კვადრატული განტოლების რეალური ამონახსნები. კვადრატული განტოლებები

ამ მათემატიკური პროგრამით შეგიძლიათ კვადრატული განტოლების ამოხსნა.

პროგრამა არა მხოლოდ იძლევა პასუხს პრობლემაზე, არამედ აჩვენებს გადაჭრის პროცესს ორი გზით:
- დისკრიმინანტის გამოყენებით
- ვიეტას თეორემის გამოყენებით (თუ შესაძლებელია).

უფრო მეტიც, პასუხი ნაჩვენებია ზუსტი და არა მიახლოებითი.
მაგალითად, განტოლებისთვის $81x^2-16x-1=0$, პასუხი ნაჩვენებია ამ ფორმით:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ ამის ნაცვლად: $x_1 = 0.247; \ quad x_2 = -0.05 $

ეს პროგრამა შეიძლება გამოადგეს საშუალო სკოლის მოსწავლეებს ტესტებისა და გამოცდებისთვის მომზადებისას, ცოდნის ტესტირებისას ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წინ, მშობლებისთვის მათემატიკასა და ალგებრაში მრავალი პრობლემის გადაწყვეტის გასაკონტროლებლად. ან იქნებ ძალიან ძვირი დაგიჯდებათ დამრიგებლის აყვანა ან ახალი სახელმძღვანელოების ყიდვა? ან უბრალოდ გსურთ რაც შეიძლება სწრაფად შეასრულოთ საშინაო დავალება მათემატიკაში ან ალგებრაზე? ამ შემთხვევაში, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი პროგრამები დეტალური გადაწყვეტით.

ამ გზით თქვენ შეგიძლიათ ჩაატაროთ საკუთარი ტრენინგი ან/და თქვენი უმცროსი ძმების ან დების ტრენინგი, ხოლო განათლების დონე გადასაჭრელი ამოცანების სფეროში გაიზრდება.

თუ არ იცნობთ კვადრატული მრავალწევრის შეყვანის წესებს, გირჩევთ გაეცნოთ მათ.

კვადრატული მრავალწევრის შეყვანის წესები

ნებისმიერი ლათინური ასო შეიძლება იმოქმედოს როგორც ცვლადი.
მაგალითად: $x, y, z, a, b, c, o, p, q $ და ა.შ.

რიცხვები შეიძლება შეიყვანოთ როგორც მთელი რიცხვები ან წილადები.
უფრო მეტიც, წილადი რიცხვები შეიძლება შევიდეს არა მხოლოდ ათწილადის სახით, არამედ ჩვეულებრივი წილადის სახით.

ათობითი წილადების შეყვანის წესები.
ათობითი წილადებში, წილადი ნაწილი მთელი რიცხვიდან შეიძლება გამოიყოს წერტილით ან მძიმით.
მაგალითად, შეგიძლიათ შეიყვანოთ ათწილადები ასე: 2.5x - 3.5x^2

ჩვეულებრივი წილადების შეყვანის წესები.
მხოლოდ მთელ რიცხვს შეუძლია წილადის მრიცხველის, მნიშვნელის და მთელი რიცხვის ნაწილის როლი.

მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.

რიცხვითი წილადის შეყვანისას მრიცხველი გამოყოფილია მნიშვნელისგან გაყოფის ნიშნით: /
მთელი ნაწილი გამოყოფილია წილადისგან ამპერსანტით: &
შეყვანა: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
შედეგი: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 $

გამოხატვის შეყვანისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფრჩხილები. ამ შემთხვევაში, კვადრატული განტოლების ამოხსნისას, პირველად გამარტივებულია შემოტანილი გამოხატულება.
მაგალითად: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

გადაწყვიტე

აღმოჩნდა, რომ ამ ამოცანის გადასაჭრელად საჭირო ზოგიერთი სკრიპტი არ იყო ჩატვირთული და შესაძლოა პროგრამამ არ იმუშაოს.
შეიძლება ჩართული გქონდეთ AdBlock.
ამ შემთხვევაში გამორთეთ და განაახლეთ გვერდი.

თქვენს ბრაუზერში JavaScript გამორთული გაქვთ.
გამოსავლის გამოსაჩენად ჩართული უნდა იყოს JavaScript.
აქ მოცემულია ინსტრუქციები, თუ როგორ უნდა ჩართოთ JavaScript თქვენს ბრაუზერში.

იმიტომ რომ ბევრია პრობლემის გადაწყვეტის მსურველი, თქვენი მოთხოვნა რიგში დგას.
რამდენიმე წამის შემდეგ, გამოსავალი გამოჩნდება ქვემოთ.
Გთხოვთ მოიცადოთ წამი...

Თუ შენ შენიშნა შეცდომა გამოსავალშიამის შესახებ შეგიძლიათ დაწეროთ უკუკავშირის ფორმაში.
Არ დაგავიწყდეს მიუთითეთ რომელი დავალებათქვენ გადაწყვიტეთ რა შედი ველებში.

ჩვენი თამაშები, თავსატეხები, ემულატორები:

ცოტა თეორია.

კვადრატული განტოლება და მისი ფესვები. არასრული კვადრატული განტოლებები

თითოეული განტოლება
$-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 $
ფორმა აქვს
$ax^2+bx+c=0, $
სადაც x არის ცვლადი, a, b და c არის რიცხვები.
პირველ განტოლებაში a = -1, b = 6 და c = 1,4, მეორეში a = 8, b = -7 და c = 0, მესამეში a = 1, b = 0 და c = 4/9. ასეთ განტოლებებს ე.წ კვადრატული განტოლებები.

განმარტება.
კვადრატული განტოლებაეწოდება ax 2 +bx+c=0 ფორმის განტოლება, სადაც x არის ცვლადი, a, b და c არის რამდენიმე რიცხვი და $a \neq 0 $.

რიცხვები a, b და c არის კვადრატული განტოლების კოეფიციენტები. რიცხვს a ეწოდება პირველი კოეფიციენტი, რიცხვი b არის მეორე კოეფიციენტი და რიცხვი c არის კვეთა.

ax 2 +bx+c=0 ფორმის თითოეულ განტოლებაში, სადაც $a \neq 0 $, x ცვლადის უდიდესი ძალა არის კვადრატი. აქედან მოდის სახელწოდება: კვადრატული განტოლება.

გაითვალისწინეთ, რომ კვადრატულ განტოლებას ასევე უწოდებენ მეორე ხარისხის განტოლებას, რადგან მისი მარცხენა მხარე არის მეორე ხარისხის პოლინომი.

კვადრატული განტოლება, რომელშიც კოეფიციენტი x 2-ზე არის 1, ეწოდება შემცირებული კვადრატული განტოლება. მაგალითად, მოცემული კვადრატული განტოლებები არის განტოლებები
$x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 $

თუ კვადრატულ განტოლებაში ax 2 +bx+c=0 b ან c კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც ნულის ტოლია, მაშინ ასეთი განტოლება ე.წ. არასრული კვადრატული განტოლება. ასე რომ, განტოლებები -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 არასრული კვადრატული განტოლებებია. პირველში b=0, მეორეში c=0, მესამეში b=0 და c=0.

არასრული კვადრატული განტოლებები სამი ტიპისაა:
1) ax 2 +c=0, სადაც $c \neq 0 $;
2) ax 2 +bx=0, სადაც $b \neq 0 $;
3) ax2=0.

განვიხილოთ თითოეული ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნა.

ax 2 +c=0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად $c \neq 0$, მისი თავისუფალი წევრი გადადის მარჯვენა მხარეს და განტოლების ორივე ნაწილი იყოფა:
$x^2 = -\frac(c)(a) \მარჯვენა ისარი x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) $

ვინაიდან $c \neq 0 $, მაშინ $-\frac(c)(a) \neq 0 $

თუ $-\frac(c)(a)>0 $, მაშინ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

თუ $-\frac(c)(a) ax 2 +bx=0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად \(b \neq 0 $-ისთვის გაანაწილეთ მისი მარცხენა მხარე და მიიღეთ განტოლება.
$x(ax+b)=0 \მარჯვნივ ისარი \მარცხნივ\( \დაწყება(მასივი)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(მასივი) \მარჯვნივ. \მარჯვენა ისარი \მარცხნივ\( \დაწყება (მასივი)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end (მაივი) \მარჯვნივ. $

მაშასადამე, ax 2 +bx=0 ფორმის არასრულ კვადრატულ განტოლებას $b \neq 0 $ ყოველთვის აქვს ორი ფესვი.

ax 2 \u003d 0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლება უდრის განტოლებას x 2 \u003d 0 და, შესაბამისად, აქვს ერთი ფესვი 0.

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა

ახლა განვიხილოთ, როგორ წყდება კვადრატული განტოლებები, რომლებშიც უცნობის და თავისუფალი წევრის ორივე კოეფიციენტი ნულის ტოლია.

ვხსნით კვადრატულ განტოლებას ზოგადი ფორმით და შედეგად ვიღებთ ფესვების ფორმულას. მაშინ ეს ფორმულა შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერი კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად.

ამოხსენით კვადრატული განტოლება ax 2 +bx+c=0

მისი ორივე ნაწილის a-ზე გაყოფით მივიღებთ ექვივალენტურ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებას
$x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 $

ჩვენ გარდაქმნით ამ განტოლებას ბინომის კვადრატის ხაზგასმით:
$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\მარჯვნივ)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \მარჯვენა ისარი $

$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\მარჯვნივ)^ 2 - \frac(c)(a) \მარჯვენა ისარი $ $\მარცხნივ(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( გ)(ა) \მარჯვენა ისარი \მარცხნივ(x+\frac(b)(2a)\მარჯვნივ)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \მარჯვენა ისარი $ $x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \მარჯვენა ისარი x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \მარჯვენა ისარი $ $x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) $

ძირეული გამოხატულება ე.წ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი ax 2 +bx+c=0 (ლათინურად „განმასხვავებელი“ - განმასხვავებელი). იგი აღინიშნება ასო D-ით, ე.ი.
$D = b^2-4ac$

ახლა, დისკრიმინანტის აღნიშვნის გამოყენებით, ჩვენ გადავწერთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულას:
$x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) $, სადაც $D= b^2-4ac $

აშკარაა, რომ:
1) თუ D>0, მაშინ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.
2) თუ D=0, მაშინ კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი $x=-\frac(b)(2a)$.
3) თუ D ამგვარად, დისკრიმინანტის მნიშვნელობიდან გამომდინარე, კვადრატულ განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს ორი ფესვი (D > 0-ისთვის), ერთი ფესვი (D = 0-ისთვის) ან ფესვის გარეშე (D-სთვის კვადრატული განტოლების ამოხსნისას ამ ფორმულით მიზანშეწონილია შემდეგი გზით:
1) გამოთვალეთ დისკრიმინანტი და შეადარეთ ნულთან;
2) თუ დისკრიმინანტი დადებითია ან ნულის ტოლია, მაშინ გამოიყენეთ ფესვის ფორმულა, თუ დისკრიმინანტი უარყოფითია, ჩაწერეთ, რომ ფესვები არ არსებობს.

ვიეტას თეორემა

მოცემულ კვადრატულ განტოლებას ax 2 -7x+10=0 აქვს ფესვები 2 და 5. ფესვების ჯამი არის 7, ნამრავლი კი არის 10. ჩვენ ვხედავთ, რომ ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს, აღებული საპირისპირო ნიშანი და ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ ტერმინს. ნებისმიერ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებას, რომელსაც აქვს ფესვები, აქვს ეს თვისება.

მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს, აღებული საპირისპირო ნიშნით, ხოლო ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს.

იმათ. ვიეტას თეორემაში ნათქვამია, რომ შემცირებული კვადრატული განტოლების x 1 და x 2 ფესვებს აქვთ თვისება:
$\ მარცხნივ\( \დაწყება(მასივი)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(მასივი) \მარჯვნივ. $

იმედი მაქვს, რომ ამ სტატიის შესწავლის შემდეგ, თქვენ ისწავლით თუ როგორ უნდა იპოვოთ სრული კვადრატული განტოლების ფესვები.

დისკრიმინანტის დახმარებით იხსნება მხოლოდ სრული კვადრატული განტოლებები, არასრული კვადრატული განტოლებების ამოსახსნელად გამოიყენება სხვა მეთოდები, რომლებსაც იხილავთ სტატიაში „არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა“.

რომელ კვადრატულ განტოლებებს ეწოდება სრული? Ეს არის ax 2 + b x + c = 0 ფორმის განტოლებები, სადაც a, b და c კოეფიციენტები არ არის ნულის ტოლი. ასე რომ, სრული კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ დისკრიმინანტი D.

D \u003d b 2 - 4ac.

იმის მიხედვით, თუ რა მნიშვნელობა აქვს დისკრიმინატორს, ჩავწერთ პასუხს.

თუ დისკრიმინანტი უარყოფითი რიცხვია (D< 0),то корней нет.

თუ დისკრიმინანტი ნულია, მაშინ x \u003d (-b) / 2a. როდესაც დისკრიმინანტი დადებითი რიცხვია (D > 0),

შემდეგ x 1 = (-b - √D)/2a და x 2 = (-b + √D)/2a.

Მაგალითად. განტოლების ამოხსნა x 2- 4x + 4 = 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

პასუხი: 2.

ამოხსენით განტოლება 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

პასუხი: არ არის ფესვები.

ამოხსენით განტოლება 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

პასუხი: - 3,5; ერთი.

მოდით წარმოვიდგინოთ სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა 1-ლი სქემით.

ეს ფორმულები შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერი სრული კვადრატული განტოლების გადასაჭრელად. თქვენ უბრალოდ უნდა იყოთ ფრთხილად განტოლება დაიწერა სტანდარტული ფორმის მრავალწევრად

ა x 2 + bx + c,წინააღმდეგ შემთხვევაში შეგიძლიათ შეცდომა დაუშვათ. მაგალითად, x + 3 + 2x 2 = 0 განტოლების დაწერისას, შეგიძლიათ შეცდომით გადაწყვიტოთ, რომ

a = 1, b = 3 და c = 2. შემდეგ

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 და შემდეგ განტოლებას აქვს ორი ფესვი. და ეს სიმართლეს არ შეესაბამება. (იხილეთ მაგალითი 2 ზემოთ).

მაშასადამე, თუ განტოლება არ არის ჩაწერილი სტანდარტული ფორმის მრავალწევრად, ჯერ სრული კვადრატული განტოლება უნდა დაიწეროს სტანდარტული ფორმის პოლინომად (პირველ რიგში უნდა იყოს მონომი უდიდესი მაჩვენებლით, ე.ი. ა x 2 , შემდეგ ნაკლებით – bx, შემდეგ კი უფასო ვადა თან.

ზემოაღნიშნული კვადრატული განტოლებისა და მეორე წევრის ლუწი კოეფიციენტით კვადრატული განტოლების ამოხსნისას შეიძლება გამოყენებულ იქნას სხვა ფორმულებიც. მოდით გავეცნოთ ამ ფორმულებს. თუ მეორე წევრის სრულ კვადრატულ განტოლებაში კოეფიციენტი ლუწია (b = 2k), მაშინ განტოლება შეიძლება ამოხსნას 2-ის დიაგრამაზე ნაჩვენები ფორმულების გამოყენებით.

სრულ კვადრატულ განტოლებას შემცირებული ეწოდება, თუ კოეფიციენტი არის x 2 უდრის ერთიანობას და განტოლება იღებს ფორმას x 2 + px + q = 0. ასეთი განტოლება შეიძლება მიეცეს ამოსახსნელად, ან მიიღება განტოლების ყველა კოეფიციენტის კოეფიციენტზე გაყოფით ადგას x 2 .

ნახაზი 3 გვიჩვენებს შემცირებული კვადრატის ამოხსნის დიაგრამას
განტოლებები. განვიხილოთ ამ სტატიაში განხილული ფორმულების გამოყენების მაგალითი.

მაგალითი. განტოლების ამოხსნა

3x 2 + 6x - 6 = 0.

მოდით ამოვხსნათ ეს განტოლება ნახაზ 1-ში ნაჩვენები ფორმულების გამოყენებით.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

პასუხი: -1 - √3; –1 + √3

თქვენ ხედავთ, რომ კოეფიციენტი x-ზე ამ განტოლებაში არის ლუწი რიცხვი, ანუ b \u003d 6 ან b \u003d 2k, საიდანაც k \u003d 3. შემდეგ შევეცადოთ ამოხსნათ განტოლება ფიგურულ დიაგრამაზე ნაჩვენები ფორმულების გამოყენებით. D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

პასუხი: -1 - √3; –1 + √3. თუ შევამჩნევთ, რომ ამ კვადრატულ განტოლებაში ყველა კოეფიციენტი იყოფა 3-ზე და გავყოფთ, მივიღებთ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებას x 2 + 2x - 2 = 0 ჩვენ ამ განტოლებას ვხსნით შემცირებული კვადრატის ფორმულების გამოყენებით.
განტოლებები ფიგურა 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

პასუხი: -1 - √3; –1 + √3.

როგორც ხედავთ, ამ განტოლების ამოხსნისას სხვადასხვა ფორმულების გამოყენებით მივიღეთ იგივე პასუხი. მაშასადამე, 1 სურათის დიაგრამაზე ნაჩვენები ფორმულების კარგად ათვისების შემდეგ, თქვენ ყოველთვის შეგიძლიათ ამოხსნათ ნებისმიერი სრული კვადრატული განტოლება.

blog.site, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულები. განიხილება რეალური, მრავალჯერადი და რთული ფესვების შემთხვევები. კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია. გეომეტრიული ინტერპრეტაცია. ფესვების განსაზღვრისა და ფაქტორიზაციის მაგალითები.

ძირითადი ფორმულები

განვიხილოთ კვადრატული განტოლება:
(1) .
კვადრატული განტოლების ფესვები(1) განისაზღვრება ფორმულებით:
; .
ეს ფორმულები შეიძლება გაერთიანდეს შემდეგნაირად:
.
როდესაც ცნობილია კვადრატული განტოლების ფესვები, მაშინ მეორე ხარისხის მრავალწევრი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფაქტორების ნამრავლად (ფაქტორირებული):
.

გარდა ამისა, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ეს არის რეალური რიცხვები.
განიხილეთ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი:
.
თუ დისკრიმინანტი დადებითია, მაშინ კვადრატულ განტოლებას (1) აქვს ორი განსხვავებული რეალური ფესვი:
; .
მაშინ კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაციას აქვს ფორმა:
.
თუ დისკრიმინანტი არის ნული, მაშინ კვადრატულ განტოლებას (1) აქვს ორი მრავალჯერადი (ტოლი) რეალური ფესვი:
.
ფაქტორიზაცია:
.
თუ დისკრიმინანტი უარყოფითია, მაშინ კვადრატულ განტოლებას (1) აქვს ორი რთული კონიუგირებული ფესვი:
;
.
აქ არის წარმოსახვითი ერთეული, ;
და არის ფესვების რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები:
; .
მერე

.

გრაფიკული ინტერპრეტაცია

თუ ფუნქციას გრაფიკულად გამოვსახავთ
,
რომელიც არის პარაბოლა, მაშინ გრაფიკის ღერძთან გადაკვეთის წერტილები იქნება განტოლების ფესვები
.
როდესაც , გრაფიკი კვეთს აბსცისის ღერძს (ღერძს) ორ წერტილში.
როდესაც , გრაფიკი ეხება x ღერძს ერთ წერტილში.
როდესაც , გრაფიკი არ კვეთს x ღერძს.

ქვემოთ მოცემულია ასეთი გრაფიკების მაგალითები.

სასარგებლო ფორმულები, რომლებიც დაკავშირებულია კვადრატულ განტოლებასთან

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყვანა

ჩვენ ვასრულებთ გარდაქმნებს და ვიყენებთ ფორმულებს (f.1) და (f.3):

,
სადაც
; .

ასე რომ, მივიღეთ მეორე ხარისხის მრავალწევრის ფორმულა სახით:
.
აქედან ჩანს, რომ განტოლება

შესრულდა
და .
ეს არის და არის კვადრატული განტოლების ფესვები
.

კვადრატული განტოლების ფესვების განსაზღვრის მაგალითები

მაგალითი 1

(1.1) .

გადაწყვეტილება

.
ჩვენს განტოლებასთან (1.1) შედარებით, ჩვენ ვპოულობთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს:
.
დისკრიმინანტის პოვნა:
.
ვინაიდან დისკრიმინანტი დადებითია, განტოლებას ორი რეალური ფესვი აქვს:
;
;
.

აქედან ვიღებთ კვადრატული ტრინომის დაშლას ფაქტორებად:

.

y = ფუნქციის გრაფიკი 2 x 2 + 7 x + 3კვეთს x-ღერძს ორ წერტილში.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია
.
ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. ის კვეთს x-ღერძს (ღერძს) ორ წერტილში:
და .
ეს წერტილები არის საწყისი განტოლების ფესვები (1.1).

უპასუხე

;
;
.

მაგალითი 2

იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები:
(2.1) .

გადაწყვეტილება

ჩვენ ვწერთ კვადრატულ განტოლებას ზოგადი ფორმით:
.
თავდაპირველ განტოლებასთან (2.1) შედარებით, ჩვენ ვპოულობთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს:
.
დისკრიმინანტის პოვნა:
.
ვინაიდან დისკრიმინანტი არის ნული, განტოლებას აქვს ორი მრავალჯერადი (ტოლი) ფესვი:
;
.

მაშინ ტრინომის ფაქტორიზაციას აქვს ფორმა:
.

y = x ფუნქციის გრაფიკი 2 - 4 x + 4ეხება x ღერძს ერთ წერტილში.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია
.
ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. ის ეხება x-ღერძს (ღერძს) ერთ წერტილში:
.
ეს წერტილი არის საწყისი განტოლების (2.1) ფესვი. ვინაიდან ეს ფესვი ფაქტორირებულია ორჯერ:
,
მაშინ ასეთ ფესვს მრავალჯერადი ეწოდება. ანუ, ისინი თვლიან, რომ არსებობს ორი თანაბარი ფესვი:
.

უპასუხე

;
.

მაგალითი 3

იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები:
(3.1) .

გადაწყვეტილება

ჩვენ ვწერთ კვადრატულ განტოლებას ზოგადი ფორმით:
(1) .
მოდით გადავწეროთ ორიგინალური განტოლება (3.1):
.
(1-თან შედარებით), ჩვენ ვპოულობთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს:
.
დისკრიმინანტის პოვნა:
.
დისკრიმინანტი უარყოფითია, . ამიტომ, ნამდვილი ფესვები არ არსებობს.

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ რთული ფესვები:
;
;
.

მერე

.

ფუნქციის გრაფიკი არ კვეთს x ღერძს. ნამდვილი ფესვები არ არსებობს.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია
.
ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. ის არ კვეთს აბსცისს (ღერძს). ამიტომ, ნამდვილი ფესვები არ არსებობს.

უპასუხე

ნამდვილი ფესვები არ არსებობს. რთული ფესვები:
;
;
.

კოპიევსკაიას სოფლის საშუალო სკოლა

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის 10 გზა

ხელმძღვანელი: პატრიკეევა გალინა ანატოლიევნა,

მათემატიკის მასწავლებელი

ს.კოპიევო, 2007 წ

1. კვადრატული განტოლებების განვითარების ისტორია

1.1 კვადრატული განტოლებები ძველ ბაბილონში

1.2 როგორ შეადგინა და ამოხსნა დიოფანტე კვადრატული განტოლებები

1.3 კვადრატული განტოლებები ინდოეთში

1.4 კვადრატული განტოლებები ალ-ხორეზმში

1.5 კვადრატული განტოლებები ევროპაში XIII - XVII სს

1.6 ვიეტას თეორემის შესახებ

2. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

დასკვნა

ლიტერატურა

1. კვადრატული განტოლებების განვითარების ისტორია

1.1 კვადრატული განტოლებები ძველ ბაბილონში

ძველ დროში არა მხოლოდ პირველი, არამედ მეორე ხარისხის განტოლებების ამოხსნის აუცილებლობა გამოწვეული იყო სამხედრო ხასიათის მიწის და მიწის სამუშაოების ტერიტორიების მოძიებასთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრის აუცილებლობით, აგრეთვე ასტრონომიისა და ასტრონომიის განვითარებით. თავად მათემატიკა. კვადრატულმა განტოლებებმა შეძლეს ამოხსნათ დაახლოებით 2000 წ. ე. ბაბილონელები.

თანამედროვე ალგებრული აღნიშვნის გამოყენებით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მათ ლურსმული ტექსტებში, არასრული ტექსტების გარდა, არის ასეთი, მაგალითად, სრული კვადრატული განტოლებები:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

ამ განტოლებების ამოხსნის წესი, რომელიც ნათქვამია ბაბილონურ ტექსტებში, არსებითად ემთხვევა თანამედროვეს, მაგრამ უცნობია, როგორ მივიდნენ ბაბილონელები ამ წესამდე. აქამდე აღმოჩენილი თითქმის ყველა ლურსმული ტექსტი იძლევა მხოლოდ რეცეპტების სახით ასახულ ამონახსნებს და არ მიუთითებს იმაზე, თუ როგორ იქნა ნაპოვნი.

ბაბილონში ალგებრის განვითარების მაღალი დონის მიუხედავად, ლურსმული ტექსტები მოკლებულია უარყოფითი რიცხვის კონცეფციას და კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგად მეთოდებს.

1.2 როგორ შეადგინა და ამოხსნა დიოფანტე კვადრატული განტოლებები.

დიოფანტეს არითმეტიკა არ შეიცავს ალგებრის სისტემურ ექსპოზიციას, მაგრამ შეიცავს ამოცანების სისტემურ სერიას, რომელსაც ახლავს განმარტებები და ამოხსნილია სხვადასხვა ხარისხის განტოლებების ფორმულირებით.

განტოლებების შედგენისას დიოფანტი ოსტატურად ირჩევს უცნობებს ამოხსნის გასამარტივებლად.

აი, მაგალითად, მისი ერთ-ერთი ამოცანა.

დავალება 11."იპოვეთ ორი რიცხვი, რადგან იცოდეთ, რომ მათი ჯამი არის 20, ნამრავლი კი 96"

დიოფანტე ასე ამტკიცებს: პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარეობს, რომ სასურველი რიცხვები არ არის ტოლი, რადგან ტოლი რომ იყოს, მაშინ მათი ნამრავლი იქნება არა 96-ის, არამედ 100-ის ტოლი. ამრიგად, ერთ-ერთი მათგანი იქნება მეტი. მათი ჯამის ნახევარი, ე.ი. 10+x, მეორე უფრო პატარაა, ე.ი. 10-იანი წლები. განსხვავება მათ შორის 2x .

აქედან გამომდინარეობს განტოლება:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

აქედან x = 2. ერთ-ერთი სასურველი ნომერია 12 , სხვა 8 . გადაწყვეტილება x = -2რადგან დიოფანტე არ არსებობს, რადგან ბერძნულმა მათემატიკამ მხოლოდ დადებითი რიცხვები იცოდა.

თუ ამ პრობლემას მოვაგვარებთ ერთ-ერთი სასურველი რიცხვის უცნობის არჩევით, მაშინ მივალთ განტოლების ამოხსნამდე.

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

გასაგებია, რომ დიოფანტე ამარტივებს ამოხსნას სასურველი რიცხვების ნახევრად განსხვავების ამორჩევით უცნობად; ის ახერხებს ამოცანის შემცირებას არასრული კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე (1).

1.3 კვადრატული განტოლებები ინდოეთში

კვადრატული განტოლებების ამოცანები უკვე გვხვდება ასტრონომიულ ტრაქტატში "არიაბჰატამი", რომელიც შედგენილია 499 წელს ინდოელი მათემატიკოსისა და ასტრონომის არიაბჰატას მიერ. კიდევ ერთმა ინდოელმა მეცნიერმა, ბრაჰმაგუპტამ (VII ს.), გამოკვეთა კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგადი წესი, რომელიც შემცირებულია კანონიკურ ფორმამდე:

აჰ 2+ ბ x = c, a > 0. (1)

განტოლებაში (1) კოეფიციენტები, გარდა ა, ასევე შეიძლება იყოს უარყოფითი. ბრაჰმაგუპტას წესი არსებითად ემთხვევა ჩვენსას.

ძველ ინდოეთში გავრცელებული იყო საჯარო კონკურსები რთული პრობლემების გადაჭრაში. ერთ-ერთ ძველ ინდურ წიგნში ასეთი შეჯიბრებების შესახებ ნათქვამია: „როგორც მზე აჭარბებს ვარსკვლავებს თავისი ბრწყინვალებით, ისე განათლებული ადამიანი გადააჭარბებს სხვის დიდებას საჯარო შეხვედრებზე, ალგებრული პრობლემების შეთავაზებითა და გადაწყვეტით“. ამოცანები ხშირად იყო ჩაცმული პოეტური ფორმით.

აქ არის XII საუკუნის ცნობილი ინდოელი მათემატიკოსის ერთ-ერთი პრობლემა. ბჰასკარა.

დავალება 13.

"მაიმუნების ცბიერი ფარა და თორმეტი ვაზში...

ძალა შეჭამეს, გაერთეთ. მათ დაიწყეს ხტომა, ჩამოკიდება ...

მერვე ნაწილი მოედანზე რამდენი მაიმუნი იყო იქ,

გართობა მდელოზე. შენ მეუბნები, ამ ფარაში?

ბჰასკარას ამონახსნი მიუთითებს, რომ მან იცოდა კვადრატული განტოლებების ფესვების ორმნიშვნელოვნების შესახებ (ნახ. 3).

მე-13 ამოცანის შესაბამისი განტოლება არის:

( x /8) 2 + 12 = x

ბჰასკარა საფარქვეშ წერს:

x 2 - 64x = -768

და ამ განტოლების მარცხენა მხარის კვადრატის დასასრულებლად, ის ამატებს ორივე მხარეს 32 2 , მიღების შემდეგ:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 კვადრატული განტოლებები ალ-ხორეზმში

ალ-ხორეზმის ალგებრულ ტრაქტატში მოცემულია წრფივი და კვადრატული განტოლებების კლასიფიკაცია. ავტორი ჩამოთვლის განტოლების 6 ტიპს და მათ შემდეგნაირად გამოხატავს:

1) „კვადრატები ფესვების ტოლია“, ე.ი. ცული 2 + c = ბ X.

2) „კვადრატები რიცხვის ტოლია“, ე.ი. ცული 2 = ს.

3) „ფესვები რიცხვის ტოლია“, ე.ი. აჰ = ს.

4) „კვადრატები და რიცხვები ფესვების ტოლია“, ე.ი. ცული 2 + c = ბ X.

5) „კვადრატები და ფესვები რიცხვის ტოლია“, ე.ი. აჰ 2+ bx = ს.

6) „ფესვები და რიცხვები უდრის კვადრატებს“, ე.ი. bx + c \u003d ცული 2.

ალ-ხორეზმისთვის, რომელიც გაურბოდა უარყოფითი რიცხვების გამოყენებას, თითოეული ამ განტოლების ტერმინები არის დამატებები და არა გამოკლება. ამ შემთხვევაში, განტოლებები, რომლებსაც არ აქვთ დადებითი ამონახსნები, აშკარად არ არის გათვალისწინებული. ავტორი ასახავს ამ განტოლებების ამოხსნის მეთოდებს ალ-ჯაბრისა და ალ-მუქაბალას მეთოდების გამოყენებით. მისი გადაწყვეტილებები, რა თქმა უნდა, სრულიად არ ემთხვევა ჩვენსას. რომ აღარაფერი ვთქვათ, რომ ის წმინდა რიტორიკულია, უნდა აღინიშნოს, რომ მაგალითად, პირველი ტიპის არასრული კვადრატული განტოლების ამოხსნისას

ალ-ხორეზმი, ისევე როგორც ყველა მათემატიკოსი მე-17 საუკუნემდე, არ ითვალისწინებს ნულოვან ამონახსნებს, ალბათ იმიტომ, რომ მას არ აქვს მნიშვნელობა კონკრეტულ პრაქტიკულ ამოცანებში. სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას ალ-ხორეზმი ადგენს ამოხსნის წესებს, შემდეგ კი გეომეტრიულ მტკიცებულებებს, კონკრეტული რიცხვითი მაგალითების გამოყენებით.

დავალება 14.„კვადრატი და რიცხვი 21 უდრის 10 ფესვს. იპოვე ფესვი" (ვივარაუდოთ, რომ განტოლების ფესვი x 2 + 21 = 10x).

ავტორის ამონახსნი დაახლოებით ასე გამოიყურება: გაყავით ფესვების რაოდენობა შუაზე, მიიღებთ 5-ს, თავისთავად გაამრავლებთ 5-ს, ნამრავლს გამოაკლებთ 21-ს, რჩება 4. აიღეთ 4-ის ფესვი, მიიღებთ 2-ს. გამოაკლებთ 2-ს 5-ს. მიიღეთ 3, ეს იქნება სასურველი ფესვი. ან დაამატეთ 2 5-ს, რომელიც მისცემს 7-ს, ესეც ფესვია.

ტრაქტატი ალ-ხორეზმი ჩვენამდე მოღწეული პირველი წიგნია, რომელშიც სისტემატურად არის ჩამოყალიბებული კვადრატული განტოლებების კლასიფიკაცია და მოცემულია მათი ამოხსნის ფორმულები.

1.5 კვადრატული განტოლებები ევროპაში XIII - XVII საუკუნეებს

ევროპაში ალ-ხორეზმის მოდელზე კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ფორმულები პირველად ჩამოყალიბდა იტალიელმა მათემატიკოსმა ლეონარდო ფიბონაჩის მიერ 1202 წელს დაწერილი "აბაკუსის წიგნში". ეს მოცულობითი ნაშრომი, რომელიც ასახავს მათემატიკის გავლენას, როგორც ისლამის ქვეყნებს, ისე ძველ საბერძნეთს, გამოირჩევა როგორც სისრულით, ასევე პრეზენტაციის სიცხადით. ავტორმა დამოუკიდებლად შეიმუშავა პრობლემის გადაჭრის რამდენიმე ახალი ალგებრული მაგალითი და პირველი იყო ევროპაში, ვინც მიუახლოვდა უარყოფითი რიცხვების შემოღებას. მისმა წიგნმა ხელი შეუწყო ალგებრული ცოდნის გავრცელებას არა მხოლოდ იტალიაში, არამედ გერმანიაში, საფრანგეთსა და ევროპის სხვა ქვეყნებში. ბევრი პრობლემა აბაკუსის წიგნიდან გადავიდა მე-16-17 საუკუნეების თითქმის ყველა ევროპულ სახელმძღვანელოში. და ნაწილობრივ XVIII.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგადი წესი დაყვანილი ერთი კანონიკური ფორმით:

x 2+ bx = თან,

კოეფიციენტების ნიშნების ყველა შესაძლო კომბინაციისთვის ბ , თანჩამოყალიბდა ევროპაში მხოლოდ 1544 წელს მ.შტიფელის მიერ.

ვიეტას აქვს კვადრატული განტოლების ამოხსნის ფორმულის ზოგადი წარმოშობა, მაგრამ ვიეტამ აღიარა მხოლოდ დადებითი ფესვები. მე-16 საუკუნეში პირველთა შორის იყვნენ იტალიელი მათემატიკოსები ტარტალია, კარდანო, ბომბელი. გაითვალისწინეთ, გარდა დადებითი და უარყოფითი ფესვებისა. მხოლოდ XVII საუკუნეში. ჟირარის, დეკარტის, ნიუტონის და სხვა მეცნიერების მუშაობის წყალობით, კვადრატული განტოლებების ამოხსნის გზა თანამედროვე სახეს იღებს.

1.6 ვიეტას თეორემის შესახებ

კვადრატული განტოლების კოეფიციენტებსა და მის ფესვებს შორის კავშირის გამომხატველი თეორემა, რომელსაც ატარებს ვიეტას სახელი, მან პირველად ჩამოაყალიბა 1591 წელს შემდეგნაირად: „თუ ბ + დგამრავლებული ა - ა 2 , უდრის BD, მაშინ აუდრის ATდა თანაბარი დ ».

ვიეტას გასაგებად, ეს უნდა გვახსოვდეს მაგრამ, ისევე როგორც ნებისმიერი ხმოვანი, მისთვის ნიშნავდა უცნობს (ჩვენი X), ხმოვნები AT, დ- კოეფიციენტები უცნობისთვის. თანამედროვე ალგებრის ენაზე ვიეტას ზემოთ მოცემული ფორმულირება ნიშნავს: თუ

(ა + ბ )x - x 2 = აბ ,

x 2 - (a + ბ )x + ა ბ = 0,

x 1 = a, x 2 = ბ .

განტოლებების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის კავშირის გამოხატვით სიმბოლოების გამოყენებით დაწერილი ზოგადი ფორმულებით, ვიეტმა დაადგინა ერთგვაროვნება განტოლებების ამოხსნის მეთოდებში. თუმცა, ვიეტას სიმბოლიკა ჯერ კიდევ შორს არის მისი თანამედროვე ფორმისგან. ის არ ცნობდა უარყოფით რიცხვებს და, შესაბამისად, განტოლებების ამოხსნისას განიხილავდა მხოლოდ შემთხვევებს, როდესაც ყველა ფესვი დადებითია.

2. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

კვადრატული განტოლებები არის საფუძველი, რომელზედაც ეყრდნობა ალგებრის დიდებული ნაგებობა. კვადრატული განტოლებები ფართოდ გამოიყენება ტრიგონომეტრიული, ექსპონენციალური, ლოგარითმული, ირაციონალური და ტრანსცენდენტული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას. ჩვენ ყველამ ვიცით როგორ ამოხსნათ კვადრატული განტოლებები სკოლიდან (მე-8 კლასი) დამთავრებამდე.

D \u003d b 2 - 4ac.

იმის მიხედვით, თუ რა მნიშვნელობა აქვს დისკრიმინატორს, ჩავწერთ პასუხს.

თუ დისკრიმინანტი უარყოფითი რიცხვია (D< 0),то корней нет.

შემდეგ x 1 = (-b - √D)/2a და x 2 = (-b + √D)/2a.

Მაგალითად. განტოლების ამოხსნა x 2- 4x + 4 = 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

პასუხი: 2.

ამოხსენით განტოლება 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

პასუხი: არ არის ფესვები.

ამოხსენით განტოლება 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

პასუხი: - 3,5; ერთი.

მოდით წარმოვიდგინოთ სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა 1-ლი სქემით.

a = 1, b = 3 და c = 2. შემდეგ

მაგალითი. განტოლების ამოხსნა

3x 2 + 6x - 6 = 0.

მოდით ამოვხსნათ ეს განტოლება ნახაზ 1-ში ნაჩვენები ფორმულების გამოყენებით.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

პასუხი: -1 - √3; –1 + √3

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

პასუხი: -1 - √3; –1 + √3.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის ტრენინგი

ცოტა თეორია.

კვადრატული განტოლება და მისი ფესვები. არასრული კვადრატული განტოლებები

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა

ვიეტას თეორემა

ძირითადი ფორმულები

გრაფიკული ინტერპრეტაცია

სასარგებლო ფორმულები, რომლებიც დაკავშირებულია კვადრატულ განტოლებასთან

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყვანა

კვადრატული განტოლების ფესვების განსაზღვრის მაგალითები

მაგალითი 1

გადაწყვეტილება

უპასუხე

მაგალითი 2

გადაწყვეტილება

უპასუხე

მაგალითი 3

გადაწყვეტილება

უპასუხე

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ