სფერო, რომლის მოცულობა არის 8π, ჩაწერილია კუბში. იპოვეთ კუბის მოცულობა.

გადაწყვეტილება

დაე იყოს კუბის მხარე. მაშინ კუბის მოცულობა არის V = a 3.

ვინაიდან ბურთი კუბშია ჩაწერილი, ბურთის რადიუსი უდრის კუბის კიდის ნახევარს, ანუ R = a/2 (იხ. ნახ.).

ბურთის მოცულობა არის V w \u003d (4/3)πR 3 და უდრის 8π, შესაბამისად

(4/3)πR 3 = 8π,

და კუბის მოცულობა არის V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.

ამოცანა B9 (შესწავლა 2015 წ.)

კონუსის მოცულობა არის 32. სიმაღლის შუაში კონუსის ფუძის პარალელურად გავლებულია მონაკვეთი, რომელიც არის იგივე წვეროს მქონე პატარა კონუსის ფუძე. იპოვეთ პატარა კონუსის მოცულობა.

გადაწყვეტილება

განიხილეთ დავალებები:

72353. კონუსის მოცულობა არის 10. სიმაღლის შუაში გაყვანილია მონაკვეთი კონუსის ფუძის პარალელურად, რომელიც არის იგივე წვეროს მქონე პატარა კონუსის ფუძე. იპოვეთ პატარა კონუსის მოცულობა.

მაშინვე აღვნიშნავთ, რომ თავდაპირველი და შეკვეცილი გირჩები მსგავსია და თუ გავითვალისწინებთ ჩამოჭრილ კონუსს ორიგინალთან შედარებით, მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ: პატარა კონუსი უფრო დიდის მსგავსია, რომლის კოეფიციენტი უდრის ერთ წამს ან 0,5-ს. ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ:

შეიძლება ეწერა:

შეიძლება ასე იფიქრო!

განვიხილოთ ორიგინალური კონუსი მოჭრილთან მიმართებაში. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ უფრო დიდი კონუსი წაჭრილის მსგავსია ორი კოეფიციენტით, ვწერთ:

ახლა შეხედეთ გამოსავალს მსგავსების თვისებების გამოყენების გარეშე.

კონუსის მოცულობა უდრის მისი ფუძისა და სიმაღლის ფართობის ნამრავლის მესამედს:

განვიხილოთ გვერდითი პროექცია (გვერდითი ხედი) მითითებული მონაკვეთით:

უფრო დიდი კონუსის რადიუსი იყოს R, სიმაღლე არის H. მონაკვეთი (პატარა კონუსის ფუძე) გადის სიმაღლის შუაზე, ამიტომ მისი სიმაღლე იქნება H/2-ის ტოლი. და ბაზის რადიუსი არის R/2, ეს გამომდინარეობს სამკუთხედების მსგავსებიდან.

მოდით დავწეროთ ორიგინალური კონუსის მოცულობა:

ამოჭრილი კონუსის მოცულობა ტოლი იქნება:

ასეთი დეტალური გადაწყვეტილებები წარმოდგენილია ისე, რომ თქვენ ხედავთ, თუ როგორ შეგიძლიათ შექმნათ მსჯელობა. იმოქმედეთ ნებისმიერი გზით - მთავარია, გაიგოთ გადაწყვეტილების არსი. დაე, არჩეული გზა არ იყოს რაციონალური, შედეგი მნიშვნელოვანია (სწორი შედეგი).

პასუხი: 1.25

318145. კონუსის ფორმის ჭურჭელში სითხის დონე აღწევს სიმაღლის ნახევარს. სითხის მოცულობა 70 მლ. რამდენი მილილიტრი სითხე უნდა დაემატოს ჭურჭლის სრულად შესავსებად?

ეს დავალება წინას მსგავსია. მიუხედავად იმისა, რომ აქ სითხეზეა საუბარი, ხსნარის პრინციპი იგივეა.

ჩვენ გვაქვს ორი კონუსი - ეს არის თავად ჭურჭელი და "პატარა" კონუსი (ივსება სითხით), ისინი მსგავსია. ცნობილია, რომ მსგავსი სხეულების მოცულობა დაკავშირებულია შემდეგნაირად:

ორიგინალური კონუსი (ჭურჭელი) მსგავსია სითხით სავსე კონუსის, რომლის კოეფიციენტი უდრის 2-ს, რადგან ამბობენ, რომ სითხის დონე აღწევს სიმაღლის ნახევარს. დაწვრილებით შეგიძლიათ დაწეროთ:

ჩვენ ვიანგარიშებთ:

ამრიგად, თქვენ უნდა დაამატოთ:

სხვა ამოცანები სითხეებით.

74257. იპოვეთ კონუსის V მოცულობა, რომლის გენერატორი არის 44 და მიდრეკილია ფუძის სიბრტყისკენ 30 0 კუთხით. მიეცით თქვენი პასუხი V/Pi.

კონუსის მოცულობა:

კონუსის სიმაღლეს ვპოულობთ მართკუთხა სამკუთხედის თვისებით.

30° კუთხის მოპირდაპირე ფეხი უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს. ჰიპოტენუზა, ამ შემთხვევაში, არის კონუსის გენერაცია. აქედან გამომდინარე, კონუსის სიმაღლე არის 22.

ჩვენ ვიპოვით ფუძის რადიუსის კვადრატს პითაგორას თეორემის გამოყენებით:

*ჩვენ გვჭირდება რადიუსის კვადრატი და არა თავად რადიუსი.

კონუსი. ფრუსტუმი

შეკუმშული ზედაპირიეწოდება ზედაპირი, რომელიც წარმოიქმნება ყველა სწორი ხაზით, რომელიც გადის მოცემული მრუდის თითოეულ წერტილს და მრუდის გარეთ არსებულ წერტილს (სურ. 32).

ეს მრუდი ე.წ სახელმძღვანელო პირდაპირი - წარმოქმნის , წერტილი - სამიტი კონუსური ზედაპირი.

სწორი წრიული ზედაპირიეწოდება ზედაპირს, რომელიც წარმოქმნის ყველა წრფეს, რომელიც გადის მოცემული წრის თითოეულ წერტილს და წრფის წერტილს, რომელიც პერპენდიკულარულია წრის სიბრტყეზე და გადის მის ცენტრში. შემდეგში, ამ ზედაპირს მოკლედ მოიხსენიებენ, როგორც კონუსური ზედაპირი (სურ.33).

კონუსი (სწორი წრიული კონუსი ) ეწოდება გეომეტრიულ სხეულს, რომელიც შემოიფარგლება კონუსური ზედაპირით და სიბრტყით, რომელიც პარალელურია სახელმძღვანელო წრის სიბრტყის (სურ. 34).

ბრინჯი. 32 ნახ. 33 ნახ. 34

კონუსი შეიძლება ჩაითვალოს სხეულად, რომელიც მიიღება მართკუთხა სამკუთხედის ბრუნვით ღერძის გარშემო, რომელიც შეიცავს სამკუთხედის ერთ-ერთ ფეხს.

წრე, რომელიც ზღუდავს კონუსს, ეწოდება საფუძველი . კონუსური ზედაპირის წვერო ეწოდება სამიტი კონუსი. ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს კონუსის ზედა ნაწილს მისი ფუძის ცენტრთან, ეწოდება მაღალი კონუსი. სეგმენტებს, რომლებიც ქმნიან კონუსურ ზედაპირს, ე.წ წარმოქმნის კონუსი. ღერძი კონუსი არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის კონუსის წვეროზე და მისი ფუძის ცენტრში. ღერძული განყოფილება კონუსის ღერძზე გამავალ მონაკვეთს უწოდებენ. გვერდითი ზედაპირის განვითარება კონუსი არის სექტორი, რომლის რადიუსი უდრის კონუსის გენერატრიქსის სიგრძეს, ხოლო სექტორის რკალის სიგრძე უდრის კონუსის ფუძის გარშემოწერილობას.

კონუსისთვის, შემდეგი ფორმულები მართალია:

სადაც რარის ფუძის რადიუსი;

ჰ- სიმაღლე;

ლ- გენერატრიქსის სიგრძე;

S მთავარი- ბაზის ფართობი;

S მხარე

S სავსე

ვარის კონუსის მოცულობა.

შეკვეცილი კონუსიეწოდება კონუსის ნაწილს, რომელიც ჩასმულია ფუძესა და საჭრელ სიბრტყეს შორის კონუსის ფუძის პარალელურად (სურ. 35).

ჩამოჭრილი კონუსი შეიძლება მივიჩნიოთ სხეულად, რომელიც მიიღება მართკუთხა ტრაპეციის ბრუნვით ღერძის გარშემო, რომელიც შეიცავს ტრაპეციის გვერდით მხარეს, ფუძეებზე პერპენდიკულარული.

ორ წრეს, რომლებიც აკრავს კონუსს, მისი ეწოდება საფუძველი . სიმაღლე შეკვეცილი კონუსი არის მანძილი მის ფუძეებს შორის. სეგმენტები, რომლებიც ქმნიან შეკვეცილი კონუსის კონუსურ ზედაპირს, ეწოდება წარმოქმნის . ფუძეების ცენტრებში გამავალ სწორ ხაზს ეწოდება ღერძი შეკვეცილი კონუსი. ღერძული განყოფილება მოუწოდა მონაკვეთი, რომელიც გადის შეკვეცილი კონუსის ღერძზე.

შეკვეცილი კონუსისთვის, შემდეგი ფორმულები მართალია:

(8)

სადაც რარის ქვედა ფუძის რადიუსი;

რარის ზედა ფუძის რადიუსი;

ჰარის სიმაღლე, l არის გენერატრიქსის სიგრძე;

S მხარეარის გვერდითი ზედაპირის ფართობი;

S სავსეარის მთლიანი ზედაპირის ფართობი;

ვარის შეკვეცილი კონუსის მოცულობა.

მაგალითი 1კონუსის მონაკვეთი ძირის პარალელურად ყოფს სიმაღლეს 1:3 თანაფარდობით, ზემოდან დათვლა. იპოვეთ შეკვეცილი კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, თუ ფუძის რადიუსი და კონუსის სიმაღლეა 9 სმ და 12 სმ.

გადაწყვეტილება.დავხატოთ ნახატი (სურ. 36).

შეკვეცილი კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად ვიყენებთ ფორმულას (8). იპოვეთ ფუძეების რადიუსი დაახლოებით 1 ადა დაახლოებით 1 ვდა გენერირება AB.

განვიხილოთ მსგავსი სამკუთხედები SO 2 Bდა SO 1 ა, მსგავსების კოეფიციენტი , მაშინ

აქედან

Მას შემდეგ

შეკვეცილი კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის:

პასუხი: .

მაგალითი 2.რადიუსის მეოთხედი წრე იკეცება კონუსურ ზედაპირზე. იპოვეთ ფუძის რადიუსი და კონუსის სიმაღლე.

გადაწყვეტილება.წრის ოთხმაგი არის კონუსის გვერდითი ზედაპირის განვითარება. აღნიშნეთ რარის მისი ფუძის რადიუსი, H-სიმაღლე. გვერდითი ზედაპირის ფართობი გამოითვლება ფორმულით: . ის უდრის წრის მეოთხედის ფართობს: . ვიღებთ განტოლებას ორი უცნობით რდა ლ(კონუსის გენერატორი). ამ შემთხვევაში, გენერატრიქსი უდრის წრის მეოთხედის რადიუსს რ, ასე რომ, მივიღებთ შემდეგ განტოლებას: , საიდანაც ვიცით ფუძისა და გენერატრიქსის რადიუსი, ვპოულობთ კონუსის სიმაღლეს:

პასუხი: 2 სმ,.

მაგალითი 3მართკუთხა ტრაპეცია მწვავე კუთხით 45 O, უფრო მცირე ფუძით 3 სმ და ტოლი დახრილი გვერდით, ბრუნავს ფუძეების პერპენდიკულარული მხარის გარშემო. იპოვეთ რევოლუციის მიღებული სხეულის მოცულობა.

გადაწყვეტილება.დავხატოთ ნახატი (სურ. 37).

ბრუნვის შედეგად ვიღებთ ჩამოჭრილ კონუსს, მისი მოცულობის საპოვნელად ვიანგარიშებთ უფრო დიდი ფუძის რადიუსს და სიმაღლეს. ტრაპეციაში O 1 O 2 ABდავხარჯავთ AC^O 1 B. ჩვენ გვაქვს: ასე რომ, ეს სამკუთხედი არის ტოლფერდა AC=ძვ.წ\u003d 3 სმ.

პასუხი:

მაგალითი 4სამკუთხედი გვერდებით 13 სმ, 37 სმ და 40 სმ ბრუნავს გარე ღერძის ირგვლივ, რომელიც უფრო დიდი მხარის პარალელურია და მისგან 3 სმ დაშორებით (ღერძი მდებარეობს სამკუთხედის სიბრტყეში). იპოვეთ რევოლუციის შედეგად მიღებული სხეულის ზედაპირის ფართობი.

გადაწყვეტილება . დავხატოთ ნახატი (სურ. 38).

რევოლუციის შედეგად მიღებული სხეულის ზედაპირი შედგება ორი შეკვეცილი კონუსის გვერდითი ზედაპირისა და ცილინდრის გვერდითი ზედაპირისგან. ამ უბნების გამოსათვლელად საჭიროა ვიცოდეთ კონუსების და ცილინდრის ფუძეების რადიუსი ( BEდა OCკონუსების ფორმირება ( ძვ.წდა AC) და ცილინდრის სიმაღლე ( AB). უცნობია მხოლოდ CO. არის მანძილი სამკუთხედის გვერდიდან ბრუნვის ღერძამდე. მოდი ვიპოვოთ DC. ABC სამკუთხედის ფართობი ერთ მხარეს უდრის AB გვერდის ნახევრის ნამრავლს და მისკენ მიზიდულ სიმაღლეს. DC, მეორეს მხრივ, სამკუთხედის ყველა გვერდის ცოდნით, ჩვენ ვიანგარიშებთ მის ფართობს ჰერონის ფორმულით.

კონუსის მოცულობა. ასე მივედით კონუსებსა და ცილინდრებს. მათ გარდა, რომლებიც უკვე გამოქვეყნებულია, იქნება დაახლოებით ცხრა სტატია, განვიხილავთ ყველა სახის დავალებას. თუ წლის განმავლობაში ღია ბანკს დაემატება ახალი ამოცანები, რა თქმა უნდა, ისინიც განთავსდება ბლოგზე. ეს სტატია წარმოადგენს თეორიას და მაგალითებს, რომლებშიც იგი გამოიყენება. საკმარისი არ არის კონუსის მოცულობის ფორმულის ცოდნა, სხვათა შორის, აქ არის:

ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ:

რამდენიმე მაგალითის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გესმოდეთ, როგორ უკავშირდება მსგავსი სხეულების მოცულობა. ეს არის გაგება და არა მხოლოდ ფორმულის სწავლა:

ანუ, თუ სხეულის წრფივ ზომებს k-ჯერ გავზრდით (ამცირებთ), მაშინ მიღებული სხეულის მოცულობის შეფარდება ორიგინალის მოცულობასთან k 3-ის ტოლი იქნება.

ᲨᲔᲜᲘᲨᲕᲜᲐ! არ აქვს მნიშვნელობა როგორ განსაზღვრავთ ტომებს:

ფაქტია, რომ პრობლემების გადაჭრის პროცესში ასეთი ორგანოების განხილვისას ზოგიერთი შეიძლება დაბნეული იყოს k კოეფიციენტში. შეიძლება გაჩნდეს კითხვა - რის ტოლია?

(დამოკიდებულია პირობაში მითითებულ მნიშვნელობაზე)

ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რომელ მხარეს უყურებთ. მნიშვნელოვანია ამის გაგება! განვიხილოთ მაგალითი - მოცემულია კუბი, მეორე კუბის კიდე სამჯერ დიდია:

ამ შემთხვევაში, მსგავსების კოეფიციენტი უდრის სამს (კიდე გაიზარდა სამჯერ), რაც ნიშნავს, რომ თანაფარდობა ასე გამოიყურება:

ანუ მიღებული (დიდი) კუბის მოცულობა 27-ჯერ დიდი იქნება.

შეგიძლიათ მეორე მხრიდან შეხედოთ.

კუბის გათვალისწინებით, მეორე კუბის კიდე სამჯერ მცირეა:

მსგავსების კოეფიციენტი უდრის მესამედს (კიდეების შემცირება სამჯერ), რაც ნიშნავს, რომ თანაფარდობა ასე გამოიყურება:

ანუ, მიღებული კუბის მოცულობა 27-ჯერ ნაკლები იქნება.

დასკვნა! ინდექსები არ არის მნიშვნელოვანი მოცულობების აღნიშვნისას, მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, თუ როგორ განიხილება სხეულები ერთმანეთთან შედარებით.

Ნათელია, რომ:

- თუ ორიგინალური სხეული იზრდება, მაშინ კოეფიციენტი ერთზე მეტი იქნება.

- თუ ორიგინალური სხეული მცირდება, მაშინ კოეფიციენტი ერთზე ნაკლები იქნება.

მოცულობის თანაფარდობის შესახებ შეგვიძლია ვთქვათ შემდეგი:

- თუ ამოცანაში უფრო დიდი სხეულის მოცულობას გავყოფთ პატარაზე, მაშინ მივიღებთ მსგავსების კოეფიციენტის კუბს და თავად კოეფიციენტი ერთზე დიდი აღმოჩნდება.

- თუ პატარა სხეულის მოცულობას გავყოფთ უფრო დიდზე, მივიღებთ მსგავსების კოეფიციენტის კუბს და თავად კოეფიციენტი ერთზე ნაკლები აღმოჩნდება.

ყველაზე მნიშვნელოვანი, რაც უნდა გვახსოვდეს, არის ის, რომ როდესაც საქმე ეხება მსგავსი სხეულების მოცულობას, მსგავსების კოეფიციენტს აქვს მესამე ხარისხი და არა მეორე, როგორც უბნების შემთხვევაში.

კიდევ ერთი პუნქტი რაც შეეხება.

მდგომარეობა შეიცავს ისეთ რამეს, როგორიცაა კონუსის გენერაცია. ეს არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს კონუსის ზედა ნაწილს ფუძის გარშემოწერილობის წერტილებთან (ნახაზზე მითითებულია ასო L-ით).

აქ აღსანიშნავია, რომ ჩვენ გავაანალიზებთ პრობლემებს მხოლოდ პირდაპირი კონუსით (შემდგომში უბრალოდ კონუსი). მარჯვენა კონუსის გენერატორები ტოლია

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი.

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ სოციალურ ქსელებში მოგიყვებით საიტის შესახებ.