მათემატიკური აქსიომების ნებისმიერი სისტემა, დაწყებული სირთულის გარკვეული დონით, არის შინაგანად არათანმიმდევრული ან არასრული.

1900 წელს პარიზში გაიმართა მათემატიკოსთა მსოფლიო კონფერენცია, რომელზეც დევიდ ჰილბერტმა (1862–1943) რეფერატების სახით წარმოადგინა მის მიერ ჩამოყალიბებული 23 ყველაზე მნიშვნელოვანი, მისი აზრით, პრობლემა, რომლებიც უნდა გადაეჭრათ თეორიტიკოსების მიერ. მომავალი მეოცე საუკუნის. მისი სიის მეორე ნომერი იყო ერთ-ერთი იმ მარტივი პრობლემისგან, რომელიც აშკარად ჩანს, სანამ ცოტა ღრმად არ ჩათხარავთ. თანამედროვე თვალსაზრისით, ეს იყო კითხვა: საკმარისია მათემატიკა თავისთავად? ჰილბერტის მეორე დავალება შემცირდა მკაცრად დამტკიცების აუცილებლობით, რომ აქსიომების სისტემა - მათემატიკაში მიღებული ძირითადი განცხადებები, როგორც საფუძველი მტკიცებულების გარეშე - არის სრულყოფილი და სრული, ანუ ის საშუალებას აძლევს მათემატიკურ აღწერას ყველაფერი, რაც არსებობს. საჭირო იყო იმის დამტკიცება, რომ შესაძლებელია აქსიომათა ისეთი სისტემის დაყენება, რომელიც, პირველ რიგში, იქნება ურთიერთთანმიმდევრული და მეორეც, მათგან შეიძლება გამოვიტანოთ დასკვნა ნებისმიერი განცხადების ჭეშმარიტებასთან ან მცდარობასთან დაკავშირებით.

ავიღოთ მაგალითი სკოლის გეომეტრიიდან. სტანდარტულ ევკლიდეს პლანიმეტრიაში (სიბრტყეზე გეომეტრია) უპირობოდ შეიძლება დადასტურდეს, რომ დებულება „სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°“ მართალია, ხოლო დებულება „სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 137°. "ყალბია. არსებითად საუბრისას, ევკლიდეს გეომეტრიაში ნებისმიერი განცხადება არის მცდარი ან ჭეშმარიტი, ხოლო მესამე არ არის მოცემული. და მეოცე საუკუნის დასაწყისში მათემატიკოსებს გულუბრყვილოდ სჯეროდათ, რომ იგივე სიტუაცია უნდა შეინიშნოს ნებისმიერ ლოგიკურად თანმიმდევრულ სისტემაში.

შემდეგ კი, 1931 წელს, ზოგიერთმა ვენელმა სათვალე მათემატიკოსმა კურტ გოდელმა აიღო და გამოაქვეყნა მოკლე სტატია, რომელმაც უბრალოდ გადააქცია ეგრეთ წოდებული „მათემატიკური ლოგიკის“ მთელი სამყარო. გრძელი და რთული მათემატიკური და თეორიული პრეამბულების შემდეგ, მან ფაქტიურად დაადგინა შემდეგი. ავიღოთ ნებისმიერი განცხადება, როგორიცაა: „დაშვება #247 ლოგიკურად დაუმტკიცებელია აქსიომების ამ სისტემაში“ და ვუწოდოთ მას „განცხადება A“. ასე რომ, გოდელმა უბრალოდ დაამტკიცა ნებისმიერი აქსიომების სისტემის შემდეგი საოცარი თვისება:

„თუ A დებულება შეიძლება დადასტურდეს, მაშინ არა-ა განცხადება შეიძლება დადასტურდეს“.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ შესაძლებელია დებულების „დაშვება 247 არ არის დასამტკიცებელი“ მართებულობის დადასტურება, მაშინ ასევე შესაძლებელია დადასტურდეს განცხადების მართებულობა „დაშვება 247 დასამტკიცებელია“. ანუ ჰილბერტის მეორე პრობლემის ფორმულირებას დავუბრუნდეთ, თუ აქსიომების სისტემა დასრულებულია (ანუ მასში არსებული ნებისმიერი დებულება შეიძლება დადასტურდეს), მაშინ ის არათანმიმდევრულია.

ერთადერთი გამოსავალი ამ სიტუაციიდან არის აქსიომების არასრული სისტემის მიღება. ანუ უნდა შევეგუოთ იმ ფაქტს, რომ ნებისმიერი ლოგიკური სისტემის კონტექსტში კვლავ გვექნება „ა“ ტიპის განცხადებები, რომლებიც აშკარად ჭეშმარიტი ან მცდარია და მათი ჭეშმარიტების მსჯელობა მხოლოდ აქსიომატიკის ფარგლებს გარეთ შეგვიძლია. მიღებული. თუ ასეთი განცხადებები არ არსებობს, მაშინ ჩვენი აქსიომატიკა წინააღმდეგობრივია და მის ფარგლებში აუცილებლად იქნება ფორმულირებები, რომლებიც შეიძლება დადასტურდეს და უარყოფილიყო.

ასე რომ, გოდელის პირველი, ანუ სუსტი, არასრულყოფილების თეორემის ფორმულირება ასეთია: „აქსიომების ნებისმიერი ფორმალური სისტემა შეიცავს გადაუჭრელ ვარაუდებს“. მაგრამ გოდელი აქ არ გაჩერებულა, გოდელის მეორე ან ძლიერი არასრულყოფილების თეორემა ჩამოაყალიბა და დაამტკიცა: „ამ სისტემის ფარგლებში ვერ დადასტურდება აქსიომების ნებისმიერი სისტემის ლოგიკური სისრულე (ან არასრულობა). მის დასამტკიცებლად ან უარყოფისთვის საჭიროა დამატებითი აქსიომები (სისტემის გაძლიერება).“

უფრო უსაფრთხო იქნებოდა ვიფიქროთ, რომ გოდელის თეორემები აბსტრაქტულია და არ გვეხება, არამედ მხოლოდ ამაღლებული მათემატიკური ლოგიკის სფეროებს, მაგრამ სინამდვილეში აღმოჩნდა, რომ ისინი პირდაპირ კავშირშია ადამიანის ტვინის სტრუქტურასთან. ინგლისელმა მათემატიკოსმა და ფიზიკოსმა როჯერ პენროზმა (დაიბადა 1931 წელს) აჩვენა, რომ გოდელის თეორემების გამოყენება შესაძლებელია ადამიანის ტვინსა და კომპიუტერს შორის ფუნდამენტური განსხვავებების დასამტკიცებლად. მისი მსჯელობის აზრი მარტივია. კომპიუტერი მუშაობს მკაცრად ლოგიკურად და არ ძალუძს A დებულების ჭეშმარიტი თუ მცდარი დადგენა, თუ ის სცილდება აქსიომატიკის ფარგლებს და ასეთი დებულებები, გოდელის თეორემის მიხედვით, აუცილებლად არსებობს. ადამიანს, რომელსაც აწყდება ასეთი ლოგიკურად დაუსაბუთებელი და უტყუარი განცხადება A, ყოველთვის შეუძლია განსაზღვროს მისი სიმართლე ან სიცრუე - ყოველდღიური გამოცდილებიდან გამომდინარე. ყოველ შემთხვევაში, ამ მხრივ, ადამიანის ტვინი აღემატება სუფთა ლოგიკური სქემებით შებოჭილ კომპიუტერს. ადამიანის ტვინს შეუძლია გაიგოს გოდელის თეორემებში მოცემული ჭეშმარიტების სრული სიღრმე, მაგრამ კომპიუტერი ვერასოდეს შეძლებს. ამრიგად, ადამიანის ტვინი არის ყველაფერი, თუ არა კომპიუტერი. მას შეუძლია გადაწყვეტილების მიღება და ტურინგის ტესტი გაივლის.

მაინტერესებს ჰილბერტს ჰქონდა თუ არა წარმოდგენა, სადამდე მიგვიყვანს მისი კითხვები?

კურტ გოედელი
კურტ გოდელი, 1906–78

ავსტრიელი, შემდეგ ამერიკელი მათემატიკოსი. დაიბადა ბრუნში (ბრუნი, ახლა ბრნო, ჩეხეთი). დაამთავრა ვენის უნივერსიტეტი, სადაც დარჩა მათემატიკის განყოფილების მასწავლებლად (1930 წლიდან - პროფესორი). 1931 წელს მან გამოაქვეყნა თეორემა, რომელმაც მოგვიანებით მიიღო მისი სახელი. როგორც წმინდა აპოლიტიკური ადამიანი, ის უკიდურესად მძიმედ გადაურჩა ნაცისტი სტუდენტის მიერ მეგობრისა და დეპარტამენტის თანამშრომლის მკვლელობას და ღრმა დეპრესიაში ჩავარდა, რომლის რეციდივები მას სიცოცხლის ბოლომდე აწუხებდა. 1930-იან წლებში ის ემიგრაციაში წავიდა შეერთებულ შტატებში, მაგრამ დაბრუნდა მშობლიურ ავსტრიაში და დაქორწინდა. 1940 წელს, ომის მწვერვალზე, იგი იძულებული გახდა გაქცეულიყო ამერიკაში ტრანზიტით სსრკ-სა და იაპონიაში. გარკვეული პერიოდის განმავლობაში მუშაობდა პრინსტონის უმაღლესი განათლების ინსტიტუტში. სამწუხაროდ, მეცნიერის ფსიქიკამ ვერ გაუძლო და ის შიმშილით გარდაიცვალა ფსიქიატრიულ კლინიკაში, უარი თქვა ჭამაზე, რადგან დარწმუნებული იყო, რომ მის მოწამვლას აპირებდნენ.

კომენტარები: 0

როგორ ვითარდება მეცნიერული მოდელი საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებში? ყოველდღიური თუ სამეცნიერო გამოცდილება გროვდება, მისი ეტაპები კარგად არის ჩამოყალიბებული პოსტულატების სახით და ქმნიან მოდელის საფუძველს: განცხადებების ერთობლიობას, რომელიც მიღებულია ყველა, ვინც მუშაობს ამ მოდელის ფარგლებში.

ანატოლი ვასერმანი

1930 წელს კურტ გოდელმა დაამტკიცა ორი თეორემა, რომლებიც მათემატიკური ენიდან ადამიანურ ენაზე თარგმნილი, დაახლოებით ასე ნიშნავს: ნებისმიერი აქსიომების სისტემა, რომელიც საკმარისად მდიდარია არითმეტიკის განსასაზღვრად, იქნება არასრული ან არათანმიმდევრული. არასრული სისტემა ნიშნავს, რომ სისტემაში შეიძლება ჩამოყალიბდეს განცხადება, რომლის არც დამტკიცება და არც უარყოფა ამ სისტემის საშუალებით შეუძლებელია. მაგრამ ღმერთი, განსაზღვრებით, არის ყველა მიზეზის საბოლოო მიზეზი. მათემატიკურად, ეს ნიშნავს, რომ ღმერთის შესახებ აქსიომის შემოღება მთელ ჩვენს აქსიომას სრულყოფს. თუ ღმერთი არსებობს, მაშინ ნებისმიერი განცხადება შეიძლება დადასტურდეს ან უარყოს, ამა თუ იმ გზით ღმერთზე მითითებით. მაგრამ გედელის აზრით, აქსიომების სრული სისტემა აუცილებლად წინააღმდეგობრივია. ანუ, თუ გვჯერა, რომ ღმერთი არსებობს, მაშინ იძულებულნი ვართ მივიდეთ დასკვნამდე, რომ ბუნებაში შესაძლებელია წინააღმდეგობები. და რადგან არ არსებობს წინააღმდეგობები, წინააღმდეგ შემთხვევაში მთელი ჩვენი სამყარო დაიმსხვრევა ამ წინააღმდეგობებიდან, უნდა მივიდეთ დასკვნამდე, რომ ღმერთის არსებობა შეუთავსებელია ბუნების არსებობასთან.

სოსინსკი A.B.

გოდელის თეორემა, ფარდობითობის, კვანტური მექანიკისა და დნმ-ის აღმოჩენასთან ერთად, ზოგადად მე-20 საუკუნის უდიდეს სამეცნიერო მიღწევად ითვლება. რატომ? რა არის მისი არსი? რა არის მისი მნიშვნელობა? ალექსეი ბრონისლავოვიჩ სოსინსკი, მათემატიკოსი, მოსკოვის დამოუკიდებელი უნივერსიტეტის პროფესორი, საფრანგეთის რესპუბლიკის აკადემიური პალმების ორდენის ოფიცერი, 2012 წელს რუსეთის ფედერაციის მთავრობის პრემიის ლაურეატი განათლების სფეროში, თავის ლექციაში ამ საკითხებს ეხება. Polit.ru საჯარო ლექციების პროექტი. კერძოდ, მოცემულია მისი რამდენიმე განსხვავებული ფორმულირება, აღწერილი იყო მისი დადასტურების სამი მიდგომა (კოლმოგოროვის, ჩაიტინის და თავად გოდელის მიერ) და ახსნილი იყო მისი მნიშვნელობა მათემატიკისთვის, ფიზიკის, კომპიუტერული მეცნიერებისთვის და ფილოსოფიისთვის.

უსპენსკი V.A.

ლექცია ეძღვნება გოდელის არასრულყოფილების თეორემის სინტაქსურ ვერსიას. თავად გოდელმა დაამტკიცა სინტაქსური ვერსია უფრო ძლიერი ვარაუდის გამოყენებით, ვიდრე თანმიმდევრულობა, კერძოდ, ე.წ. ომეგა-თანმიმდევრულობა.

უსპენსკი V.A.

დუბნის საზაფხულო სკოლის „თანამედროვე მათემატიკა“ ლექციები.

გოდელის არასრულყოფილების თეორემა

უსპენსკი V.A.

შესაძლოა გოდელის არასრულყოფილების თეორემა მართლაც უნიკალურია. უნიკალური იმით, რომ ისინი მას მოიხსენიებენ, როდესაც სურთ დაამტკიცონ „ყველაფერი მსოფლიოში“ - ღმერთების არსებობიდან გონების არარსებობამდე. მე ყოველთვის მაინტერესებდა უფრო „პირველადი კითხვა“ – და ვინ არასრულობის თეორემას ეხება, არათუ ჩამოაყალიბა, არამედ დაამტკიცა? მე ვაქვეყნებ ამ სტატიას იმ მიზეზით, რომ იგი წარმოადგენს გოდელის თეორემის ძალიან მისაწვდომ ფორმულირებას. გირჩევთ, ჯერ წაიკითხოთ Tullio Regge Kurt Gödel-ის სტატია და მისი ცნობილი თეორემა

ჭეშმარიტების უნივერსალური კრიტერიუმის შეუძლებლობის შესახებ დასკვნა არის ტარსკის მიერ მიღებული შედეგის პირდაპირი შედეგი გოდელის გადაუჭრელობის თეორემას საკუთარ ჭეშმარიტების თეორიასთან შერწყმით, რომლის მიხედვითაც არ შეიძლება არსებობდეს ჭეშმარიტების უნივერსალური კრიტერიუმი თუნდაც შედარებით ვიწრო არეალისთვის. რიცხვების თეორიისა და, შესაბამისად, ნებისმიერი მეცნიერებისთვის არითმეტიკის გამოყენებით. ბუნებრივია, ეს შედეგი უფრო მეტად ეხება ჭეშმარიტების ცნებას ცოდნის ნებისმიერ არამათემატიკურ სფეროში, რომელშიც არითმეტიკა ფართოდ გამოიყენება.

კარლ პოპერი

უსპენსკი ვლადიმერ ანდრეევიჩი დაიბადა 1930 წლის 27 ნოემბერს მოსკოვში. დაამთავრა მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტის მექანიკა-მათემატიკის ფაკულტეტი (1952). ფიზიკა-მათემატიკის მეცნიერებათა დოქტორი (1964). პროფესორი, მექანიკა-მათემატიკის ფაკულტეტის მათემატიკური ლოგიკისა და ალგორითმების თეორიის კათედრის გამგე (1966 წ.). კითხულობს ლექციების კურსებს „შესავალი მათემატიკური ლოგიკაში“, „გამოთვლითი ფუნქციები“, „გოდელის სისრულის თეორემა“. მოამზადა 25 კანდიდატი და 2 მეცნიერებათა დოქტორი

1. პრობლემის განცხადება

არასრულყოფილების თეორემა, რომლის ზუსტ ფორმულირებასაც ამ თავის დასასრულს და შესაძლოა მოგვიანებით (თუ მკითხველს ეს აინტერესებს) და მტკიცებულება, დაახლოებით შემდეგს ამტკიცებს: გარკვეულ პირობებში ნებისმიერ ენაზე არის ჭეშმარიტი, მაგრამ დაუმტკიცებელი განცხადებები.

როდესაც თეორემას ასე ვაყალიბებთ, თითქმის ყველა სიტყვა გარკვეულ ახსნას მოითხოვს. ამიტომ, ჩვენ დავიწყებთ იმ სიტყვების მნიშვნელობის ახსნას, რომლებსაც ვიყენებთ ამ ფორმულირებაში.

1.1. Ენა

ჩვენ არ მივცემთ ენის ყველაზე ზოგად შესაძლო განმარტებას, მირჩევნია შემოვიფარგლოთ იმ ენობრივი ცნებებით, რომლებიც მოგვიანებით დაგვჭირდება. არსებობს ორი ასეთი ცნება: „ენის ანბანი“ და „ენის ჭეშმარიტი განცხადებების ერთობლიობა“.

1.1.1. ანბანი

ანბანში ჩვენ ვგულისხმობთ ელემენტარული ნიშნების სასრულ ერთობლიობას (ანუ საგნებს, რომლებიც არ შეიძლება დაიყოს შემადგენელ ნაწილებად). ამ სიმბოლოებს ანბანის ასოებს უწოდებენ. ანბანის სიტყვაში ვგულისხმობთ ასოების სასრულ თანმიმდევრობას. მაგალითად, ჩვეულებრივი სიტყვები ინგლისურში (მათ შორის სათანადო სახელები) არის 54-ასოიანი ანბანის სიტყვები (26 პატარა ასო, 26 დიდი ასო, ტირე და აპოსტროფი). კიდევ ერთი მაგალითი - ნატურალური რიცხვები ათობითი აღნიშვნით არის 10-ასოიანი ანბანის სიტყვები, რომელთა ასოები ნიშნებია: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. აღსანიშნავად გამოვიყენებთ ჩვეულებრივ დიდ ასოებს. ანბანები. თუ L არის ანბანი, მაშინ L? აღნიშნავს L ანბანის ყველა სიტყვის ერთობლიობას, - მისი ასოებიდან წარმოქმნილი სიტყვები. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ნებისმიერ ენას აქვს თავისი ანბანი, ასე რომ, ამ ენის ყველა გამონათქვამი (ანუ სხვადასხვა საგნების სახელები, განცხადებები ამ საგნების შესახებ და ა.შ.) ამ ანბანის სიტყვებია. მაგალითად, ნებისმიერი წინადადება ინგლისურ ენაზე, ისევე როგორც ინგლისურ ენაზე დაწერილი ნებისმიერი ტექსტი, შეიძლება ჩაითვალოს გაფართოებული 54-ასოიანი ანბანის სიტყვად, რომელიც ასევე შეიცავს პუნქტუაციის ნიშნებს, ინტერსიტყვის სივრცეს, წითელი ხაზის სიმბოლოს და შესაძლოა ზოგიერთს. სხვა სასარგებლო პერსონაჟები. თუ ვივარაუდებთ, რომ ენობრივი გამონათქვამები რაიმე ანბანის სიტყვებია, ჩვენ გამოვრიცხავთ განხილვისგან „მრავალფენიანი“ გამონათქვამებს, როგორიცაა ???f(x)dx. თუმცა, ეს შეზღუდვა არც თუ ისე მნიშვნელოვანია, რადგან ნებისმიერი ასეთი გამოთქმა, შესაბამისი კონვენციების გამოყენებით, შეიძლება "გადაჭიმული" ხაზოვან ფორმაში. რომელიმე კომპლექტი M შეიცავს L? ანბანის სიტყვათა ნაკრები L. თუ ჩვენ უბრალოდ ვიტყვით, რომ M არის სიტყვათა ნაკრები, მაშინ ვგულისხმობთ, რომ ეს არის რომელიმე ანბანის სიტყვა. ახლა ზემოაღნიშნული ვარაუდი ენის შესახებ შეიძლება გადაფორმდეს შემდეგნაირად: ნებისმიერ ენაში, ნებისმიერი გამოთქმა არის სიტყვათა ნაკრები.

1.1.2. ბევრი ჭეშმარიტი პრეტენზია

ვივარაუდოთ, რომ მოცემულია L სიმრავლის T ქვესიმრავლე? (სადაც L არის ზოგიერთი ენის ანბანი, რომელსაც ჩვენ განვიხილავთ), რომელსაც ეწოდება "ჭეშმარიტი განცხადებების" (ან უბრალოდ "ჭეშმარიტების") ნაკრები. პირდაპირ T ქვეჯგუფზე გადასვლისას, ჩვენ გამოვტოვებთ მსჯელობის შემდეგ შუალედურ საფეხურებს: ჯერ ერთი, L ანბანის რომელი სიტყვებია ენის კარგად ჩამოყალიბებული გამონათქვამები, ანუ მათ აქვთ გარკვეული მნიშვნელობა ამ ენის ინტერპრეტაციაში (მაგ. , 2 + 3, x + 3, x=y, x=3, 2=3, 2=2 კარგად ჩამოყალიბებული გამოსახულებებია, ხოლო +=x არ არის); მეორეც, რომელი გამონათქვამებია ფორმულები, ე.ი. შეიძლება დამოკიდებული იყოს პარამეტრზე (მაგ., x=3, x=y, 2=3, 2=2); მესამე, ფორმულებიდან რომელია დახურული ფორმულები, ე.ი. განცხადებები, რომლებიც არ არის დამოკიდებული პარამეტრებზე (მაგალითად, 2=3, 2=2); და ბოლოს, რომელი დახურული ფორმულებია ჭეშმარიტი განცხადებები (მაგალითად, 2=2).

1.1.3. ფუნდამენტური ენათა წყვილი

1.2. "დაუმტკიცებელი"

„დაუმტკიცებელი“ ნიშნავს მტკიცებულებების არქონას.

1.3. მტკიცებულება

იმისდა მიუხედავად, რომ ტერმინი "მტკიცებულება" ალბათ ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანია მათემატიკაში (ბურბაკები თავიანთ წიგნს "მათემატიკის საფუძვლები" იწყებენ სიტყვებით: "ძველი ბერძნების დროიდან "მათემატიკა" იგივეს ნიშნავდა. ამბობს "მტკიცებულება"), მას არ აქვს ზუსტი განმარტება. ზოგადად, მტკიცების ცნება მთელი თავისი სემანტიკური განშტოებებით უფრო ფსიქოლოგიის სფეროს ეკუთვნის, ვიდრე მათემატიკას. მაგრამ როგორც ეს შეიძლება იყოს, მტკიცებულება უბრალოდ არგუმენტია, რომელიც ჩვენ თვითონ საკმაოდ დამაჯერებლად მიგვაჩნია, რათა დავარწმუნოთ ყველა.

როდესაც ჩაიწერება, მტკიცებულება ხდება სიტყვა რომელიმე ანბანში P, ისევე როგორც ნებისმიერი ინგლისური ტექსტი არის სიტყვა L ანბანში, რომლის მაგალითიც ზემოთ იყო მოყვანილი. ყველა მტკიცებულებათა სიმრავლე ქმნის P? სიმრავლის ქვესიმრავლეს (და საკმაოდ დიდ ქვესიმრავლეს). ჩვენ არ შევეცდებით ზუსტი განმარტების მიცემას ამ როგორც „გულუბრყვილო“ და „აბსოლუტური“ მტკიცებულების კონცეფციისა, ან - რაც ექვივალენტურია - განვსაზღვროთ P?-ის შესაბამისი ქვესიმრავლე. ამის ნაცვლად, ჩვენ განვიხილავთ ამ ბუნდოვანი კონცეფციის ოფიციალურ ანალოგს, რისთვისაც ჩვენ კვლავ გამოვიყენებთ ტერმინს „მტკიცებულება“ შემდგომში. ამ ანალოგს აქვს ორი ძალიან მნიშვნელოვანი მახასიათებელი, რაც განასხვავებს მას ინტუიციური კონცეფციისგან (თუმცა მტკიცებულების ინტუიციური იდეა გარკვეულწილად მაინც ასახავს ამ მახასიათებლებს). უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ არსებობს მტკიცებულების სხვადასხვა კონცეფცია, ანუ P?-ში დასაშვებია მტკიცებულებათა სხვადასხვა ქვეჯგუფი, და ამაზე მეტიც: ჩვენ, ფაქტობრივად, ვივარაუდებთ, რომ თავად P-ის მტკიცებულებათა ანბანი შეიძლება შეიცვალოს. . შემდგომში, ჩვენ მოვითხოვთ, რომ მტკიცებულების თითოეული ასეთი კონცეფციისთვის არსებობდეს ეფექტური მეთოდი, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ალგორითმი, რომელიც აუცილებლად განსაზღვრავს, არის თუ არა ანბანის P მოცემული სიტყვა მტკიცებულება. ჩვენ ასევე ვვარაუდობთ, რომ არსებობს ალგორითმი, რომელიც ყოველთვის შეიძლება გამოყენებულ იქნას იმის დასადგენად, თუ რომელ განცხადებას ამტკიცებს მოცემული მტკიცებულება. (ბევრ სიტუაციაში, დადასტურებული განცხადება უბრალოდ ბოლო განცხადებაა იმ ნაბიჯების თანმიმდევრობით, რომლებიც ქმნიან მტკიცებულებას.)

ამრიგად, განმარტების ჩვენი საბოლოო ფორმულირება შემდეგია:

(1) გვაქვს ანბანი L (ენის ანბანი) და ანბანი P (მტკიცებულების ანბანი).

(2) ჩვენ გვეძლევა P სიმრავლე, რომელიც არის P?-ის ქვესიმრავლე და რომლის ელემენტებს ეწოდება "მტკიცებულებები". შემდგომში ვივარაუდებთ, რომ ჩვენ ასევე გვაქვს ალგორითმი, რომელიც საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ, არის თუ არა ანბანის P თვითნებური სიტყვა P სიმრავლის ელემენტი, ანუ მტკიცებულება, თუ არა.

(3) ასევე გვაქვს ფუნქცია? (იმისთვის, რომ გავიგოთ ზუსტად რა არის დადასტურებული), ვისი დომენია? აკმაყოფილებს P???P? პირობას და ვისი დიაპაზონია P?-ში. ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ გვაქვს ალგორითმი, რომელიც ითვლის ამ ფუნქციას (სიტყვის "ალგორითმი ითვლის ფუნქციას" ზუსტი მნიშვნელობა შემდეგია: ფუნქციის მნიშვნელობები მიიღება ამ ალგორითმის გამოყენებით - სპეციალური ტრანსფორმაციის წესების ნაკრები). ჩვენ ვიტყვით, რომ ელემენტი p? P არის სიტყვის დასტური?(p) ანბანის L.

ტროიკა<Р, Р, ?>, (1)-(3) პირობების დაკმაყოფილებას ეწოდება დედუქციური სისტემა L ანბანზე.

მკითხველისთვის, რომელიც იცნობს „მტკიცებულების“ განსაზღვრის ჩვეულ ხერხს „აქსიომისა“ და „დასკვნის წესის“ თვალსაზრისით, ჩვენ ახლა განვმარტავთ, თუ როგორ შეიძლება ჩაითვალოს ეს მეთოდი 1.3.2 ნაწილში მოცემული განმარტების განსაკუთრებულ შემთხვევად. ანუ, მტკიცებულება ჩვეულებრივ განისაზღვრება, როგორც ისეთი ენობრივი გამონათქვამების თანმიმდევრობა, რომელთაგან თითოეული ან აქსიომაა, ან ადრე მიღებულია უკვე არსებული დებულებებიდან ერთ-ერთი დასკვნის წესის გამოყენებით. თუ ჩვენი ენის ანბანს დავამატებთ ახალ სიტყვას *, მაშინ შეგვიძლია დავწეროთ ისეთი მტკიცებულება, როგორიცაა სიტყვა, რომელიც შედგენილია მიღებული ანბანის გამოყენებით: გამოთქმების თანმიმდევრობა ხდება სიტყვა C1*C2*...*Cn. ამ შემთხვევაში ფუნქციას, რომელიც განსაზღვრავს რა ზუსტად დადასტურდა, აქვს თავისი მნიშვნელობა ამ სიტყვის იმ ნაწილში, რომელიც მიჰყვება თანმიმდევრობით ბოლო ასოს. ალგორითმი, რომლის არსებობაც საჭიროა 1.3.2 ნაწილში. განმარტებები, ადვილად შეიძლება აშენდეს მას შემდეგ, რაც ჩვენ ზუსტად განვსაზღვრავთ სიტყვების "აქსიომა" და "დასკვნის წესი" რომელიმე მიღებული მნიშვნელობა.

1.4 ცდილობს ზუსტად ჩამოაყალიბოს არასრულობის თეორემა

1.4.1. Პირველი ცდა

„გარკვეულ პირობებში ანბანის ენის ფუნდამენტური წყვილი L და დედუქციური სისტემა<Р, Р, ?>L-ზე მეტი, T-ში ყოველთვის არის სიტყვა, რომელსაც არ აქვს მტკიცებულება. ეს ვარიანტი მაინც ბუნდოვნად გამოიყურება. ?) საერთოდ არ არსებობს სიტყვები, რომლებსაც მტკიცებულება ექნებათ.

1.4.2. მეორე ცდა

არის სხვა, უფრო ბუნებრივი მიდგომა. დავუშვათ, რომ მოგვცეს ენა - იმ გაგებით, რომ მოგვცეს ამ ენის ფუნდამენტური წყვილი. ახლა ჩვენ ვეძებთ ისეთ დედუქციურ სისტემას L-ზე (ინტუიციურად, ჩვენ ვეძებთ მტკიცებულების ტექნიკას), რომლითაც შეგვიძლია დავამტკიცოთ რაც შეიძლება მეტი სიტყვა T-დან, ტ. გოდელის თეორემის ყველა სიტყვა აღწერს სიტუაციას, რომელშიც ასეთი დედუქციური სისტემა (რომლითაც T-ში ყოველი სიტყვა დასამტკიცებელი იქნებოდა) არ არსებობს. ამრიგად, ჩვენ გვინდა ჩამოვაყალიბოთ შემდეგი განცხადება:

"გარკვეულ პირობებში ფუნდამენტურ წყვილთან დაკავშირებით, არ არსებობს ისეთი დედუქციური სისტემა, რომელშიც T-დან ყველა სიტყვას ჰქონდეს მტკიცებულება."

თუმცა, ასეთი განცხადება აშკარად მცდარია, რადგან საჭიროა მხოლოდ დედუქციური სისტემის აღება, რომელშიც P = L, P = P? და?(p) = p ყველა p-სთვის P?-ში; მაშინ ყოველი სიტყვა L-დან? ტრივიალურად დასამტკიცებელია. ამიტომ, ჩვენ უნდა მივიღოთ გარკვეული შეზღუდვა, თუ რომელ დედუქციურ სისტემებს ვიყენებთ.

1.5. თანმიმდევრულობა

სავსებით ბუნებრივი იქნებოდა იმის მოთხოვნა, რომ მხოლოდ „ჭეშმარიტი განცხადებები“, ანუ მხოლოდ T-დან სიტყვების დამტკიცება შეიძლება. ჩვენ ვიტყვით, რომ დედუქციური სისტემა<Р, Р, ?>თანმიმდევრულია ფუნდამენტური წყვილის მიმართ თუ?(P)?T. ყველა შემდგომ მსჯელობაში ჩვენ დავინტერესდებით მხოლოდ ასეთი თანმიმდევრული დედუქციური სისტემებით. თუ ენას მოგვცემენ, მაშინ უკიდურესად მაცდური იქნება ისეთი თანმიმდევრული დედუქციური სისტემის პოვნა, რომელშიც ყველა ჭეშმარიტ განცხადებას ექნება მტკიცებულება. გოდელის თეორემის ვარიანტი, რომელიც გვაინტერესებს, ზუსტად ამბობს, რომ გარკვეულ პირობებში ფუნდამენტურ წყვილთან მიმართებაში შეუძლებელია ასეთი დედუქციური სისტემის პოვნა.

1.6. სისრულე

ნათქვამია, რომ დედუქციური სისტემა<Р,Р,?>სრულია ფუნდამენტური წყვილის მიმართ, იმ პირობით, რომ?(P)?T. მაშინ არასრულყოფილების თეორემის ჩვენი ფორმულირება იღებს შემდეგ ფორმას:

გარკვეულ პირობებში ფუნდამენტურ წყვილთან დაკავშირებით, ასეთი დედუქციური სისტემა არ არსებობს<Р,Р,?>L-ზე მეტი, რომელიც იქნება სრული და შედარებით თანმიმდევრული.

ბიბლიოგრაფია

ამ სამუშაოს მომზადებისთვის გამოყენებული იქნა მასალები საიტიდან http://filosof.historic.ru.

09სენ

მათემატიკური აქსიომების ნებისმიერი სისტემა, დაწყებული სირთულის გარკვეული დონიდან, არის შინაგანად არათანმიმდევრული ან არასრული.

1900 წელს პარიზში გაიმართა მათემატიკოსთა მსოფლიო კონფერენცია, სადაც დევიდ გილბერტი(დევიდ ჰილბერტი, 1862–1943) თეზისების სახით გამოკვეთა 23 ყველაზე მნიშვნელოვანი, მისი აზრით, ამოცანა, რომლებიც უნდა გადაეჭრათ მომავალი მეოცე საუკუნის თეორეტიკოსებს. მისი სიის მეორე ნომერი იყო ერთ-ერთი იმ მარტივი პრობლემისგან, რომელიც აშკარად ჩანს, სანამ ცოტა ღრმად არ ჩათხარავთ. თანამედროვე თვალსაზრისით, ეს იყო კითხვა: საკმარისია მათემატიკა თავისთავად? ჰილბერტის მეორე დავალება შემცირდა მკაცრად დამტკიცების აუცილებლობით, რომ აქსიომების სისტემა - მათემატიკაში მიღებული ძირითადი განცხადებები, როგორც საფუძველი მტკიცებულების გარეშე - არის სრულყოფილი და სრული, ანუ ის საშუალებას აძლევს მათემატიკურ აღწერას ყველაფერი, რაც არსებობს. საჭირო იყო იმის დამტკიცება, რომ შესაძლებელია აქსიომათა ისეთი სისტემის დაყენება, რომელიც, პირველ რიგში, იქნება ურთიერთთანმიმდევრული და მეორეც, მათგან შეიძლება გამოვიტანოთ დასკვნა ნებისმიერი განცხადების ჭეშმარიტებასთან ან მცდარობასთან დაკავშირებით.

ავიღოთ მაგალითი სკოლის გეომეტრიიდან. სტანდარტულ ევკლიდეს პლანიმეტრიაში (სიბრტყეზე გეომეტრია) უპირობოდ შეიძლება დადასტურდეს, რომ დებულება „სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°“ მართალია, ხოლო დებულება „სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 137°. "ყალბია. არსებითად საუბრისას, ევკლიდეს გეომეტრიაში ნებისმიერი განცხადება არის მცდარი ან ჭეშმარიტი, ხოლო მესამე არ არის მოცემული. და მეოცე საუკუნის დასაწყისში მათემატიკოსებს გულუბრყვილოდ სჯეროდათ, რომ იგივე სიტუაცია უნდა შეინიშნოს ნებისმიერ ლოგიკურად თანმიმდევრულ სისტემაში.

შემდეგ კი 1931 წელს ზოგიერთი ვენელი სათვალე მათემატიკოსი კურტ გოდელი- აიღო და გამოაქვეყნა მოკლე სტატია, რომელმაც უბრალოდ დაამყარა ეგრეთ წოდებული „მათემატიკური ლოგიკის“ მთელი სამყარო. გრძელი და რთული მათემატიკური და თეორიული პრეამბულების შემდეგ, მან ფაქტიურად დაადგინა შემდეგი. ავიღოთ ნებისმიერი განცხადება, როგორიცაა: „დაშვება #247 ლოგიკურად დაუმტკიცებელია აქსიომების ამ სისტემაში“ და ვუწოდოთ მას „განცხადება A“. ასე რომ, გოდელმა უბრალოდ დაამტკიცა ნებისმიერი აქსიომების სისტემის შემდეგი საოცარი თვისება:

„თუ A დებულება შეიძლება დადასტურდეს, მაშინ არა-ა განცხადება შეიძლება დადასტურდეს“.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ შესაძლებელია დებულების „დაშვება 247 არ არის დასამტკიცებელი“ მართებულობის დადასტურება, მაშინ ასევე შესაძლებელია დადასტურდეს განცხადების მართებულობა „დაშვება 247 დასამტკიცებელია“. ანუ ჰილბერტის მეორე პრობლემის ფორმულირებას დავუბრუნდეთ, თუ აქსიომების სისტემა დასრულებულია (ანუ მასში არსებული ნებისმიერი დებულება შეიძლება დადასტურდეს), მაშინ ის არათანმიმდევრულია.

ერთადერთი გამოსავალი ამ სიტუაციიდან არის აქსიომების არასრული სისტემის მიღება. ანუ, ჩვენ უნდა შევეგუოთ იმ ფაქტს, რომ ნებისმიერი ლოგიკური სისტემის კონტექსტში ჩვენ კვლავ გვექნება "ა" ტიპის განცხადებები, რომლებიც აშკარად ჭეშმარიტი ან მცდარია - და ჩვენ შეგვიძლია ვიმსჯელოთ მათი ჭეშმარიტების შესახებ მხოლოდ აქსიომატიკის ფარგლებს გარეთ. მიღებული. თუ ასეთი განცხადებები არ არსებობს, მაშინ ჩვენი აქსიომატიკა წინააღმდეგობრივია და მის ფარგლებში აუცილებლად იქნება ფორმულირებები, რომლებიც შეიძლება დადასტურდეს და უარყოფილიყო.

ასე რომ, გოდელის პირველი, ანუ სუსტი, არასრულყოფილების თეორემის ფორმულირება არის: "აქსიომების ნებისმიერი ფორმალური სისტემა შეიცავს გადაუჭრელ ვარაუდებს". მაგრამ გოდელი აქ არ გაჩერებულა, გოდელის მეორე ან ძლიერი არასრულყოფილების თეორემა ჩამოაყალიბა და დაამტკიცა: „ამ სისტემის ფარგლებში ვერ დადასტურდება აქსიომების ნებისმიერი სისტემის ლოგიკური სისრულე (ან არასრულობა). მის დასამტკიცებლად ან უარყოფისთვის საჭიროა დამატებითი აქსიომები (სისტემის გაძლიერება).

უფრო უსაფრთხო იქნებოდა ვიფიქროთ, რომ გოდელის თეორემები აბსტრაქტულია და არ გვეხება, არამედ მხოლოდ ამაღლებული მათემატიკური ლოგიკის სფეროებს, მაგრამ სინამდვილეში აღმოჩნდა, რომ ისინი პირდაპირ კავშირშია ადამიანის ტვინის სტრუქტურასთან. ინგლისელმა მათემატიკოსმა და ფიზიკოსმა როჯერ პენროზმა (დაიბადა 1931 წელს) აჩვენა, რომ გოდელის თეორემებიშეიძლება გამოყენებულ იქნას ადამიანის ტვინსა და კომპიუტერს შორის ფუნდამენტური განსხვავებების არსებობის დასამტკიცებლად. მისი მსჯელობის აზრი მარტივია. კომპიუტერი მუშაობს მკაცრად ლოგიკურად და არ ძალუძს A დებულების ჭეშმარიტი თუ მცდარი დადგენა, თუ ის სცილდება აქსიომატიკის ფარგლებს და ასეთი დებულებები, გოდელის თეორემის მიხედვით, აუცილებლად არსებობს. ადამიანს, რომელსაც აწყდება ასეთი ლოგიკურად დაუსაბუთებელი და უტყუარი განცხადება A, ყოველთვის შეუძლია განსაზღვროს მისი სიმართლე ან სიცრუე - ყოველდღიური გამოცდილებიდან გამომდინარე. ყოველ შემთხვევაში, ამ მხრივ, ადამიანის ტვინი აღემატება სუფთა ლოგიკური სქემებით შებოჭილ კომპიუტერს. ადამიანის ტვინს შეუძლია გაიგოს გოდელის თეორემებში მოცემული ჭეშმარიტების სრული სიღრმე, მაგრამ კომპიუტერი ვერასოდეს შეძლებს. ამრიგად, ადამიანის ტვინი არის ყველაფერი, თუ არა კომპიუტერი. მას შეუძლია გადაწყვეტილების მიღება და ტურინგის ტესტი გაივლის.

გოდელის არასრულყოფილების თეორემები

გოდელის არასრულყოფილების თეორემები

გოდელის არასრულყოფილების თეორემები- მათემატიკური ლოგიკის ორი თეორემა ფორმალური არითმეტიკის ფუნდამენტურ შეზღუდვებზე და, შედეგად, საკმარისად ძლიერი პირველი რიგის თეორიის შესახებ.

პირველი თეორემა ამბობს, რომ თუ ფორმალური არითმეტიკა თანმიმდევრულია, მაშინ ის შეიცავს არაწარმომავალ და უდავო ფორმულას.

მეორე თეორემა ამბობს, რომ თუ ფორმალური არითმეტიკა თანმიმდევრულია, მაშინ მასში ზოგიერთი ფორმულა არ არის წარმოებული, რაც მნიშვნელოვნად ამტკიცებს ამ თეორიის თანმიმდევრულობას.

გოდელის პირველი არასრულობის თეორემა

გოდელის პირველი არასრულყოფილების თეორემის პრეტენზია შეიძლება ასე ჩამოყალიბდეს:

თუ ფორმალური არითმეტიკას თანმიმდევრულია, მაშინ ის შეიცავს დახურულ ფორმულას G ისე, რომ არც G და არც მისი უარყოფა ¬G არ წარმოიქმნებას .

თეორემის დასადასტურებლად გედელმა ააგო ფორმულა გცალსახად, ზოგჯერ მას გოდელის გადაუჭრელ ფორმულას უწოდებენ. სტანდარტული ინტერპრეტაციით, წინადადება გამტკიცებს საკუთარ არაწარმოშობადობას S-ში. ამიტომ, გოდელის თეორემით, თუ თეორია S თანმიმდევრულია, მაშინ ეს ფორმულა ნამდვილად არ არის გამოყვანილი S-ში და, შესაბამისად, ჭეშმარიტი სტანდარტულ ინტერპრეტაციაში. ამრიგად, ნატურალური რიცხვებისთვის, ფორმულა გმართალია, მაგრამ არ არის გამოყვანილი ს.

გოდელის მტკიცებულება ასევე შეიძლება განხორციელდეს S-დან მიღებული ნებისმიერი თეორიისთვის ახალი აქსიომების დამატებით, მაგალითად, ფორმულით. გროგორც აქსიომა. ამიტომ, ნებისმიერი თანმიმდევრული თეორია, რომელიც წარმოადგენს ფორმალური არითმეტიკის გაფართოებას, არასრული იქნება.

პირველი არასრულობის თეორემის დასამტკიცებლად, გოდელმა ფორმალური არითმეტიკის თითოეულ სიმბოლოს, გამოსახულებასა და გამონათქვამების თანმიმდევრობას კონკრეტული რიცხვი მიანიჭა. ვინაიდან ფორმულები და თეორემები არის არითმეტიკული წინადადებები, ხოლო თეორემების ფორმალური წარმოშობები ფორმულების თანმიმდევრობაა, შესაძლებელი გახდა თეორემებზე და მტკიცებულებებზე საუბარი ნატურალური რიცხვების კუთხით. მაგალითად, მოდით გოდელის გადაუჭრელი ფორმულა გაქვს ნომერი მ, მაშინ ეს არითმეტიკის ენაზე შემდეგი დებულების ტოლფასია: „არ არსებობს ასეთი ნატურალური რიცხვი. ნ, რა ნარსებობს ფორმულის წარმოშობის რიცხვი რიცხვით მ". ფორმულებისა და ნატურალური რიცხვების ამგვარ შედარებას მათემატიკის არითმეტიზაცია ჰქვია და პირველად გოდელმა განახორციელა. ეს იდეა მოგვიანებით გახდა მათემატიკური ლოგიკის მრავალი მნიშვნელოვანი ამოცანის ამოხსნის გასაღები.

მტკიცებულება ესკიზი

მოდით დავაფიქსიროთ რამდენიმე ფორმალური სისტემა PM, რომელშიც ელემენტარული მათემატიკური ცნებები შეიძლება იყოს წარმოდგენილი.

ფორმალური სისტემის გამონათქვამები გარედან არის პრიმიტიული სიმბოლოების სასრული მიმდევრობები (ცვლადები, ლოგიკური მუდმივები და ფრჩხილები ან წერტილები) და ძნელი არ არის მკაცრად განსაზღვრო პრიმიტიული სიმბოლოების რომელი მიმდევრობაა ფორმულები და რომელი არა. ანალოგიურად, ფორმალური თვალსაზრისით, მტკიცებულებები სხვა არაფერია, თუ არა ფორმულების სასრული თანმიმდევრობა (მკაცრად განსაზღვრული თვისებებით). მათემატიკური განხილვისთვის არ აქვს მნიშვნელობა რომელი ობიექტები ავიღოთ პრიმიტიულ სიმბოლოებად და ჩვენ გადავწყვიტეთ ამ მიზნებისთვის გამოვიყენოთ ნატურალური რიცხვები. შესაბამისად, ფორმულა არის ნატურალური რიცხვების სასრული მიმდევრობა, ფორმულის წარმოშობა არის ნატურალური რიცხვების სასრული მიმდევრობების სასრული მიმდევრობა. ამრიგად, მათემატიკური ცნებები (განცხადებები) ხდება ცნებები (განცხადებები) ნატურალური რიცხვების ან მათი თანმიმდევრობის შესახებ და, შესაბამისად, თავად შეიძლება გამოიხატოს PM სისტემის სიმბოლიკაში (ნაწილობრივ მაინც). კერძოდ, შეიძლება აჩვენოს, რომ ცნებები "ფორმულა", "წარმოება", "მიღებული ფორმულა" განსაზღვრულია PM სისტემაში, ანუ შეიძლება აღდგეს, მაგალითად, ფორმულა. ფ(ვ) PM-ში ერთი თავისუფალი ცვლადით ვ(რომლის ტიპი არის რიცხვითი მიმდევრობა) ისეთი, რომ ფ(ვ), ინტუიციური ინტერპრეტაციით ნიშნავს: ვ- წარმოებული ფორმულა. ახლა ავაშენოთ PM სისტემის გადაუჭრელი წინადადება, ანუ წინადადება ა, რისთვისაც არც ა, არც არა-აარ არის გამორიცხული, შემდეგნაირად:

ფორმულას PM-ში ზუსტად ერთი თავისუფალი ცვლადით, რომლის ტიპია ნატურალური რიცხვი (კლასების კლასი) ეწოდება გამოხატვის კლასი. კლას-გამონათქვამები დავალაგოთ თანმიმდევრობით რაღაცნაირად, აღვნიშნოთ ნ-ე მეშვეობით რ(ნ), და გაითვალისწინეთ, რომ კონცეფცია "კლასი-გამოხატვა", ისევე როგორც შეკვეთის მიმართება რშეიძლება განისაზღვროს PM სისტემაში. ვთქვათ α იყოს თვითნებური კლასი-გამოხატვა; მეშვეობით [α; ნ] აღვნიშნავთ ფორმულას, რომელიც წარმოიქმნება α კლასის გამოსახულებიდან თავისუფალი ცვლადის ნატურალური რიცხვის სიმბოლოთი ჩანაცვლებით ნ. სამეული ურთიერთობა x = [წ;ზ] ასევე აღმოჩნდება PM-ში განსაზღვრებადი. ახლა ჩვენ განვსაზღვრავთ კლასს კნატურალური რიცხვები შემდეგნაირად:

ნ ∈ კ≡ ¬Bew[ რ(ნ);ნ] (*)

(სადაც ბეუ xნიშნავს: x- წარმოებული ფორმულა). ვინაიდან ამ განმარტებაში არსებული ყველა ცნება შეიძლება გამოისახოს PM-ში, იგივე ეხება კონცეფციას კ, რომელიც აგებულია მათგან, ანუ არის ასეთი კლასი-გამოხატვა სრომ ფორმულა [ ს;ნ], რომელიც ინტუიციურად არის განმარტებული, ნიშნავს, რომ ნატურალური რიცხვი ნეკუთვნის კ. როგორც კლასის გამოხატულება, სზოგიერთი კონკრეტულის იდენტური რ(ქ) ჩვენს ნუმერაციაში, ანუ

ს = რ(ქ)

შეესაბამება გარკვეულ ნატურალურ რიცხვს ქ. ახლა ვაჩვენოთ, რომ წინადადება [ რ(ქ);ქ] გადაუწყვეტელია PM-ში. ასე რომ, თუ წინადადება [ რ(ქ);ქ] მიჩნეულია გამოყვანად, მაშინ აღმოჩნდება ჭეშმარიტი, ანუ ზემოთ ნათქვამის შესაბამისად, ქმიეკუთვნება კ, ანუ (*), ¬Bew[ რ(ქ);ქ] დაკმაყოფილდება, რაც ეწინააღმდეგება ჩვენს ვარაუდს. მეორე მხრივ, თუ უარყოფა [ რ(ქ);ქ] იყო წარმოებული, მაშინ ¬ ნ ∈ კ, ანუ ბევ[ რ(ქ);ქ] მართალი იქნება. აქედან გამომდინარე, [ რ(ქ);ქ] მის უარყოფასთან ერთად იქნება წარმოებული, რაც ისევ შეუძლებელია.

პოლინომიური ფორმა

ყოველი თანმიმდევრული თეორიისთვისთ შეიძლება განისაზღვროს K პარამეტრის ისეთი მთელი რიცხვი, რომ განტოლება (θ + 2 ზ − ბ 5) 2 + (u + ტθ − ლ) 2 + (წ + მθ − ე) 2 + (ნ − ქ 16) 2 + ((გ + ექ 3 + ლქ 5 + (2(ე − ზλ) (1 + გ) 4 + λ ბ 5+λ ბ 5 ქ 4)ქ 4)(ნ 2 − ნ) + (ქ 3 − ბლ + ლ + θλ ქ 3 + (ბ 5 − 2)ქ 5)(ნ 2 − 1) − რ) 2 + (გვ − 2ვს 2 რ 2 ნ 2) 2 + (გვ 2 კ 2 − კ 2 + 1 − τ 2) 2 + (4(გ − კსნ 2) 2 + η − კ 2) 2 + (რ + 1 + თგვ − თ − კ) 2 + (ა − (ვნ 2 + 1)რსნ 2) 2 + (2რ+ 1 + φ − გ) 2 + (ბვ + გა − 2გ+ 4αγ − 5γ − დ) 2 + ((ა 2 − 1)გ 2 + 1 − დ 2) 2 + ((ა 2 − 1)მე 2 გ 4 + 1 − ვ 2) 2 + (((ა + ვ 2 (დ 2 − ა)) 2 − 1)(2რ + 1 + ჯგ) 2 + 1 − (დ + ოვ) 2) 2 + (((ზ + u + წ) 2 + u) 2 + წ − კ) 2 = 0 არ აქვს ამონახსნები არაუარყოფით რიცხვებში, მაგრამ ეს ფაქტი თეორიულად ვერ დადასტურდებათ . უფრო მეტიც, ყოველი თანმიმდევრული თეორიისთვის, K პარამეტრის მნიშვნელობების სიმრავლე, რომელსაც აქვს ეს თვისება, არის უსასრულო და ალგორითმულად უთვალავი.

გოდელის მეორე არასრულობის თეორემა

ფორმალურ არითმეტიკაში S, შეიძლება ავაშენოთ ფორმულა, რომელიც, სტანდარტული ინტერპრეტაციით, ჭეშმარიტია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ თეორია S თანმიმდევრულია. ამ ფორმულისთვის, გოდელის მეორე თეორემის განცხადება მართალია:

თუ ფორმალური არითმეტიკას არის თანმიმდევრული, შემდეგ ის შეიცავს არაწარმოებულ ფორმულას, რომელიც არსებითად ამტკიცებს თანმიმდევრულობასს .

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფორმალური არითმეტიკის თანმიმდევრულობა ამ თეორიის საშუალებით ვერ დადასტურდება. თუმცა, არსებობს მტკიცებულებები ფორმალური არითმეტიკის თანმიმდევრულობის შესახებ საშუალებების გამოყენებით, რომლებიც მასში გამოუთქმელია.

მტკიცებულება ესკიზი

პირველ რიგში, ფორმულა აგებულია კონმნიშვნელოვნად გამოხატავს S თეორიაში რაიმე ფორმულის გამოყვანის შეუძლებლობას მის უარყოფასთან ერთად. შემდეგ გოდელის პირველი თეორემის დებულება გამოიხატება ფორმულით კონ ⊃ გ, სად გ- გოდელის გადაუჭრელი ფორმულა. პირველი თეორემის დადასტურების ყველა არგუმენტი შეიძლება გამოიხატოს და განხორციელდეს S-ის საშუალებით, ანუ S-ში ფორმულა გამოყვანილია. კონ ⊃ გ. აქედან გამომდინარე, თუ S არის წარმოებული კონ, მაშინ მასში გამოვიყვანთ და გ. თუმცა, გოდელის პირველი თეორემის მიხედვით, თუ S თანმიმდევრულია, მაშინ გმასში არ არის გამოყვანილი. ამიტომ, თუ S თანმიმდევრულია, მაშინ ფორმულა კონ.

შენიშვნები

იხილეთ ასევე

ბმულები

• V.A. Uspenskyგოდელის არასრულყოფილების თეორემა. - მ.: ნაუკა, 1982. - 110გვ. - (პოპულარული ლექციები მათემატიკაში).
• აკადემიკოსი იუ.ლ.ერშოვი "მტკიცებულებები მათემატიკაში", ა.გორდონის 2003 წლის 16 ივნისის პროგრამა
• A.B. Sosinskyგოდელის თეორემა // საზაფხულო სკოლა "თანამედროვე მათემატიკა". - დუბნა: 2006 წ.
• P. J. კოენისიმრავლეების თეორიის საფუძვლებზე // მიღწევები მათემატიკურ მეცნიერებებში. - 1974. - T. 29. - No5 (179). - S. 169–176.
• მ.კორდონსკისიმართლის დასასრული. - ISBN 5-946448-001-04
• V.A. Uspenskyგოდელის არასრულყოფილების თეორემა და მისკენ მიმავალი ოთხი გზა // საზაფხულო სკოლა "თანამედროვე მათემატიკა". - დუბნა: 2007 წ.
• ზენკინი A.A.დროის გაყოფის პრინციპი და ერთი კლასის კვაზისასრული დამაჯერებელი მსჯელობის ანალიზი (გ. კანტორის ურიცხვობის თეორემის მაგალითზე) // დანი. - 1997. - T. 356. - No 6. - S. 733-735.
• ჩეჩულინი V.L.გოდელის თეორემების დადასტურების მოკლე ვერსიაზე // „მათემატიკისა და საინფორმაციო მეცნიერებების ფუნდამენტური ამოცანები“, მასალები XXXIV შორეული აღმოსავლეთის მათემატიკური სკოლა-სემინარის აკადემიკოს ე.ვ. ზოლოტოვა. - ხაბაროვსკი, რუსეთი: 2009. - S. 60-61.

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წ.

ნახეთ, რა არის „გოდელის არასრულობის თეორემები“ სხვა ლექსიკონებში:

ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ გოდელის თეორემა. გოდელის არასრულობის თეორემა და გოდელის მეორე თეორემა [1] არის მათემატიკური ლოგიკის ორი თეორემა ფორმალური არითმეტიკის ფუნდამენტური შეზღუდვების შესახებ და, შედეგად, ნებისმიერი ... ... ვიკიპედია.

გოდელის არასრულყოფილების თეორემები არის მათემატიკური ლოგიკის ორი თეორემა გარკვეული ტიპის ფორმალური სისტემების არასრულყოფილების შესახებ. სარჩევი 1 გოდელის პირველი არასრულობის თეორემა 2 გოდელის მეორე არასრულობის თეორემა ... ვიკიპედია

ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ გოდელის თეორემა. გოდელის თეორემა პრედიკატის გამოთვლის სისრულეზე არის მათემატიკური ლოგიკის ერთ-ერთი ფუნდამენტური თეორემა: იგი ადგენს ცალსახა ურთიერთობას ლოგიკურ ჭეშმარიტებას შორის ... ... ვიკიპედია.

კ.გოდელის მიერ დადგენილი ორი თეორემის საერთო სახელწოდება. პირველი გ.ტ დაახლოებით ნ. ამტკიცებს, რომ ნებისმიერ თანმიმდევრულ ფორმალურ სისტემაში, რომელიც შეიცავს მინიმუმ არითმეტიკას (ნიშნები და მათი დამუშავების ჩვეული წესები), არის ფორმალურად გადაუჭრელი ... ... მათემატიკური ენციკლოპედია

თემაზე: "გოდელის თეორემა"

კურტ გოდელი

კურტ გოდელი - მათემატიკური ლოგიკის უდიდესი სპეციალისტი - დაიბადა 1906 წლის 28 აპრილს ბრუნში (ახლანდელი ბრნო, ჩეხეთი). დაამთავრა ვენის უნივერსიტეტი, სადაც დაიცვა სადოქტორო დისერტაცია, იყო ასისტენტ პროფესორი 1933–1938 წლებში. ანშლუსის შემდეგ ის ემიგრაციაში წავიდა შეერთებულ შტატებში. 1940 წლიდან 1963 წლამდე გოდელი მუშაობდა პრინსტონის უმაღლესი განათლების ინსტიტუტში. გოდელი არის იელის და ჰარვარდის უნივერსიტეტების საპატიო დოქტორი, აშშ-ს მეცნიერებათა ეროვნული აკადემიისა და ამერიკის ფილოსოფიური საზოგადოების წევრი.

1951 წელს კურტ გოდელს მიენიჭა შეერთებული შტატების უმაღლესი სამეცნიერო ჯილდო, აინშტაინის პრემია. ამ მოვლენისადმი მიძღვნილ სტატიაში ჩვენი დროის კიდევ ერთი უდიდესი მათემატიკოსი, ჯონ ფონ ნოიმანი წერდა: „კურტ გოდელის წვლილი თანამედროვე ლოგიკაში მართლაც მონუმენტურია. ეს უფრო მეტია ვიდრე უბრალოდ ძეგლი. ეს არის ორი ეპოქის გამყოფი ეტაპი... ყოველგვარი გადაჭარბების გარეშე შეიძლება ითქვას, რომ გოდელის ნაშრომმა ძირეულად შეცვალა ლოგიკის, როგორც მეცნიერების, საგანი.

მართლაც, მათემატიკურ ლოგიკაში გოდელის მიღწევების მშრალი ჩამონათვალიც კი აჩვენებს, რომ მათმა ავტორმა არსებითად ჩაუყარა საფუძველი ამ მეცნიერების მთელ მონაკვეთებს: მოდელების თეორიას (1930; ე.წ. უხეშად რომ ვთქვათ, "ფორმალური ლოგიკის" საშუალებების საკმარისობა მის ენაზე გამოთქმული ყველა ჭეშმარიტი წინადადების დასამტკიცებლად), კონსტრუქციული ლოგიკა (1932-1933; შედეგია კლასიკური ლოგიკის ზოგიერთი კლასის წინადადებების ინტუიციურ ანალოგებამდე შემცირების შესაძლებლობაზე, რაც საფუძველი ჩაუყარა „ჩაძირვის ოპერაციების“ სისტემატიურ გამოყენებას, რომელიც იძლევა სხვადასხვა ლოგიკური სისტემების ერთმანეთთან შემცირების საშუალებას), ფორმალური არითმეტიკა (1932–1933; შედეგები კლასიკური არითმეტიკის ინტუიციურ არითმეტიკამდე დაყვანის შესაძლებლობაზე, რაც გარკვეულწილად აჩვენებს პირველის თანმიმდევრულობა მეორესთან მიმართებაში), ალგორითმებისა და რეკურსიული ფუნქციების თეორია (1934; ზოგადი რეკურსიული ფუნქციის ცნების განსაზღვრა, რომელმაც გადამწყვეტი როლი ითამაშა. როლი მათემატიკაში რიგი მნიშვნელოვანი ამოცანების ალგორითმული გადაუჭრელობის დადგენაში, ერთი მხრივ. ხოლო ელექტრონულ კომპიუტერებზე ლოგიკური და მათემატიკური ამოცანების განხორციელებისას - მეორეს მხრივ, სიმრავლეების აქსიომური თეორია (1938; არჩევანის აქსიომის ფარდობითი თანმიმდევრულობის დადასტურება და კანტორის უწყვეტი ჰიპოთეზა სიმრავლეების თეორიის აქსიომებიდან, რამაც დაიწყო დასაწყისი შედარებითი თანმიმდევრულობისა და დამოუკიდებლობის სიმრავლე-თეორიული პრინციპების შესახებ მნიშვნელოვანი შედეგების სერიის შესახებ).

გოდელის არასრულყოფილების თეორემა

შესავალი

1931 წელს, ერთ-ერთ გერმანულ სამეცნიერო ჟურნალში გამოჩნდა შედარებით მცირე სტატია საკმაოდ შემზარავი სათაურით "Principia Mathematica-ს და მასთან დაკავშირებული სისტემების ფორმალურად გადაუჭრელი წინადადებების შესახებ". მისი ავტორი იყო ოცდახუთი წლის მათემატიკოსი ვენის უნივერსიტეტიდან, კურტ გოდელი, რომელიც მოგვიანებით მუშაობდა პრინსტონის გაღრმავებული კვლევების ინსტიტუტში. ამ ნაშრომმა გადამწყვეტი როლი ითამაშა ლოგიკისა და მათემატიკის ისტორიაში. ჰარვარდის უნივერსიტეტის გადაწყვეტილებით გოდელს საპატიო დოქტორის წოდების მინიჭების შესახებ (1952), იგი დახასიათდა, როგორც თანამედროვე ლოგიკის ერთ-ერთი უდიდესი მიღწევა.

თუმცა, გამოქვეყნების მომენტში, გოდელის ნაწარმოების სათაური არ ყოფილა. არც მისმა შინაარსმა არაფერი უთხრა მათემატიკოსთა უმეტესობას. სათაურში მოხსენიებული Principia Mathematica არის ალფრედ ნორთ უაიტჰედისა და ბერტრანდ რასელის მონუმენტური სამტომიანი ტრაქტატი მათემატიკური ლოგიკისა და მათემატიკის საფუძვლების შესახებ; ტრაქტატის გაცნობა სულაც არ იყო აუცილებელი პირობა წარმატებული მუშაობისთვის მათემატიკის უმეტეს დარგებში. გოდელის ნაშრომებში განხილული საკითხებისადმი ინტერესი ყოველთვის იყო მეცნიერთა ძალიან მცირე ჯგუფის ინტერესი. ამავდროულად, გოდელის მიერ თავის მტკიცებულებებში მოყვანილი არგუმენტები იმდენად უჩვეულო იყო მათი დროისთვის. რომ მათი სრული გაგება მოითხოვდა საგნის ექსკლუზიურ ცოდნას და ამ ძალიან სპეციფიკურ პრობლემებს მიძღვნილი ლიტერატურის გაცნობას.

პირველი არასრულობის თეორემა

გოდელის პირველი არასრულობის თეორემაროგორც ჩანს, მათემატიკური ლოგიკის ყველაზე მნიშვნელოვანი შედეგია. ასე ჟღერს:

თვითნებური თანმიმდევრული ფორმალური და გამოთვლითი თეორიისთვის, რომელშიც ძირითადი არითმეტიკული დებულებების დამტკიცება შესაძლებელია, შეიძლება აშენდეს ჭეშმარიტი არითმეტიკული წინადადება, რომლის ჭეშმარიტებაც ვერ დადასტურდება თეორიის ფარგლებში. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნებისმიერი სრულიად სასარგებლო თეორია, რომელიც საკმარისია არითმეტიკის წარმოსადგენად, არ შეიძლება იყოს თანმიმდევრული და სრული.

აქ სიტყვა „თეორია“ ნიშნავს დებულებათა „უსასრულო კრებულს“, რომელთაგან ზოგიერთი ჭეშმარიტებად ითვლება მტკიცების გარეშე (ასეთ დებულებებს აქსიომებს უწოდებენ), ზოგი კი (თეორემებს) შეიძლება გამოიტანოს აქსიომებიდან და, შესაბამისად, ვარაუდობენ ( დადასტურდა) სიმართლეა. ფრაზა "დასამტკიცებელი თეორიაში" ნიშნავს "გამოიღებს თეორიის აქსიომებიდან და პრიმიტივიდან (ანბანის მუდმივი სიმბოლოები) სტანდარტული (პირველი რიგის) ლოგიკის გამოყენებით." თეორია თანმიმდევრულია (თანმიმდევრული), თუ შეუძლებელია მასში ურთიერთგამომრიცხავი დებულების დამტკიცება. ფრაზა "შეიძლება აშენდეს" ნიშნავს, რომ არსებობს გარკვეული მექანიკური პროცედურა (ალგორითმი), რომელსაც შეუძლია ააგოს განცხადება აქსიომებზე, პრიმიტივებზე და პირველი რიგის ლოგიკაზე. "ელემენტარული არითმეტიკა" არის შეკრებისა და გამრავლების მოქმედებების არსებობა ნატურალურ რიცხვებზე. მიღებული ჭეშმარიტი, მაგრამ დაუმტკიცებელი დებულება ხშირად მოიხსენიება მოცემული თეორიისთვის, როგორც "გოდელის თანმიმდევრობა", მაგრამ თეორიაში არის უსასრულო რაოდენობის სხვა წინადადებები, რომლებსაც აქვთ იგივე თვისება, რომ იყოს დაუმტკიცებელი თეორიის ფარგლებში.

დაშვება, რომ თეორია გამოთვლადია, ნიშნავს, რომ პრინციპში შესაძლებელია კომპიუტერული ალგორითმის (კომპიუტერული პროგრამის) დანერგვა, რომელიც (თუ ნებადართულია თვითნებურად დიდი ხნის გამოთვლა, უსასრულობამდე) გამოთვლის თეორიის ყველა თეორემის ჩამონათვალს. ფაქტობრივად, საკმარისია მხოლოდ აქსიომების სიის გამოთვლა და ყველა თეორემა შეიძლება ეფექტური იყოს ასეთი სიიდან.

პირველი არასრულობის თეორემა ეწოდა "თეორემა VI" გოდელის 1931 წლის ნაშრომში. ფორმალურად გადაუჭრელი წინადადებების შესახებ Principia Mathematica და მასთან დაკავშირებულ სისტემებში I. გოდელის ორიგინალურ ჩანაწერში ასე ჟღერდა:

”ზოგადი დასკვნა გადაუჭრელი წინადადებების არსებობის შესახებ ასეთია:

თეორემა VI .

ყოველი ω-თანმიმდევრული რეკურსიული კლასისთვის kფორმულა არის რეკურსიულინიშნები რ ისეთი რომ არც (ვგენ რ), არც ¬( ვგენ რ)არ ეკუთვნის Flg (კ)(სად არის vუფასო ცვლადი რ ) ».

Დანიშნულება Flgმოდის მისგან. Folgerungsmenge- თანმიმდევრობების ნაკრები, გენმოდის მისგან. განზოგადება- განზოგადება.

უხეშად რომ ვთქვათ, გოდელის განცხადება გამტკიცებს: „სიმართლე გარ შეიძლება დადასტურდეს." თუ გთეორიის ფარგლებში შეიძლება დადასტურდეს, მაშინ თეორია შეიცავდა თეორემას, რომელიც ეწინააღმდეგება საკუთარ თავს და, შესაბამისად, თეორია იქნებოდა არათანმიმდევრული. Მაგრამ თუ გდაუმტკიცებელია, მაშინ ეს მართალია და, შესაბამისად, თეორია არასრულია (განცხადება გმასში გამომავალი არ არის).

ეს ახსნა ჩვეულებრივ ბუნებრივ ენაზეა და, შესაბამისად, არც ისე მათემატიკურად მკაცრი. მკაცრი მტკიცებულების უზრუნველსაყოფად, გოდელმა დანომრა დებულებები ნატურალური რიცხვებით. ამ შემთხვევაში რიცხვების აღწერის თეორიაც წინადადებათა სიმრავლეს მიეკუთვნება. წინადადებების დამტკიცების შესახებ კითხვები ამ შემთხვევაში შეიძლება წარმოდგენილი იყოს, როგორც კითხვები ნატურალური რიცხვების თვისებების შესახებ, რომლებიც უნდა იყოს გამოთვლადი, თუ თეორია სრულია. ამ თვალსაზრისით, გოდელის განცხადებაში ნათქვამია, რომ არ არსებობს რიცხვი გარკვეული თვისებით. რიცხვი ამ თვისებით იქნება თეორიის შეუსაბამობის დამადასტურებელი. თუ ასეთი რიცხვი არსებობს, თეორია შეუსაბამოა, ორიგინალური ვარაუდის საწინააღმდეგოდ. ასე რომ, თუ ვივარაუდებთ, რომ თეორია თანმიმდევრულია (როგორც თეორემის წინაპირობა გვთავაზობს), გამოდის, რომ ასეთი რიცხვი არ არსებობს და გოდელის განცხადება მართალია, მაგრამ ეს არ შეიძლება დადასტურდეს თეორიის ფარგლებში (აქედან გამომდინარე, თეორია არასრულია. ). მნიშვნელოვანი კონცეპტუალური შენიშვნა არის ის, რომ უნდა ვივარაუდოთ, რომ თეორია თანმიმდევრულია, რათა გამოცხადდეს გოდელის განცხადება ჭეშმარიტად.

გოდელის მეორე არასრულობის თეორემა

გოდელის მეორე არასრულობის თეორემა ასე იკითხება:

ნებისმიერი ფორმალურად რეკურსიულად უთვალავი (ე.ი. ეფექტურად წარმოქმნილი) თეორიისთვის T, მათ შორის ძირითადი არითმეტიკული ჭეშმარიტების დებულებებისა და გარკვეული ფორმალური დადასტურების დებულებების ჩათვლით, მოცემული თეორია T მოიცავს განცხადებას მისი თანმიმდევრულობის შესახებ, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ თეორია T არათანმიმდევრულია.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, საკმარისად მდიდარი თეორიის თანმიმდევრულობა ამ თეორიის საშუალებით ვერ დადასტურდება. თუმცა, შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ ერთი კონკრეტული თეორიის თანმიმდევრულობა შეიძლება დადგინდეს სხვა, უფრო ძლიერი ფორმალური თეორიის საშუალებით. მაგრამ შემდეგ ჩნდება კითხვა ამ მეორე თეორიის თანმიმდევრულობის შესახებ და ა.შ.

ბევრი ცდილობდა ამ თეორემის გამოყენებას იმის დასამტკიცებლად, რომ ინტელექტუალური აქტივობა გამოთვლებამდე ვერ დაიყვანება. მაგალითად, ჯერ კიდევ 1961 წელს ცნობილმა ლოგიკოსმა ჯონ ლუკასმა მსგავსი პროგრამა მოიფიქრა. მისი მსჯელობა საკმაოდ დაუცველი გამოდგა – თუმცა ამოცანა უფრო ფართოდ დაისახა. ოდნავ განსხვავებულ მიდგომას ახორციელებს როჯერ პენროუზი, რომელიც წიგნში სრულიად, „ნულიდან“ არის წარმოდგენილი.

დისკუსიები

თეორემების შედეგები გავლენას ახდენს მათემატიკის ფილოსოფიაზე, განსაკუთრებით იმ ფორმალიზმებზე, რომლებიც იყენებენ ფორმალურ ლოგიკას თავიანთი პრინციპების დასადგენად. არასრულყოფილების პირველი თეორემა შეიძლება გადაფორმდეს შემდეგნაირად: შეუძლებელია აქსიომების ყოვლისმომცველი სისტემის პოვნა, რომლის დამტკიცებაც შესაძლებელი იქნებოდა ყველამათემატიკური ჭეშმარიტება და არა ერთი ტყუილი". მეორეს მხრივ, მკაცრი ფორმალობის თვალსაზრისით, ამ რეფორმულაციას დიდი აზრი არ აქვს, რადგან ის ვარაუდობს, რომ ცნებები "მართალი" და "მცდარი" განისაზღვრება აბსოლუტური მნიშვნელობით, ვიდრე თითოეულისთვის ფარდობითი მნიშვნელობით. კონკრეტული სისტემა.