წილადებით მაგალითების ამოსახსნელად, თქვენ უნდა შეძლოთ უმცირესი საერთო მნიშვნელის პოვნა. ქვემოთ მოცემულია დეტალური ინსტრუქცია.

როგორ მოვძებნოთ ყველაზე დაბალი საერთო მნიშვნელი - კონცეფცია

უმცირესი საერთო მნიშვნელი (LCD) მარტივი სიტყვებით არის მინიმალური რიცხვი, რომელიც იყოფა მოცემული მაგალითის ყველა წილადის მნიშვნელებზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მას უწოდებენ უმცირეს საერთო მრავალჯერადს (LCM). NOZ გამოიყენება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ წილადების მნიშვნელები განსხვავებულია.

როგორ მოვძებნოთ ყველაზე დაბალი საერთო მნიშვნელი - მაგალითები

განვიხილოთ NOZ-ის პოვნის მაგალითები.

გამოთვალეთ: 3/5 + 2/15.

გამოსავალი (მოქმედებების თანმიმდევრობა):

• ვუყურებთ წილადების მნიშვნელებს, ვრწმუნდებით, რომ ისინი განსხვავდებიან და გამოსახულებები შემცირებულია მაქსიმალურად.
• ჩვენ ვპოულობთ უმცირეს რიცხვს, რომელიც იყოფა როგორც 5-ზე, ასევე 15-ზე. ეს რიცხვი იქნება 15. ამრიგად, 3/5 + 2/15 = ?/15.
• ჩვენ გავარკვიეთ მნიშვნელი. რა იქნება მრიცხველში? დამატებითი მულტიპლიკატორი დაგვეხმარება ამის გარკვევაში. დამატებითი ფაქტორია რიცხვი, რომელიც მიიღება NOZ-ის კონკრეტული წილადის მნიშვნელზე გაყოფით. 3/5-ისთვის დამატებითი კოეფიციენტი არის 3, ვინაიდან 15/5 = 3. მეორე წილადისთვის დამატებითი კოეფიციენტი არის 1, ვინაიდან 15/15 = 1.
• დამატებითი კოეფიციენტის გაცნობის შემდეგ, ჩვენ ვამრავლებთ მას წილადების მრიცხველებზე და ვამატებთ მიღებულ მნიშვნელობებს. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

პასუხი: 3/5 + 2/15 = 11/15.

თუ მაგალითში დამატებულია ან გამოკლებულია არა 2, არამედ 3 ან მეტი წილადი, მაშინ NOZ უნდა მოძებნოთ იმდენი წილადი, რამდენიც მოცემულია.

გამოთვალეთ: 1/2 - 5/12 + 3/6

გამოსავალი (მოქმედებების თანმიმდევრობა):

• ყველაზე დაბალი საერთო მნიშვნელის პოვნა. მინიმალური რიცხვი, რომელიც იყოფა 2-ზე, 12-ზე და 6-ზე არის 12.
• ვიღებთ: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12.
• ჩვენ ვეძებთ დამატებით მულტიპლიკატორებს. 1/2-ისთვის - 6; 5/12-ისთვის - 1; 3/6 - 2.
• ვამრავლებთ მრიცხველებზე და ვანიჭებთ შესაბამის ნიშნებს: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.

პასუხი: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე ალგებრული წილადების შეკრებისა და გამოკლებისას წილადები პირველ რიგში მივყავართ საერთო მნიშვნელი. ეს ნიშნავს, რომ ისინი პოულობენ ასეთ ერთ მნიშვნელს, რომელიც იყოფა თითოეული ალგებრული წილადის თავდაპირველ მნიშვნელზე, რომელიც ამ გამოხატვის ნაწილია.

მოგეხსენებათ, თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გამრავლდება (ან იყოფა) იმავე რიცხვზე ნულის გარდა, მაშინ წილადის მნიშვნელობა არ შეიცვლება. ეს არის წილადის მთავარი თვისება. ამიტომ, როდესაც წილადები მივყავართ საერთო მნიშვნელს, ფაქტობრივად, თითოეული წილადის თავდაპირველი მნიშვნელი მრავლდება გამოტოვებულ ფაქტორზე საერთო მნიშვნელზე. ამ შემთხვევაში აუცილებელია ამ ფაქტორზე და წილადის მრიცხველზე გამრავლება (თითოეული წილადისთვის განსხვავებულია).

მაგალითად, მოცემულია ალგებრული წილადების შემდეგი ჯამი:

საჭიროა გამოხატვის გამარტივება, ანუ ორი ალგებრული წილადის დამატება. ამისათვის, უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია ტერმინები-წილადების საერთო მნიშვნელამდე შემცირება. პირველი ნაბიჯი არის მონომის პოვნა, რომელიც იყოფა 3x-ზე და 2y-ზე. ამ შემთხვევაში, სასურველია, რომ ის იყოს ყველაზე პატარა, ანუ იპოვო უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) 3x და 2y.

რიცხვითი კოეფიციენტებისა და ცვლადებისთვის, LCM იძებნება ცალკე. LCM(3, 2) = 6 და LCM(x, y) = xy. გარდა ამისა, ნაპოვნი მნიშვნელობები მრავლდება: 6xy.

ახლა ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ რა ფაქტორით უნდა გავამრავლოთ 3x, რომ მივიღოთ 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

ეს ნიშნავს, რომ პირველი ალგებრული წილადის საერთო მნიშვნელზე დაყვანისას მისი მრიცხველი უნდა გამრავლდეს 2y-ზე (მნიშვნელი უკვე გამრავლებულია საერთო მნიშვნელზე შეყვანისას). ანალოგიურად იძებნება მეორე წილადის მრიცხველის ფაქტორი. უდრის 3x.

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ:

გარდა ამისა, უკვე შესაძლებელია ვიმოქმედოთ როგორც წილადებთან ერთად იგივე მნიშვნელებით: ემატება მრიცხველები და მნიშვნელში იწერება ერთი საერთო:

გარდაქმნების შემდეგ მიიღება გამარტივებული გამოხატულება, რომელიც არის ერთი ალგებრული წილადი, რომელიც არის ორი ორიგინალის ჯამი:

თავდაპირველ გამოსახულებაში ალგებრული წილადები შეიძლება შეიცავდეს მნიშვნელებს, რომლებიც პოლინომებია და არა მონომები (როგორც ზემოთ მოცემულ მაგალითში). ამ შემთხვევაში, სანამ საერთო მნიშვნელს იპოვით, შეაფასეთ მნიშვნელები (თუ შესაძლებელია). გარდა ამისა, საერთო მნიშვნელი გროვდება სხვადასხვა ფაქტორებიდან. თუ ფაქტორი რამდენიმე საწყის მნიშვნელშია, მაშინ იგი აღებულია ერთხელ. თუ ფაქტორს აქვს სხვადასხვა ხარისხი თავდაპირველ მნიშვნელებში, მაშინ იგი აღებულია უფრო დიდით. Მაგალითად:

აქ მრავალწევრი a 2 - b 2 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ნამრავლის სახით (a - b)(a + b). კოეფიციენტი 2a – 2b გაფართოებულია როგორც 2(a – b). ამრიგად, საერთო მნიშვნელი ტოლი იქნება 2(a - b)(a + b).

წილადების უმცირეს საერთო მნიშვნელამდე მისასვლელად თქვენ უნდა: 1) იპოვოთ ამ წილადების მნიშვნელების უმცირესი საერთო ჯერადი, ეს იქნება უმცირესი საერთო მნიშვნელი. 2) ვიპოვოთ დამატებითი კოეფიციენტი თითოეული წილადისთვის, რისთვისაც ახალ მნიშვნელს ვყოფთ თითოეული წილადის მნიშვნელზე. 3) გავამრავლოთ თითოეული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მის დამატებით კოეფიციენტზე.

მაგალითები. შეამცირეთ შემდეგი წილადები ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე.

ჩვენ ვპოულობთ მნიშვნელების უმცირეს საერთო ჯერადს: LCM(5; 4) = 20, ვინაიდან 20 არის უმცირესი რიცხვი, რომელიც იყოფა როგორც 5-ზე, ასევე 4-ზე. 1-ლი წილადისთვის ვპოულობთ დამატებით კოეფიციენტს 4-ს (20). : 5=4). მე-2 წილადისთვის დამატებითი გამრავლება არის 5 (20 : 4=5). 1-ლი წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლოთ 4-ზე, ხოლო მე-2 წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი 5-ზე. 20 ).

ამ წილადების ყველაზე დაბალი საერთო მნიშვნელი არის 8, რადგან 8 იყოფა 4-ზე და საკუთარ თავზე. პირველ წილადს დამატებითი მამრავლი არ ექნება (ან შეგვიძლია ვთქვათ, რომ უდრის ერთს), მე-2 წილადს დამატებითი მამრავლი არის 2 (8). : 4=2). ვამრავლებთ მე-2 წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს 2-ზე. ეს წილადები შევამცირეთ ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე ( 8 ).

ეს წილადები არ არის შეუქცევადი.

პირველ წილადს ვამცირებთ 4-ით, ხოლო მე-2 წილადს ვამცირებთ 2-ით. იხილეთ მაგალითები ჩვეულებრივი წილადების შემცირების შესახებ: საიტის რუკა → 5.4.2. ჩვეულებრივი წილადების შემცირების მაგალითები). იპოვეთ LCM (16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. დამატებითი მამრავლი 1-ლი წილადისთვის არის 5 (80 : 16=5). დამატებითი მამრავლი მე-2 წილადისთვის არის 4 (80 : 20=4). 1-ლი წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლოთ 5-ზე, ხოლო მე-2 წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი 4-ზე. 80 ).

იპოვეთ NOC-ის უმცირესი საერთო მნიშვნელი(5 ; 6 და 15) = LCM(5 ; 6 და 15)=30. დამატებითი მამრავლი პირველ წილადზე არის 6 (30 : 5=6), მე-2 წილადის დამატებითი გამრავლება არის 5 (30 : 6=5), მე-3 წილადის დამატებითი გამრავლება არის 2 (30 : 15=2). 1-ლი წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლოთ 6-ზე, მე-2 წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი 5-ზე, მე-3 წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი 2-ზე. 30 ).

გვერდი 1 1-დან 1

a/b არითმეტიკული წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი b, რომელიც აჩვენებს ერთეულის წილადების ზომას, რომლებიც ქმნიან წილადს. ალგებრული წილადის მნიშვნელი A/B არის ალგებრული გამონათქვამი B. წილადებთან არითმეტიკული მოქმედებების შესასრულებლად ისინი უნდა დაიყვანოთ უმცირეს საერთო მნიშვნელამდე.

დაგჭირდებათ

• ალგებრულ წილადებთან მუშაობისთვის უმცირესი საერთო მნიშვნელის პოვნისას, თქვენ უნდა იცოდეთ მრავალწევრების ფაქტორინგის მეთოდები.

ინსტრუქცია

განვიხილოთ ორი არითმეტიკული წილადის n/m და s/t შემცირება უმცირეს საერთო მნიშვნელამდე, სადაც n, m, s, t არის მთელი რიცხვები. ცხადია, რომ ეს ორი წილადი შეიძლება შემცირდეს ნებისმიერ მნიშვნელზე, რომელიც იყოფა m-ზე და t-ზე. მაგრამ ისინი ცდილობენ მიიყვანონ ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე. იგი უდრის მოცემული წილადების m და t მნიშვნელების უმცირეს საერთო ჯერადს. რიცხვების უმცირესი ჯერადი (LCM) არის უმცირესი, რომელიც იყოფა ყველა მოცემულ რიცხვზე ერთდროულად. იმათ. ჩვენს შემთხვევაში აუცილებელია m და t რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა. აღინიშნება როგორც LCM (m, t). გარდა ამისა, წილადები მრავლდება შესაბამისებზე: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t)/t).

ვიპოვოთ სამი წილადის უმცირესი საერთო მნიშვნელი: 4/5, 7/8, 11/14. ჯერ ვაფართოვებთ მნიშვნელებს 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. შემდეგ ვიანგარიშებთ LCM-ს (5, 8, 14), გამრავლება ყველა რიცხვი, რომელიც შედის გაფართოების ერთ-ერთში მაინც. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. გაითვალისწინეთ, რომ თუ კოეფიციენტი ხდება რამდენიმე რიცხვის გაფართოებაში (ფაქტორი 2 მნიშვნელების 8 და 14 გაფართოებაში), მაშინ ფაქტორს ვიღებთ უფრო დიდი ხარისხი (2^3 ჩვენს შემთხვევაში).

ასე რომ, გენერალი მიღებულია. ის უდრის 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. აქ ვიღებთ რიცხვებს, რომლებზედაც უნდა გავამრავლოთ შესაბამისი მნიშვნელის მქონე წილადები, რათა მივიყვანოთ ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე. ჩვენ ვიღებთ 4/5 = 56 * (4/5) = 224 / 280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

ალგებრული წილადების უმცირეს საერთო მნიშვნელამდე შემცირება ხდება არითმეტიკის ანალოგიით. სიცხადისთვის, განიხილეთ პრობლემა მაგალითზე. მიეცით ორი წილადი (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) და (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). მოდით გავამრავლოთ ორივე მნიშვნელი. გაითვალისწინეთ, რომ პირველი წილადის მნიშვნელი არის სრულყოფილი კვადრატი: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. ამისთვის

ამ გაკვეთილზე განვიხილავთ წილადების საერთო მნიშვნელამდე შემცირებას და ამ თემაზე ამოცანების ამოხსნას. მოდით მივცეთ საერთო მნიშვნელისა და დამატებითი ფაქტორის ცნების განმარტება, დაიმახსოვრეთ თანაპირისპირული რიცხვები. განვსაზღვროთ უმცირესი საერთო მნიშვნელის (LCD) ცნება და გადავჭრათ მთელი რიგი ამოცანები მის საპოვნელად.

თემა: სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება და გამოკლება

გაკვეთილი: წილადების შემცირება საერთო მნიშვნელამდე

გამეორება. წილადის ძირითადი თვისება.

თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გამრავლდება ან იყოფა იმავე ნატურალურ რიცხვზე, მაშინ მიიღება მისი ტოლი წილადი.

მაგალითად, წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება გავყოთ 2-ზე. ვიღებთ წილადს. ამ ოპერაციას წილადის შემცირება ეწოდება. თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეასრულოთ საპირისპირო გარდაქმნა წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის 2-ზე გამრავლებით. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვამბობთ, რომ წილადი შევამცირეთ ახალ მნიშვნელზე. ნომერი 2 ეწოდება დამატებით ფაქტორს.

დასკვნა.წილადი შეიძლება შემცირდეს ნებისმიერ მნიშვნელზე, რომელიც არის მოცემული წილადის მნიშვნელის ჯერადი. იმისათვის, რომ წილადი მივიყვანოთ ახალ მნიშვნელთან, მისი მრიცხველი და მნიშვნელი მრავლდება დამატებით კოეფიციენტზე.

1. მიიტანეთ წილადი მნიშვნელზე 35.

რიცხვი 35 არის 7-ის ნამრავლი, ანუ 35 იყოფა 7-ზე ნაშთის გარეშე. ასე რომ, ეს ტრანსფორმაცია შესაძლებელია. მოდი ვიპოვოთ დამატებითი ფაქტორი. ამისთვის 35-ს ვყოფთ 7-ზე. მივიღებთ 5. ვამრავლებთ საწყისი წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს 5-ზე.

2. მიიტანეთ წილადი მნიშვნელზე 18.

მოდი ვიპოვოთ დამატებითი ფაქტორი. ამისათვის ჩვენ ვყოფთ ახალ მნიშვნელს თავდაპირველზე. მივიღებთ 3. ამ წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს ვამრავლებთ 3-ზე.

3. მიიტანეთ წილადი მნიშვნელზე 60.

60-ის 15-ზე გაყოფით მივიღებთ დამატებით მამრავლს. უდრის 4. გავამრავლოთ მრიცხველი და მნიშვნელი 4-ზე.

4. მიიტანეთ წილადი მნიშვნელზე 24

მარტივ შემთხვევებში გონებაში ხდება ახალ მნიშვნელამდე შემცირება. მიღებულია მხოლოდ დამატებითი ფაქტორის მითითება ფრჩხილის უკან ოდნავ მარჯვნივ და თავდაპირველი ფრაქციის ზემოთ.

წილადი შეიძლება შემცირდეს 15-მდე, ხოლო წილადი შეიძლება შემცირდეს 15-მდე. წილადებს აქვთ საერთო მნიშვნელი 15.

წილადების საერთო მნიშვნელი შეიძლება იყოს მათი მნიშვნელების ნებისმიერი საერთო ჯერადი. სიმარტივისთვის, წილადები მცირდება ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე. იგი უდრის მოცემული წილადების მნიშვნელთა უმცირეს საერთო ჯერადს.

მაგალითი. შემცირება წილადის უმცირეს საერთო მნიშვნელამდე და .

ჯერ იპოვეთ ამ წილადების მნიშვნელების უმცირესი საერთო ჯერადი. ეს რიცხვია 12. ვიპოვოთ დამატებითი კოეფიციენტი პირველი და მეორე წილადებისთვის. ამისთვის 12-ს ვყოფთ 4-ზე და 6-ზე. სამი არის დამატებითი კოეფიციენტი პირველი წილადისთვის, ხოლო ორი მეორესთვის. წილადებს მივყავართ მნიშვნელ 12-მდე.

წილადები შევამცირეთ საერთო მნიშვნელზე, ანუ ვიპოვეთ წილადები, რომლებიც მათ ტოლია და ერთი და იგივე მნიშვნელი აქვთ.

წესი.წილადების უმცირეს საერთო მნიშვნელამდე მიყვანა,

ჯერ იპოვეთ ამ წილადების მნიშვნელთა უმცირესი საერთო ჯერადი, რომელიც იქნება მათი უმცირესი საერთო მნიშვნელი;

მეორეც, გაყავით უმცირესი საერთო მნიშვნელი ამ წილადების მნიშვნელებზე, ანუ იპოვეთ დამატებითი ფაქტორი თითოეული წილადისთვის.

მესამე, გავამრავლოთ თითოეული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მის დამატებით კოეფიციენტზე.

ა) წილადების შემცირება და საერთო მნიშვნელამდე.

ყველაზე დაბალი საერთო მნიშვნელი არის 12. პირველი წილადის დამატებითი კოეფიციენტი არის 4, მეორისთვის - 3. წილადებს მივაქვთ მნიშვნელი 24.

ბ) წილადების შემცირება და საერთო მნიშვნელამდე.

ყველაზე დაბალი საერთო მნიშვნელი არის 45. 45-ის 9-ზე 15-ზე გაყოფით მივიღებთ შესაბამისად 5-ს და 3-ს, წილადებს მივყავართ მნიშვნელზე 45.

გ) წილადების შემცირება და საერთო მნიშვნელამდე.

საერთო მნიშვნელი არის 24. დამატებითი ფაქტორები არის 2 და 3, შესაბამისად.

ზოგჯერ ძნელია სიტყვიერად იპოვოთ უმცირესი საერთო ჯერადი მოცემული წილადების მნიშვნელებისთვის. შემდეგ საერთო მნიშვნელი და დამატებითი ფაქტორები იპოვება პირველ ფაქტორებად გამრავლებით.

წილადის საერთო მნიშვნელამდე შემცირება და .

მოდით დავშალოთ რიცხვები 60 და 168 მარტივ ფაქტორებად. ამოვიწეროთ რიცხვი 60-ის გაფართოება და მეორე გაფართოებიდან დავამატოთ გამოტოვებული ფაქტორები 2 და 7. გავამრავლოთ 60 14-ზე და მივიღოთ საერთო მნიშვნელი 840. პირველი წილადის დამატებითი კოეფიციენტი არის 14. მეორე წილადის დამატებითი კოეფიციენტი არის 5. წილადები შევამციროთ საერთო მნიშვნელზე 840.

ბიბლიოგრაფია

1. ვილენკინი ნ.ია., ჟოხოვი ვ.ი., ჩესნოკოვი ა.ს. და სხვა.მათემატიკა 6. - მ.: მნემოზინა, 2012 წ.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. მათემატიკა მე-6 კლასი. - გიმნაზია, 2006 წ.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. მათემატიკის სახელმძღვანელოს გვერდების მიღმა. - განმანათლებლობა, 1989 წ.

4. რურუკინი ა.ნ., ჩაიკოვსკი ი.ვ. დავალებები მათემატიკის კურსის 5-6 კლასი. - ZSH MEPhI, 2011 წ.

5. რურუკინი ა.ნ., სოჩილოვი ს.ვ., ჩაიკოვსკი კ.გ. მათემატიკა 5-6. სახელმძღვანელო MEPhI კორესპონდენციის სკოლის მე-6 კლასის მოსწავლეებისთვის. - ZSH MEPhI, 2011 წ.

6. შევრინ ლ.ნ., გეინ ა.გ., კორიაკოვი ი.ო. და სხვა.მათემატიკა: სახელმძღვანელო-მოსაუბრე საშუალო სკოლის 5-6 კლასებისთვის. მათემატიკის მასწავლებლის ბიბლიოთეკა. - განმანათლებლობა, 1989 წ.

შეგიძლიათ ჩამოტვირთოთ 1.2 პუნქტში მითითებული წიგნები. ეს გაკვეთილი.

Საშინაო დავალება

ვილენკინი ნ.ია., ჟოხოვი ვ.ი., ჩესნოკოვი ა.ს. და სხვა.. მათემატიკა 6. - მ .: მნემოზინა, 2012. (იხ. ბმული 1.2)

საშინაო დავალება: No297, No298, No300.

სხვა ამოცანები: #270, #290