მრიცხველი

მეოთხედი

1. მოწესრიგებულობა. ადა ბარსებობს წესი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ ცალსახად ამოიცნოთ მათ შორის სამი და მხოლოდ ერთი ურთიერთობა: ”< », « >'ან ' = '. ამ წესს ე.წ შეკვეთის წესიდა ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: ორი არაუარყოფითი რიცხვი და დაკავშირებულია იგივე მიმართებით, როგორც ორი მთელი რიცხვი და ; ორი არადადებითი რიცხვი ადა ბდაკავშირებულია იგივე მიმართებით, როგორც ორი არაუარყოფითი რიცხვი და ; თუ მოულოდნელად აარაუარყოფითი და ბ- მაშინ უარყოფითი ა > ბ. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   წილადების ჯამი

2. დამატების ოპერაცია.ნებისმიერი რაციონალური რიცხვისთვის ადა ბარსებობს ე.წ შეჯამების წესი გ. თუმცა, თავად ნომერი გდაურეკა ჯამინომრები ადა ბდა აღინიშნება და ასეთი რიცხვის პოვნის პროცესი ეწოდება შეჯამება. შეჯამების წესს აქვს შემდეგი ფორმა: .
3. გამრავლების ოპერაცია.ნებისმიერი რაციონალური რიცხვისთვის ადა ბარსებობს ე.წ გამრავლების წესი, რაც მათ შესაბამისობაში აყენებს რაღაც რაციონალურ რიცხვთან გ. თუმცა, თავად ნომერი გდაურეკა მუშაობანომრები ადა ბდა აღინიშნება და ასეთი რიცხვის პოვნის პროცესსაც უწოდებენ გამრავლება. გამრავლების წესი ასეთია: .
4. წესრიგის მიმართების გარდამავლობა.რაციონალური რიცხვების ნებისმიერი სამმაგი ა , ბდა გთუ აუფრო პატარა ბდა ბუფრო პატარა გ, მაშინ აუფრო პატარა გ, და თუ აუდრის ბდა ბუდრის გ, მაშინ აუდრის გ. 6435">მიმატების ურთიერთშენაცვლება. რაციონალური ტერმინების ადგილების შეცვლით ჯამი არ იცვლება.
5. დამატების ასოციაციურობა.სამი რაციონალური რიცხვის მიმატების თანმიმდევრობა არ მოქმედებს შედეგზე.
6. ნულის არსებობა.არის რაციონალური რიცხვი 0, რომელიც შეჯამებისას ინარჩუნებს ყველა სხვა რაციონალურ რიცხვს.
7. საპირისპირო რიცხვების არსებობა.ნებისმიერ რაციონალურ რიცხვს აქვს საპირისპირო რაციონალური რიცხვი, რომელიც შეჯამებისას იძლევა 0-ს.
8. გამრავლების კომუტატიულობა.რაციონალური ფაქტორების ადგილების შეცვლით პროდუქტი არ იცვლება.
9. გამრავლების ასოციაციურობა.სამი რაციონალური რიცხვის გამრავლების თანმიმდევრობა არ მოქმედებს შედეგზე.
10. ერთეულის არსებობა.არის რაციონალური რიცხვი 1, რომელიც გამრავლებისას ინარჩუნებს ყველა სხვა რაციონალურ რიცხვს.
11. ორმხრივების არსებობა.ნებისმიერ რაციონალურ რიცხვს აქვს შებრუნებული რაციონალური რიცხვი, რომელიც გამრავლებისას იძლევა 1-ს.
12. შეკრების მიმართ გამრავლების განაწილება.გამრავლების ოპერაცია შეესაბამება შეკრების ოპერაციას განაწილების კანონით:
13. შეკვეთის მიმართების კავშირი მიმატების ოპერაციასთან.იგივე რაციონალური რიცხვი შეიძლება დაემატოს რაციონალური უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეს. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. არქიმედეს აქსიომა.რაც არ უნდა იყოს რაციონალური რიცხვი ა, შეგიძლიათ აიღოთ იმდენი ერთეული, რომ მათი ჯამი გადააჭარბოს ა. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

დამატებითი თვისებები

რაციონალური რიცხვების თანდაყოლილი ყველა სხვა თვისება არ არის გამოყოფილი, როგორც ძირითადი, რადგან, ზოგადად, ისინი აღარ არის დაფუძნებული პირდაპირ მთელი რიცხვების თვისებებზე, მაგრამ შეიძლება დადასტურდეს მოცემული ძირითადი თვისებების საფუძველზე ან პირდაპირ განსაზღვრებით. რაღაც მათემატიკური ობიექტი. უამრავი ასეთი დამატებითი თვისებაა. აქ აზრი აქვს მხოლოდ რამდენიმე მათგანის მოყვანას.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

თვლადობის დაყენება

რაციონალური რიცხვების ნუმერაცია

რაციონალური რიცხვების რაოდენობის შესაფასებლად, თქვენ უნდა იპოვოთ მათი ნაკრების კარდინალურობა. ადვილი დასამტკიცებელია, რომ რაციონალური რიცხვების სიმრავლე თვლადია. ამისათვის საკმარისია მივცეთ ალგორითმი, რომელიც ჩამოთვლის რაციონალურ რიცხვებს, ანუ ადგენს ბიექციას რაციონალურ და ნატურალურ რიცხვებს შორის.

ამ ალგორითმებიდან ყველაზე მარტივი შემდეგია. შედგენილია ჩვეულებრივი წილადების უსასრულო ცხრილი, თითოეულზე მე-მეე ხაზი თითოეულში ჯრომლის სვეტი არის წილადი. დაზუსტებისთვის, ვარაუდობენ, რომ ამ ცხრილის რიგები და სვეტები დანომრილია ერთიდან. ცხრილის უჯრედები აღინიშნება, სადაც მე- ცხრილის რიგის ნომერი, რომელშიც მდებარეობს უჯრედი და ჯ- სვეტის ნომერი.

მიღებულ ცხრილს მართავს „გველი“ შემდეგი ფორმალური ალგორითმის მიხედვით.

ეს წესები იძებნება ზემოდან ქვემოდან და შემდეგი პოზიცია ირჩევა პირველი მატჩით.

ასეთი შემოვლითი პროცესის დროს ყოველი ახალი რაციონალური რიცხვი ენიჭება შემდეგ ნატურალურ რიცხვს. ანუ წილადებს 1/1 ენიჭებათ რიცხვი 1, წილადებს 2/1 - რიცხვი 2 და ა.შ. უნდა აღინიშნოს, რომ დანომრილია მხოლოდ შეუქცევადი წილადები. შეუქცევადობის ფორმალური ნიშანი არის წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის უდიდესი საერთო გამყოფის ტოლობა ერთიანობაში.

ამ ალგორითმის მიხედვით, შეიძლება ყველა დადებითი რაციონალური რიცხვის ჩამოთვლა. ეს ნიშნავს, რომ დადებითი რაციონალური რიცხვების სიმრავლე თვლადია. დადებითი და უარყოფითი რაციონალური რიცხვების სიმრავლეს შორის ბიექციის დადგენა მარტივია, უბრალოდ თითოეულ რაციონალურ რიცხვს მისი საპირისპირო მინიჭებით. რომ. უარყოფითი რაციონალური რიცხვების სიმრავლეც თვლადია. მათი გაერთიანება ასევე დასათვლელია თვლადი სიმრავლეების თვისებით. რაციონალური რიცხვების სიმრავლე ასევე დასათვლელია, როგორც თვლადი სიმრავლის კავშირი სასრულთან.

რაციონალური რიცხვების სიმრავლის თვლადობის შესახებ განცხადებამ შეიძლება გარკვეული გაკვირვება გამოიწვიოს, რადგან ერთი შეხედვით იქმნება შთაბეჭდილება, რომ ის ბევრად აღემატება ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეს. სინამდვილეში ეს ასე არ არის და საკმარისია ნატურალური რიცხვები ყველა რაციონალურის დასათვლელად.

რაციონალური რიცხვების უკმარისობა

ასეთი სამკუთხედის ჰიპოტენუზა არ არის გამოხატული რაიმე რაციონალური რიცხვით

ფორმის რაციონალური რიცხვები 1 / ნდიდად ნთვითნებურად მცირე რაოდენობით შეიძლება გაიზომოს. ეს ფაქტი ქმნის მატყუარა შთაბეჭდილებას, რომ რაციონალურ რიცხვებს შეუძლიათ გაზომონ ნებისმიერი გეომეტრიული მანძილი ზოგადად. ადვილია იმის ჩვენება, რომ ეს სიმართლეს არ შეესაბამება.

პითაგორას თეორემიდან ცნობილია, რომ მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა გამოიხატება როგორც მისი ფეხების კვადრატების ჯამის კვადრატული ფესვი. რომ. ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზის სიგრძე ერთეული ფეხით უდრის, ანუ რიცხვს, რომლის კვადრატი არის 2.

თუ ჩავთვლით, რომ რიცხვი წარმოდგენილია რაიმე რაციონალური რიცხვით, მაშინ არის ასეთი მთელი რიცხვი მდა ასეთი ნატურალური რიცხვი ნ, რომელიც, უფრო მეტიც, წილადი შეუქცევადია, ანუ რიცხვები მდა ნარიან კოპრაიმები.

ჩვენ მთელი ცხოვრების განმავლობაში ვიყენებთ წილადებს. მაგალითად, როცა მეგობრებთან ერთად ნამცხვარს ვჭამთ. ტორტი შეიძლება დაიყოს 8 თანაბარ ნაწილად ან 8 აქციები. გაზიარებაარის რაღაც მთლიანის თანაბარი ნაწილი. ოთხმა მეგობარმა თითო ნამცხვარი შეჭამა. რვა ნაწილიდან ოთხი ამორჩეული შეიძლება ჩაიწეროს მათემატიკურად როგორც საერთო წილადი\(\frac(4)(8)\), წილადი იკითხება "ოთხი მერვედული" ან "ოთხი გაყოფილი რვაზე". საერთო წილადსაც უწოდებენ მარტივი წილადი.

წილადი ზოლი ცვლის გაყოფას:
\(4 \div 8 = \frac(4)(8)\)
წილები დავწერეთ წილადებით. პირდაპირი ფორმით ეს ასე იქნება:
\(\bf m \div n = \frac(m)(n)\)

4 – მრიცხველიან გასაყოფი, არის წილადი ზოლის ზემოთ და გვიჩვენებს, რამდენი ნაწილი ან წილი იქნა აღებული ჯამიდან.
8 – მნიშვნელიან გამყოფი, რომელიც მდებარეობს წილადი ზოლის ქვემოთ და აჩვენებს ნაწილების ან წილების მთლიან რაოდენობას.

თუ კარგად დავაკვირდებით, დავინახავთ, რომ მეგობრებმა ნამცხვრის ნახევარი, ანუ ორიდან ერთი ნაწილი შეჭამეს. ვწერთ ჩვეულებრივი წილადის სახით \(\frac(1)(2)\), ის იკითხება "ერთი წამი".

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი:
არის მოედანი. კვადრატი დაყოფილია 5 თანაბარ ნაწილად. დახატულია ორ ნაწილად. დაწერეთ წილადი დაჩრდილული ნაწილებისთვის? ჩაწერეთ წილადი დაუჩრდილავი ნაწილებისთვის?

ორი ნაწილი შეღებილია და სულ ხუთი ნაწილია, ასე რომ, წილადი გამოიყურება როგორც \(\frac(2)(5)\), იკითხება წილადი "ორი მეხუთედი".
სამი ნაწილი არ იყო მოხატული, სულ ხუთი ნაწილია, ამიტომ წილადს ასე ვწერთ \(\frac(3)(5)\), იკითხება წილადი „სამი მეხუთედი“.

დაყავით კვადრატი პატარა კვადრატებად და ჩაწერეთ წილადები დაჩრდილული და დაუჩრდილავი ნაწილებისთვის.

დაჩრდილულია 6 ნაწილი და მხოლოდ 25 ნაწილი. ვიღებთ წილადს \(\frac(6)(25)\) , წილადი „ექვსი ოცდამეხუთედი“ იკითხება.
არ არის დაჩრდილული 19 ნაწილი, მაგრამ მხოლოდ 25 ნაწილი. ვიღებთ წილადს \(\frac(19)(25)\), იკითხება წილადი "ცხრამეტი ოცდამეხუთედი".

დაჩრდილულია 4 ნაწილი და მხოლოდ 25 ნაწილი. ვიღებთ წილადს \(\frac(4)(25)\), იკითხება წილადი „ოთხი ოცდამეხუთედი“.
არ არის დაჩრდილული 21 ნაწილი, მაგრამ მხოლოდ 25 ნაწილი. ვიღებთ წილადს \(\frac(21)(25)\), იკითხება წილადი „ოცდაერთი ოცდამეხუთედი“.

ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი შეიძლება გამოისახოს წილადად. Მაგალითად:

\(5 = \frac(5)(1)\)
\(\bf m = \frac(m)(1)\)

ნებისმიერი რიცხვი იყოფა ერთზე, ამიტომ ეს რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად.

კითხვები თემაზე "ჩვეულებრივი წილადები":
რა არის წილი?
პასუხი: გაზიარებაარის რაღაც მთლიანის თანაბარი ნაწილი.

რას აჩვენებს მნიშვნელი?
პასუხი: მნიშვნელი გვიჩვენებს, რამდენი ნაწილი ან წილი იყოფა.

რას აჩვენებს მრიცხველი?
პასუხი: მრიცხველი გვიჩვენებს, რამდენი ნაწილი ან წილი იქნა აღებული.

გზა 100 მეტრი იყო. მიშამ 31 მეტრი გაიარა. წილადად ჩაწერეთ გამოთქმა, რამდენ ხანს წავიდა მიშა?
პასუხი:\(\frac(31)(100)\)

რა არის საერთო წილადი?
პასუხი: საერთო წილადია მრიცხველის შეფარდება მნიშვნელთან, სადაც მრიცხველი მნიშვნელზე ნაკლებია. მაგალითი, საერთო წილადები \(\frac(1)(4), \frac(3)(7), \frac(5)(13), \frac(9)(11)…\)

როგორ გადავიყვანოთ ნატურალური რიცხვი საერთო წილადად?
პასუხი: ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება დაიწეროს წილადად, მაგალითად, \(5 = \frac(5)(1)\)

დავალება #1:
ვიყიდე 2 კგ 700 გრ ნესვი. მიშას \(\frac(2)(9)\) ნესვი მოაჭრეს. რა არის მოჭრილი ნაჭრის მასა? რამდენი გრამი ნესვი დარჩა?

გადაწყვეტილება:
გადააკეთეთ კილოგრამები გრამებად.
2 კგ = 2000 გ
2000გრ + 700გრ = 2700გრ ნესვის მთლიანი წონა.

მიშას \(\frac(2)(9)\) ნესვი მოაჭრეს. მნიშვნელი არის 9, რაც ნიშნავს, რომ ნესვი იყოფა 9 ნაწილად.
2700: 9 = 300 გ წონა ერთი ცალი.
მრიცხველი არის ნომერი 2, ამიტომ მიშამ უნდა მისცეს ორი ცალი.
300 + 300 = 600 გრ ან 300 ⋅ 2 = 600 გრ არის რამდენი ნესვი შეჭამა მიშამ.

იმის გასარკვევად, თუ რა მასა ნესვის დარჩა, უნდა გამოაკლოთ შეჭამილი მასა ნესვის მთლიან მასას.
2700 - 600 = 2100 გრ ნესვი დარჩა.

ფრაქცია- რიცხვის გამოსახვის ფორმა მათემატიკაში. ხაზი მიუთითებს გაყოფის ოპერაციაზე. მრიცხველიწილადებს დივიდენდი ეწოდება და მნიშვნელი- გამყოფი. მაგალითად, წილადში მრიცხველი არის 5 და მნიშვნელი არის 7.

სწორიწილადს უწოდებენ, თუ მრიცხველის მოდული მეტია მნიშვნელის მოდულზე. თუ წილადი სწორია, მაშინ მისი მნიშვნელობის მოდული ყოველთვის 1-ზე ნაკლებია. ყველა სხვა წილადი არის არასწორი.

წილადი ეწოდება შერეულითუ იგი იწერება როგორც მთელი რიცხვი და წილადი. ეს იგივეა, რაც ამ რიცხვისა და წილადის ჯამი:

წილადის ძირითადი თვისება

თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მრავლდება ერთ რიცხვზე, მაშინ წილადის მნიშვნელობა არ შეიცვლება, ანუ, მაგალითად,

წილადების მიყვანა საერთო მნიშვნელთან

ორი წილადის საერთო მნიშვნელთან მოსაყვანად საჭიროა:

1. გავამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორის მნიშვნელზე
2. გაამრავლეთ მეორე წილადის მრიცხველი პირველის მნიშვნელზე
3. შეცვალეთ ორივე წილადის მნიშვნელი მათი ნამრავლით

მოქმედებები წილადებთან

დამატება.ორი წილადის დასამატებლად საჭიროა

1. დაამატეთ ორივე წილადის ახალი მრიცხველები და დატოვეთ მნიშვნელი უცვლელი

მაგალითი:

გამოკლება.ერთი წილადის მეორეს გამოკლება,

1. მიიტანეთ წილადები საერთო მნიშვნელთან
2. გამოვაკლოთ მეორე წილადის მრიცხველი პირველი წილადის მრიცხველს და დავტოვოთ მნიშვნელი უცვლელი

მაგალითი:

გამრავლება.ერთი წილადის მეორეზე გასამრავლებლად, გაამრავლეთ მათი მრიცხველები და მნიშვნელები:

განყოფილება.ერთი წილადის მეორეზე გასაყოფად, პირველი წილადის მრიცხველი გავამრავლოთ მეორის მნიშვნელზე, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი გავამრავლოთ მეორის მრიცხველზე:

წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი. წილადების სახეები. გავაგრძელოთ წილადები. პირველი, მცირე გაფრთხილება - ჩვენ, წილადებისა და მათთან შესაბამისი მაგალითების გათვალისწინებით, ჯერჯერობით ვიმუშავებთ მხოლოდ მისი რიცხვითი წარმოდგენით. ასევე არის წილადი სიტყვიერი გამოთქმები (ნომრებით და მის გარეშე).თუმცა ყველა „პრინციპი“ და წესი მათზეც ვრცელდება, მაგრამ ასეთ გამოთქმებზე მომავალში ცალკე ვისაუბრებთ. წილადების თემის ეტაპობრივ მონახულებას და შესწავლას (გახსენებას) გირჩევთ.

მთავარია გავიგოთ, გახსოვდეთ და გავაცნობიეროთ, რომ წილადი არის რიცხვი!!!

საერთო წილადიარის ფორმის რიგი:

"ზედა" მდებარე რიცხვს (ამ შემთხვევაში m) მრიცხველი ეწოდება, ქვემოთ მდებარე რიცხვს (ნომერი n) - მნიშვნელი. ისინი, ვინც ახლახან შეეხო თემას, ხშირად იბნევიან - რა ჰქვია.

აქ არის ხრიკი, როგორ დაიმახსოვროთ სამუდამოდ - სად არის მრიცხველი და სად არის მნიშვნელი. ეს ტექნიკა ასოცირდება ვერბალურ-ფიგურულ ასოციაციასთან. წარმოიდგინეთ მოღრუბლული წყლის ქილა. ცნობილია, რომ როცა წყალი დნება, ზემოდან რჩება სუფთა წყალი, ხოლო სიმღვრივე (ჭუჭყიანი) დნება, გახსოვდეთ:

CHISSS დნობის წყალი ABOVE (CHISSS დამსხმელი თავზე)

ტალახი ZZZNNN th წყლის ფსკერი (ZZZNN ამენატორი ქვემოთ)

ასე რომ, როგორც კი საჭირო გახდება გავიხსენოთ სად არის მრიცხველი და სად არის მნიშვნელი, მაშინვე ვიზუალურად წარმოადგინეს დასახლებული წყლის ქილა, რომელშიც ზემოდან არის სუფთა წყალი, ხოლო ძირში ბინძური წყალი. დასამახსოვრებელი სხვა ხრიკებია, თუ ისინი დაგეხმარებიან, მაშინ კარგია.

ჩვეულებრივი წილადების მაგალითები:

რას ნიშნავს ჰორიზონტალური ხაზი რიცხვებს შორის? ეს სხვა არაფერია, თუ არა გაყოფის ნიშანი. გამოდის, რომ წილადი შეიძლება მივიჩნიოთ მაგალითად გაყოფის მოქმედებით. ეს მოქმედება უბრალოდ ჩაწერილია ამ ფორმით. ანუ ზედა რიცხვი (მრიცხველი) იყოფა ქვედა რიცხვზე (მნიშვნელი):

გარდა ამისა, არსებობს ჩაწერის კიდევ ერთი ფორმა - წილადი შეიძლება ჩაიწეროს ასე (დაჭრილის საშუალებით):

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 და ასე შემდეგ...

ზემოთ მოყვანილი წილადები შეგვიძლია დავწეროთ შემდეგნაირად:

გაყოფის შედეგი, მოგეხსენებათ, არის რიცხვი.

დაზუსტებულია - წილადი ეს რიცხვი !!!

როგორც უკვე შენიშნეთ, ჩვეულებრივ წილადში მრიცხველი შეიძლება იყოს მნიშვნელზე ნაკლები, მნიშვნელზე დიდი და მისი ტოლი იყოს. არსებობს ბევრი მნიშვნელოვანი პუნქტი, რომელიც გასაგებია ინტუიციურად, ყოველგვარი თეორიული ნაკლის გარეშე. Მაგალითად:

1. წილადები 1 და 3 შეიძლება ჩაიწეროს 0,5 და 0,01. მოდით ვირბინოთ ცოტა წინ - ეს არის ათობითი წილადები, მათზე ვისაუბრებთ ცოტა უფრო დაბალი.

2. 4 და 6 წილადები მიიღება მთელი რიცხვი 45:9=5, 11:1 = 11.

3. წილადი 5 შედეგად იძლევა ერთეულს 155:155 = 1.

რა დასკვნები გვთავაზობს თავისთავად? Შემდეგი:

1. მრიცხველს მნიშვნელზე გაყოფისას შეუძლია სასრული რიცხვის მიცემა. შეიძლება არ იმუშაოს, გაყავით სვეტი 7-ზე 13-ზე ან 17-ზე 11-ზე - არავითარ შემთხვევაში! თქვენ შეგიძლიათ გაყოთ განუსაზღვრელი ვადით, მაგრამ ჩვენ ასევე ვისაუბრებთ ამაზე ოდნავ დაბლა.

2. წილადმა შეიძლება გამოიწვიოს მთელი რიცხვი. მაშასადამე, ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ნებისმიერი მთელი რიცხვი, როგორც წილადი, უფრო სწორად, წილადების უსასრულო სერია, შეხედეთ, ყველა ეს წილადი უდრის 2-ს:

მეტი! ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია დავწეროთ ნებისმიერი მთელი რიცხვი წილადად - ეს რიცხვი თავისთავად არის მრიცხველში, ერთი - მნიშვნელში:

3. ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ერთეული წილადის სახით ნებისმიერი მნიშვნელით:

*აღნიშნული პუნქტები ძალზე მნიშვნელოვანია გამოთვლებსა და კონვერტაციებში წილადებთან მუშაობისთვის.

წილადების სახეები.

ახლა კი ჩვეულებრივი წილადების თეორიული დაყოფის შესახებ. ისინი იყოფა სწორი და არასწორი.

წილადს, რომლის მრიცხველიც მნიშვნელზე ნაკლებია, სათანადო წილადი ეწოდება. მაგალითები:

წილადს, რომლის მრიცხველი მნიშვნელზე მეტი ან ტოლია, არასწორი წილადი ეწოდება. მაგალითები:

შერეული ფრაქცია(შერეული რიცხვი).

შერეული წილადი არის წილადი, რომელიც იწერება როგორც მთელი რიცხვი და სათანადო წილადი და გაგებულია, როგორც ამ რიცხვისა და მისი წილადი ნაწილის ჯამი. მაგალითები:

შერეული წილადი ყოველთვის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს არასწორ წილადად და პირიქით. მოდით წავიდეთ უფრო შორს!

ათწილადები.

ჩვენ მათ ზემოთ უკვე შევეხეთ, ეს არის მაგალითები (1) და (3), ახლა უფრო დეტალურად. აქ მოცემულია ათწილადების მაგალითები: 0.3 0.89 0.001 5.345.

წილადს, რომლის მნიშვნელი არის 10-ის ხარისხები, როგორიცაა 10, 100, 1000 და ასე შემდეგ, ათწილადი ეწოდება. პირველი სამი მითითებული წილადის ჩვეულებრივ წილადებად დაწერა არ არის რთული:

მეოთხე არის შერეული წილადი (შერეული რიცხვი):

ათობითი წილადს აქვს შემდეგი აღნიშვნა - ერთადდაიწყო მთელი ნაწილი, შემდეგ მთელი და წილადი ნაწილების გამყოფი იყო წერტილი ან მძიმე და შემდეგ წილადი ნაწილი, წილადი ნაწილის ციფრების რაოდენობა მკაცრად განისაზღვრება წილადი ნაწილის განზომილებით: თუ ეს მეათედია, წილადი ნაწილი იწერება როგორც ერთი ციფრი; თუ მეათასედი - სამი; ათიათასედი - ოთხი და ა.შ.

ეს წილადები არის სასრული და უსასრულო.

ბოლო ათობითი მაგალითები: 0.234; 0,87; 34.00005; 5.765.

მაგალითები უსასრულოა. მაგალითად, რიცხვი Pi არის უსასრულო ათობითი წილადი, მაგრამ - 0,333333333333…... 0,16666666666…. და სხვა. ასევე 3, 5, 7 და ა.შ რიცხვებიდან ფესვის ამოღების შედეგი. იქნება უსასრულო წილადი.

წილადი ნაწილი შეიძლება იყოს ციკლური (მასში არის ციკლი), ზემოთ მოცემული ორი მაგალითი ზუსტად იგივეა, მეტი მაგალითი:

0.123123123123...... ციკლი 123

0.781781781718...... ციკლი 781

0.0250102501…. ციკლი 02501

ისინი შეიძლება დაიწეროს როგორც 0, (123) 0, (781) 0, (02501).

რიცხვი Pi არ არის ციკლური წილადი, მაგალითად, სამის ფესვი.

ქვემოთ მოცემულ მაგალითებში ჟღერს სიტყვები, როგორიცაა წილადის „გადაბრუნება“ - ეს ნიშნავს, რომ მრიცხველი და მნიშვნელი ერთმანეთს ენაცვლება. სინამდვილეში, ასეთ წილადს აქვს სახელი - საპასუხო წილადი. საპასუხო წილადების მაგალითები:

მცირე რეზიუმე! ფრაქციები არის:

ჩვეულებრივი (სწორი და არასწორი).

ათწილადები (სასრული და უსასრულო).

შერეული (შერეული რიცხვები).

Სულ ეს არის!

პატივისცემით, ალექსანდრე.

ამ თემის განხილვას დავიწყებთ მთლიანობაში წილადის ცნების შესწავლით, რაც მოგვცემს უფრო სრულყოფილ გაგებას ჩვეულებრივი წილადის მნიშვნელობის შესახებ. მივცეთ ძირითადი ტერმინები და მათი განმარტება, შევისწავლოთ თემა გეომეტრიული ინტერპრეტაციით, ე.ი. კოორდინატთა ხაზზე და ასევე განსაზღვრეთ ძირითადი მოქმედებების სია წილადებით.

Yandex.RTB R-A-339285-1

მთელის აქციები

წარმოიდგინეთ ობიექტი, რომელიც შედგება რამდენიმე, სრულიად თანაბარი ნაწილისგან. მაგალითად, ეს შეიძლება იყოს ფორთოხალი, რომელიც შედგება რამდენიმე იდენტური ნაჭრისგან.

განმარტება 1

მთელის წილი ან წილიარის თითოეული თანაბარი ნაწილი, რომელიც ქმნის მთელ ობიექტს.

ცხადია, აქციები შეიძლება განსხვავებული იყოს. ამ განცხადების ნათლად ასახსნელად, წარმოიდგინეთ ორი ვაშლი, რომელთაგან ერთი გაჭრილია ორ თანაბარ ნაწილად, ხოლო მეორე ოთხად. ნათელია, რომ სხვადასხვა ვაშლისთვის მიღებული წილების ზომა განსხვავდება.

აქციებს აქვთ საკუთარი სახელები, რომლებიც დამოკიდებულია აქციების რაოდენობაზე, რომლებიც ქმნიან მთელ საგანს. თუ ნივთს აქვს ორი ნაწილი, მაშინ თითოეული მათგანი განიმარტება, როგორც ამ ელემენტის ერთი მეორე ნაწილი; როდესაც ობიექტი სამი ნაწილისგან შედგება, მაშინ თითოეული მათგანი ერთი მესამედია და ა.შ.

განმარტება 2

ნახევარი- საგნის მეორე ნაწილი.

მესამე- საგნის მესამედი.

კვარტალი- საგნის მეოთხედი.

ჩანაწერის შესამცირებლად შემოიღეს აქციების შემდეგი აღნიშვნა: ნახევარი - 1 2 ან 1/2; მესამე - 1 3 ან 1/3; ერთი მეოთხე წილი 1 4 ან 1/4 და ასე შემდეგ. ჰორიზონტალური ზოლის მქონე ჩანაწერები უფრო ხშირად გამოიყენება.

წილის კონცეფცია ბუნებრივად ვრცელდება ობიექტებიდან სიდიდეებამდე. ამრიგად, თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ მეტრის წილადები (ერთი მესამედი ან მეასედი) პატარა ობიექტების გასაზომად, როგორც სიგრძის ერთეული. სხვა რაოდენობების აქციები შეიძლება გამოყენებულ იქნას ანალოგიურად.

საერთო წილადები, განმარტებები და მაგალითები

ჩვეულებრივი წილადები გამოიყენება აქციების რაოდენობის აღსაწერად. განვიხილოთ მარტივი მაგალითი, რომელიც დაგვაახლოებს ჩვეულებრივი წილადის განმარტებასთან.

წარმოიდგინეთ ფორთოხალი, რომელიც შედგება 12 ნაჭრისგან. ყოველი აქცია იქნება - მეთორმეტე ან 1/12. ორი წილი - 2/12; სამი აქცია - 3/12 და ა.შ. 12-ვე ნაწილი ან მთელი რიცხვი ასე გამოიყურება: 12 / 12 . მაგალითში გამოყენებული თითოეული ჩანაწერი არის საერთო წილადის მაგალითი.

განმარტება 3

საერთო წილადიარის ფორმის ჩანაწერი m n ან m / n , სადაც m და n ნებისმიერი ნატურალური რიცხვია.

ამ განმარტების მიხედვით, ჩვეულებრივი წილადების მაგალითები შეიძლება იყოს ჩანაწერები: 4/9, 1134, 91754. და ეს ჩანაწერები: 11 5 , 1 , 9 4 , 3 არ არის ჩვეულებრივი წილადები.

მრიცხველი და მნიშვნელი

განმარტება 4

მრიცხველისაერთო წილადი m n ან m/n არის ბუნებრივი რიცხვი m.

მნიშვნელისაერთო წილადი m n ან m/n არის ბუნებრივი რიცხვი n.

იმათ. მრიცხველი არის რიცხვი ჩვეულებრივი წილადის ზოლის ზემოთ (ან დახრილის მარცხნივ), ხოლო მნიშვნელი არის რიცხვი ზოლის ქვემოთ (ხაზის მარჯვნივ).

რას ნიშნავს მრიცხველი და მნიშვნელი? ჩვეულებრივი წილადის მნიშვნელი მიუთითებს, თუ რამდენი წილისაგან შედგება ერთი ნივთი, ხოლო მრიცხველი გვაძლევს ინფორმაციას იმის შესახებ, თუ რამდენი ასეთი აქციაა გათვალისწინებული. მაგალითად, საერთო ფრაქცია 7 54 მიგვანიშნებს, რომ გარკვეული ობიექტი შედგება 54 აქციისგან და განსახილველად ავიღეთ 7 ასეთი აქცია.

ნატურალური რიცხვი წილადის სახით 1-ის მნიშვნელით

ჩვეულებრივი წილადის მნიშვნელი შეიძლება იყოს ერთის ტოლი. ამ შემთხვევაში შეიძლება ითქვას, რომ განსახილველი ობიექტი (ღირებულება) განუყოფელია, არის რაღაც მთლიანი. ასეთ წილადში მრიცხველი მიუთითებს რამდენი ასეთი ელემენტია აღებული, ე.ი. m 1 ფორმის ჩვეულებრივ წილადს აქვს ნატურალური რიცხვის m მნიშვნელობა. ეს განცხადება ემსახურება m 1 = m ტოლობის დასაბუთებას.

ბოლო ტოლობა დავწეროთ ასე: m = m 1 . ის მოგვცემს შესაძლებლობას გამოვიყენოთ ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი ჩვეულებრივი წილადის სახით. მაგალითად, რიცხვი 74 არის 74 1 ფორმის ჩვეულებრივი წილადი.

განმარტება 5

ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი m შეიძლება ჩაიწეროს ჩვეულებრივ წილადად, სადაც მნიშვნელი არის ერთი: m 1 .

თავის მხრივ, m 1 ფორმის ნებისმიერი ჩვეულებრივი წილადი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს m ნატურალური რიცხვით.

წილადის ზოლი, როგორც გაყოფის ნიშანი

მოცემული ობიექტის ზემოხსენებული წარმოდგენა, როგორც n წილი, სხვა არაფერია, თუ არა დაყოფა n ტოლ ნაწილებად. როდესაც ობიექტი იყოფა n ნაწილად, გვაქვს შესაძლებლობა, ის თანაბრად გავყოთ n ადამიანს შორის - ყველა იღებს თავის წილს.

იმ შემთხვევაში, როდესაც ჩვენ თავდაპირველად გვაქვს m იდენტური ობიექტი (თითოეული დაყოფილია n ნაწილად), მაშინ ეს m ობიექტები შეიძლება თანაბრად დაიყოს n ადამიანზე და თითოეულ მათგანს მიეცეს თითო წილი m ობიექტიდან. ამ შემთხვევაში, თითოეულ ადამიანს ექნება m წილი 1 n , ხოლო m აქციები 1 n მისცემს ჩვეულებრივ წილადს m n . მაშასადამე, საერთო წილადი m n შეიძლება გამოვიყენოთ m ერთეულების n ადამიანში გაყოფის გამოსასახად.

შედეგად მიღებული განცხადება ადგენს კავშირს ჩვეულებრივ წილადებსა და გაყოფას შორის. და ეს ურთიერთობა შეიძლება გამოიხატოს შემდეგნაირად : შესაძლებელია წილადის წრფე ვიგულისხმოთ გაყოფის ნიშნად, ე.ი. m/n=m:n.

ჩვეულებრივი წილადის დახმარებით შეგვიძლია დავწეროთ ორი ნატურალური რიცხვის გაყოფის შედეგი. მაგალითად, 7 ვაშლის 10 ადამიანზე გაყოფა დაიწერება როგორც 7 10: თითოეული ადამიანი მიიღებს შვიდ მეათედს.

ტოლი და არათანაბარი საერთო წილადები

ლოგიკური მოქმედება არის ჩვეულებრივი წილადების შედარება, რადგან აშკარაა, რომ, მაგალითად, ვაშლის 1 8 განსხვავდება 7 8-ისგან.

ჩვეულებრივი წილადების შედარების შედეგი შეიძლება იყოს: ტოლი ან არათანაბარი.

განმარტება 6

ტოლი საერთო წილადებიარის ჩვეულებრივი წილადები a b და c d , რომლებისთვისაც ტოლობა მართალია: a d = b c .

არათანაბარი საერთო წილადები- ჩვეულებრივი წილადები a b და c d , რომლებისთვისაც ტოლობა: a · d = b · c არ არის ჭეშმარიტი.

ტოლი წილადების მაგალითი: 1 3 და 4 12 - რადგან ტოლობა 1 12 \u003d 3 4 მართალია.

იმ შემთხვევაში, როდესაც აღმოჩნდება, რომ წილადები არ არის ტოლი, როგორც წესი, ასევე საჭიროა გაირკვეს მოცემული წილადებიდან რომელია ნაკლები და რომელი მეტი. ამ კითხვებზე პასუხის გასაცემად, ჩვეულებრივი წილადები ადარებენ მათ საერთო მნიშვნელთან მიყვანით და შემდეგ მრიცხველების შედარებით.

წილადი რიცხვები

თითოეული წილადი არის წილადი რიცხვის ჩანაწერი, რომელიც სინამდვილეში არის მხოლოდ „ჭურვი“, სემანტიკური დატვირთვის ვიზუალიზაცია. მაგრამ მაინც, მოხერხებულობისთვის, ჩვენ ვაერთიანებთ წილადისა და წილადი რიცხვის ცნებებს, უბრალოდ რომ ვთქვათ - წილადი.

ყველა წილადურ რიცხვს, ისევე როგორც ნებისმიერ სხვა რიცხვს, აქვს თავისი უნიკალური მდებარეობა კოორდინატულ სხივზე: არის ერთი-ერთზე კორესპონდენცია წილადებსა და წერტილებს შორის კოორდინატულ სხივზე.

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ წერტილი კოორდინატთა სხივზე, რომელიც აღნიშნავს m n წილადს, აუცილებელია m სეგმენტების გადადება დადებითი მიმართულებით კოორდინატების საწყისიდან, რომელთაგან თითოეულის სიგრძე იქნება 1 n ნაწილის ერთეული სეგმენტი. სეგმენტების მიღება შესაძლებელია ერთი სეგმენტის n იდენტურ ნაწილად დაყოფით.

მაგალითად, ავღნიშნოთ M წერტილი კოორდინატულ სხივზე, რომელიც შეესაბამება წილადს 14 10. სეგმენტის სიგრძე, რომლის ბოლოები არის წერტილი O და უახლოესი წერტილი, რომელიც აღინიშნება მცირე მონაკვეთით, უდრის ერთეული სეგმენტის 1 10 წილადს. 14 10 წილადის შესაბამისი წერტილი მდებარეობს კოორდინატების წარმოშობიდან 14 ასეთი სეგმენტის მანძილზე.

თუ წილადები ტოლია, ე.ი. ისინი შეესაბამება იმავე წილადურ რიცხვს, მაშინ ეს წილადები ემსახურებიან როგორც კოორდინატთა სხივის ერთი და იგივე წერტილის კოორდინატებს. მაგალითად, კოორდინატები თანაბარი წილადების სახით 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 შეესაბამება იმავე წერტილს კოორდინატთა სხივზე, რომელიც მდებარეობს ერთეული სეგმენტის მესამედის მანძილზე, გადადებული. წარმოშობა დადებითი მიმართულებით.

აქ იგივე პრინციპი მუშაობს, როგორც მთელ რიცხვებზე: მარჯვნივ მიმართულ ჰორიზონტალურ კოორდინატულ სხივზე, წერტილი, რომელსაც შეესაბამება დიდი წილადი, მდებარეობს იმ წერტილის მარჯვნივ, რომელსაც შეესაბამება პატარა წილადი. და პირიქით: წერტილი, რომლის კოორდინატი არის უფრო მცირე წილადი, განთავსდება წერტილის მარცხნივ, რომელიც შეესაბამება უფრო დიდ კოორდინატს.

სწორი და არასწორი წილადები, განმარტებები, მაგალითები

წილადების სწორად და არასწორად დაყოფა ეფუძნება მრიცხველისა და მნიშვნელის შედარებას იმავე წილადში.

განმარტება 7

სათანადო წილადიარის ჩვეულებრივი წილადი, რომელშიც მრიცხველი ნაკლებია მნიშვნელზე. ანუ თუ უტოლობა მ< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

არასწორი ფრაქციაარის წილადი, რომლის მრიცხველი მეტია ან ტოლია მნიშვნელზე. ანუ, თუ განუსაზღვრელი უტოლობა მართალია, მაშინ ჩვეულებრივი წილადი m n არასწორია.

აქ მოცემულია რამდენიმე მაგალითი: - სათანადო წილადები:

მაგალითი 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

არასწორი წილადები:

მაგალითი 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

წილადის ერთეულთან შედარების საფუძველზე ასევე შესაძლებელია სწორი და არასწორი წილადების განმარტების მიცემა.

განმარტება 8

სათანადო წილადიარის საერთო წილადი, რომელიც ერთზე ნაკლებია.

არასწორი ფრაქციაარის ერთის ტოლი ან მეტი საერთო წილადი.

მაგალითად, წილადი 8 12 სწორია, რადგან 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 და 14 14 = 1 .

მოდით, ცოტა უფრო ღრმად ვიფიქროთ, რატომ უწოდებენ წილადებს, რომლებშიც მრიცხველი მეტია ან ტოლია მნიშვნელზე "არასწორი".

განვიხილოთ არასწორი წილადი 8 8: ის გვეუბნება, რომ აღებულია 8 ნაწილისგან შემდგარი ობიექტის 8 ნაწილი. ამრიგად, არსებული რვა აქციიდან შეგვიძლია შევადგინოთ მთლიანი ობიექტი, ე.ი. მოცემული წილადი 8 8 არსებითად წარმოადგენს მთელ ობიექტს: 8 8 \u003d 1. წილადები, რომლებშიც მრიცხველი და მნიშვნელი ტოლია, სრულად ცვლის ნატურალურ რიცხვს 1.

განვიხილოთ აგრეთვე წილადები, რომლებშიც მრიცხველი აღემატება მნიშვნელს: 11 5 და 36 3 . გასაგებია, რომ წილადი 11 5 მიუთითებს, რომ ჩვენ შეგვიძლია მისგან ორი მთლიანი ობიექტის გაკეთება და მისი მეხუთედი მაინც იქნება. იმათ. წილადი 11 5 არის 2 ობიექტი და კიდევ 1 5 მისგან. თავის მხრივ, 36 3 არის წილადი, რაც არსებითად ნიშნავს 12 მთლიან ობიექტს.

ეს მაგალითები საშუალებას გვაძლევს დავასკვნათ, რომ არასწორი წილადები შეიძლება შეიცვალოს ნატურალური რიცხვებით (თუ მრიცხველი იყოფა მნიშვნელზე ნაშთის გარეშე: 8 8 \u003d 1; 36 3 \u003d 12) ან ნატურალური რიცხვის ჯამი და ა. სათანადო წილადი (თუ მრიცხველი ნაშთების გარეშე არ იყოფა მნიშვნელზე: 11 5 = 2 + 1 5). ალბათ ამიტომაა, რომ ასეთ წილადებს „არასწორს“ უწოდებენ.

აქაც ვხვდებით ერთ-ერთ უმნიშვნელოვანეს რიცხვთა უნარს.

განმარტება 9

მთელი რიცხვის ნაწილის ამოღება არასწორი წილადიდანარის არასწორი წილადი, რომელიც იწერება როგორც ნატურალური რიცხვისა და სწორი წილადის ჯამი.

ასევე გაითვალისწინეთ, რომ არსებობს მჭიდრო კავშირი არასწორ წილადებსა და შერეულ რიცხვებს შორის.

დადებითი და უარყოფითი წილადები

ზემოთ ვთქვით, რომ თითოეული ჩვეულებრივი წილადი შეესაბამება დადებით წილად რიცხვს. იმათ. ჩვეულებრივი წილადები დადებითი წილადებია. მაგალითად, წილადები 5 17 , 6 98 , 64 79 დადებითია და როცა საჭიროა წილადის „პოზიტიურობის“ ხაზგასმა, ის იწერება პლუს ნიშნის გამოყენებით: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 .

თუ ჩვეულებრივ წილადს მივანიჭებთ მინუს ნიშანს, მაშინ მიღებული ჩანაწერი იქნება უარყოფითი წილადი რიცხვის ჩანაწერი და ამ შემთხვევაში საუბარია უარყოფით წილადებზე. მაგალითად, - 8 17 , - 78 14 და ა.შ.

დადებითი და უარყოფითი წილადები m n და - m n საპირისპირო რიცხვებია, მაგალითად, წილადები 7 8 და - 7 8 საპირისპიროა.

დადებითი წილადები, ისევე როგორც ნებისმიერი დადებითი რიცხვი ზოგადად, ნიშნავს დამატებას, ცვლილებას ზემოთ. თავის მხრივ, უარყოფითი ფრაქციები შეესაბამება მოხმარებას, შემცირების მიმართულებით ცვლილებას.

თუ განვიხილავთ კოორდინატთა წრფეს, დავინახავთ, რომ უარყოფითი წილადები განლაგებულია საცნობარო წერტილის მარცხნივ. წერტილები, რომლებსაც შეესაბამება წილადები, რომლებიც საპირისპიროა (m n და - m n), განლაგებულია O კოორდინატების საწყისიდან იმავე მანძილზე, მაგრამ მის მოპირდაპირე მხარეს.

აქაც ცალ-ცალკე ვსაუბრობთ 0 n სახით დაწერილ წილადებზე. ასეთი წილადი ნულის ტოლია, ე.ი. 0 n = 0.

ყოველივე ზემოთქმულის შეჯამებით, მივედით რაციონალური რიცხვების ყველაზე მნიშვნელოვან კონცეფციამდე.

განმარტება 10

Რაციონალური რიცხვიარის დადებითი წილადების, უარყოფითი წილადებისა და წილადების ნაკრები 0 n .

მოქმედებები წილადებთან

ჩამოვთვალოთ ძირითადი მოქმედებები წილადებით. ზოგადად, მათი არსი იგივეა, რაც ნატურალური რიცხვებით შესაბამისი მოქმედებები

1. წილადების შედარება - ზემოთ განვიხილეთ ეს მოქმედება.
2. წილადების შეკრება - ჩვეულებრივი წილადების შეკრების შედეგია ჩვეულებრივი წილადი (კონკრეტულ შემთხვევაში, ნატურალურ რიცხვამდე დაყვანილი).
3. წილადების გამოკლება არის მოქმედება, შეკრების საპირისპირო, როდესაც უცნობი წილადი განისაზღვრება ერთი ცნობილი წილადისა და წილადების მოცემული ჯამიდან.
4. წილადების გამრავლება - ეს მოქმედება შეიძლება შეფასდეს, როგორც წილადის პოვნა წილადიდან. ორი ჩვეულებრივი წილადის გამრავლების შედეგი არის ჩვეულებრივი წილადი (კონკრეტულ შემთხვევაში, ნატურალური რიცხვის ტოლი).
5. წილადების გაყოფა არის გამრავლების ინვერსია, როდესაც ვადგენთ წილადს, რომლითაც აუცილებელია მოცემულის გამრავლება ორი წილადის ცნობილი ნამრავლის მისაღებად.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter