დისკრიმინაციული, ისევე როგორც კვადრატული განტოლებები, მე-8 კლასში ალგებრის კურსში იწყება. თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ კვადრატული განტოლება დისკრიმინანტის საშუალებით და ვიეტას თეორემის გამოყენებით. კვადრატული განტოლებების შესწავლის მეთოდოლოგია, ისევე როგორც დისკრიმინაციული ფორმულა, საკმაოდ წარუმატებლად არის დანერგილი სკოლის მოსწავლეებში, ისევე როგორც რეალურ განათლებაში. ამიტომ გადის სკოლის წლები, 9-11 კლასებში განათლება ცვლის „უმაღლეს განათლებას“ და ყველა ისევ ეძებს - "როგორ ამოვიცნოთ კვადრატული განტოლება?", "როგორ მოვძებნოთ განტოლების ფესვები?", "როგორ მოვძებნოთ დისკრიმინანტი?" და...

დისკრიმინაციული ფორმულა

a*x^2+bx+c=0 კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი D არის D=b^2–4*a*c.
კვადრატული განტოლების ფესვები (გადაწყვეტილებები) დამოკიდებულია დისკრიმინანტის ნიშანზე (D):
D>0 - განტოლებას აქვს 2 განსხვავებული რეალური ფესვი;
D=0 - განტოლებას აქვს 1 ფესვი (2 ემთხვევა ფესვი):
დ<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
დისკრიმინანტის გამოთვლის ფორმულა საკმაოდ მარტივია, ამიტომ ბევრი საიტი გვთავაზობს ონლაინ დისკრიმინანტის კალკულატორს. ჩვენ ჯერ არ გვაქვს გააზრებული ამ ტიპის სკრიპტები, ასე რომ, ვინ იცის როგორ განახორციელოს ეს, გთხოვთ მოგვწეროთ მეილზე ელფოსტის ეს მისამართი დაცულია სპამბოტებისგან. სანახავად უნდა გქონდეთ ჩართული JavaScript. .

კვადრატული განტოლების ფესვების პოვნის ზოგადი ფორმულა:

განტოლების ფესვები გვხვდება ფორმულით
თუ კვადრატში ცვლადის კოეფიციენტი დაწყვილებულია, მაშინ მიზანშეწონილია გამოთვალოთ არა დისკრიმინანტი, არამედ მისი მეოთხე ნაწილი.
ასეთ შემთხვევებში, განტოლების ფესვები გვხვდება ფორმულით

ფესვების პოვნის მეორე გზა არის ვიეტას თეორემა.

თეორემა ჩამოყალიბებულია არა მხოლოდ კვადრატული განტოლებისთვის, არამედ მრავალწევრებისთვისაც. ამის წაკითხვა შეგიძლიათ ვიკიპედიაზე ან სხვა ელექტრონულ რესურსებზე. თუმცა, გასამარტივებლად განვიხილოთ მისი ის ნაწილი, რომელიც ეხება შემცირებულ კვადრატულ განტოლებებს, ანუ (a=1) ფორმის განტოლებებს.
ვიეტას ფორმულების არსი იმაში მდგომარეობს, რომ განტოლების ფესვების ჯამი უდრის ცვლადის კოეფიციენტს, აღებული საპირისპირო ნიშნით. განტოლების ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს. ვიეტას თეორემის ფორმულებს აქვთ აღნიშვნა.
ვიეტას ფორმულის წარმოშობა საკმაოდ მარტივია. დავწეროთ კვადრატული განტოლება მარტივი ფაქტორების მიხედვით
როგორც ხედავთ, ყველაფერი გენიალური ამავდროულად მარტივია. ეფექტურია ვიეტას ფორმულის გამოყენება, როდესაც ფესვების მოდულის სხვაობა ან ფესვების მოდულის სხვაობა არის 1, 2. მაგალითად, შემდეგ განტოლებებს, ვიეტას თეორემის მიხედვით, აქვთ ფესვები.




4-მდე განტოლების ანალიზი ასე უნდა გამოიყურებოდეს. განტოლების ფესვების ნამრავლი არის 6, ამიტომ ფესვები შეიძლება იყოს მნიშვნელობები (1, 6) და (2, 3) ან წყვილები საპირისპირო ნიშნით. ფესვების ჯამი არის 7 (ცვლადის კოეფიციენტი საპირისპირო ნიშნით). აქედან ვასკვნით, რომ კვადრატული განტოლების ამონახსნები უდრის x=2; x=3.
უფრო ადვილია განტოლების ფესვების შერჩევა თავისუფალი წევრის გამყოფებს შორის, მათი ნიშნის გასწორება ვიეტას ფორმულების შესასრულებლად. თავიდან, როგორც ჩანს, ამის გაკეთება რთულია, მაგრამ რამდენიმე კვადრატულ განტოლებაზე პრაქტიკით, ეს ტექნიკა უფრო ეფექტური იქნება, ვიდრე დისკრიმინანტის გამოთვლა და კვადრატული განტოლების ფესვების კლასიკური გზით პოვნა.
როგორც ხედავთ, დისკრიმინანტის შესწავლის სასკოლო თეორია და განტოლების ამოხსნის გზები მოკლებულია პრაქტიკულ მნიშვნელობას - "რაში სჭირდებათ სკოლის მოსწავლეებს კვადრატული განტოლება?", "რა არის დისკრიმინანტის ფიზიკური მნიშვნელობა?".

შევეცადოთ გავერკვეთ რას აღწერს დისკრიმინანტი?

ალგებრის მსვლელობისას სწავლობენ ფუნქციებს, ფუნქციების შესწავლის სქემებს და ფუნქციების გამოსახულებას. ყველა ფუნქციიდან მნიშვნელოვანი ადგილი უკავია პარაბოლას, რომლის განტოლება შეიძლება დაიწეროს სახით
ამრიგად, კვადრატული განტოლების ფიზიკური მნიშვნელობა არის პარაბოლის ნულები, ანუ ფუნქციის გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები აბსცისის ღერძთან Ox.
გთხოვთ, გახსოვდეთ პარაბოლების თვისებები, რომლებიც ქვემოთ არის აღწერილი. დადგება გამოცდების, ტესტების ან მისაღები გამოცდების ჩაბარების დრო და მადლობელი იქნებით საცნობარო მასალისთვის. კვადრატში ცვლადის ნიშანი შეესაბამება თუ არა პარაბოლას ტოტები გრაფიკზე ზემოთ (a>0),

ან პარაბოლა ტოტებით ქვემოთ (ა<0) .

პარაბოლას წვერო შუაშია ფესვებს შორის

დისკრიმინანტის ფიზიკური მნიშვნელობა:

თუ დისკრიმინანტი ნულზე მეტია (D>0), პარაბოლას აქვს ორი გადაკვეთის წერტილი Ox ღერძთან.
თუ დისკრიმინანტი ნულის ტოლია (D=0), მაშინ ზედა პარაბოლა ეხება x ღერძს.
და ბოლო შემთხვევა, როცა დისკრიმინანტი ნულზე ნაკლებია (დ<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

არასრული კვადრატული განტოლებები

კვადრატული განტოლებები. დისკრიმინანტი. გამოსავალი, მაგალითები.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

კვადრატული განტოლებების სახეები

რა არის კვადრატული განტოლება? Რას გავს? ვადით კვადრატული განტოლებასაკვანძო სიტყვა არის "კვადრატი".ეს ნიშნავს, რომ განტოლებაში აუცილებლადუნდა იყოს x კვადრატი. გარდა ამისა, განტოლებაში შეიძლება იყოს (ან არ იყოს!) მხოლოდ x (პირველ ხარისხამდე) და მხოლოდ რიცხვი. (თავისუფალი წევრი).და არ უნდა იყოს x-ები ორზე მეტი ხარისხით.

მათემატიკური თვალსაზრისით, კვადრატული განტოლება არის ფორმის განტოლება:

Აქ a, b და c- რამდენიმე რიცხვი. ბ და გ- აბსოლუტურად ნებისმიერი, მაგრამ ა- არაფერი, ნულის გარდა. Მაგალითად:

Აქ ა =1; ბ = 3; გ = -4

Აქ ა =2; ბ = -0,5; გ = 2,2

Აქ ა =-3; ბ = 6; გ = -18

აბა, გესმით აზრი...

ამ კვადრატულ განტოლებებში მარცხნივ არის სრული კომპლექტიწევრები. x კვადრატში კოეფიციენტით ა, x პირველ ხარისხამდე კოეფიციენტით ბდა თავისუფალი წევრი

ასეთ კვადრატულ განტოლებებს ე.წ სრული.

Და თუ ბ= 0, რას მივიღებთ? Ჩვენ გვაქვს X პირველ ხარისხში გაქრება.ეს ხდება ნულზე გამრავლებიდან.) გამოდის, მაგალითად:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

და ა.შ. და თუ ორივე კოეფიციენტი ბდა გნულის ტოლია, მაშინ ეს კიდევ უფრო მარტივია:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

ასეთ განტოლებებს, სადაც რაღაც აკლია, ე.წ არასრული კვადრატული განტოლებები.რაც საკმაოდ ლოგიკურია.) გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ x კვადრატი ყველა განტოლებაშია.

სხვათა შორის რატომ ანული არ შეიძლება? და შენ ჩაანაცვლე ანული.) კვადრატში X გაქრება! განტოლება გახდება წრფივი. და სხვანაირად კეთდება...

ეს არის კვადრატული განტოლების ყველა ძირითადი ტიპი. სრული და არასრული.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნა.

სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა.

კვადრატული განტოლებები ადვილად ამოსახსნელია. ფორმულებისა და მკაფიო მარტივი წესების მიხედვით. პირველ ეტაპზე აუცილებელია მოცემული განტოლების სტანდარტულ ფორმამდე მიყვანა, ე.ი. ხედისკენ:

თუ განტოლება უკვე მოგცემთ ამ ფორმით, არ გჭირდებათ პირველი ეტაპის გაკეთება.) მთავარია სწორად განსაზღვროთ ყველა კოეფიციენტი, ა, ბდა გ.

კვადრატული განტოლების ფესვების პოვნის ფორმულა ასე გამოიყურება:

ძირის ნიშნის ქვეშ გამოხატულს ე.წ დისკრიმინანტი. მაგრამ უფრო მეტი მის შესახებ ქვემოთ. როგორც ხედავთ, x-ის საპოვნელად ვიყენებთ მხოლოდ a, b და c. იმათ. კოეფიციენტები კვადრატული განტოლებიდან. უბრალოდ ფრთხილად შეცვალეთ მნიშვნელობები a, b და cამ ფორმულაში და დათვალეთ. შემცვლელი შენი ნიშნებით! მაგალითად, განტოლებაში:

ა =1; ბ = 3; გ= -4. აქ ჩვენ ვწერთ:

მაგალითი თითქმის მოგვარებულია:

ეს არის პასუხი.

ყველაფერი ძალიან მარტივია. და როგორ ფიქრობთ, ვერ შეცდებით? ჰო, როგორ...

ყველაზე გავრცელებული შეცდომები არის დაბნეულობა ფასეულობების ნიშნებთან a, b და c. უფრო სწორად, არა მათი ნიშნებით (სად არის დასაბნეველი?), არამედ უარყოფითი მნიშვნელობების ჩანაცვლებით ფესვების გამოთვლის ფორმულაში. აქ ინახავს ფორმულის დეტალური ჩანაწერი კონკრეტული რიცხვებით. თუ გამოთვლებთან დაკავშირებული პრობლემებია, ასე რომ გააკეთე!

დავუშვათ, ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ შემდეგი მაგალითი:

Აქ ა = -6; ბ = -5; გ = -1

ვთქვათ, იცით, რომ იშვიათად იღებთ პასუხებს პირველად.

კარგი, ნუ დაიზარებ. დამატებითი ხაზის დაწერას 30 წამი დასჭირდება და შეცდომების რაოდენობა მკვეთრად დაეცემა. ასე რომ, ჩვენ ვწერთ დეტალურად, ყველა ფრჩხილით და ნიშნით:

წარმოუდგენლად რთულია ასე ფრთხილად ხატვა. მაგრამ ეს მხოლოდ ჩანს. Სცადე. კარგად, ან აირჩიე. რომელია უკეთესი, სწრაფი თუ სწორი? თანაც გაგაბედნიერებ. ცოტა ხანში ყველაფრის ასე გულდასმით მოხატვა აღარ იქნება საჭირო. უბრალოდ სწორი აღმოჩნდება. მით უმეტეს, თუ იყენებთ პრაქტიკულ ტექნიკას, რომელიც აღწერილია ქვემოთ. ეს ბოროტი მაგალითი მთელი რიგი მინუსებით მოგვარდება მარტივად და შეცდომების გარეშე!

მაგრამ, ხშირად, კვადრატული განტოლებები ოდნავ განსხვავებულად გამოიყურება. მაგალითად, ასე:

იცოდით?) დიახ! Ეს არის არასრული კვადრატული განტოლებები.

არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა.

მათი გადაჭრა ასევე შესაძლებელია ზოგადი ფორმულით. თქვენ უბრალოდ უნდა სწორად გაარკვიოთ რა არის აქ ტოლი a, b და c.

მიხვდა? პირველ მაგალითში a = 1; b = -4;ა გ? ის საერთოდ არ არსებობს! კარგი, დიახ, ასეა. მათემატიკაში ეს იმას ნიშნავს c = 0 ! Სულ ეს არის. ჩაანაცვლეთ ნული ფორმულაში ნაცვლად გ,და ყველაფერი გამოგვივა. ანალოგიურად მეორე მაგალითზე. მხოლოდ ნული აქ არ გვაქვს თან, ა ბ !

მაგრამ არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ბევრად უფრო ადვილია. ყოველგვარი ფორმულების გარეშე. განვიხილოთ პირველი არასრული განტოლება. რა შეიძლება გაკეთდეს მარცხენა მხარეს? შეგიძლიათ ამოიღოთ X ფრჩხილებიდან! მოდი ამოვიღოთ.

და რა აქედან? და ის, რომ ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ რომელიმე ფაქტორი ნულის ტოლია! არ გჯერა? კარგი, მაშინ გამოიტანე ორი არა-ნულოვანი რიცხვი, რომლებიც გამრავლებისას მიიღებენ ნულს!
Არ მუშაობს? რაღაც...
ამიტომ, ჩვენ შეგვიძლია დარწმუნებით დავწეროთ: x 1 = 0, x 2 = 4.

ყველაფერი. ეს იქნება ჩვენი განტოლების ფესვები. ორივე ჯდება. რომელიმე მათგანის თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებისას მივიღებთ სწორ იდენტურობას 0 = 0. როგორც ხედავთ, გამოსავალი ბევრად უფრო მარტივია, ვიდრე ზოგადი ფორმულა. მე აღვნიშნავ, სხვათა შორის, რომელი X იქნება პირველი და რომელი მეორე - აბსოლუტურად გულგრილია. მარტივად იწერება თანმიმდევრობით x 1- რაც ნაკლებია x 2- რაც მეტია.

მეორე განტოლება ასევე ადვილად ამოხსნილია. ჩვენ გადავდივართ 9-ით მარჯვენა მხარეს. ჩვენ ვიღებთ:

რჩება ფესვის ამოღება 9-დან და ეს არის ის. მიიღეთ:

ასევე ორი ფესვი . x 1 = -3, x 2 = 3.

ასე იხსნება ყველა არასრული კვადრატული განტოლება. ან X-ის ფრჩხილებიდან ამოღებით, ან უბრალოდ ნომრის მარჯვნივ გადატანით, რასაც მოჰყვება ფესვის ამოღება.
ძალიან რთულია ამ მეთოდების აღრევა. უბრალოდ იმიტომ, რომ პირველ შემთხვევაში თქვენ მოგიწევთ ფესვის ამოღება X-დან, რაც რატომღაც გაუგებარია, ხოლო მეორე შემთხვევაში ფრჩხილებიდან ამოღება არაფერია ...

დისკრიმინანტი. დისკრიმინაციული ფორმულა.

ჯადოსნური სიტყვა დისკრიმინანტი ! იშვიათ საშუალო სკოლის მოსწავლეს ეს სიტყვა არ გაუგია! ფრაზა „გადაწყვიტე დისკრიმინანტის მეშვეობით“ დამამშვიდებელი და დამამშვიდებელია. იმიტომ რომ არ არის საჭირო დისკრიმინანტისგან ხრიკების მოლოდინი! მარტივი და უპრობლემოდ გამოსაყენებელია.) შეგახსენებთ ამოხსნის ყველაზე ზოგად ფორმულას ნებისმიერიკვადრატული განტოლებები:

ძირის ნიშნის ქვეშ გამოსახულებას დისკრიმინანტი ეწოდება. დისკრიმინანტი ჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით დ. დისკრიმინაციული ფორმულა:

D = b 2 - 4ac

და რა არის განსაკუთრებული ამ გამოთქმაში? რატომ იმსახურებს ის განსაკუთრებულ სახელს? Რა დისკრიმინანტის მნიშვნელობა?Ყველაფრის შემდეგ -ბ,ან 2აამ ფორმულაში ისინი კონკრეტულად არ ასახელებენ ... ასოები და ასოები.

საქმე ამაშია. ამ ფორმულით კვადრატული განტოლების ამოხსნისას შესაძლებელია მხოლოდ სამი შემთხვევა.

1. დისკრიმინანტი დადებითია.ეს ნიშნავს, რომ თქვენ შეგიძლიათ მისგან ფესვის ამოღება. კარგად არის ამოღებული ფესვი თუ ცუდად, ეს სხვა საკითხია. მნიშვნელოვანია, რა არის მოპოვებული პრინციპში. მაშინ თქვენს კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. ორი განსხვავებული გამოსავალი.

2. დისკრიმინანტი არის ნული.მაშინ თქვენ გაქვთ ერთი გამოსავალი. ვინაიდან მრიცხველში ნულის შეკრება ან გამოკლება არაფერს ცვლის. მკაცრად რომ ვთქვათ, ეს არ არის ერთი ფესვი, მაგრამ ორი იდენტური. მაგრამ, გამარტივებულ ვერსიაში, ჩვეულებრივად არის საუბარი ერთი გამოსავალი.

3. დისკრიმინანტი უარყოფითია.უარყოფითი რიცხვი არ იღებს კვადრატულ ფესვს. Კარგი. ეს ნიშნავს, რომ გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

მართალი გითხრათ, კვადრატული განტოლებების მარტივი ამოხსნით, დისკრიმინანტის კონცეფცია ნამდვილად არ არის საჭირო. ჩვენ ვცვლით კოეფიციენტების მნიშვნელობებს ფორმულაში და განვიხილავთ. იქ ყველაფერი თავისთავად გამოდის, და ორი ფესვი, და ერთი და არა ერთი. თუმცა, უფრო რთული ამოცანების გადაჭრისას, ცოდნის გარეშე მნიშვნელობა და დისკრიმინაციული ფორმულაარ არის საკმარისი. განსაკუთრებით - პარამეტრებთან განტოლებებში. ასეთი განტოლებები არის აერობატიკა GIA-სთვის და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის!)

Ისე, როგორ ამოხსნათ კვადრატული განტოლებებიიმ დისკრიმინანტის მეშვეობით, რომელიც გაგახსენდა. ან ისწავლა, რაც ასევე არ არის ცუდი.) თქვენ იცით, როგორ სწორად ამოიცნოთ a, b და c. იცი როგორ ყურადღებითჩაანაცვლეთ ისინი ფესვის ფორმულაში და ყურადღებითდაითვალეთ შედეგი. გესმით, რომ მთავარი სიტყვა აქ არის - ყურადღებით?

ახლა გაითვალისწინეთ პრაქტიკული ტექნიკა, რომელიც მკვეთრად ამცირებს შეცდომების რაოდენობას. სწორედ ის, რაც გამოწვეულია უყურადღებობის გამო ... რისთვისაც ეს არის მტკივნეული და შეურაცხმყოფელი ...

პირველი მიღება . არ დაიზაროთ კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე, რათა ის სტანდარტულ ფორმამდე მიიყვანოთ. Რას ნიშნავს ეს?
დავუშვათ, ნებისმიერი ტრანსფორმაციის შემდეგ მიიღებთ შემდეგ განტოლებას:

არ იჩქაროთ ფესვების ფორმულის დაწერა! თქვენ თითქმის აუცილებლად აირევთ შანსებს a, b და c.სწორად შექმენით მაგალითი. ჯერ x კვადრატში, შემდეგ კვადრატის გარეშე, შემდეგ თავისუფალი წევრი. Ამგვარად:

და კიდევ, ნუ ჩქარობ! x კვადრატამდე მინუსმა შეიძლება ძალიან გაგაბრაზოთ. დავიწყება ადვილია... მოიშორე მინუსი. Როგორ? დიახ, როგორც წინა თემაში იყო ნასწავლი! მთელი განტოლება უნდა გავამრავლოთ -1-ზე. ჩვენ ვიღებთ:

ახლა კი შეგიძლიათ უსაფრთხოდ ჩაწეროთ ფესვების ფორმულა, გამოთვალოთ დისკრიმინანტი და შეავსოთ მაგალითი. თავად გადაწყვიტეთ. თქვენ უნდა დაასრულოთ ფესვები 2 და -1.

მეორე მიღება. შეამოწმეთ თქვენი ფესვები! ვიეტას თეორემის მიხედვით. არ ინერვიულო, ყველაფერს აგიხსნი! შემოწმება ბოლო რამგანტოლება. იმათ. ის, რომლითაც ჩვენ ჩამოვწერეთ ფესვების ფორმულა. თუ (როგორც ამ მაგალითში) კოეფიციენტი a = 1, ადვილად შეამოწმეთ ფესვები. საკმარისია მათი გამრავლება. თქვენ უნდა მიიღოთ უფასო ვადა, ე.ი. ჩვენს შემთხვევაში -2. ყურადღება მიაქციე, არა 2, არამედ -2! თავისუფალი წევრი შენი ნიშნით . თუ ეს არ გამოვიდა, ეს ნიშნავს, რომ ისინი უკვე სადღაც აერიათ. მოძებნეთ შეცდომა.

თუ გამოვიდა, ფესვები უნდა დაკეცოთ. ბოლო და საბოლოო შემოწმება. თანაფარდობა უნდა იყოს ბთან საწინააღმდეგო ნიშანი. ჩვენს შემთხვევაში -1+2 = +1. კოეფიციენტი ბ, რომელიც x-ის წინ არის, უდრის -1-ს. ასე რომ, ყველაფერი სწორია!
სამწუხაროა, რომ ეს ასე მარტივია მხოლოდ იმ მაგალითებისთვის, სადაც x კვადრატი სუფთაა, კოეფიციენტით a = 1.მაგრამ მაინც შეამოწმეთ ასეთი განტოლებები! ნაკლები შეცდომები იქნება.

მიღება მესამე . თუ თქვენს განტოლებას აქვს წილადი კოეფიციენტები, მოიშორეთ წილადები! გაამრავლეთ განტოლება საერთო მნიშვნელზე, როგორც ეს აღწერილია გაკვეთილზე „როგორ ამოხსნათ განტოლებები? იდენტობის გარდაქმნები“. წილადებთან მუშაობისას, შეცდომებზე, რატომღაც, ასვლა ...

სხვათა შორის, ბოროტ მაგალითს დავპირდი გამარტივების თაიგულით. Არაფრის! Აი ისიც.

მინუსებში რომ არ აგვერიოს, განტოლებას ვამრავლებთ -1-ზე. ჩვენ ვიღებთ:

Სულ ეს არის! გადაწყვეტილების მიღება სახალისოა!

მაშ ასე, გავიმეოროთ თემა.

პრაქტიკული რჩევები:

1. ამოხსნამდე კვადრატულ განტოლებას სტანდარტულ ფორმამდე მივყავართ, ავაშენოთ უფლება.

2. თუ კვადრატში x-ის წინ არის უარყოფითი კოეფიციენტი, გამოვრიცხავთ მას მთელი განტოლების -1-ზე გამრავლებით.

3. თუ კოეფიციენტები წილადია, წილადებს ვხსნით მთელი განტოლების შესაბამის ფაქტორზე გამრავლებით.

4. თუ x კვადრატი სუფთაა, მისთვის კოეფიციენტი ერთის ტოლია, ამონახსნის შემოწმება მარტივად შეიძლება ვიეტას თეორემით. Გააკეთე!

ახლა თქვენ შეგიძლიათ გადაწყვიტოთ.)

განტოლებების ამოხსნა:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

პასუხები (არეულად):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0.5

x - ნებისმიერი რიცხვი

x 1 = -3
x 2 = 3

არ არის გადაწყვეტილებები

x 1 = 0.25
x 2 \u003d 0.5

ყველაფერი ჯდება? კარგად! კვადრატული განტოლებები არ არის თქვენი თავის ტკივილი. პირველი სამი გამოვიდა, დანარჩენები კი არა? მაშინ პრობლემა არ არის კვადრატულ განტოლებებში. პრობლემა განტოლებათა იდენტურ გარდაქმნებშია. გადახედე ლინკს, სასარგებლოა.

მთლად არ მუშაობს? ან საერთოდ არ მუშაობს? მაშინ დაგეხმარება 555. იქ ყველა ეს მაგალითი დალაგებულია ძვლების მიხედვით. ჩვენება მთავარიშეცდომები გამოსავალში. რა თქმა უნდა, ის ასევე მოგვითხრობს იდენტური გარდაქმნების გამოყენების შესახებ სხვადასხვა განტოლების ამოხსნაში. ძალიან ეხმარება!

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

მაგალითად, ტრინომისთვის \(3x^2+2x-7\), დისკრიმინანტი იქნება \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). ხოლო ტრინომისთვის \(x^2-5x+11\) ტოლი იქნება \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

დისკრიმინანტი აღინიშნება ასო \(D\) და ხშირად გამოიყენება ამოხსნისას. ასევე, დისკრიმინანტის მნიშვნელობით, შეგიძლიათ გაიგოთ, როგორ გამოიყურება გრაფიკი (იხ. ქვემოთ).

კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი და ფესვები

დისკრიმინანტის მნიშვნელობა გვიჩვენებს კვადრატული განტოლების რაოდენობას:
- თუ \(D\) დადებითია, განტოლებას ექნება ორი ფესვი;
- თუ \(D\) ნულის ტოლია - მხოლოდ ერთი ფესვი;
- თუ \(D\) უარყოფითია, ფესვები არ არსებობს.

ამის სწავლება არ არის საჭირო, ადვილია ასეთ დასკვნამდე მისვლა, უბრალოდ იმის ცოდნა, რომ დისკრიმინანტიდან (ანუ \(\sqrt(D)\) შედის კვადრატული განტოლების ფესვების გამოთვლის ფორმულაში. : \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) და \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D ))(2ა)\) მოდით, უფრო დეტალურად განვიხილოთ თითოეული შემთხვევა.

თუ დისკრიმინანტი დადებითია

ამ შემთხვევაში, მისი ფესვი არის რაღაც დადებითი რიცხვი, რაც ნიშნავს, რომ \(x_(1)\) და \(x_(2)\) იქნება განსხვავებული მნიშვნელობით, რადგან პირველ ფორმულაში \(\sqrt(D) \) ემატება , ხოლო მეორეში - აკლდება. და ჩვენ გვაქვს ორი განსხვავებული ფესვი.

მაგალითი : იპოვეთ განტოლების ფესვები \(x^2+2x-3=0\)
გადაწყვეტილება :

უპასუხე : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

თუ დისკრიმინანტი ნულის ტოლია

და რამდენი ფესვი იქნება თუ დისკრიმინანტი ნული იქნება? ვიმსჯელოთ.

ძირეული ფორმულები ასე გამოიყურება: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) და \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . და თუ დისკრიმინანტი არის ნული, მაშინ მისი ფესვიც ნულია. მერე გამოდის:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

ანუ, განტოლების ფესვების მნიშვნელობები ემთხვევა, რადგან ნულის დამატება ან გამოკლება არაფერს ცვლის.

მაგალითი : იპოვეთ განტოლების ფესვები \(x^2-4x+4=0\)
გადაწყვეტილება :

\(x^2-4x+4=0\)		ჩვენ ვწერთ კოეფიციენტებს:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		გამოთვალეთ დისკრიმინანტი ფორმულის გამოყენებით \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		განტოლების ფესვების პოვნა
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		ჩვენ მივიღეთ ორი იდენტური ფესვი, ამიტომ აზრი არ აქვს მათ ცალ-ცალკე ჩაწერას - ჩვენ მათ ვწერთ როგორც ერთს.

უპასუხე : \(x=2\)

განვიხილოთ პრობლემა. მართკუთხედის ფუძე სიმაღლეზე 10 სმ-ით გრძელია, ხოლო ფართობი 24 სმ²-ია. იპოვეთ მართკუთხედის სიმაღლე. დაე იყოს Xსანტიმეტრი არის მართკუთხედის სიმაღლე, შემდეგ მისი ფუძე არის ( X+10)სმ.ამ მართკუთხედის ფართობი არის X(X+ 10) სმ². დავალების მიხედვით X(X+ 10) = 24. ფრჩხილების გაფართოება და რიცხვი 24 საპირისპირო ნიშნით განტოლების მარცხენა მხარეს გადატანა, მივიღებთ: X² + 10 X-24 = 0. ამ ამოცანის ამოხსნისას მიიღეს განტოლება, რომელსაც ეწოდება კვადრატული განტოლება.

კვადრატული განტოლება არის ფორმის განტოლება

ნაჯახი ²+ bx+c= 0

სადაც ა, ბ, გმოცემულია ნომრები და ა≠ 0 და X- უცნობი.

შანსები ა, ბ, გკვადრატულ განტოლებას ჩვეულებრივ ასე უწოდებენ: ა- პირველი ან უმაღლესი კოეფიციენტი, ბ- მეორე კოეფიციენტი, გ- თავისუფალი წევრი. მაგალითად, ჩვენს პრობლემაში უფროსი კოეფიციენტი არის 1, მეორე კოეფიციენტი არის 10, თავისუფალი წევრი არის -24. მათემატიკისა და ფიზიკის მრავალი ამოცანის ამოხსნა დაყვანილია კვადრატული განტოლებების ამოხსნამდე.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

სრული კვადრატული განტოლებები. პირველი ნაბიჯი არის მოცემული განტოლების სტანდარტულ ფორმამდე მიყვანა ნაჯახი²+ bx+ c= 0. დავუბრუნდეთ ჩვენს პრობლემას, რომელშიც განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც X(X+ 10) = 24 მივიყვანოთ სტანდარტულ ფორმამდე, გავხსნათ ფრჩხილები X² + 10 X- 24 = 0, ჩვენ ამ განტოლებას ვხსნით ზოგადი კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყენებით.

ამ ფორმულაში ძირეული ნიშნის ქვეშ გამოსახულებას ეწოდება დისკრიმინანტი D = ბ² - 4 აწ

თუ D>0, მაშინ კვადრატულ განტოლებას აქვს ორი განსხვავებული ფესვი, რომელიც შეიძლება ვიპოვოთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულით.

თუ D=0, მაშინ კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.

თუ დ<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

ჩაანაცვლეთ მნიშვნელობები ჩვენს ფორმულაში ა= 1, ბ= 10, გ= -24.

ვიღებთ D>0, ანუ ვიღებთ ორ ფესვს.

განვიხილოთ მაგალითი, სადაც D=0, ამ პირობით, ერთი ფესვი უნდა იყოს მიღებული.

25x² - 30 x+ 9 = 0

განვიხილოთ მაგალითი, სადაც დ<0, при этом условии решения не должно быть.

2x² + 3 x+ 4 = 0

ძირის ნიშნის ქვეშ რიცხვი (დისკრიმინანტი) უარყოფითია, პასუხს ვწერთ შემდეგნაირად: განტოლებას არ აქვს ნამდვილი ფესვები.

არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

Კვადრატული განტოლება ნაჯახი² + bx+ გ= 0 ეწოდება არასრულს, თუ კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც ბან გუდრის ნულს. არასრული კვადრატული განტოლება არის ერთ-ერთი შემდეგი ტიპის განტოლება:

ნაჯახი² = 0,

ნაჯახი² + გ= 0, გ≠ 0,

ნაჯახი² + bx= 0, ბ≠ 0.

განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი, ამოხსენით განტოლება

განტოლების ორივე მხარეს 5-ზე გავყოფთ, მივიღებთ განტოლებას X² = 0, პასუხს ექნება ერთი ფესვი X= 0.

განვიხილოთ ფორმის განტოლება

3X² - 27 = 0

ორივე მხარის 3-ზე გაყოფით მივიღებთ განტოლებას X² - 9 = 0, ან შეიძლება დაიწეროს X² = 9, პასუხს ექნება ორი ფესვი X= 3 და X= -3.

განვიხილოთ ფორმის განტოლება

2X² + 7 = 0

ორივე მხარის 2-ზე გაყოფით მივიღებთ განტოლებას X² = -7/2. ამ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები, რადგან X² ≥ 0 ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის X.

განვიხილოთ ფორმის განტოლება

3X² + 5 X= 0

განტოლების მარცხენა მხარის ფაქტორირებას მივიღებთ X(3X+ 5) = 0, პასუხს ექნება ორი ფესვი X= 0, X=-5/3.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას ყველაზე მნიშვნელოვანია კვადრატული განტოლების სტანდარტულ ფორმამდე მიყვანა, ზოგადი კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის დამახსოვრება და ნიშნებში არ დაბნეულობა.

თემის „განტოლებების ამოხსნა“ გაგრძელებაში ამ სტატიაში მოცემული მასალა გაგაცნობთ კვადრატულ განტოლებებს.

განვიხილოთ ყველაფერი დეტალურად: კვადრატული განტოლების არსი და აღნიშვნა, დავადგინოთ თანმხლები ტერმინები, გავაანალიზოთ არასრული და სრული განტოლებების ამოხსნის სქემა, გავეცნოთ ფესვების ფორმულას და დისკრიმინანტს, დავამყაროთ კავშირი ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის და რა თქმა უნდა მივცემთ პრაქტიკული მაგალითების ვიზუალურ გადაწყვეტას.

Yandex.RTB R-A-339285-1

კვადრატული განტოლება, მისი ტიპები

განმარტება 1

Კვადრატული განტოლებაარის განტოლება დაწერილი როგორც a x 2 + b x + c = 0, სად x– ცვლადი, a , b და გარის რამდენიმე რიცხვი, ხოლო აარ არის ნული.

ხშირად, კვადრატულ განტოლებებს ასევე უწოდებენ მეორე ხარისხის განტოლებებს, რადგან სინამდვილეში კვადრატული განტოლება არის მეორე ხარისხის ალგებრული განტოლება.

მოცემული განმარტების საილუსტრაციოდ მოვიყვანოთ მაგალითი: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 და ა.შ. არის კვადრატული განტოლებები.

განმარტება 2

რიცხვები a , b და გარის კვადრატული განტოლების კოეფიციენტები a x 2 + b x + c = 0, ხოლო კოეფიციენტი აეწოდება პირველი, ან უფროსი, ან კოეფიციენტი x 2-ზე, b - მეორე კოეფიციენტი, ან კოეფიციენტი ზე x, ა გთავისუფალ წევრად წოდებული.

მაგალითად, კვადრატულ განტოლებაში 6 x 2 - 2 x - 11 = 0ყველაზე მაღალი კოეფიციენტი არის 6, მეორე კოეფიციენტი არის − 2 და თავისუფალი ვადა უდრის − 11 . მივაქციოთ ყურადღება იმას, რომ როდესაც კოეფიციენტები ბდა/ან c უარყოფითია, შემდეგ გამოიყენება სტენოგრამის ფორმა 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, მაგრამ არა 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

დავაზუსტოთ ეს ასპექტიც: თუ კოეფიციენტები ადა/ან ბთანაბარი 1 ან − 1 , მაშინ შეიძლება არ მიიღონ მკაფიო მონაწილეობა კვადრატული განტოლების დაწერაში, რაც აიხსნება მითითებული რიცხვითი კოეფიციენტების ჩაწერის თავისებურებებით. მაგალითად, კვადრატულ განტოლებაში y 2 − y + 7 = 0უფროსი კოეფიციენტი არის 1 და მეორე კოეფიციენტი არის − 1 .

შემცირებული და არაშემცირებული კვადრატული განტოლებები

პირველი კოეფიციენტის მნიშვნელობის მიხედვით კვადრატული განტოლებები იყოფა შემცირებულ და არაშემცირებულად.

განმარტება 3

შემცირებული კვადრატული განტოლებაარის კვადრატული განტოლება, სადაც წამყვანი კოეფიციენტია 1. წამყვანი კოეფიციენტის სხვა მნიშვნელობებისთვის, კვადრატული განტოლება შეუმცირებელია.

აი რამდენიმე მაგალითი: კვადრატული განტოლებები x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 შემცირებულია, რომელთაგან თითოეულში წამყვანი კოეფიციენტია 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- შეუმცირებელი კვადრატული განტოლება, სადაც პირველი კოეფიციენტი განსხვავდება 1 .

ნებისმიერი შეუმცირებელი კვადრატული განტოლება შეიძლება გარდაიქმნას შემცირებულ განტოლებად მისი ორივე ნაწილის პირველ კოეფიციენტზე გაყოფით (ექვივალენტური ტრანსფორმაცია). გარდაქმნილ განტოლებას ექნება იგივე ფესვები, რაც მოცემულ არაშემცირებულ განტოლებას ან ასევე არ ექნება ფესვები.

კონკრეტული მაგალითის განხილვა საშუალებას მოგვცემს ნათლად ვაჩვენოთ გადასვლა შეუმცირებელი კვადრატული განტოლებიდან შემცირებულზე.

მაგალითი 1

მოცემულია განტოლება 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . აუცილებელია ორიგინალური განტოლების გადაყვანა შემცირებულ ფორმაში.

გადაწყვეტილება

ზემოაღნიშნული სქემის მიხედვით, თავდაპირველი განტოლების ორივე ნაწილს ვყოფთ წამყვანი კოეფიციენტით 6. შემდეგ მივიღებთ: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3და ეს იგივეა, რაც: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0და შემდგომ: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0.აქედან: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0. ამრიგად, მიღებულია მოცემულის ექვივალენტური განტოლება.

პასუხი: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0.

სრული და არასრული კვადრატული განტოლებები

მოდით მივმართოთ კვადრატული განტოლების განმარტებას. მასში ჩვენ დავაზუსტეთ, რომ a ≠ 0. მსგავსი პირობა აუცილებელია განტოლებისთვის a x 2 + b x + c = 0იყო ზუსტად კვადრატი, რადგან a = 0ის არსებითად გარდაიქმნება წრფივ განტოლებად b x + c = 0.

იმ შემთხვევაში, როდესაც კოეფიციენტები ბდა გნულის ტოლია (რაც შესაძლებელია, როგორც ინდივიდუალურად, ასევე ერთობლივად), კვადრატულ განტოლებას არასრული ეწოდება.

განმარტება 4

არასრული კვადრატული განტოლებაარის კვადრატული განტოლება a x 2 + b x + c \u003d 0,სადაც ერთი კოეფიციენტი მაინც ბდა გ(ან ორივე) არის ნული.

სრული კვადრატული განტოლებაარის კვადრატული განტოლება, რომელშიც ყველა რიცხვითი კოეფიციენტი არ არის ნულის ტოლი.

განვიხილოთ, რატომ არის მოცემული კვადრატული განტოლებების ტიპებს ზუსტად ასეთი სახელები.

b = 0-სთვის, კვადრატული განტოლება იღებს ფორმას a x 2 + 0 x + c = 0, რომელიც იგივეა, რაც a x 2 + c = 0. ზე c = 0კვადრატული განტოლება იწერება როგორც a x 2 + b x + 0 = 0, რომელიც ექვივალენტურია a x 2 + b x = 0. ზე b = 0და c = 0განტოლება მიიღებს ფორმას a x 2 = 0. განტოლებები, რომლებიც ჩვენ მივიღეთ, განსხვავდება სრული კვადრატული განტოლებისგან იმით, რომ მათი მარცხენა მხარე არ შეიცავს არც ტერმინს x ცვლადით, არც თავისუფალ წევრს, ან ორივეს ერთდროულად. სინამდვილეში, ამ ფაქტმა დაარქვა სახელი ამ ტიპის განტოლებებს - არასრული.

მაგალითად, x 2 + 3 x + 4 = 0 და − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 არის სრული კვადრატული განტოლებები; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 არასრული კვადრატული განტოლებებია.

არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

ზემოთ მოცემული განმარტება შესაძლებელს ხდის განასხვავოს შემდეგი ტიპის არასრული კვადრატული განტოლებები:

• a x 2 = 0, კოეფიციენტები შეესაბამება ასეთ განტოლებას b = 0და c = 0 ;
• a x 2 + c \u003d 0 b \u003d 0-სთვის;
• a x 2 + b x = 0 c = 0-სთვის.

თანმიმდევრულად განვიხილოთ არასრული კვადრატული განტოლების თითოეული ტიპის ამონახსნი.

განტოლების ამოხსნა x 2 \u003d 0

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ასეთი განტოლება შეესაბამება კოეფიციენტებს ბდა გ, ნულის ტოლია. განტოლება a x 2 = 0შეიძლება გარდაიქმნას ეკვივალენტურ განტოლებად x2 = 0, რომელსაც მივიღებთ საწყისი განტოლების ორივე მხარის რიცხვზე გაყოფით ა, ნულის ტოლი არ არის. აშკარა ფაქტია, რომ განტოლების ფესვი x2 = 0არის ნული, რადგან 0 2 = 0 . ამ განტოლებას არ აქვს სხვა ფესვები, რაც აიხსნება ხარისხის თვისებებით: ნებისმიერი რიცხვისთვის პ ,ნულის ტოლი არ არის, უტოლობა მართალია p2 > 0, საიდანაც გამომდინარეობს, რომ როცა p ≠ 0თანასწორობა p2 = 0არასოდეს მიაღწევს.

განმარტება 5

ამრიგად, არასრული კვადრატული განტოლებისთვის a x 2 = 0, არის უნიკალური ფესვი x=0.

მაგალითი 2

მაგალითად, ამოხსნათ არასრული კვადრატული განტოლება − 3 x 2 = 0. განტოლების ტოლფასია x2 = 0, მისი ერთადერთი ფესვია x=0, მაშინ თავდაპირველ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი - ნული.

გამოსავალი შეჯამებულია შემდეგნაირად:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

განტოლების ამოხსნა a x 2 + c \u003d 0

შემდეგი რიგში არის არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა, სადაც b \u003d 0, c ≠ 0, ანუ ფორმის განტოლებები a x 2 + c = 0. მოდით გარდავქმნათ ეს განტოლება ტერმინის განტოლების ერთი მხრიდან მეორეზე გადატანით, ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლით და განტოლების ორივე მხარის გაყოფით რიცხვზე, რომელიც არ არის ნულის ტოლი:

• გაუძლო გმარჯვენა მხარეს, რომელიც იძლევა განტოლებას a x 2 = − c;
• გაყავით განტოლების ორივე მხარე ა, შედეგად ვიღებთ x = - c a .

ჩვენი გარდაქმნები ეკვივალენტურია, შესაბამისად, მიღებული განტოლებაც ორიგინალის ექვივალენტურია და ეს ფაქტი შესაძლებელს ხდის დასკვნის გამოტანას განტოლების ფესვების შესახებ. რა არის ღირებულებები ადა გდამოკიდებულია გამოხატვის მნიშვნელობაზე - c a: მას შეიძლება ჰქონდეს მინუს ნიშანი (მაგალითად, თუ a = 1და c = 2, შემდეგ - c a = - 2 1 = - 2) ან პლუს ნიშანი (მაგალითად, თუ a = -2და c=6, მაშინ - c a = - 6 - 2 = 3); ის არ არის ნულის ტოლი, რადგან c ≠ 0. უფრო დეტალურად ვისაუბროთ სიტუაციებზე, როდესაც - გ ა< 0 и - c a > 0 .

იმ შემთხვევაში, როდესაც - გ ა< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа გვთანასწორობა p 2 = - c a არ შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი.

ყველაფერი განსხვავებულია, როდესაც - c a > 0: დაიმახსოვრე კვადრატული ფესვი და აშკარა გახდება, რომ განტოლების ფესვი x 2 \u003d - c a იქნება რიცხვი - c a, რადგან - c a 2 \u003d - c a. ადვილი გასაგებია, რომ რიცხვი - - c a - ასევე არის განტოლების ფესვი x 2 = - c a: მართლაც, - - c a 2 = - c a .

განტოლებას სხვა ფესვები არ ექნება. ამის დემონსტრირება შეგვიძლია საპირისპირო მეთოდით. პირველ რიგში, მოდით დავაყენოთ ზემოთ ნაპოვნი ფესვების აღნიშვნა, როგორც x 1და - x 1. დავუშვათ, რომ განტოლებას x 2 = - c a ასევე აქვს ფესვი x2, რომელიც განსხვავდება ფესვებისგან x 1და - x 1. ჩვენ ვიცით, რომ ნაცვლად განტოლებაში ჩანაცვლებით xმისი ფესვები, ჩვენ ვცვლით განტოლებას სამართლიან რიცხვობრივ ტოლობაში.

ამისთვის x 1და - x 1ჩაწერეთ: x 1 2 = - c a , და ამისთვის x2- x 2 2 \u003d - გ ა. რიცხვითი ტოლობების თვისებებზე დაყრდნობით, ჩვენ ვაკლებთ ერთ ნამდვილ ტოლობას მეორე წევრს ტერმინით, რაც მოგვცემს: x 1 2 − x 2 2 = 0. გამოიყენეთ რიცხვითი მოქმედებების თვისებები ბოლო ტოლობის გადასაწერად როგორც (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. ცნობილია, რომ ორი რიცხვის ნამრავლი არის ნული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ რიცხვებიდან ერთი მაინც არის ნული. ნათქვამიდან გამომდინარეობს, რომ x1 − x2 = 0და/ან x1 + x2 = 0, რაც იგივეა x2 = x1და/ან x 2 = − x 1. აშკარა წინააღმდეგობა წარმოიშვა, რადგან თავიდან შეთანხმდნენ, რომ განტოლების ფესვი x2განსხვავდება x 1და - x 1. ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ განტოლებას არ აქვს სხვა ფესვები, გარდა x = - c a და x = - - c a .

ჩვენ ვაჯამებთ ზემოთ მოცემულ ყველა არგუმენტს.

განმარტება 6

არასრული კვადრატული განტოლება a x 2 + c = 0უდრის განტოლებას x 2 = - c a, რომელიც:

• ფესვები არ ექნება - გ ა< 0 ;
• ექნება ორი ფესვი x = - c a და x = - - c a როდესაც - c a > 0 .

მოვიყვანოთ განტოლებების ამოხსნის მაგალითები a x 2 + c = 0.

მაგალითი 3

მოცემულია კვადრატული განტოლება 9 x 2 + 7 = 0.აუცილებელია მისი გამოსავლის პოვნა.

გადაწყვეტილება

ჩვენ გადავიტანთ თავისუფალ წევრს განტოლების მარჯვენა მხარეს, შემდეგ განტოლება მიიღებს ფორმას 9 x 2 \u003d - 7.
მიღებული განტოლების ორივე მხარეს ვყოფთ 9 , მივდივართ x 2 = - 7 9-მდე. მარჯვენა მხარეს ვხედავთ რიცხვს მინუს ნიშნით, რაც ნიშნავს: მოცემულ განტოლებას ფესვები არ აქვს. შემდეგ ორიგინალური არასრული კვადრატული განტოლება 9 x 2 + 7 = 0ფესვები არ ექნება.

პასუხი:განტოლება 9 x 2 + 7 = 0ფესვები არ აქვს.

მაგალითი 4

განტოლების ამოხსნაა საჭირო − x2 + 36 = 0.

გადაწყვეტილება

გადავიტანოთ 36 მარჯვენა მხარეს: − x 2 = − 36.
მოდით გავყოთ ორივე ნაწილად − 1 , ვიღებთ x2 = 36. მარჯვენა მხარეს არის დადებითი რიცხვი, საიდანაც შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ x = 36 ან x = - 36 .
ამოვიღებთ ფესვს და ვწერთ საბოლოო შედეგს: არასრული კვადრატული განტოლება − x2 + 36 = 0აქვს ორი ფესვი x=6ან x = -6.

პასუხი: x=6ან x = -6.

a x 2 +b x=0 განტოლების ამოხსნა

გავაანალიზოთ მესამე სახის არასრული კვადრატული განტოლებები, როდესაც c = 0. არასრული კვადრატული განტოლების ამოხსნის პოვნა a x 2 + b x = 0, ვიყენებთ ფაქტორიზაციის მეთოდს. მოდით გავამრავლოთ მრავალწევრი, რომელიც არის განტოლების მარცხენა მხარეს, ფრჩხილებიდან ამოვიღოთ საერთო ფაქტორი x. ეს ნაბიჯი შესაძლებელს გახდის ორიგინალური არასრული კვადრატული განტოლების მის ეკვივალენტად გარდაქმნას x (a x + b) = 0. და ეს განტოლება, თავის მხრივ, უდრის განტოლებათა სიმრავლეს x=0და a x + b = 0. განტოლება a x + b = 0წრფივი და მისი ფესვი: x = − b a.

განმარტება 7

ამრიგად, არასრული კვადრატული განტოლება a x 2 + b x = 0ექნება ორი ფესვი x=0და x = − b a.

მოდით გავაერთიანოთ მასალა მაგალითით.

მაგალითი 5

აუცილებელია ვიპოვოთ 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 განტოლების ამონახსნი.

გადაწყვეტილება

ამოვიღოთ xფრჩხილების გარეთ და მიიღეთ განტოლება x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0. ეს განტოლება ტოლფასია განტოლებების x=0და 2 3 x - 2 2 7 = 0 . ახლა თქვენ უნდა ამოხსნათ მიღებული წრფივი განტოლება: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

მოკლედ, განტოლების ამოხსნას ვწერთ შემდეგნაირად:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ან 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ან x = 3 3 7

პასუხი: x = 0, x = 3 3 7.

დისკრიმინანტი, კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მოსაძებნად, არსებობს ფესვის ფორმულა:

განმარტება 8

x = - b ± D 2 a, სადაც D = b 2 − 4 a cარის კვადრატული განტოლების ე.წ.

x \u003d - b ± D 2 a წერა არსებითად ნიშნავს, რომ x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

სასარგებლო იქნება იმის გაგება, თუ როგორ იქნა მიღებული მითითებული ფორმულა და როგორ გამოვიყენოთ იგი.

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყვანა

დავუშვათ, რომ ჩვენ წინაშე დგას კვადრატული განტოლების ამოხსნის ამოცანა a x 2 + b x + c = 0. მოდით განვახორციელოთ მთელი რიგი ეკვივალენტური გარდაქმნები:

• გაყავით განტოლების ორივე მხარე რიცხვზე ანულისაგან განსხვავებული, ვიღებთ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებას: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• აირჩიეთ სრული კვადრატი მიღებული განტოლების მარცხენა მხარეს:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  ამის შემდეგ, განტოლება მიიღებს ფორმას: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• ახლა შესაძლებელია ბოლო ორი წევრის მარჯვენა მხარეს გადატანა, ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლა, რის შემდეგაც მივიღებთ: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• საბოლოოდ, ჩვენ გარდაქმნით ბოლო ტოლობის მარჯვენა მხარეს დაწერილ გამონათქვამს:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

ამრიგად, ჩვენ მივედით განტოლებამდე x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2, რომელიც უდრის თავდაპირველ განტოლებას. a x 2 + b x + c = 0.

ასეთი განტოლებების ამოხსნა განვიხილეთ წინა აბზაცებში (არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა). უკვე მიღებული გამოცდილება იძლევა დასკვნის გაკეთებას x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 განტოლების ფესვებთან დაკავშირებით:

• b 2 - 4 a c 4 a 2-ისთვის< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0-სთვის, განტოლებას აქვს ფორმა x + b 2 · a 2 = 0, შემდეგ x + b 2 · a = 0.

აქედან აშკარაა ერთადერთი ფესვი x = - b 2 · a;

• b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0-სთვის სწორია: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 ან x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, რაც არის იგივეა, რაც x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 ან x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, ე.ი. განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

შესაძლებელია დავასკვნათ, რომ x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 განტოლების ფესვების არსებობა ან არარსებობა (და შესაბამისად თავდაპირველი განტოლება) დამოკიდებულია b 2 - 4 a c გამოხატვის ნიშანზე. 4 · მარჯვენა მხარეს დაწერილი 2. და ამ გამოხატვის ნიშანი მოცემულია მრიცხველის ნიშნით, (მნიშვნელი 4 ა 2ყოველთვის დადებითი იქნება), ანუ გამოხატვის ნიშანი b 2 − 4 a c. ეს გამოთქმა b 2 − 4 a cდასახელებულია - კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი და ასო D განისაზღვრება, როგორც მისი აღნიშვნა. აქ შეგიძლიათ ჩამოწეროთ დისკრიმინანტის არსი - მისი მნიშვნელობითა და ნიშნით ისინი ასკვნიან, ექნება თუ არა კვადრატულ განტოლებას რეალური ფესვები და თუ ასეა, რამდენი ფესვი - ერთი ან ორი.

დავუბრუნდეთ განტოლებას x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . მოდით გადავწეროთ ის დისკრიმინაციული აღნიშვნის გამოყენებით: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

შევაჯამოთ დასკვნები:

განმარტება 9

• ზე დ< 0 განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები;
• ზე D=0განტოლებას აქვს ერთი ფესვი x = - b 2 · a ;
• ზე D > 0განტოლებას აქვს ორი ფესვი: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 ან x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. რადიკალების თვისებებიდან გამომდინარე, ეს ფესვები შეიძლება დაიწეროს როგორც: x \u003d - b 2 a + D 2 a ან - b 2 a - D 2 a. და როდესაც ჩვენ ვხსნით მოდულებს და ვამცირებთ წილადებს საერთო მნიშვნელზე, ვიღებთ: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

ასე რომ, ჩვენი მსჯელობის შედეგი იყო კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის წარმოშობა:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , განმასხვავებელი დგამოითვლება ფორმულით D = b 2 − 4 a c.

ეს ფორმულები შესაძლებელს ხდის, როდესაც დისკრიმინანტი ნულზე მეტია, ორივე რეალური ფესვის განსაზღვრა. როდესაც დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, ორივე ფორმულის გამოყენება მისცემს იმავე ფესვს, როგორც კვადრატული განტოლების ერთადერთ ამონახს. იმ შემთხვევაში, როდესაც დისკრიმინანტი უარყოფითია, ვცდილობთ გამოვიყენოთ კვადრატული ფესვის ფორმულა, დაგვხვდება უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვის ამოღების აუცილებლობა, რომელიც გადაგვიყვანს რეალურ რიცხვებს მიღმა. უარყოფითი დისკრიმინანტით, კვადრატულ განტოლებას არ ექნება რეალური ფესვები, მაგრამ შესაძლებელია რთული კონიუგატური ფესვების წყვილი, რომელიც განისაზღვრება იმავე ფესვის ფორმულებით, რაც ჩვენ მივიღეთ.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი ფესვის ფორმულების გამოყენებით

შესაძლებელია კვადრატული განტოლების ამოხსნა ფესვის ფორმულის დაუყოვნებლივ გამოყენებით, მაგრამ ძირითადად ეს კეთდება მაშინ, როდესაც საჭიროა რთული ფესვების პოვნა.

უმეტეს შემთხვევაში, ძიება ჩვეულებრივ მიზნად ისახავს არა რთული, არამედ კვადრატული განტოლების რეალურ ფესვებს. შემდეგ ოპტიმალურია, სანამ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულებს გამოიყენებთ, ჯერ განვსაზღვროთ დისკრიმინანტი და დავრწმუნდეთ, რომ ის უარყოფითი არ არის (თორემ დავასკვნათ, რომ განტოლებას რეალური ფესვები არ აქვს), შემდეგ კი გავაგრძელოთ გამოთვლა. ფესვების ღირებულება.

ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა შესაძლებელს ხდის კვადრატული განტოლების ამოხსნის ალგორითმის ჩამოყალიბებას.

განმარტება 10

კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად a x 2 + b x + c = 0, აუცილებელი:

• ფორმულის მიხედვით D = b 2 − 4 a cიპოვნეთ დისკრიმინანტის მნიშვნელობა;
• დ< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0-სთვის იპოვეთ განტოლების ერთადერთი ფესვი x = - b 2 · a ფორმულით;
• D > 0-სთვის განვსაზღვროთ კვადრატული განტოლების ორი რეალური ფესვი x = - b ± D 2 · a ფორმულით.

გაითვალისწინეთ, რომ როდესაც დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა x = - b ± D 2 · a , ის მისცემს იგივე შედეგს, როგორც ფორმულა x = - b 2 · a.

განვიხილოთ მაგალითები.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მაგალითები

ჩვენ წარმოგიდგენთ მაგალითების გადაწყვეტას დისკრიმინანტის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.

მაგალითი 6

აუცილებელია განტოლების ფესვების პოვნა x 2 + 2 x - 6 = 0.

გადაწყვეტილება

ჩვენ ვწერთ კვადრატული განტოლების რიცხვითი კოეფიციენტებს: a \u003d 1, b \u003d 2 და c = - 6. შემდეგი, ჩვენ ვმოქმედებთ ალგორითმის მიხედვით, ე.ი. დავიწყოთ დისკრიმინანტის გამოთვლა, რომელსაც ვცვლით a , b კოეფიციენტებს. და გდისკრიმინაციულ ფორმულაში: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

ამრიგად, მივიღეთ D > 0, რაც ნიშნავს, რომ თავდაპირველ განტოლებას ექნება ორი რეალური ფესვი.
მათი საპოვნელად ვიყენებთ ფესვის ფორმულას x \u003d - b ± D 2 · a და შესაბამისი მნიშვნელობების ჩანაცვლებით ვიღებთ: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. ჩვენ ვამარტივებთ მიღებულ გამოხატულებას ფესვის ნიშნიდან ფაქტორების ამოღებით, რასაც მოჰყვება წილადის შემცირება:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ან x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ან x = - 1 - 7

პასუხი: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

მაგალითი 7

აუცილებელია კვადრატული განტოლების ამოხსნა − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

გადაწყვეტილება

მოდით განვსაზღვროთ დისკრიმინანტი: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. დისკრიმინანტის ამ მნიშვნელობით, თავდაპირველ განტოლებას ექნება მხოლოდ ერთი ფესვი, რომელიც განისაზღვრება x = - b 2 · a ფორმულით.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

პასუხი: x = 3, 5.

მაგალითი 8

განტოლების ამოხსნაა საჭირო 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

გადაწყვეტილება

ამ განტოლების რიცხვითი კოეფიციენტები იქნება: a = 5 , b = 6 და c = 2 . ჩვენ ვიყენებთ ამ მნიშვნელობებს დისკრიმინანტის საპოვნელად: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . გამოთვლილი დისკრიმინანტი უარყოფითია, ამიტომ თავდაპირველ კვადრატულ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები.

იმ შემთხვევაში, როდესაც ამოცანაა რთული ფესვების მითითება, ჩვენ ვიყენებთ ფესვის ფორმულას რთული რიცხვებით ოპერაციების შესრულებით:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 ან x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i ან x = - 3 5 - 1 5 i.

პასუხი:არ არსებობს ნამდვილი ფესვები; რთული ფესვებია: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

სასკოლო სასწავლო გეგმაში, როგორც სტანდარტი, არ არის კომპლექსური ფესვების ძიების მოთხოვნა, ამიტომ, თუ ამოხსნის დროს დისკრიმინანტი უარყოფითი იქნება, მაშინვე იწერება პასუხი, რომ რეალური ფესვები არ არსებობს.

ძირეული ფორმულა თუნდაც მეორე კოეფიციენტებისთვის

ფესვის ფორმულა x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) შესაძლებელს ხდის მიიღოთ სხვა ფორმულა, უფრო კომპაქტური, რომელიც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ამონახსნები კვადრატული განტოლებების ლუწი კოეფიციენტით x (ან კოეფიციენტით). 2 a n ფორმის, მაგალითად, 2 3 ან 14 ln 5 = 2 7 ln 5). მოდით ვნახოთ, როგორ არის მიღებული ეს ფორმულა.

დავუშვათ, რომ ჩვენ წინაშე დგას ამოცანა, ვიპოვოთ ამონახსნის კვადრატული განტოლება a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. ჩვენ ვმოქმედებთ ალგორითმის მიხედვით: განვსაზღვრავთ დისკრიმინანტს D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , და შემდეგ ვიყენებთ ძირეულ ფორმულას:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · გ ა .

გამოთქმა n 2 − a c აღვნიშნოთ როგორც D 1 (ზოგჯერ აღინიშნება D "). შემდეგ განხილული კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა მეორე კოეფიციენტით 2 n მიიღებს ფორმას:

x \u003d - n ± D 1 a, სადაც D 1 \u003d n 2 - a c.

ადვილი მისახვედრია, რომ D = 4 · D 1, ან D 1 = D 4. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, D 1 არის დისკრიმინანტის მეოთხედი. ცხადია, D 1-ის ნიშანი იგივეა, რაც D-ის ნიშანი, რაც ნიშნავს, რომ D 1-ის ნიშანი ასევე შეიძლება იყოს კვადრატული განტოლების ფესვების არსებობის ან არარსებობის მაჩვენებელი.

განმარტება 11

ამრიგად, კვადრატული განტოლების ამოხსნის მოსაძებნად მეორე კოეფიციენტით 2 ნ, აუცილებელია:

• იპოვეთ D 1 = n 2 − a c ;
• D 1-ზე< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 = 0-სთვის, განტოლების ერთადერთი ფესვი განვსაზღვროთ x = - n a ფორმულით;
• D 1 > 0-ისთვის, დაადგინეთ ორი რეალური ფესვი x = - n ± D 1 ფორმულის გამოყენებით.

მაგალითი 9

საჭიროა ამოხსნათ კვადრატული განტოლება 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

გადაწყვეტილება

მოცემული განტოლების მეორე კოეფიციენტი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 2 · (− 3) . შემდეგ მოცემულ კვადრატულ განტოლებას გადავწერთ როგორც 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , სადაც a = 5 , n = − 3 და c = − 32 .

გამოვთვალოთ დისკრიმინანტის მეოთხე ნაწილი: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . მიღებული მნიშვნელობა დადებითია, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებას ორი რეალური ფესვი აქვს. ჩვენ განვსაზღვრავთ მათ ფესვების შესაბამისი ფორმულით:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ან x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ან x = - 2

გამოთვლების შესრულება შესაძლებელი იქნებოდა კვადრატული განტოლების ფესვების ჩვეულებრივი ფორმულის გამოყენებით, მაგრამ ამ შემთხვევაში გამოსავალი უფრო რთული იქნება.

პასუხი: x = 3 1 5 ან x = - 2 .

კვადრატული განტოლებების ფორმის გამარტივება

ზოგჯერ შესაძლებელია ორიგინალური განტოლების ფორმის ოპტიმიზაცია, რაც გაამარტივებს ფესვების გამოთვლის პროცესს.

მაგალითად, კვადრატული განტოლება 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 აშკარად უფრო მოსახერხებელია გადასაჭრელად, ვიდრე 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

უფრო ხშირად, კვადრატული განტოლების ფორმის გამარტივება ხდება მისი ორივე ნაწილის გარკვეულ რიცხვზე გამრავლებით ან გაყოფით. მაგალითად, ზემოთ ჩვენ ვაჩვენეთ 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 განტოლების გამარტივებული წარმოდგენა, რომელიც მიღებულია მისი ორივე ნაწილის 100-ზე გაყოფით.

ასეთი ტრანსფორმაცია შესაძლებელია, როდესაც კვადრატული განტოლების კოეფიციენტები არ არის შედარებით მარტივი რიცხვები. შემდეგ, ჩვეულებრივ, განტოლების ორივე ნაწილი იყოფა მისი კოეფიციენტების აბსოლუტური მნიშვნელობების უდიდესი საერთო გამყოფით.

მაგალითად, ვიყენებთ კვადრატულ განტოლებას 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. მოდით განვსაზღვროთ მისი კოეფიციენტების აბსოლუტური მნიშვნელობების gcd: gcd (12, 42, 48) = gcd(gcd (12, 42) , 48) = gcd (6, 48) = 6. მოდით გავყოთ საწყისი კვადრატული განტოლების ორივე ნაწილი 6-ზე და მივიღოთ ეკვივალენტური კვადრატული განტოლება 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

კვადრატული განტოლების ორივე მხარის გამრავლებით, წილადი კოეფიციენტები ჩვეულებრივ აღმოიფხვრება. ამ შემთხვევაში, გავამრავლოთ მისი კოეფიციენტების მნიშვნელების უმცირეს საერთო ჯერადზე. მაგალითად, თუ კვადრატული განტოლების თითოეული ნაწილი 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 მრავლდება LCM-ზე (6, 3, 1) \u003d 6, მაშინ ის უფრო მარტივი სახით დაიწერება x 2 + 4 x - 18 = 0 .

დაბოლოს, აღვნიშნავთ, რომ თითქმის ყოველთვის ვაშორებთ მინუსს კვადრატული განტოლების პირველ კოეფიციენტზე, ცვლის განტოლების თითოეული წევრის ნიშნებს, რაც მიიღწევა ორივე ნაწილის −1-ზე გამრავლებით (ან გაყოფით). მაგალითად, კვადრატული განტოლებიდან - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, შეგიძლიათ გადახვიდეთ მის გამარტივებულ ვერსიაზე 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

კავშირი ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის

კვადრატული განტოლებების ფესვების უკვე ცნობილი ფორმულა x = - b ± D 2 · a გამოხატავს განტოლების ფესვებს მისი რიცხვითი კოეფიციენტების მიხედვით. ამ ფორმულის საფუძველზე გვაქვს შესაძლებლობა დავაყენოთ სხვა დამოკიდებულებები ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის.

ყველაზე ცნობილი და გამოსაყენებელია ვიეტას თეორემის ფორმულები:

x 1 + x 2 \u003d - b a და x 2 \u003d c a.

კერძოდ, მოცემული კვადრატული განტოლებისთვის ფესვების ჯამი არის მეორე კოეფიციენტი საპირისპირო ნიშნით, ხოლო ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს. მაგალითად, კვადრატული განტოლების სახით 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, შესაძლებელია დაუყოვნებლივ დადგინდეს, რომ მისი ფესვების ჯამი არის 7 3, ხოლო ფესვების ნამრავლი არის 22 3.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ მრავალი სხვა მიმართება კვადრატული განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის. მაგალითად, კვადრატული განტოლების ფესვების კვადრატების ჯამი შეიძლება გამოისახოს კოეფიციენტებით:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter