ვიდეოგაკვეთილი „ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივება“ შექმნილია იმისთვის, რომ ჩამოაყალიბოს მოსწავლეებში ტრიგონომეტრიული ამოცანების ამოხსნის უნარები ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობების გამოყენებით. ვიდეოგაკვეთილზე განიხილება ტრიგონომეტრიული იდენტობების ტიპები, მათი გამოყენებით ამოცანების ამოხსნის მაგალითები. ვიზუალური საშუალებების გამოყენებით მასწავლებელს უადვილებს გაკვეთილის მიზნების მიღწევას. მასალის ნათელი წარმოდგენა ხელს უწყობს მნიშვნელოვანი პუნქტების დამახსოვრებას. ანიმაციური ეფექტებისა და ხმოვანი მოქმედების გამოყენება საშუალებას გაძლევთ მთლიანად შეცვალოთ მასწავლებელი მასალის ახსნის ეტაპზე. ამრიგად, მათემატიკის გაკვეთილებზე ამ თვალსაჩინოების გამოყენებით მასწავლებელს შეუძლია გაზარდოს სწავლების ეფექტურობა.

ვიდეოგაკვეთილის დასაწყისში ცხადდება მისი თემა. შემდეგ გავიხსენოთ ადრე შესწავლილი ტრიგონომეტრიული იდენტობები. ეკრანზე ნაჩვენებია ტოლობები sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, სადაც t≠π/2+πk kϵZ, ctg t=cos t/sin t, ჭეშმარიტი t≠πk, სადაც kϵZ, tan t · ctg t=1, t≠πk/2-ზე, სადაც kϵZ, რომელსაც ეწოდება ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები. აღნიშნულია, რომ ეს იდენტობები ხშირად გამოიყენება პრობლემების გადასაჭრელად, სადაც აუცილებელია თანასწორობის დამტკიცება ან გამოხატვის გამარტივება.

გარდა ამისა, განხილულია ამ იდენტობების გამოყენების მაგალითები პრობლემების გადაჭრაში. პირველ რიგში, შემოთავაზებულია განიხილოს გამონათქვამების გამარტივების პრობლემების გადაჭრა. მაგალით 1-ში აუცილებელია გამოთქმის გამარტივება cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t. მაგალითის გადასაჭრელად, საერთო კოეფიციენტი cos 2 t ჯერ არის ფრჩხილებში. ფრჩხილებში ასეთი ტრანსფორმაციის შედეგად მიიღება გამოთქმა 1-cos 2 t, რომლის მნიშვნელობა ტრიგონომეტრიის ძირითადი იდენტობიდან უდრის sin 2 t. გამოხატვის ტრანსფორმაციის შემდეგ აშკარაა, რომ ფრჩხილებიდან შეიძლება ამოღებულ იქნეს კიდევ ერთი გავრცელებული ფაქტორი sin 2 t, რის შემდეგაც გამოთქმა იღებს sin 2 t ფორმას (sin 2 t + cos 2 t). იგივე საბაზისო იდენტობიდან გამოვაქვთ ფრჩხილებში გამოსახულების მნიშვნელობა 1-ის ტოლი. გამარტივების შედეგად ვიღებთ cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

მაგალით 2-ში გამოთქმა cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) ასევე საჭიროებს გამარტივებას. ვინაიდან გამოხატვის ღირებულება არის ორივე წილადის მრიცხველებში, ის შეიძლება გამოიყოს როგორც საერთო ფაქტორი. შემდეგ ფრჩხილებში წილადები მცირდება საერთო მნიშვნელამდე (1- sint) (1+ sint) გამრავლებით. მსგავსი ტერმინების შემცირების შემდეგ მრიცხველში რჩება 2, ხოლო მნიშვნელში 1 - sin 2 t. ეკრანის მარჯვენა მხარეს იხსენებს ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის sin 2 t+cos 2 t=1. მისი გამოყენებით ვპოულობთ წილადის cos 2 t მნიშვნელს. წილადის შემცირების შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ გამოთქმის გამარტივებულ ფორმას ღირებულება / (1- sint) + ღირებულება / (1 + sint) \u003d 2 / ღირებულება.

შემდეგ განვიხილავთ იდენტობების დამადასტურებელ მაგალითებს, რომლებშიც გამოყენებულია მიღებული ცოდნა ტრიგონომეტრიის ძირითადი იდენტობების შესახებ. მე-3 მაგალითში აუცილებელია იდენტურობის დადასტურება (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. ეკრანის მარჯვენა მხარეს გამოსახულია სამი იდენტობა, რომელიც დაგჭირდებათ მტკიცებულებისთვის - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t და tg t=sin t/cos t შეზღუდვებით. იდენტურობის დასადასტურებლად ჯერ იხსნება ფრჩხილები, რის შემდეგაც იქმნება პროდუქტი, რომელიც ასახავს ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობის გამოხატვას tg t·ctg t=1. შემდეგ, კოტანგენტის განმარტებიდან იდენტურობის მიხედვით, გარდაიქმნება ctg 2 t. გარდაქმნების შედეგად მიიღება გამოთქმა 1-cos 2 t. ძირითადი იდენტობის გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ გამოხატვის მნიშვნელობას. ამრიგად, დადასტურებულია, რომ (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

მე-4 მაგალითში თქვენ უნდა იპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა tg 2 t+ctg 2 t, თუ tg t+ctg t=6. გამოთქმის შესაფასებლად, ჯერ კვადრატში იკვრება განტოლების მარჯვენა და მარცხენა მხარეები (tg t+ctg t) 2 =6 2. გამრავლების შემოკლებული ფორმულა ნაჩვენებია ეკრანის მარჯვენა მხარეს. გამონათქვამის მარცხენა მხარეს ფრჩხილების გახსნის შემდეგ ყალიბდება ჯამი tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t, რომლის გარდაქმნისთვის შეიძლება გამოვიყენოთ ერთ-ერთი ტრიგონომეტრიული იდენტობა tg t ctg t=1. რომლის ფორმა იხსენებს ეკრანის მარჯვენა მხარეს. გარდაქმნის შემდეგ მიიღება ტოლობა tg 2 t+ctg 2 t=34. ტოლობის მარცხენა მხარე ემთხვევა ამოცანის პირობას, ამიტომ პასუხი არის 34. პრობლემა მოგვარებულია.

ვიდეოგაკვეთილი „ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივება“ რეკომენდებულია ტრადიციული სკოლის მათემატიკის გაკვეთილზე გამოსაყენებლად. ასევე, მასალა გამოადგება მასწავლებელს, რომელიც ახორციელებს დისტანციურ სწავლებას. ტრიგონომეტრიული ამოცანების ამოხსნის უნარის ჩამოყალიბების მიზნით.

ტექსტის ინტერპრეტაცია:

„ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივება“.

Თანასწორობა

1)sin 2 t + cos 2 t = 1 (სინუს კვადრატში te პლუს კოსინუს კვადრატში te უდრის ერთს)

2) tgt =, t ≠ + πk, kϵZ (te-ის ტანგენსი უდრის te-ს სინუსს te-ს კოსინუსთან შეფარდებას, როდესაც te არ არის pi-ს ტოლი ორი პლუს pi ka, ka ეკუთვნის zet-ს)

3) ctgt = , t ≠ πk, kϵZ-ზე (te-ის კოტანგენსი უდრის te-ს კოსინუსის შეფარდებას te-ს სინუსთან, როდესაც te არ არის ტოლი ka-ს მწვერვალთან, რომელიც ეკუთვნის z-ს).

4)tgt ∙ ctgt = 1 t ≠ , kϵZ

ეწოდება ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები.

ხშირად ისინი გამოიყენება ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივებისა და დასამტკიცებლად.

განვიხილოთ ამ ფორმულების გამოყენების მაგალითები ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივებისას.

მაგალითი 1. გაამარტივეთ გამოთქმა: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (გამოხატვა კოსინუსი კვადრატში te მინუს ტე-ს მეოთხე ხარისხის კოსინუსი პლუს ტე-ს მეოთხე ხარისხის სინუსი).

გადაწყვეტილება. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 ტ) = ცოდვა 2 ტ 1= ცოდვა 2 ტ

(ვიღებთ საერთო ფაქტორს კოსინუს კვადრატს te, ფრჩხილებში ვიღებთ განსხვავებას ერთიანობასა და ტე-ს კვადრატს შორის, რომელიც უდრის პირველი იდენტობის სინუს ტე-ს კვადრატს. ვიღებთ მეოთხეს სინუსების ჯამს. ტე ხარისხი ნამრავლის კოსინუსის კვადრატი te და სინუს კვადრატი te. საერთო ფაქტორი სინუს კვადრატი te ამოიღება ფრჩხილების გარეთ, ფრჩხილებში ვიღებთ კოსინუსისა და სინუსის კვადრატების ჯამს, რომელიც ძირითადი ტრიგონომეტრიის მიხედვით. იდენტობა, უდრის 1-ს. შედეგად ვიღებთ სინუს ტე-ს კვადრატს).

მაგალითი 2. გაამარტივეთ გამოთქმა: + .

(გამოხატვა არის ორი წილადის ჯამი პირველი კოსინუსის te მრიცხველში მნიშვნელში ერთი მინუს sine te, მეორე კოსინუსის მრიცხველში te მეორეს მნიშვნელში პლუს sine te).

(მოდით, ავიღოთ საერთო ფაქტორი კოსინუსი te ფრჩხილებიდან და ფრჩხილებში მივიყვანოთ საერთო მნიშვნელთან, რომელიც არის ერთი მინუს te-ს ნამრავლი ერთ პლუს sine te-ზე.

მრიცხველში ვიღებთ: ერთს პლუს სინ ტე პლუს ერთი მინუს სინ ტე, ვაძლევთ მსგავსებს, მრიცხველი უდრის ორს მსგავსების მოყვანის შემდეგ.

მნიშვნელში შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულა (კვადრატების სხვაობა) და მიიღოთ განსხვავება ერთეულსა და კვადრატს შორის, რომელიც, ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის მიხედვით

უდრის კოსინუს ტე-ს კვადრატს. ტე-ით შემცირების შემდეგ მივიღებთ საბოლოო პასუხს: ორი გაყოფილი კოსინუს ტე-ზე).

განვიხილოთ ამ ფორმულების გამოყენების მაგალითები ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების მტკიცებულებაში.

მაგალითი 3. დაადასტურეთ იდენტურობა (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (ტე-ს ტანგენსის კვადრატებსა და ტე-ს სინუსსა და კოტანგენსის კვადრატს შორის სხვაობის ნამრავლი ტე უდრის ტე-ის სინუს კვადრატს).

მტკიცებულება.

მოდით გარდავქმნათ ტოლობის მარცხენა მხარე:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 ტ = ცოდვა 2 ტ

(მოდით გავხსნათ ფრჩხილები, ადრე მიღებული მიმართებიდან ცნობილია, რომ te-ის ტანგენსის კვადრატების ნამრავლი ტე-ის კოტანგენსით უდრის ერთს. შეგახსენებთ, რომ ტე-ს კოტანგენსი უდრის კოსინუსების შეფარდებას. te-ს სინუსს, რაც ნიშნავს, რომ კოტანგენსის კვადრატი არის te-ს კოსინუსის კვადრატის შეფარდება ტე-ს სინუს კვადრატთან.

ტე-ს სინუს კვადრატით შემცირების შემდეგ ვიღებთ განსხვავებას ერთიანობასა და ტე-ს კვადრატის კოსინუსს შორის, რომელიც უდრის ტე-ს კვადრატის სინუსს). ქ.ე.დ.

მაგალითი 4. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა tg 2 t + ctg 2 t, თუ tgt + ctgt = 6.

(ტე-სა და ტე-ს ტანგენსის კვადრატების ჯამი, თუ ტანგენსის და კოტანგენსის ჯამი ექვსია).

გადაწყვეტილება. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

მოდით, კვადრატში გავამრავლოთ თავდაპირველი თანასწორობის ორივე ნაწილი:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (te-ს ტანგენსის და ტე-ს კოტანგენსის ჯამის კვადრატი არის ექვსი კვადრატი). გავიხსენოთ გამრავლების შემოკლებული ფორმულა: ორი სიდიდის ჯამის კვადრატი უდრის პირველის კვადრატს დამატებული პირველის ნამრავლის ორჯერ და მეორეს პლუს მეორის კვადრატს. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 მივიღებთ tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 .

ვინაიდან te-სა და te-ს კოტანგენსების ნამრავლი უდრის ერთს, მაშინ tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (te-ს ტანგენსის კვადრატების ჯამი და te-ს და ორი კოტანგენსი არის ოცდათექვსმეტი),

Გაკვეთილი 1

თემა: მე-11 კლასი (გამოცდისთვის მზადება)

ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივება.

უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა. (2 საათი)

მიზნები:

• ტრიგონომეტრიის ფორმულების გამოყენებასთან და უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნასთან დაკავშირებული მოსწავლეთა ცოდნისა და უნარების სისტემატიზაცია, განზოგადება, გაფართოება.

აღჭურვილობა გაკვეთილისთვის:

გაკვეთილის სტრუქტურა:

1. ორგმომენტი
2. ლეპტოპებზე ტესტირება. შედეგების განხილვა.
3. ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივება
4. უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა
5. დამოუკიდებელი მუშაობა.
6. გაკვეთილის შეჯამება. საშინაო დავალების ახსნა.

1. საორგანიზაციო მომენტი. (2 წუთი.)

მასწავლებელი მიესალმება აუდიტორიას, აცხადებს გაკვეთილის თემას, იხსენებს, რომ ადრე იყო დავალებული ტრიგონომეტრიის ფორმულების გამეორება და აყენებს მოსწავლეებს ტესტირებისთვის.

2. ტესტირება. (15წთ + 3წთ დისკუსია)

მიზანია ტრიგონომეტრიული ფორმულების ცოდნისა და მათი გამოყენების უნარის შემოწმება. თითოეულ სტუდენტს აქვს ლეპტოპი თავის მაგიდაზე, რომელშიც არის ტესტის ვარიანტი.

შეიძლება იყოს ნებისმიერი რაოდენობის ვარიანტი, მე მივცემ ერთ-ერთ მათგანს მაგალითს:

I ვარიანტი.

გამოთქმების გამარტივება:

ა) ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

ბ) დამატების ფორმულები

3. sin5x - sin3x;

გ) პროდუქტის ჯამად გადაქცევა

6. 2sin8y cos3y;

დ) ორმაგი კუთხის ფორმულები

7.2sin5x cos5x;

ე) ნახევარკუთხის ფორმულები

ვ) სამკუთხა ფორმულები

ზ) უნივერსალური ჩანაცვლება

თ) ხარისხის დაწევა

16. cos 2 (3x/7);

მოსწავლეები ლეპტოპზე თითოეული ფორმულის წინ ხედავენ მათ პასუხებს.

სამუშაო მყისიერად მოწმდება კომპიუტერით. შედეგები ნაჩვენებია დიდ ეკრანზე, რათა ყველამ დაინახოს.

ასევე, სამუშაოს დასრულების შემდეგ სწორი პასუხები ნაჩვენებია მოსწავლეთა ლეპტოპებზე. თითოეული მოსწავლე ხედავს სად დაუშვა შეცდომა და რა ფორმულები უნდა გაიმეოროს.

3. ტრიგონომეტრიული გამოსახულებების გამარტივება. (25 წთ.)

მიზანია ტრიგონომეტრიის ძირითადი ფორმულების გამოყენების გამეორება, დამუშავება და კონსოლიდაცია. B7 ამოცანების ამოხსნა გამოცდიდან.

ამ ეტაპზე მიზანშეწონილია კლასი დაიყოს მასწავლებელთან მომუშავე ძლიერი (დამოუკიდებლად მუშაობა შემდგომი გადამოწმებით) და სუსტი მოსწავლეების ჯგუფებად.

დავალება ძლიერი მოსწავლეებისთვის (წინასწარ მომზადებული ბეჭდური საფუძველზე). ძირითადი აქცენტი კეთდება შემცირებისა და ორმაგი კუთხის ფორმულებზე, USE 2011-ის მიხედვით.

გამოთქმების გამარტივება (ძლიერი მოსწავლეებისთვის):

პარალელურად მასწავლებელი მუშაობს სუსტ მოსწავლეებთან, მოსწავლეების კარნახით მსჯელობს და ხსნის ამოცანებს ეკრანზე.

გამოთვალეთ:

5) sin (270º - α) + cos (270º + α)

6)

გამარტივება:

ძლიერი ჯგუფის მუშაობის შედეგების განხილვის ჯერი დადგა.

ეკრანზე ჩნდება პასუხები და ასევე, ვიდეოკამერის საშუალებით, გამოდის 5 სხვადასხვა მოსწავლის ნამუშევარი (თითოეული დავალება).

სუსტი ჯგუფი ხედავს მდგომარეობას და ამოხსნის მეთოდს. არის დისკუსია და ანალიზი. ტექნიკური საშუალებების გამოყენებით ეს სწრაფად ხდება.

4. უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა. (30 წთ.)

მიზანია უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის გამეორება, სისტემატიზაცია და განზოგადება, მათი ფესვების ჩაწერა. B3 პრობლემის გადაწყვეტა.

ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული განტოლება, როგორც არ უნდა ამოხსნათ იგი, მივყავართ უმარტივესამდე.

დავალების შესრულებისას მოსწავლეებმა ყურადღება უნდა მიაქციონ ცალკეული შემთხვევების განტოლებების ფესვებისა და ზოგადი ფორმის დაწერას და ბოლო განტოლებაში ფესვების შერჩევას.

განტოლებების ამოხსნა:

ჩაწერეთ პასუხის ყველაზე პატარა დადებითი ფესვი.

5. დამოუკიდებელი მუშაობა (10 წთ.)

მიზანია შეძენილი უნარების გამოცდა, პრობლემების, შეცდომების და მათი აღმოფხვრის გზების გამოვლენა.

სტუდენტის არჩევანით სთავაზობენ მრავალფეროვან სამუშაოს.

ვარიანტი "3"

1) იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

2) გაამარტივე გამოთქმა 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) ამოხსენით განტოლება

ვარიანტი "4"

1) იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

2) ამოხსენით განტოლება ჩაწერეთ თქვენი პასუხის ყველაზე პატარა დადებითი ფესვი.

ვარიანტი "5"

1) იპოვეთ tgα თუ

2) იპოვეთ განტოლების ფესვი ჩაწერეთ თქვენი პასუხის ყველაზე პატარა დადებითი ფესვი.

6. გაკვეთილის შეჯამება (5 წთ.)

მასწავლებელი აჯამებს იმ ფაქტს, რომ გაკვეთილზე განმეორდა და გააერთიანა ტრიგონომეტრიული ფორმულები, უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა.

საშინაო დავალება ენიჭება (წინასწარ მომზადებულია ნაბეჭდი საფუძველზე) მომდევნო გაკვეთილზე ადგილზე შემოწმებით.

განტოლებების ამოხსნა:

9)

10) მიეცით თქვენი პასუხი, როგორც ყველაზე პატარა დადებითი ფესვი.

გაკვეთილი 2

თემა: მე-11 კლასი (გამოცდისთვის მზადება)

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები. ფესვის შერჩევა. (2 საათი)

მიზნები:

• ცოდნის განზოგადება და სისტემატიზაცია სხვადასხვა ტიპის ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის შესახებ.
• ხელი შეუწყოს მოსწავლეთა მათემატიკური აზროვნების განვითარებას, დაკვირვების, შედარების, განზოგადების, კლასიფიკაციის უნარს.
• წაახალისეთ მოსწავლეები, დაძლიონ სირთულეები გონებრივი აქტივობის პროცესში, თვითკონტროლი, თავიანთი საქმიანობის ინტროსპექცია.

აღჭურვილობა გაკვეთილისთვის: KRMu, ლეპტოპები თითოეული სტუდენტისთვის.

გაკვეთილის სტრუქტურა:

1. ორგმომენტი
2. დისკუსია დ/ს და სამოთ. ბოლო გაკვეთილის ნამუშევარი
3. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდების გამეორება.
4. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა
5. ფესვების შერჩევა ტრიგონომეტრიულ განტოლებებში.
6. დამოუკიდებელი მუშაობა.
7. გაკვეთილის შეჯამება. Საშინაო დავალება.

1. საორგანიზაციო მომენტი (2 წთ.)

მასწავლებელი მიესალმება აუდიტორიას, აცხადებს გაკვეთილის თემას და სამუშაო გეგმას.

2. ა) საშინაო დავალების ანალიზი (5 წთ.)

მიზანი არის შესრულების შემოწმება. ვიდეოკამერის დახმარებით ერთი ნამუშევარი გამოსახულია ეკრანზე, დანარჩენი შერჩევით გროვდება მასწავლებლის შესამოწმებლად.

ბ) დამოუკიდებელი მუშაობის ანალიზი (3 წთ.)

მიზანია შეცდომების დალაგება, მათი დაძლევის გზების მითითება.

ეკრანზე არის პასუხები და გადაწყვეტილებები, მოსწავლეებმა წინასწარ გამოაქვეყნეს ნამუშევარი. ანალიზი სწრაფად მიდის.

3. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდების გამეორება (5 წთ.)

მიზანია გავიხსენოთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები.

ჰკითხეთ მოსწავლეებს ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის რა მეთოდები იციან. ხაზგასმით აღვნიშნო, რომ არსებობს ე.წ. ძირითადი (ხშირად გამოყენებული) მეთოდები:

• ცვლადი ჩანაცვლება,
• ფაქტორიზაცია,
• ერთგვაროვანი განტოლებები,

და არის გამოყენებული მეთოდები:

• ჯამის ნამრავლად და ნამრავლის ჯამად გადაქცევის ფორმულების მიხედვით,
• შემცირების ფორმულებით,
• უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება
• დამხმარე კუთხის შეყვანა,
• გამრავლება რომელიმე ტრიგონომეტრიულ ფუნქციაზე.

ასევე უნდა გვახსოვდეს, რომ ერთი განტოლება შეიძლება ამოხსნას სხვადასხვა გზით.

4. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა (30 წთ.)

მიზანია ამ თემაზე ცოდნისა და უნარების განზოგადება და კონსოლიდაცია, USE-დან C1 ამოხსნისთვის მომზადება.

მიზანშეწონილად მიმაჩნია მოსწავლეებთან ერთად თითოეული მეთოდის განტოლებების ამოხსნა.

მოსწავლე კარნახობს გამოსავალს, მასწავლებელი წერს ტაბლეტზე, მთელი პროცესი ნაჩვენებია ეკრანზე. ეს საშუალებას მოგცემთ სწრაფად და ეფექტურად აღადგინოთ ადრე დაფარული მასალა თქვენს მეხსიერებაში.

განტოლებების ამოხსნა:

1) ცვლადის ცვლილება 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) ფაქტორიზაცია 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) ერთგვაროვანი განტოლებები sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) ჯამის გადაქცევა ნამრავლში cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) პროდუქტის გარდაქმნა ჯამად 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) ცოდვის ხარისხის დაქვეითება2x - ცოდვა 2 2x + ცოდვა 2 3x \u003d 0.5

7) უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება sinx + 5cosx + 5 = 0.

ამ განტოლების ამოხსნისას უნდა აღინიშნოს, რომ ამ მეთოდის გამოყენება იწვევს განსაზღვრების დომენის შევიწროებას, ვინაიდან სინუსი და კოსინუსი ჩანაცვლებულია tg(x/2)-ით. ამიტომ, პასუხის დაწერამდე აუცილებელია შეამოწმოთ, არის თუ არა რიცხვები π + 2πn, n Z სიმრავლიდან ამ განტოლების ცხენები.

8) დამხმარე კუთხის შეყვანა √3sinx + cosx - √2 = 0

9) გამრავლება ზოგიერთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციაზე cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ფესვების შერჩევა (20 წთ.)

ვინაიდან სასტიკი კონკურენციის პირობებში, უნივერსიტეტებში შესვლისას, გამოცდის ერთი პირველი ნაწილის ამოხსნა საკმარისი არ არის, სტუდენტების უმეტესობამ ყურადღება უნდა მიაქციოს მეორე ნაწილის (C1, C2, C3) ამოცანებს.

ამიტომ, გაკვეთილის ამ ეტაპის მიზანია ადრე შესწავლილი მასალის გახსენება, C1 პრობლემის გადასაჭრელად მომზადება USE-დან 2011 წელს.

არსებობს ტრიგონომეტრიული განტოლებები, რომლებშიც პასუხის ჩაწერისას უნდა აირჩიოთ ფესვები. ეს გამოწვეულია გარკვეული შეზღუდვებით, მაგალითად: წილადის მნიშვნელი არ არის ნულის ტოლი, ლუწი ხარისხის ფესვის გამოსახულება არაუარყოფითია, ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ გამოხატული არის დადებითი და ა.შ.

ასეთი განტოლებები მიჩნეულია გაზრდილი სირთულის განტოლებად და USE ვერსიაში არის მეორე ნაწილში, კერძოდ C1.

ამოხსენით განტოლება:

წილადი ნულის ტოლია თუ მაშინ ერთეული წრის გამოყენებით, ჩვენ ვირჩევთ ფესვებს (იხ. სურათი 1)

სურათი 1.

ვიღებთ x = π + 2πn, n Z

პასუხი: π + 2πn, n Z

ეკრანზე ფესვების შერჩევა ნაჩვენებია წრეზე ფერადი გამოსახულებით.

ნამრავლი ნულის ტოლია, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია და რკალი, ამავე დროს, არ კარგავს თავის მნიშვნელობას. მერე

ერთეული წრის გამოყენებით აირჩიეთ ფესვები (იხ. სურათი 2)