩანაცვლებას e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

ქ.ე.დ.

კოეფიციენტების გეომეტრიული მნიშვნელობა ელიფსის განტოლებაში

ვიპოვოთ ელიფსის გადაკვეთის წერტილები (იხ. სურ. 3.37, ა) კოორდინატთა ღერძებით (ზლიფების წვეროები). y=0 განტოლებაში ჩანაცვლებით ვპოულობთ ელიფსის გადაკვეთის წერტილებს აბსცისის ღერძთან (ფოკალური ღერძით): x=\pm a . მაშასადამე, ელიფსის შიგნით ჩასმული ფოკუსური ღერძის სეგმენტის სიგრძე უდრის 2a-ს. ამ სეგმენტს, როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, ეწოდება ელიფსის მთავარი ღერძი, ხოლო რიცხვი a არის ელიფსის მთავარი ნახევარღერძი. x=0-ის ჩანაცვლებით მივიღებთ y=\pm b. მაშასადამე, ელიფსის შიგნით ჩასმული ელიფსის მეორე ღერძის სეგმენტის სიგრძე უდრის 2b-ს. ამ სეგმენტს ელიფსის მცირე ღერძი ეწოდება, b რიცხვს კი ელიფსის მცირე ნახევარღერძი.

მართლაც, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, ხოლო b=a ტოლობა მიიღება მხოლოდ c=0 შემთხვევაში, როცა ელიფსი არის წრე. დამოკიდებულება k=\frac(b)(a)\leqslant1ელიფსის შეკუმშვის ფაქტორი ეწოდება.

შენიშვნები 3.9

1. ხაზები x=\pm a,~y=\pm b ზღუდავს მთავარ ოთხკუთხედს კოორდინატულ სიბრტყეზე, რომლის შიგნითაც მდებარეობს ელიფსი (იხ. სურ. 3.37, ა).

2. ელიფსი შეიძლება განისაზღვროს როგორც წრის მის დიამეტრზე შეკუმშვით მიღებული წერტილების ადგილი.

მართლაც, მოდით, მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში Oxy წრის განტოლებას აქვს ფორმა x^2+y^2=a^2. x ღერძზე 0-ის კოეფიციენტით შეკუმშვისას

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

წრის განტოლებაში x=x" და y=\frac(1)(k)y"-ის ჩანაცვლებით, მივიღებთ M(x) წერტილის M"(x",y") გამოსახულების კოორდინატთა განტოლებას. , y):

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\მარჯვნივ)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

ვინაიდან b=k\cdot a . ეს არის ელიფსის კანონიკური განტოლება.

3. კოორდინატთა ღერძები (კანონიკური კოორდინატთა სისტემის) არის ელიფსის სიმეტრიის ღერძი (ე.წ. ელიფსის ძირითად ღერძებს), ხოლო მისი ცენტრი არის სიმეტრიის ცენტრი.

მართლაც, თუ წერტილი M(x,y) ეკუთვნის ელიფსს. მაშინ M"(x,-y) და M""(-x,y) წერტილები, კოორდინატთა ღერძების მიმართ M წერტილის სიმეტრიული, ასევე იმავე ელიფსს ეკუთვნის.

4. ელიფსის განტოლებიდან პოლარული კოორდინატთა სისტემაში r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(იხ. სურ. 3.37, გ), დაზუსტებულია ფოკალური პარამეტრის გეომეტრიული მნიშვნელობა - ეს არის ელიფსის აკორდის სიგრძის ნახევარი, რომელიც გადის მის ფოკუსზე პერპენდიკულარულად კეროვანი ღერძის მიმართ ( r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. ექსცენტრიულობა e ახასიათებს ელიფსის ფორმას, კერძოდ განსხვავებას ელიფსსა და წრეს შორის. რაც უფრო დიდია e, მით უფრო წაგრძელებულია ელიფსი და რაც უფრო ახლოს არის e ნულთან, მით უფრო ახლოსაა ელიფსი წრესთან (სურ. 3.38, ა). მართლაც, იმის გათვალისწინებით, რომ e=\frac(c)(a) და c^2=a^2-b^2, მივიღებთ

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\მარჯვნივ )\^2=1-k^2, !}

სადაც k არის ელიფსის შეკუმშვის ფაქტორი, 0

6. განტოლება \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1თვის

7. განტოლება \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bგანსაზღვრავს ელიფსს, რომელიც ორიენტირებულია O "(x_0, y_0) წერტილში, რომლის ღერძები პარალელურია კოორდინატთა ღერძებთან (ნახ. 3.38, გ).