პირამიდაჰქვია მრავალკუთხედი, რომლის ერთ-ერთი სახე არის მრავალკუთხედი ( ბაზა ), და ყველა სხვა სახე არის სამკუთხედი საერთო წვერით ( გვერდითი სახეები ) (სურ. 15). პირამიდა ე.წ სწორი , თუ მისი ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი და პირამიდის მწვერვალი დაპროექტებულია ფუძის ცენტრში (სურ. 16). სამკუთხა პირამიდა, რომელშიც ყველა კიდე ტოლია, ეწოდება ტეტრაედონი .

გვერდითი ნეკნიპირამიდა ეწოდება გვერდითი სახის მხარეს, რომელიც არ ეკუთვნის ფუძეს სიმაღლე პირამიდა არის მანძილი მისი ზემოდან ფუძის სიბრტყემდე. რეგულარული პირამიდის ყველა გვერდითი კიდე ერთმანეთის ტოლია, ყველა გვერდითი სახე არის თანაბარი ტოლფერდა სამკუთხედი. წვეროდან გამოყვანილი რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე ეწოდება აპოთემა . დიაგონალური განყოფილება პირამიდის მონაკვეთს ეწოდება სიბრტყე, რომელიც გადის ორ გვერდით კიდეზე, რომლებიც არ ეკუთვნის ერთსა და იმავე სახეს.

გვერდითი ზედაპირის ფართობიპირამიდა ეწოდება ყველა მხარის ფართობის ჯამს. სრული ზედაპირის ფართობი არის ყველა მხარისა და ფუძის ფართობების ჯამი.

თეორემები

1. თუ პირამიდაში ყველა გვერდითი კიდე თანაბრად არის დახრილი ფუძის სიბრტყისკენ, მაშინ პირამიდის ზევით ასახულია ფუძის მახლობლად შემოხაზული წრის ცენტრში.

2. თუ პირამიდაში ყველა გვერდითი კიდეები თანაბარი სიგრძეა, მაშინ პირამიდის ზევით დაპროექტებულია შემოხაზული წრის ცენტრში ფუძესთან ახლოს.

3. თუ პირამიდაში ყველა სახე თანაბრად არის დახრილი ფუძის სიბრტყისკენ, მაშინ პირამიდის ზევით პროეცირებულია ძირში ჩაწერილი წრის ცენტრში.

თვითნებური პირამიდის მოცულობის გამოსათვლელად, ფორმულა სწორია:

სადაც ვ- მოცულობა;

S მთავარი- ბაზის ფართობი;

ჰარის პირამიდის სიმაღლე.

ჩვეულებრივი პირამიდისთვის, შემდეგი ფორმულები მართალია:

სადაც გვ- ბაზის პერიმეტრი;

სთ ა- აპოთემა;

ჰ- სიმაღლე;

S სავსე

S მხარე

S მთავარი- ბაზის ფართობი;

ვარის ჩვეულებრივი პირამიდის მოცულობა.

შეკვეცილი პირამიდაეწოდება პირამიდის ნაწილს, რომელიც ჩასმულია ფუძესა და ჭრის სიბრტყეს შორის პირამიდის ფუძის პარალელურად (სურ. 17). შეასწორეთ დამსხვრეული პირამიდა ეწოდება რეგულარული პირამიდის ნაწილს, რომელიც ჩასმულია ფუძესა და პირამიდის ფუძის პარალელურად საჭრელ სიბრტყეს შორის.

ფონდებიშეკვეცილი პირამიდა - მსგავსი მრავალკუთხედები. გვერდითი სახეები - ტრაპეცია. სიმაღლე შეკვეცილ პირამიდას ეწოდება მანძილი მის ფუძეებს შორის. დიაგონალი ჩამოჭრილი პირამიდა არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს მის წვეროებს, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სახეზე. დიაგონალური განყოფილება ჩამოჭრილი პირამიდის მონაკვეთს ეწოდება სიბრტყე, რომელიც გადის ორ გვერდით კიდეზე, რომლებიც არ მიეკუთვნება ერთსა და იმავე სახეს.

შეკვეცილი პირამიდისთვის მოქმედებს ფორმულები:

(4)

სადაც ს 1 , ს 2 - ზედა და ქვედა ბაზების უბნები;

S სავსეარის მთლიანი ზედაპირის ფართობი;

S მხარეარის გვერდითი ზედაპირის ფართობი;

ჰ- სიმაღლე;

ვარის დამსხვრეული პირამიდის მოცულობა.

რეგულარული შეკვეცილი პირამიდისთვის, შემდეგი ფორმულა მართალია:

სადაც გვ 1 , გვ 2 - ბაზის პერიმეტრი;

სთ ა- ჩვეულებრივი დამსხვრეული პირამიდის აპოთემა.

მაგალითი 1რეგულარულ სამკუთხა პირამიდაში, ფუძეზე ორკუთხა კუთხე არის 60º. იპოვეთ გვერდითი კიდის დახრილობის კუთხის ტანგენსი ფუძის სიბრტყეზე.

გადაწყვეტილება.დავხატოთ ნახატი (სურ. 18).

პირამიდა რეგულარულია, რაც იმას ნიშნავს, რომ ფუძე არის ტოლგვერდა სამკუთხედი და ყველა გვერდითი მხარე თანაბარი ტოლგვერდა სამკუთხედია. ძირის დიედრული კუთხე არის პირამიდის გვერდითი სახის დახრილობის კუთხე ფუძის სიბრტყეზე. წრფივი კუთხე იქნება კუთხე აორ პერპენდიკულარებს შორის: ე.ი. პირამიდის მწვერვალი გამოსახულია სამკუთხედის ცენტრში (მოხაზული წრის ცენტრი და სამკუთხედში ჩაწერილი წრე ABC). გვერდითი ნეკნის დახრილობის კუთხე (მაგ სბ) არის კუთხე თავად კიდესა და მის პროექციას საბაზისო სიბრტყეზე. ნეკნისთვის სბეს კუთხე იქნება კუთხე SBD. ტანგენტის საპოვნელად თქვენ უნდა იცოდეთ ფეხები ᲘᲡᲔდა OB. მიეცით სეგმენტის სიგრძე BDარის 3 ა. წერტილი ოხაზის სეგმენტი BDიყოფა ნაწილებად: და From ჩვენ ვპოულობთ ᲘᲡᲔ: ჩვენგან ვპოულობთ:

პასუხი:

მაგალითი 2იპოვეთ რეგულარული ჩამოჭრილი ოთხკუთხა პირამიდის მოცულობა, თუ მისი ფუძეების დიაგონალებია სმ და სმ, ხოლო სიმაღლე 4 სმ.

გადაწყვეტილება.დამსხვრეული პირამიდის მოცულობის საპოვნელად ვიყენებთ ფორმულას (4). ფუძეების ფართობის მოსაძებნად, თქვენ უნდა იპოვოთ ფუძის კვადრატების გვერდები, იცოდეთ მათი დიაგონალები. ფუძის გვერდები არის შესაბამისად 2 სმ და 8 სმ, ეს ნიშნავს ფუძის ფართობებს და ყველა მონაცემის ფორმულაში ჩანაცვლებით, გამოვთვლით დამსხვრეული პირამიდის მოცულობას:

პასუხი: 112 სმ3.

მაგალითი 3იპოვნეთ რეგულარული სამკუთხა ჩამოჭრილი პირამიდის გვერდითი სახის ფართობი, რომლის ფუძის გვერდებია 10 სმ და 4 სმ, ხოლო პირამიდის სიმაღლე 2 სმ.

გადაწყვეტილება.დავხატოთ ნახატი (სურ. 19).

ამ პირამიდის გვერდითი სახე არის ტოლფერდა ტრაპეცია. ტრაპეციის ფართობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იცოდეთ ფუძეები და სიმაღლე. ბაზები მოცემულია პირობით, უცნობია მხოლოდ სიმაღლე. იპოვე საიდან მაგრამ 1 ეპერპენდიკულარული წერტილიდან მაგრამ 1 ქვედა ბაზის სიბრტყეზე, ა 1 დ- პერპენდიკულარულად მაგრამ 1-ზე AC. მაგრამ 1 ე\u003d 2 სმ, რადგან ეს არის პირამიდის სიმაღლე. საპოვნელად DEდავასრულებთ დამატებით ნახატს, რომელშიც გამოვსახავთ ზედა ხედს (სურ. 20). Წერტილი ო- ზედა და ქვედა ბაზის ცენტრების პროექცია. წლიდან (იხ. სურ. 20) და მეორე მხრივ კარგიარის შემოხაზული წრის რადიუსი და OMარის ჩაწერილი წრის რადიუსი:

MK=DE.

პითაგორას თეორემის მიხედვით

გვერდითი სახის ფართობი:

პასუხი:

მაგალითი 4პირამიდის ძირში დევს ტოლფერდა ტრაპეცია, რომლის ფუძეები ადა ბ (ა> ბ). თითოეული გვერდითი სახე ქმნის კუთხეს, რომელიც ტოლია პირამიდის ფუძის სიბრტყის ჯ. იპოვნეთ პირამიდის მთლიანი ზედაპირის ფართობი.

გადაწყვეტილება.დავხატოთ ნახატი (სურ. 21). პირამიდის მთლიანი ზედაპირის ფართობი SABCDუდრის ფართობებისა და ტრაპეციის ფართობის ჯამს Ა Ბ Გ Დ.

გამოვიყენოთ განცხადება, რომ თუ პირამიდის ყველა სახე თანაბრად არის მიდრეკილი ფუძის სიბრტყისკენ, მაშინ წვერო პროეცირდება ფუძეში ჩაწერილი წრის ცენტრში. Წერტილი ო- წვეროს პროექცია სპირამიდის ძირში. სამკუთხედი SODარის სამკუთხედის ორთოგონალური პროექცია CSDსაბაზო სიბრტყემდე. ბრტყელი ფიგურის ორთოგონალური პროექციის ფართობის თეორემის მიხედვით ვიღებთ:

ანალოგიურად, ეს ნიშნავს ამრიგად, პრობლემა შემცირდა ტრაპეციის არეალის პოვნამდე Ა Ბ Გ Დ. დახაზეთ ტრაპეცია Ა Ბ Გ Დცალკე (სურ. 22). Წერტილი ოარის ტრაპეციაში ჩაწერილი წრის ცენტრი.

ვინაიდან წრე შეიძლება ჩაიწეროს ტრაპეციაში, მაშინ ან პითაგორას თეორემით გვაქვს

განვიხილოთ პირამიდების თვისებები, რომლებშიც გვერდითი სახეები ფუძის პერპენდიკულარულია.

Თუ პირამიდის ორი მიმდებარე გვერდითი სახე პერპენდიკულარულია ფუძეზე, მაშინ ამ სახეების საერთო გვერდითი კიდე არის პირამიდის სიმაღლე. თუ დავალება ამას ამბობს პირამიდის კიდე მისი სიმაღლეა, მაშინ საუბარია ამ ტიპის პირამიდებზე.

ფუძეზე პერპენდიკულარული პირამიდის სახეები მართკუთხა სამკუთხედებია.

თუ პირამიდის ფუძე სამკუთხედია

ასეთი პირამიდის გვერდითი ზედაპირი ზოგადად განიხილება, როგორც ყველა გვერდითი სახის ფართობის ჯამი.

პირამიდის საფუძველი არის სახის ორთოგონალური პროექცია, რომელიც არ არის პერპენდიკულარული ფუძეზე (ამ შემთხვევაში, SBC). ასე რომ, ორთოგონალური პროექციის ფართობის თეორემის მიხედვით, ბაზის ფართობი უდრის ამ სახის ფართობის ნამრავლს მასსა და საბაზისო სიბრტყეს შორის კუთხის კოსინუსის მიხედვით.

თუ პირამიდის ფუძე მართკუთხა სამკუთხედია

Ამ შემთხვევაში პირამიდის ყველა სახე მართკუთხა სამკუთხედია.

სამკუთხედები SAB და SAC მართკუთხაა, რადგან SA არის პირამიდის სიმაღლე. სამკუთხედი ABC არის მართკუთხა სამკუთხედი.

ის, რომ SBC სამკუთხედი მართკუთხაა, გამომდინარეობს თეორემადან სამ პერპენდიკულარზე (AB არის ირიბი SB-ის პროექცია ფუძის სიბრტყეზე. ვინაიდან AB პირობით BC-ზე პერპენდიკულარულია, მაშინ SB ასევე BC-ის პერპენდიკულარულია. ).

კუთხე SBC მხარეს სახესა და ფუძეს შორის ამ შემთხვევაში არის ABS კუთხე.

გვერდითი ზედაპირის ფართობი ტოლია მართკუთხა სამკუთხედების ფართობების ჯამს:

ვინაიდან ამ შემთხვევაში

თუ პირამიდის ფუძე არის ტოლფერდა სამკუთხედი

ამ შემთხვევაში, კუთხე გვერდითი სახის BCS სიბრტყესა და ფუძის სიბრტყეს შორის არის კუთხე AFS, სადაც AF არის ABC ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლე, მედიანა და ბისექტორი.

ანალოგიურად - თუ პირამიდის ძირში დევს ტოლგვერდა სამკუთხედი ABC.

თუ პირამიდის ფუძე პარალელოგრამია

ამ შემთხვევაში, პირამიდის საფუძველი არის გვერდითი სახეების ორთოგონალური პროექცია, რომლებიც არ არის ფუძის პერპენდიკულარული.

თუ ფუძეს ორ სამკუთხედად გავყოფთ, მაშინ

სადაც α და β არის, შესაბამისად, კუთხეები ADS და CDS სიბრტყესა და ფუძის სიბრტყეს შორის.

თუ BF და BK არის პარალელოგრამის სიმაღლეები, მაშინ BFS კუთხე არის CDS მხარის დახრილობის კუთხე საბაზისო სიბრტყის მიმართ, ხოლო BKS კუთხე არის ADS სახის დახრილობის კუთხე.

(ნახაზი შესრულებულია იმ შემთხვევისთვის, როდესაც B არის ბლაგვი კუთხე).

თუ პირამიდის ფუძე არის რომბი ABCD, მაშინ კუთხეები BFS და BKS ტოლია. სამკუთხედები ABS და CBS, ასევე ADS და CDS ასევე თანაბარია ამ შემთხვევაში.

თუ პირამიდის ფუძე ოთხკუთხედია

ამ შემთხვევაში, კუთხე SAD გვერდითი სახის სიბრტყესა და ფუძის სიბრტყეს შორის არის კუთხე SAB.

და კუთხე გვერდითი სახის SCD სიბრტყესა და ფუძის სიბრტყეს შორის არის კუთხე SCB

(სამი პერპენდიკულარის თეორემით).

შეგახსენებთ: აპოთემა არის პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე, დახატული ზემოდან ფუძის კიდემდე.
თეორემა 5 . თუ პირამიდის ყველა გვერდითი მხარე დახრილია ფუძის სიბრტყისკენ ერთი და იგივე კუთხით, მაშინ ასეთი პირამიდის ძირში შეიძლება ჩაიწეროს წრე, ხოლო ზემოდან ძირამდე დაშვებული სიმაღლე ეცემა მის ცენტრში. ძირში ჩაწერილი წრე.
ეს თეორემა ასევე შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად:
თეორემა 5.1 . თუ პირამიდის ყველა აპოთემა ტოლია, მაშინ ასეთი პირამიდის ფუძეში შეიძლება ჩაიწეროს წრე, ხოლო ზემოდან ძირამდე ჩამოშვებული სიმაღლე ეცემა ფუძეში ჩაწერილი წრის ცენტრში.
მოდით დავამტკიცოთ თეორემა ოთხკუთხა პირამიდის მაგალითით. დაე, პირამიდა KABCD იყოს მოცემული, K არის ზედა, ABCD არის საფუძველი. დახაზეთ პირამიდის KO სიმაღლე. თითოეულ მხარეს სახეზე, ჩვენ ვხატავთ სიმაღლეს პირამიდის ზემოდან ბაზის მხარეს. ფუძის სიბრტყეში ვაკავშირებთ O წერტილს (სიმაღლის ფუძე) ამ სიმაღლეების ფუძეების წერტილს - აპოთემას. OP, OT, OM და OE შესაბამისად პერპენდიკულარულია AB, BC, CD და AD (სამი პერპენდიკულარული თეორემა). განმარტებით, კუთხეები KRO, KTO, KMO, KEO არის დიედრული კუთხეების წრფივი კუთხეები შესაბამის გვერდსა და ABCD ფუძეს შორის. KO-ს სიმაღლე ფუძის პერპენდიკულარულია, შესაბამისად ის პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყის ნებისმიერ სწორ ხაზზე, ე.ი. სწორი ხაზების პერპენდიკულარული OR, OT, OM და OE. ეს ამბობს, რომ სამკუთხედები KRO, KTO, KMO, KEO მართკუთხაა.
პირობით (თეორემა 5) კუთხეები KRO, KTO, KMO, KEO ტოლია. განვიხილოთ სამკუთხედები KRO, KTO, KMO, KEO, ისინი მართკუთხა და ტოლები არიან (კიდური და მახვილი კუთხის გასწვრივ, KO - საერთო და კუთხეები KRO, KTO, KMO, KEO ტოლია პირობით).
პირობით (თეორემა 5.1) KR, KT, KM და KE ტოლია, ამიტომ სამკუთხედები KRO, KTO, KMO, KEO მართკუთხაა და ტოლია ფეხისა და ჰიპოტენუზაში.
ამ სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ მათი შესაბამისი გვერდები OR, OT, OM და OE ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ ABCD ოთხკუთხედში არის წერტილი, რომელიც თანაბრად არის დაშორებული მისი გვერდებიდან, ანუ მასში შეიძლება ჩაიწეროს წრე. .

თეორემა 6 . თუ პირამიდის ყველა გვერდითი კიდე ერთი და იგივე კუთხით არის დახრილი ფუძის სიბრტყისკენ, მაშინ ასეთი პირამიდის ფუძის მახლობლად შეიძლება აღწერილი იყოს წრე, ხოლო ზემოდან ძირამდე დაშვებული სიმაღლე ეცემა ცენტრამდე. ფუძის მახლობლად აღწერილი წრე.
ეს თეორემა ასევე შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად:
თეორემა 6.1 . თუ პირამიდის ყველა გვერდითი კიდე ტოლია, მაშინ წრე შეიძლება შემოიფარგლოს ასეთი პირამიდის ფუძესთან, ხოლო ზემოდან ძირამდე დაშვებული სიმაღლე ეცემა ფუძის მახლობლად შემოხაზული წრის ცენტრში.
მოდით დავამტკიცოთ თეორემა ოთხკუთხა პირამიდის მაგალითით. დაე, პირამიდა KABCD იყოს მოცემული, K არის ზედა, ABCD არის საფუძველი. დახაზეთ პირამიდის KO სიმაღლე. ფუძის სიბრტყეში O წერტილი (სიმაღლის ფუძე) დააკავშირეთ A, B, C და D ფუძის ყველა წვეროსთან. კუთხე KBO არის კუთხე KB კიდესა და ფუძის სიბრტყეს შორის ( წრფესა და სიბრტყეს შორის კუთხე არის კუთხე ამ წრფესა და მის პროექციას ამ სიბრტყეზე) . ანალოგიურად, ჩვენ ვამტკიცებთ, რომ კუთხეები KSO, KAO და KDO არის კუთხეები, რომლებიც წარმოიქმნება შესაბამისი კიდეებით KS, KA და KD საბაზისო სიბრტყით. KO-ს სიმაღლე ფუძის პერპენდიკულარულია, შესაბამისად ის პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყის ნებისმიერ სწორ ხაზზე, ე.ი. OA, OB, OC და OD ხაზების პერპენდიკულარული. ეს ამბობს, რომ სამკუთხედები KAO, KBO, KCO, KDO მართკუთხაა.
კუთხეები KVO, KSO, KAO და KDO ტოლია (თეორემა 6-ის პირობებით). განვიხილოთ სამკუთხედები KAO, KBO, KCO, KDO, ისინი მართკუთხა და ტოლია (წითისა და მახვილი კუთხის გასწვრივ, KO საერთოა და კუთხეები KAO, KVO, KSO, KDO ტოლია პირობით).
6.1 თეორემის დასადასტურებლად ასევე განვიხილავთ სამკუთხედებს KAO, KBO, KCO, KDO, ისინი მართკუთხაა და ტოლია ფეხით და ჰიპოტენუზათ (KO - ზოგადი, KA=KV=KS=KD თეორემის ჰიპოთეზის მიხედვით).
ამ სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ მათი შესაბამისი გვერდები OA, OB, OS და OD ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ ფუძეზე არის წერტილი, რომელიც თანაბრად არის დაშორებული ABCD ოთხკუთხედის წვეროებიდან, ანუ წრე შეიძლება შემოიფარგლოს. მის ირგვლივ.