ნდობის ინტერვალი მათემატიკური მოლოდინისთვის - ეს არის მონაცემებიდან გამოთვლილი ისეთი ინტერვალი, რომელიც ცნობილი ალბათობით შეიცავს ზოგადი მოსახლეობის მათემატიკურ მოლოდინს. მათემატიკური მოლოდინის ბუნებრივი შეფასება არის მისი დაკვირვებული მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკული. ამიტომ შემდგომ გაკვეთილზე გამოვიყენებთ ტერმინებს „საშუალო“, „საშუალო ღირებულება“. ნდობის ინტერვალის გამოთვლის ამოცანებში პასუხი ყველაზე ხშირად მოთხოვნადია "საშუალო რიცხვის [მნიშვნელობა კონკრეტულ პრობლემაში] სანდო ინტერვალი არის [დაბალი მნიშვნელობიდან] [უმაღლეს მნიშვნელობამდე]". ნდობის ინტერვალის დახმარებით შესაძლებელია შეფასდეს არა მხოლოდ საშუალო მნიშვნელობები, არამედ საერთო პოპულაციის ამა თუ იმ მახასიათებლის წილის შეფასება. გაკვეთილზე გაანალიზებულია საშუალო მნიშვნელობები, დისპერსიები, სტანდარტული გადახრა და შეცდომა, რომლის მეშვეობითაც მივალთ ახალ განმარტებებსა და ფორმულებამდე. ნიმუში და პოპულაციის მახასიათებლები .

საშუალოს წერტილოვანი და ინტერვალური შეფასებები

თუ საერთო პოპულაციის საშუალო მნიშვნელობა შეფასებულია რიცხვით (პუნქტით), მაშინ დაკვირვების ნიმუშიდან გამოთვლილი კონკრეტული საშუალო მიიღება როგორც ზოგადი პოპულაციის უცნობი საშუალოს შეფასება. ამ შემთხვევაში, შერჩევის საშუალო მნიშვნელობა - შემთხვევითი ცვლადი - არ ემთხვევა საერთო პოპულაციის საშუალო მნიშვნელობას. ამიტომ, ნიმუშის საშუალო მნიშვნელობის მითითებისას, ერთდროულად აუცილებელია სინჯის შეცდომის მითითებაც. სტანდარტული შეცდომა გამოიყენება შერჩევის შეცდომის საზომად, რომელიც გამოიხატება იმავე ერთეულებში, როგორც საშუალო. ამიტომ ხშირად გამოიყენება შემდეგი აღნიშვნა: .

თუ საჭიროა საშუალების შეფასება დაკავშირებული იყოს გარკვეულ ალბათობასთან, მაშინ საერთო ინტერესის პოპულაციის პარამეტრი უნდა შეფასდეს არა ერთი რიცხვით, არამედ ინტერვალით. ნდობის ინტერვალი არის ინტერვალი, რომელშიც, გარკვეული ალბათობით, პსაერთო მოსახლეობის სავარაუდო ინდიკატორის მნიშვნელობა გვხვდება. ნდობის ინტერვალი, რომელშიც ალბათობით პ = 1 - α არის შემთხვევითი ცვლადი, გამოითვლება შემდეგნაირად:

,

α = 1 - პ, რომელიც შეგიძლიათ ნახოთ სტატისტიკის თითქმის ნებისმიერი წიგნის დანართში.

პრაქტიკაში, პოპულაციის საშუალო და დისპერსია ცნობილი არ არის, ამიტომ პოპულაციის ვარიაცია იცვლება შერჩევის დისპერსიით, ხოლო პოპულაციის საშუალო - შერჩევის საშუალო. ამრიგად, ნდობის ინტერვალი უმეტეს შემთხვევაში გამოითვლება შემდეგნაირად:

.

ნდობის ინტერვალის ფორმულა შეიძლება გამოყენებულ იქნას პოპულაციის საშუალო თუ

• ცნობილია საერთო პოპულაციის სტანდარტული გადახრა;
• ან პოპულაციის სტანდარტული გადახრა ცნობილი არ არის, მაგრამ შერჩევის ზომა 30-ზე მეტია.

შერჩევის საშუალო არის პოპულაციის საშუალო მიუკერძოებელი შეფასება. თავის მხრივ, ნიმუშის განსხვავება არ არის მოსახლეობის დისპერსიის მიუკერძოებელი შეფასება. შერჩევის დისპერსიის ფორმულაში პოპულაციის დისპერსიის მიუკერძოებელი შეფასების მისაღებად, შერჩევის ზომა არის ნუნდა შეიცვალოს ნ-1.

მაგალითი 1ინფორმაცია გროვდება კონკრეტული ქალაქის 100 შემთხვევით შერჩეული კაფედან, რომლებშიც დასაქმებულთა საშუალო რაოდენობაა 10,5 სტანდარტული გადახრით 4,6. დაადგინეთ კაფეში თანამშრომელთა რაოდენობის 95%-ის ნდობის ინტერვალი.

სადაც არის სტანდარტული ნორმალური განაწილების კრიტიკული მნიშვნელობა მნიშვნელოვნების დონისთვის α = 0,05 .

ამრიგად, 95%-იანი ნდობის ინტერვალი კაფეში დასაქმებულთა საშუალო რაოდენობისთვის იყო 9.6-დან 11.4-მდე.

მაგალითი 2 64 დაკვირვების საერთო პოპულაციის შემთხვევითი ნიმუშისთვის, გამოითვალა შემდეგი ჯამური მნიშვნელობები:

მნიშვნელობების ჯამი დაკვირვებებში,

მნიშვნელობების კვადრატული გადახრების ჯამი საშუალოდან .

გამოთვალეთ 95% ნდობის ინტერვალი მოსალოდნელი მნიშვნელობისთვის.

გამოთვალეთ სტანდარტული გადახრა:

,

გამოთვალეთ საშუალო მნიშვნელობა:

.

შეცვალეთ გამოხატვის მნიშვნელობები ნდობის ინტერვალით:

სადაც არის სტანდარტული ნორმალური განაწილების კრიტიკული მნიშვნელობა მნიშვნელოვნების დონისთვის α = 0,05 .

ჩვენ ვიღებთ:

ამრიგად, ამ ნიმუშის მათემატიკური მოლოდინის 95% ნდობის ინტერვალი მერყეობდა 7.484-დან 11.266-მდე.

მაგალითი 3 100 დაკვირვებისგან შემდგარი საერთო პოპულაციის შემთხვევითი ნიმუშისთვის, გამოთვლილი იყო საშუალო მნიშვნელობა 15.2 და სტანდარტული გადახრა 3.2. გამოთვალეთ 95% ნდობის ინტერვალი მოსალოდნელი მნიშვნელობისთვის, შემდეგ 99% ნდობის ინტერვალი. თუ ნიმუშის სიმძლავრე და მისი ცვალებადობა იგივე დარჩება, მაგრამ ნდობის ფაქტორი იზრდება, ნდობის ინტერვალი შევიწროვდება თუ გაფართოვდება?

ჩვენ ვცვლით ამ მნიშვნელობებს ნდობის ინტერვალის გამოხატულებაში:

სადაც არის სტანდარტული ნორმალური განაწილების კრიტიკული მნიშვნელობა მნიშვნელოვნების დონისთვის α = 0,05 .

ჩვენ ვიღებთ:

.

ამრიგად, ამ ნიმუშის საშუალო 95%-იანი ნდობის ინტერვალი იყო 14,57-დან 15,82-მდე.

კიდევ ერთხელ, ჩვენ ვცვლით ამ მნიშვნელობებს ნდობის ინტერვალის გამოხატულებაში:

სადაც არის სტანდარტული ნორმალური განაწილების კრიტიკული მნიშვნელობა მნიშვნელოვნების დონისთვის α = 0,01 .

ჩვენ ვიღებთ:

.

ამრიგად, 99% ნდობის ინტერვალი ამ ნიმუშის საშუალოსთვის იყო 14.37-დან 16.02-მდე.

როგორც ხედავთ, როგორც ნდობის ფაქტორი იზრდება, ასევე იზრდება სტანდარტული ნორმალური განაწილების კრიტიკული მნიშვნელობა და, შესაბამისად, ინტერვალის საწყისი და ბოლო წერტილები განლაგებულია საშუალოდან უფრო შორს და, შესაბამისად, მათემატიკური მოლოდინის ნდობის ინტერვალით. იზრდება.

სპეციფიკური სიმძიმის წერტილოვანი და ინტერვალური შეფასებები

ნიმუშის ზოგიერთი მახასიათებლის წილი შეიძლება განიმარტოს, როგორც წილის ქულების შეფასება გვიგივე თვისება ზოგად პოპულაციაში. თუ ეს მნიშვნელობა უნდა იყოს დაკავშირებული ალბათობასთან, მაშინ უნდა გამოითვალოს სპეციფიკური სიმძიმის ნდობის ინტერვალი. გვსაერთო პოპულაციაში მახასიათებელი ალბათობით პ = 1 - α :

.

მაგალითი 4კონკრეტულ ქალაქში ორი კანდიდატია ადა ბმერობის კანდიდატად. ქალაქის 200 მოსახლე შემთხვევითობის პრინციპით გამოიკითხა, საიდანაც 46%-მა უპასუხა, რომ კანდიდატს მისცემდა ხმას. ა, 26% - კანდიდატისთვის ბ 28%-მა კი არ იცის ვის მისცემს ხმას. განსაზღვრეთ 95%-იანი ნდობის ინტერვალი ქალაქის მაცხოვრებლების პროპორციისთვის, რომლებიც მხარს უჭერენ კანდიდატს ა.

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს საძიებო ფორმა სწორი ამოცანის მოსაძებნად. შეიყვანეთ სიტყვა, ფრაზა ამოცანიდან ან მისი ნომერი, თუ იცით.

მოძებნეთ მხოლოდ ამ განყოფილებაში

ნდობის ინტერვალები: პრობლემის გადაჭრის სია

ნდობის ინტერვალები: თეორია და პრობლემები

ნდობის ინტერვალების გაგება

მოკლედ წარმოვიდგინოთ ნდობის ინტერვალის ცნება, რომელიც
1) აფასებს რიცხვითი ნიმუშის ზოგიერთ პარამეტრს უშუალოდ თავად ნიმუშის მონაცემებიდან,
2) ფარავს ამ პარამეტრის მნიშვნელობას γ ალბათობით.

Ნდობის ინტერვალიპარამეტრისთვის X(ალბათობით γ) ეწოდება ფორმის ინტერვალი, ისეთი, რომ და მნიშვნელობები გამოითვლება გარკვეული გზით ნიმუშიდან.

ჩვეულებრივ, გამოყენებულ პრობლემებში, ნდობის ალბათობა აღებულია γ = 0.9; 0,95; 0.99.

განვიხილოთ n ზომის ზოგიერთი ნიმუში, რომელიც დამზადებულია ზოგადი პოპულაციისგან, განაწილებული სავარაუდოდ ნორმალური განაწილების კანონის მიხედვით. მოდით ვაჩვენოთ რა ფორმულებით არის ნაპოვნი ნდობის ინტერვალები განაწილების პარამეტრებისთვის- მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსია (სტანდარტული გადახრა).

ნდობის ინტერვალი მათემატიკური მოლოდინისთვის

შემთხვევა 1განაწილების განსხვავება ცნობილია და ტოლია. შემდეგ პარამეტრის ნდობის ინტერვალი აროგორც ჩანს:
ტგანისაზღვრება ლაპლასის განაწილების ცხრილიდან თანაფარდობით

შემთხვევა 2განაწილების დისპერსია უცნობია; დისპერსიის წერტილის შეფასება გამოითვალა ნიმუშიდან. შემდეგ პარამეტრის ნდობის ინტერვალი აროგორც ჩანს:
, სადაც არის ნიმუშის საშუალო გამოთვლილი ნიმუშიდან, პარამეტრიდან ტგანისაზღვრება სტუდენტის განაწილების ცხრილიდან

მაგალითი.გარკვეული მნიშვნელობის 7 გაზომვის მონაცემებზე დაყრდნობით, გაზომვის შედეგების საშუალო აღმოჩნდა 30-ის ტოლი და ნიმუშის ვარიაცია 36-ის ტოლი. იპოვეთ საზღვრები, რომლებშიც შეიცავს გაზომილი მნიშვნელობის ნამდვილი მნიშვნელობა 0,99 სანდოობით. .

გადაწყვეტილება.მოდი ვიპოვოთ . შემდეგ ნდობის ლიმიტები ინტერვალისთვის, რომელიც შეიცავს გაზომილი მნიშვნელობის ნამდვილ მნიშვნელობას, შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით:
, სადაც არის ნიმუშის საშუალო, არის ნიმუშის განსხვავება. ყველა მნიშვნელობის შეერთებით, მივიღებთ:

ნდობის ინტერვალი დისპერსიისთვის

ჩვენ გვჯერა, რომ, ზოგადად რომ ვთქვათ, მათემატიკური მოლოდინი უცნობია და ცნობილია დისპერსიის მხოლოდ წერტილის მიუკერძოებელი შეფასება. შემდეგ ნდობის ინტერვალი ასე გამოიყურება:
, სად - ცხრილებიდან განსაზღვრული განაწილების კვანტილები.

მაგალითი. 7 ცდის მონაცემებზე დაყრდნობით აღმოჩნდა სტანდარტული გადახრის შეფასების მნიშვნელობა s=12. იპოვეთ 0,9 ალბათობით დისპერსიის შესაფასებლად აგებული სანდო ინტერვალის სიგანე.

გადაწყვეტილება.ნდობის ინტერვალი უცნობი პოპულაციის დისპერსიისთვის შეიძლება მოიძებნოს ფორმულის გამოყენებით:

შეცვალეთ და მიიღეთ:


მაშინ ნდობის ინტერვალის სიგანეა 465.589-71.708=393.881.

ნდობის ინტერვალი ალბათობისთვის (პროცენტი)

შემთხვევა 1დაე, ნიმუშის ზომა და ნიმუშის ფრაქცია (შეფარდებითი სიხშირე) ცნობილი იყოს ამოცანაში. მაშინ ზოგადი წილადის ნდობის ინტერვალი (ჭეშმარიტი ალბათობა) არის:
, სადაც პარამეტრი ტგანისაზღვრება ლაპლასის განაწილების ცხრილიდან თანაფარდობით.

შემთხვევა 2თუ პრობლემა დამატებით იცნობს პოპულაციის მთლიან ზომას, საიდანაც ნიმუში იქნა აღებული, ნდობის ინტერვალი ზოგადი წილადისთვის (ჭეშმარიტი ალბათობა) შეიძლება მოიძებნოს მორგებული ფორმულის გამოყენებით:
.

მაგალითი.ცნობილია, რომ იპოვეთ საზღვრები, რომლებშიც საერთო წილი დადებულია ალბათობით.

გადაწყვეტილება.ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას:

მოდი ვიპოვოთ პარამეტრი მდგომარეობიდან ფორმულაში ვიღებთ შემცვლელს:

მათემატიკური სტატისტიკის პრობლემების სხვა მაგალითები შეგიძლიათ იხილოთ გვერდზე

დაე, ნიმუში შედგეს კანონს დაქვემდებარებული საერთო პოპულაციისგან ნორმალურიგანაწილება X N( მ;  ). მათემატიკური სტატისტიკის ეს ძირითადი დაშვება ემყარება ცენტრალური ლიმიტის თეორემას. მოდით ცნობილი იყოს ზოგადი სტანდარტული გადახრა  , მაგრამ თეორიული განაწილების მათემატიკური მოლოდინი უცნობია მ(ნიშნავს).

ამ შემთხვევაში, ნიმუში ნიშნავს ცდის დროს მიღებული (სექცია 3.4.2), ასევე იქნება შემთხვევითი ცვლადი მ;
). შემდეგ "ნორმალიზებული" გადახრა
N(0;1) არის სტანდარტული ნორმალური შემთხვევითი ცვლადი.

პრობლემა ის არის, რომ იპოვოთ ინტერვალის შეფასება მ. მოდით ავაშენოთ ორმხრივი ნდობის ინტერვალი ამისთვის მ ისე, რომ ჭეშმარიტი მათემატიკური მოლოდინი მას ეკუთვნის მოცემული ალბათობით (სანდოობით)  .

დააყენეთ ასეთი ინტერვალი მნიშვნელობისთვის
ნიშნავს ამ რაოდენობის მაქსიმალური მნიშვნელობის პოვნას
და მინიმალური
, რომელიც არის კრიტიკული რეგიონის საზღვრები:
.

იმიტომ რომ ეს ალბათობა არის
, მაშინ ამ განტოლების ფესვი
შეგიძლიათ იხილოთ ლაპლასის ფუნქციის ცხრილების გამოყენებით (ცხრილი 3, დანართი 1).

მერე ალბათობით  შეიძლება ითქვას, რომ შემთხვევითი ცვლადი
, ანუ სასურველი ზოგადი საშუალო ეკუთვნის ინტერვალს
. (3.13)

ღირებულება
(3.14)

დაურეკა სიზუსტეშეფასებები.

ნომერი
– კვანტილინორმალური განაწილება - შეიძლება მოიძებნოს ლაპლასის ფუნქციის არგუმენტად (ცხრილი 3, დანართი 1), თანაფარდობის გათვალისწინებით 2Ф( u)=, ე.ი. F( u)=
.

პირიქით, მითითებული გადახრის მნიშვნელობის მიხედვით  შესაძლებელია იმის დადგენა, თუ რა ალბათობით მიეკუთვნება უცნობი ზოგადი საშუალო ინტერვალს
. ამისათვის თქვენ უნდა გამოთვალოთ

. (3.15)

აიღეთ შემთხვევითი ნიმუში საერთო პოპულაციისგან ხელახალი შერჩევის მეთოდით. განტოლებიდან
შეიძლება მოიძებნოს მინიმალურიხელახალი ნიმუშის მოცულობა ნსაჭიროა უზრუნველყოს ნდობის ინტერვალი მოცემული სანდოობით არ აღემატებოდა წინასწარ დაყენებულ მნიშვნელობას  . საჭირო ნიმუშის ზომა შეფასებულია ფორმულის გამოყენებით:

. (3.16)

Გამოკვლევა შეფასების სიზუსტე
:

1) ნიმუშის ზომის გაზრდით ნსიდიდე  მცირდება, და აქედან გამომდინარე, შეფასების სიზუსტე იზრდება.

2) გ მომატებაშეფასებების სანდოობა არგუმენტის მნიშვნელობა იზრდება u(რადგან ფ(u) მონოტონურად იზრდება) და მაშასადამე იზრდება  . ამ შემთხვევაში, საიმედოობის გაზრდა ამცირებსმისი შეფასების სიზუსტე  .

შეფასება
(3.17)

დაურეკა კლასიკური(სად ტარის პარამეტრი, რომელიც დამოკიდებულია და ნ), რადგან იგი ახასიათებს განაწილების კანონებს ყველაზე ხშირად.

3.5.3 ნდობის ინტერვალები ნორმალური განაწილების მოლოდინის შესაფასებლად უცნობი სტანდარტული გადახრით 

ცნობილია, რომ საერთო მოსახლეობა ექვემდებარება ნორმალური განაწილების კანონს X N( მ; ), სადაც მნიშვნელობა ფესვი საშუალო კვადრატიგადახრები უცნობი.

ზოგადი საშუალოს შესაფასებლად ნდობის ინტერვალის შესაქმნელად, ამ შემთხვევაში, სტატისტიკა გამოიყენება
, რომელსაც აქვს სტუდენტის განაწილება კ= ნ-1 გრადუსი თავისუფლება. ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ N(0;1) (იხ. პუნქტი 3.5.2) და
(იხ. პუნქტი 3.5.3) და სტუდენტის განაწილების განმარტებიდან (ნაწილი 1. პუნქტი 2.11.2).

ვიპოვოთ სტუდენტის განაწილების კლასიკური შეფასების სიზუსტე: ე.ი. იპოვე ტფორმულიდან (3.17). დავუშვათ უტოლობის შესრულების ალბათობა
სანდოობით არის მოცემული  :

. (3.18)

Იმდენად, რამდენადაც თ ქ( ნ-1), აშკარაა, რომ ტდამოკიდებულია  და ნასე რომ, ჩვენ ჩვეულებრივ ვწერთ
.

(3.19)

სადაც
არის სტუდენტის განაწილების ფუნქცია ნ-1 გრადუსი თავისუფლება.

ამ განტოლების ამოხსნა მ, ვიღებთ ინტერვალს
რომელიც  სანდოობით ფარავს უცნობ პარამეტრს მ.

ღირებულება ტ  , ნ-1 , გამოიყენება შემთხვევითი ცვლადის ნდობის ინტერვალის დასადგენად თ(ნ-1), გავრცელდა სტუდენტის მიერ ნ-1 გრადუსი თავისუფლება ჰქვია სტუდენტის კოეფიციენტი. ის უნდა მოიძებნოს მოცემული მნიშვნელობებით ნდა  ცხრილებიდან „მოსწავლის განაწილების კრიტიკული წერტილები“. (ცხრილი 6, დანართი 1), რომლებიც არის (3.19) განტოლების ამონახსნები.

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ შემდეგ გამონათქვამს სიზუსტე ნდობის ინტერვალი მათემატიკური მოლოდინის შესაფასებლად (ზოგადი საშუალო), თუ განსხვავება უცნობია:

(3.20)

ამრიგად, არსებობს ზოგადი ფორმულა ზოგადი პოპულაციის მათემატიკური მოლოდინისთვის ნდობის ინტერვალების ასაგებად:

სად არის ნდობის ინტერვალის სიზუსტე  ცნობილი ან უცნობი დისპერსიის მიხედვით გვხვდება ფორმულების შესაბამისად 3.16. და 3.20.

დავალება 10.ჩატარდა რამდენიმე ტესტი, რომლის შედეგები მოცემულია ცხრილში:

x მე

ცნობილია, რომ ისინი ემორჩილებიან ნორმალურ განაწილების კანონს
. იპოვნეთ შეფასება მ* მათემატიკური მოლოდინისთვის მ, შექმენით მისთვის 90%-იანი ნდობის ინტერვალი.

გადაწყვეტილება:

Ისე, მ(2.53;5.47).

დავალება 11.ზღვის სიღრმე იზომება ხელსაწყოთი, რომლის სისტემატური ცდომილება არის 0, და შემთხვევითი შეცდომები ნაწილდება ჩვეულებრივი კანონის მიხედვით, სტანდარტული გადახრით.  = 15 მ. რამდენი დამოუკიდებელი გაზომვა უნდა განხორციელდეს სიღრმის დასადგენად არაუმეტეს 5 მ შეცდომით 90% ნდობის დონით?

გადაწყვეტილება:

პრობლემის პირობით გვაქვს X N( მ;  ), სადაც  = 15 მ,  = 5 მ,  =0.9. მოდი ვიპოვოთ მოცულობა ნ.

1) მოცემული სანდოობით = 0.9, მე-3 ცხრილიდან (დანართი 1) ვპოულობთ ლაპლასის ფუნქციის არგუმენტს. u  = 1.65.

2) მოცემული შეფასების სიზუსტის ცოდნა  =u  =5, იპოვე
. Ჩვენ გვაქვს

. ამიტომ, საცდელების რაოდენობა ნ 25.

დავალება 12.ტემპერატურის ნიმუშის აღება ტიანვრის პირველი 6 დღისთვის მოცემულია ცხრილში:

იპოვეთ ნდობის ინტერვალი მოლოდინისთვის მსაერთო მოსახლეობა ნდობის ალბათობით
და შეაფასეთ ზოგადი სტანდარტული გადახრა ს.

გადაწყვეტილება:

და
.

2) მიუკერძოებელი შეფასება იპოვეთ ფორმულით
:

							=-175
							=234.84

;
;

							=-192
							=116

.

3) ვინაიდან ზოგადი დისპერსია უცნობია, მაგრამ მისი შეფასება ცნობილია, მაშინ მათემატიკური მოლოდინის შეფასება მვიყენებთ სტუდენტის განაწილებას (ცხრილი 6, დანართი 1) და ფორმულას (3.20).

იმიტომ რომ ნ 1 =ნ 2 =6, შემდეგ,
, ს 1 =6.85 გვაქვს:
, შესაბამისად -29.2-4.1<მ 1 < -29.2+4.1.

ამიტომ -33.3<მ 1 <-25.1.

ანალოგიურად, ჩვენ გვაქვს
, ს 2 = 4.8, ასე რომ

–34.9< მ 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: მ 1(-33.3;-25.1) და მ 2 (-34.9;-29.1).

გამოყენებით მეცნიერებებში, მაგალითად, სამშენებლო დისციპლინებში, ობიექტების სიზუსტის შესაფასებლად გამოიყენება ნდობის ინტერვალების ცხრილები, რომლებიც მოცემულია შესაბამის საცნობარო ლიტერატურაში.

სტატისტიკაში არსებობს ორი სახის შეფასება: წერტილი და ინტერვალი. ქულების შეფასებაარის ერთი ნიმუშის სტატისტიკა, რომელიც გამოიყენება პოპულაციის პარამეტრის შესაფასებლად. მაგალითად, ნიმუში ნიშნავს არის პოპულაციის საშუალო და შერჩევის დისპერსიის წერტილის შეფასება S2- პოპულაციის დისპერსიის ქულათა შეფასება σ2. ნაჩვენებია, რომ შერჩევის საშუალო არის მოსახლეობის მოლოდინის მიუკერძოებელი შეფასება. შერჩევის საშუალოს ეწოდება მიუკერძოებელი, რადგან ყველა ნიმუშის საშუალო ნიშნავს (იგივე ნიმუშის ზომით ნ) უდრის საერთო მოსახლეობის მათემატიკურ მოლოდინს.

ნიმუშის დისპერსიის მიზნით S2გახდა პოპულაციის დისპერსიის მიუკერძოებელი შემფასებელი σ2, ნიმუშის დისპერსიის მნიშვნელი ტოლი უნდა იყოს ნ – 1 , მაგრამ არა ნ. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პოპულაციის ვარიაცია არის ყველა შესაძლო ნიმუშის ვარიაციების საშუალო.

პოპულაციის პარამეტრების შეფასებისას უნდა გვახსოვდეს, რომ ნიმუშის სტატისტიკა, როგორიცაა , დამოკიდებულია კონკრეტულ ნიმუშებზე. ამ ფაქტის გათვალისწინება, მოპოვება ინტერვალის შეფასებაზოგადი მოსახლეობის მათემატიკური მოლოდინი აანალიზებს ნიმუშის საშუალებების განაწილებას (დაწვრილებით იხ.). აგებულ ინტერვალს ახასიათებს გარკვეული ნდობის დონე, რაც არის ალბათობა იმისა, რომ ზოგადი პოპულაციის ჭეშმარიტი პარამეტრი სწორად არის შეფასებული. მსგავსი ნდობის ინტერვალები შეიძლება გამოყენებულ იქნას მახასიათებლის პროპორციის შესაფასებლად რდა საერთო მოსახლეობის ძირითადი განაწილებული მასა.

ჩამოტვირთეთ შენიშვნა ფორმატში ან ფორმატში, მაგალითები ფორმატში

ნდობის ინტერვალის აგება ზოგადი მოსახლეობის მათემატიკური მოლოდინისთვის ცნობილი სტანდარტული გადახრით

ზოგადი პოპულაციის მახასიათებლის პროპორციისთვის ნდობის ინტერვალის აგება

ამ განყოფილებაში ნდობის ინტერვალის კონცეფცია ვრცელდება კატეგორიულ მონაცემებზე. ეს საშუალებას გაძლევთ შეაფასოთ მახასიათებლის წილი ზოგად პოპულაციაში რნიმუშის წილით რს= X/ნ. როგორც აღინიშნა, თუ ღირებულებები ნრდა ნ(1 - გვ)აღემატება 5 რიცხვს, ბინომალური განაწილება შეიძლება მიახლოებით ნორმალურზე. მაშასადამე, საერთო პოპულაციაში მახასიათებლის წილის შესაფასებლად რშესაძლებელია ინტერვალის აგება, რომლის ნდობის დონე ტოლია (1 - α)x100%.

სადაც გვს- ფუნქციის ნიმუშის წილი, ტოლია X/ნ, ე.ი. წარმატებების რაოდენობა გაყოფილი ნიმუშის ზომაზე, რ- თვისების წილი ზოგად პოპულაციაში, ზარის სტანდარტიზებული ნორმალური განაწილების კრიტიკული მნიშვნელობა, ნ- ნიმუშის ზომა.

მაგალითი 3დავუშვათ, რომ ნიმუში ამოღებულია საინფორმაციო სისტემიდან, რომელიც შედგება ბოლო ერთი თვის განმავლობაში შესრულებული 100 ინვოისისგან. ვთქვათ, რომ ამ ანგარიშფაქტურებიდან 10 არასწორია. ამრიგად, რ= 10/100 = 0.1. 95% ნდობის დონე შეესაბამება კრიტიკულ მნიშვნელობას Z = 1.96.

ამრიგად, არსებობს 95%-იანი შანსი, რომ ინვოისების 4.12%-დან 15.88%-მდე შეცდომებს შეიცავდეს.

მოცემული ნიმუშის ზომისთვის, ნდობის ინტერვალი, რომელიც შეიცავს მახასიათებლის პროპორციას ზოგად პოპულაციაში, უფრო ფართოა, ვიდრე უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი. ეს იმიტომ ხდება, რომ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის გაზომვები შეიცავს უფრო მეტ ინფორმაციას, ვიდრე კატეგორიული მონაცემების გაზომვები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, კატეგორიული მონაცემები, რომლებიც იღებენ მხოლოდ ორ მნიშვნელობას, შეიცავს არასაკმარის ინფორმაციას მათი განაწილების პარამეტრების შესაფასებლად.

ATსასრული პოპულაციისგან მიღებული შეფასებების გაანგარიშება

მათემატიკური მოლოდინის შეფასება.კორექტირების ფაქტორი საბოლოო პოპულაციისთვის ( fpc) გამოიყენებოდა სტანდარტული შეცდომის შესამცირებლად კოეფიციენტით. პოპულაციის პარამეტრების შეფასების სანდო ინტერვალების გაანგარიშებისას, კორექტირების ფაქტორი გამოიყენება იმ სიტუაციებში, როდესაც ნიმუშები შედგენილია ჩანაცვლების გარეშე. ამრიგად, ნდობის ინტერვალი მათემატიკური მოლოდინისთვის, რომელსაც აქვს ნდობის დონე ტოლი (1 - α)x100%, გამოითვლება ფორმულით:

მაგალითი 4სასრულ პოპულაციისთვის კორექტირების ფაქტორის გამოყენების საილუსტრაციოდ, დავუბრუნდეთ ზემოთ მაგალით 3-ში განხილული ინვოისების საშუალო ოდენობის ნდობის ინტერვალის გამოთვლის პრობლემას. დავუშვათ, რომ კომპანია გამოსცემს თვეში 5000 ინვოისს და X̅=110.27 აშშ დოლარი, ს= $28,95 ნ = 5000, ნ = 100, α = 0.05, t99 = 1.9842. ფორმულის მიხედვით (6) ვიღებთ:

მახასიათებლის წილის შეფასება.უკუგების არჩევისას, ნდობის ინტერვალი იმ მახასიათებლის პროპორციისთვის, რომელსაც აქვს ნდობის დონე ტოლი (1 - α)x100%, გამოითვლება ფორმულით:

ნდობის ინტერვალები და ეთიკური საკითხები

მოსახლეობის შერჩევისა და სტატისტიკური დასკვნების ფორმულირებისას ხშირად ჩნდება ეთიკური პრობლემები. მთავარი ისაა, თუ როგორ ეთანხმება სინჯის სტატისტიკის ნდობის ინტერვალები და წერტილოვანი შეფასებები. საგამომცემლო პუნქტების შეფასებები შესაბამისი ნდობის ინტერვალების (ჩვეულებრივ 95% სანდოობის დონეზე) და ნიმუშის ზომის მითითების გარეშე შეიძლება იყოს შეცდომაში შემყვანი. ამან შეიძლება მომხმარებლისთვის შექმნას შთაბეჭდილება, რომ ქულების შეფასება არის ზუსტად ის, რაც მას სჭირდება მთელი პოპულაციის თვისებების პროგნოზირებისთვის. ამრიგად, აუცილებელია გვესმოდეს, რომ ნებისმიერ კვლევაში წინა პლანზე უნდა იყოს არა წერტილის, არამედ ინტერვალური შეფასებები. გარდა ამისა, განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მიექცეს ნიმუშის ზომის სწორ არჩევანს.

ყველაზე ხშირად სტატისტიკური მანიპულაციების ობიექტს წარმოადგენს სხვადასხვა პოლიტიკურ საკითხზე მოსახლეობის სოციოლოგიური გამოკითხვის შედეგები. ამასთან, გამოკითხვის შედეგები დევს გაზეთების პირველ გვერდებზე, ხოლო შერჩევის შეცდომა და სტატისტიკური ანალიზის მეთოდოლოგია სადღაც შუაში იბეჭდება. მიღებული ქულების შეფასებების მართებულობის დასადასტურებლად საჭიროა მიეთითოს ნიმუშის ზომა, რომლის საფუძველზეც იქნა მიღებული ისინი, ნდობის ინტერვალის საზღვრები და მისი მნიშვნელოვნების დონე.

შემდეგი შენიშვნა

გამოყენებულია მასალები წიგნიდან Levin et al., სტატისტიკა მენეჯერებისთვის. - M.: Williams, 2004. - გვ. 448–462 წწ

ცენტრალური ლიმიტის თეორემააცხადებს, რომ საკმარისად დიდი ნიმუშის მოცულობის გათვალისწინებით, საშუალებების ნიმუშის განაწილება შეიძლება მიახლოებული იყოს ნორმალური განაწილებით. ეს ქონება არ არის დამოკიდებული მოსახლეობის განაწილების ტიპზე.

დაე, შემთხვევითი ცვლადი (შეიძლება ვისაუბროთ ზოგად პოპულაციაზე) განაწილებულია ნორმალური კანონის მიხედვით, რისთვისაც ცნობილია ვარიაცია D = 2 (> 0). ზოგადი პოპულაციისგან (ობიექტთა სიმრავლეზე, რომელთა შემთხვევითი ცვლადი განისაზღვრება) კეთდება n ზომის ნიმუში. ნიმუში x 1, x 2,..., x n განიხილება, როგორც n დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადის კრებული, რომელიც განაწილებულია ისევე, როგორც (ტექსტში ზემოთ ახსნილი მიდგომა).

ადრე ასევე განიხილებოდა და დადასტურდა შემდეგი თანასწორობები:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

საკმარისია უბრალოდ დავამტკიცოთ (ჩვენ გამოვტოვებთ მტკიცებულებას), რომ შემთხვევითი ცვლადი ამ შემთხვევაშიც ნაწილდება ნორმალური კანონის მიხედვით.

უცნობი მნიშვნელობა M ავღნიშნოთ a-ით და მოცემული სანდოობის მიხედვით ავირჩიოთ რიცხვი d > 0, რათა დაკმაყოფილდეს შემდეგი პირობა:

P(- a< d) = (1)

ვინაიდან შემთხვევითი ცვლადი განაწილებულია ნორმალური კანონის მიხედვით მათემატიკური მოლოდინით M = M = a და დისპერსიით D = D /n = 2 /n, მივიღებთ:

P(- a< d) =P(a - d < < a + d) =

რჩება ისეთი დ არჩევა, რომ თანასწორობა

ნებისმიერისთვის, ცხრილიდან შეგიძლიათ იპოვოთ ისეთი რიცხვი t, რომელიც (t) \u003d / 2. ამ რიცხვს t ზოგჯერ უწოდებენ კვანტილი.

ახლა თანასწორობიდან

განსაზღვრეთ d-ის მნიშვნელობა:

ჩვენ ვიღებთ საბოლოო შედეგს ფორმულის (1) წარმოდგენით ფორმაში:

ბოლო ფორმულის მნიშვნელობა ასეთია: სანდოობით, ნდობის ინტერვალი

მოიცავს პოპულაციის უცნობ პარამეტრს a = M. სხვაგვარად შეიძლება ითქვას: წერტილის შეფასება განსაზღვრავს M პარამეტრის მნიშვნელობას d= t/ სიზუსტით და სანდოობით.

დავალება. დაე, იყოს ზოგადი პოპულაცია ზოგიერთი მახასიათებლით, რომელიც განაწილებულია ნორმალური კანონის მიხედვით, დისპერსიით ტოლი 6.25. გაკეთდა n = 27 ზომის ნიმუში და მიღებული იყო მახასიათებლის საშუალო ნიმუში = 12. იპოვეთ ნდობის ინტერვალი, რომელიც ფარავს ზოგადი პოპულაციის შესწავლილი მახასიათებლის უცნობი მათემატიკური მოლოდინის სანდოობით = 0.99.

გადაწყვეტილება. პირველი, ლაპლასის ფუნქციისთვის ცხრილის გამოყენებით, ვპოულობთ t-ის მნიშვნელობას განტოლებიდან (t) \u003d / 2 \u003d 0.495. მიღებული მნიშვნელობიდან გამომდინარე t = 2,58, ჩვენ განვსაზღვრავთ შეფასების სიზუსტეს (ან ნდობის ინტერვალის სიგრძის ნახევარს) d: d = 2,52,58 / 1,24. აქედან ვიღებთ სასურველ ნდობის ინტერვალს: (10.76; 13.24).

სტატისტიკური ჰიპოთეზა ზოგადი ვარიაციული

ნდობის ინტერვალი ნორმალური განაწილების მოლოდინისთვის უცნობი დისპერსიით

მოდით იყოს ჩვეულებრივი კანონის მიხედვით განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი უცნობი მათემატიკური მოლოდინით M, რომელსაც აღვნიშნავთ a ასოთი. მოდით გავაკეთოთ ნიმუში n ზომის. მოდით განვსაზღვროთ საშუალო ნიმუში და შესწორებული ნიმუშის ვარიაცია s 2 ცნობილი ფორმულების გამოყენებით.

შემთხვევითი მნიშვნელობა

განაწილებულია სტუდენტის კანონის მიხედვით n - 1 გრადუსი თავისუფლებით.

ამოცანაა ვიპოვოთ ასეთი რიცხვი t მოცემული სანდოობის და თავისუფლების ხარისხების რაოდენობის მიხედვით n - 1 ისე, რომ ტოლობა

ან ექვივალენტური თანასწორობა

აქ, ფრჩხილებში, იწერება პირობა, რომ უცნობი პარამეტრის მნიშვნელობა a ეკუთვნის გარკვეულ ინტერვალს, რომელიც არის ნდობის ინტერვალი. მისი საზღვრები დამოკიდებულია სანდოობაზე, ასევე შერჩევის პარამეტრებზე და s.

t-ის მნიშვნელობის დასადგენად სიდიდის მიხედვით, ჩვენ ვცვლით ტოლობას (2) ფორმაში:

ახლა, t შემთხვევითი ცვლადის ცხრილის მიხედვით, განაწილებული სტუდენტის კანონის მიხედვით, ალბათობის 1 - და თავისუფლების გრადუსების რაოდენობის მიხედვით n - 1, ვპოულობთ t. ფორმულა (3) იძლევა პასუხს პრობლემაზე.

დავალება. 20 ელექტრული ნათურის საკონტროლო ტესტებზე მათი მუშაობის საშუალო ხანგრძლივობა იყო 2000 საათის ტოლი სტანდარტული გადახრით (გამოითვლება შესწორებული ნიმუშის დისპერსიის კვადრატული ფესვით) ტოლი 11 საათისა. ცნობილია, რომ ნათურის მუშაობის ხანგრძლივობა ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადია. განსაზღვრეთ 0,95 სანდოობით ნდობის ინტერვალი ამ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინისთვის.

გადაწყვეტილება. მნიშვნელობა 1 - ამ შემთხვევაში უდრის 0,05-ს. სტუდენტის განაწილების ცხრილის მიხედვით, თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა 19-ის ტოლია, ვპოულობთ: t = 2.093. ახლა გამოვთვალოთ შეფასების სიზუსტე: 2.093121/ = 56.6. აქედან ვიღებთ სასურველ ნდობის ინტერვალს: (1943.4; 2056.6).