ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი და უმცირესი საერთო ჯერადი არის ძირითადი არითმეტიკული ცნებები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ მარტივად იმუშაოთ ჩვეულებრივ წილადებთან. LCM და ყველაზე ხშირად გამოიყენება რამდენიმე წილადის საერთო მნიშვნელის მოსაძებნად.

Ძირითადი ცნებები

X მთელი რიცხვის გამყოფი არის სხვა მთელი რიცხვი Y, რომლითაც X იყოფა ნაშთის გარეშე. მაგალითად, 4-ის გამყოფი არის 2, ხოლო 36 არის 4, 6, 9. X მთელი რიცხვის ჯერადი არის Y რიცხვი, რომელიც იყოფა X-ზე ნაშთის გარეშე. მაგალითად, 3 არის 15-ის ჯერადი, ხოლო 6 არის 12-ის ჯერადი.

ნებისმიერი წყვილი რიცხვისთვის შეგვიძლია ვიპოვოთ მათი საერთო გამყოფები და ჯერადები. მაგალითად, 6-ისთვის და 9-ისთვის, საერთო ჯერადი არის 18, ხოლო საერთო გამყოფი არის 3. ცხადია, წყვილებს შეიძლება ჰქონდეთ რამდენიმე გამყოფი და ჯერადი, ამიტომ გამოთვლებში გამოიყენება GCD-ის უდიდესი გამყოფი და LCM-ის უმცირესი ჯერადი. .

უმცირეს გამყოფს აზრი არ აქვს, რადგან ნებისმიერი რიცხვისთვის ის ყოველთვის ერთია. ყველაზე დიდი ჯერადი ასევე უაზროა, რადგან ჯერადების თანმიმდევრობა მიდრეკილია უსასრულობისკენ.

GCD-ის პოვნა

არსებობს მრავალი მეთოდი უდიდესი საერთო გამყოფის მოსაძებნად, რომელთაგან ყველაზე ცნობილია:

• გამყოფთა თანმიმდევრული ჩამოთვლა, წყვილისთვის საერთოთა შერჩევა და მათგან ყველაზე დიდის ძიება;
• რიცხვების დაშლა განუყოფელ ფაქტორებად;
• ევკლიდეს ალგორითმი;
• ბინარული ალგორითმი.

დღეს, საგანმანათლებლო დაწესებულებებში, ყველაზე პოპულარული მეთოდები დაშლის პირველ ფაქტორებად და ევკლიდეს ალგორითმად. ეს უკანასკნელი, თავის მხრივ, გამოიყენება დიოფანტინის განტოლებების ამოხსნისას: საჭიროა GCD-ის ძიება, რათა შეამოწმოს განტოლება მისი მთელი რიცხვებით ამოხსნის შესაძლებლობისთვის.

NOC-ის პოვნა

უმცირესი საერთო ჯერადი ასევე ზუსტად განისაზღვრება განმეორებითი აღრიცხვით ან განუყოფელ ფაქტორებად ფაქტორიზაციით. გარდა ამისა, ადვილია LCM-ის პოვნა, თუ ყველაზე დიდი გამყოფი უკვე განსაზღვრულია. X და Y რიცხვებისთვის, LCM და GCD დაკავშირებულია შემდეგი ურთიერთობით:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

მაგალითად, თუ gcd(15,18) = 3, მაშინ LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. LCM-ის ყველაზე აშკარა გამოყენებაა საერთო მნიშვნელის პოვნა, რომელიც არის უმცირესი საერთო ჯერადი. მოცემული წილადები.

კოპრიმი რიცხვები

თუ რიცხვთა წყვილს არ აქვს საერთო გამყოფები, მაშინ ასეთ წყვილს კოპრიმი ეწოდება. ასეთი წყვილებისთვის GCM ყოველთვის ერთის ტოლია და გამყოფებისა და ჯერადების შეერთების საფუძველზე, კოპრიმის GCM უდრის მათ ნამრავლს. მაგალითად, რიცხვები 25 და 28 არის თანაპირველი, რადგან მათ არ აქვთ საერთო გამყოფები და LCM(25, 28) = 700, რომელიც შეესაბამება მათ ნამრავლს. ნებისმიერი ორი განუყოფელი რიცხვი ყოველთვის იქნება თანაპრომიტი.

საერთო გამყოფი და მრავალჯერადი კალკულატორი

ჩვენი კალკულატორით შეგიძლიათ გამოთვალოთ GCD და LCM ნებისმიერი რაოდენობის ნომრისთვის. საერთო გამყოფებისა და ჯერადების გამოთვლის ამოცანები გვხვდება მე-5 და მე-6 კლასების არითმეტიკაში, თუმცა, GCD და LCM არის მათემატიკის ძირითადი ცნებები და გამოიყენება რიცხვების თეორიაში, პლანიმეტრიასა და კომუნიკაციურ ალგებრაში.

რეალური ცხოვრების მაგალითები

წილადების საერთო მნიშვნელი

უმცირესი საერთო ჯერადი გამოიყენება რამდენიმე წილადის საერთო მნიშვნელის პოვნისას. დავუშვათ, არითმეტიკული ამოცანისას საჭიროა 5 წილადის შეჯამება:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

წილადების დასამატებლად, გამოსახულება უნდა შემცირდეს საერთო მნიშვნელამდე, რაც ამცირებს LCM-ის პოვნის პრობლემას. ამისათვის აირჩიეთ კალკულატორში 5 ნომერი და შეიყვანეთ მნიშვნელის მნიშვნელობები შესაბამის უჯრედებში. პროგრამა გამოთვლის LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. ახლა თქვენ უნდა გამოთვალოთ დამატებითი ფაქტორები თითოეული წილადისთვის, რომლებიც განისაზღვრება როგორც LCM-ის შეფარდება მნიშვნელთან. ასე რომ, დამატებითი მულტიპლიკატორები ასე გამოიყურება:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

ამის შემდეგ ყველა წილადს ვამრავლებთ შესაბამის დამატებით კოეფიციენტზე და ვიღებთ:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

ჩვენ შეგვიძლია მარტივად დავამატოთ ასეთი წილადები და მივიღოთ შედეგი 159/360 სახით. წილადს ვამცირებთ 3-ით და ვხედავთ საბოლოო პასუხს - 53/120.

წრფივი დიოფანტინის განტოლებების ამოხსნა

წრფივი დიოფანტინის განტოლებები არის ax + by = d ფორმის გამონათქვამები. თუ თანაფარდობა d / gcd(a, b) არის მთელი რიცხვი, მაშინ განტოლება ამოსახსნელია მთელი რიცხვებით. მოდით შევამოწმოთ რამდენიმე განტოლება მთელი რიცხვის ამოხსნის შესაძლებლობისთვის. პირველ რიგში, შეამოწმეთ განტოლება 150x + 8y = 37. კალკულატორის გამოყენებით ვპოულობთ gcd (150.8) = 2. გაყავით 37/2 = 18.5. რიცხვი არ არის მთელი რიცხვი, შესაბამისად, განტოლებას არ აქვს მთელი რიცხვი ფესვები.

მოდით შევამოწმოთ განტოლება 1320x + 1760y = 10120. გამოიყენეთ კალკულატორი, რომ იპოვოთ gcd(1320, 1760) = 440. გავყოთ 10120/440 = 23. შედეგად მივიღებთ მთელ რიცხვს, შესაბამისად, დიოფანტინის თანაფარდობის განტოლება. .

დასკვნა

GCD და LCM დიდ როლს ასრულებენ რიცხვების თეორიაში და თავად ცნებები ფართოდ გამოიყენება მათემატიკის სხვადასხვა სფეროში. გამოიყენეთ ჩვენი კალკულატორი ნებისმიერი რიცხვის ნებისმიერი რაოდენობის უდიდესი გამყოფებისა და უმცირესი ჯერადების გამოსათვლელად.

განმარტება.ყველაზე დიდი ნატურალური რიცხვი, რომლითაც რიცხვები a და b იყოფა ნაშთის გარეშე, ეწოდება უდიდესი საერთო გამყოფი (gcd)ეს ნომრები.

ვიპოვოთ 24 და 35 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი.
24-ის გამყოფები იქნება რიცხვები 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, ხოლო 35-ის გამყოფები იქნება რიცხვები 1, 5, 7, 35.
ჩვენ ვხედავთ, რომ 24 და 35 რიცხვებს აქვთ მხოლოდ ერთი საერთო გამყოფი - რიცხვი 1. ასეთ რიცხვებს უწოდებენ. კოპრაიმი.

განმარტება.ნატურალურ რიცხვებს უწოდებენ კოპრაიმითუ მათი უდიდესი საერთო გამყოფი (gcd) არის 1.

უდიდესი საერთო გამყოფი (GCD)შეიძლება მოიძებნოს მოცემული რიცხვების ყველა გამყოფის ამოწერის გარეშე.

48 და 36 რიცხვების ფაქტორზე დაყრდნობით, ჩვენ ვიღებთ:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
ამ რიცხვებიდან პირველის გაფართოებაში შემავალი ფაქტორებიდან ჩვენ ვშლით მათ, რომლებიც არ შედის მეორე რიცხვის გაფართოებაში (ანუ ორი დუელი).
რჩება ფაქტორები 2 * 2 * 3. მათი ნამრავლია 12. ეს რიცხვი არის 48 და 36 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი. ასევე გვხვდება სამი ან მეტი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი.

Პოვნა ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი

2) ამ რიცხვებიდან ერთ-ერთის გაფართოებაში შემავალი ფაქტორებიდან გადახაზეთ ისინი, რომლებიც არ შედის სხვა რიცხვების გაფართოებაში;
3) იპოვნეთ დარჩენილი ფაქტორების პროდუქტი.

თუ ყველა მოცემული რიცხვი იყოფა ერთ მათგანზე, მაშინ ეს რიცხვი არის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფიმოცემული ნომრები.
მაგალითად, 15-ის, 45-ის, 75-ისა და 180-ის უდიდესი საერთო გამყოფი არის 15, რადგან ის ყოფს ყველა სხვა რიცხვს: 45, 75 და 180.

უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM)

განმარტება. უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM)ნატურალური რიცხვები a და b არის უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც არის როგორც a, ასევე b-ის ჯერადი. 75 და 60 რიცხვების უმცირესი ჯერადი (LCM) შეიძლება მოიძებნოს ამ რიცხვების ჯერადების ზედიზედ ამოწერის გარეშე. ამისათვის ჩვენ ვშლით 75 და 60 მარტივ ფაქტორებად: 75 \u003d 3 * 5 * 5 და 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
მოდით ჩამოვწეროთ ამ რიცხვებიდან პირველის გაფართოებაში შემავალი ფაქტორები და დავუმატოთ მეორე რიცხვის გაფართოების გამოტოვებული ფაქტორები 2 და 2 (ე.ი. გავაერთიანოთ ფაქტორები).
ვიღებთ ხუთ ფაქტორს 2 * 2 * 3 * 5 * 5, რომლის ნამრავლი არის 300. ეს რიცხვი არის 75 და 60 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი.

ასევე იპოვეთ სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი.

რომ იპოვნეთ უმცირესი საერთო ჯერადირამდენიმე ბუნებრივი რიცხვი გჭირდებათ:
1) მათი დაშლა პირველ ფაქტორებად;
2) ჩამოწერეთ ერთ-ერთი რიცხვის გაფართოებაში შემავალი ფაქტორები;
3) დაამატეთ მათ დარჩენილი რიცხვების გაფართოებებიდან გამოტოვებული ფაქტორები;
4) იპოვნეთ მიღებული ფაქტორების პროდუქტი.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ ამ რიცხვებიდან ერთ-ერთი იყოფა ყველა სხვა რიცხვზე, მაშინ ეს რიცხვი არის ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი.
მაგალითად, 12-ის, 15-ის, 20-ის და 60-ის უმცირესი საერთო ჯერადი იქნება 60, რადგან ის იყოფა ყველა მოცემულ რიცხვზე.

პითაგორა (ძვ. წ. VI ს.) და მისმა მოსწავლეებმა შეისწავლეს რიცხვების გაყოფის საკითხი. რიცხვი, რომელიც ტოლია მისი ყველა გამყოფის ჯამის (თვით რიცხვის გარეშე), მათ უწოდეს სრულყოფილი რიცხვი. მაგალითად, რიცხვები 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) არის სრულყოფილი. შემდეგი სრულყოფილი რიცხვებია 496, 8128, 33,550,336. პითაგორაელებმა იცოდნენ მხოლოდ პირველი სამი სრულყოფილი რიცხვი. მეოთხე - 8128 - ცნობილი გახდა I საუკუნეში. ნ. ე. მეხუთე - 33 550 336 - ნაპოვნია XV საუკუნეში. 1983 წლისთვის უკვე ცნობილი იყო 27 სრულყოფილი რიცხვი. მაგრამ აქამდე მეცნიერებმა არ იციან არის თუ არა კენტი სრულყოფილი რიცხვები, არის თუ არა ყველაზე დიდი სრულყოფილი რიცხვი.
ძველი მათემატიკოსების ინტერესი მარტივი რიცხვების მიმართ განპირობებულია იმით, რომ ნებისმიერი რიცხვი ან მარტივია, ან შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მარტივი რიცხვების ნამრავლად, ანუ მარტივი რიცხვები აგურივითაა, საიდანაც აგებულია დანარჩენი ნატურალური რიცხვები.
თქვენ ალბათ შეამჩნიეთ, რომ ნატურალური რიცხვების რიგის მარტივი რიცხვები არათანაბრად ჩნდება - სერიის ზოგიერთ ნაწილში უფრო მეტია, ზოგში - ნაკლები. მაგრამ რაც უფრო შორს მივდივართ რიცხვთა სერიების გასწვრივ, მით უფრო იშვიათია მარტივი რიცხვები. ჩნდება კითხვა: არსებობს თუ არა ბოლო (ყველაზე დიდი) მარტივი რიცხვი? ძველმა ბერძენმა მათემატიკოსმა ევკლიდემ (ძვ. წ. III ს.), თავის წიგნში "დასაწყისები", რომელიც ორი ათასი წლის განმავლობაში იყო მათემატიკის მთავარი სახელმძღვანელო, დაამტკიცა, რომ უსასრულოდ ბევრი მარტივი რიცხვია, ანუ ყოველი მარტივი რიცხვის უკან არის ლუწი. უფრო დიდი მარტივი რიცხვი.
მარტივი რიცხვების საპოვნელად ასეთი მეთოდი მოიფიქრა იმავე დროის სხვა ბერძენმა მათემატიკოსმა ერატოსთენესმა. მან ჩაწერა ყველა რიცხვი 1-დან ზოგიერთ რიცხვამდე, შემდეგ გადახაზა ერთეული, რომელიც არც მარტივია და არც შედგენილი რიცხვი, შემდეგ გადაკვეთა ერთის მეშვეობით ყველა რიცხვი 2-ის შემდეგ (რიცხვები, რომლებიც მრავლდება 2-ზე, ე.ი. 4, 6, 8 და ა.შ.). პირველი დარჩენილი რიცხვი 2-ის შემდეგ იყო 3. შემდეგ, ორის შემდეგ, ყველა რიცხვი 3-ის შემდეგ გადაიხაზა (3-ის ჯერადი რიცხვები, ანუ 6, 9, 12 და ა.შ.). საბოლოოდ, მხოლოდ მარტივი რიცხვები დარჩა გადაკვეთილი.

მათემატიკური გამონათქვამები და ამოცანები მოითხოვს უამრავ დამატებით ცოდნას. NOC არის ერთ-ერთი მთავარი, განსაკუთრებით ხშირად გამოიყენება თემაში.თემა ისწავლება საშუალო სკოლაში, თუმცა არ არის განსაკუთრებით რთული მასალის გაგება, ძალების და გამრავლების ცხრილის მცოდნე ადამიანს არ გაუჭირდება არჩევა. საჭირო ნომრები და იპოვნეთ შედეგი.

განმარტება

საერთო ჯერადი არის რიცხვი, რომელიც შეიძლება მთლიანად დაიყოს ორ რიცხვად ერთდროულად (a და b). ყველაზე ხშირად, ეს რიცხვი მიიღება ორიგინალური რიცხვების a და b გამრავლებით. რიცხვი უნდა გაიყოს ორივე რიცხვზე ერთდროულად, გადახრების გარეშე.

NOC არის მოკლე სახელი, რომელიც აღებულია პირველი ასოებიდან.

ნომრის მიღების გზები

LCM-ის საპოვნელად, რიცხვების გამრავლების მეთოდი ყოველთვის არ არის შესაფერისი, ის ბევრად უკეთესად შეეფერება მარტივ ერთნიშნა ან ორნიშნა რიცხვებს. ჩვეულებრივია ფაქტორებად დაყოფა, რაც უფრო დიდია რიცხვი, მით მეტი ფაქტორი იქნება.

მაგალითი #1

უმარტივესი მაგალითისთვის, სკოლები ჩვეულებრივ იღებენ მარტივ, ერთნიშნა ან ორნიშნა რიცხვებს. მაგალითად, თქვენ უნდა ამოხსნათ შემდეგი დავალება, იპოვოთ 7 და 3 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი, ამოხსნა საკმაოდ მარტივია, უბრალოდ გაამრავლეთ ისინი. შედეგად, არის რიცხვი 21, უბრალოდ არ არის უფრო მცირე რიცხვი.

მაგალითი #2

მეორე ვარიანტი გაცილებით რთულია. მოცემულია ნომრები 300 და 1260, LCM-ის პოვნა სავალდებულოა. ამოცანის გადასაჭრელად, გათვალისწინებულია შემდეგი მოქმედებები:

პირველი და მეორე რიცხვების დაშლა უმარტივეს ფაქტორებად. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. პირველი ეტაპი დასრულდა.

მეორე ეტაპი გულისხმობს უკვე მიღებულ მონაცემებთან მუშაობას. თითოეული მიღებული რიცხვი უნდა მონაწილეობდეს საბოლოო შედეგის გამოთვლაში. თითოეულ ფაქტორზე, შემთხვევების უდიდესი რაოდენობა აღებულია თავდაპირველი რიცხვებიდან. LCM არის საერთო რიცხვი, ამიტომ რიცხვებიდან ფაქტორები უნდა განმეორდეს მასში ბოლომდე, თუნდაც ის, რაც არის ერთ ინსტანციაში. ორივე საწყის რიცხვს შემადგენლობაში აქვს რიცხვები 2, 3 და 5, სხვადასხვა ხარისხით, 7 მხოლოდ ერთ შემთხვევაშია.

საბოლოო შედეგის გამოსათვლელად, განტოლებაში უნდა აიღოთ თითოეული რიცხვი მათი წარმოდგენილ სიმძლავრეებიდან ყველაზე დიდი. რჩება მხოლოდ გამრავლება და პასუხის მიღება, სწორი შევსებით, დავალება ჯდება ორ ეტაპად ახსნის გარეშე:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

ეს არის მთელი ამოცანა, თუ თქვენ ცდილობთ გამოთვალოთ სასურველი რიცხვი გამრავლებით, მაშინ პასუხი ნამდვილად არ იქნება სწორი, რადგან 300 * 1260 = 378,000.

გამოცდა:

6300 / 300 = 21 - მართალია;

6300 / 1260 = 5 სწორია.

შედეგის სისწორე განისაზღვრება შემოწმებით - LCM-ის გაყოფა ორივე თავდაპირველ რიცხვზე, თუ რიცხვი ორივე შემთხვევაში მთელი რიცხვია, მაშინ პასუხი სწორია.

რას ნიშნავს NOC მათემატიკაში

მოგეხსენებათ, მათემატიკაში არც ერთი უსარგებლო ფუნქცია არ არის, არც ეს არის გამონაკლისი. ამ რიცხვის ყველაზე გავრცელებული მიზანია წილადების საერთო მნიშვნელამდე მიყვანა. რასაც ჩვეულებრივ სწავლობენ საშუალო სკოლის 5-6 კლასებში. ის ასევე არის საერთო გამყოფი ყველა ჯერადისთვის, თუ ასეთი პირობებია პრობლემაში. ასეთ გამოთქმას შეუძლია არა მხოლოდ ორი რიცხვის, არამედ გაცილებით დიდი რიცხვის - სამი, ხუთი და ა.შ. რაც მეტი რიცხვი - მით მეტია მოქმედებები დავალებაში, მაგრამ ამის სირთულე არ იზრდება.

მაგალითად, 250, 600 და 1500 რიცხვების გათვალისწინებით, თქვენ უნდა იპოვოთ მათი ჯამური LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - ეს მაგალითი დეტალურად აღწერს ფაქტორიზაციას, შემცირების გარეშე.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

გამოთქმის შედგენისთვის საჭიროა ყველა ფაქტორის აღნიშვნა, ამ შემთხვევაში მოცემულია 2, 5, 3 - ყველა ამ რიცხვისთვის საჭიროა მაქსიმალური ხარისხის განსაზღვრა.

ყურადღება: ყველა მულტიპლიკატორი უნდა მიიყვანოთ სრულ გამარტივებამდე, თუ ეს შესაძლებელია, დაიშლება ერთნიშნა რიცხვამდე.

გამოცდა:

1) 3000 / 250 = 12 - მართალია;

2) 3000 / 600 = 5 - მართალია;

3) 3000 / 1500 = 2 სწორია.

ეს მეთოდი არ საჭიროებს რაიმე ხრიკს ან გენიალური დონის უნარებს, ყველაფერი მარტივი და გასაგებია.

სხვა გზა

მათემატიკაში ბევრი რამ არის დაკავშირებული, ბევრის ამოხსნა შესაძლებელია ორი ან მეტი გზით, იგივე ეხება უმცირეს საერთო ჯერადის პოვნას, LCM. შემდეგი მეთოდის გამოყენება შესაძლებელია მარტივი ორნიშნა და ერთნიშნა რიცხვების შემთხვევაში. შედგენილია ცხრილი, რომელშიც მულტიპლიკატორი შეყვანილია ვერტიკალურად, მულტიპლიკატორი ჰორიზონტალურად და ნამრავლი მითითებულია სვეტის გადამკვეთ უჯრედებში. ცხრილის ასახვა შეიძლება წრფის საშუალებით, აღებულია რიცხვი და ამ რიცხვის მთელ რიცხვებზე გამრავლების შედეგები იწერება ზედიზედ, 1-დან უსასრულობამდე, ზოგჯერ საკმარისია 3-5 ქულა, ექვემდებარება მეორე და მომდევნო რიცხვებს. იგივე გამოთვლითი პროცესისთვის. ყველაფერი ხდება მანამ, სანამ საერთო ჯერადი არ მოიძებნება.

30, 35, 42 ნომრების გათვალისწინებით, თქვენ უნდა იპოვოთ LCM, რომელიც აკავშირებს ყველა რიცხვს:

1) 30-ის მრავლობითი: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 და ა.შ.

2) 35-ის ნამრავლები: 70, 105, 140, 175, 210, 245 და ა.შ.

3) 42-ის მრავლობითი: 84, 126, 168, 210, 252 და ა.შ.

შესამჩნევია, რომ ყველა რიცხვი საკმაოდ განსხვავებულია, მათ შორის ერთადერთი საერთო რიცხვია 210, ასე რომ ეს იქნება LCM. ამ გამოთვლასთან დაკავშირებულ პროცესებს შორის ასევე არის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი, რომელიც გამოითვლება მსგავსი პრინციპების მიხედვით და ხშირად გვხვდება მეზობელ ამოცანებში. განსხვავება მცირეა, მაგრამ საკმარისად მნიშვნელოვანი, LCM მოიცავს რიცხვის გამოთვლას, რომელიც იყოფა ყველა მოცემულ საწყის მნიშვნელობებზე, ხოლო GCD ითვალისწინებს ყველაზე დიდი მნიშვნელობის გამოთვლას, რომლითაც იყოფა საწყისი რიცხვები.

უდიდესი საერთო გამყოფი

განმარტება 2

თუ ნატურალური რიცხვი a იყოფა ნატურალურ რიცხვზე $b$, მაშინ $b$-ს ეწოდება $a$-ის გამყოფი, ხოლო $a$ რიცხვს ეწოდება $b$-ის ჯერადი.

დაე, $a$ და $b$ იყოს ნატურალური რიცხვები. რიცხვს $c$ ეწოდება საერთო გამყოფი როგორც $a$-ისთვის, ასევე $b$-ისთვის.

$a$ და $b$ რიცხვების საერთო გამყოფების სიმრავლე სასრულია, რადგან არცერთი ეს გამყოფი არ შეიძლება იყოს $a$-ზე მეტი. ეს ნიშნავს, რომ ამ გამყოფებს შორის არის ყველაზე დიდი, რომელსაც უწოდებენ $a$ და $b$ რიცხვების უდიდეს საერთო გამყოფს და მის აღსანიშნავად გამოიყენება აღნიშვნა:

$gcd \ (a;b) / ან \ D \ (a;b)$

ორი რიცხვის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფის პოვნა:

1. იპოვეთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი.

მაგალითი 1

იპოვეთ რიცხვების gcd $121$ და $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

აირჩიეთ რიცხვები, რომლებიც შედის ამ რიცხვების გაფართოებაში

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

იპოვეთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი.

$gcd=2\cdot 11=22$

მაგალითი 2

იპოვეთ მონომილების GCD $63$ და $81$.

ჩვენ ვიპოვით წარმოდგენილი ალგორითმის მიხედვით. Ამისთვის:

მოდით დავშალოთ რიცხვები მარტივ ფაქტორებად

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

ჩვენ ვირჩევთ ნომრებს, რომლებიც შედის ამ რიცხვების გაფართოებაში

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

ვიპოვოთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი.

$gcd=3\cdot 3=9$

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ორი რიცხვის GCD სხვა გზით, რიცხვების გამყოფების სიმრავლის გამოყენებით.

მაგალითი 3

იპოვეთ რიცხვების gcd $48$ და $60$.

გადაწყვეტილება:

იპოვეთ $48$-ის გამყოფების სიმრავლე: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

ახლა ვიპოვოთ გამყოფების სიმრავლე $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

ვიპოვოთ ამ სიმრავლეთა კვეთა: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ეს ნაკრები განსაზღვრავს $48$ და $60 რიცხვების საერთო გამყოფთა სიმრავლეს. $. ამ ნაკრების ყველაზე დიდი ელემენტი იქნება რიცხვი $12$. ასე რომ, $48$ და $60$-ის უდიდესი საერთო გამყოფი არის $12$.

NOC-ის განმარტება

განმარტება 3

ნატურალური რიცხვების საერთო ჯერადი$a$ და $b$ არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც არის $a$ და $b$-ის ჯერადი.

რიცხვების საერთო ჯერადები არის რიცხვები, რომლებიც იყოფა ორიგინალზე ნაშთის გარეშე. მაგალითად, $25$ და $50$ რიცხვებისთვის საერთო ჯერადები იქნება რიცხვები $50,100,150,200$ და ა.შ.

უმცირეს საერთო ჯერადს ეწოდება უმცირესი საერთო ჯერადი და აღინიშნება LCM$(a;b)$ ან K$(a;b).$-ით.

ორი რიცხვის LCM-ის საპოვნელად დაგჭირდებათ:

1. რიცხვების დაშლა მარტივ ფაქტორებად
2. ჩამოწერეთ პირველი რიცხვის შემადგენელი ფაქტორები და დაუმატეთ მეორეს შემადგენელი ფაქტორები და არ გადადით პირველზე.

მაგალითი 4

იპოვეთ ნომრების LCM $99$ და $77$.

ჩვენ ვიპოვით წარმოდგენილი ალგორითმის მიხედვით. Ამისთვის

რიცხვების დაშლა მარტივ ფაქტორებად

$99=3\cdot 3\cdot 11$

ჩაწერეთ პირველში შემავალი ფაქტორები

დაუმატეთ მათ ფაქტორები, რომლებიც მეორეს ნაწილია და არ მიდის პირველზე

იპოვეთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უმცირესი საერთო ჯერადი

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

რიცხვების გამყოფთა სიების შედგენა ხშირად ძალიან შრომატევადია. არსებობს გზა, რომ იპოვოთ GCD, რომელსაც ეწოდება ევკლიდის ალგორითმი.

განცხადებები, რომლებზეც დაფუძნებულია ევკლიდეს ალგორითმი:

თუ $a$ და $b$ ნატურალური რიცხვებია და $a\vdots b$, მაშინ $D(a;b)=b$

თუ $a$ და $b$ ისეთი ნატურალური რიცხვებია, რომ $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$-ის გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია თანმიმდევრულად შევამციროთ განსახილველი რიცხვები, სანამ არ მივაღწევთ რიცხვების წყვილს ისე, რომ ერთი მათგანი იყოფა მეორეზე. მაშინ ამ რიცხვებიდან უფრო მცირე იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი $a$ და $b$ რიცხვებისთვის.

GCD-ისა და LCM-ის თვისებები

1. $a$ და $b$-ის ნებისმიერი საერთო ჯერადი იყოფა K$(a;b)$-ზე
2. თუ $a\vdots b$, მაშინ K$(a;b)=a$

თუ K$(a;b)=k$ და $m$-ბუნებრივი რიცხვი, მაშინ K$(am;bm)=km$

თუ $d$ არის $a$-ისა და $b$-ის საერთო გამყოფი, მაშინ K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

თუ $a\vdots c$ და $b\vdots c$ , მაშინ $\frac(ab)(c)$ არის $a$ და $b$-ის საერთო ჯერადი.

ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის $a$ და $b$ ტოლობა

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

$a$-ისა და $b$-ის ნებისმიერი საერთო გამყოფი არის $D(a;b)$-ის გამყოფი

ორი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი პირდაპირ კავშირშია ამ რიცხვების უდიდეს საერთო გამყოფთან. ეს კავშირი GCD-სა და NOC-ს შორისგანისაზღვრება შემდეგი თეორემით.

თეორემა.

ორი დადებითი მთელი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი a და b უდრის a და b რიცხვების ნამრავლს გაყოფილი a და b რიცხვების უდიდეს საერთო გამყოფზე, ანუ, LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).

მტკიცებულება.

დაე იყოს M არის a და b რიცხვების რამდენიმე ჯერადი. ანუ M იყოფა a-ზე და გაყოფის განმარტებით არის გარკვეული k რიცხვი ისეთი, რომ ტოლობა M=a·k მართალია. მაგრამ M ასევე იყოფა b-ზე, შემდეგ a k იყოფა b-ზე.

აღნიშნეთ gcd(a, b) როგორც d. მაშინ ჩვენ შეგვიძლია ჩავწეროთ ტოლობები a=a 1 ·d და b=b 1 ·d, და a 1 =a:d და b 1 =b:d იქნება თანაპირდაპირი რიცხვები. მაშასადამე, წინა აბზაცში მიღებული პირობა, რომ a k იყოფა b-ზე, შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: a 1 d k იყოფა b 1 d-ზე და ეს, გაყოფის თვისებებიდან გამომდინარე, უდრის იმ პირობას, რომ a 1 k. იყოფა b ერთზე.

ჩვენ ასევე უნდა ჩამოვწეროთ ორი მნიშვნელოვანი დასკვნა განხილული თეორემიდან.

ორი რიცხვის საერთო ჯერადი იგივეა, რაც მათი უმცირესი საერთო ჯერადი.

ეს ასეა, რადგან M რიცხვების ნებისმიერი საერთო ჯერადი a და b განისაზღვრება ტოლობით M=LCM(a, b) t ზოგიერთი მთელი რიცხვისთვის t .

თანაპირდაპირი დადებითი რიცხვების a და b უმცირესი საერთო ჯერადი მათი ნამრავლის ტოლია.

ამ ფაქტის დასაბუთება საკმაოდ აშკარაა. ვინაიდან a და b არის თანაპრიმიტეტები, მაშინ gcd(a, b)=1, შესაბამისად, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი

სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა შეიძლება შემცირდეს ორი რიცხვის LCM-ის თანმიმდევრულ პოვნამდე. როგორ კეთდება ეს ნაჩვენებია შემდეგ თეორემაში: a 1, a 2,…, a k ემთხვევა m k-1 და a k რიცხვების საერთო ჯერადებს, შესაბამისად, ემთხვევა m k-ის ჯერადებს. და რადგან m k რიცხვის უმცირესი დადებითი ჯერადი არის თავად m k რიცხვი, მაშინ a 1, a 2, …, a k რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის m k.

ბიბლიოგრაფია.

• ვილენკინი ნ.ია. და ა.შ მათემატიკა. მე-6 კლასი: სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის.
• ვინოგრადოვი ი.მ. რიცხვების თეორიის საფუძვლები.
• მიხელოვიჩ შ.ხ. რიცხვების თეორია.
• კულიკოვი ლ.ია. და სხვა ამოცანების კრებული ალგებრაში და რიცხვთა თეორიაში: სახელმძღვანელო ფიზ.-მატ. პედაგოგიური ინსტიტუტების სპეციალობები.