ამ გაკვეთილზე ჩვენ განვიხილავთ მახასიათებლებს შებრუნებული ფუნქციებიდა გაიმეორეთ შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. ცალ-ცალკე განხილული იქნება ყველა ძირითადი ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის თვისებები: რკალი, არკოზინი, არქტანგენსი და არკოტანგენსი.

ეს გაკვეთილი დაგეხმარებათ მოამზადოთ ერთ-ერთი ტიპის დავალება. 7 საათზედა C1.

მომზადება მათემატიკაში გამოცდისთვის

Ექსპერიმენტი

გაკვეთილი 9

თეორია

გაკვეთილის შეჯამება

გავიხსენოთ, როდესაც ვხვდებით ისეთ კონცეფციას, როგორიცაა შებრუნებული ფუნქცია. მაგალითად, განიხილეთ კვადრატის ფუნქცია. დავუშვათ, გვაქვს კვადრატული ოთახი 2 მეტრის გვერდით და გვინდა გამოვთვალოთ მისი ფართობი. ამისათვის, კვადრატული დაზოგვის ფორმულის მიხედვით, ჩვენ კვადრატს ვაწყობთ და შედეგად ვიღებთ 4 მ 2. ახლა წარმოიდგინეთ შებრუნებული პრობლემა: ჩვენ ვიცით კვადრატული ოთახის ფართობი და გვინდა ვიპოვოთ მისი გვერდების სიგრძე. თუ ვიცით, რომ ფართობი კვლავ იგივეა 4 მ 2, მაშინ ჩვენ შევასრულებთ შებრუნებულ მოქმედებას კვადრატამდე - გამოვყოფთ არითმეტიკული კვადრატული ფესვის გამოტანას, რაც მოგვცემს მნიშვნელობას 2 მ.

ამრიგად, რიცხვის კვადრატის ფუნქციისთვის, შებრუნებული ფუნქცია არის არითმეტიკული კვადრატული ფესვის ამოღება.

კონკრეტულად, ამ მაგალითში, ჩვენ არ გვქონდა პრობლემა ოთახის მხარის გამოთვლასთან დაკავშირებით, რადგან ჩვენ გვესმის, რომ ეს არის დადებითი რიცხვი. თუმცა, თუ ამ შემთხვევიდან გამოვყოფთ და პრობლემას უფრო ზოგადად განვიხილავთ: „გამოთვალეთ რიცხვი, რომლის კვადრატი ოთხია“, პრობლემას წავაწყდებით - ორი ასეთი რიცხვია. ეს არის 2 და -2, რადგან ასევე უდრის ოთხს. გამოდის, რომ შებრუნებული ამოცანა ზოგად შემთხვევაში ორაზროვნად არის ამოხსნილი და რიცხვის განსაზღვრის მოქმედება, რომელი კვადრატში გვაძლევს ჩვენთვის ცნობილ რიცხვს? აქვს ორი შედეგი. მოსახერხებელია ამის ჩვენება გრაფიკზე:

და ეს ნიშნავს, რომ რიცხვების შესაბამისობის ასეთ კანონს არ შეგვიძლია ვუწოდოთ ფუნქცია, რადგან ფუნქციისთვის არგუმენტის ერთი მნიშვნელობა შეესაბამება მკაცრად ერთიფუნქციის მნიშვნელობა.

კვადრატში შებრუნებული ფუნქციის ზუსტად დანერგვის მიზნით, შემოთავაზებული იქნა არითმეტიკული კვადრატული ფესვის კონცეფცია, რომელიც იძლევა მხოლოდ არაუარყოფით მნიშვნელობებს. იმათ. ფუნქციისთვის, შებრუნებული ფუნქცია ითვლება .

ანალოგიურად, არსებობს ტრიგონომეტრიულის შებრუნებული ფუნქციები, მათ ე.წ შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. ჩვენს მიერ განხილულ თითოეულ ფუნქციას აქვს თავისი შებრუნებული, მათ უწოდებენ: რკალი, არკოზინი, არქტანგენსი და არკოტანგენსი.

ეს ფუნქციები წყვეტს კუთხეების გამოთვლის პრობლემას ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ცნობილი მნიშვნელობიდან. მაგალითად, ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილის გამოყენებით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ სინუსი, რომლის კუთხის ტოლია. ამ მნიშვნელობას ვპოულობთ სინუსების ხაზში და ვადგენთ რომელ კუთხეს შეესაბამება. პირველი, რაზეც გსურთ პასუხის გაცემა, არის ის, რომ ეს არის კუთხე ან, მაგრამ თუ თქვენ გაქვთ მნიშვნელობების ცხრილი, მაშინვე შეამჩნევთ პასუხის სხვა კანდიდატს - ეს არის კუთხე ან. და თუ გავიხსენებთ სინუსის პერიოდს, გავიგებთ, რომ არის უსასრულო რაოდენობის კუთხეები, რომლებზეც სინუსი ტოლია. და კუთხის მნიშვნელობების ასეთი ნაკრები, რომელიც შეესაბამება ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მოცემულ მნიშვნელობას, ასევე შეინიშნება კოსინუსებისთვის, ტანგენტებისა და კოტანგენტებისთვის, რადგან მათ ყველას აქვს პერიოდულობა.

იმათ. ჩვენ ვხვდებით იმავე პრობლემას, როგორც არგუმენტის მნიშვნელობის გამოთვლა კვადრატული მოქმედების ფუნქციის მნიშვნელობიდან. და ამ შემთხვევაში, შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისთვის, შემოღებულ იქნა შეზღუდვა მნიშვნელობების დიაპაზონზე, რომელსაც ისინი იძლევიან გაანგარიშებისას. ასეთი შებრუნებული ფუნქციების ამ თვისებას ე.წ დიაპაზონის შევიწროებადა აუცილებელია, რომ მათ ფუნქციები ვუწოდოთ.

თითოეული შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციისთვის, კუთხეების დიაპაზონს, რომელსაც ის აბრუნებს, აქვს თავისი და ჩვენ მათ ცალკე განვიხილავთ. მაგალითად, რკალი აბრუნებს კუთხის მნიშვნელობებს დიაპაზონში.

შებრუნებულ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან მუშაობის უნარი გამოგვადგება ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას.

ახლა ჩვენ აღვნიშნავთ თითოეული შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ძირითად თვისებებს. მათ უფრო დეტალურად გაცნობის მსურველებს იხილეთ მე-10 კლასის პროგრამის თავი „ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა“.

განვიხილოთ რკალი ფუნქციის თვისებები და დახაზეთ მისი გრაფიკი.

განმარტება.რიცხვის რკალიx

არქსინის ძირითადი თვისებები:

1) ზე,

2) ზე.

არქსინის ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

1) განმარტების დომენი ;

2) ღირებულებების დიაპაზონი ;

3) ფუნქცია კენტია.სასურველია ეს ფორმულა ცალკე გავიხსენოთ, რადგან ის სასარგებლოა ტრანსფორმაციისთვის. ასევე გაითვალისწინეთ, რომ უცნაურობა გულისხმობს ფუნქციის გრაფიკის სიმეტრიას საწყისთან მიმართებაში;

მოდით ავაშენოთ ფუნქციის გრაფიკი:

გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქციის გრაფიკის არცერთი განყოფილება არ მეორდება, რაც ნიშნავს, რომ რკალი არ არის პერიოდული ფუნქცია, სინუსისგან განსხვავებით. იგივე ეხება ყველა სხვა რკალ ფუნქციას.

განვიხილოთ არკოზინის ფუნქციის თვისებები და შექმენით მისი გრაფიკი.

განმარტება.რიცხვის რკალის კოსინუსიxმოვუწოდებთ იმ კუთხის მნიშვნელობას, რომლისთვისაც . უფრო მეტიც, როგორც შეზღუდვები სინუსის მნიშვნელობებზე, მაგრამ როგორც კუთხეების შერჩეული დიაპაზონი.

რკალის კოსინუსის ძირითადი თვისებები:

1) ზე,

2) ზე.

არკოზინის ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

1) განმარტების დომენი ;

2) მნიშვნელობების დიაპაზონი;

3) ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი, ე.ი. ზოგადი ხედი . ასევე სასურველია გავიხსენოთ ეს ფორმულა, ის მოგვიანებით გამოგვადგება;

4) ფუნქცია მონოტონურად მცირდება.

მოდით ავაშენოთ ფუნქციის გრაფიკი:

განვიხილოთ არქტანგენსი ფუნქციის თვისებები და დახაზეთ მისი გრაფიკი.

განმარტება.რიცხვის თაღოვანი ტანგენსიxმოვუწოდებთ იმ კუთხის მნიშვნელობას, რომლისთვისაც . უფრო მეტიც, მას შემდეგ არ არსებობს შეზღუდვები ტანგენტების მნიშვნელობებზე, მაგრამ როგორც კუთხეების შერჩეული დიაპაზონი.

რკალის ტანგენტის ძირითადი თვისებები:

1) ზე,

2) ზე.

არქტანგენტის ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

1) განმარტების დომენი;

2) ღირებულებების დიაპაზონი ;

3) ფუნქცია კენტია . ეს ფორმულა ასევე სასარგებლოა, ისევე როგორც მსგავსი. ისევე როგორც რკალის შემთხვევაში, უცნაურობა გულისხმობს ფუნქციის გრაფიკის სიმეტრიას საწყისთან მიმართებაში;

4) ფუნქცია მონოტონურად იზრდება.

მოდით ავაშენოთ ფუნქციის გრაფიკი:

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები(წრიული ფუნქციები, რკალი ფუნქციები) - მათემატიკური ფუნქციები, რომლებიც შებრუნებულია ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებზე.

ეს ჩვეულებრივ მოიცავს 6 ფუნქციას:

• რკალი(სიმბოლო: arcsin x; arcsin xარის კუთხე ცოდვარომელიც უდრის x),
• არკოზინი(სიმბოლო: arccos x; arccos xარის კუთხე, რომლის კოსინუსი ტოლია xდა ა.შ.),
• რკალის ტანგენსი(სიმბოლო: arctg xან არქტანი x),
• რკალის ტანგენსი(სიმბოლო: arcctg xან არკოტი xან არკოტანი x),
• რკალისებური(სიმბოლო: arcsec x),
• რკოსეკანტი(სიმბოლო: arccosec xან arccsc x).

არქსინი (y = arcsin x) არის შებრუნებული ფუნქცია ცოდვა (x = სინუსი . სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აბრუნებს კუთხეს მისი მნიშვნელობით ცოდვა.

რკალის კოსინუსი (y = arccos x) არის შებრუნებული ფუნქცია cos (x = cos y cos.

არქტანგენტი (y = არქტანი x) არის შებრუნებული ფუნქცია ტგ (x = tgy), რომელსაც აქვს განმარტების დომენი და მნიშვნელობების ნაკრები . სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აბრუნებს კუთხეს მისი მნიშვნელობით ტგ.

რკალის ტანგენსი (y = arcctg x) არის შებრუნებული ფუნქცია ctg (x = ctg y), რომელსაც აქვს განმარტების დომენი და მნიშვნელობების ნაკრები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აბრუნებს კუთხეს მისი მნიშვნელობით ctg.

arcsec- arcsectant, აბრუნებს კუთხეს მისი სეკანტის მნიშვნელობით.

arccosec- arccosecant, აბრუნებს კუთხეს მისი კოსეკანტის მნიშვნელობით.

როდესაც შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქცია არ არის განსაზღვრული მითითებულ წერტილში, მაშინ მისი მნიშვნელობა არ გამოჩნდება მიღებულ ცხრილში. ფუნქციები arcsecდა arccosecარ არის განსაზღვრული სეგმენტზე (-1,1), მაგრამ რკალი ცოდვადა არკოებიგანისაზღვრება მხოლოდ [-1,1] ინტერვალზე.

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის სახელი წარმოიქმნება შესაბამისი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის სახელიდან პრეფიქსი "ark-"-ის დამატებით (ლათ. რკალი ჩვენ- რკალი). ეს გამოწვეულია იმით, რომ გეომეტრიულად შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობა ასოცირდება ერთეული წრის რკალის სიგრძესთან (ან იმ კუთხესთან, რომელიც ამ რკალს ექვემდებარება), რომელიც შეესაბამება ამა თუ იმ სეგმენტს.

ზოგჯერ უცხოურ ლიტერატურაში, ისევე როგორც სამეცნიერო / საინჟინრო კალკულატორებში, ისინი იყენებენ აღნიშვნებს, როგორიცაა ცოდვა -1, cos -1არქსინისთვის, არკოზინისთვის და მსგავსებისთვის - ეს არ ითვლება სრულიად ზუსტი, რადგან სავარაუდო დაბნეულობა ფუნქციის ძალამდე ამაღლებასთან −1 (« −1 » (პირველი სიმძლავრის გამოკლებით) განსაზღვრავს ფუნქციას x=f-1(y), ფუნქციის შებრუნებული y=f(x)).

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი მიმართებები.

აქ მნიშვნელოვანია ყურადღება მიაქციოთ იმ ინტერვალებს, რომლებისთვისაც ფორმულები მოქმედებს.

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დამაკავშირებელი ფორმულები.

აღნიშნეთ შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნებისმიერი მნიშვნელობა Arcsin x, Arccos x, არქტანი x, არკოტი xდა შეინახეთ აღნიშვნა: arcsin x, arcos x, არქტანი x, არკოტი xმათი ძირითადი ღირებულებებისთვის, მაშინ მათ შორის ურთიერთობა გამოხატულია ასეთი ურთიერთობებით.

ვინაიდან ტრიგონომეტრიული ფუნქციები პერიოდულია, მათზე შებრუნებული ფუნქციები არ არის ერთმნიშვნელოვანი. ასე რომ, განტოლება y = ცოდვა x, მოცემული , აქვს უსაზღვროდ ბევრი ფესვები. მართლაც, სინუსის პერიოდულობის გამო, თუ x ასეთი ფესვია, მაშინ x + 2n(სადაც n არის მთელი რიცხვი) ასევე იქნება განტოლების ფესვი. ამრიგად, შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები მრავალმნიშვნელოვანია. მათთან მუშაობის გასაადვილებლად, შემოღებულია მათი ძირითადი ღირებულებების კონცეფცია. განვიხილოთ, მაგალითად, სინუსი: y = ცოდვა x. თუ x არგუმენტს შევზღუდავთ ინტერვალით, მაშინ მასზე ფუნქცია y = ცოდვა xმონოტონურად იზრდება. მაშასადამე, მას აქვს ერთმნიშვნელოვანი ინვერსიული ფუნქცია, რომელსაც ეწოდება რკალი: x = arcsin y.

თუ სხვაგვარად არ არის მითითებული, შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ნიშნავს მათ ძირითად მნიშვნელობებს, რომლებიც განისაზღვრება შემდეგი განმარტებებით.

არქსინი ( y= arcsin x) არის სინუსის შებრუნებული ფუნქცია ( x= საცოდავი
რკალის კოსინუსი ( y= arccos x) არის კოსინუსის შებრუნებული ფუნქცია ( x= cos y) რომელსაც აქვს განმარტების დომენი და მნიშვნელობების ნაკრები.
არქტანგენტი ( y= arctg x) არის ტანგენსის შებრუნებული ფუნქცია ( x= tg y) რომელსაც აქვს განმარტების დომენი და მნიშვნელობების ნაკრები.
თაღოვანი რკალი ( y= arcctg x) არის კოტანგენსის შებრუნებული ფუნქცია ( x= ctg y) რომელსაც აქვს განმარტების დომენი და მნიშვნელობების ნაკრები.

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკები

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკები მიიღება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკებიდან სარკისებური ასახვით y = x სწორი ხაზის მიმართ. იხილეთ განყოფილებები სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი.

y= arcsin x

y= arccos x

y= arctg x

y= arcctg x

ძირითადი ფორმულები

აქ განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მიექცეს იმ ინტერვალებს, რომლებისთვისაც მოქმედებს ფორმულები.

arcsin(sin x) = xზე
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = xზე
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = xზე
tg (arctg x) = x
arcctg(ctg x) = xზე
ctg(arctg x) = x

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დამაკავშირებელი ფორმულები

Იხილეთ ასევე: შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ფორმულების წარმოშობა

ჯამისა და სხვაობის ფორმულები

ზე ან

ზე და

ზე და

ზე ან

ზე და

ზე და

ზე

ზე

ზე

ზე

ზე

ზე

ზე

ზე

ზე

ზე

ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების ინჟინრებისა და სტუდენტებისთვის, ლან, 2009 წ.

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიარის რკალი, არკოზინი, არქტანგენსი და არკოტანგენსი.

ჯერ მივცეთ განმარტებები.

რკალიან, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ეს არის ისეთი კუთხე, რომელიც ეკუთვნის იმ სეგმენტს, რომლის სინუსი უდრის a რიცხვს.

რკალის კოსინუსირიცხვს a ეწოდება ისეთ რიცხვს, რომ

არქტანგენტირიცხვს a ეწოდება ისეთ რიცხვს, რომ

რკალის ტანგენსირიცხვს a ეწოდება ისეთ რიცხვს, რომ

მოდით დეტალურად ვისაუბროთ ჩვენთვის ამ ოთხ ახალ ფუნქციაზე - შებრუნებული ტრიგონომეტრიული.

გახსოვდეთ, ჩვენ უკვე შევხვდით.

მაგალითად, a-ს არითმეტიკული კვადრატული ფესვი არის არაუარყოფითი რიცხვი, რომლის კვადრატი არის a.

b რიცხვის ლოგარითმი a ფუძესთან არის რიცხვი c ისეთი, რომ

სადაც

ჩვენ გვესმის, რატომ მოუწიათ მათემატიკოსებს ახალი ფუნქციების „გამოგონება“. მაგალითად, განტოლების ამონახსნები არის და ჩვენ არ შეგვიძლია მათი ჩაწერა სპეციალური არითმეტიკული კვადრატული ფესვის სიმბოლოს გარეშე.

ლოგარითმის კონცეფცია აუცილებელი აღმოჩნდა ამონახსნების ჩასაწერად, მაგალითად, ასეთ განტოლებაზე: ამ განტოლების ამონახსნი არის ირაციონალური რიცხვი, ეს ის მაჩვენებელია, რომელზეც 2 უნდა გაიზარდოს 7-ის მისაღებად.

იგივეა ტრიგონომეტრიული განტოლებების შემთხვევაშიც. მაგალითად, ჩვენ გვინდა ამოხსნათ განტოლება

ნათელია, რომ მისი ამონახსნები შეესაბამება ტრიგონომეტრიულ წრეზე არსებულ წერტილებს, რომელთა ორდინატი უდრის და ცხადია, რომ ეს არ არის სინუსის ტაბულური მნიშვნელობა. როგორ დავწეროთ გადაწყვეტილებები?

აქ ჩვენ არ შეგვიძლია იმ კუთხის აღმნიშვნელი ახალი ფუნქციის გარეშე, რომლის სინუსი უდრის მოცემულ რიცხვს a. დიახ, ყველამ უკვე გამოიცნო. ეს არის რკალი.

კუთხე, რომელიც ეკუთვნის იმ სეგმენტს, რომლის სინუსი ტოლია, არის მეოთხედის რკალი. ასე რომ, ჩვენი განტოლების ამონახსნების სერია, რომელიც შეესაბამება ტრიგონომეტრიულ წრეზე სწორ წერტილს, არის

და ჩვენი განტოლების ამონახსნების მეორე სერია არის

მეტი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის შესახებ -.

გასარკვევია - რატომ არის მითითებული რკალის განმარტებაში, რომ ეს არის სეგმენტის კუთვნილი კუთხე?

ფაქტია, რომ უსასრულოდ ბევრი კუთხეა, რომელთა სინუსია, მაგალითად, . ჩვენ უნდა ავირჩიოთ ერთი მათგანი. ჩვენ ვირჩევთ მას, რომელიც დევს სეგმენტზე.

შეხედეთ ტრიგონომეტრიულ წრეს. თქვენ ნახავთ, რომ სეგმენტზე თითოეული კუთხე შეესაბამება სინუსის გარკვეულ მნიშვნელობას და მხოლოდ ერთს. და პირიქით, სეგმენტიდან სინუსის ნებისმიერი მნიშვნელობა შეესაბამება სეგმენტზე კუთხის ერთ მნიშვნელობას. ეს ნიშნავს, რომ სეგმენტზე შეგიძლიათ განსაზღვროთ ფუნქცია, რომელიც იღებს მნიშვნელობებს დან

კიდევ ერთხელ გავიმეოროთ განმარტება:

a-ს რკალი არის რიცხვი , ისეთივე როგორც

აღნიშვნა: რკალის განსაზღვრის არე არის სეგმენტი, მნიშვნელობების დიაპაზონი არის სეგმენტი.

შეგიძლიათ გახსოვდეთ ფრაზა "არქსინები ცხოვრობენ მარჯვნივ". ჩვენ მხოლოდ არ გვავიწყდება, რომ არა მხოლოდ მარჯვნივ, არამედ სეგმენტზეც.

ჩვენ მზად ვართ ფუნქციის გრაფიკის შესაქმნელად

როგორც ყოველთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ x-მნიშვნელობებს ჰორიზონტალურ ღერძზე და y-მნიშვნელობებს ვერტიკალურ ღერძზე.

ვინაიდან, მაშასადამე, x დევს -1-სა და 1-ს შორის.

აქედან გამომდინარე, y = arcsin x ფუნქციის დომენი არის სეგმენტი

ჩვენ ვთქვით, რომ y ეკუთვნის სეგმენტს. ეს ნიშნავს, რომ y = arcsin x ფუნქციის დიაპაზონი არის სეგმენტი.

გაითვალისწინეთ, რომ y=arcsinx ფუნქციის გრაფიკი მოთავსებულია ხაზებით შემოსაზღვრულ არეში და

როგორც ყოველთვის უცნობი ფუნქციის შედგენისას, დავიწყოთ ცხრილით.

განმარტებით, ნულის რკალი არის რიცხვი იმ სეგმენტიდან, რომლის სინუსი არის ნული. რა არის ეს ნომერი? - გასაგებია, რომ ეს ნულია.

ანალოგიურად, ერთის რკალი არის რიცხვი სეგმენტიდან, რომლის სინუსი უდრის ერთს. ცხადია ეს

ვაგრძელებთ: - ეს არის რიცხვი სეგმენტიდან, რომლის სინუსი ტოლია. დიახ ეს

			0
			0

ჩვენ ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს

ფუნქციის თვისებები

1. განმარტების დომენი

2. ღირებულებების დიაპაზონი

3. , ანუ ეს ფუნქცია კენტია. მისი დიაგრამა წარმოშობის მიმართ სიმეტრიულია.

4. ფუნქცია მონოტონურად იზრდება. მისი უმცირესი მნიშვნელობა, ტოლია - , მიიღწევა ზე, ხოლო მისი უდიდესი მნიშვნელობა, ტოლია, ზე

5. რა აქვთ საერთო და რა აქვთ ფუნქციების გრაფიკებს? არ გგონიათ, რომ ისინი „იგივე შაბლონის მიხედვით მზადდება“ – ისევე როგორც ფუნქციის მარჯვენა განშტოება და ფუნქციის გრაფიკი, ან როგორც ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციების გრაფიკები?

წარმოიდგინეთ, რომ ჩვენ ამოვჭრით პატარა ფრაგმენტს ჩვეულებრივი სინუსური ტალღიდან, შემდეგ კი ვერტიკალურად ვაქცევთ - და მივიღებთ რკალის გრაფიკს.

ის ფაქტი, რომ ამ ინტერვალზე ფუნქციისთვის არის არგუმენტის მნიშვნელობები, შემდეგ რკალისთვის იქნება ფუნქციის მნიშვნელობები. ასეც უნდა იყოს! ყოველივე ამის შემდეგ, სინუსი და რკალი ურთიერთშებრუნებული ფუნქციებია. ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების წყვილის სხვა მაგალითებია for და, და ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციები.

შეგახსენებთ, რომ ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების გრაფიკები სიმეტრიულია სწორი ხაზის მიმართ

ანალოგიურად ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციას.მხოლოდ ჩვენ გვჭირდება სეგმენტი, რომელზეც კუთხის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება საკუთარ კოსინუსს და კოსინუსის ცოდნით ჩვენ შეგვიძლია ცალსახად ვიპოვოთ კუთხე. ჩვენ გვჭირდება გაჭრა

a-ს რკალის კოსინუსი არის რიცხვი , ისეთივე როგორც

ადვილი დასამახსოვრებელია: "რკალის კოსინუსები ცხოვრობენ ზემოდან", და არა მხოლოდ ზემოდან, არამედ სეგმენტზე

აღნიშვნა: რკალის კოსინუსის განსაზღვრის არე - სეგმენტი მნიშვნელობების დიაპაზონი - სეგმენტი

ცხადია, სეგმენტი არჩეულია, რადგან მასზე თითოეული კოსინუსის მნიშვნელობა მხოლოდ ერთხელ არის აღებული. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თითოეული კოსინუსის მნიშვნელობა, -1-დან 1-მდე, შეესაბამება ერთი კუთხის მნიშვნელობას ინტერვალიდან.

არკოზინი არც ლუწი და არც კენტი ფუნქციაა. ამის ნაცვლად, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ შემდეგი აშკარა კავშირი:

მოდით დავხატოთ ფუნქცია

ჩვენ გვჭირდება ფუნქციის ნაწილი, სადაც ის მონოტონურია, ანუ ის იღებს მის თითოეულ მნიშვნელობას ზუსტად ერთხელ.

ავირჩიოთ სეგმენტი. ამ სეგმენტზე ფუნქცია მონოტონურად მცირდება, ანუ სიმრავლეს შორის შესაბამისობა და არის ერთი ერთზე. თითოეულ x მნიშვნელობას აქვს თავისი y მნიშვნელობა. ამ სეგმენტზე არის კოსინუსის შებრუნებული ფუნქცია, ანუ ფუნქცია y \u003d arccosx.

შეავსეთ ცხრილი რკალის კოსინუსის განმარტების გამოყენებით.

x რიცხვის არკოზინი, რომელიც მიეკუთვნება ინტერვალს, იქნება ისეთი რიცხვი, რომელიც მიეკუთვნება ინტერვალს, რომ

ასე რომ, იმიტომ;

როგორც ;

როგორც ,

როგორც ,

			0
					0

აქ არის არკოზინის ნაკვეთი:

ფუნქციის თვისებები

1. განმარტების დომენი

2. ღირებულებების დიაპაზონი

ეს არის ზოგადი ფუნქცია - ის არც ლუწია და არც კენტი.

4. ფუნქცია მკაცრად მცირდება. ფუნქცია y \u003d arccosx იღებს უდიდეს მნიშვნელობას, ტოლია , at , და უმცირესი მნიშვნელობა, ტოლი ნულის, იღებს

5. ფუნქციები და ურთიერთშებრუნებულია.

შემდეგი არის არქტანგენსი და არკოტანგენსი.

a-ს რკალი ტანგენსი არის რიცხვი , ისეთივე როგორც

Დანიშნულება: . რკალის ტანგენტის განსაზღვრის არე არის ინტერვალი, მნიშვნელობების დიაპაზონი არის ინტერვალი.

რატომ არის გამორიცხული რკალის ტანგენტის განსაზღვრაში ინტერვალის ბოლოები? რა თქმა უნდა, რადგან ამ წერტილებში ტანგენსი არ არის განსაზღვრული. არ არსებობს რიცხვი, რომელიც ტოლია რომელიმე ამ კუთხის ტანგენტს.

გამოვსახოთ რკალის ტანგენსი. განმარტების მიხედვით, x რიცხვის რკალი ტანგენსი არის რიცხვი y, რომელიც ეკუთვნის ინტერვალს, რომ

როგორ ავაშენოთ გრაფიკი უკვე გასაგებია. ვინაიდან არქტანგენსი არის ტანგენსის შებრუნებული ფუნქცია, ჩვენ ვაგრძელებთ შემდეგს:

ჩვენ ვირჩევთ ფუნქციის გრაფიკის ისეთ მონაკვეთს, სადაც შესაბამისობა x-სა და y-ს შორის არის ერთი-ერთზე. ეს არის ინტერვალი C. ამ განყოფილებაში ფუნქცია იღებს მნიშვნელობებს დან

შემდეგ შებრუნებული ფუნქცია, ანუ ფუნქცია, განსაზღვრების დომენი იქნება მთელი რიცხვითი წრფე, მდე და მნიშვნელობების დიაპაზონი არის ინტერვალი.

ნიშნავს,

ნიშნავს,

ნიშნავს,

მაგრამ რა მოხდება, თუ x უსასრულოდ დიდია? სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, როგორ იქცევა ეს ფუნქცია, როდესაც x მიდრეკილია პლუს უსასრულობისკენ?

ჩვენ შეგვიძლია დავუსვათ საკუთარ თავს კითხვა: რომელი რიცხვისთვის არის ინტერვალში ტანგენტის მნიშვნელობა უსასრულობისკენ? - ცხადია, ეს

ასე რომ, x-ის უსასრულოდ დიდი მნიშვნელობებისთვის, რკალის ტანგენტის დიაგრამა უახლოვდება ჰორიზონტალურ ასიმპტოტს

ანალოგიურად, როდესაც x მიდრეკილია მინუს უსასრულობისკენ, რკალის ტანგენტის დიაგრამა უახლოვდება ჰორიზონტალურ ასიმპტოტს

ფიგურაში - ფუნქციის გრაფიკი

ფუნქციის თვისებები

1. განმარტების დომენი

2. ღირებულებების დიაპაზონი

3. ფუნქცია კენტია.

4. ფუნქცია მკაცრად იზრდება.

6. ფუნქციები და ურთიერთშებრუნებულია - რა თქმა უნდა, როცა ფუნქცია განიხილება ინტერვალზე

ანალოგიურად, ჩვენ განვსაზღვრავთ რკალის კოტანგენტის ფუნქციას და გამოვსახავთ მის გრაფიკს.

a-ს რკალი ტანგენსი არის რიცხვი , ისეთივე როგორც

ფუნქციის გრაფიკი:

ფუნქციის თვისებები

1. განმარტების დომენი

2. ღირებულებების დიაპაზონი

3. ფუნქცია ზოგადი ფორმისაა, ანუ არც ლუწი და არც კენტი.

4. ფუნქცია მკაცრად მცირდება.

5. მოცემული ფუნქციის პირდაპირი და - ჰორიზონტალური ასიმპტოტები.

6. ფუნქციონირებს და ურთიერთშებრუნებულია, თუ განიხილება ინტერვალზე

შებრუნებულ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან დაკავშირებული ამოცანები ხშირად სთავაზობენ სკოლის დასკვნით გამოცდებს და ზოგიერთ უნივერსიტეტში მისაღებ გამოცდებს. ამ თემის დეტალური შესწავლა შესაძლებელია მხოლოდ კლასგარეშე გაკვეთილებზე ან არჩევით კურსებზე. შემოთავაზებული კურსი განკუთვნილია თითოეული მოსწავლის შესაძლებლობების მაქსიმალურად სრულყოფილად განვითარებისთვის, მისი მათემატიკური მომზადების გასაუმჯობესებლად.

კურსი განკუთვნილია 10 საათის განმავლობაში:

1. arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x ფუნქციები (4 საათი).

2. მოქმედებები შებრუნებულ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებზე (4 საათი).

3. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული მოქმედებები ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებზე (2 საათი).

გაკვეთილი 1 (2 საათი) თემა: ფუნქციები y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

მიზანი: ამ საკითხის სრული გაშუქება.

1. ფუნქცია y \u003d arcsin x.

ა) სეგმენტზე y \u003d sin x ფუნქციისთვის არის ინვერსიული (ერთმნიშვნელოვანი) ფუნქცია, რომელსაც ჩვენ შევთანხმდით, რომ რკალი დავარქვათ და აღვნიშნოთ შემდეგნაირად: y \u003d arcsin x. შებრუნებული ფუნქციის გრაფიკი I - III კოორდინატთა კუთხეების ბისექტრის მიმართ სიმეტრიულია მთავარი ფუნქციის გრაფიკთან.

ფუნქციის თვისებები y = arcsin x.

1)განმარტების სფერო: სეგმენტი [-1; ერთი];

2) ცვლილების არე: გაჭრა;

3) ფუნქცია y = arcsin x უცნაური: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) ფუნქცია y = arcsin x მონოტონურად იზრდება;

5) გრაფიკი კვეთს Ox, Oy ცულებს საწყისთან.

მაგალითი 1. იპოვეთ a = arcsin . ეს მაგალითი შეიძლება დეტალურად ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: იპოვეთ ისეთი არგუმენტი a , რომელიც დევს დიაპაზონში დან მდე, რომლის სინუსი უდრის .

გადაწყვეტილება. არსებობს უამრავი არგუმენტი, რომლის სინუსი არის, მაგალითად: და ა.შ. მაგრამ ჩვენ გვაინტერესებს მხოლოდ არგუმენტი, რომელიც ინტერვალშია. ეს არგუმენტი იქნება. Ისე, .

მაგალითი 2. იპოვე .გადაწყვეტილება.კამათით ისევე, როგორც მაგალით 1-ში, მივიღებთ .

ბ) ზეპირი ვარჯიშები. იპოვეთ: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin 0 პასუხის ნიმუში: , იმიტომ . აქვს თუ არა აზრი გამოთქმებს: ; რკალი 1.5; ?

გ) დაალაგეთ ზრდის მიხედვით: რკალი, რკალი (-0,3), რკალი 0,9.

II. ფუნქციები y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (მსგავსად).

გაკვეთილი 2 (2 საათი) თემა: შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მათი გრაფიკები.

მიზანი: ამ გაკვეთილზე აუცილებელია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების განსაზღვრის უნარების გამომუშავება, შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოსახვა D (y), E (y) და აუცილებელი გარდაქმნების გამოყენებით.

ამ გაკვეთილზე შეასრულეთ სავარჯიშოები, რომლებიც მოიცავს განსაზღვრების დომენის პოვნას, ტიპის ფუნქციების ფარგლებს: y = arcsin , y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos .

აუცილებელია ფუნქციების გრაფიკების აგება: ა) y = arcsin 2x; ბ) y = 2 რკალი 2x; გ) y \u003d arcsin;

დ) y \u003d arcsin; ე) y = arcsin; ვ) y = arcsin; ზ) y = | რკალი | .

მაგალითი.დავხატოთ ნაკვეთი y = arccos

შეგიძლიათ საშინაო დავალებაში ჩართოთ შემდეგი სავარჯიშოები: შექმენით ფუნქციების გრაფიკები: y = arccos , y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

შებრუნებული ფუნქციების გრაფიკები

გაკვეთილი #3 (2 საათი) თემა:

მოქმედებები შებრუნებულ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებზე.

მიზანი: მათემატიკური ცოდნის გაფართოება (ეს მნიშვნელოვანია სპეციალობების აპლიკანტებისთვის მათემატიკური მომზადების გაზრდილი მოთხოვნებით) შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი მიმართებების შემოღებით.

გაკვეთილის მასალა.

რამდენიმე მარტივი ტრიგონომეტრიული მოქმედება შებრუნებულ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებზე: sin (arcsin x) \u003d x, i xi? ერთი; cos (arсcos x) = x, i xi? ერთი; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

Სავარჯიშოები.

ა) tg (1.5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctgx) = ; tg (arctg x) = .

ბ) cos (+ arcsin 0.6) = - cos (arcsin 0.6). მოდით arcsin 0.6 \u003d a, sin a \u003d 0.6;

cos(arcsin x) = ; sin (arccos x) = .

შენიშვნა: ჩვენ ვიღებთ „+“ ნიშანს ფესვის წინ, რადგან a = arcsin x აკმაყოფილებს .

გ) ცოდვა (1,5 + რკალი) პასუხი:;

დ) ctg ( + arctg 3) პასუხი: ;

ე) ტგ (- arcctg 4).პასუხი: .

ვ) cos (0.5 + arccos) . პასუხი:.

გამოთვალეთ:

ა) ცოდვა (2 არქტანი 5) .

მოდით arctg 5 = a, შემდეგ sin 2 a = ან sin(2 arctan 5) = ;

ბ) cos (+ 2 arcsin 0.8).პასუხი: 0.28.

გ) arctg + arctg.

მოდით a = arctg, b = arctg,

მაშინ tan(a + b) = .

დ) ცოდვა (arcsin + arcsin).

ე) დაამტკიცეთ, რომ ყველა x I [-1; 1] ჭეშმარიტი რკალი x + arccos x = .

მტკიცებულება:

arcsin x = - arccos x

sin (arcsin x) = ცოდვა (- arccos x)

x = cos (arccos x)

დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის: sin (arccos), cos (arcsin) , cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos) , ctg (arccos).

სახლის ხსნარისთვის: 1) sin (arcsin 0.6 + arctg 0); 2) arcsin + arcsin; 3) ctg ( - arccos 0.6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) ცოდვა (1.5 - arcsin 0.8); 6) arctg 0.5 - arctg 3.

გაკვეთილი No4 (2 საათი) თემა: მოქმედებები შებრუნებულ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებზე.

მიზანი: ამ გაკვეთილზე ვაჩვენოთ თანაფარდობების გამოყენება უფრო რთული გამონათქვამების გარდაქმნაში.

გაკვეთილის მასალა.

ზეპირად:

ა) sin (arccos 0.6), cos (arcsin 0.8);

ბ) tg (arctg 5), ctg (arctg 5);

გ) sin (arctg -3), cos (arctg ());

დ) tg (arccos), ctg (arccos()).

დაწერილი:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5 - arccos 0.8) = cos (arctg 5) cos (arctg 0.8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0.8) =

3) tg (- arcsin 0.6) = - tg (arcsin 0.6) =

4)

დამოუკიდებელი მუშაობა ხელს შეუწყობს მასალის ათვისების დონის დადგენას

1) tg (arctg 2 - arctg) 2) cos( - arctg2) 3) arcsin + arccos	1) cos (arcsin + arcsin) 2) ცოდვა (1.5 - arctg 3) 3) arcctg3 - arctg 2

საშინაო დავალების შესასრულებლად შეგიძლიათ შემოგთავაზოთ:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) ცოდვა 2 (arctg 2 - arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tg (arcsin )); 4) ცოდვა (2 არქტანი); 5) tg ((arcsin))

გაკვეთილი No5 (2სთ) თემა: შებრუნებული ტრიგონომეტრიული მოქმედებები ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებზე.

მიზანი: ჩამოაყალიბონ სტუდენტების გაგება ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებზე შებრუნებული ტრიგონომეტრიული მოქმედებების შესახებ, ფოკუსირება შესწავლილი თეორიის მნიშვნელოვნების გაზრდაზე.

ამ თემის შესწავლისას ვარაუდობენ, რომ დასამახსოვრებელი თეორიული მასალის რაოდენობა შეზღუდულია.

მასალა გაკვეთილისთვის:

თქვენ შეგიძლიათ დაიწყოთ ახალი მასალის სწავლა y = arcsin (sin x) ფუნქციის შესწავლით და მისი შედგენით.

3. ყოველი x I R ასოცირდება y I-სთან, ე.ი.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. ფუნქცია კენტია: sin (-x) \u003d - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. გრაფიკი y = arcsin (sin x) on:

ა) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

ბ)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y \u003d sin ( - x) \u003d sinx, 0<= - x <= .

Ისე,

y = arcsin (sin x) აშენების შემდეგ, ჩვენ ვაგრძელებთ სიმეტრიულად წარმოშობის შესახებ [-; 0], ამ ფუნქციის უცნაურობის გათვალისწინებით. პერიოდულობის გამოყენებით ვაგრძელებთ მთელ რიცხვობრივ ღერძს.

შემდეგ დაწერეთ რამდენიმე თანაფარდობა: arcsin (sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos ა ) = a თუ 0<= a <= ; arctg (tg a) = a თუ< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

და შეასრულეთ შემდეგი სავარჯიშოები: ა) arccos (ცოდვა 2) პასუხი: 2 - ; ბ) რკალი (cos 0.6) პასუხი: - 0.1; გ) arctg (tg 2) პასუხი: 2 -;

დ) arcctg (tg 0.6) პასუხი: 0.9; ე) arccos (cos ( - 2)) პასუხი: 2 -; ვ) რკალი (ცოდვა (- 0,6)). პასუხი: - 0,6; ზ) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). პასუხი: 2 - ; თ) arcctg (tg 0.6). პასუხი: - 0,6; - არქტანქსი; ე) arccos + arccos