ეს სტატია ეხება წილადებზე მოქმედებებს. ჩამოყალიბდება და გამართლდება A B ფორმის წილადების შეკრების, გამოკლების, გამრავლების, გაყოფის ან გამრავლების წესები, სადაც A და B შეიძლება იყოს რიცხვები, რიცხვითი გამოსახულებები ან გამოსახულებები ცვლადებით. დასასრულს, განხილული იქნება გადაწყვეტილებების მაგალითები დეტალური აღწერილობით.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ზოგადი ფორმის რიცხვითი წილადებით მოქმედებების შესრულების წესები

ზოგადი ფორმის რიცხვით წილადებს აქვთ მრიცხველი და მნიშვნელი, რომლებშიც არის ნატურალური რიცხვები ან რიცხვითი გამონათქვამები. თუ განვიხილავთ ისეთ წილადებს, როგორიცაა 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 2 , π 1 - 2 3 + π , 2 0, 5 ln 3, მაშინ ცხადია, რომ მრიცხველს და მნიშვნელს შეიძლება ჰქონდეს არა მხოლოდ რიცხვები, არამედ განსხვავებული გეგმის გამოსახულებებიც.

განმარტება 1

არსებობს წესები, რომლითაც მოქმედებები სრულდება ჩვეულებრივი წილადებით. იგი ასევე შესაფერისია ზოგადი ფორმის ფრაქციებისთვის:

• ერთი და იგივე მნიშვნელებით წილადების გამოკლებისას ემატება მხოლოდ მრიცხველები, ხოლო მნიშვნელი იგივე რჩება, კერძოდ: a d ± c d \u003d a ± c d, a, c და d ≠ 0 მნიშვნელობები არის რამდენიმე რიცხვი ან რიცხვითი გამონათქვამები.
• სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრების ან გამოკლებისას საჭიროა საერთო წილადის შემცირება, შემდეგ მიღებული წილადების დამატება ან გამოკლება იგივე მაჩვენებლებით. სიტყვასიტყვით ასე გამოიყურება a b ± c d = a p ± c r s , სადაც მნიშვნელობები a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 არის რეალური რიცხვები და b p = d r = ს. როდესაც p = d და r = b, მაშინ a b ± c d = a d ± c d b d.
• წილადების გამრავლებისას მოქმედება სრულდება მრიცხველებით, რის შემდეგაც მნიშვნელებით, შემდეგ ვიღებთ a b c d \u003d a c b d, სადაც a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 მოქმედებს როგორც რეალური რიცხვები.
• წილადის წილადზე გაყოფისას პირველს ვამრავლებთ მეორე ორმხრივად, ანუ ვცვლით მრიცხველს და მნიშვნელს: a b: c d \u003d a b d c.

წესების დასაბუთება

განმარტება 2

არსებობს შემდეგი მათემატიკური პუნქტები, რომლებსაც უნდა დაეყრდნოთ გაანგარიშებისას:

• წილადი ბარი ნიშნავს გაყოფის ნიშანს;
• რიცხვზე გაყოფა განიხილება, როგორც გამრავლება მის ორმხრივად;
• რეალური რიცხვებით მოქმედებათა თვისების გამოყენება;
• წილადის ძირითადი თვისების გამოყენება და რიცხვითი უტოლობები.

მათი დახმარებით შეგიძლიათ გააკეთოთ ფორმის ტრანსფორმაციები:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

მაგალითები

წინა აბზაცში ითქვა წილადებთან მოქმედებებზე. სწორედ ამის შემდეგ საჭიროა წილადის გამარტივება. ეს თემა დეტალურად იყო განხილული წილადების გარდაქმნის განყოფილებაში.

ჯერ განვიხილოთ ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრებისა და გამოკლების მაგალითი.

მაგალითი 1

მოცემულია წილადები 8 2 , 7 და 1 2 , 7 , მაშინ წესის მიხედვით აუცილებელია მრიცხველის დამატება და მნიშვნელის გადაწერა.

გადაწყვეტილება

შემდეგ მივიღებთ 8 + 1 2, 7 ფორმის წილადს. შეკრების შესრულების შემდეგ ვიღებთ 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 ფორმის წილადს. ასე რომ 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

პასუხი: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

გადაჭრის სხვა გზა არსებობს. დასაწყისისთვის, ხდება გადასვლა ჩვეულებრივი წილადის ფორმაზე, რის შემდეგაც ვასრულებთ გამარტივებას. ეს ასე გამოიყურება:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

მაგალითი 2

გამოვაკლოთ 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 წილადები 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .

ვინაიდან მოცემულია ტოლი მნიშვნელები, ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ვიანგარიშებთ წილადს იგივე მნიშვნელით. ჩვენ ამას მივიღებთ

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

არსებობს წილადების გამოთვლის მაგალითები სხვადასხვა მნიშვნელით. მნიშვნელოვანი პუნქტია საერთო მნიშვნელამდე შემცირება. ამის გარეშე ჩვენ ვერ შევძლებთ შემდგომი მოქმედებების შესრულებას წილადებით.

პროცესი დისტანციურად მოგვაგონებს საერთო მნიშვნელამდე შემცირებას. ანუ ხდება მნიშვნელში უმცირესი საერთო გამყოფის ძიება, რის შემდეგაც გამოტოვებული ფაქტორები ემატება წილადებს.

თუ დამატებულ წილადებს არ აქვთ საერთო ფაქტორები, მაშინ მათი პროდუქტი შეიძლება გახდეს ერთი.

მაგალითი 3

განვიხილოთ 2 3 5 + 1 და 1 2 წილადების დამატების მაგალითი.

გადაწყვეტილება

ამ შემთხვევაში, საერთო მნიშვნელი არის მნიშვნელების ნამრავლი. შემდეგ მივიღებთ, რომ 2 · 3 5 + 1. შემდეგ დამატებითი ფაქტორების დაყენებისას გვაქვს, რომ პირველ წილადს ის უდრის 2-ს, ხოლო მეორეს 3 5 + 1-ს. გამრავლების შემდეგ წილადები მცირდება 4 2 3 5 + 1 ფორმამდე. გენერალური მსახიობი 1 2 იქნება 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . ჩვენ ვამატებთ მიღებულ წილადურ გამოსახულებებს და ვიღებთ ამას

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

პასუხი: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

როდესაც საქმე გვაქვს ზოგადი ფორმის წილადებთან, მაშინ უმცირესი საერთო მნიშვნელი, როგორც წესი, ასე არ არის. წამგებიანია მრიცხველთა ნამრავლის მნიშვნელად აღება. ჯერ უნდა შეამოწმოთ არის თუ არა რიცხვი, რომელიც მათ პროდუქტზე ნაკლებია.

მაგალითი 4

განვიხილოთ მაგალითი 1 6 2 1 5 და 1 4 2 3 5, როდესაც მათი ნამრავლი უდრის 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 . შემდეგ საერთო მნიშვნელად ვიღებთ 12 · 2 3 5.

განვიხილოთ ზოგადი ფორმის წილადების გამრავლების მაგალითები.

მაგალითი 5

ამისათვის აუცილებელია 2 + 1 6 და 2 · 5 3 · 2 + 1 გამრავლება.

გადაწყვეტილება

წესის დაცვით აუცილებელია მრიცხველთა ნამრავლის გადაწერა და მნიშვნელად ჩაწერა. მივიღებთ, რომ 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. როდესაც წილადი მრავლდება, შეიძლება შემცირდეს მისი გამარტივება. შემდეგ 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

გაყოფიდან გამრავლებაზე გადასვლის წესის გამოყენებით ვიღებთ მოცემულის საპასუხო ნაწილს. ამისათვის მრიცხველი და მნიშვნელი შებრუნებულია. მოდით შევხედოთ მაგალითს:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

ამის შემდეგ მათ უნდა შეასრულონ გამრავლება და გაამარტივონ მიღებული ფრაქცია. საჭიროების შემთხვევაში მოიშორეთ მნიშვნელობის ირაციონალურობა. ჩვენ ამას მივიღებთ

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

პასუხი: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

ეს პუნქტი გამოიყენება მაშინ, როდესაც რიცხვი ან რიცხვითი გამოსახულება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით 1-ის ტოლი მნიშვნელით, მაშინ ოპერაცია ასეთი წილადით განიხილება ცალკეულ აბზაცად. მაგალითად, გამოხატულება 1 6 7 4 - 1 3 აჩვენებს, რომ 3-ის ფესვი შეიძლება შეიცვალოს სხვა 3 1 გამოსახულებით. მაშინ ეს ჩანაწერი ჰგავს 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 ფორმის ორი წილადის ნამრავლს.

ცვლადების შემცველი წილადებით მოქმედების შესრულება

პირველ სტატიაში განხილული წესები გამოიყენება ცვლადების შემცველი წილადების ოპერაციებისთვის. განვიხილოთ გამოკლების წესი, როდესაც მნიშვნელები იგივეა.

აუცილებელია დავამტკიცოთ, რომ A , C და D (D არ არის ნულის ტოლი) შეიძლება იყოს ნებისმიერი გამონათქვამი, ხოლო ტოლობა A D ± C D = A ± C D არის მისი მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონის ექვივალენტური.

აუცილებელია ODZ ცვლადების ნაკრების აღება. შემდეგ A, C, D უნდა აიღოს შესაბამისი მნიშვნელობები a 0, c 0 და d0. A D ± C D ფორმის ჩანაცვლება იწვევს 0 d 0 ± c 0 d 0 ფორმის განსხვავებას, სადაც, დამატების წესის მიხედვით, ვიღებთ ფორმულას a 0 ± c 0 d 0. თუ ჩავანაცვლებთ A ± C D გამოსახულებას, მაშინ მივიღებთ 0 ± c 0 d 0 ფორმის იგივე წილადს. აქედან დავასკვნათ, რომ არჩეული მნიშვნელობა, რომელიც აკმაყოფილებს ODZ, A ± C D და A D ± C D, ითვლება ტოლად.

ცვლადების ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ეს გამონათქვამები ტოლი იქნება, ანუ მათ იდენტურად ტოლი ეწოდება. ეს ნიშნავს, რომ ეს გამოთქმა მიჩნეულია A D ± C D = A ± C D ფორმის დასამტკიცებლად ტოლობად.

წილადების შეკრებისა და გამოკლების მაგალითები ცვლადებით

როდესაც ერთი და იგივე მნიშვნელებია, საჭიროა მხოლოდ მრიცხველების დამატება ან გამოკლება. ეს ფრაქცია შეიძლება გამარტივდეს. ზოგჯერ თქვენ უნდა იმუშაოთ წილადებთან, რომლებიც იდენტურია, მაგრამ ერთი შეხედვით ეს არ არის შესამჩნევი, რადგან გარკვეული გარდაქმნები უნდა შესრულდეს. მაგალითად, x 2 3 x 1 3 + 1 და x 1 3 + 1 2 ან 1 2 sin 2 α და sin a cos a. ყველაზე ხშირად, ორიგინალური გამოხატვის გამარტივებაა საჭირო, რათა დაინახოს იგივე მნიშვნელები.

მაგალითი 6

გამოთვალეთ: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

გადაწყვეტილება

1. გამოთვლების გასაკეთებლად, თქვენ უნდა გამოკლოთ წილადები, რომლებსაც აქვთ იგივე მნიშვნელები. შემდეგ მივიღებთ, რომ x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2. ამის შემდეგ შეგიძლიათ ფრჩხილების გახსნა მსგავსი პირობების შემცირებით. მივიღებთ, რომ x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. ვინაიდან მნიშვნელები ერთი და იგივეა, რჩება მხოლოდ მრიცხველების დამატება, მნიშვნელის დატოვება: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   დამატება დასრულებულია. ჩანს, რომ ფრაქცია შეიძლება შემცირდეს. მისი მრიცხველი შეიძლება დაიკეცოს ჯამის კვადრატის ფორმულის გამოყენებით, შემდეგ მივიღებთ (l g x + 2) 2 შემოკლებული გამრავლების ფორმულებიდან. მაშინ მივიღებთ ამას
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. მოცემულია x - 1 x - 1 + x x + 1 ფორმის წილადები სხვადასხვა მნიშვნელებით. ტრანსფორმაციის შემდეგ, შეგიძლიათ გააგრძელოთ დამატება.

განვიხილოთ ორმხრივი გამოსავალი.

პირველი მეთოდი არის ის, რომ პირველი წილადის მნიშვნელი ექვემდებარება ფაქტორიზაციას კვადრატების გამოყენებით და მისი შემდგომი შემცირებით. ვიღებთ ფორმის ნაწილს

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

ასე რომ x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1.

ამ შემთხვევაში აუცილებელია მნიშვნელში ირაციონალურობის მოშორება.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

მეორე გზა არის მეორე წილადის მრიცხველის და მნიშვნელის x-1-ზე გამრავლება. ამრიგად, ჩვენ ვიშორებთ ირაციონალურობას და ვაგრძელებთ იმავე მნიშვნელის მქონე წილადის დამატებას. მერე

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

პასუხი: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = ლ გ x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

ბოლო მაგალითში აღმოვაჩინეთ, რომ საერთო მნიშვნელამდე შემცირება გარდაუვალია. ამისათვის თქვენ უნდა გაამარტივოთ წილადები. დასამატებლად ან გამოკლებისთვის, თქვენ ყოველთვის უნდა მოძებნოთ საერთო მნიშვნელი, რომელიც ჰგავს მნიშვნელების ნამრავლს მრიცხველებისთვის დამატებითი ფაქტორების დამატებით.

მაგალითი 7

გამოთვალეთ წილადების მნიშვნელობები: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

გადაწყვეტილება

1. მნიშვნელი არ საჭიროებს რაიმე რთულ გამოთვლებს, ასე რომ თქვენ უნდა აირჩიოთ მათი ნამრავლი ფორმის 3 x 7 + 2 2, შემდეგ პირველ წილადზე x 7 + 2 2 არჩეულია დამატებით კოეფიციენტად, ხოლო 3 მეორეზე. გამრავლებისას მივიღებთ x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. ჩანს, რომ მნიშვნელები წარმოდგენილია როგორც პროდუქტი, რაც ნიშნავს, რომ დამატებითი გარდაქმნები არასაჭიროა. საერთო მნიშვნელი იქნება x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 ფორმის ნამრავლი. აქედან x 4 არის პირველი წილადის დამატებითი ფაქტორი და ln (x + 1) მეორემდე. შემდეგ გამოვაკლებთ და ვიღებთ:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) )
3. ეს მაგალითი აზრი აქვს წილადების მნიშვნელებთან მუშაობისას. აუცილებელია გამოვიყენოთ კვადრატებისა და ჯამის კვადრატის სხვაობის ფორმულები, რადგან ისინი შესაძლებელს გახდის გადავიდეს 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ფორმის გამოხატვაზე). ) 2 . ჩანს, რომ წილადები მცირდება საერთო მნიშვნელამდე. ჩვენ ვიღებთ, რომ cos x - x cos x + x 2.

მაშინ მივიღებთ ამას

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

პასუხი:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2.

წილადების ცვლადებთან გამრავლების მაგალითები

წილადების გამრავლებისას მრიცხველი მრავლდება მრიცხველზე და მნიშვნელი მნიშვნელზე. შემდეგ შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემცირების თვისება.

მაგალითი 8

გაამრავლე წილადები x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 და 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

გადაწყვეტილება

თქვენ უნდა გააკეთოთ გამრავლება. ჩვენ ამას მივიღებთ

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 ცოდვა (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 ცოდვა (2 x - x)

რიცხვი 3 გადადის პირველ ადგილზე გამოთვლების მოხერხებულობისთვის და თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ წილადი x 2-ით, შემდეგ მივიღებთ ფორმის გამოხატვას

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 ცოდვა (2 x - x)

პასუხი: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 ცოდვა (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 ცოდვა (2 x - x) .

განყოფილება

წილადების გაყოფა გამრავლების მსგავსია, რადგან პირველი წილადი მრავლდება მეორე ორმხრივად. თუ ავიღებთ, მაგალითად, წილადს x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 და გავყოფთ 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, მაშინ ეს შეიძლება დაიწეროს როგორც

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , შემდეგ ჩაანაცვლეთ x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + ფორმის ნამრავლით 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 ცოდვა (2 x - x)

ექსპონენტაცია

მოდით გადავიდეთ ზოგადი ფორმის წილადებთან მოქმედების განხილვაზე. თუ არსებობს ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით, მაშინ მოქმედება განიხილება, როგორც იდენტური წილადების გამრავლება. მაგრამ მიზანშეწონილია გამოიყენოთ ზოგადი მიდგომა, რომელიც დაფუძნებულია გრადუსების თვისებებზე. ნებისმიერი გამონათქვამი A და C, სადაც C არ არის ნულის იდენტურად ტოლი და ნებისმიერი რეალური r ODZ-ზე A C r ფორმის გამოხატვისთვის, ტოლობა A Cr = A r Cr არის ჭეშმარიტი. შედეგი არის წილადი გაზრდილი სიმძლავრემდე. მაგალითად, განიხილეთ:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

წილადებთან მოქმედებების თანმიმდევრობა

წილადებზე მოქმედებები ხორციელდება გარკვეული წესების მიხედვით. პრაქტიკაში, ჩვენ ვამჩნევთ, რომ გამოხატულება შეიძლება შეიცავდეს რამდენიმე წილადს ან წილადურ გამოსახულებას. შემდეგ აუცილებელია ყველა მოქმედების შესრულება მკაცრი თანმიმდევრობით: ამაღლება ხარისხზე, გამრავლება, გაყოფა, შემდეგ დამატება და გამოკლება. თუ არის ფრჩხილები, პირველი მოქმედება მათში სრულდება.

მაგალითი 9

გამოთვალეთ 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x.

გადაწყვეტილება

ვინაიდან ერთი და იგივე მნიშვნელი გვაქვს, მაშინ 1 - x cos x და 1 c o s x, მაგრამ წესის მიხედვით გამოკლება შეუძლებელია, ჯერ ფრჩხილებში მოქმედებები სრულდება, რის შემდეგაც გამრავლება, შემდეგ შეკრება. შემდეგ, გაანგარიშებისას, ჩვენ ვიღებთ ამას

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

გამონათქვამის ორიგინალში ჩანაცვლებისას მივიღებთ, რომ 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. წილადების გამრავლებისას გვაქვს: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . ყველა ჩანაცვლების შემდეგ მივიღებთ 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . ახლა თქვენ უნდა იმუშაოთ წილადებთან, რომლებსაც აქვთ სხვადასხვა მნიშვნელი. ჩვენ ვიღებთ:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

პასუხი: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ფრაქცია- რიცხვის გამოსახვის ფორმა მათემატიკაში. ხაზი მიუთითებს გაყოფის ოპერაციაზე. მრიცხველიწილადებს დივიდენდი ეწოდება და მნიშვნელი- გამყოფი. მაგალითად, წილადში მრიცხველი არის 5 და მნიშვნელი არის 7.

სწორიწილადს უწოდებენ, თუ მრიცხველის მოდული მეტია მნიშვნელის მოდულზე. თუ წილადი სწორია, მაშინ მისი მნიშვნელობის მოდული ყოველთვის 1-ზე ნაკლებია. ყველა სხვა წილადი არის არასწორი.

წილადი ეწოდება შერეულითუ იგი იწერება როგორც მთელი რიცხვი და წილადი. ეს იგივეა, რაც ამ რიცხვისა და წილადის ჯამი:

წილადის ძირითადი თვისება

თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მრავლდება ერთსა და იმავე რიცხვზე, მაშინ წილადის მნიშვნელობა არ შეიცვლება, ანუ, მაგალითად,

წილადების მიყვანა საერთო მნიშვნელთან

ორი წილადის საერთო მნიშვნელთან მოსაყვანად საჭიროა:

1. გავამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორის მნიშვნელზე
2. გაამრავლეთ მეორე წილადის მრიცხველი პირველის მნიშვნელზე
3. შეცვალეთ ორივე წილადის მნიშვნელი მათი ნამრავლით

მოქმედებები წილადებთან

დამატება.ორი წილადის დასამატებლად საჭიროა

1. დაამატეთ ორივე წილადის ახალი მრიცხველები და დატოვეთ მნიშვნელი უცვლელი

მაგალითი:

გამოკლება.ერთი წილადის მეორეს გამოკლება,

1. მიიტანეთ წილადები საერთო მნიშვნელთან
2. გამოვაკლოთ მეორე წილადის მრიცხველი პირველი წილადის მრიცხველს და დავტოვოთ მნიშვნელი უცვლელი

მაგალითი:

გამრავლება.ერთი წილადის მეორეზე გასამრავლებლად, გაამრავლეთ მათი მრიცხველები და მნიშვნელები:

განყოფილება.ერთი წილადის მეორეზე გასაყოფად, პირველი წილადის მრიცხველი გავამრავლოთ მეორის მნიშვნელზე, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი გავამრავლოთ მეორის მრიცხველზე:

ახლა, როდესაც ვისწავლეთ ცალკეული წილადების დამატება და გამრავლება, შეგვიძლია განვიხილოთ უფრო რთული სტრუქტურები. მაგალითად, რა მოხდება, თუ წილადების შეკრება, გამოკლება და გამრავლება ხდება ერთ ამოცანაში?

უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გადაიყვანოთ ყველა წილადი არასწორად. შემდეგ ჩვენ თანმიმდევრულად ვასრულებთ საჭირო მოქმედებებს - იგივე თანმიმდევრობით, როგორც ჩვეულებრივი ნომრებისთვის. კერძოდ:

1. პირველ რიგში, შესრულებულია ექსპონენტაცია - მოიშორეთ მაჩვენებლების შემცველი ყველა გამონათქვამი;
2. შემდეგ - გაყოფა და გამრავლება;
3. ბოლო ნაბიჯი არის შეკრება და გამოკლება.

რა თქმა უნდა, თუ გამონათქვამში არის ფრჩხილები, იცვლება მოქმედებების თანმიმდევრობა - პირველ რიგში უნდა განიხილებოდეს ყველაფერი, რაც ფრჩხილებშია. და გახსოვდეთ არასწორი წილადების შესახებ: თქვენ უნდა აირჩიოთ მთელი ნაწილი მხოლოდ მაშინ, როდესაც ყველა სხვა მოქმედება უკვე დასრულებულია.

მოდით გადავთარგმნოთ ყველა წილადი პირველი გამონათქვამიდან არასწორად და შემდეგ შევასრულოთ შემდეგი მოქმედებები:

ახლა ვიპოვოთ მეორე გამოხატვის მნიშვნელობა. არ არსებობს წილადები მთელი რიცხვით, მაგრამ არის ფრჩხილები, ამიტომ ჯერ ვასრულებთ შეკრებას და მხოლოდ შემდეგ გაყოფას. გაითვალისწინეთ, რომ 14 = 7 2. შემდეგ:

და ბოლოს, განიხილეთ მესამე მაგალითი. აქ არის ფრჩხილები და ხარისხი - ჯობია ცალკე დათვალოთ. იმის გათვალისწინებით, რომ 9 = 3 3, გვაქვს:

ყურადღება მიაქციეთ ბოლო მაგალითს. წილადის ხარისხამდე ასაყვანად, თქვენ ცალ-ცალკე უნდა ასწიოთ მრიცხველი ამ ხარისხზე და ცალკე მნიშვნელი.

თქვენ შეგიძლიათ სხვაგვარად გადაწყვიტოთ. თუ გავიხსენებთ ხარისხის განმარტებას, პრობლემა დაიყვანება წილადების ჩვეულებრივ გამრავლებამდე:

მრავალსართულიანი წილადები

აქამდე განვიხილავდით მხოლოდ „სუფთა“ წილადებს, როცა მრიცხველი და მნიშვნელი ჩვეულებრივი რიცხვებია. ეს შეესაბამება რიცხვითი წილადის განმარტებას, რომელიც მოცემულია პირველ გაკვეთილზე.

მაგრამ რა მოხდება, თუ უფრო რთული ობიექტი მოთავსებულია მრიცხველში ან მნიშვნელში? მაგალითად, სხვა რიცხვითი წილადი? ასეთი კონსტრუქციები საკმაოდ ხშირად ხდება, განსაკუთრებით გრძელ გამონათქვამებთან მუშაობისას. აქ არის რამდენიმე მაგალითი:

მრავალსართულიან ფრაქციებთან მუშაობის მხოლოდ ერთი წესი არსებობს: დაუყოვნებლივ უნდა მოიცილოთ ისინი. "დამატებითი" იატაკის მოხსნა საკმაოდ მარტივია, თუ გახსოვთ, რომ ფრაქციული ზოლი ნიშნავს სტანდარტული გაყოფის ოპერაციას. ამრიგად, ნებისმიერი წილადი შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

ამ ფაქტის გამოყენებით და პროცედურის დაცვით, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად შევიყვანოთ ნებისმიერი მრავალსართულიანი ფრაქცია ჩვეულებრივზე. გადახედეთ მაგალითებს:

დავალება. მრავალსართულიანი წილადების გადაქცევა ჩვეულებრივ წილადებად:

თითოეულ შემთხვევაში, ჩვენ ხელახლა ვწერთ მთავარ წილადს, ვცვლით გამყოფ ხაზს გაყოფის ნიშნით. ასევე გახსოვდეთ, რომ ნებისმიერი მთელი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით 1-ის მნიშვნელით. 12 = 12/1; 3 = 3/1. ჩვენ ვიღებთ:

ბოლო მაგალითში წილადები შემცირდა საბოლოო გამრავლებამდე.

მრავალსართულიან ფრაქციებთან მუშაობის სპეციფიკა

მრავალსართულიან წილადებში არის ერთი დახვეწილობა, რომელიც ყოველთვის უნდა დაიმახსოვროთ, წინააღმდეგ შემთხვევაში შეგიძლიათ მიიღოთ არასწორი პასუხი, მაშინაც კი, თუ ყველა გამოთვლა იყო სწორი. Შეხედე:

1. მრიცხველში არის ცალკე რიცხვი 7, ხოლო მნიშვნელში - წილადი 12/5;
2. მრიცხველი არის წილადი 7/12, ხოლო მნიშვნელი არის ერთი რიცხვი 5.

ასე რომ, ერთი ჩანაწერისთვის, მივიღეთ ორი სრულიად განსხვავებული ინტერპრეტაცია. თუ დათვლით, პასუხებიც განსხვავებული იქნება:

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ ჩანაწერი ყოველთვის ცალსახად იკითხება, გამოიყენეთ მარტივი წესი: ძირითადი წილადის გამყოფი ხაზი უნდა იყოს უფრო გრძელი ვიდრე წყობილი ხაზი. სასურველია რამდენჯერმე.

თუ თქვენ დაიცავთ ამ წესს, მაშინ ზემოაღნიშნული წილადები უნდა დაიწეროს შემდეგნაირად:

დიახ, ალბათ მახინჯია და ძალიან დიდ ადგილს იკავებს. ოღონდ სწორად დაითვალოთ. და ბოლოს, რამდენიმე მაგალითი, სადაც მრავალდონიანი წილადები მართლაც ხდება:

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობები:

ასე რომ, მოდით ვიმუშაოთ პირველ მაგალითზე. გადავიყვანოთ ყველა წილადი არასწორად და შემდეგ შევასრულოთ შეკრებისა და გაყოფის მოქმედებები:

იგივე მოვიქცეთ მეორე მაგალითზეც. გადააკეთეთ ყველა წილადი არასწორად და შეასრულეთ საჭირო ოპერაციები. მკითხველი რომ არ მოვიწყინო, რამდენიმე აშკარა გათვლებს გამოვტოვებ. Ჩვენ გვაქვს:

იმის გამო, რომ ძირითადი წილადების მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ჯამებს, მრავალსართულიანი წილადების დაწერის წესი ავტომატურად დაცულია. ასევე, ბოლო მაგალითში გაყოფის შესასრულებლად შეგნებულად დავტოვეთ რიცხვი 46/1 წილადის სახით.

აქვე აღვნიშნავ, რომ ორივე მაგალითში წილადი ზოლი ფაქტობრივად ცვლის ფრჩხილებს: პირველ რიგში ვიპოვეთ ჯამი და მხოლოდ ამის შემდეგ - კოეფიციენტი.

ვიღაც იტყვის, რომ მეორე მაგალითში არასწორ წილადებზე გადასვლა აშკარად ზედმეტი იყო. ალბათ ასეც არის. მაგრამ ამ გზით ჩვენ ვაზღვევთ თავს შეცდომებისგან, რადგან შემდეგ ჯერზე მაგალითი შეიძლება ბევრად უფრო რთული აღმოჩნდეს. აირჩიე შენთვის რაც უფრო მნიშვნელოვანია: სიჩქარე ან საიმედოობა.

ეს განყოფილება ეხება მოქმედებებს ჩვეულებრივ წილადებთან. თუ საჭიროა შერეული რიცხვებით მათემატიკური მოქმედების შესრულება, მაშინ საკმარისია შერეული წილადი გადააქციოთ არაჩვეულებრივში, შეასრულოთ საჭირო მოქმედებები და საჭიროების შემთხვევაში საბოლოო შედეგი კვლავ შერეული რიცხვის სახით წარმოადგინოთ. ეს ოპერაცია ქვემოთ იქნება აღწერილი.

ფრაქციების შემცირება

მათემატიკური ოპერაცია. ფრაქციების შემცირება

\frac(m)(n) წილადის შესამცირებლად თქვენ უნდა იპოვოთ მისი მრიცხველისა და მნიშვნელის უდიდესი საერთო გამყოფი: gcd(m,n), შემდეგ გაყავით წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი ამ რიცხვზე. თუ gcd(m,n)=1, მაშინ წილადის შემცირება შეუძლებელია. მაგალითი: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

ჩვეულებრივ, უდიდესი საერთო გამყოფის დაუყოვნებლივ პოვნა რთული ამოცანაა და პრაქტიკაში წილადი მცირდება რამდენიმე ეტაპად, ეტაპობრივად ხაზს უსვამს აშკარა საერთო ფაქტორებს მრიცხველიდან და მნიშვნელიდან. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

წილადების მიყვანა საერთო მნიშვნელთან

მათემატიკური ოპერაცია. წილადების მიყვანა საერთო მნიშვნელთან

ორი წილადის \frac(a)(b) და \frac(c)(d) საერთო მნიშვნელად შესამცირებლად, საჭიროა:

• იპოვეთ მნიშვნელების უმცირესი საერთო ჯერადი: M=LCM(b,d);
• გავამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი M/b-ზე (რის შემდეგაც წილადის მნიშვნელი ხდება M რიცხვის ტოლი);
• გავამრავლოთ მეორე წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი M/d-ზე (რის შემდეგაც წილადის მნიშვნელი ხდება M რიცხვის ტოლი).

ამგვარად, თავდაპირველ წილადებს ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადებად გარდავქმნით (რაც M რიცხვის ტოლი იქნება).

მაგალითად, წილადებს \frac(5)(6) და \frac(4)(9) აქვთ LCM(6,9) = 18. შემდეგ: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . ამრიგად, მიღებულ წილადებს აქვთ საერთო მნიშვნელი.

პრაქტიკაში, მნიშვნელების უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) პოვნა ყოველთვის არ არის ადვილი ამოცანა. ამიტომ, საერთო მნიშვნელად არჩეულია საწყისი წილადების მნიშვნელების ნამრავლის ტოლი რიცხვი. მაგალითად, წილადები \frac(5)(6) და \frac(4)(9) მცირდება საერთო მნიშვნელამდე N=6\cdot9:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

წილადების შედარება

მათემატიკური ოპერაცია. წილადების შედარება

ორი საერთო წილადის შედარება:

• შეადარეთ მიღებული წილადების მრიცხველები; უფრო დიდი მრიცხველის მქონე წილადი უფრო დიდი იქნება.

მაგალითად, \frac(9)(14)

წილადების შედარებისას რამდენიმე განსაკუთრებული შემთხვევაა:

1. ორი წილადიდან იგივე მნიშვნელებითრაც უფრო დიდია წილადი, რომლის მრიცხველიც დიდია. მაგალითად \frac(3)(15)
2. ორი წილადიდან იგივე მრიცხველებითრაც უფრო დიდია ის წილადი, რომლის მნიშვნელიც უფრო მცირეა. მაგალითად, \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
3. ის ფრაქცია, რომელიც ამავე დროს უფრო დიდი მრიცხველი და პატარა მნიშვნელი, მეტი. მაგალითად, \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

ყურადღება!წესი 1 ვრცელდება ნებისმიერ წილადზე, თუ მათი საერთო მნიშვნელი დადებითი რიცხვია. მე-2 და მე-3 წესები ვრცელდება დადებით წილადებზე (რომლებსაც აქვთ მრიცხველიც და მნიშვნელიც ნულზე მეტი).

წილადების შეკრება და გამოკლება

მათემატიკური ოპერაცია. წილადების შეკრება და გამოკლება

ორი წილადის დასამატებლად დაგჭირდებათ:

• მიიყვანოს ისინი საერთო მნიშვნელამდე;
• დაამატეთ მათი მრიცხველები და დატოვეთ მნიშვნელი უცვლელი.

მაგალითი: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49 )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

ერთის სხვა წილადის გამოკლებისთვის საჭიროა:

• წილადების მიყვანა საერთო მნიშვნელთან;
• გამოვაკლოთ მეორე წილადის მრიცხველი პირველი წილადის მრიცხველს და დავტოვოთ მნიშვნელი უცვლელი.

მაგალითი: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

თუ თავდაპირველ წილადებს თავდაპირველად აქვთ საერთო მნიშვნელი, მაშინ 1 წერტილი (შემცირება საერთო მნიშვნელამდე) გამოტოვებულია.

შერეული რიცხვის არასწორ წილადად გადაქცევა და პირიქით

მათემატიკური ოპერაცია. შერეული რიცხვის არასწორ წილადად გადაქცევა და პირიქით

შერეული წილადის არასწორად გადასაყვანად საკმარისია შერეული წილადის მთლიანი ნაწილის შეჯამება წილადთან. ასეთი ჯამის შედეგი იქნება არასწორი წილადი, რომლის მრიცხველი უდრის მთელი ნაწილის ნამრავლის ჯამს და წილადის მნიშვნელი შერეული წილადის მრიცხველთან, ხოლო მნიშვნელი იგივე რჩება. მაგალითად, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

არასწორი წილადის შერეულ რიცხვად გადაქცევა:

• წილადის მრიცხველი გავყოთ მის მნიშვნელზე;
• გაყოფის დარჩენილი ნაწილი ჩაწერეთ მრიცხველში, ხოლო მნიშვნელი იგივე დატოვეთ;
• დაწერე გაყოფის შედეგი, როგორც მთელი რიცხვი.

მაგალითად, წილადი \frac(23)(4) . 23:4=5,75-ის გაყოფისას, ანუ მთელი ნაწილი არის 5, გაყოფის დარჩენილი ნაწილია 23-5*4=3. შემდეგ შერეული რიცხვი დაიწერება: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

ათწილადის გადაქცევა ჩვეულებრივ წილადად

მათემატიკური ოპერაცია. ათწილადის გადაქცევა ჩვეულებრივ წილადად

ათწილადის საერთო წილადად გადაქცევა:

1. მნიშვნელად ავიღოთ ათის n-ე ხარისხი (აქ n არის ათობითი ადგილების რაოდენობა);
2. როგორც მრიცხველი, აიღეთ რიცხვი ათობითი წერტილის შემდეგ (თუ თავდაპირველი რიცხვის მთელი რიცხვი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ აიღეთ ყველა წინა ნულიც);
3. არანულოვანი მთელი ნაწილი თავიდანვე მრიცხველში იწერება; ნულოვანი მთელი ნაწილი გამოტოვებულია.

მაგალითი 1: 0.0089=\frac(89)(10000) (4 ათობითი ადგილი, ამიტომ მნიშვნელი 10 4 =10000, რადგან მთელი ნაწილი არის 0, მრიცხველი არის რიცხვი ათწილადის შემდეგ წინა ნულების გარეშე)

მაგალითი 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (მრიცხველში ვწერთ რიცხვს ათობითი წერტილის შემდეგ ყველა ნულით: „0109“ და შემდეგ ვამატებთ თავდაპირველი რიცხვის „31“ მთელ ნაწილს მის წინ)

თუ ათობითი წილადის მთელი რიცხვი განსხვავდება ნულისაგან, მაშინ ის შეიძლება გადაკეთდეს შერეულ წილადად. ამისათვის ჩვენ ვთარგმნით რიცხვს ჩვეულებრივ წილადად, თითქოს მთელი ნაწილი ნულის ტოლი იყოს (პუნქტები 1 და 2) და უბრალოდ გადავიწეროთ მთელი ნაწილი წილადის წინ - ეს იქნება შერეული რიცხვის მთელი რიცხვი. მაგალითი:

3.014=3\frac(14)(100)

ჩვეულებრივი წილადის ათწილადად გადაქცევისთვის საკმარისია უბრალოდ მრიცხველი გავყოთ მნიშვნელზე. ზოგჯერ იღებთ უსასრულო ათწილადს. ამ შემთხვევაში აუცილებელია დამრგვალება სასურველ ათწილადამდე. მაგალითები:

\frac(401)(5)=80.2;\quad \frac(2)(3)\დაახლოებით 0.6667

წილადების გამრავლება და გაყოფა

მათემატიკური ოპერაცია. წილადების გამრავლება და გაყოფა

ორი საერთო წილადის გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

ერთი საერთო წილადის მეორეზე გასაყოფად, პირველი წილადი უნდა გაამრავლოთ მეორის საპასუხოდ ( ორმხრივიარის წილადი, რომელშიც მრიცხველი და მნიშვნელი შებრუნებულია.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

თუ წილადებიდან ერთ-ერთი ნატურალური რიცხვია, მაშინ ზემოაღნიშნული გამრავლებისა და გაყოფის წესები ძალაში რჩება. უბრალოდ გაითვალისწინეთ, რომ მთელი რიცხვი არის იგივე წილადი, რომლის მნიშვნელი უდრის ერთს. მაგალითად: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

მოქმედებები წილადებთან. ამ სტატიაში ჩვენ გავაანალიზებთ მაგალითებს, ყველაფერი დეტალურად არის აღწერილი განმარტებებით. განვიხილავთ ჩვეულებრივ წილადებს. მომავალში ჩვენ გავაანალიზებთ ათწილადებს. გირჩევთ ნახოთ მთლიანად და თანმიმდევრულად ისწავლოთ.

1. წილადთა ჯამი, წილადთა სხვაობა.

წესი: ტოლი მნიშვნელების მქონე წილადების შეკრებისას მიღებულია წილადი - რომლის მნიშვნელი იგივე რჩება, მისი მრიცხველი კი წილადების მრიცხველთა ჯამის ტოლი იქნება.

წესი: ერთნაირი მნიშვნელების მქონე წილადების სხვაობის გამოთვლისას ვიღებთ წილადს - მნიშვნელი იგივე რჩება, მეორის მრიცხველი კი პირველი წილადის მრიცხველს აკლდება.

თანაბარი მნიშვნელების მქონე წილადების ჯამისა და სხვაობის ოფიციალური აღნიშვნა:

მაგალითები (1):

გასაგებია, რომ როდესაც ჩვეულებრივი წილადები მოცემულია, მაშინ ყველაფერი მარტივია, მაგრამ თუ ისინი შერეულია? არაფერი რთული...

ვარიანტი 1- შეგიძლიათ გადაიყვანოთ ისინი ჩვეულებრივად და შემდეგ გამოთვალოთ ისინი.

ვარიანტი 2- შეგიძლიათ ცალ-ცალკე „იმუშაოთ“ მთელი და წილადი ნაწილებით.

მაგალითები (2):

მეტი:

და თუ მოცემულია ორი შერეული წილადის სხვაობა და პირველი წილადის მრიცხველი ნაკლებია მეორის მრიცხველზე? ის ასევე შეიძლება გაკეთდეს ორი გზით.

მაგალითები (3):

* გადათარგმნა ჩვეულებრივ წილადებად, გამოთვალა სხვაობა, მიღებული არასათანადო წილადი გადააკეთა შერეულ წილადად.

* დაყავით მთელ და წილად ნაწილებად, მიიღეთ სამი, შემდეგ წარმოადგინეთ 3, როგორც 2-ისა და 1-ის ჯამი, ერთეული წარმოდგენილი იყო როგორც 11/11, შემდეგ იპოვეთ სხვაობა 11/11-სა და 7/11-ს შორის და გამოთვალეთ შედეგი. ზემოაღნიშნული გარდაქმნების მნიშვნელობა არის ერთეულის აღება (შერჩევა) და წილადის სახით წარმოდგენა ჩვენთვის საჭირო მნიშვნელით, შემდეგ ამ წილადს უკვე შეგვიძლია გამოვაკლოთ მეორე.

Სხვა მაგალითი:

დასკვნა: არსებობს უნივერსალური მიდგომა - თანაბარი მნიშვნელების მქონე შერეული წილადების ჯამის (განსხვავების) გამოსათვლელად, ისინი ყოველთვის შეიძლება გადაკეთდეს არასწორად, შემდეგ შეასრულოს საჭირო მოქმედება. ამის შემდეგ, თუ შედეგად მივიღებთ არასწორ წილადს, ვთარგმნით შერეულ წილადად.

ზემოთ, ჩვენ გადავხედეთ წილადების მაგალითებს, რომლებსაც აქვთ თანაბარი მნიშვნელები. რა მოხდება, თუ მნიშვნელები განსხვავდება? ამ შემთხვევაში წილადები მცირდება იმავე მნიშვნელზე და შესრულებულია მითითებული მოქმედება. წილადის შესაცვლელად (ტრანსფორმირებისთვის) გამოიყენება წილადის ძირითადი თვისება.

განვიხილოთ მარტივი მაგალითები:

ამ მაგალითებში ჩვენ მაშინვე ვხედავთ, თუ როგორ შეიძლება ერთი წილადის გარდაქმნა ტოლი მნიშვნელების მისაღებად.

თუ ჩვენ გამოვყოფთ წილადების ერთ მნიშვნელამდე შემცირების გზებს, მაშინ ეს დაერქმევა მეთოდი 1.

ანუ, წილადის „შეფასებისას“ დაუყოვნებლივ უნდა გაარკვიოთ იმუშავებს თუ არა ასეთი მიდგომა - ჩვენ ვამოწმებთ, იყო თუ არა უფრო დიდი მნიშვნელი პატარაზე. ხოლო თუ იყოფა, მაშინ ვასრულებთ ტრანსფორმაციას - ვამრავლებთ მრიცხველსა და მნიშვნელს ისე, რომ ორივე წილადის მნიშვნელები ტოლი გახდეს.

ახლა შეხედეთ ამ მაგალითებს:

ეს მიდგომა მათ არ ეხება. არსებობს წილადების საერთო მნიშვნელამდე შემცირების სხვა გზები, განიხილეთ ისინი.

მეთოდი SECOND.

გავამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მეორის მნიშვნელზე, ხოლო მეორე წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი პირველის მნიშვნელზე:

*ფაქტობრივად, წილადებს მივყავართ ფორმაში, როცა მნიშვნელები ტოლი გახდება. შემდეგი, ჩვენ ვიყენებთ მორცხვი ტოლი მნიშვნელებით დამატების წესს.

მაგალითი:

*ამ მეთოდს შეიძლება ვუწოდოთ უნივერსალური და ის ყოველთვის მუშაობს. ერთადერთი უარყოფითი ის არის, რომ გამოთვლების შემდეგ, შეიძლება აღმოჩნდეს ფრაქცია, რომელიც კიდევ უფრო შემცირდება.

განვიხილოთ მაგალითი:

ჩანს, რომ მრიცხველი და მნიშვნელი იყოფა 5-ზე:

მეთოდი მესამე.

იპოვეთ მნიშვნელების უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM). ეს იქნება საერთო მნიშვნელი. რა არის ეს ნომერი? ეს არის ყველაზე პატარა ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ რიცხვზე.

შეხედე, აქ არის ორი რიცხვი: 3 და 4, არის ბევრი რიცხვი, რომელიც იყოფა მათზე - ეს არის 12, 24, 36, ... მათგან ყველაზე პატარა არის 12. ან 6 და 15, 30, 60, 90 არის იყოფა მათზე .... მინიმუმ 30. კითხვა - როგორ განვსაზღვროთ ეს უმცირესი საერთო ჯერადი?

არსებობს მკაფიო ალგორითმი, მაგრამ ხშირად ეს შეიძლება გაკეთდეს დაუყოვნებლივ, გათვლების გარეშე. მაგალითად, ზემოთ მოყვანილი მაგალითების მიხედვით (3 და 4, 6 და 15) ალგორითმი არ არის საჭირო, ავიღეთ დიდი რიცხვები (4 და 15), გავაორმაგეთ და დავინახეთ, რომ ისინი იყოფა მეორე რიცხვზე, მაგრამ რიცხვების წყვილი. შეიძლება იყოს სხვები, როგორიცაა 51 და 119.

ალგორითმი. რამდენიმე რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის დასადგენად, თქვენ უნდა:

- დაშალეთ თითოეული რიცხვი მარტივ ფაქტორებად

- ჩაწერეთ მათგან უფრო დიდის დაშლა

- გაამრავლეთ იგი სხვა რიცხვების გამოტოვებულ ფაქტორებზე

განვიხილოთ მაგალითები:

50 და 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

უფრო დიდი რიცხვის გაფართოებისას ერთი ხუთი აკლია

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 და 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

უფრო დიდი რიცხვის გაფართოებისას ორი და სამი აკლია

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* ორი მარტივი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი მათი ნამრავლის ტოლია

Კითხვა! და რატომ არის სასარგებლო უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა, რადგან შეგიძლიათ გამოიყენოთ მეორე მეთოდი და უბრალოდ შეამციროთ მიღებული წილადი? დიახ, შეგიძლიათ, მაგრამ ეს ყოველთვის არ არის მოსახერხებელი. ნახეთ რა იქნება მნიშვნელი 48 და 72 რიცხვებისთვის, თუ მათ უბრალოდ გაამრავლებთ 48∙72 = 3456. დამეთანხმებით, რომ უფრო სასიამოვნოა უფრო მცირე რიცხვებთან მუშაობა.

განვიხილოთ მაგალითები:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

უფრო დიდი რიცხვის გაფართოებისას სამმაგი აკლია

=> LCM(51,119) = 3∙7∙17

და ახლა ჩვენ ვიყენებთ პირველ მეთოდს:

* შეხედეთ განსხვავებას გამოთვლებში, პირველ შემთხვევაში არის მათი მინიმუმი, ხოლო მეორეში ცალკე უნდა იმუშაოთ ფურცელზე და ის წილადიც კი, რომელიც მიიღეთ, უნდა შემცირდეს. LCM-ის პოვნა მნიშვნელოვნად ამარტივებს მუშაობას.

მეტი მაგალითები:

* მეორე მაგალითში უკვე ცხადია, რომ უმცირესი რიცხვი, რომელიც იყოფა 40-ზე და 60-ზე, არის 120.

სულ! ზოგადი გაანგარიშების ალგორითმი!

- წილადებს ვატანთ ჩვეულებრივებს, თუ არის მთელი რიცხვი.

- წილადებს მივყავართ საერთო მნიშვნელთან (ჯერ ვნახოთ, იყოფა თუ არა ერთი მნიშვნელი მეორეზე, იყო თუ არა, მაშინ ვამრავლებთ ამ მეორე წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს; თუ ის არ იყოფა, ვიმოქმედებთ მნიშვნელობით. ზემოთ მითითებული სხვა მეთოდები).

- თანაბარი მნიშვნელების მქონე წილადების მიღების შემდეგ, ჩვენ ვასრულებთ მოქმედებებს (შეკრება, გამოკლება).

- საჭიროების შემთხვევაში, შედეგს ვამცირებთ.

- საჭიროების შემთხვევაში, აირჩიეთ მთელი ნაწილი.

2. წილადების ნამრავლი.

წესი მარტივია. წილადების გამრავლებისას მათი მრიცხველები და მნიშვნელები მრავლდება:

მაგალითები: