მარტივად რომ ვთქვათ, ეს არის განტოლებები, რომლებშიც არის მინიმუმ ერთი ცვლადით მნიშვნელში.

Მაგალითად:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

მაგალითი არაწილადი რაციონალური განტოლებები:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

როგორ წყდება წილადი რაციონალური განტოლებები?

მთავარი რაც უნდა გვახსოვდეს წილადი რაციონალური განტოლებების შესახებ არის ის, რომ თქვენ უნდა დაწეროთ მათში. და ფესვების პოვნის შემდეგ, დარწმუნდით, რომ შეამოწმეთ ისინი დასაშვებად. წინააღმდეგ შემთხვევაში, შეიძლება გამოჩნდეს ზედმეტი ფესვები და მთელი გამოსავალი ჩაითვლება არასწორად.

წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი:

ჩაწერეთ და „გადაჭრით“ ODZ.

გაამრავლეთ განტოლების თითოეული წევრი საერთო მნიშვნელით და შეამცირეთ მიღებული წილადები. მნიშვნელები გაქრება.

დაწერეთ განტოლება ფრჩხილების გახსნის გარეშე.

ამოხსენით მიღებული განტოლება.

შეამოწმეთ ნაპოვნი ფესვები ODZ-ით.

პასუხად ჩაწერეთ ფესვები, რომლებმაც გაიარეს ტესტი მე-7 საფეხურზე.

არ დაიმახსოვროთ ალგორითმი, 3-5 ამოხსნილი განტოლება - და ის თავისთავად დაიმახსოვრება.

მაგალითი . ამოხსენით წილადი რაციონალური განტოლება \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

გადაწყვეტილება:

პასუხი: \(3\).

მაგალითი . იპოვეთ წილადი რაციონალური განტოლების ფესვები \(=0\)

გადაწყვეტილება:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		ვწერთ და „ვაგვარებთ“ ODZ-ს. გააფართოვეთ \(x^2+7x+10\) ფორმულაში: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). საბედნიეროდ \(x_1\) და \(x_2\) ჩვენ უკვე ვიპოვეთ.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		ცხადია, წილადების საერთო მნიშვნელი: \((x+2)(x+5)\). ჩვენ მასზე ვამრავლებთ მთელ განტოლებას.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		ჩვენ ვამცირებთ წილადებს
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		ფრჩხილების გახსნა
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		ჩვენ ვაძლევთ მსგავს პირობებს
\(2x^2+9x-5=0\)		განტოლების ფესვების პოვნა
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		ერთ-ერთი ფესვი არ ჯდება ODZ-ის ქვეშ, ამიტომ საპასუხოდ ვწერთ მხოლოდ მეორე ფესვს.

პასუხი: \(\frac(1)(2)\).

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან მასთან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო განხილვისას და/ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ დავადგენთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესების მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პირადი ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

გაკვეთილის მიზნები:

სახელმძღვანელო:

• წილადი რაციონალური განტოლებების ცნების ფორმირება;
• წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის სხვადასხვა ხერხის განხილვა;
• განიხილეთ წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი, მათ შორის იმ პირობის, რომ წილადი ნულის ტოლია;
• წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის სწავლება ალგორითმის მიხედვით;
• თემის ათვისების დონის შემოწმება ტესტური სამუშაოს ჩატარებით.

განვითარება:

• შეძენილი ცოდნით სწორად მოქმედების, ლოგიკური აზროვნების უნარის განვითარება;
• ინტელექტუალური უნარებისა და გონებრივი ოპერაციების განვითარება - ანალიზი, სინთეზი, შედარება და განზოგადება;
• ინიციატივის განვითარება, გადაწყვეტილების მიღების უნარი, აქ არ გაჩერება;
• კრიტიკული აზროვნების განვითარება;
• კვლევის უნარების განვითარება.

აღზრდა:

• საგნის მიმართ შემეცნებითი ინტერესის განათლება;
• დამოუკიდებლობის განათლება საგანმანათლებლო პრობლემების გადაჭრაში;
• ნებისყოფისა და გამძლეობის განათლება საბოლოო შედეგების მისაღწევად.

გაკვეთილის ტიპი: გაკვეთილი - ახალი მასალის ახსნა.

გაკვეთილების დროს

1. საორგანიზაციო მომენტი.

Გამარჯობათ ბიჭებო! განტოლებები იწერება დაფაზე, ყურადღებით დააკვირდით. შეგიძლიათ ამოხსნათ ყველა ეს განტოლება? რომელი არ არის და რატომ?

განტოლებებს, რომლებშიც მარცხენა და მარჯვენა მხარეები არის წილადი რაციონალური გამონათქვამები, ეწოდება წილადი რაციონალური განტოლებები. როგორ ფიქრობთ, რას შევისწავლით დღეს გაკვეთილზე? ჩამოაყალიბეთ გაკვეთილის თემა. მაშ ასე, ვხსნით რვეულებს და ვწერთ გაკვეთილის თემას „წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნა“.

2. ცოდნის აქტუალიზაცია. ფრონტალური გამოკითხვა, ზეპირი მუშაობა კლასთან.

ახლა კი გავიმეორებთ ძირითად თეორიულ მასალას, რომელიც გვჭირდება ახალი თემის შესასწავლად. გთხოვთ უპასუხოთ შემდეგ კითხვებს:

1. რა არის განტოლება? ( თანასწორობა ცვლადთან ან ცვლადებთან.)
2. რა ჰქვია #1 განტოლებას? ( ხაზოვანი.) წრფივი განტოლებების ამოხსნის მეთოდი. ( გადაიტანეთ ყველაფერი უცნობისთან განტოლების მარცხენა მხარეს, ყველა რიცხვი მარჯვნივ. მოიყვანეთ მსგავსი პირობები. იპოვნეთ უცნობი მამრავლი).
3. რა ჰქვია განტოლებას 3? ( მოედანი.) კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები. ( სრული კვადრატის შერჩევა ფორმულების მიხედვით ვიეტას თეორემის და მისი შედეგების გამოყენებით.)
4. რა არის პროპორცია? ( ორი ურთიერთობის თანასწორობა.) პროპორციის მთავარი თვისება. ( თუ პროპორცია ჭეშმარიტია, მაშინ მისი უკიდურესი წევრების ნამრავლი უდრის შუა წევრთა ნამრავლს.)
5. რა თვისებები გამოიყენება განტოლებების ამოსახსნელად? ( 1. თუ განტოლებაში ტერმინს ერთი ნაწილიდან მეორეზე გადავიტანთ მისი ნიშნის შეცვლით, მაშინ მივიღებთ მოცემულის ტოლ განტოლებას. 2. თუ განტოლების ორივე ნაწილი გამრავლებულია ან იყოფა იმავე არანულოვან რიცხვზე, მაშინ მიიღება განტოლება, რომელიც უდრის მოცემულს..)
6. როდის არის წილადი ნულის ტოლი? ( წილადი არის ნული, როდესაც მრიცხველი არის ნული, ხოლო მნიშვნელი არ არის ნული.)

3. ახალი მასალის ახსნა.

ამოხსენით განტოლება No2 რვეულებში და დაფაზე.

უპასუხე: 10.

რომელი წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნა შეგიძლიათ პროპორციის ძირითადი თვისების გამოყენებით? (No5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

ამოხსენით განტოლება No4 რვეულებში და დაფაზე.

უპასუხე: 1,5.

რა წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნა შეგიძლიათ სცადოთ განტოლების ორივე მხარის მნიშვნელზე გამრავლებით? (No6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

უპასუხე: 3;4.

ახლა შეეცადეთ ამოხსნათ განტოლება #7 ერთ-ერთი გზით.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
უპასუხე: 0;5;-2.			უპასუხე: 5;-2.

ახსენით რატომ მოხდა ეს? რატომ არის ერთ შემთხვევაში სამი ფესვი და მეორეში ორი? რა რიცხვებია ამ წილადი რაციონალური განტოლების ფესვები?

აქამდე მოსწავლეებს არ შეხვედრიათ უცხო ფესვის ცნება, მათთვის მართლაც ძალიან რთულია იმის გაგება, თუ რატომ მოხდა ეს. თუ კლასში ვერავინ შეძლებს ამ სიტუაციის მკაფიო ახსნას, მაშინ მასწავლებელი სვამს წამყვან კითხვებს.

• რით განსხვავდება მე-2 და მე-4 განტოლებები 5,6,7 განტოლებისგან? ( რიცხვის მნიშვნელში No2 და 4 განტოლებებში No5-7 - გამოსახულებები ცვლადით..)
• რა არის განტოლების ფესვი? ( ცვლადის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც განტოლება ხდება ჭეშმარიტი თანასწორობა.)
• როგორ გავარკვიოთ არის თუ არა რიცხვი განტოლების ფესვი? ( გააკეთეთ შემოწმება.)

ტესტის გაკეთებისას ზოგიერთი მოსწავლე ამჩნევს, რომ უნდა გაიყოს ნულზე. ისინი ასკვნიან, რომ რიცხვები 0 და 5 არ არის ამ განტოლების ფესვები. ჩნდება კითხვა: არის თუ არა წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის გზა, რომელიც აღმოფხვრის ამ შეცდომას? დიახ, ეს მეთოდი ეფუძნება იმ პირობას, რომ წილადი ნულის ტოლია.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

თუ x=5, მაშინ x(x-5)=0, მაშასადამე, 5 არის უცხო ფესვი.

თუ x=-2, მაშინ x(x-5)≠0.

უპასუხე: -2.

შევეცადოთ ჩამოვაყალიბოთ წილადი რაციონალური განტოლებების ამ გზით ამოხსნის ალგორითმი. ბავშვები თავად აყალიბებენ ალგორითმს.

წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი:

1. გადაიტანეთ ყველაფერი მარცხნივ.
2. მიიტანეთ წილადები საერთო მნიშვნელთან.
3. შეადგინეთ სისტემა: წილადი არის ნული, როდესაც მრიცხველი არის ნული, ხოლო მნიშვნელი არ არის ნული.
4. ამოხსენით განტოლება.
5. შეამოწმეთ უთანასწორობა ზედმეტი ფესვების გამოსარიცხად.
6. დაწერე პასუხი.

დისკუსია: როგორ ჩამოვაყალიბოთ ამოხსნა, თუ გამოყენებულია პროპორციის ძირითადი თვისება და განტოლების ორივე მხარის გამრავლება საერთო მნიშვნელზე. (დაამატეთ ამონახსნი: გამორიცხეთ მისი ფესვებიდან ის, ვინც საერთო მნიშვნელს ნულს აქცევს).

4. ახალი მასალის პირველადი გააზრება.

მუშაობა წყვილებში. მოსწავლეები ირჩევენ როგორ ამოხსნან განტოლება დამოუკიდებლად, განტოლების ტიპის მიხედვით. ამოცანები სახელმძღვანელოდან "ალგებრა 8", იუ.ნ. მაკარიჩევი, 2007: No600 (ბ, გ, ი); No601(ა, ე, გ). მასწავლებელი აკონტროლებს დავალების შესრულებას, პასუხობს გაჩენილ კითხვებს და დახმარებას უწევს სუსტ მოსწავლეებს. თვითტესტი: პასუხები იწერება დაფაზე.

ბ) 2 არის უცხო ფესვი. პასუხი: 3.

გ) 2 არის უცხო ფესვი. პასუხი: 1.5.

ა) პასუხი: -12.5.

ზ) პასუხი: 1; 1.5.

5. განცხადება საშინაო დავალების შესახებ.

1. წაიკითხეთ სახელმძღვანელოდან 25-ე პუნქტი, გააანალიზეთ მაგალითები 1-3.
2. ისწავლეთ წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი.
3. ამოხსენით რვეულებში No600 (ა, დ, ე); No601 (გ, თ).
4. სცადეთ ამოხსნათ #696(ა) (სურვილისამებრ).

6. საკონტროლო დავალების შესრულება შესწავლილ თემაზე.

სამუშაო შესრულებულია ფურცლებზე.

სამუშაოს მაგალითი:

ა) განტოლებიდან რომელია წილადი რაციონალური?

ბ) წილადი არის ნული, როცა მრიცხველია __________________________________, ხოლო მნიშვნელი _________________________.

Q) რიცხვი -3 არის #6 განტოლების ფესვი?

დ) ამოხსენით განტოლება No7.

დავალების შეფასების კრიტერიუმები:

• „5“ მოცემულია, თუ მოსწავლემ სწორად შეასრულა დავალების 90%-ზე მეტი.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• „2“ ეძლევა მოსწავლეს, რომელმაც დაასრულა დავალების 50%-ზე ნაკლები.
• 2 კლასი არ არის ჩაწერილი ჟურნალში, 3 არჩევითია.

7. რეფლექსია.

დამოუკიდებელი ნამუშევრის ბუკლეტებზე დადეთ:

• 1 - თუ გაკვეთილი თქვენთვის საინტერესო და გასაგები იყო;
• 2 - საინტერესო, მაგრამ არა გასაგები;
• 3 - არა საინტერესო, მაგრამ გასაგები;
• 4 - არ არის საინტერესო, გაუგებარია.

8. გაკვეთილის შეჯამება.

ასე რომ, დღეს გაკვეთილზე გავეცანით წილადის რაციონალურ განტოლებებს, ვისწავლეთ როგორ ამოხსნათ ეს განტოლებები სხვადასხვა გზით, გამოვცადეთ ჩვენი ცოდნა საგანმანათლებლო დამოუკიდებელი სამუშაოს დახმარებით. დამოუკიდებელი მუშაობის შედეგებს მომდევნო გაკვეთილზე შეიტყობთ, სახლში გექნებათ შესაძლებლობა მიღებული ცოდნის კონსოლიდაცია.

წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის რომელი მეთოდია, თქვენი აზრით, უფრო მარტივი, უფრო ხელმისაწვდომი, უფრო რაციონალური? წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდის მიუხედავად, რა არ უნდა დავივიწყოთ? რაში მდგომარეობს წილადი რაციონალური განტოლებების „ეშმაკობა“?

მადლობა ყველას, გაკვეთილი დასრულდა.

"წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნა"

გაკვეთილის მიზნები:

სახელმძღვანელო:

წილადი რაციონალური განტოლებების ცნების ფორმირება; წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის სხვადასხვა ხერხის განხილვა; განიხილეთ წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი, მათ შორის იმ პირობის, რომ წილადი ნულის ტოლია; წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის სწავლება ალგორითმის მიხედვით; თემის ათვისების დონის შემოწმება ტესტური სამუშაოს ჩატარებით.

განვითარება:

შეძენილი ცოდნით სწორად მოქმედების, ლოგიკური აზროვნების უნარის განვითარება; ინტელექტუალური უნარებისა და გონებრივი ოპერაციების განვითარება - ანალიზი, სინთეზი, შედარება და განზოგადება; ინიციატივის განვითარება, გადაწყვეტილების მიღების უნარი, აქ არ გაჩერება; კრიტიკული აზროვნების განვითარება; კვლევის უნარების განვითარება.

აღზრდა:

საგნის მიმართ შემეცნებითი ინტერესის განათლება; დამოუკიდებლობის განათლება საგანმანათლებლო პრობლემების გადაჭრაში; ნებისყოფისა და გამძლეობის განათლება საბოლოო შედეგების მისაღწევად.

გაკვეთილის ტიპი: გაკვეთილი - ახალი მასალის ახსნა.

გაკვეთილების დროს

1. საორგანიზაციო მომენტი.

Გამარჯობათ ბიჭებო! განტოლებები იწერება დაფაზე, ყურადღებით დააკვირდით. შეგიძლიათ ამოხსნათ ყველა ეს განტოლება? რომელი არ არის და რატომ?

განტოლებებს, რომლებშიც მარცხენა და მარჯვენა მხარეები არის წილადი რაციონალური გამონათქვამები, ეწოდება წილადი რაციონალური განტოლებები. როგორ ფიქრობთ, რას შევისწავლით დღეს გაკვეთილზე? ჩამოაყალიბეთ გაკვეთილის თემა. მაშ ასე, ვხსნით რვეულებს და ვწერთ გაკვეთილის თემას „წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნა“.

2. ცოდნის აქტუალიზაცია. ფრონტალური გამოკითხვა, ზეპირი მუშაობა კლასთან.

ახლა კი გავიმეორებთ ძირითად თეორიულ მასალას, რომელიც გვჭირდება ახალი თემის შესასწავლად. გთხოვთ უპასუხოთ შემდეგ კითხვებს:

1. რა არის განტოლება? ( თანასწორობა ცვლადთან ან ცვლადებთან.)

2. რა ჰქვია #1 განტოლებას? ( ხაზოვანი.) წრფივი განტოლებების ამოხსნის მეთოდი. ( გადაიტანეთ ყველაფერი უცნობისთან განტოლების მარცხენა მხარეს, ყველა რიცხვი მარჯვნივ. მოიყვანეთ მსგავსი პირობები. იპოვნეთ უცნობი მამრავლი).

3. რა ჰქვია #3 განტოლებას? ( მოედანი.) კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები. ( სრული კვადრატის შერჩევა ფორმულების მიხედვით ვიეტას თეორემის და მისი შედეგების გამოყენებით.)

4. რა არის პროპორცია? ( ორი ურთიერთობის თანასწორობა.) პროპორციის მთავარი თვისება. ( თუ პროპორცია ჭეშმარიტია, მაშინ მისი უკიდურესი წევრების ნამრავლი უდრის შუა წევრთა ნამრავლს.)

5. რა თვისებები გამოიყენება განტოლებების ამოხსნისას? ( 1. თუ განტოლებაში ტერმინს ერთი ნაწილიდან მეორეზე გადავიტანთ მისი ნიშნის შეცვლით, მაშინ მივიღებთ მოცემულის ტოლ განტოლებას. 2. თუ განტოლების ორივე ნაწილი გამრავლებულია ან იყოფა იმავე არანულოვან რიცხვზე, მაშინ მიიღება განტოლება, რომელიც უდრის მოცემულს..)

6. როდის არის წილადი ნულის ტოლი? ( წილადი არის ნული, როდესაც მრიცხველი არის ნული, ხოლო მნიშვნელი არ არის ნული.)

3. ახალი მასალის ახსნა.

ამოხსენით განტოლება No2 რვეულებში და დაფაზე.

უპასუხე: 10.

რომელი წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნა შეგიძლიათ პროპორციის ძირითადი თვისების გამოყენებით? (No5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

ამოხსენით განტოლება No4 რვეულებში და დაფაზე.

უპასუხე: 1,5.

რა წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნა შეგიძლიათ სცადოთ განტოლების ორივე მხარის მნიშვნელზე გამრავლებით? (No6).

D=1>0, x1=3, x2=4.

უპასუხე: 3;4.

ახლა შეეცადეთ ამოხსნათ განტოლება #7 ერთ-ერთი გზით.

(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49
უპასუხე: 0;5;-2.			უპასუხე: 5;-2.

ახსენით რატომ მოხდა ეს? რატომ არის ერთ შემთხვევაში სამი ფესვი და მეორეში ორი? რა რიცხვებია ამ წილადი რაციონალური განტოლების ფესვები?

აქამდე მოსწავლეებს არ შეხვედრიათ უცხო ფესვის ცნება, მათთვის მართლაც ძალიან რთულია იმის გაგება, თუ რატომ მოხდა ეს. თუ კლასში ვერავინ შეძლებს ამ სიტუაციის მკაფიო ახსნას, მაშინ მასწავლებელი სვამს წამყვან კითხვებს.

რით განსხვავდება მე-2 და მე-4 განტოლებები 5,6,7 განტოლებისგან? ( რიცხვის მნიშვნელში No2 და 4 განტოლებებში No5-7 - გამოსახულებები ცვლადით..) რა არის განტოლების ფესვი? ( ცვლადის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც განტოლება ხდება ჭეშმარიტი თანასწორობა.) როგორ გავარკვიოთ არის თუ არა რიცხვი განტოლების ფესვი? ( გააკეთეთ შემოწმება.)

ტესტის გაკეთებისას ზოგიერთი მოსწავლე ამჩნევს, რომ უნდა გაიყოს ნულზე. ისინი ასკვნიან, რომ რიცხვები 0 და 5 არ არის ამ განტოლების ფესვები. ჩნდება კითხვა: არის თუ არა წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის გზა, რომელიც აღმოფხვრის ამ შეცდომას? დიახ, ეს მეთოდი ეფუძნება იმ პირობას, რომ წილადი ნულის ტოლია.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

თუ x=5, მაშინ x(x-5)=0, მაშასადამე, 5 არის უცხო ფესვი.

თუ x=-2, მაშინ x(x-5)≠0.

უპასუხე: -2.

შევეცადოთ ჩამოვაყალიბოთ წილადი რაციონალური განტოლებების ამ გზით ამოხსნის ალგორითმი. ბავშვები თავად აყალიბებენ ალგორითმს.

წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი:

1. გადაიტანეთ ყველაფერი მარცხენა მხარეს.

2. წილადები მიიტანეთ საერთო მნიშვნელთან.

3. შექმენით სისტემა: წილადი ნულის ტოლია, როცა მრიცხველი ნულის ტოლია, ხოლო მნიშვნელი არ არის ნულის ტოლი.

4. ამოხსენით განტოლება.

5. შეამოწმეთ უთანასწორობა ზედმეტი ფესვების გამოსარიცხად.

6. ჩაწერეთ პასუხი.

დისკუსია: როგორ ჩამოვაყალიბოთ ამოხსნა, თუ გამოყენებულია პროპორციის ძირითადი თვისება და განტოლების ორივე მხარის გამრავლება საერთო მნიშვნელზე. (დაამატეთ ამონახსნი: გამორიცხეთ მისი ფესვებიდან ის, ვინც საერთო მნიშვნელს ნულს აქცევს).

4. ახალი მასალის პირველადი გააზრება.

მუშაობა წყვილებში. მოსწავლეები ირჩევენ როგორ ამოხსნან განტოლება დამოუკიდებლად, განტოლების ტიპის მიხედვით. ამოცანები სახელმძღვანელოდან „ალგებრა 8“, 2007: No000 (ბ, გ, ი); No000(a, e, g). მასწავლებელი აკონტროლებს დავალების შესრულებას, პასუხობს გაჩენილ კითხვებს და დახმარებას უწევს სუსტ მოსწავლეებს. თვითტესტი: პასუხები იწერება დაფაზე.

ბ) 2 არის უცხო ფესვი. პასუხი: 3.

გ) 2 არის უცხო ფესვი. პასუხი: 1.5.

ა) პასუხი: -12.5.

ზ) პასუხი: 1; 1.5.

5. განცხადება საშინაო დავალების შესახებ.

2. ისწავლეთ წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი.

3. ამოხსენით რვეულებში No000 (ა, დ, ე); No 000 (გ, თ).

4. სცადეთ ამოხსნათ No 000(a) (სურვილისამებრ).

6. საკონტროლო დავალების შესრულება შესწავლილ თემაზე.

სამუშაო შესრულებულია ფურცლებზე.

სამუშაოს მაგალითი:

ა) განტოლებიდან რომელია წილადი რაციონალური?

ბ) წილადი არის ნული, როცა მრიცხველია __________________________________, ხოლო მნიშვნელი _________________________.

Q) რიცხვი -3 არის #6 განტოლების ფესვი?

დ) ამოხსენით განტოლება No7.

დავალების შეფასების კრიტერიუმები:

„5“ მოცემულია, თუ მოსწავლემ სწორად შეასრულა დავალების 90%-ზე მეტი. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" ეძლევა მოსწავლეს, რომელმაც დაასრულა დავალების 50%-ზე ნაკლები. 2 კლასი არ არის ჩაწერილი ჟურნალში, 3 არჩევითია.

7. რეფლექსია.

დამოუკიდებელი ნამუშევრის ბუკლეტებზე დადეთ:

1 - თუ გაკვეთილი თქვენთვის საინტერესო და გასაგები იყო; 2 - საინტერესო, მაგრამ არა გასაგები; 3 - არა საინტერესო, მაგრამ გასაგები; 4 - არ არის საინტერესო, გაუგებარია.

8. გაკვეთილის შეჯამება.

ასე რომ, დღეს გაკვეთილზე გავეცანით წილადის რაციონალურ განტოლებებს, ვისწავლეთ როგორ ამოხსნათ ეს განტოლებები სხვადასხვა გზით, გამოვცადეთ ჩვენი ცოდნა საგანმანათლებლო დამოუკიდებელი სამუშაოს დახმარებით. დამოუკიდებელი მუშაობის შედეგებს მომდევნო გაკვეთილზე შეიტყობთ, სახლში გექნებათ შესაძლებლობა მიღებული ცოდნის კონსოლიდაცია.

წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის რომელი მეთოდია, თქვენი აზრით, უფრო მარტივი, უფრო ხელმისაწვდომი, უფრო რაციონალური? წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდის მიუხედავად, რა არ უნდა დავივიწყოთ? რაში მდგომარეობს წილადი რაციონალური განტოლებების „ეშმაკობა“?

მადლობა ყველას, გაკვეთილი დასრულდა.

ჩვენ ვაგრძელებთ საუბარს განტოლებების ამოხსნა. ამ სტატიაში ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ რაციონალური განტოლებებიდა რაციონალური განტოლებების ერთი ცვლადით ამოხსნის პრინციპები. ჯერ გავარკვიოთ, რა სახის განტოლებებს ეწოდება რაციონალური, მივცეთ მთელი რაციონალური და წილადი რაციონალური განტოლებების განმარტება და მოვიყვანოთ მაგალითები. გარდა ამისა, ჩვენ მივიღებთ რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმებს და, რა თქმა უნდა, განვიხილავთ ტიპიური მაგალითების ამონახსნებს ყველა საჭირო განმარტებით.

გვერდის ნავიგაცია.

გაჟღერებულ განმარტებებზე დაყრდნობით, რაციონალური განტოლებების რამდენიმე მაგალითს ვაძლევთ. მაგალითად, x=1, 2 x−12 x 2 y z 3 =0, , ყველა რაციონალური განტოლებაა.

ნაჩვენები მაგალითებიდან ჩანს, რომ რაციონალური განტოლებები, ისევე როგორც სხვა ტიპის განტოლებები, შეიძლება იყოს ან ერთი ცვლადით, ან ორი, სამი და ა.შ. ცვლადები. შემდეგ აბზაცებში ვისაუბრებთ რაციონალური განტოლებების ერთ ცვლადში ამოხსნაზე. განტოლებების ამოხსნა ორი ცვლადითდა მათი დიდი რაოდენობა განსაკუთრებულ ყურადღებას იმსახურებს.

გარდა იმისა, რომ რაციონალური განტოლებები იყოფა უცნობი ცვლადების რაოდენობაზე, ისინი ასევე იყოფა მთელ რიცხვებად და წილადებად. მოდით მივცეთ შესაბამისი განმარტებები.

განმარტება.

რაციონალური განტოლება ე.წ მთლიანითუ მისი მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები მთელი რაციონალური გამონათქვამებია.

განმარტება.

თუ რაციონალური განტოლების ერთი ნაწილი მაინც არის წილადი, მაშინ ასეთი განტოლება ე.წ. ფრაქციულად რაციონალური(ან წილადი რაციონალური).

ნათელია, რომ მთელი რიცხვები არ შეიცავს გაყოფას ცვლადზე, პირიქით, წილადი რაციონალური განტოლებები აუცილებლად შეიცავს გაყოფას ცვლადზე (ან ცვლადზე მნიშვნელში). ანუ 3 x+2=0 და (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0.5არის მთელი რაციონალური განტოლებები, მათი ორივე ნაწილი არის მთელი რიცხვი. A და x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 არის წილადი რაციონალური განტოლებების მაგალითები.

ამ აბზაცის დასასრულს, ყურადღება მივაქციოთ იმ ფაქტს, რომ ამ მომენტისთვის ცნობილი წრფივი განტოლებები და კვადრატული განტოლებები მთლიანი რაციონალური განტოლებებია.

მთელი რიცხვების განტოლებების ამოხსნა

მთლიანი განტოლებების ამოხსნის ერთ-ერთი მთავარი მიდგომაა მათი შემცირება ეკვივალენტამდე ალგებრული განტოლებები. ეს ყოველთვის შეიძლება გაკეთდეს განტოლების შემდეგი ეკვივალენტური გარდაქმნების შესრულებით:

• პირველი, გამონათქვამი საწყისი მთელი რიცხვის განტოლების მარჯვენა მხრიდან გადაეცემა მარცხენა მხარეს საპირისპირო ნიშნით, რათა მიიღოთ ნული მარჯვენა მხარეს;
• ამის შემდეგ, განტოლების მარცხენა მხარეს, მიღებული სტანდარტული ფორმა.

შედეგი არის ალგებრული განტოლება, რომელიც უდრის თავდაპირველ მთლიან განტოლებას. ასე რომ, უმარტივეს შემთხვევებში, მთელი განტოლებების ამონახვა მცირდება წრფივი ან კვადრატული განტოლებების ამოხსნამდე, ხოლო ზოგად შემთხვევაში - n ხარისხის ალგებრული განტოლების ამოხსნამდე. სიცხადისთვის, მოდით გავაანალიზოთ მაგალითის ამოხსნა.

მაგალითი.

იპოვეთ მთელი განტოლების ფესვები 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

გადაწყვეტილება.

მთელი ამ განტოლების ამონახვა შევამციროთ ეკვივალენტური ალგებრული განტოლების ამოხსნამდე. ამისათვის, პირველ რიგში, ჩვენ გადავიტანთ გამონათქვამს მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ, რის შედეგადაც მივდივართ განტოლებამდე 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. და მეორეც, მარცხენა მხარეს წარმოქმნილ გამოსახულებას ვაქცევთ სტანდარტული ფორმის პოლინომად საჭიროების გაკეთებით: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. ამრიგად, თავდაპირველი მთელი განტოლების ამონახსნი მცირდება x 2 −5·x−6=0 კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე.

გამოთვალეთ მისი დისკრიმინანტი D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, ის დადებითია, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებას აქვს ორი რეალური ფესვი, რომელსაც ვპოულობთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულით:

სრულიად დარწმუნებული რომ ვიყოთ, მოდით გავაკეთოთ განტოლების ნაპოვნი ფესვების შემოწმება. პირველ რიგში, ჩვენ ვამოწმებთ ფესვს 6, ვცვლით მას ცვლადის x-ის ნაცვლად თავდაპირველ მთელ რიცხვში განტოლებაში: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, რაც იგივეა, 63=63 . ეს არის სწორი რიცხვითი განტოლება, ამიტომ x=6 ნამდვილად არის განტოლების ფესვი. ახლა ვამოწმებთ ფესვს −1 , გვაქვს 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, საიდანაც, 0=0 . x=−1-ისთვის თავდაპირველი განტოლება ასევე გადაიქცა ნამდვილ რიცხვობრივ ტოლობაში, შესაბამისად, x=−1 ასევე განტოლების ფესვია.

პასუხი:

6 , −1 .

აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ ტერმინი „მთელი განტოლების ძალა“ ასოცირდება მთელი განტოლების წარმოდგენასთან ალგებრული განტოლების სახით. ჩვენ ვაძლევთ შესაბამის განმარტებას:

განმარტება.

მთელი განტოლების ხარისხივუწოდოთ მისი ექვივალენტური ალგებრული განტოლების ხარისხი.

ამ განმარტების მიხედვით, წინა მაგალითის მთელ განტოლებას მეორე ხარისხი აქვს.

ამაზე შეიძლება დასრულდეს მთელი რაციონალური განტოლების ამოხსნით, რომ არა ერთი, არამედ .... როგორც ცნობილია, მეორეზე მაღალი ხარისხის ალგებრული განტოლებების ამოხსნა დაკავშირებულია მნიშვნელოვან სირთულეებთან, ხოლო მეოთხეზე მაღალი ხარისხის განტოლებისთვის, ფესვების ზოგადი ფორმულები საერთოდ არ არსებობს. ამიტომ, მესამე, მეოთხე და უფრო მაღალი ხარისხის განტოლებების ამოსახსნელად, ხშირად უნდა მიმართოთ ამოხსნის სხვა მეთოდებს.

ასეთ შემთხვევებში, ზოგჯერ მიდგომა გადაჭრის მთელი რაციონალური განტოლებების საფუძველზე ფაქტორიზაციის მეთოდი. ამავე დროს, გამოიყენება შემდეგი ალგორითმი:

• პირველ რიგში ისინი ეძებენ ნულის ქონას განტოლების მარჯვენა მხარეს, ამისთვის ისინი გამოხატავენ მთელი განტოლების მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ;
• შემდეგ, მარცხენა მხარეს მიღებული გამოხატულება წარმოდგენილია, როგორც რამდენიმე ფაქტორის პროდუქტი, რაც საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ რამდენიმე მარტივი განტოლების სიმრავლეზე.

ზემოაღნიშნული ალგორითმი მთელი განტოლების ფაქტორიზაციით ამოხსნისთვის მოითხოვს დეტალურ ახსნას მაგალითის გამოყენებით.

მაგალითი.

ამოხსენით მთელი განტოლება (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

გადაწყვეტილება.

პირველ რიგში, ჩვეულებისამებრ, ჩვენ გადავიტანთ გამონათქვამს მარჯვენა მხრიდან განტოლების მარცხენა მხარეს, არ დაგვავიწყდეს ნიშნის შეცვლა, მივიღებთ (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0. აქ აშკარაა, რომ არ არის მიზანშეწონილი მიღებული განტოლების მარცხენა მხარის გადაქცევა სტანდარტული ფორმის მრავალწევრად, რადგან ეს მისცემს ფორმის მეოთხე ხარისხის ალგებრულ განტოლებას. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, რომლის გადაწყვეტა რთულია.

მეორეს მხრივ, აშკარაა, რომ x 2 −10·x+13 შეიძლება მოიძებნოს მიღებული განტოლების მარცხენა მხარეს, რითაც წარმოადგენს მას ნამრავლად. Ჩვენ გვაქვს (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. მიღებული განტოლება თავდაპირველი მთლიანი განტოლების ტოლია და ის, თავის მხრივ, შეიძლება შეიცვალოს ორი კვადრატული განტოლების სიმრავლით x 2 −10·x+13=0 და x 2 −2·x−1=0 . მათი ფესვების პოვნა ცნობილი ფესვების ფორმულების გამოყენებით დისკრიმინანტის საშუალებით არ არის რთული, ფესვები თანაბარია. ისინი ორიგინალური განტოლების სასურველი ფესვებია.

პასუხი:

ის ასევე სასარგებლოა მთელი რაციონალური განტოლებების ამოსახსნელად. ახალი ცვლადის დანერგვის მეთოდი. ზოგიერთ შემთხვევაში, ის საშუალებას აძლევს ადამიანს გადავიდეს განტოლებებზე, რომელთა ხარისხი უფრო დაბალია, ვიდრე ორიგინალური მთელი განტოლების ხარისხი.

მაგალითი.

იპოვეთ რაციონალური განტოლების ნამდვილი ფესვები (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

გადაწყვეტილება.

მთელი ამ რაციონალური განტოლების ალგებრულ განტოლებამდე დაყვანა, რბილად რომ ვთქვათ, არც თუ ისე კარგი იდეაა, რადგან ამ შემთხვევაში მივალთ მეოთხე ხარისხის განტოლების ამოხსნის აუცილებლობამდე, რომელსაც რაციონალური ფესვები არ აქვს. ამიტომ, თქვენ მოგიწევთ სხვა გამოსავლის ძებნა.

აქ ადვილი მისახვედრია, რომ შეგიძლიათ შემოიტანოთ ახალი ცვლადი y და შეცვალოთ გამოხატვა x 2 +3 x მასთან. ასეთი ჩანაცვლება მიგვიყვანს მთელ განტოლებამდე (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , რომელიც −2 (y−4) გამოხატვის მარცხენა მხარეს გადატანისა და გამოსახულების შემდგომი გარდაქმნის შემდეგ იქმნება. , მცირდება განტოლებამდე y 2 +4 y+3=0 . ამ განტოლების y=−1 და y=−3 ფესვების პოვნა ადვილია, მაგალითად, მათი პოვნა შესაძლებელია ვიეტას თეორემის შებრუნებული თეორემის საფუძველზე.

ახლა გადავიდეთ ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდის მეორე ნაწილზე, ანუ საპირისპირო ჩანაცვლებაზე. საპირისპირო ჩანაცვლების შესრულების შემდეგ ვიღებთ ორ განტოლებას x 2 +3 x=−1 და x 2 +3 x=−3 , რომელიც შეიძლება გადაიწეროს x 2 +3 x+1=0 და x 2 +3 x+3. =0. კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ პირველი განტოლების ფესვებს. ხოლო მეორე კვადრატულ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები, ვინაიდან მისი დისკრიმინანტი უარყოფითია (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

პასუხი:

ზოგადად, როდესაც საქმე გვაქვს მაღალი ხარისხის მთელ რიცხვებთან, ყოველთვის მზად უნდა ვიყოთ მათი ამოხსნის არასტანდარტული მეთოდის ან ხელოვნური ტექნიკის მოსაძებნად.

წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნა

პირველ რიგში, სასარგებლო იქნება იმის გაგება, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ ფორმის წილადი რაციონალური განტოლებები, სადაც p(x) და q(x) რაციონალური მთელი რიცხვი გამოსახულებებია. შემდეგ კი ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა შევიყვანოთ დარჩენილი წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნა მითითებული ფორმის განტოლებამდე.

განტოლების ამოხსნის ერთ-ერთი მიდგომა ემყარება შემდეგ დებულებას: რიცხვითი წილადი u/v, სადაც v არის არანულოვანი რიცხვი (წინააღმდეგ შემთხვევაში შევხვდებით , რომელიც არ არის განსაზღვრული), არის ნული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი მრიცხველი არის ნული, მაშინ არის, თუ და მხოლოდ თუ u=0 . ამ დებულების მიხედვით, განტოლების ამონახსნები მცირდება ორი პირობის შესრულებამდე p(x)=0 და q(x)≠0 .

ეს დასკვნა შეესაბამება შემდეგს წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი. ფორმის წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნა

• ამოხსენით მთელი რაციონალური განტოლება p(x)=0 ;
• და შეამოწმეთ დაკმაყოფილებულია თუ არა პირობა q(x)≠0 თითოეული ნაპოვნი ფესვისთვის, ხოლო
• თუ მართალია, მაშინ ეს ფესვი არის საწყისი განტოლების ფესვი;
• თუ არა, მაშინ ეს ფესვი ზედმეტია, ანუ ის არ არის საწყისი განტოლების ფესვი.

გავაანალიზოთ გახმოვანებული ალგორითმის გამოყენების მაგალითი წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნისას.

მაგალითი.

იპოვეთ განტოლების ფესვები.

გადაწყვეტილება.

ეს არის ფორმის წილადი რაციონალური განტოლება, სადაც p(x)=3 x−2, q(x)=5 x 2 −2=0.

ამ ტიპის წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმის მიხედვით, ჯერ უნდა ამოხსნათ განტოლება 3·x−2=0. ეს არის წრფივი განტოლება, რომლის ფესვი არის x=2/3.

რჩება ამ ფესვის შემოწმება, ანუ შევამოწმოთ, აკმაყოფილებს თუ არა ის პირობას 5·x 2 −2≠0 . ჩვენ ვცვლით რიცხვს 2/3 x-ის ნაცვლად გამოსახულებაში 5 x 2 −2, მივიღებთ . პირობა დაკმაყოფილებულია, ამიტომ x=2/3 არის საწყისი განტოლების ფესვი.

პასუხი:

2/3 .

წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნას შეიძლება მივუდგეთ ოდნავ განსხვავებული პოზიციიდან. ეს განტოლება უდრის მთლიანი განტოლების p(x)=0 საწყისი განტოლების x ცვლადზე. ანუ შეგიძლია მიჰყვე ამას წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი :

• ამოხსენით განტოლება p(x)=0 ;
• იპოვეთ ODZ ცვლადი x ;
• აიღეთ დასაშვები მნიშვნელობების რეგიონის კუთვნილი ფესვები - ისინი ორიგინალური წილადი რაციონალური განტოლების სასურველი ფესვებია.

მაგალითად, ამ ალგორითმის გამოყენებით ამოვხსნათ წილადი რაციონალური განტოლება.

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება.

ჯერ ვხსნით კვადრატულ განტოლებას x 2 −2·x−11=0 . მისი ფესვები შეიძლება გამოითვალოს ფესვის ფორმულის გამოყენებით თუნდაც მეორე კოეფიციენტისთვის, ჩვენ გვაქვს D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, და .

მეორეც, ჩვენ ვპოულობთ x ცვლადის ODZ-ს საწყისი განტოლებისთვის. იგი შედგება ყველა რიცხვისაგან, რომლებისთვისაც x 2 +3 x≠0 , რაც იგივეა x (x+3)≠0 , საიდანაც x≠0 , x≠−3 .

რჩება იმის შემოწმება, შედის თუ არა პირველ ეტაპზე ნაპოვნი ფესვები ODZ-ში. ცხადია, დიახ. მაშასადამე, თავდაპირველ წილადობრივად რაციონალურ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

პასუხი:

გაითვალისწინეთ, რომ ეს მიდგომა უფრო მომგებიანია, ვიდრე პირველი, თუ ODZ ადვილად მოიძებნება, და განსაკუთრებით მომგებიანია, თუ განტოლების p(x)=0 ფესვები არის ირაციონალური, მაგალითად, ან რაციონალური, მაგრამ საკმაოდ დიდი. მრიცხველი და/ან მნიშვნელი, მაგალითად, 127/1101 და -31/59. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ასეთ შემთხვევებში q(x)≠0 პირობის შემოწმება დასჭირდება მნიშვნელოვან გამოთვლით ძალისხმევას და უფრო ადვილია ODZ-დან გარე ფესვების გამორიცხვა.

სხვა შემთხვევებში, განტოლების ამოხსნისას, განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც განტოლების ძირები p(x)=0 არის მთელი რიცხვები, უფრო ხელსაყრელია ზემოთ ჩამოთვლილი ალგორითმებიდან პირველის გამოყენება. ანუ მიზანშეწონილია დაუყოვნებლივ იპოვოთ მთელი განტოლების ფესვები p(x)=0 , შემდეგ კი შეამოწმოთ არის თუ არა პირობა q(x)≠0 მათთვის და არ იპოვოთ ODZ და შემდეგ ამოხსნათ განტოლება. p(x)=0 ამ ODZ-ზე. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ასეთ შემთხვევებში ჩვეულებრივ უფრო ადვილია შემოწმების გაკეთება, ვიდრე ODZ-ის პოვნა.

განვიხილოთ ორი მაგალითის ამოხსნა გათვალისწინებული ნიუანსების საილუსტრაციოდ.

მაგალითი.

იპოვეთ განტოლების ფესვები.

გადაწყვეტილება.

ჯერ ვპოულობთ მთელი განტოლების ფესვებს (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, შედგენილი წილადის მრიცხველის გამოყენებით. ამ განტოლების მარცხენა მხარე არის ნამრავლი, ხოლო მარჯვენა მხარე არის ნული, შესაბამისად, განტოლებების ფაქტორიზაციის გზით ამოხსნის მეთოდის მიხედვით, ეს განტოლება უდრის ოთხი განტოლების სიმრავლეს 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . ამ განტოლებიდან სამი წრფივია და ერთი კვადრატული, ჩვენ შეგვიძლია მათი ამოხსნა. პირველი განტოლებიდან ვხვდებით x=1/2, მეორიდან - x=6, მესამედან - x=7, x=−2, მეოთხედან - x=−1.

აღმოჩენილი ფესვებით, მათი შემოწმება საკმაოდ მარტივია იმის დასანახად, არ ქრება თუ არა თავდაპირველი განტოლების მარცხენა მხარეს მყოფი წილადის მნიშვნელი, და არც ისე ადვილია ODZ-ის დადგენა, რადგან მას მოუწევს ამოხსნას მეხუთე ხარისხის ალგებრული განტოლება. ამიტომ, ჩვენ უარს ვიტყვით ODZ-ის პოვნაზე ფესვების შემოწმების სასარგებლოდ. ამისათვის ჩვენ მათ რიგრიგობით ვცვლით გამოხატულებაში x ცვლადის ნაცვლად x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, მიღებული ჩანაცვლების შემდეგ და შეადარეთ ისინი ნულთან: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

ამრიგად, 1/2, 6 და −2 არის თავდაპირველი წილადობრივად რაციონალური განტოლების სასურველი ფესვები, ხოლო 7 და −1 არის უცხო ფესვები.

პასუხი:

1/2 , 6 , −2 .

მაგალითი.

იპოვეთ წილადი რაციონალური განტოლების ფესვები.

გადაწყვეტილება.

ჯერ ვპოულობთ განტოლების ფესვებს (5x2 −7x−1)(x−2)=0. ეს განტოლება უდრის ორი განტოლების სიმრავლეს: კვადრატი 5·x 2 −7·x−1=0 და წრფივი x−2=0 . კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ ორ ფესვს, ხოლო მეორე განტოლებიდან გვაქვს x=2.

იმის შემოწმება, რომ მნიშვნელი არ ქრება x-ის აღმოჩენილ მნიშვნელობებზე, საკმაოდ უსიამოვნოა. და ცვლადის x მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის დადგენა თავდაპირველ განტოლებაში საკმაოდ მარტივია. ამიტომ, ჩვენ ვიმოქმედებთ ODZ-ის მეშვეობით.

ჩვენს შემთხვევაში, თავდაპირველი წილადი რაციონალური განტოლების x ცვლადის ODZ შედგება ყველა რიცხვისგან, გარდა იმ რიცხვებისა, რომელთათვისაც დაკმაყოფილებულია პირობა x 2 +5·x−14=0. ამ კვადრატული განტოლების ფესვებია x=−7 და x=2, საიდანაც დავასკვნით ODZ-ის შესახებ: იგი შედგება ყველა x-ისგან ისეთი, რომ .

რჩება იმის შემოწმება, ეკუთვნის თუ არა ნაპოვნი ფესვები და x=2 დასაშვები მნიშვნელობების რეგიონს. ფესვები - ეკუთვნის, მაშასადამე, ისინი თავდაპირველი განტოლების ფესვებია, ხოლო x=2 არ ეკუთვნის, მაშასადამე, ის უცხო ფესვია.

პასუხი:

ასევე სასარგებლო იქნება ცალკე ვისაუბროთ შემთხვევებზე, როდესაც ფორმის წილადი რაციონალური განტოლება შეიცავს რიცხვს მრიცხველში, ანუ, როდესაც p (x) წარმოდგენილია გარკვეული რიცხვით. სადაც

• თუ ეს რიცხვი განსხვავდება ნულისაგან, მაშინ განტოლებას არ აქვს ფესვები, რადგან წილადი არის ნული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი მრიცხველი არის ნული;
• თუ ეს რიცხვი არის ნული, მაშინ განტოლების ფესვი არის ნებისმიერი რიცხვი ODZ-დან.

მაგალითი.

გადაწყვეტილება.

ვინაიდან განტოლების მარცხენა მხარეს წილადის მრიცხველში არის არანულოვანი რიცხვი, არც ერთი x-ისთვის არ შეიძლება ამ წილადის მნიშვნელობა ნულის ტოლი იყოს. ამრიგად, ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

პასუხი:

ფესვების გარეშე.

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება.

ამ წილადი რაციონალური განტოლების მარცხენა მხარეს მდებარე წილადის მრიცხველი არის ნული, ამიტომ ამ წილადის მნიშვნელობა არის ნული ნებისმიერი x-ისთვის, რომლისთვისაც აზრი აქვს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ განტოლების ამონახსნი არის x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობა ამ ცვლადის DPV-დან.

რჩება მისაღები მნიშვნელობების ამ დიაპაზონის განსაზღვრა. იგი მოიცავს ყველა ასეთ მნიშვნელობას x, რომლისთვისაც x 4 +5 x 3 ≠0. x 4 +5 x 3 \u003d 0 განტოლების ამონახსნები არის 0 და −5, რადგან ეს განტოლება უდრის x 3 (x + 5) \u003d 0 განტოლებას და ის, თავის მხრივ, უდრის კომბინაციას ორი განტოლების x 3 \u003d 0 და x +5=0 , საიდანაც ჩანს ეს ფესვები. ამიტომ, მისაღები მნიშვნელობების სასურველი დიაპაზონი არის ნებისმიერი x, გარდა x=0 და x=−5.

ამრიგად, წილადობრივად რაციონალურ განტოლებას აქვს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნი, რომელიც არის ნებისმიერი რიცხვი, გარდა ნულისა და მინუს ხუთისა.

პასუხი:

დაბოლოს, დროა ვისაუბროთ თვითნებური წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნაზე. ისინი შეიძლება დაიწეროს როგორც r(x)=s(x) , სადაც r(x) და s(x) რაციონალური გამონათქვამებია და ერთი მათგანი მაინც არის წილადი. წინ რომ ვუყურებთ, ჩვენ ვამბობთ, რომ მათი ამოხსნა მცირდება ჩვენთვის უკვე ნაცნობი ფორმის განტოლებების ამოხსნით.

ცნობილია, რომ ტერმინის გადატანა განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეში საპირისპირო ნიშნით იწვევს ეკვივალენტურ განტოლებას, ამიტომ განტოლება r(x)=s(x) უდრის განტოლებას r(x)−s. (x)=0 .

ჩვენ ასევე ვიცით, რომ ნებისმიერი შეიძლება იდენტურად იყოს ამ გამოთქმის ტოლი. ამრიგად, ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია გადავიტანოთ რაციონალური გამოხატულება განტოლების მარცხენა მხარეს r(x)−s(x)=0 ფორმის იდენტურად თანაბარ რაციონალურ წილადად.

ასე რომ, ჩვენ გადავდივართ საწყისი წილადი რაციონალური განტოლებიდან r(x)=s(x) განტოლებამდე და მისი ამოხსნა, როგორც ზემოთ გავარკვიეთ, მცირდება განტოლების p(x)=0 ამოხსნამდე.

მაგრამ აქ აუცილებელია გავითვალისწინოთ ის ფაქტი, რომ r(x)−s(x)=0-ით ჩანაცვლებისას და შემდეგ p(x)=0-ით, x ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი შეიძლება გაფართოვდეს. .

მაშასადამე, თავდაპირველი განტოლება r(x)=s(x) და განტოლება p(x)=0, რომელზეც მივედით, შეიძლება არ იყოს ეკვივალენტური და განტოლების p(x)=0 ამოხსნით მივიღოთ ფესვები. ეს იქნება საწყისი განტოლების უცხო ფესვები r(x)=s(x) . შესაძლებელია ამოიცნოთ და არ შევიტანოთ პასუხში ზედმეტი ფესვები, ან შემოწმებით, ან მათი კუთვნილების შემოწმებით თავდაპირველი განტოლების ODZ-თან.

ჩვენ ვაჯამებთ ამ ინფორმაციას წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი r(x)=s(x). წილადი რაციონალური განტოლების ამოსახსნელად r(x)=s(x) უნდა

• მიიღეთ ნული მარჯვნივ გამოხატვის მარჯვენა მხრიდან საპირისპირო ნიშნით გადაადგილებით.
• შეასრულეთ მოქმედებები წილადებთან და მრავალწევრებთან განტოლების მარცხენა მხარეს, რითაც გადააქციეთ იგი ფორმის რაციონალურ წილადად.
• ამოხსენით განტოლება p(x)=0 .
• უცხო ფესვების იდენტიფიცირება და გამორიცხვა, რაც ხდება მათი საწყის განტოლებაში ჩანაცვლებით ან თავდაპირველი განტოლების ODZ-თან მათი კუთვნილების შემოწმებით.

მეტი სიცხადისთვის, ჩვენ ვაჩვენებთ წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის მთელ ჯაჭვს:
.

გადავიდეთ რამდენიმე მაგალითის ამონახსნები ამოხსნის დეტალური ახსნით, რათა დავაზუსტოთ ინფორმაციის მოცემული ბლოკი.

მაგალითი.

ამოხსენით წილადი რაციონალური განტოლება.

გადაწყვეტილება.

ჩვენ ვიმოქმედებთ ახლახან მიღებული ამოხსნის ალგორითმის შესაბამისად. და ჯერ ტერმინებს გადავიტანთ განტოლების მარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს, შედეგად გადავდივართ განტოლებაზე.

მეორე საფეხურზე, მიღებული განტოლების მარცხენა მხარეს წილადი რაციონალური გამოხატულება უნდა გადავიყვანოთ წილადის სახით. ამისთვის ვასრულებთ რაციონალური წილადების შემცირებას საერთო მნიშვნელამდე და ვამარტივებთ მიღებულ გამოსახულებას: . ასე რომ მივედით განტოლებამდე.

შემდეგ ეტაპზე უნდა ამოხსნათ განტოლება −2·x−1=0 . იპოვეთ x=−1/2 .

რჩება იმის შემოწმება, არის თუ არა ნაპოვნი რიცხვი −1/2 საწყისი განტოლების უცხო ფესვი. ამისათვის შეგიძლიათ შეამოწმოთ ან იპოვოთ ორიგინალური განტოლების ODZ ცვლადი x. მოდით ვაჩვენოთ ორივე მიდგომა.

დავიწყოთ შემოწმებით. x ცვლადის ნაცვლად რიცხვს −1/2 ვცვლით თავდაპირველ განტოლებაში, ვიღებთ −1=−1, რომელიც იგივეა. ჩანაცვლება იძლევა სწორ რიცხვობრივ ტოლობას, შესაბამისად, x=−1/2 არის საწყისი განტოლების ფესვი.

ახლა ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ ხორციელდება ალგორითმის ბოლო ნაბიჯი ODZ-ის მეშვეობით. თავდაპირველი განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი არის ყველა რიცხვის სიმრავლე, გარდა −1 და 0-ისა (x=−1 და x=0-სთვის, წილადების მნიშვნელები ქრება). წინა საფეხურზე ნაპოვნი ფესვი x=−1/2 ეკუთვნის ODZ-ს, შესაბამისად, x=−1/2 არის საწყისი განტოლების ფესვი.

პასუხი:

−1/2 .

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი.

მაგალითი.

იპოვეთ განტოლების ფესვები.

გადაწყვეტილება.

ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ წილადი რაციონალური განტოლება, მოდით გავიაროთ ალგორითმის ყველა საფეხური.

ჯერ ტერმინს გადავიტანთ მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ, მივიღებთ .

მეორეც, ჩვენ გარდაქმნით მარცხენა მხარეს წარმოქმნილ გამონათქვამს: . შედეგად მივდივართ განტოლებამდე x=0.

მისი ფესვი აშკარაა - ის ნულია.

მეოთხე საფეხურზე რჩება იმის გარკვევა, არის თუ არა ნაპოვნი ფესვი გარედან ორიგინალური წილადი რაციონალური განტოლებისთვის. როდესაც იგი ჩანაცვლებულია თავდაპირველ განტოლებაში, მიიღება გამოხატულება. ცხადია, აზრი არ აქვს, რადგან შეიცავს ნულზე გაყოფას. საიდანაც დავასკვნათ, რომ 0 არის უცხო ფესვი. ამრიგად, თავდაპირველ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

7 , რომელიც მივყავართ განტოლებამდე . აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მარცხენა მხარის მნიშვნელში გამოხატული უნდა იყოს ტოლი მარჯვენა მხრიდან, ანუ . ახლა გამოვაკლებთ სამეულის ორივე ნაწილს: . ანალოგიით, საიდან და შემდგომ.

შემოწმება აჩვენებს, რომ ორივე ნაპოვნი ფესვი არის თავდაპირველი წილადი რაციონალური განტოლების ფესვები.

პასუხი:

ბიბლიოგრაფია.

• Ალგებრა:სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-8 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich. - მე-11 გამოცემა, წაშლილია. - მ.: მნემოზინა, 2009. - 215გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Ალგებრა:მე-9 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2009. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-021134-5.